Analiza Matematyczna 2.4A(MAP3059) (2015/2016)

Transkrypt

1 Analiza Matematyczna.4A(MAP359) (5/6) Opracowanie: dr Marian Gewert, doc. Zbigniew Skoczylas Listazdań obejmujecałymateriałkursuijestpodzielona7jednostekpluskolokwiumzaliczeniowe.naćwiczeniach należy rozwiązać jeden lub dwa podpunkty z każdego zadania. Pozostałe podpunkty przeznaczone są do samodzielnej pracy studentów. Trudniejsze zadania oznaczone są gwiazdką. Te nieobowiązkowe zadania kierujemy do ambitnych studentów. Na końcu listy zadań umieszczono przykładowe zestawów zadań z kolokwium zaliczeniowego oraz z egzaminów podstawowego i poprawkowego. zdolnionych studentów zachęcamy do przygotowania się w czasie semestru i następnie udziału w egzaminach na ocenę celującą z analizy matematycznej. Zadania z egzaminów z ubiegłych lat można znaleźć na stronie internetowej Lista. Korzystając z definicji zbadać zbieżność całek niewłaściwych pierwszego rodzaju: x x x ; (b) x+ ; (c) xcosx; (d) e x ; (e) 4 x +6x+5 ; (f) π xe x.. Korzystając z kryterium porównawczego zbadać zbieżność całek niewłaściwych pierwszego rodzaju: (d) x( x+) ; (b) ( x +) 3 x ; (e) + 4 π ( ; (c) x+) (x+sinx) x 3 ; (f) 4 x(x+) x 4 +x+ ; (3+cosx) x+. 3. Korzystając z kryterium ilorazowego zbadać zbieżność całek niewłaściwych pierwszego rodzaju: ( x+) ; (b) x(x+) 5 x ) (e x5 3 ; (c) x ; (d) sin x ; (e) 4. Korzystając z definicji zbadać zbieżność całek niewłaściwych drugiego rodzaju: x(x+) ; (b) e lnx ; (c) x π π sinx ; (d) 5 3 x x Korzystając z kryterium całkowego zbadać zbieżność szeregów: n +9 ; (b) n= n n +n ; (c) n= lnn n ; (d) n n+ ; (e) 6. Korzystając z kryterium porównawczego zbadać zbieżność szeregów: 3n+ n 3 + ; (b) n + n + ; (c) sin π n; (d) n +e n e n +4 n; (e) e n e n +. 3 n +n n3 n + n. 7. Korzystając z kryterium ilorazowego zbadać zbieżność szeregów: n + n6 ; (b) n + n 4 + ; (c) e n 3 n ; (d) 4 n ln ( +3 n). x x 3 sinx. ZadaniazaczerpniętozksiążekAnalizamatematyczna.efinicje,twierdzenia,wzory;Przykładyi zadania oraz Kolokwia i egzaminy.

2 Lista 8. Korzystając z kryterium d Alemberta zbadać zbieżność szeregów: 6 n (n)! ; (b) 5 n + n 4 + ; (c) n! n n; (d) n n π n n!. 9. Korzystając z kryterium Cauchy ego zbadać zbieżność szeregów: (n+) n n +3 n (3n +) n ; (b) 3 n +5 n; (c) 3 n n n ; (d) (n+) n. Korzystając z twierdzenia Leibniza uzasadnić zbieżność szeregów: ( ) n( ) n + n ; (b) ( ) n n 3 n +4 n; (c) ( ) n sin π n ; (d) n=4. Wyznaczyć przedziały zbieżności szeregów potęgowych: (x ) n ne n ; (b) (4x ) n (x 3) n ; (c) ; (d) n! arccos n 3 n. (x+6) n 3 n n ; (e). Znaleźć szeregi Maclaurina podanych funkcji i określić przedziały ich zbieżności: 5 x ; (b)sinx ; (c)x e x x 3 ; (d) 6+x ; (e)coshx; (f)sin x. ( ) n+3n n!. n(x+) n. n+3

3 Lista 3 3.Obliczyćpochodnecząstkowef x,f y funkcjifipochodnecząstkoweg x,g y,g z funkcjig: f(x,y)= x +y 3 xy ; (b)f(x,y)=arctg xy x+y ; (c)f(x,y)=ecosx y ; (d)f(x,y)=y ) x +y ; (e)f(x,y)=ln( x +y x ; (f)g(x,y,z)=x + xz y +yz3 ; x (g)g(x,y,z)= x +y +z; (h)g(x,y,z)=cos(xsin(ycosz)); (i)g(x,y,z)= x + y + z +. 4.Obliczyćpochodnecząstkowedrugiegorzęduf xx,f xy,f yx,f yy funkcjifipochodnecząstkoweg xx,g xy,g xz, g yx,g yy,g yz,g zx,g zy,g zz funkcjigisprawdzić,żepochodnecząstkowemieszanesąrówne: f(x,y)=cos ( x +y ) ; (b)f(x,y)=ye xy ; (d)f(x,y)=yln x y ; (c)f(x,y)=x + y3 x ; (e)g(x,y,z)= y +x +z ; (f)g(x,y,z)=ln( x+y +z 3 + ). 5. Napisać równania płaszczyzn stycznych do wykresów podanych funkcji we wskazanych punktach wykresu: ( z=x y+, (,3,z ); (b)z=e x+y, (,,z ); (c)z= arcsinx arccosy, ) 3,,z ; (d)f(x,y)=(+x 3y) 4,przecięciazosiąOz; (e)f(x,y)=e x+y e 4 y,przecięciazosiąox. 6.Wysokośćipromieńpodstawywalcazmierzonozdokładnością±mm.Otrzymanoh=35mmoraz r=45mm.zjakąwprzybliżeniudokładnościąmożnaobliczyćobjętośćvtegowalca? (b)krawędzieprostopadłościanumajądługościa=3m,b=4m,c=m.obliczyćwprzybliżeniu,jakzmieni się długość przekątnej prostopadłościanu d, jeżeli długości wszystkich krawędzi zwiększymy o cm. (c)oszacowaćbłądwzględnyδ V objętościprostopadłościamuv,jeżelipomiarujegobokówx,y,zdokonanoz dokładnościąodpowiednio x, y, z. 7. Obliczyć pochodne kierunkowe podanych funkcji we wskazanych punktach i kierunkach: ( ) f(x,y)=x +y, (x,y )=( 3,4), v= 3,5 ; 3 (b)f(x,y)=x y ( ) 3 x +y, (x,y )=(,), v= 5, 4 ; 5 ( ) (c)g(x,y,z)=e xy z, (x,y,z )=(,, ), v= 3, 3,. 3 *8.Obliczyćpochodnąkierunkowąfunkcjif(x,y)=y x +ln(xy).wpunkcie ( ), wkierunku wersoravtworzącegokątαzdodatnimzwrotemosiox.lajakiegokątaαpochodnatamawartość,adla jakiego przyjmuje wartość największą? (b)wyznaczyćwersoryv,wkierunkuktórychfunkcjaf(x,y)= e x( x+y ) wpunkcie(,)mapochodną kierunkową równą. 3

4 Lista 4 9. Znaleźć ekstrema lokalne funkcji: f(x,y)=x 3 +3xy 5x 4y; (b)f(x,y)=xe y + x +ey ; (c)f(x,y)=xy ( x y)(x,y>); (d)f(x,y)=y x y x+6y; (e)f(x,y)=e 3 +y 3 3xy; (g)f(x,y)=xy+lny+x ; (f)f(x,y)= 8 x +x y +y(x,y>); (h)f(x,y)=e x y +e y x +e 6+y ; (i)f(x,y)=e x y (5 x+y).. Znaleźć najmniejsze i największe wartości podanych funkcji na wskazanych zbiorach: f(x,y)=x 3 +4x +y xy, = { (x,y) R :x y 4 } ; (b)f(x,y)=x y, trójkątowierzchołkach(,),(,),(,); (c)f(x,y)=x 4 +y 4, = { (x,y) R :x +y 9 }..WtrójkącieowierzchołkachA=(,5),B=(,4),C=(, 3)znaleźćpunktM=(x,y ),dlaktórego suma kwadratów jego odległości od wierzchołków jest najmniejsza. (b) Jakie powinny być długość a, szerokość b i wysokość h prostopadłościennej otwartej wanny o pojemności V, aby ilość blachy zużytej do jej zrobienia była najmniejsza? (c) Znaleźć odległość między prostymi skośnymi: k: { x+y =, z+ =, l: { x y+3 =, z =. (d)prostopadłościennymagazynmamiećobjętośćv=6m 3.obudowyścianmagazynuużywanesąpłytyw cenie3zł/m,dobudowypodłogiwcenie4zł/m,asufituwceniezł/m.znaleźćdługośća,szerokośćbi wysokość c magazynu, którego koszt budowy będzie najmniejszy. (f) Firma produkuje drzwi wewnętrzne i zewnętrzne w cenach zbytu odpowiednio 5 zł i zł za sztukę. Koszt wyprodukowania x sztuk drzwi wewnętrznych i y zewnetrznych wynosi K(x,y)=x xy+y [zł]. Ile sztuk drzwi każdego rodzaju powinna wyprodukować firma, aby osiągnąć największy zysk? 4

5 Lista 5. Obliczyć całki podwójne po obszarach normalnych ograniczonych wskazanymi krzywymi: (+xy)dy,:x=y=,x=y=; (c) x ydy, :y=,y= x,y= x; (b) xy dy, :y=x,y= x ; (d) e x y dy, :y= x,x=,y=; ( (e) xy+4x ) dy, :y=x+3,y=x +3x+3; (g) x e xy dy, :y=x,y=,x=; (h) (xy+x)dy, :x=,y=,y=3 x (x ); (i) e x dy.:y=,y=x,x= ln3. 3. Narysować obszar całkowania, a następnie zmienić kolejność całkowania w całkach: x f(x,y)dy; (b) x f(x,y)dy; (c) 4 x 4x x f(x,y)dy; (d) dy y f(x,y); (e) π sinx f(x,y)dy; (f) e f(x,y)dy. y π cosx lnx 4. Wprowadzając współrzędne biegunowe obliczyć podane całki podwójne po wskazanych obszarach: xydy,: x +y x, 3 y 3x; (b) xy dy,: x, x +y ; (c) y e x +y dy,: x,y,x +y ; (d) x dy,: x +y y; (e) ( x +y ) dy,: y,y x +y x; (f) yy,: x +y x(y ). Obszar naszkicować we współrzędnych kartezjańskich i biegunowych. 5. Obliczyć pola obszarów ograniczonych krzywymi: y =4x, x+y=3, y=(y ); (b)x +y y=, x +y 4y=; (c)x+y=4, x+y=8, x 3y=, x 3y=5; (d)x +y =y, y= 3 x. 5

6 Lista 6 6. Obliczyć objętości brył ograniczonych powierzchniami: z= 5 (x +y ),z=x +y 3; (b)x +y +z =4,z=(z ); (c)x +y y=,z=x +y,z=; (d)z=5 x y,z=,z=4; (e*)(x ) +(y ) =,z=xy,z=; (f*)z=x +y,y+z=4. 7. Obliczyć pola płatów: z=x +y,x +y ;(b)x +y +z =R,x +y Rx,z ;(c)z= x +y, z. 8. Znaleźć położenia środków masy obszarów jednorodnych: trójkątrównoramiennyopodstawieaiwysokościh; (b) trójkątrównobocznyobokua,doktóregodołączonopółkoleopromieniua; (c) kwadratoboku,zktóregowyciętopółkoleośrednicy. 9. Obliczyć momenty bezwładności obszarów jednorodnych o masie M, względem wskazanych osi lub punktów: ćwiartka koła o promieniu R, oś symetrii; (b) odcinek paraboli o szerokości a i wysokości h, oś symetrii; (c) kwadrat, przekątna; (d) trójkąt równoboczny o boku a, podstawa; (e)kołoośrednicy,środek. 3. Obliczyć całki potrójne z podanych funkcji po wskazanych obszarach: xdydz,=[,] [,e] [,e]; yz (b) e x+y+z dydz, :x, x y, z x; dydz (c) (3x+y+z+) 4, :x,y, z x y; (x (d) +y ) dydz, :x +y 4, x z x; (e) x y dydz, : x y z. 6

7 Lista 7 3. Wprowadzając współrzędne walcowe obliczyć całki po wskazanych obszarach: (x +y +z ) dydz, :x +y 4, z ; (b) xyzdydz, : x +y z x y ; (x (c) +y ) dydz, :x +y +z R,x +y +z Rz; (d) (x+y+z)dydz, :x +y, z x y. 3. Wprowadzając współrzędne sferyczne obliczyć całki po wskazanych obszarach: dydz x +y +z, :4 x +y +z 9; (x (b) +y ) dydz, : x +y z x y ; (c) z dydz, :x +y +(z R) R (R>); (d) x dydz, :x +y +z 4x. 33. Obliczyć objętości obszarów ograniczonych podanymi powierzchniami: x +y =9, x+y+z=, x+y+z=5; (b)z=4 x, z=5+y ; (c)z= +x +y, z=, x +y =4; (d)x +y +z =, y=(y ). 34. Wyznaczyć położenia środków masy podanych obszarów jednorodnych: półkula o promieniu R; (b)stożekopromieniupodstawyriwysokościh. 35. Obliczyć momenty bezwładności obszarów jednorodnych o masie M, względem wskazanych osi: walecopromieniupodstawyriwysokościh,ośwalca; (b)stożekopromieniupodstawyriwysokościh,ośstożka; (c)kulaopromieniur,ośsymetrii; (d) odcinek paraboloidy o średnicy i wysokości H, oś obrotu. 36. Metodą operatorową rozwiązać zagadnienia początkowe dla równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach: y y=, y()=; (c)y +y =, y()=,y ()=; (b)y y=sint, y()=; (d)y +3y =e 3t, y()=,y ()= ; (e)y y +y=sint, y()=,y ()=; (f)y y +y=+t, y()=,y ()=; (g)y +4y +4y=t, y()=,y ()=; (h)y +4y +3y=te t, y()=,y ()=. 7

8 Kolokwium zaliczeniowe- przykładowe zadania. Obliczyć całkę niewłaściwą pierwszego rodzaju. Zbadać zbieżność całki niewłaściwej 3. Zbadać zbieżność szeregu n n + n3 n +. x + x zasadnić zbieżność szeregu ( ) nln(n+). n n= 3 x. 5. Korzystając z kryterium całkowego uzasadnić zbieżność szeregu 6. Znaleźć przedział zbieżności szeregu potęgowego (x+5) n n+. arctgn 4n +. 7.Funkcjęf(x)= x +4x rozwinąćwszeregmaclaurina.podaćwrazzuzasadnieniemprzedziałzbieżności. 8.Narysowaćdziedzinęfunkcjif(x,y)= y x ln ( 9 x y ) iobliczyćjejpochodnecząstkowepierwszego rzędu. 9.Napisaćrównaniepłaszczynystycznejdopowierzchni(x+) +(y 3) +z =6wpunkcie(,, )..Obliczyćpochodnąkierunkowąfunkcjif(x,y)= ( x y ) e y x wpunkcie(x,y )=(,)wkierunku wersoratworzącegokątα=π/3zdodatniączęściąosiox. x. Wyznaczyć wszystkie punkty, w których pochodna kierunkowa funkcji f(x) = w kierunku wersora ( ) y /, / przyjmujewartość..znaleźćwszystkieekstremafunkcjif(x,y)= x y +y+. x 3.Znaleźćwartościnajmniejsząinajwiększąfunkcjif(x,y)=x y wtrójkącieowierzchołkach(,),(3,), (,3). 4. zasadnić, że wśród wszytkich prostopadłościanów o objętości V, sześcian ma najmniejsze pole powierzchni całkowitej. 5. Narysować obszar całkowania i następnie zmienić kolejność całkowania w całce 4x x f(x,y)dy. 6.Obliczyćpoleczęścipowierzchnisferyx +y +z =3leżącejwewnątrzparaboloidyz=x +y.sporządzić rysunek. ydy 7. Obliczyć całkę (x +y ) 3,gdzie={ (x,y) R : x +y 9,y }. 8.Obliczyćobjętoścbryłyograniczonejpowierzchniami:x +y =,z=x +y 3,z=5 x +y. 9.Jednorodnafiguraskładasięzkwadratuobokuidołączonegodoniegopółkolaopromieniu.Wyznaczyć położenie środka masy tej figury.. Cienka jednorodna płytka o masie M ma kształt trójkąta równobocznego o boku a. Obliczyć moment bezwładności płytki względem jej osi symetrii..obliczyćcałkęzfunkcjif(x,y,z)=zpoobszarzev ograniczonympłaszczyznamix+y=,x+y=, x=,y=,z=,z=.naszkicowaćobszarv..obliczyćcałkępotrójnązfunkcjif(x,y,z)=xpoobszarzev :x +y +z 6,x,y,z. Sporządzić rysunek. Zastosować współrzędne sferyczne. 3.Rozwiązaćrównanieróżniczkowey +y +5y= 5zzerowymiwarunkamipoczątkowymi. 8

9 Przykładowe zestawy zadań z egzaminów W rozwiązaniach zadań należy opisać rozumowanie prowadzące do wyniku, uzasadnić wyciągnięte wnioski, sformułować wykorzystane definicje, zacytować potrzebne twierdzenia(podać założenia i tezę), napisać zastosowane wzory ogólne(z wyjaśnieniem oznaczeń). Ponadto, jeśli jest to konieczne, należy sporządzić czytelny rysunek z pełnym opisem. Skreślone fragmenty pracy nie będą sprawdzane. Egzamin podstawowy Zestaw A. Obliczyć całkę niewłaściwą e x. +e x. Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu potęgowego 3.Znaleźćekstremalokalnefunkcjif(x,y)=y x+ y x + 8 y. 3 n (x ) n n+. 4.Obliczyćobjętośćbryłyograniczonejpowierzchniami:z= 5 (x +y ),z=+ x +y. 5. Jednorodna figura składa się z trójkąta równobocznego o boku i dołączonego do niego półkola o promieniu. Wyznaczyć położenie środka masy tej figury. 6.MetodątransformatyLaplace arozwiązaćrównaniey +y y=zwarunkamiy()=,y ()=. Zestaw B. Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami o równaniach z=x +y,z= 9 + ( x +y ). Sporządzić rysunek..znaleźćwszystkieekstremafunkcjif(x,y)=x+y ln(xy). 3. Narysować obszar całkowania i następnie zmienić kolejność całkowania w całce 4. Zbadać zbieżność szeregu (n!) (n)!. 6 log x log 4 x f(x,y)dy. 5. Jednorodna figura ma kształt kwadratu o polu 4, z którego boku wycięto półkole o promieniu. Wyznaczyć położenie środka masy tej figury. 6.MetodątransformatyLaplace arozwiązaćzagadnieniepoczątkowey +y=e t,y()=. Egzamin poprawkowy Zestaw A. Obliczyć całkę niewłaściwą. Zbadać zbieżność szeregu x x n +3 n. n! 3.Znaleźćekstremalokalnefunkcjif(x,y)=e 3 y +e x +e y x. 4. Narysować obszar całkowania i następnie zmienić kolejność całkowania w całce iterowanej +x f(x,y)dy. x 9

10 5. Wyznaczyć położenie środka masy jednorodnego półpierścienia o promieniu wewnętrznym r i zewnętrznym R. 6.Obliczyćobjętośćbryłyograniczonejpowierzchniamiorównaniach:x +y =,z=4 ( x +y ),z=. Zestaw B. Obliczyć całkę niewłaściwą. Zbadać zbieżność szeregu x x. arcctgn. 3.Znaleźćwszystkieekstremafunkcjif(x,y)=(y+) x+ 4 xy. 4. Narysować obszar całkowania i nastepnie zmienić kolejność całkowania w całce 5. Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami o równaniach z= x +y,z=6 ( x +y ). 4 Sporządzić rysunek. x x x 3 f(x,y)dy. 6.Znaleźćrównaniepłaszczyznystycznejdowykresufunkcjif(x,y)=y 3 + x y wpunkciejegoprzecięcia zosiąoy.