Modele wzrostu gospodarczego

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Modele wzrostu gospodarczego"

Transkrypt

1 Mariusz Próchniak Katedra Ekonomii II Szkoła Główna Handlowa w Warszawie Modele wzrostu gospodarczego Materiał do zajęć z przedmiotu Teoria wzrostu

2 . Wprowadzenie Poniższe opracowanie zawiera przegląd modeli wzrostu gospodarczego. Struktura tego opracowania jest zgodna z ogólnie przyjętą konwencją podziału modeli wzrostu na modele neoklasyczne i endogeniczne, zaliczane do tzw. nowej teorii wzrostu. O ile ustalenie ogólnej struktury opracowania nie było problemem, o tyle trudności pojawiły się przy wyznaczaniu dokładnego kształtu niniejszego tekstu. Wynikały one z obszerności literatury dotyczącej omawianego tematu i z braku jednej powszechnie stosowanej klasyfikacji modeli wzrostu w ramach każdej z obu grup. W opracowaniu zdecydowaliśmy się przedstawić modele uznane za kluczowe w ramach każdej z grup. I tak, w grupie ujęć neoklasycznych zostały przedstawione w swojej najbardziej typowej formie modele Solowa, Ramseya i Diamonda, tj. trzy powszechnie powoływane modele neoklasyczne. W grupie koncepcji endogenicznych omówione zostały modele Romera, Lucasa, Rebelo oraz Aghiona i Howitta, stanowiące podstawę nowej teorii wzrostu. Na końcu zaprezentowany został model Mankiwa-Romera-Weila, którego nie można zaliczyć do ujęć endogenicznych, gdyż opiera się na modelu Solowa, lecz z racji uwzględnienia kapitału ludzkiego zaliczany jest do nowej teorii wzrostu. Mimo że w literaturze pojawia się wiele innych modeli z obu grup, to jednak w większości opierają się one lub rozszerzają przedstawione tutaj najważniejsze podejścia i m. in. dlatego nie uwzględniamy ich w niniejszym opracowaniu. Opracowanie zawiera ogólne spojrzenie na kierunki rozwoju teorii wzrostu oraz szczegółową analizę najważniejszych modeli. Opis poszczególnych modeli jest dokonywany według podobnego schematu: począwszy od założeń, poprzez metodę rozwiązania, a skończywszy na analizie stanu równowagi długookresowej oraz ewentualnie dynamiki okresu przejściowego. W szczególności nacisk został położony na pokazanie, jaką odpowiedź dają modele wzrostu na następujące pytania: a) od czego zależy długookresowy wzrost gospodarczy i różnice w poziomie dochodów między krajami; b) czy model potwierdza występowanie zjawiska konwergencji, a jeśli tak, to jaki jest współczynnik zbieżności do stanu równowagi długookresowej; c) czy model dopuszcza występowanie zjawiska dynamicznej nieefektywności. Tekst ten jest dość sformalizowany. Wynika to stąd, że każdy model staraliśmy się opisać bardzo szczegółowo: począwszy od założeń, a skończywszy na analizie stanu równowagi Najważniejszymi publikacjami zawierającymi przegląd modeli wzrostu gospodarczego są: Barro, Sala-i-Martin (995, 2003), Aghion, Durlauf (2005), Aghion, Howitt (998) oraz Grossman, Helpman (993). Struktura tego opracowania jest najbliższa pierwszej z wyżej wymienionych pozycji. 2

3 długookresowej i dynamiki okresu przejściowego. Jednak biorąc pod uwagę to, że niektóre wzory matematyczne mogą być mało przejrzyste, w przypadku ważniejszych równań podajemy też słowne wyjaśnienie ich znaczenia. Przedstawione w tym opracowaniu modele wzrostu gospodarczego są przede wszystkim dziełem ekonomistów brytyjskich i amerykańskich. Nie oznacza to jednak, że wkład polskich ekonomistów w teorię wzrostu gospodarczego był znikomy. Najbardziej znanym modelem wzrostu gospodarczego opracowanym przez polskiego ekonomistę był model Kaleckiego (962), rozwinięty następnie przez Gomułkę, Ostaszewskiego i Daviesa (990). Z modelu tego wynika, że w krajach o niskich stopach innowacji (a do takich można zaliczyć kraje postsocjalistyczne) faktyczne tempo wzrostu gospodarczego może być trwale niższe od potencjalnego, ponieważ produkcja jest ograniczana przez popyt. W takich warunkach głównymi determinantami wzrostu PKB są czynniki popytowe. Zgodnie z rozszerzoną wersją modelu Kaleckiego gospodarka napotka ograniczenia podażowe dopiero wtedy, gdy stopa innowacji przekroczy pewną wartość graniczną. Podejście Kaleckiego nie zyskało jednak tak szerokiej akceptacji jak np. model Solowa. 2 Opracowanie składa się z 4 punktów. Po wprowadzeniu, w punkcie 2 zostały omówione neoklasyczne modele Solowa, Ramseya i Diamonda. Punkt 3 przedstawia modele zaliczane do nowej teorii wzrostu: model learning-by-doing Romera, model Lucasa, model Rebelo, model Romera ze zwiększającą się liczbą dóbr, model Aghiona-Howitta z poprawiającą się jakością dóbr oraz model Mankiwa-Romera-Weila. Punkt 4 zawiera najważniejsze wnioski. 2 Współczesnym wkładem polskich ekonomistów do modelowania wzrostu gospodarczego są m. in. następujące teoretyczne opracowania: Tokarski (996, 998, 2002, 2003, 2007ab), Liberda (996), Domański (2000), Welfe (2000), Panek (2005), Kruszewski (2006), Stanek (2006), Zajączkowska-Jakimiak (2006). 3

4 2. Modele neoklasyczne Pierwsze prace obejmujące swoją tematyką zagadnienia związane ze wzrostem gospodarczym pochodzą z XVIII i XIX wieku. W tym okresie Adam Smith (776 r.), Thomas Malthus (798 r.), David Ricardo (87 r.) oraz wiele lat później Frank Ramsey, Allyn Young (oboje 928 r.), Joseph Schumpeter (934 r.) i Frank Knight (944 r.) dostarczyli wiele elementów wykorzystywanych we współczesnych modelach wzrostu. W swoich pracach analizują oni m. in. doskonale konkurencyjne zachowania przedsiębiorstw oraz równowagę całej gospodarki w ujęciu dynamicznym. Omawiają rolę prawa malejących przychodów w procesie akumulacji kapitału fizycznego i ludzkiego. Przedstawiają wzajemne zależności między dochodem na mieszkańca a stopą wzrostu liczby ludności. Uwzględniają efekty postępu technicznego w postaci wzrostu specjalizacji pracy oraz odkrywania nowych dóbr i technologii. Wskazują, że monopolizacja może być bodźcem do rozwoju technologicznego (Barro, Sala-i-Martin, 995, s. 9). W niniejszym opracowaniu nie będziemy zapuszczać się jednak w odległą historię i skupimy się na współczesnych modelach wzrostu. Pierwszym ekonomistą, który sformalizował analizę zjawiska wzrostu gospodarczego, był Robert Solow (Solow, 956). Przedstawiony przez niego model, wprowadzający do teorii wzrostu neoklasyczną funkcję produkcji, zapoczątkował erę neoklasycznych modeli wzrostu gospodarczego. Neoklasyczna postać funkcji produkcji zakładała stałe przychody ze skali oraz malejącą krańcową produkcyjność kapitału. Model Solowa aż po dzień dzisiejszy stanowi podstawę teorii wzrostu. Trzeba jednak pamiętać, że już wcześniej pojawiły się istotne prace z zakresu współczesnej teorii wzrostu. W latach 939 i 946 zostały opublikowane prace Roya Harroda (Harrod, 939) oraz Evseya Domara (Domar, 946). Ekonomiści ci próbowali połączyć keynesowską analizę gospodarki z elementami wzrostu gospodarczego. Zgodnie z modelem Harroda-Domara, tempo wzrostu gospodarczego jest wprost proporcjonalne do stopy inwestycji (równej stopie oszczędności) i odwrotnie zależne od krańcowej kapitałochłonności produkcji. Opisuje to następujące równanie: g y s =, k gdzie: g y tempo wzrostu realnego PKB, s stopa inwestycji (stopa oszczędności), k współczynnik kapitałochłonności produkcji (nakład inwestycji na jednostkę przyrostu dochodu narodowego). 4

5 W 928 r. został opublikowany artykuł Franka Ramseya o optymalnym poziomie oszczędności narodów. Obecnie model Ramseya jest powszechnie zaliczany do ujęć neoklasycznych. Jednak model ten uzyskał znaczącą akceptację wśród ekonomistów dopiero na początku lat sześćdziesiątych, po pojawieniu się modelu Solowa, a więc około 30 lat po swym powstaniu. Do grupy neoklasycznej zaliczamy również model Diamonda (Diamond, 965). Modele neoklasyczne mają jedną wspólną wadę. Otóż nie wyjaśniają one dobrze długookresowego wzrostu gospodarczego. Ten bowiem zależy od szeroko rozumianego postępu technicznego, który ma charakter egzogeniczny. Pożądaną własnością modelu wzrostu byłaby natomiast endogenizacja postępu technicznego, tak aby wzrost gospodarczy można było wyjaśniać w ramach modelu, a nie żeby pochodził on z zewnątrz. Koncepcje neoklasyczne (w swojej podstawowej postaci) nienajlepiej radzą sobie także z wyjaśnianiem różnic w poziomie dochodów między krajami. Różnice w poziomach kapitału są w rzeczywistości o wiele za małe, żeby można było mówić o wielkości kapitału fizycznego jako o przyczynie występowania różnic w dochodach. Na przykład, z modelu Solowa wynika, że jeżeli produkt na pracownika w Stanach Zjednoczonych jest 0-krotnie wyższy niż w Indiach, to odpowiadać temu powinna 000-krotna różnica w wielkości kapitału (przy założeniu, że część dochodu przypadająca kapitałowi wynosi / 3 ). Tak duże różnice w poziomach kapitału jednak nie występują. Modele Ramseya (o nieskończonym horyzoncie czasowym) i Diamonda (dwupokoleniowy, o skończonym horyzoncie czasowym) różnią się od modelu Solowa tym, że stopa oszczędności nie jest egzogeniczna, lecz kształtuje się endogenicznie w ramach modelu i zależy od decyzji gospodarstw domowych co do optymalnego podziału swoich dochodów między konsumpcję i oszczędności w poszczególnych okresach. Dzięki uwzględnieniu problemu maksymalizacji użyteczności podejścia te pozwalają lepiej analizować kwestie dobrobytu niż model Solowa, jednak w zasadniczych kwestiach, takich jak m. in. określenie determinant długookresowego wzrostu gospodarczego, nie różnią się istotnie od niego. Przedstawimy teraz szczegółowo trzy podstawowe modele neoklasyczne: model Solowa, model Ramseya oraz model Diamonda. 5

6 2.. Model Solowa Model Solowa, nazywany również modelem Solowa-Swana, został stworzony przez Roberta Solowa (Solow, 956) i Trevora Swana (Swan, 956). W niniejszym opracowaniu przedstawiamy model Solowa z postępem technicznym zasilającym pracę. Oznaczmy symbolem F funkcję produkcji. Czynnikami produkcji są: kapitał fizyczny K(t) oraz efektywny zasób pracy A(t)L(t), będący iloczynem techniki (poziomu wiedzy) A(t) i liczby ludności (siły roboczej) L(t): 3 ( ) ( ) ( ) F( K t, A t L t ). [a.] Funkcja produkcji wykazuje stałe przychody względem obydwu czynników produkcji (kapitału i efektywnego zasobu pracy) oraz malejącą krańcową produkcyjność kapitału. Jedną z funkcji spełniających te założenia jest funkcja produkcji Cobba-Douglasa: ( (), () ()) () () () α α F K t A t L t = K t A t L t, [a.2] gdzie 0 < α <. Technika oraz liczba ludności rosną w stałych tempach, równych odpowiednio a i n, kształtujących się egzogenicznie: 4 () () At & At = a oraz ( ) () Lt & Lt = n. [a.3] Przyrost kapitału jest równy inwestycjom (oszczędnościom) pomniejszonym o amortyzację: ( ) ( ) () ( ), ( ) ( ) K& t = sf K t A t L t δ K t, [a.4] gdzie s to egzogeniczna stopa oszczędności, a δ jest stopą amortyzacji kapitału. Analizę dynamiki gospodarki przeprowadzamy dla wielkości kapitału i produkcji na jednostkę efektywnej pracy, oznaczonych odpowiednio k(t) i f(k(t)): 5 (, ) K F K AL K AL k oraz f ( k) = F, = F( k,) = f ( k) AL AL AL AL. [a.5] W celu znalezienia równania opisującego dynamikę gospodarki różniczkujemy względem czasu definicję k (równanie [a.5]) i następnie wykorzystujemy równania [a.3], [a.4] i [a.5]. W efekcie otrzymujemy: 3 W swoim podstawowym modelu Robert Solow zakładał brak postępu technicznego produkcja zależała tylko od wielkości kapitału i pracy. Solow wprowadził postęp techniczny do funkcji produkcji w rozszerzonej wersji swojego modelu. Postęp ten miał jednak charakter neutralny (według Hicksa), tzn. zmienna reprezentująca poziom techniki występowała w iloczynie z funkcją produkcji: A(t) F(K(t),L(t)). W niniejszym opracowaniu analizujemy funkcję produkcji z postępem zasilającym pracę (neutralnym w sensie Harroda), gdyż taka specyfikacja funkcji produkcji charakteryzuje się lepszymi własnościami w analizie dynamiki modelu. Można także uwzględniać funkcję produkcji z postępem technicznym zasilającym kapitał: F(A(t)K(t),L(t)). 4 Kropka nad daną zmienną oznacza jej pochodną po czasie. 5 W dalszej części opracowania pomijamy indeksy czasowe t przy zmiennych zależnych od czasu w celu zachowania przejrzystości przedstawianych obliczeń. 6

7 ( ) ( ) k& = sf k n+ a+δ k. [a.6] Powyższe równanie jest podstawową formułą opisującą dynamikę gospodarki w modelu Solowa. Przyrost kapitału na jednostkę efektywnej pracy jest równy faktycznym inwestycjom sf(k) pomniejszonym o inwestycje restytucyjne (n + a + δ)k. Uwzględniając to, że krańcowy produkt kapitału jest dodatni i maleje (f (k) > 0 i f (k) < 0), oraz fakt, że brak nakładów skutkuje brakiem produkcji (f(0) = 0), jak również wprowadzając dodatkowe założenia co do pożądanego kształtu funkcji produkcji, tzw. warunki Inady (Inada, 963) (lim k f (k) = 0; lim k 0 f (k) = ), dynamikę gospodarki oraz stan równowagi długookresowej możemy wyznaczyć w postaci graficznej. Ilustruje to rysunek.. Rysunek. Okres przejściowy i stan ustalony w modelu Solowa f ( k *) ( ( 0) ) f k k & k & k & c * sf ( k *) f ( k ) ( + + δ ) n a k sf ( k ) ( 0) k ( ) ( ) k k 2 k * k Równowaga długookresowa (stan ustalony) 6 występuje w punkcie przecięcia się krzywych sf(k) i (n + a + δ)k. W punkcie tym kapitał i produkcja na jednostkę efektywnej pracy nie zmieniają się w czasie (z [a.6] wynika bowiem, że jeśli sf(k) = (n + a + δ)k, to dk/dt = 0). Jak zatem w stanie ustalonym zmieniają się PKB ogółem (Y = F(K,AL)) i PKB na mieszkańca (Y/L)? W celu odpowiedzi na to pytanie należy zróżniczkować względem czasu równania definicyjne Y f(k)al i Y/L f(k)a (zob. [a.5]). W efekcie otrzymujemy: ( ) ( ) Y& f& k A& L& = + + Y f k A L oraz ( ) ( ) Y &/ L f& k A& = +. [a.7] Y / L f k A W stanie ustalonym produkcja na jednostkę efektywnej pracy nie zmienia się (df/dt/f = 0), zaś technika i siła robocza rosną w stałych tempach równych odpowiednio a i n. Doszliśmy tym 6 Ang. steady-state, tłumaczony także jako stan stacjonarny lub stan równowagi dynamicznej. 7

8 samym do dwóch ważnych wniosków wynikających z modelu Solowa. W stanie równowagi długookresowej: ) tempo wzrostu PKB jest równe sumie postępu technicznego oraz tempa wzrostu liczby ludności, 2) tempo wzrostu PKB na mieszkańca jest równe postępowi technicznemu. Powyższe wnioski wskazują jednocześnie na główną, wspomnianą wcześniej, słabość modeli neoklasycznych, a mianowicie, że wzrost gospodarczy zależy od zmiennych egzogenicznych, kształtujących się poza modelem. Stan ustalony w modelu Solowa jest stabilny. Oznacza to, że niezależnie od początkowego poziomu kapitału (pomijając k(0) = 0) gospodarka zawsze będzie dochodziła do stanu ustalonego. Jeśli bowiem k(0) < k*, to sf(k) > (n + a + δ)k (zob. rysunek.), k będzie rosło w czasie i w końcu osiągnie poziom k*. W trakcie okresu przejściowego tempo wzrostu PKB (ogółem i na mieszkańca) jest wyższe niż w stanie równowagi długookresowej, gdyż kapitał i produkcja na jednostkę efektywnej pracy rosną, a zatem df/dt/f > 0 we wzorach [a.7]. Powyższa własność modelu Solowa, wskazująca na szybsze tempo wzrostu gospodarczego w trakcie okresu przejściowego, ma bardzo ważne znaczenie ekonomiczne. Mianowicie, model Solowa potwierdza występowanie zjawiska konwergencji (zbieżności) warunkowej (typu β). Konwergencja (typu β) oznacza, że kraje słabiej rozwinięte (o niższym poziomie PKB per capita) wykazują szybsze tempo wzrostu gospodarczego niż kraje wyżej rozwinięte. Zbieżność potwierdzona przez model Solowa jest warunkowa, gdyż występuje tylko wtedy, gdy gospodarki dążą do tego samego stanu równowagi długookresowej. W celu wykazania występowania zjawiska zbieżności dzielimy równanie [a.6] przez k i następnie różniczkujemy względem k: ( & ) d ( ) ( ) ( ) d k/ k f k f ' k k f k df/ d( AL) = s ( n+ a+ δ ) = s = s < 0. [a.8] 2 2 dk dk k k k Równanie [a.8] informuje, że tempo wzrostu kapitału na jednostkę efektywnej pracy maleje wraz ze wzrostem k (ujemna pochodna względem k). Oznacza to, że im wyższy jest poziom kapitału i produkcji, tym niższe jest tempo wzrostu tych zmiennych, co wskazuje na występowanie zjawiska konwergencji. Występowanie zjawiska konwergencji można także wykazać za pomocą log-linearyzacji równania ruchu [a.6], opisującego dynamikę gospodarki. Metoda ta pozwala obliczyć współczynnik szybkości zbieżności, informujący, jaki procent odległości w kierunku stanu ustalonego gospodarka pokonuje w ciągu jednego okresu. Przy założeniu, że funkcja 8

9 produkcji jest typu Cobba-Douglasa o postaci f(k) = Bk α (B > 0), równanie [a.6] można zapisać jako: ( δ ) ( α ) ( δ ) ln k lnk k sbe α & = n+ a+ = sbe n+ a+. [a.9] ln Następnie stosujemy rozszerzenie Taylora pierwszego rzędu wokół stanu ustalonego w celu znalezienia przybliżonej ścieżki czasowej dla lnk: dln& k ln& k ln & k* + ( ln k ln k* ) = ( α )( n+ a+ δ)( ln k ln k* ). [a.0] dln k dla stanu ustalonego Rozwiązanie równania różniczkowego [a.0] jest następujące: ( α )( n+ a+ δ ) t ( ( ) ) ln k = ln k* + ln k 0 ln k* e, [a.] co w kategoriach produkcji na jednostkę efektywnej pracy można zapisać jako: Definiując: ( α )( n+ a+ δ ) ( ( ) ) ln y = ln y* + ln y 0 ln y* e. [a.2] ( )( n a ) oraz różniczkując [a.2] względem czasu, uzyskujemy: β = α + + δ > 0 [a.3] y& = β y ( ln y* ln y) t. [a.4] Równanie [a.4] informuje, że tempo wzrostu gospodarczego zależy od odległości dzielącej gospodarkę od jej stanu ustalonego. Parametr β mierzy szybkość zbieżności. β określa bowiem, jaki procent odległości w kierunku stanu równowagi długookresowej gospodarka pokonuje w ciągu jednego okresu. Przedstawimy teraz wpływ stopy oszczędności na dynamikę gospodarki. Otóż zgodnie z modelem Solowa egzogeniczna stopa oszczędności nie wpływa na tempo wzrostu gospodarczego w stanie równowagi długookresowej, lecz jedynie na poziom dochodu w równowadze (wyższa stopa oszczędności oznacza wyższe położenie funkcji sf(k) i w efekcie wyższy poziom k*). Wpływ zmian stopy oszczędności na wzrost gospodarczy jest jedynie przejściowy podwyższenie stopy oszczędności prowadzi do wyższego tempa wzrostu w trakcie okresu przejściowego (kiedy gospodarka dąży do nowego stanu ustalonego). Model Solowa dopuszcza występowanie zjawiska dynamicznej nieefektywności, a zatem gospodarka nie musi znaleźć się w punkcie optymalnym w sensie Pareta. Przyczyną tego jest egzogenicznie kształtowana stopa oszczędności, której zbyt wysoki poziom prowadzi do nadmiernej akumulacji kapitału w gospodarce. W celu znalezienia stopy oszczędności maksymalizującej wielkość konsumpcji w warunkach równowagi długookresowej, 9

10 różniczkujemy c ( s)f(k) względem s, wykorzystując fakt, że w stanie ustalonym sf(k*) = (n + a + δ)k*: dc * dk = ( f '( k* ) ( n+ a+ δ )) *. [a.5] ds ds Ponieważ dk*/ds > 0 (wzrost stopy oszczędności zwiększa poziom k*), znak dc*/ds zależy od wzajemnej relacji między f (k*) i (n + a + δ). Jeżeli f (k*) < (n + a + δ), to w gospodarce występuje zjawisko dynamicznej nieefektywności, gdyż wzrost konsumpcji może nastąpić w efekcie obniżki stopy oszczędności. Z [a.5] wynika, że stopa oszczędności powinna obniżyć się do poziomu, przy którym f (k*) = (n + a + δ). Wówczas konsumpcja jest maksymalna, a odpowiadający jej poziom kapitału nazywamy poziomem kapitału zgodnym ze złotą regułą. 7 Podsumowując, analiza modeli wzrostu gospodarczego obejmuje zarówno stan ustalony, który oznacza równowagę długookresową, jak i etap przejściowy (tj. okres dochodzenia gospodarki do stanu ustalonego), który ma charakter krótkookresowy. Na przykład, z przedstawionego tutaj modelu Solowa wynika, że w stanie ustalonym tempo wzrostu gospodarczego jest równe sumie tempa postępu technicznego i tempa wzrostu liczby ludności, co implikuje, że te dwie zmienne są determinantami długookresowego wzrostu gospodarczego. Niemniej jednak, model Solowa można także zastosować do analizy czynników wzrostu w krótkim okresie. Wzrost stopy oszczędności (równej stopie inwestycji) powoduje wprowadzenie gospodarki na trajektorię okresu przejściowego i skutkuje tymczasowym przyspieszeniem tempa wzrostu gospodarczego. Oznacza to, że zgodnie z modelem Solowa zmiany stopy inwestycji są czynnikiem krótkookresowego wzrostu gospodarczego. W podobnych kategoriach można analizować większość pozostałych modeli wzrostu gospodarczego. 7 Ang. golden rule: f (k GOLD ) = n + a + δ. Jak widać, zgodnie ze złotą regułą krańcowy produkt kapitału musi się równać sumie tempa wzrostu liczby ludności, postępu technicznego i stopy amortyzacji. Wówczas styczna do funkcji produkcji f(k) na rysunku. jest równoległa do linii (n + a + δ)k i w efekcie wielkość konsumpcji jest maksymalna. 0

11 2.2. Model Ramseya 8 Model Ramseya zawdzięcza swą nazwę Frankowi Ramseyowi, brytyjskiemu ekonomiście, który w 928 r. opublikował artykuł o optymalnym poziomie oszczędności (Ramsey, 928). Ujęcie Ramseya zostało rozwinięte przez Davida Cassa i Tjallinga Koopmansa (Cass, 965; Koopmans, 965) i dlatego nosi również nazwę modelu Ramseya-Cassa-Koopmansa. Główna różnica między modelem Ramseya a modelem Solowa dotyczy kształtowania się stopy oszczędności. Stopa oszczędności, która w teorii Solowa była egzogeniczna, w podejściu Ramseya kształtuje się endogenicznie na podstawie decyzji optymalizacyjnych podejmowanych przez maksymalizujące użyteczność gospodarstwa domowe. W niniejszej pracy przedstawimy analizę modelu Ramseya dla gospodarki doskonale konkurencyjnej. Zakładamy podobnie jak w modelu Solowa że technika i siła robocza rosną w stałym tempie, równym odpowiednio a i n (tzn. A(t) = A(0)e at ; L(t) = L(0)e nt ). Funkcja produkcji wykazuje stałe przychody względem obu czynników produkcji (kapitału fizycznego i efektywnej pracy), charakteryzuje się malejącą produkcyjnością każdego czynnika i spełnia warunki Inady. Przedsiębiorstwa wytwarzają homogeniczny produkt zgodnie z funkcją produkcji F(K, AL). Czynniki produkcji (praca i kapitał) są nabywane od gospodarstw domowych po cenach równych odpowiednio r + δ i w (r stopa procentowa, w stawka płacy). Przedsiębiorstwa dążą do maksymalizacji zysku: ( ) ( δ) π = F K, AL r+ K wl max. [b.] Warunki pierwszego rzędu dπ/dk = 0 i dπ/dl = 0 prowadzą do standardowych równań zrównujących krańcowy produkt danego czynnika z jego ceną, co w przeliczeniu na jednostkę efektywnej pracy można zapisać: r = f '( k) δ oraz w= A f ( k) kf '( k). [b.2] Analiza zachowań gospodarstw domowych jest bardziej skomplikowana. Ludzie żyją nieskończenie długo. Każda dorosła osoba dostarcza na rynek jedną jednostkę pracy niezależnie od wysokości płac. W gospodarce jest N gospodarstw domowych (N = const.), które rozrastają się (tzn. zwiększają liczbę swoich członków) w tempie n. Celem konsumentów jest maksymalizacja użyteczności z konsumpcji w ciągu całego życia. Funkcję użyteczności gospodarstwa domowego można zapisać następująco: 8 Analiza modelu Ramseya i większości następnych modeli wzrostu wymaga znajomości rachunku różniczkowego, rachunku wariacyjnego i teorii sterowania. Opis tych procedur matematycznych znajduje się m. in. w: Chiang (992, 994), Klein (998).

12 ρt L U e u c dt 0 ( pc ) =, [b.3] N gdzie u(c pc ) to użyteczność z konsumpcji osiągana przez jedną osobę 9, L/N to liczba członków jednego gospodarstwa domowego, a ρ jest stopą preferencji czasowych (ρ > 0). Im wyższe ρ, tym wyższą wartość gospodarstwa domowe przywiązują do bieżącej konsumpcji. Zakładamy, że krańcowa użyteczność jest dodatnia i maleje (u (c) > 0; u (c) < 0) oraz że funkcja użyteczności spełnia warunki Inady (lim c u (c) = 0; lim c 0 u (c) = ). Podstawiając L(t) = L(0)e nt, dzieląc użyteczność przez L(0)/N = const. i przyjmując, iż funkcja użyteczności jest typu CRRA 0, problem optymalizacyjny konsumenta możemy sformułować następująco: σ ( n ρ ) t cpc U = e dt σ 0 max. & ; (b) ( ) p.w. (a) k pc = w + rk pc cpc nk pc k 0 > 0 dane. [b.4] Warunek ograniczający w równaniu [b.4] to ograniczenie budżetowe, zgodnie z którym przyrost kapitału na mieszkańca jest równy dochodom (z pracy i kapitału) pomniejszonym o konsumpcję i o składnik wynikający z ogólnego wzrostu liczby ludności kraju. Aby całka była zbieżna, zakładamy dodatkowo ρ > n. W celu rozwiązania [b.4] należy skonstruować hamiltonian wartości zaktualizowanej: σ cpc H = + θ w+ rk σ c nk i następujące warunki pierwszego rzędu: H c pc = 0 ; θ θ( ρ n) pc ( pc pc pc ) & H = k ; H k& = ; pc θ ( n ρ ) [b.5] t lim e k θ = 0, [b.6] gdzie ostatni warunek to tzw. warunek transwersalności. Zmienna θ, która pojawiła się w 9 Należy rozróżnić zmienne na mieszkańca (per capita) od zmiennych na jednostkę efektywnej pracy. Te pierwsze są oznaczone indeksem dolnym cp i powstają po podzieleniu wielkości całkowitych przez liczbę ludności L. Natomiast zmienne na jednostkę efektywnej pracy uzyskujemy dzieląc wielkości całkowite przez zasób efektywnej pracy AL. 0 W modelach optymalizacyjnych stosuje się najczęściej dwa typy funkcji użyteczności: CRRA (constant relative risk aversion) i CARA (constant absolute risk aversion). Funkcje te mają następującą postać: CRRA: u( c) σ c = dla σ > 0, σ σ t oraz u( c) = ln c dla σ = ; CARA: ( ) pc c u c = e γ dla γ > 0. γ Dla funkcji CRRA elastyczność substytucji ( u (c)/u (c)c) wynosi /σ, zaś elastyczność krańcowej użyteczności względem konsumpcji (u (c)c/u (c)) jest równa σ. Dla funkcji CARA wielkości te wynoszą (γc) i γc. Nazwy obu funkcji wynikają z faktu, iż w przypadku funkcji CRRA miara Arrowa-Pratta względnej awersji do ryzyka ( u (c)c/u (c)) jest stała i równa σ, zaś w przypadku funkcji CARA miara Arrowa-Pratta absolutnej awersji do ryzyka ( u (c)/u (c)) jest stała i równa γ. W celu znalezienia ograniczenia budżetowego wykorzystujemy równanie PKB: Y = C + dk/dt + δk oraz fakt, że w gospodarce doskonale konkurencyjnej brak jest zysków w długim okresie: Y = (r + δ)k + wl. Dzieląc oba równania przez L i przyrównując do siebie, uzyskujemy ograniczenie budżetowe. 2

13 [b.5], to zmienna sprzężona z równaniem ruchu na kapitał. Wycenia ona oszczędności gospodarstw domowych, tzn. wskazuje, jak oszczędności w danym okresie przyczyniają się do wzrostu użyteczności w kolejnych okresach (poprzez wpływ na przyszły wzrost konsumpcji). Warunek transwersalności informuje, że na koniec okresu (gdy t ) postępujące optymalnie gospodarstwo domowe powinno pozbyć się całego kapitału albo też pozostawiony kapitał nie powinien posiadać żadnej wartości. Rozwiązując [b.6], uzyskujemy następujące równania charakteryzujące dynamikę zachowań gospodarstw domowych: c& pc r ρ = ; k& ( n r) t pc = w+ rkpc cpc nkpc ; limθ ( 0) kpce = 0. [b.7] c σ t pc Pierwsze z równań [b.7] to równanie Eulera informujące, że konsumpcja rośnie w czasie, jeżeli stopa procentowa jest wyższa niż stopa preferencji czasowych, tzn. jeżeli przychód z oszczędności netto przewyższa spadek użyteczności związany z przeniesieniem konsumpcji na następny okres. O sile tego oddziaływania decyduje elastyczność substytucji /σ. Łącząc wyniki optymalizacji przedsiębiorstw ([b.2]) i gospodarstw domowych ([b.7]), otrzymujemy ostateczne równania opisujące dynamikę gospodarki w modelu Ramseya: '( ) c& f k δ ρ aσ = ; k & = f ( k) c ( n+ a+δ ) k c σ ; ( ) ( ) ( n f '( k) + δ + a) t limθ 0 A 0 ke = 0. [b.8] t Dwa pierwsze równania to równania ruchu dla konsumpcji i kapitału na jednostkę efektywnej pracy, trzecie zaś równanie jest warunkiem transwersalności. Stan równowagi długookresowej, otrzymany przez przyrównanie równań ruchu dla c i k do zera, charakteryzują następujące warunki: '( *) f k δ ρ aσ = + + oraz ( ) ( δ ) c* = f k* n+ a+ k*, [b.9] powiększone o warunek transwersalności, z którego wynika, że ρ > n + a( σ). Graficzną postać otrzymanych wyników przedstawia rysunek.2. Stan ustalony znajduje się w punkcie przecięcia krzywych dc/dt = 0 i dk/dt = 0. Jest on punktem siodłowym, położonym na jednej trajektorii stabilnej i jednej niestabilnej. Gospodarka startująca z początkowego poziomu kapitału k(0) zawsze może osiągnąć stan ustalony pod warunkiem, że w okresie początkowym zostanie wybrany poziom konsumpcji c(0) S, który wprowadzi gospodarkę na trajektorię stabilną T 2 T 2. Jeżeli poziom konsumpcji będzie za niski (np. c(0) M ), to gospodarka będzie zmierzała do punktu na osi odciętych, zaś gdy poziom konsumpcji będzie za wysoki (np. c(0) D ), gospodarka dojdzie do punktu na osi rzędnych i skokowo wróci do początku układu współrzędnych. Oba te przypadki 3

14 wykluczamy, gdyż nie spełniają albo warunku transwersalności, albo równania ruchu zmiennej c. Rysunek.2 Okres przejściowy i stan ustalony w modelu Ramseya c c & = 0 T2 c * B k & = 0 c ( 0) S c ( 0) D c ( 0) M T2 A k ( 0) k * k GOLD k W równowadze długookresowej kapitał, konsumpcja i produkcja na jednostkę efektywnej pracy są stałe. Oznacza to, że tempo wzrostu PKB jest równe sumie postępu technicznego oraz tempa wzrostu liczby ludności (czyli zmiennych kształtowanych egzogenicznie), a tempo wzrostu PKB na mieszkańca jest równe postępowi technicznemu. Model Ramseya daje zatem taką samą odpowiedź jak model Solowa na pytanie o przyczyny długookresowego wzrostu gospodarczego. Model Ramseya w przeciwieństwie do modelu Solowa jest optymalny w sensie Pareta. Endogeniczna stopa oszczędności uniemożliwia nadmierną akumulację kapitału i tym samym zapobiega pojawieniu się zjawiska dynamicznej nieefektywności. Formalny dowód występowania optymalności w sensie Pareta wymaga rozwiązania problemu optymalizacyjnego centralnego planisty, który maksymalizuje użyteczność wszystkich osób przy ograniczeniu w postaci równania ruchu na kapitał: σ cpc ρt nt U = e L( 0) e dt max. [b.0] σ 0 p.w. (a) k& = f ( k) c ( n+ a+δ ) k; (b) ( ) k 0 > 0 dane. Rozwiązując [b.0] przy użyciu hamiltonianu i odpowiednich warunków pierwszego rzędu, dochodzimy do równań, które są identyczne jak równania [b.8] opisujące dynamikę gospodarki doskonale konkurencyjnej. 4

15 Dynamiczną efektywność modelu Ramseya można odczytać z analizy wykresu fazowego. Na rysunku.2 k GOLD jest poziomem kapitału maksymalizującym konsumpcję, czyli zgodnym ze złotą regułą: f (k GOLD ) = n + a + δ. Zasób kapitału w stanie ustalonym w modelu Ramseya jest natomiast wyznaczony na podstawie równania: f (k*) = δ + ρ + aσ. Ponieważ z warunku transwersalności wynika, że ρ + aσ > n + a, poziom kapitału w stanie równowagi długookresowej w modelu Ramseya jest zawsze niższy od poziomu zgodnego ze złotą regułą. Ten niższy poziom kapitału nosi nazwę zmodyfikowanej złotej reguły. Im wyższe ρ, tym większa jest różnica między poziomem kapitału maksymalizującym konsumpcję a poziomem kapitału w zmodyfikowanej złotej regule. Model Ramseya podobnie jak model Solowa potwierdza występowanie zjawiska konwergencji warunkowej. W celu określenia szybkości zbieżności log-linearyzujemy równanie [b.8] przy upraszczającym założeniu, że funkcja produkcji jest typu Cobba- Douglasa, f(k) = k α. Równania ruchu dla kapitału i konsumpcji na jednostkę efektywnej pracy będą miały zatem następującą postać: ( α ) ( δ ) lnk ln c ln k & k = e e e n+ a+ ; ln ( α ln ) k ( α δ ρ σ) ln& c= e a. [b.] σ Stosując dla powyższego układu równań różniczkowych rozszerzenie Taylora pierwszego rzędu wokół stanu ustalonego, uzyskujemy wartości własne macierzy charakterystycznej o różnych znakach (λ > 0, λ 2 < 0), co oznacza, iż stan ustalony ma charakter ścieżki siodłowej: λ,2 = α σ > 2 < 2 ( ρ n a( σ) ) ± ( ρ n a( σ) ) 4 α ( δ + ρ+ σa) ( n+ a+ δ) ( δ + ρ+ σa) 0. [b.2] Żeby wyznaczyć siłę efektu zbieżności, rozwiązanie ogólne układu równań [b.] dla lnk: lnk = lnk* + A e λt + A 2 e λ2t przekształcamy do postaci określonej, podstawiając A = 0 (ponieważ w przeciwnym przypadku warunek transwersalności albo równanie ruchu zmiennej c nie są spełnione) i wyliczając A 2 z warunku początkowego. Wykorzystując następnie fakt, że y = k α, otrzymujemy: ( ( )) ln y* ln y = ln y* ln y 0 e βt, [b.3] gdzie β λ 2 > 0 jest parametrem decydującym o szybkości zbieżności do stanu ustalonego: α β = ρ σ α δ + ρ + σ + + δ δ + ρ+ σ ρ σ 2 σ 2 2 ( n a( )) 4 ( a) ( n a ) ( a) ( n a( )). [b.4] Po zróżniczkowaniu [b.3] względem czasu tempo wzrostu gospodarczego można zapisać następująco: 5

16 y& y ( ln y* ln y) = β. [b.5] Równania [b.4] i [b.5] są analogiczne do równań [a.3] i [a.4], charakteryzujących zjawisko konwergencji wyjaśniane przez model Solowa. Równanie [b.5] wskazuje, że tempo wzrostu gospodarczego maleje wraz ze zbliżaniem się gospodarki do stanu ustalonego, a parametr β, określony wzorem [b.4], decyduje o szybkości zbieżności. 6

17 2.3. Model Diamonda Model Diamonda w przeciwieństwie do prac Solowa i Ramseya charakteryzuje się skończonym horyzontem czasowym i uwzględnia zmiany demograficzne. Modele takie, określane także jako OLG (ang. overlapping-generations models), powstały dzięki pracom Paula Samuelsona (Samuelson, 958) i Petera Diamonda (Diamond, 965). Podejście Samuelsona różni się od przedstawionej tutaj koncepcji Diamonda tym, że nie obejmuje akumulacji kapitału. 2 Model Diamonda uwzględnia zmiany demograficzne: rodzą się wciąż młode pokolenia (jednostki), a stare ciągle odchodzą. Gospodarstwa domowe żyją przez dwa okresy. W pierwszym okresie ich członkowie są młodzi, pracują, osiągają dochód, który dzielą między bieżącą konsumpcję i oszczędności. Oszczędności powiększone o odsetki służą do finansowania konsumpcji w drugim okresie, kiedy ludzie są starzy i nie pracują. Pomimo powyższych modyfikacji, model Diamonda podobnie jak modele Solowa i Ramseya wyjaśnia długookresowy wzrost gospodarczy i dlatego jest zaliczany do modeli neoklasycznych. Scharakteryzujemy teraz model Diamonda dla gospodarki doskonale konkurencyjnej. Poziom techniki i siła robocza rosną w stałym tempie, równym odpowiednio a i n: 3 A t = A t ( + a) oraz L t = L t ( + n). Funkcja produkcji F(K t,a t L t ) wykazuje stałe przychody względem kapitału i efektywnego zasobu pracy, charakteryzuje się malejącą krańcową produkcyjnością każdego czynnika oraz spełnia warunki Inady. Analiza zachowań przedsiębiorstw w modelu Diamonda jest identyczna jak w modelu Ramseya. Warunkiem maksymalizacji zysku jest zrównanie krańcowego produktu danego czynnika z jego ceną (por. [b.2]): t = '( ) oraz w = A f ( k ) k f '( k ) r f k δ t. [c.] t t t t t Przejdziemy teraz do analizy zachowań gospodarstw domowych. Oznaczmy przez c t konsumpcję młodej osoby, a przez c 2t konsumpcję osoby starej w okresie t. Niech ρ > 0 będzie stopą preferencji czasowych. Funkcja użyteczności poszczególnych osób jest sumą użyteczności z konsumpcji dóbr w obu okresach życia (młodości i starości): 4 σ σ c t c2t+ Ut = u( c t) + u( c2t+ ) = +. [c.2] + ρ σ + ρ σ 2 Nieco innym modelem o skończonym horyzoncie czasowym jest model Blancharda (Blanchard, 985). 3 Ponieważ w modelu Diamonda jednostki żyją przez dwa okresy, do jego analizy używa się czasu dyskretnego, a nie jak we wcześniejszych modelach czasu ciągłego. Wszystkie zmienne muszą być zatem oznaczone indeksem dolnym, wskazującym na odpowiedni okres. Trzeba pamiętać, aby nie utożsamiać jednego okresu z jednym rokiem. Jeden okres w modelu Diamonda odpowiada długości życia jednego pokolenia, tj. ok. 30 lat. 4 Konsumpcja ludzi młodych urodzonych w okresie t to c t. Osoby urodzone w okresie t są jednak stare w następnym okresie, t +, toteż ich konsumpcja w okresie starości jest zapisywana jako c 2t+. 7

18 Użyteczność z okresu starości jest dyskontowana stopą preferencji czasowych, co oznacza, że jednostki preferują konsumpcję w okresie młodości. Każda młoda osoba pracuje, dostarczając na rynek jedną jednostkę pracy. Uzyskany dochód w t przeznacza na konsumpcję w okresie młodości c t i na oszczędności s t w t (s t stopa oszczędności). Oszczędności powiększone o odsetki służą do finansowania konsumpcji w okresie starości: c 2t+ = ( + r t+ )s t w t. A zatem ograniczeniem budżetowym gospodarstwa domowego jest: c + c = w. [c.3] t 2t+ t + rt + Gospodarstwa domowe maksymalizują użyteczność z konsumpcji w obu okresach życia ([c.2]) przy ograniczeniu budżetowym ([c.3]). W celu rozwiązania tego problemu optymalizacyjnego należy skonstruować funkcję Lagrange a: σ σ c t c2t+ l = + + λ ct + c2t+ wt [c.4] σ + ρ σ + rt + i odpowiednie warunki pierwszego rzędu: / = 0 l c t ; c 2t + l / = 0; l / λ = 0. [c.5] Rozwiązując dwa pierwsze z powyższych warunków i dzieląc je przez siebie uzyskujemy równanie wskazujące na optymalny podział konsumpcji w obu okresach życia jednostek: c c 2t+ t+ t σ + r = + ρ. [c.6] Równanie [c.6] jest bardzo podobne do pierwszego z równań [b.7] w modelu Ramseya. Obie formuły wskazują, że kierunek zmian konsumpcji w czasie zależy od wzajemnej relacji między stopą procentową a stopą preferencji czasowych. Jeżeli stopa procentowa jest wyższa niż stopa preferencji czasowych, to konsumpcja rośnie w czasie; jeżeli niższa konsumpcja maleje w czasie; zaś jeśli r t+ = ρ, wówczas konsumpcja w czasie jest stała. Elastyczność substytucji funkcji użyteczności /σ informuje o sile oddziaływania różnicy między stopą procentową a stopą preferencji czasowych na zmiany konsumpcji w czasie. Podstawiając c 2t+, uzyskane z równania [c.6], do ograniczenia budżetowego [c.3] i wykorzystując następnie fakt, że c t = ( s t )w t, uzyskujemy stopę oszczędności: ( r ) t + σ ( + r ) σ t + ( + ρ) σ + ( + r ) σ s. [c.7] = σ Stopa oszczędności należy do przedziału (0;). Żeby określić, jak się ona zmienia pod wpływem zmian stopy procentowej, różniczkujemy [c.7] względem r t+ : t + 8

19 ds r ( ) dr t+ t+ 2σ σ σ = ( rt ) σ ( ρ) σ / ( ρ) σ ( rt ) σ σ. [c.8] Powyższe równanie wskazuje, że wpływ stopy procentowej na oszczędności zależy od tego, czy σ jest większa czy mniejsza od jedności. Jeżeli σ <, stopa oszczędności rośnie pod wpływem wzrostu stopy procentowej; jeżeli σ >, stopa oszczędności maleje wraz ze wzrostem stopy procentowej; jeżeli σ =, stopa oszczędności nie zależy od r. Jak zatem widać, wzrost stopy procentowej wywołuje potencjalnie dwa efekty: substytucyjny i dochodowy. Przejdziemy teraz do analizy dynamiki całej gospodarki. Oznaczmy przez C t łączną konsumpcję wszystkich osób żyjących w okresie t. Ponieważ w okresie t żyje L t młodych jednostek i L t starych jednostek, C t = c t L t + c 2t L t. Przyrost kapitału K t+ K t to inwestycje I t pomniejszone o amortyzację kapitału δk t. Przedsiębiorstwa w długim okresie nie osiągają zysków, a zatem produkcja jest równa sumie wynagrodzeń czynników wytwórczych: Y t = w t L t + (r t + δ)k t. Wykorzystując powyższe zależności, tożsamość dochodu Y t = C t + I t można zapisać jako: wl + rk + δ K = c L + c L + K K + δ K. [c.9] t t t t t t t 2t t t+ t t Konsumpcja osób starych musi się równać ich oszczędnościom, czyli kapitałowi w danym okresie powiększonym o odsetki: c 2t L t = K t ( + r t ). A zatem, równanie [c.9] przekształca się do postaci: K = t swl. [c.0] + t t t Powyższy wzór wskazuje, że łączna wielkość oszczędności społeczeństwa w okresie t jest równa wielkości kapitału w następnym okresie. Równanie [c.0] przeliczone na jednostkę efektywnej pracy jest następujące: ( ) ( )( ) kt+ = swl t t t / AL t t + a + n. [c.] Wykorzystując [c.7] i [c.], z [c.] uzyskujemy ostateczne równanie ruchu opisujące dynamikę gospodarki w modelu Diamonda: σ ( f '( k σ + t+ ) δ ) k = f k k f k + + ( + ρ) σ + ( + f '( kt+ ) δ) ( ( ) '( )) t+ σ t t t a n σ 2. [c.2] Powyższe równanie jest nieliniowym równaniem różnicowym opisującym dynamikę kapitału na jednostkę efektywnej pracy. Dla każdej wielkości k w okresie t równanie to określa w sposób uwikłany wartość k w okresie t +. Ponieważ równanie [c.2] określa 9

20 zależność między k t a k t+ w sposób uwikłany, w celu znalezienia równowagi długookresowej i dynamiki okresu przejściowego należy rozpatrywać konkretne postacie funkcji produkcji i funkcji użyteczności. Załóżmy, że funkcja produkcji jest typu Cobba-Douglasa f(k t ) = Bk t α (B > 0), a funkcja użyteczności jest logarytmiczna (σ = ). W takim przypadku [c.2] upraszcza się do postaci: k = α α t+ B( α ) kt kt + a+ n 2+ ρ Θ, Θ > 0. [c.3] W stanie równowagi długookresowej kapitał na jednostkę efektywnej pracy jest stały, a zatem: k t = k t+ = k*. Wykorzystując ten fakt, z równania [c.3] otrzymujemy wielkość kapitału na jednostkę efektywnej pracy w stanie ustalonym: k* = B( α ). [c.4] + a+ n 2+ ρ Rysunek.3 ilustruje rozwiązanie równania [c.3] w postaci graficznej. α Rysunek.3 Okres przejściowy i stan ustalony w modelu Diamonda k t+ k* k 2 45 k t+ = Θk t α k k 0 k k 2 k* k t Rysunek.3 przedstawia k t+ jako funkcję k t. Stan ustalony znajduje się w punkcie przecięcia tej funkcji z linią 45. Ponieważ funkcja k t+ jest rosnąca, wypukła ku górze i spełnia warunki Inady, przecina ona linię 45 od góry i tylko raz. Oznacza to, że występuje jeden stabilny stan równowagi długookresowej (pomijając k* = 0). A zatem, z każdego początkowego poziomu kapitału (wyłączając k 0 = 0) gospodarka zbiega do stanu ustalonego. W równowadze długookresowej kapitał, konsumpcja i produkcja na jednostkę efektywnej pracy są stałe. Oznacza to, że tempo wzrostu PKB jest równe sumie postępu technicznego oraz tempa wzrostu liczby ludności, a tempo wzrostu PKB na mieszkańca jest równe postępowi technicznemu. A zatem, model Diamonda w taki sam sposób jak modele Solowa i 20

(b) Oblicz zmianę zasobu kapitału, jeżeli na początku okresu zasób kapitału wynosi kolejno: 4, 9 oraz 25.

(b) Oblicz zmianę zasobu kapitału, jeżeli na początku okresu zasób kapitału wynosi kolejno: 4, 9 oraz 25. Zadanie 1 W pewnej gospodarce funkcja produkcji może być opisana jako Y = AK 1/2 N 1/2, przy czym A oznacza poziom produktywności, K zasób kapitału, a N liczbę zatrudnionych. Stopa oszczędności s wynosi

Bardziej szczegółowo

Model Davida Ricardo

Model Davida Ricardo Model Davida Ricardo mgr eszek incenciak 15 lutego 2005 r. 1 Założenia modelu Analiza w modelu Ricardo opiera się na następujących założeniach: istnieje doskonała konkurencja na rynku dóbr i rynku pracy;

Bardziej szczegółowo

Makroekonomia 1 Wykład 5: Model klasyczny gospodarki (dla przypadku gospodarki zamkniętej)

Makroekonomia 1 Wykład 5: Model klasyczny gospodarki (dla przypadku gospodarki zamkniętej) Makroekonomia 1 Wykład 5: Model klasyczny gospodarki (dla przypadku gospodarki zamkniętej) Gabriela Grotkowska Katedra Makroekonomii i Teorii Handlu Zagranicznego PKB jako miara dobrobytu Produkcja w gospodarce

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA

ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA DYNAMICZNYCH LOKAT KAPITAŁOWYCH Krzysztof Gąsior Uniwersytet Rzeszowski Streszczenie Celem referatu jest zaprezentowanie praktycznego zastosowania

Bardziej szczegółowo

Zestaw 3 Optymalizacja międzyokresowa

Zestaw 3 Optymalizacja międzyokresowa Zestaw 3 Optymalizacja międzyokresowa W modelu tym rozważamy optymalny wybór konsumenta dotyczący konsumpcji w okresie obecnym i w przyszłości. Zakładając, że nasz dochód w okresie bieżącym i przyszłym

Bardziej szczegółowo

88. Czysta stopa procentowa. 89. Rynkowa (nominalna) stopa procentowa. 90. Efektywna stopa procentowa. 91. Oprocentowanie składane. 92.

88. Czysta stopa procentowa. 89. Rynkowa (nominalna) stopa procentowa. 90. Efektywna stopa procentowa. 91. Oprocentowanie składane. 92. 34 Podstawowe pojęcia i zagadnienia mikroekonomii 88. zysta stopa procentowa zysta stopa procentowa jest teoretyczną ceną pieniądza, która ukształtowałaby się na rynku pod wpływem oddziaływania popytu

Bardziej szczegółowo

Autonomiczne składniki popytu globalnego Efekt wypierania i tłumienia Krzywa IS Krzywa LM Model IS-LM

Autonomiczne składniki popytu globalnego Efekt wypierania i tłumienia Krzywa IS Krzywa LM Model IS-LM Autonomiczne składniki popytu globalnego Efekt wypierania i tłumienia Krzywa IS Krzywa LM Model IS-LM Konsumpcja, inwestycje Utrzymujemy założenie o stałości cen w gospodarce. Stopa procentowa wiąże ze

Bardziej szczegółowo

1 Funkcja użyteczności

1 Funkcja użyteczności 1 Funkcja użyteczności Funkcja użyteczności to funkcja, której wartościami są wartości użyteczności (satysfakcji, komfortu psychicznego). Można mówić o użyteczności różnych zjawisk. Użyteczność pieniądza

Bardziej szczegółowo

Ekonomia rozwoju wykład 11 Wzrost ludnościowy i jego powiązanie z rozwojem. dr Piotr Białowolski Katedra Ekonomii I

Ekonomia rozwoju wykład 11 Wzrost ludnościowy i jego powiązanie z rozwojem. dr Piotr Białowolski Katedra Ekonomii I Ekonomia rozwoju wykład 11 Wzrost ludnościowy i jego powiązanie z rozwojem gospodarczym. dr Piotr Białowolski Katedra Ekonomii I Plan wykładu Powiązanie rozwoju gospodarczego i zmian w poziomie ludności

Bardziej szczegółowo

Modele cyklu ekonomicznego

Modele cyklu ekonomicznego Prezentacja licencjacka pod kierunkiem dr Sławomira Michalika 03/06/2013 Obserwacje rozwiniętych gospodarek wolnorynkowych wykazują, że nie występują w nich stany stacjonarne, typowe są natomiast pewne

Bardziej szczegółowo

Teoria produkcji pojęcie, prawa, izokwanty. Funkcja produkcji pojęcie, przykłady.

Teoria produkcji pojęcie, prawa, izokwanty. Funkcja produkcji pojęcie, przykłady. Przedmiot: EKONOMIA MATEMATYCZNA Katedra: Ekonomii Opracowanie: dr hab. Jerzy Telep Temat: Matematyczna teoria produkcji Zagadnienia: Teoria produkcji pojęcie, prawa, izokwanty. Funkcja produkcji pojęcie,

Bardziej szczegółowo

Maksymalizacja zysku

Maksymalizacja zysku Maksymalizacja zysku Na razie zakładamy, że rynki są doskonale konkurencyjne Firma konkurencyjna traktuje ceny (czynników produkcji oraz produktów jako stałe, czyli wszystkie ceny są ustalane przez rynek

Bardziej szczegółowo

ROZDZIAŁ 7 WPŁYW SZOKÓW GOSPODARCZYCH NA RYNEK PRACY W STREFIE EURO

ROZDZIAŁ 7 WPŁYW SZOKÓW GOSPODARCZYCH NA RYNEK PRACY W STREFIE EURO Samer Masri ROZDZIAŁ 7 WPŁYW SZOKÓW GOSPODARCZYCH NA RYNEK PRACY W STREFIE EURO Najbardziej rewolucyjnym aspektem ogólnej teorii Keynesa 1 było jego jasne i niedwuznaczne przesłanie, że w odniesieniu do

Bardziej szczegółowo

Kolokwium I z Makroekonomii II Semestr zimowy 2014/2015 Grupa I

Kolokwium I z Makroekonomii II Semestr zimowy 2014/2015 Grupa I Kolokwium I z Makroekonomii II Semestr zimowy 2014/2015 Grupa I Czas trwania kolokwium wynosi 45 minut. Należy rozwiązać dwa z trzech zamieszczonych poniżej zadań. Za każde zadanie można uzyskać maksymalnie

Bardziej szczegółowo

Wzrost gospodarczy definicje

Wzrost gospodarczy definicje Wzrost gospodarczy Wzrost gospodarczy definicje Przez wzrost gospodarczy rozumiemy proces powiększania podstawowych wielkości makroekonomicznych w gospodarce, a w szczególności proces powiększania produkcji

Bardziej szczegółowo

Inwestycje (I) Konsumpcja (C)

Inwestycje (I) Konsumpcja (C) Determinanty dochodu narodowego Zadanie 1 Wypełnij podaną tabelę, wiedząc, że wydatki konsumpcyjne stanowią 80% dochody narodowego, inwestycje są wielkością autonomiczną i wynoszą 1.000. Produkcja i dochód

Bardziej szczegółowo

MIKROEKONOMIA. Wykład 3 Mikroanaliza rynku 1 MIKROANALIZA RYNKU

MIKROEKONOMIA. Wykład 3 Mikroanaliza rynku 1 MIKROANALIZA RYNKU Wykład 3 Mikroanaliza rynku 1 MIKROANALIZA RYNKU 1. POPYT Popyt (zapotrzebowanie) - ilość towaru, jaką jest skłonny kupić nabywca po ustalonej cenie rynkowej, dysponując do tego celu odpowiednim dochodem

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 Obszar określoności równania Jeżeli występująca w równaniu y' f ( x, y) funkcja f jest ciągła, to równanie posiada rozwiązanie. Jeżeli f jest nieokreślona w punkcie (x 0,

Bardziej szczegółowo

Jak zmierzyć rozwoju? Standardowe wskaźniki. Tomasz Poskrobko

Jak zmierzyć rozwoju? Standardowe wskaźniki. Tomasz Poskrobko Jak zmierzyć rozwoju? Standardowe wskaźniki Tomasz Poskrobko Produkt krajowy brutto (PKB) wartość rynkową wszystkich finalnych dóbr i usług produkowanych w kraju w danym okresie PKB od strony popytowej

Bardziej szczegółowo

Finanse i Rachunkowość studia stacjonarne lista nr 9 zastosowania metod teorii funkcji rzeczywistych w ekonomii (część II)

Finanse i Rachunkowość studia stacjonarne lista nr 9 zastosowania metod teorii funkcji rzeczywistych w ekonomii (część II) dr inż. Ryszard Rębowski 1 FUNKCJA KOSZTU Finanse i Rachunkowość studia stacjonarne lista nr 9 zastosowania metod teorii funkcji rzeczywistych w ekonomii (część II) 1 Funkcja kosztu Z podstaw mikroekonomii

Bardziej szczegółowo

Decyzje konsumenta I WYBIERZ POPRAWNE ODPOWIEDZI

Decyzje konsumenta I WYBIERZ POPRAWNE ODPOWIEDZI Decyzje konsumenta I WYBIERZ POPRAWNE ODPOWIEDZI 1. Dobrami podrzędnymi nazywamy te dobra: a. które nie mają bliskich substytutów b. na które popyt maleje w miarę wzrostu dochodów konsumenta, przy pozostałych

Bardziej szczegółowo

Ekonomia matematyczna - 1.2

Ekonomia matematyczna - 1.2 Ekonomia matematyczna - 1.2 6. Popyt Marshalla, a popyt Hicksa. Poruszać się będziemy w tzw. standardowym polu preferencji X,, gdzie X R n i jest relacją preferencji, która jest: a) rosnąca (tzn. x y x

Bardziej szczegółowo

J.Brander i P.Krugman (1983): A Reciprocal Dumping Model of International Trade

J.Brander i P.Krugman (1983): A Reciprocal Dumping Model of International Trade J.Brander i P.Krugman (1983): A Reciprocal Dumping Model of International Trade Jan J. Michałek (wersja uproszczona) J.Brander i P.Krugman (1983): A Reciprocal Dumping Model of International Trade - jakie

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Wstęp Konstrukcja modelu matematycznego... 1

Spis treści. Wstęp Konstrukcja modelu matematycznego... 1 Spis treści Wstęp........................................................ XI 1. Konstrukcja modelu matematycznego............................. 1 2. Relacje. Teoria preferencji konsumenta...........................

Bardziej szczegółowo

Makroekonomia 07.03.2008r

Makroekonomia 07.03.2008r Makroekonomia 07.03.2008r CREATED BY HooB Czynniki określające poziom konsumpcji i oszczędności Dochody dyspozycyjne gospodarstw domowych dzielą się na konsumpcję oraz oszczędności. Konsumpcja synonim

Bardziej szczegółowo

MODEL KONKURENCJI DOSKONAŁEJ.

MODEL KONKURENCJI DOSKONAŁEJ. Wykład 4 Konkurencja doskonała i monopol 1 MODEL KONKURENCJI DOSKONAŁEJ. EFEKTYWNOŚĆ RYNKU. MONOPOL CZYSTY. KONKURENCJA MONOPOLISTYCZNA. 1. MODEL KONKURENCJI DOSKONAŁEJ W modelu konkurencji doskonałej

Bardziej szczegółowo

Makroekonomia Wzrost i rozwój gospodarczy

Makroekonomia Wzrost i rozwój gospodarczy Makroekonomia Wzrost i rozwój gospodarczy Zagadnienia 1. Wzrost gospodarczy i stopa wzrostu gospodarczego 2. Czynniki wzrostu gospodarczego 3. Hipoteza konwergencji 4. Teorie wzrostu gospodarczego i modele

Bardziej szczegółowo

Ekonomia. Wykład dla studentów WPiA. Wykład 5: Firma, produkcja, koszty

Ekonomia. Wykład dla studentów WPiA. Wykład 5: Firma, produkcja, koszty Ekonomia Wykład dla studentów WPiA Wykład 5: Firma, produkcja, koszty Popyt i podaż kategorie rynkowe Popyt i podaż to dwa słowa najczęściej używane przez ekonomistów Popyt i podaż to siły, które regulują

Bardziej szczegółowo

Determinanty dochody narodowego. Analiza krótkookresowa

Determinanty dochody narodowego. Analiza krótkookresowa Determinanty dochody narodowego. Analiza krótkookresowa Ujęcie popytowe Według Keynesa, dosyć częstą sytuacją w gospodarce rynkowej jest niepełne wykorzystanie czynników produkcji. W związku z tym produkcja

Bardziej szczegółowo

Teoria wyboru konsumenta. Marta Lubieniecka Tomasz Szemraj

Teoria wyboru konsumenta. Marta Lubieniecka Tomasz Szemraj Teoria wyboru konsumenta Marta Lubieniecka Tomasz Szemraj Teoria wyboru konsumenta 1) Przedmiot wyboru konsumenta na rynku towarów. 2) Zmienne decyzyjne, parametry rynkowe i preferencje jako warunki wyboru.

Bardziej szczegółowo

KOSZTY I OPTIMUM PRZEDSIĘBIORSTWA

KOSZTY I OPTIMUM PRZEDSIĘBIORSTWA PODSTAWOWE POJĘCIA KOSZTY I OPTIMUM PRZEDSIĘBIORSTWA Przedsiębiorstwo - wyodrębniona jednostka gospodarcza wytwarzająca dobra lub świadcząca usługi. Cel przedsiębiorstwa - maksymalizacja zysku Nakład czynniki

Bardziej szczegółowo

ZESTAWY ZADAŃ Z EKONOMII MATEMATYCZNEJ

ZESTAWY ZADAŃ Z EKONOMII MATEMATYCZNEJ ZESTAWY ZADAŃ Z EKONOMII MATEMATYCZNEJ Zestaw 5 1.Narynkuistniejądwajhandlowcyidwatowary,przyczymtowarupierwszegosą3sztuki,adrugiego 2sztuki. a). Jak wygląda zbiór alokacji dopuszczalnych, jeśli towary

Bardziej szczegółowo

przetwórczym (prod. na Lata roboczogodzinę) RFN Włochy Wielka Wielka RFN Włochy Brytania

przetwórczym (prod. na Lata roboczogodzinę) RFN Włochy Wielka Wielka RFN Włochy Brytania Wzrost gospodarczy i determinanty dochodu narodowego Zadanie 1 Które z poniższych sytuacji są symptomami trwałego wzrostu gospodarczego? a) Spadek bezrobocia, b) Wzrost wykorzystania majątku produkcyjnego,

Bardziej szczegółowo

Jerzy Osiatyński. Wybór stopy wzrostu w Kaleckiego teorii wzrostu gospodarki centralnie planowanej a złota reguła akumulacji kapitału *

Jerzy Osiatyński. Wybór stopy wzrostu w Kaleckiego teorii wzrostu gospodarki centralnie planowanej a złota reguła akumulacji kapitału * Jerzy Osiatyński Wybór stopy wzrostu w Kaleckiego teorii wzrostu gospodarki centralnie planowanej a złota reguła akumulacji kapitału * W teorii ekonomii głównego nurtu koncepcja złotej reguły akumulacji

Bardziej szczegółowo

pieniężnej. Jak wpłynie to na: krzywą LM... krajową stopę procentową... kurs walutowy... realny kurs walutowy ( przyjmij e ) ... K eksport netto...

pieniężnej. Jak wpłynie to na: krzywą LM... krajową stopę procentową... kurs walutowy... realny kurs walutowy ( przyjmij e ) ... K eksport netto... ZADANIA, TY I 1. Rozważmy model gospodarki otwartej (IS-LM i B), z płynnym kursem walutowym, gdy (nachylenie LM > nachylenie B). aństwo decyduje się na prowadzenie ekspansywnej polityki krzywą LM krajową

Bardziej szczegółowo

WZROST GOSPODARCZY DEFINICJE CZYNNIKI WZROSTU ZRÓWNOWAŻONY WZROST WSKAŹNIKI WZROSTU GOSPODARCZEGO ROZWÓJ GOSPODARCZY. wewnętrzne: zewnętrzne:

WZROST GOSPODARCZY DEFINICJE CZYNNIKI WZROSTU ZRÓWNOWAŻONY WZROST WSKAŹNIKI WZROSTU GOSPODARCZEGO ROZWÓJ GOSPODARCZY. wewnętrzne: zewnętrzne: DEFINICJE WZROST GOSPODARCZY ROZWÓJ GOSPODARCZY 1. Wzrost gospodarczy zmiany ilościowe: powiększanie się z okresu na okres podstawowych wielkości makroekonomicznych takich jak czy konsumpcja, inwestycje

Bardziej szczegółowo

PLANOWANIE I OCENA PRZEDSIĘWZIĘĆ INWESTYCYJNYCH

PLANOWANIE I OCENA PRZEDSIĘWZIĘĆ INWESTYCYJNYCH Mariusz Próchniak Katedra Ekonomii II, SGH PLANOWANIE I OCENA PRZEDSIĘWZIĘĆ INWESTYCYJNYCH Ekonomia menedżerska 1 2 Wartość przyszła (FV future value) r roczna stopa procentowa B kwota pieniędzy, którą

Bardziej szczegółowo

Inne kryteria tworzenia portfela. Inne kryteria tworzenia portfela. Poziom bezpieczeństwa. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 3. Dr Katarzyna Kuziak

Inne kryteria tworzenia portfela. Inne kryteria tworzenia portfela. Poziom bezpieczeństwa. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 3. Dr Katarzyna Kuziak Inne kryteria tworzenia portfela Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 3 Dr Katarzyna Kuziak. Minimalizacja ryzyka przy zadanym dochodzie Portfel efektywny w rozumieniu Markowitza odchylenie standardowe

Bardziej szczegółowo

5. Utarg krańcowy (MR) można zapisać jako: A)

5. Utarg krańcowy (MR) można zapisać jako: A) 1. Na rynku pewnego dobra działają dwie firmy, które zachowują się zgodnie z modelem Stackelberga. Firmy ponoszą stałe koszty krańcowe równe 24. Odwrócona linia popytu na tym rynku ma postać: P = 480-0.5Q.

Bardziej szczegółowo

WYRÓWNYWANIE POZIOMU ROZWOJU POLSKI I UNII EUROPEJSKIEJ

WYRÓWNYWANIE POZIOMU ROZWOJU POLSKI I UNII EUROPEJSKIEJ dr Barbara Ptaszyńska Wyższa Szkoła Bankowa w Poznaniu WYRÓWNYWANIE POZIOMU ROZWOJU POLSKI I UNII EUROPEJSKIEJ Wprowadzenie Podstawowym celem wspólnoty europejskiej jest wyrównanie poziomu rozwoju poszczególnych

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania

Bardziej szczegółowo

Korzyści i. Niekorzyści skali. produkcji

Korzyści i. Niekorzyści skali. produkcji utarg (przychód) Koszt ekonomiczny utarg (przychód) Zakres tematyczny: Koszty w krótkim i długim okresie 1. Koszty pojęcie 2. Rodzaje kosztów wg różnych kryteriów 3. Krzywe kosztów 4. Zależności pomiędzy

Bardziej szczegółowo

2.1. Charakterystyka elastyczności popytu

2.1. Charakterystyka elastyczności popytu 13 2.ELASTYCZNOŚCI POPYTU Aby zmierzyć siłę i kierunek oddziaływania czynników kształtujących popyt stosuje się różnego rodzaju mierniki. Do najpopularniejszych należą elastyczności popytu, które mierzą

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (postać kierunkowa) Funkcja liniowa to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe Szczególnie ważny w postaci

Bardziej szczegółowo

7. Podatki Podstawowe pojęcia

7. Podatki Podstawowe pojęcia 7. Podatki - 7.1 Podstawowe pojęcia Podatki są poddzielone na dwie kategorie: 1. Bezpośrednie - nałożone bezpośrednio na dochód z pracy. 2. Pośrednie - nałożone na wydatki, np. na różne towary. 1 / 35

Bardziej szczegółowo

Mikroekonomia II Semestr Letni 2014/2015 Ćwiczenia 4, 5 & 6. Technologia

Mikroekonomia II Semestr Letni 2014/2015 Ćwiczenia 4, 5 & 6. Technologia Mikroekonomia II 050-792 Semestr Letni 204/205 Ćwiczenia 4, 5 & 6 Technologia. Izokwanta produkcji to krzywa obrazująca różne kombinacje nakładu czynników produkcji, które przynoszą taki sam zysk. P/F

Bardziej szczegółowo

Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii

Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii Maciej Grzesiak Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii 1 Metoda mnożników Lagrange a znajdowania ekstremum warunkowego Pochodna kierunkowa i gradient Dla prostoty ograniczymy się do

Bardziej szczegółowo

Przegląd termodynamiki II

Przegląd termodynamiki II Wykład II Mechanika statystyczna 1 Przegląd termodynamiki II W poprzednim wykładzie po wprowadzeniu podstawowych pojęć i wielkości, omówione zostały pierwsza i druga zasada termodynamiki. Tutaj wykorzystamy

Bardziej szczegółowo

dr Bartłomiej Rokicki Katedra Makroekonomii i Teorii Handlu Zagranicznego Wydział Nauk Ekonomicznych UW

dr Bartłomiej Rokicki Katedra Makroekonomii i Teorii Handlu Zagranicznego Wydział Nauk Ekonomicznych UW Katedra Makroekonomii i Teorii Handlu Zagranicznego Wydział Nauk Ekonomicznych UW Model klasyczny podstawowe założenia Podstawowe założenia modelu są dokładnie takie same jak w modelu klasycznym gospodarki

Bardziej szczegółowo

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu 1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO

ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP często spotykane w życiu codziennym wybór asortymentu produkcji jakie wyroby i w jakich ilościach powinno produkować przedsiębiorstwo

Bardziej szczegółowo

- potrafi wymienić. - zna hierarchię podział. - zna pojęcie konsumpcji i konsumenta, - zna pojęcie i rodzaje zasobów,

- potrafi wymienić. - zna hierarchię podział. - zna pojęcie konsumpcji i konsumenta, - zna pojęcie i rodzaje zasobów, WYMAGANIA EDUKACYJNE PRZEDMIOT: Podstawy ekonomii KLASA: I TH NUMER PROGRAMU NAUCZANIA: 2305/T-5 T-3,SP/MEN/1997.07.16 L.p. Dział programu 1. Człowiek - konsument -potrafi omówić podstawy ekonomii, - zna

Bardziej szczegółowo

Struktura terminowa rynku obligacji

Struktura terminowa rynku obligacji Krzywa dochodowości pomaga w inwestowaniu w obligacje Struktura terminowa rynku obligacji Wskazuje, które obligacje są atrakcyjne a których unikać Obrazuje aktualną sytuację na rynku długu i zmiany w czasie

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Przedmowa do wydania polskiego Przedmowa WPROWADZENIE

Spis treści. Przedmowa do wydania polskiego Przedmowa WPROWADZENIE Spis treści Przedmowa do wydania polskiego Przedmowa xiii xv WPROWADZENIE l Rozdział l. Ekonomiczne opisanie świata 3 1.1. Stany Zjednoczone 4 1.2. Unia Europejska 10 1.3. Chiny 15 1.4. Spojrzenie na inne

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

I. Podstawowe pojęcia ekonomiczne. /6 godzin /

I. Podstawowe pojęcia ekonomiczne. /6 godzin / PROPOZYCJA ROZKŁADU MATERIAŁU NAUCZANIA PRZEDMIOTU PODSTAWY EKONOMII dla zawodu: technik ekonomista-23,02,/mf/1991.08.09 liceum ekonomiczne, wszystkie specjalności, klasa I, semestr pierwszy I. Podstawowe

Bardziej szczegółowo

Makroekonomia II Rynek pracy

Makroekonomia II Rynek pracy Makroekonomia II Rynek pracy D R A D A M C Z E R N I A K S Z K O Ł A G Ł Ó W N A H A N D L O W A W W A R S Z A W I E K A T E D R A E K O N O M I I I I 2 RÓŻNE TYPY BEZROBOCIA Bezrobocie przymusowe To liczba

Bardziej szczegółowo

Dynamiczne metody oceny opłacalności inwestycji tonażowych

Dynamiczne metody oceny opłacalności inwestycji tonażowych Dynamiczne metody oceny opłacalności inwestycji tonażowych Dynamiczne formuły oceny opłacalności inwestycji tonażowych są oparte na założeniu zmiennej (malejącej z upływem czasu) wartości pieniądza. Im

Bardziej szczegółowo

K wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys. jp.

K wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys. jp. Sprawdzian 2. Zadanie 1. Za pomocą KMNK oszacowano następującą funkcję produkcji: Gdzie: P wartość produkcji, w tys. jp (jednostek pieniężnych) K wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys.

Bardziej szczegółowo

Dr Julia Gorzelany - Plesińska

Dr Julia Gorzelany - Plesińska Przedsiębiorstwo. Teoria kosztów. Dr Julia Gorzelany - Plesińska Przedsiębiorstwo niezależna jednostka gospodarcza, posiadająca zasoby produkcyjne, która została utworzona w celu osiągania zysków ze sprzedaży

Bardziej szczegółowo

Mikroekonomia - Lista 11. Przygotować do zajęć: konkurencja doskonała, konkurencja monopolistyczna, oligopol, monopol pełny, duopol

Mikroekonomia - Lista 11. Przygotować do zajęć: konkurencja doskonała, konkurencja monopolistyczna, oligopol, monopol pełny, duopol Mikroekonomia - Lista 11 Przygotować do zajęć: konkurencja doskonała, konkurencja monopolistyczna, oligopol, monopol pełny, duopol Konkurencja doskonała 1. Model konkurencji doskonałej opiera się na następujących

Bardziej szczegółowo

ZADANIA DO ĆWICZEŃ. 1.4 Gospodarka wytwarza trzy produkty A, B, C. W roku 1980 i 1990 zarejestrowano następujące ilości produkcji i ceny:

ZADANIA DO ĆWICZEŃ. 1.4 Gospodarka wytwarza trzy produkty A, B, C. W roku 1980 i 1990 zarejestrowano następujące ilości produkcji i ceny: ZADANIA DO ĆWICZEŃ Y produkt krajowy brutto, C konsumpcja, I inwestycje, Y d dochody osobiste do dyspozycji, G wydatki rządowe na zakup towarów i usług, T podatki, Tr płatności transferowe, S oszczędności,

Bardziej szczegółowo

Poniższy rysunek obrazuje zależność między rynkiem pracy a krzywą AS tłumaczy jej dodatnie nachylenie.

Poniższy rysunek obrazuje zależność między rynkiem pracy a krzywą AS tłumaczy jej dodatnie nachylenie. AS a rynek pracy Poniższy rysunek obrazuje zależność między rynkiem pracy a krzywą AS tłumaczy jej dodatnie nachylenie. AS Zakładając, że jedynym (lub najważniejszym) czynnikiem produkcji jest praca, możemy

Bardziej szczegółowo

PAŃSTWOWA WYŻSZA SZKOŁA ZAWODOWA W NOWYM SĄCZU SYLABUS PRZEDMIOTU. Obowiązuje od roku akademickiego: 2010/2011

PAŃSTWOWA WYŻSZA SZKOŁA ZAWODOWA W NOWYM SĄCZU SYLABUS PRZEDMIOTU. Obowiązuje od roku akademickiego: 2010/2011 PAŃSTWOWA WYŻSZA SZKOŁA ZAWODOWA W NOWYM SĄCZU SYLABUS PRZEDMIOTU Obowiązuje od roku akademickiego: 2010/2011 Instytut Ekonomiczny Kierunek studiów: Ekonomia Kod kierunku: 04.9 Specjalność: brak 1. PRZEDMIOT

Bardziej szczegółowo

Użyteczność całkowita

Użyteczność całkowita Teoria konsumenta 1.Użyteczność całkowita i krańcowa 2.Preferencje konsumenta, krzywa obojętności i mapa obojętności 3.Równowaga konsumenta, nadwyżka konsumenta 4.Zmiany dochodów i zmiany cen dóbr oraz

Bardziej szczegółowo

Bardzo dobra Dobra Dostateczna Dopuszczająca

Bardzo dobra Dobra Dostateczna Dopuszczająca ELEMENTY EKONOMII PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Klasa: I TE Liczba godzin w tygodniu: 3 godziny Numer programu: 341[02]/L-S/MEN/Improve/1999 Prowadzący: T.Kożak- Siara I Ekonomia jako nauka o gospodarowaniu

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie Po co uczyć (się) teorii ekonomii?

Wprowadzenie Po co uczyć (się) teorii ekonomii? Wprowadzenie Po co uczyć (się) teorii ekonomii? a po co uczyć matematyki? - ćwiczenie umysłu żeby oswoić studentów z terminologią później pisząc pracę magisterską czy też komunikując się z innymi nie muszą

Bardziej szczegółowo

KOSZTY, PRZYCHODY I ZYSKI W RÓŻNYCH STRUKTURACH RYNKOWYCH. I. Koszty całkowite, przeciętne i krańcowe. Pojęcie kosztów produkcji

KOSZTY, PRZYCHODY I ZYSKI W RÓŻNYCH STRUKTURACH RYNKOWYCH. I. Koszty całkowite, przeciętne i krańcowe. Pojęcie kosztów produkcji KOSZTY, PRZYCHODY I ZYSKI W RÓŻNYCH STRUKTURACH RYNKOWYCH Opracowanie: mgr inż. Dorota Bargieł-Kurowska I. Koszty całkowite, przeciętne i krańcowe. Pojęcie kosztów produkcji Producent, podejmując decyzję:

Bardziej szczegółowo

Każde pytanie zawiera postawienie problemu/pytanie i cztery warianty odpowiedzi, z których tylko jedna jest prawidłowa.

Każde pytanie zawiera postawienie problemu/pytanie i cztery warianty odpowiedzi, z których tylko jedna jest prawidłowa. Każde pytanie zawiera postawienie problemu/pytanie i cztery warianty odpowiedzi, z których tylko jedna jest prawidłowa. 1. Możliwości finansowe konsumenta opisuje równanie: 2x + 4y = 1. Jeżeli dochód konsumenta

Bardziej szczegółowo

OCENA EFEKTYWNOŚCI INWESTYCJI. Jerzy T. Skrzypek

OCENA EFEKTYWNOŚCI INWESTYCJI. Jerzy T. Skrzypek OCENA EFEKTYWNOŚCI INWESTYCJI Jerzy T. Skrzypek 1 2 3 4 5 6 7 8 Analiza płynności Analiza rentowności Analiza zadłużenia Analiza sprawności działania Analiza majątku i źródeł finansowania Ocena efektywności

Bardziej szczegółowo

Matematyka bankowa 1 1 wykład

Matematyka bankowa 1 1 wykład Matematyka bankowa 1 1 wykład Dorota Klim Department of Nonlinear Analysis, Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Łódź, Banacha 22, 90-238 Łódź, Poland E-mail address: klimdr@math.uni.ldz.pl

Bardziej szczegółowo

W celu obliczenia charakterystyki częstotliwościowej zastosujemy wzór 1. charakterystyka amplitudowa 0,

W celu obliczenia charakterystyki częstotliwościowej zastosujemy wzór 1. charakterystyka amplitudowa 0, Bierne obwody RC. Filtr dolnoprzepustowy. Filtr dolnoprzepustowy jest układem przenoszącym sygnały o małej częstotliwości bez zmian, a powodującym tłumienie i opóźnienie fazy sygnałów o większych częstotliwościach.

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE A. RÓWNANIA RZĘDU PIERWSZEGO Uwagi ogólne Równanie różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego zawiera. Poza tym może zawierać oraz zmienną. Czyli ma postać ogólną Na przykład

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24)

Podstawy Automatyki. wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24) Podstawy Automatyki wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak Politechnika Wrocławska Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24) Laboratorium Podstaw Automatyzacji (L6) 105/2 B1 Sprawy organizacyjne

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Od autorów Przedmowa do wydania trzeciego E. Kwiatkowski

Spis treści. Od autorów Przedmowa do wydania trzeciego E. Kwiatkowski Spis treści Od autorów Przedmowa do wydania trzeciego E. Kwiatkowski CZĘŚĆ I. WPROWADZENIE DO EKONOMII Rozdział 1. Podstawowe pojęcia i przedmiot ekonomii S. Krajewski, R. Milewski 1.1. Czym się zajmuje

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA Proporcjonalnością prostą nazywamy zależność między dwoma wielkościami zmiennymi x i y, określoną wzorem: y = a x Gdzie a jest

Bardziej szczegółowo

TEORIA DECYZJE KRÓTKOOKRESOWE

TEORIA DECYZJE KRÓTKOOKRESOWE TEORIA DECYZJE KRÓTKOOKRESOWE 1. Rozwiązywanie problemów decyzji krótkoterminowych Relacje między rozmiarami produkcji, kosztami i zyskiem wykorzystuje się w procesie badania opłacalności różnych wariantów

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH Transport, studia I stopnia Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym

Bardziej szczegółowo

Polityka fiskalna i pieniężna

Polityka fiskalna i pieniężna Ćwiczenia z akroekonomii II Polityka fiskalna i pieniężna Deficyt budżetowy i cykle koniunkturalne na wstępie zaznaczyliśmy, że wielkość deficytu powinna zależeć od tego w jakiej fazie cyklu koniunkturalnego

Bardziej szczegółowo

Model Keynesa. wydatki zagregowane są sumą popytu konsumpcyjnego i inwestycyjnego

Model Keynesa. wydatki zagregowane są sumą popytu konsumpcyjnego i inwestycyjnego Model Keynesa Model Keynesa opracowany w celu wyjaśnienia przyczyn wysokiego poziomu bezrobocia i niskiego poziomu produkcji, obserwowanych w latach 30-tych (okres Wielkiego Kryzysu). Jest to model krótkookresowy,

Bardziej szczegółowo

Model dopasowywania się cen na rynku

Model dopasowywania się cen na rynku Model dopasowywania się cen na rynku autor: Milena Ścisłowska Uniwersytet Kardynała Stefana Wyszyńskiego, wydział Matematyczno Przyrodniczy Warszawa 2013 Prosty model rynku - kupujący i sprzedający na

Bardziej szczegółowo

Metody niedyskontowe. Metody dyskontowe

Metody niedyskontowe. Metody dyskontowe Metody oceny projektów inwestycyjnych TEORIA DECYZJE DŁUGOOKRESOWE Budżetowanie kapitałów to proces, który ma za zadanie określenie potrzeb inwestycyjnych przedsiębiorstwa. Jest to proces identyfikacji

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego 5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =

Bardziej szczegółowo

Analiza cykli koniunkturalnych model ASAD

Analiza cykli koniunkturalnych model ASAD Analiza cykli koniunkturalnych model AS odstawowe założenia modelu: ceny i płace mogą ulegać zmianom (w odróżnieniu od poprzednio omawianych modeli) punktem odniesienia analizy jest obserwacja poziomu

Bardziej szczegółowo

2. LICZBY RZECZYWISTE Własności liczb całkowitych Liczby rzeczywiste Procenty... 24

2. LICZBY RZECZYWISTE Własności liczb całkowitych Liczby rzeczywiste Procenty... 24 SPIS TREŚCI WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI ALGEBRAICZNE 7 Wyrażenia algebraiczne 0 Równania i nierówności algebraiczne LICZBY RZECZYWISTE 4 Własności liczb całkowitych 8 Liczby rzeczywiste

Bardziej szczegółowo

2.1 Wartość Aktualna Renty Stałej

2.1 Wartość Aktualna Renty Stałej 2.1 Wartość Aktualna Renty Stałej Zakładamy że dana osoba ma dostać kwotę o stałej wartości nominalnej x przez N okresów (zwykle miesięcznie lub rocznie), np. stała renta/emerytura. Zakładamy że pierwsza

Bardziej szczegółowo

STOPA DYSKONTOWA 1+ =

STOPA DYSKONTOWA 1+ = Piotr Cegielski, MAI, MRICS, CCIM STOPA DYSKONTOWA (Wybrane fragmenty artykułu opublikowanego w C.H. Beck Nieruchomości, numer 10 z 2011 r. Całość dostępna pod adresem internetowym: www.nieruchomosci.beck.pl)

Bardziej szczegółowo

Centrum Europejskie Ekonomia. ćwiczenia 3

Centrum Europejskie Ekonomia. ćwiczenia 3 Centrum Europejskie Ekonomia ćwiczenia 3 Elastyczność popytu i podaży, Wybór konsumenta efekt substytucyjny i dochodowy Tomasz Gajderowicz. Agenda Kartkówka Elastyczność popytu i podaży Wybór konsumenta

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

Popyt, podaż i wszystko co z Nimi związane. Mgr Michał Ferdzyn SWSPiZ

Popyt, podaż i wszystko co z Nimi związane. Mgr Michał Ferdzyn SWSPiZ Popyt, podaż i wszystko co z Nimi związane Mgr Michał Ferdzyn SWSPiZ POPYT to zależność pomiędzy ilością dobra, którą chcą i mogą kupić konsumenci, a ceną tego dobra. Popyt jest przedstawiany za pomocą

Bardziej szczegółowo

Podaż firmy. Zakładamy, że firmy maksymalizują zyski

Podaż firmy. Zakładamy, że firmy maksymalizują zyski odaż firmy Zakładamy, że firmy maksymalizują zyski Inne cele działalności firm: Maksymalizacja przychodów Maksymalizacja dywidendy Maksymalizacja zysków w krótkim okresie Maksymalizacja udziału w rynku

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena. w nauczaniu matematyki w zakresie. podstawowym dla uczniów technikum. część II

Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena. w nauczaniu matematyki w zakresie. podstawowym dla uczniów technikum. część II Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena w nauczaniu matematyki w zakresie podstawowym dla uczniów technikum część II Figury na płaszczyźnie kartezjańskiej L.p. Temat lekcji Uczeń demonstruje opanowanie

Bardziej szczegółowo

Zakres materiału obowiązujący do egzaminu poprawkowego z matematyki klasa 1 d LO

Zakres materiału obowiązujący do egzaminu poprawkowego z matematyki klasa 1 d LO Zakres materiału obowiązujący do egzaminu poprawkowego z matematyki klasa 1 d LO Dział programowy. Zakres realizacji 1. Liczby, działania i procenty Liczby wymierne i liczby niewymierne-działania, kolejność

Bardziej szczegółowo

Wzrost i rozwój gospodarczy. Edyta Ropuszyńska-Surma

Wzrost i rozwój gospodarczy. Edyta Ropuszyńska-Surma Wzrost i rozwój gospodarczy Edyta Ropuszyńska-Surma Zagadnienia Wzrost gospodarczy i stopa wzrostu gospodarczego. Teorie wzrostu gospodarczego. Granice wzrostu. Modele wzrostu. Wzrost gospodarczy i polityka

Bardziej szczegółowo

M10. Własności funkcji liniowej

M10. Własności funkcji liniowej M10. Własności funkcji liniowej dr Artur Gola e-mail: a.gola@ajd.czest.pl pokój 3010 Definicja Funkcję określoną wzorem y = ax + b, dla x R, gdzie a i b są stałymi nazywamy funkcją liniową. Wykresem funkcji

Bardziej szczegółowo

Podstawy Ekonomii Fundamentals Economy. INŻYNIERIA ŚRODOWISKA I stopień ogólnoakademicki. niestacjonarne

Podstawy Ekonomii Fundamentals Economy. INŻYNIERIA ŚRODOWISKA I stopień ogólnoakademicki. niestacjonarne KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2012/2013 Podstawy Ekonomii Fundamentals Economy A. USYTUOWANIE MODUŁU W SYSTEMIE

Bardziej szczegółowo

Lista 5. Cykle koniunkturalne

Lista 5. Cykle koniunkturalne Zad. 1. Dopasuj definicję do podanych zdań: Lista 5 Cykle koniunkturalne 1. Cykl gospodarczy 2. Cykl koniunkturalny 3. Długość cyklu 4. Amplituda wahań 5. Trend 6. rodukt potencjalny 7. Luka KB 8. Cykl

Bardziej szczegółowo

Akademia Młodego Ekonomisty

Akademia Młodego Ekonomisty Akademia Młodego Ekonomisty Wahania koniunktury gospodarczej Ożywienie i recesja w gospodarce Dr Joanna Czech-Rogosz Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 16.04.2012 1. Co to jest koniunktura gospodarcza?

Bardziej szczegółowo

WSTĘP ZAŁOŻENIA DO PROJEKTU

WSTĘP ZAŁOŻENIA DO PROJEKTU UNIWERSYTET ZIELONOGÓRSKI WYDZIAŁ ZARZĄDZANIA Przykład analizy opłacalności przedsięwzięcia inwestycyjnego WSTĘP Teoria i praktyka wypracowały wiele metod oceny efektywności przedsięwzięć inwestycyjnych.

Bardziej szczegółowo