XII WYKŁAD STATYSTYKA. 28/05/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15
|
|
- Ludwika Staniszewska
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 XII WYKŁAD STATYSTYKA 28/05/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15
2 WYKŁAD 12 TEORIA BŁĘDÓW POMIAROWYCH Pomiary (definicja, skale pomiarowe, pomiary proste, złożone, zliczenia). Błędy ( definicja, rodzaje błędów, błąd maksymalny i przypadkowy,). Rachunek błędów Sposoby zapisów wyników Przenoszenie błędów Średnia arytmetyczna Błąd standardowy pojedynczego pomiaru i średniej
3 RACHUNEK BŁĘDÓW (1) Zadaniem rachunku błędów jest analiza i ocena błędów pomiarowych. W rachunku błędów błąd nie jest synonimem złego postępowania, pomyłki czy też gafy. Błąd czy też niepewność wyniku pomiarowego -towarzyszy nierozerwalnie pomiarom, nie sposób go uniknąć. Można jedynie go zmniejszać np. dokonując staranniejszych pomiarów czy też używając dokładniejszych przyrządów. Przykład 1- Prosty pomiar Pomiar długości stołu używając: na oko, taśmy mierniczej z podziałką co 10 cm, metra stolarskiego z podziałką co 5 mm, co 1mm, interferometr laserowy (dokładność długość fali ok. 0.5µm). Czy też lepszego oświetlenia. Przykład 2- Zadanie Archimedesa. Pomiar gęstości materiału korony, by rozstrzygnąć czy jest wykonana z 18-karatowego złota - d=15,5 g/cm 3 ; czy też jest oszustwem tj. wykonana ze stopu o gęstości d=13,8 g/cm 3. Wynik Ekspert I Ekspert II Wartość oczekiwana d [g/cm 3 ] 15 13,9 Zakres [g/cm 3 ] Od 13,5 do 16,5 Od 13,7 do 14,1 Wynik pomiaru nierozstrzygający rozstrzygający
4 RACHUNEK BŁĘDÓW (2) UWAGA: PODAWANIE WYNIKÓW POMIARU BEZ OSZACOWANIA ICH NIEPEWNOŚCI (BŁĘDÓW) JEST BEZUŻYTECZNE!!! Przykład 3- Testowanie teorii naukowej Wg. ogólnej teorii względności (Einstein 1916 r.) światło docierające z gwiazd na Ziemię, przechodząc w pobliżu Słońca zostanie ugięte o kąt α=1,8. Wg. teorii klasycznych α=0 (najprostsza teoria) lub α=0,9 (bardziej złożona). Pomiary kąta ugięcia są możliwe podczas zaćmienia Słońca. Dyson, Eddington&Davidson 1919 r. : α=2,0 z przedziałem ufności 95 %: 1,7 2,3. Jak szacować niepewności? Pomiary proste Odczytywanie skali (podziałka milimetrowa, skale przyrządów pomiarowych) połowa wartości pomiędzy działkami (Rys. 1 & 2) Pomiary wielokrotne - najlepsze przybliżenie= średnia arytmetyczna -prawdopodobny zakres: pomiędzy najmniejszym a największym wynikiem
5 RACHUNEK BŁĘDÓW (3) Rys. 1
6 RACHUNEK BŁĘDÓW (4) Rys. 2
7 RACHUNEK BŁĘDÓW (5) Przykład : Wyniki pomiarów: 2,3; 2,4; 2,5; 2,4 -najlepsze przybliżenie= (2,3+2,4+2,5+2,4)/4=2,4 -prawdopodobny zakres: od 2,3 do 2,5 Sposoby zapisu wyników x- wartość zmierzona, - najlepsze przybliżenie - x np -prawdopodobny zakres: od x np - δx do x np + δx ZAPIS 1) x= x np ± δx δx niepewność (błąd bezwzględny) 2) x= x np ± δx/ x np *100 % (zapis z uwzględnieniem błędu względnego)
8 RACHUNEK BŁĘDÓW (5) Reguły zapisu: x np oraz δx podawać w tych samych jednostkach ( np. cm, s, m/s 2 itp.) δx zaokrąglać do dwu cyfr znaczących zaokrągleń) (patrz Tabela: Błędy ostatnia cyfra znacząca x np powinna być tego samego rzędu (stać na tym samym miejscu dziesiętnym) co niepewność (δx) zapis x np i δx w tej samej formie (np. dziesiętnej, naukowej, inżynierskiej )
9 BŁĘDY ZAOKRĄGLEŃ Wynik z obliczeń Wynik Błąd Wynik z obliczeń Wy Błąd -nik Dokładność 1 cyfra znacząca Dokładność 2 cyfry znaczące x min x max x % x min x max x % 0, , , ,0499 1,0 5,0 1, , , ,1499 1,1 4,2 2, , , ,5499 2,5 2,0 3, , , ,5499 3,5 1,4 4, , , ,5499 4,5 1,1 5, , ,3 5, ,5499 5,5 0,90 6, , ,5 6, ,0499 7,0 0,71 7, , ,3 8, ,5499 8,5 0,59 8, , ,6 9, ,9499 9,9 0,51
10 Przykłady RACHUNEK BŁĘDÓW (5) Nie prawidłowo 9,82±0,0248 m/s ,72±20 m/s 1, ± C 2,57 m± 2cm Prawidłowo 9,82±0,02 m/s ±20 m/s (1,61± 0.05) C 2,57±0,02 m lub 257±2 cm REGUŁY ZAOKRĄGLANIA LICZB PODCZAS ZAOKRĄGLANIA MIEĆ NA UWADZE PORÓWNANIE ILOŚCI CYFR ZNACZĄCYCH, z BŁĘDEM POMIARU, a NIE POŁOŻENIE PRZECINKA. Przykłady: Liczba Ilość cyfr Nie-prawidłowo Prawidłowo 0, ,0 lub 0,00 0, , lub 15, , lub 15, , ,0 1, lub 1,0000 1,000 12, , ,74 lub 12,75
11 RACHUNEK BŁĘDÓW (6) NIEPEWNOŚCI (BŁĘDY) WZGLĘDNE (DOKŁADNOŚĆ) x= x np ± δx niepewność względna niepewność procentowa [%]. *100 Przykład x= 4,82±0,08 kg= 4,82
12 1. PRZENOSZENIE NIEPEWNOŚCI (mogą być nieprzypadkowe błąd maksymalny) 1. Sumy i różnice: 2. Iloczyny, ilorazy, potęgi: q = x+ +z-(u+ v) δq δx+ +δz+δu+ +δv
13 2. PRZENOSZENIE NIEPEWNOŚCI (błędy przypadkowe) 1.Sumy i różnice: q = x+ +z-(u+ v) a b
14 2. PRZENOSZENIE NIEPEWNOŚCI (błędy przypadkowe) (c.d.) 2. Iloczyny, ilorazy
15 NIEPEWNOŚCI POMIAROWE -δq NAJLEPSZĄ METODĄ OCENY WIARYGODNOŚCI POMIARU JEST JEGO WIELOKROTNE POWTARZANIE I BADANIE OTRZYMANYCH WYNIKÓW NIEPEWNOŚCI POMIAROWE -δq PRZYPADKOWE-δ przyp mogą być poddawane obróbce statystycznej SYSTEMATYCZNE-δ system nie mogą być poddawane obróbce statystycznej Błędy (niepewności) systematyczne nie da się ani zmniejszyć ani też wykryć poprzez powtarzanie pomiarów. Można je wykryć, a następnie zredukować np. poprzez kalibracje przyrządów. Dążymy aby:
16 POMIARY POŚREDNIE 1. FUNKCJA JEDNEJ ZMIENNEJ q=q(x) 2. FUNKCJA WIELU ZMIENNYCH q=q(x,,z), x,,z niezależne: Zawsze:
17 SREDNIA ARYTMETYCZNA Twierdzenie (postulat Gaussa) :
18 SREDNIA ARYTMETYCZNA ODCHYLENIE STANARDOWE Z PRÓBY (BŁĄD STANDARDOWY)- s x ODCHYLENIE STANDARDOWE MIARĄ BŁĘDU (NIEPEWNOŚCI) POJEDYNCZEGO POMIARU Wykonując n pomiarów otrzymujemy: x 1, x 2,, x n, następnie obliczamy oraz s x. Jeśli przeprowadzimy następny pomiar, to istnieje ok. 70% (dokładniej 68,27 %) prawdopodobieństwa, że wynik tego pomiaru będzie się różnił o mniej niż s x
19 ODCHYLENIE (BŁĄD) STANDARDOWE ( Y) ŚREDNIEJ
20 ODRZUCANIE WĄTPLIWYCH WYNIKÓW Zdarza się, że jeden z wyników w serii pomiarów odbiega od pozostałych. Wówczas nasuwa się pytanie, czy ten wynik jest rezultatem pomyłki i powinien być odrzucony, czy też jest wynikiem wiarygodnym, który powinien być wykorzystany na równi z pozostałymi. Przykład 1. Otrzymano następujące wyniki w [s] w pomiarze okresu wahań wahadła: 3,8; 3,5; 3,9; 3,9 3,4; 1,8 z pośród nich 1,8 wyraźnie odbiega od pozostałych. Oznaczamy go jako x wąt =1,8. Zadaniem naszym jest podjęcie decyzji, czy ten wynik jest występownia skutkiem błędu przypadkowego pomiaru, więc powinien być zachowany, czy też jego pojawienie wynika z innej przyczyny i wówczas należy go odrzucić. Możliwy sposób takiego postępowania daje : KRYTERIUM CHAUVENTA
21 KRYTERIUM CHAUVENTA 1. Obliczamy używając wszystkie wyniki: oraz s x : s 2. Obliczamy wartość wyrażenia: 3. Z tablicy rozkładu normalnego: EXCEL ROZKŁAD.NORMALNY.S odczytujemy wartość α/2 (Rys). Wynosi ono: α/2=0,05. Rys. Wyznaczanie prawdopodobieństwa, że wynik pomiaru będzie się różnił od wartości średniej o z wąt lub więcej- odpowiada to wartości polu powierzchni : α/2
22 KRYTERIUM CHAUVENTA Oznacza to, że na 20 pomiarów jeden z wyników ma prawo różnić się od średniej co najmniej tyle jak x wąt (t,j 1,8s). Ponieważ my wykonaliśmy tylko 6 pomiarów, więc prawdopodobieństwo otrzymania tak złego jak 1,8s wynosi: n(gorszych niż x wąt )= 0,05 6= 0,3 wg. CHAUVENTA jeśli to x wąt można odrzucić Podane postępowanie należy do działu wnioskowania statystycznego zwanego Weryfikacją hipotez statystycznych.
23 KRYTERIUM CHAUVENTA (c.d.) Przykład: Student zmierzył 10 razy siłę elektromotoryczną ( napięcie ogniwa otwartego) ogniwa chemicznego i uzyskał następujące wyniki w mv (miliwoltach): 430; 415; 435; 420; 410; 475; 415; 425; 445; 440 Czy powinien on odrzucić wynik x pod = 475mV? lp x i ( x i - x sr ) ( x i - x sr ) SUMA = 4310 SUMA =3340 x sr = 4310/10 x sr = 431 Z wat =( )/19,3 =2,28 s x = (3340/9) 1/2 s x = 19,3 Użyteczne wzory:
24 KRYTERIUM CHAUVENTA (c.d.) 1-α = F(z wat ) (dystrybuanta rozkładu normalnego dla z=z wat Z tablicy rozkładu normalnego: EXCEL ROZKŁAD.NORMALNY.S odczytujemy wartość α (Rys). F(-z wat )= α/2=0,0113 stąd α =2,26 %
25 KRYTERIUM CHAUVENTA (c.d) Oznacza to, że na 100 pomiarów średnio 2.26 wyników może różnić się od wartości oczekiwanej więcej niż z wat czyli x wat ma prawo być większe lub równe 475 mv. Ponieważ wykonano 10 pomiarów, więc średnio 0,226 wyników ma prawo osiągnąć wartość 475 mv lub więcej. Wg. Chauventa jeśli ilość tych wyników jest niższa niż 0,5 to wynik wątpliwy odrzucamy, czyli: Wg. Chauventa : jeśli n * α < 0,5 to wynik (x wat ) należy odrzucić W naszym przypadku : n * α = 10* 0,0226= 0,226 czyli: x=475 mv ODRZUCAMY
26 KRYTERIUM CHAUVENTA (c.d) Przykład 2: Studentka wykonała 14 pomiarów okresu drgań oscylatora, otrzymując wyniki w sekundach: 0,7; 0,3; 0,9; 0,3; 0,6; 0,9 0,8; 0,7; 0,8; 1,2; 0,5; 0,9; 0,9; 0,3 Sprawdzić czy wynik x=1,2 s powinno się odrzucić? x sr =0,7, s x =2,72 stąd: z wat =1,84 Z tablicy rozkładu normalnego: EXCEL ROZKŁAD.NORMALNY.S odczytujemy wartość α (Rys). F(-z wat )= α/2=0,03288 stąd α =0,066 (6,66%) Stąd n* α = 14*0,066=0,92 > 0,5 WNIOSEK: NIE PODSTAW DO ODRZUCENIA wyniku x= 1,2
27 TEST Q-Dixona ODRZUCANIE WYNIKÓW WĄTPLIWYCH (błędów grubych) Test Q - Dixona (dla 3 < n < 10), tylko jeden wynik wątpliwy 1. Uporządkowanie wyników w szereg niemalejący x 1 x 2 x 3 x n-1 x n 2. Wyznaczenie wartości parametru Q dla wyników skrajnych 3. Odczytanie Q kr = f (P, n) Q n
28 TEST Q-Dixona Statystyczne opracowanie wyników Wartość krytyczna Qkr = f(p,n) testu Dixona P/n % 0,94 0,76 0,64 0,56 0,51 0,47 0,44 99 % 0,99 0,89 0,78 0,70 0,64 0,59 0,56
29 TEST Q-Dixona, PRZYKŁAD Zad.6 Zawartosc Fe2O3 w badanym roztworze oznaczano spektrofotometrycznie (po utworzeniu barwnego kompleksu rodankowego) i otrzymano nastepujace wyniki (w mg/dm3): 350; 342; 366; 350; 353; 343; 354; 358; 354; 360. Sprawdzic, czy wynik 366 obarczony jest błedem grubym, Sprawdzamy czy jakas wartosc jest obarczona błedem grubym (czy nie pasuje do reszty wyników) za pomoca Testu Q-Dixona: Pierwszym krokiem jest uszeregowanie wyników w ciag niemalejacy: 342; 343; 350; 350; 353; 354; 354; 358; 360; 366 Nastepnie Obliczamy zmienna losowa tego testu, czyli Q: Gdzie: x w to wynik watpliwy (366). x s to wynik sasiadujacy z wynikiem watpliwym. (360) R to rozstep, czyli rónica wyniku ostatniego i pierwszego. R = = 24 Q = /24 = 0,25 Ostatnim krokiem jest odczytanie z tablicy Q-Dixona parametru krytycznego Qkr i Q. Odczytywana wartosc jest dla liczby pomiarów n i prawdopodobienstwa P = 1-a porównanie go z uzyskana wartoscia Q kr =0,41 Skoro Q < Q kr, 0,25<0,41; możemy stwierdzic, iiż wynik watpliwy jest elementem próby.
30 Zad.8 Wykonano 10 pomiarów cisnienia wewnatrz zbiornika próniowego otrzymujac nastepujace wyniki (w kpa) ; 43, 45, 44, 58, 47, 45, 38, 44, 48 i 46. Wyznaczyc przedział ufnosci sredniej odrzucajac ewentualnie na mocy odpowiedniego kryterium wynik(i) watpliwe. Wyniki watpliwe odrzucamy wykorzystujac test Q-Dixona. Wartosci cisnienia naley uszeregowac w ciag niemalejacy: 38; 43; 44; 44; 45; 45; 46; 47; 48; 58. Wartosc srednia wynosi 45,8; wynikiem watpliwym wydaje sie byc 58. Aby to sprawdzic naley obliczyc parametr Q i porównac go z parametrem krytycznym Qkr. Q= /20 = 0,5 Parametr krytyczny Qkr odczytany z tablicy testu Q-Dixona, dla 95% prawdopodobienstwa i 10 pomiarów, wynosi Q kr =0,41. Q > Qkr Z 95% prawdopodobienstwem odrzucamy wynik watpliwy. (za pomoca testu Q-Dixona mona odrzucic tylko jeden watpliwy wynik). Aby obliczyc przedział ufnosci wartosci sredniej naley policzyc odchylenie standardowe dla wartosci po odrzuceniu wyniku watpliwego. Nastepnie odczytac wartosc parametru t dla nowej serii wartosci cisnienia. S=2,877, my do obliczen musimy uyc odchylenie standardowe sredniej s sr = 2,877/ 9 0,5 = 0,959 Parametr Studenta t odczytujemy z tablic dla poziomu istotnosci a=0,05 i liczby stopni swobody równej 9-1=8. t α = 2,306 Przedział ufnosci dla wartosci sredniej Obliczamy ze wzoru: x sr sr x t S a μ = ± μx = 45,8 ± 2,306 0,959 μx = 45,8 ± 2,3
31 TEST Q-Dixona Wnioski: Q(P,n) tym większe, czyli kryterium ostrzejsze, im: a) większy % P, czyli im większa pewność wniosku odrzucającego wynik lub im mniejsze ryzyko (100 - % P) błędnej decyzji (błąd I rodzaju) b) mniejsze n bo ze wzrostem n maleje P znalezienia się kolejnego wyniku x n+1 poza przedziałem rozstępu Rn (x n+1 > x n lub x n+1 < x 1 ) c) Wartość Q(P,n) maleje wolniej ze wzrostem n, czyli test Q staje się mniej ostry, mniej czuły, bo spośród n wyników, korzysta się tylko z 3: x 1, x n i x 2 lub x n-1
32 ŚREDNIE WAŻONE Przykład Dwóch studentów A i B mierzy wielkość x i otrzymuje następujące wyniki: Student A: Student B: Jak najlepiej połączyć x A i x B w celu otrzymania najlepszego przybliżenia x? Jeśli rozbieżność x A -x B jest dużo większa niż obie niepewności σ A i σ B to wyniki są sprzeczne i powinny być dokładnie zbadane na okoliczność wystąpienia błędu systematycznego Jeśli rozbieżność x A -x B jest niewielka ( nie jest istotnie większa od odchyleń σ A i σ B ) to mamy wyniki zgodne Zakładając że wyniki obu serii pomiarów podlegają rozkładowi normalnemu i oznaczając nieznaną prawdziwą wartość x przez X, to że prawdopodobieństwo, że student A otrzyma wynik x A wynosi: (1) Analogicznie dla studenta B: (2)
33 ŚREDNIE WAŻONE c.d Prawdopodobieństwo, że student A znajdzie wartość x A, a student B x B jest iloczynem obu prawdopodobieństw: (3) gdzie: (4) jest tzw. sumą kwadratów Zasada największego prawdopodobieństwa: najlepsze przybliżenie nieznanej prawdziwej wartości X ma taką wartość, żeby prawdopodobieństwo wystąpienia faktycznie zaobserwowanych wartości x A i x B było największe. Z zależności (3) wynika, że P X (x A, x B ) = max, gdy χ 2 = min, czyli: (5)
34 ŚREDNIE WAŻONE c.d Stąd najbardziej prawdopodobne X= X np wynosi: (6) i (7) W przypadku N serii pomiarów: ( 8) oraz: (9) gdzie: (10)
ĆWICZENIE 13 TEORIA BŁĘDÓW POMIAROWYCH
ĆWICZENIE 13 TEORIA BŁĘDÓW POMIAROWYCH Pomiary (definicja, skale pomiarowe, pomiary proste, złożone, zliczenia). Błędy ( definicja, rodzaje błędów, błąd maksymalny i przypadkowy,). Rachunek błędów Sposoby
Bardziej szczegółowoOdchudzamy serię danych, czyli jak wykryć i usunąć wyniki obarczone błędami grubymi
Odchudzamy serię danych, czyli jak wykryć i usunąć wyniki obarczone błędami grubymi Piotr Konieczka Katedra Chemii Analitycznej Wydział Chemiczny Politechnika Gdańska D syst D śr m 1 3 5 2 4 6 śr j D 1
Bardziej szczegółowoRÓWNOWAŻNOŚĆ METOD BADAWCZYCH
RÓWNOWAŻNOŚĆ METOD BADAWCZYCH Piotr Konieczka Katedra Chemii Analitycznej Wydział Chemiczny Politechnika Gdańska Równoważność metod??? 2 Zgodność wyników analitycznych otrzymanych z wykorzystaniem porównywanych
Bardziej szczegółowoTeoria błędów. Wszystkie wartości wielkości fizycznych obarczone są pewnym błędem.
Teoria błędów Wskutek niedoskonałości przyrządów, jak również niedoskonałości organów zmysłów wszystkie pomiary są dokonywane z określonym stopniem dokładności. Nie otrzymujemy prawidłowych wartości mierzonej
Bardziej szczegółowoStatystyczne Metody Opracowania Wyników Pomiarów
Statystyczne Metody Opracowania Wyników Pomiarów dla studentów Ochrony Środowiska Teresa Jaworska-Gołąb 2017/18 Co czytać [1] H. Szydłowski, Pracownia fizyczna, PWN, Warszawa 1999. [2] A. Zięba, Analiza
Bardziej szczegółowoPodstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności statystycznych
Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności statystycznych Dr inż. Marcin Zieliński I Pracownia Fizyczna dla Biotechnologii, wtorek 8:00-10:45 Konsultacje Zakład Fizyki Jądrowej
Bardziej szczegółowoPODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH
PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH Dr Benedykt R. Jany I Pracownia Fizyczna Ochrona Środowiska grupa F1 Rodzaje Pomiarów Pomiar bezpośredni - bezpośrednio
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna dla leśników
Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 03/04 Wykład 5 Testy statystyczne Ogólne zasady testowania hipotez statystycznych, rodzaje
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r
Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów Wrocław, 18.03.2016r Plan wykładu: 1. Testowanie hipotez 2. Etapy testowania hipotez 3. Błędy 4. Testowanie wielokrotne 5. Estymacja parametrów
Bardziej szczegółowoWykład 3 Hipotezy statystyczne
Wykład 3 Hipotezy statystyczne Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu obserwowanej zmiennej losowej (cechy populacji generalnej) Hipoteza zerowa (H 0 ) jest hipoteza
Bardziej szczegółowoRozkład Gaussa i test χ2
Rozkład Gaussa jest scharakteryzowany dwoma parametramiwartością oczekiwaną rozkładu μ oraz dyspersją σ: METODA 2 (dokładna) polega na zmianie zmiennych i na obliczeniu pk jako różnicy całek ze standaryzowanego
Bardziej szczegółowoStatystyczne Metody Opracowania Wyników Pomiarów
Statystyczne Metody Opracowania Wyników Pomiarów dla studentów ZMIN Teresa Jaworska-Gołąb 2017/18 Co czytać [1] I Pracownia fizyczna, Andrzej Magiera red., Oficyna Wydawnicza IMPULS, Kraków 2006; http://www.1pf.if.uj.edu.pl/materialy/zalecana-literatura
Bardziej szczegółowoNiepewność pomiaru. Wynik pomiaru X jest znany z możliwa do określenia niepewnością. jest bledem bezwzględnym pomiaru
iepewność pomiaru dokładność pomiaru Wynik pomiaru X jest znany z możliwa do określenia niepewnością X p X X X X X jest bledem bezwzględnym pomiaru [ X, X X ] p Przedział p p nazywany jest przedziałem
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji
Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM Z FIZYKI
LABORATORIUM Z FIZYKI LABORATORIUM Z FIZYKI I PRACOWNIA FIZYCZNA C w Gliwicach Gliwice, ul. Konarskiego 22, pokoje 52-54 Regulamin pracowni i organizacja zajęć Sprawozdanie (strona tytułowa, karta pomiarowa)
Bardziej szczegółowoPodstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych. Wykład tutora na bazie wykładu prof. Marka Stankiewicza
Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych Wykład tutora na bazie wykładu prof. Marka Stankiewicza Po co zajęcia w I Pracowni Fizycznej? 1. Obserwacja zjawisk i
Bardziej szczegółowoAnaliza i monitoring środowiska
Analiza i monitoring środowiska CHC 017003L (opracował W. Zierkiewicz) Ćwiczenie 1: Analiza statystyczna wyników pomiarów. 1. WSTĘP Otrzymany w wyniku przeprowadzonej analizy ilościowej wynik pomiaru zawartości
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 5 TEORIA ESTYMACJI II
WYKŁAD 5 TEORIA ESTYMACJI II Teoria estymacji (wyznaczanie przedziałów ufności, błąd badania statystycznego, poziom ufności, minimalna liczba pomiarów). PRÓBA Próba powinna być reprezentacyjna tj. jak
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM Populacja Generalna (PG) 2. Próba (P n ) 3. Kryterium 3σ 4. Błąd Średniej Arytmetycznej 5. Estymatory 6. Teoria Estymacji (cz.
LABORATORIUM 4 1. Populacja Generalna (PG) 2. Próba (P n ) 3. Kryterium 3σ 4. Błąd Średniej Arytmetycznej 5. Estymatory 6. Teoria Estymacji (cz. I) WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE (STATISTICAL INFERENCE) Populacja
Bardziej szczegółowoVI WYKŁAD STATYSTYKA. 9/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15
VI WYKŁAD STATYSTYKA 9/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 6 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI Weryfikacja hipotez ( błędy I i II rodzaju, poziom istotności, zasady
Bardziej szczegółowoStatystyczne Metody Opracowania Wyników Pomiarów
Statystyczne Metody Opracowania Wyników Pomiarów dla studentów ZMIN Teresa Jaworska-Gołąb 2018/19 Co czytać [1] I Pracownia fizyczna, Andrzej Magiera red., Oficyna Wydawnicza IMPULS, Kraków 2006; http://www.1pf.if.uj.edu.pl/materialy/zalecana-literatura
Bardziej szczegółowoWSKAZÓWKI DO WYKONANIA SPRAWOZDANIA Z WYRÓWNAWCZYCH ZAJĘĆ LABORATORYJNYCH
WSKAZÓWKI DO WYKONANIA SPRAWOZDANIA Z WYRÓWNAWCZYCH ZAJĘĆ LABORATORYJNYCH Dobrze przygotowane sprawozdanie powinno zawierać następujące elementy: 1. Krótki wstęp - maksymalnie pół strony. W krótki i zwięzły
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych
Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta
Bardziej szczegółowoWstęp do teorii niepewności pomiaru. Danuta J. Michczyńska Adam Michczyński
Wstęp do teorii niepewności pomiaru Danuta J. Michczyńska Adam Michczyński Podstawowe informacje: Strona Politechniki Śląskiej: www.polsl.pl Instytut Fizyki / strona własna Instytutu / Dydaktyka / I Pracownia
Bardziej szczegółowoPodstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych
Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych dla studentów Chemii 2007 Paweł Korecki 2013 Andrzej Kapanowski Po co jest Pracownia Fizyczna? 1. Obserwacja zjawisk i
Bardziej szczegółowoPodstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych. Wykład tutora na bazie wykładu prof. Marka Stankiewicza
Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych Wykład tutora na bazie wykładu prof. Marka tankiewicza Po co zajęcia w I Pracowni Fizycznej? 1. Obserwacja zjawisk i efektów
Bardziej szczegółowoODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW
ODRZUCANIE WYNIKÓW OJEDYNCZYCH OMIARÓW W praktyce pomiarowej zdarzają się sytuacje gdy jeden z pomiarów odstaje od pozostałych. Jeżeli wykorzystamy fakt, że wyniki pomiarów są zmienną losową opisywaną
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych.
Statystyka Wykład 10 Wrocław, 22 grudnia 2011 Testowanie hipotez statystycznych Definicja. Hipotezą statystyczną nazywamy stwierdzenie dotyczące parametrów populacji. Definicja. Dwie komplementarne w problemie
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna. Wykład IV. Weryfikacja hipotez statystycznych
Statystyka matematyczna. Wykład IV. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 2 3 Definicja 1 Hipoteza statystyczna jest to przypuszczenie dotyczące rozkładu (wielkości parametru lub rodzaju) zmiennej
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 8 ANALIZA REGRESJI
WYKŁAD 8 ANALIZA REGRESJI Regresja 1. Metoda najmniejszych kwadratów-regresja prostoliniowa 2. Regresja krzywoliniowa 3. Estymacja liniowej funkcji regresji 4. Testy istotności współczynnika regresji liniowej
Bardziej szczegółowoFizyka (Biotechnologia)
Fizyka (Biotechnologia) Wykład I Marek Kasprowicz dr Marek Jan Kasprowicz pokój 309 marek.kasprowicz@ur.krakow.pl www.ar.krakow.pl/~mkasprowicz Marek Jan Kasprowicz Fizyka 013 r. Literatura D. Halliday,
Bardziej szczegółowoBADANIE POWTARZALNOŚCI PRZYRZĄDU POMIAROWEGO
Zakład Metrologii i Systemów Pomiarowych P o l i t e c h n i k a P o z n ańska ul. Jana Pawła II 24 60-965 POZNAŃ (budynek Centrum Mechatroniki, Biomechaniki i Nanoinżynierii) www.zmisp.mt.put.poznan.pl
Bardziej szczegółowoRozkłady statystyk z próby
Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny
Bardziej szczegółowoTemat: SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH
Temat: SZCOWNIE NIEPEWNOŚCI POMIROWYCH - Jak oszacować niepewność pomiarów bezpośrednich? - Jak oszacować niepewność pomiarów pośrednich? - Jak oszacować niepewność przeciętną i standardową? - Jak zapisywać
Bardziej szczegółowoINFORMATYKA W CHEMII Dr Piotr Szczepański
INFORMATYKA W CHEMII Dr Piotr Szczepański Katedra Chemii Fizycznej i Fizykochemii Polimerów WPROWADZENIE DO STATYSTYCZNEJ OCENY WYNIKÓW DOŚWIADCZEŃ 1. BŁĄD I STATYSTYKA błąd systematyczny, błąd przypadkowy,
Bardziej szczegółowoRozwiązanie n1=n2=n=8 F=(4,50) 2 /(2,11) 2 =4,55 Fkr (0,05; 7; 7)=3,79
Test F =służy do porównania precyzji dwóch niezależnych serii pomiarowych uzyskanych w trakcie analizy próbek o zawartości analitu na takim samym poziomie #obliczyć wartość odchyleń standardowych dla serii
Bardziej szczegółowoSMOP - wykład. Rozkład normalny zasady przenoszenia błędów. Ewa Pawelec
SMOP - wykład Rozkład normalny zasady przenoszenia błędów Ewa Pawelec 1 iepewność dla rozkładu norm. Zamiast dodawania całych zakresów uwzględniamy prawdopodobieństwo trafienia dwóch wartości: P x 1, x
Bardziej szczegółowoPobieranie prób i rozkład z próby
Pobieranie prób i rozkład z próby Marcin Zajenkowski Marcin Zajenkowski () Pobieranie prób i rozkład z próby 1 / 15 Populacja i próba Populacja dowolnie określony zespół przedmiotów, obserwacji, osób itp.
Bardziej szczegółowoSpis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16
Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego
Bardziej szczegółowoHISTOGRAM. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH Liczba pomiarów - n. Liczba pomiarów - n k 0.5 N = N =
HISTOGRAM W pewnych przypadkach interesuje nas nie tylko określenie prawdziwej wartości mierzonej wielkości, ale także zbadanie całego rozkład prawdopodobieństwa wyników pomiarów. W takim przypadku wyniki
Bardziej szczegółowoPracownia Astronomiczna. Zapisywanie wyników pomiarów i niepewności Cyfry znaczące i zaokrąglanie Przenoszenie błędu
Pracownia Astronomiczna Zapisywanie wyników pomiarów i niepewności Cyfry znaczące i zaokrąglanie Przenoszenie błędu Każdy pomiar obarczony jest błędami Przyczyny ograniczeo w pomiarach: Ograniczenia instrumentalne
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA, LISTA 3
STATYSTYKA MATEMATYCZNA, LISTA 3 1. Aby zweryfikować hipotezę o symetryczności monety; H: p = 0.5 przeciwko K: p 0.5 wykonano nią n = 100 rzutów. Wyznaczyć obszar krytyczny i zweryfikować hipotezę H gdy
Bardziej szczegółowoStatystyka. #5 Testowanie hipotez statystycznych. Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik. rok akademicki 2016/ / 28
Statystyka #5 Testowanie hipotez statystycznych Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik rok akademicki 2016/2017 1 / 28 Testowanie hipotez statystycznych 2 / 28 Testowanie hipotez statystycznych
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 5. 2 listopada 2009
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 5 2 listopada 2009 Poprzedni wykład: przedział ufności dla µ, σ nieznane Rozkład N(µ, σ). Wnioskowanie o średniej µ, gdy σ nie jest znane Testowanie H : µ = µ 0, K : µ
Bardziej szczegółowoVII WYKŁAD STATYSTYKA. 30/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15
VII WYKŁAD STATYSTYKA 30/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 7 (c.d) WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI Weryfikacja hipotez ( błędy I i II rodzaju, poziom istotności,
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne
Testowanie hipotez statystycznych Wnioskowanie statystyczne Hipoteza statystyczna to dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej (jego postaci funkcyjnej lub wartości parametrów). Hipotezy
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i rozkład normalny cd.
# # Prawdopodobieństwo i rozkład normalny cd. Michał Daszykowski, Ivana Stanimirova Instytut Chemii Uniwersytet Śląski w Katowicach Ul. Szkolna 9 40-006 Katowice E-mail: www: mdaszyk@us.edu.pl istanimi@us.edu.pl
Bardziej szczegółowoJAK WYZNACZA SIĘ PARAMETRY WALIDACYJNE
JAK WYZNACZA SIĘ PARAMETRY WALIDACYJNE 1 Dokładność i poprawność Dr hab. inż. Piotr KONIECZKA Katedra Chemii Analitycznej Wydział Chemiczny Politechnika Gdańska ul. G. Narutowicza 11/12 80-233 GDAŃSK e-mail:
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI
LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI WERYFIKACJA HIPOTEZ Hipoteza statystyczna jakiekolwiek przypuszczenie dotyczące populacji generalnej- jej poszczególnych
Bardziej szczegółowoBADANIE POWTARZALNOŚCI PRZYRZĄDU POMIAROWEGO
Zakład Metrologii i Systemów Pomiarowych P o l i t e c h n i k a P o z n ańska ul Jana Pawła II 24 60-965 POZNAŃ budynek Centrum Mechatroniki, iomechaniki i Nanoinżynierii) wwwzmispmtputpoznanpl tel +48
Bardziej szczegółowoPodstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych
Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych dla studentów Chemii (2018) Autor prezentacji :dr hab. Paweł Korecki dr Szymon Godlewski e-mail: szymon.godlewski@uj.edu.pl
Bardziej szczegółowoOkreślanie niepewności pomiaru
Określanie niepewności pomiaru (Materiały do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu Materiałoznawstwo na wydziale Górnictwa i Geoinżynierii) 1. Wprowadzenie Pomiar jest to zbiór czynności mających na celu
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do rachunku niepewności pomiarowej. Jacek Pawlyta
Wprowadzenie do rachunku niepewności pomiarowej Jacek Pawlyta Fizyka Teorie Obserwacje Doświadczenia Fizyka Teorie Przykłady Obserwacje Przykłady Doświadczenia Przykłady Fizyka Potwierdzanie bądź obalanie
Bardziej szczegółowoTutaj powinny znaleźć się wyniki pomiarów (tabelki) potwierdzone przez prowadzacego zajęcia laboratoryjne i podpis dyżurujacego pracownika obsługi
Tutaj powinny znaleźć się wyniki pomiarów (tabelki) potwierdzone przez prowadzacego zajęcia laboratoryjne i podpis dyżurujacego pracownika obsługi technicznej. 1. Wstęp Celem ćwiczenia jest wyznaczenie
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych.
Bioinformatyka Wykład 9 Wrocław, 5 grudnia 2011 Temat. Test zgodności χ 2 Pearsona. Statystyka χ 2 Pearsona Rozpatrzmy ciąg niezależnych zmiennych losowych X 1,..., X n o jednakowym dyskretnym rozkładzie
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA MATEMATYCZNA
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA MATEMATYCZNA LISTA 10 1.Dokonano 8 pomiarów pewnej odległości (w m) i otrzymano: 201, 195, 207, 203, 191, 208, 198, 210. Wiedząc,że błąd pomiaru ma rozkład normalny
Bardziej szczegółowoPopulacja generalna (zbiorowość generalna) zbiór obejmujący wszystkie elementy będące przedmiotem badań Próba (podzbiór zbiorowości generalnej) część
Populacja generalna (zbiorowość generalna) zbiór obejmujący wszystkie elementy będące przedmiotem badań Próba (podzbiór zbiorowości generalnej) część populacji, którą podaje się badaniu statystycznemu
Bardziej szczegółowoStatystyka. Rozkład prawdopodobieństwa Testowanie hipotez. Wykład III ( )
Statystyka Rozkład prawdopodobieństwa Testowanie hipotez Wykład III (04.01.2016) Rozkład t-studenta Rozkład T jest rozkładem pomocniczym we wnioskowaniu statystycznym; stosuje się go wyznaczenia przedziału
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych
round Testowanie hipotez statystycznych Wyk lad 9 Natalia Nehrebecka Stanis law Cichocki 13 grudnia 2014 Plan zajeć 1 Rozk lad estymatora b Rozk lad sumy kwadratów reszt 2 Hipotezy proste - test t Badanie
Bardziej szczegółowoHipotezy statystyczne
Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o którego prawdziwości lub fałszywości wnioskuje się na podstawie pobranej próbki losowej. Hipotezy
Bardziej szczegółowoWyniki pomiarów okresu drgań dla wahadła o długości l = 1,215 m i l = 0,5 cm.
2 Wyniki pomiarów okresu drgań dla wahadła o długości l = 1,215 m i l = 0,5 cm. Nr pomiaru T[s] 1 2,21 2 2,23 3 2,19 4 2,22 5 2,25 6 2,19 7 2,23 8 2,24 9 2,18 10 2,16 Wyniki pomiarów okresu drgań dla wahadła
Bardziej szczegółowoZawartość. Zawartość
Opr. dr inż. Grzegorz Biesok. Wer. 2.05 2011 Zawartość Zawartość 1. Rozkład normalny... 3 2. Rozkład normalny standardowy... 5 3. Obliczanie prawdopodobieństw dla zmiennych o rozkładzie norm. z parametrami
Bardziej szczegółowoStatystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych.
Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Hipotezy i Testy statystyczne Każde
Bardziej szczegółowoBŁĘDY W POMIARACH BEZPOŚREDNICH
Podstawy Metrologii i Technik Eksperymentu Laboratorium BŁĘDY W POMIARACH BEZPOŚREDNICH Instrukcja do ćwiczenia nr 2 Zakład Miernictwa i Ochrony Atmosfery Wrocław, listopad 2010 r. Podstawy Metrologii
Bardziej szczegółowoWykład 9. Terminologia i jej znaczenie. Cenzurowanie wyników pomiarów.
Wykład 9. Terminologia i jej znaczenie. Cenzurowanie wyników pomiarów.. KEITHLEY. Practical Solutions for Accurate. Test & Measurement. Training materials, www.keithley.com;. Janusz Piotrowski: Procedury
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 8 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH
WYKŁAD 8 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Było: Estymacja parametrów rozkładu teoretycznego punktowa przedziałowa Przykład. Cecha X masa owocu pewnej odmiany. ZałoŜenie: cecha X ma w populacji rozkład
Bardziej szczegółowoLISTA 4. 7.Przy sporządzaniu skali magnetometru dokonano 10 niezależnych pomiarów
LISTA 4 1.Na pewnym obszarze dokonano 40 pomiarów grubości warstwy piasku otrzymując w m.: 54, 58, 64, 69, 61, 56, 41, 48, 56, 61, 70, 55, 46, 57, 70, 55, 47, 62, 55, 60, 54,57,65,60,53,54, 49,58,62,59,55,50,58,
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI
LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI WERYFIKACJA HIPOTEZ Hipoteza statystyczna jakiekolwiek przypuszczenie dotyczące populacji generalnej- jej poszczególnych
Bardziej szczegółowoIdea. θ = θ 0, Hipoteza statystyczna Obszary krytyczne Błąd pierwszego i drugiego rodzaju p-wartość
Idea Niech θ oznacza parametr modelu statystycznego. Dotychczasowe rozważania dotyczyły metod estymacji tego parametru. Teraz zamiast szacować nieznaną wartość parametru będziemy weryfikowali hipotezę
Bardziej szczegółowoTemat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT. Anna Rajfura 1
Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT Anna Rajfura 1 Przykład wprowadzający Wiadomo, Ŝe 40% owoców ulega uszkodzeniu podczas pakowania automatycznego.
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4. WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH X - cecha populacji, θ parametr rozkładu cechy X.
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4 WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH X - cecha populacji, θ parametr rozkładu cechy X. Wysuwamy hipotezy: zerową (podstawową H ( θ = θ i alternatywną H, która ma jedną z
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych
Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów stat. Hipoteza statystyczna Dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej
Bardziej szczegółowoSzczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć)
Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć) 1. Populacja generalna a losowa próba, parametr rozkładu cechy a jego ocena z losowej próby, miary opisu statystycznego
Bardziej szczegółowoPodstawy opracowania wyników pomiarów
Podstawy opracowania wyników pomiarów I Pracownia Fizyczna Chemia C 02. 03. 2017 na podstawie wykładu dr hab. Pawła Koreckiego Katarzyna Dziedzic-Kocurek Instytut Fizyki UJ, Zakład Fizyki Medycznej k.dziedzic-kocurek@uj.edu.pl
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 9 i 10 Magdalena Alama-Bućko 14 i 21 maja 2018 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 14 i 21 maja 2018 1 / 25 Hipotezy statystyczne Hipoteza statystyczna nazywamy
Bardziej szczegółowoHipotezy statystyczne
Hipotezy statystyczne Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o którego prawdziwości lub fałszywości wnioskuje się na podstawie pobranej
Bardziej szczegółowoBłędy przy testowaniu hipotez statystycznych. Decyzja H 0 jest prawdziwa H 0 jest faszywa
Weryfikacja hipotez statystycznych Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o prawdziwości lub fałszywości którego wnioskuje się na podstawie
Bardziej szczegółowoKARTA INFORMACYJNA PRZEDMIOTU
Uniwersytet Rzeszowski WYDZIAŁ KIERUNEK Matematyczno-Przyrodniczy Fizyka techniczna SPECJALNOŚĆ RODZAJ STUDIÓW stacjonarne, studia pierwszego stopnia KARTA INFORMACYJNA PRZEDMIOTU NAZWA PRZEDMIOTU WG PLANU
Bardziej szczegółowoPodstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych
Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych Dzięki uprzejmości: Paweł Korecki Instytut Fizyki UJ pok. 256 e-mail: pawel.korecki@uj.edu.pl http://users.uj.edu.pl/~korecki
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych
Testowanie hipotez statystycznych Wyk lad 8 Natalia Nehrebecka Stanis law Cichocki 29 listopada 2015 Plan zajeć 1 Rozk lad estymatora b Rozk lad sumy kwadratów reszt 2 Hipotezy proste - test t Badanie
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 9
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka Wykład 9 1 1. Dodatkowe założenie KMRL 2. Testowanie hipotez prostych Rozkład estymatora b Testowanie hipotez prostych przy użyciu statystyki t 3. Przedziały ufności
Bardziej szczegółowo1 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa
1 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy prawdopodobieństwo przyjęcia przez zmienną losową X wartości mniejszej od x, tzn. F (x) = P [X < x]. 1. dla zmiennej losowej
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4. Testowanie hipotez Estymacja parametrów
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4 Testowanie hipotez Estymacja parametrów WSTĘP 1. Testowanie hipotez Błędy związane z testowaniem hipotez Etapy testowana hipotez Testowanie wielokrotne 2. Estymacja parametrów
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD października 2009
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4 26 października 2009 Rozkład N(µ, σ). Estymacja σ σ 2 = 1 σ 2π + = E µ,σ (X µ) 2 { (x µ) 2 exp 1 ( ) } x µ 2 dx 2 σ Rozkład N(µ, σ). Estymacja σ σ 2 = 1 σ 2π + = E µ,σ
Bardziej szczegółowoWykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn
Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średniej Wrocław, 21 grudnia 2016r Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja 10.1 Przedziałem
Bardziej szczegółowoWnioskowanie statystyczne i weryfikacja hipotez statystycznych
Wnioskowanie statystyczne i weryfikacja hipotez statystycznych Wnioskowanie statystyczne Wnioskowanie statystyczne obejmuje następujące czynności: Sformułowanie hipotezy zerowej i hipotezy alternatywnej.
Bardziej szczegółowoEstymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014
Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich Wrocław, 5 grudnia 2014 Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja Przedziałem ufności dla paramertu
Bardziej szczegółowoZmierzyłem i co dalej? O opracowaniu pomiarów i analizie niepewności słów kilka
Zmierzyłem i co dalej? O opracowaniu pomiarów i analizie niepewności słów kilka Jakub S. Prauzner-Bechcicki Grupa: Chemia A Kraków, dn. 7 marca 2018 r. Plan wykładu Rozważania wstępne Prezentacja wyników
Bardziej szczegółowoStatystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory
Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl
Bardziej szczegółowoSpis treści 3 SPIS TREŚCI
Spis treści 3 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 1. WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE JAKO DYSCYPLINA MATEMATYCZNA... Metody statystyczne w analizie i prognozowaniu zjawisk ekonomicznych... Badania statystyczne podstawowe
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO. Wykład 2
STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład Parametry przedziałowe rozkładów ciągłych określane na podstawie próby (przedziały ufności) Przedział ufności dla średniej s X t( α;n 1),X + t( α;n 1) n s n t (α;
Bardziej szczegółowoCharakterystyka mierników do badania oświetlenia Obiektywne badania warunków oświetlenia opierają się na wynikach pomiarów parametrów świetlnych. Podobnie jak każdy pomiar, również te pomiary, obarczone
Bardziej szczegółowoTesty post-hoc. Wrocław, 6 czerwca 2016
Testy post-hoc Wrocław, 6 czerwca 2016 Testy post-hoc 1 metoda LSD 2 metoda Duncana 3 metoda Dunneta 4 metoda kontrastów 5 matoda Newman-Keuls 6 metoda Tukeya Metoda LSD Metoda Least Significant Difference
Bardziej szczegółowoWstęp do probabilistyki i statystyki. Wykład 4. Statystyki i estymacja parametrów
Wstęp do probabilistyki i statystyki Wykład 4. Statystyki i estymacja parametrów dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh, Katedra Elektroniki, WIET AGH Wstęp do probabilistyki i statystyki. Wykład 4
Bardziej szczegółowoWNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE
STATYSTYKA WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE ESTYMACJA oszacowanie z pewną dokładnością wartości opisującej rozkład badanej cechy statystycznej. WERYFIKACJA HIPOTEZ sprawdzanie słuszności przypuszczeń dotyczących
Bardziej szczegółowoProjektowanie systemów pomiarowych. 02 Dokładność pomiarów
Projektowanie systemów pomiarowych 02 Dokładność pomiarów 1 www.technidyneblog.com 2 Jak dokładnie wykonaliśmy pomiar? Czy duża / wysoka dokładność jest zawsze konieczna? www.sparkfun.com 3 Błąd pomiaru.
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna i ekonometria
Statystyka matematyczna i ekonometria Wykład 5 dr inż. Anna Skowrońska-Szmer zima 2017/2018 Hipotezy 2 Hipoteza zerowa (H 0 )- hipoteza o wartości jednego (lub wielu) parametru populacji. Traktujemy ją
Bardziej szczegółowoNiepewności pomiarów
Niepewności pomiarów Międzynarodowa Organizacja Normalizacyjna (ISO) w roku 1995 opublikowała normy dotyczące terminologii i sposobu określania niepewności pomiarów [1]. W roku 1999 normy zostały opublikowane
Bardziej szczegółowo