OCENA DOKŁADNOŚCI GLOBALNYCH MODELI GEOPOTENCJAŁU EGM96 I EGM08 NA OBSZARZE DOLNEGO ŚLĄSKA 1
|
|
- Alicja Orłowska
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Acta Sci. Pol., Geodesia et Descriptio Terrarum 8(1) 2009, OCENA DOKŁADNOŚCI GLOBALNYCH MODELI GEOPOTENCJAŁU EGM96 I EGM08 NA OBSZARZE DOLNEGO ŚLĄSKA 1 Marek Trojaowicz Uiwersytet Przyrodiczy we Wrocławiu Streszczeie. W pracy podjęto próbę ocey dokładości dwóch ogólie dostępych globalych modeli geopotecjału, tj. EGM96 i EGM08. Dokładość tych modeli badao w odiesieiu do rejou Dolego Śląska, przy czym aalizowao wartości zakłóceń grawimetryczych oraz aomalii wysokości. Do porówań wykorzystao dae pomiarowe w postaci puktów grawimetryczych oraz 29 puktów sieci POLREF. Przeprowadzoe aalizy potwierdziły zaczie większą dokładość modelu EGM08. Odchyleie stadardowe różic satelitaro/iwelacyjych aomalii wysokości oraz wyzaczoych z aalizowaych modeli globalych wyiosły odpowiedio ± 16 cm dla modelu EGM96 oraz ± 2,8 dla modelu EGM08. Słowa kluczowe: globale modele geopotecjału EGM96 i EGM08 WSTĘP Wykorzystaie techik satelitarych do wyzaczaia wysokości puktów w obowiązującym w daym kraju systemie wysokości jest ściśle związae z budową dokładych modeli geoidy i quasi-geoidy. Jest wiele metod modelowaia tych powierzchi. Ogólie wśród tych metod moża wyróżić dwie grupy [Tscherig 2001]. Grupę pierwszą staowią metody oparte a rozwiązaiu Stokesa. Grupę drugą tworzą metody aproksymacyje oparte a metodzie ajmiejszych kwadratów (ajbardziej popularą w tej grupie jest kolokacja metodą ajmiejszych kwadratów). Ogólą charakterystykę tych metod zaleźć moża w opracowaiach [Heiskae i Moritz 1967], [Sasò, Rummel 1997], [Torge 2001] oraz [Hofma-Wellehof i Moritz 2005]. Niezależie od zastosowaej metody podstawą dokładych lokalych wyzaczeń geoidy i quasi-geoidy są powierzchiowe dae grawimetrycze. Praktyczie wszystkie owoczese techiki modelowaia geoidy i quasi-geoidy wykorzystują jako model pola grawitacyjego Ziemi globale modele geopotecjału. Adres do korespodecji Correspodig author: Marek Trojaowicz, Istytut Geodezji i Geoiformatyki, Uiwersytet Przyrodiczy we Wrocławiu, ul. Gruwaldzka 53, Wrocław, marek.trojaowicz@up.wroc.pl.
2 20 M. Trojaowicz Wykorzystaie tych modeli odbywa się za pomocą techiki RCR (remove-compute-restore), która polega a usuięciu z aomalii grawimetryczych składowej globalego modelu geopotecjału, astępie obliczeiu a podstawie rezydualych aomalii tzw. rezydualych aomalii wysokości lub rezydualych wysokości geoidy oraz przywróceiu składowej globalego modelu geopotecjału do wyzaczoych, rezydualych aomalii wysokości lub rezydualych wysokości geoidy. Zastosowaie takiej techiki pozwala przede wszystkim a zacze ograiczeie obszaru iezbędych do obliczeń daych grawimetryczych. Poieważ globale modele geopotecjału są opracowywae z coraz to większą rozdzielczością i dokładością, zasadym wydaje się pytaie, jak dokładie opisują oe rzeczywiste pole grawitacyje. Celem iiejszego artykułu jest więc próba ocey dokładości wybraych globalych modeli geopotecjału. Przy czym ocea ta będzie polegała a określeiu charakterystyk pola rezydualego aomalii grawimetryczych i aomalii wysokości. Do aaliz wybrao dwa ogólodostępe modele geopotecjału. Pierwszym jest model EGM96 [Lemoie i i. 1998], drugim zaś model EGM08 [Pavlis i i. 2008]. Model EGM96 (Earth Gravitatioal Model 1996) jest wyikiem współpracy trzech istytucji: NIMA (Natioal Imagery ad Mappig Agecy), NASA GSFC (Goddard Space Flight Ceter) oraz Ohio State Uiversity. Jest to model o współczyikach harmoiczych sferyczych do stopia i rzędu 360. Model EGM08 został opublikoway przez Natioal Geospatial-Itelligece Agecy (NGA) EGM Developmet Team w 2008 roku. Jest to model o współczyikach harmoiczych sferyczych do stopia i rzędu Dostępe są także dodatkowe współczyiki do stopia 2190 i rzędu Prezetowae w dalszej części pracy aalizy odiesioe są do obszaru Dolego Śląska. WYKORZYSTANA TECHNIKA OBLICZENIOWA Do rozwiązywaia globalych problemów geodezji, potecjał grawitacyjy Ziemi V przedstawia się w postaci rozwiięcia w szereg harmoiczych sferyczych. Rozwiięcie to przedstawioe jest w postaci rówaia [Torge 2001]: GM a V = 1 + ( Cm cos mλ+ Sm si mλ) Pm (cos θ) (1) r = 2 r m= 0 gdzie: r, θλ, współrzęde sferycze puktu, w którym potecjał wyzaczamy (r odległość od środka sfery, θ odległość bieguowa, λ długość geograficza), GM geocetrycza stała grawitacyja, a dłuższa półoś elipsoidy, P m zormalizowaa stowarzyszoa fukcja Legedre a o stopiu i rzędzie m oraz Cm, S m zormalizowae współczyiki modelu. Fukcje: c Y = P (cos θ)cos mλ m m s Y = P (cos θ)si mλ m m Acta Sci. Pol.
3 Ocea dokładości globalych modeli geopotecjału azywae są powierzchiowymi harmoiczymi sferyczymi Laplace a lub fukcjami kulistymi. W praktyczych zastosowaiach globalych modeli geopotecjału wyzaczae są bezpośredio wielkości wykorzystywae w obliczeiach, tz. aomalie grawimetrycze (ozaczoe dalej jako Δ ggm ) lub zakłóceia grawimetrycze (ozaczoe dalej jako δ g GM ) oraz potecjał zakłócający (ozaczoy dalej jako T GM ), zamieiay a wysokości geoidy lub aomalie wysokości. Rówaia umożliwiające wyzaczeie tych parametrów moża zapisać w postaci [Torge 2001]: T a Δ ggm = ( 1) T r = 2 r a δ ggm = ( 1) T r + = 2 r (2) GM a = = 2 r + 1 T T ζ GM =, γ gdzie: GM T = ( ΔCm cos mλ+δsm si mλ) Pm (cos θ) a m= 0 GM N m W rówaiach (2) współczyiki Δ Sm = Sm, atomiast Δ Cm = Cm Cm. Współczyiki C są zormalizowaymi współczyików harmoiczych sferyczych pola ormalego, z których róże od zera są jedyie współczyiki parzystych, strefowych (m = 0) harmoiczych sferyczych. Współczyiki pola ormalego dae są jako stałe defiiujące pole ormale. Wyzaczeie globalego modelu geopotecjału polega w zasadzie a określeiu współczyików Cm, S m. Maksymaly stopień max i rząd rozwiięcia, a więc liczba wyzaczoych współczyików określają rozdzielczość modelu, która w powiązaiu z dokładością wyzaczeia tych współczyików decyduje o dokładości samego modelu. Charakteryzując zastosowaą techikę obliczeiową, warto wspomieć, że stowarzyszoe fukcje Legedre a geerowae są za pomocą metod iteracyjych. W obliczeiach prezetowaych w iiejszej pracy fukcje te geerowae były za pomocą tzw. stadard forward colum method, której algorytm zaczerpięto z pracy [Holmes i Featherstoe 2002]. Metoda ta polega a wykorzystaiu dwóch rówań iteracyjych w dwóch krokach. Krok pierwszy polega a wyzaczeiu fukcji P mm : N Geodesia et Descriptio Terrarum 8(1) 2009
4 22 M. Trojaowicz gdzie t = si( θ) 2m + 1 = > 1 (3) 2m Pmm t Pm 1, m 1 m Krok drugi to geerowaie fukcji P m rzędu m i stopia od = m+ 1 do = max : gdzie P = a up b P > m (4) m m 1, m m 2, m a m = (2 1)(2+ 1), ( m)( + m) b m = (2+ 1)( + m 1)( m 1), ( m)( + m)(2 3) u = cos( θ) oraz P 0 = 1, P1,0 = u 3, P1,1 = t 3 Do przeprowadzeia aaliz wykorzystao bezpośredio rówaia (2), przy czym pola rezyduale ( δgr dla zakłóceń grawimetryczych oraz Δζr dla aomalii wysokości) obliczoo a podstawie zależości: Przy czym δ g =δg δ g (5) r Δζ = ζ ζ r GM GM ζ= h H (6) gdzie h wysokość elipsoidala wyzaczoa z pomiarów satelitarych, atomiast H wysokość ormala tego samego puktu wyzaczoa a drodze iwelacji geometryczej. γ δ g = g γ o + ( H +ζ) (7) h gdzie g wartość przyspieszeia siły ciężkości pomierzoa w pukcie grawimetryczym, wartość przyspieszeia ormalego a elipsoidzie dla szerokości geodezyj- γ o γ ej tego puktu, h gradiet pioowy przyspieszeia ormalego (w obliczeiach Acta Sci. Pol.
5 Ocea dokładości globalych modeli geopotecjału γ 2 przyjęto = μ m/ s ), H wysokość ormala puktu grawimetryczego oraz h ζ aomalia wysokości w tym pukcie 1. 2 CHARAKTERYSTYKA OBSZARU BADAŃ I DANYCH POMIAROWYCH Obszar testowy zajmuje cały rejo Dolego Śląska. Półoco-wschodia część tego obszaru ma charakter rówiy. Część połudiowo-zachodia obejmuje obszar przedgórza sudeckiego i Sudetów z ajwyższym puktem o wysokości 1602 m.p.m. Rzeźbę tereu tego obszaru przedstawioo a rysuku 1. Rys. 1. Mapa wysokościowa obszaru testowego Fig. 1. Altimetric map of test area Do aaliz wykorzystao dae pomiarowe w postaci puktów grawimetryczych 23 oraz 29 puktów sieci POLREF 34 o zaych aomaliach wysokości. Położeie wszystkich puktów prezetuje rysuek 2. Na podstawie daych grawimetryczych w postaci wartości przyspieszeń siły ciężkości wyzaczoo zakłóceia grawimetrycze według rówaia (7). Mapę zakłóceń grawimetryczych prezetuje rysuek Aomalie wysokości puktów grawimetryczych w obliczeiach testowych wyzaczoo z modelu EGM Dae udostępioe przez Państwowy Istytut Geologiczy. 34 Dae udostępioe przez Główy Urząd Geodezji i Kartografii. Geodesia et Descriptio Terrarum 8(1) 2009
6 24 M. Trojaowicz Rys. 2. Położeie puktów grawimetryczych i puktów sieci POLREF Fig. 2. Locatio of gravity poits ad the POLREF etwork poits Jeleia_Góra widica Kłodzko Wrocław Strzeli Nysa Opole Rys. 3. Mapa zakłóceń grawimetryczych 2 Fig. 3. Map of gravimetric disturbaces [ μ m/ s ] Podstawowe statystyki daych z obszaru testowego prezetowae są w tabeli 1. Wielkość H ozacza wysokość puktu grawimetryczego. g Acta Sci. Pol.
7 Ocea dokładości globalych modeli geopotecjału Tabela 1. Podstawowe statystyki daych pomiarowych Table 1. Basic statistics of the data Mi. Max. Średia Mea δg ± σ Jedostka Uit μm/ s 2 H g ± m ζ ± m WYNIKI OBLICZEŃ Z modeli EGM96 i EGM08 wyzaczoo zakłóceia grawimetrycze δ g GM 96 (model EGM96) oraz δ g GM 08 (model EGM08) dla wszystkich puktów grawimetryczych. Wyiki tych obliczeń prezetowae są a rysukach 4 i 5. Rys. 4. Wartości zakłóceń grawimetryczych δ g GM 96 Fig. 4. Values of gravimetric disturbaces δ g [ 2 GM 96 μ m/ s ] Geodesia et Descriptio Terrarum 8(1) 2009
8 26 M. Trojaowicz Rys. 5. Wartości zakłóceń grawimetryczych δ g GM 08 Fig. 5. Values of gravimetric disturbaces δ g GM [ 2 08 μ m/ s ] Na podstawie rówań (5) obliczoo rezyduale wartości zakłóceń grawimetryczych. Przy czym przyjęto astępujące ozaczeia: δ g =δg δ g rezyduale pole zakłóceń grawimetryczych dla modelu EGM96 r96 GM96 δ gr08 =δg δ ggm08 rezyduale pole zakłóceń grawimetryczych dla modelu EGM08 Rysuki 6 i 7 przedstawiają mapy rezydualych pól zakłóceń grawimetryczych δ g r 96 (rys. 6) oraz g r 08 δ (rys. 7) Jeleia_Góra widica Wrocław Strzeli Opole Kłodzko Nysa Rys. 6. Wartości rezydualych zakłóceń grawimetryczych δ g r 96 Fig. 6. Values of residual gravimetric disturbaces δ g [ 2 r 96 μ m/ s ] Acta Sci. Pol.
9 Ocea dokładości globalych modeli geopotecjału Wrocław Jeleia_Góra widica Strzeli Opole Kłodzko Nysa Rys. 7. Wartości rezydualych zakłóceń grawimetryczych δ g r 08 2 Fig. 7. Values of residual gravimetric disturbaces δ g r [ 08 μ m/ s ] Dla puktów sieci POLREF wyzaczoo aomalie wysokości ζ GM 96 (z modelu EGM96) oraz ζ GM 08 (z modelu EGM08). Na ich podstawie obliczoo rezyduale wartości pola aomalii wysokości dla obu modeli. Na rysuku 8 prezetowae są wartości tych pól. Przyjęto astępujące ozaczeia: ζ =ζ ζ rezyduale pole aomalii wysokości dla modelu EGM96 r96 GM96 ζ =ζ ζ rezyduale pole aomalii wysokości dla modelu EGM08 r08 GM Rys. 8. Wartości rezydualych aomalii wysokości ζ r 96 oraz ζ r 08 Fig. 8. Values of residual height aomalies ζr 96 ad ζ [cm] r 08 ζ r 08 ζ r96 Geodesia et Descriptio Terrarum 8(1) 2009
10 28 M. Trojaowicz Podstawowe statystyki wyzaczoych pól rezydualych zawiera tabela 2. Tabela 2. Podstawowe statystyki pól rezydualych Table 2. Basic statistics of residua fields Mi. Max. Średia Mea δg r ± δg r ± 65.9 σ Jedostka Uit μm/ s 2 μm/ s 2 ζr ± m ζr ± m OMÓWIENIE WYNIKÓW Omówieie wyików rozpocziemy od aalizy zakłóceń grawimetryczych. Porówując mapy zakłóceń grawimetryczych (rys. 3) z wartościami wyzaczoymi z obu modeli (rys. 4 model EGM96 oraz rys. 5 model EGM08), zauważymy wyraźie lepszą jakość modelu EGM08. Model EGM96 z powodu swojej iskiej, w porówaiu do modelu EGM08, rozdzielczości a tak małym obszarze opisuje w zasadzie zmiay uśredioe dla dużych powierzchi. Wyraźie widoczy jest jedyie wzrost wartości zakłóceń a tereie Sudetów oraz ich obiżeie a tereie Śląska Opolskiego. Wszystkie lokale zmiay wartości zakłóceń są w tym modelu iewidocze, co potwierdza mapa pola rezydualego (rys. 6), której podobieństwo do pola zakłóceń grawimetryczych jest wyraźe. Porówując ajważiejsze statystyki z tabeli 2 ze statystykami zawartymi w tabeli 1, zauważymy także małą różicę pomiędzy odchyleiem stadardowym oraz zakresem wartości dla wielkości δg oraz δ g r 96. Na mapie zakłóceń grawimetryczych obliczoych z modelu EGM08 (rys. 5) wyraźie zazaczoe są rówież lokale zmiay ich wartości. Na przykład dobrze widocze jest obiżeie wartości zakłóceń w rejoie Kotliy Kłodzkiej i Jeleiogórskiej oraz w rejoach Świdicy i Nysy. Na mapie rezydualych zakłóceń grawimetryczych dla tego modelu (rys. 7) zauważyć moża, że a obszarze iziym pole rezyduale charakteryzuje się zaczą zmieością w małym zakresie i brakiem powiązaia z rozkładem zakłóceń grawimetryczych (rys. 3). Na tereie Sudetów powiązaie to jest bardziej widocze, co świadczy o ieco gorszym odwzorowaiu pola grawitacyjego Ziemi w tym rejoie przez te model. Tę wizualą oceę potwierdzają podstawowe statystyki pola rezydualego tego modelu, zawarte w tabeli 2. Aalizując wartości rezyduale aomalii wysokości (rys. 8), rówież zauważymy wyraźie większą dokładość modelu EGM08. Dla modelu EGM96, wartości resztkowe aomalii wysokości a tereie iziym dochodzą do 10 cm atomiast a obszarze Sudetów wartości te przekraczają awet 40 cm. Wartości pola resztkowego aomalii wysokości dla modelu EGM08 a tereie iziym w zasadzie ie przekraczają 2,5 cm. Na obszarze Sudetów wartość maksymala wyosi 11,4 cm. W tym miejscu przypomieć Acta Sci. Pol.
11 Ocea dokładości globalych modeli geopotecjału ależy, że dokładość (wyrażoa przez błąd średi) satelitaro/iwelacyjych aomalii wysokości puktów sieci POLREF szacowaa jest a ok. ±2,0 cm [Kryński i i. 2005], atomiast dokładość (wyrażoa odchyleiem stadardowym różic pomierzoych i modelowaych aomalii wysokości) modelu geoidy iwelacyjej 2001 a ±1,8 cm [Kryński 2007]. Biorąc to pod uwagę oraz wartość odchyleia stadardowego pola resztkowego dla całego obszaru, która wyosi ±2,8 cm, model EGM08 moża określić jako bardzo dokłady. Model te mógłby być w zasadzie wykorzystyway do iwelacji satelitarej przy pracach wymagających miejszej dokładości (p. pomiar rzeźby tereu). PIŚMIENNICTWO Heiskae W.A., Moritz H., Physical geodesy. Freema, Sa Fracisco. Hofma-Wellehof B., Moritz H., Physical geodesy. SprigerWieNewYork Holmes, S.A. ad Featherstoe W.E., A uified approach to the Cleshaw summatio ad the recursive computatio of very-high degree ad order ormalised associated Legedre fuctios, Joural of Geodesy 76(5), , Kryński J., Precyzyje modelowaie quasi-geoidy a obszarze Polski wyiki i ocea dokładości. Istytut Geodezji i Kartografii, seria moograficza Nr 13, Warszawa. Kryński J., Osada E., Figurski M., GPS/Levellig data i Polad i view of precise geoid modellig, Worshop II: Summary of the project o a cm geoid i Polad November 2005, Warsaw. Lemoie F.G., Keyo S.C., Factor J.K., Trimmer R.G., Pavlis N.K., Chi D.S., Cox C.M., Klosko S.M., Luthcke S.B., Torrece M.H., Wag Y.M., Williamso R.G., Pavlis E.C., Rapp R.H., Olso T.R., The Developmet of the Joit NASA GSFC ad NIMA Geopotetial Model EGM96. NASA Goddard Space Flight Ceter, Greebelt, Marylad, USA, July Pavlis N.K., Holmes S.A., Keyo S.C., Factor J.K., A Earth Gravitatioal Model to Degree 2160: EGM2008. EGU Geeral Assembly 2008 Viea, Austria, April Sasò F. Rummel (Eds.), Lecture Notes i Earth Scieces. Geodetic Boudary Value Problems i View of the Oe Cetimeter Geoid. Spriger-Verlag Berli Heidelberg. Torge W., Geodesy 3 rd Editio. Walter de Gruyter, Berli, New York. Tscherig C.C., Geoid determiatio after first satellite gravity missios. Paper prepared at the occasio of the 70 birthday of Wolfgag Torge. Geodesia et Descriptio Terrarum 8(1) 2009
12 30 M. Trojaowicz ESTIMATION OF AN ACCURACY OF GLOBAL GEOPOTENTIAL MODELS EGM96 AND EGM08 AT LOWER SILESIA AREA Abstract. The study is a attempt to estimate accuracy of two global geopotetial models EGM96 ad EGM08. Accuracy of the models was estimated with referece to Lower Silesia area. It aalyse values of gravity disturbaces ad height aomalies. For comparisos there were used gravity poits ad 29 poits of the POLREF etwork. Carried aalyses have cofirmed superior accuracy of the EGM08 model. Stadard deviatios of residual height aomalies, has a amout ± 16 cm for EGM96 ad ± 2.8 EGM08 model. Key words: global geopotetial models EGM96 ad EGM08 Zaakceptowao do druku Accepted for prit: Do cytowaia For citatio: Trojaowicz M., Ocea dokładości globalych modeli geopotecjału EGM96 i EGM08 a obszarze Dolego Śląska. Acta Sci. Pol. Geod. Descr. Terr., 8(1), Acta Sci. Pol.
POLITECHNIKA OPOLSKA
POLITCHIKA OPOLSKA ISTYTUT AUTOMATYKI I IFOMATYKI LABOATOIUM MTOLOII LKTOICZJ 7. KOMPSATOY U P U. KOMPSATOY APIĘCIA STAŁO.. Wstęp... Zasada pomiaru metodą kompesacyją. Metoda kompesacyja pomiaru apięcia
Bardziej szczegółowoMetrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie
Metrologia: miary dokładości dr iż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczeciie Miary dokładości: Najczęściej rozkład pomiarów w serii wokół wartości średiej X jest rozkładem Gaussa: Prawdopodobieństwem,
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystyczna analiza danych jakościowych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu.
Rachuek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystycza aaliza daych jakościowych Dr Aa ADRIAN Paw B5, pok 407 ada@agh.edu.pl Wprowadzeie Rozróżia się dwa typy daych jakościowych: Nomiale jeśli opisują
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA I ANALIZA DANYCH
TATYTYKA I ANALIZA DANYCH Zad. Z pewej partii włókie weły wylosowao dwie próbki włókie, a w każdej z ich zmierzoo średicę włókie różymi metodami. Otrzymao astępujące wyiki: I próbka: 50; średia średica
Bardziej szczegółowoEstymacja przedziałowa
Metody probabilistycze i statystyka Estymacja przedziałowa Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze
Bardziej szczegółowoJak obliczać podstawowe wskaźniki statystyczne?
Jak obliczać podstawowe wskaźiki statystycze? Przeprowadzoe egzamiy zewętrze dostarczają iformacji o tym, jak ucziowie w poszczególych latach opaowali umiejętości i wiadomości określoe w stadardach wymagań
Bardziej szczegółowoPODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH
PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH POMIAR FIZYCZNY Pomiar bezpośredi to doświadczeie, w którym przy pomocy odpowiedich przyrządów mierzymy (tj. porówujemy
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 1 i 2
STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD i 2 Literatura: Marek Cieciura, Jausz Zacharski, Metody probabilistycze w ujęciu praktyczym, L. Kowalski, Statystyka, 2005 2 Statystyka to dyscyplia aukowa, której zadaiem jest
Bardziej szczegółowoOSZACOWANIE DOKŁADNOŚCI QUASI-GEOIDY Z MODELU EGM08 NA OBSZARZE POLSKI
Acta Sci. Pol., Geodesia et Descriptio Terrarum 8(4) 2009, 39-47 OSZACOWAIE DOKŁADOŚCI QUASI-GEOIDY Z MODELU EGM08 A OBSZARZE POLSKI Adam Łyszkowicz 1 Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie Streszczenie.
Bardziej szczegółowoIstniejące modele geoidy/quasigeoidy na terenie Polski
Istniejące modele geoidy/quasigeoidy na terenie Polski Jan Kryński Instytut Geodezji i Kartografii Treść prezentacji 1. Wprowadzenie 2. Modele z przez 1989 r. 3. Modele z lat 1989-2002 4. Modele z lat
Bardziej szczegółowoKolorowanie Dywanu Sierpińskiego. Andrzej Szablewski, Radosław Peszkowski
olorowaie Dywau ierpińskiego Adrzej zablewski, Radosław Peszkowski pis treści stęp... Problem kolorowaia... Róże rodzaje kwadratów... osekwecja atury fraktalej...6 zory rekurecyje... Przekształcaie rekurecji...
Bardziej szczegółowoModelowanie pola siły ciężkości oraz jego zmian w czasie na obszarze Polski
Modelowanie pola siły ciężkości oraz jego zmian w czasie na obszarze Polski Jan Kryński Instytut Geodezji i Kartografii, Warszawa Centrum Geodezji i Geodynamiki Plan prezentacji 1) Wprowadzenie 2) Modele
Bardziej szczegółowoParametryczne Testy Istotności
Parametrycze Testy Istotości Wzory Parametrycze testy istotości schemat postępowaia pukt po pukcie Formułujemy hipotezę główą H odośie jakiegoś parametru w populacji geeralej Hipoteza H ma ajczęściej postać
Bardziej szczegółowoĆwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA
Aaliza iepewości pomiarowych w esperymetach fizyczych Ćwiczeia rachuowe TEST ZGODNOŚCI χ PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA UWAGA: Na stroie, z tórej pobrałaś/pobrałeś istrucję zajduje się gotowy do załadowaia arusz
Bardziej szczegółowo1. Wnioskowanie statystyczne. Ponadto mianem statystyki określa się także funkcje zmiennych losowych o
1. Wioskowaie statystycze. W statystyce idetyfikujemy: Cecha-Zmiea losowa Rozkład cechy-rozkład populacji Poadto miaem statystyki określa się także fukcje zmieych losowych o tym samym rozkładzie. Rozkłady
Bardziej szczegółowoGeodezja fizyczna i geodynamika
Geodezja fizyczna i geodynamika Odchylenie pionu Dr inż. Liliana Bujkiewicz 17 czerwca 2017 Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 17 czerwca 2017 1 / 24 Literatura 1 Geodezja współczesna
Bardziej szczegółowoKURS STATYSTYKA. Lekcja 3 Parametryczne testy istotności ZADANIE DOMOWE. Strona 1
KURS STATYSTYKA Lekcja 3 Parametrycze testy istotości ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Stroa Część : TEST Zazacz poprawą odpowiedź (tylko jeda jest prawdziwa). Pytaie Statystykę moża rozumieć jako: a) próbkę
Bardziej szczegółowoModele tendencji rozwojowej STATYSTYKA OPISOWA. Dr Alina Gleska. Instytut Matematyki WE PP. 18 listopada 2017
STATYSTYKA OPISOWA Dr Alia Gleska Istytut Matematyki WE PP 18 listopada 2017 1 Metoda aalitycza Metoda aalitycza przyjmujemy założeie, że zmiay zjawiska w czasie moża przedstawić jako fukcję zmieej czasowej
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne Laboratorium 5 Info
Metody umerycze Laboratorium 5 Ifo Aproksymacja - proces określaia rozwiązań przybliżoych a podstawie rozwiązań zaych, które są bliskie rozwiązaiom dokładym w ściśle sprecyzowaym sesie. Metoda ajmiejszych
Bardziej szczegółowoPodstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych (w zakresie materiału przedstawionego na wykładzie organizacyjnym)
Podstawy opracowaia wyików pomiarów z elemetami aalizepewości pomiarowych (w zakresie materiału przedstawioego a wykładzie orgaizacyjym) Pomiary Wyróżiamy dwa rodzaje pomiarów: pomiar bezpośredi, czyli
Bardziej szczegółowoElementy modelowania matematycznego
Elemety modelowaia matematyczego Wstęp Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU Modelowaie daych (ilościowe): Metody statystycze: estymacja parametrów modelu,
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania ze statystyki matematycznej-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3
L.Kowalski zadaia ze statystyki matematyczej-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3 Zadaie 3. Cecha X populacji ma rozkład N m,. Z populacji tej pobrao próbę 7 elemetową i otrzymao wyiki x7 = 9, 3, s7 =, 5 a Na poziomie
Bardziej szczegółowoTRANSFORMACJA DO UKŁADU 2000 A PROBLEM ZGODNOŚCI Z PRG
Tomasz ŚWIĘTOŃ 1 TRANSFORMACJA DO UKŁADU 2000 A ROBLEM ZGODNOŚCI Z RG Na mocy rozporządzeia Rady Miistrów w sprawie aństwowego Systemu Odiesień rzestrzeych już 31 grudia 2009 roku upływa termi wykoaia
Bardziej szczegółowoINSTRUKCJA NR 06-2 POMIARY TEMPA METABOLIZMU METODĄ TABELARYCZNĄ
LABORATORIUM OCHRONY ŚRODOWISKA - SYSTEM ZARZĄDZANIA JAKOŚCIĄ - INSTRUKCJA NR 06- POMIARY TEMPA METABOLIZMU METODĄ TABELARYCZNĄ 1. Cel istrukcji Celem istrukcji jest określeie metodyki postępowaia w celu
Bardziej szczegółowoProjekt Inżynier mechanik zawód z przyszłością współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Zajęcia wyrówawcze z fizyki -Zestaw 5 -Teoria Optyka geometrycza i optyka falowa. Prawo odbicia i prawo załamaia światła, Bieg promiei świetlych w pryzmacie, soczewki i zwierciadła. Zjawisko dyfrakcji
Bardziej szczegółowoStatystyka i Opracowanie Danych. W7. Estymacja i estymatory. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407
Statystyka i Opracowaie Daych W7. Estymacja i estymatory Dr Aa ADRIAN Paw B5, pok407 ada@agh.edu.pl Estymacja parametrycza Podstawowym arzędziem szacowaia iezaego parametru jest estymator obliczoy a podstawie
Bardziej szczegółowoBADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI
StatSoft Polska, tel. () 484300, (60) 445, ifo@statsoft.pl, www.statsoft.pl BADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI ZA POMOCĄ ANALIZY ROZKŁADÓW Agieszka Pasztyła Akademia Ekoomicza w Krakowie, Katedra Statystyki;
Bardziej szczegółowoKADD Metoda najmniejszych kwadratów
Metoda ajmiejszych kwadratów Pomiary bezpośredie o rówej dokładości o różej dokładości średia ważoa Pomiary pośredie Zapis macierzowy Dopasowaie prostej Dopasowaie wielomiau dowolego stopia Dopasowaie
Bardziej szczegółowoPunktowe procesy niejednorodne
Modelowaie i Aaliza Daych Przestrzeych Wykład 5 Adrzej Leśiak Katedra Geoiformatyki i Iformatyki Stosowaej Akademia Góriczo-Huticza w Krakowie Puktowe procesy iejedorode Jak wcześiej wspomiao, dla procesów
Bardziej szczegółowoROZDZIAŁ 5 WPŁYW SYSTEMU OPODATKOWANIA DOCHODU NA EFEKTYWNOŚĆ PROCESU DECYZYJNEGO
Agieszka Jakubowska ROZDZIAŁ 5 WPŁYW SYSTEMU OPODATKOWANIA DOCHODU NA EFEKTYWNOŚĆ PROCESU DECYZYJNEGO. Wstęp Skąplikowaie współczesego życia gospodarczego powoduje, iż do sterowaia procesem zarządzaia
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA
ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA Mamy populację geeralą i iteresujemy się pewą cechą X jedostek statystyczych, a dokładiej pewą charakterystyką liczbową θ tej cechy (p. średią wartością
Bardziej szczegółowoArkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D.
Arkusz ćwiczeiowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaiach od. do. wybierz i zazacz poprawą odpowiedź. Zadaie. ( pkt) Liczbę moża przedstawić w postaci A. 8. C. 4 8 D. 4 Zadaie. ( pkt)
Bardziej szczegółowoMiary położenia (tendencji centralnej) to tzw. miary przeciętne charakteryzujące średni lub typowy poziom wartości cechy.
MIARY POŁOŻENIA I ROZPROSZENIA WYNIKÓW SERII POMIAROWYCH Miary położeia (tedecji cetralej) to tzw. miary przecięte charakteryzujące średi lub typowy poziom wartości cechy. Średia arytmetycza: X i 1 X i,
Bardziej szczegółowo3. Regresja liniowa Założenia dotyczące modelu regresji liniowej
3. Regresja liiowa 3.. Założeia dotyczące modelu regresji liiowej Aby moża było wykorzystać model regresji liiowej, muszą być spełioe astępujące założeia:. Relacja pomiędzy zmieą objaśiaą a zmieymi objaśiającymi
Bardziej szczegółowoZeszyty naukowe nr 9
Zeszyty aukowe r 9 Wyższej Szkoły Ekoomiczej w Bochi 2011 Piotr Fijałkowski Model zależości otowań giełdowych a przykładzie otowań ołowiu i spółki Orzeł Biały S.A. Streszczeie Niiejsza praca opisuje próbę
Bardziej szczegółowoMetoda analizy hierarchii Saaty ego Ważnym problemem podejmowania decyzji optymalizowanej jest często występująca hierarchiczność zagadnień.
Metoda aalizy hierarchii Saaty ego Ważym problemem podejmowaia decyzji optymalizowaej jest często występująca hierarchiczość zagadień. Istieje wiele heurystyczych podejść do rozwiązaia tego problemu, jedak
Bardziej szczegółowo3. Tworzenie próby, błąd przypadkowy (próbkowania) 5. Błąd standardowy średniej arytmetycznej
PODSTAWY STATYSTYKI 1. Teoria prawdopodobieństwa i elemety kombiatoryki 2. Zmiee losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby daych, estymacja parametrów 4. Testowaie hipotez 5. Testy parametrycze 6. Testy
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM METROLOGII
AKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE Cetrum Iżyierii Ruchu Morskiego LABORATORIUM METROLOGII Ćwiczeie 5 Aaliza statystycza wyików pomiarów pozycji GNSS Szczeci, 010 Zespół wykoawczy: Dr iż. Paweł Zalewski Mgr
Bardziej szczegółowoStatystyka opisowa. () Statystyka opisowa 24 maja / 8
Część I Statystyka opisowa () Statystyka opisowa 24 maja 2010 1 / 8 Niech x 1, x 2,..., x będą wyikami pomiarów, p. temperatury, ciśieia, poziomu rzeki, wielkości ploów itp. Przykład 1: wyiki pomiarów
Bardziej szczegółowoSYSTEM OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN ZASADY POMIARU I OCENY STANU RÓWNOŚCI PODŁUŻNEJ NAWIERZCHNI BITUMICZNYCH W SYSTEMIE OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN
ZAŁĄCZNIK B GENERALNA DYREKCJA DRÓG PUBLICZNYCH Biuro Studiów Sieci Drogowej SYSTEM OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN WYTYCZNE STOSOWANIA - ZAŁĄCZNIK B ZASADY POMIARU I OCENY STANU RÓWNOŚCI PODŁUŻNEJ NAWIERZCHNI
Bardziej szczegółowoAnaliza wyników symulacji i rzeczywistego pomiaru zmian napięcia ładowanego kondensatora
Aaliza wyików symulacji i rzeczywistego pomiaru zmia apięcia ładowaego kodesatora Adrzej Skowroński Symulacja umożliwia am przeprowadzeie wirtualego eksperymetu. Nie kostruując jeszcze fizyczego urządzeia
Bardziej szczegółowoGeodezja fizyczna. Potencjał normalny. Potencjał zakłócajacy. Dr inż. Liliana Bujkiewicz. 8 listopada 2018
Geodezja fizyczna Potencjał normalny. Potencjał zakłócajacy. Dr inż. Liliana Bujkiewicz 8 listopada 2018 Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna 8 listopada 2018 1 / 24 Literatura 1 Geodezja współczesna
Bardziej szczegółowoPodstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych
Podstawy opracowaia wyików pomiarów z elemetami aalizepewości pomiarowych w zakresie materiału przedstawioego a wykładzie orgaizacyjym Pomiary Wyróżiamy dwa rodzaje pomiarów: pomiar bezpośredi, czyli doświadczeie,
Bardziej szczegółowoNiepewności pomiarowe
Niepewości pomiarowe Obserwacja, doświadczeie, pomiar Obserwacja zjawisk fizyczych polega a badaiu ych zjawisk w warukach auralych oraz a aalizie czyików i waruków, od kórych zjawiska e zależą. Waruki
Bardziej szczegółowoSiłownie ORC sposobem na wykorzystanie energii ze źródeł niskotemperaturowych.
Siłowie ORC sposobem a wykorzystaie eergii ze źródeł iskotemperaturowych. Autor: prof. dr hab. Władysław Nowak, Aleksadra Borsukiewicz-Gozdur, Zachodiopomorski Uiwersytet Techologiczy w Szczeciie, Katedra
Bardziej szczegółowoDefinicja interpolacji
INTERPOLACJA Defiicja iterpolacji Defiicja iterpolacji 3 Daa jest fukcja y = f (x), x[x 0, x ]. Zamy tablice wartości tej fukcji, czyli: f ( x ) y 0 0 f ( x ) y 1 1 Defiicja iterpolacji Wyzaczamy fukcję
Bardziej szczegółowoStatystyka opisowa - dodatek
Statystyka opisowa - dodatek. *Jak obliczyć statystyki opisowe w dużych daych? Liczeie statystyk opisowych w dużych daych może sprawiać problemy. Dla przykładu zauważmy, że aiwa implemetacja średiej arytmetyczej
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 11
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD Szeregi potęgowe Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C jeżeli jest -krotie różiczkowala i jej -ta pochoda jest fukcją ciągłą. Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C, jeżeli jest
Bardziej szczegółowoMETODYKA WYKONYWANIA POMIARÓW ORAZ OCENA NIEPEWNOŚCI I BŁĘDÓW POMIARU
METODYKA WYKONYWANIA POMIARÓW ORAZ OCENA NIEPEWNOŚCI I BŁĘDÓW POMIARU Celem każdego ćwiczeia w laboratorium studeckim jest zmierzeie pewych wielkości, a astępie obliczeie a podstawie tych wyików pomiarów
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ
WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ LABORATORIUM RACHUNEK EKONOMICZNY W ELEKTROENERGETYCE INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA
Bardziej szczegółowoVII MIĘDZYNARODOWA OLIMPIADA FIZYCZNA (1974). Zad. teoretyczne T3.
KOOF Szczeci: www.of.szc.pl VII MIĘDZYNAODOWA OLIMPIADA FIZYCZNA (1974). Zad. teoretycze T3. Źródło: Komitet Główy Olimpiady Fizyczej; Olimpiada Fizycza XXIII XXIV, WSiP Warszawa 1977 Autor: Waldemar Gorzkowski
Bardziej szczegółowoStruktura czasowa stóp procentowych (term structure of interest rates)
Struktura czasowa stóp procetowych (term structure of iterest rates) Wysokość rykowych stóp procetowych Na ryku istieje wiele różorodych stóp procetowych. Poziom rykowej stopy procetowej (lub omialej stopy,
Bardziej szczegółowoANALIZA SKORELOWANIA WYNIKÓW POMIAROWYCH W OCENACH STANU ZAGROŻEŃ HAŁASOWYCH ŚRODOWISKA
SYSTEMY WSPOMAGANIA W INŻYNIERII PRODUKCJI Środowisko i Bezpieczeństwo w Iżyierii Produkcji 2013 5 ANALIZA SKORELOWANIA WYNIKÓW POMIAROWYCH W OCENACH STANU ZAGROŻEŃ HAŁASOWYCH ŚRODOWISKA 5.1 WPROWADZENIE
Bardziej szczegółowoĆwiczenia nr 5. TEMATYKA: Regresja liniowa dla prostej i płaszczyzny
TEMATYKA: Regresja liiowa dla prostej i płaszczyzy Ćwiczeia r 5 DEFINICJE: Regresja: metoda statystycza pozwalająca a badaie związku pomiędzy wielkościami daych i przewidywaie a tej podstawie iezaych wartości
Bardziej szczegółowoWERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część I. Matematyka finansowa
Matematyka fiasowa 8.05.0 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy LX Egzami dla Aktuariuszy z 8 maja 0 r. Część I Matematyka fiasowa WERJA EU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:... Czas egzamiu: 00 miut
Bardziej szczegółowoOpracowanie danych pomiarowych. dla studentów realizujących program Pracowni Fizycznej
Opracowaie daych pomiarowych dla studetów realizujących program Pracowi Fizyczej Pomiar Działaie mające a celu wyzaczeie wielkości mierzoej.. Do pomiarów stosuje się przyrządy pomiarowe proste lub złożoe.
Bardziej szczegółowoPODSTAWY BIOSTATYSTYKI ĆWICZENIA
PODSTAWY BIOSTATYSTYKI ĆWICZENIA FILIP RACIBORSKI FILIP.RACIBORSKI@WUM.EDU.PL ZAKŁAD PROFILAKTYKI ZAGROŻEŃ ŚRODOWISKOWYCH I ALERGOLOGII WUM ZADANIE 1 Z populacji wyborców pobrao próbkę 1000 osób i okazało
Bardziej szczegółowoMateriał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012
Materiał ćwiczeiowy z matematyki Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr zad 3 5 6 7 8 9 0
Bardziej szczegółowoEstymacja: Punktowa (ocena, błędy szacunku) Przedziałowa (przedział ufności)
IV. Estymacja parametrów Estymacja: Puktowa (ocea, błędy szacuku Przedziałowa (przedział ufości Załóżmy, że rozkład zmieej losowej X w populacji geeralej jest opisay dystrybuatą F(x;α, gdzie α jest iezaym
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum
MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturaly wraz ze schematem oceiaia dla klasy II Liceum Propozycja zadań maturalych sprawdzających opaowaie wiadomości i umiejętości matematyczych z zakresu
Bardziej szczegółowoĆwiczenie nr 14. Porównanie doświadczalnego rozkładu liczby zliczeń w zadanym przedziale czasu z rozkładem Poissona
Ćwiczeie r 4 Porówaie doświadczalego rozkładu liczby zliczeń w zadaym przedziale czasu z rozkładem Poissoa Studeta obowiązuje zajomość: Podstawowych zagadień z rachuku prawdopodobieństwa, Zajomość rozkładów
Bardziej szczegółowox 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem
9.1. Izomorfizmy algebr.. Wykład Przykłady: 13) Działaia w grupach często wygodie jest zapisywać w tabelkach Cayleya. Na przykład tabelka działań w grupie Z 5, 5) wygląda astępująco: 5 1 3 1 1 3 1 3 3
Bardziej szczegółowoWYZNACZENIE CHARAKTERYSTYK STATYCZNYCH PRZETWORNIKÓW POMIAROWYCH
Zakład Metrologii i Systemów Pomiarowych P o l i t e c h i k a P o z ańska ul. Jaa Pawła II 4 60-96 POZNAŃ (budyek Cetrum Mechatroiki, Biomechaiki i Naoiżerii) www.zmisp.mt.put.poza.pl tel. +48 6 66 3
Bardziej szczegółowoINSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW
INSTYTUT MASZYN I URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH Politechika Śląska w Gliwicach INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW BADANIE ODKSZTAŁCEŃ SPRĘŻYNY ŚRUBOWEJ Opracował: Dr iż. Grzegorz
Bardziej szczegółowoModa (Mo, D) wartość cechy występującej najczęściej (najliczniej).
Cetrale miary położeia Średia; Moda (domiata) Mediaa Kwatyle (kwartyle, decyle, cetyle) Moda (Mo, D) wartość cechy występującej ajczęściej (ajlicziej). Mediaa (Me, M) dzieli uporządkoway szereg liczbowy
Bardziej szczegółowoI PRACOWNIA FIZYCZNA, UMK TORUŃ WYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO ZA POMOCĄ WAHADŁA RÓŻNICOWEGO
I PRACOWNIA FIZYCZNA, UMK TORUŃ Istrukcja do ćwiczeia r WYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO ZA POMOCĄ WAHADŁA RÓŻNICOWEGO Istrukcję wykoał Mariusz Piwiński I. Cel ćwiczeia. pozaie ruchu harmoiczeo oraz
Bardziej szczegółowoWykład. Inwestycja. Inwestycje. Inwestowanie. Działalność inwestycyjna. Inwestycja
Iwestycja Wykład Celowo wydatkowae środki firmy skierowae a powiększeie jej dochodów w przyszłości. Iwestycje w wyiku użycia środków fiasowych tworzą lub powiększają majątek rzeczowy, majątek fiasowy i
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA. Wykład wstępy. Teoria prawdopodobieństwa i elemety kombiatoryki 3. Zmiee losowe 4. Populacje i próby daych 5. Testowaie hipotez i estymacja parametrów 6. Test t 7. Test 8. Test
Bardziej szczegółowoMETODY NUMERYCZNE dr inż. Mirosław Dziewoński
Metody Numerycze METODY NUMERYCZNE dr iż. Mirosław Dziewoński e-mail: miroslaw.dziewoski@polsl.pl Pok. 151 Wykład /1 Metody Numerycze Aproksymacja fukcji jedej zmieej Wykład / Aproksymacja fukcji jedej
Bardziej szczegółowoZadanie 2 Niech,,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznym rozkładzie,.
Z adaie Niech,,, będą iezależymi zmieymi losowymi o idetyczym rozkładzie ormalym z wartością oczekiwaą 0 i wariacją. Wyzaczyć wariację zmieej losowej. Wskazówka: pokazać, że ma rozkład Γ, ODP: Zadaie Niech,,,
Bardziej szczegółowoACTA SCIENTIARUM POLONORUM
ACTA SCIENTIARUM POLONORUM Czasopismo naukowe założone w 2001 roku przez polskie uczelnie rolnicze Geodesia et Descriptio Terrarum Geodezja i Kartografia 8(1) 2009 Bydgoszcz Kraków Lublin Olsztyn Poznań
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego
Przkładowe zadaia dla poziomu rozszerzoego Zadaie. ( pkt W baku w pierwszm roku oszczędzaia stopa procetowa bła rówa p%, a w drugim roku bła o % iższa. Po dwóch latach, prz roczej kapitalizacji odsetek,
Bardziej szczegółowoPOLITECHNIKA ŚLĄSKA, WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY, INSTYTUT ELEKTROTECHNIKI I INFORMATYKI. Wykresy w Excelu TOMASZ ADRIKOWSKI GLIWICE,
POLITECHNIKA ŚLĄSKA, WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY, INSTYTUT ELEKTROTECHNIKI I INFORMATYKI Wykresy w Excelu TOMASZ ADRIKOWSKI GLIWICE, -- EXCEL Wykresy. Kolumę A, B wypełić serią daych: miesiąc, średia temperatura.
Bardziej szczegółowoEgzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania
zadaia Egzamiy wstępe a wyższe uczelie 003 I. Akademia Ekoomicza we Wrocławiu. Rozwiąż układ rówań Æ_ -9 y - 5 _ y = 5 _ -9 _. Dla jakiej wartości parametru a suma kwadratów rozwiązań rzeczywistych rówaia
Bardziej szczegółowo2. Schemat ideowy układu pomiarowego
1. Wiadomości ogóle o prostowikach sterowaych Układy prostowikowe sterowae są przekształtikami sterowaymi fazowo. UmoŜliwiają płya regulację średiej wartości apięcia wyprostowaego, a tym samym średiej
Bardziej szczegółowoSTATYSTYCZNA OCENA WYNIKÓW POMIARÓW.
Statytycza ocea wyików pomiaru STATYSTYCZNA OCENA WYNIKÓW POMIARÓW CEL ĆWICZENIA Celem ćwiczeia jet: uświadomieie tudetom, że każdy wyik pomiaru obarczoy jet błędem o ie zawze zaej przyczyie i wartości,
Bardziej szczegółowoc 2 + d2 c 2 + d i, 2
3. Wykład 3: Ciało liczb zespoloych. Twierdzeie 3.1. Niech C R. W zbiorze C określamy dodawaie: oraz możeie: a, b) + c, d) a + c, b + d) a, b) c, d) ac bd, ad + bc). Wówczas C, +, ) jest ciałem, w którym
Bardziej szczegółowoTRANZYSTORY POLOWE JFET I MOSFET
POLTECHNKA RZEZOWKA Kaedra Podsaw Elekroiki srukcja Nr5 F 00/003 sem. lei TRANZYTORY POLOWE JFET MOFET Cel ćwiczeia: Pomiar podsawowych charakerysyk i wyzaczeie paramerów określających właściwości razysora
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17
Egzami, 18.02.2017, godz. 9:00-11:30 Zadaie 1. (22 pukty) W każdym z zadań 1.1-1.10 podaj w postaci uproszczoej kresy zbioru oraz apisz, czy kresy ależą do zbioru (apisz TAK albo NIE, ewetualie T albo
Bardziej szczegółowoZmiany w czasie pola siły ciężkości mechanizmy, monitorowanie, zastosowania, perspektywy Jan Kryński
Zmiany w czasie pola siły ciężkości mechanizmy, monitorowanie, zastosowania, perspektywy Jan Kryński Instytut Geodezji i Kartografii Treść prezentacji 1. Mechanizmy zmian w czasie pola siły ciężkości 2.
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Marek Lefik. Wykład 1 Studia doktoranckie
Metody umerycze Marek Lefik Wykład 1 Studia doktorackie 01-013 Metody umerycze: wstęp ogóly Czemu służą MN Rozwiązaia symbolicze zagadień brzegowych dla skomplikowaej geometrii ie jest możliwe Rozwiązaia
Bardziej szczegółowoTrzeba pokazać, że dla każdego c 0 c Mc 0. ) = oraz det( ) det( ) det( ) jest macierzą idempotentną? Proszę odpowiedzieć w
Zad Dae są astępujące macierze: A =, B, C, D, E 0. 0 = = = = 0 Wykoaj astępujące działaia: a) AB, BA, C+E, DE b) tr(a), tr(ed), tr(b) c) det(a), det(c), det(e) d) A -, C Jeśli działaia są iewykoale, to
Bardziej szczegółowoPodstawy chemii. Natura pomiaru. masa 20 ± 1 g
Podstawy chemii ) Sposoby badań obiektów (6 h) pomiar i jego atura klasycza aaliza jakościowa i ilościowa obliczeia rówowagi i ph metody aalizy promieiowaie elektromagetycze kwatowa atura atomu oddziaływaie
Bardziej szczegółowoPrzemysław Jaśko Wydział Ekonomii i Stosunków Międzynarodowych, Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie
MODELE SCORINGU KREDYTOWEGO Z WYKORZYSTANIEM NARZĘDZI DATA MINING ANALIZA PORÓWNAWCZA Przemysław Jaśko Wydział Ekoomii i Stosuków Międzyarodowych, Uiwersytet Ekoomiczy w Krakowie 1 WROWADZENIE Modele aplikacyjego
Bardziej szczegółowoEgzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011
Egzami maturaly z matematyki CZERWIEC 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Poziom podstawowy czerwiec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr
Bardziej szczegółowoLista 6. Estymacja punktowa
Estymacja puktowa Lista 6 Model metoda mometów, rozkład ciągły. Zadaie. Metodą mometów zaleźć estymator iezaego parametru a w populacji jedostajej a odciku [a, a +. Czy jest to estymator ieobciążoy i zgody?
Bardziej szczegółowoPierwiastki z liczby zespolonej. Autorzy: Agnieszka Kowalik
Pierwiastki z liczby zespoloej Autorzy: Agieszka Kowalik 09 Pierwiastki z liczby zespoloej Autor: Agieszka Kowalik DEFINICJA Defiicja : Pierwiastek z liczby zespoloej Niech będzie liczbą aturalą. Pierwiastkiem
Bardziej szczegółowoO pewnych zastosowaniach rachunku różniczkowego funkcji dwóch zmiennych w ekonomii
O pewych zastosowaiach rachuku różiczkowego fukcji dwóch zmieych w ekoomii 1 Wielkość wytwarzaego dochodu arodowego D zależa jest od wielkości produkcyjego majątku trwałego M i akładów pracy żywej Z Fukcję
Bardziej szczegółowoWzór Taylora. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Wzór Taylora Szeregi potęgowe Matematyka Studium doktorackie KAE SGH Semestr leti 8/9 R. Łochowski Graica fukcji w pukcie Niech f: R D R, R oraz istieje ciąg puktów D, Fukcja f ma w pukcie graicę dowolego
Bardziej szczegółowoStatystyka opisowa. (n m n m 1 ) h (n m n m 1 ) + (n m n m+1 ) 2 +1), gdy n jest parzyste
Statystyka opisowa Miary statystycze: 1. miary położeia a) średia z próby x = 1 x = 1 x = 1 x i - szereg wyliczający x i i - szereg rozdzielczy puktowy x i i - szereg rozdzielczy przedziałowy, gdzie x
Bardziej szczegółowoAPROKSYMACJA I INTERPOLACJA. funkcja f jest zbyt skomplikowana; użycie f w dalszej analizie problemu jest trudne
APROKSYMACJA I INTERPOLACJA Przybliżeie fucji f(x) przez ią fucję g(x) fucja f jest zbyt sompliowaa; użycie f w dalszej aalizie problemu jest trude fucja f jest zaa tylo tabelaryczie; wymagaa jest zajomość
Bardziej szczegółowoZESZYTY NAUKOWE NR 11(83) AKADEMII MORSKIEJ W SZCZECINIE. Analiza dokładności wskazań obiektów nawodnych. Accuracy Analysis of Sea Objects
ISSN 1733-8670 ZESZYTY NAUKOWE NR 11(83) AKADEMII MORSKIEJ W SZCZECINIE IV MIĘDZYNARODOWA KONFERENCJA NAUKOWO-TECHNICZNA E X P L O - S H I P 2 0 0 6 Adrzej Burzyński Aaliza dokładości wskazań obiektów
Bardziej szczegółowoSYSTEM KOMPUTEROWY UŁATWIAJĄCY WYKORZYSTANIE INFORMACJI O ZJAWISKACH SOCJALNO-EKONOMICZNYCH PRZY WYBORZE FIRM INWESTUJĄCYCH NA DANYM TERENIE
Autoreferat rozprawy doktorskiej SYSTEM KOMPUTEROWY UŁATWIAJĄCY WYKORZYSTANIE INFORMACJI O ZJAWISKACH SOCJALNO-EKONOMICZNYCH PRZY WYBORZE FIRM INWESTUJĄCYCH NA DANYM TERENIE mgr iŝ. Jausz Rybarski PROMOTOR:
Bardziej szczegółowo8. Optymalizacja decyzji inwestycyjnych
8. Optymalizacja decyzji iwestycyjych 8. Wprowadzeie W wielu różych sytuacjach, w tym rówież w czasie wyboru iwestycji do realizacji, podejmujemy decyzje. Sytuacje takie azywae są sytuacjami decyzyjymi.
Bardziej szczegółowoANALIZA ZJAWISKA STARZENIA SIĘ LUDNOŚCI ŚLĄSKA W UJĘCIU PRZESTRZENNYM
Katarzya Zeug-Żebro Uiwersytet Ekoomiczy w Katowicach Katedra Matematyki katarzya.zeug-zebro@ue.katowice.pl ANALIZA ZJAWISKA STARZENIA SIĘ LUDNOŚCI ŚLĄSKA W UJĘCIU PRZESTRZENNYM Wprowadzeie Zjawisko starzeia
Bardziej szczegółowoLaboratorium Sensorów i Pomiarów Wielkości Nieelektrycznych. Ćwiczenie nr 1
1. Cel ćwiczeia: Laboratorium Sesorów i Pomiarów Wielkości Nieelektryczych Ćwiczeie r 1 Pomiary ciśieia Celem ćwiczeia jest zapozaie się z kostrukcją i działaiem czujików ciśieia. W trakcie zajęć laboratoryjych
Bardziej szczegółowoSafeTest 60 Prosty, solidny i ekonomiczny tester bezpieczeństwa elektrycznego urządzeń medycznych.
SafeTest 60 Prosty, solidy i ekoomiczy tester bezpieczeństwa elektryczego urządzeń medyczych. Rigel SafeTest 60 to solidy, iezawody, medyczy aalizator bezpieczeństwa elektryczego. Idealy do testowaia dużej
Bardziej szczegółowo2. ANALIZA BŁĘDÓW I NIEPEWNOŚCI POMIARÓW
. ANALIZA BŁĘDÓW I NIEPEWNOŚCI POMIARÓW Z powodu iedokładości przyrządów i metod pomiarowych, iedoskoałości zmysłów, iekotrolowaej zmieości waruków otoczeia (wielkości wpływających) i iych przyczy, wyik
Bardziej szczegółowoMateriały do wykładu 4 ze Statystyki
Materiały do wykładu 4 ze Statytyki CHARAKTERYSTYKI LICZBOWE STRUKTURY ZBIOROWOŚCI (dok.) 1. miary położeia - wykład 2 2. miary zmieości (dyperji, rozprozeia) - wykład 3 3. miary aymetrii (kośości) 4.
Bardziej szczegółowo