w diagnostyce medycznej II

Transkrypt

1 Technika uladźwiękowa w diagnosyce medycznej SEMESTR V Człowiek- najlepsza inwesycja ojek współfinansowany pzez Unię Euopejską w amach Euopejskiego Funduszu Społecznego Technika uladźwiękowa w diagnosyce medycznej II Ruch falowy Źódła fal

2 Ruch falowy Równanie falowe opagacja defomacji cząski akusycznej w cieczy, jeden wymia, fala płaska, ξ wychylenie cząski z położenia ównowagi, ξ+dξ owazysząca emu wychyleniu defomacja. ołożenia ścian cząski: piewone a a+da po wychyleniu i defomacji a+ξ +da+da+ξ+dξ względna zmiana wymiau -nie ciągłości ośodka: zmiana gęsości ξ + a d da+ dξda dydzda d dydz

3 Równanie falowe ównanie ciągłości zachowania masy ξ + a dydzda d dydz ównanie uchu ównowaga sił działających na cząskę akusyczną ciśnienie oddziaływujące na pawą ściankę : p + dp p p + d óżnica sił pawa-lewa ścianka p [ p p + dp ] dydz d dydz siła bezwładności m a dadydz ξ masa pzyspieszenie Równanie falowe ównanie ciągłości zachowania masy dydzda d dydz siła bezwładności m a ównanie uchu dadydz masa p ξ ddydz dadydz ξ pzyspieszenie ponieważ p a p a o ξ p a Równanie Eulea ξ p a

4 Równanie adiabay nie zachodzi wymiana ciepła z ooczeniem κ κc p c c p i c ciepło właściwe ośodka odp. pzy sałym cisnieniu i w sałej emp. ędkość fali: uwzględniając dosajemy: c ξ + a i κ κ c ξ + a κ c ξ + a Akusyka liniowa - małe defomacje wychylenie cząski znacznie mniejsze od długości fali ξ<<λ - pędkość popagacji znacznie większa od pędkości cząski gęsość w pzybliżeniu sała. Wzó aplace a: κ c β κ Równanie falowe Na podsawie poniższych ównań, pzy założeniu małych defomacji akusyka liniowa: ξ p a c c ξ + a κ ξ + a p p a a dosajemy ównanie falowe dla wychylenia cząski: ξ c ξ a

5 Równanie falowe spełnia funkcja posaci ω±ka albo c±a. Ineesująca jes funkcja usoidalna albo zespolona wykładnicza. Wedy ozwiązaniem ównania jes np. pzypadek fali płaskiej: ξ c ξ a ξ ξ ω ka pędkość i pzyspieszenie cząski ξ ωξ cos ω ka g ω ξ ω ka Równanie Eulea pozwala wyznaczyć ciśnienie na podsawie pędkości cząski p a cos ω ka ω p cos ω ka k Równanie falowe spełniają więc pędkość i pzyspieszenie cząski, a akże ciśnienie. Fala płaska powiezchnia sałej fazy płaszczyzna p p c a p p ω k c β Fala kulisa powiezchnia sałej fazy powiezchnia kuli, układ współzędnych - sfeyczny. Ze względu na symeię fali kulisej ciśnienie zależne jes od ylko odległości maleje odwonie popocjonalnie, ponieważ gęsość enegii maleje z kwadaem odległości od źódła p p p ω k c Równanie Eulea: p

6 unkowe źódło elemenane fali kulisej 4 a Q Wydaek źódła : powiezchnia * pędkość k p ω pochodna ciśnienia ] [ p ciśnienie unkowe źódło elemenane fali kulisej 4 a Q Wydaek źódła p pochodna ciśnienia p Q a 4 pochodna czasowa wydaku kozysając z ównania Eulea dosajemy a Q 4 Q a 4

7 unkowe źódło elemenane fali kulisej Q a 4 Q a 4 Jeśli a --->, o dla a na powiezchni źódła << dosajemy unkowe źódło elemenane fali kulisej k k p a ω ω Związek między ciśnieniem p, a pędkością powiezchni źódła: d d s d dq d d s p 4, s powiezchnia źódła elemenanego ciśnienie w odległości od źódła: Q p 4, Q a 4 ciśnienie w odległości ciśnienie na powiezchni 4 a s 4 s a Q

8 unkowe źódło elemenane fali kulisej ciśnienie w funkcji odległości : p Q ω k 4 Q 4a s ds Jeśli pobudzenie hamoniczne o sałej ampliudzie sała ampliuda pędkości powiezchni, wydaek: Q Qo ep jω ep jω ds ciśnienie: d{ Qo ep[ j ω k]} jω jkc p, Qo ep j ω k Qo ep j ω k 4 d 4 4 uwzględniając zc oaz: Q ds jkz p, o ep jk ep jω ds 4 unkowe źódło elemenane fali kulisej jkc ciśnienie: p, Qo ep[ j ω k] 4 uwzględniając zc oaz: Q ep jω ds ciśnienie wywazane pzez punkowe źódło elemenane w odległości w funkcji czasu: jkz p, o ep jk ep jω ds 4

9 Źódła fal uladźwiękowych Rozkłady ciśnień geneowanych pzez źódła fali uladźwiękowej omieniowanie źódła o dowolnym kszałcie Źódło w szywnym ekanie, pomieniowanie w półpzeszeń -> współczynnik zamias 4 dq dq p 4 d d Źódło akowane jes jako zbió punków elemenanych źódeł fali kulisej elemeny ds o pędkości,y, źódło w płaszczyźnie Oy udział każdego z nich w wozeniu wypadkowego ciśnienia wynosi dp: dq dp Q, y,, ds d dp ds Wypadkowe ciśnienie wynosi: p dpds S, y, ds S

10 omieniowanie źódła o dowolnym kszałcie Źódło w szywnym ekanie, pomieniowanie w półpzeszeń, akowane jako zbió punków elemenanych. Udział każdego z nich wynosi dp, ciśnienie wypadkowe p dpds S, y, ds S Jeśli pobudzenie jes hamoniczne o sałej ampliudzie na powiezchni źódła, mamy, y, o ep jω jkc dp o ep j ω k ds omieniowanie źódła o dowolnym kszałcie Wypadkowe ciśnienie wynosi: jkc ep jk p dpds o ep jω ds S S Jes o całka Kichhoffa albo Rayleigha, udna do obliczenia w ogólnym pzypadku, ława w pzypadku symeii źódła kążek, płyka. Uwaga: zależy od położenia punku na powiezchni źódła!

11 Rozkład ciśnienia geneowanego pzez kążek, pole dalekie jkz ep jk kz p dpds o ep jω ds o S kz o S kz ep j ω k + ds S o S S ep j ω k + ds ep j ω k + + k cosθ ddθ Zc impedancja akusyczna, ampliuda pędkości na powiezchni źódła, Rozkład ciśnienia geneowanego pzez kążek, pole dalekie pzekszałcamy: kz p, o S ep j ω k + + k cosθ ddθ kz kz o ep j ω k + ep j k cosθ ddθ j o ep j ω k ep j k cosθ ddθ S S Zc impedancja akusyczna, ampliuda pędkości na powiezchni źódła, Rozwiązaniem całki jes funkcja Bessela piewszego odzaju J, z agumenem ka. Część zeczywisa ciśnienia ma posać: jcka J ka p, o j ω k ka Chaakeysyka pomieniowania w sefie dalekiej ozkład ampliudy naężenia fali: [ p, ] J, c

12 Rozkład ciśnienia geneowanego pzez kążek, pole dalekie Chaakeysyka pomieniowania w sefie dalekiej ozkład ampliudy naężenia fali: Rozwiązaniem całki jes funkcja Bessela piewszego odzaju J, z agumenem ka. Część zeczywisa ciśnienia ma posać: c p J ], [, ω, ka ka J k j a ck j p o ] [ 8 ] [ 8 ] [ 8 ] [, λ λ ka ka J a c ka ka J a c ka ka J a ck c ka ka J a ck J o ] [ 8, λ ka ka J a c J Funkcje Bessela J n piewszego odzaju zędu n

13 Rozkład ciśnienia geneowanego pzez kążek, pole dalekie Zmiany ampliudy naężenia fali w sefie dalekiej ozkład naężenia fali: c a J, 8 λ [ J ka ] ka dla usalonego pzebieg D okeślenie kieunkowości dla modułu ciśnienia, dla naężenia D, czyli zw. chaakeysyka kieunkowości kieunkowość, ma ka waości zeowe dla 3.83, 7.,, 5... J ka J ka D ka Rozkład ciśnienia geneowanego pzez kążek, pole dalekie ka J ka J D ka D okeślenie dla ciśnienia, dla naężenia D, czyli zw. chaakeysyka kieunkowości kieunkowość, ma waości zeowe dla 3.83, 7.,, 5.. czyli dla ka, czyli ac ka Wykes biegunowy w funkcji kąa : W zakesie kąów ± ±ac3.83ka ±ac.6λa zaway jes zw. lisek główny, w zakesie kąów ± - zaway jes piewszy lisek boczny, ± ±ac7.3ka ±ac.λa

14 Rozkład ciśnienia geneowanego pzez kążek - sefa bliska Ciśnienia wzdłuż osi kążka ampliuda ciśnienia: Nowicki, 995: k k p z, Z [ a + z z] ω a + z + p z Z z k [ a + z z ] Koniec sefy bliskiej położenie osaniego z maksimów ozkładu ampliudy ciśnienia; dla >>λ: a D z λ 4λ ad Rozkład ciśnienia geneowanego pzez kążek Uposzczone pzedsawienie pzeszennego ozkładu ciśnienia geneowanego pzez kążek. Ką ozbieżności wiązki Θac.6 λa ad

15 zekój ozkładu ciśnienia geneowanego pzez pzewonik kołowy o śednicy D6mm, f3mhz, medium woda długość fali.5mm, koniec sefy bliskiej ok. 8mm. Rysunek pzedsawia izobay dla modułu ciśnienia w mieze logaymicznej, j. lgpp ma. widoczne znaczne wahania modułu ciśnienia w sefie bliskiej sefa bliska sefa daleka zekój ozkładu ciśnienia geneowanego pzez pzewonik kołowy o śednicy D6mm, f3mhz, medium woda długość fali.5mm, ogniskowany, pomień czaszy wynosi mm widoczne znaczne wahania modułu ciśnienia w sefie bliskiej sefa objęa piewszą i dugą izobaa znacznie dłuższa niż w popzednim pzypadku sefa bliska sefa daleka

16 pzewonik kołowy, śednica D6mm, f3mhz, długość fali.5mm, pzewonik kołowy ogniskowany pomień czaszy wynosi mm widoczne znaczne wahania modułu ciśnienia w sefie bliskiej sefa bliska sefa daleka Chaakeysyka pomieniowania w sefie dalekiej ozkład naężenia fali elemenu posokąnego płyki

17 zewonik liniowy hipoeyczny Ineesuje nas ozkład ciśnienia w punkcie,y geneowany pzez pzewonik liniowy o długości : ep, d jk dpd y y + + ozkład ciśnienia w punkcie,y geneowany pzez pzewonik liniowy o długości jes opisany nasępującą zależnością: + + θ + + ep, d jk y θ θ d ds dp,, zewonik liniowy hipoeyczny Ineesuje nas ozkład ciśnienia w punkcie,y geneowany pzez pzewonik liniowy o długości : W funkcji wykładniczej w liczniku wyaz θ musi pozosać paz nasępny slajd. W mianowniku można en wyaz pominąć. Rozkład ciśnienia w punkcie,y geneowany pzez pzewonik liniowy o długości jes wedy opisany nasępującą zależnością: θ + ep ep, d jk jk y θ Jeśli >> sefa daleka składnik można pominąć + + ep, d jk y θ θ

18 Rola fazy zabuzenia docieającego do celu punk, y dpd + θ + ep jk d Dla f3mhz długość fali w kance wynosi ok..5mm, i pzy akiej óżnicy dogi dwóch fal óżnica faz ych fal wynosi. Dla óżnych punków pzewonika óżnice dóg mogą powodować desukywną inefeencję fal w punkcie, zależnie od óżnicy faz. Głębokości obazowania wynoszą od pojedynczych do ok. cm, a więc sanowią wielokoność długości fali i inefeencje akie są możliwe. W sefie dalekiej nie można więc pominąć w agumencie funkcji ep składnika θ, w sefie bliskiej akże składnika kwadaowego. W mianowniku wyażenia podcałkowego w obu pzypadkach uposzczenia akie są dopuszczalne., y dpd ep jk θ + d Ogniskowanie fali w punkcie o zapewnienie ówności dóg i faz fal dochodzących do ego punku z óżnych punków pzewonika. Rozkład ciśnienia w punkcie,y geneowany pzez pzewonik liniowy o długości : ep jk, y ep jkθ d Usalmy odległość czynnik znajdujący się pzed całką jes wielkością sałą; zyjmijmy zk ep jk, y k k k zep jz θ dz A zep jz θ k k dz Ganice całkowania mogą być nieskończone, ponieważ poza obszaem pzewonika pędkość i jej pochodna jes ówna.

19 , y A k k zyjmijmy z -z, y A z ep jz θ dz k k zyjmijmy -zfz zep jz θ dz A k k zep jz θ dz, y A k f k z ep jz θ dz Rozkład ciśnienia w punkach,y znajdujących się w usalonej odległości od pzewonika liniowego o długości jes ansfomaą Fouiea pochodnej czasowej odwóconego względem osi ozkładu pędkości wzdłuż pzewonika. Rolę pulsacji ω pełni θ. Waość ozkładu ciśnienia w punkcie o współzędnych, y okeślona jes pzez ką θ θ. Jeśli ozkład pędkości jes symeyczny względem śodka pzewonika, ozkład ciśnienia w sefie dalekiej jes ansfomaą Fouiea pochodnej czasowej ozkładu pędkości wzdłuż pzewonika: olę pulsacji ω pełni θ!!!!!, y A k k zep jz θ dz

20 , y A k k zep jz θ dz Rozkład ciśnienia w sefie dalekiej jes ansfomaą Fouiea pochodnej czasowej ozkładu pędkości wzdłuż pzewonika. Rolę pulsacji ω pełni θ. Waość ozkładu ciśnienia w punkcie o współzędnych, y okeślona jes pzez ką θ θ. Współczynnik A zawiea czynniki związane z właściwościami ośodka i odległością między śodkiem pzewonika a ineesującym nas punkem. Czynniki ypu epjy nie wpływają na ozkład modułu ciśnienia, jedynie na jego fazę, w części usyuowanej pzed całką w sposób jednakowy dla wszyskich punków pzewonika. Doyczyć o będzie ównież zespolonego czynnika wykładniczego wynikającego ze zóżniczkowania ozkładu pędkości po czasie, pzy założeniu że jes on opisany zespoloną funkcją wykładniczą. ep jk A k zewonik płaski D θ cos y θ z cosθ W sefie dalekiej: y y + + z θ cos + y + + θ cos y θ Rozkład ciśnienia: ep jk, y, z A, y ep jk θ cos + y θ ds S Jes o D ansfomaa Fouiea pochodnej czasowej ozkładu pędkości na powiezchni pzewonika

21 zekój płaszczyzną Oz ozkładu ciśnienia geneowanego pzez pzewonik płaski D θ + + y θ Odległość w sefie dalekiej nie zależy od współzędnej y! Dla wszyskich punków powiezchni pzewonika o ej samej współzędnej wysępuje aki sam czynnik pzesuwający fazę. zekój płaszczyzną Oz ozkładu ciśnienia geneowanego pzez pzewonik płaski Dla wszyskich punków powiezchni pzewonika o ej samej współzędnej wysępuje aki sam czynnik pzesuwający fazę. Należy wyznaczyć sumę całkę wszyskich waości pędkości o ej samej współzędnej, y dy ep jk,, z A ep jk θ d Ciśnienie jes D ansfomaą Fouiea pochodnej czasowej całki pędkości!

22 onieważ znajomość pzekojów ozkładów ciśnienia geneowanego pzez pzewoniki płaskie w sefie dalekiej jes saysfakcjonująca z punku widzenia aplikacji medycznych i osiągalna dogą pzekszałcenia Fouiea pochodnej czasowej pędkości zzuowanej zsumowanej na ineesujący nas pzekój powiezchni pzewonika, pzewonik liniowy jes modelem badzo isonym z punku widzenia pozeb analizy ozkładów ciśnień geneowanych pzez układy pzewoników. Dalsze ozważania doyczyć będą właściwości akiego modelu i układów pzewoników punkowych i liniowych. Anena liniowa, pobudzenie hamoniczne o sałej ampliudzie, sefa daleka Fauenhofea Θ o ciśnienie od pojedynczego punku d dp d zy założeniu, że pędkość opisana jes : ciśnienie od punku d pzyjmuje posać jkc dp o ep{ j[ ω k o Θ]} o o ep jω kc ω d ep jω dp d jω ep jω jkc ep jω ciśnienie geneowane pzez cały pzewonik liniowy, sefa daleka jkc p o, Θ o ep[ j ω ko ] o jk Θ e d

23 Anena liniowa, pobudzenie hamoniczne o sałej ampliudzie, sefa daleka Fauenhofea Θ o ciśnienie od pojedynczego punku d jkc dp o ep{ j[ ω k o Θ]} o ciśnienie geneowane pzez cały pzewonik liniowy, sefa daleka jkc p o, Θ o ep[ j ω ko ] o jk Θ e a więc dla usalonej odległości od pzewonika, pzy pzyjęciu k, uθ, jes o ansfomaa Fouiea funkcji ec okna posokąnego d Anena liniowa, pobudzenie hamoniczne o sałej ampliudzie, sefa daleka Fauenhofea jkc p o, Θ o ep[ j ω ko ] o jk Θ e d uθ u p A k c λ zea pa n±, ±... : A- czynnik pzed całką λ u n oziom liska bocznego w sosunku do głównego 3 Szeokość liska głównego zędu λ na poziomie piewszego zea - λ, na poziomie.77 waości maksymalnej -3dB.88λ. ole widzenia pzewonika - u, czyli θ л

24 Właściwości kieunkowe aneny liniowej Sosunek ciśnienia do czynnika pzed całką z pominięciem czynnika ep zmieniającego fazę: u p A k c λ Zea pa n±, ±... : λ u n uθ Właściwości kieunkowe aneny okeśla szeokość liska głównego λ piewsze zeo ozkładu ciśnienia dla θл... >> λ lepsze właściwości kieunkowe aneny Kieunkowość D aneny źódła p θ D p ma u D c λ uθ

25 Odchylanie wiązki Odchylanie wiązki w pzeszeni w funkcji kąa α oznacza pzesuwanie ozkładu ciśnienia wzdłuż osi poziomej agumen osi poziomej - us kąa odchylania : zesuwanie TF wzdłuż osi ω - odchylanie wiązki : f F ω f ep jω F ω + ω Jeśli do pzebiegu pędkości wpowadzimy pzesunięcie fazowe zależne od położenia punku w pzewoniku liniowym: ep jkα uzyskamy odchylenie wiązki o ką acα. Uwaga odchylaniu wiązki owazyszy wzos szeokości liska głównego, powodowany maleniem efekywnej długości aneny eff cosα! Szeokość liska głównego pzy odchylaniu zędu λcosα!

26 Układy anen Układy anen punkowych nieskończony i skończony Układy anen liniowych sefa daleka, pobudzenie hamoniczne epjω, ozkład ciśnienia jes TF ozkładu pędkości aneny liniowej, w pzedsawianych dalej zależnościach pomijane są czynniki niezależne od ampliudy pędkości, analizie poddawany jes jedynie wpływ położenia źódeł ozkładu ampliudy pędkości na ozkład znomalizowanego do ych czynników ciśnienia oaz jego zależność od u Θ Nieskończony układ anen punkowych sefa daleka, pomijamy czynniki niezależne od pędkości w wyażeniu opisującym ciśnienie geneowane pzez źódło punkowe Apeua nieoganiczona Rozkład ampliudy pędkości wzdłuż apeuy o n n n n d okesowy nλ p u F{ n} u d d o n o n uθ Rozkład ciśnienia jes akże okesowy, okes wynosi λd

27 Nieskończony układ anen punkowych sefa daleka, pomijamy czynniki niezależne od pędkości w wyażeniu opisującym ciśnienie Apeua oganiczona n <N, Nd Rozkład ampliudy pędkości wzdłuż apeuy ec o n u F { ec } c λ a ozkład ciśnienia w sefie dalekiej TF iloczynu sygnałów <> splo ansfoma, czyli nλ u u nλ d c[ ] λ u F{ } F{ }* F{ ec } c * u o n λ d n d d n Skończony układ anen punkowych Rozkład ciśnienia oganiczonej aneny jes okesowy z okesem uθλd agumen c ówny m, u- nλd nλ u c[ d ] λ u d n uθ Moduł ozkładu ciśnienia oganiczonej aneny punkowej Okesowa sukua jes niekozysna z punku widzenia skanowania liski inne niż główny zw. gaing lobes mogą powodować niejednoznaczności obazowania

28 Skończony układ anen punkowych Moduł ozkładu ciśnienia oganiczonej aneny punkowej iski inne niż główny zw. gaing lobes mogą powodować niejednoznaczności obazowania. Należy dopowadzić do syuacji, w kóej liski e nie pojawiają się w polu widzenia aneny, lub są słumione. Waunek na odsunięcie gaing lobes poza obsza widzenia aneny czyli u <: λd> wedy pzy odchyleniu wiązki o 9º lisek gaing lobe pojawi się dla 9º. W anenach zeczywisych, zbudowanych z elemenów o skończonych wymiaach, isnieje dodakowy mechanizm zapewniający łumienie piewszego liska gaing lobe. Skończony układ anen liniowych N anen o skończonej długości o, o sałej pędkości punków, ułożonych w odsępach d d>o, zajmujących odcinek Nd. Rozkład pędkości w akiej anenie jes podukem splou funkcji eco położonej w począku układu oaz iloczynu ciągu del Diaca i funkcją ec, oganiczającą wymia całej aneny: Moduł ciśnienia oganiczonej apeuy punkowej ec *[ ec o n ] Moduł TF czynnika związanego z aneną liniową u u n u F{ } F{ ec } [ F ec * F{ }] c [ c λ u ] λ λ d n d nλ u u c d c[ ] λ d λ n

29 Skończony układ anen liniowych N anen o skończonej długości o, o sałej pędkości punków, ułożonych w odsępach d d>o, zajmujących odcinek Nd. nλ u u u c c[ d ] λ d λ n Ciśnienie geneowane pzez aki układ pzewoników jes sploem dwóch ansfoma, z kóych jedna jes iloczynem ansfomay ciągu del Diaca oaz okna posokąnego o wymiaze o, duga zaś ansfomaą okna o wymiaze pzy czym >>o. Skończony układ anen liniowych N anen o skończonej długości o, o sałej pędkości punków, ułożonych w odsępach d d>o, zajmujących odcinek Nd. Ciśnienie geneowane pzez aki układ pzewoników jes sploem ansfoma: - ansfomay będącej iloczynem ansfomay ciagu del Diaca oaz okna posokąnego o długości o - ansfomay okna posokąnego o długości pzy czym >>o. nλ u u u c c[ d ] λ d λ n Rozkład modułu ciśnienia geneowanego pzez en układ jes iloczynem ansfomay ozkładu pędkości skończonego układu anen punkowych oaz ansfomay ozkładu pędkości w pojedynczym elemencie układu o wymiaze o.

30 Skończony układ anen liniowych Moduł ciśnienia oganiczonej apeuy punkowej Moduł TF czynnika związanego z aneną liniową Wypadkowy ozkład modułu ciśnienia geneowanego pzez skończony układ anen liniowych nλ u u u c c[ d ] λ d λ n Odchylanie w układzie anen liniowych gaing lobes

31 Odchylanie w układzie anen liniowych gaing lobes Zwykle <d, a więc piewsze zeo obwiedni wypada dla u nieco większego niż λd gaing lobe zosaje słumiony. Dalsze pzejścia pzez obwiedni wynikającej z wymiau pojedynczego elemenu aneny ównież wypadają w okolicach położeń kolejnych gaing lobes.