POLITECHNIKA SZCZECIŃSKA WYDZIAŁ MECHANICZNY M A T H C A D INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z INFORMATYKI

Transkrypt

1 POLITECHNIKA SZCZECIŃSKA WYDZIAŁ MECHANICZNY M A T H C A D INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z INFORMATYKI Opracwał: dr inż. Andrzej Bdnar mgr inż. Witld Dziewiałtwski mgr Tadeusz Ziębakwski Szczecin 00

2 SPIS TREŚCI. WPROWADZENIE.... URUCHAMIANIE I OPUSZCZANIE MATHCADA.... ZAPISYWANIE PLIKÓW.... DRUKOWANIE OTWIERANIE DOKUMENTU BUDOWANIE I EDYCJA WYRAŻEŃ... 7 OPERATORY OPERACJE NA REGIONACH WPROWADZANIE I ZMIANY TEKSTU DEFINIOWANIE ZMIENNYCH I FUNKCJI WEKTORY I MACIERZE SZEREGI LICZBOWE.... SUMY I ILOCZYNY. CAŁKI I POCHODNE.... ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ UKŁADY RÓWNAŃ OBLICZENIA NA LICZBACH OGÓLNYCH... 7 UWAGA! OBLICZENIA NA LICZBACH ZESPOLONYCH OBLICZENIA Z WYKORZYSTANIEM JEDNOSTEK MIAR PLIKI DANYCH PODSTAWOWE OBLICZENIA STATYSTYCZNE.... GRAFIKA.... REGRESJA LINIOWA FUNKCJE INTERPOLACJI ZADANIA... ROZWIĄZANIA DODATEK... 7 Kmbinacje klawiszy... 7 Klawisze funkcyjne... 0 Skróty klawiaturwe peratrów... 0 Struktura menu główneg...

3 . WPROWADZENIE Mathcad jest nwczesnym prgramem kmputerwym umżliwiającym skmplikwane bliczenia matematyczne. D jeg niewątpliwych zalet należą: łatwść bsługi, przejrzyste przedstawianie danych i wykresów, raz naturalny zapis wszystkich wzrów. Mathcad pzwala na przesyłanie danych raz tekstów d innych prgramów, umżliwia też imprt plików typu mapa bitwa (stswane rzszerzenie nazw plików bmp). Dkument sprządzny w Mathcadzie mże zawierać bk tekstu i równań równcześnie wykresy. Wykresy te mgą być również trójwymiarwe. Nwsze wersje Mathcada umżliwiają prwadzenie bliczeń na liczbach gólnych. Są t m.in.: bliczenia wyrażeń i funkcji w tym pchdnych, całek, granic, równań i nierównści zwykłych, równań różniczkwych itp.; wyknywanie bliczeń numerycznych, twrzenie wykresów funkcji, bliczenia na wektrach i macierzach, rzwiązywanie układów równań, krzystanie z jednstek i miar, prgramwanie bliczeń, twrzenie animacji, wymiana danych z innymi prgramami. Typwa dla prgramów Mathcad jest również dść prsta edycja dkumentu. Niestety, niektóre peracje edycyjne mgą wywływać zdenerwwanie c mniej cierpliwych użytkwników. Mathcad ptrafi też pdać fałszywe rzwiązanie lub stwierdzić, że nie umie rzwiązać względnie prsteg zadania. Na szczęście pdane rzwiązania mżna szybk sprawdzić przy pmcy... Mathcada (przy peracjach teg typu Mathcad jest raczej niemylny), a zadania nie rzwiązane przez kmputer ewentualnie pdsunąć zdlniejszemu kledze.. URUCHAMIANIE I OPUSZCZANIE MATHCADA P uruchmieniu prgramu Windws należy dwukrtnie kliknąć na iknie prgramu Mathcad. Dalsza bsługa menu raz suwaków na brzegach ekranu jest taka sama jak we wszystkich prgramach z grupy Windws. P uruchmieniu prgramu mżna krzystać z "czystej kartki'" ekranu aby wpisywać na nią teksty, wzry i wyrażenia raz wyknywać ptrzebne działania. Mżna także twrzyć plik zawierający wyniki wcześniej wyknanej pracy. Pbranie pliku z dysku wymaga wydania plecenia [File Open...]. W kienku dialgwym, jakie się ukaże, należy wybrać ptrzebny plik i zatwierdzić wybór klikając myszką na przycisku [OK] - zb. rzdz. 5.

4 Aby wyjść z prgramu należy z menu wybrać [File], a następnie plecenie [Exit].. ZAPISYWANIE PLIKÓW Aby zapamiętać dkument z przeprwadznymi bliczeniami należy z menu [File] wybrać plecenie [Save]. Jeżeli dany dkument nie był wcześniej zapisywany, pkaże się kienk dialgwe, w którym należy pdać nazwę, dysk i ewentualnie nazwę fldera, jeżeli zaś już był zapisywany, t Mathcad autmatycznie zastąpi stare infrmacje w nwym pliku.. DRUKOWANIE W celu wydrukwania dkumentu należy z menu [File] wybrać najpierw pcję [Page Setup] jeżeli chcemy ustawić marginesy i układ strny (prtret czy pejzaż) a następnie [File Print...], gdzie p wybrze zakresu strn z dkumentu mżna g wydrukwać. 5. OTWIERANIE DOKUMENTU W celu twarcia dkumentu należy z menu wybrać plecenie [File], a następnie [Open...]. Wówczas pkaże się kienk dialgwe [Open], w którym mżna wpisać nazwę szukaneg pliku lub wybrać ją ze spisu klikając na niej myszką. Jednkrtne kliknięcie na [OK] wprwadza żądany plik d pamięci i na ekran. Jeżeli chcemy wczytać plik z dyskietki należy w kienku dialgwym najpierw ustawić żądaną stację dysków. Wybru dknuje się w kienku dialgwym przez kliknięcie myszką na strzałce przy kienku z napisem "Szukaj w:" (Napędy) a później pnwnie na właściwej nazwie stacji dysków. Mathcad pzwala na twarcie wielu plików. Pliki zajmują ddzielne kienka, które mżna dwlnie rzmieścić na ekranie w knie aplikacji. 6. BUDOWANIE I EDYCJA WYRAŻEŃ Miejsce pisania wyrażenia wybieramy myszką i zaznaczamy przez pjedyncze kliknięcie. Pdczas pisania wyrażeń isttne są trzy elementy (wskaźniki): krzyżyk, pinwa kreska raz ramka. W miejscu ustawienia krzyżyka myszką Mathcad pzwala na rzpczęcie pisania wzrów lub przygtwanie wykresu. Krzyżyk mże być ustawiny tylk na wlnej przestrzeni. Jeśli kliknięcie nastąpił w brębie wyrażenia lub tekstu, Mathcad we wskazanym miejscu stawia kreskę. Kreska wskazuje miejsce wstawiania lub kaswania elementów gtweg równania (zmiennych, znaków, symbli). Kliknięcie na wyrażeniu (np. na znaku równści) pwduje pjawienie się ramki. Ramka bejmuje całe wyrażenie, a w jej wnętrzu pjawia się pinwa kreska raz sąsiadujące z nią pdkreślenie teg fragmentu napisu lub wyrażenia, któ-

5 5 re mżna w tej chwili zmieniać. D przemieszczania kreski pinwej w brębie tekstu lub wyrażenia służy mysz raz strzałki kursrów. [Enter] - przesuwa jeden wiersz d dłu, przesunięcie jeden wiersz w górę, przesunięcie jeden wiersz w dół, przesunięcie jedną klumnę w praw, przesunięcie jedną klumnę w lew, [Page Up] - przesunięcie bszaru rbczeg w górę kł 60 80% wyskści ekranu, [Page Dwn] - przesunięcie bszaru rbczeg w dół kł 60 80% wyskści ekranu, [Hme] - przesunięcie kursra na pczątek pprzednieg reginu, [End] - przesunięcie kursra rbczeg d następneg reginu, [Ctrl + Hme] - przesunięcie kursra rbczeg na pczątek dkumentu, [Ctrl + End] - przesunięcie kursra rbczeg na kniec dkumentu, [Shift + Page Up] - przesunięcie widku dkładnie jeden ekran w górę, [Ctrl + Page Dwn] - przesunięcie widku dkładnie jeden ekran w dół. 7 OPERATORY W prgramie Mathcad symble funkcji (pierwiastek, całka, pchdna) i znaczenia specjalne (wektr, indeks, relacje) są wprwadzane za pmcą umwnych znaków klawiatury. Skróty klawiaturwe peratrów znajdują się w ddatku na kńcu instrukcji. Lista pdstawwych peratrów dstępnych w prgramie Mathcad znajduje się pniżej: ZNAK lub OPERACJA ZAPIS KLAWISZ(E) Indeks dlny Indeks górny Wektr Dzielenie v n [[] lewy nawias kwadratwy < n> A [Ctrl + 6] r X [ Ctrl + - ] x y [ / ] ukśnik prawy (slash) Mnżenie a x [ * ] gwiazdka Pierwiastek kwadratwy z [ \ ] ukśnik lewy (backslash) Ptęgwanie X y [ ^ ] daszek Wartść bezwzględna z [ ] kreska pinwa

6 6 Silnia n! [! ] wykrzyknik L. zesplna sprzężna d X Suma elementów wektra X [ " ] cudzysłów r v [ Ctrl + ] Transpnwanie A T [ Ctrl + ] (jeden) Suma wyrażeń Ilczyn wyrażeń Pchdna Całka znaczna i i X X [ $ ] dlar [ # ] hash (krzyżyk) d f () t [? ] znak zapytania dt [ & ] ampersand Większe lub równe x y [ Ctrl + 0 ] Mniejsze lub równe x y [ Ctrl + 9 ] Nie równe x y [ Ctrl + ] Twardy znak równści x = y [Ctrl + = ] Nawiasy (a+b)*c [ ( ] lub [ ) ] Obydwa nawiasy (a+b)*c [ ] b Szybkie panwanie skrótów klawiaturwych peratrów znacznie ułatwia pracę, gdyż eliminuje kniecznść używania myszki i pasków narzędzi dstępnych z [Math Palette], lub z menu [View Tlbar]. Wprwadzając d bliczeń peratry należy pamiętać, iż prgram zachwuje klejnść działań. W prgramie ferwane są wszelkieg typu nawiasy. Przykład: P wydaniu plecenia [File New ] wprwadźmy w pustym jeszcze arkuszu dkumentu wyrażenie x+. P kliknięciu w wybranym miejscu pjawia się krzyżyk. Wpisujemy x +. P wpisaniu pierwszeg symblu pjawia się ramka, kreska i pdkreślenie. Teraz zmieńmy (pprawmy) wpisane wyrażenie na x +. Pierwszy prblem t wprwadzenie pierwiastka. Aby t zrbić, należy przy pmcy kursrów dprwadzić d teg, by pdkreślenie był pd całym wyrażeniem. Naciśnięcie klawisza [ \ ] spwduje wpisanie pierwiastka (patrz wyżej) i trzymamy wyrażenie x +. Jeżeli t wyrażenie również chcemy zmienić, na przykład na x + x +, t pwtórnie należy ustawić ramkę tak, aby bejmwała całe wyrażenie, następnie wcisnąć klawisz [Insert], a ptem ka x d

7 7 lejn [+] raz [x], bwiem p naciśnięciu [Insert] dstawianie nwych elementów d wyrażenia dbywa się klejn na lew d kreski pinwej lub ramki. Najlepiej jest przećwiczyć peracje wstawiania i kaswania elementów wyrażenia (naciśnięciem [Del] lub [Backspace]) przy różnych ustawieniach ramki lub kreski (tylk spkjnie, b wyniki bywają nieczekiwane!). Niec uciążliwą wadę Mathcada, plegającą na niezbyt wygdnym wprwadzaniu i pprawianiu wyrażeń, rekmpensuje jednak kńcwy efekt jakim jest przejrzyście i zgdnie z przyjętymi w matematyce zwyczajami napisana funkcja lub wyrażenie matematyczne. 8. OPERACJE NA REGIONACH Dtychczas mawiane były metdy edycji pjedynczych wyrażeń. Zajmują ne na arkuszu zwykle ddzielne bszary nazywane reginami. Częst jednak zachdzi ptrzeba kaswania, przesuwania lub kpiwania jedncześnie wielu reginów bejmujących wiele wyrażeń. D teg celu wykrzystuje się plecenia Cpy (kpiuj), Cut (wytnij) i Paste (wklej) z menu [Edit]. Plecenie Cpy i Cut działają tylk na tych fragmentach, które są pdkreślne (ujęte) ramką lub liniami przerywanymi. Cpy lub F lub [Ctrl + c] Cut lub F lub [Shift Del] lub [Ctrl +x] Paste lub F lub [Shift Insert] lub [Ctrl + v] kpiuje regin z ekranu d bufra, wycina regin z ekranu i wstawia d bufra, wstawia (wkleja) regin z bufra na ekran. Jeżeli chcemy wyknać zwykłą kpię jakiegś wyrażenia lub grupy wyrażeń, należy je najpierw zaznaczyć. W tym celu wskazujemy myszą w pbliżu zaznaczaneg reginu (bszaru), naciskamy przycisk myszy i nie puszczając g przesuwamy mysz d mmentu, aż wkół zaznaczaneg reginu (lub kilku reginów) pjawi się linia przerywana. Wtedy przycisk myszy mżna już puścić. Wydanie plecenia [Cpy] w tym mmencie nie jest wystarczające d trzymania kpii, gdyż wskazany regin zstanie jedynie skpiwany d bufra. Dpier p wybraniu wlneg miejsca w dkumencie wydanie plecenia [Paste] spwduje wyświetlenie kpii reginu na ekranie. Jeśli wybrane miejsce jest zajęte przez inny element graficzny lub tekst, t plecenie [Paste] spwduje umieszczenie jedneg reginu na drugim. Zaznaczny regin mżna w łatwy spsób przesunąć myszą w nwe miejsce - wystarczy na nim kliknąć, wskazać wskaźni-

8 8 kiem myszy, jeg ramkę gdy pjawi się znak dłni nacisnąć jej przycisk i nie puszczając przesuwać regin. W chwili puszczenia przycisku regin zstaje "upuszczny" na arkusz. Wyrównanie reginów jest bardz kłptliwe, dlateg dstępne są następujące plecenia: [Frmat Align Regins Acrss] wyrównuje zaznaczne reginy w pzimie; [Frmat Align Regins Dwn] wyrównuje zaznaczne reginy w pinie. 9. WPROWADZANIE I ZMIANY TEKSTU Częst bk wykresów raz wzrów w dkumencie umieszcza się różne kmentarze i wskazówki. D teg celu służy specjalny bszar tekstwy. Wywłuje się g pleceniem [Insert Text Regin]. Obszar tekstwy p jeg wypełnieniu puszcza się pprzez kliknięcie myszą pza nim (mże być też [strzałka]) gdy znajdujemy się na pczątku lub na kńcu reginu.. W bszarze tekstwym mżliwe są różne peracje. Najpierw należy zaznaczyć bszar pprzez wyświetlenie g w negatywie (naciska się lewy klawisz myszy i przeciąga wskaźnik myszy p tekście). Teraz dstępne są wszystkie plecenia umżliwiające usuwanie i pwielanie tekstu (Cut, Cpy i Paste). Mżliwa jest zmiana krju pisma i jeg wielkści. W dużych dkumentach, aby szybk dnaleźć jakiś wyraz stsuje się plecenie [Edit Find], aby zaś zastąpić wszystkie wyrazy w tekście innym wyrazem mżna wykrzystać plecenie [Edit Replace]. Przy wpisywaniu tekstu mgą pjawić się błędy syntaktyczne. Mżna tekst sprawdzić za pmcą wbudwaneg słwnika. D teg celu służy plecenie [Edit Check Spelling]. Frmatwanie tekstu umżliwia plecenie [Frmat Text] gdzie: Fnt zmiana czcinki Fnt Style zmiana stylu czcinki Size zmiana rzmiaru czcinki Effects efekt specjalny umżliwiający: Strikeut przekreślenie tekstu; Underline pdkreślenie tekstu; Subscript wyknanie indeksu dlneg; Superscript wyknanie indeksu górneg; Właściwści reginu tekstweg są definiwane za pmcą plecenia [Frmat Prperties]. Highlight Regin - umżliwia pdświetlenie tła reginu, gdzie klr tła wybiera się za pmcą przycisku [Cse Clr]; Shw Brder - wyświetla ramkę wkół reginu;

9 9 Display at Orginal Size - wyświetla zawartść reginu w ryginalnych rzmiarach. 0. DEFINIOWANIE ZMIENNYCH I FUNKCJI W prgramie Mathcad definiwanie stałej lub zmiennej przypmina typwy zapis stswany w matematyce i niektórych językach prgramwania, np. w Delphi. Jedna zmienna mże być używana w kilku różnych wzrach (bliczeniach), c eliminuje kniecznść jej ciągłeg definiwania. Przykładw, definiwanie zmiennej s z przypisaniem jej wartści 00 następuje pprzez zapis: [s], [ : ], [], [0], [0] raz [Enter] aby zakńczyć wpisywanie. s 00 definicji zmiennej. Pdbnie definiuje się zmienną x:= t+0. Taki sam zapis stsuje się przy definiwaniu funkcji, np.: f(x,y):= x+y lub c(a,b):= a b. W prgramie musi być zachwany lgiczny prządek tych definicji. Nie jest więc bjętna klejnść definiwania danych. Najpierw pwinny być wpisane stałe, ptem zmienne, a na samym kńcu funkcje, które z nich krzystają, gdyż Mathcad wyknuje klejne zadania kreślne w dkumencie czytając strnę d lewej d prawej i dalej d góry d dłu. Opisany pwyżej spsób definiwania zmiennej jest definicją lkalną zmiennej. Oznacza t, że zmienna s dstępna jest w dkumencie d mmentu jej zdefiniwania d mmentu pnwneg jej wprwadzenia. Oprócz definicji lkalnej prgram Mathcad umżliwia także wprwadzenie zmiennej glbalnej. Zmienna glbalna bwiązuje w całym dkumencie. Aby np. zdefiniwać zmienną glbalną a równą 5, należy wcisnąć następujące klawisze: [a], [~], [=], [], [5] raz [Eter]. a 5 UWAGA! Źle zdefiniwane zmienne są wyświetlane w klrze czerwnym. Jeśli zmienna występująca we wzrze nie będzie zdefiniwana wcześniej zstanie także wyświetlna w klrze czerwnym. Oprócz zmiennych pisanych pwyżej mżna także zdefiniwać zmienną zakreswą. Zmienna zakreswa nie przyjmuje tylk jednej wartści, lecz wartści z kreślneg zakresu i z kreślnym krkiem. Aby zdefiniwać zmienną zakreswą, należy: Wpisać nazwę zmiennej, W zależnści d ptrzeb wpisać znak definicji lkalnej [ : ], lub glbalnej [ ~],

10 0 Wpisać dlną granicę przedziału definiwanej zmiennej, Wpisać przecinek [, ] i p nim drugą wartść; w ten spsób kreślna zstaje wielkść krku z jakim będzie się zmieniała zmienna zakreswa, Wpisać znak średnik [ ; ] i górną granicę zmiennej zakreswej, Wcisnąć klawisz [Enter], aby zakńczyć definicję zmiennej zakreswej. y,.. 6 Gdy chcemy wyświetlić wszystkie wartści zmiennej zakreswej y należy wpisać y ze znakiem równści. y,.. 0 y 7 0. WEKTORY I MACIERZE Macierz mżna utwrzyć pprzez zastswanie plecenia [Insert Matrix ] lub wcisnąć kmbinacją klawiszy [Ctrl + M]. Pwduje t pjawienie się kna dialgweg [Insert Matrix]. W knie dialgwym [Insert Matrix] znajdują się dwa pla: [Rws:] gdzie wpisujemy liczbę wierszy, raz [Clumns:] d wprwadzenia liczby klumn. Następnie należy kliknąć przycisk [Insert], a następnie klikamy przycisk [OK]. Uzyskuje się wtedy pustą macierz ze znacznikami w miejscach które mżna wypełnić wartściami. Jeśli w knie dialgwym [Insert Matrix] w jednym z pisanych pól ([Rws:] lub [Clumns:] zstanie wpisana wartść, t d dkumentu zstanie wstawina macierz jednwierszwa lub jednklumnwa zadanej liczbie elementów (częst niezbyt pprawnie nazywana wektrem). Pdczas definicji macierzy i wektrów przyjęł się, że macierze definiujemy z wykrzystaniem wielkich liter (np. A, M itp.), natmiast wektry definiujemy małymi literami (np. Wektr, c, itp.).

11 w ( ) w ( 5 6 ) A C w w = A C = AC. = Mathcad prócz ddawania, dejmwania i mnżenia macierzy zapewnia szerki wachlarz innych peracji na macierzach.

12 Funkcja: rws(a) blicza liczbę wierszy macierzy A, cls(a) blicza liczbę klumn macierzy A, M blicza wyznacznik macierzy M, A T transpnuje macierz A, eigenvals(m) zwraca wektr wartści własnych macierzy M.. SZEREGI LICZBOWE Prgram Mathcad umżliwia rzwinięcie funkcji w szereg Taylra. Aby rzwinąć funkcję w szereg Taylra, należy umieścić kursr bk zmiennej, która znajduje się w funkcji, a następnie wybrać [Symblics Variable Expand t Series ], c spwduje wyświetlenie kna dialgweg. W knie tym w plu [Order f Apprximatin:], należy kreślić liczbę składników w rzwinięciu funkcji w szereg Taylra, (maksymalna ptęga d której będzie pdniesiny statni składnik szeregu). P kreśleniu liczby elementów w szeregu wciskamy przycisk [OK]. e x x Ostatni składnik sumy jest tzw resztą.. x. 6 x. x. 0 x5 Ox 6. SUMY I ILOCZYNY. CAŁKI I POCHODNE Spsby wpisywania peratrów zstały mówine w rzdziale dtyczącym zasad budwania wyrażeń. Mathcad dpuszcza wszystkie częściej stswane frmy zapisu, np. x i alb x ij itp. Pdbnie naturalny zapis używany jest w przypadku ilczynu i i j ciągu wartści. D bliczeń sumy mżna wcześniej zdefiniwać wyrażenie i zakres sumwania i w bliczeniu sumy wykrzystać tylk jeg definicję i.. 0 w i i 5 i w i = 5

13 Innym spsbem sumwania wyrażeń jest wykrzystanie peratra sumwania, w którym bezpśredni przy nim pdaje się zakres sumwania. 0 i 5 = 5 i = Pdbnie jak przy sumwaniu w ilczynie wyrażeń stsuje się także dwa rdzaje peratrów. i.. 5 i i! = 88 i 5 i = i! i = 88 Pdczas bliczania wartści pchdnej w punkcie należy najpierw pdać wartść dciętej, dla której chcemy bliczać pchdną: x:= d dx x = P znaku równści Mathcad wpisze wartść. Pchdną mżna również bliczać w kilku punktach p klei: gx ( ). x definicja funkcji fx ( ) d dx g( x) i.. 6 zakres definicja pchdnej fi () bliczenie Prszę zwrócić uwagę na t, że w zapisie funkcji występuje x, zaś przy zapisie zakresu zmiennej jest i. Jest t pprawne, gdyż na kńcu pytamy wartści f(i). Różnrdnść zapisu jest częst bardz przydatna w rzbudwanych i skmplikwanych dkumentach. Oczywiście cały zapis będzie prawidłwy, gdy w trzeciej linii pjawi się x: =.. 6 a na kńcu zapytamy f(x). Pdbne mżliwści występują przy bliczaniu całek znacznych - bliczenie pjedynczej całki lub bliczenia w kilku przedziałach liczbwych. Według pniższeg zapisu Mathcad dkna sześciu bliczeń całki znacznej, której dlna granica jest stała i wynsi 0, a górna granica zmienia się d 0 d 5 z krkiem równym.

14 i fx ( ) x x gi () gi () i 0 fx ( )dx P wprwadzeniu statniej linii Mathcad pda sześć blicznych wyników całkwania.. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ D rzwiązywania równań z jedną niewiadmą służy funkcja rt(f(x),x). Funkcja ta znajduje rzwiązanie równania z jedną niewiadmą, czyli zwraca taką wartść zmiennej x, dla której wyrażenia f(x) przyjmuje wartść zer. Aby rzwiązać równanie, należy dprwadzić d sytuacji, w której wszystkie składniki równania znajdą się p lewej strnie równania (zer p prawej).w trakcie wprwadzania równania d dkumentu należy użyć peratra równści przy użyciu kmbinacji klawiszy [Ctrl + =]. P wprwadzeniu równania d dkumentu, należy kreślić w przybliżeniu wartść niewiadmej. P wpisaniu rt(f(x),x) i wciśnięciu klawisza [=], trzymamy rzwiązanie równania. fx ( ) sin( x) cs( x) y y. 5 0 fx ( ) 0 x rt( f( x), x) = y 5 rt y y. 5, y =.5 Również przy bliczaniu miejsc zerwych mżliwe jest prwadzenie bliczeń wielkrtnych. Przypuśćmy, że przed iksem sti ddatkw parametr a kreślając pewną rdzinę funkcji. Jeżeli na przykład dla funkcji x a e x = 0 i parametru a zmieniająceg się d d 0 chcemy znaleźć miejsca zerwe, t piszemy następując: x f (, a x): = rt ( a e x, x) a: =.. 0 x: = f(, a x) = Isttne jest tutaj pdanie wartści przybliżnej szukaneg x. Jeżeli dane równanie ma kilka miejsc zerwych, Mathcad pda nam wartść najbliższą pdanej wartści przybliżnej. Jeżeli jest tylk jedn miejsce zerwe, t pdana wartść przybliżna (pczątek pszukiwań przy bliczeniach) mże być dwlna.

15 5 W Mathcadzie mżna także rzwiązywać równania trygnmetryczne raz równania zawierające funkcje standardwe. fx ( ) sin( x) cs ( x) x fx ( ) 0 rt( f( x), x) = UKŁADY RÓWNAŃ Przy rzwiązywaniu układów równań liniwych należy dprwadzić d sytuacji, w której wyrazy wlne znajdą się p prawej strnie równania. P uprządkwaniu układów równań, budujemy macierz współczynników równania, która składa się ze współczynników przy niewiadmych uprządkwaneg układu. Następnie kreślamy wektr wyrazów wlnych rzwiązywaneg układu równań. UWAGA! Znak = w równaniach wprwadza się przez [Ctrl =]. Na ekranie pjawi się wtedy pgrubiny znak =. Układ równań: a. b. c. a. b c. a. b c Macierz współczynników: Wyrazy wlne: W R 7 Równanie macierzwe: X W. R Rzwiązanie: X = czyli a=, b=, c=. Przy rzwiązywaniu układu równań nieliniwych należy pstępwać w spsób następujący:

16 6. Pdać przybliżne wartści wszystkich niewiadmych.. Wpisać plecenie Given (dane).. Wpisać wszystkie równania.. Wpisać równanie macierzwe zawierające plecenie Find(x,y,z,a,b,...). W nawiasie za pleceniem Find muszą się znaleźć wszystkie szukane niewiadme. Jeżeli zmiennych jest więcej niż jedna, t rzwiązaniem układu będzie macierz jednklumnwa (wektr). Przykład: Rzwiązywanie układu trzech równań z trzema niewiadmymi. Wpisujemy równania w niżej pdany spsób: x y z Given x y xy. 7 x z zz. 8 y z yz. 9 Find( x, y, z) = Funkcja find blicza dkładne wartści rzwiązania. W niektórych przypadkach prgram Mathcad nie ptrafi ich pdać. Wówczas należy spróbwać z wartściami przybliżnymi. Służy d teg funkcja minerr pszukująca rzwiązań z minimalnym błędem. Przykładw: Okrąg. x + y = nie przecina się z prstą y = x.5 x y Given x y y x.5 minerr( x, y) =

17 7 6. OBLICZENIA NA LICZBACH OGÓLNYCH Wielką zaletą Mathcada jest mżliwść prwadzenia bliczeń na liczbach gólnych. Jest t nie tylk bliczanie pchdnych i całek na liczbach gólnych, ale również mżliwść prządkwania, upraszczania i grupwania wyrażeń, a więc peracji niezbędnych w matematyce w prcesie dchdzenia d wyniku. Ich znaczenie jest skrótw mówine pniżej. Prgram umżliwia uprszczenie wyrażenia p tczeniu teg wyrażenia ramką wybru. Wyknuje się t pprzez kliknięcie na wyrażeniu myszką, a następnie wciskamy klawisz [Spacja], tak dług, aż pzima kreska będzie pd całym wyrażeniem. Evaluate Symblically (wyznacz) Plecenie stswane d bliczania pchdnych, całek, sum, ilczynów Np. w celu bliczenia c wybieramy plecenie [Symblic Evaluate Symblically] lub naciskamy [Shift F9]. Rzwiązaniem tej całki będzie. c Simplify (uprść wyrażenie) Mathcad uprści zapis ( x ) + x 5 x d x sin( x) cs x ( ) d sin x. ( ). cs ( x) cs( x) Expand wymnażanie wyrażeń (rzszerz) Wymnżeniu ulegają wszystkie zapisy ptęg, sum i ilczynów w zapisie, np. ( a b) zstanie rzszerzne d a + a b+ b. sin(x) zstanie rzszerzne d *sin(x)*cs(x) Factr (rzkładanie wyrażeń na czynniki) Mathcad ddaje ułamki, upraszcza je, wyknuje na nich działania. Pjedyncza liczba zstanie rzłżna na czynniki pierwsze. ab. 6a. b. ( b 6).( a ) 5 (5)*(7)*(67) Cllect Wyciąganie parametru przed nawias (grupuj) Grupwanie i szeregwanie składników wyrażenia względem wybranej zmiennej. Wyrażenie x a y x + y x x mżna uprządkwać względem zmiennej x i trzymamy wtedy ( a* y) x + ( y ) x. +

18 8 UWAGA! Przed wydaniem niżej przedstawinych pleceń należy ująć właściwą zmienną w ramkę. Differentiate (Symblic Variable) (pchdna) Służy d bliczania pchdnych z funkcji. W przypadku wyrażenia, w którym występuje kilka zmiennych mżna wskazać zmienną, względem której Mathcad bliczy pchdną. Pchdna wyrażenia x + y bliczna względem x daje x, ale pchdna względem y daje. Integrate (Symblic Variable) (całkwanie) Dtyczy całkwania na zasadach pdbnych d bliczania pchdnych. Slve (Symblic Variable) (rzwiąż) Pzwala na znalezienie pierwiastka równania. Należy najpierw kreślić, która z liter w równaniu jest zmienną. Wybranie zmiennej dbywa się przez kliknięcie na niej myszą. UWAGA! Znak równści wprwadza się pprzez [Ctrl =]. Mżna również rzwiązywać nierównść. W dpwiedzi trzymamy wtedy przedział wartści zmiennej. Działanie teg plecenia jest pdbne d rezultatu działania plecenia [Rt], ale krzystanie z menu jest częst wygdniejsze. x. x e x 5 ln( 5) Substitute zamiana zmiennych w wyrażeniach (pdstaw) Zastswanie plecenia ma na celu pdstawienie dwlnej liczby lub wyrażenia pd dwlną zmienną. Dknuje się teg w następujący spsób. Należy:. Wybrać wyrażenie, które zastąpi zmienną.. Skpiwać je d Schwka używając plecenia [Cpy].. Kliknąć na zmiennej, pd którą ma być pdstawine wyrażenie i wybrać plecenie [Symblics Variable Substitute]. x. x 7 y pdstawiamy w miejsce x. y y 5 Expand t Series (rzwiń w szereg Taylra)

19 9 P wybraniu zmiennej w funkcji lub wyrażeniu, względem której nastąpi rzwinięcie w szereg, należy wydać plecenie [Expand t Series...]. Mathcad pkaże wówczas rzwinięcie, w którym statni wyraz będzie znaczny O(f(x)). Znak O znacza resztę rzwinięcia. Przed przystąpieniem d dalszych peracji z tym rzwinięciem należy usunąć statni wyraz. sin( x) x. 6 x. 0 x5 Ox 6 Cnvert t Partial Fractin przedstawienie wyrażeń jak sumy ułamków (rzłóż na ułamki prste) Ułamki, które zawierają wielmiany w liczniku i w mianwniku mżna rzbić na ułamki prste. Niezbędne jest jednak, by wszystkie stałe były liczbami całkwitymi. x x. 5x 6 ( x ).( x ).( x ) 6 ( x ) 5 ( x ) Mathcad umżliwia również różne peracje na macierzach zbudwanych z liczb gólnych. Transpse Matrix (transpnuj macierz) Należy wybrać macierz przez kliknięcie na niej, a następnie wskazać dpwiednie plecenie. Invert Matrix (dwróć macierz) Determinant (wyznacznik macierzy)

20 0 7. OBLICZENIA NA LICZBACH ZESPOLONYCH Oprócz mżliwści bliczeń na liczbach rzeczywistych, Mathcad umżliwia przeprwadzanie bliczeń na liczbach zesplnych. Liczby zesplne składają się z części rzeczywistej i części urjnej. Części te różnią się d siebie tzw. Jednstką urjną czyli i lub j (w zależnści d ustawień w knie dialgwym Number Frmat w plu Imaginary). W celu definicji liczby zesplnej należy wprwadzić symbl zmiennej, następnie symbl przypisania (definicji lkalnej lub glbalnej) raz samą liczbę zesplną. Aby zdefiniwać liczbę zesplną, należy wpisać wartść części zesplnej, a następnie wpisać symbl jednstki urjnej, zgdnie z ustawieniami parametrów w prgramie. Mżna także wpisać wartść jednstki urjnej, następnie wprwadzić peratr mnżenia i na zakńczenie jednstkę urjną.: i. z 5 i z 8 i z z = + i ddawanie z z = 7 + 6i dejmwanie z. z = 8 + i mnżenie z = +i z = i z z = i z = 6 76i dzielenie pdnszenie d ptęgi z 0.5 = i z = i pierwiastkwanie z = 8.6 mduł liczby zesplnej 8. OBLICZENIA Z WYKORZYSTANIEM JEDNOSTEK MIAR. Prgram Mathcad umżliwia krzystanie z pięciu różnych systemów miar. Aby zmienić dmyślny system miar (SI), należy wywłać kn dialgwe [Optins...] z menu [Math], a następnie na strnie Unit System wybrać pżądany system miar. Obliczenia z wykrzystaniem jednstek miar wyknuje się tak sam, jak inne bliczenia. Jedyną różnicą, jest t, że przy definiwaniu zmiennej za wartścią, wprwadzamy nazwę jednstki miary przypisaną d tej zmiennej. Pewnym utrudnieniem jest t, że nazwy jednstek należy wprwadzać w języku angielskim. Jednak, gdy nie wiemy jaki

21 ma symbl lub jaką nazwę ma jednstka, którą mamy wprwadzić d dkumentu wystarczy wpisać wartść liczbwą zmiennej, a następnie wywłać kn dialgwe Insert Unit i z listy Dimensin wybrać ptrzebny rdzaj jednstki, c spwduje wyświetlenie dstępnych jednstek na liście Unit. Przykład: F 5N F = 5 kg m s lub S t v 6km hr S t v = 0 m s Prgram Mathcad umżliwia wprwadzenie własnych jednstek. Mżemy wprwadzić w pwyższym przykładzie w miejsce angielskieg znaczenia gdziny [hr], na przyjęte znaczenie w języku plskim [h]. S 6km h hr t v h S t v = 0 m s 9. PLIKI DANYCH Mathcad psiada dwa typy funkcji służących d zapisywania i dczytywania zbirów danych z rzszerzeniem DAT. z plików na dysku. READ, WRITE, APPEND służą d zapisywania i dczytywania pjedynczych danych. Nazwy funkcji pisane muszą być wielkimi literami. Twrzne pliki autmatycznie trzymują rzszerzenie DAT. vn:=read(nazwa pliku) dczytanie danej wartści vn z pliku, z pzycji n. WRITE(nazwa pliku):=vn zapisanie danej wartści vn na pliku na pzycji n. APPEND(nazwa pliku):=vn dłączenie wartści vn d pliku i ustawienie jej na pzycji n. Działania na zbirach danych typu PRN przeprwadza się w spsób identyczny, jak na pjedynczych danych.

22 Plecenia READPRN, WRITEPRN, APPENDPRN dnszą się d całych macierzy danych. Pliki zawierające elementy macierzy mają dmyślne rzszerzenie PRN. A:=READPRN(nazwa pliku) dczytanie danych z pliku i umieszczenie ich w macierzy A. WRITEPRN(nazwa pliku):=a zapisuje dane z macierzy d pliku. APPENDPRN(nazwa pliku):=a dłączy dane d macierzy już istniejącej jeżeli ma tę samą liczbę klumn i wierszy. W Mathcadzie istnieją również tzw. wbudwane funkcje, które pzwalają na kreślenie szerkści klumn macierzy - PRNCOLWIDTH:=n raz na kreślenie dkładnści wyświetlanych liczb - PRNPRECISION:=n. Plecenia te winny pprzedzać plecenie WRITE. Przykład: y 0, WRITE ("plik_dat" ) y i.. x i READ ("plik_dat" ) x i z 0, APPEND ("plik_dat" ) z i.. 8 x i READ ("plik_dat" ) x i PODSTAWOWE OBLICZENIA STATYSTYCZNE Prgram Mathcad psiada także wbudwany cały szereg funkcji d bróbki statystycznej. Pniżej zstaną przedstawine tylk pdstawwe funkcje d bliczeń statystycznych. Średnia arytmetyczna mean(x) Średnią arytmetyczną mżna bliczyć z dwlnych rzmiarów tablicy (macierzy), lub wektra.

23 A 5 6 v ( 6 ) mean( A ) = 5 mean( v) = Odchylenie standardwe stdev(x) D bliczenia dchylenia standardweg z wartści macierzy służy funkcja stdev(x) A stdev ( A ) =.58 Wariancja var(x) A var( A ) = Kwariancja cvar(x,y) Obliczenie kwariancji z dwóch macierzy. 6 5 A 8 B cvar( A, B) =.667 Krelacja crr(x,y) 6 5 A 8 B crr( A, B) = 0.. GRAFIKA Mathcad feruje szerkie mżliwści twrzenia wykresów funkcji raz płączną z nimi statystykę.

24 Twrzenie wykresu Najpierw należy wybrać dpwiedni duży, pusty bszar, na którym znajdzie się wykres, a następnie wyświetlić pasek narzędzi Graph Palette pprzez kliknięcie przycisku [Graph Palette] w pasku narzędzi Math Palette. Umżliwi t nam szybkie wstawianie wykresów d dkumentu. Teraz należy wybrać z paska narzędziweg lub z menu [Insert Graph X Y Plt]. Pjawi się wtedy ramka z małymi czarnymi prstkątami. Skrajne prstkąty przy każdej z si służą d wprwadzenia zakresów wartści i argumentu funkcji. Aby wprwadzić argumenty należy kliknąć na dpwiednim prstkącie myszą. Zakres w jakim chcemy przedstawić funkcję na wykresie jest dbierany autmatycznie w zależnści d wartści zmiennej zakreswej, względem której bliczane są wartści funkcji. Jeżeli funkcja jest liczbą zesplną Mathcad wykreśli tylk część rzeczywistą. Część urjna jest pmijana. Mathcad rzpcznie ryswanie wykresu p wciśnięciu F9 lub p kliknięciu pza wykresem. Przykład: x 0.5,.. 00 y( x) lg( x) y( x) x Zmiany wykresu W celu zmiany wielkści wykresu należy najpierw kliknąć myszą na wykresie, a następnie ustawić kursr na czarnym kwadraciku (tzw uchwycie). Trzymając wciśnięty lewy klawisz i przesuwając myszą mżemy ustawić żądaną wielkść wykresu. Kliknięcie pza wykresem kńczy perację. W celu zmiany wyglądu wykresu należy na nim kliknąć dwukrtnie myszą, lub pprzez wybranie [Frmat Graph Plt ]. Pkaże się wtedy kienk dialgwe, w którym znajdują się następujące pcje: Strna X Axis: - grupa pcji dnszących się d si X wykresu (pcje dtyczące si Y są identyczne). Lg Scale - ustawia pdziałkę si na lgarytmiczną, Grid Lines - znaczniki na siach zstają zastąpine przez linie siatki, Numbered - znaczniki na siach zstają pnumerwane,

25 5 Autscale - wartści si X są dbierane samczynnie, Shw Markers - służy d ddania pinwych i pzimych linii, Aut Grid - wprwadza autmatyczny pdział wykresu pdczas ryswania linii siatki dla pszczególnych si wykresu), N. f Grids pcja dstępna, gdy nie jest wybrana pcja Aut Grid. Służy d ustalenia liczby linii siatki dla pszczególnych si. Axes Style pcje tej grupy dtyczą wyglądu układu współrzędnych wykresu. Bxed układ współrzędnych przedstawiny jest w pstaci ramki, Crssed - układ współrzędnych przedstawiny jest w pstaci dwóch si, Nne brak układu współrzędnych, Equal Scales pdziałka si Y jest taka sama jak dla X. Strna Traces W przypadku umieszczenia w jednym układzie współrzędnych kilku wykresów, mżna te wykresy wyróżnić różnymi klrami, raz innymi stylami linii. Na tej strnie mamy d wybru szesnaście różnych rdzajów linii. Każda krzywa psiada zestaw parametrów d wybru. Są t następujące parametry: Symbl, Line, Clr, Type raz Weight. Każdy z tych parametrów mżna zmieniać pprzez wybór na przewijalnych listach pprzez zaznaczenie:. Legend Label lista z nazwami krzywych, Symbl wybór rdzaju znaczników, jakie będą naniesine na każdy punkt wykresu, Line rdzaj linii, jaką będzie naryswany wykres, Clr klr linii Type kreśla, jaki rdzaj wykresu reprezentuje dana krzywa. Weight kreśla grubść linii, Hide Arguments ukrycie znaczeń przyprządkwanych pszczególnym sim, Hide Legends wyświetlanie legendy zawierającej przykłady linii. Strna Labels Strna Labels służy d nadawania nazw wykresm i sim. Title ple tekstwe d wpisania tytułu wykresu: Abve tytuł nad wykresem Belw tytuł pd wykresem, Shw Title wykres zawsze widczny (niezależnie d płżenia tytułu). Axis Labels nadanie nazw pszczególnym sim wykresu:

26 6 X Axis: - tytuł si X Y Axis: - tytuł si Y. Strna Defaults Strna Defaults służy d przywrócenia standardwych ustawień prgramu dnśnie wykresów. Change t Default przywrócenie standardwych ustawień dla aktualneg wykresu, Use fr Defaults aktualne ustawienia parametrów wykresu zstają przyjęte za dmyślne dla wszystkich następnych wykresów.. REGRESJA LINIOWA Mathcad umżliwia dpaswanie prstej d zbiru punktów metdą minimalizacji błędu kwadratweg i pzwala szacwać jakść dpaswania. W tym celu wykrzystuje się trzy funkcje: crr(vx,vy) - funkcja blicza współczynnik krelacji, slpe(vx,vy) - współczynnik nachylenia prstej, intercept(vx,vy) - współczynnik regresji. UWAGA! Zawarte w nawiasach symble vx i vy znaczają wektry zawierające dcięte raz rzędne punktów danych. Przykład: Dla zbiru danych punktów wykreślić prstą regresji. x i i a b y i REGRESJA LINIOWA ( Współrzędne punktów danych ) Współczynnik krelacji slpe( x, y) a = 5.57 r crr( x, y) intercept ( x, y) b =.078 r =

27 7 Mżliwe jest również bliczenie ddzielnie dla każdej współrzędnej następujących wartści: mean(v) - wartść średnia, var(v) - wariancja, stdev(v) - dchylenie standardwe. Wartść v w nawiasach znacza wektr zawierający dcięte lub rzędne wprwadznych danych; np. var(vx). Wyżej przedstawin przykład rzwiązania zagadnienia regresji liniwej dla 6 punktów danych.. FUNKCJE INTERPOLACJI W praktyce bliczeniwej mżna częst się sptkać z funkcjami, których wartści są dane tylk dla skńczneg zbiru argumentów. Tak bywa, gdy wartści te są wzięte z pmiarów, lub gdy są dczytane z tablic. Jednakże w prcesie bliczeń częst trzeba znaleźć wartści funkcji dla pewnych pśrednich wartści argumentu - peracja ta jest nazywana interplacją. Efektem kńcwym interplacji mże być też wykreślenie krzywej przechdzącej przez kilka punktów. Krzywa ta mże być łamana (punkty zstaną płączne prstymi dcinkami) lub gładka. Mathcad wykrzystuje dwie funkcje interplacyjne: linterp(vx,vy,x) - interplacja linią łamaną, interp(vs,vx,vy,x) - interplacja krzywą gładką. Znaczenie symbli w nawiasach (argumentów funkcji) jest następujące: vx raz vy t wektry danych, czyli współrzędne wprwadzanych punktów; dpwiedni dcięte raz rzędne. x kreśla zakres interplacji raz dkładnść, np. x:= 0,0... znacza że Mathcad przeprwadzi interplację d wartści 0 na si dciętych pprzez wartść 0. i dalej d, czyli bliczy 0 punktów. Im więcej punktów, tym dkładniejsza interplacja. vs jest wektrem generwanym przez wektry danych. Od jeg wartści zależy kształt krzywej w punktach kńcwych interplacji, a mianwicie: vs:=lspline(vx,vy) - krzywa interplująca na kńcach przechdzi w prste, vs:=pspline(vx,vy) - krzywa na kńcach przechdzi w parable, vs:=cspline(vx,vy) - krzywa na kńcach przechdzi w funkcję trzecieg stpnia. Klejnść pstępwania:. Pdać liczbę punktów, np.: i:= sześć punktów.

28 8. Wpisać vx : = raz pdać klejn wartści dciętych (ddzielając je przecinkami). P i pierwszej wartści i przecinku pjawi się tabela na dane. Pdbnie pstępujemy przy wpisywaniu rzędnych zaczynając d napisania vy i :=. Wpisać typ wektra vs (jeżeli będzie t interplacja krzywą gładką, jeżeli zaś łamaną, t ten punkt mżna pminąć) np. vs:=pspline(vx,vy) lub inne - patrz wyżej.. Wpisać zakres interplacji, czyli pierwszą wartść zmiennej, drugą i największą; np. x:= 0, Zakres interplacji pwinien być szerszy d zakresu wprwadznych danych. 5. Wybrać miejsce w dkumencie na wykres i wybrać plecenie [Create Graph]. 6. W prstkącie przy si dciętych wpisać x. 7. W prstkącie przy si rzędnych wpisać interp(vs,vx,vy,x) - jeżeli jest t interplacja krzywą gładką, lub linterp(vx,vy,x) - jeżeli jest t interplacja krzywą łamaną. 8. Kliknąć myszą pza wykresem. Pniżej przedstawin przykład przeprwadzenia gładkiej krzywej interplacyjnej przez zadany zbiór punktów raz interplacji - bliczenia wartści rzędnej dla punktu leżąceg na tej krzywej pmiędzy punktami danych (dla dciętej x=7).

29 9 Przykład: PRZYKŁADY. Wyknać wykres parabli równaniu: y y+ x = 0 i prstej równaniu x = - i znaleźć współrzędne punktów przecięcia parabli z prstą. Rzwiązanie y y + x 0 Równanie rzwiązujemy symblicznie względem zmiennej y + x x + x ( x) y 0 x := x, x, + x x. = <= wspólrzędne y punktów przecięcia 0.

30 0. Narysuj funkcję f( x)= xe x w przedziale [-,] i prstą styczną w punkcie x =. Rzwiązanie fx ():= xe x Szukamy równania stycznej pstaci y = a x + b. Współczynnik a jest równy pchdnej funkcji f(x) w punkcie. x := a d := dx fx () a = Współczynnk b wyznaczamy z warunku : f( ) a + b ( mżna skrzystać z rachunku symbliczneg variabble -> slve względem zniennej b) b := f( ) a b = 6 f() z az + b zz,. Oblicz ple bszaru graniczneg krzywymi pisanymi przez funkcje : x f ( x) = e g ( x) = x + Rzwiązanie fx ():= e x gx ():= x f( x) gx ( ) x

31 Szukamy punktów przecięcia się bu krzywych w klicyx = - i x =. x:= Given fx () gx () x := Find() x Uwagi:) pmiędzy Given i Find nie mże być innych wyrażeń matematycznych niż równania lub nierównści kreślające szukane wartści; ) W tym przykladzie zamiast prcedur Given i Find mżna użyć również funkcjirt. x =.965 f( x ) = 0. gx ( ) = 0. x := Given fx () gx () x := Find() x x =.058 f( x ) =.88 Ple bszaru graniczneg krzywymi f(x) i g(x) wynsi: gx ( ) =.88 x gx () fx () dx = 6.8 x. Naryswać czwrkąt wierzchłkach: A(,-), B(,-), C(,), D(0,) i przekątne AC i BD. Wyznaczyć długść przekątnej AC i kąt jaki twrzy z bkiem AB. Rzwiązanie M := 0 0 i:= <= współrzędne wierzchłków w klejnśc ABCDACBD D C M, i A := M 0 B := M 0 B A 0 M 0i, C := M D := M AC := C A BD := B D AC = 5 BD =. <= długść AC cs( α) AC BD AC BD α := acs AC BD AC BD α = 5 deg kńcwy wzór naα mżna trzymać z pprzednieg symblicznie pprzez: variable ->slve

32 . ZADANIA. Oblicz wartść wyrażenia a b c + b c x = ( a+ b+ c) a + b c 0 5 dla a = b = c = Arkusz z bliczeniem zapamiętaj na pliku WYKONANE.. Oblicz wartści niżej pdaneg wyrażenia dla x= 0, x=, x= : x + x. Wymnóż macierze: A 0 raz B 0 Arkusz z bliczeniami zapamiętaj pd nazwą MACIERZE.. Odwróć macierz: 0 0. A = Sprawdź czy dla n=00 zachdzą pniższe równści: n = ( n + )... n raz n n ( n+ ) = ( n+ ) ( n+ ) Czy t są tżsamści? 6. Oblicz wartści wyrażenia: x = a a + 5 dla a zmieniająceg się d 0 d 5 z krkiem równym. Wyniki wydrukuj. 7. Oblicz pchdną funkcji f(x) = x 5 dla x= Stsując bliczenia iteracyjne blicz cztery całki z funkcji sin(x) w przedziałach π π π,,,,,, 0, π 9. Rzwiąż równanie x + x + = x. 0. Rzwiąż nierównści: a) x > raz b) x + x + >

33 .Rzwiąż układ równań: = x y z + + = x y z + = x y z 5 5. Równanie pstaci x + y 5 x + 6 z = 7 9 przekształć d pstaci x=f(y,z).. Oblicz całkę nieznaczną raz pchdną funkcji f( x) = x 5 +. Uprść wyrażenie ( n + n+ + n ) ( n+ ) ( n ) 5.Wyknaj ptęgwanie ( a+ b). 6. Przedstaw liczbę 808 w pstaci ilczynu liczb pierwszych. 7. Sprwadź d wspólneg mianwnika ułamki: z y x y + + x z y 8. Uprządkuj wyrażenie względem x: ( x + y) [( x + y) x y] + ( x y) 9. Oblicz pchdną funkcji f(x,y) względem y: f( x, y)= x y+ x y. 0. Oblicz całkę z f( x, y)= x y + x y względem y.. W równaniu y x + x y + y = pdstaw x = + y a następnie znajdź rzwiązanie równania.. Rzwiń exp(x) w szereg.. Rzłóż x + x + x na ułamki prste.

34 . Transpnuj macierz a b A = a 5. Odwróć macierz pdaną w zadaniu Zapisz na plik dziesięć pierwszych wartści ciągu liczbweg. n +, n N 7. Wykreśl funkcję x f ( x) = sin( x) + π w przedziale d π d π. 8. Wykreśl prstą regresji dla x,0, x N, y = {.,.,.9,.,5.,6.0,6.9,8.,9.0,} Wyznacz z prstej regresji wartść rzędnej dla x=0. 9. Pprzez punkty (-,), (0,), (,0), (5,), (7,), (,), (5,-) przeprwadź gładką krzywą interplującą typu cspline i wyznacz wartść rzędnej y w punkcie dciętej x = 9 raz pza bszarem danych, dla x =. Prównaj trzymane wyniki z wartściami y i y trzymanymi przy interplacji krzywymi typu lspline i pspline. 0. Wykreśl elipsę równaniu : 5x + 6xy+ 5y = dla x z zakresu d 5 d 5, i prstej równaniu x = dla y z przedziału [-, ]. Znajdź współrzędne punktów przecięcia elipsy z prstą. Wskazówka: aby zrbić wykres rzwiąż symblicznie równanie elipsy względem y.. Narysuj trójkąt wierzchłkach: A(,-), B(,-), C(0,). Wyznacz ple trójkąta P z wzru Herna: P = p( p a)( p b)( p c) gdzie a,b,c a + b + c są wektrami wyznacznymi przez bki trójkąta, zaś p =, a znacza długść wektra a. Prównaj je z plem blicznym wg wzru P= A B C A B C (pierwsza para pinwych kresek t bezwzględna wartść, druga znacza wyznacznik; A0, A, B0, B, C0, C t współrzędne wierzchłków trójkąta).. Dla trójkąta współrzędnych A(-,-), B(0,), C(,) wyznacz współrzędne punktu D leżąceg na bku AB tak, aby dcinek CD był prstpadły d dcinka AB. Zrób wykres teg trójkąta wraz z dcinkiem CD (jest t jedna z wyskści trójkąta). AC AB Wskazówka: Wyznacz wektr: AD:= AB. AB

35 5 ROZWIĄZANIA. 6..+i,, 0. Α Β = 0 0. Α = , 9, 5, 85, 5, 905, 589, 55, ,,.707, 9. x= 0. a) x < x > b) x < x >. x= 6, y=, z=. x = 9 y z. Całka: 6 x + x; pchdna: 5x 6. n 5. a + a b+ 6a b + ab + b 6. Liczba 7 ; 7. Wynikiem jest ułamek x z + xy + yz xyz 8. x ( + y ) + y 9. x + 6x y 0. x y + xy. y y Wynik: = czyli ( + y) ( + y) = Rzwiązanie równania: ; i i. Przy rzędzie aprksymacji (Order f apprximatin): + x + x + x + O( x ) 6. + x x +

36 6. a b a 5. a b a b a b a a b a b 8. a =.8, b = 0.69; y = dla x = dla x =9 cspline lspline pspline x = x =, y = -, y = -0.. P =.5. D = (-0.5,.5)

37 7 5 DODATEK KOMBINACJE KLAWISZY Systemwe Okna przechdzenie pmiędzy uruchminymi prgramami [Alt + pd Windws Tab] Zamknięcie prgramu Mathcad [Alt +F] Start wywłanie paska z menu zadań Windws [Ctrl + Enter] Prgramu (Mathcad) Dkumenty przechdzenie pmiędzy klejnymi dkumentami [Ctrl + F6] Odnajdywanie frazy wpisanej w dkumencie (ciągu znaków) [Ctrl + F5] Odświeżanie aktualneg kna dkumentu. [Ctrl + R] Okna przechdzenie pmiędzy twartymi knami dkumentów. [Ctrl + Tab] Okna utwrzenie nweg kna w prgramie. [Ctrl + N] Otwarcie istniejąceg dkumentu (wywłanie kna dialgweg [Ctrl + Open) O] Pmc kntekstwa [Schift + F] Wyjście z prgramu Mathcad [Ctrl + Q] Zamknięcie. aktywneg dkumentu [Ctrl + F] Zapisanie aktualneg dkumentu pd aktualną nazwą. [Ctrl + S] Edycyjne Pisanie frmuł i tekstów

38 8 Greckie zmienia litery z łacińskich na greckie i na dwrót [Ctrl + G] Jednstki Macierz Oszacwanie Przemieszczanie Regin wywłuje kn dialgwe d wstawiania jednstek d dkumentu. wstawia macierz wymiarach zadanych w knie dialgwym Insert Matrix [Ctrl + U] [Ctrl + M] wyrażeń symblicznych. [Schift + F9] pmiędzy znacznikami w niekmpletnych wyrażeniach [Tab] utwrzenie reginu tekstweg w miejscu, w którym znajduje się kursr rbczy. [Schift + ] Wstawianie Regin wyjście z reginu tekstweg [Schift + Enter] Wstawianie wywłuje kn dialgwe Insert Functin, które [Ctrl + F] pzwala na wstawianie standardwych funkcji prgramu Zastępwanie zmienia płżenia punktu wstawiania (przed lub za wyrażeniem) lub ramki wybru [Insert] wpisanej frazy na inną [Schift + F5] Kpiwanie, wycinanie, wklejanie Cfnięcie statniej czynnści [Alt + Backspace] Skpiwanie d Schwka zaznacznych reginów [Ctrl + C] Usunięcie reginów - wybranych (zaznacznych) [Ctrl + D] Usuwa. pusty wiersz [Ctrl + F0] Wstawienie zawartści Schwka [Ctrl + V] Wstawia pusty wiersz [Ctrl + F9] Wycięcie d Schwka zaznaczneg bszaru (reginów) [Ctrl + X] Wykres Biegunwy wstawia wykres biegunwy. [Ctrl + 7]

39 9 Dwuwymiar wstawia wykres dwuwymiarwy [Schift + ] wy Knturwy wstawia wykres knturwy. [Ctrl + 5] Pwierzchniwniwy. wstawia trójwymiarwy wykres pwierzch- [Ctrl + ] Regin twrzenie reginu przeznaczneg d rysunku [Ctrl + T] [Alt + Backspace] - cfnięcie statniej peracji pisania. [Alt +F] - zamknięcie prgramu Mathcad. [Alt + Tab] - przechdzenie pmiędzy knami prgramów uruchminych pd Windws. [Ctrl + Enter] - wywłanie menu Start z paska zadań Windws. [Ctrl + F] - zamknięcie aktywneg dkumentu. [Ctrl + F5] dnajdywanie w dkumencie wpisanej frazy (ciągu znaków). [Ctrl + F6] - przechdzenie pmiędzy klejnymi dkumentami twartymi aktualnie d edycji w prgramie Mathcad. [Ctrl + F9] - wstawia pusty wiersz. [Ctrl + F0] - usuwa pusty wiersz. [Ctrl + Tab] - przechdzenie pmiędzy twartymi knami dkumentów w knie prgramu Mathcad. [Ctrl + C] - skpiwanie d Schwka zaznacznych reginów. [Ctrl + D] - usunięcie wybranych (zaznacznych) reginów. [Ctrl + F] - wywłuje kn dialgwe Insert Functin, które pzwala na wstawianie standardwych funkcji prgramu. [Ctrl + G] - zmienia litery z łacińskich na greckie i na dwrót. [Ctrl + M] - wstawia macierz wymiarach zadanych w knie dialgwym Insert Matrix.. [Ctrl + N] - utwrzenie nweg kna w prgramie. [Ctrl + O] - wywłuje kn dialgwe Open, które umżliwia twarcie istniejących dkumentów prgramu. [Ctrl + Q] - wyjście z prgramu Mathcad.

40 0 [Ctrl + R] - dświeżanie aktualneg kna dkumentu. [Ctrl + S] - zapisanie aktualneg dkumentu pd aktualną nazwą. [Ctrl + T] - twrzenie reginu przeznaczneg d rysunku. [Ctrl + U] - wywłuje kn dialgwe d wstawiania jednstek d dkumentu. [Ctrl + V] - wstawienie zawartści Schwka. [Ctrl + X] - wycięcie d Schwka zaznaczneg bszaru (reginów). [Ctrl + ] - wstawia trójwymiarwy wykres pwierzchniwy. [Ctrl + 5] - wstawia wykres knturwy. [Ctrl + 7] - wstawia wykres biegunwy. [Insert] - zmienia płżenia punktu wstawiania (przed lub za wyrażeniem) lub ramki wybru. [Schift + ] - wstawienie wykresu dwuwymiarweg. [Schift + F] - wywłanie pmcy kntekstwej. [Schift + F5] - zastępwanie wpisanej frazy na inną. [Schift + F9] - szacwanie wyrażeń symblicznych. [Schift + ] - utwrzenie reginu tekstweg w miejscu, w którym znajduje się kursr rbczy. [Schift + Enter] - wyjście z reginu tekstweg. [Tab] - przemieszczanie pmiędzy znacznikami w niekmpletnych wyrażeniach. KLAWISZE FUNKCYJNE [F] - uruchmienie systemu pmcy [F] - skpiwanie zaznaczneg znaku lub bszaru (reginów) d Schwka. [F] - wycięcie zaznacznych reginów z dkumentu i umieszczenie ich w Schwku. [F] - wstawienie zawartści Schwka w miejscu, w którym znajduje się kursr rbczy. [F5] - twarcie istniejąceg dkumentu z dysku (pliku); wywłanie kna dialgweg Open. [F6] - zapisanie bieżąceg dkumentu na dysk pd bieżącą nazwą. [F7] - twarcie nweg dkumentu. [F9] - pnwne przeliczenie zadeklarwanych bliczeń, funkcji, aktualizacja wykresów itp. SKRÓTY KLAWIATUROWE OPERATORÓW definicja lkalna [:]

41 definicja glbalna [~] ddawanie [ + ] dejmwanie [ -] mnżenie [ * ] dzielenie [ / ] ptęgwanie [ ^ ] prcent [ % ] silnia [! ] wartść bezwzględna, a w dniesieniu [ ] d macierzy wyznacznik macierzy. pierwiastek kwadratwy [ \ ] pierwiastek dwlneg stpnia. [ Ctrl +\ ] pchdna [? ] pchdna wyższeg rzędu [ Ctrl + Shift +? ] całka znaczna [ & ] całka nieznaczna. [ Ctrl + I ] ilczyn wyrażeń [ # ] ilczyn wyrażeń z kreśleniem zakresu. [ Ctrl + Shift + ] suma wyrażeń. [ $ ] suma wyrażeń z kreśleniem znaku. [ Ctrl + Shift + ] nawiasy dwa na raz. [ ] równść - twardy znak używany np. w [ Ctrl + = ] definicji równań mniejsze [ < ] znak większści. [ > ] indeks górny. [ [ ] ddanie wiersza prgramu. [ ] ] if (jeżeli) [ Shift +] ] peratr przypisania lkalneg. [ Shift +[ ] indeks dlny. [. ]

42 górna granica przedziału zmiennści. [ ; ] druga wartść z przedziału zmiennści. [, ] znak równści symblicznej. [ Ctrl +. ] wektr twrzenie wektra [ Ctrl + ] znak większe lub równe niż. [ Ctrl + 0 ] peratr transpzycji macierzy. [ Ctrl + ] peratr różnści. [ Ctrl + ] wektr - suma elementów. [ Ctrl + ] pdanie wybranej klumny macierzy. [ Ctrl + 6 ] peratr ilczynu lgiczneg. [ Ctrl + 8 ] mniejsze lub równe [ Ctrl + 9 ] symbl granicy prawstrnnej. [ Ctrl + A ] symbl granicy lewstrnnej. [ Ctrl + B ] symbl całki nieznacznej. [ Ctrl + I ] ddawanie z przeniesieniem d następnej [ Ctrl + J ] linii. symbl granicy. [ Ctrl + L ] wstawienie (symblu) liczby pi (litery [ Ctrl + P ] ) nieskńcznść - symbl [ Ctrl + Z ] przeniesienie długieg wyrażenia d następneg [ Ctrl + Enter ] wiersza ze znakiem ddawania. STRUKTURA MENU GŁÓWNEGO Menu File New... twarcie nweg dkumentu. Open... twarcie wcześniej zapisaneg dkumentu na dysku; czyli dkumentu już istniejąceg. Clse zamyka aktywny dkument prgramu. Save zapisanie dkumentu pd aktualną nazwą. Save As zapisanie dkumentu pd inną nazwą, w innym frmacie, w innym katalgu, dysku. Cllabratry... wyświetla kn dialgwe d pracy pdczas pdłączenia d adresu internetweg firmy Mathsft.

43 Internet Setup... twiera kn dialgwe d sknfigurwania parametrów płączenia internetweg. Page Setup... - wywłuje kn dialgwe d ustalenia marginesów strny i frmatu papieru. Print... twiera kn dialgwe Print, w którym ustala się parametry drukwania. Exit wyjście z prgramu Mathcad. Menu Edit Und cfnięcie statniej zmiany. Red pwtórzenie statniej peracji. Cut wycięcie z dkumentu i skpiwanie d Schwka zaznaczneg bszaru. Paste wstawienie zawartści schwka w miejscu, gdzie znajduje się kursr bszaru rbczeg. Paste Special... wstawienie zawartści Schwka z mżliwścią mdyfikacji. Tak wklejny biekt mżna później edytwać w aplikacji źródłwej. Delete usuwa zaznaczne reginy w aktywnym dkumencie. Select All zaznacza wszystkie reginy w aktywnym dkumencie. Find... wyszukuje żądany ciąg znaków. Replace... zmienia wpisany ciąg znaków na inny. G t Page przemieszcza widk dkumentu d zadeklarwanej strny. Check Spelling... sprawdza piswnię w reginach tekstwych. Links... wyświetla kn dialgwe Łącza d zarządzania płączeniami typu OLE. Obiekt zarządza wstawinymi biektami d prgramu Mathcad. Menu View Tlbar steruje wyświetlaniem i ukrywaniem głównych pasków narzędzi. Frmat Bar steruje wyświetlaniem i ukrywaniem drugieg paska narzędzi Frmat Bar. Math Palette steruje wyświetlaniem i ukrywaniem paska narzędzi d bliczeń. Regins pdświetla wszystkie reginy w dkumencie. Obszar rbczy jest wyświetlany w klrze szarym. Zm... wyświetla kn dialgwe d sterwania pwiększaniem i pmniejszaniem widku dkumentu. Refresh dświeża aktywny widk dkumentu. Animate... twrzy animację. Playback... wywłuje prgram służący d dtwarzania plików animacji typu avi.