Zależności w danych. Korelacja i regresja. Agnieszka Nowak Brzezińska SMAD

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Zależności w danych. Korelacja i regresja. Agnieszka Nowak Brzezińska SMAD"

Transkrypt

1 Zależności w danych. Korelacja i regresja Agnieszka Nowak Brzezińska SMAD

2 Korelacja Zależność korelacyjna pomiędzy cechami X i Y charakteryzuje sie tym, że wartościom jednej cechy są przyporządkowane ściśle określone wartości średnie drugiej cechy.

3 Celem analizy korelacji jest stwierdzenie, czy między badanymi zmiennymi zachodzą jakieś zależności, jaka jest ich siła, jaka jest ich postać i kierunek. Współzależność między zmiennymi może być dwojakiego rodzaju: funkcyjna lub stochastyczna (probabilistyczna). Istota zależności funkcyjnej polega na tym, że zmiana wartości jednej zmiennej powoduje ściśle określoną zmianę wartości drugiej zmiennej. W przypadku zależności funkcyjnej: określonej wartości jednej zmiennej (X) odpowiada jedna i tylko jedna wartość drugiej zmiennej (Y). Zależność probabilistyczna występuje wtedy, gdy wraz ze zmianą wartości jednej zmiennej zmienia się rozkład prawdopodobieństwa drugiej zmiennej. Szczególnym przypadkiem jest zależność korelacyjna, które polega na tym, że określonym wartościom jednej zmiennej odpowiadają ściśle określone średnie wartości drugiej zmiennej. Możemy wtedy ustalić, jak zmieni się średnio biorąc wartość zmiennej zależnej Y w zależności od wartości zmiennej niezależnej X.

4

5 Siłę liniowego związku pomiędzy dwiema zmiennymi, jest współczynnik korelacji z próby r. Przyjmuje wartości z przedziału domkniętego <-1;1>. Wartość -1 oznacza występowanie doskonałej korelacji ujemnej (punkty leżą dokładnie na prostej, skierowanej w dół), a wartość 1 oznacza doskonałą korelację dodatnią (punkty leżą dokładnie na prostej, skierowanej w górę). Wartość 0 oznacza brak korelacji liniowej. Wzór za pomocą którego oblicza się współczynnik korelacji ma postać: Gdzie x i i y i oznaczają odpowiednio wartości zmiennych x i y, a x i y średnie wartości tych zmiennych.

6 Koniecznie zrobić wykres rozrzutu Po obliczeniu wartości współczynnika korelacji zawsze zalecane jest utworzenie wykresu rozrzutu. To po to, by wizualnie stwierdzić, czy badany związek rzeczywiście najlepiej opisuje funkcja liniowa. Może być tak, że wyliczona wartość współczynnika jest bliska 0, ale między zmiennymi występuje zależność, tyle że nieliniowa.

7

8

9

10 Badanie istotności korelacji Współczynnik korelacji r (z próby) stanowi ocenę współczynnika korelacji q w zbiorowości generalnej i w związku z tym jest obciążony pewnym błędem. Współczynnik korelacji jest statystyką, w związku z czym powinien być traktowany jako zmienna losowa. Jeśli zatem N-elementowa próba została pobrana ze zbiorowości generalnej o dwuwymiarowym rozkładzie normalnym z parametrem q=0, a więc gdy zmienne X i Y są nieskorelowane i zarazem niezależne, to zmienna losowa o postaci: Ma rozkład t Studenta o N-2 stopniach swobody. W praktyce oznacza, to, że formułujemy hipotezę zerową: H0: q=0 i hipotezę alternatywną H1: q 0 A następnie porównujemy wartość graniczną alfa z wartością obliczoną t i podejmujemy odpowiednią decyzję odnośnie H0

11

12 Ogólna postać miary korelacji: > cor( var1, var2, method = "method") Opcja domyślna to miara korelacji Pearsona cor(var1, var2) Gdy chcemy miary Rang Spearmana: cor(var1, var2, method = "spearman") gdy chcemy użyć zbioru danych zamiast osobnych zmiennych: cor(dataset, method = "pearson")

13 Istotność korelacji Jeśli chcemy poznać stopień istotności korelacji między badanymi zmiennymi musimy użyć dodatkowo funkcji do testowania korelacji: cor.test() > cor.test(var1, var2, method = "method") Domyślnie stosowana jest tu także miara Pearsona. >cor.p = cor.test(var1, var2) Jeśli chcemy użyć innej musimy ją określić: >cor.s = cor.test(var1, var2, method = "spearman")

14 Wynik > cor.s Spearman's rank correlation rho data: y and x1 S = , p-value = alternative hypothesis: true rho is not equal to 0 sample estimates: rho >

15

16

17

18 Reprezentacja graficzna korelacji. Funkcja plot() > plot(x.var, y.var) Gdy chcemy nadać tytuły osiom x i y > plot(x.var, y.var, xlab="x-axis", ylab="yaxis") Gdy chcemy ingerować w symbol punktu na wykresie > plot(x.var, y.var, pch=16) Chcąc dodać linię najlepszego dopasowania do rozrzutu punktów: > abline(lm(y.var ~ x.var)

19 Korelacja w R krok po kroku znaczenie Komenda w środowisku R Odczyt danych z wskazanej lokalizacji Podłączenie do danych spoza R Wybór miary korelacji. Domyślna jest pearson.inne możliwe to "kendal" oraz "spearman your.data = read.csv(file.choose()) attach(your.data) your.cor = cor(var1, var2, method = "pearson") Wyświetlenie wartości korelacji your.cor Korelacja parami cor.mat = cor(your.data, method = "pearson ) Określenie istotności korelacji cor.test(var1, var2, method="spearman") Wyświetlenie wykresu rozrzutu. Punkt jako otwarte kółko Dopasowanie linii regresji plot(x.var, y.var, xlab="x-label", ylab="ylabel", pch=21)) abline(lm(y.var ~ x.var)

20

21

22

23

24 Kiedy korelogram? Jeżeli obie cechy X i Y są mierzalne, to analizę zależności rozpoczynamy od sporządzenia korelogramu. Korelogram jest to wykres punktowy par {(x i, y i )}. W kartezjańskim układzie współrzędnych O(x,y) pary te odpowiadają punktom o współrzędnych (x,y). Jeżeli otrzymamy bezwładny zbiór punktów, który nie przypomina kształtem wykresu znanego związku funkcyjnego, to powiemy że pomiędzy cechami X i Y nie ma zależności.

25 Zależność liniowa Na rysunkach smuga punktów układa się wzdłuż linii prostej. Czyli istnieje zależność pomiędzy cechami X i Y i jest to związek liniowy; zależność liniowa.

26 Błędy we wnioskowaniu o zależności cech X i Y Rysunek (z lewej) za mało danych. Zebrano dane (punkty obwiedzione kwadratem) i z korelogramu wynika brak zależności. W rzeczywistości jest zależność liniowa. Rysunek (z prawej) nietypowe dane. Trzy ostatnie punkty (odseparowane) to dane nietypowe. Sugerują zależność nieliniową (parabola). Po odrzuceniu tych nietypowych informacji widać, że jest wyraźna zależność liniowa.

27 Zależność nieliniowa Na rysunku widać, że smuga punktów układa sie w kształt paraboli. Powiemy zatem, że istnieje zależność pomiędzy cechami X i Y i jest to związek nieliniowy; zależność nieliniowa.

28 korelogram Pakiet corrgram install.package(corrgram) on potrzebuje pakietów: seriation, TSP

29 > corrgram(mtcars, order=true, lower.panel=panel.shade,upper.panel=panel.pie, text.panel=panel.txt,main="car Milage Data in PC2/PC1 Order") >

30 corrgram(x, order =, panel=, lower.panel=, upper.panel=, text.panel=, diag.panel=) x is a data frame with one observation per row. order=true will cause the variables to be ordered using principal component analysis of the correlation matrix. panel= refers to the off-diagonal panels. You can use lower.panel= and upper.panel= to choose different options below and above the main diagonal respectively. text.panel= and diag.panel= refer to the main diagnonal. Allowable parameters are given below. off diagonal panels panel.pie (the filled portion of the pie indicates the magnitude of the correlation) panel.shade (the depth of the shading indicates the magnitude of the correlation) panel.ellipse (confidence ellipse and smoothed line) panel.pts (scatterplot) main diagonal panels panel.minmax (min and max values of the variable) panel.txt (variable name).

31

32

33

34

35 Korelacja w zbiorze faithful > duration = faithful$eruptions # the eruption durations > waiting = faithful$waiting # the waiting period > cor(duration, waiting) # apply the cor function [1]

36 . Niech x i y będą zmiennymi losowymi o ciągłych rozkładach. x i oraz y i oznaczają wartości prób losowych tych zmiennych (i=1,2,..,n), natomiast - wartości średnie z tych prób. Wówczas estymator współczynnika korelacji liniowej definiuje się następująco: Ogólnie współczynnik korelacji liniowej dwóch zmiennych jest ilorazem kowariancji i iloczynu odchyleń standardowych tych zmiennych: Im bardziej wartość współczynnika korelacji jest bliska wartości 1, tym większa (dodatnia) zależność liniowa między zmiennymi x i y. Gdy współczynnik korelacji jest blisko wartości -1, oznacza to tzw. ujemną korelację liniową. Wartość bliska 0 oznacza brak zależności między badanymi zmiennymi.

37 INTERPRETACJA współczynnika korelacji r xy Znak współczynnika r xy mówi nam o kierunku zależności. I tak: znak plus zależność liniowa dodatnia, tzn. wraz ze wzrostem wartości jednej cechy rosną średnie wartości drugiej z cech, znak minus zależność liniowa ujemna, tzn. wraz ze wzrostem wartości jednej cechy maleją średnie wartości drugiej z cech. Wartosc bezwzględna współczynnika korelacji, czyli r xy, mówi nam o sile zależności. Jeżeli wartość bezwzględna r xy : jest mniejsza od 0,2, to praktycznie brak związku liniowego pomiędzy badanymi cechami, 0,2 0,4 - zależność liniowa wyraźna, lecz niska, 0,4 0,7 - zależność liniowa umiarkowana, 0,7 0,9 - zależność liniowa znacząca, powyżej 0,9 - zależność liniowa bardzo silna.

38 przykład W grupie 7 studentów badano zależność pomiędzy oceną z egzaminu z programowania (Y), a liczbą dni poświęconych na naukę (X).

39 Korelogram Wykres rozproszenia graficzne przedstawienie próbki w postaci punktów na płaszczyźnie O(x,y).

40 Współczynnik korelacji liniowej Pearsona r xy Współczynnik r xy jest miernikiem siły związku prostoliniowego między dwoma cechami mierzalnymi. Związkiem prostoliniowym nazywamy taką zależność, w której jednostkowym przyrostom jednej zmiennej (przyczyny) towarzyszy, średnio biorąc, stały przyrost drugiej zmiennej (skutku). Wzór na współczynnik korelacji liniowej Pearsona jest wyznaczany poprzez standaryzację kowariancji.

41 Kowariancja jest średnią arytmetyczną iloczynu odchyleń wartości zmiennych X i Y od ich średnich arytmetycznych: n 1 cov( x, y) cov( y, x) ( x1 x)( y1 n i 1 cov(x,y) = 0 brak zależności korelacyjnej; cov(x,y) < 0 ujemna zależność korelacyjna; cov(x,y) > 0 dodatnia zależność korelacyjna. y) xy x y Kowariancja przyjmuje wartości liczbowe z przedziału: [-s(x)s(y), +s s(x)s(y)], gdzie s(x) i s(y) są odchyleniami standardowymi odpowiednich zmiennych. Jeżeli cov(x,y) = -s(x)s(y), to między zmiennymi istnieje ujemny związek funkcyjny. Przy dodatnim związku funkcyjnym cov(x,y) = +s(x)s(y). Kowariancja charakteryzuje współzmienność badanych zmiennych, ale jej wartość zależy od rzędu wielkości, w jakich wyrażone są obydwie cechy, co powoduje, że nie można jej wykorzystać w sposób bezpośredni do porównań.

42 współczynnik korelacji linowej Pearsona, wyznaczony przez standaryzację kowariancji: To unormowany miernik natężenia i kierunku współzależności liniowej dwóch zmiennych mierzalnych X i Y : r xy r cov( x, y) s( x) s( y) Współczynnik korelacji liniowej Pearsona jest miarą unormowaną, przyjmującą wartości z przedziału: -1 < r xy <+1. Dodatni znak współczynnika korelacji wskazuje na istnienie współzależności pozytywnej (dodatniej), ujemny zaś oznacza współzależność negatywną (ujemną). yx

43 Widać tutaj wyraźną zależność liniową (dodatnią). Obliczamy współczynnik korelacji (Pearsona). UWAGA! Liczebność populacji jest mała (n=7). Użyjemy tak małego przykładu tylko dlatego, aby sprawnie zilustrować procedurę liczenia. Obliczanie średnich, wariancji oraz kowariancji.

44 INTERPRETACJA W badanej grupie studentów wystąpiła bardzo silna dodatnia (znak plus) zależność liniowa pomiędzy czasem nauki (cecha X), a uzyskaną oceną z egzaminu (cecha Y). Oznacza to, że wraz ze wzrostem czasu poświęconego na naukę rosła w tej grupie uzyskiwana ocena.

45 W pewnym Urzędzie Stanu Cywilnego pewnego dnia przeprowadzono badanie nowo zawartych małżeństw wg wieku żony i męża. Wyniki badania losowo pobranych par przedstawiono niżej. Określić siłę i kierunek zależności między badanymi zmiennymi.

46 Na podstawie analizy diagramu punktowego (korelacyjnego) można stwierdzić, że zależność między badanymi zmiennymi ma charakter prostoliniowy. Dlatego też siłę i kierunek zależności można ocenić przy użyciu współczynnika korelacji liniowej Pearsona. Aby go obliczyć należy wykonać obliczenia pomocnicze:

47 Średni wiek kobiet zawierających w badanym dniu związek małżeński wynosi: x 235 :10 23,5 lat. Średni wiek mężczyzny wynosi: y 238 :10 23,8 lat. W celu obliczenia współczynnika korelacji liniowej Pearsona niezbędna jest znajomość odchyleń standardowych obydwu cech: s(x) Odchylenie standardowe wieku kobiet jest równe: Odchylenie standardowe wieku mężczyzn jest równe: s(y) Dysponując powyższymi informacjami możemy obliczyć współczynnik korelacji liniowej Pearsona: 134 rxy 0, ,8 4,1 r 2 xy 0,7396 n i 1 n i 1 ( ( x i y i n n x) 2 y) 2 142, ,6 10 3,8 4,1 lat lat

48 Zatem współczynnik korelacji liniowej Pearsona jest równy: r r xy 2 xy ,7 2,7 0, ,68 Na tej podstawie można stwierdzić, że między liczbą sal a liczbą uczniów w szkole zachodzi dosyć silna dodatnia zależność korelacyjna. Zmienność jednej cechy jest w 46,42% wyjaśniona zmiennością drugiej

49

50 Dane jakościowe Często jest tak, że dane dla których chcemy mierzyć korelację, nie są danymi ilościowymi. Wtedy nie możemy użyć współczynnika korelacji liniowej Pearsona. Współczynnik korelacji rang Spearmana został opracowany właśnie dla takich przypadków.

51 WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI RANG (Spearmana) Współczynnik korelacji rang (Spearmana) r S używamy w przypadku gdy: 1. choć jedna z badanych cech jest cecha jakościowa (niemierzalna), ale istnieje możliwość uporządkowania (ponumerowania) wariantów każdej z cech; 2. cechy maja charakter ilościowy (mierzalny), ale liczebność zbiorowości jest mała (n<30). Numery jakie nadajemy wariantom cech noszą nazwę rang. UWAGA! W procesie nadawania rang stymulanty porządkujemy malejąco, a destymulanty rosnąco. UWAGA! W procesie nadawania rang może zdarzyć sie więcej niż 1 jednostka o takiej samej wartości cechy (np. k jednostek). Wówczas należy na chwile nadać tym jednostkom kolejne rangi. Następnie należy zsumować takie rangi i podzielić przez k (otrzymamy w ten sposób średnią rangę dla tej grupy k jednostek). W ostateczności każda jednostka z tych k jednostek otrzyma identyczną rangę (średnia dla danej grupy k jednostek).

52 Wartość współczynnika korelacji rang (Spearmana) potwierdza bardzo silną, dodatnią (znak plus) zależność pomiędzy czasem nauki (X), a uzyskaną oceną (Y).

53 Współczynnik korelacji kolejnościowej (rang) Spearmana Współczynnik ten służy do opisu siły korelacji dwóch cech, szczególnie wtedy, gdy mają one charakter jakościowy i istnieje możliwość uporządkowania obserwacji w określonej kolejności. Miarę tę można stosować również do badania zależności między cechami ilościowymi w przypadku niewielkiej liczby obserwacji. Współczynnik rang Spearmana obliczamy ze wzoru: r s 6 n i n( n d 2 i 1) Gdzie: d i różnice między rangami odpowiadających sobie wartości cechy x i i cechy y i (i=1, 2,..., n).

54 współczynnik korelacji rang Spearmana Jednym ze współczynników korelacji obliczanych dla danych rangowych jest, określony wzorem gdzie Własności: Współczynnik r S przyjmuje wartości z przedziału [-1; 1]. Wartość r S = 1 oznacza, że istnieje całkowita zgodność uporządkowań wg rang a i i b i. Wartość r S = -1 oznacza z kolei pełną przeciwstawność uporządkowań między rangami. Wartość r S = 0 oznacza brak korelacji rang.

55 przykład Przypuśćmy, że porządkujemy 4 studentów w zależności od stopnia ich zdolności matematycznych, zaczynając od studenta najlepszego, któremu przydzielamy numer 1, a kończąc na studencie najsłabszym, któremu przydzielamy numer 4 (ocenę zdolności powierzamy np. ekspertowi) Mówimy wówczas, że studenci zostali uporządkowani w kolejności rang, a numer studenta jest jego rangą. Oznaczmy rangi poszczególnych studentów przez a i. Przykładowo, niech: a1 = 4; a2 = 2; a3 = 3; a4 = 1; co oznacza, że w badanej grupie, ustawionej w kolejności alfabetycznej, pierwszy student (oznaczmy go umownie literą A) jest najsłabszy, student B dobry, student C słaby, a student D najlepszy.

56

57 Analiza korelacji i regresji jest działem statystyki zajmującym się badaniem związków i zależności pomiędzy rozkładami dwu lub więcej badanych cech w populacji generalnej. Termin regresja dotyczy kształtu zależności pomiędzy cechami. Dzieli się na analizę regresji liniowej i nieliniowej. W przypadku analizy nieliniowej, graficzną reprezentacją współzależności są krzywe wyższego rzędu np. parabola. Pojęcie korelacji dotyczy siły badanej współzależności. Analiza regresji i korelacji może dotyczyć dwóch i większej ilości zmiennych (analiza wieloraka). W tym miejscu zajmować się będziemy jedynie najprostszym przypadkiem regresji prostoliniowej dwóch zmiennych.

58 Współczynnik determinacji r = 0 r 2 = 0 r =.80 r 2 =.64 r = 1 r 2 = 1 Współczynnik korelacji r dostarcza miar stopnia zależności między danych Współczynnik determinacji r 2 dostarcza miary siły tej zależności. Informuje on o tym, jaka część zmienności całkowitej zmiennej losowej Y została wyjaśniona regresją liniową względem X.

59 Współczynnik determinacji R 2 r 2 jest często używany i nosi nazwę współczynnika determinacji. Jest to frakcja zmienności wartości Y, które można wytłumaczyć najmniejszych kwadratów regresji y na x i. Współczynniki korelacji, których wielkość wynosi: od 0,9 i 1,0 wskazują zmienne, które bardzo silnie skorelowane. od 0,7 do 0,9 wskazują zmienne wysoce skorelowane. od 0,5 do 0,7 to zmienne umiarkowanie skorelowane. od 0,3 do 0,5 zmienne, które mają niską korelację. Możemy łatwo zauważyć, że: 0,9 < r <1,0 odpowiada 0,81 <r 2 <1,00; 0,7 < r <0,9 odpowiada 0,49 <r 2 <0,81; 0,5 < r <0,7 odpowiada 0,25 <r 2 <0,49; 0.3 < r <0,5 wiąże się z 0,09 <r 2 <0,25 oraz 0,0 < r <0,3 odpowiada z 0,0 <r 2 <0.09.

60 Kwadrat współczynnika korelacji z próby nazywany jest współczynnikiem determinacji i jest on, drugim poza współczynnikiem korelacji miernikiem siły związku między zmiennymi. Interpretacja współczynnika determinacji podaje on w jakiej części zmienność jednej cechy jest wyjaśniona przez drugą cechę.

61 Współczynnik determinacji r =.93 r 2 = (.93) 2 r 2 =.86

62 Korelacja nieliniowa jest trudniejsza do interpretacji. Czym charakteryzuje się nieliniowość lub liniowość korelacji (oprócz linii w diagramie)? W przypadku, gdy korelacja jest liniowa można stwierdzić, iż wartości y wzrastają lub opadają proporcjonalnie (współmiernie) do wzrostu lub spadku wartości x. Kierunek korelacji jest tylko jeden i nie zmienia się.

63 Przy korelacji nieliniowej istnieją przynajmniej dwie trudności w interpretacji. Pierwsza polega na nieproporcjonalnej przemianie y, podczas gdy x zmienia się równomiernie. Dlatego jest wyraźnie trudniej wyjaśnić zmiany y. Drugi problemem jest fakt, iż nieliniowa korelacja może być w jednej części dodatnia, a w drugiej ujemna. Proste do zrozumienia jest stwierdzenie: im więcej uczeń się uczy, tym wyższe są jego wyniki. Każdy rozumie też kolejną prawidłowość: im więcej sportowiec trenuje, tym lepsze są jego osiągnięcia. Ale wszystko nie jest tak proste: ostatni przykład może w sposób przejrzysty pokazać trudności w interpretacji korelacji nieliniowej. Osiągnięcia sportowca wzrastają tylko do pewnej granicy. Za tą granicą przedłużanie czasu treningu może spowodować zmniejszanie osiągnięć. Jest to znane zjawisko przetrenowania (sportowiec zbyt dużo trenował).

64 Do punktu A korelacja jest dodatnia, od tego punktu dalej ujemna (więcej treningu przynosi niższe wyniki). Przykład jest wprawdzie nieco uproszczony, bo celowo zaniedbane zostało doświadczenie, iż wzrost wyników ma swoje granice bez względu na trening (czyli: zarówno w przypadku liniowej, jak i dodatniej korelacji, wyniki nie wzrastałyby w nieskończoność). Jednak uproszczenie to nie zmienia istoty spostrzeżenia, iż nieliniową korelację interpretuję się o wiele trudniej niż liniową.

65 Stosunek korelacji e yx Stosunek korelacji e yx gdy nie ma zależności średnie poziomy cechy Y wewnątrz grup pokrywają się ze średnią ogólna cechy Y Miara ta spełnia warunek: 0<e yx < 1 r yx <= e yx Współczynnik koreacji r nie jest czuły na zależności krzywoliniowe. Gdy zależność jest nieliniowa, wówczas miara koncentracji wyników pomiarów względem krzywej regresji może być tzw. Stosunkiem korelacyjnym:

66 Stosunek korelacyjny określa stosunek pomiędzy dwoma zmiennymi, których zależność przyczynowo skutkowa jest określona (x zależy od y). Jeżeli zależność ta nie jest znana to należy określić n x y. n x y = 0: brak korelacji miedzy badanymi zmiennymi (tzn. brak zależności zmiennej y od x) n x y = 1: zależność pomiędzy x i y jest funkcyjna n x y = r x y : zależność liniowa

67 Współczynnik determinacji Równolegle do wskaźników korelacyjnych współczynników determinacji: exy i 100 eyx e xy i e yx korzysta się ze wyrażonych w procentach. Współczynnik determinacji informuje o tym, w ilu procentach zmiany zmiennej zależnej są spowodowane (zdeterminowane) zmianami zmiennej niezależnej.

68 Wariancje międzygrupowe zmiennych X i Y są obliczane ze wzorów: Gdzie są odpowiednio średnimi warunkowymi zmiennych X i Y a są średnimi ogólnymi obliczonymi z rozkładów brzegowych. k i i i i k j j i j n y y n y s n x x n x s ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( j y i x oraz y x oraz Wariancje wewnątrzgrupowe zmiennych X i Y k i i i i k j j j j n y s n y s n x s n x s ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( Wskaźnik korelacyjny zmiennej X względem zmiennej Y określa zatem wzór: Z czego wynika, że wskaźnik korelacyjny zmiennej Y względem zmiennej X określa wzór: ) ( ) ( x s x s e j xy ) ( ) ( y s y s e i yx 1 0 e Są one równe 0, gdy cechy są nieskorelowane, 1 gdy między badanymi zmiennymi zachodzi zależność funkcyjna.

69 przykład Wylosowano 100 rodzin i zbadano je pod względem liczby dzieci pozostających na całkowitym utrzymaniu i standardu ekonomicznego rodziny, określonego przez średni miesięczny dochód przypadający na członka rodziny. Za pomocą stosunku korelacyjnego określić siłę związku korelacyjnego standardu ekonomicznego względem liczny dzieci w rodzinie.

70 W pierwszej kolejności obliczamy średnią ogólną i wariancję ogólną cechy Y: y ,9 s 2 ( y) (1 2,9) 2 10 (2 2,9) 2 15 (3 2,9) (4 2,9)25 Następnie obliczamy wartości średnich warunkowych rozkładów cechy Y: 0,79 y y y y y 1/ x 0 2 / x 1 3 / x 2 4 / x 3 5 / x , , , , ,2 5

71 Po zakończeniu kalkulacji obliczamy wariancję średnich warunkowych: s 2 ( y i ) (3,75 2,9) 2 20 (3,25 2,9) 2 40 (2,56 2,9) (1,5 2,9) 2 10 (1,2 2,9) 2 5 0,56 Podstawiając obliczone wartości do wzoru na wskaźnik korelacyjny otrzymujemy: e yx 0,56 0,79 0,842 e 2 yx 0,709 Uzyskany wynik świadczy o silnej zależności standardu ekonomicznego rodziny od liczby dzieci. W niemal 71% przypadków zmiany standardu ekonomicznego rodziny mogą być wyjaśnione zmianami liczby posiadanych dzieci. Jest to zależność jednostronna liczba dzieci nie zależy od standardu ekonomicznego.

72 Wpływ zmiennej objaśniającej jest wpływem, który znajduje się w centrum uwagi. Rozproszenie z nim związane jest więc wyjaśnione. Wpływem pozostałych czynników badacz jest zainteresowany jedynie ubocznie. Dlatego też rozproszenie powiązane z nimi nazywa się rozproszeniem niewyjaśnionym. Poniższy rysunek ilustruje korelację między zmienną objaśniającą x i objaśnianą y.

73 Poniższe wykresy pokazują kilka możliwych przypadków korelacji

74 Wariancja wyjaśniona i niewyjaśniona Podział wariancji na wyjaśnioną i niewyjaśnioną jest wyidealizowany. Przesłanką tego podziału jest niezależność x od pozostałych czynników. W praktyce zdarza się to jedynie incydentalnie. Takie uproszczenie bardzo ułatwia zrozumienie zasady pomiaru korelacji. Należy jednak pamiętać, iż procedura ta jest trochę nieścisła. W interpretacji należy uwzględniać różnicę między ideałem i realnością. Stosunek pomiędzy wariancją wyjaśnioną a wariancją całkowitą wskazuje z jaką silą x oddziałuje na y. Stosunek ten nazywa się indeksem korelacji. Oto wzór do obliczania indeksu korelacji:

75 Interpretacja Wartości indeksu wahają się od 0 do 1. Wartość zero oznacza brak korelacji między x i y (wyjaśniona wariancja równa się zeru, co oznacza, iż x nie oddziałuje na y). Wartość 1 oznacza, że korelacja jest najsilniejsza (niewyjaśniona wariancja równa się zeru, co oznacza, iż tylko x oddziałuje na y). Taka korelacja jest już funkcją. Należy jeszcze raz podkreślić, iż indeks korelacji nie może przekraczać wartości 1! Ta zasada odnosi się do wszystkich miar współzależności.

76 przykład

77

78

79

80

81

82

83 Zapamiętać Co to jest korelacja, jakie są jej własności? Kiedy stosować korelację rang Spearmana a kiedy Pearsona? Kiedy korelacja jest dodatnia / ujemna? Jak opisywać dany zbiór danych (jakie wskaźniki)? Jak zrobić wykres częstości?

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji Statystyka dla jakości produktów i usług Six sigma i inne strategie Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji StatSoft Polska Wybrane zagadnienia analizy korelacji Przy analizie zjawisk i procesów stanowiących

Bardziej szczegółowo

Zależności w danych. Korelacja i regresja. Agnieszka Nowak Brzezińska SMAD w2

Zależności w danych. Korelacja i regresja. Agnieszka Nowak Brzezińska SMAD w2 Zależności w danych. Korelacja i regresja Agnieszka Nowak Brzezińska SMAD w2 Korelacja Zależność korelacyjna pomiędzy cechami X i Y charakteryzuje sie tym, że wartościom jednej cechy są przyporządkowane

Bardziej szczegółowo

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyczna teoria korelacji i regresji (1) Jest to dział statystyki zajmujący

Bardziej szczegółowo

Statystyka. Wykład 8. Magdalena Alama-Bućko. 10 kwietnia Magdalena Alama-Bućko Statystyka 10 kwietnia / 31

Statystyka. Wykład 8. Magdalena Alama-Bućko. 10 kwietnia Magdalena Alama-Bućko Statystyka 10 kwietnia / 31 Statystyka Wykład 8 Magdalena Alama-Bućko 10 kwietnia 2017 Magdalena Alama-Bućko Statystyka 10 kwietnia 2017 1 / 31 Tematyka zajęć: Wprowadzenie do statystyki. Analiza struktury zbiorowości miary położenia

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA OPISOWA. Dr Alina Gleska. 12 listopada Instytut Matematyki WE PP

STATYSTYKA OPISOWA. Dr Alina Gleska. 12 listopada Instytut Matematyki WE PP STATYSTYKA OPISOWA Dr Alina Gleska Instytut Matematyki WE PP 12 listopada 2017 1 Analiza współzależności dwóch cech 2 Jednostka zbiorowości - para (X,Y ). Przy badaniu korelacji nie ma znaczenia, która

Bardziej szczegółowo

Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć)

Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć) Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć) 1. Populacja generalna a losowa próba, parametr rozkładu cechy a jego ocena z losowej próby, miary opisu statystycznego

Bardziej szczegółowo

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com Analiza korelacji i regresji KORELACJA zależność liniowa Obserwujemy parę cech ilościowych (X,Y). Doświadczenie jest tak pomyślane, aby obserwowane pary cech X i Y (tzn i ta para x i i y i dla różnych

Bardziej szczegółowo

Analiza współzależności zjawisk

Analiza współzależności zjawisk Analiza współzależności zjawisk Informacje ogólne Jednostki tworzące zbiorowość statystyczną charakteryzowane są zazwyczaj za pomocą wielu cech zmiennych, które nierzadko pozostają ze sobą w pewnym związku.

Bardziej szczegółowo

Korelacja krzywoliniowa i współzależność cech niemierzalnych

Korelacja krzywoliniowa i współzależność cech niemierzalnych Korelacja krzywoliniowa i współzależność cech niemierzalnych Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki Szczecińskiej

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 7

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 7 STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 7 Analiza korelacji - współczynnik korelacji Pearsona Cel: ocena współzależności między dwiema zmiennymi ilościowymi Ocenia jedynie zależność liniową. r = cov(x,y

Bardziej szczegółowo

REGRESJA (postać liniowa funkcji) - ROZWIĄZANIA Komentarze kursywą, rozwiązania oraz treści zadań pismem prostym.

REGRESJA (postać liniowa funkcji) - ROZWIĄZANIA Komentarze kursywą, rozwiązania oraz treści zadań pismem prostym. REGRESJA (postać liniowa funkcji) - ROZWIĄZANIA Komentarze kursywą, rozwiązania oraz treści zadań pismem prostym. Zadanie 1 W celu ustalenia zależności między liczbą braków a wielkością produkcji części

Bardziej szczegółowo

KORELACJE I REGRESJA LINIOWA

KORELACJE I REGRESJA LINIOWA KORELACJE I REGRESJA LINIOWA Korelacje i regresja liniowa Analiza korelacji: Badanie, czy pomiędzy dwoma zmiennymi istnieje zależność Obie analizy się wzajemnie przeplatają Analiza regresji: Opisanie modelem

Bardziej szczegółowo

X WYKŁAD STATYSTYKA. 14/05/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15

X WYKŁAD STATYSTYKA. 14/05/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 X WYKŁAD STATYSTYKA 14/05/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 10 ANALIZA KORELACJI Korelacja 1. Współczynnik korelacji 2. Kowariancja 3. Współczynnik korelacji liniowej definicja 4. Estymacja współczynnika

Bardziej szczegółowo

Załóżmy, że obserwujemy nie jedną lecz dwie cechy, które oznaczymy symbolami X i Y. Wyniki obserwacji obu cech w i-tym obiekcie oznaczymy parą liczb

Załóżmy, że obserwujemy nie jedną lecz dwie cechy, które oznaczymy symbolami X i Y. Wyniki obserwacji obu cech w i-tym obiekcie oznaczymy parą liczb Współzależność Załóżmy, że obserwujemy nie jedną lecz dwie cechy, które oznaczymy symbolami X i Y. Wyniki obserwacji obu cech w i-tym obiekcie oznaczymy parą liczb (x i, y i ). Geometrycznie taką parę

Bardziej szczegółowo

Pojęcie korelacji. Korelacja (współzależność cech) określa wzajemne powiązania pomiędzy wybranymi zmiennymi.

Pojęcie korelacji. Korelacja (współzależność cech) określa wzajemne powiązania pomiędzy wybranymi zmiennymi. Pojęcie korelacji Korelacja (współzależność cech) określa wzajemne powiązania pomiędzy wybranymi zmiennymi. Charakteryzując korelację dwóch cech podajemy dwa czynniki: kierunek oraz siłę. Korelacyjne wykresy

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 11 ANALIZA KORELACJI I REGRESJI

ĆWICZENIE 11 ANALIZA KORELACJI I REGRESJI ĆWICZENIE 11 ANALIZA KORELACJI I REGRESJI Korelacja 1. Współczynnik korelacji 2. Współczynnik korelacji liniowej definicja 3. Estymacja współczynnika korelacji 4. Testy istotności współczynnika korelacji

Bardziej szczegółowo

Statystyka. Wykład 9. Magdalena Alama-Bućko. 24 kwietnia Magdalena Alama-Bućko Statystyka 24 kwietnia / 34

Statystyka. Wykład 9. Magdalena Alama-Bućko. 24 kwietnia Magdalena Alama-Bućko Statystyka 24 kwietnia / 34 Statystyka Wykład 9 Magdalena Alama-Bućko 24 kwietnia 2017 Magdalena Alama-Bućko Statystyka 24 kwietnia 2017 1 / 34 Tematyka zajęć: Wprowadzenie do statystyki. Analiza struktury zbiorowości miary położenia

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA OPOLSKA

POLITECHNIKA OPOLSKA POLITECHNIKA OPOLSKA WYDZIAŁ MECHANICZNY Katedra Technologii Maszyn i Automatyzacji Produkcji Laboratorium Podstaw Inżynierii Jakości Ćwiczenie nr 4 Temat: Analiza korelacji i regresji dwóch zmiennych

Bardziej szczegółowo

Regresja i Korelacja

Regresja i Korelacja Regresja i Korelacja Regresja i Korelacja W przyrodzie często obserwujemy związek między kilkoma cechami, np.: drzewa grubsze są z reguły wyższe, drewno iglaste o węższych słojach ma większą gęstość, impregnowane

Bardziej szczegółowo

ANALIZA KORELACJI Korelacja między zmiennymi X i Y jest miarą siły liniowego związku między tymi zmiennymi.

ANALIZA KORELACJI Korelacja między zmiennymi X i Y jest miarą siły liniowego związku między tymi zmiennymi. ANALIZA KORELACJI Większość zjawisk w otaczającym nas świecie występuje nie samotnie a w różnorodnych związkach. Odnosi się to również do zjawisk biologiczno-medycznych. O powiązaniach między nimi mówią

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 STATYSTYKA Rafał Kucharski Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 Zależność przyczynowo-skutkowa, symptomatyczna, pozorna (iluzoryczna), funkcyjna stochastyczna

Bardziej szczegółowo

Współczynnik korelacji. Współczynnik korelacji jest miernikiem zależności między dwiema cechami Oznaczenie: ϱ

Współczynnik korelacji. Współczynnik korelacji jest miernikiem zależności między dwiema cechami Oznaczenie: ϱ Współczynnik korelacji Współczynnik korelacji jest miernikiem zależności między dwiema cechami Oznaczenie: ϱ Własności współczynnika korelacji 1. Współczynnik korelacji jest liczbą niemianowaną 2. ϱ 1,

Bardziej szczegółowo

KURS STATYSTYKA. Lekcja 5 Analiza współzależności ZADANIE DOMOWE. Strona 1

KURS STATYSTYKA. Lekcja 5 Analiza współzależności ZADANIE DOMOWE.  Strona 1 KURS STATYSTYKA Lekcja 5 Analiza współzależności ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 W analizie współzależności a) badamy

Bardziej szczegółowo

Analiza korelacji

Analiza korelacji Analiza korelacji Zakres szkolenia Wstęp Podstawowe pojęcia korelacji Współczynnik korelacji liniowej Pearsona Współczynnik korelacji rang Spearmana Test istotności Zadania 2 Wstęp Do czego służy korelacja:

Bardziej szczegółowo

Analiza Współzależności

Analiza Współzależności Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka Analiza Współzależności Aleksander Denisiuk denisjuk@euh-e.edu.pl Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza 2 82-300 Elblag oraz Biostatystyka

Bardziej szczegółowo

R-PEARSONA Zależność liniowa

R-PEARSONA Zależność liniowa R-PEARSONA Zależność liniowa Interpretacja wyników: wraz ze wzrostem wartości jednej zmiennej (np. zarobków) liniowo rosną wartości drugiej zmiennej (np. kwoty przeznaczanej na wakacje) czyli np. im wyższe

Bardziej szczegółowo

Metodologia badań psychologicznych. Wykład 12. Korelacje

Metodologia badań psychologicznych. Wykład 12. Korelacje Metodologia badań psychologicznych Lucyna Golińska SPOŁECZNA AKADEMIA NAUK Wykład 12. Korelacje Korelacja Korelacja występuje wtedy gdy dwie różne miary dotyczące tych samych osób, zdarzeń lub obiektów

Bardziej szczegółowo

Testy nieparametryczne

Testy nieparametryczne Testy nieparametryczne Testy nieparametryczne możemy stosować, gdy nie są spełnione założenia wymagane dla testów parametrycznych. Stosujemy je również, gdy dane można uporządkować według określonych kryteriów

Bardziej szczegółowo

S t a t y s t y k a, część 3. Michał Żmihorski

S t a t y s t y k a, część 3. Michał Żmihorski S t a t y s t y k a, część 3 Michał Żmihorski Porównanie średnich -test T Założenia: Zmienne ciągłe (masa, temperatura) Dwie grupy (populacje) Rozkład normalny* Równe wariancje (homoscedasticity) w grupach

Bardziej szczegółowo

Spis treści. LaboratoriumV: Podstawy korelacji i regresji. Inżynieria biomedyczna, I rok, semestr letni 2014/2015 Analiza danych pomiarowych

Spis treści. LaboratoriumV: Podstawy korelacji i regresji. Inżynieria biomedyczna, I rok, semestr letni 2014/2015 Analiza danych pomiarowych 1 LaboratoriumV: Podstawy korelacji i regresji Spis treści Laboratorium V: Podstawy korelacji i regresji...1 Wiadomości ogólne...2 1. Wstęp teoretyczny....2 1.1 Korelacja....2 1.2 Funkcja regresji....5

Bardziej szczegółowo

Zadania ze statystyki cz.8. Zadanie 1.

Zadania ze statystyki cz.8. Zadanie 1. Zadania ze statystyki cz.8. Zadanie 1. Wykonano pewien eksperyment skuteczności działania pewnej reklamy na zmianę postawy. Wylosowano 10 osobową próbę studentów, których poproszono o ocenę pewnego produktu,

Bardziej szczegółowo

Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki

Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki Spis treści I. Wzory ogólne... 2 1. Średnia arytmetyczna:... 2 2. Rozstęp:... 2 3. Kwantyle:... 2 4. Wariancja:... 2 5. Odchylenie standardowe:...

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne

Testowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne Testowanie hipotez statystycznych Wnioskowanie statystyczne Hipoteza statystyczna to dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej (jego postaci funkcyjnej lub wartości parametrów). Hipotezy

Bardziej szczegółowo

Regresja wieloraka Ogólny problem obliczeniowy: dopasowanie linii prostej do zbioru punktów. Najprostszy przypadek - jedna zmienna zależna i jedna

Regresja wieloraka Ogólny problem obliczeniowy: dopasowanie linii prostej do zbioru punktów. Najprostszy przypadek - jedna zmienna zależna i jedna Regresja wieloraka Regresja wieloraka Ogólny problem obliczeniowy: dopasowanie linii prostej do zbioru punktów. Najprostszy przypadek - jedna zmienna zależna i jedna zmienna niezależna (można zobrazować

Bardziej szczegółowo

1. Opis tabelaryczny. 2. Graficzna prezentacja wyników. Do technik statystyki opisowej można zaliczyć:

1. Opis tabelaryczny. 2. Graficzna prezentacja wyników. Do technik statystyki opisowej można zaliczyć: Wprowadzenie Statystyka opisowa to dział statystyki zajmujący się metodami opisu danych statystycznych (np. środowiskowych) uzyskanych podczas badania statystycznego (np. badań terenowych, laboratoryjnych).

Bardziej szczegółowo

Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa

Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa Spis treści Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa Romuald Kotowski Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis treści Spis treści 1 Wstęp Bardzo często interesujący

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA 7.1 PL (wykład 3) Dariusz Gozdowski

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA 7.1 PL (wykład 3) Dariusz Gozdowski Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA 7.1 PL (wykład 3) Dariusz Gozdowski Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW Dwuczynnikowa analiza wariancji (2-way

Bardziej szczegółowo

Badanie zależności skala nominalna

Badanie zależności skala nominalna Badanie zależności skala nominalna I. Jak kształtuje się zależność miedzy płcią a wykształceniem? II. Jak kształtuje się zależność między płcią a otyłością (opis BMI)? III. Jak kształtuje się zależność

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie: Wybrane zagadnienia z korelacji i regresji.

Ćwiczenie: Wybrane zagadnienia z korelacji i regresji. Ćwiczenie: Wybrane zagadnienia z korelacji i regresji. W statystyce stopień zależności między cechami można wyrazić wg następującej skali: Skala Guillforda Przedział Zależność Współczynnik [0,00±0,20)

Bardziej szczegółowo

Cechy X, Y są dowolnego typu: Test Chi Kwadrat niezależności. Łączny rozkład cech X, Y jest normalny: Test współczynnika korelacji Pearsona

Cechy X, Y są dowolnego typu: Test Chi Kwadrat niezależności. Łączny rozkład cech X, Y jest normalny: Test współczynnika korelacji Pearsona Badanie zależności między cechami Obserwujemy dwie cechy: X oraz Y Obiekt (X, Y ) H 0 : Cechy X oraz Y są niezależne Próba: (X 1, Y 1 ),..., (X n, Y n ) Cechy X, Y są dowolnego typu: Test Chi Kwadrat niezależności

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

Analiza składowych głównych. Wprowadzenie

Analiza składowych głównych. Wprowadzenie Wprowadzenie jest techniką redukcji wymiaru. Składowe główne zostały po raz pierwszy zaproponowane przez Pearsona(1901), a następnie rozwinięte przez Hotellinga (1933). jest zaliczana do systemów uczących

Bardziej szczegółowo

Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski

Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski Książka jest nowoczesnym podręcznikiem przeznaczonym dla studentów uczelni i wydziałów ekonomicznych. Wykład podzielono na cztery części. W pierwszej

Bardziej szczegółowo

4.2. Statystyczne opracowanie zebranego materiału

4.2. Statystyczne opracowanie zebranego materiału 4.2. Statystyczne opracowanie zebranego materiału Zebrany i pogrupowany materiał badawczy należy poddać analizie statystycznej w celu dokonania pełnej i szczegółowej charakterystyki interesujących badacza

Bardziej szczegółowo

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI REGRESJA LINIOWA

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI REGRESJA LINIOWA WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI REGRESJA LINIOWA Powtórka Powtórki Kowiariancja cov xy lub c xy - kierunek zależności Współczynnik korelacji liniowej Pearsona r siła liniowej zależności Istotność

Bardziej szczegółowo

weryfikacja hipotez dotyczących parametrów populacji (średnia, wariancja)

weryfikacja hipotez dotyczących parametrów populacji (średnia, wariancja) PODSTAWY STATYSTYKI. Teoria prawdopodobieństwa i elementy kombinatoryki. Zmienne losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby danych, estymacja parametrów 4. Testowanie hipotez 5. Testy parametryczne (na

Bardziej szczegółowo

MODELE LINIOWE. Dr Wioleta Drobik

MODELE LINIOWE. Dr Wioleta Drobik MODELE LINIOWE Dr Wioleta Drobik MODELE LINIOWE Jedna z najstarszych i najpopularniejszych metod modelowania Zależność między zbiorem zmiennych objaśniających, a zmienną ilościową nazywaną zmienną objaśnianą

Bardziej szczegółowo

( x) Równanie regresji liniowej ma postać. By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : Gdzie:

( x) Równanie regresji liniowej ma postać. By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : Gdzie: ma postać y = ax + b Równanie regresji liniowej By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : xy b = a = b lub x Gdzie: xy = też a = x = ( b ) i to dane empiryczne, a ilość

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Hipotezy statystyczne

Wykład 3 Hipotezy statystyczne Wykład 3 Hipotezy statystyczne Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu obserwowanej zmiennej losowej (cechy populacji generalnej) Hipoteza zerowa (H 0 ) jest hipoteza

Bardziej szczegółowo

Przedmowa Wykaz symboli Litery alfabetu greckiego wykorzystywane w podręczniku Symbole wykorzystywane w zagadnieniach teorii

Przedmowa Wykaz symboli Litery alfabetu greckiego wykorzystywane w podręczniku Symbole wykorzystywane w zagadnieniach teorii SPIS TREŚCI Przedmowa... 11 Wykaz symboli... 15 Litery alfabetu greckiego wykorzystywane w podręczniku... 15 Symbole wykorzystywane w zagadnieniach teorii mnogości (rachunku zbiorów)... 16 Symbole stosowane

Bardziej szczegółowo

Teoria błędów. Wszystkie wartości wielkości fizycznych obarczone są pewnym błędem.

Teoria błędów. Wszystkie wartości wielkości fizycznych obarczone są pewnym błędem. Teoria błędów Wskutek niedoskonałości przyrządów, jak również niedoskonałości organów zmysłów wszystkie pomiary są dokonywane z określonym stopniem dokładności. Nie otrzymujemy prawidłowych wartości mierzonej

Bardziej szczegółowo

W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych:

W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: Zmienne losowe skokowe (dyskretne) przyjmujące co najwyżej przeliczalnie wiele wartości Zmienne losowe ciągłe

Bardziej szczegółowo

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI. Zmienna losowa dwuwymiarowa i korelacja

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI. Zmienna losowa dwuwymiarowa i korelacja WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI Zmienna losowa dwuwymiarowa i korelacja Zmienna losowa dwuwymiarowa Definiujemy ją tak samo, jak zmienną losową jednowymiarową, z tym że poszczególnym zdarzeniom elementarnym

Bardziej szczegółowo

KARTA KURSU. (do zastosowania w roku ak. 2015/16) Kod Punktacja ECTS* 4

KARTA KURSU. (do zastosowania w roku ak. 2015/16) Kod Punktacja ECTS* 4 KARTA KURSU (do zastosowania w roku ak. 2015/16) Nazwa Statystyka 1 Nazwa w j. ang. Statistics 1 Kod Punktacja ECTS* 4 Koordynator Dr hab. Tadeusz Sozański (koordynator, wykłady) Dr Paweł Walawender (ćwiczenia)

Bardziej szczegółowo

Statystyka opisowa. Wykład I. Elementy statystyki opisowej

Statystyka opisowa. Wykład I. Elementy statystyki opisowej Statystyka opisowa. Wykład I. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Elementy statystyku opisowej 1 Elementy statystyku opisowej 2 3 Elementy statystyku opisowej Definicja Statystyka jest to nauka o

Bardziej szczegółowo

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas:

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas: ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. Można założyć, że przy losowaniu trzech kul jednocześnie kolejność ich wylosowania nie jest istotna. A więc: Ω = 20 3. a) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań

Bardziej szczegółowo

Elementy statystyki wielowymiarowej

Elementy statystyki wielowymiarowej Wnioskowanie_Statystyczne_-_wykład Spis treści 1 Elementy statystyki wielowymiarowej 1.1 Kowariancja i współczynnik korelacji 1.2 Macierz kowariancji 1.3 Dwumianowy rozkład normalny 1.4 Analiza składowych

Bardziej szczegółowo

Statystyczne metody analizy danych

Statystyczne metody analizy danych Statystyczne metody analizy danych Statystyka opisowa Wykład I-III Agnieszka Nowak - Brzezioska Podstawowe pojęcia STATYSTYKA - nauka traktująca o metodach ilościowych badania prawidłowości zjawisk (procesów)

Bardziej szczegółowo

HISTOGRAM. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH Liczba pomiarów - n. Liczba pomiarów - n k 0.5 N = N =

HISTOGRAM. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH Liczba pomiarów - n. Liczba pomiarów - n k 0.5 N = N = HISTOGRAM W pewnych przypadkach interesuje nas nie tylko określenie prawdziwej wartości mierzonej wielkości, ale także zbadanie całego rozkład prawdopodobieństwa wyników pomiarów. W takim przypadku wyniki

Bardziej szczegółowo

Populacja generalna (zbiorowość generalna) zbiór obejmujący wszystkie elementy będące przedmiotem badań Próba (podzbiór zbiorowości generalnej) część

Populacja generalna (zbiorowość generalna) zbiór obejmujący wszystkie elementy będące przedmiotem badań Próba (podzbiór zbiorowości generalnej) część Populacja generalna (zbiorowość generalna) zbiór obejmujący wszystkie elementy będące przedmiotem badań Próba (podzbiór zbiorowości generalnej) część populacji, którą podaje się badaniu statystycznemu

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (postać kierunkowa) Funkcja liniowa to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe Szczególnie ważny w postaci

Bardziej szczegółowo

Statystyka i Analiza Danych

Statystyka i Analiza Danych Warsztaty Statystyka i Analiza Danych Gdańsk, 20-22 lutego 2014 Zastosowania wybranych technik regresyjnych do modelowania współzależności zjawisk Janusz Wątroba StatSoft Polska Centrum Zastosowań Matematyki

Bardziej szczegółowo

Regresja wielokrotna. PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Regresja wielokrotna. PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com Regresja wielokrotna Model dla zależności liniowej: Y=a+b 1 X 1 +b 2 X 2 +...+b n X n Cząstkowe współczynniki regresji wielokrotnej: b 1,..., b n Zmienne niezależne (przyczynowe): X 1,..., X n Zmienna

Bardziej szczegółowo

Importowanie danych do SPSS Eksportowanie rezultatów do formatu MS Word... 22

Importowanie danych do SPSS Eksportowanie rezultatów do formatu MS Word... 22 Spis treści Przedmowa do wydania pierwszego.... 11 Przedmowa do wydania drugiego.... 15 Wykaz symboli.... 17 Litery alfabetu greckiego wykorzystywane w podręczniku.... 17 Symbole wykorzystywane w zagadnieniach

Bardziej szczegółowo

Sposoby prezentacji problemów w statystyce

Sposoby prezentacji problemów w statystyce S t r o n a 1 Dr Anna Rybak Instytut Informatyki Uniwersytet w Białymstoku Sposoby prezentacji problemów w statystyce Wprowadzenie W artykule zostaną zaprezentowane podstawowe zagadnienia z zakresu statystyki

Bardziej szczegółowo

Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe

Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe Statystyka i opracowanie danych W4 Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Rozkład normalny wykres funkcji gęstości

Bardziej szczegółowo

Statystyka opisowa. Wykład VI. Analiza danych jakośiowych

Statystyka opisowa. Wykład VI. Analiza danych jakośiowych Statystyka opisowa. Wykład VI. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Rangowanie 1 Rangowanie 3 Rangowanie Badaniu statystycznemu czasami podlegają cechy niemierzalne jakościowe), np. kolor włosów, stopień

Bardziej szczegółowo

ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH

ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH 1 ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH WFAiS UJ, Informatyka Stosowana II stopień studiów 2 Wnioskowanie statystyczne dla zmiennych numerycznych Porównywanie dwóch średnich Boot-strapping Analiza

Bardziej szczegółowo

(x j x)(y j ȳ) r xy =

(x j x)(y j ȳ) r xy = KORELACJA. WSPÓŁCZYNNIKI KORELACJI Gdy w badaniu mamy kilka cech, często interesujemy się stopniem powiązania tych cech między sobą. Pod słowem korelacja rozumiemy współzależność. Mówimy np. o korelacji

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych

Statystyczna analiza danych Statystyczna analiza danych Korelacja i regresja Ewa Szczurek szczurek@mimuw.edu.pl Instytut Informatyki Uniwersytet Warszawski 1/30 Ostrożnie z interpretacją p wartości p wartości zależą od dwóch rzeczy

Bardziej szczegółowo

POJĘCIA WSTĘPNE. STATYSTYKA - nauka traktująca o metodach ilościowych badania prawidłowości zjawisk (procesów) masowych.

POJĘCIA WSTĘPNE. STATYSTYKA - nauka traktująca o metodach ilościowych badania prawidłowości zjawisk (procesów) masowych. [1] POJĘCIA WSTĘPNE STATYSTYKA - nauka traktująca o metodach ilościowych badania prawidłowości zjawisk (procesów) masowych. BADANIE STATYSTYCZNE - ogół prac mających na celu poznanie struktury określonej

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Księgarnia PWN: Bruce M. King, Edward W. Minium - Statystyka dla psychologów i pedagogów. Wstęp Wprowadzenie...

Spis treści. Księgarnia PWN: Bruce M. King, Edward W. Minium - Statystyka dla psychologów i pedagogów. Wstęp Wprowadzenie... Księgarnia PWN: Bruce M. King, Edward W. Minium - Statystyka dla psychologów i pedagogów Wstęp... 13 1. Wprowadzenie... 19 1.1. Statystyka opisowa.................................. 21 1.2. Wnioskowanie

Bardziej szczegółowo

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 3: Analiza struktury zbiorowości statystycznej. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 3: Analiza struktury zbiorowości statystycznej. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin. Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 3: Analiza struktury zbiorowości statystycznej dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Zadania analityczne (1) Analiza przewiduje badanie podobieństw

Bardziej szczegółowo

Często spotykany jest również asymetryczny rozkład gamma (Г), opisany za pomocą parametru skali θ i parametru kształtu k:

Często spotykany jest również asymetryczny rozkład gamma (Г), opisany za pomocą parametru skali θ i parametru kształtu k: Statystyczne opracowanie danych pomiarowych W praktyce pomiarowej często spotykamy się z pomiarami wielokrotnymi, gdy podczas pomiaru błędy pomiarowe (szumy miernika, czynniki zewnętrzne) są na tyle duże,

Bardziej szczegółowo

SCENARIUSZ LEKCJI. TEMAT LEKCJI: Zastosowanie średnich w statystyce i matematyce. Podstawowe pojęcia statystyczne. Streszczenie.

SCENARIUSZ LEKCJI. TEMAT LEKCJI: Zastosowanie średnich w statystyce i matematyce. Podstawowe pojęcia statystyczne. Streszczenie. SCENARIUSZ LEKCJI OPRACOWANY W RAMACH PROJEKTU: INFORMATYKA MÓJ SPOSÓB NA POZNANIE I OPISANIE ŚWIATA. PROGRAM NAUCZANIA INFORMATYKI Z ELEMENTAMI PRZEDMIOTÓW MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZYCH Autorzy scenariusza:

Bardziej szczegółowo

166 Wstęp do statystyki matematycznej

166 Wstęp do statystyki matematycznej 166 Wstęp do statystyki matematycznej Etap trzeci realizacji procesu analizy danych statystycznych w zasadzie powinien rozwiązać nasz zasadniczy problem związany z identyfikacją cechy populacji generalnej

Bardziej szczegółowo

Spis treści 3 SPIS TREŚCI

Spis treści 3 SPIS TREŚCI Spis treści 3 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 1. WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE JAKO DYSCYPLINA MATEMATYCZNA... Metody statystyczne w analizie i prognozowaniu zjawisk ekonomicznych... Badania statystyczne podstawowe

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1.

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1. tel. 44 683 1 55 tel. kom. 64 566 811 e-mail: biuro@wszechwiedza.pl Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: gdzie: y t X t y t = 1 X 1

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;

Bardziej szczegółowo

Wydział Matematyki. Testy zgodności. Wykład 03

Wydział Matematyki. Testy zgodności. Wykład 03 Wydział Matematyki Testy zgodności Wykład 03 Testy zgodności W testach zgodności badamy postać rozkładu teoretycznego zmiennej losowej skokowej lub ciągłej. Weryfikują one stawiane przez badaczy hipotezy

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA STATYSTYKA MATEMATYCZNA 1. Wykład wstępny. Teoria prawdopodobieństwa i elementy kombinatoryki. Zmienne losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby danych, estymacja parametrów 4. Testowanie hipotez statystycznych

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna i ekonometria

Statystyka matematyczna i ekonometria Statystyka matematyczna i ekonometria prof. dr hab. inż. Jacek Mercik B4 pok. 55 jacek.mercik@pwr.wroc.pl (tylko z konta studenckiego z serwera PWr) Konsultacje, kontakt itp. Strona WWW Elementy wykładu.

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16 Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego

Bardziej szczegółowo

Rozkłady statystyk z próby

Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny

Bardziej szczegółowo

Wykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego

Wykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego Wykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego Przykład Cena metra kwadratowego (w tys. zł) z dla 14 losowo wybranych mieszkań w

Bardziej szczegółowo

Elementy statystyki opisowej, podstawowe pojęcia statystyki matematycznej

Elementy statystyki opisowej, podstawowe pojęcia statystyki matematycznej Elementy statystyki opisowej, podstawowe pojęcia statystyki matematycznej Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

Statystyczne metody analizy danych

Statystyczne metody analizy danych Statystyczne metody analizy danych Statystyka opisowa Wykład I-III Agnieszka Nowak - Brzezińska Definicje Statystyka (ang.statistics) - to nauka zajmująca się zbieraniem, prezentowaniem i analizowaniem

Bardziej szczegółowo

Statystyka. #5 Testowanie hipotez statystycznych. Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik. rok akademicki 2016/ / 28

Statystyka. #5 Testowanie hipotez statystycznych. Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik. rok akademicki 2016/ / 28 Statystyka #5 Testowanie hipotez statystycznych Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik rok akademicki 2016/2017 1 / 28 Testowanie hipotez statystycznych 2 / 28 Testowanie hipotez statystycznych

Bardziej szczegółowo

REGRESJA I KORELACJA MODEL REGRESJI LINIOWEJ

REGRESJA I KORELACJA MODEL REGRESJI LINIOWEJ REGRESJA I KORELACJA MODEL REGRESJI LINIOWEJ Korelacja oznacza fakt współzależności zmiennych, czyli istnienie powiązania pomiędzy nimi. Siłę i kierunek powiązania określa się za pomocą współczynnika korelacji

Bardziej szczegółowo

ANALIZA KORELACJI I REGRESJI

ANALIZA KORELACJI I REGRESJI Szkic wykładu Zależności korelacyjne 1 Zależności korelacyjne 2 Przykłady Zależności korelacyjne Badajac różnego rodzaju zjawiska, np. społeczne, ekonomiczne, psychologiczne, przyrodniczne itp. stwierdzamy

Bardziej szczegółowo

Liczba godzin Punkty ECTS Sposób zaliczenia. ćwiczenia 30 zaliczenie z oceną. laboratoria 30 zaliczenie z oceną

Liczba godzin Punkty ECTS Sposób zaliczenia. ćwiczenia 30 zaliczenie z oceną. laboratoria 30 zaliczenie z oceną Wydział: Psychologia Nazwa kierunku kształcenia: Psychologia Rodzaj przedmiotu: podstawowy Opiekun: dr Andrzej Tarłowski Poziom studiów (I lub II stopnia): Jednolite magisterskie Tryb studiów: Stacjonarne

Bardziej szczegółowo

Statystyka. Opisowa analiza zjawisk masowych

Statystyka. Opisowa analiza zjawisk masowych Statystyka Opisowa analiza zjawisk masowych Typy rozkładów empirycznych jednej zmiennej Rozkładem empirycznym zmiennej nazywamy przyporządkowanie kolejnym wartościom zmiennej (x i ) odpowiadających im

Bardziej szczegółowo

Problem dwóch prób: porównywanie średnich i wariancji z populacji o rozkładach normalnych. Wrocław, 23 marca 2015

Problem dwóch prób: porównywanie średnich i wariancji z populacji o rozkładach normalnych. Wrocław, 23 marca 2015 Problem dwóch prób: porównywanie średnich i wariancji z populacji o rozkładach normalnych. Wrocław, 23 marca 2015 Problem dwóch prób X = (X 1, X 2,..., X n ) - próba z rozkładu normalnego N (µ, σ 2 X ),

Bardziej szczegółowo

Po co nam charakterystyki liczbowe? Katarzyna Lubnauer 34

Po co nam charakterystyki liczbowe? Katarzyna Lubnauer 34 Po co nam charakterystyki liczbowe? Katarzyna Lubnauer 34 Def. Charakterystyki liczbowe to wielkości wyznaczone na podstawie danych statystycznych, charakteryzujące własności badanej cechy. Klasyfikacja

Bardziej szczegółowo

Recenzenci: prof. dr hab. Henryk Domański dr hab. Jarosław Górniak

Recenzenci: prof. dr hab. Henryk Domański dr hab. Jarosław Górniak Recenzenci: prof. dr hab. Henryk Domański dr hab. Jarosław Górniak Redakcja i korekta Bogdan Baran Projekt graficzny okładki Katarzyna Juras Copyright by Wydawnictwo Naukowe Scholar, Warszawa 2011 ISBN

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 6

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 6 STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 6 Metody sprawdzania założeń w analizie wariancji: -Sprawdzanie równości (jednorodności) wariancji testy: - Cochrana - Hartleya - Bartletta -Sprawdzanie zgodności

Bardziej szczegółowo

W1. Wprowadzenie. Statystyka opisowa

W1. Wprowadzenie. Statystyka opisowa W1. Wprowadzenie. Statystyka opisowa dr hab. Jerzy Nakielski Zakład Biofizyki i Morfogenezy Roślin Plan wykładu: 1. O co chodzi w statystyce 2. Etapy badania statystycznego 3. Zmienna losowa, rozkład

Bardziej szczegółowo

Krakowska Akademia im. Andrzeja Frycza Modrzewskiego. Karta przedmiotu. obowiązuje studentów, którzy rozpoczęli studia w roku akademickim 2012/2013

Krakowska Akademia im. Andrzeja Frycza Modrzewskiego. Karta przedmiotu. obowiązuje studentów, którzy rozpoczęli studia w roku akademickim 2012/2013 Krakowska Akademia im. Andrzeja Frycza Modrzewskiego Karta przedmiotu obowiązuje studentów, którzy rozpoczęli studia w roku akademickim 01/01 Wydział Prawa, Administracji i Stosunków Miedzynarodowych Kierunek

Bardziej szczegółowo