Algebra I. Notatki do wykładu w semestrze zimowym 2012/2013. Ewa Cygan

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Algebra I. Notatki do wykładu w semestrze zimowym 2012/2013. Ewa Cygan"

Transkrypt

1 Algebra I Notatki do wykładu w semestrze zimowym 2012/2013 Ewa Cygan Wersja z 4 października 2012

2

3 Spis treści Oznaczenia, konwencje i podstawowe twierdzenia i 1 Podstawy teorii liczb Podzielność w Z NWD i NWW w Z Rozszerzenie algorytmu Euklidesa O liczbach pierwszych i ich własnościach Kongruencje i ich własności, twierdzenie chińskie o resztach Funkcja Eulera, jej własności i zastosowania Małe twierdzenie Fermata i twierdzenie Eulera Działania i ich własności Podstawowe przykłady działań Elementy teorii grup Podstawowe definicje i przykłady Homomorfizmy grup Generatory grup Grupa ilorazowa Twierdzenia o homomorfizmach grup Grupy permutacji S n A Aneks - teoria liczb 51 A.1 Algorytm Euklidesa A.2 O identyczności Bezouta słów kilka A.3 O równania diofantycznych A.4 O zasadniczym twierdzeniu arytmetyki A.5 O chińskim twierdzeniu o resztach A.6 Małe twierdzenie Fermata i Twierdzenie Eulera-Fermata, historia, dowody i zastosowania B Przykłady zadań 59 B.1 Przykłady z rozwiązaniami do części I B.2 Przykładowy zestaw zadań na 1 sprawdzian i

4 ii Spis treści Oznaczenia, konwencje i podstawowe twierdzenia 1. Moc zbioru X oznaczamy przez X lub #X. 2. Funkcja signum jest określona na R następująco 1, gdy a < 0, sgn(a) := 0, a = 0, 1, gdy a > 0. Ponadto przyjmujemy oznaczenia: P = zbiór liczb pierwszych = {2, 3, 5,...}, N = zbiór liczb naturalnych = {1, 2,...}, N 0 = zbiór liczb naturalnych z zerem = {0, 1, 2,...}, Z = zbiór liczb całkowitych, Z = Z \ {0} Q = zbiór liczb wymiernych, Q = Q \ {0} R = zbiór liczb rzeczywistych, R = R \ {0} C = zbiór liczb zespolonych, C = C \ {0}. Wypowiemy teraz podstawowe 2 twierdzenia, których znajomość zakładamy dalej. Twierdzenie (zasada indukcji matematycznej). Jeśli dla pewnego k 0 N 0 zachodzi własność W (k 0 ) oraz dla każdego k k 0 : [jeśli zachodzi W (k) to zachodzi W (k + 1)] (czyli z prawdziwości własności dla k wynika prawdziwość tej własności dla (k + 1)) to własność W zachodzi dla dowolnej liczby naturalnej n k 0. Twierdzenie (zasada minimum). Każdy niepusty podzbiór zbioru liczb naturalnych posiada element najmniejszy, (tzn. mniejszy lub równy od każdej liczby z tego zbioru)

5 Rozdział 1 Podstawy teorii liczb 1.1 Podzielność w Z Definicja (podzielność w Z). Niech a, b Z. Mówimy, że b dzieli a (lub inaczej b jest dzielnikiem a) gdy istnieje c Z : a = bc. Oznaczenie: b a. Uwaga (własności podzielności w Z). Niech a, b, c, m, n - liczby całkowite. Wtedy: (a) 1 a, a 0, (b) jeśli 0 a, to a = 0, (c) relacja podzielności na Z jest zwrotna i przechodnia, (d) (b a i a b) wtedy i tylko wtedy, gdy a = b, (e) jeśli c a, c b, to c (am + nb), (f) jeśli a b i b 0, to 1 a b. Twierdzenie (algorytm dzielenia z resztą). Niech a, b - liczby całkowite, b 0. Wtedy istnieje para (q, r) Z Z: (1) a = bq + r, (2) r < b. Liczbę q nazywamy wynikiem dzielenia zaś r resztą z dzielenia. Twierdzenie (algorytm dzielenia z resztą - wersja B). Niech a, b - liczby całkowite, b 0. Wtedy: ( ) istnieje dokładnie jedna para (q, r) Z Z taka, że: (1) a = bq + r, (2) 0 r < b. ( ) jeśli dodatkowo b a, to istnieją dokładnie dwie pary (q, r) takie, że (1) a = bq + r, (2) r < b. Dowód. Udowodnimy pierwszą część twierdzenia (wynika z niej natychmiast tw ). Istnienie reszty Niech S := {a kb, k Z, a kb 0} - jest to niepusty podzbiór N 0, wobec tego ma on element najmniejszy,(0.0.2) który oznaczymy jako r. Element ten jest więc postaci 1

6 2 Podstawy teorii liczb r = a qb dla pewnego q całkowitego i automatycznie spełnia nierówność: 0 r oraz a = qb + r. Pozostaje jedynie pytanie, czy r < b. Udowodnimy tę część niewprost. Gdyby r b, to r b 0 oraz r b = a qb b = a (q + sgn(b))b, więc r b S oraz r b < r, (skoro b 0 to b to co najmniej 1), sprzeczność z wyborem r. Jednoznaczność reszty nieujemnej Przypuśćmy, (dla dowodu niewprost) że a = bq 1 +r 1 = bq 2 +r 2, 0 r 1 < b, 0 r 2 < b i niech np. r 1 < r 2, czyli q 1 q 2 0. Wtedy b(q 1 q 2 ) = r 2 r 1 i mamy: b b q 1 q 2 = r 2 r 1 = (r 2 r 1 ) < b sprzeczność. Zachęcam do udowodnienia we własnym zakresie drugiej części twierdzenia NWD i NWW w Z W szkole średniej spotkaliśmy się z pewnością z pojęciem największego wspólnego dzielnika i najmniejszej wspólnej wielokrotności. Przypomnimy tu więc znaną definicję w wersji teorioliczbowej. Trzeba jednak pamiętać, że odpowiednie pojęcia w wersji algebraicznej definiowane będą nieco inaczej ze względu na podstawowy problem: rozważając struktury algebraiczne nie możemy na ogół mówić pojęciu najmniejszy, czy największy, musimy przy definicjach uciekać się do innych własności. Definicja (NWD, NWW, względna pierwszość). ( ) Największym wspólnym dzielnikiem liczb a 1,..., a r Z, (zakładamy, że przynajmniej jedna z liczb jest niezerowa) nazywamy największą liczbę całkowitą, która dzieli wszystkie a 1,..., a r. 1 Oznaczenie : NWD(a 1,..., a r ) (w literaturze również: (a 1,..., a r )) ( ) Najmniejszą wspólną wielokrotnością niezerowych liczb całkowitych a 1,..., a r nazywamy najmniejszą liczbę całkowitą dodatnią, która jest podzielna przez każdą z liczb a 1,..., a r. Oznaczenie : NWW(a 1,..., a r ) (w literaturze również: [a 1,..., a r ]) ( ) (liczby względnie pierwsze) Liczby a 1,..., a r Z, a 1 0 nazywamy względnie pierwszymi, gdy NWD(a 1,..., a r ) = 1. Przypomnimy teraz jak można obliczać największy wspólny dzielnik. Rozważmy przypadek dwóch liczb: a, b Z. Oczywiście, jeśli a Z, b = 0, to NWD(a, b) = a. Załóżmy więc, że obie liczby są niezerowe i przypomnijmy algorytm służący do wyliczania wówczas NWD. Choć omawiany niżej algorytm nie jest algorytmem we współczesnym sensie tego słowa, to jednak zgodnie z tradycją zachował swą nazwę: algorytm Euklidesa. Więcej o algorytmie poczytać można w aneksie A.1 ( 1 )Zauważmy, że stwierdzenie największa ma tutaj sens: rozważamy naturalny porządek w zbiorze liczb całkowitych, zaś potencjalne dzielniki są ograniczone z góry przez a i

7 1.2. NWD i NWW w Z 3 Uwaga (Algorytm). 2 Euklidesa 3 dla liczb całkowitych. Ustalmy dwie liczby całkowite a, b Z. Przyjmijmy: r 1 := a, r 0 := b. Krok 1: Zgodnie z algorytmem dzielenia z resztą (1.3.(B) ( )) istnieją liczby całkowite q 1, r 1 Z takie, że: (1) a = r 1 = q 1 b + r 1, (2) 0 r 1 < r 0 = b. Jeśli r 1 = 0, kończymy algorytm. Jeśli r 1 0, to wykonujemy Krok 2. Krok 2: Istnieją liczby całkowite q 2, r 2 Z : (1) r 0 = q 2 r 1 + r 2, (2) 0 r 2 < r 1 < r 0 = b. Jeśli r 2 = 0, to kończymy algorytm. Jeśli r 2 0, to kontynuujemy analogicznie. Ogólnie, mając r i 2, r i 1 takie, że r i 1 0, wykonujemy kolejny krok: Krok (i>1): Istnieją liczby całkowite q i, r i Z: (1) r i 2 = q i r i 1 + r i, (2) 0 r i < r i 1. Ze względu na nierówności: 0 r i < r i 1 istnieje N(a, b) N takie, że r N(a,b)+1 = 0 ale r N(a,b) 0. Liczbę N(a, b) N będziemy nazywać dalej długością algorytmu dla liczb a i b, (długość może być równa zero, gdy b a), zaś r(a, b) := r N(a,b) wynikiem tego algorytmu. W tak opisanym algorytmie r(a, b) jest największym wspólnym dzielnikiem liczb a, b. Z dowodem tego faktu zapoznać się można np. w A.1. Jest to jednak dla nas krok pomocniczy, celem jest udowodnienie tożsamości Bacheta-Bezouta Warto w tym momencie zwrócić uwagę na jeden fakt, który znajdzie swoje uogólnienie w teorii pierścieni. Nie bez przyczyny przypominamy znany algorytm Euklidesa tak dokładnie. Przyglądając się bowiem uważnie przebiegowi algorytmu zauważymy, że reszty pojawiające się w każdym kroku spełniają zależność: r i+1 < r i, słowem za każdym razem obniżana jest wartość funkcji dla reszty. W przyszłości będziemy chcieli prześledzić taki sam algorytm w pierścieniach (gdzie w analogii do dodawania i mnożenia liczb będziemy mieć zadane w pewien sposób dodawanie i mnożenie elementów) tzw. euklidesowych, zastępując moduł wartością pojawiającej się tam funkcji ϕ. Zauważymy wówczas, że w taki sam jak wyżej sposób będziemy mogli znaleźć NWD elementów pierścienia euklidesowego, (choć należy zwrócić uwagę na różnicę w definicji tych pojęć w sensie algebraicznym i w sensie teorioliczbowym). Studiując teorię pierścieni euklidesowych warto wrócić do dowodów przedstawianych poniżej i zauważyć, iż możemy je przeprowadzić w analogiczny sposób w sytuacji algebraicznej. ( 2 )Nazwa algorytm pochodzi od brzmienia fragmentu nazwiska arabskiego matematyka Muhammada ibn Musa al.-chorezmiego, którego uznaje się za prekursora metod obliczeniowych w matematyce. Żył on na przełomie VIII i IX wieku, przyczynił się do upowszechnienia systemu dziesiętnego oraz wprowadził stosowanie zera jako symbolu oznaczającego nic ( 3 )Euklides: matematyk grecki, głównie działający w Aleksandrii, (ok p.n.e. dokładne daty nie są znane), autor jednego z najbardziej znanych dzieł matematycznych: Elementy

8 4 Podstawy teorii liczb Twierdzenie Z: a, b Z T: (1) r(a, b) = NWD(a, b), (2) Istnieją liczby k, l Z takie, że r(a, b) = ka + lb, (szczególny przypadek identyczności Bacheta-Bezouta Dowód. A.1 Przejdziemy teraz do wspomnianej identyczności Bezouta, (zob. A.2) Twierdzenie (identyczność Bacheta-Bezouta). Z: a 1,..., a n Z, (co najmniej jedna z nich jest niezerowa) T: Istnieją liczby k 1,..., k n Z: NWD(a 1,..., a n ) = k 1 a k n a n. Dowód. Najpierw udowodnimy naszą własność dla dwóch liczb a, b z których co najmniej jedna jest niezerowa. Rozważmy zbiór T = {ax + by : ax + by > 0, x, y Z}. Oczywiście, jedna z liczb ±a, ±b należy do naszego zbioru bo któraś z liczb a, b jest niezerowa. Wobec tego zbiór ten jest niepusty, zawiera wyłącznie liczby naturalne, posiada w takim razie element najmniejszy, powiedzmy d. Istnieją więc liczby x 0, y 0 Z takie, że d = ax 0 + by 0. Udowodnimy, że d jest poszukiwanym największym wspólnym dzielnikiem a i b. Udowodnimy najpierw, że d a. Z algorytmu dzielenia z resztą wiemy, że istnieją q, r takie, że 0 r < d, że a = dq + r. Wobec tego r = a dq = a(1 qx 0 ) bqy 0. Jeśli r > 0, to r T i jest to element mniejszy od d, sprzeczność. W takim razie r = 0 i oznacza to, że d a. Analogicznie dowodzimy, że d b. Załóżmy teraz, że 0 < t jest taką liczbą całkowitą, która dzieli i a i b. To oznacza, że a = tm, b = tn, skąd d = ax 0 + by 0 = t(mx 0 + ny 0 ) czyli t d, wobec czego t d. Przypuśćmy teraz, że n > 2 i twierdzenie mamy udowodnione dla mniej niż n liczb. Wprowadźmy następujące oznaczenia: d 0 := NW D(a 1,..., a n 1 ) > 0, d := NW D(NW D(a 1,..., a n 1 ), a n ) > 0. Zgodnie z założeniem indukcyjnym wiemy, że istnieją l 1,..., l n 1, k, l Z takie, że ( ) d 0 = l 1 a l n 1 a n 1, d = kd 0 + la n. Udowodnimy, że d jest największym wspólnym dzielnikiem liczb a 1,..., a n, (przy okazji udowodnimy własność rekurencyjnego obliczania NWD). Z definicji wynika, że d dzieli d 0 oraz a n. Ponieważ d 0 dzieli każde a i dla i = 1,..., n 1, z przechodniości relacji podzielności d jest wspólnym dzielnikiem wszystkich liczb a 1,..., a n. Z drugiej strony jeśli d N jest wspólnym dzielnikiem a 1,..., a n, to z ( ) mamy, że d d 0 a tym samym dzieli d. Oznacza to, że d d i wobec tego d =NWD(a 1,..., a n ).

9 1.2. NWD i NWW w Z 5 Jednocześnie ponownie dzięki ( ) wiemy, że d = kd 0 +la n = k(l 1 a l n 1 a n 1 )+la n i przyjmując k i := kl i dla i = 1,..., n 1 i k n := l mamy tezę. Bezpośrednio, z dowodu i twierdzenia otrzymujemy kolejne wnioski. Wniosek Z: a 1,..., a r Z, a 1 0. T: (1) Liczby a 1,..., a r są względnie pierwsze wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją liczby całkowite k 1,..., k r takie, że: ( ) 1 = k 1 a k r a r. (2) Jeśli r > 2, to NWD(NWD(a 1,..., a r 1 ), a r )=NWD(a 1,..., a r ), (3) Jeśli (a, b) = 1 i a bc, to a c. Odnotujmy jeszcze w tym miejscu, że wyznaczanie NWD liczb całkowitych można też przeprowadzić za pomocą ich rozkładu na liczby pierwsze, jeśli a = sgn(a)p k p ks s zaś b = sgn(b)p l p ls s, (zakładamy, że p i p j dla i j, k i 0 oraz t i =max(k i, l i ) > 0 dla każdego i) to NWD(a, b) = p t p ts s. Nie wspominamy dokładniej o tej metodzie, gdyż odwołuje się ona do zasadniczego twierdzenia arytmetyki, o którym opowiemy za chwilę. Z podstawowych informacji odnotujmy na zakończenie wniosek o zależności NWD(a, b) i NWW(a, b). Wniosek Dla liczb a, b N zachodzi równość: NWD(a, b) NWW(a, b) = ab. Dowód. A.2 Zastosowania tożsamości Bezouta: liniowe równania diofantyczne. Nazwą liniowe równanie diofantyczne określamy równanie postaci: ax + by = c gdzie a, b, c są liczbami całkowitymi, zaś poszukiwane rozwiązania też należą do Z. Bezpośrednio z identyczności Bezouta łatwo wynika wniosek dotyczący istnienia rozwiązań liniowych równań diofantycznych, (zob. A.3). Wniosek Liniowe równanie diofantyczne ax + by = c posiada rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy d =NWD(a, b) c. Oczywiście równanie takie, jeśli posiada rozwiązanie, to ma ich nieskończenie wiele - znając jedno szczególne (x 0, y 0 ) otrzymujemy postać ogólną: (x 0 + kb, y d 0 + ka ), k Z. d

10 6 Podstawy teorii liczb 1.3 Rozszerzenie algorytmu Euklidesa Pod pojęciem rozszerzenia algorytmu Euklidesa kryje się bądź to wzbogacanie algorytmu o dodatkowe informacje jakie przy jego wykonywaniu otrzymamy, bądź też jego modyfikacje prowadzące do wniosków algebraicznych w szerszych strukturach. W tej wstępnej części omówimy najprostsze rozszerzenie: pozwalające wyliczać jednocześnie przedstawienie Bezouta liczb a i b i tym samym też często wykorzystywaną, zwłaszcza w kryptografii odwrotność modulo zadanej liczby, (o ile oczywiście taka istnieje). Przedstawienie NWD dwóch liczb za pomocą kombinacji liczb wyjściowych można oczywiście uzyskać wracając krok po kroku drogą wykonywanego algorytmu, ale jest to jednak dość żmudna operacja. Możemy uprościć sobie nieco tę procedurę wyrażając w każdym kroku powstałą resztę jako kombinację liczb a i b. Procedurę tę opiszemy na przykładzie: Przykład Chcemy wyliczyć NWD(720, 546) oraz przedstawić je w postaci Bezouta, (tak nazywać będziemy poszukiwaną kombinację). Wypiszmy, dla przejrzystości kolejne kroki w tabeli: Wiemy teraz, że 720 = , mnożymy więc drugi wiersz przez 1 i odejmujemy od pierwszego dostając: Jak widać dostajemy przedstawienie reszty: 174 = ( 1) 546 w postaci kombinacji wyjściowych liczb. Dalej powtarzamy procedurę zgodnie z algorytmem Euklidesa i wiemy, że 546 = Ponownie więc mnożymy drugi wiersz ostatniej tabeli przez 3 i odejmujemy od pierwszego skąd 24 = ( 13) Kontynuujemy biorąc pod uwagę, że 174 = i otrzymamy: Jak widać teraz już po wydzieleniu 24 przez 6 jako resztę otrzymamy zero, wobec tego NWD(720, 546) = 6 i otrzymaliśmy też: 6 = ( 29) 546.

11 1.4. O liczbach pierwszych i ich własnościach O liczbach pierwszych i ich własnościach Zacznijmy od przypomnienia definicji liczby pierwszej - podstawowej cegiełki budującej liczbę całkowitą. Definicja (liczba pierwsza). Liczbę całkowitą p Z nazywamy liczbą pierwszą, jeśli (1) p > 1 oraz (2) d p, d > 0 = d = 1 lub d = p. Zbiór wszystkich liczb pierwszych oznaczamy dalej przez P. Każdą liczbę naturalną większą od jedynki, nie będącą liczbą pierwszą nazywamy liczbą złożoną. Pamiętajmy dalej o umowie, iż liczba jeden nie jest ani liczbą pierwszą ani też liczbą złożoną. Definicja liczby pierwszej i proste zastosowanie identyczności Bezouta prowadzi nas do następującego wniosku. Własność (1) Jeśli p P, k Z, to NWD(p, k) = 1 lub NWD(p, k) = p. (2) Jeśli p P, k 1,..., k n Z, p k 1... k n, to p k i dla pewnego i = 1,..., n. Warto zaznaczyć, że 1.4.2(2) jest własnością charakteryzującą liczby pierwsze - moglibyśmy stosując tę własność wprowadzić definicję liczby pierwszej. Jest to o tyle ciekawe z naszego punktu widzenia, że w przyszłości własność braku istotnego rozkładu elementu (jak to jest w przypadku liczby pierwszej, gdzie rozkłada się ona wyłącznie na iloczyn p 1, względnie ( p) ( 1)) oraz 1.4.2(2) okażą się być niestety nierównoważne w ogólniejszych strukturach. Doprowadzą nas one do definicji odpowiednio elementów nierozkładalnych i elementów pierwszych, (por. III). Własność 1.4.2(2) w wersji dla n = 2 to nic innego jak wspomniany wcześniej Lemat Euklidesa, który pojawia się w VII Księdze Elementów, sformułowany dla przypadku dwóch liczb. Gauss 4 w swoim dziele Disquisitiones arithmeticae wypowiada lemat Euklidesa i dowodzi przy jego pomocy twierdzenie o rozkładzie liczb całkowitych na liczby pierwsze, z którego to twierdzenia bezpośrednio wynika też gaussowskie uogólnienie lematu Euklidesa. Jak się często podkreśla lemat Gaussa pojawia się już jednak wcześniej w pracy Nouveaux éléments de mathématiques Jeana Presteta 5 z XVII wieku. Definicja, którą wprowadzimy teraz zapewne będzie lekko razić przerostem formy nad treścią. Znów wytłumaczeniem niech będą nasze przyszłe zamierzenia, gdzie słowo jedność oznaczać będzie znacznie szerszą klasę elementów niż jest to w przypadku zbioru Z. Definicja (jedność w Z). Jednościami w Z nazywamy liczby 1 i 1. Zbiór jedności w Z będziemy oznaczać przez U(Z) := { 1, 1}. ( 4 )Carl Friedrich Gauss: matematyk, fizyk i astronom niemiecki, ( ), książę matematyków ( 5 )Jean Prestet: matematyk francuski, ( )

12 8 Podstawy teorii liczb Definicja (rozkład jednoznaczny). Niech k Z. Mówimy, że k posiada jednoznaczny rozkład na iloczyn liczb pierwszych, jeśli (1) istnieją p 1,..., p r P, u U(Z) takie, że k = u p 1... p r, (2) dla dowolnych dwóch układów p 1,..., p r P, q 1,..., q s P, u, v U(Z) takich, że k = u p 1... p r = v q 1... q s mamy r = s oraz istnieje σ - bijekcja zbioru {1,..., r} na siebie taka, że: i {1,..., r} : p i = q σ(i). Twierdzenie (Zasadnicze twierdzenie arytmetyki). A.4 Każda niezerowa liczba całkowita, nie będąca jednością w Z posiada jednoznaczny rozkład na iloczyn liczb pierwszych. Dowód. Wystarczy oczywiście wykazać twierdzenie dla liczb naturalnych większych od jedynki. W naturalny sposób dowód rozbija się na dwie części: wykazanie istnienia rozkładu i wykazanie jego jednoznaczności. Istnienie. Indukcja względem n: dla n = 2 teza jest spełniona. Załóżmy tezę dla liczb naturalnych m takich, że 1 < m < n. Jeśli n jest liczbą pierwszą, to dowód zakończony. Jeśli n nie jest liczbą pierwszą, to n = ab, gdzie 1 < a < n i 1 < b < n wobec tego z założenia indukcyjnego a i b są liczbami pierwszymi bądź iloczynami takich. Stąd również n jest iloczynem liczb pierwszych. Jednoznaczność Ponownie indukcja względem n. Dla n = 2 jednoznaczność rozkładu jest oczywista ze względu na pierwszość tej liczby. Zakładając tezę dla liczb mniejszych lub równych (n 1) gdzie n > 2 przypuśćmy, że dla n, mamy dwa rozkłady: n = p 1... p r = q 1... q s gdzie p i, q j P oraz p 1... p r, q 1... q s. Oczywiście możemy przyjąć, że r > 1 w przeciwnym razie mamy do czynienia z liczbą pierwszą. Niech p będzie najmniejszą liczbą pierwszą dzielącą n, skąd p dzieli p i dla pewnego i, (1.4.2(2)) skąd p = p i czyli z minimalności p mamy p = p 1, analogicznie p = q 1. Niech teraz m := n p < n. Wobec tego mamy rozkład: m = p 2... p r = q 2... q s. Z założenia indukcyjnego otrzymujemy r = s i istnieje bijekcja σ zbioru {2,..., n} na siebie, (permutacja tego zbioru) taka, że i {2,..., r} p i = q σ(i). Przyjmując σ(1) = 1, σ(i) = σ(i), dla i > 1 otrzymujemy poszukiwaną permutację zbioru {1,..., n}. Twierdzenie (Euklides). Istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych.

13 1.4. O liczbach pierwszych i ich własnościach 9 Dowód. Przypuśćmy dla dowodu niewprost, że P = {p 1,..., p r }. Przyjmijmy m := p 1... p r + 1. Żadne p i nie dzieli liczby m, (w przeciwnym razie dzieliłoby jedynkę). Niech p będzie liczbą pierwszą dzielącą m, (taka istnieje na mocy 1.4.5). Wobec tego p / P i p jest liczbą pierwszą, co prowadzi do sprzeczności. W tej chwili istnieje całe multum dowodów nieskończoności zbioru wszystkich liczb pierwszych. Zaprezentowany powyżej dowód, w dość podobnej wersji jak w Elementach jest uznawany za pierwszy zapisany dowód przeprowadzony metodą niewprost i choćby z tego powodu jest tym dowodem, z którym warto się zapoznać. Liczby pierwsze obecnie to punkt wyjścia do analizy całego bogactwa problemów nie tylko stricte teorioliczbowych, o których nie sposób opowiedzieć w kilku słowach. Wspomnieć jednak wypada o wciąż udoskonalanych testach pierwszości, których celem jest zbadanie pierwszości zadanej liczby, (nie zaś jej rozkład na liczby pierwsze co jest zagadnieniem znacznie trudniejszym). Już w okolicach 200 p.n.e. grecki matematyk Eratosthenes 6 wprowadził metodę wyznaczania liczb pierwszych nie większych od ustalonej liczby n zwaną odtąd sitem Eratosthenesa. Jej działanie jest niezwykle proste - wypisujemy wszystkie liczby od 2 do n następnie zakreślamy 2 jako liczbę pierwszą i wykreślamy jej wszystkie wielokrotności. Potem zakreślamy pierwszą pozostałą liczbę i wykreślamy wszystkie jej wielokrotności i tak kontynuujemy aż nie ma nietkniętych liczb mniejszych lub równych od n. W ten sposób otrzymamy tablicę liczb pierwszych nie większych od liczby wyjściowej. Obecne, o wiele bardziej zaawansowane metody testowania pierwszości dzielą się na dwa rodzaje: testy deterministyczne i probablistyczne. Do tych pierwszych zaliczyć można m.in. test Lucasa-Lehmera, 7 (przy użyciu tego testu znaleziono największe liczby pierwsze, test dotyczy badania pierwszości tzw. liczb Mersenne a) 8, czy niektóre testy oparte na krzywych eliptycznych. Testy probablistyczne, choć nie pozwalają na zdecydowanie z pewnością, czy dana liczba jest pierwsza mają tę przewagę, że zwykle są dużo szybsze od testów deterministycznych. Liczby, którym udaje się przejść pozytywnie test probablistyczny, ale mimo to okazują się być jednak liczbami złożonymi znane są w kontekście liczb pseudopierwszych. Istnieje wiele różnych rodzajów takich liczb, z których bodaj najbardziej znane to liczby pseudopierwsze Fermata, które mimo iż pozostają liczbami złożonymi to spełniają założenia Małego Twierdzenia Fermata, o którym opowiemy dalej. Przy okazji testów probablistycznych wypada wspomnieć o dwóch testach: teście Rabina-Millera, który jest wyjątkowo efektywnym testem probablistycznym oraz o tzw. teście AKS (od nazwisk twórców: Manindra Agrawala, Neeraja Kayala i Nitina Saxena, 2002), który to test deterministyczny sprawdza pierwszość zadanej liczby w czasie wielomianowym, słowem jego czas działania jest ograniczony za pomocą zależności wielomianowej od rozmiaru danych wejściowych. Do czasu pojawienia się tego testu zasadniczo nie było dowodu na to, iż test pierwszości zadanej liczby jest problemem rozwiązywalnym w czasie wielomianowym mimo, iż uważano że taka możliwość istnieje. ( 6 )Eratosthenes: grecki matematyk, poeta, geograf, astronom i filozof ( p.n.e.) ( 7 )Edouard Lucas, matematyk francuski , Derrick Henry Lehmer, matematyk amerykański, ( 8 )Liczby Mersenne a: liczby postaci 2 p 1, gdzie p jest liczbą pierwszą, nazwane tak na cześć matematyka francuskiego Marina Mersenne a, autora pierwszej tablicy liczb pierwszych tego typu, (niestety zawierającą błędy) - Marin Mersenne: matematyk, filozof i teolog francuski, ( )

14 10 Podstawy teorii liczb 1.5 Kongruencje i ich własności, twierdzenie chińskie o resztach Na pierwszej stronie swego dzieła Disquisitiones Arithmeticae Gauss wprowadza pojęcie kongruencji, czyli jak to określać będziemy dalej przystawania. Dzięki zastosowaniu tej notacji wiele własności i twierdzeń otrzymało prostszą postać, ale też znacznie ułatwiło to przeprowadzanie wielu operacji matematycznych. Definicja (relacja przystawania modulo). Niech m N. Mówimy, że liczby całkowite k, l przystają modulo m, gdy m (k l). Oznaczenie: k l(mod m). Liczbę m nazywa się modułem kongruencji. Uwaga Relacja przystawania modulo m jest relacją równoważności w zbiorze liczb całkowitych. Klasę równoważności liczby k Z w relacji modulo m oznaczamy [k] m zaś zbiór wszystkich klas równoważności w relacji modulo m oznaczamy Z m. Często zapisujemy po prostu Z m = {0,..., m 1} mając na myśli za każdym razem klasę równoważności reprezentowaną przez daną liczbę, (na podstawie algorytmu dzielenia z resztą wiemy, że liczby 0,..., m 1 wyczerpują wszystkie klasy równoważności). Pierwsza bardzo istotna dla dalszego ciągu uwaga, to fakt, że relacja przystawania modulo, jak łatwo sprawdzić jest zgodna z działaniami dodawania i mnożenia, co pozwoli dalej określić poprawnie takie właśnie działania na zbiorze Z m. Konkretnie mówią nam o tym własności Własność Z: n N, k, l, k, l Z takie, że k k (mod n) i l l (mod n). T: (1) k ± l k ± l (mod n), (2) kl k l (mod n). Dowód. Ćwiczenie. Kolejny zestaw podstawowych własności kongruencji będziemy wykorzystywać dalej m.in. w rozwiązywaniu układów równań kongruencyjnych. Własności te łatwo wynikają z zastosowania zasadniczego twierdzenia arytmetyki lub np. tożsamości Bezouta Własność (1) Jeśli k, l Z, m Z takie, że m kl oraz m i k są względnie pierwsze, to m l. (lemat Gaussa) (2) Jeśli a, m N, k, l Z to ak al(mod am) k l(mod m), (3) Jeśli m N, a, k, l Z takie, że NWD(a, m) = 1, to ak al(mod m) k l(mod m). (4) Jeśli a 1,..., a r Z, k Z względnie pierwsza z a i dla i = 1,..., r, to k jest względnie pierwsza z iloczynem a 1... a r.

15 1.5. Kongruencje i ich własności, twierdzenie chińskie o resztach 11 (5) Jeśli m 1,..., m r Z - parami względnie pierwsze, k Z taka, że m i k dla każdego i = 1,..., r, to m 1... m r k. Dowód. Ćwiczenie. Przejdziemy teraz do rozważania równań oraz układów równań kongruencyjnych. Łatwo sprawdzić kiedy jedno równanie postaci ax b(mod m) posiada rozwiązanie całkowite - warunkiem koniecznym i wystarczającym na podstawie tożsamości Bezouta jest, aby NWD(a, m) b. Własność Niech a, b Z, m N. Wtedy istnieje rozwiązanie kongruencji ax b(mod m) wtedy i tylko wtedy, gdy NWD(a, m) b. Dowód. Zauważmy, że istnienie rozwiązania naszej kongruencji jest równoważne temu, że istnieje x Z takie, że m ax b co z kolei jest równoważne stwierdzeniu, iż istnieje y Z takie, że ax b = my czyli ax my = b. Jeśli więc NWD(a, m) nie dzieli b to lewa strona jest podzielna przez d zaś prawa nie, więc nie może istnieć rozwiązanie naszej kongruncji. Z drugiej strony jeśli b = cd to wystarczy zastosować identyczność Bezouta i znaleźć α, β Z takie, że d = αa + βm. Domnażając obie strony przez c dostajemy równość: b = cαa + cβm, czyli x = cα jest rozwiązaniem naszej kongruencji. Interesować nas będzie teraz poszukiwanie rozwiązania układów równań kongruencyjnych, (liniowych). Podstawowym tutaj twierdzeniem jest wspomniane w tytule chińskie twierdzenie o resztach. Twierdzenie (chińskie o resztach, TCR). A.5 Z: m 1,..., m r N - parami względnie pierwsze, k 1,..., k r Z. T: (1) Istnieje l Z takie, że l k i (mod m i ) dla każdego i = 1,..., r. (2) Jeśli l, l spełniają (1), to l l (mod m) gdzie m = m 1... m r. Dowód. Niech m := m 1... m r oraz s i := m m i. Wtedy s i jest iloczynem liczb m j dla j i wobec tego jest iloczynem liczb względnie pierwszych z m i. Z 1.5.4(4) wynika, że również m i i s i są względnie pierwsze. Wobec tego istnieją a 1,..., a r, b 1,..., b r Z takie, że a i m i + b i s i = 1 dla i = 1,..., r. Określmy teraz l := k 1 (b 1 s 1 ) k r (b r s r ). Wykażemy, że takie właśnie l spełnia warunki tezy. Ustalmy i 0 {1,..., r}. Wtedy l k i0 = k 1 (b 1 s 1 ) k i0 (b i0 s i0 1) k r (b r s r ). Ale m i0 a i0 m i0 = 1 b i0 s i0 oraz s i dla i i 0 są podzielne przez m i0 czyli l k i0 (mod m i0 ), czego oczekiwaliśmy. Niech teraz l spełnia również tę kongruencję, to oznacza, że l l jest podzielne przez każde m i. Wobec tego z 1.5.4(5) wynika, że l l jest podzielne przez iloczyn m 1... m r i mamy tezę.

16 12 Podstawy teorii liczb Zauważmy przy okazji, że dowód twierdzenia chińskiego o resztach dostarcza nam konkretnego algorytmu znajdowania rozwiązania układu kongruencji. Przykład zastosowania TCR: Rozwiązać układ kongruencji: x 2 (mod 3) x 3 (mod 5) x 1 (mod 7) Podać rozwiązanie ogólne oraz znaleźć najmniejszą liczbę naturalną będącą rozwiązaniem szczególnym. Co zrobić, gdy moduły kongruencji nie są parami względnie pierwsze? Oczywiście zawsze można sprowadzić układ do sytuacji, gdy moduły kongruencji są potęgami liczb pierwszych, a następnie pozbyć się zbędnych potęg, (o ile oczywiście układ otrzymany nie okazuje się sprzeczny). Można też stosować metody, które pozwalają na rozwiązywanie takich układów bez ich wcześniejszego sprowadzania do sytuacji parami względnie pierwszych modułów kongruencji. Przykład x 7 (mod 8) x 9 (mod 10) x 14 (mod 15) Układ ten jest równoważny układowi x 7 (mod 8) x 4 (mod 5) x 2 (mod 3) Możemy też startowy układ, (bez jego równoważnego przekształcania) rozwiązać następująco: x = 7+8k, czyli 7+8k 9 (mod 10) skąd 8k 2 (mod 10) co daje 4k 1 (mod 5). Mnożymy obie strony kongruencji przez 4 i mamy k 4 (mod 5), skąd k = 4 + 5l i x = l. Podstawiamy do ostatniego równania i dostajemy l 14 (mod 15), skąd 10l 5 (mod 5) co jest równoważne 2l 1 (mod 3). Mnożąc przez 2 mamy wreszcie l = 2 + 3s i ostatecznie x = s, s Z. Oczywiście w przypadku tego akurat układu łatwo zgadnąć jedno z rozwiązań, ale nie zawsze jest to od razu możliwe:) 1.6 Funkcja Eulera, jej własności i zastosowania Zaczniemy od zapoznania się z najważniejszą dla naszych dalszych zastosowań, (w szczególności w teorii grup oraz w wykorzystaniu dalej m.in. w teorii ciał, teorii Galois) funkcją arytmetyczną 9. Funkcję tę można definiować na różne sposoby, ale postawimy tu standardową definicję teorioliczbową. ( 9 )funkcja o dziedzinie N i wartościach zespolonych

17 1.6. Funkcja Eulera, jej własności i zastosowania 13 Definicja (funkcja Eulera). Niech ϕ : N N będzie funkcją przypisującą liczbie n liczbę względnie pierwszych z nią liczb całkowitych k [0, n). Funkcję ϕ nazywamy funkcją Eulera. Własność (1) ϕ(1) = 1, (zero jest względnie pierwsze z jedynką). (2) Niech p - liczba pierwsza. Wtedy: ϕ(p) = p 1 = p(1 1 ), (tylko zero nie jest p względnie pierwsze z p). (3) Niech p - liczba pierwsza, k N. Wtedy ϕ(p k ) = p k p k 1 = p k (1 1 ), gdyż mamy p p k 1 liczb całkowitych takich, że 0 l < p k, które są podzielne przez p. Udowodnimy teraz, że funkcja ϕ jest funkcją multliplikatywną (uwaga: nie jest to funkcja całkowicie multiplikatywna - tzn. jej multiplikatywność ogranicza się do względnie pierwszych argumentów, takie rozróżnienie w teorii liczb jest bardzo ważne). W dowodzie wykorzystamy twierdzenie chińskie o resztach. Twierdzenie (multiplikatywność funkcji Eulera). Z: m, n N - względnie pierwsze. T: ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n). Dowód. Niech I := {k [0, m) : NWD(k, m) = 1}, J := {l [0, n) : NWD(l, n) = 1} A := {s [0, m n) : NWD(s, m n) = 1}. Wtedy oczywiście #(I J) = ϕ(m)ϕ(n), zaś #(A) = ϕ(mn). Skonstruujemy bijekcję między zbiorami I J i A. Zgodnie z twierdzeniem chińskim o resztach dla dowolnej pary liczb (k, l) I J istnieje dokładnie jedna liczba z k,l taka, że 0 z k,l < mn oraz { z k,l k(mod m) z k,l l (mod n) (jedyność wynika z żądania, aby 0 z k,l < mn). Liczba ta jest względnie pierwsza z m (bo k była) oraz z n (bo l była) stąd jest względnie pierwsza z mn. Mamy więc dobrze określone odwzorowanie: (1) Φ jest injekcją. Φ : I J (k, l) z k,l A. Niech bowiem z k,l = z k,l i na przykład 0 k < k < m. Wtedy m (z k,l k) i m (z k,l k ) skąd m (k k), co prowadzi do sprzeczności. (2) Φ jest surjekcją. Jeśli bowiem z A, to z = Φ(k, l) gdzie k := z(mod m) zaś l := z(mod n). Łatwo sprawdzić, że (k, l) I J. Wobec tego ϕ(m)ϕ(n) = #(I) #(J) = #(I J) = #(A) = ϕ(mn). Wniosek ϕ(n) = n ( ) 1 1, dla dowolnego n N. p p n, p P

18 14 Podstawy teorii liczb Udowodnimy teraz własność funkcji Eulera, która wykorzystana zostanie w drugiej części wykładu przy badaniu własności tak zwanej grupy multiplikatywnej ciała skończonego 10 Własność Z: n N, ϕ - funkcja Eulera. T: d n ϕ(d) = n. Dowód. Zauważmy, że n to moc zbioru A = {0, 1, 2,..., n 1}. Rozbijemy zbiór A na sumę rozłącznych podzbiorów mocy ϕ(d), po wszystkich naturalnych dzielnikach d liczby n. Dla 0 < d, d n określmy N d := {x [0, n) : NWD(x, n) = n }. Zbiory te stanowią d rozbicie A na zbiory rozłączne, więc n = #A = #( N d ) = #N d. Wystarczy wobec tego wykazać, że #N d = ϕ(d). d n, 0<d d n, 0<d Ustalmy d i zauważmy, że x N d wtedy i tylko wtedy, gdy n = n d, x = n k, dla d d pewnego k takiego, że 0 k < d (bo x < n) oraz NWD(k, d) = 1, bo n jest największym d wspólnym dzielnikiem x i n. Wobec tego takich x-ów jest ϕ(d), czyli #N d = ϕ(d). 1.7 Małe twierdzenie Fermata i twierdzenie Eulera Zaczniemy od sformułowania tzw. Małego Twierdzenia Fermata, którego w tym momencie dowodzić nie będziemy, ale któremu (wraz z wybranymi dowodami) poświęcimy osobną opowieść w aneksie. W tej chwili wykorzystamy fakt, że dziś możemy na niego patrzeć jak na wniosek z ogólniejszego twierdzenia Eulera, choć historycznie rzecz ujmując to MTF było pierwszą udowodnioną własnością. Więcej o tym małym wielkim twierdzeniu poczytać można w rozdziale A.6 Twierdzenie (Małe twierdzenie Fermata=MTF). Jeśli p - liczba pierwsza, k Z to (1) Jeśli k jest wzgędnie pierwsza z p, to k p 1 1(mod p) (2) k p k(mod p). Uogólnieniem powyższej własności jest następne Twierdzenie Eulera (nazywane też Twierdzeniem Eulera-Fermata), które wykorzystuje wprowadzone wcześniej pojęcie funkcji Eulera. Twierdzenie (Twierdzenie Eulera). Jeśli m N, k Z - względnie pierwsza z m, to k ϕ(m) 1(mod m). Dowód. Jest to oczywiste gdy m = 1, wobec tego załóżmy, że m > 1. Niech I := {j [0, m) : NWD(j, m) = 1}. Wówczas #I = ϕ(m). Jeśli j jest liczbą względnie pierwszą z m, to także kj ma tę własność. Dla każdego j I istnieje 0 r j < m takie, że kj = mq j + r j, dla pewnego q j. Oczywiście z tej równości wynika, że r j I. Zauważmy, że I j r j I ( 10 )Jeśli K ciało, to jest to grupa (K, )

19 1.7. Małe twierdzenie Fermata i twierdzenie Eulera 15 jest bijekcją. Istotnie dla i < j ze zbioru I reszty r i, r j muszą być różne, gdyż w przeciwnym wypadku k(j i) = m(q j q i ), czyli k(j i) byłoby podzielne przez m - sprzeczność. Wobec tego z = j = r j i jest to liczba względnie pierwsza z m. Otrzymujemy w j I j I ten sposób układ ϕ(m) kongruencji kj r j (mod m). Mnożąc stronami kongruencje kj r j (mod m) dla wszystkich j I dostajemy: k ϕ(m) z z(mod p) gdzie z jest iloczynem wszystkich liczb całkowitych z I. Ale z jest względnie pierwsza z m, skąd z własności kongruencji mamy k ϕ(m) 1(mod m). Jak widać, jeśli m jest liczbą pierwszą jak w Twierdzeniu Fermata, dostajemy dokładnie tezę tego twierdzenia, gdyż ϕ(m) wtedy jest równe m 1.

20 Rozdział 2 Działania i ich własności Definicja (działanie). Niech X będzie zbiorem niepustym, zaś X X := {(x, y) : x X, y X} iloczynem kartezjańskim tego zbioru przez siebie. Każde odwzorowanie przypisujące parze elementów z X, (czyli elementowi z X X) element z X: nazywamy działaniem na zbiorze X. ( 1 ) : X X (x, y) x y X Przykład (i) R R (x, y) x y R jest działaniem na zbiorze liczb rzeczywistych, (iloczyn liczb rzeczywistych jest liczbą rzeczywistą) (ii) N N (x, y) x y Z NIE jest działaniem na zbiorze N gdyż może parze liczb naturalnych przypisać liczbę ujemną. Definicja (rodzaje działań). Niech : X X (x, y) x y X będzie działaniem na zbiorze X. (i) Działanie nazywamy łącznym gdy x, y, z X : (x y) z = x (y z) (ii) Działanie nazywamy przemiennym gdy x, y X : x y = y x (iii) Element e X nazywamy elementem neutralnym działania gdy x X : x e = e x = x ( 2 ) (iv) Jeśli dla działania istnieje element neutralny e, to dla dowolnego x X element x nazywamy elementem symetrycznym do elementu x względem działania jeśli x x = x x = e, ( 3 ) (v) Jeśli na zbiorze X zadane są dwa działania: oraz to działanie nazywamy rozdzielnym względem działania gdy: x, y, z X : (x y) z = (x z) (y z) i z (x y) = (z x) (z y) ( 1 )czasem fakt, że para punktów z X przechodzi na punkt z X nazywa się wewnętrznością działania ( 2 )uwaga: element neutralny nie zawsze musi istnieć, np. w N nie istnieje element neutralny dodawania ( 3 )uwaga: element symetryczny może dla pewnych elementów istnieć, dla innych nie np. w zbiorze Z z działaniem mnożenia dla 1 element symetryczny istnieje ale nie istnieje np. dla 2 16

21 2.1. Podstawowe przykłady działań Podstawowe przykłady działań I. Kanoniczne przykłady liczbowe (1) Działania dodawania wprowadzone na zbiorach N, Z, Q, R, C. (2) Działania mnożenia wprowadzone na zbiorach Z, Q, R, C. II. Działania w zbiorach macierzy Bardzo ważnym typem działania jest działanie mnożenia w tzw. zbiorach macierzy. Będziemy rozważać dwa podstawowe działania na macierzach, które znają Państwo z algebry liniowej. Najczęściej pracować będziemy z macierzami o wartościach liczbowych, (tzn. całkowitych, wymiernych, rzeczywistych lub zespolonych). Zbiór wszystkim macierzy kwadratowych wymiaru n nad pewnym zbiorem liczbowym A będziemy oznaczać przez M n (A). Na zbiorze tym rozważać będziemy działanie dodawania macierzy. Zbiór wszystkich macierzy nieosobliwych 4 wymiaru n nad pewnym zbiorem liczbowym A oznaczać będziemy GL n (A). W zbiorze tym rozważać będziemy działanie mnożenia macierzy. III. Zbiory odwzorowań i działania na nich Definicja (permutacje zbioru). Jeśli X jest zbiorem niepustym, zaś f : X X jest bijekcją zbioru X na samego siebie to odwzorowanie takie będziemy nazywać permutacją zbioru X. Zbiór wszystkich permutacji zbioru X będziemy oznaczać przez S(X). Szczególnym przypadkiem permutacji są permutacje zbioru skończonego. Definicja (permutacje). Rozważmy zbiór n-elementowy: {1, 2,..., n}. Każde odwzorowanie tego zbioru przypisujące jego elementowi dokładnie jeden element tego zbioru nazywać będziemy permutacją zbioru {1,..., n} i zwyczajowo oznaczać będziemy takie odwzorowania przez greckie literki np. σ Każde z takich odwozorowań oznaczać będziemy dalej następująco: ( ) n σ = σ(1) σ(2)... σ(n) gdzie oznaczenie to mówi, że nasze odwzorowanie σ przeprowadza 1 na σ(1), 2 na σ(2) itd. aż do n na σ(n). Zbiór permutacji zbioru X będziemy zawsze rozważać z działaniem g f := g f. składania tzn. Zbiór wszystkich permutacji zbioru {1,..., n} będziemy dalej oznaczać przez S n. ( 4 )Pamiętamy, że macierz nieosobliwa to macierz o wyznaczniku różnym od zera

22 18 Działania i ich własności Tabela działania na zbiorze Częstym sposobem zapisu działania na zbiorze skończonym jest tabela tego działania - tzw. tabliczka Cayleya. Arthur Cayley - matematyk i prawnik angielski ( ) znany m.in. z prac na temat teorii grup, o której zaczniemy mówić na kolejnym wykładzie. Od niego pochodzi m.in. dowód faktu, że każda grupa (zbiór z działaniem łącznym, dla którego istnieje element neutralny i każdy z elementów posiada symetryczny) może być traktowana jako część grupy permutacji. ( ), σ 4 = Ułóżmy dla przykładu tabelę działania w grupie permutacji: Tabela działania składania/mnożenia permutacji ( 3 elementowych ) S 3 = {σ 1, σ 2,..., σ 6 } gdzie σ 1 = id, σ 2 =, σ = ( ) ( ) ( ) , σ =, σ = σ 1 σ 2 σ 3 σ 4 σ 5 σ 6 σ 1 σ 1 σ 2 σ 3 σ 4 σ 5 σ 6 σ 2 σ 2 σ 1 σ 5 σ 6 σ 3 σ 4 σ 3 σ 3 σ 6 σ 1 σ 5 σ 4 σ 2 σ 4 σ 4 σ 5 σ 6 σ 1 σ 2 σ 3 σ 5 σ 5 σ 4 σ 2 σ 3 σ 6 σ 1 σ 6 σ 6 σ 3 σ 4 σ 2 σ 1 σ 5 IV. Kongruencje i działania modulo Definicja (zbiór reszt modulo). Niech m N, k Z. Zbiór takich liczb całkowitych l które dają tę samą resztę z dzielenia przez m jak liczba k, (inaczej: l k (mod m)) nazywamy klasą równoważności liczby k modulo m i oznaczać ją będziemy dalej [l] m. Zbiór wszystkich takich klas oznaczamy Z m. Uwaga (i) Każdy ze zbiorów Z m jest m-elementowy jako, że mamy m różnych reszt z dzielenia przez m. (ii) Często piszemy Z m = {0, 1, 2,..., m 1} zamiast Z m = {[0] m, [1] m,..., [m 1] m } - pamiętać jednak należy, że wtedy oznaczenie 0 mówi, że mamy na myśli wszystkie liczby podzielne przez m itd. Na zbiorze Z m będziemy wprowadzać dwa działania: dodawania i mnożenia. Definicja (i) Dla [k] m, [l] m Z m definiujemy: [k] m + [l] m := [k + l] m (ii) Dla [k m ], [l] m Z definiujemy: [k] m [l] m := [k l] m Uwaga Zauważmy, że działania wykonujemy więc w ten sposób, że dodajemy/mnożymy zadane liczby i potem bierzemy resztę z dzielenia wyniku przez m. Powyższa definicja działań w Z m ma sens, tzn. jeśli weźmiemy liczby reprezentujące te same klasy z Z m to wynik działania będzie taki sam - jak wiemy to z części poświęconej teorii liczb.

23 2.1. Podstawowe przykłady działań 19 Zobaczmy to na przykładzie: [3] 5 = [8] 5, [2] 5 = [12] 5 - gdy wymnożymy mamy: [3] 5 [2] 5 = [6] 5 = [1] 5 i analogicznie [8] 5 [12] 5 = [96] 5 = [1] 5. ( ) Tabela działania mnożenia modulo 5 w Z 5 = {1, 2, 3, 4} Ćwiczenia do części 2 (pytania o własności działań dotyczą własności z def ) Ćwiczenie 2.1. Sprawdzić, które z poniższych odwzorowań są działaniami na zbiorze X. W przypadku gdy jest to działanie sprawdzić jakie własności spełnia. (1) X = R, x y := x y x 2 + y 2, (2) X = Z, m n := (m + n)/2, (3) X = Z, m n := 1, (4) X = Q, a b c d 2ad + 3bc :=. bd Ćwiczenie 2.2. W przypadku poniższych działań sprawdzić, czy są one łączne, przemienne, posiadają w podanych zbiorach element neutralny, a w przypadku gdy tak jest czy każdy z elementów posiada element symetryczny: (1) x y := y na R, (2) m n := 3 mn na N, (3) x y := 2x 2y + 6 na R \ {2}. (4) x y := y x na Q+. Ćwiczenie 2.3. Niech T := {A M 2 (R) : A = [ a (a) sprawdzić, że mnożenie macierzy jest działaniem na T, ], dla pewnego a R}. (b) wykazać, że mnożenie macierzy w M 2 (R) nie jest przemienne ale działanie to jest przemienne na T, (c) sprawdzić, czy w obu zbiorach istnieją elementy neutralne względem mnożenia. Ćwiczenie 2.4. Sprawdzić, które własności działania zachodzą dla zbioru funkcji X = {f a,b (x) = ax + b, a R, b R} z działaniem składania funkcji tzn. (f g)(x) = f(g(x)). Ćwiczenie 2.5. Sprawdzić dla jakich n N działanie składania permutacji w zbiorze S n jest przemienne.

24 20 Działania i ich własności Ćwiczenie 2.6. Niech P będzie zbiorem wszystkich odwzorowań ze zbioru Z w Z. Na zbiorze P określimy dwa działania: dodawania odwzorowań - (f + g)(x) := f(x) + g(x) oraz składania odwzorowań - (f g)(x) := f(g(x)). Sprawdzić, czy zachodzi tu rozdzielność dodawania względem składania. Ćwiczenie 2.7. W zbiorze Z[i] = {a + bi, a, b Z} wprowadzamy dwa działania: dodawanie i mnożenie liczb zespolonych. Sprawdzić, które z własności spełniają te działania. Wyznaczyć wszystkie elementy, które posiadają element symetryczny względem mnożenia. Ćwiczenie 2.8. Sprawdzić, które własności działania zachodzą dla dodawania modulo m w Z m oraz które własności działania mnożenia modulo m zachodzą dla dowolnego Z m oraz osobno w przypadku gdy m jest liczbą pierwszą (tzn. jedynymi jej podzielnikami są m i 1). Ćwiczenie 2.9. Rozważmy zbiór wektorów: R 3 := {(a, b, c) : a, b, c R}. Na zbiorze tym określimy mnożenie wektorów w następujący sposób (iloczyn wektorowy): ( [ ] [ ] [ ]) v2 v (v 1, v 2, v 3 ) (w 1, w 2, w 3 ) := det 3 v1 v, det 3 v1 v, det 2 w 2 w 3 w 1 w 3 w 1 w 2 Tak określone działanie na R 3 nazywamy iloczynem wektorowym - jego efektem jest wektor prostopadły do obu wyjściowych wektorów. Sprawdzić, czy jest to działanie łączne i czy jest to działanie przemienne. Ćwiczenie (a) Udowodnić, że jeśli dane działanie jest łączne i posiada element neutralny, to element ten jest jedyny. (b) Udowodnić, że jeśli dane działanie jest łączne, posiada element neutralny zaś element x posiada element symetryczny to element ten jest jedyny.

25 Rozdział 3 Elementy teorii grup Korzeni teorii grup doszukiwać się należy bardzo głęboko w rozwoju relacji między pojęciami klasycznej algebry, arytmetyki i geometrii - do powstania podstaw pojęcia grupy doprowadziły w dużej mierze próby znalezienia wspólnego opisu własności teorioliczbowych i geometrycznych. Te dwa elementy, wspierane bodźcem poszukiwania rozwiązań równań wyższych stopni zostały w końcu sprowadzone do wspólnej płaszczyzny tworząc zręby m.in. języka teorii grup. Postęp czyniony w badaniach geometrii nieeuklidesowych, dalej prace Gaussa, Eulera, Lagrange a ( 1 ) i wielu innych nad rozwiązalnością równań stopnia co najmniej 5 legły u podstaw badań Galois ( 2 ) i Abela. ( 3 ) Od czasu tych dwóch matematyków całe pokolenia następców podejmowały idee przez nich zapoczątkowane rozwijając teorię grup i ciał - by wspomnieć Dedekinda, ( 4 ) Kroneckera,( 5 ) Jordana, ( 6 ).... To oni wzbogacili wprowadzane wcześniej pojęcia i stosowali już teorię grup w mniej lub bardziej znanej nam dziś formie. Konkretny wkład każdego z nich (albo większości) poznamy w dalszym ciągu wykładu. W przeciągu wieków pojęcie grupy przeszło długą ewolucję zanim nabrało współczesnego kształtu, a i dziś możliwe są dwa różne podejścia do charakteryzacji struktury grupowej. My oprzemy się na aksjomatycznym pojęciu grupy. ( 7 ) ( 1 )Joseph Louis Lagrange - matematyk i astronom włoskiego pochodzenia, pracujący głównie we Francji, ( ) ( 2 )Evariste Galois: matematyk francuski, Mozart matematyki, zginął mając zaledwie 21 lat, ( ) pozostawiając po sobie ogromny wkład w rozwój teorii grup i nowoczesnej teorii równań algebraicznych ( 3 )Niels Henrik Abel - matematyk norweski ( ) ( 4 )Julius Wilhelm Richard Dedekind - matematyk niemiecki, ( ) ( 5 )Leopold Kronecker - matematyk niemiecki ( ) ( 6 )Marie Eddemond Camille Jordan - matematyk francuski, ( ) ( 7 )Pojęcie grupy, jeszcze nienazwane, wystąpiło po raz pierwszy u Lagrange a (grupa permutacji n elementów). W swoim Disquisitiones Gauss wykorzystuje grupę addytywną i multiplikatywną pierścienia reszt modulo m, bada też grupy klas form kwadratowych. Dość często autorstwo terminu grupa przypisuje się Galois tym niemniej nie jest to chyba do końca poprawne, gdyż co prawda użył on w jednym ze swoich rękopisów określenia groupe, ale tę samą nazwę zastosował do tego, co dziś określamy jako warstwy grupy względem podgrupy (będzie o tym mowa dalej na wykładzie), miał więc chyba bardziej na myśli po prostu zbiór niż to co my rozumiemy jako grupę, czyli zbiór z działaniem o konkretnych własnościach. Z pewnością formalnym twórcą pojęcia grupy abstrakcyjnej jest Arthur Cayley, który zdefiniował je w 1854 roku w swoim pierwszym artykule o teorii grup opublikowanym w Philosophical Magazine. Do tego czasu zajmowano się jedynie grupami permutacji n elementów. Dalej należy obecną formę pojęcia grupy wiązać z pracami Kroneckera, Burnside a, von Dycka i H.M. Webera. 21

26 22 Elementy teorii grup 3.1 Podstawowe definicje i przykłady Pojęcie grupy Definicja (grupa). Niech G będzie zbiorem niepustym, zaś : G G (x, y) x y G działaniem (2.0.3) na G, dla którego zachodzą następujące własności: (1) jest ono łączne, (2) posiada element neutralny e G, (3) każdy element x G posiada element symetryczny x G. Wtedy parę (G, ) nazywamy grupą z działaniem. Jeśli nie będzie to prowadziło do nieporozumień będziemy często pisali po prostu grupa G zamiast grupa (G, ). W domyśle jednak grupa jest zawsze zbiorem wraz z działaniem. Jeśli dodatkowo działanie jest przemienne grupę nazywamy przemienną lub abelową. Uwaga (i) Jeśli określone na G działanie spełnia jedynie warunek łączności, to parę (G, ) nazywamy półgrupą (ii) Jeśli (G, ) jest półgrupą i dodatkowo istnieje w G element neutralny działania to (G, ) nazywamy monoidem Definicja (rząd grupy). O grupie G mówimy, że jest skończona, gdy zbiór G ma skończoną ilość elementów. Wówczas ilość tę, czyli #G nazywamy rzędem grupy G i oznaczamy G. Jeśli zbiór G ma nieskończoną ilość elementów, to mówimy, że G jest grupą o rzędzie nieskończonym i piszemy: G =. Przykład (i) (Z, +), (Q, +), (R, +), C, +) e = 0, element symetryczny = liczba przeciwna - grupy abelowe. (ii) (Q, ), (R, ), (C, ) e = 1, element symetryczny = odwrotność liczby, - grupy abelowe z mnożeniem. (iii) Grupy reszt modulo: (Z n, + n ), gdzie [k] n + n [l] n := [k + l] n - grupa abelowa. (Z n, n), gdzie [k] n n [l] n := [k l] n - grupa abelowa wtedy i tylko wtedy, gdy n P, (U(Z n ), n) - grupa reszt modulo n liczb względnie pierwszych z n (tzn. takich, których największy wspólny dzielnik z n jest równy 1). W dalszej części wykładu, jeśli będziemy mieć do czynienia z elementami zbioru Z n to ich dodawanie i mnożenie oznaczać będziemy zwykłymi znakami: + i pamiętając o tym, że oznacza to wykonywanie tych działań modulo n.

27 3.1. Podstawowe definicje i przykłady 23 (iv) Grupy macierzy: (M n (G), +) - grupa macierzy kwadratowych wymiaru n o wspøłczynnikach z G, gdzie G oznacza grupy addytywne Z, Q, R lub C, (działanie: dodawanie macierzy). Jeśli F = Q, R, C to (GL n (F ), ) - grupa nieosobliwych macierzy kwadratowych wymiaru n o współczynnikach z F, (v) Grupy symetryczne (ogólne grupy permutacji): Niech E oraz S(E) := S E := {f : E E : f bijekcja}. Wtedy (S E, ) jest grupą nazywaną grupą symetryczną. Dla E := {1,..., n} grupę S E oznaczamy S n i nazywamy grupą permutacji n- elementowych. Elementy grupy S n nazywamy permutacjami i zazwyczaj oznaczamy małymi literami greckimi. ( 8 ) W przypadku gdy E jest zbiorem n-elementowym grupę S E oznaczać będziemy przez S n - grupa permutacji n-elementowych. Warto pamiętać, że często pod pojęciem grupy permutacji rozumie się dowolną grupę, której elementy tworzą permutacje zadanego zbioru a działanie jest ich składaniem. (vi) Grupa diedralna (dihedral( 9 )) - grupa symetrii wielokąta foremnego z działaniem składania. Można spotkać się z dwoma notacjami dla tej grupy: D n oraz D 2n gdzie ta ostatnia związana jest z liczbą elementów grupy symetrii n-kąta foremnego, (grupa taka złożona jest z n odbić i n-obrotów, (w tym obrotu o 360 stopni - identyczność). W teorii grup używa się klasycznie dwóch notacji: multiplikatywnej i addytywnej. Działanie Element neutralny Element symetryczny Nazwa mnożenie jedynka grupy element odwrotny Oznaczenie x y lub xy 1 G lub 1 x 1 Tabela 3.1: Notacja multiplikatywna. Działanie Element neutralny Element symetryczny Nazwa dodawanie zero grupy element przeciwny Oznaczenie x + y 0 G lub 0 x Tabela 3.2: Notacja addytywna. Często notacja addytywna stosowana jest w przypadku, gdy grupa jest abelowa. Na wykładzie w dalszym ciągu teorii grup będziemy stosować notację multiplikatywną, (za wyjątkiem jednego rozdziału) oraz skrótowo operować wyrażeniem grupa G zamiast grupa ( 8 )Taka notacja przyjęła się za klasycznym podręcznikiem H.Wielandta,F inite Permutation Groups, Academic Press, New York, 1964 ( 9 )Dihedral group - określenie to oznacza dokładnie grupę dwuścianu

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 24 lutego 2015 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod

Bardziej szczegółowo

Elementy algebry ogólnej 1

Elementy algebry ogólnej 1 Elementy algebry ogólnej 1 Notatki do wykładu w semestrze zimowym 2015/2016 Ewa Cygan Wersja z 13 sierpnia 2015 Spis treści Wstęp ii Oznaczenia, konwencje i podstawowe twierdzenia.................. ii

Bardziej szczegółowo

Paweł Gładki. Algebra. http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/

Paweł Gładki. Algebra. http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Paweł Gładki Algebra http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Konsultacje: Środa, 14:00-15:00 Jeżeli chcesz spotkać się z prowadzącym podczas konsultacji, postaraj się powiadomić go o tym przed lub po zajęciach,

Bardziej szczegółowo

Algebra1(Wstępdo algebry)

Algebra1(Wstępdo algebry) Algebra1(Wstępdo algebry) Notatki do wykładu w semestrze zimowym 2013/2014 Ewa Cygan Wersja z 10 stycznia 2014 Spis treści Wstęp iii Oznaczenia,konwencjeipodstawowetwierdzenia... iii 1 Podstawy teorii

Bardziej szczegółowo

Analiza kongruencji. Kongruencje Wykład 3. Analiza kongruencji

Analiza kongruencji. Kongruencje Wykład 3. Analiza kongruencji Kongruencje Wykład 3 Kongruencje algebraiczne Kongruencje jak już podkreślaliśmy mają własności analogiczne do równań algebraicznych. Zajmijmy się więc problemem znajdowania pierwiastka równania algebraicznego

Bardziej szczegółowo

Teoria ciała stałego Cz. I

Teoria ciała stałego Cz. I Teoria ciała stałego Cz. I 1. Elementy teorii grup Grupy symetrii def. Grupy Zbiór (skończony lub nieskończony) elementów {g} tworzy grupę gdy: - zdefiniowana operacja mnożenia (złożenia) g 1 g 2 = g 3

Bardziej szczegółowo

Kongruencje oraz przykłady ich zastosowań

Kongruencje oraz przykłady ich zastosowań Strona 1 z 25 Kongruencje oraz przykłady ich zastosowań Andrzej Sładek, Instytut Matematyki UŚl sladek@ux2.math.us.edu.pl Spotkanie w LO im. Powstańców Śl w Bieruniu Starym 27 października 2005 Strona

Bardziej szczegółowo

LICZBY PIERWSZE. 14 marzec 2007. Jeśli matematyka jest królową nauk, to królową matematyki jest teoria liczb. C.F.

LICZBY PIERWSZE. 14 marzec 2007. Jeśli matematyka jest królową nauk, to królową matematyki jest teoria liczb. C.F. Jeśli matematyka jest królową nauk, to królową matematyki jest teoria liczb. C.F. Gauss (1777-1855) 14 marzec 2007 Zasadnicze twierdzenie teorii liczb Zasadnicze twierdzenie teorii liczb Ile jest liczb

Bardziej szczegółowo

Podzielność liczb. Podzielność liczb

Podzielność liczb. Podzielność liczb Euclides i kwestie podzielności liczb Definicja Niech a, b Z. Mówimy, że liczba a > 0 dzieli liczbę b, albo a b, jeżeli istnieje taka całkowita liczba c, że b = ac. Definicja a b a > 0 i b = ac, c całkowite.

Bardziej szczegółowo

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0. 5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,

Bardziej szczegółowo

Matematyka Dyskretna Zestaw 2

Matematyka Dyskretna Zestaw 2 Materiały dydaktyczne Matematyka Dyskretna (Zestaw ) Matematyka Dyskretna Zestaw 1. Wykazać, że nie istnieje liczba naturalna, która przy dzieleniu przez 18 daje resztę 13, a przy dzieleniu przez 1 daje

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział

Bardziej szczegółowo

Działanie grupy na zbiorze

Działanie grupy na zbiorze Działanie grupy na zbiorze Definicja 0.1 Niech (G, ) będzie dowolną grupą oraz X niepustym zbiorem, to odwzorowanie : G X X nazywamy działaniem grupy G na zbiorze X jeślinastępujące warunki są spełnione:

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Zadania. 1.1 Liczby pierwsze. 1. Wykorzystując sito Eratostenesa wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze mniejsze niż 200.

Rozdział 1. Zadania. 1.1 Liczby pierwsze. 1. Wykorzystując sito Eratostenesa wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze mniejsze niż 200. Rozdział 1 Zadania 1.1 Liczby pierwsze 1. Wykorzystując sito Eratostenesa wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze mniejsze niż 200. 2. Wyliczyć największy wspólny dzielnik d liczb n i m oraz znaleźć liczby

Bardziej szczegółowo

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi.

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi. Grupy. Permutacje 1 1 Definicja grupy Niech G będzie zbiorem. Działaniem na zbiorze G nazywamy odwzorowanie (oznaczane, jak mnożenie, przez ) przyporządkowujące każdej parze uporządkowanej (a, b) G G element

Bardziej szczegółowo

LXIII Olimpiada Matematyczna

LXIII Olimpiada Matematyczna 1 Zadanie 1. LXIII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 17 lutego 2012 r. (pierwszy dzień zawodów) Rozwiązać w liczbach rzeczywistych a, b, c, d układ równań a

Bardziej szczegółowo

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści 0 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 2 1 Geometria analityczna w R 2 3 3 3 2 Liczby zespolone 4 4 4 3

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie IV. Dany jest prostokątny arkusz kartony o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe

Bardziej szczegółowo

Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji

Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji I LO im. F. Ceynowy w Świeciu Radosław Rudnicki joix@mat.uni.torun.pl 17.03.2009 r. Typeset by FoilTEX Streszczenie Celem wykładu jest wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 1. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza

MATeMAtyka 1. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza MATeMAtyka 1 Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 9: Grupy skończone Gniewomir Sarbicki Grupy cykliczne Definicja: Jeżeli każdy element grupy G jest postaci a n dla pewnego a G, to mówimy, że grupa G jest grupą cykliczną o

Bardziej szczegółowo

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ

Bardziej szczegółowo

Zadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d)

Zadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d) Matemaryka dyskretna - zadania Zadanie 1. Opisać zbiór wszystkich elementów rangi k zbioru uporządkowanego X dla każdej liczby naturalnej k, gdy X jest rodziną podzbiorów zbioru skończonego Y. Elementem

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski Uniwersytet Śląski 23 marca 2012 Ciało liczb zespolonych Rozważmy zbiór C = R R, czyli C = {(x, y) : x, y R}. W zbiorze C definiujemy następujące działania: dodawanie: mnożenie: (a, b) + (c, d) = (a +

Bardziej szczegółowo

Wzory skróconego mnożenia w zadaniach olimpijskich

Wzory skróconego mnożenia w zadaniach olimpijskich Wzory skróconego mnożenia w zadaniach olimpijskich Jacek Dymel 17.10.008 Bardzo często uczniowie wyrażają taką opinię, że do rozwiązywania zadań olimpijskich niezbędna jest znajomość wielu skomplikowanych

Bardziej szczegółowo

Uniwersyteckie Koło Matematyczne - Tajemnicza liczba e.

Uniwersyteckie Koło Matematyczne - Tajemnicza liczba e. Uniwersyteckie Koło Matematyczne - Tajemnicza liczba e. Filip Piękniewski Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Mikołaja Kopernika http://www.mat.umk.pl/ philip 17 grudnia 2009 Filip Piękniewski,

Bardziej szczegółowo

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa, test próbny www.omg.edu.pl (wrzesień 2011 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba krawędzi pewnego ostrosłupa jest o

Bardziej szczegółowo

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. 1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy

Bardziej szczegółowo

Marek Zakrzewski Wydział Matematyki Politechnika Wrocławska. Lekarstwo na kłopoty z Cardanem: Róbta co Vieta.

Marek Zakrzewski Wydział Matematyki Politechnika Wrocławska. Lekarstwo na kłopoty z Cardanem: Róbta co Vieta. Marek Zakrzewski Wydział Matematyki Politechnika Wrocławska Lekarstwo na kłopoty z Cardanem: Róbta co Vieta. Rozwiązywanie równań sześciennych - wzory Cardana Każde równanie sześcienne można sprowadzić

Bardziej szczegółowo

Rozdział 7. Elementy teorii liczb. 7.1 Podstawowe własności liczb

Rozdział 7. Elementy teorii liczb. 7.1 Podstawowe własności liczb Rozdział 7 Elementy teorii liczb 7.1 Podstawowe własności liczb Zakres teorii liczb to zbiór liczb całkowitych. Tak więc nie będziemy wychodzić poza ten zbiór, a jeśli się pojawi pojęcie,,liczba, oznaczać

Bardziej szczegółowo

Liczby rzeczywiste. Działania w zbiorze liczb rzeczywistych. Robert Malenkowski 1

Liczby rzeczywiste. Działania w zbiorze liczb rzeczywistych. Robert Malenkowski 1 Robert Malenkowski 1 Liczby rzeczywiste. 1 Liczby naturalne. N {0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8...} Liczby naturalne to liczby używane powszechnie do liczenia i ustalania kolejności. Liczby naturalne można ustawić

Bardziej szczegółowo

Uniwersytet w Białymstoku. Wykład monograficzny

Uniwersytet w Białymstoku. Wykład monograficzny Uniwersytet w Białymstoku Wydział Matematyczno-Fizyczny Instytut Matematyki dr hab. Ryszard Andruszkiewicz Wykład monograficzny Wykład monograficzny prowadzony dla studentów V roku matematyki przez dr

Bardziej szczegółowo

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE Standardy wymagań egzaminacyjnych Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY POZIOM ROZSZERZONY 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka cz.1. Zakres podstawowy

MATeMAtyka cz.1. Zakres podstawowy MATeMAtyka cz.1 Zakres podstawowy Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające poza program nauczania (W). Wymienione

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ OD RÓWNAŃ DO ODWZOROWAŃ LINIOWYCH

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ OD RÓWNAŃ DO ODWZOROWAŃ LINIOWYCH ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 OD RÓWNAŃ DO ODWZOROWAŃ LINIOWYCH Piotr M Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 8, 27112013 Typeset by Jakub Szczepanik Motywacja 2/10 Przechodzimy od rozwiązywania jednego równania

Bardziej szczegółowo

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Matematyka dla liceum ogólnokształcącego i technikum w zakresie podstawowym i rozszerzonym Z E S Z Y T M E T O D Y C Z N Y Miejski

Bardziej szczegółowo

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13 Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13 (1) Nazwa Algebra liniowa z geometrią (2) Nazwa jednostki prowadzącej Instytut Matematyki przedmiot (3) Kod () Studia Kierunek

Bardziej szczegółowo

Wykłady z matematyki Liczby zespolone

Wykłady z matematyki Liczby zespolone Wykłady z matematyki Liczby zespolone Rok akademicki 015/16 UTP Bydgoszcz Liczby zespolone Wstęp Formalnie rzecz biorąc liczby zespolone to punkty na płaszczyźnie z działaniami zdefiniowanymi następująco:

Bardziej szczegółowo

Wielomiany jednej zmiennej rzeczywistej algorytmy

Wielomiany jednej zmiennej rzeczywistej algorytmy Rozdział 15 Wielomiany jednej zmiennej rzeczywistej algorytmy 15.1 Algorytm dzielenia Definicja 15.1 Niech dany będzie niezerowy wielomian f K[x] (K jest ciałem) f = a 0 x m + a 1 x m 1 +... + a m, gdzie

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

166 Wstęp do statystyki matematycznej

166 Wstęp do statystyki matematycznej 166 Wstęp do statystyki matematycznej Etap trzeci realizacji procesu analizy danych statystycznych w zasadzie powinien rozwiązać nasz zasadniczy problem związany z identyfikacją cechy populacji generalnej

Bardziej szczegółowo

Jak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ).

Jak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ). Odwzorowania n-liniowe; formy n-liniowe Definicja 1 Niech V 1,..., V n, U będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Odwzorowanie G: V 1 V n U nazywamy n-liniowym, jeśli dla każdego k [n] i wszelkich

Bardziej szczegółowo

Zakres Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry

Zakres Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry Kryteria oceniania z matematyki ( poziom rozszerzony) klasa 2 Zakres Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry Funkcja liniowa Uczeń: - rozpoznaje funkcję liniową na podstawie wzoru - zna postać ogólną

Bardziej szczegółowo

Równania diofantyczne

Równania diofantyczne Równania diofantyczne Beata Łojan b.lojan@knm.katowice.pl Koło Naukowe Matematyków Uniwersytetu Śląskiego w Katowicach www.knm.katowice.pl III Liceum Ogólnokształcące im. Lucjana Szenwalda w Dąbrowie Górniczej

Bardziej szczegółowo

LICZBY PIERWSZE. Jan Ciurej Radosław Żak

LICZBY PIERWSZE. Jan Ciurej Radosław Żak LICZBY PIERWSZE Jan Ciurej Radosław Żak klasa IV a Katolicka Szkoła Podstawowa im. Świętej Rodziny z Nazaretu w Krakowie ul. Pędzichów 13, 31-152 Kraków opiekun - mgr Urszula Zacharska konsultacja informatyczna

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony W klasie drugiej na poziomie rozszerzonym realizujemy materiał z klasy pierwszej tylko z poziomu rozszerzonego (na czerwono) oraz cały materiał z klasy drugiej. Rozkład

Bardziej szczegółowo

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Wyrażeniem algebraicznym nazywamy wyrażenie zbudowane z liczb, liter, nawiasów oraz znaków działań, na przykład: Symbole literowe występujące w wyrażeniu algebraicznym nazywamy zmiennymi.

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 10, 11.12.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Geometryczne intuicje Dla pierścienia R = R mamy

Bardziej szczegółowo

4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze. ϕ : K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η), taka że

4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze. ϕ : K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η), taka że 4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze taka że K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η) R n R, f(x 0, y 0 ) = 0, y f(x 0, y 0 ) 0. Wówczas dla odpowiednio

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem

Bardziej szczegółowo

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ L.p. 1. Liczby rzeczywiste 2. Wyrażenia algebraiczne bada, czy wynik obliczeń jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Wymagania na poszczególne oceny szkolne z matematyki. dla uczniów klasy Ia i Ib. Gimnazjum im. Jana Pawła II w Mętowie. w roku szkolnym 2015/2016

Wymagania na poszczególne oceny szkolne z matematyki. dla uczniów klasy Ia i Ib. Gimnazjum im. Jana Pawła II w Mętowie. w roku szkolnym 2015/2016 Wymagania na poszczególne oceny szkolne z matematyki dla uczniów klasy Ia i Ib Gimnazjum im. Jana Pawła II w Mętowie w roku szkolnym 2015/2016 DZIAŁ I: LICZBY zaznacza na osi liczbowej punkty odpowiadające

Bardziej szczegółowo

Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e

Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej Zestaw 1 szkice rozwiązań zadań 1 W wierszu zapisano kolejno 2010 liczb Pierwsza zapisana liczba jest równa 7 oraz

Bardziej szczegółowo

Uczeń: -podaje przykłady ciągów liczbowych skończonych i nieskończonych oraz rysuje wykresy ciągów

Uczeń: -podaje przykłady ciągów liczbowych skończonych i nieskończonych oraz rysuje wykresy ciągów Wymagania edukacyjne PRZEDMIOT: Matematyka KLASA: III Th ZAKRES: zakres podstawowy Poziom wymagań Lp. Dział programu Konieczny-K Podstawowy-P Rozszerzający-R Dopełniający-D Uczeń: 1. Ciągi liczbowe. -zna

Bardziej szczegółowo

Spis treści Wstęp Liczby zespolone Funkcje elementarne zmiennej zespolonej Wielomiany Macierze i wyznaczniki

Spis treści Wstęp Liczby zespolone Funkcje elementarne zmiennej zespolonej Wielomiany Macierze i wyznaczniki Spis treści Wstęp ii 1 Liczby zespolone 1 1.1 Definicja i działania, liczby sprzężone......................... 1 1.2 Moduł, argument, postać trygonometryczna..................... 2 1.3 Działania na liczbach

Bardziej szczegółowo

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy

Bardziej szczegółowo

Matematyka na czasie Przedmiotowe zasady oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych dla klasy 1

Matematyka na czasie Przedmiotowe zasady oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych dla klasy 1 Matematyka na czasie Przedmiotowe zasady oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych dla klasy 1 Wyróżniono następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające

Bardziej szczegółowo

Wymagania na poszczególne oceny w klasie I gimnazjum do programu nauczania MATEMATYKA NA CZASIE

Wymagania na poszczególne oceny w klasie I gimnazjum do programu nauczania MATEMATYKA NA CZASIE Wymagania na poszczególne oceny w klasie I gimnazjum do programu nauczania MATEMATYKA NA CZASIE I.LICZBY - zaznacza na osi liczbowej punkty odpowiadające liczbom całkowitym, wymiernym(np. 1 2, 2 1 1 ),

Bardziej szczegółowo

Podstawy systemów kryptograficznych z kluczem jawnym RSA

Podstawy systemów kryptograficznych z kluczem jawnym RSA Podstawy systemów kryptograficznych z kluczem jawnym RSA RSA nazwa pochodząca od nazwisk twórców systemu (Rivest, Shamir, Adleman) Systemów z kluczem jawnym można używać do szyfrowania operacji przesyłanych

Bardziej szczegółowo

Formy kwadratowe. Rozdział 10

Formy kwadratowe. Rozdział 10 Rozdział 10 Formy kwadratowe Rozważmy rzeczywistą macierz symetryczną A R n n Definicja 101 Funkcję h : R n R postaci h (x) = x T Ax (101) nazywamy formą kwadratową Macierz symetryczną A występującą w

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. (c.d.

2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. (c.d. 2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. (c.d.) 10 października 2009 r. 20. Która liczba jest większa,

Bardziej szczegółowo

LICZBY ZESPOLONE. 1. Wiadomości ogólne. 2. Płaszczyzna zespolona. z nazywamy liczbę. z = a + bi (1) i = 1 lub i 2 = 1

LICZBY ZESPOLONE. 1. Wiadomości ogólne. 2. Płaszczyzna zespolona. z nazywamy liczbę. z = a + bi (1) i = 1 lub i 2 = 1 LICZBY ZESPOLONE 1. Wiadomości ogólne DEFINICJA 1. Liczba zespolona z nazywamy liczbę taką, że a, b R oraz i jest jednostka urojona, definiowaną następująco: z = a + bi (1 i = 1 lub i = 1 Powyższą postać

Bardziej szczegółowo

Wykład IV Algorytmy metody prezentacji i zapisu Rzut oka na język PASCAL

Wykład IV Algorytmy metody prezentacji i zapisu Rzut oka na język PASCAL Studia Podyplomowe INFORMATYKA Podstawy Informatyki Wykład IV Algorytmy metody prezentacji i zapisu Rzut oka na język PASCAL 1 Część 1 Pojęcie algorytmu 2 I. Pojęcie algorytmu Trochę historii Pierwsze

Bardziej szczegółowo

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ MATEMATYKA Klasa III ZAKRES PODSTAWOWY Dział programu Temat Wymagania. Uczeń: 1. Miara łukowa kąta zna pojęcia: kąt skierowany, kąt

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.

ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. TEMAT Równania i nierówności (30h) LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH Liczby wymierne 3 Liczby niewymierne 1 Zapisywanie

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI DLA KL. 5

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI DLA KL. 5 WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI DLA KL. 5 Na ocenę niedostateczną (1) uczeń nie spełnia wymagań koniecznych. Na ocenę dopuszczającą (2) uczeń spełnia wymagania konieczne tzn.: 1. posiada i

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta

Bardziej szczegółowo

Zakres Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry

Zakres Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry Kryteria oceniania z matematyki ( poziom rozszerzony) klasa 2 Zakres Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry Funkcja liniowa Uczeń: - rozpoznaje funkcję liniową na podstawie wzoru - zna postać ogólną

Bardziej szczegółowo

PROGRAM KLASY Z ROZSZERZONĄ MATEMATYKĄ

PROGRAM KLASY Z ROZSZERZONĄ MATEMATYKĄ PROGRAM KLASY Z ROZSZERZONĄ MATEMATYKĄ ALGEBRA Klasa I 3 godziny tygodniowo Klasa II 4 godziny tygodniowo Klasa III 3 godziny tygodniowo A. Liczby (24) 1. Liczby naturalne i całkowite. a. Własności, kolejność

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie spektralne

Twierdzenie spektralne Twierdzenie spektralne Algebrę ograniczonych funkcji borelowskich na K R będziemy oznaczać przez B (K). Spektralnym rozkładem jedności w przestrzeni Hilberta H nazywamy odwzorowanie, które każdemu zbiorowi

Bardziej szczegółowo

Podzielność liczb; iloczyn i suma dzielników

Podzielność liczb; iloczyn i suma dzielników Podzielność liczb; iloczyn i suma dzielników Liczba dzielników Postać (rozkład) kanoniczna każdej liczby N = p α1 1 pα2 2... pαr 1 pαr r. Każdy dzielnik d naszej liczby ma swojego partnera d 1 : N = d

Bardziej szczegółowo

Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013

Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013 Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 013 3.4.1 Inwersja względem okręgu. Inwersja względem okręgu jest przekształceniem płaszczyzny

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.)

PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) Równanie prostej w postaci ogólnej Wzajemne połoŝenie dwóch prostych Nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi

Bardziej szczegółowo

KRZYŻÓWKA 2. 11. Może być np. równoboczny lub rozwartokątny. Jego pole to a b HASŁO:

KRZYŻÓWKA 2. 11. Może być np. równoboczny lub rozwartokątny. Jego pole to a b HASŁO: KRZYŻÓWKA.Wyznaczają ją dwa punkty.. Jego pole to π r² 3. Jego pole to a a 4.Figura przestrzenna, której podstawą jest dowolny wielokąt, a ściany boczne są trójkątami o wspólnym wierzchołku. 5.Prosta mająca

Bardziej szczegółowo

Twierdzenia Gödla dowody. Czy arytmetyka jest w stanie dowieść własną niesprzeczność?

Twierdzenia Gödla dowody. Czy arytmetyka jest w stanie dowieść własną niesprzeczność? Semina Nr 3 Scientiarum 2004 Twierdzenia Gödla dowody. Czy arytmetyka jest w stanie dowieść własną niesprzeczność? W tym krótkim opracowaniu chciałbym przedstawić dowody obu twierdzeń Gödla wykorzystujące

Bardziej szczegółowo

Luty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl

Luty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl System dziesiętny 7 * 10 4 + 3 * 10 3 + 0 * 10 2 + 5 *10 1 + 1 * 10 0 = 73051 Liczba 10 w tym zapisie nazywa się podstawą systemu liczenia. Jeśli liczba 73051 byłaby zapisana w systemie ósemkowym, co powinniśmy

Bardziej szczegółowo

Propozycje rozwiązań zadań z matematyki - matura rozszerzona

Propozycje rozwiązań zadań z matematyki - matura rozszerzona Jacek Kredenc Propozycje rozwiązań zadań z matematyki - matura rozszerzona Zadanie 1 Zastosujmy trójkąt Paskala 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 Przy iloczynie będzie stał współczynnik 3. Zatem Odpowiedź : C Zadanie

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania

Przedmiotowy system oceniania Przedmiotowy system oceniania gimnazjum - matematyka Opracowała mgr Katarzyna Kukuła 1 MATEMATYKA KRYTERIA OCEN Kryteria oceniania zostały określone przez podanie listy umiejętności, którymi uczeń musi

Bardziej szczegółowo

C z y p a m i ę t a s z?

C z y p a m i ę t a s z? C z y p a m i ę t a s z? Liczby naturalne porządkowe, Przykłady: 0,1, 2, 6, 148, Liczby całkowite to liczby naturalne, przeciwne do nich i 0. Przykłady:, -3, -1, 0, 17, Liczby wymierne można przedstawid

Bardziej szczegółowo

Algorytm. a programowanie -

Algorytm. a programowanie - Algorytm a programowanie - Program komputerowy: Program komputerowy można rozumieć jako: kod źródłowy - program komputerowy zapisany w pewnym języku programowania, zestaw poszczególnych instrukcji, plik

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje Definicja 1. Mówimy że: liczba m Z jest dzielnikiem liczby n Z gdy istnieje l Z takie że n = l m. Zapisujemy to symbolem m n; liczba m Z jest wspólnym

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel

Bardziej szczegółowo

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. 2 godz. = 76 godz.)

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. 2 godz. = 76 godz.) Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. godz. = 76 godz.) I. Funkcja i jej własności.4godz. II. Przekształcenia wykresów funkcji...9 godz. III. Funkcja

Bardziej szczegółowo

LXV Olimpiada Matematyczna

LXV Olimpiada Matematyczna LXV Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 8 kwietnia 2014 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Dane są względnie pierwsze liczby całkowite k,n 1. Na tablicy

Bardziej szczegółowo

PROPOZYCJA PLANU WYNIKOWEGOREALIZACJI PROGRAMU NAUCZANIA Matematyka przyjemna i pożyteczna W DRUGIEJ KLASIE SZKOŁY PONADGIMNAZJALNEJ

PROPOZYCJA PLANU WYNIKOWEGOREALIZACJI PROGRAMU NAUCZANIA Matematyka przyjemna i pożyteczna W DRUGIEJ KLASIE SZKOŁY PONADGIMNAZJALNEJ OOZYCJA LANU WYNIKOWEGOEALIZACJI OGAMU NAUCZANIA Matematyka przyjemna i pożyteczna W DUGIEJ KLASIE SZKOŁY ONADGIMNAZJALNEJ ZAKES OZSZEZONY DZIAŁ I: CIĄGI Tematyka jednostki lekcyjnej lub Liczba oziomy

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY V

MATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY V MATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY V Na ocenę wyższą uczeń powinien opanować wiedzę i umiejętności na ocenę (oceny) niższą. Dział programowy: LICZBY NATURALNE podać przykład liczby naturalnej czytać

Bardziej szczegółowo

9 Przekształcenia liniowe

9 Przekształcenia liniowe 9 Przekształcenia liniowe Definicja 9.1. Niech V oraz W będą przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem F. Przekształceniem liniowym nazywamy funkcję ϕ : V W spełniającą warunek (LM) v1,v 2 V a1,a 2

Bardziej szczegółowo

Matematyka na czasie Przedmiotowe zasady oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych dla klasy 1

Matematyka na czasie Przedmiotowe zasady oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych dla klasy 1 Agnieszka Kamińska, Dorota Ponczek Matematyka na czasie Przedmiotowe zasady oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych dla klasy 1 Proponujemy, by omawiając dane zagadnienie programowe lub rozwiązując

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA BINARNA. Dziesiątkowy system pozycyjny nie jest jedynym sposobem kodowania liczb z jakim mamy na co dzień do czynienia.

ARYTMETYKA BINARNA. Dziesiątkowy system pozycyjny nie jest jedynym sposobem kodowania liczb z jakim mamy na co dzień do czynienia. ARYTMETYKA BINARNA ROZWINIĘCIE DWÓJKOWE Jednym z najlepiej znanych sposobów kodowania informacji zawartej w liczbach jest kodowanie w dziesiątkowym systemie pozycyjnym, w którym dla przedstawienia liczb

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania, seria 5.

Rozwiązania, seria 5. Rozwiązania, seria 5. 26 listopada 2012 Zadanie 1. Zbadaj, dla jakich wartości parametru r R wektor (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)} R 3? Rozwiązanie. Załóżmy, że (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)}.

Bardziej szczegółowo

GIMNAZJUM WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI

GIMNAZJUM WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI GIMNAZJUM WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI Klasa I Liczby i działania wskazać liczby naturalne, całkowite, wymierne zaznaczyć liczbę wymierną na osi liczbowej podać liczbę przeciwną do danej

Bardziej szczegółowo

Test kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne

Test kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne Test kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne Na pytania odpowiada się tak lub nie poprzez wpisanie odpowiednio T bądź N w pole obok pytania. W danym trzypytaniowym zestawie możliwa jest dowolna kombinacja

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KLAS IV-VI

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KLAS IV-VI WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KLAS IV-VI Klasa IV Stopień dopuszczający otrzymuje uczeń, który potrafi: odejmować liczby w zakresie 100 z przekroczeniem progu dziesiątkowego,

Bardziej szczegółowo