WPŁYW PARAMETRÓW TERMODYNAMICZNYCH PROCESU MAGAZYNOWANIA GAZU NA POJEMNOŚĆ KAWERNY W ZŁOŻU SOLI KAMIENNEJ

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "WPŁYW PARAMETRÓW TERMODYNAMICZNYCH PROCESU MAGAZYNOWANIA GAZU NA POJEMNOŚĆ KAWERNY W ZŁOŻU SOLI KAMIENNEJ"

Transkrypt

1 AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA IM. STANISŁAWA STASZICA WYDZIAŁ WIERTNICTWA NAFTY I GAZU KATEDRA INŻYNIERII GAZOWNICZEJ ROZPRAWA DOKTORSKA WPŁYW PARAMETRÓW TERMODYNAMICZNYCH PROCESU MAGAZYNOWANIA GAZU NA POJEMNOŚĆ KAWERNY W ZŁOŻU SOLI KAMIENNEJ MGR INŻ. KAROLINA SERBIN PROMOTOR: DR HAB. INŻ. JAROSŁAW ŚLIZOWSKI, PROF. AGH KRAKÓW 2013

2 Spis treści SPIS WAŻNIEJSZYCH OZNACZEŃ WPROWADZENIE Proces magazynowania gazu w kawernach solnych Parametry termodynamiczne mające wpływ na pojemność kawerny Aktualny stan wiedzy Cel i zakres pracy TEORETYCZNE PODSTAWY MODELI TERMODYNAMICZNYCH KAWERN MAGAZYNOWYCH GAZU Procesy zachodzące w magazynowanym gazie Równanie stanu magazynowanego gazu Równanie ciągłości gazu Równanie ruchu gazu Równanie energii gazu Równanie oporu przepływu przez kolumnę rur Wymiana ciepła pomiędzy gazem a górotworem Zmiany temperatury w górotworze solnym równanie przewodnictwa cieplnego Algorytm programu KAGA Opis segmentu zatłaczania gazu RUZA Opis segmentu PRZERWA Opis segmentu poboru gazu z kawerny RUPO TEORETYCZNE PODSTAWY MODELI GEOMECHANICZNYCH KAWERN MAGAZYNOWYCH GAZU Równanie konstytutywne soli kamiennej Odkształcenia sprężyste Odkształcenia pełzania Temperatura i naprężenie pierwotne w górotworze Algorytm programu GEOSOLK LABORATORYJNE BADANIA PRĘDKOŚCI PEŁZANIA SOLI

3 5. ZAKRES OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH Warunki brzegowe i dyskretyzacja obszaru dla programu KAGA Warunki brzegowe i dyskretyzacja obszaru dla programu GEOSOLK Rozpatrywane prawa pełzania Wychłodzenie górotworu podczas ługowania i scenariusz eksploatacji kawerny magazynowej Oznaczenie modeli numerycznych WPŁYW PARAMETRÓW TERMODYNAMICZNYCH PROCESU MAGAZYNOWANIA NA OBJĘTOŚĆ KAWERNY Analiza konwergencji i prędkości konwergencji kawerny Wpływ wychłodzenia górotworu i prawa pełzania Wpływ czynnika temperaturowego Q/R Wpływ głębokości Analiza przemieszczeń PODSUMOWANIE...80 LITERATURA...83 SPIS RYSUNKÓW...86 SPIS TABEL

4 Spis ważniejszych oznaczeń A stały współczynnik w prawie pełzania Nortona a, b stałe, zależne od składu gazu C g ciepło właściwe górotworu D średnica hydrauliczna rury w równaniu oporu przepływu przez kolumnę rur dl elementy całkowania po długości rury ds element całkowania po powierzchni w równaniu ciągłości gazu dv element całkowania po objętości w równaniu ciągłości gazu d ε całkowity przyrost odkształceń el dε przyrost odkształceń sprężystych (elastycznych) v dε przyrost odkształceń lepkich (pełzania) E moduła Younga (odkształcalności podłużnej) e energia właściwa gazu (całkowita) E G = - moduł Kirchhoffa (odkształcalności postaciowej) 2(1 + ν ) g wektor przyspieszenia ziemskiego g =g h głębokość od powierzchni terenu E K = - moduł ściśliwości 3(1 2ν ) k szorstkość bezwzględna L długość wycinka przepływu, tzn. rozpatrywanego odcinka rury w równaniu oporu przepływu przez kolumnę rur L praca mechaniczna wykonana na gazie w równaniu energii gazu n wektor jednostkowy, normalny do powierzchni Γ, w równaniu ciągłości gazu n współczynnik potęgi w prawie pełzania Nortona p ciśnienie Q energia aktywacji R uniwersalna stała gazowa Re liczba Reynoldsa T temperatura, T g temperatura górotworu T k temperatura wewnątrz kawerny 3

5 t czas u zredukowana energia wewnętrzna gazu v prędkość przepływu gazu v objętość molowa Z powierzchnia boczna rozpatrywanego odcinka rury w równaniu oporu przepływu przez kolumnę rur y i molowy udział i-tego składnika w mieszaninie gazowej, α współczynnik wymiany cieplnej Γ powierzchnia zewnętrzna elementu Ω w równaniu ciągłości gazu δ ij delta Kroneckera ε ef odkształcenie efektywne el ε ij składowe tensora odkształceń ε 1 ( ε ) m = ε11 + ε odkształcenie średnie 3 $I tensor jednostkowy σˆ tensor naprężeń w gazie σ ef naprężenie efektywne σ ij składowe tensora naprężeń σ 1 ( σ ) m = σ 11 + σ naprężenie średnie 3 λ bezwymiarowy współczynnik oporu λ g współczynnik przewodnictwa cieplnego w górotworze $Λ tensor naprężeń stycznych ν współczynnik Poissona ρ gęstość gazu ρ g gęstość górotworu Φ strumień cieplny Ω dowolny element kawerny lub otworu, wypełniony gazem w równaniu ciągłości gazu 4

6 1. Wprowadzenie 1.1. Proces magazynowania gazu w kawernach solnych Z punktu widzenia ilości magazynowanego gazu kawerny magazynowe w złożach soli kamiennej są trzecim, po sczerpanych złożach gazu i ropy naftowej oraz szczelnych strukturach wodonośnych tzw. aquiferach, sposobem podziemnego magazynowania tego surowca. Zgodnie z (Reinisch, 2000) ilość aktywnego gazu zmagazynowana na świecie w poszczególnych typach magazynów przedstawia się następująco: sczerpane złoża 192,4 mld m 3 (76,47%), struktury zawodnione 47,6 mld m 3 (18,93%), kawerny solne 11,5 mld m 3 (4,57%), kopalnie i inne obiekty 0,1 mld m 3 (0,03%). Z punktu widzenia zaspokojenia niedoborów szczytowych rola kawern jest znacznie większa a głównymi ich zaletami w porównaniu z innymi rodzajami magazynów są: znacznie większa i stała w czasie wydajność możliwego poboru i zatłaczania gazu, możliwość wielu cykli napełniania i opróżniania w ciągu roku, mała ilość gazu buforowego nie przekraczająca zwykle 20% objętości roboczej, mniejszy koszt inwestycji w przeliczeniu na jednostkę wydajności poboru gazu z magazynu. Podstawowymi wadami są natomiast wyższe koszty całego magazynu na jednostkę objętości magazynowanego gazu i dłuższy czas trwania budowy. Kawerny wykonywane są z powierzchni tzw. metodą otworową polegającą na rozpuszczaniu soli kamiennej w złożu wodą i wydobywaniu jej w postaci solanki. Warunki eksploatacji komory magazynowej gazu są całkowicie odmienne od normalnej eksploatacji otworowej i eksploatacji komór magazynowych ciekłych węglowodorów gdzie ciśnienie w komorach ulega niewielkim wahaniom pomiędzy ciężarami słupa solanki i magazynowanego medium. Komory magazynowe gazu są zbiornikami oddychającymi. Po zakończeniu ługowania do komory zapuszczane są dwie gazoszczelne kolumny rur, pierwsza to sięgająca stropu komory tzw. kolumna wydobywcza gazu, a druga to sięgająca spągu komory kolumna solankowa do opróżniania komory z solanki, które jest zarazem jej pierwszym napełnianiem, po którym kolumna solankowa jest wyciągana, albo cięta i zrzucana na dno kawerny. Później magazyn funkcjonuje pod zmiennym ciśnieniem, którego wartości skrajne określa się indywidualnie dla każdej komory. 5

7 Zmienność ciśnienia w kawernie powoduje zmienność temperatury magazynowanego gazu, a tym samym na skutek wymiany ciepła zmienność temperatury otaczającego górotworu. Efektem tego jest zmienna prędkość pełzania górotworu, która zależy zarówno od ciśnienia gazu w komorze jak i temperatury górotworu. Sól kamienna jest bowiem ośrodkiem o bardzo silnych właściwościach reologicznych, którego odkształcenia zmieniają się w czasie nawet przy niezmienionym poziomie naprężeń i temperatury. Formułę opisującą te zmiany nazywamy prawem pełzania, które wyraża prędkość odkształceń efektywnych jako funkcję naprężeń efektywnych, czasu lub osiągniętych odkształceń efektywnych, temperatury, wilgotności i parametrów strukturalnych. Problem wyboru odpowiedniej formuły prawa pełzania nie został rozwiązany jednoznacznie i w literaturze można spotkać przykłady znacznie różniące się stopniem komplikacji Parametry termodynamiczne mające wpływ na pojemność kawerny Parametry termodynamiczne odgrywają podstawową rolę w procesie podziemnego magazynowania gazu ziemnego w kawernach solnych. Należy brać je pod uwagę zarówno podczas projektowania magazynu kawernowego, jak i podczas jego eksploatacji, aby wybrać optymalne szybkości opróżniania i napełniania poszczególnych kawern. Do termodynamicznych zjawisk mających główny wpływ na zachowanie się kawerny magazynowej należą: wychłodzenie górotworu w trakcie ługowania kawerny spowodowane niższą temperaturą medium ługującego (woda lub solanka nienasycona) w porównaniu do temperatury pierwotnej górotworu, termo - hydrodynamiczne przemiany zachodzące w gazie ziemnym zatłaczanym, przechowywanym lub pobieranym z kawerny, których efektem jest wzrost temperatury gazu w trakcie zatłaczania i jej spadek przy opróżnianiu komory, wymiana ciepła pomiędzy gazem ziemnym a górotworem solnym otaczającym kawernę i otwór prowadzący do kawerny w trakcie eksploatacji kawerny, zmiany temperatury w górotworze solnym związane z rozchodzeniem się ciepła na skutek przewodnictwa cieplnego górotworu. 6

8 Bezpośredni pomiar tych procesów w kawernie i górotworze praktycznie nie jest możliwy ze względu na brak odpowiednich metod pomiaru. O ich przebiegu możemy wnioskować jedynie na podstawie danych pośrednich, takich jak dane rejestrowane podczas operacji magazynowych na głowicy otworu. Mierzy się tam trzy podstawowe parametry gazu: ciśnienie, temperaturę i wydajność przepływu. Wprawdzie teoretycznie rzecz biorąc można wewnątrz kawerny zainstalować urządzenia mierzące w sposób ciągły temperaturę i ciśnienie, ale wyprowadzenie połączeń rejestratorów na powierzchnię poprzez wgłębny zawór bezpieczeństwa bez zakłócania jego pracy jest skrajnie utrudnione i kosztowne. Nie ma natomiast możliwości mierzenia rozkładu temperatury w górotworze wokół kawerny, ani też zmierzenia in situ rzeczywistych współczynników wymiany ciepła przez jej powierzchnię. Jedynym sposobem, aby otrzymać informacje o stanie cieplnym kawerny i otaczającego ją solnego górotworu jest posłużenie się modelem komputerowym, w którym we właściwy sposób będą symulowane wszystkie zjawiska termo- i hydrodynamiczne związane z magazynowaniem gazu. Zasadniczym celem modelowania jest: uzyskanie rozkładu temperatur w górotworze, które wpływają na prędkość jego pełzania a w konsekwencji konwergencje kawerny Aktualny stan wiedzy Termodynamiczne zjawiska zachodzące w gazie magazynowanym w kawernie oraz termomechaniczne w otaczającym ją górotworze są w zasadzie dobrze znane od kilkunastu lat, niemniej jako zjawiska odrębne, każde z osobna, nie były natomiast rozpatrywane jako wzajemnie wpływające na siebie procesy. Na przykład dobrze znane jest równanie przewodnictwa cieplnego, jak też fakt zależności współczynników przewodnictwa od stanu naprężeń, ale nikt nie opracował odpowiednich formuł ilościowych i nie analizował propagacji ciepła w górotworze solnym przy zmieniających się naprężeniach. Wiadomo również że temperatura ma bardzo istotny wpływ na prędkość pełzania stacjonarnego soli kamiennej. Również dobrze znane są równania stanu gazu ziemnego i jego zachowanie się w dużych zbiornikach, czy przy przepływie przez rury, długi czas jednak mało było wiadomo o wymianie ciepła między magazynowanym gazem i górotworem oraz jak wpływa ona na stan gazu w kawernie. Dopiero prace Thaulego (Thaule, 1994), (Thaule, 1997) i stworzenie 7

9 programu Kameleon II umożliwiającego szczegółowe modelowania na gęstych siatkach aproksymacyjnych obejmujących warstwę przyścienną z możliwością uwzględnienia kilku modeli turbulencji, wyjaśniły które wymiary powinny być stosowane do wyznaczania liczb kryterialnych. Mimo to, z uwagi na nierównomierności i nieregularności powierzchni kawern, konieczna jest weryfikacja empiryczna współczynników wymiany ciepła (Urbańczyk in., 2011) Dotychczasowe obliczenia geomechaniczne wykonywane w Polsce nie uwzględniały zjawisk termodynamicznych zachodzących w kawernie i ich wpływu na otaczający górotwór. Wyznaczając stan deformacyjno-naprężeniowy górotworu przyjmowano, że temperatura jest stała w czasie i zależy tylko od głębokości zgodnie z wartością gradientu geotermicznego. W świecie prace badawcze dotyczące wpływu zjawisk termodynamicznych na przemieszczenia, odkształcenia i naprężenia górotworu prowadzone są od kilku lat np. (Rokahr, 2008). Podjęto je nie tylko w związku z magazynowaniem gazu ziemnego lecz również magazynowaniem energii w postaci sprężonego powietrza, określanego w literaturze jako technologia CAES (Compressed Air Energy Storage) (Crotogino i in., 2001), (Crotogino., 2006). W pierwszej kolejności odpowiednie obliczenia numeryczne wykonywano przy wykorzystaniu dwóch niezależnych symulatorów: pierwszy analizujący problemy termodynamiczne oraz drugi opisujący zagadnienia geomechaniczne. W pracach (PB Energy Storage Services, 2011), (Karimi Jafari, i in., 2011), (Leuger i in, 2012) wykorzystano opracowany w USA przez PB Energy Storage Services i RESPEC Inc symulator SCTS (Salt Cavern Thermal Simulator) przeznaczony do symulacji zjawisk termodynamicznych i przepływu ciepła powstałych w trakcie eksploatacji kawern magazynowych wykonanych w złożach soli kamiennej (Nieland, 2004). Przykładowo w czasie symulacji komory o objętości ok. 155 tyś. m 3, eksploatowanej w przedziale ciśnień od 5,5 do 10,3 MPa uzyskano zmiany wartości temperatury gazu około 30ºC. Obliczenia geomechaniczne wykonywano wykorzystując stosowane wcześniej komercyjne programy takie jak ABAQUS czy FLAC. W programach tych zmienność temperatury wprowadza się poprzez warunki brzegowe pierwszego i drugiego rodzaju tzn. jako wartości temperatury lub wielkości strumienia cieplnego na brzegu kawerny. Programem który jest dostosowany do rozwiązywania obu rodzajów zagadnień jest program LOCAS opracowany przez Brouard Consulting (Brouard i in. 2006). Program ten dedykowany jest do kawern solnych i uwzględnia następujące zjawiska: krótko i długotrwałe pełzanie soli, ogrzewanie solanki i rozchodzenie się ciepła, mikro-przesiąkanie solanki w oparciu o prawo Darcy, rozpuszczanie i rekrystalizację soli, adiabatyczne sprężanie i 8

10 rozprężanie oraz zniszczenie soli (zwiększenie przepuszczalności) wg wybranego spośród trzech kryterium. Obliczenia wykonane tym programem przedstawiono m.in. w pracach (Karimi Jafari, i in., 2011) (Brouard i in. 2012). Program LOCAS był reklamowany na sympozjum SMRI i do niektórych wymienianych jego możliwości podejść należy sceptycznie. W pracy (Karimi Jafari, i in., 2011) przedstawiono obydwa opisane powyżej podejścia. W pierwszym rozkład temperatur na ociosie kawerny uzyskany programem SCTS był wczytany do programu ABAQUS, w drugim zastosowano sprzężone termo-mechaniczne symulacje programem LOCAS. Obliczenia wykonano dla cylindrycznej kawerny (wys. 400 m, średnica 70 m) o objętości m 3 zakończonej kopułami, zlokalizowanej na głębokości 1400 m p.p.t. Symulowano dwa 35 letnie scenariusze eksploatacji: tradycyjny sezonowy oraz łączony sezonowy i wielocykliczny. W trakcie obliczeń nie uwzględniono wychłodzenia górotworu na skutek ługowania a temperatura gazu na końcu pierwszego napełniania była równa geotermalnej. W przypadku obliczeń programem SCTS symulowano sferyczny kształt komory a wartości ciśnień regulowane były wydajnością poboru i zatłaczania gazu. Uwzględniono również wychłodzenie górotworu na skutek ługowania. W podsumowaniu autorzy stwierdzają, że bardzo częste cykle napełniania i opróżniania komory nie pogarszają stateczności komory w porównaniu z jej eksploatację sezonową. Analiza rezultatów nie obejmowała jednak konwergencji i prędkości konwergencji kawerny Cel i zakres pracy Niniejsza praca realizowana jest w ramach projektu badawczego pt. Termomechaniczna analiza procesu eksploatacji kawernowego podziemnego magazynu gazu realizowanego na Wydziale Wiertnictwa Nafty i Gazu AGH, którego celem jest opracowanie modelu numerycznego symulującego stan deformacyjno-naprężeniowy górotworu z uwzględnieniem procesów termodynamicznych zachodzących w kawernie solnej. Model ten ma łączyć algorytmy dwóch wcześniej opracowanych programów numerycznych: programu Kaga opracowanego w OBR Chemkop (Kunstman i in., 1980) przeznaczonego do wyznania rozkładów temperatury w kawernie i otaczającym ją górotworze, którego algorytm zostanie przedstawiony w rozdziale 4, 9

11 programu GEOSOLK opracowanego w OBR Chemkop i IGSMiE PAN przeznaczonego do wyznaczania stanu deformacyjno-naprężeniowego górotworu w otoczeniu kawerny magazynowej jednak bez uwzględnienia zjawisk termicznych. Praca stanowi pierwszy etap projektu badawczego i jej celem było wykonanie obliczeń dla wyidealizowanej cylindrycznej kawerny wykorzystując oba powyższe modele bez znaczących ingerencji w ich algorytmy. Do przeprowadzenia obliczeń skorzystałam z opracowanego już wcześniej programu konwertującego wyników pomiędzy programem Kaga opartym o metodę różnic skończonych przy wykorzystaniu siatek prostokątnych a programem GEOSOLK opartym o metodę elementów skończonych w użyciem siatek nieregularnych. Zakres przeprowadzonych w pracy obliczeń i analiz był więc następujący: wykonanie obliczeń programem Kaga dla kawern o średnicy 50 m, wysokości 200 m których środek zlokalizowany był na głębokości 800, 1100 i 1400 m p.p.t. eksploatowanych przez okres 5 lat zgodnie z założonym scenariuszem, wprowadzenie uzyskanych rozkładów temperatur górotworu do programu GEOSOLK i wyznaczenie wartości przemieszczeń i odkształceń górotworu przy 4 różnych wariantach prawa pełzania Nortona których współczynniki określono na podstawie badań laboratoryjnych różnych rodzajów soli, porównanie otrzymanych rezultatów z wynikami uzyskiwanymi dotychczasową wersją programu GEOSOLK. W sumie analiza objęła 32 modele numeryczne. Zaprezentowana metodyka obliczeń jest jakościowo zbliżona do analiz wykonanych programami SCTS i ABAQUS, wykorzystuje jednak krajowe programy komputerowe wykorzystywane wcześniej przy ocenie funkcjonowania kawern magazynowych gazu w KPMG (Kawernowy Podziemny Magazyn Gazu) Mogilno i KPMG Kosakowo. Dodatkowo w pracy zamieszczono wyniki badań laboratoryjnych, których celem było sprawdzenie poprawności prawa pełzania Nortona w warunkach odpowiadających eksploatacji komory magazynowej i weryfikacja jego współczynników. Ostatecznym celem pracy była wszechstronna analiza spadku pojemności kawerny magazynowej w czasie w zależności od parametrów termodynamicznych (temperatury wychłodzenia górotworu i zmian temperatury wywołanej sprężaniem i rozprężaniem gazu) oraz parametrów dodatkowych takich jak głębokość posadowienia kawerny, prędkość pełzania soli i wartość współczynnika określającego wpływ temperatury na prędkość tego procesu. Podstawową analizowaną wielkością była konwergencja 10

12 względna kawerny czyli spadek jej objętości w czasie w stosunku do objętości początkowej. W pracy omówiono również rozkład przemieszczeń górotworu w otoczeniu kawerny. Konwergencja występuje w przypadku wszystkich wyrobisk w złożach soli, przy czym można ją rozpatrywać jako zjawisko pozytywne lub negatywne (Maj, 2009). Do pierwszego przypadku zaliczyć należy składowanie odpadów niebezpiecznych, kiedy to konwergencja gwarantuje szczelne zamknięcie wyrobisk oraz magazynowanie ropy naftowej i paliw, w których największym problemem jest rozługowywanie kawerny w trakcie wypychania surowca wodą lub solanką. W przypadku magazynowania gazu konwergencję należy jednoznacznie traktować jako zjawisko negatywne. 11

13 2. Teoretyczne podstawy modeli termodynamicznych kawern magazynowych gazu W rozdziale 1.2 wymieniono 4 zjawiska termodynamiczne, które mają wpływ na temperaturę a w konsekwencji na stan naprężeń i odkształceń w otoczeniu komory i jej konwergencję. Dotyczą one zmian zachodzących w magazynowanym gazie, wymiany ciepła między górotworem a medium ługującym lub gazem oraz przewodnictwem cieplnym górotworu. W algorytmie programu KAGA rozwiązywany jest numerycznie układ 7 równań różniczkowych które przedstawiono schematycznie na rysunku Strzałki na rysunku wskazują którego z czterech elementów komory magazynowej (magazynowany gaz, otwór udostępniający, brzeg kawerny, górotworu otaczający) dotyczy równanie. Rys Równania rozwiązywane w programie KAGA 12

14 Poniżej podano komplet równań w sformułowaniu całkowym, użyty w programie KAGA zaczerpnięty z opracowania (Urbańczyk i in. 1991). W kolejnych podrozdziałach podano równania dotyczące kolejno: procesów zachodzących w magazynowanym gazie, wymiany ciepła pomiędzy gazem a górotworem oraz zmiany temperatury w górotworze solnym Procesy zachodzące w magazynowanym gazie Równanie stanu magazynowanego gazu Jeśli własności gazu odbiegają od gazu doskonałego, tradycyjnie równanie stanu gazu doskonałego poprawia się wprowadzając do niego czynnik ściśliwości Z. p v = RT Z (2.1) gdzie: p ciśnienie R uniwersalna stała gazowa T temperatura v objętość molowa Czynnik ściśliwości Z nie jest stałą, ale dość skomplikowaną funkcją stanu gazu. Dlatego równanie powyższe nie jest wystarczające, a potrzebne jest równanie z czynnikiem Z wyrażonym explicite jako funkcja zmiennych stanu. Głównym składnikiem gazu ziemnego jest metan (na ogół powyżej 95%), a warunki termiczne panujące w kawernie magazynowej są dość odległe od punktu krytycznego. Z tego powodu dopuszczalne jest opisanie zachowania się gazu przy pomocy równania stanu Redlicha-Kwonga. Równanie to ma postać następującą: p gdzie: a, b stałe, zależne od składu gazu R T a = (2.2) 0.5 v b T v ( v + b) 13

15 mieszania: Dla wyznaczenia stałych a i b dla danego składu gazu, przyjmuje się następujące reguły a = n i, j= 1 y y a i j ij (2.3) gdzie: b = n i= 1 y i b i y i molowy udział i-tego składnika w mieszaninie gazowej (2.4) a ij 1.5 ( Ω +Ω ) RT ( v + v ) 0.25 ai a j = T c ij b i = c ij ( ω +ω ) i i j j (2.5) R Tci = Ω b (2.6) i p T y + T y y c c i c j i i i + y ω i czynnik acentryczny i-tego składnika, wg odpowiednich tabeli j j (2.7) p ci T ci ciśnienie krytyczne i-tego składnika wg odpowiednich tabeli temperatura krytyczna i-tego składnika wg odpowiednich tabeli Ω ai stała, klasycznie równa , jednak można poprawić dokładność równania, biorąc dla każdego składnika wartość poprawioną wg odpowiednich tabeli, Ω bi stała, klasycznie równa , również można dla danego składnika brać wartość poprawioną wg odpowiednich tabeli. Czynnik ściśliwości Z dla równania Redlicha-Kwonga można przedstawić następująco: a p v 1 Z = = R (2.8) RT b 1. 5 b 1 T v 1+ v v postać ta wynika bezpośrednio z równania (2.2). W postaci (2.2) równania Redlicha-Kwonga występuje objętość molowa. W praktyce dogodniejsze jest stosowanie zamiast niej gęstości gazu, co wymaga przeliczenia stałych R, a, b na odpowiednie jednostki. 14

16 p = R T b ρ T 1 ρ a 1 ρ + b (2.9) Równanie ciągłości gazu Zmiennymi opisującymi stan gazu są temperatura, gęstość i ciśnienie związane wzajemnie równaniem stanu oraz prędkość przepływu. Wyznaczyć je można rozwiązując układ różniczkowo-całkowych równań ciągłości, ruchu i energii. Pierwszym z nich jest równanie ciągłości. Wyraża ono zasadę zachowania masy. Bilansuje zmianę masy w danej objętości z wypływem masy przez powierzchnię brzegową tej objętości następująco: t gdzie: t czas Ω ρ dv = ρ v n ds v prędkość przepływu gazu ρ gęstość gazu Ω dowolny element kawerny lub otworu, wypełniony gazem Γ powierzchnia zewnętrzna elementu Ω n wektor jednostkowy, normalny do powierzchni Γ, skierowany na zewnątrz dv element całkowania po objętości ds element całkowania po powierzchni Γ (2.10) Równanie ruchu gazu Równanie to, wyrażające zasadę zachowania pędu, wiąże zmianę pędu gazu zawartego w danej objętości ze strumieniem pędu przepływającym przez powierzchnię brzegową oraz działaniem sił powierzchniowych i objętościowych (w tym przypadku grawitacyjnych) następująco: 15

17 t gdzie: ρ v dv = ρ vv n ds + σ$ n ds + ρ g dv (2.11) Ω Γ Γ Ω g wektor przyspieszenia ziemskiego g =g σˆ tensor naprężeń w gazie pozostałe oznaczenia jak w równaniu (2.10). Tensor naprężeń dogodnie jest rozdzielić na naprężenia normalne (związane z ciśnieniem) i naprężenia styczne (opory lepkie): gdzie: p ciśnienie $Λ tensor naprężeń stycznych $I tensor jednostkowy $ $ $ σ = p I + Λ (2.12) Aby wyznaczyć rozkład pędu wewnątrz zbiornika należy podać warunki na brzegu. W przypadku kawerny gazowej można wyróżnić dwa typy brzegów: brzeg przez który możliwa jest jedynie wymiana ciepła, brzeg przez który następuje przepływ gazu wraz z zawartą w nim energią wszystkich rodzajów. Do pierwszego typu brzegu zalicza się powierzchnię kawerny oraz boczną powierzchnię kolumny rur w otworze. Strumień pędu jest na nim równy zeru, tensor naprężeń określa się na podstawie równania oporów przepływu. Do drugiego typu brzegu zalicza się wlot rury na głowicy i wylot rury eksploatacyjnej w szyi kawerny. Na podstawie wydajności przepływu określa się na tym brzegu odpowiednie strumienie brzegowe. Jeżeli brak przepływu, równanie (2.11) traci dwie pierwsze całki zależne od v i przechodzi w równanie równowagi pneumostatycznej: Γ p n ds = ρ g dv (2.13) biorąc pod uwagę, że przy braku przepływu nie pojawiają się w gazie naprężenia styczne. Ω 16

18 Dla gazu w kawernie jedynie równanie (2.13) jest stosowalne, gdyż z uwagi na średnicę kawerny, pozostałe wyrazy równania (2.11) są do zaniedbania. Należy zwrócić uwagę, że stratyfikacja gazu w kawernie możliwa jest tylko przejściowo, podczas zatłaczania gorącego gazu. Podczas poborów, jak i podczas postojów, dochodzi do mieszania się gazu zawartego w kawernie, z uwagi na wymianę ciepłą z górotworem, w którym temperatura rośnie z głębokością Równanie energii gazu Równanie energii bilansuje zmianę energii w danej objętości z wypływem energii przez powierzchnię brzegową tej objętości. Różnica w bilansie pochodzi od ciepła, które wypłynęło przez powierzchnię brzegową oraz od pracy wykonanej przez siły zewnętrzne na gazie zawartym w tej objętości. W postaci globalnej równanie przedstawia się następująco: t ( σ v) nds + Φ nds + L ρedv = ρev nds+ ˆ (2.14): Ω Γ Γ gdzie: e energia właściwa gazu (całkowita) v prędkość przepływu gazu ρ gęstość gazu σˆ tensor naprężeń w gazie, obejmujący ciśnienie i naprężenia styczne (lepkie) Φ strumień cieplny L praca mechaniczna wykonana na gazie Należy zwrócić uwagę na fakt, że w równaniu (2.14) pracę wykonaną przez gaz rozdzielono na pracę naprężeń (siły powierzchniowe) - ( v) Γ Γ $σ n ds i pozostałą pracę sił objętościowych - L. Całkowita energia właściwa składa się z trzech składników: energii wewnętrznej, energii kinetycznej i energii potencjalnej w polu sił grawitacyjnych, co można wyrazić się wzorem: v 2 e = u R T + g h 2 (2.15) 17

19 gdzie: u zredukowana energia wewnętrzna gazu R stała gazowa T temperatura gazu v prędkość przepływu gazu g przyspieszenie ziemskie h głębokość od powierzchni terenu w dół Energię potencjalną można częściowo z równania (2.14) wyrugować, wykorzystując równanie ciągłości. Jeśli zaś za powierzchnię Ω przyjąć całą kawernę, lub odcinek rury, można również pracę sił powierzchniowych ograniczyć do pracy przeciw ciśnieniu, gdyż na bocznej powierzchni nie występuje normalna składowa prędkości, albo naprężenia styczne. Wtedy pod całką powierzchniową można z kolei połączyć ciśnienie z energią wewnętrzną w jedną funkcję termodynamiczną - entalpię. Równanie (2.14) podobnie jak równania (2.10) i (2.11) wymaga określenia warunków na brzegu rozpatrywanego obszaru, aby wyznaczyć warunki panujące wewnątrz niego. Jak była mowa, można wyróżnić dwa typy brzegów : brzeg przez który możliwa jest jedynie wymiana ciepła brzeg przez który następuje przepływ gazu wraz z zawartą w nim energią wszystkich rodzajów Na brzegu pierwszego typu wymianę ciepła wyraża się następującym związkiem: Z ( ) Φ n ds = α T T ds (2.15) gdzie: α współczynnik wymiany cieplnej T z temperatura w ośrodku sąsiadującym T temperatura gazu Dla brzegu drugiego typu przepływy energii określa się na podstawie równań ruchu. Z z 18

20 Równanie oporu przepływu przez kolumnę rur Równanie (2.11) z podstawieniem (2.12) wymaga określenia tensora naprężeń stycznych. Pojawiają się one tam, gdzie przepływ gazu osiąga dużą prędkość, czyli praktycznie rzecz biorąc wyłącznie w kolumnie rur. Zagadnienie można sprowadzić do określenia oporów przepływu przez tę kolumnę. Z różnych form opisu, najpraktyczniejsza jest formuła Darcy'ego, formalnie poprawna dla przepływu ustalonego, stosowana w praktyce także dla przepływu ciągłego, bez skoków prędkości. Wiąże ona opór lepki (naprężenia styczne) ze średnią prędkością przepływu i geometrią: v $Λ n ds = v Z L 8 λ π D ρ v 2 dl (2.16) gdzie: ρ gęstość solanki Λˆ tensor naprężeń stycznych w gazie λ bezwymiarowy współczynnik oporu v średnia w przekroju prędkość przepływu v = v D średnica hydrauliczna rury Z powierzchnia boczna rozpatrywanego odcinka rury (do całki po tej powierzchni redukuje się całka po powierzchni zamkniętej, gdyż na przekrojach poprzecznych rury nie pojawiają się naprężenia styczne) L długość wycinka przepływu, tzn. rozpatrywanego odcinka rury n wektor jednostkowy, normalny do powierzchni Z, skierowany zewnątrz ds, dl elementy całkowania po powierzchni i po długości rury. 19

21 2.2. Wymiana ciepła pomiędzy gazem a górotworem Wymianę ciepła między gazem a górotworem opisuje równanie: Z ( T T ) λ T n ds= α ds (2.31) gdzie: T g temperatura górotworu T k temperatura wewnątrz kawerny Z dowolny fragment powierzchni brzegowej zbiornika α współczynnik wymiany cieplnej g g Z k g Kawernę trudno traktować jako naczynie kuliste, czy walcowe, jej powierzchnia boczna jest znacznie większa, niż kuli o analogicznej objętości, czy regularnego walca. Kształty kawern w większości przypadków wykazują znaczne nieregularności, dlatego współczynnik α wyznaczony teoretycznie należy traktować raczej jako ograniczenie od dołu, a właściwą wartość dobrać modelując przebieg rzeczywistej eksploatacji kawerny magazynowej, metodą prób i błędów, jako punkt wyjścia przyjmując wartość półtora dwukrotnie większą, zależnie od nieregularności kawerny. Na szczęście, w wielu przypadkach praktycznych, niezbyt dokładna znajomość współczynnika wymiany cieplnej ma stosunkowo niewielki wpływ na temperaturę magazynowanego gazu. Przy stosunkowo wysokich współczynnikach α, powyżej 20 W/m 2 K, dopływ ciepła z górotworu zaczyna być limitowany głównie przez jego przewodnictwo cieplne. Inaczej przebiega wymiana ciepła w rząpiu kawerny, gdzie osiadają części nierozpuszczalne a przestrzeń pomiędzy nimi ( pory ) pozostaje wypełniona solanką. Również nad osadami, po pierwszym napełnieniu kawerny gazem, pozostaje parę metrów solanki rezydualnej (Urbańczyk i in. 2011). 20

Materiały pomocnicze do laboratorium z przedmiotu Metody i Narzędzia Symulacji Komputerowej

Materiały pomocnicze do laboratorium z przedmiotu Metody i Narzędzia Symulacji Komputerowej Materiały pomocnicze do laboratorium z przedmiotu Metody i Narzędzia Symulacji Komputerowej w Systemach Technicznych Symulacja prosta dyszy pomiarowej Bendemanna Opracował: dr inż. Andrzej J. Zmysłowski

Bardziej szczegółowo

1. PODSTAWY TEORETYCZNE

1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały opisane bardziej szczegółowo w innych

Bardziej szczegółowo

Projekt Inżynier mechanik zawód z przyszłością współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Inżynier mechanik zawód z przyszłością współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Zajęcia wyrównawcze z fizyki -Zestaw 4 -eoria ermodynamika Równanie stanu gazu doskonałego Izoprzemiany gazowe Energia wewnętrzna gazu doskonałego Praca i ciepło w przemianach gazowych Silniki cieplne

Bardziej szczegółowo

Metoda elementów skończonych

Metoda elementów skończonych Metoda elementów skończonych Wraz z rozwojem elektronicznych maszyn obliczeniowych jakimi są komputery zaczęły pojawiać się różne numeryczne metody do obliczeń wytrzymałości różnych konstrukcji. Jedną

Bardziej szczegółowo

BADANIE WYMIENNIKA CIEPŁA TYPU RURA W RURZE

BADANIE WYMIENNIKA CIEPŁA TYPU RURA W RURZE BDNIE WYMIENNIK CIEPŁ TYPU RUR W RURZE. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie z konstrukcją, metodyką obliczeń cieplnych oraz poznanie procesu przenikania ciepła w rurowych wymiennikach ciepła..

Bardziej szczegółowo

Instrukcja stanowiskowa

Instrukcja stanowiskowa POLITECHNIKA WARSZAWSKA Wydział Budownictwa, Mechaniki i Petrochemii Instytut Inżynierii Mechanicznej w Płocku Zakład Aparatury Przemysłowej LABORATORIUM WYMIANY CIEPŁA I MASY Instrukcja stanowiskowa Temat:

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 2 TERMODYNAMIKA. Termodynamika opiera się na czterech obserwacjach fenomenologicznych zwanych zasadami

WYKŁAD 2 TERMODYNAMIKA. Termodynamika opiera się na czterech obserwacjach fenomenologicznych zwanych zasadami WYKŁAD 2 TERMODYNAMIKA Termodynamika opiera się na czterech obserwacjach fenomenologicznych zwanych zasadami Zasada zerowa Kiedy obiekt gorący znajduje się w kontakcie cieplnym z obiektem zimnym następuje

Bardziej szczegółowo

FLAC Fast Lagrangian Analysis of Continua. Marek Cała Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki

FLAC Fast Lagrangian Analysis of Continua. Marek Cała Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki FLAC Fast Lagrangian Analysis of Continua Program FLAC jest oparty o metodę różnic skończonych. Metoda Różnic Skończonych (MRS) jest chyba najstarszą metodą numeryczną. W metodzie tej każda pochodna w

Bardziej szczegółowo

OBLICZENIA SILNIKA TURBINOWEGO ODRZUTOWEGO (SILNIK IDEALNY) PRACA W WARUNKACH STATYCZNYCH

OBLICZENIA SILNIKA TURBINOWEGO ODRZUTOWEGO (SILNIK IDEALNY) PRACA W WARUNKACH STATYCZNYCH OBLICZENIA SILNIKA TURBINOWEGO ODRZUTOWEGO (SILNIK IDEALNY) PRACA W WARUNKACH STATYCZNYCH DANE WEJŚCIOWE : Parametry otoczenia p H, T H Spręż sprężarki π S, Temperatura gazów przed turbiną T 3 Model obliczeń

Bardziej szczegółowo

Nieustalony wypływ cieczy ze zbiornika przewodami o różnej średnicy i długości

Nieustalony wypływ cieczy ze zbiornika przewodami o różnej średnicy i długości LABORATORIUM MECHANIKI PŁYNÓW Nieustalony wypływ cieczy ze zbiornika przewodami o różnej średnicy i długości dr inż. Jerzy Wiejacha ZAKŁAD APARATURY PRZEMYSŁOWEJ POLITECHNIKA WARSZAWSKA, WYDZ. BMiP, PŁOCK

Bardziej szczegółowo

Wyboczenie ściskanego pręta

Wyboczenie ściskanego pręta Wszelkie prawa zastrzeżone Mechanika i wytrzymałość materiałów - instrukcja do ćwiczenia laboratoryjnego: 1. Wstęp Wyboczenie ściskanego pręta oprac. dr inż. Ludomir J. Jankowski Zagadnienie wyboczenia

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie współczynnika przenikania ciepła dla przegrody płaskiej

Wyznaczanie współczynnika przenikania ciepła dla przegrody płaskiej Katedra Silników Spalinowych i Pojazdów ATH ZAKŁAD TERMODYNAMIKI Wyznaczanie współczynnika przenikania ciepła dla przegrody płaskiej - - Wstęp teoretyczny Jednym ze sposobów wymiany ciepła jest przewodzenie.

Bardziej szczegółowo

Tadeusz Lesiak. Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii

Tadeusz Lesiak. Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii Mechanika klasyczna Tadeusz Lesiak Wykład nr 4 Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii Energia i praca T. Lesiak Mechanika klasyczna 2 Praca Praca (W) wykonana przez stałą

Bardziej szczegółowo

PROJEKT METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH

PROJEKT METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH POLITECHNIKA POZNAŃSKA PROJEKT METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH Prowadzący: dr hab. Tomasz Stręk Wykonali: Kajetan Wilczyński Maciej Zybała Gabriel Pihan Wydział Budowy Maszyn i Zarządzania Mechanika i Budowa

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 3: Wyznaczanie gęstości pozornej i porowatości złoża, przepływ gazu przez złoże suche, opory przepływu.

Ćwiczenie 3: Wyznaczanie gęstości pozornej i porowatości złoża, przepływ gazu przez złoże suche, opory przepływu. 1. Część teoretyczna Przepływ jednofazowy przez złoże nieruchome i ruchome Przepływ płynu przez warstwę luźno usypanego złoża występuje w wielu aparatach, np. w kolumnie absorpcyjnej, rektyfikacyjnej,

Bardziej szczegółowo

17. 17. Modele materiałów

17. 17. Modele materiałów 7. MODELE MATERIAŁÓW 7. 7. Modele materiałów 7.. Wprowadzenie Podstawowym modelem w mechanice jest model ośrodka ciągłego. Przyjmuje się, że materia wypełnia przestrzeń w sposób ciągły. Możliwe jest wyznaczenie

Bardziej szczegółowo

Badania właściwości dynamicznych sieci gazowej z wykorzystaniem pakietu SimNet TSGas 3

Badania właściwości dynamicznych sieci gazowej z wykorzystaniem pakietu SimNet TSGas 3 Andrzej J. Osiadacz Maciej Chaczykowski Łukasz Kotyński Badania właściwości dynamicznych sieci gazowej z wykorzystaniem pakietu SimNet TSGas 3 Andrzej J. Osiadacz, Maciej Chaczykowski, Łukasz Kotyński,

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA PŁYNÓW LABORATORIUM

MECHANIKA PŁYNÓW LABORATORIUM MECANIKA PŁYNÓW LABORATORIUM Ćwiczenie nr 4 Współpraca pompy z układem przewodów. Celem ćwiczenia jest sporządzenie charakterystyki pojedynczej pompy wirowej współpracującej z układem przewodów, przy różnych

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA ŚLĄSKA W GLIWICACH Wydział Mechaniczny Technologiczny PRACA DYPLOMOWA MAGISTERSKA

POLITECHNIKA ŚLĄSKA W GLIWICACH Wydział Mechaniczny Technologiczny PRACA DYPLOMOWA MAGISTERSKA POLITECHNIKA ŚLĄSKA W GLIWICACH Wydział Mechaniczny Technologiczny PRACA DYPLOMOWA MAGISTERSKA Wykorzystanie pakietu MARC/MENTAT do modelowania naprężeń cieplnych Spis treści Pole temperatury Przykład

Bardziej szczegółowo

pętla nastrzykowa gaz nośny

pętla nastrzykowa gaz nośny METODA POPRAWY PRECYZJI ANALIZ CHROMATOGRAFICZNYCH GAZÓW ZIEMNYCH POPRZEZ KONTROLOWANY SPOSÓB WPROWADZANIA PRÓBKI NA ANALIZATOR W WARUNKACH BAROSTATYCZNYCH Pracownia Pomiarów Fizykochemicznych (PFC), Centralne

Bardziej szczegółowo

Sieci obliczeniowe poprawny dobór i modelowanie

Sieci obliczeniowe poprawny dobór i modelowanie Sieci obliczeniowe poprawny dobór i modelowanie 1. Wstęp. Jednym z pierwszych, a zarazem najważniejszym krokiem podczas tworzenia symulacji CFD jest poprawne określenie rozdzielczości, wymiarów oraz ilości

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie współczynnika sprężystości sprężyn i ich układów

Wyznaczanie współczynnika sprężystości sprężyn i ich układów Ćwiczenie 63 Wyznaczanie współczynnika sprężystości sprężyn i ich układów 63.1. Zasada ćwiczenia W ćwiczeniu określa się współczynnik sprężystości pojedynczych sprężyn i ich układów, mierząc wydłużenie

Bardziej szczegółowo

ANALIZA ROZDRABNIANIA WARSTWOWEGO NA PODSTAWIE EFEKTÓW ROZDRABNIANIA POJEDYNCZYCH ZIAREN

ANALIZA ROZDRABNIANIA WARSTWOWEGO NA PODSTAWIE EFEKTÓW ROZDRABNIANIA POJEDYNCZYCH ZIAREN Akademia Górniczo Hutnicza im. Stanisława Staszica Wydział Górnictwa i Geoinżynierii Katedra Inżynierii Środowiska i Przeróbki Surowców Rozprawa doktorska ANALIZA ROZDRABNIANIA WARSTWOWEGO NA PODSTAWIE

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ LABORATORIUM FIZYCZNE

WYDZIAŁ LABORATORIUM FIZYCZNE 1 W S E i Z W WARSZAWIE WYDZIAŁ LABORATORIUM FIZYCZNE Ćwiczenie Nr 3 Temat: WYZNACZNIE WSPÓŁCZYNNIKA LEPKOŚCI METODĄ STOKESA Warszawa 2009 2 1. Podstawy fizyczne Zarówno przy przepływach płynów (ciecze

Bardziej szczegółowo

Projektowanie elementów z tworzyw sztucznych

Projektowanie elementów z tworzyw sztucznych Projektowanie elementów z tworzyw sztucznych Wykorzystanie technik komputerowych w projektowaniu elementów z tworzyw sztucznych Tematyka wykładu Techniki komputerowe, Problemy występujące przy konstruowaniu

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA GDAŃSKA WYDZIAŁ MECHANICZNY

POLITECHNIKA GDAŃSKA WYDZIAŁ MECHANICZNY POLITECHNIKA GDAŃSKA WYDZIAŁ MECHANICZNY AUTOMATYKA CHŁODNICZA TEMAT: Racje techniczne wykorzystania rurki kapilarnej lub dyszy w małych urządzeniach chłodniczych i sprężarkowych pompach ciepła Mateusz

Bardziej szczegółowo

Warunki izochoryczno-izotermiczne

Warunki izochoryczno-izotermiczne WYKŁAD 5 Pojęcie potencjału chemicznego. Układy jednoskładnikowe W zależności od warunków termodynamicznych potencjał chemiczny substancji czystej definiujemy następująco: Warunki izobaryczno-izotermiczne

Bardziej szczegółowo

Nauka o Materiałach. Wykład XI. Właściwości cieplne. Jerzy Lis

Nauka o Materiałach. Wykład XI. Właściwości cieplne. Jerzy Lis Nauka o Materiałach Wykład XI Właściwości cieplne Jerzy Lis Nauka o Materiałach Treść wykładu: 1. Stabilność termiczna materiałów 2. Pełzanie wysokotemperaturowe 3. Przewodnictwo cieplne 4. Rozszerzalność

Bardziej szczegółowo

METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH

METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH Politechnika Poznańska Wydział Budowy Maszyn i Zarządzania Kierunek: Mechanika i Budowa Maszyn Studia stacjonarne I stopnia PROJEKT ZALICZENIOWY METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH Krystian Gralak Jarosław Więckowski

Bardziej szczegółowo

Płyny newtonowskie (1.1.1) RYS. 1.1

Płyny newtonowskie (1.1.1) RYS. 1.1 Miniskrypt: Płyny newtonowskie Analizujemy cienką warstwę płynu zawartą pomiędzy dwoma równoległymi płaszczyznami, które są odległe o siebie o Y (rys. 1.1). W warunkach ustalonych następuje ścinanie w

Bardziej szczegółowo

4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ

4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 1 4. 4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 4.1. Elementy trójkątne Do opisywania dwuwymiarowego kontinuum jako jeden z pierwszych elementów

Bardziej szczegółowo

PROJEKT METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH

PROJEKT METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH PROJEKT METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH z wykorzystaniem programu COMSOL Multiphysics 3.4 Prowadzący: Dr hab. prof. Tomasz Stręk Wykonali: Nieścioruk Maciej Piszczygłowa Mateusz MiBM IME rok IV sem.7 Spis

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 Obszar określoności równania Jeżeli występująca w równaniu y' f ( x, y) funkcja f jest ciągła, to równanie posiada rozwiązanie. Jeżeli f jest nieokreślona w punkcie (x 0,

Bardziej szczegółowo

Politechnika Poznańska

Politechnika Poznańska Politechnika Poznańska Metoda Elementów Skończonych-Projekt Prowadzący: Dr hab. Tomasz Stręk prof. nadzw. Wykonali : Grzegorz Paprzycki Grzegorz Krawiec Wydział: BMiZ Kierunek: MiBM Specjalność: KMiU Spis

Bardziej szczegółowo

Zastosowania Równania Bernoullego - zadania

Zastosowania Równania Bernoullego - zadania Zadanie 1 Przez zwężkę o średnicy D = 0,2 m, d = 0,05 m przepływa woda o temperaturze t = 50 C. Obliczyć jakie ciśnienie musi panować w przekroju 1-1, aby w przekroju 2-2 nie wystąpiło zjawisko kawitacji,

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA LEPKOŚCI CIECZY NA PODSTAWIE PRAWA STOKESA

WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA LEPKOŚCI CIECZY NA PODSTAWIE PRAWA STOKESA ĆWICZENIE 8 WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA LEPKOŚCI CIECZY NA PODSTAWIE PRAWA STOKESA Cel ćwiczenia: Badanie ruchu ciał spadających w ośrodku ciekłym, wyznaczenie współczynnika lepkości cieczy metodą Stokesa

Bardziej szczegółowo

pt.: KOMPUTEROWE WSPOMAGANIE PROCESÓW OBRÓBKI PLASTYCZNEJ

pt.: KOMPUTEROWE WSPOMAGANIE PROCESÓW OBRÓBKI PLASTYCZNEJ Ćwiczenie audytoryjne pt.: KOMPUTEROWE WSPOMAGANIE PROCESÓW OBRÓBKI PLASTYCZNEJ Autor: dr inż. Radosław Łyszkowski Warszawa, 2013r. Metoda elementów skończonych MES FEM - Finite Element Method przybliżona

Bardziej szczegółowo

DRUGA ZASADA TERMODYNAMIKI

DRUGA ZASADA TERMODYNAMIKI DRUGA ZASADA TERMODYNAMIKI Procesy odwracalne i nieodwracalne termodynamicznie, samorzutne i niesamorzutne Proces nazywamy termodynamicznie odwracalnym, jeśli bez spowodowania zmian w otoczeniu możliwy

Bardziej szczegółowo

Prawa gazowe- Tomasz Żabierek

Prawa gazowe- Tomasz Żabierek Prawa gazowe- Tomasz Żabierek Zachowanie gazów czystych i mieszanin tlenowo azotowych w zakresie użytecznych ciśnień i temperatur można dla większości przypadków z wystarczającą dokładnością opisywać równaniem

Bardziej szczegółowo

Metoda Elementów Skończonych

Metoda Elementów Skończonych Projekt Metoda Elementów Skończonych w programie COMSOL Multiphysics 3.4 Wykonali: Dziamski Dawid Krajcarz Jan BMiZ, MiBM, TPM, VII, 2012-2013 Prowadzący: dr hab. inż. Tomasz Stręk Spis treści 1. Analiza

Bardziej szczegółowo

METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH.

METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH. METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH. W programie COMSOL multiphisics 3.4 Wykonali: Łatas Szymon Łakomy Piotr Wydzał, Kierunek, Specjalizacja, Semestr, Rok BMiZ, MiBM, TPM, VII, 2011 / 2012 Prowadzący: Dr hab.inż.

Bardziej szczegółowo

ZMIANA PARAMETRÓW TERMODYNAMICZNYCH POWIETRZA W PAROWNIKU CHŁODZIARKI GÓRNICZEJ Z CZYNNIKIEM R407C***

ZMIANA PARAMETRÓW TERMODYNAMICZNYCH POWIETRZA W PAROWNIKU CHŁODZIARKI GÓRNICZEJ Z CZYNNIKIEM R407C*** Górnictwo i Geoinżynieria Rok 30 Zeszyt 1 2006 Krzysztof Filek*, Piotr Łuska**, Bernard Nowak* ZMIANA PARAMETRÓW TERMODYNAMICZNYCH POWIETRZA W PAROWNIKU CHŁODZIARKI GÓRNICZEJ Z CZYNNIKIEM R407C*** 1. Wstęp

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 15 BADANIE WZMACNIACZY MOCY MAŁEJ CZĘSTOTLIWOŚCI

ĆWICZENIE 15 BADANIE WZMACNIACZY MOCY MAŁEJ CZĘSTOTLIWOŚCI 1 ĆWICZENIE 15 BADANIE WZMACNIACZY MOCY MAŁEJ CZĘSTOTLIWOŚCI 15.1. CEL ĆWICZENIA Celem ćwiczenia jest poznanie podstawowych właściwości wzmacniaczy mocy małej częstotliwości oraz przyswojenie umiejętności

Bardziej szczegółowo

POMIAR NATĘŻENIA PRZEPŁYWU

POMIAR NATĘŻENIA PRZEPŁYWU POMIAR NATĘŻENIA PRZEPŁYWU Określenie ilości płynu (objętościowego lub masowego natężenia przepływu) jeden z najpowszechniejszych rodzajów pomiaru w gospodarce przemysłowej produkcja światowa w 1979 ropa

Bardziej szczegółowo

4. SPRZĘGŁA HYDRAULICZNE

4. SPRZĘGŁA HYDRAULICZNE 4. SPRZĘGŁA HYDRAULICZNE WYTYCZNE PROJEKTOWE www.immergas.com.pl 26 SPRZĘGŁA HYDRAULICZNE 4. SPRZĘGŁO HYDRAULICZNE - ZASADA DZIAŁANIA, METODA DOBORU NOWOCZESNE SYSTEMY GRZEWCZE Przekazywana moc Czynnik

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 2 Numeryczna symulacja swobodnego spadku ciała w ośrodku lepkim (Instrukcja obsługi interfejsu użytkownika)

Ćwiczenie 2 Numeryczna symulacja swobodnego spadku ciała w ośrodku lepkim (Instrukcja obsługi interfejsu użytkownika) Ćwiczenie 2 Numeryczna symulacja swobodnego spadku ciała w ośrodku lepkim (Instrukcja obsługi interfejsu użytkownika) 1 1 Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest rozwiązanie równań ruchu ciała (kuli) w ośrodku

Bardziej szczegółowo

Janusz Kośmider. Zjawiska przepływowe w odwiertach naftowych

Janusz Kośmider. Zjawiska przepływowe w odwiertach naftowych Janusz Kośmider Zjawiska przepływowe w odwiertach naftowych Zielona Góra 2010 Spis treści Słowo wstępne..................................... 5 1. Dopływ płynów złożowych do odwiertów...................

Bardziej szczegółowo

Geomechanika element projektowania podziemnych magazynów i składowisk odpadów

Geomechanika element projektowania podziemnych magazynów i składowisk odpadów Geomechanika element projektowania podziemnych magazynów i składowisk odpadów 1. Kilka słów o podziemnym magazynowaniu Podziemne magazynowanie Bezzbiornikowe magazynowanie niektórych gazów, ropy naftowej

Bardziej szczegółowo

Materiały do laboratorium Przygotowanie Nowego Wyrobu dotyczące metody elementów skończonych (MES) Opracowała: dr inŝ.

Materiały do laboratorium Przygotowanie Nowego Wyrobu dotyczące metody elementów skończonych (MES) Opracowała: dr inŝ. Materiały do laboratorium Przygotowanie Nowego Wyrobu dotyczące metody elementów skończonych (MES) Opracowała: dr inŝ. Jolanta Zimmerman 1. Wprowadzenie do metody elementów skończonych Działanie rzeczywistych

Bardziej szczegółowo

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM TERMODYNAMIKI I TECHNIKI CIEPLNEJ. Badanie charakterystyki wentylatorów połączenie równoległe i szeregowe. dr inż.

LABORATORIUM TERMODYNAMIKI I TECHNIKI CIEPLNEJ. Badanie charakterystyki wentylatorów połączenie równoległe i szeregowe. dr inż. LABORATORIUM TERMODYNAMIKI I TECHNIKI CIEPLNEJ Badanie charakterystyki wentylatorów połączenie równoległe i szeregowe. dr inż. Jerzy Wiejacha ZAKŁAD APARATURY PRZEMYSŁOWEJ POLITECHNIKA WARSZAWSKA WYDZIAŁ

Bardziej szczegółowo

ZAGROŻENIA NATURALNE W OTWOROWYCH ZAKŁADACH GÓRNICZYCH

ZAGROŻENIA NATURALNE W OTWOROWYCH ZAKŁADACH GÓRNICZYCH ZAGROŻENIA NATURALNE W OTWOROWYCH ZAKŁADACH GÓRNICZYCH. ZAGROŻENIE ERUPCYJNE Zagrożenie erupcyjne - możliwość wystąpienia zagrożenia wywołanego erupcją wiertniczą rozumianą jako przypływ płynu złożowego

Bardziej szczegółowo

RHEOTEST Medingen Reometr RHEOTEST RN - Artykuły farmaceutyczne i kosmetyczne.

RHEOTEST Medingen Reometr RHEOTEST RN - Artykuły farmaceutyczne i kosmetyczne. RHEOTEST Medingen Reometr RHEOTEST RN - Artykuły farmaceutyczne i kosmetyczne. Zadania pomiarowe w pracach badawczo-rozwojowych Głównym przedmiotem zainteresowań farmacji i kosmetyki w tym zakresie są

Bardziej szczegółowo

Politechnika Białostocka INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH

Politechnika Białostocka INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Politechnika Białostocka Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Temat ćwiczenia: Zwykła próba rozciągania stali Numer ćwiczenia: 1 Laboratorium z przedmiotu:

Bardziej szczegółowo

Badania właściwości zmęczeniowych bimetalu stal S355J2- tytan Grade 1

Badania właściwości zmęczeniowych bimetalu stal S355J2- tytan Grade 1 Badania właściwości zmęczeniowych bimetalu stal S355J2- tytan Grade 1 ALEKSANDER KAROLCZUK a) MATEUSZ KOWALSKI a) a) Wydział Mechaniczny Politechniki Opolskiej, Opole 1 I. Wprowadzenie 1. Technologia zgrzewania

Bardziej szczegółowo

Politechnika Poznańska

Politechnika Poznańska Politechnika Poznańska Wydział Budowy Maszyn i Zarządzania Mechanika i Budowa Maszyn Grupa M2 Semestr V Metoda Elementów Skończonych prowadzący: dr hab. T. Stręk, prof. nadzw. wykonawcy: Grzegorz Geisler

Bardziej szczegółowo

ul. 28 Czerwca 1956 r., 398, Poznań tel. (61) , fax (061) ,

ul. 28 Czerwca 1956 r., 398, Poznań tel. (61) , fax (061) , Poznań, dn. 22 lipca 2013r. Charakterystyka wydajności cieplnej gruntu dla inwestycji w Szarocinie k. Kamiennej Góry na podstawie danych literaturowych oraz wykonanych robót geologicznych. Wykonawca: MDW

Bardziej szczegółowo

Badania wentylatora. Politechnika Lubelska. Katedra Termodynamiki, Mechaniki Płynów. i Napędów Lotniczych. Instrukcja laboratoryjna

Badania wentylatora. Politechnika Lubelska. Katedra Termodynamiki, Mechaniki Płynów. i Napędów Lotniczych. Instrukcja laboratoryjna Politechnika Lubelska i Napędów Lotniczych Instrukcja laboratoryjna Badania wentylatora /. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie z budową i metodami badań podstawowych typów wentylatorów. II. Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

11. PRZEBIEG OBRÓBKI CIEPLNEJ PREFABRYKATÓW BETONOWYCH

11. PRZEBIEG OBRÓBKI CIEPLNEJ PREFABRYKATÓW BETONOWYCH 11. Przebieg obróbki cieplnej prefabrykatów betonowych 1 11. PRZEBIEG OBRÓBKI CIEPLNEJ PREFABRYKATÓW BETONOWYCH 11.1. Schemat obróbki cieplnej betonu i konsekwencje z niego wynikające W rozdziale 6 wskazano

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH

MECHANIKA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH dr inż. Robert Szmit Przedmiot: MECHANIKA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH WYKŁAD nr Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie Katedra Geotechniki i Mechaniki Budowli Opis stanu odkształcenia i naprężenia powłoki

Bardziej szczegółowo

Czym jest prąd elektryczny

Czym jest prąd elektryczny Prąd elektryczny Ruch elektronów w przewodniku Wektor gęstości prądu Przewodność elektryczna Prawo Ohma Klasyczny model przewodnictwa w metalach Zależność przewodności/oporności od temperatury dla metali,

Bardziej szczegółowo

KOMPENDIUM WIEDZY. Opracowanie: BuildDesk Polska CHARAKTERYSTYKA ENERGETYCZNA BUDYNKÓW I ŚWIADECTWA ENERGETYCZNE NOWE PRZEPISY.

KOMPENDIUM WIEDZY. Opracowanie: BuildDesk Polska CHARAKTERYSTYKA ENERGETYCZNA BUDYNKÓW I ŚWIADECTWA ENERGETYCZNE NOWE PRZEPISY. Sprawdzanie warunków cieplno-wilgotnościowych projektowanych przegród budowlanych (wymagania formalne oraz narzędzie: BuildDesk Energy Certificate PRO) Opracowanie: BuildDesk Polska Nowe Warunki Techniczne

Bardziej szczegółowo

Stateczność ramy - wersja komputerowa

Stateczność ramy - wersja komputerowa Stateczność ramy - wersja komputerowa Cel ćwiczenia : - Obliczenie wartości obciążenia krytycznego i narysowanie postaci wyboczenia. utraty stateczności - Obliczenie przemieszczenia i sił przekrojowych

Bardziej szczegółowo

Filtracja - zadania. Notatki w Internecie Podstawy mechaniki płynów materiały do ćwiczeń

Filtracja - zadania. Notatki w Internecie Podstawy mechaniki płynów materiały do ćwiczeń Zadanie 1 W urządzeniu do wyznaczania wartości współczynnika filtracji o powierzchni przekroju A = 0,4 m 2 umieszczono próbkę gruntu. Różnica poziomów h wody w piezometrach odległych o L = 1 m wynosi 0,1

Bardziej szczegółowo

Wykład FIZYKA I. 5. Energia, praca, moc. http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Wykład FIZYKA I. 5. Energia, praca, moc. http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Wykład FIZYKA I 5. Energia, praca, moc Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html ENERGIA, PRACA, MOC Siła to wielkość

Bardziej szczegółowo

ZADANIA Z CHEMII Efekty energetyczne reakcji chemicznej - prawo Hessa

ZADANIA Z CHEMII Efekty energetyczne reakcji chemicznej - prawo Hessa Prawo zachowania energii: ZADANIA Z CHEMII Efekty energetyczne reakcji chemicznej - prawo Hessa Ogólny zasób energii jest niezmienny. Jeżeli zwiększa się zasób energii wybranego układu, to wyłącznie kosztem

Bardziej szczegółowo

Przegląd termodynamiki II

Przegląd termodynamiki II Wykład II Mechanika statystyczna 1 Przegląd termodynamiki II W poprzednim wykładzie po wprowadzeniu podstawowych pojęć i wielkości, omówione zostały pierwsza i druga zasada termodynamiki. Tutaj wykorzystamy

Bardziej szczegółowo

LIV OLIMPIADA FIZYCZNA 2004/2005 Zawody II stopnia

LIV OLIMPIADA FIZYCZNA 2004/2005 Zawody II stopnia LIV OLIMPIADA FIZYCZNA 004/005 Zawody II stopnia Zadanie doświadczalne Masz do dyspozycji: cienki drut z niemagnetycznego metalu, silny magnes stały, ciężarek o masie m=(100,0±0,5) g, statyw, pręty stalowe,

Bardziej szczegółowo

METODA SIŁ KRATOWNICA

METODA SIŁ KRATOWNICA Część. METDA SIŁ - RATWNICA.. METDA SIŁ RATWNICA Sposób rozwiązywania kratownic statycznie niewyznaczalnych metodą sił omówimy rozwiązują przykład liczbowy. Zadanie Dla kratownicy przedstawionej na rys..

Bardziej szczegółowo

1. Wprowadzenie: dt q = - λ dx. q = lim F

1. Wprowadzenie: dt q = - λ dx. q = lim F PAŃSTWOWA WYŻSZA SZKOŁA ZAWODOWA W PILE INSTYTUT POLITECHNICZNY Zakład Budowy i Eksploatacji Maszyn PRACOWNIA TERMODYNAMIKI TECHNICZNEJ INSTRUKCJA Temat ćwiczenia: WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA PRZEWODNOŚCI

Bardziej szczegółowo

Politechnika Poznańska Wydział Budowy Maszyn i Zarządzania

Politechnika Poznańska Wydział Budowy Maszyn i Zarządzania Politechnika Poznańska Wydział Budowy Maszyn i Zarządzania Kierunek : Mechanika i Budowa Maszyn Profil dyplomowania : Inżynieria mechaniczna Studia stacjonarne I stopnia PROJEKT ZALICZENIOWY METODA ELEMENTÓW

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do Techniki. Materiały pomocnicze do projektowania z przedmiotu: Ćwiczenie nr 2 Przykład obliczenia

Wprowadzenie do Techniki. Materiały pomocnicze do projektowania z przedmiotu: Ćwiczenie nr 2 Przykład obliczenia Materiały pomocnicze do projektowania z przedmiotu: Wprowadzenie do Techniki Ćwiczenie nr 2 Przykład obliczenia Opracował: dr inż. Andrzej J. Zmysłowski Katedra Podstaw Systemów Technicznych Wydział Organizacji

Bardziej szczegółowo

10.3. Typowe zadania NMT W niniejszym rozdziale przedstawimy podstawowe zadania do jakich może być wykorzystany numerycznego modelu terenu.

10.3. Typowe zadania NMT W niniejszym rozdziale przedstawimy podstawowe zadania do jakich może być wykorzystany numerycznego modelu terenu. Waldemar Izdebski - Wykłady z przedmiotu SIT 91 10.3. Typowe zadania NMT W niniejszym rozdziale przedstawimy podstawowe zadania do jakich może być wykorzystany numerycznego modelu terenu. 10.3.1. Wyznaczanie

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE STOSUNKU c p /c v

WYZNACZANIE STOSUNKU c p /c v Uniwersytet Wrocławski, Instytut Fizyki Doświadczalnej, I Pracownia Ćwiczenie nr 33 WYZNACZANIE STOSUNKU c p /c v I WSTĘP Układ termodynamiczny Rozważania dotyczące przekazywania energii poprzez wykonywanie

Bardziej szczegółowo

DRGANIA ELEMENTÓW KONSTRUKCJI

DRGANIA ELEMENTÓW KONSTRUKCJI DRGANIA ELEMENTÓW KONSTRUKCJI (Wprowadzenie) Drgania elementów konstrukcji (prętów, wałów, belek) jak i całych konstrukcji należą do ważnych zagadnień dynamiki konstrukcji Przyczyna: nawet niewielkie drgania

Bardziej szczegółowo

DYNAMIKA KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH

DYNAMIKA KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH DYNAMIKA KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH Roman Lewandowski Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej, Poznań 2006 Książka jest przeznaczona dla studentów wydziałów budownictwa oraz inżynierów budowlanych zainteresowanych

Bardziej szczegółowo

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego 5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =

Bardziej szczegółowo

PRZEPISY PUBLIKACJA NR 19/P ANALIZA STREFOWEJ WYTRZYMAŁOŚCI KADŁUBA ZBIORNIKOWCA

PRZEPISY PUBLIKACJA NR 19/P ANALIZA STREFOWEJ WYTRZYMAŁOŚCI KADŁUBA ZBIORNIKOWCA PRZEPISY PUBLIKACJA NR 19/P ANALIZA STREFOWEJ WYTRZYMAŁOŚCI KADŁUBA ZBIORNIKOWCA 2010 Publikacje P (Przepisowe) wydawane przez Polski Rejestr Statków są uzupełnieniem lub rozszerzeniem Przepisów i stanowią

Bardziej szczegółowo

Jarosław ŚLIZOWSKI, Leszek LANKOF, Karolina WOJTUSZEWSKA Instytut Gospodarki Surowcami Mineralnymi i Energią PAN, Kraków

Jarosław ŚLIZOWSKI, Leszek LANKOF, Karolina WOJTUSZEWSKA Instytut Gospodarki Surowcami Mineralnymi i Energią PAN, Kraków Materiały Warsztatów str. 423 431 Jarosław ŚLIZOWSKI, Leszek LANKOF, Karolina WOJTUSZEWSKA Instytut Gospodarki Surowcami Mineralnymi i Energią PAN, Kraków Geomechaniczna ocena optymalnej głębokości komór

Bardziej szczegółowo

J. Szantyr - Wykład 3 Równowaga płynu

J. Szantyr - Wykład 3 Równowaga płynu J. Szantyr - Wykład 3 Równowaga płynu Siły wewnętrzne wzajemne oddziaływania elementów mas wydzielonego obszaru płynu, siły o charakterze powierzchniowym, znoszące się parami. Siły zewnętrzne wynik oddziaływania

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie sprawności diabatycznych instalacji CAES

Wyznaczanie sprawności diabatycznych instalacji CAES Politechnika Śląska w Gliwicach Instytut Maszyn i Urządzeń Energetycznych Wyznaczanie sprawności diabatycznych instalacji CAES Janusz KOTOWICZ Michał JURCZYK Rynek Gazu 2015 22-24 Czerwca 2015, Nałęczów

Bardziej szczegółowo

BADANIE PROCESU ROZDRABNIANIA MATERIAŁÓW ZIARNISTYCH 1/8 PROCESY MECHANICZNE I URZĄDZENIA. Ćwiczenie L6

BADANIE PROCESU ROZDRABNIANIA MATERIAŁÓW ZIARNISTYCH 1/8 PROCESY MECHANICZNE I URZĄDZENIA. Ćwiczenie L6 BADANIE PROCESU ROZDRABNIANIA MATERIAŁÓW ZIARNISTYCH /8 PROCESY MECHANICZNE I URZĄDZENIA Ćwiczenie L6 Temat: BADANIE PROCESU ROZDRABNIANIA MATERIAŁÓW ZIARNISTYCH Cel ćwiczenia: Poznanie metod pomiaru wielkości

Bardziej szczegółowo

W celu obliczenia charakterystyki częstotliwościowej zastosujemy wzór 1. charakterystyka amplitudowa 0,

W celu obliczenia charakterystyki częstotliwościowej zastosujemy wzór 1. charakterystyka amplitudowa 0, Bierne obwody RC. Filtr dolnoprzepustowy. Filtr dolnoprzepustowy jest układem przenoszącym sygnały o małej częstotliwości bez zmian, a powodującym tłumienie i opóźnienie fazy sygnałów o większych częstotliwościach.

Bardziej szczegółowo

Q t lub precyzyjniej w postaci różniczkowej. dq dt Jednostką natężenia prądu jest amper oznaczany przez A.

Q t lub precyzyjniej w postaci różniczkowej. dq dt Jednostką natężenia prądu jest amper oznaczany przez A. Prąd elektryczny Dotychczas zajmowaliśmy się zjawiskami związanymi z ładunkami spoczywającymi. Obecnie zajmiemy się zjawiskami zachodzącymi podczas uporządkowanego ruchu ładunków, który często nazywamy

Bardziej szczegółowo

Temodynamika Roztwór N 2 i Ar (gazów doskonałych) ma wykładnik adiabaty κ = 1.5. Określić molowe udziały składników. 1.7

Temodynamika Roztwór N 2 i Ar (gazów doskonałych) ma wykładnik adiabaty κ = 1.5. Określić molowe udziały składników. 1.7 Temodynamika Zadania 2016 0 Oblicz: 1 1.1 10 cm na stopy, 60 stóp na metry, 50 ft 2 na metry. 45 m 2 na ft 2 g 40 cm na uncję na stopę sześcienną, na uncję na cal sześcienny 3 60 g cm na funt na stopę

Bardziej szczegółowo

Przewód wydatkujący po drodze

Przewód wydatkujący po drodze Przewód wydatkujący po drodze Współczesne wodociągi, występujące w postaci mniej lub bardziej złożonych systemów obiektów służą do udostępniania wody o pożądanej jakości i w oczekiwanej ilości. Poszczególne

Bardziej szczegółowo

TERMODYNAMIKA I TERMOCHEMIA

TERMODYNAMIKA I TERMOCHEMIA TERMODYNAMIKA I TERMOCHEMIA Termodynamika - opisuje zmiany energii towarzyszące przemianom chemicznym; dział fizyki zajmujący się zjawiskami cieplnymi. Termochemia - dział chemii zajmujący się efektami

Bardziej szczegółowo

Badanie zależności temperatury wrzenia wody od ciśnienia

Badanie zależności temperatury wrzenia wody od ciśnienia Ćwiczenie C2 Badanie zależności temperatury wrzenia wody od ciśnienia C2.1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest pomiar zależności temperatury wrzenia wody od ciśnienia (poniżej ciśnienia atmosferycznego),

Bardziej szczegółowo

Pomiar rezystancji metodą techniczną

Pomiar rezystancji metodą techniczną Pomiar rezystancji metodą techniczną Cel ćwiczenia. Poznanie metod pomiarów rezystancji liniowych, optymalizowania warunków pomiaru oraz zasad obliczania błędów pomiarowych. Zagadnienia teoretyczne. Definicja

Bardziej szczegółowo

Zagadnienie transportowe (badania operacyjne) Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie

Zagadnienie transportowe (badania operacyjne) Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie Zagadnienie transportowe (badania operacyjne) Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie OPIS ZAGADNIENIA Zagadnienie transportowe służy głównie do obliczania najkorzystniejszego

Bardziej szczegółowo

Metoda Elementów Skończonych

Metoda Elementów Skończonych Politechnika Poznańska Wydział Budowy Maszyn i Zarządzania Mechanika i Budowa Maszyn Metoda Elementów Skończonych Projekt zaliczeniowy: Prowadzący: dr. hab. T. Stręk prof. nadz. Wykonał: Łukasz Dłużak

Bardziej szczegółowo

gazów lub cieczy, wywołanym bądź różnicą gęstości (różnicą temperatur), bądź przez wymuszenie czynnikami zewnętrznymi.

gazów lub cieczy, wywołanym bądź różnicą gęstości (różnicą temperatur), bądź przez wymuszenie czynnikami zewnętrznymi. WYMIANA (TRANSPORT) CIEPŁA Trzy podstawowe mechanizmy transportu ciepła (wymiany ciepła): 1. PRZEWODZENIIE - przekazywanie energii od jednej cząstki do drugiej, za pośrednictwem ruchu drgającego tych cząstek.

Bardziej szczegółowo

Politechnika Białostocka INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH

Politechnika Białostocka INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Politechnika Białostocka Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Temat ćwiczenia: Zwykła statyczna próba ściskania metali Numer ćwiczenia: 3 Laboratorium z przedmiotu:

Bardziej szczegółowo

METODYKA BADAŃ SOLI KAMIENNEJ W WARUNKACH KONWENCJONALNEGO TRÓJOSIOWEGO ŚCISKANIA DLA PROJEKTOWANIA PODZIEMNYCH MAGAZYNÓW**

METODYKA BADAŃ SOLI KAMIENNEJ W WARUNKACH KONWENCJONALNEGO TRÓJOSIOWEGO ŚCISKANIA DLA PROJEKTOWANIA PODZIEMNYCH MAGAZYNÓW** Górnictwo i Geoinżynieria Rok 31 Zeszyt 3/1 2007 Danuta Flisiak* METODYKA BADAŃ SOLI KAMIENNEJ W WARUNKACH KONWENCJONALNEGO TRÓJOSIOWEGO ŚCISKANIA DLA PROJEKTOWANIA PODZIEMNYCH MAGAZYNÓW** 1. Wstęp Specyficzna

Bardziej szczegółowo

KATEDRA APARATURY I MASZYNOZNAWSTWA CHEMICZNEGO Wydział Chemiczny POLITECHNIKA GDAŃSKA ul. G. Narutowicza 11/12 80-952 GDAŃSK

KATEDRA APARATURY I MASZYNOZNAWSTWA CHEMICZNEGO Wydział Chemiczny POLITECHNIKA GDAŃSKA ul. G. Narutowicza 11/12 80-952 GDAŃSK KATEDRA APARATURY I MASZYNOZNAWSTWA CHEMICZNEGO Wydział Chemiczny POLITECHNIKA GDAŃSKA ul. G. Narutowicza 11/12 80-952 GDAŃSK LABORATORIUM Z PROEKOLOGICZNYCH ŹRÓDEŁ ENERGII ODNAWIALNEJ 6. WYMIENNIK CIEPŁA

Bardziej szczegółowo

Instrukcja do laboratorium z fizyki budowli.

Instrukcja do laboratorium z fizyki budowli. Instrukcja do laboratorium z fizyki budowli. Ćwiczenie: Pomiar współczynnika przewodzenia ciepła materiałów budowlanych Strona 1 z 5 Cel ćwiczenia Prezentacja metod stacjonarnych i dynamicznych pomiaru

Bardziej szczegółowo

Akademickie Centrum Czystej Energii. Ogniwo paliwowe

Akademickie Centrum Czystej Energii. Ogniwo paliwowe Ogniwo paliwowe 1. Zagadnienia elektroliza, prawo Faraday a, pierwiastki galwaniczne, ogniwo paliwowe 2. Opis Główną częścią ogniwa paliwowego PEM (Proton Exchange Membrane) jest membrana złożona z katody

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą 1. Statystyka odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu 2. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach 3. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach 4. Potęga o wykładniku

Bardziej szczegółowo

OBLICZANIE KÓŁK ZĘBATYCH

OBLICZANIE KÓŁK ZĘBATYCH OBLICZANIE KÓŁK ZĘBATYCH koło podziałowe linia przyporu P R P N P O koło podziałowe Najsilniejsze zginanie zęba następuje wówczas, gdy siła P N jest przyłożona u wierzchołka zęba. Siłę P N można rozłożyć

Bardziej szczegółowo

NOŚNOŚĆ PALI POJEDYNCZYCH

NOŚNOŚĆ PALI POJEDYNCZYCH NOŚNOŚĆ PALI POJEDYNCZYCH Obliczenia wykonuje się według PN-83/B-02482 Fundamenty budowlane. Nośność pali i fundamentów palowych oraz Komentarza do normy PN-83/B-02482, autorstwa M. Kosseckiego (PZIiTB,

Bardziej szczegółowo