Zastosowanie modeli porowatych biomateriałów w procesach projektowania i symulacji

Transkrypt

1 P O L I T E C H N I K A P O Z N AŃSKA W y d z i a ł M a s z y n R o b o c z y c h i T r a n s p o r t u mgr inż. Maciej Berdychowski Zastosowanie modeli porowatych biomateriałów w procesach projektowania i symulacji Praca doktorska promotor: prof. dr hab. inż. Janusz Mielniczuk Poznań, 2014

2 Spis treści 1. Konstrukcyjne materiały porowate Udział materiałów porowatych w technice Biomateriały jako materiały konstrukcyjne Modelowanie materiałów konstrukcyjnych Uwagi o modelowaniu Jednowymiarowe modele ośrodków ciągłych Opis struktury porowatych materiałów Równania fizyczne materiałów porowatych Cel i zakres pracy Wybrane biomateriały o strukturze porowatej Struktura i właściwości drewna Struktura i właściwości mechaniczne kości Badania doświadczalne cech geometrycznych i mechanicznych wybranych biomateriałów Badania eksperymentalne - drewno Badania cech geometrycznych kości gąbczastej Modele matematyczne wybranych struktur porowatych Model drewna jako ośrodka ortotropowego Równania konstytutywne kości gąbczastej Przykłady określania nośności granicznej elementów drewnianych Rozwiązanie zagadnienia brzegowego dla kości Endoprotezoplastyka stawu biodrowego Ogólne wiadomości o endoprotezoplastyce stawu biodrowego Biomateriały stosowane w konstrukcji endoprotez Koncepcja nowego typu endoprotezy THRA Model trzpieniowy połączenia kość-implant Nośność graniczna połączenia Projektowanie wybranych cech z zastosowaniem symulacji numerycznych Analiza szpilkowo palisadowego systemu mocowania endoprotezy THRA

3 9.2 Budowa modelu numerycznego Weryfikacja modelu numerycznego - badania eksperymentalne zagłębiania ostrosłupów w kość gąbczastą Sformułowanie wytycznych dla procesu projektowania biomateriałów Uwagi końcowe i wnioski Bibliografia:

4 1. Konstrukcyjne materiały porowate 1.1 Udział materiałów porowatych w technice Szybki rozwój współczesnej techniki stawia przed inżynierami coraz trudniejsze wyzwania. Wymaga się od nich poszukiwania i stosowania coraz to nowocześniejszych materiałów, które w zależności od potrzeb będą posiadały zwiększoną wytrzymałość, odporność na czynniki zewnętrzne takie jak temperatura, wilgotność, kwasowość, odporność na ścieranie, niski lub wysoki współczynnik tarcia itd. Zakres wyboru materiału jest ogromny, zwłaszcza w grupie materiałów niemetalowych. Co roku w tej grupie pojawiają się nowe pozycje, dające inżynierom nowe możliwości. Jednakże zasady projektowania i konstruowania nie podlegają tak szybkim zmianom. Nadal jednym z ich etapów jest podjęcie decyzji o wyborze materiału konstrukcyjnego. Współczesna nauka oferuje konstruktorowi kilkadziesiąt tysięcy różnych materiałów, które podzielić możemy na kilka różnych sposobów. Do jednej z grup należą tak zwane materiały porowate. Obecne są one w życiu każdego człowieka, chociaż nie każdy je dostrzega to korzysta z nich codziennie. W zwykłym gospodarstwie domowym są to wszelkiego rodzaju gąbki do mycia naczyń, do czyszczenia obuwia, do mycia okien, gąbki w materacach, tapczanach i fotelach, ściereczki "z mikroporami wchłaniającymi brud", filtry do wody, filtry powietrza np. w odkurzaczach i klimatyzatorach, pumeks. Materiały porowate obecne są praktycznie w każdej dziedzinie. W motoryzacji są to filtry oleju, paliwa, powietrza oraz gąbki w siedzeniach i w tapicerce. W medycynie to filtry i środki opatrunkowe ale także porowate pokrycia implantów. W budownictwie są to pianki montażowe, pianki izolujące, ceramika budowlana, elementy konstrukcji drewnianych. W przemyśle odzieżowym to między innymi przepuszczalne membrany (tzw. oddychające). Materiały o strukturze porowatej wykorzystuje się codziennie praktycznie w każdej dziedzinie. Docenia się je za ich lekką a zarazem wytrzymałą strukturę, za możliwości pochłaniania energii a w przypadku ośrodków filtracyjnych za pochłanianie zanieczyszczeń. Przestrzeń porowa jest z reguły bardzo chłonna. W przypadku łożysk samosmarnych, tulejka porowata potrafi wchłonąć odpowiednią ilość oleju, a następnie oddawać go stopniowo w czasie, smarując współpracujące powierzchnie. W wielu przypadkach struktura porowata jest niezwykle pożądana. W takich przypadkach stosuje się specjalne procesy technologiczne mające na celu nadanie materiałom 4

5 pełnym struktury porowatej. Proces ten polega najczęściej na spienianiu ciekłej postaci materiału. W ten sposób spienia się aluminium, uzyskując lekkie sztywne płyty. Duża sztywność i lekkość tych płyt sprawia, że są doskonałym materiałem do budowy np. wagonów kolejowych [71]. Podobnie postępuje się z betonem (siporex). Porowate materiały często wykorzystuje się w systemach bezpieczeństwa. Ich zadanie polega na pochłonięciu energii uderzenia. Płyty spienionego betonu stosuje się między innymi na końcach pasów startowych niektórych lotnisk. Ich rola polega na zwiększeniu poziomu bezpieczeństwa na lotnisku Biomateriały jako materiały konstrukcyjne W większości przypadków pod pojęciem biomateriał rozumiemy materiał pochodzenia organicznego. Jednakże według European Society for Biomaterials to każda substancja, która może być użyta celem leczenia lub zastąpienia tkanki narządu lub organu. Według tej definicji do grupy biomateriałów można zaliczyć nawet ceramikę i stopy tytanu. Organiczne pochodzenie biomateriałów wprowadza dużą różnorodność właściwości nawet w obrębie danej grupy, a występująca silna anizotropia będąca dość powszechną cechą sprawia, że ta grupa materiałów wymaga wiedzy i doświadczenia w ich stosowaniu. Najstarszymi i dość powszechnie występującymi biomateriałami są kość i drewno. Na pozór odmienne posiadają wiele wspólnych cech. Zaliczyć do nich można: pochodzenie organiczne mające wpływ na większość cech zarówno geometrycznych jak i wytrzymałościowych materiału, podatność na choroby, grzyby, pleśń, pasożyty i inne czynniki organiczne, porowatość wpływ temperatury i wilgotności na właściwości wytrzymałościowe Pochodzenie organiczne ma istotny wpływ na właściwości. Znaczenie mają: wiek, gatunek, klimat, choroby i inne. Niektóre z tych parametrów mają duży wpływ również na porowatość silnie powiązaną z właściwościami. Sformułowanie modelu matematycznego poprawnie odzwierciedlającego jego właściwości wymaga więc uwzględnienia wielu zmiennych, które mogą być funkcjami innych zmiennych. Poprawnie skonstruowany model ma tu więc wiele niewiadomych, które należy wyznaczyć najczęściej drogą eksperymentalną. Wszystkie te cechy (porowatość, pochodzenie organiczne, duża podatność na czynniki zewnętrzne) powodują znaczne różnice w wartościach stałych materiałowych otrzymywanych w wyniku badań doświadczalnych. Przekłada się to na niską powtarzalność 5

6 badań i konieczność podawania dużych przedziałów wartości przy wyznaczaniu stałych materiałowych. Pomimo tych wszystkich niedogodności biomateriały są dość powszechnie stosowane. Najbardziej popularne jest tutaj drewno najbardziej uniwersalny materiał. Stosowany praktycznie w każdej dziedzinie. W budownictwie na krokwie dachowe, belki stropowe, tzw. "deskowanie" przy wylewaniu betonu. Przy produkcji mebli, balustrad, dekoracji, mostów (lub pomostów na jeziorach), schodów, ambon w myślistwie, parkietów, boazerii, tarasów, łódek i innego "sprzętu pływającego", zabawek, drzwi, ram okiennych itp. Pomimo faktu, że drewno bardzo często zastępowane jest przez inne materiały takie jak "plastik", to nadal cieszy się sporym uznaniem zwłaszcza za swoją ekologiczność i łatwość w utylizacji. Drewno jest poza tym tanie, łatwe w obróbce i po odpowiedniej konserwacji staje się bardzo odporne na wiele czynników zewnętrznych. Zwłaszcza jeżeli jest regularnie poddawane zabiegom pielęgnacji. Stąd też nadaje się nawet do budowania niewielkich domków letniskowych, tzw. domów z bali, domów holenderskich. Zastosowanie w przemyśle ma nie tylko samo drewno ale także jego odpady, tzw. trociny. Uzyskuje się je nie tylko w trakcie procesu obróbki drewna jako odpad ale także m. in. w ogrodnictwie jako produkt końcowy podczas procesu rozdrabniania np. drobnych gałęzi. Specjalne maszyny tzw. niszczarki lub rozdrabniacze ogrodowe pozwalają na zamianę gałęzi i innych odpadów ogrodowych (liści, trawy itp.) w rozdrobnioną masę, którą następnie można poddać procesowi brykietowania, uzyskując cenny materiał energetyczny. Brykietować można trociny, liście, trawy, słomy i inne odpady organiczne. W wyniku dopłat z Unii Europejskiej, bardzo popularne stały się uprawy roślin energetycznych, takich jak wierzba energetyczna, miskant, trzcina, rdest, topinambur czy ślazowiec pensylwański będący rośliną miododajną. Biomateriały znalazły zastosowanie także w innych gałęziach przemysłu. Koral, gąbki, kość słoniową stosowano bądź nadal stosuje się w jubilerstwie i jako materiał ozdobny do wykańczania szkatułek, mebli, rękojeści itp. Szerokie zastosowanie znalazły biomateriały także w medycynie. Szczególnie popularne stały się porowate warstwy wierzchnie stosowane na pokrycia implantów do kostnych. W protezoplastyce stawu biodrowego stosuje się porowate powłoki nakładane na metalowy trzpień protezy celem wzmocnienia połączenia kość-implant poprzez wrastanie kości w strukturę porową. Podobny efekt wrastania kości w strukturę porów wykorzystuje się przy implantach dentystycznych. W ostatnich latach coraz większą popularnością cieszy się rapid prototyping (RP), pozwalający wytwarzać elementy o dowolnych kształtach w stosunkowo krótkim czasie. 6

7 Z tych powodów znalazł on zastosowanie w medycynie do wytwarzania implantów, np. fragmentów kości czaszki. W ten sposób można pomóc ludziom, którzy ulegli wypadkowi. W wielu przypadkach implanty te wytwarza się jako struktury porowate. Zapewnia to zmniejszenie masy implantu przy zachowaniu jego dużej sztywności. Stosowanie porowatych struktur podczas wytwarzania w technologii RP pozwala także zaoszczędzić materiał. 7

8 2. Modelowanie materiałów konstrukcyjnych 2.1 Uwagi o modelowaniu W procesie projektowania jednym z etapów jest dobór materiału. W dalszym etapie ustala się wartości dopuszczalnych naprężeń, a ponieważ rzeczywiste procesy mogą się różnić znacznie od wynikających z analizy teoretycznej, w projektowaniu konstrukcji przyjmuje się duże współczynniki bezpieczeństwa. Takie podejście prowadzi na ogół do nieuzasadnionego przewymiarowania przekrojów elementów konstrukcji. Mimo to w niektórych przypadkach warunki bezpieczeństwa mogą jednak nie być spełnione. Wynika to stąd, że metody i normy projektowania elementów konstrukcji, które ukształtowały się na przestrzeni dziesięcioleci, w większości przypadków oparte są na badaniach zachowania się materiału w jednoosiowych stanach naprężenia. Natomiast wytężenie projektowanej konstrukcji w niebezpiecznym punkcie sprawdza się za pomocą klasycznych hipotez wytrzymałościowych, które oparte są na założeniach idealizacji procesu. Można stąd wysnuć wniosek, że aby uściślić metody projektowania w taki sposób, aby w konsekwencji zwiększyć bezpieczeństwo konstrukcji, należy opracować nowe modele matematyczne badanych procesów lub zmienić istniejące. Podstawą do takich rozważań są modele fizyczne, uwzględniające rzeczywiste właściwości materiałów konstrukcyjnych uzyskane na podstawie przeprowadzonych badań doświadczalnych. Konieczne jest także dobranie odpowiednich równań konstytutywnych a następnie rozwiązanie określonych problemów brzegowych. W konsekwencji można powiedzieć że przeprowadzamy identyfikację procesu w materiale. Procedura poprawnego opisu zjawisk w materiale może być zapożyczona z problematyki sterowania [5] i modelowania dynamicznych układów mechanicznych [80, 25, 24, 81]. Procedurę tę możemy podzielić na cztery etapy [80]: 1. możliwie dokładne wstępne określenie badanego materiału, jego istotnych cech oraz ustalenie jego modelu fizycznego, 2. znalezienie modelu matematycznego opisującego model fizyczny, 3. analiza równań opisujących model fizyczny, 4. synteza i optymalizacja badanego materiału, zmierzająca do ustalenia parametrów spełniających zakładane właściwości. Tworzenie modelu fizycznego, na podstawie którego powstaje później model matematyczny, opiera się na wykorzystaniu praw fizycznych, którym podlega materiał oraz właściwości jakościowych i ilościowych tego materiału. Cele modelowania mogą zmierzać do 8

9 uwypuklenia różnych cech ośrodka termodynamicznych, elektrycznych, chemicznych itp. W pracy skupiono się głównie na opisie właściwości mechanicznych, tworząc mechaniczne modele materiałów. Przez modele mechaniczne materiału rozumiemy układy mechaniczne symulujące właściwości mechaniczne danego materiału, nieraz w zależności od wybranych wielkości (struktura, wilgotność, temperatura) [6]. W przypadku materiałów porowatych właściwości takie jak na przykład moduły sprężystości lub granice plastyczności mogą być funkcjami parametrów struktury wewnętrznej czyli porowatości, gęstości, ukierunkowania i innych, np. temperatura czy wilgotność. Przeprowadzanie badań, doświadczeń, pomiarów wzbogaca naszą wiedzę o danym materiale, a co za tym idzie zapewnia lepsze jego poznanie tak niezbędne przy formułowaniu równań opisujących jego zachowanie się. Podsumowując, im bogatsza jest wiedza o danym materiale, tym doskonalszy model potrafimy zbudować. Model matematyczny struktury porowatej tworzy układ równań składający się ze związków fizycznych (konstytutywnych), równań równowagi i związków kinematycznych. Dla ośrodków porowatych wypełnionych cieczą niezbędne jest sformułowanie prawa przepływu cieczy (np. prawa filtracji). Rozważanie nośności granicznej wymaga dodatkowo określenia warunku granicznego. Sformułowany model matematyczny rozważanego materiału możemy wykorzystać do rozwiązywania zagadnień początkowo brzegowych. Prowadzi to do określenia w sposób teoretyczny zachowania się (wytrzymałość, odkształcenie, stateczność) modelowanego materiału, elementu czy konstrukcji [79, 82]. Ostatnim etapem jest doświadczalna weryfikacja modelu w laboratorium i symulacja numeryczna. Otrzymane wyniki pozwalają ocenić poprawność poczynionych założeń i określić jak bardzo otrzymany model odpowiada rzeczywistości. 2.2 Jednowymiarowe modele ośrodków ciągłych W tej części pracy przedstawiono podstawowe modele mechaniczne i odpowiadające im modele matematyczne [160,38], które odwzorowują charakterystyczne właściwości i zachowanie się materiałów w wyniku obciążeń zewnętrznych. Wprowadzając do modelu uogólnione efektywne wielkości naprężeń i odkształceń σ e i ε e można zapisać równanie konstytutywne (związek fizyczny) każdego odkształcalnego ośrodka w najbardziej ogólnej formie tensorowej funkcji naprężeń i odkształceń σ = f ε ), (2.1) e ( e 9

10 niezależnie od rodzaju obciążenia i początkowego stanu sił wewnętrznych (naprężeń). Należy zaznaczyć, że opisane poniżej proste modele stanowią w wielu przypadkach podstawę do tworzenia modeli materiałów porowatych, także porowatych biomateriałów. Model ośrodka liniowo sprężystego (model Hooke'a) Ośrodki liniowo sprężyste to takie, dla których zależność (2.1) ma postać funkcji liniowej; podlegają zatem prawu Hook'a. Dla przypadku izotropii i osiowego rozciągania można zatem zapisać: σ = Eε. (2.2) Przykładowym modelem fizycznym ciała liniowo sprężystego może być sprężyna o stałej sztywności poddana rozciąganiu siłą P. Wydłużenie sprężyny jest proporcjonalne do siły a równanie konstytutywne ma postać: gdzie: P siła wymuszająca odkształcenia [N], k stała sprężyny, l wydłużenie [m]. P=k l (2.3) Z matematycznego punktu widzenia związki liniowej sprężystości są związkami jednoparametrycznymi. Schemat modelu fizycznego oraz przykładową charakterystykę przedstawia Rys. 1. σ k P tg α k ε Rys. 1 Schemat modelu ośrodka liniowo-sprężystego 10

11 Model ośrodka lepkiego (model Newtona) Newton jako pierwszy wprowadził pojęcie lepkości. Sformułował on prawo, które określa ruch cieczy lepkiej (stąd nazwa ciecz Newtona). W mechanice ośrodków ciągłych "ciecz Newtona" występuje pod pojęciem "modelu Newtona" i stosowana jest do opisu ośrodka lepkiego, którego model można określić równaniem =, (2.4) gdzie λ = 3η jest współczynnikiem lepkości objętościowej. Mechaniczny model cieczy lepkiej liniowo przedstawiono na Rys. 2a. Jest to po prostu tłumik hydrauliczny wypełniony cieczą o lepkości η. W przypadku, gdy ciecz jest nieliniowo lepka, stosujemy model tłumika przekreślonego ukośną strzałką pokazanego na Rys.2b. [105] a) σ b) η η tgα λ ε Rys. 2 a) model fizyczny ośrodka liniowo lepkiego, b) model ośrodka nieliniowo lepkiego Model ośrodka sztywno plastycznego (model Saint-Venanta) Model ośrodka sztywno plastycznego jest uproszczeniem układu rzeczywistego. Oparty jest na założeniu, że odkształcenia plastyczne znacznie przewyższają sprężyste i w związku z tym te ostatnie są pomijane Odkształcenie plastyczne może cechować niezależność od dalszego wzrostu naprężeń (idealna plastyczność) lub jego wpływ (plastyczność ze wzmocnieniem lub osłabieniem). Jest to wynik mikrostruktury materiału i procesu dyslokacji. Związek konstytutywny materiału plastycznego składa się z dwóch zależności warunku plastyczności i prawa odkształceń (płynięcia) plastycznych. Można zatem zapisać: 11

12 = 0 < = 0, (2.5) gdzie R e jest granicą plastyczności. Przykładem modelu fizycznego ośrodka sztywno idealnie plastycznego może być ciężki suwak przesuwany na płaszczyźnie przy współudziale tarcia suchego. Ruch suwaka jest możliwy po przekroczeniu siły tarcia (granicy plastyczności). Schemat modelu fizycznego i jego charakterystykę (σ e ε e ) przedstawia poniższy rysunek. σ e T P R e ε pl ε e Rys. 3 Schemat modelu ośrodka sztywno plastycznego bez wzmocnienia Dwuparametrowe modele ośrodków ciągłych (model Maxwella, model Kelvina-Voigta Z przedstawionych powyżej modeli jednoparametrowych można tworzyć kombinacje, przez co uzyskuje się różne modele parametryczne ciał lepko-sprężystych. Połączenia można dokonać na dwa sposoby: szeregowo lub równolegle. Poprzez szeregowe połączenie tłumika i sprężyny otrzymamy tzw. model Maxwella, który stosowany jest do opisu relaksacji naprężenia. Zachowanie się ciała Maxwella opisuje równanie będące sumą odkształcenia sprężystego i lepkiego 1 1 σ + σ. (2.6) E η ε = W sytuacji gdy tłumik i sprężynę połączymy równolegle otrzymamy model Kelvina- Voigta, opisujący pełzanie materiału. Jego postać matematyczną przedstawia poniższe równanie = ε + η ε σ E. (2.7) Interpretację fizyczną przedstawionych powyżej modeli, zaprezentowano na Rys.4. 12

13 a) b) Rys. 4 a) model Maxwella, b) model Kelvina-Voigta Model ośrodka sprężysto plastycznego bez wzmocnienia (model Prandtla) Model ośrodka sprężysto plastycznego stanowi kombinację modelu sztywno plastycznego i liniowo sprężystego. Postać fizyczna oraz wykres zależności σ e ε e dla takiego materiału przedstawiono na poniższym rysunku. Nazywa się ę on modelem Prandtla i wykorzystuje się ę go często w procesach projektowania jako wystarczające przybliżenie materiału rzeczywistego. Model Prandtla charakteryzują dwie zależności: σ e ε e = dla σ e < Re E ε = dla σ e Re e ε pl Przykład takiego modelu fizycznego przedstawiono na poniższym rysunku. (2.8) σ e k P T R e ε pl ε e Rys. 5 Schemat modelu ośrodka sprężysto plastycznego bez wzmocnienia Model ośrodka sprężysto plastycznego ze wzmocnieniem liniowym Jest to jednoosiowy model złożony. Ideowym modelem tego zjawiska jest również przemieszczenie przy udziale tarcia. Przy czym model fizyczny odzwierciedlają dwie sprężyny o sztywnościach k 1 i k 2 oraz suwak. Obie sprężyny modelują odkształcenia 13

14 sprężyste, natomiast suwak odkształcenia plastyczne. W wyniku działania siły P, pokonywana jest siła tarcia T, modelująca granicę plastyczności. Następuje zmiana charakterystyki odkształcenia z α 1 na α 2. Zależności charakteryzujące układ przedstawiono poniżej: < R σ e = Eε e dla σ e e σ e = R e dla σ e Re (2.9) σ e α 2 s 1 s 2 P R e α 1 ε pl ε e Rys. 6 Schemat modelu ośrodka sprężysto plastycznego ze wzmocnieniem Model ośrodka sprężysto plastycznego ze wzmocnieniem nieliniowym Najbliższym rzeczywistości jest model ośrodka, którego związek konstytutywny opisuje równanie: σ f e 0 ( ε e ) = E εe (2.10) gdzie: E 0 sprowadzony moduł sprężystości pierwszego rodzaju zależny od odkształcenia. Wykres zależności w zakresie odkształceń sprężystych, dla którego współczynnik E 0 przyjmuje wartość stałą równą modułowi Younga, przedstawia prostą, która poza tym zakresem przechodzi w linię krzywą. W tym przypadku model mechaniczny wyobraża sprężyna częściowo osadzona w tulei. Wysuwa się z niej pod wpływem obciążenia przy udziale tarcia zwojów o wewnętrzną ściankę tulei. Wykres oraz szkic takiego modelu przedstawia poniższy rysunek. 14

15 σ e P R e ε e Rys. 7 Schemat modelu ośrodka sprężysto plastycznego ze wzmocnieniem nieliniowym Materiały rzeczywiste analizowane w dalszej części pracy charakteryzują właściwości bardziej złożone niż opisane powyżej modele jednoosiowe. Biomateriały takie jak np. drewno czy kość wykazują wyraźną kierunkowość właściwości mechanicznych (anizotropię). Zauważa się duży wpływ wilgotności i temperatury na ich parametry mechaniczne. Złożone zachowanie się biomateriałów podczas odkształceń rozbudowuje znacznie opisujące je modele. W celu osiągnięcia efektywnych wyników rozwiązań problemów brzegowych, niezbędne jest więc poczynienie w formułowaniu modeli pewnych założeń upraszczających, zdając sobie sprawę z ich wpływu na opis układu rzeczywistego. Z tego też powodu do opisu teoretycznego porowatych biomateriałów wybrane zostały w pewnym stopniu wyidealizowane modele zachowania się materiału. Ich weryfikacja doświadczalna pozwoli określić użyteczność w procesach projektowania. Przykładem takiego postępowania jest przyjęcie modelu ciała sztywno idealnie plastycznego dla drewna. Przyjęcie takiego modelu jest uproszczeniem zachowania się materiału rzeczywistego, jednakże daje możliwość zbudowania na jego podstawie efektywnego modelu matematycznego. W modelu tym przy jednoosiowym obciążaniu, naprężenie przy którym zachodzi uplastycznienie materiału ma stałą wartość σ e i jest niezależne zarówno od wielkości odkształcenia (brak wzmocnienia) jak i od prędkości odkształcania (brak cechy tzw. lepkości). Odkształcenia sprężyste są w tym modelu pomijane ale jak wykazano w pracach [127, 143, 144] zastosowanie takiej uproszczonej teorii jest szczególnie przydatne do zagadnień nośności granicznej materiałów konstrukcyjnych. [91] 2.3 Opis struktury porowatych materiałów Sformułowanie równań konstytutywnych porowatych materiałów, także biomateriałów, wymaga możliwie pełnego opisu jego struktury oraz jej zmian na skutek 15

16 działania czynników zewnętrznych (obciążenie mechaniczne, temperatura, wilgotność). Istnieje wiele parametrów charakteryzujących materiały porowate, jednak żaden z nich nie jest w stanie samodzielnie określić geometryczne własności omawianego ośrodka. Do opisu mikrostruktury używa się więc kilku parametrów jednocześnie, w zależności od analizowanych zjawisk czy wymaganego stopnia dokładności. Podstawowym parametrem jest porowatość objętościowa, oznaczana przez f v. Jest to objętościowa zawartość porów w materiale porowatym. W ujęciu statystycznym porowatość interpretuje się jako prawdopodobieństwo, że wybierając losowo dowolny punkt w ośrodku porowatym trafimy na punkt należący do porów. [96] Porowatość objętościową można wyrazić wzorem: VP fv = V, (2.11) gdzie: V P objętość porów; V objętość materiału porowatego. W przypadku opisu struktury ośrodków granulowanych i ziarnistych, jak podaje [80], wprowadza się tzw. współczynnik porowatości, p, zdefiniowany jako stosunek lokalnej objętości porów V P do objętości szkieletu (ziaren) V S. Zatem V p = V P S fv = 1 f V. (2.12) Inną wartością stosowaną do opisu ośrodków porowatych jest gęstość objętościowa próbki wyrażana jako iloczyn ρ = ( 1 f ) ρ, (2.13) v gdzie ρ s jest gęstością materiału litego, z którego zbudowany jest szkielet. Wyrażamy ją albo w g/cm 3 albo w % gęstości materiału wyjściowego [96]. Porowatość powierzchniowa jest stosunkiem powierzchni porów zawartych na danym przekroju ośrodka porowatego do całkowitego pola powierzchni tego przekroju. Jest ona często utożsamiana co do wartości z porowatością objętościową. W [69] wykazano jednak, że można tak postępować tylko gdy mówimy o średniej porowatości powierzchniowej. Porowatość powierzchniowa jest jednym z parametrów opisujących przepuszczalność ośrodka porowatego i zmienia się wraz z kierunkiem przepływu, gdy rozpatrujemy ośrodek o strukturze anizotropowej. Różni się więc od porowatości objętościowej, która jest nieczuła na zmiany kierunku. [96] s 16

17 Rozróżnienie porów otwartych (połączonych ze sobą) od zamkniętych prowadzi do określenia porowatości efektywnej i nieefektywnej, co jest istotne w opisie przepuszczalnych materiałów porowatych z filtrującym w nich płynem. [80] Porowatość powierzchniowa efektywna definiowana jest w pracy [96] jako stosunek powierzchni porów na danym przekroju, przez które jest możliwy przepływ w kierunku normalnym do tego przekroju, do wielkości tego przekroju. Tak rozumiana porowatość powierzchniowa, nawet dla ośrodków izotropowych, różni się od porowatości objętościowej, co zostało wykazane w pracy [69]. Jak zauważono w pracy [96] problem wyznaczenia porowatości powierzchniowej rzeczywistego materiału nie jest w literaturze potraktowany z należytą uwagą. W wielu pracach z zakresu mechaniki ośrodków porowatych porowatość powierzchniową utożsamia się z porowatością objętościową (np. w pracach Biota). Porowatość powierzchniową całkowitą można wyznaczyć na podstawie pomiarów mikroskopowych, natomiast spotyka się opisy metod wyznaczania porowatości powierzchniowej na podstawie wydatku cieczy przez daną powierzchnię. Wewnętrzna powierzchnia właściwa jest ważną cechą materiałów porowatych i jest powszechnie stosowana w opisie struktury skał, sorbentów, katalizatorów, wkładów filtrujących itp. Definiuje się ją jako iloraz całkowitej powierzchni wewnętrznej porów (ziaren) S w reprezentatywnej objętości V do tej objętości, a więc =. (2.14) Dla materiałów granulowanych wewnętrzna powierzchnię właściwa wyraża się częściej w funkcji objętości szkieletu (ziaren) zawartego w materiale i wówczas. (2.15) Omówione powyżej wielkości porowatości są bardzo ważnymi parametrami struktury, lecz z jednej strony nie zależą w sposób jawny od wielkości porów zaś z drugiej nie uwzględniają kierunkowych właściwości struktury. Konieczne jest zatem wprowadzenie innych charakterystyk, także tensorowych. Promień hydrauliczny r h jest wielkością uwzględnianą w opisie przepływów przez materiał porowaty i dla objętości reprezentatywnej definiowany jest jako iloraz objętości porów do ich powierzchni wewnętrznej, tzn. [80] r # = $ %m' (2.16) 17

18 Przydatną wielkością określającą wymiar porów jest całkowita długość porów l p, liczona wzdłuż pomiarowego odcinka prostej płaskiego przekroju. Inną liniowa miarą wielkości porów jest średnia długość cięciwy d, określona jako średnia arytmetyczna z pomiarów cięciw pojedynczych porów. W aktualnie rozwijanych badaniach nad ukierunkowanymi materiałami porowatymi wprowadza się tensorowe charakterystyki ich struktury. Przy formułowaniu związków fizycznych materiałów o konstrukcyjnej porowatości strukturę porów (otworów) charakteryzuje tensor perforacji. Dla materiałów o kanalikowej budowie struktury wewnętrznej zaproponowano tensor strukturalnej przepuszczalności. Uwzględnia on wpływ kierunkowych właściwości struktury na makroskopowe pole prędkości cieczy przepływającej przez porowaty szkielet. Geometrycznie określa wielkość i kierunki kanalików na dowolnej powierzchni przekroju materiału [82]. Również geometryczny opis konfiguracji struktury wewnętrznej, zwłaszcza w zastosowaniu do ośrodków granulowanych, reprezentuje tensor struktury (fabric tensor). Jest to symetryczny tensor drugiego rzędu opisujący wielkość i ukierunkowanie ziaren ośrodka, wykorzystywany także przy definiowaniu struktury niektórych materiałów biologicznych, np. kości [80]. Dla pełności opisu struktury materiału porowatego należy wymienić jeszcze współczynnik przepuszczalności, występujący w empirycznym prawie filtracji Darcy'ego, oraz krętość. Ta ostatnia wielkość jest odzwierciedleniem faktu, że tor cząsteczki cieczy w jej mikro-przepływie przez pory różni się od toru, jaki wynika z makroskopowych (uśrednionych) warunków przepływu. Cząsteczka cieczy podczas przepływu przez próbkę materiału porowatego pokonuje drogę nie mniejszą niż szerokość materiału w kierunku tego przepływu. Jeżeli najkrótszą z możliwych dróg porównamy z szerokością całej próbki to możemy powiedzieć, że stosunek ten wyraża krętość obserwowanego pora. Stąd współczynnik krętości porów danej próbki ośrodka porowatego definiuje się następująco [96] a kr = l p l (2.17) gdzie: l p długość średniego pora danej próbki l szerokość próbki Przykładowo we współczesnym przemyśle odzieżowym produkującym nieprzemakalne kurtki stosuje się specjalne membrany materiał porowaty. Zadaniem membran jest nie dopuścić do przenikania wilgoci do wnętrza jednocześnie zapewniając kurtce dużą oddychalność. Realizowane jest to poprzez uzyskanie porów o odpowiedniej 18

19 wielkości, takiej aby większe molekuły wody napotkały skuteczną barierę, natomiast cząsteczki pary wodnej, które są mniejsze, mogły przenikać bez problemów. Niektóre droższe membrany mają dodatkową właściwość w postaci ochrony przed wiatrem. Uzyskuje się to poprzez wytwarzanie porów o odpowiednich wymiarach i współczynniku krętości. Przestrzeń porów w ośrodku porowatym może być scharakteryzowana rozkładem ich wielkości oraz wartością maksymalną i średnią ich wymiarów. Wartość maksymalna stosowana jest do opisu porowatych filtrów i określa maksymalne rozmiary cząsteczek, które teoretycznie mogą przejść przez filtr. Wartości średnie rozmiarów porów są istotne przy badaniach hydrodynamicznych. Rozkład wielkości porów daje wyobrażenie o ilości lub objętości porów z każdego rozmiaru oraz o rozrzucie rozmiarów porów w materiale [96]. Sposoby opisu tych wielkości można znaleźć w literaturze, np. Scheidegger [128, 129]. Bardzo istotne w opisie struktury ośrodków porowatych jest uwzględnienie ich anizotropii i niejednorodności. Wszelkie zaburzenia tej struktury mogą pociągnąć za sobą lokalną zmianę własności mechanicznych. Może się jednak zdarzyć, że anizotropia i niejednorodność struktury są pożądane albo są naturalną cechą materiałów (np. biomateriały). Do opisu takich własności należy użyć najczęściej wielkości tensorowych np. tensora przepuszczalności ośrodków o strukturze kanalikowej. Tensor przepuszczalności może być wyprowadzony na drodze rozważań hydrodynamicznych [96]. Więcej na temat anizotropowych ośrodków porowatych można znaleźć w literaturze [68, 70,98]. 2.4 Równania fizyczne materiałów porowatych Związki konstytutywne (równania fizyczne) dla materiałów wyrażają się w postaci tensorowej funkcji tensora naprężenia od tensora odkształcenia σ = f (ε ). (2.18) Powyższe, ogólne równanie jest prawdziwe także dla materiałów porowatych. Zachodzi jednak konieczność uwzględnienia wpływu porowatości na zmianę parametrów materiałowych takich jak przykładowo moduł Younga. Wówczas otrzymamy możemy zapisać E = E( f v ). (2.19) Pamiętając jednak, że funkcja porowatości f v jest zależna od tensora odkształcenia ε, E = E [ ( ε) ] f v. (2.20) 19

20 W wielu przypadkach współczynniki takie jak moduł Younga lub Kirchhoffa, które w dużej mierze determinują sprężyste właściwości materiału i są zależne ponadto od takich czynników jak temperatura czy wilgotność (np. drewno). Moduł E może zatem być uwikłaną funkcją w poniższej formie E = E(T, f v,w ). (2.21) Zadaniem badacza będzie uszczegółowienie tej funkcji. Analizując związki fizyczne dla różnych materiałów porowatych z uwzględnieniem ich porowatości objętościowej, można zauważyć, że związki te są właściwe dla pewnych grup materiałów i dla określonych zakresów ich porowatości. Dotyczy to głównie zmiany podstawowych parametrów mechanicznych w funkcji porowatości. W zakresie odkształceń sprężystych są to przede wszystkim moduły sprężystości i liczba Poissona. Najprostszymi relacjami dla materiałów izotropowych są związki liniowe i wykładnicze opisujące zależność modułów sprężystości od porowatości. Wykorzystywane są w modelowaniu m.in. niektórych spieków ceramicznych [36, 87]. Wykładnicze zależności efektywnych modułów sprężystości podłużnej E i poprzecznej G od porowatości przyjmuje się w postaci [80] E = E G = G ( bef s v ( bgf s v ) ) (2.22) gdzie: E s, G s moduły sprężystości materiału szkieletu f v objętościowa porowatość materiału b E, b G stałe empiryczne (b E = 1,61 4,74; b G = 4,9 dla tlenku magnezu i b G = 3,5 dla spieków żelaza). Według literatury wykładnicze zależności modułów od porowatości nadają się do opisu porowatych tlenków aluminium (do f v = 40%) i magnezu (do f v = 26%), a także dla spiekanych proszków żelaza (do f v = 20%). [87, 137, 136, 110, 62] Natomiast liniowe zależności pomiędzy modułem Younga i Kirchhoffa a porowatością można przedstawić za pomocą poniższych funkcji [80]:, =, - (1 / 0 1 ) gdzie: a E, a G doświadczalne stałe materiału porowatego. G =G 3 (1 a 5 f 7 ) (2.23) 20

21 Stałe a E i a G przyjmują wartości od 1,5 do3 (wg. Dean [37, 36]). Według innych żródeł (Rice [117] badania obejmowały ceramikę, skały, metale i polimery), wartości współczynników a E i a G mieszczą się w przedziale od 2,5 do 6. Powyższe zależności liniowe stanowią pewną aproksymację zależności wykładniczych dla niewielkich porowatości (f v <=0.1) i dobrze opisują porowate spieki metali. [80] Jednakże powyższe wzory nie zawsze są słuszne. Jak wykazały prace Griffithsa i Ghanizadeha [48], zachowanie się materiału może być różne w trakcie rozciągania i ściskania. Podczas ściskania możemy zaobserwować przedstawioną wcześniej liniową zależność modułu Younga lub Kirchhoffa od porowatości, natomiast podczas rozciągania, liniową zależność obserwujemy tylko dla modułu Younga. [87] Dla materiałów kruchych takich jak gips i jego kompozyty [87, 114, 135] stosowane są często zmiany modułów w postaci potęgowej. E = E ) 0(1 f v n (2.24) W równaniu powyższym, n jest stałą charakterystyczną dla danego materiału, przyjmującą w większości przypadków wartość zbliżoną do 3. W szczególnych przypadkach może osiągać wartość 10 [87, 114, 135]. Przedstawione powyżej wyrażenie stosowane jest również do opisu kości gąbczastej z n=1,23-3 [163] oraz do opisu pianek n=2 [131]. Podobną funkcją potęgową można zdefiniować także zmienne moduły Kirchhoffa G = G ) 0(1 f v m. (2.25) Badania przeprowadzone przez Martina (1996) [89] dla spieków tlenków cynku o porowatości od 0% do 35%, wykazały że zarówno zmiana modułu Younga jak i modułu Kirchhoffa mogą być przybliżane funkcjami potęgowymi porowatości ze współczynnikami potęgowymi równymi odpowiednio 4,02 i 2,86. Ważnym parametrem mechanicznym materiałów porowatych jest współczynnik Poissona ν. Zmianę tego współczynnika w funkcji porowatości też często przyjmuje się jako funkcję potęgową. Można więc zapisać gdzie v 0 ν =ν 0 (1 f ) v k (2.26) jest liczbą Poissona dla materiału szkieletu, a k wykładnikiem [87]. Dla spieków tlenku cynku wynoszą odpowiednio v 0 =0,38 i k=1,12 [87]. Do opisu porowatych materiałów takich jak kość lub niejednorodny beton, Martin i Haynes [90] zaproponowali zmianę modułu Younga w formie zależności E = E (1 bf 0 v 2/ 3 gdzie b=1.47 dla kości i b=2.01 dla betonu [90]. ), (2.27) 21

22 Zastępczy moduł Younga dla sprężystego materiału porowatego o konstrukcyjnej strukturze wewnętrznej złożonej z sześciennych komórek (plaster miodu) przyjmuje się następująco [80] [97]: gdzie: a wymiar komórki t grubość ścianki 2E s E = 2 1 ν t a (2.28) Pianki elastomerowe i polimerowe o heksagonalnym układzie komórek można według [80] także opisać funkcją długości l i grubości t ich ścianek, a te z kolei są bezpośrednio związane z gęstością względną ρ/ρ s ośrodka lub jego porowatością f v, co można zapisać następująco: 4 t ρ E = Es = Es = Es l 1 ρs 2 ( f ) v (2.29) Powyższe równanie dobrze opisuje moduły zastępcze pianek rzeczywistych. Zależność pomiędzy stopniem spienienia (f v ) a gęstością względną (ρ) umożliwia zmianę modułów (projektowanie sztywności) w szerokim zakresie. Sformułowanie odpowiednich warunków granicznych (plastyczności) z uwzględnieniem opisanych powyżej zmienności parametrów pozwala oszacować nośność graniczną materiałów porowatych. Prawa plastyczności ośrodków porowatych muszą uwzględniać zmianę porowatości (gęstości), a więc i zmianę niektórych właściwości (patrz. [87 ] ) Takie modele określono dla izotropowych i anizotropowych spieków proszków metali [96]. Pierwsze próby opisu porowatych biomateriałów (kość) w zakresie odkształceń sprężystych przedstawili Williams [163], Martin i Haynes [90]. Prawdziwymi prekursorami byli w tej dziedzinie Rauber, Messerer i Wolff [156], którzy zapoczątkowali badania w biomechanice kości w latach 80 XIX wieku. Zaproponowali oni tzw. jednofazowy model kości który obowiązywał w nauce przez ponad sto lat. Model ten traktował kość jako porowate ciało stałe i dla takiego sformułowano związki fizyczne sprężystości. W roku 1970 ukazała się praca doktorska C. Daviesa (Uniwersytet Delaware), którego promotorem był J.L. Nowiński. W pracy tej w części metodologicznej wprowadzono do opisu sprężystej deformacji kości teorię porosprężystości M.A.Biota [15,16,17] 22

23 (opracowaną na potrzeby geomechaniki skał i gruntów oraz akustyki sprężystych materiałów porowatych wypełnionych płynem). Prace w tym kierunku prowadzone były nadal a ich wyniki były publikowane w pracach [105,106]. W tym samym czasie inny badacz S. C. Cowin silnie zaczął forsować własny porosprężysty jednofazowy model kości. Jego działania skutecznie zahamowały dalsze prace prof. Nowińskiego. Dopiero po 30-tu latach w 1999 roku Cowin przyznał wyższość dwufazowemu modelowi kości publikując pracę pod tytułem Bone poroelasticity [31]. Model ten stanowi podstawę do określenia stanów naprężeń w kościach. Wykorzystywany jest w projektowaniu implantów. Również złożone własności mechaniczne i strukturalne cechuje drewno, biomateriał rozważany w niniejszej rozprawie. Niejednorodność, anizotropia, konieczność statystycznego określania niektórych parametrów, bardzo rozbudowuje formułowane modele zarówno w zakresie odkształceń sprężystych jak i plastycznych. 23

24 3. Cel i zakres pracy Celem pracy jest dobór i uszczegółowienie matematycznych modeli porowatych biomateriałów oraz wykorzystanie tych modeli do rozwiązania określonych zagadnień początkowo-brzegowych, których wyniki są istotne dla procesów projektowania elementów i konstrukcji wykonanych z biomateriałów. W niniejszej pracy do dalszych analiz wybrano dwa materiały drewno i kość. Obydwa są pochodzenia organicznego a jednym z parametrów determinujących ich właściwości jest porowatość. W dalszej części pracy przedstawiono właściwości strukturalne oraz mechaniczne dla drewna i kości. Uzupełniono je o badania cech geometrycznych i mechanicznych, na temat których nie znaleziono informacji w literaturze, a które są istotne dla celów uszczegółowienia modeli bądź rozwiązania zagadnień brzegowych. W kolejnym rozdziale zaprezentowano model struktury porowatej. Bazując na teorii porosprężystości Biota, sformułowano równania konstytutywne dla kości. Zaprezentowano także model drewna uwzględniający anizotropię oraz wpływ czynników zewnętrznych wilgotności i temperatury. Wykorzystując sformułowany model przedstawiono przykłady jego wykorzystania dla określenia nośności granicznej elementów drewnianych. Spośród zaprezentowanych modeli dla kości wybrano jeden celem rozwiązania zagadnienia brzegowego, którym jest analiza procesu zagłębiania ostrosłupów w kość gąbczastą. Ostrosłupy pełnią rolę nowego, szpilkowo-palisadowego systemu mocującego endoprotezę stawu biodrowego. Stabilne i trwałe mocowanie implantu do kości jest niezwykle ważne. Zachodzi więc konieczność pełnej analizy powyższego połączenia, uwzględniającej szereg cech geometrycznych ostrosłupów. Przeprowadzone analizy geometrii ostrosłupów posłużyły do budowy modelu numerycznego, który następnie został poddany walidacji w oparciu o wyniki badań doświadczalnych. Zweryfikowany w ten sposób model połączenia kość-implant posłużył do sformułowania wytycznych dla procesu projektowania endoprotez ze szpilkowo-palisadowym systemem mocowania. 24

25 4. Wybrane biomateriały o strukturze porowatej 4.1 Struktura i właściwości drewna Makroskopowa budowa drewna W budowie pnia możemy wyróżnić następujące części składowe: 1. rdzeń 2. drewno 3. promienie rdzeniowe 4. przewody żywiczne 5. miazga 6. kora Rys. 8 Schemat budowy pnia 4-letniej sosny [67]; 1 łyko; 2 miazga; 3 przewód żywiczny; 4 promień rdzeniowy na przekroju poprzecznym, promieniowym i stycznym; 5 granica słoju rocznego, 6 rdzeń; 7 kora; 8 drewno późne; 9 drewno wczesne; 10 słój roczny. Przewody żywiczne, miazga i promienie rdzeniowe niewidoczne gołym okiem Rdzeń jest fizjologiczną osią pnia, najczęściej nie pokrywającą się z osią geometryczną. W przekroju poprzecznym pnia występuje jako mała, ciemniejsza od otaczającego drewna zabarwiona plama. Często jest mimośrodowo przesunięty w kierunku 25

26 obwodu pnia, co powoduje nierównomierną słoistość i niejednolitą strukturę drewna. Średnica rdzenia osiąga rozmiary od 1-5 mm (w niektórych gatunkach do 10mm). Kształt najczęściej okrągły lub owalny, ale spotyka się także inne: u olchy trójkątny, u jesionu czworokątny, u topoli pięciokątny, u dębu gwiaździsty. Pod względem wytrzymałościowym rdzeń jest elementem mechanicznie słabym i często usuwa się go w czasie obróbki.[67] Drewno znajduje się pomiędzy rdzeniem znajdującym się w środku pnia, a warstwą łyka i kory na obwodzie i ilościowo stanowi największą część objętości pnia. Biologiczne pochodzenie drewna determinuje jego nierównomierną budowę. Wygląd, cechy fizyczne i wytrzymałość zmieniają się zależnie od kierunku anatomicznego (kierunek wzdłuż włókien, promieniowy i styczny). Jest to zatem niejednorodny, anizotropowy materiał, co dodatkowo utrudnia obróbkę i jego techniczne zastosowanie. Zróżnicowana budowa drewna pozwala rozróżnić w nim trzy zasadnicze przekroje: wzdłuż włókien w poprzek włókien promieniowo w poprzek włókien stycznie. Przekroje różnią się układem słoi oraz mają inny rysunek drewna. Na przekroju poprzecznym uwydatniają się słoje roczne ułożone współśrodkowo dookoła rdzenia oraz promienisto ustawione promienie rdzeniowe. Na przekroju stycznym słoje roczne występują w postaci hiperbolicznych smug. Przecięte poprzecznie promienie rdzeniowe uwydatniają się w postaci licznie występujących, eliptycznych plam. W miarę zbliżania się do osi pnia przekrój styczny upodabnia się do przekroju promieniowego. W momencie kiedy cięciwa przez którą przechodzi przekrój pokryje się ze średnicą pnia, przekrój styczny pokryje się z przekrojem promieniowym. [67] Elementy drewna przewodzące wodę są oddzielone od części sitowej przewodzącej asymilaty zamkniętym pierścieniem miazgi. Miazga przez całe życie zachowuje zdolność podziału, która umożliwia wytwarzanie drewna i łyka. Podział miazgi powoduje przyrost drzewa na grubość przez wytwarzanie współśrodkowych kręgów dookoła rdzenia zwanych słojami rocznymi. Służą one później do szacunkowego określania wieku drzewa. Zdarza się jednak, że na skutek warunków klimatycznych (pogodowych- wiosenne przymrozki) lub z powodu działania szkodników drzewo traci liście w czasie okresu wegetacyjnego dwa razy. Powoduje to powstanie w ciągu jednego roku dwóch słoi. Innym zjawiskiem jest zanikanie słojów występujące, gdy wskutek niepomyślnych warunków egzystencji w danym roku nie wystarcza materiałów na wytworzenie pełnego słoju. Drzewo wytwarza wtedy słój tylko w górnych częściach, w dolnej zaś części słój zanika. 26

27 Szerokość słojów zmienia się w granicach od ułamków milimetra do ponad 2cm i jest uzależniona od wielu czynników takich jak gatunek drzewa, warunki klimatyczne (średnia temperatura roczna długość okresu wegetacyjnego, nasłonecznienie, nasilenie opadów atmosferycznych w ciągu okresu wegetacyjnego), warunki glebowe, gęstość zalesienia. Z technicznego punktu widzenia najbardziej pożądane jest drewno o równomiernym przebiegu i układzie słojów, a więc o słojach, których szerokość stopniowo i równomiernie maleje w miarę posuwania się od rdzenia ku obwodowi i których zarys jest jak najbardziej zbliżony do koła. Falisty przebieg słojów rocznych i ich nierównomierna szerokość jest cechą pozytywną tylko w przypadku niektórych gatunków drzew wykorzystywanych jako materiał rezonansowy do budowy instrumentów muzycznych. W budowie słoja rocznego wyróżnia się dwie strefy. Pierwszą zwróconą w kierunku rdzenia strefę drewna wczesnego oraz drugą, zwróconą ku obwodowi strefę drewna późnego. Drewno wczesne składa się z elementów cienkościennych o dużym świetle. Szczególnie wyraźnie uwydatnia się porowata strefa drewna wczesnego u pierścieniowo naczyniowych gatunków liściastych. W drewnie późnym światło naczyń i cewek zmniejsza się wydatnie, a drewno składa się z elementów wybitnie grubościennych. Grubościenne drewno późne ma więc większy ciężar właściwy i jest bardziej wytrzymałe niż drewno wczesne. Im większy zatem jest udział drewna późnego w drewnie, tym wyższe są jego ciężar właściwy i jego własności mechaniczne. W przypadku drzew iglastych udział drewna wczesnego jest większy, natomiast u pierścieniowo naczyniowych gatunków liściastych sytuacja jest odwrotna. Wiele gatunków drzew wykazuje po ścięciu (na przekroju poprzecznym) różnorodne zabarwienie. Wewnętrzna część będąca ciemniej zabarwiona nosi nazwę twardzieli, natomiast obwodowa jaśniejsza część jest to biel. Twardziel nie zawiera żywych komórek. Na skutek wytworzenia wcistek (u drzew liściastych) lub zamknięcia jamek (u drzew iglastych) oraz przesycenia związkami twardzielowymi (związki żywiczne, garbniki i barwniki) nie bierze udziału w procesach przewodzenia wody i w gromadzeniu materiałów odżywczych. Twardziel obejmuje warstwy drewna zbudowane z obumarłych, martwych elementów. Spełnia wyłącznie funkcje mechaniczne, nie bierze udziału w fizjologicznych funkcjach drzewa. Pojawia się dopiero po przekroczeniu pewnej granicy wieku, dla sosny jest to lat. 27

28 Rys. 9 Przekrój poprzeczny drewna świerka. Widoczne drewno wczesne i późne, granice słojów rocznych oraz podłużne przewody żywiczne. Powiększenie 80:1 [67] Biel jest jaśniejszą częścią o znacznie większej zawartości wody. Spełnia funkcje fizjologiczne i mechaniczne. Gromadzi materiały odżywcze w komórkach miękiszowych oraz przewodzi wodę z solami mineralnymi z korzeni do korony. Zajmuje obszar różny w zależności od gatunku i wieku drzewa. U cisa jest to 3-5 słojów, u sosny do 80 słojów rocznych. Zarówno biel jak i twardziel spełniają różne funkcje w drzewie a ich odmienna budowa jest przyczyną ą odmiennych cech technologicznych, co znajduje swój wyraz w zastosowaniu drewna. Drewno twardzielowe posiada większy ciężar właściwy i wyższe właściwości mechaniczne. Różnice te są jednak niewielkie. O wiele większe różnice istnieją natomiast w zakresie trwałości drewna. Twardziel ma trwałość sięgającą od kilku do kilkunastu lat, podczas gdy drewno bielu rozkłada się w ciągu trzech lat. Trwałość ta kształtuje się odwrotnie w przypadku sztucznego utrwalania. Spowodowane jest to różnicą w przepuszczalności ci bielu i twardzieli. Przy nasycaniu (impregnowaniu) drewna biel nasyca się bez trudności, twardziel natomiast nie przyjmuje impregnatów lub wchłania je w niewielkiej ilości. [67] Właściwości ś mechaniczne i fizyczne drewna Istotny wpływ na właściwości mechaniczne i fizyczne drewna mają cechy budowy wewnętrznej struktury, ze szczególnym uwzględnieniem rozmieszczenia naczyń oraz ich wielkości. Cechy te bierze się pod uwagę również podczas określania gatunków drewna. W związku z powyższym wyszczególnić można dwie zasadnicze grupy drzew: 28

29 Drzewa pierścieniowo naczyniowe, tworzące w strefie drewna wczesnego charakterystyczne pierścienie. Widoczna jest wyraźnie zarysowana i zmieniająca się gwałtownie różnica w wielkości naczyń drewna wczesnego i późnego. Drzewa rozpierzchłonaczyniowe charakteryzujące się tym, że widoczne gołym okiem naczynia rozmieszczone są stosunkowo równomiernie na szerokości słoju. Zmniejszanie się średnicy od większych naczyń w drewnie wczesnym do najmniejszych w drewnie późnym przebiega stopniowo i powoli. Pierścieniowe rozmieszczenie naczyń o dużym świetle w drewnie wczesnym tworzy przestrzenie o mniejszej wytrzymałości, stąd drewno takich drzew jak dębu, jesionu, czy wiązu posiada niższe właściwości mechaniczne w porównaniu z drewnem gatunków rozpierzchłonaczyniowych czyli brzozy, buku, grabu, gruszy, lipy, olchy czy topoli. Naczynia mają tu stosunkowo jednolite światło oraz są równomiernie wymieszane z elementami włóknistymi. W zastosowaniach technicznych drewna istotną rolę odgrywa znajomość czynników ilościowych tj. wymiarów elementów składowych oraz ich objętościowego udziału w drewnie. Rys. 10 Schemat budowy drewna brzozy (drewno rozpierzchłonaczyniowe) [67] 1 słój roczny, 2 naczynia, 3 promień rdzeniowy, 4 włókna drzewne 29

30 Rys. 11 Schemat budowy sosny [67] ; 1 słój roczny, 2 promienie rdzeniowe, 3 podłużny przewód żywiczny, 4 drewno (cewki) wczesne, 5 drewno późne Rys. 12 Schemat budowy drewna dębu (drewno pierścieniowo naczyniowe)[67] 1 słój roczny, 2 duże naczynie w drewnie wczesnym, 3 małe naczynie w drewnie późnym, 4 wąski promień rdzeniowy, 5 szeroki promień rdzeniowy, 6 włókna drzewne Poprzez pojęcie właściwości mechanicznych rozumiemy zdolność materiału do przeciwstawiania się działaniu sił zewnętrznych. Istotnym jest więc poznanie tych 30

31 właściwości jeżeli chcemy wiedzieć jak zachowa się materiał pod określonym obciążeniem. W przypadku drewna zadanie to jest trudne. Jest to materiał o złożonych właściwościach biochemicznych, niejednorodny, którego budowa struktury wewnętrznej charakteryzuje się porowatością i anizotropią. Moduł sprężystości jest miarą sztywności danego materiału. W zakresie odkształceń liniowo sprężystych zachodzi zależność opisana prawem Hooke'a. Moduł Younga zależy w dużej mierze od dwóch wartości, którymi są sztywność wiązań międzycząsteczkowych i liczba wiązań w danej jednostce objętości co przekłada się praktycznie na wielkość atomu. Można przez to moduł sprężystości wyrazić wzorem gdzie: r o - wielkość atomu S - sztywność wiązania [N/m] E = S r o (4.1) Moduł sprężystości przyjmuje szeroki zakres wartości. Im materiał bardziej podatny na odkształcenia tym niższą wartość ma moduł Younga. Wiąże się to bezpośrednio ze sztywnością wiązania wynoszącego dla polimerów S=0,5-2 N/m, a dla diamentu S=200N/m. Tab. 1 Moduł sprężystości drewna według Tetmajera [152, 67] Średnia Moduł sprężystości Gatunek wytrzymałość na podłużnej E drewna rozciąganie σ [MPa] [MPa] Stosunek granicy plastyczności do wytrzymałości na rozciąganie R s /R r Sosna ,503 Modrzew ,412 Buk ,335 Dąb ,4 0,241 Dla drewna wartości modułu sprężystości wahają się w zakresie od MPa (np. drewno jodłowe lub świerkowe) do MPa (buk). Moduły dla kilku gatunków drewna przedstawione zostały w tabeli. 31

32 W praktyce przyjmuje się moduł sprężystości drewna na poziomie ok MPa, co jest wystarczające dla wielu obliczeń wytrzymałościowych. Duże wartości współczynników bezpieczeństwa wykluczają w praktyce możliwość pomyłki nawet dla tak ogólnie przyjętej wartości modułu E. Jednakże ścisłe rozważania wymagają zróżnicowania modułu sprężystości chociażby ze względu na różnokierunkową budowę drewna. Anizotropowość struktury powoduje że moduły sprężystości w kierunku poprzecznym są wielokrotnie mniejsze od modułu sprężystości w kierunku wzdłuż włókien. Tab. 2 Moduł sprężystości drewna przy ściskaniu (wg Leontiewa)[74, 67] Moduł sprężystości [MPa] Gatunek drewna wzdłuż włókien w poprzek włókien w kierunku promieniowym stycznym Brzoza Dąb Sosna Wytrzymałość na ściskanie Dla drewna, podobnie jak dla innych materiałów porowatych i anizotropowych, za odniesieniową granicę wytrzymałości przyjmuje się wytrzymałość przy rozciąganiu wzdłuż włókien R m. Wytrzymałość tą wyznacza się z wykresu rozciągania przyjmując określoną wartość odchylenia od prostoliniowej części krzywej naprężenie odkształcenie, które występuje po przekroczeniu stanu sprężystego. Odpowiada to odkształceniom trwałym wynoszącym ok. 0,5%. Z uwagi na specyficzną strukturę włóknistą drewna przyjmuje się, że wytrzymałość na ściskanie jest ok. 30% mniejsza od wytrzymałości na rozciąganie. Jeśli obciążenie materiału nie jest jednoosiowe to jego wytrzymałość wyznacza się ze złożonej funkcji wynikającej z analizy stanu naprężenia. Funkcja ta umożliwia obliczenie naprężenia uplastyczniającego (tj. granicy plastyczności) w funkcji naprężeń działających wzdłuż osi głównych. Wytrzymałość drewna podczas ściskania, podobnie jak moduł sprężystości, zależy od kierunków anatomicznych i jest największa wzdłuż włókien. 32

33 Podczas ściskania w poprzek włókien, czyli w kierunku stycznym i promieniowym wytrzymałość drewna jest znacznie mniejsza. W wyniku ściskania poprzecznego w miarę wzrostu obciążenia następuje sprasowanie drewna, nawet do 30% wysokości badanej próbki. Wytrzymałość drewna na ściskanie stanowi ok % jego wytrzymałości na rozciąganie. W tabeli podano stosunek granicy sprężystości do wytrzymałości na rozciąganie. Stąd można określić granicę sprężystości podczas rozciągania i ściskania. Ponieważ drewno w stanie powietrzno - suchym jest materiałem kruchym o niskich właściwościach plastycznych, można przyjąć, że granica sprężystości jest początkiem trwałych, a więc plastycznych odkształceń. Tab. 3 Wytrzymałość drewna podczas ściskania podłużnego i poprzecznego (wg Wanina)[27] Gatunek drewna Gęstość [kg/m 3 ] Wytrzymałość podczas ściskania Stosunek % [MPa] poprzeczne - prostopadle do Ściskanie poprzeczne Ściskanie podłużnego przekroju prostopadle do przekroju podłużne stycznego promieniowego stycznego promieniowego Sosna ,3 13,2 6, ,5 8,9 Dąb ,2 11,7 17, ,4 22,6 Grab ,4 15,6 25, ,5 35,2 Buk ,5 10,3 13, ,1 30,3 Plastyczność jest to własność materiału polegająca na zdolności przyjmowania pod działaniem siły nadawanych mu odkształceń oraz trwałego ich zachowywania. Drewno w normalnym stanie i w normalnych warunkach wykazuje małą plastyczność i zachowuje się jak materiał kruchy. Celem przejściowego zwiększenia plastyczności poddaje się drewno obróbce hydrotermicznej, działając na nie gorącą wodą lub gorącą parą wodną, co powoduje zmiękczenie substancji międzykomórkowej (substancje pektynowe i lignina) i rozluźnienie więzi między komórkami. Ponowne utwardzenie uzyskuje się za pomocą wysuszenia i ostudzenia drewna. [67] Zwiększenie plastyczności jest równoznaczne z obniżeniem modułu sprężystości. Plastyczność odgrywa dużą rolę przy łuszczeniu drewna, skrawaniu oklein i przy obróbce drewna gięciem; zwiększenie plastyczności uzyskuje się przez odpowiednio dobraną obróbkę cieplno - wodną. Drewno wygięte przy sztucznie zwiększonej plastyczności po wysuszeniu zachowuje trwale nadane mu kształty[67]. 33

34 Wilgotność drewna Pod wpływem warunków zewnętrznych wilgotność drewna ulega zmianom. W związku z tym wyróżnia się drewno mokre, drewno załadowczo-suche, drewno powietrzno-suche i drewno całkowicie suche [67]. Mianem drewna mokrego określa się drewno zawierające wodę wolną, a więc drewno o wilgotności przekraczającej punkt nasycenia włókien. Wilgotność drewna świeżo ściętego zamyka się zależnie od gatunku drewna, między 50 a 180% wilgotności. Drewno składowane w wodzie ma wilgotność wyższą niż drewno świeżo ścięte [67]. Mianem drewna załadowczo-suchego określa się drewno o wilgotności około 25%. Drewno mokre traci pod wpływem składowania na powietrzu część wilgoci i dochodzi do stanu powietrzno-suchego, który w naszych warunkach wyraża się wilgotnością 13-20%, zależnie od pory roku i wilgotności względnej otaczającego powietrza przy czym jako wartość przeciętną przyjmuje się wilgotność 15%. Przy suszeniu drewna na powietrzu nie można osiągnąć wilgotności niższej od stanu powietrzno-suchego, a więc niższej niż 13%. Dalsze obniżenie wilgotności możliwe jest przez sztuczne suszenie [67]. Drewno ogrzewane w suszarkach w temperaturze 100±5 o C traci niemal zupełnie wodę osiągając stan niemal całkowicie suchy, któremu odpowiada ciężar drewna całkowicie suchego. Stan całkowicie suchy można osiągnąć i utrzymać tylko w warunkach laboratoryjnych, gdyż drewno suche nawilża się przez wchłanianie wody z atmosfery [67]. Porowatość i ciężar właściwy drewna Stosując makroskopowy opis drewna można powiedzieć, że drewno składa się z porów i substancji drzewnej. Wielkość i rozmieszczenie porów ma charakter nieregularny. Dodatkowo możemy rozróżnić także pory zamknięte i otwarte. W przestrzeń tych drugich mogą wnikać substancje z zewnątrz takie jak np. woda, która występuje w drewnie w postaci wolnej (w przestrzeniach porowych) lub związanej. Taki stan rzeczy sprawia iż w nauce o drewnie rozróżniamy ciężar właściwy drewna oraz ciężar właściwy substancji drzewnej [67]. Ciężar właściwy drewna jest to stosunek ciężaru badanej próbki do jej objętości, która stanowi sumę objętości substancji drzewnej i objętości wszystkich zawartych w próbce przestworów. Tak więc ciężar właściwy drewna jest funkcją porowatości, wilgotności i ciężaru właściwego substancji drzewnej. Ciężar właściwy substancji drzewnej zawiera się w granicach od 1,46-1,56 g/cm 3 dla wszystkich gatunków drewna. W literaturze natomiast przyjęło się stosować i podawać dla uproszczenia i ujednolicenia obliczeń jego uśrednioną wartość równą 1,5 g/cm 3 [67]. 34

35 Porowatość definiuje się stosunkiem objętości zawartych w drewnie porów do objętości drewna suchego, gdzie pod pojęciem drewna suchego rozumie się sumę objętości substancji drzewnej i porów [83, 91]. Udział substancji drzewnej w jednostce objętości drewna określa się dzieląc gęstość drewna suchego przez gęstość substancji drzewnej. procentach γ D = 0 1,5 (4.2) gdzie: D - udział substancji drzewnej, wyrażony w jednostce objętości drewna lub γ 0 - ciężar właściwy drewna w stanie całkowicie suchym [g/cm 3 ] 1,5 - ciężar właściwy substancji drzewnej [g/cm 3 ] Porowatość uzupełnia się z udziałem substancji drzewnej do wartości 1 wobec tego porowatość C wynosi γ 0 C = 1 D = 1 1,5 Jak wynika z powyższych wzorów występuje ścisły związek pomiędzy porowatością a ciężarem właściwym drewna. Ze wzrostem ciężaru właściwego maleje porowatość i na odwrót. Dane liczbowe określające orientacyjnie objętościowy udział substancji drzewnej i porów w całkowicie suchym drewnie zestawiono w tabeli oraz przedstawiono graficznie. (4.3) Tab. 4 Związek między ciężarem właściwym a porowatością drewna [67] Ciężar właściwy Udział w % objętości γ 0 [g/cm 3 ] 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 Substancji drzewnej porów

36 Rys. 13 Ciężar właściwy drewna oraz objętościowy udział substancji drzewnej i porów [67] 36

37 4.2 Struktura i właściwości mechaniczne kości Budowa kości Głównymi zadaniami narządu ruchu jest zapewnienie płynności ruchu i dowolnej zmiany pozycji w przestrzeni, oraz utrzymanie prawidłowej postawy ciała. Zbudowany jest z dwóch układów: czynnego nerwowo-mięśniowego, oraz z biernego kostno-stawowego, będącego zintegrowanym układem kości, stawów, chrząstek i więzadeł. Cały układ kostny człowieka jest więc swego rodzaju łańcuchem kinematycznym. Kości pełnią tu rolę członów, stawy tworzące połączenia pomiędzy kośćmi są tzw. parami kinematycznymi poruszanymi na skutek skurczów i rozkurczów przyczepionych do nich grup mięśni, cięgien i więzadeł [18]. Pary kinematyczne tworzą łańcuch kinematyczny, który zgodnie z teorią maszyn i mechanizmów należy zaliczyć do łańcucha otwartego. Natomiast poszczególne kończyny ze względu na dużą liczbę punktów swobody i dużą wartość ruchliwości są zaliczane do kategorii manipulatorów [112]. Kości będące poszczególnymi członami tego łańcucha kinematycznego poddawane są ciągłym, zmieniającym się stale obciążeniom. Wpływa to na ich kształt i budowę wewnętrzną. Związku z tym można wyróżnić cztery grupy kości: kości długie (np. udowa), kości krótkie (np. kości nadgarstka), kości płaskie (np. żebra, łopatki) i kości różnokształtne. Najdłuższą kością w całym organizmie człowieka jest masywna i wytrzymała kość udowa. Jest jednym z podstawowych elementów biorących udział w przenoszeniu obciążeń w rejonie biodra. Kość ta należy do najbardziej wytężonych elementów człowieka. Jej górna część łączy się z kośćmi miednicy za pośrednictwem stawu biodrowego, natomiast dolna łączy się z kością piszczelową, strzałkową i rzepką. Budowę zewnętrzną kości udowej przedstawiono na poniższym rysunku. Wyróżnić w niej możemy nasadę górną, trzon, oraz nasadę dolną. 37

38 Nasada górna Trzon Rys. 14 Budowa kości udowej [116] Badając gołym okiem przekrój kości udowej możemy stwierdzić, że jej budowa jest niejednorodna. W pewnych miejscach kość jest gęsta, jednolita i zbita, w innych jest porowata a swą strukturą ą przypomina gąbkę lub pumeks. Wewnętrzna część trzonu kości jest pusta. Wypełnia ją kanał ał szpikowy. Rys. 15 Przekrój kości udowej: a) w płaszczyźnie wzdłużnej [164, 56], b) w płaszczyźnie poprzecznej [164, 116] Na podstawie tych obserwacji można podzielić tkankę ę kostną na dwie postacie: gąbczastą i zbitą. Kość gąbczasta, zwana także beleczkową, znajduje się w nasadach kości długich, oraz we wnętrzu kości krótkich i płaskich. Ma mniejszy ciężar właściwy niż kość korowa, ponieważ ż zawiera ok. trzykrotnie mniej minerałów (ok. 26%). Posiada za to znacznie więcej komórek. Jej struktura przypomina regularnie ułożony system delikatnych, elastycznych połączeń ą ń przypominających sieć i nazywanych beleczkami, które 38

39 odpowiedzialne są za równomierny rozkład sił oddziałujących na kość. Kształt i wielkość beleczek zależy od kierunków działania tychże sił. Przestrzenie między beleczkami zwane są jamkami kostnymi i wypełnione są szpikiem kostnym. Same beleczki zbudowane są z blaszek kostnych, które układają się warstwowo. Tkanka kostna pod względem histologicznym zbudowana jest z następujących rodzajów komórek: osteoklastów (komórki odpowiedzialne za usuwanie kości w procesie jej przebudowy), osteoblastów (tzw. komórki kościotwórcze odpowiedzialne za powstawanie kości) i osteocytów (dojrzałe komórki w kształcie pestki śliwki z wypustkami zespalającymi inne komórki). Dodatkowo należy wymienić substancję podstawową zawierającą sole wapnia, związki organiczne i wodę. Strukturę międzykomórkową kości tworzą blaszki kostne utworzone z włókien kolagenowych zespolonych substancją podstawową [109]. Rys. 16 Schemat budowy kości. [101, 164] 39

40 Kość korowa jest twardą, zbitą substancją tworzącą zewnętrzną warstwę wszystkich kości. Jej skład to w ok. 75% są minerały. Zbudowana jest z blaszek kostnych ułożonych cylindrycznie jedne w drugich, tworząc w ten sposób tzw. system Havers'a. [101] Rys. 17 Schematyczne przedstawienie w przekroju fizjologiczno-morfologicznej budowy tkanki kostnej korowej [164, 109] Pod względem fizjologiczno-morfologicznym, kość korowa zbudowana jest z osteonów, mających kształt walca, często rozdwojonego na końcu, ułożonego wzdłuż osi kości. Osteon tworzą blaszki kostne, które ułożone są współśrodkowo wokół wysłanego śródkostną kanału centralnego (tzw. kanału Haversa). Przebiegają w nim naczynia krwionośne, limfatyczne i włókna nerwowe. Kanały Haversa mają średnicę od 20 do 60 µm i otoczone są przez 9 do 15 cylindrycznych, ułożonych koncentrycznie blaszek kostnych. Grubość pojedynczej blaszki wynosi od 3 do 8 µm [85]. Prostopadle lub skośnie do kanału centralnego osteonu przebiegają kanały odżywcze, zwane kanałami Volkmana. [109] 40

41 Rys. 18 System jamkowo - kanalikowy osteonu [164, 109] Blaszki kostne zbudowane są z włókien kolagenu ułożonych równolegle, w tym samym kierunku. Jednakże kierunek ich ułożenia jest odmienny niż w sąsiedniej blaszce. W dwóch sąsiadujących ze sobą blaszkach przebiegają pod różnymi kątami. Powoduje to krzyżowanie się kierunków przebiegu włókien w poszczególnych blaszkach pod różnymi kątami, czasami również pod kątem prostym, w wyniku czego powstaje struktura podobna do sklejki [164, 109]. Naprzemienny kierunek przebiegu włókien w obrębie blaszek danego osteonu jest powodem występowania charakterystycznych obrazów (blaszki jasne, blaszki ciemne), jakie obserwuje się oglądając przekroje poprzeczne przez osteony w świetle spolaryzowanym. Tkanka kostna korowa zbudowana jest z czterech rodzajów blaszek kostnych [109]: blaszki podstawowe zewnętrzne - tworzą zewnętrzną warstwę kości korowej leżącą pod okostną blaszki podstawowe wewnętrzne - znajdują się od strony jamy szpikowej blaszki systemowe - blaszki osteonu tworzące system Haversa blaszki międzysystemowe - pozostałość po przebudowanych osteonach W budowie osteonu wyróżnić można jeszcze system jamkowo kanalikowy [61]. Tworzą go jamki kostne znajdujące się pomiędzy blaszkami tworzącymi osteon lub w obrębie tych blaszek. W jamkach kostnych znajdują się osteocyty. Od jamek kostnych odchodzą kanaliki kostne, które zawierają wypustki osteocytów i płyn tkankowy. Kanaliki kostne w obrębie danego osteonu są ze sobą połączone w jeden system system jamkowo- 41

42 kanalikowy wypełniony komórkami kostnymi i płynem tkankowym. Blaszka zewnętrzna danego osteonu pełni rolę granicy. W niej kanaliki zaginają się w pętle i nie łączą się z kanalikami sąsiedniego osteonu. Taka budowa powoduje, że osteon stanowi samodzielną jednostkę, odżywianą przez naczynia krwionośne biegnące wewnątrz kanału osteonu. Z naczyń tych poprzez system kanalików płyn tkankowy dostarcza substancje odżywcze do osteocytów. Oprócz składników organicznych kość zawiera także składnik nieorganiczny, którym są kryształy hydroksyapatytu (fosforan wapnia Ca 10 (PO 4 ) 6 (OH) 2 ). Kryształy apatytu kostnego mają kształt płytek o grubości ok. 20Å, co udowodniono w ostatnich czasach [164, 161] Porowatość kości W literaturze spotyka się definicję porowatości kości jako objętościowy udział fazy płynnej zajmującej przestrzeń porową kości w danej jednostce objętości kości. Pojęcie fazy płynnej kości odnosi się do: naczyń krwionośnych wraz z krwią, włókien nerwowych, czerwonego i żółtego szpiku kostnego, komórek kostnych oraz pozakomórkowego płynu kostnego [164, 26, 88, 154]. Wartości porowatości objętościowej kości korowej mieszczą się w przedziale 0,05-0,3 (przy czym średnia wartość porowatości prawidłowej (nieosteoporotycznej) kości korowej wynosi około 0,15 [164, 155]. Porowatość kości jest ściśle związana z jej budową, stąd Cowin [31] w swoich pracach pisze o makro i mikroporowatości występującej w kości. Wielu autorów dzieli porowatość kości na tak zwane podprzedziały przestrzeni porowej także ściśle związane ze strukturą kości [164, 31, 32, 88, 154]. Są to: porowatość kanałowa (naczyniowa) związana jest z występowaniem systemu kanałów Haversa i Volkmanna, obejmuje wszystkie kanały kostne w których znajdują się naczynia krwionośne i nerwy. Promień tych kanałów wynosi ok. 20µm i stanowi wymiar charakterystyczny tego podprzedziału przestrzeni porowej kości, porowatość jamkowo-kanalikowa związana jest z układem jamkowo kanalikowym osteonów i obejmuje cały ten układ. Wymiarem charakterystycznym dla tej przestreni jest promień kanalika rzędu 0,1µm. porowatość kolagenowo-apatytowa związana jest z submikroskopowymi przestrzeniami pomiędzy włóknami kolagenowymi a mineralnymi kryształami płytkowymi apatytu; charakterystyczny wymiar porowy jest rzędu 10nm. 42

43 Rys. 19 A, B) Przekrój przez kość korową ukazujący podstawowe jednostki strukturalne - osteony, oraz porowatość naczyniową związaną z występowaniem kanałów Haversa (KH) i układu jamkowo-kanalikowego (JK); C) widok w świetle spolaryzowanym ukazujący kanały Hawersa otoczone koncentrycznie ułożonymi blaszkami kostnymi mającymi kształt cylindrów umieszczonych jeden w drugim [164, 56] Według Cowina [31, 32] kość gąbczasta także posiada trzy przedziały przestrzeni porowej. Pierwszy to przedział makroporowy związany z występowaniem jamek szpikowych między beleczkami - to tzw. porowatość międzybeleczkowa. Charakterystyczny wymiar porowy w tym przedziale wynosi ok. 1mm. Drugi i trzeci przedział to przedziały mikroporowe i submikroporowe identyczne jak w kości korowej. Są to porowatość jamkowo - kanalikowa i tzw. porowatość kolagenowo - apatytowa. Ich wymiary charakterystyczne są identyczne jak w kości korowej. 43

44 Tab. 5 Porowatość kości na tle innych materiałów porowatych [164] Własności mechaniczne kości przedstawiona wcześniej budowa wskazuje iż kość jest materiałem o silnie niejednorodnej budowie. Zewnętrzna warstwa zwana korową jest twardsza, posiada bardziej zbitą strukturę. Natomiast wewnętrzna część - gąbczasta - jest tkanką bardziej miękką o wyraźnej dostrzegalnej gołym okiem porowatej strukturze. Kość sama w sobie jest materiałem pochodzenia organicznego co samo w sobie wprowadza wiele zmiennych decydujących o ostatecznych właściwościach fizycznych. Obecnie istnieje wiele publikacji, w których autorzy przedstawiają wyniki swoich badań mających na celu określenie mechanicznych własności kości. Dane zawarte w nich różnią się od siebie nieraz bardzo znacznie. Wpływ ma na to zarówno zastosowana metoda badawczo-pomiarowa, jak i sam sposób przygotowania próbki. Wyróżnia się i bada różne stany kości. Należą do nich: kość mokra - tj. całkowicie wypełniona płynem fizjologicznym (stosowana w badaniach mechanicznych, elektrycznych, akustycznych, termicznych i innych) kość sucha - trawiona w 7% roztworze KOH celem usunięcia resztek tkanek miękkich z przestrzeni porowej kości, następnie moczona w roztworze 44

45 alkoholu o wzrastającym stężeniu celem usunięcia KOH i ostatecznie suszona celem odparowania resztek alkoholu oraz kość wilgotna, kość bezpośrednio po resekcji, kość żywa, kość liofolizowana, kość odwapniona, kość odbiałczona i inne. W badaniach kości znaczenie mają także dane dawcy (np.: wiek, waga, płeć, gatunek), miejsce pobrania oraz stan zdrowia dawcy (łącznie z historią przebytych chorób). Właściwości kości zmieniają się także po śmierci dawcy. Istotny jest więc czas i sposób przechowywania próbek. Właściwości mechaniczne tkanki kostnej zależą w dużej mierze od lokalizacji anatomicznej pobranej próbki. Zmiana następuje wzdłuż osi długiej kości jak i w obrębie przekroju poprzecznego. Jak już wspomniano wcześniej znaczenie ma także rodzaj obróbki i sposób preparowania kości. Tab. 6 stałe materiałowe dla tkanki kostnej na podstawie badań różnych autorów [35, 13, 164] właściwości Ashman Reilly and Burstein Knets i Malmeisters Yoon i Katz Rodzaj kości kość ludzka kość ludzka Kość wołowa kość ludzka kość ludzka Metoda pomiaru ultradźwiękowa mechaniczna mechaniczna rozciąganie ścinanie ściskanie rozciąganie ścinanie ściskanie rozciąganie ultradźwiękowa E1 (GPa) 12 12,8-11,7 10,4-10,1 6,91 18,8 E2 (GPa) 13,4 12,8-11,7 10,4-10,1 8,51 18,8 E3 (GPa) 20 17,7-18,2 23,1-22,3 18,4 27,4 G12 (GPa) 4, ,41 7,2 G13 (GPa) 5,6-3, ,6-3,56 8,7 G23 (GPa) 6,2-3, ,6-4,91 8,7 ν 12 0,38 0,53-0,63 0,51-0,51 0,49 0,31 ν 13 0,22 0,41-0,38 0,29-0,4 0,12 0,19 ν 23 0, ,14 0,19 ν 21 0,42 0,53-0,63 0,51-0,51 0,62 0,31 ν 31 0,37 0,41-0,38 0,29-0,4 0,32 0,28 ν 32 0, ,31 0,28 Istotny wpływ na uzyskiwane w badaniach wyniki ma także metoda badawcza zastosowana w celu określenia właściwości. Wśród najbardziej popularnych wyróżnić możemy metody mechaniczne (ściskanie, rozciąganie ścinanie, wyboczenie, zginanie, itp.), ultradzwiękowe oraz nanoindentację, czyli metodę polegającą na pomiarze mikrotwardości. W poniższej tabeli przedstawione zostały przykładowe wyniki prac różnych autorów. 45

46 Wyników badań wytrzymałościowych różnych struktur kostnych jest wiele i wciąż ich przybywa, stąd też zaprezentowane wartości stanowią jedynie przykładowe dane. Tab. 7 Zestawienie wartości modułów Younga dla wybranych kości na podstawie badań różnych autorów [35] Autor Rodzaj kości Metoda badawcza Runkle and Pugh (1975) Townsend i in. (1975) Ashman i Rho (1988) Moduł Younga (GPa) Rodzaj próbki udowa dystalna wyboczenie 8,7 sucha udowa proksymalna wyboczenie 14,1 sucha 11,4 mokra udowa wołowa 10,9 mokra ultradzwiękowa udowa ludzka 12,7 mokra Choi i in. (1990) Kuhn i in. (1989) Mente i Lewis (1989) Ryan i Williams (1989) kość piszczelowa 4,6 mokra kość piszczelowa zginanie korowa 4,4 mokra kość biodrowa 3,7 mokra zginanie kość biodrowa korowa 4,8 mokra udowa 6,2 mokra udowa wołowa tension 0,8 sucha Jensen i in. (1990) kręgosłup analiza strukturalna 3,8 - Rho i in. (1993) Turner i in. (1999) Zysset i in. (1999) piszczel tension 10,4 sucha ultradźwiękowa 14,8 mokra piszczelowa korowa 18,6 sucha udowa ultradźwiękowa 17,5 mokra udowa korowa ultradźwiękowa 17,7 mokra udowa nanoindentacja 18,1 sucha udowa korowa nanoindentacja 20,0 sucha udowa nanoindentacja 11,4 mokra udowa korowa nanoindentacja 16,7 mokra W badaniach kości istotnym częstym problemem jest pozyskiwanie materiału badawczego. Problem ten występuje szczególnie w przypadku badań nad ludzką tkanką kostną (wymagane są specjalne pozwolenia, trudność w samym pozyskaniu materiału). Rozwiązaniem powyższego problemu jest przeprowadzenie doświadczeń na tkance biologicznie i mechanicznie podobnej. Takie rozwiązanie stosuje się na ogół w przypadku badań nad implantami i sposobami ich mocowań. Obecnie za najbardziej zbliżoną do kości 46

47 ludzkiej uważa się kość wołową. W tabeli przedstawione zostały przykładowe wartości wybranych właściwości mechanicznych kości ludzkich i wołowych. Tab. 8 Zestawienie właściwości materiałowych dla kości korowej i gąbczastej [77, 28] Współczynniki materiałowe Kość korowa Kość gąbczasta E 1 (GPa) MPa 140 MPa E 2 (GPa) MPa 140 MPa E 3 (GPa) MPa 200 MPa G 12 (GPa) 3800 MPa 48,3 MPa G 13 (GPa) 3800 MPa 48,3 MPa G 23 (GPa) 5400 MPa 48,3 MPa ν 12 0,484 0,45 ν 13 0,203 0,315 ν 23 0,203 0,315 47

48 5. Badania doświadczalne cech geometrycznych i mechanicznych wybranych biomateriałów 5.1 Badania eksperymentalne - drewno Jednym z celów przeprowadzonych badań doświadczalnych było wyznaczenie granicy plastyczności, zmiennej w zależności od rozpatrywanego kierunku ortotropii. Ortotropia drewna nie jest jednak jedynym parametrem mającym wpływ na właściwości wytrzymałościowe. Duże znaczenie mają także inne czynniki o wartościach zależnych od warunków otoczenia, będące indywidualnymi wielkościami charakterystycznymi danego miejsca określającymi temperaturę i wilgotność. Wpływ anizotropii na wytrzymałość drewna jest znacząca, stąd uszczegółowienie warunku plastyczności ośrodka porowatego poprzez sformułowanie i opisanie współczynników anizotropii z uwzględnieniem wpływu warunków otoczenia takich jak temperatura i wilgotność pozwala otrzymać model jak najwierniej opisujący materiał. a) b) c) Rys. 20 Ukierunkowanie struktury drewna w badaniach wytrzymałościowych do wyznaczenia współczynników anizotropii [11] a) ściskanie, rozciąganie wzdłuż włókien (współrzędna Y3) b) ściskanie, rozciąganie w poprzek włókien, kierunek styczny (współrzędna Y2), c) ściskanie, rozciąganie w poprzek włókien, kierunek promieniowy (współrzędna Y1) Współczynniki anizotropii, będące funkcjami granic plastyczności dla poszczególnych kierunków ułożenia włókien, należy wyznaczyć w sposób doświadczalny. Badaniom poddano próbki z drewna sosnowego. Przeprowadzono próby rozciągania i ściskania. Badania przeprowadzone zostały dla wszystkich trzech kierunków anatomicznych ułożenia włókien: 48

49 poprzecznego promieniowego (Y 1 ) poprzecznego stycznego (Y 2 ) wzdłużnego (Y 3 ) Próby wytrzymałościowe wykonane zostały na specjalnie przygotowanym do tego stanowisku badawczym, fot. poniżej. Rys. 21 Stanowisko badawcze [11] Ściskanie i rozciąganie drewna wzdłuż i w poprzek włókien przeprowadzono na maszynie wytrzymałościowej ZWICK Z O50 przy prędkości przesuwu trawersu wynoszącej 0,5mm/min. Wykorzystana maszyna wytrzymałościowa była sprzężona z komputerem, co umożliwiało, podczas próby wytrzymałościowej, rejestrację takich parametrów mechanicznych, jak: naprężenie na granicy proporcjonalności, naprężenie maksymalne, odkształcenie na granicy proporcjonalności, odkształcenie maksymalne i energię zniszczenia. Zastosowane oprogramowanie komputerowe (TESTEXPERT 7.1), umożliwiało wykonanie zestawień bezpośrednich wyników pomiarów wraz z wcześniej zdefiniowanymi parametrami statystycznymi, obliczonymi dla danej serii doświadczeń, a także wykonanie wykresów dla przeprowadzonych prób z możliwością przedstawienia ich na podstawie różnych par badanych wielkości np. naprężenie - odkształcenie, naprężenie - czas, i inne. Uwzględniono w badaniach wpływ wilgotności na wytrzymałość badanego materiału. Badano próbki o wilgotności ok. 1% oraz o wilgotności ok. 15%. Na podstawie uzyskanych wyników wyznaczono granicę plastyczności dla poszczególnych analizowanych przypadków. 49

50 Rys. 22 Charakterystyki z prób rozciągania próbek drewna sosny o wilgotności 0,5%, wzdłuż anatomicznych kierunków: osiowym (L), stycznym (T), promieniowym (R) [11] Rys. 23 Charakterystyki z prób rozciągania próbek drewna sosny o wilgotności 15%, wzdłuż anatomicznych kierunków: osiowym (L), stycznym (T), promieniowym (R) [11] Rys. 24 Charakterystyki z prób ściskania próbek drewna sosny o wilgotności 15%, wzdłuż anatomicznych kierunków: osiowym (L), stycznym (T), promieniowym (R) [11] 50

51 Tab. 9 Zestawienie wartości granicy plastyczności przy rozciąganiu i ściskaniu dla głównych kierunków ułożenia włókien przy wilgotności drewna 15% [11] Wilgotność 15% Rozciąganie kierunek promieniowy (Y 1 ) 5,77 Ściskanie 2,6 kierunek styczny (Y 2 2) 5,08 kierunek wzdłużny (Y 3 ) 134 3,8 32,3 Przedstawione powyżej wyniki badań pozwoliły określić ć wartości granic plastyczności dla każdego z kierunków ortotropii. W konsekwencji na ich podstawie, wyznaczone zostały współczynniki anizotropii α i β. Są one niezbędne do uszczegółowienia modelu drewna przedstawionego w rozdziale 6. Tab. 10 Zestawienie wartości współczynników anizotropii dla drewna o wilgotności 15% [11] Wilgotność materiału Wartości współczynników anizotropii ściskanie rozciąganie 15% α 2,13 β 154,33 0, Rys. 25 Charakterystyki zależności współczynników anizotropii α, β od wilgotności drewna [11] 51

52 Powyższe współczynniki anizotropii są niezbędne do uszczegółowienia modelu matematycznego porowatego materiału lepko-sprężystego (drewna). Model ten został opisany w rozdziale 6. Uszczegółowiony model może zostać użyty do rozwiązania zagadnienia początkowo-brzegowego (patrz rozdz. 7 ). W niniejszym rozdziale przedstawiono badania właściwości drewna, ponieważ autor uczestniczył w tych pracach i ściśle wiązały się one z tematyką niniejszej dysertacji. Ostatecznie jednak do sformułowania i rozwiązania zagadnienia brzegowego (co jest autorskim osiągnięciem) wykorzystano drugi z prezentowanych w pracy modeli model kości. Z tych powodów jedynie zasygnalizowano w dysertacji udział autora w badaniach. 5.2 Badania cech geometrycznych kości gąbczastej W literaturze przedmiotu istnieje szereg badań dotyczących budowy i właściwości kości, zarówno ludzkich jak i zwierzęcych. Wyniki badań publikowane w nich dotyczą właściwości fizycznych i mechanicznych, budowy, a także przedstawione są wielkości geometryczne poszczególnych cech budowy, czy też elementów tworzących kość. Brakuje natomiast informacji dotyczących rozkładu struktury porowej. W projektowaniu oraz na potrzeby analiz znaczenie mogą mieć także takie parametry jak rozmieszczenie porów, odległości pomiędzy geometrycznymi środkami poszczególnych porów, wielkości średnic poszczególnych porów. Istotne są przy tym nie tylko wartości średnie, ale także skrajne to znaczy maksymalna i minimalna wartość. Przeprowadzanie badań na kości ludzkiej jest z oczywistych względów praktycznie niemożliwe. Istnieje tu problem nie tylko natury etycznej, czy też konieczności uzyskania stosownych zezwoleń, ale problem stanowi także konieczność fizycznego pozyskania materiału do badań i to w odpowiedniej ilości. Według badań [2] kość ludzka udowa jest podobna do kości udowej wieprzowej, która jest uznanym i szeroko stosowanym modelem zwierzęcym, odpowiadającym ludzkiej tkance kostnej. Z tych względów niektóre badania można przeprowadzić na kości wieprzowej będącej łatwo dostępną. Próbki do badań pobrane zostały z kości udowej wieprzowej. Następnie, pocięte w 5mm grubości plastry, poddane zostały procesowi trawienia celem usunięcia tkanek miękkich. Przygotowane w ten sposób próbki pocięto na mniejsze i napylono grafitem w napylarce JEE-4B/4C. Po przygotowaniu z nich zgładu (metalograficznego), czyli zalaniu 52

53 żywicą epoxydową i wyszlifowaniu powierzchni, można było umieścić próbki w komorze pomiarowej mikroskopu skaningowego. Kolejne fotografie przedstawiają uzyskane obrazy. 53

54 54

55 Rys. 26 Zdjęcia kości gąbczastej pomiar pól powierzchni porów 55

56 Rys. 27 Zdjęcia kości gąbczastej pomiar średnic porów 56

57 57

58 Rys. 28 Zdjęcia kości gąbczastej pomiar odległości pomiędzy środkami porów 58

59 Przedstawione powyżej obrazy posłużyły do przeprowadzenia analiz i pomiarów struktury. Ich celem było określenie takich parametrów struktury geometrycznej jak porowatość powierzchniowa, średnie oraz skrajne (max i min) wartości średnic porów, średnie odległości pomiędzy porami - pozwala na określenie równomierności rozłożenia porów. W badaniach wykorzystano, będące na wyposażeniu Katedry Podstaw Konstrukcji Maszyn, oprogramowanie do analizy obrazów AxiovisionRL. Pomiary przeprowadzone przy jego pomocy pozwoliły na wyznaczenie poszukiwanych wielkości. Wyniki zaprezentowane zostały w poniższej tabeli. Tab. 11 Wyniki analiz powierzchni przeprowadzonych na podstawie zdjęć z mikroskopu skaningowego zgładu próbki kości gąbczastej Wartość średnia Odchylenie standardowe Wartość maksymalna Wartość minimalna Pole powierzchni pora [mm 2 ] 0,19 0,049 0,66 0,02 Średnica pora [mm] 0,49 0,075 1,23 0,19 Odległości pomiędzy porami [mm] Porowatość [%] 0,613 0,069 1,07 0,3 55,9 4,12 59,56 47,1 Analiza zdjęć wykazała, że porowatość kości gąbczastej ma charakter nieregularny i chaotyczny. Średnia wielkość pola powierzchni pora na zgładzie próbki wynosi 0,19mm 2, przy średniej wielkości średnicy 0,49mm. Wartości ekstremalne dla pola powierzchni wynoszą 0,66 mm 2 i 0,02 mm 2, a dla średnic 1,23mm i 0,19mm. Na podstawie tych wartości można wyliczyć iż różnica pomiędzy wartościami skrajnymi jest co najmniej 10-cio krotna. Pozwala to wysnuć wniosek o nieregularności struktury porowatej i podłużnym kształcie porów. Dalsze analizy i obliczenia wykazały ponad 55% porowatość. Przedstawione wyniki pomiarów są istotne dla celów rozwiązania zagadnień brzegowych sformułowanych w dalszej części pracy. Jednym z zagadnień jest dobór parametrów geometrycznych palisadowo-szpilkowej struktury mocującej endoprotezę. Według przyjętych założeń, planuje się zaprojektowanie takiej struktury szpilek, aby 59

60 pasowała do struktury porowatej kości gąbczastej. Parametrami porównawczymi będą tutaj wielkość pora i odległości pomiędzy poszczególnymi porami. Zakłada się, iż istnieje możliwość dopasowania struktury szpilek do struktury porowej w taki sposób, aby podczas tworzenia połączenia kość-implant zniszczeniu uległa jak najmniejsza część kości, tzn. igły zagłębiać się będą w pory, nie niszcząc tkanki kostnej. Drugi z warunków zakłada, że po wytworzeniu połączenia kość-implant, nastąpi (na drodze naturalnej przebudowy) wrastanie tkanki kostnej w przestrzeń między szpilkową. Wzmocni to połączenie m. in. poprzez zwiększenie powierzchni kontaktu pomiędzy implantem a tkanką, a tym samym zmniejszenie nacisków jednostkowych w połączeniu. 60

61 6. Modele matematyczne wybranych struktur porowatych 6.1 Model drewna jako ośrodka ortotropowego Drewno jest materiałem o nierównomiernej budowie; wygląd, właściwości fizyczne jak i mechaniczne (wytrzymałość) zmieniają się w zależności od kierunku anatomicznego. Jest to materiał niejednorodny, typowo różnokierunkowy (ortotropowy). Ponadto charakteryzuje się zależnością właściwości mechanicznych od zawartości wilgoci i temperatury. W opisie drewna można uwzględnić trzy zasadnicze przekroje: przekrój poprzeczny styczny, przekrój poprzeczny promieniowy i przekrój podłużny (osiowy). Rys. 29 Makrostruktura drewna (charakterystyczne kierunki anatomiczne na przekroju poprzecznym pnia drzewa) [3, 91] Z punktu widzenia teorii konstrukcji istotne są związki konstytutywne dla porowatego biomateriału (drewna), które ujmowałyby charakterystyczne dla niego stałe materiałowe oraz wiązałyby wpływ wilgotności i temperatury tego ośrodka na właściwości mechaniczne. Sformułowanie takiego modelu matematycznego umożliwia optymalizację cech geometrycznych i dynamicznych części maszyn wykonanych z takiego materiału a także określonych parametrów technologicznych podczas jego obróbki (np. plastycznej). Jednym z najprostszych modeli drewna wilgotnego jest jednowymiarowy model zbudowany z szeregowo-równoległego połączenia modeli Hooke'a i Newtona. Fizyczną jego interpretację przedstawiono na schemacie (rys. 28). Poczynienie pewnych założeń upraszczających oraz doświadczalne określenie funkcji w nim występujących pozwoli wykorzystać ten model do rozwiązywania jednowymiarowych zadań brzegowych. 61

62 E 1 (W,T) P E 0 (W,T) η 0 (W,T) η=const P η 1 (W,T) Rys. 30 Model fizyczny drewna Natomiast bardzo złożony matematyczny model dla ciała lepko-sprężystego, jakim jest drewno, uwzględniający wpływ temperatury i wilgotności przedstawiono poniżej [66] gdzie: 3K=2M+3A ϑ=t T 0 oznacza temperaturę względną 89 = : ;< $= AA $=B +C(D) E+C (F) GHI 89 (6.1) Θ=X X 0 oznacza przyrost wilgotności właściwej względem wilgotności odniesienia X 0 M, A moduły odkształceń postaciowych i objętościowych nawilżonego materiału κ (T) współczynnik liniowej rozszerzalności termicznej ciała porowatego κ (Θ) współczynnik liniowej rozszerzalności wilgotnościowej ciała porowatego w stałej temperaturze. Szczególna postać warunku plastyczności Istotne z punktu widzenia potrzeb inżynierskich jest sformułowanie warunków stanu granicznego dla drewna. Pozwoli to określić drogą teoretyczną nośność graniczną elementów konstrukcyjnych. Uplastycznienie materiałów anizotropowych zależy od spełnienia warunku plastyczności, uwzględniającego anizotropię właściwości plastycznych takich materiałów. Wykorzystany zostanie tutaj uogólniony warunek plastyczności Hubera Misesa, który można zapisać jako skalarną funkcję dwóch wielkości F(σ,W)=0, (6.2) gdzie σ jest aktualnym tensorem naprężeń uwzględniającym anizotropię a W aktualną wilgotnością materiału. 62

63 63 W przypadku materiałów ortotropowych, za które można uznać drewno, możemy tak dobrać układ odniesienia {x i }, aby kierunki jego osi były zgodne z wyróżnionymi kierunkami ortotropii. Dla drewna są to naturalne kierunki: promieniowy (x 1 ), styczny (x 2 ) i wzdłużny (x 3 ). Przy tak przyjętym założeniu warunek plastyczności (6.2) może być przyjęty w formie kwadratowego wielomianu wszystkich składowych naprężenia. Można go zapisać następująco = ) N( ) M( ) L( ) W, ( F ij 2 σ σ σ σ σ σ σ R 2 2Q 2P = σ σ σ, (6.3) gdzie L, M, N, P, Q, R są funkcjami granic plastyczności Y i i wilgotności W w konfiguracji aktualnej, w następującej postaci k k k Y Y Y Y Y Y Y Y Y R, Q, P N M L = = = + + = + + = + = (6.4) Dla płaskiego stanu naprężeń równanie (6.3) można po wykorzystaniu zależności (6.4) zapisać w ostatecznej postaci warunku plastyczności dla anizotropowego materiału porowatego z uwzględnieniem wpływu jego wilgotności ( ) ( ) 1 ) X X A( E ) X X ( Y E a 1 ) X X A( a E ) X X ( Y E a 1 X X A E X X Y E a 1 ) X X A( E ) X X ( Y E a 1 ) X X A( E ) X X ( Y E a 1 ) X X A( E ) X X ( Y E a = σ σ σ σ σ γ γ α β β α α 1 (6.5) Wyniki badań doświadczalnych wykazały [64, 91], że istnieje relacja między zmianą wilgotności w drewnie a naprężeniami uplastyczniającymi, którą można wyrazić równaniem 2,3 1, i ) X X ( Y a E 1 ) X X A( E Y 0 0 i 0 i i 0 0 i i = + = (6.6)

64 gdzie: X = W W 0 /W n W 0, W 0 - wilgotność początkowa, W n - wilgotność punktu nasycenia włókien, X 0 W 0 0 E i - początkowe moduły sprężystości, a i - współczynniki sprzężenia mechano-sorpcyjnego, A - współczynnik odkształcenia plastycznego. Sformułowany model jest pewnym uproszczeniem rzeczywistości. Uwzględniony został wpływ anizotropii struktury i wilgotności na nośność graniczną ale tylko w stanie aktualnym. Pominięto zmienność struktury w czasie oraz historię procesu deformacji, co i tak doprowadziło w efekcie do bardzo złożonego warunku plastyczności. Założono również izotermiczny proces odkształcania, co znacznie upraszcza rozwiązanie zadań brzegowych. Przyjęty w formie wielomianu kwadratowego warunek uplastycznienia ma tylko z pozoru postać identyczną z warunkiem dla materiałów idealnie plastycznych (Hilla). W rzeczywistości jest to uwikłana funkcja takich argumentów jak moduły sprężystości, wilgotność, współczynniki anizotropii. Występujące w powyższym warunku granice plastyczności zostały określone doświadczalnie w funkcji granicy plastyczności wzdłuż włókien i uwzględnione w równaniu jako współczynniki anizotropii α = Y 2 Y 1 2, β = Y Y 3 1 2, γ = k Y (6.7) Powyższe współczynniki zostały wyznaczone doświadczalnie dla wybranego rodzaju drewna i wybranych warunków wilgotnościowych (Tab. 10). Sformułowany warunek plastyczności pozwala na określenie granicznego obciążenia drewnianych elementów przy danej wilgotności. Wykorzystanie warunku plastyczności i równań równowagi w rozwiązywaniu zadań brzegowych stanowi istotę nośności granicznej oszacowanie statyczne (dolne) nośności elementu. Zbudowany model matematyczny można zastosować do rozwiązania problemu brzegowego związanego z oszacowaniem nośności granicznej określonego materiału (innych gatunków drewna niż sosna) po uprzednim wyznaczeniu współczynników anizotropii dla tego materiału [65, 83, 91]. 64

65 6.2 Równania konstytutywne kości gąbczastej Kość korowa trzonu kości długiej jest traktowana jako izotropowe porowate ciało stałe, którego przestrzeń porowa wypełniona jest lepkim, ściśliwym płynem międzykomórkowym. Fizyczne relacje dla tak zdefiniowanego materiału mogą zostać opisane przy użyciu teorii porosprężystości Biot'a [15-17, 94]: (6.8) gdzie: σ s ij tensor naprężeń materiału fazy stałej, σ f naprężenie w materiale fazy płynnej ε ij tensor odkształceń materiału fazy stałej ε dylatacja materiału fazy stałej δ ij symbol Kroneckera Θ dylatacja materiału fazy płynnej N, A, Q, R stałe porosprężystości Biota Willisa. Teoria porosprężystości Biota ujmuje wzajemne sprzężenie dwóch pól odkształceń objętościowych: materiału fazy stałej (dylatacja ε) i fazy płynnej (dylatacja Θ) ośrodka porowatego wypełnionego płynem i opisują w ten sposób zjawisko przepływu płynu porowego wywołane deformacją mechaniczną materiału fazy stałej tego ośrodka. Równania (6.8) teorii Biota przedstawiono w układzie kartezjańskim. Wykorzystanie tych równań konstytutywnych do rozwiązania w dalszej części pracy szczególnego zadania brzegowego wymaga rozpisania ich we współrzędnych walcowych, co przedstawiono poniżej. 65

66 (6.9) Do opisu przepływu płynu fizjologicznego w kości mokrej wykorzystuje się prawo filtracji Darcy. Dla nieobciążonego porowatego materiału anizotropowego przyjmuje ono postać (6.10) gdzie: ů i Ů i średnie prędkości przemieszczeń odpowiednio dla fazy stałej i płynnej. Stała C ujęta w powyższym wzorze jest wartością zależną od przepuszczalności (k), porowatości (f v ) oraz lepkości (η) płynu i wyraża się zależnością [57, 106] M = NO P Q Dla walcowego układu współrzędnych można zapisać R. (6.11) (6.12) Zgodnie z uwagami zawartymi w rozdziale 2.1, do pełnego modelu matematycznego wchodzą również równania równowagi wewnętrznej, przedstawione poniżej w bardzo ogólnej postaci 66

67 0 (6.13) gdzie σ s i σ f są odpowiednimi tensorami naprężeń w szkielecie i w cieczy. Zapisane w walcowym układzie współrzędnych mają postać (6.14)) Zależności kinematyczne dla fazy stałej kości korowej uzupełniają model. W walcowym układzie współrzędnych można je opisać równaniami (6.15) Układ równań (6.9), (6.12), (6.14) i (6.15) stanowi kompletny model matematyczny sprężystego materiału porowatego wypełnionego cieczą. Uzupełniony o warunki brzegowe prowadzi do pełnego rozwiązania zagadnienia wytrzymałości, tzn. do wyznaczenia składowych tensorów naprężenia w szkielecie i cieczy oraz ich przemieszczeń. 67

68 7. Przykłady określania nośności granicznej elementów drewnianych W rozwoju nowych technik wytwarzania istotne znaczenie mają, między innymi metody projektowania i kształtowania konstrukcyjnego urządzeń do mechanicznego uplastyczniania materiałów o strukturze porowatej i anizotropowej, takich jak np. drewno [67]. Proces uplastyczniania drewna stosowany jest podczas walcowania na gorąco elementów meblowych (Rys. 31). Rys. 31 Parametry geometryczne walca i warstwy drewna w procesie walcowania [10], gdzie: R w promień walca, h 1 grubość warstwy drewna przed walcowaniem, h 2 grubość warstwy drewna po walcowaniu, h zgniot bezwzględny, ϕ kąt oparty na łuku kontaktu walca z powierzchnią drewna, s długość łuku kontaktu walca z powierzchnią drewna, e rzut prostokątny łuku AD, ω prędkość kątowa walca. W ten sposób uzyskuje się uszlachetnienie cienkiej jego warstwy, polegające na wygładzeniu powierzchni i zagęszczeniu struktury wewnętrznej (rys. 32.). Podczas badań wpływu nacisku rozgrzanego i obracającego się walca na efekt uszlachetnienia, przeanalizowano parametry profilu chropowatości powierzchni próbek. Na tej podstawie stwierdzono, że w wyniku uszlachetnienia powierzchni drewna walcowaniem na gorąco, wartości zmierzonych parametrów profilu chropowatości powierzchni zmniejszają się wyraźnie (niektóre nawet trzykrotnie), dotyczy to głównie odchyleń wysokościowych [10]. 68

69 a) b) Rys. 32 Parametry profilu chropowatości powierzchni próbki dębu [10], a) przed walcowaniem, b) po walcowaniu Proces walcowania charakteryzują dwa etapy. Pierwszy dotyczy trwałych odkształceń w wyniku przekroczenia granicy plastyczności, związany z zagęszczeniem struktury drewna i drugi, który decyduje o nadaniu warstwie wierzchniej gładkości i konsolidacji. Na efektywność każdego z tych etapów zasadniczy wpływ ma wartość temperatury. Jej wzrost wpływa na spadek naprężeń ń określających granicę plastyczności będącą obciążeniem granicznym. Ponadto wygładzenie i konsolidacja wierzchniej warstwy drewna jest skutkiem uplastycznienia ligniny (stanowiącej ok. 40% masy drewna) pod wpływem wzrostu temperatury do wartości min. ok C [39, 60, 138, 10]. Modelowanie konstrukcyjne takich procesów ma na celu określenie niezbędnych obciążeń ń granicznych powodujących stan plastycznego płynięcia. Bazując na równaniach konstytutywnych dla drewna przedstawionych w rozdziale 6 sformułowano warunek plastyczności dla procesu walcowania p = [ (1 + A) B (1 2 A) (1 + α β ) 4α (1 + A) 2 A( gdzie: p nacisk powierzchniowy walca, Y 1 granica plastyczności podczas rozciągania wzdłuż ż włókien zależna od temperatury, A i B funkcje porowatości, α i β naprężeniowe współczynniki ortotropii [83, 10]. Powyższy warunek pozwala wyznaczyć siłę uplastycznienia dla różnych gatunków drewna, uwzględniając ich porowatość, anizotropię ę i wpływ temperatury. B α ] Y β ) 2 1 (7.1) 69

70 Wartość tego obciążenia, stanowi kryterium wytrzymałości i decyduje o energochłonności procesu oraz efektywnym projektowaniu elementów konstrukcyjnych urządzeń stosowanych do tego celu. Stąd podczas opisu procesu uplastycznienia drewna istotna jest znajomość rozkładu temperatury [84, 107, 150] i naprężeń w jego wierzchniej warstwie. 70

71 8. Rozwiązanie zagadnienia brzegowego dla kości 8.1 Endoprotezoplastyka stawu biodrowego Wstęp W rozdziale przedstawiono autorskie sformułowanie zagadnienia brzegowego dla kości korowej. Polega ono na wciskaniu metalowego implantu w trzon kości długiej (udowej). W pierwszej kolejności omówiono ideę endoprotezoplastyki. Zwrócono uwagę na problemy medyczne i biologiczne. Z punktu widzenia mechaniki istotne jest określenie sił lub przemieszczeń niezbędnych do umocowania implantu. Najwięcej uwagi poświęcono badaniom symulacyjnym i doświadczalnym dotyczącym nowego modelu endoprotezy. Staw biodrowy jest jednym z najbardziej narażonych na zmiany przeciążeniowo zwyrodnieniowe elementów układu kostno-stawowego człowieka. Jego zadanie to przenoszenie obciążeń zarówno statycznych jak i dynamicznych generowanych przez masę ciała, siłę mięśni działających na staw oraz przyśpieszeń pojawiających się podczas ruchu. Tak eksploatowany układ szczególnie narażony jest na uszkodzenia, którego najczęstszymi źródłami są urazy komunikacyjne, siedzący tryb życia czy też zaburzenia o podłożu chorobowym. Do najczęstszych należą: złamania szyjki kości udowej, wady wrodzone stawu biodrowego (np. dysplazja stawu biodrowego), jałowa martwica głowy kości udowej, zmiany pozapalne i pourazowe, osteoporoza, nowotwory[21, 53]. W przypadku powstania uszkodzeń stawu można przeprowadzić operację mającą na celu wymianę uszkodzonych elementów na implanty. W zależności od stopnia choroby przeprowadza się częściową lub całkowitą alloplastykę stawu biodrowego. Alloplastyka stawu biodrowego pozwala choremu wrócić do normalnego życia, a w niektórych przypadkach nawet do uprawiania sportu. Jednakże najdalej po kilkunastu latach zachodzi konieczność przeprowadzenia operacji rewizyjnej mającej na celu zastąpienie starego implantu nowym [53]. Spowodowane jest to faktem obluzowywania się i przemieszczania wszczepionych endoprotez, które wykonywane są z niedoskonałych materiałów, to znaczy o zbyt dużej sztywności w porównaniu ze sztywnością kości korowej. Wywołuje to niefizjologiczne przeciążenia i niedociążenia, których skutkiem jest nieodpowiednia przebudowa kości doprowadzająca do jej osłabienia i w konsekwencji nawet złamania. Z tego też powodu 71

72 nieustannie prowadzi się badania mające na celu poszukiwanie coraz to nowszych rozwiązań konstrukcyjno - materiałowych mających na celu ograniczenie powikłań miejscowych i ogólnoustrojowych związanych z endoprotezowaniem stawów oraz zapewnienie jej długotrwałej (co najmniej kilkanaście lat) funkcjonalności.[72, 19, 54, 142] Historia Dynamiczny rozwój endoprotezoplastyki stawu biodrowego nastąpił w drugiej połowie XX wieku. Spowodowany był intensywnym rozwojem technologii stosowanych w chirurgii ortopedycznej i bioinżynierii medycznej, a szczególnie w dziedzinie biomechaniki kości i inżynierii biomateriałów. Dzisiaj co roku na świecie implantuje się ok. 800tyś. sztucznych stawów biodrowych. W samych Stanach Zjednoczonych jest to ok. 250 tyś., zaś w Polsce ok. 15 tyś. [104,73] Początki endoprotezoplastyki datuje się na rok 1890, w którym to Gluck wszczepił pierwszą całkowitą endoprotezę biodra. Wykonana była z kości słoniowej i mocowana za pomocą cementu złożonego z kalafonii, sproszkowanego pumeksu i gipsu. [113]W kolejnych latach próbowano wykorzystać inne materiały takie jak szkło, bakelit, czy kauczuk [13,19]. W 1938 roku Smith i Petersen zastosowali, do pokrycia zniszczonej głowy kości udowej, metalową kapę ze stopu chromu z kobaltem o nazwie Vitallium [134,149]. W tym samym roku Wiles po raz pierwszy zaimplantował chorym endoprotezy biodra wykonane ze stali nierdzewnej [73]. Lata czterdzieste ubiegłego stulecia to okres gdy szeroko stosowane były endoprotezy krótkotrzpieniowe. W tym okresie powstało wiele rozwiązań konstrukcyjnych m. in.: z gwintowanym trzpieniem (Thompson 1950r.), lub z główką wykonaną z akrylopolimmetakrylanu metylu (Judet 1946r.)[58]. W latach pięćdziesiątych na popularności zyskały endoprotezy z długim trzpieniem. Na uwagę zasługuje endoproteza Moore'a z otworami w trzpieniu, których zadaniem było obniżenie masy protezy a które wypełniane były podczas operacji kością gąbczastą pobieraną z szyjki kości udowej lub górnej części trzonu kości udowej [100]. W 1963 przedstawione zostały wyniki stosowania endoprotezy metalowej mocowanej bezcementowo (K.M.Sivash)[132], a w 1972 roku Boutin wprowadził endoprotezę z ceramiczną panewką i ceramiczną głową [20]. Przełom lat sześćdziesiątych i siedemdziesiątych to okres pojawienia się nowych technologii. Zaczęto wykorzystywać natryskiwanie porowatych warstw wierzchnich, najpierw metalowych, później także ceramicznych. [85]. Pierwszy implant pokryty warstwą materiału porowatego skonstruowano już 72

73 w 1968 roku. W 1975 zaimplantowano endoprotezę, której porowata warstwa wierzchnia zbudowana była z kuleczek o średnicy dochodzącej do 1mm.[52,76,75]. W 1978 bracia Judet wprowadzili endoprotezę ze stopu CoCrMoNi, a w 1980 roku Parhofer i Mӧnch zastosowali w konstrukcji endoprotezy materiał o nazwie Isotan będący stopem tytanu Ti6Al4V. Obecnie trwają prace w zakresie poszukiwań nowych rozwiązań materialowo - konstrukcyjnych, których wynikiem jest między innymi powstanie endoprotezy wykonanej z włókien węglowych [13]. Aktualne prace badawcze skupiają się wokół bezcementowej endoprotezoplastyki stawu biodrowego, w kierunku doskonalenia makrogeometrii oraz ukształtowania mikrostruktury porowatych warstw pokrywających powierzchnię endoprotez trzpieniowych [34]. Drugi kierunek badań skupia sie na kapoplastyce głowy kości udowej w stawie biodrowym, czyli powierzchniowej wymianie zniszczonej bądź zwyrodniałej chrząstki stawowej za pomocą implantu w kształcie czaszy ułożonej na powierzchni głowy kości udowej i panewki. Początki kapoplastyki sięgają lat sześćdziesiątych ubiegłego wieku, jednakże po kilkunastoletnim okresie obserwacji kapoplastykę stawową zarzucono ze względu na istniejące wówczas trudności w mocowaniu endoprotezy. Dochodziło do migracji elementów implantu [113]. Obecnie w wyniku postępu technologicznego kapoplastyka przeżywa renesans. Główną przyczyną tego są nowe możliwości wykonywania różnego typu porowatych warstw wierzchnich pozwalających na stosowanie beztrzpieniowego rozwiązania konstrukcji endoprotezy. Zapewnia ona małą inwazyjność polegającą na oszczędności okołostawowej tkanki kostnej w stosunku do obecnie stosowanych endoprotez trzpieniowych i operacji rewizyjnych wymagających coraz to większych ingerencji w organizm. Wykorzystanie porowatych warstw wierzchnich przewiduje iż tkanka kostna będzie wrastać w makrostrukturę porowatego implantu tworząc połączenie trwałe i bardziej fizjologiczne niż w przypadku stosowania cementu. Rozwój technologiczny pozwolił na doskonalenie technik wytwarzania porowatych metalicznych i ceramicznych warstw powierzchniowych. Do wytwarzania warstw metalicznych stosuje się: natryskiwanie plazmowe [115] lub łukowe [44], spiekanie kobaltowo - chromowych proszków lub kulek [30], a także zgrzewanie dyfuzyjne tytanowej siatki z włókien metalu [45]. Wśród metod stosowanych do wytwarzania warstw ceramicznych literatura podaje: natryskiwanie plazmowe [49,50], napylanie katodowe [108], powlekanie przez zanurzenie i spiekanie (dip-coatingsintering) [92], elektroforetyczne osadzanie oraz osadzanie techniką zol-żel [7]. Na 73

74 popularności zyskują także metody rapid-prototyping. Do bardziej popularnych należą selektywne spiekanie laserowe, selektywne topienie laserowe oraz sterowane komputerowo topienie wiązką elektronów. 8.2 Ogólne wiadomości o endoprotezoplastyce stawu biodrowego. Proteza stawu biodrowego składa się z dwóch elementów: udowego - montowanego na kości udowej i panewkowego - montowanego w miednicy. W każdym przypadku element udowy i panewkowy zbudowany jest z trzech funkcjonalnych części [21]: kotwiczącej - odpowiedzialnej za przymocowanie protezy do kości, odwzorowującej - odwzorowuje geometrię i właściwości stawu, a więc głowę kości udowej lub gniazdo panewki w miednicy, strukturalnej - łączy ze sobą wymienione powyżej oba elementy. Endoproteza posiada trzy elementy składowe: trzpień, główka oraz panewka. W wielu przypadkach trzpień i główka tworzą jeden element. W endoprotezoplastyce stosuje się rożnego rodzaju protezy. Można podzielić je ze względu na budowę: trzpieniowe i beztrzpieniowe, gdzie te pierwsze na protezy z krótkim lub długim trzpieniem, oraz ze względu na sposób mocowania: cementowe i bezcementowe. Inny podział został zaproponowany przez Parka [111]. Wyróżnia on trzy główne metody mocowania elementów sztucznego stawu: mechaniczne - uzyskiwane poprzez wciskanie z dopasowaniem [22], z użyciem polimetakrylenowego cementu jako czynnika wiążącego [27] lub poprzez użycie elementów gwintowanych [151], biologiczne - uzyskiwane poprzez adaptacyjne wrastanie tkanki kostnej w przestrzeń porową porowatej warstwy wierzchniej [23] bezpośrednie - uzyskiwane poprzez wytworzenie się mechano-fizykobiochemicznego wiązania pomiędzy pokrytą hydroksyapatytem powierzchnią implantu a kością. 74

75 8.3 Biomateriały stosowane w konstrukcji endoprotez Według European Society for Biomaterials: "biomateriał to każda substancja (inna niż lek) albo kombinacja substancji pochodzenia syntetycznego lub naturalnego, która może być użyta w dowolnym czasie, w całości lub części celem leczenia, powiększenia lub zastąpienia tkanek narządu, organu lub funkcji ustroju" [149,14] W przeszłości jako biomateriały wykorzystywano drewno, kości zwierząt, metale szlachetne (złoto, srebro). Obecnie zakres możliwości jest znacznie szerszy. Wyróżnia się następujące grupy biomateriałów [85]: metalowe, ceramiczne, polimerowe, węglowe, kompozytowe. Inna klasyfikacja [149, 118, 59] dzieli biomateriały ze względu na ich zachowanie w organizmie: materiały obojętne i prawie obojętne niewywołujące żadnej lub prawie żadnej reakcji otaczającej tkanki; zaliczamy tu przede wszystkim metale i ceramiki materiały aktywne dobrze wiążą się z otaczającą tkanką i stymulują rozwój nowego, zregenerowanego organu; do tej grupy zaliczamy ceramiki i metale materiały ulegające rozkładowi w środowisku organizmu ludzkiego po określonym czasie działania materiały takie rozpuszczają się w otaczającej tkance i zostają przez nią wchłonięte, nie powodując jej uszkodzenia lub zmian patologicznych; do tej grupy zalicza się odpowiednie gatunki polimerów Jeszcze inny podział zaprezentowany został przez dwóch polskich naukowców [149, 78]. Opiera się on na czasie, bezpiecznego dla organizmu pacjenta, użytkowania implantu. Zgodnie z tym implanty dzielimy na: krótkotrwałe czas przebywania w organizmie człowieka nie powinien przekroczyć dwóch lat 75

76 długotrwałe czas przebywania w organizmie człowieka może znacznie przekroczyć dwadzieścia lat Najczęstszym zastosowaniem biomateriałów jest implantologia. Implanty to przyrządy medyczne wykonane z jednego lub więcej biomateriałów, umieszczane wewnątrz organizmu, mogą pozostawać w nim przez dłuższy okres czasu [149]. Stosowane na implanty biomateriały muszą posiadać pewne właściwości takie jak biotolerancja (biokompatybilność zgodność biologiczna), odporność korozyjna i odpowiednie właściwości mechaniczne. Biomateriał posiadający odpowiednią biotolerancje nie powoduje ostrych lub chronicznych reakcji czy stanu zapalnego. Najczęściej pojęcie biotolerancji wiąże się z inicjowaniem reakcji toksykologicznych i immunologicznych oraz efektami drażnienia tkanek [149]. Korozja materiału znajdującego się w organizmie jest kolejnym problemem. Środowisko płynów ustrojowych jest szczególnie agresywne. Występują w nim jony chloru, sodu, potasu, wapnia, magnezu oraz fosforany. Inne niekorzystne dla biomateriałów czynniki występujące w organizmie to proteiny (białka proste zbudowane wyłącznie z aminokwasów), wysoka temperatura, występowanie zróżnicowanych obciążeń i warunków trybologicznych, reakcja organizmu na ciało obce objawiająca się m. in. zmianą ph w kierunku odczynu kwaśnego. Stosowane obecnie materiały uzyskują odpowiednią odporność korozyjną poprzez wytworzenie na powierzchni warstwy tlenków. W przypadku tytanu proces ten trwa ok. sekundy i powoduje wytworzenie warstwy grubości 2-5nm. Z upływem czasu warstwa osiąga ostateczną grubość na poziomie 6-10nm. [149, 59, 86] Na podstawie literatury [149, 59, 46] biomateriały narażone są na następujące rodzaje zniszczenia: pitting fretting korozja szczelinowa korozja galwaniczna korozja międzykrystaliczna korozja wodorowa uszkodzenia w wyniku zmęczenia materiału Procesy niszczenia metalicznych biomateriałów wywołują niekorzystne reakcje ze strony organizmu. Jednakże w przypadku niektórych tworzyw ceramicznych takich 76

77 jak np. hydroksyapatyt (zwany także bioszkłem) proces niszczenia nie wywołuje negatywnych reakcji organizmu. Rozpuszczanie hydroksyapatytu powoduje wnikanie w jego strukturę kości i powstanie silnego połączenia pomiędzy implantem a kością. Wadą ceramicznych biomateriałów jest ich skłonność do pękania, stąd najczęściej stosuje się je jako warstwy wierzchnie napylane na metalowy rdzeń. Tab. 12 Ważniejsze mechanizmy niszczenia biomateriałów stosowanych w implantologii [149, 47, 139, 162] Tab. 13 Właściwości mechaniczne wybranych metalicznych biomateriałów w porównaniu z właściwościami kości [149] 77

78 8.3.1 Biomateriały metaliczne Biomateriały metaliczne Stopy Fe Stopy z pamięcią kształtu Stopy Co Ti i jego stopy Stal 316L Stale na instrumentarium chirurgiczne StopyNi-Ti Spiekane Odlewnicze Ti tech. Stopy Ti Martenzytyczne Austenityczne Do przeróbki plastycznej Ti-Al-V Stopy bezwanadowe Ferrytyczne Ti-Al-Nb Ti-Al-Nb-Ta Ti-Al-Fe Rys. 33 Współczesne biomateriały metaliczne - podział [149, 78] Biomateriały metaliczne powinny wykazywać odpowiednie właściwości aby mogły być zastosowane w konstrukcji implantów. Zaliczyć do nich należy takie cechy jak: odpowiednie własności mechaniczne (np. sprężystość), dobra jakość metalurgiczna i jednorodność, odporność na zużycie cierne, odpowiednie własności elektryczne, możliwe do przyjęcia koszty wytwarzania, dobra odporność korozyjna, odporność na ścierne zużycie, brak tendencji do tworzenia zakrzepów, zgodność tkankowa (nietoksyczność i niewywoływanie odczynów alergicznych). Prace nad doborem metalicznych biomateriałów trwają już od XVI wieku kiedy to zaczęto stosować metale szlachetne takie jak złoto czy srebro. Obecnie wśród tworzyw metalicznych można na dzień dzisiejszy wyróżnić cztery główne grypy biomateriałów. Są to: stale austenityczne, stopy na osnowie kobaltu, tytan i jego stopy oraz stopy z pamięcią kształtu. [149, 102, 78] Wymienione powyżej metale dzieli się jeszcze ze względu na czas jaki mogą przebywać w organizmie człowieka nie wywołując negatywnych efektów. Wyróżniamy tu materiały na wszczepy krótkotrwałe i długotrwałe. Do krótkotrwałych zaliczamy stale oraz stopy z pamięcią kształtu. Ich okres przebywania w organizmie nie powinien przekroczyć dwóch lat. Do długotrwałych zaliczamy stopy kobaltu oraz tytan i jego stopy. Okres przebywania w organizmie stopów kobaltu wynosi do piętnastu lat, stopów 78

79 tytanu zawierających wanad dwadzieścia do dwudziestu pięciu lat, stopów bezwanadowych ponad dwadzieścia pięć lat [149, 78]. Przedstawicielem stopów z pamięcią kształtu jest stop Ni-Ti "Nitinol". Zjawisko pamięci kształtu polega tu na odzyskiwaniu pierwotnego kształtu po ogrzaniu do wyższej temperatury. Wśród stali austenitycznych odpornych na korozję najbardziej popularną jest stal chromowo-niklowo-molibdenowa. Stale austenityczne cechują się najmniejszą odpornością korozyjną, która silnie uzależniona jest od wielkości naprężeń jakim poddawany jest materiał. Jednakże niskie koszty czynią ją popularną między innymi przy leczeniu złamań w konstrukcji tak zwanych zestawów do stabilizacji zewnętrznej kości [149]. Stopy na osnowie kobaltu charakteryzują się znacznie wyższą odpornością korozyjną. Mogą być stosowane na tzw. wszczepy długotrwałe (do 15lat). Jednym z przedstawicieli jest odlewniczy stop Vitalium (Co-Cr-Mo). W medycynie najczęściej stosowany jest na trzpienie endoprotez, osadzanych przy użyciu cementu chirurgicznego oraz na druty i elementy kształtowe do zespoleń kości [149]. Najbardziej biokompatybilnym materiałem jest tytan i jego stopy, który dzięki swoim właściwościom może przebywać w organizmie ponad dwadzieścia-dwadzieścia pięć lat. Wśród gatunków należy wymienić Ti-6Al-4V (nazwa handlowa Protasul 64WF), stop bezwanadowy Ti-Al-Nb, Ti-5Al-2,5Fe. Stopy tytanu znalazły zastosowanie między innymi w endoprotezoplastyce, w kardiochirurgii i kardiologii oraz w protetyce stomatologicznej.[149] Biomateriały ceramiczne Biomateriały ceramiczne zaczęto stosować już w XIX wieku. Bardzo szybko odkryto ich zalety takie jak: wysoka odporność na korozję, możliwość sterylizacji bez zmiany właściwości materiału, duża wytrzymałość na ściskanie, odporność na ścieranie. Niestety ceramika jest materiałem kruchym, nieodpornym na zginanie i obciążenia dynamiczne, nieodkształcalnym i łatwo ulegającym pęknięciom. Wytrzymałość ceramiki na zginanie wynosi ok. 150MPa (dla hydroksyapatytu) i pomimo większych niż dla kości ludzkich (120MPa) wartości, wytrzymałość biomateriałów ceramicznych jest niewystarczająca. Jest to spowodowane występującym w biomateriałach ceramicznych zjawiskiem opóźnionego zniszczenia związanego ze wzrostem pęknięć podkrytycznych [149]. Z tego powodu bioceramika najczęściej wykorzystywana jest 79

80 w połączeniu z innymi sprężystymi materiałami, które stanowią rdzeń implantu, a ceramika warstwę wierzchnią. Na szczególną uwagę zasługuje ceramika hydroksyapatytowa o identycznym składzie chemicznym i fazowym co kość ludzka. Zaliczana jest do tak zwanych biomateriałów resorbowalnych w organizmie. Kość zbudowana jest z materii organicznej i nieorganicznej - hydroksyapatytowej. Badania wykazały, iż na wprowadzonym do organizmu podłożu hydroksyapatytowym rosną komórki kostne. Zachowują one swój układ komórek, a cały proces rozrostu przebiega prawidłowo [146, 148]. Fibroblasty i hydroksyapatyt tworzą wspólnie strukturę przenikającego się wzajemnie materiału mineralnego i żywych komórek. Obecność bioceramiki hydroksyapatytowej ma pozytywny wpływ na tkankę kostną stymulując jej rozrost i odtwarzanie się struktury kostnej [133, 29]. Porowaty syntetyczny hydroksyapatyt tworzy silne wiązanie z kością. Spowodowane jest ono wytworzeniem się wiązania chemicznego, a także, dzięki wrastaniu tkanki żywej w pory implantu, do powstania tzw. połączenia biologicznego. Warunkiem jego zaistnienia jest odpowiednio duża przestrzeń porowa (duży rozmiar porów). Według literatury minimalny rozmiar porów otwartych, umożliwiających wytworzenie połączenia biologicznego implantu z kością wynosi 100µm. Jeżeli wielkość porów wyniesie 200µm, wówczas w obrębie wszczepu kostnego możliwy jest rozwój osteonów. Istotne jest także, aby w warstwie powierzchniowej istniała sieć porów połączonych, bez obecności przewężeń. Zapewni to dobrą integrację implantu z kością. Tab. 14 Fizyczne własności hydroksyapatytu [42] 80

81 145, 149] Tab. 15 Porównanie własności mechanicznych hydroksyapatytu z kością [146, 147, 141, 1, Tworzywo Właściwości Gęste tworzywo HAp Porowate tworzywo HAp Kość zbita Kość gąbczasta Wytrzymałość na zginanie [MPa] * ,8 Wytrzymałość na ściskanie [MPa] (r) 133(p) 1,9-7,0 Wytrzymałość na rozciąganie [MPa] (r) 49(p) Moduł Younga [GPa] , ,8 0,18-0,33 Twardość Vickersa [GPa] 3,0-7,0 5,2-6,5 * monokryształy HAp (r) kierunek równoległy do osi kości (p) kierunek prostopadły do osi kości Kolejną rodziną ceramicznych biomateriałów są substancje z kontrolowaną reaktywnością w organizmie. Są to materiały, których skład chemiczny i fazowy został dobrany w taki sposób aby na powierzchni implantu zachodziła reakcja ze środowiskiem tkankowym oraz płynami ustrojowymi. Wynikiem jest powstanie połączenia substancji nieorganicznych z organicznymi [149]. Do grupy tej zalicza się bioszkła oraz szkło ceramiczne. Są to substancje oparte na związkach tlenków wapnia, sodu i krzemu. Jak wszystkie ceramiki charakteryzuje je duża kruchość, co znacznie ogranicza ich zastosowanie. Najczęściej wykorzystywane są w ortopedii i traumatologii w leczeniu ubytków kostnych. Jedną z zalet bioszkieł jest możliwość zmiany ich składu chemicznego w szerokim zakresie, modelując w ten sposób ich właściwości fizyczne i chemiczne, w tym także ich bioaktywność [139]. Biomateriały ceramiczne obojętne nie ulegają w ogóle lub tylko w niewielkim stopniu zmianom podczas przebywania w organizmie. Nie występuje tu uwalnianie jonów do otaczającej tkanki ani toksyczne oddziaływanie na organizm. Połączenie 81

82 tworzy się poprzez wrastanie tkanki w pory implantu. Przykładem są tu ceramika korundowa i cyrkonowa. Ta druga posiada lepsze właściwości mechaniczne jednakże jest źródłem niewielkiego promieniowania α, którego wpływ na fizjologię organizmów żywych nie jest do końca znany. Bioceramikę korundową stosuje się głównie w endoprotezoplastyce stawów, szczególnie biodrowego i kolanowego. Tab. 16 Wymagania i właściwości ceramiki korundowej [149] 82

83 Tab. 17 Skład chemiczny ceramiki [149] 83

84 Tab. 18 Własności materiałów stosowanych na implanty w chirurgii kostnej [149] 84

85 Tab. 19 Właściwości wybranych biomateriałów metalicznych [85, 149] 85

86 8.4 Koncepcja nowego typu endoprotezy THRA W jednym z wcześniejszych rozdziałów opisano endoprotezoplastykę stawu biodrowego. Przedstawione zostały pewne rozwiązania stosowane obecnie w medycynie oraz historię rozwoju koncepcyjnego endoprotez. Wadą obecnie stosowanych rozwiązań jest konieczność przeprowadzenia po pewnym czasie kolejnej operacji i wymianie starej protezy na nową. Powodem tego zabiegu jest najczęściej wystąpienie zjawiska zanikania kości wokół pewnych fragmentów protezy. Prowadzi to do jej poluzowania i niewłaściwej pracy. Zanik kości spowodowany jest radykalną zmianą stanu naprężenia i odkształcenia w obszarze tkanki kostnej wokół implantu. Tkanka kostna podlega procesowi ciągłej przebudowy i regeneracji. Pojawienie się implantu zaburza naturalny stan rzeczy. Powoduje nieprawidłową przebudowę struktury kostnej, co w konsekwencji doprowadza do poluzowania się implantu, jego przemieszczeń, bądź też do osłabienia ściany kości i jej pęknięcia. Rys. 34 Idea połączenia kość-implant za pomocą szpilkowo-palisadowego systemu mocującego powierzchnie stawowe nowego typu endoprotez THRA [123] Nowe rozwiązania konstrukcyjne, stosowanie nowych materiałów i powłok, opracowywanie nowych technologii wytwarzania ma na celu zminimalizowanie negatywnego wpływu protezy na organizm człowieka i tym samym wydłużenie okresu pomiędzy kolejnymi ingerencjami chirurgicznymi. Jednym z nowych rozwiązań jest koncepcja endoprotezy THRA (total hip resurfacing arthroplasty) ze szpilkowo-palisadowym systemem mocującym powierzchnie stawowe w kości, wg. koncepcji dr n. med. P. Rogali, (europejski patent EP 86

87 B1 na wynalazek pt. ENDOPROTHESIS udzielony przez European Patent Office w 1999 r., patent USA No 5,911,759; patent Kanad. 2,200,064 z 2003r.). Koncepcja mocowania endoprotezy THRA dr. Rogali zakłada wprowadzenie igłowych występów protezy do przestrzeni międzybeleczkowej kości gąbczastej. Istotne znaczenie ma tutaj dostosowanie parametrów i cech geometrycznych igieł do wymiarów porów kości gąbczastej. Założenia koncepcyjne mówią o takim doborze wymiarów i rozmieszczenia igieł aby pozwoliło to na wypełnienie w trakcie leczenia przestrzeni pomiędzy szpilkami przez narastającą kość. Patent zakłada, że takie rozwiązanie zdecydowanie poprawi warunki biodynamiczne przenoszenia obciążeń przez połączenie stawowe, a proporcje wymiarowe szpilkowo-palisadowego systemu endoprotezy powinny zapewnić maksymalne warunki adhezyjno-osteoindukcyjne, przez co endoproteza będzie silniej związana z kością [120, 124, 122, 157, 119]. Rys. 35 Model CAD całkowitej endoprotezy THRA oraz jej preprototyp wytworzony metodą stereolitografii Jak przedstawiono to na powyższym rysunku, endoproteza wg. patentu dr. Rogali składa się z dwóch części: panewki mocowanej w miednicy i główki mocowanej na głowie kości udowej. Obydwa elementy posiadają igłowe występy (odpowiednio na zewnętrznej lub wewnętrznej powierzchni) tworzące szpilkowo - palisadowy system mocujący powierzchnie stawowe endoprotezy w kości. System mocowania zakłada możliwie całkowite wyeliminowanie mikroruchów pomiędzy implantem a kością, przy jednoczesnym zapewnieniu zbliżonego do naturalnego pola naprężeń w tkance kostnej. Nowe rozwiązanie endoprotezy posiada istotne zalety: całkowity brak trzpienia - nieinwazyjność mocowanie bez użycia cementów kostnych biokompatybilność - naturalny proces wrastania kości w przestrzeń systemu palisadowo - szpilkowego zapewni odwzorowanie fizjologicznego połączenia kostnego 87

88 wysoka wytrzymałość i trwałość połączenia kość - implant - zapewnione poprzez pozostawienie naturalnej struktury stawu biodrowego. Rys. 36 Rysunki koncepcyjne nowego typu endoprotezy THRA (wg. patentu dr Rogali) [121, 125, 157] 8.5 Model trzpieniowy połączenia kość-implant Rys. 37 a) osiowe wciskanie metalowego implantu pokrytego porowatą powłoką w korową kość długą b) naprężenie i przemieszczenie w przekroju poprzecznym cylindra W rozdziale rozpatrywane jest połączenie pomiędzy porowatą kością korową a metalowym implantem pokrytym porowatą powłoką. W rozważaniach założono, że walcowy implant jest osiowo wciskany quasi-statycznym obciążeniem P w trzon kości długiej, opisanej jako wydrążony okrągły cylinder wykonany z porosprężystego izotropowego 88

89 materiału. Kość poddawana jest zatem wewnętrznemu promieniowemu obciążeniu ciśnieniem p a. Część korowa trzonu kości długiej jest wprawdzie materiałem anizotropowym w kierunku poprzecznym. Jednakże jak wynika z literatury [35, 103] ta anizotropia jest stosunkowo niewielka i jeżeli kość ta poddawana jest obciążeniu tylko wzdłużnemu (ściskaniu lub rozciąganiu bez zginania lub/i skręcania) to może być w przybliżeniu traktowana jako ośrodek izotropowy [33]. Takie założenie poczyniono przy formułowaniu modelu połączenia. Większość metali używanych do produkcji endoprotez ma o wiele wyższy zakres (2-3 razy) wartości modułów Younga w porównaniu do kości korowej [33]. Tak więc możemy założyć, że odkształcenia zachodzące w porowatych powłokach wciskanego trzpienia jak i w samym metalowym rdzeniu badanego implantu są stosunkowo niewielkie w porównaniu do odkształceń sprężystych kości korowej. Wówczas możemy założyć, że metalowy implant jest praktycznie nieodkształcalny w stosunku do kości korowej. Na podstawie współczesnego dwufazowego biomechanicznego modelu tkanki kostnej wprowadzonego do biomechaniki ortopedycznej w Polsce (w 2002r [126] ) i w Europie (w 2004 roku [140]) przez interdyscyplinarny zespół z Poznania, kość jest traktowana jako porosprężyste odkształcalne ciało stałe z porami, w których przepływa lepki ściśliwy płyn. Problem połączenia porowata kość-implant jest szerzej omówiony w literaturze [158, 159, 165, 166, 164]. 8.6 Nośność graniczna połączenia Wykorzystując model matematyczny porowatej kości, przedstawiony w rozdziale 6.2, postawiono problem nośności granicznej połączenia kość-implant. Rozwiązanie tego problemu pozwoli określić graniczne siły wciskania, przy których nie następuje zniszczenie struktury kości. Pierwszy warunek brzegowy odzwierciedla promieniowe wewnętrzne ciśnienie wywierane na cylindryczną powierzchnię fazy stałej. Natomiast drugi opisuje ciśnienie wywierane przez otoczenie (środowisko wokół kości, płyn kostny) na zewnętrzną powierzchnię wydrążonego cylindra. Upraszczając założono, że dla r=a i r=b płyn może swobodnie przepływać i tym samym faza płynna nie przenosi naprężeń, σ f =0. Ciśnienie na zewnątrz wydrążonego cylindra wynosi P o =0. 89

90 Warunki brzegowe na wewnętrznej i zewnętrznej powierzchni cylindra wynoszą odpowiednio: dla r=a, σ s r = p a, σ s rθ = σ s zr = σ s zθ =0 (8.1) dla r=b, σ s r =0, σ s rθ = σ s zr = σ s zθ =0 (8.2) gdzie a i b oznaczają wewnętrzny i zewnętrzny promień cylindra. Równania (6.12)-(6.15) oraz warunki brzegowe (8.1)-(8.2) stanowią dobrze postawiony matematyczny problem. Ponieważ promieniowa siła P jest quasi-statyczna, przemieszczenia u r oraz u θ są funkcją czasu τ: u r =u r (r,τ), (8.3) u θ =u θ (θ,τ). (8.4) Z uwagi na znaczną długość kości udowej przyjęto dla uproszczenia dalszego wywodu płaski stan naprężenia. Równania porosprężystości Biota (6.8) przyjmą zatem w biegunowym układzie współrzędnych postać Równania równowagi wewnętrznej dla kości można zapisać jako (8.5) (8.6) W celu wyznaczenia maksymalnego obciążenia działającego w połączeniu kość implant zastosowano zmodyfikowany warunek Hubera Misesa dla materiału porowatego. W rozpatrywanym układzie ten warunek przyjmie postać (8.7) gdzie R max r jest granicą plastyczności dla promieniowego ściskania kości korowej. Z układu równań (8.5), (8.6), (8.7) i warunków brzegowych (8.1), (8.2), znając granice plastyczności dla promieniowego ściskania kości korowej R max r, można wyznaczyć obie składowe stanu naprężenia σ s r oraz σ s θ, a następnie wartość krytyczną obciążenia (ciśnienia) działającego na część wewnętrzną p cr r. Znając wartości dopuszczalne stanu 90

91 naprężenia (σ s r, σ s θ ) w kości korowej, można wykorzystując zależności (8.5) wyznaczyć odpowiednie składowe stanu odkształcenia (ε r, ε θ ). Równania (8.5) formułują związki pomiędzy naprężeniem a dylatacją fazy stałej i płynnej. W sytuacji gdy struktura zewnętrznej kości korowej zostanie naruszona i nastąpi odsłonięcie kości gąbczastej, płyn przestanie spełniać swoją rolę czyli przenosić obciążenie. W takiej sytuacji związki konstytutywne dla materiału porowatego można zapisać w postaci: Stąd ostatecznie możemy otrzymać warunek graniczny w postaci: (8.8) 4T $ U V $ V W + W $ X+( V + W ) $ (2TY+Y $ )=( V Z[\ ) $. (8.9) Jest to warunek plastyczności wyrażony w odkształceniach. Szczególne rozwiązanie pozwala określić graniczne przemieszczenie implantu w kości. Jego przekroczenie prowadzi do trwałego zniszczenia struktury kości. 91

92 9. Projektowanie wybranych cech z zastosowaniem symulacji numerycznych 9.1 Analiza szpilkowo palisadowego systemu mocowania endoprotezy THRA Opis patentowy endoprotezy THRA nie precyzuje i nie podaje konkretnych wartości cech geometrycznych szpilkowowo-palisadowego systemu mocującego endoprotezę w kości. Określone są jedynie wytyczne, a mianowicie igła powinna być ostrosłupem o podstawie wielokąta foremnego, o stosunku wysokości bryły do promienia okręgu opisanego na wielokącie w podstawie wynoszącym przynajmniej 5:1. Istnieje wiele czynników mających wpływ na trwałość połączenia kość-implant. Jednym z nich jest wielkość powierzchni kontaktu pomiędzy tkanką kostną a materiałem protezy. Parametr ten wpływa nie tylko na sposób przenoszenia obciążeń i rozkładania się naprężeń ale także na trwałość wiązania wynikająca z wrastania tkanki kostnej w strukturę implantu. Zarówno w przestrzeń między szpilkową jak i porowatą warstwę wierzchnią. pole pow. Pow. bocznej adhezyjna ostrosłupa [mm [ j 2 ] 2 ] 20,0 18,0 16,0 14,0 12,0 10,0 8,0 6,0 4,0 2,0 0,0 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 Wysokość wysokość bryły [mm] kwadrat trójkąt sześciokąt ośmiokąt dziesięciokąt koło okrąg => stożek Rys. 38 Wykres zależności wielkości pola powierzchni bocznej ostrosłupów od ich wysokości dla różnych kształtów podstaw ostrosłupów [93] Wielkość powierzchni kontaktu to wielkość pola powierzchni bocznej ostrosłupów, z których zbudowany jest szpilkowo-palisadowy system mocujący. W analizie brano pod uwagę następujące kształty podstaw ostrosłupów: stożek, trójkąt foremny, kwadrat oraz 92

93 pięciokąt, sześciokąt i ośmiokąt foremny. Przyjęto założenie, że wielkość pola powierzchni podstawy ostrosłupa jest identyczna dla każdej z figur. Analiza wykazała, że największą powierzchnię adhezyjną uzyskamy dla trójkątnego kształtu pola powierzchni podstawy ostrosłupa. Wyniki można zobrazować w postaci wykresu przedstawionego na rys. 40. Rys. 39 Wykres powierzchni adhezyjnej i wysokości dla różnych ostrosłupów, przy stałym polu podstawy, użytych w endoprotezie THRA [93]. Istotną kwestią, którą należało jeszcze rozpatrzyć był sposób ułożenia igieł. Poddano analizie dwa sposoby: koncentryczny (szyk kołowy) i przystający (szyk prostokątny). Analizowanym parametrem była również wielkość pola powierzchni adhezyjnej (bocznej) ostrosłupów. Najkorzystniejszym rozwiązaniem jest układ przystających trójkątów, następnie przystających kwadratów, kwadraty ułożone koncentrycznie, w dalszej kolejności układ sześciokątów. Wyniki zobrazowano na poniższym rysunku. 93

94 Rys. 40 Wartości wzrostu powierzchni adhezyjnej w zależności od rozmieszczenia [93] 9.2 Budowa modelu numerycznego Celem badań jest zbudowanie numerycznego modelu porowatego biomateriału i jego zastosowanie w modelowaniu połączenia kość - implant poprzez odwzorowanie numeryczne procesu zagłębiania igieł w kość gąbczastą. Stworzony numeryczny model zostanie docelowo poddany weryfikacji doświadczalnej, a następnie zmodyfikowany celem uzyskania większej zbieżności wyników. W dalszym etapie prac model posłużyć ma do analiz procesu zagłębiania układu szpilek w kość gąbczastą. Przeprowadzane obliczenia są kontynuacją badań prowadzonych w ramach grantu badawczego nr 4 T07C pt. Badanie i projektowanie cech konstrukcyjnych połączeń porowatych implantów ortopedycznych z kośćmi. Model geometryczny zbudowany został z dwóch części: modelu kości i modelu wciskanych w kość igieł. Do analiz zamodelowano igły o podstawie kwadratu. Jego wymiary wynoszą 1x1 mm. Wysokość igły określa się stosunkiem wielkości promienia okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa do jego wysokości. W analizowanym przypadku stosunek ten wynosił 1/7. 94

95 Rys. 41 Model geometryczny szpilek oraz sposób ich rozmieszczenia. Igły ułożone zostały w sposób koncentryczny na podstawie o promieniu ok. 8mm. Ze względu na ilość koniecznych do wygenerowania elementów skończonych, mających wpływ na czas obliczeń, a także ze względu na dużą złożoność modelu, przyjęto pewne uproszczenia w stosunku do rzeczywistego obiektu użytego w badaniach. Pominięto w modelowaniu samą podstawę, zastępując ją odpowiednimi wiązaniami. Nie została zamodelowana także centralna igła, będąca ok. trzykrotnie większym obiektem w stosunku do pozostałych igieł. W trakcie wstępnych analiz generowała zbyt dużo błędów numerycznych niepozwalających na dokończenie obliczeń. W trakcie badań doświadczalnych zauważono, że jej wpływ na otrzymywane wyniki był niewielki i łatwy do określenia, uznano więc, że można ją pominąć w symulacji numerycznej, a jej brak ewentualnie skompensować. A=R R promień okręgu opisanego na wielokącie w podstawie H 2A Rys. 42 Szkic ilustrujący założenia geometryczne modelowanych igieł. Drugim modelowanym obiektem była kość, w którą następowało zagłębianie palisady ostrosłupów. Zamodelowana została jako cylindryczny obiekt z wydrążonymi kanalikami o przekroju kwadratu. Rozmieszczenie kanalików odpowiadało rozmieszczeniu igieł w pierwszym obiekcie. W trakcie symulacji, układ igieł jest opuszczany i następuje 95

96 proces zagłębiania się ostrosłupów w model kości. Kształt kanalików został dobrany ze względów numerycznych. W modelu zdefiniowano kontakt pomiędzy powierzchniami igieł i kanalików. Wymaga się aby powierzchnie pomiędzy którymi następuje kontakt, były względnie równoległe. W rzeczywistości kształt porów jest nieregularny. Rys. 43 Model geometryczny dla analizy procesu zagłębiania palisady igieł w kość gąbczastą. Rozróżnia się dwa podstawowe rodzaje tkanki kostnej: korową i gąbczastą. W opisywanej symulacji numerycznej, proces zagłębiania igieł będzie przeprowadzany w kości gąbczastej. Kość gąbczasta, zwana także beleczkową, znajduje się w nasadach kości długich, oraz we wnętrzu kości krótkich i płaskich. Jej struktura przypomina regularnie ułożony system delikatnych, elastycznych połączeń przypominających sieć i nazywanych beleczkami, które odpowiedzialne są za równomierny rozkład sił oddziałujących na kość. Przestrzeń między beleczkowa to tzw. jamki szpikowe. Ich średnia wielkość to ok 1mm. Kształt i wielkość beleczek zależy od kierunków działania sił, które są zmienne. Ustalenie kierunków anizotropii jest więc trudne. Wielu autorów przyjmuje więc założenie, że kość jest izotropowa, lub też zakłada występowanie poprzecznej izotropii co stanowi podstawę do przyjęcia jednakowych wartości dla G13 i G23. W opisywanym modelu, przyjęto materiał jako izotropowy, sprężysto-plastyczny o wartościach E=0,2 GPa i ν=0,03. 96

97 Tab. 20 Wartości naprężeń w funkcji odkształcenia plastycznego dla tkanki kostnej [164] Naprężenie [MPa] Odkształcenie plastyczne ,6 0, ,5 0, , , , ,0395 Przygotowany model geometryczny poddano dyskretyzacji elementami skończonymi. Zastosowane zostały elementy ośmiowęzłowe typu "hex" o oznaczeniu C3D8R. Wielkość elementu skończonego została dobrana w taki sposób aby pomiędzy poszczególnymi "kanalikami" zostały wygenerowane minimum cztery elementy skończone. Ze względu na rozmiar całego modelu, wygenerowanych zostało 260tyś. elementów i 330tyś węzłów. Kość została zamodelowana jako materiał odkształcalny. Tytanowe igły zmodelowano jako ciało nieodkształcalne poprzez nadanie wiązania "rigid body". Do punktu referencyjnego połączonego z geometrią szpilek zostały dodane wiązania umożliwiające przemieszczenie w kierunku pionowym wzdłuż osi Z. Odebrano także możliwości przemieszczeń szpilek w kierunkach osi X i Y oraz wszystkie obroty. Do modelu kości dodano wiązanie typu "encastre" odbierające wszystkie stopnie swobody. Powiązano je z dolną powierzchnią, leżącą po przeciwległej stronie w stosunku do powierzchni, w którą następuje proces zagłębiania się igieł. Pomiędzy elementami skończonymi definiującymi igły a elementami definiującymi kość, został zdefiniowany kontakt typu "surface to surface". We właściwościach kontaktu wybrano opcję "hard contact" oraz "frictionless". Ze względu na fakt iż przeprowadzone symulacje miały charakter pilotażowy, celowo pominięto tarcie w analizowanym zagadnieniu. 97

98 Rys. 44 Model numeryczny z nałożoną siatką elementów skończonych Na przedstawionych poniżej rysunkach zaprezentowano wyniki przeprowadzonych obliczeń. Na ich podstawie stwierdzono występowanie znacznych odkształceń materiału kości w strefie międzyszpilkowej. Zagłębienie igieł, rzędu 50% długości powoduje już odkształcenia znacznie przekraczające granicę plastyczności. Doprowadza to do trwałego zniszczenia struktury beleczkowej kości, zbicia i zagęszczenia materiału kostnego, który w konsekwencji klinuje się między szpilkami. Wyniki tych analiz potwierdzają badania, w trakcie których, podczas wyciągania próbek, następowało wyrywanie fragmentów kości zakleszczonych między szpilkami. Analizując wyniki można zauważyć że odkształceniom podlega nie tylko materiał znajdujący się w przestrzeni pomiędzy igłami, ale także ten znajdujący się dużo niżej. Zmiażdżona i zbita kość tworzy wraz z próbką rodzaj stempla który naciska na znajdujące się niżej warstwy materiału powodując jego odkształcenie. Przy dużych siłach może dojść do niszczenia się materiału teoretycznie nie biorącego udziału w połączeniu kość implant. Przyglądając się wynikom warto zwrócić uwagę, że w strefie pod połączeniem kość implant, wartości naprężeń osiągają poziom bliski ok. 60MPa. Zauważyć należy, iż w modelu zdefiniowano początek odkształceń plastycznych dla wartości ponad 60MPa. 98

99 Rys. 45 Rozkład naprężeń [MPa] po całkowitym zagłębieniu próbki. Rys. 46 Zmiana rozkładu naprężeń w trakcie zagłębiania się szpilek w kość gąbczastą. 99

100 Rys. 47 Rozkład naprężeń normalnych σ z [MPa] Rys. 48 Rozkład przemieszczeń w kierunku pionowym (Z) [mm]. Przeprowadzone symulacje wskazują na zbyt duże zniszczenie kości w trakcie tworzenia połączenia kość-implant, co nie było zamiarem konstruktorów. Zbyt duże zniszczenie tkanki kostnej może doprowadzić do stanu zapalnego w organizmie, zamiast do przebudowy kości i wzmocnienia połączenia. Planuje się więc wprowadzenie zmian 100

101 polegających na zwiększeniu odstępów pomiędzy poszczególnymi szpilkami. Poszukiwanie rozwiązania opierać się będzie na stopniowym systematycznym zwiększaniu odległości międzyszpilkowych i porównywaniu uzyskanych wyników. Zadanie to będzie jednak poprzedzone szeregiem analiz mających na celu weryfikację zbudowanego modelu. Wśród nich będzie także weryfikacja doświadczalna zasymulowanego procesu. Tab. 21 Wartości siły zagłębiania w zależności od przyjętego współczynnika tarcia. Wsp. tarcia Wartość siły reakcji [N] dla współczynnika tarcia µ Model µ=0 µ=0,05 µ=0,07 µ=0,1 µ=0,15 µ=0,2 µ=0,25 µ=0,3 M_1to M_1to M_Tr_1to M_Tr_1to9 Wpływ wielkości elementu skończonego na uzyskiwane wyniki Ze względu na niewielkie rozmiary niektórych cech geometrycznych modelu, konieczne okazało się zastosowanie elementów skończonych o wymiarach ok. 0,1-0,15 mm, co przy wielkości całego modelu (średnica ok. 40mm) spowodowało wygenerowanie dużej ilości elementów skończonych. Ma to bezpośredni wpływ na czas obliczeń, ściśle powiązany z ilością zainstalowanej pamięci operacyjnej RAM. Ponieważ w niektórych przypadkach liczba elementów skończonych przekraczała wartość 1mln, starano się zmniejszyć model. W tym celu ograniczano wielkość geometrii, przeprowadzając obliczenia dla 1/4 bądź nawet 1/16 wielkości całego zagadnienia. Ograniczano także liczbę elementów skończonych poprzez zwiększenie ich rozmiaru. W każdym jednak przypadku starano się tak dobrać ich rozmiar, aby wygenerowane zostały min. 4 elementy na najkrótszej krawędzi. Ponieważ dokładność uzyskiwanych wyników zależy bezpośrednio od rozmiaru (a co za tym idzie - ilości) zastosowanych elementów skończonych, przeprowadzono analizę wpływu tego parametru na uzyskiwane wyniki. W tym celu zbudowano niewielki model i stopniowo zagęszczano siatkę. Uzyskane wyniki przedstawiono w poniższej tabeli. 101

102 Wymiar elementu skończonego Ilość elementów skończonych Wartość reakcji [N] 0, , ,5 0, ,7 Siatkę zagęszczono najpierw czterokrotnie a następnie czternastokrotnie. W każdym przypadku różnica w wartości siły potrzebnej do zagłębienia palisady ostrosłupów nie przekroczyła 5%. Rys. 49 Widok siatki elementów skończonych przed i po zagęszczeniu 102