DSM Rachunek prawdopodobieństwa

Transkrypt

1 DSM Rachunek prawdopodobieństwa Leszek Rudak Zadania (wersja beta) I Zliczanie Zadanie 1. Mamy próbki perfum w małych butelkach od 6 firm. Ile różnych zestawów promocyjnych zawierających 4 buteleczki, każda od innego producenta, możemy przygotować? Zadanie 2. Ile różnych ułamków właściwych (mniejszych od 1) można ułożyć z liczb 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23? Zadanie 3. W teście jest 5 zadań, każde ma cztery możliwe odpowiedzi, z których jedna jest poprawna. Ile jest różnych możliwości rozłożenia odpowiedzi poprawnych (czyli kluczy rozwiązań)? Zadanie 4. Płot złożony ze sztachet ma zostać pomalowany trzema różnymi kolorami na zmianę (co trzecia sztacheta ma być tego samego koloru). Mamy 7 różnych farb. Na ile sposobów można pomalować ten płot? Zadanie 5. Mając do dyspozycji siedem jabłek i cztery gruszki mamy zrobić paterę zawierającą sześć owoców na której są co najmniej dwie gruszki. Na ile sposobów możemy to uczynić? Zadanie 6. Ile liczb naturalnych można ułożyć z cyfr 1, 2, 3, 4 i 5 tak, aby w każdej liczbie dana cyfra występowała co najwyżej jeden raz. Zadanie 7. Na ile sposobów można posadzić w jednym rzędzie kina (mającym dziesięć miejsc) pięć kobiet i pięciu mężczyzn, tak aby ani dwie kobiety ani dwóch mężczyzn nie siedziało obok siebie? Zadanie 8. Obiekt gorący nie może stanąć obok zimnego, poza tymi dwoma jest jeszcze 9 obiektów chłodnych (one mogą stać obok siebie i obok gorącego i zimnego). Na ile sposobów można ustawić te obiekty w szeregu, aby nie naruszyć zasad? II Prawdopodobieństwo klasyczne Zadanie 9. W przestrzeni probabilistycznej jest 5 zdarzeń elementarnych A 1, A 2, A 3, A 4 i A 5. Wiemy, że P (A 1 ) = P (A 2 ) = 0,15, P (A 3 ) = 0,4 oraz P (A 4 ) = 2P (A 5 ). Jakie prawdopodobieństwa mają zdarzenia A 4 i A 5? Zadanie 10. Rodzina ma troje dzieci jakie jest prawdopodobieństwo, że w tej rodzinie są co najmniej dwie córki? (zakładamy, że prawdopodobieństwo przyjścia na świat w tej rodzinie dziewczynki jest takie samo jak chłopca). 1

2 Zadanie 11. W badaniach wzroku przeprowadzonych w dużej grupie osób dorosłych otrzymano następujące wyniki Powinien używać Używa okularów do czytania okularów do czytania TAK NIE TAK 0,44 0,14 NIE 0,02 0,40 Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrana osoba z tej grupy (a) musi używać okularów do czytania, (b) używa okularów do czytania. Zadanie 12. Tester herbat ma ustalić ranking trzech rodzajów tego napoju Wyborna, Świetna i Doskonała. Nie może jednak zdecydować po smaku (wszystkie są rewelacyjne!), a więc wybiera losowo. Jakie jest prawdopodobieństwo, że najwyżej w rankingu znajdzie się Wyborna? Zadanie 13. Jakie jest prawdopodobieństwo, tego że w dobrze potasowanej standardowej (52 kary) talii kart wszystkie cztery asy są obok siebie jeden po drugim? Zadanie 14. Pewna inwestorka może zainwestować w trzy z rekomendowanych pięciu funduszy, nie wie jednak, że tylko dwa z nich przyniosą dochód, a więc wybiera losowo. Jakie jest prawdopodobieństwo, że (a) wybierze oba przynoszące dochód, (b) wybierze przynajmniej jeden przynoszący dochód. III Prawdopodobieństwo warunkowe Zadanie 15. Rzucono dwiema kośćmi. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że (a) suma jest równa 6 pod warunkiem, że suma jest parzysta, (b) suma jest parzysta pod warunkiem, że suma jest równa 6. Zadanie 16. Dwie karty zostają wyciągnięte ze standardowej talii kart. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wyciągnięto asa i króla? Zadanie 17. Przeprowadzono badania dotyczące jakości obsługi w supermarkecie pytając 700 osób czy są zadowoleni. Spośród tych, którzy dokonali zakupu 125 było zadowolonych z obsługi, a 111 nie; spośród tych, którzy nic nie kupili 148 było zadowolonych z obsługi, a 316 nie. (a) Oblicz prawdopodobieństwo tego, że klient który był zadowolony z obsługi dokonał zakupu. (b) Oblicz prawdopodobieństwo tego, że klient, który nie był zadowolony z obsługi nic nie kupił. IV Niezależność zdarzeń Zadanie 18. Rzucamy raz kością do gry. Które zdarzenia spośród A wypadło mniej niż 4, B wypadło mniej niż 2, C wypadło więcej niż 3, są niezależne? Zadanie 19. Plan kontroli jakości zakłada, że duża partia długopisów zostanie przyjęta jeżeli w losowo wybranej próbce dwunastu sztuk wszystkie będą sprawne. Jakie jest prawdopodobieństwo przyjęcia partii, w której (a) wszystkie długopisy są dobre, (b) 0,10 jest wyschniętych, (c) połowa nie pisze? Zadanie 20. Produkty z taśmy produkcyjnej są badane przez dwóch inspektorów kontroli jakości. Pierwszy przepuszcza 10% wadliwych towarów. Drugi przepuszcza 5 z każdych 10 wadliwych produktów przepuszczonych 2

3 przez pierwszego kontrolera. Jaka część wadliwych produktów nie zostaje rozpoznana? Zadanie 21. Dwóch ludzi rzuca monetami (każdy jedną). Jeżeli na obu monetach będzie orzeł albo na obu będzie reszka to mówimy, że jest trafienie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że trzy razy pod rząd będzie trafienie? Zadanie 22. Aby bank udzielił kredytu na podstawie biznes planu dwa niezależne zespoły oceniają przedstawione propozycje. Drugi zespół wydaje odwrotne decyzje niż zespół Pierwszy w 30%. Jeżeli prawdopodobieństwo, że dany biznes plan zostanie oceniony pozytywnie przez Pierwszy zespół jest równe 0,2 to jakie jest prawdopodobieństwo tego, że (a) oba zespoły zaakceptują, (b) oba zespoły odrzucą, (c) jeden zespół zaakceptuje, a drugi odrzuci ten biznes plan? Zadanie 23. Test na doping ma 98% dokładność (to znaczy, w 98% dokładnie określa czy osoba poddana badaniu brała doping czy nie). Aby zmniejszyć ryzyko pomyłki wykonuje się dwa testy. Zakładając ich niezależność obliczyć prawdopodobieństwo tego, że (a) sportowiec, który nie brał dopingu zostanie o to oskarżony (oba testy będą pozytywne), (b) sportowiec, który brał doping zostanie wykryty (przynajmniej jeden test będzie pozytywny), (c) sportowiec, który brał test nie zostanie wykryty (oba testy będą negatywne). V Prawdopodobieństwo całkowite Zadanie 24. Przypuśćmy, że telewizor, który nie był naprawiany psuje się w ciągu roku z prawdopodobieństwem 0,15, a telewizor po naprawie z prawdopodobieństwem 0,5. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dany telewizor posuje się w tym roku, jeżeli w zeszłym roku popsuło się 30% telewizorów? Zadanie 25. Półautomatyczna tokarka wytwarza rygle obrotowe do zamków. Jeżeli operator postępuje dokładnie według instrukcji to 1% rygli nie mieści się w granicach tolerancji, jeżeli operator nie przestrzega zasad instrukcji to 3% rygli nie trzyma wymiarów. Jaki jest procent wadliwych wyrobów, jeżeli operator przestrzega instrukcji przez 90% czasu pracy? Zadanie 26. Pewien Uniwersytet wymaga by wszyscy studenci I roku zdali egzamin z matematyki. 61% zdaje w pierwszym terminie, w drugim terminie zdaje 63% tych, którzy nie zadali za pierwszym razem, a w trzecim, ostatnim terminie zdaje 42% tych, którzy nie zadali za pierwszym i drugim razem. (a) Jaki procent wszystkich studentów zdaje egzamin z matematyki? (b) Jaki procent studentów podchodzi do egzaminu co najmniej dwa razy? (c) Jaki procent studentów podchodzi do egzaminu trzy razy? Zadanie 27. W pewnym regionie 20% populacji pali papierosy. Stwierdzono, że prawdopodobieństwo raka płuc u osoby palącej jest 10 razy większe niż u osoby, która nie pali. W tym regionie prawdopodobieństwo zachorowania na raka płuc jest równe 0,006. Jakie jest prawdopodobieństwo, że osoba paląca zachoruje na raka płuc? VI Wzór Bayesa Zadanie 28. Pewien urzędnik jadąc do pracy wybiera autobus z prawdopodobieństwem 0,3, albo tramwaj z prawdopodobieństwem 0,7. Urzędnik ten spóźnia się w 30% dni, w których jedzie do pracy autobusem i w 20% dni, w których jedzie do pracy tramwajem. Dzisiaj się spóźnił. Jakie jest prawdopodobieństwo, że jechał 3

4 autobusem? Zadanie 29. W pewnym mieście są trzy lotniska. Lotnisko A obsługuje 50% całego ruchu lotniczego, lotnisko B 30% i lotnisko C 20%. Na lotnisku A szansa na wykrycie broni przenoszonej przez pasażera wynosi 0,9, na lotnisku B 0,5 i na lotnisku C 0,4. Na jednym z lotnisk (do którego latają samoloty z każdego z lotnisk A, B i C) wykryto pasażera z bronią. Jakie jest prawdopodobieństwo, że przyleciał z lotniska A? Zadanie 30. W pewnych badaniach (dane rzeczywiste z USA z ok roku) młodych ludzi w wieku 18-24, 32% mężczyzn określiło kariera zawodowa jako swój główny cel w życiu, a tylko 27% kobiet wybrało ten sam cel jako główny. Z drugiej strony 39% kobiet jako główny cel życia wskazało szczęśliwe małżeństwo, a tylko 30% mężczyzn wskazało ten cel jako główny. W badaniu udział wzięły udział 202 kobiety i 303 mężczyzn. (a) Wybrano losowo jedną osobę spośród uczestników badania i okazało się, że jej głównym celem w życiu jest kariera zawodowa. Jakie jest prawdopodobieństwo, że to był mężczyzna? (b) Wybrano losowo jedną osobę spośród uczestników badania i okazało się, że jej głównym celem w życiu jest szczęśliwe małżeństwo. Jakie jest prawdopodobieństwo, że to była kobieta? VII Zmienne losowe Zadanie 31. Z worka, w którym jest pięć kul białych, i pięć kul czerwonych, losujemy bez zwracania cztery kule. Podać rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X określającej liczbę wylosowanych kul białych. Zadanie 32. Pięć osób dwie kobiety i trzech mężczyzn stara się o przyjęcie do pracy w firmie, w której są dwa miejsca wolne. Wszyscy mają jednakowe kompetencje, a więc o przyjęciu zdecyduje los. Niech X będzie zmienną losową równą liczbie przyjętych kobiet. Podać rozkład zmiennej losowej X. Zadanie 33. Na jednym kółku zawieszone są cztery bardzo podobne klucze do głównych drzwi biura. Aby otworzyć drzwi wybiera się losowo jeden i próbuje. Gdy nie uda się otworzyć wybiera się inny i znowu próbuje itd. Zmienna losowa X jest równa liczbie kluczy, którymi próbowano otworzyć drzwi. Podać rozkład zmiennej losowej X. Zadanie 34. Dwaj zawodowi tenisiści N i J mają rozegrać mecz. Zwycięzcą zostaje ten kto pierwszy wygra 3 sety z pięciu. Zakładając, że prawdopodobieństwo wygrania każdego seta przez N jest niezależne od wyniku poprzedniego seta i, że jest równe 0,6 podać rozkład zmiennej losowej x równej liczbie rozegranych setów. Zadanie 35. W worku jest jedna kula biała i cztery kule czarne. Losujemy po jednej kuli bez zwracania do momentu, w którym wśród wylosowanych kul znajdą się kule obydwu kolorów. Podać rozkład zmiennej losowej X określającej liczbę wylosowanych kul czarnych. VIII Zmienne losowe ciągłe Zadanie 36. Zmienna losowa X ma funkcję gęstości prawdopodobieństwa postaci f(x) = kx określoną na przedziale [0, 4], gdzie k jest pewną stałą. (a) Wyznaczyć wartość k. (b) obliczyć P (1 X 2,5). Zadanie 37. Funkcja f(x) = 4 x 4 jest gęstością prawdopodobieństwa zmiennej losowej X. Oblicz P (1,2 X 2,4). 4

5 Zadanie 38. Zmienna losowa X ma stałą gęstość prawdopodobieństwa równą 10 określoną dla 0,05 < x < 0,05. Obliczyć P (X < 0,025). Zadanie 39. W pewnej miejscowości proporcja pokrycia nieba chmurami S ma gęstość prawdopodobieństwa równą { k(3 + s) 0 s 1 f(s) = 0 w przeciwnym przypadku (a) wyznaczyć k (b) obliczyć P (S > 0,5). IX Wartość oczekiwana Zadanie 40. Jaka jest wartość oczekiwana liczby setów, które rozegrają tenisiści N i J (z zadania z działu Zmienna losowa ) gdy prawdopodobieństwo wygrania seta przez N jest równe (a) 0,6, (b) 0,5 (tenisiści są równorzędnymi graczami)? Zadanie 41. Pewna firma kurierska (amerykańska) obliczyła, że koszt dostawy małej paczki w ciągu 24 godzin to $14,80. Firma ta pobiera opłatę w wysokości $15,50, ale gwarantuje jej zwrot, gdy nie dostarczy przesyłki na czas. Jaka jest wartość oczekiwana zysku firmy na przesłaniu jednej paczki, jeżeli tylko 2% paczek nie jest dostarczana w terminie? Zadanie 42. Zarząd spółki wprowadzającej nowy produkt na rynek chce się ubezpieczyć na wypadek nieudanego startu. Przyjmują, że w przypadku całkowitej klapy stracą , a w przypadku średniego zainteresowania Firma ubezpieczeniowa po badaniach rynkowych stwierdziła, że prawdopodobieństwo kompletnej klapy jest równe 0,01, a prawdopodobieństwo średniego zainteresowania 0,05. Jaką minimalną stawkę ubezpieczeniową powinien zaproponować aktuariusz? Zadanie 43. Sprzedawca sprzętu budowlanego spotyka się w każdym tygodniu z jednym lub dwoma klientami z prawdopodobieństwem odpowiednio 0,25 i 0,75. Każde spotkanie z prawdopodobieństwem 0,1 przynosi zamówienie w wysokości Jaka jest wartość oczekiwana tygodniowych zamówień? Zadanie 44. W worku jest jedna kula czarna i dziewięć kul białych. Losujemy bez zwracania po jednej kuli, aż wylosujemy kulę czarną. Jaka jest wartość oczekiwana E liczby wylosowanych kul białych. X Rozkład geometryczny Zadanie 45. Wśród 10 monet jedna jest fałszywa (jest lżejsza niż prawdziwa). Kontroler waży monety po kolei aż do znalezienia fałszywej. Jakie jest prawdopodobieństwo, że będzie musiał zważyć 9 monet? (jeżeli wśród tych monet na pewno jest jedna fałszywa!) Zadanie 46. Rzucamy kością do gry tak długo, aż uzyskamy wszystkie wyniki po kolei (najpierw 1, potem 2 itd.). Jaka jest wartość oczekiwana E łącznej liczby rzutów? Zadanie 47. Prawdopodobieństwo, że w kiosku nie ma gazety, którą koniecznie chcę kupić jest równe 0,2. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że kupię gazetę dopiero w szóstym kiosku? 5

6 Zadanie 48. W grze komputerowej prawdopodobieństwo trafienia celu jest równe 0,4 w każdej próbie i próby są niezależne. (a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że cel zostanie trafiony dopiero za czwartym razem? (b) Jaka jest średnia liczba prób by trafić cel? XI Rozkład dwumianowy Zadanie 49. W skrzynce wymieszano nakrętki z gwintem lewostronnym i prawostronnym, przy czym nakrętek z gwintem lewostronnym jest dwa razy więcej niż tych z gwintem prawostronnym. Potrzebujemy 6 nakrętek z gwintem prawostronnym i 3 z gwintem lewostronnym, a więc wyciągamy z worka 9 nakrętek. Jakie jest prawdopodobieństwo, że będziemy mieli to czego potrzebujemy? Zadanie 50. Z worka, w którym jest pięć kul białych i pięć kul zielonych losujemy ze zwracaniem cztery kule. Podać rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X określającej liczbę wylosowanych kul białych. Zadanie 51. Środek owadobójczy zabija przeciętnie 90% owadów. Środek ten zastosowano na dziesięciu owadach. Obliczyć prawdopodobieństwo, że co najwyżej dwa osobniki przeżyją. Zadanie 52. W stawie hodowlanym są dwa gatunki ryb w proporcji 8:2. Obliczyć prawdopodobieństwo, że wśród dziesięciu złowionych ryb będzie co najmniej siedem ryb liczniejszego gatunku. Zadanie 53. Wadliwość procesu produkcyjnego wynosi 1%. Obliczyć prawdopodobieństwo, że na osiem wylosowanych produktów będą co najwyżej dwa wybrakowane. XII Rozkład Poissona Zadanie 54. Niech X będzie zmienną losową taką, że X P o(2,5). Obliczyć (a) P (X 5), (b) P (X < 3), (c) P (x = 2), (d) P (1 X 4). Zadanie 55. Wzrastająca liczba małych samolotów zwiększa niebezpieczeństwa w okolicach lotnisk. Zarejestrowano, że średnio następuje 5 niebezpiecznych zdarzeń (zbyt bliskich lądowań, za dużego zbliżenia itp.) w ciągu miesiąca. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że w ciągu miesiąca (a) nie będzie żadnego niebezpiecznego zdarzenia, (b) będzie więcej niż jedno takie zdarzenie? Zadanie 56. Na trawniku posadzono losowo bratki tak, że prawdopodobieństwo, tego że na losowo wybranym obszarze o powierzchni 1 metra kwadratowego jest r sadzonek jest równe 2r e 2 r! dla r = 0, 1, 2,.... Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że na obszarze o powierzchni 0,25 metra kwadratowego jest dokładnie jedna sadzonka? Zadanie 57. Średnia liczba jagód na krzaczku jest równa 5,6. Oblicz prawdopodobieństwo, że na losowo wybranym krzaczku są (a) mniej niż 4 jagody, (b) więcej niż 4 jagody. 6

7 Odpowiedzi 1: 15; 2: 28; 3: 1024; 4: 210; 5: 371; 6: 325; 7: 28800; 8: 80640; 9: P (A 4 ) = 0,2, P (A 5 ) = 0,1; 11: (a) 0,58, (b) 0,46; 10: 0,5; 12: !48! 3 ; 13: 51! 0,00018; 14: (a) 0,3, (b) 0,9; 15: (a) 5 18, (b) 1; 16: ; 17: (a) ok. 0,4579, (b) ok. 0,7400; 18: tylko A i B są niezależne; 19: (a) 1, (b) ok. 0,2824, (c) ok. 0,00024; 20: 5%; 21: 1 8 ; 22: (a) 0,14, (b) 0,56, (c) 0,3; 23: (a) 0,0004, (b) 0,9996, (c) 0,0004; 24: 0,255; 25: 1,2%; 26: (a) ok. 92%, (b) 39%, (c) ok. 14%; 27: 0,0214; 28: ok. 0,3913; 29: 0,15625; 30: (a) 0,64, x x (b) ok. 0,464; 31: ; 32: P (X = x) P (X = x) 0,3 0,6 0,1 ; 33: x ; P (X = x) x : P (X = x) 0,28 0,3744 0,3456 ; 35: x ; 36: (a) k = 0,125, (b) ok. 0,3281; 37: 0,66; P (X = x) 0,4 0,2 0,2 0,2 38: 0,75;??: (a) k = 2 7, (b) ok. 0,5357; 40: (a) 4,0656, (b) 4,125; 41: $0,38; 42: 2050; 43: 8750; 44: 4,5; 45: ok. 0,430; 46: 36; x : 0,000256; 48: (a) 0,0864, (b) 2,5; 49: ok. 0,0341; 50: X Bin(4, 0,5) P (X = x) 0,0625 0,25 0,375 0,25 0,0625 ; 51: ok. 0,9298; 52: ok. 0,8791; 53: ok. 0,9619; 54: (a) ok. 0,1088, (b) ok. 0,5438, (c) ok. 0,2565, (d) ok. 0,8091; 55: (a) ok. 0,0067, (b) ok. 0,9596; 56: ok. 0,6065; 57: (a) ok. 0,1906, (b) ok. 0,6578; 7