Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej
|
|
- Arkadiusz Wilk
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Rafał Topolnicki KNF Migacz Uniwersytet Wrocławski Wrocław, 27 maja 2010 Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Wrocław, 27 maja / 36
2 Plan Plan Podstawy ekstensywnej termodynamiki, O potrzebie nowej statystyki, Uogólnienie statystyki BG zaproponowane przez Tsallisa, Uzasadnienia powyższego uogólnienia, q-funkcje, Wklęsłość i stabilność entropii, Związki z termodynamiką, q-niezmienniki, Zastosowania, Krytyka. Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Wrocław, 27 maja / 36
3 Termodynamika ekstensywna Co robimy? Opis układu składającego się z ogromnej ilości cząstek, Znamy dynamikę ale nie potrafimy jej rozwiązać, Nie znamy dynamiki i operujemy jedynie mierzalnymi wielkościami makroskopowymi Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Wrocław, 27 maja / 36
4 Termodynamika ekstensywna Wielkości ekstensywne i intensywne Wielkość ekstensywna Proporcjonalna do ilości substancji w układzie Wartość parametru dla całego układu równa jest sumie wartości tego parametru dla identycznych podukładów U(λS, λv, λn 1,... λn n ) = λu(s, V, N 1,... N n ) Wielkość intensywna Niezależna od ilości substancji w układzie Wartość parametru dla całego układu jest równa wartości dla dowolnego z identycznych podukładów T (λs, λv, λn 1,... λn n ) = T (S, V, N 1,... N n ) Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Wrocław, 27 maja / 36
5 Termodynamika ekstensywna Wielkości ekstensywne i intensywne Wielkość ekstensywna Proporcjonalna do ilości substancji w układzie Wartość parametru dla całego układu równa jest sumie wartości tego parametru dla identycznych podukładów U(λS, λv, λn 1,... λn n ) = λu(s, V, N 1,... N n ) Wielkość intensywna Niezależna od ilości substancji w układzie Wartość parametru dla całego układu jest równa wartości dla dowolnego z identycznych podukładów T (λs, λv, λn 1,... λn n ) = T (S, V, N 1,... N n ) Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Wrocław, 27 maja / 36
6 Termodynamika ekstensywna Postulaty Postulat istnienia stanu równowagi termodynamicznej, Postulat addytywności Energia układu jest sumą energii jego części składowych, Postulat istnienia temperatury, I Zasada Termodynamiki II Zasada Termodynamiki III Zasada Termodynamiki, U = Q + W S 0 Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Wrocław, 27 maja / 36
7 Termodynamika ekstensywna Postulaty Postulat istnienia stanu równowagi termodynamicznej, Postulat addytywności Energia układu jest sumą energii jego części składowych, Postulat istnienia temperatury, I Zasada Termodynamiki II Zasada Termodynamiki III Zasada Termodynamiki, U = Q + W S 0 Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Wrocław, 27 maja / 36
8 Termodynamika ekstensywna Wniosek: Perpetum Mobile nie istnieje Robert Fludd (1618) water screw Leonardo da Vinci Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Wrocław, 27 maja / 36
9 Termodynamika ekstensywna Równanie fundamentalne S = S(U, V, N 1,..., N n ) U = U(S, V, N 1,..., N n ) Wyprowadzamy parametry intensywne jako pochodne parametrów ekstensywnych du = ( U S ) V,N 1,...,N n ds + ( U V ( ) U ( S ) U ( V ) U ) S,N 1,...,N n dv + V,N 1,...,N n S,N 1,...,N n = T = p n ( U i=0 N i ) S,V,N 1,...,N n dn i N i S,V,N 1,...,N n = µ i Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Wrocław, 27 maja / 36
10 Termodynamika ekstensywna Równanie fundamentalne S = S(U, V, N 1,..., N n ) U = U(S, V, N 1,..., N n ) Wyprowadzamy parametry intensywne jako pochodne parametrów ekstensywnych du = ( U S ) V,N 1,...,N n ds + ( U V ( ) U ( S ) U ( V ) U ) S,N 1,...,N n dv + V,N 1,...,N n S,N 1,...,N n = T = p n ( U i=0 N i ) S,V,N 1,...,N n dn i N i S,V,N 1,...,N n = µ i Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Wrocław, 27 maja / 36
11 Termodynamika ekstensywna Potencjały termodynamiczne Ogólny związek: Y = Y (X 0, X 1,..., X n ) Transformata Legendre a: Θ = Y k X k Y X k F S T F = U T S S = F T, p = F V, µ i = F N i H V p H = U + pv T = H S, V = H p, µ i = H N i Ξ (A) S T, N µ Ξ = U T S + µn S = Ξ T, p = Ξ V, N i = Ξ µ i G S T, V p G = U + pv T S S = G T, V = G p, µ i = G N i Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Wrocław, 27 maja / 36
12 Termodynamika ekstensywna Rozważania a la Boltzmann-Gibbs 6N wymiarowa przestrzeń (q 1, q 2,..., q 3N, p 1, p 2,... p 3N ), obszar przestrzeni fazowej o objętości W, S = k ln W Entropia wprowadzona jako miara ruchu molekularnego - wyraża go w sposób kolektywny. W W S BG = k p i ln p i, p i = 1 i=1 i=1 Pytanie Czy w podobny sposób można opisać system, który porusza się tendencyjnie w przestrzeni fazowej? Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Wrocław, 27 maja / 36
13 Termodynamika ekstensywna Rozważania a la Boltzmann-Gibbs 6N wymiarowa przestrzeń (q 1, q 2,..., q 3N, p 1, p 2,... p 3N ), obszar przestrzeni fazowej o objętości W, S = k ln W Entropia wprowadzona jako miara ruchu molekularnego - wyraża go w sposób kolektywny. W W S BG = k p i ln p i, p i = 1 i=1 i=1 Pytanie Czy w podobny sposób można opisać system, który porusza się tendencyjnie w przestrzeni fazowej? Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Wrocław, 27 maja / 36
14 Termodynamika ekstensywna Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Wrocław, 27 maja / 36
15 Termodynamika ekstensywna Rozkład Boltzmanna Szczególny przypadek E 1 E. Prawdopodobieństwo, że układ A 1 znajduje się w stanie o energii E 1 ( ) S P (E 1 ) = C 1 W 1 (E 1 )W 2 (E E 1 ), W = exp ( ) S2 (E E 1 ) W 2 (E E 1 ) = exp S 2 (E) S 2 (E E 1 ) = S 2 (E) E 1 E +... S 2(E) E 1 T ( ) ( S2 (E E 1 ) S2 W 2 (E E 1 ) = exp = exp E ) 1 = C 2 exp( βe 1 ) k B k B T k B P (E 1 ) = C W (E 1 ) }{{} =1 P i = 1, i k B exp( βe 1 ) = C exp( βe 1 ) Z = i exp( βe i ) k B Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Wrocław, 27 maja / 36
16 Termodynamika ekstensywna Rozkład Boltzmanna Szczególny przypadek E 1 E. Prawdopodobieństwo, że układ A 1 znajduje się w stanie o energii E 1 ( ) S P (E 1 ) = C 1 W 1 (E 1 )W 2 (E E 1 ), W = exp ( ) S2 (E E 1 ) W 2 (E E 1 ) = exp S 2 (E) S 2 (E E 1 ) = S 2 (E) E 1 E +... S 2(E) E 1 T ( ) ( S2 (E E 1 ) S2 W 2 (E E 1 ) = exp = exp E ) 1 = C 2 exp( βe 1 ) k B k B T k B P (E 1 ) = C W (E 1 ) }{{} =1 P i = 1, i k B exp( βe 1 ) = C exp( βe 1 ) Z = i exp( βe i ) k B Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Wrocław, 27 maja / 36
17 Termodynamika ekstensywna Zespół kanoniczny (E const, N = const) E = 1 Z Z E = ln Z β F = k B T ln Z Zespół wielki kanoniczny (E const, N const) P i = C exp ( β(e 1 N 1 µ)), Z G = i exp ( β(e 1 N 1 µ)) Ξ = k B T ln Z G Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Wrocław, 27 maja / 36
18 Termodynamika ekstensywna Zespół kanoniczny (E const, N = const) E = 1 Z Z E = ln Z β F = k B T ln Z Zespół wielki kanoniczny (E const, N const) P i = C exp ( β(e 1 N 1 µ)), Z G = i exp ( β(e 1 N 1 µ)) Ξ = k B T ln Z G Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Wrocław, 27 maja / 36
19 Koncepcja rynku Hayeka Proste zastosowanie w ekonomii N agentów między których rozdajemy E zasobów, E = const, N = const zespół mikrokanoniczny, ogromna liczba możliwości rozłożenia dóbr, postulat równego a priori prawdopodobieństwa Podobieństwa E Energia Zasoby, Dobra Eks. T Temp. Temp. Int. Określa stan równowagi S Entropia Entropia Eks. Określa kierunkowość N Ilość cząstek Ilość agentów Eks. fizyka 10 23, ekonomia 10 5 Maszyna cieplna Ingerencja w rynek handel znaczą ilością dóbr Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Wrocław, 27 maja / 36
20 Koncepcja rynku Hayeka Proste zastosowanie w ekonomii N agentów między których rozdajemy E zasobów, E = const, N = const zespół mikrokanoniczny, ogromna liczba możliwości rozłożenia dóbr, postulat równego a priori prawdopodobieństwa Podobieństwa E Energia Zasoby, Dobra Eks. T Temp. Temp. Int. Określa stan równowagi S Entropia Entropia Eks. Określa kierunkowość N Ilość cząstek Ilość agentów Eks. fizyka 10 23, ekonomia 10 5 Maszyna cieplna Ingerencja w rynek handel znaczą ilością dóbr Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Wrocław, 27 maja / 36
21 Proste zastosowanie w ekonomii Rynek wolny vs spinowy Wolny: Brak maksymalnych dochodów, Sens temperatury E = 0 Ee E/T de 0 e E/T de = T brak inwersji obsadzeń, Spinowy: L spośród N agentów ma dochód A, reszta dochód 0, liczba mikrostanów ( N L), gdy L > N/2 T < 0, inwersja obsadzeń, uwalnia swoją energię przy kontakcie z układem o T > 0 Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Wrocław, 27 maja / 36
22 Proste zastosowanie w ekonomii Rynek wolny vs spinowy Wolny: Brak maksymalnych dochodów, Sens temperatury E = 0 Ee E/T de 0 e E/T de = T brak inwersji obsadzeń, Spinowy: L spośród N agentów ma dochód A, reszta dochód 0, liczba mikrostanów ( N L), gdy L > N/2 T < 0, inwersja obsadzeń, uwalnia swoją energię przy kontakcie z układem o T > 0 Rynki w kontakcie Entropia rośnie! Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Wrocław, 27 maja / 36
23 O potrzebie nieekstensywności Motywacja W naturze występują nie tylko rozkłady Gaussowskie. Rozkłady potęgowe: rozkład wielkości fragmentów na które pęka szklanka/lustro, prawo Zipfa, globalny terroryzm, długość schodzących lawin, skalowania allometryczne np. długość życia od wielkości mózgu, rozkład trzęsień ziemi, wielkości miast... Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Wrocław, 27 maja / 36
24 O potrzebie nieekstensywności Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Wrocław, 27 maja / 36
25 Entropia Tsallisa Uogólnienie zaproponowane przez Tsallisa S q = k 1 W i=1 pq i q 1 (q R) [S q = k 1 Trρq q 1 ] Tak zdefiniowana entropia osiąga ekstremum dla p i = 1/W, i Dalej przymujemy k = 1. Dla niezależnych układów A i B: S q = k W 1 q 1 1 q S q (A + B) = S q (A) + S q (B) + (1 q)s q (A)S q (B) q > 1 zdarzenia o małym p są faworyzowane subextensivity q < 1 zdarzenia o dużym p są faworyzowane superextensivity q = 1 nietendencyjna entropia BG Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Wrocław, 27 maja / 36
26 Entropia Tsallisa Uogólnienie zaproponowane przez Tsallisa S q = k 1 W i=1 pq i q 1 (q R) [S q = k 1 Trρq q 1 ] Tak zdefiniowana entropia osiąga ekstremum dla p i = 1/W, i Dalej przymujemy k = 1. Dla niezależnych układów A i B: S q = k W 1 q 1 1 q S q (A + B) = S q (A) + S q (B) + (1 q)s q (A)S q (B) q > 1 zdarzenia o małym p są faworyzowane subextensivity q < 1 zdarzenia o dużym p są faworyzowane superextensivity q = 1 nietendencyjna entropia BG Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Wrocław, 27 maja / 36
27 Entropia Tsallisa Uogólnienie zaproponowane przez Tsallisa Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Wrocław, 27 maja / 36
28 Entropia Tsallisa Uzasadnienie 1. Formalizm równań różniczkowych Przyjmujemy warunek początkowy: y(0) = 1 Najprostszy przypadek trudność++ Uogólnienie powyższych przypadków dy dx = 0 y = 1 dy dx = 1 y = x + 1 dy dx = y y = ex, y 1 = ln x }{{} S=k ln W dy dx = a + by dy dx = yq 2 parametry 1 parametr Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Wrocław, 27 maja / 36
29 Entropia Tsallisa Uzasadnienie 1. Formalizm równań różniczkowych Przyjmujemy warunek początkowy: y(0) = 1 e x q 1 1 q y = [1 + (1 q)x] e x 1 = e x (x R, q R) ln q x x1 q 1 1 q ln 1 x = ln x (x R +, q R) q-logarytm jest psudo(q-)addytywny ln q (xy) = ln q x + ln q y + (1 q) ln q x ln q y (Ogólnie x q y x + y + (1 q)xy, x q y [ x 1 q + y 1 q 1 ] 1 1 q ) S q = ln q W Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Wrocław, 27 maja / 36
30 Entropia Tsallisa q-eksponenta Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Wrocław, 27 maja / 36
31 Entropia Tsallisa q-eksponenta Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Wrocław, 27 maja / 36
32 Entropia Tsallisa Właściwości q-funkcji x, q W granicy q 1 odtwarzając exp x i ln x e x 1 lim q 1+ ex q = lim q 1 ex q = e x Odwrotność: ( ln 1 x lim q 1+ ln q x = lim q 1 ln q x = ln x e qx 1/q e ln q x q ) 1/q = 1 e x q = ln q e x q = x, 1 q ln 1/q (1/x q ) = ln q x e x q e y q = e x+y+(1 q)xy q, ln q (xy) = ln q x + ln q y + (1 q) ln q x ln q y d dx ex q = (e x q ) q, d dx ln q x = 1 x q Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Wrocław, 27 maja / 36
33 Entropia Tsallisa Rozwinięcia w szereg e x = n=0 x n n!, e x q = n=0 1 n! [ n 1 i=1 (iq i + 1) ] x n ln(x + 1) = i=1 ( 1) n+1 x n, ln q (x + 1) = n! i=1 ( 1) n+1 n! [ n 2 ] (q + i) i=0 x n Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Wrocław, 27 maja / 36
34 Entropia Tsallisa Uzasadnienie 2. Wartość średnia Dla dowolnej wielkości fizycznej A definiujemy wartość q-średnią: Nieunormowana: W A q p q i A i Unormowana: A q i=1 W i=1 pq i A i W i=1 pq i S BG = ln 1 p i S q = ln q p i q = ln q 1 p i 1 Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Wrocław, 27 maja / 36
35 Entropia Tsallisa Uzasadnienie 2. Wartość średnia Dla dowolnej wielkości fizycznej A definiujemy wartość q-średnią: Nieunormowana: W A q p q i A i Unormowana: A q i=1 W i=1 pq i A i W i=1 pq i S BG = ln 1 p i S q = ln q p i q = ln q 1 p i 1 Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Wrocław, 27 maja / 36
36 Entropia Tsallisa Uzasadnienie 3 Oryginalne z 1988 roku. Niech 0 < p i < 1, q > 0. Zmiana zmiennych p i p q i. Entropia jest niezmiennicza na permutacje. S q ({p i }) = f( W i=1 pq i ). S q ({p i }) = A + B Dla przypadku p i = δ ij chcemy aby było S q = 0 Dla q 1 chcemy S q S BG S q ({p i }) = A ( S 1 = A(q 1) }{{} 1 1 W i=1 W i=1 p q i p q i ) W p i ln p i i=1 Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Wrocław, 27 maja / 36
37 Entropia Tsallisa Uzasadnienie 3 Oryginalne z 1988 roku. Niech 0 < p i < 1, q > 0. Zmiana zmiennych p i p q i. Entropia jest niezmiennicza na permutacje. S q ({p i }) = f( W i=1 pq i ). S q ({p i }) = A + B Dla przypadku p i = δ ij chcemy aby było S q = 0 Dla q 1 chcemy S q S BG S q ({p i }) = A ( S 1 = A(q 1) }{{} 1 1 W i=1 W i=1 p q i p q i ) W p i ln p i i=1 Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Wrocław, 27 maja / 36
38 Entropia Tsallisa Uzasadnienie 4 Entropia BG spełnia relację: S BG = [ d dx W i=1 p x i ] x=1 Uogólniony operator D q f(x) f(qx) f(x) qx x Entropia Tsallisa spełenia analogiczne równanie [ S q = D q W p x i ] i=1 x=1 Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Wrocław, 27 maja / 36
39 Właściwości Wklęsłość S BG jest wklęsła. S q jest wklęsła dla q > 0 i wypukła dla q < 0. {p i } W i=1, {p i} W i=1 p i λp i + (1 λ)p i (0 < λ < 1) S q ({p i }) λs q ({p i }) + (1 λ)s q ({p i}) Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Wrocław, 27 maja / 36
40 Właściwości Stabilność Dla S BG wklęsłość stabilność. S q jest stabilna dla wszystkich rozkładów {p i } W i=1 i q > 0 W d(p i, p i) p i p i < δ Względna wariancja Jeśli zachodzi i=1 (W, δ) = S({p i}) S({p i }) sup[s({p i })] ε > 0 δ ε > 0 : d(p, p ) < δ ε (W, δ ε ) < ε to mówimy, że S jest stabilna. Równoważnie: lim ε 0 lim (W, δ) = lim W lim (W, δ) = 0 W ε 0 Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Wrocław, 27 maja / 36
41 Inne formy entropii Inne możliwości wzór eksten. wklęsłość ( q > 0) stabilność ( q > 0) BG p i ln p i TAK TAK TAK Tsallis S q = 1 p q i q 1 NIE TAK TAK Renyi Sq R = ln p q i 1 q normalized Sq N = S q p q i TAK NIE NIE NIE NIE NIE Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Wrocław, 27 maja / 36
42 Związek z termodynamiką Związek z termodynamiką Dla statystyki BG przy warunkach W i=1 p i = 1 oraz E i = U otrzymujemy rozkład Boltzmanna p i = 1 W Z e βe i, Z = e βe j Można otrzymać analogiczny związek wielkości termodynamicznych z wielkościami mikroskopowymi. Algorytm postępowania jest podobny. j=1 p i = 1 Zq e β qe i q, Zq = W j=1 e β qe j q β q = β q 1 + (1 q)β q U q, β q = β W j=1 pq j Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Wrocław, 27 maja / 36
43 Związek z termodynamiką Związek z termodynamiką Struktura transformacji Legendrea w termodynamice jest q-niezmiennicza (F, Ξ, H). 1 T = S q U q Podobnie energia swobodna i jej związek z fizyką statystyczną F q = U q T S q = 1 β ln q Z q U q = β ln q Z q Wielkości mierzalne, takie jak ciepło też zachowują się przyzwoicie: C q = T S q T = U q T = T 2 F q T 2 Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Wrocław, 27 maja / 36
44 Niezmienniczość Niezmienniczość Wprowadzenie q-funkcji nie zmienia podstawowych relacji: twierdzenie H q q ds q 0 dt druga zasada termodynamiki. entropia osiąga maksimum dla q > 0 (wklęsłość) i minimum dla q < 0 (wypukłość) twierdzenie Ehrenfesta q d Ô q dt współczynniki kinetyczne w teorii Onsagera = i [Ĥ, Ô] q q L jk = L kj Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Wrocław, 27 maja / 36
45 Niezmienniczość Niezmienniczość faktoryzowanie się funkcji podobieństwa (likelihood) dla niezależnych układów A i B W q ({p i }) e S q({p i }) q q W q (A + B) = W q (A)W q (B) Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Wrocław, 27 maja / 36
46 Zastosowania Prawo Zipfa-Mandelbrota c = Ar ξ (A > 0, ξ > 0, ξ 1) Uogólnienie zaproponowane przez Mandelbrota Korpus Słownika Frekwencyjnego Polszczyzny Współczesnej c = A(D + r) ξ (D > 0) można otrzymać używając S q c ξ = 1 q 1 1 [1 + (q 1)r/d] ξ gdzie d = (q 1)D > 0 Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Wrocław, 27 maja / 36
47 Zastosowania Rozkład wielkości miast N(x)dx = r(x) = x b (c + x) α dx N(y)dy N(x) = N 0 exp q (ax) = N 0 [1 (1 q )ax] 1/(1 q ) gdzie N 0 = bc α, a = α/c, q = 1 + 1/α [ r(x) = r q ] 1/(1 q) ax q gdzie r 0 = N 0 q/a, q = 1/(2 q ) Dopasowanie dla q = 1.7, r 0 = 2919, a = Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Wrocław, 27 maja / 36
48 Krytyka Krytyka Dodatkowy parametr lepsze dopasowanie, Brak uzasadnienia teoretycznego i fizycznego dla postaci q-średniej i A q = pq i A i i pq i Brak doświadczalnych dowodów na poprawność rozkładu energii, Statystyka Tsallisa używana ochoczo do wszystkich rozkładów ciężko-ogonowych Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Wrocław, 27 maja / 36
49 Zastosowania Zastosowania Zastosowania w fizyce rozkład prędkości galaktyk spiralnych, nadprzewodnictwo wysoko temperaturowe, kondensat Bosego-Einsteina,... Zastosowania w ekonomii Modele oceny ryzyka w handlu - parametr q odzwierciedla postawę operatorów pod wpływem ryzyka Wycena opcji - równanie Black-Scholesa Zastosowania w chemii, biologii, lingwistyce, medycynie, geofizyce, informatyce, naukach społecznych... Patrz: [1], [2] Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Wrocław, 27 maja / 36
50 Literatura Literatura 1 Nonextensive Entropy - Interdisciplinary Applications Eds. M. Gell-Mann and C. Tsallis, Oxford University Press (2004) 2 Nonextensive Statistical Mechanics and Its Applications Eds. S. Abe and Y. Okamoto, Springer (2001) 3 Europhysicsnews vol. 36 no. 6 (2005) 4 q-exponential Distribution in Urban Agglomeration, Malacarne L.C, Phys. Rev. E 65 (2001) 5 The thermodynamic approach to market, Victor Sergeev, arxiv: v1 6 Mechanika Statystyczna, Kerson Huang, PWN (1987) 7 Cosma Rohilla Shalizi Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Wrocław, 27 maja / 36
51 Zakończenie Dziękuję za uwagę Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Wrocław, 27 maja / 36
Elementy termodynamiki
Elementy termodynamiki Katarzyna Sznajd-Weron Katedra Fizyki Teoretycznej Politechnika Wrocławska 5 stycznia 2019 Katarzyna Sznajd-Weron (K4) Wstęp do Fizyki Statystycznej 5 stycznia 2019 1 / 27 Wielkości
Bardziej szczegółowoElementy termodynamiki i wprowadzenie do zespołów statystycznych. Katarzyna Sznajd-Weron
Elementy termodynamiki i wprowadzenie do zespołów statystycznych Katarzyna Sznajd-Weron Wielkości makroskopowe - termodynamika Termodynamika - metoda fenomenologiczna Fenomenologia w fizyce: widzimy jak
Bardziej szczegółowoRównowaga w układach termodynamicznych. Katarzyna Sznajd-Weron
Równowaga w układach termodynamicznych. Katarzyna Sznajd-Weron Zagadka na początek wykładu Diagram fazowy wody w powiększeniu, problem metastabilności aktualny (Nature, 2011) Niższa temperatura topnienia
Bardziej szczegółowoElementy termodynamiki
Elementy termodynamiki Katarzyna Sznajd-Weron Katedra Fizyki Teoretycznej Politechnika Wrocławska 11 marca 2019 Katarzyna Sznajd-Weron (K4) Wstęp do Fizyki Statystycznej 11 marca 2019 1 / 37 Dwa poziomy
Bardziej szczegółowoWykład 8 i 9. Hipoteza ergodyczna, rozkład mikrokanoniczny, wzór Boltzmanna
Wykład 8 i 9 Hipoteza ergodyczna, rozkład mikrokanoniczny, wzór Boltzmanna dr hab. Agata Fronczak, prof. PW Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska 1 stycznia 2017 dr hab. A. Fronczak (Wydział Fizyki PW)
Bardziej szczegółowoFizyka statystyczna Potencjały termodynamiczne i warunki równowagi Geometria Drugiej Zasady Termodynamiki
Fizyka statystyczna Potencjały termodynamiczne i warunki równowagi Geometria Drugiej Zasady Termodynamiki P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2016 Energia wewnętrzna jako funkcja jednorodna
Bardziej szczegółowoWielki rozkład kanoniczny
, granica termodynamiczna i przejścia fazowe Instytut Fizyki 2015 Podukład otwarty Podukład otwarty S opisywany układ + rezerwuar R Podukład otwarty S opisywany układ + rezerwuar R układ S + R jest izolowany
Bardziej szczegółowoS ścianki naczynia w jednostce czasu przekazywany
FIZYKA STATYSTYCZNA W ramach fizyki statystycznej przyjmuje się, że każde ciało składa się z dużej liczby bardzo małych cząstek, nazywanych cząsteczkami. Cząsteczki te znajdują się w ciągłym chaotycznym
Bardziej szczegółowoTERMODYNAMIKA FENOMENOLOGICZNA
TERMODYNAMIKA FENOMENOLOGICZNA Przedmiotem badań są własności układów makroskopowych w zaleŝności od temperatury. Układ makroskopowy Np. 1 mol substancji - tyle składników ile w 12 gramach węgla C 12 N
Bardziej szczegółowoUkłady statystyczne. Jacek Jurkowski, Fizyka Statystyczna. Instytut Fizyki
Instytut Fizyki 2015 Stany mikroskopowe i makroskopowe w układzie wielopoziomowym Stany mikroskopowe i makroskopowe w układzie wielopoziomowym N rozróżnialnych cząstek, z których każda może mieć energię
Bardziej szczegółowoWykład 12. Rozkład wielki kanoniczny i statystyki kwantowe
Wykład 12 Rozkład wielki kanoniczny i statystyki kwantowe dr hab. Agata Fronczak, prof. PW Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska 1 stycznia 2017 dr hab. A. Fronczak (Wydział Fizyki PW) Wykład: Elementy
Bardziej szczegółowoFIZYKA STATYSTYCZNA. d dp. jest sumaryczną zmianą pędu cząsteczek zachodzącą na powierzchni S w
FIZYKA STATYSTYCZNA W ramach fizyki statystycznej przyjmuje się, że każde ciało składa się z dużej liczby bardzo małych cząstek, nazywanych cząsteczkami. Cząsteczki te znajdują się w ciągłym chaotycznym
Bardziej szczegółowo4 Przekształcenia pochodnych termodynamicznych
4 Przekształcenia pochodnych termodynamicznych 4.1 Relacje Maxwella Pierwsza zasada termodynamiki może być zapisana w postaci niezależnej od reprezentacji jako warunek znikania formy Pfaffa: Stąd musi
Bardziej szczegółowoWykład 3. Entropia i potencjały termodynamiczne
Wykład 3 Entropia i potencjały termodynamiczne dr hab. Agata Fronczak, prof. PW Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska 1 stycznia 2017 dr hab. A. Fronczak (Wydział Fizyki PW) Wykład: Elementy fizyki statystycznej
Bardziej szczegółowoFizyka Statystyczna 1
Uniwersytet Wrocławski Instytut Fizyki Teoretycznej Katarzyna Weron Fizyka Statystyczna 1 Skrypt dla studentów Wrocław, maj 2010 2 Spis treści 1 Elementy termodynamiki 1 1.1 Wielkości termodynamiczne..........................
Bardziej szczegółowoTermodynamika Część 6 Związki i tożsamości termodynamiczne Potencjały termodynamiczne Warunki równowagi termodynamicznej Potencjał chemiczny
Termodynamika Część 6 Związki i tożsamości termodynamiczne Potencjały termodynamiczne Warunki równowagi termodynamicznej Potencjał chemiczny Janusz Brzychczyk, Instytut Fizyki UJ Związek pomiędzy równaniem
Bardziej szczegółowoFizyka statystyczna, elementy termodynamiki nierównowagowej Cele, zakres zagadnień
Fizyka statystyczna, elementy termodynamiki nierównowagowej Cele, zakres zagadnień Narzędzia przypomnienie podstawowych definicji i twierdzeń z rachunku prawdopodobienstwa; podstawowe rozkłady statystyczne
Bardziej szczegółowoTeoria kinetyczno cząsteczkowa
Teoria kinetyczno cząsteczkowa Założenie Gaz składa się z wielkiej liczby cząstek znajdujących się w ciągłym, chaotycznym ruchu i doznających zderzeń (dwucząstkowych) Cel: Wyprowadzić obserwowane (makroskopowe)
Bardziej szczegółowoTERMODYNAMIKA I FIZYKA STATYSTYCZNA
TERMODYNAMIKA I FIZYKA STATYSTYCZNA Lech Longa pok. D.2.49, II piętro, sektor D Zakład Fizyki Statystycznej e-mail: lech.longa@uj.edu.pl Dyżury: poniedziałki 14-15.50 można się umówić wysyłając e-maila
Bardziej szczegółowoWzór Maclaurina. Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy x 0 = 0 oraz h = x, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina: f (x) = x k + f (n) (θx) x n.
Wzór Maclaurina Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy x 0 = 0 oraz h = x, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina: f (x) = n 1 k=0 f (k) (0) k! x k + f (n) (θx) x n. n! Wzór Maclaurina Przykład. Niech f (x) =
Bardziej szczegółowoWykład 14. Termodynamika gazu fotnonowego
Wykład 14 Termodynamika gazu fotnonowego dr hab. Agata Fronczak, prof. PW Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska 16 stycznia 217 dr hab. A. Fronczak (Wydział Fizyki PW) Wykład: Elementy fizyki statystycznej
Bardziej szczegółowoKlasyczna mechanika statystyczna Gibbsa I
Wykład III Mechanika statystyczna Klasyczna mechanika statystyczna Gibbsa I Wstępne uwagi Materia nas otaczająca, w szczególności gazy będące centralnym obiektem naszego zainteresowania, zbudowane są z
Bardziej szczegółowoTERMODYNAMIKA I FIZYKA STATYSTYCZNA
TERMODYNAMIKA I FIZYKA STATYSTYCZNA Lech Longa pok. D.2.49, II piętro, sektor D Zakład Fizyki Statystycznej e-mail: lech.longa@uj.edu.pl Dyżury: poniedziałki 13-14 można się umówić wysyłając e-maila 1
Bardziej szczegółowoKrótki przegląd termodynamiki
Wykład I Przejścia fazowe 1 Krótki przegląd termodynamiki Termodynamika fenomenologiczna oferuje makroskopowy opis układów statystycznych w stanie równowagi termodynamicznej bądź w stanach jemu bliskich.
Bardziej szczegółowoPolitechnika Wrocławska Katedra Fizyki Teoretycznej. Katarzyna Sznajd-Weron. Fizyka Statystyczna
Politechnika Wrocławska Katedra Fizyki Teoretycznej Katarzyna Sznajd-Weron Fizyka Statystyczna Skrypt dla studentów Wrocław 2016 2 Spis treści 1 Elementy termodynamiki 1 1.1 Wielkości termodynamiczne..........................
Bardziej szczegółowoMateriały do ćwiczeń z matematyki. 3 Rachunek różniczkowy funkcji rzeczywistych jednej zmiennej
Materiały do ćwiczeń z matematyki Kierunek: chemia Specjalność: podstawowa 3 Rachunek różniczkowy funkcji rzeczywistych jednej zmiennej 3.1 Podstawowe wzory i metody różniczkowania Definicja. Niech funkcja
Bardziej szczegółowoPrzegląd termodynamiki II
Wykład II Mechanika statystyczna 1 Przegląd termodynamiki II W poprzednim wykładzie po wprowadzeniu podstawowych pojęć i wielkości, omówione zostały pierwsza i druga zasada termodynamiki. Tutaj wykorzystamy
Bardziej szczegółowoWykład 1 i 2. Termodynamika klasyczna, gaz doskonały
Wykład 1 i 2 Termodynamika klasyczna, gaz doskonały dr hab. Agata Fronczak, prof. PW Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska 1 stycznia 2017 dr hab. A. Fronczak (Wydział Fizyki PW) Wykład: Elementy fizyki
Bardziej szczegółowoRozkłady: Kanoniczny, Wielki Kanoniczny, Izobaryczno-Izotermiczny
Rozkłady: Kanoniczny, Wielki Kanoniczny, Izobaryczno-Izotermiczny 1 Rozkład Mikrokanoniczny (przypomnienie) S= k B ln( (E,V,{x i },{N j }) ) Z fenomenologii: Niestety, rachunki przy użyciu rozkładu mikrokanonicznego
Bardziej szczegółowor. akad. 2005/ 2006 Jan Królikowski Fizyka IBC
VIII.1 Pojęcia mikrostanu i makrostanu układu N punktów materialnych. Prawdopodobieństwo termodynamiczne. Entropia. VIII. Rozkład Boltzmanna VIII.3 Twierdzenie o wiriale Jan Królikowski Fizyka IBC 1 Uwagi
Bardziej szczegółowoTermodynamika. Część 11. Układ wielki kanoniczny Statystyki kwantowe Gaz fotonowy Ruchy Browna. Janusz Brzychczyk, Instytut Fizyki UJ
Termodynamika Część 11 Układ wielki kanoniczny Statystyki kwantowe Gaz fotonowy Ruchy Browna Janusz Brzychczyk, Instytut Fizyki UJ Układ otwarty rozkład wielki kanoniczny Rozważamy układ w równowadze termicznej
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 9: Rozkład mikrokanoniczny i entropia Boltzmanna
WYKŁAD 9: Rozkład mikrokanoniczny i entropia Boltzmanna (Zadaniem Fizyki Statystycznej jest zrozumienie własności (równowagowych i nierównowagowych materii w oparciu o oddziaływania międzymolekularne)
Bardziej szczegółowoZespół kanoniczny N,V, T. acc o n =min {1, exp [ U n U o ] }
Zespół kanoniczny Zespół kanoniczny N,V, T acc o n =min {1, exp [ U n U o ] } Zespół izobaryczno-izotermiczny Zespół izobaryczno-izotermiczny N P T acc o n =min {1, exp [ U n U o ] } acc o n =min {1, exp[
Bardziej szczegółowoCo to jest model Isinga?
Co to jest model Isinga? Fakty eksperymentalne W pewnych metalach (np. Fe, Ni) następuje spontaniczne ustawianie się spinów wzdłuż pewnego kierunku, powodując powstanie makroskopowego pola magnetycznego.
Bardziej szczegółowoFizykochemiczne podstawy inżynierii procesowej
Fizykochemiczne podstawy inżynierii procesowej Wykład I - 1 Sprawy formalne 2 Fizykochemiczne podstawy inżynierii procesowej Sprawy formalne: Forma: Wykład w postaci prezentacji komputerowych Przeznaczenie:
Bardziej szczegółowoFizyka statystyczna. This Book Is Generated By Wb2PDF. using
http://pl.wikibooks.org/wiki/fizyka_statystyczna This Book Is Generated By Wb2PDF using RenderX XEP, XML to PDF XSL-FO Formatter 18-05-2014 Table of Contents 1. Fizyka statystyczna...4 Spis treści..........................................................................?
Bardziej szczegółowoStatystyka nieoddziaływujących gazów Bosego: kondensacja Bosego- Einsteina
Statystyka nieoddziaływujących gazów Bosego: kondensacja Bosego- Einsteina Silnie zwyrodniały gaz bozonów o niezerowej masie spoczynkowej Gdy liczba cząstek nie jest zachowywana, termodynamika nieoddziaływujących
Bardziej szczegółowoRzadkie gazy bozonów
Rzadkie gazy bozonów Tomasz Sowiński Proseminarium Fizyki Teoretycznej 15 listopada 2004 Rzadkie gazy bozonów p.1/25 Bardzo medialne zdjęcie Rok 1995. Pierwsza kondensacja. Zaobserwowana w przestrzeni
Bardziej szczegółowoWstęp do fizyki statystycznej: krytyczność i przejścia fazowe. Katarzyna Sznajd-Weron
Wstęp do fizyki statystycznej: krytyczność i przejścia fazowe Katarzyna Sznajd-Weron Co to jest fizyka statystyczna? Termodynamika poziom makroskopowy Fizyka statystyczna poziom mikroskopowy Marcin Weron
Bardziej szczegółowoZastosowania pochodnych
Zastosowania pochodnych Zbigniew Koza Wydział Fizyki i Astronomii Wrocław, 2015 SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIAROWEJ Przykład: objętość kuli Kulka z łożyska tocznego ma średnicę 2,3 mm, co oznacza, że objętość
Bardziej szczegółowoSpis treści. Przedmowa Obraz makroskopowy Ciepło i entropia Zastosowania termodynamiki... 29
Przedmowa... XI 1. Obraz makroskopowy... 1 1.1. Termodynamika... 1 1.2. Parametry termodynamiczne... 2 1.3. Granica termodynamiczna... 3 1.4. Procesy termodynamiczne... 4 1.5. Klasycznygazdoskonały...
Bardziej szczegółowoMiejsce biofizyki we współczesnej nauce. Obszary zainteresowania biofizyki. - Powrót do współczesności. - obiekty mikroświata.
Zakład Biofizyki Miejsce biofizyki we współczesnej nauce - trochę historii - Powrót do współczesności Obszary zainteresowania biofizyki - ekosystemy - obiekty makroświata - obiekty mikroświata - język
Bardziej szczegółowon p 2 i = R 2 (8.1) i=1
8.9 Rozkład Maxwella Jest to rozkład prędkości cząstek w gazie doskonałym. Wielkość f (p) jest gęstością prawdopodobieństwa znalezienia cząstki o pędzie p. Różnica pomiędzy rozkładem Maxwella i rozkładem
Bardziej szczegółowoMatematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 9
Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 9 Przykład z fizyki Rozpatrzmy szeregowe połączenie dwu elementów elektronicznych: opornika i diody półprzewodnikowej.
Bardziej szczegółowoWielki rozkład kanoniczny
Ćwiczenia nr 0 Wielki rozkład kanoniczny Jest to rozkład prawdopodobieństwa dla układu o zmiennej liczbie cząstek N. Liczbę cząstek możemy potraktować jako dodatkową liczbą kwantową układu. ψ jest to stan
Bardziej szczegółowo17.1 Podstawy metod symulacji komputerowych dla klasycznych układów wielu cząstek
Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdział 17 KLASYCZNA DYNAMIKA MOLEKULARNA 17.1 Podstawy metod symulacji komputerowych dla klasycznych układów wielu cząstek Rozważamy układ N punktowych cząstek
Bardziej szczegółowoMatematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy
Rachunek Różniczkowy Ciąg liczbowy Link Ciągiem liczbowym nieskończonym nazywamy każdą funkcję a która odwzorowuje zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R a : N R. Tradycyjnie wartość a(n)
Bardziej szczegółowo3 Potencjały termodynamiczne i transformacja Legendre a
3 Potencjały termodynamiczne i transformacja Legendre a literatura: Ingarden, Jamiołkowski i Mrugała, Fizyka Statystyczna i ermodynamika, 9 W.I Arnold, Metody matematyczne mechaniki klasycznej, 14 3.1
Bardziej szczegółowoTeoria ergodyczności: co to jest? Średniowanie po czasie vs. średniowanie po rozkładach Twierdzenie Poincare o powrocie Twierdzenie ergodyczne
WYKŁAD 23 1 Teoria ergodyczności: co to jest? Średniowanie po czasie vs. średniowanie po rozkładach Twierdzenie Poincare o powrocie Twierdzenie ergodyczne (Birkhoff, Ter Haar) Hipoteza semi-ergodyczna
Bardziej szczegółowoTermodynamika (1) Bogdan Walkowiak. Zakład Biofizyki Instytut Inżynierii Materiałowej Politechnika Łódzka. poniedziałek, 23 października 2017
Wykład 1 Termodynamika (1) Bogdan Walkowiak Zakład Biofizyki Instytut Inżynierii Materiałowej Politechnika Łódzka Biofizyka 1 Zaliczenie Aby zaliczyć przedmiot należy: uzyskać pozytywną ocenę z laboratorium
Bardziej szczegółowoElementy fizyki statystycznej
5-- lementy fizyki statystycznej ermodynamika Gęstości stanów Funkcje rozkładu Gaz elektronów ermodynamika [K] 9 wszechświat tuż po powstaniu ermodynamika to dział fizyki zajmujący się energią termiczną
Bardziej szczegółowoTermodynamika Część 7 Trzecia zasada termodynamiki Metody otrzymywania niskich temperatur Zjawisko Joule'a Thomsona Chłodzenie magnetyczne
Termodynamika Część 7 Trzecia zasada termodynamiki Metody otrzymywania niskich temperatur Zjawisko Joule'a Thomsona Chłodzenie magnetyczne Janusz Brzychczyk, Instytut Fizyki UJ Postulat Nernsta (1906):
Bardziej szczegółowoFizyka statystyczna Zwyrodniały gaz Fermiego. P. F. Góra
Fizyka statystyczna Zwyrodniały gaz Fermiego P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2016 Fermiony w niskich temperaturach Wychodzimy ze znanego już wtrażenia na wielka sumę statystyczna: Ξ = i=0
Bardziej szczegółowoGeometryczna zbieżność algorytmu Gibbsa
Geometryczna zbieżność algorytmu Gibbsa Iwona Żerda Wydział Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Jagielloński 6 grudnia 2013 6 grudnia 2013 1 / 19 Plan prezentacji 1 Algorytm Gibbsa 2 Tempo zbieżności
Bardziej szczegółowoChaos w układach dynamicznych: miary i kryteria chaosu
: miary i kryteria chaosu Uniwersytet Śląski w Katowicach, Wydział Matematyki, Fizyki i Chemii 27.08.14 : miary i kryteria chaosu Temat tego referatu jest związany z teorią układów dynamicznych która ma
Bardziej szczegółowo= = Budowa materii. Stany skupienia materii. Ilość materii (substancji) n - ilość moli, N liczba molekuł (atomów, cząstek), N A
Budowa materii Stany skupienia materii Ciało stałe Ciecz Ciała lotne (gazy i pary) Ilość materii (substancji) n N = = N A m M N A = 6,023 10 mol 23 1 n - ilość moli, N liczba molekuł (atomów, cząstek),
Bardziej szczegółowoWarunki równowagi. Rozkłady: kanoniczny, wielki kanoniczny, izobaryczno-izotermiczny
Warunki równowagi. Rozkłady: kanoniczny, wielki kanoniczny, izobaryczno-izotermiczny 1 Niestety, rachunki przy użyciu rozkładu mikrokanonicznego nie są łatwe. Wprowadzimy teraz inne rozkłady, przy pomocy
Bardziej szczegółowoFizyka statystyczna Termodynamika bliskiej nierównowagi. P. F. Góra
Fizyka statystyczna Termodynamika bliskiej nierównowagi P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2015 Nasze wszystkie dotychczasowe rozważania dotyczyły układów w równowadze termodynamicznej lub
Bardziej szczegółowoModelowanie zależności. Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski
Modelowanie zależności pomiędzy zmiennymi losowymi Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski P Zmienne losowe niezależne - przypomnienie Dwie rzeczywiste zmienne losowe X i Y
Bardziej szczegółowoZasady termodynamiki
Zasady termodynamiki Energia wewnętrzna (U) Opis mikroskopowy: Jest to suma średnich energii kinetycznych oraz energii oddziaływań międzycząsteczkowych i wewnątrzcząsteczkowych. Opis makroskopowy: Jest
Bardziej szczegółowo1 Rachunek prawdopodobieństwa
1 Rachunek prawdopodobieństwa 1. Obliczyć średnią i wariancję rozkładu Bernouliego 2. Wykonać przejście graniczne p 0, N w rozkładzie Bernouliego przy zachowaniu stałej wartości średniej: λ = N p = const
Bardziej szczegółowoFIZYKA STATYSTYCZNA. Liczne eksperymenty dowodzą, że ciała składają się z wielkiej liczby podstawowych
FIZYKA STATYSTYCZA Liczne eksperymenty dowodzą, że ciała składają się z wielkiej liczby podstawowych elementów takich jak atomy czy cząsteczki. Badanie ruchów pojedynczych cząstek byłoby bardzo trudnym
Bardziej szczegółowoELEMENTY FIZYKI STATYSTYCZNEJ
ELEMENTY FIZYKI STATYSTYCZNEJ Przedmiot badań fizyki statystycznej układy składające się z olbrzymiej ilości cząstek (ujawniają się specyficzne prawa statystyczne). 15.1. Termodynamiczny opis układu Opis
Bardziej szczegółowoProces rezerwy w czasie dyskretnym z losową stopą procentową i losową składką
z losową stopą procentową i losową składką Instytut Matematyki i Informatyki Politechniki Wrocławskiej 10 czerwca 2008 Oznaczenia Wprowadzenie ξ n liczba wypłat w (n 1, n], Oznaczenia Wprowadzenie ξ n
Bardziej szczegółowoEkstrema globalne funkcji
SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 9, 2013-12-13 Ekstrema globalne funkcji Definicja: Funkcja f : D R ma w punkcie x 0 D minimum globalne wtedy i tylko (x D) f(x) f(x 0 ). Wartość f(x 0 ) nazywamy wartością
Bardziej szczegółowoPodstawy termodynamiki
Podstawy termodynamiki Organizm żywy z punktu widzenia termodynamiki Parametry stanu Funkcje stanu: U, H, F, G, S I zasada termodynamiki i prawo Hessa II zasada termodynamiki Kierunek przemian w warunkach
Bardziej szczegółowo1 Pochodne wyższych rzędów
Pochodne wyższych rzędów Pochodną rzędu drugiego lub drugą pochodną funkcji y = f(x) nazywamy pochodną pierwszej pochodnej tej funkcji. Analogicznie definiujemy pochodne wyższych rzędów, jako pochodne
Bardziej szczegółowoWstęp do Fizyki Statystycznej
Wstęp do Fizyki Statystycznej Katarzyna Sznajd-Weron Katedra Fizyki Teoretycznej Politechnika Wrocławska 11 października 2016 Katarzyna Sznajd-Weron (K4) Wstęp do Fizyki Statystycznej 11 października 2016
Bardziej szczegółowoWykład FIZYKA I. 14. Termodynamika fenomenologiczna cz.ii. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Wykład FIZYKA I 14. Termodynamika fenomenologiczna cz.ii Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html GAZY DOSKONAŁE Przez
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu
Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Metoda faktoryzacji (rozdzielania zmiennych)................ 5 1.2 Metoda funkcji Greena.............................
Bardziej szczegółowo1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Bardziej szczegółowo5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego
5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =
Bardziej szczegółowoStatystyki kwantowe. P. F. Góra
Statystyki kwantowe P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2016 Statystyki kwantowe Rozpatrujemy gaz doskonały o Hamiltonianie H = N i=1 p i 2 2m. (1) Zamykamy czastki w bardzo dużym pudle o idealnie
Bardziej szczegółowoTermodynamiczny opis układu
ELEMENTY FIZYKI STATYSTYCZNEJ Przedmiot badań fizyki statystycznej układy składające się z olbrzymiej ilości cząstek (ujawniają się specyficzne prawa statystyczne). Termodynamiczny opis układu Opis termodynamiczny
Bardziej szczegółowo2. Definicja pochodnej w R n
2. Definicja pochodnej w R n Niech będzie dana funkcja f : U R określona na zbiorze otwartym U R n. Pochodną kierunkową w punkcie a U w kierunku wektora u R n nazywamy granicę u f(a) = lim t 0 f(a + tu)
Bardziej szczegółowoZagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych
Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta
Bardziej szczegółowoRozdział 9 Przegląd niektórych danych doświadczalnych o produkcji hadronów. Rozpraszanie elastyczne. Rozkłady krotności
Rozdział 9 Przegląd niektórych danych doświadczalnych o produkcji hadronów. Rozpraszanie elastyczne. Rozkłady krotności Krotności hadronów a + b c 1 + c +...+ c i +...+ c N Reakcje ekskluzywne: wszystkie
Bardziej szczegółowoProcesy stochastyczne
Wykład I: Istnienie procesów stochastycznych 2 marca 2015 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. 2 Egzamin ustny z teorii 3 Do wykładu przygotowane są
Bardziej szczegółowoFizyka statystyczna Zespół kanoniczny i wielki zespół kanoniczny Statystyki kwantowe. P. F. Góra
Fizyka statystyczna Zespół kanoniczny i wielki zespół kanoniczny Statystyki kwantowe P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2015 Zespół kanoniczny Zespół mikrokanoniczny jest (przynajmniej w warstwie
Bardziej szczegółowoWykład FIZYKA I. 5. Energia, praca, moc. http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Wykład FIZYKA I 5. Energia, praca, moc Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html ENERGIA, PRACA, MOC Siła to wielkość
Bardziej szczegółowoTermodynamika. Część 4. Procesy izoparametryczne Entropia Druga zasada termodynamiki. Janusz Brzychczyk, Instytut Fizyki UJ
Termodynamika Część 4 Procesy izoparametryczne Entropia Druga zasada termodynamiki Janusz Brzychczyk, Instytut Fizyki UJ Pierwsza zasada termodynamiki procesy kwazistatyczne Zgodnie z pierwszą zasadą termodynamiki,
Bardziej szczegółowoSiły zachowawcze i energia potencjalna. Katarzyna Sznajd-Weron Mechanika i termodynamika dla matematyki stosowanej 2017/18
Siły zachowawcze i energia potencjalna Katarzyna Sznajd-Weron Mechanika i termodynamika dla matematyki stosowanej 2017/18 Polecana literatura John R Taylor, Mechanika klasyczna, tom1 Wydawnictwo Naukowe
Bardziej szczegółowoChemia Fizyczna Technologia Chemiczna II rok Wykład 1. Kierownik przedmiotu: Dr hab. inż. Wojciech Chrzanowski
Chemia Fizyczna Technologia Chemiczna II rok Wykład 1 Kierownik przedmiotu: Dr hab. inż. Wojciech Chrzanowski Kontakt,informacja i konsultacje Chemia A ; pokój 307 Telefon: 347-2769 E-mail: wojtek@chem.pg.gda.pl
Bardziej szczegółowoStatystyka nieoddziaływujących gazów Bosego i Fermiego
Statystyka nieoddziaływujących gazów Bosego i Fermiego Bozony: fotony (kwanty pola elektromagnetycznego, których liczba nie jest zachowana mogą być pojedynczo pochłaniane lub tworzone. W konsekwencji,
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.
Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika
Bardziej szczegółowoTermodynamika Część 3
Termodynamika Część 3 Formy różniczkowe w termodynamice Praca i ciepło Pierwsza zasada termodynamiki Pojemność cieplna i ciepło właściwe Ciepło właściwe gazów doskonałych Ciepło właściwe ciała stałego
Bardziej szczegółowoWażne rozkłady i twierdzenia c.d.
Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby
Bardziej szczegółowoAgata Fronczak Elementy fizyki statystycznej
Agata Fronczak Elementy fizyki statystycznej Skrypt do wykładu i ćwiczeń rachunkowych dla kierunku Fotonika (rok III, semestr 5) na Wydziale Fizyki PW Warszawa 2016 Spis treści 1. Termodynamika klasyczna,
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 6. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Uniwersytet Warszawski. 1 Instytut Matematyki
WYKŁAD 6 Witold Bednorz, Paweł Wolff 1 Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, 2010-2011 Własności Wariancji Przypomnijmy, że VarX = E(X EX) 2 = EX 2 (EX) 2. Własności
Bardziej szczegółowoProcesy stochastyczne
Wykład I: Istnienie procesów stochastycznych 21 lutego 2017 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. 2 Egzamin ustny z teorii 3 Do wykładu przygotowane
Bardziej szczegółowoSiły zachowawcze i energia potencjalna. Katarzyna Sznajd-Weron Mechanika i termodynamika dla matematyki stosowanej 2017/18
Siły zachowawcze i energia potencjalna Katarzyna Sznajd-Weron Mechanika i termodynamika dla matematyki stosowanej 2017/18 Polecana literatura John R Taylor, Mechanika klasyczna, tom1 Wydawnictwo Naukowe
Bardziej szczegółowoJanusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Kwantowa wariacyjna metoda Monte Carlo. Problem własny dla stanu podstawowego układu N cząstek
Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdział 20 KWANTOWE METODY MONTE CARLO 20.1 Kwantowa wariacyjna metoda Monte Carlo Problem własny dla stanu podstawowego układu N cząstek (H E 0 )ψ 0 (r)
Bardziej szczegółowoRównanie przewodnictwa cieplnego (II)
Wykład 5 Równanie przewodnictwa cieplnego (II) 5.1 Metoda Fouriera dla pręta ograniczonego 5.1.1 Pierwsze zagadnienie brzegowe dla pręta ograniczonego Poszukujemy rozwiązania równania przewodnictwa spełniającego
Bardziej szczegółowoRynek, opcje i równania SDE
Rynek, opcje i równania SDE Adam Majewski Uniwersytet Gdański kwiecień 2009 Adam Majewski (Uniwersytet Gdański) Rynek, opcje i równania SDE kwiecień 2009 1 / 16 1 Rynek, portfel inwestycyjny, arbitraż
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Sobolewa
Wykład 11 Informacja o przestrzeniach Sobolewa 11.1 Definicja przestrzeni Sobolewa Niech R n będzie zbiorem mierzalnym. Rozważmy przestrzeń Hilberta X = L 2 () z iloczynem skalarnym zdefiniowanym równością
Bardziej szczegółowoWykład Praca (1.1) c Całka liniowa definiuje pracę wykonaną w kierunku działania siły. Reinhard Kulessa 1
1.6 Praca Wykład 2 Praca zdefiniowana jest jako ilość energii dostarczanej przez siłę działającą na pewnej drodze i matematycznie jest zapisana jako: W = c r F r ds (1.1) ds F θ c Całka liniowa definiuje
Bardziej szczegółowo1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2
Temat 1 Pojęcia podstawowe 1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych Równaniem różniczkowym cząstkowym rzędu drugiego o n zmiennych niezależnych nazywamy równanie postaci gdzie u = u (x 1, x,...,
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1 Funkcją tworzącą momenty (transformatą Laplace a) zmiennej losowej X nazywamy funkcję M X (t) := Ee tx, t R. 1. Oblicz funkcję tworzącą momenty zmiennych o
Bardziej szczegółowoWykład 3 Zjawiska transportu Dyfuzja w gazie, przewodnictwo cieplne, lepkość gazu, przewodnictwo elektryczne
Wykład 3 Zjawiska transportu Dyfuzja w gazie, przewodnictwo cieplne, lepkość gazu, przewodnictwo elektryczne W3. Zjawiska transportu Zjawiska transportu zachodzą gdy układ dąży do stanu równowagi. W zjawiskach
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz
Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym
Bardziej szczegółowo