Historia twierdzenia Gaussa Bonneta i socjologia matematyki *
|
|
- Emilia Woźniak
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Wiad. Mat. 46 (1) 2010, c 2010 Polskie Towarzystwo Matematyczne Daniel Henry Gottlieb (Indiana) Historia twierdzenia Gaussa Bonneta i socjologia matematyki * Do napisania tej opowieści sprowokowała mnie dyskusja między Peterem Hiltonem i Jeanem Pedersonem z jednej strony a Branko Griinbaumem i G. C. Shephardem z drugiej na łamach American Mathematical Monthly [10, 12]. Zarówno dyskusja, jak moja opowieść dotyczą liczby Eulera Poincarégo inaczej charakterystyki Eulera. Dyskusja skupia się wokół pytania, czy liczba Eulera Poincarégo powinna być omawiana w ujęciu historycznym, bez wzmianki o tym, jak ogromne i znaczące uogólnienie oraz pogłębienie rozumienia tego najbardziej interesującego niezmiennika nastąpiło w tym stuleciu. Reprezentuję w tym sporze pogląd, że topologii nie powinno się traktować jako zaawansowanej dziedziny, której pojęcia i twierdzenia należy omijać aż do końcówki studiów magisterskich. Jest to raczej badanie ciągłości i dlatego leży u podłoża najbardziej podstawowych rezultatów geometrycznych. W artykule tym pokażę, jak pojęcie kąta w naturalny sposób prowadzi do tak fundamentalnych pojęć topologicznych, jak stopień odwzorowania i liczba Eulera Poincarégo. Moja opowieść obejmuje historię matematyki. Opowiada o być może najszerzej znanym nieoczywistym twierdzeniu matematyki, a zawiera to samo olśniewające uogólnienie, które cechuje najnowszą historię liczby Eulera Poincarégo. W istocie mówi o jednym z najważniejszych i najwcześniejszych zastosowań liczby Eulera Poincarégo. Ilustruje niestałość matematycznej sławy, wykazuje niedorzeczną potęgę nierozsądnych punktów widzenia, pokazuje, jak łatwo jest matematykom przeoczyć i zapomnieć piękne i ważne twierdzenia, a także proste i odkrywcze punkty widzenia. * Artykuł ukazał się w American Mathematical Monthly, 103, (1996), Na język polski przełożyła Ewa Marchow. Przedruk za zgodą Redakcji AMM.
2 64 D. H. Gottlieb Jest to historia twierdzenia Gaussa Bonneta taka, jak ją widzę. Nie jestem historykiem matematyki. Cytuję tylko opracowania albo prace, które przejrzałem w pośpiechu i nie prowadziłem nad nimi gruntownych badań. Pomimo to piszę tę historię, ponieważ dopowiedziałem ostatnie jej zdanie (jak dotąd). Szczególną wdzięczność za pomoc chcę wyrazić Hansowi Samelsonowi. Jego wiedza znacznie zmieniła wcześniejszą wersję tej pracy. Odkrył on Satz VI. Informował mnie o wielu szczegółach tej historii; o pracach Gaussa, Kartezjusza i Hopfa. Był uczniem Hopfa, który uogólnił twierdzenie Gaussa Bonneta. Odwzorowanie normalne. Co jest najszerzej znanym, nieoczywistym twierdzeniem matematyki? Twierdzę, że jest to: Suma kątów wewnętrznych trójkąta równa się π. Wielu może przyznać, że nie pamięta twierdzenia Pitagorasa, jeśli jednak ujawni, że nie wie, iż suma kątów w trójkącie wynosi 180, to piętnuje się jako człowiek niewykształcony. Będę nazywać owo twierdzenie twierdzeniem o 180 stopniach. Twierdzenie o 180 stopniach zostało dowiedzione za czasów Talesa. Na przestrzeni dziejów przechodziło ono niezwykłe uogólnienia. W tym artykule pokazuję, że jego zwieńczeniem jest twierdzenie Gaussa Bonneta. Pierwsze uogólnienie obejmuje pojęcie kąta zewnętrznego. Kąty zewnętrzne wielokąta zawierają takie same matematyczne informacje co kąty wewnętrzne, ponieważ (patrz rys. 1) są one związane równaniem α + β = π, gdzie α jest kątem wewnętrznym, a β jest odpowiednim kątem zewnętrznym. Twierdzenie: suma kątów zewnętrznych wielokąta równa się 2π natychmiast pociąga za sobą twierdzenie o 180 stopniach dzięki poprzedniemu równaniu. α β Rysunek 1. Co to jest miara kąta między dwiema półprostymi przecinającymi się w punkcie O? Jeśli S 1 jest okręgiem jednostkowym o środku O, wówczas długość łuku okręgu wyciętego przez półproste (patrz rys. 2) jest miarą kąta między nimi. Traktujemy miarę kąta raczej jako własność podzbioru
3 Historia twierdzenia Gaussa Bonneta i socjologia matematyki 65 okręgu niż liczbę stopni. Ten punkt widzenia jest bliższy oryginalnemu greckiemu myśleniu. Traktowanie miary kąta jako liczby stopni jest bardziej nowoczesnym podejściem. O α Rysunek 2. Grecki sposób widzenia można natychmiast uogólnić. Istotnie, jeśli przyjąć, że miarą kąta jest długość albo inaczej jednowymiarowa objętość łuku okręgu S 1 na płaszczyźnie, to możemy myśleć o polu powierzchni wycinka jednostkowej sfery S 2 w trójwymiarowej przestrzeni jako o mierze kąta w trójwymiarowej przestrzeni. W ogólności miara kąta w n-wymiarowej przestrzeni może być uważana za (n 1)-wymiarową objętość wycinka sfery jednostkowej S n 1 w n-wymiarowej przestrzeni. Rozważmy teraz krzywą płaską σ łączącą punkty A i B (rys. 3). Weźmy pod uwagę jednostkowe wektory styczne do σ w punktach A i B. Przesuńmy równolegle te wektory tak, aby ich początki znalazły się w początku układu współrzędnych. Wtedy długość łuku okręgu S 1 wyciętego przez końce przesuniętych równolegle wektorów oznacza miarę kąta, o który krzywa się zagięła. A B A B Rysunek 3. Jedną z rzeczy, której topologowie nauczyli się rozwijając topologię jest to, że prawie zawsze opłaca się zastępować pojęcia funkcjami lub odwzorowaniami. Ta procedura rozprzestrzeniła się w ostatnim półwieczu na całą matematykę. Tak więc w przypadku, który rozważamy, określamy odwzorowanie z krzywej do okręgu jednostkowego S 1 następująco: dla każdego punktu P na krzywej σ konstruujemy jednostkowy wektor stycz-
4 66 D. H. Gottlieb ny do σ w punkcie P i przesuwamy go równolegle do początku układu współrzędnych; jego koniec leży na okręgu jednostkowym. Będziemy to odwzorowanie nazywali odwzorowaniem stycznym. Niech teraz B zbliża się do A wzdłuż σ. Jeśli podzielimy miarę kąta między wektorami stycznymi w punktach A i B przez długość wzdłuż łuku krzywej σ między A i B, to otrzymamy wielkość, która dąży do pewnej granicy, jeśli σ jest dostatecznie gładka. Granica ta nazywa się krzywizną krzywej σ w punkcie A. Innymi słowy, krzywizna w punkcie A jest odwrotnością ilorazu długości nieskończenie małego łuku krzywej σ przez długość jego obrazu na S 1. Przybliżmy teraz wielokąt przez gładką krzywą zamkniętą bez samoprzecięć. Tempo zmian wektora stycznego (krzywizna krzywej) odpowiada wtedy kątowi zewnętrznemu, a całkowity obrót wektora stycznego (całkowita krzywizna krzywej zamkniętej) odpowiada sumie kątów zewnętrznych wielokąta. Dla krzywej zamkniętej w sposób prosty wektor styczny obraca się o 2π, gdy kończy się obieg zamkniętej nieprzecinającej się krzywej. Inaczej mówiąc, całkowita krzywizna jest równa 2π. Z ciągłości wynika teraz, że suma kątów zewnętrznych wielokąta jest równa 2π. Takie przybliżanie wielokątów przez krzywe gładkie jest rozumowaniem znanym Grekom. A więc znacznie uogólniliśmy oryginalne twierdzenie o 180 stopniach w trójkącie przez twierdzenie, że krzywizna całkowita zamkniętej w sposób prosty krzywej jest równa 2π. Zamiast wektorów stycznych, możemy rozważać normalne do krzywej σ, gdyż wektor normalny zmienia się dokładnie tak samo, jak wektor styczny, gdy jego punkt zaczepienia przemieszcza się wzdłuż σ. Moglibyśmy więc określić krzywiznę krzywej σ wykorzystując wektory normalne zamiast stycznych. Zastępujemy więc odwzorowanie styczne odwzorowaniem normalnym z σ do S 1. Zaletą użycia wektorów normalnych zamiast stycznych jest to, że nadaje się ono do uogólnienia pojęcia krzywizny na powierzchnie w trójwymiarowej przestrzeni, gdyż kierunek normalny jest wyraźnie określony, podczas gdy nie ma żadnego wyróżnionego kierunku stycznego. Nadajemy formalny charakter temu pomysłowi przez wprowadzenie tak zwanego odwzorowania Gaussa albo normalnego. Każdemu punktowi gładkiej powierzchni w trójwymiarowej przestrzeni możemy przyporządkować jedyny jednostkowy wektor normalny skierowany na zewnątrz. To odwzorowanie przyporządkowuje punktom powierzchni punkty sfery jednostkowej. Jest ono określone przez przesunięcie jednostkowego wektora normalnego powierzchni z dowolnego punktu na powierzchni tak, by początek wektora trafił do środka sfery jednostkowej, a następnie
5 Historia twierdzenia Gaussa Bonneta i socjologia matematyki 67 wybranie punktu na sferze jednostkowej będącego końcem przeniesionego wektora (rys. 4). N N Rysunek 4. Ten sam pomysł, który w wymiarze dwa pozwala określić odwzorowanie normalne z krzywej zamkniętej do okręgu jednostkowego, umożliwia określenie jego uogólnienia z gładkiej zamkniętej (n 1)-wymiarowej rozmaitości M zanurzonej w n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej R n do sfery jednostkowej S n 1, które będziemy oznaczać przez γ. Krzywizna. Możemy teraz zdefiniować pojęcie krzywizny normalnej w punkcie m rozmaitości M w R n. Niech R będzie małym otoczeniem punktu m w M, zaś γ(r) niech oznacza jego obraz w S n 1. Wówczas krzywizna normalna w punkcie m oznaczana przez K(m) jest granicą, do której dąży (n 1)-wymiarowa objętość zbioru γ(r) podzielona przez (n 1)-wymiarową objętość zbioru R, gdy R dąży do m. Ten iloraz zaopatrujemy w znak plus, jeśli γ zachowuje orientację przy m i znak minus, jeśli γ zmienia orientację w m. W pewnym układzie współrzędnych K(m) jest jakobianem odwzorowania γ w punkcie m. Podobnie jak odwrotność ilorazu nieskończenie małej długości łuku w otoczeniu punktu x na krzywej γ przez długość jego obrazu w otoczeniu punktu γ(x) na okręgu jest definicją krzywizny krzywej płaskiej w punkcie x, tak odwrotność ilorazu nieskończenie małego pola otoczenia punktu x na powierzchni przez pole jego obrazu na sferze w otoczeniu punktu γ(x) określa wartość w punkcie x krzywizny powierzchni zanurzonej w przestrzeni. Wydawać by się mogło, że taka sama nazwa powinna była zostać nadana ilorazom wyżej wymiarowych nieskończenie małych objętości, ale z powodów historycznych tak się nie stało. Na użytek tego artykułu będę nazywał tę liczbę krzywizną normalną w punkcie x rozmaitości M zanurzonej w R n. Zróbmy przerwę i zastanówmy się nad powodem, dla którego krzywizna normalna naturalne uogólnienie kąta nie nazywa się krzywizną w wymiarach wyższych niż 2. Wynika to stąd, że w wymiarze dwa krzywizna normalna zależy nie od tego, jak powierzchnia jest zanurzona w R 3, ale od wewnętrznej geometrii powierzchni. Oznacza to, że krzy-
6 68 D. H. Gottlieb wizna może być wyliczona bez dostrzegania otaczającej powierzchnię przestrzeni. Jest to słynne Theorema Egregium Gaussa. Dlatego dla wyższych wymiarów słowo krzywizna oznacza tensor krzywizny Riemanna. Opiera on się na krzywiźnie dwuwymiarowej, nie zgadza się jednak z krzywizną normalną w wyższych wymiarach, a dla krzywych wymiaru 1 nie ma nawet sensu. Ów tensor krzywizny odgrywa ważną rolę w geometrii różniczkowej i fizyce, ale nie zastępuje krzywizny normalnej w taki sposób, w jaki kąty zewnętrzne zastępują kąty wewnętrzne. Poza wymiarem 2 krzywizna normalna i tensor krzywizny są różnymi pojęciami. Rozróżnienie tego, co wewnętrzne od tego, co zewnętrzne, będzie pełnić kluczową rolę w mojej opowieści. Rozważmy teraz zwartą (n 1)-wymiarową rozmaitość M w R n i przypuśćmy, że M nie ma brzegu. M dzieli R n na dwa kawałki, wnętrze i zewnętrze. Niech N oznacza wnętrze rozmaitości M, które jest rozmaitością z brzegiem M. Jeśli teraz scałkujemy krzywiznę normalną K po M, otrzymujemy KdM, analogon sumy kątów zewnętrznych. Nazywać go będziemy krzywizną całkowitą albo staromodnie Curvatura Integra M w R n. Możemy teraz sformułować nową wersję twierdzenia Gaussa Bonneta. Przez χ(n) rozumiemy tu liczbę Eulera Poincarégo rozmaitości N. Twierdzenie (Gaussa Bonneta). KdM = χ(n) (objętość S n 1 ). Stopień normalny. Objętość jednostkowej (n 1)-wymiarowej sfery jest równa 2π dla n = 2, 4π dla n = 3 i zmienia się wraz z wymiarem. Dlatego definiujemy stopień odwzorowania γ jako iloraz krzywizny całkowitej przez objętość sfery jednostkowej wymiaru równego wymiarowi rozmaitości M. Stopień γ oznaczamy przez deg(γ) i nazywamy stopniem normalnym. Stopień normalny okazuje się być liczbą całkowitą. W istocie, jest to szczególny przypadek pojęcia stopnia odwzorowania, liczby całkowitej, która odgrywa ważną rolę w topologii. Przy tych oznaczeniach możemy zapisać twierdzenie Gaussa Bonneta jako Twierdzenie (Gaussa Bonneta Hopfa). deg(γ) = χ(n). Liczba Eulera Poincarégo jest najwcześniejszym niezmiennikiem topologii algebraicznej. Jest ona potężnym uogólnieniem wzoru Eulera dotyczącego wielościanów wypukłych. Istnieją świadectwa mówiące, że Kartezjusz znał ten wzór na wiek przed Eulerem, [23] czy [24].
7 Historia twierdzenia Gaussa Bonneta i socjologia matematyki 69 Trop stopnia odwzorowania prowadzi do Kroneckera, natomiast dobrze rozumiał to pojęcie dopiero L. E. J. Brouwer około roku Podana tu jego całkowa definicja dla odwzorowania Gaussa może być uogólniona na odwzorowania między zorientowanymi zamkniętymi rozmaitościami tego samego wymiaru. Najbardziej ogólne określenie stopnia odwzorowania i liczby Eulera Poincarégo wymagają teorii homologii. Jednak obydwa te pojęcia zostały poznane wcześniej, niż dobrze zrozumiano homologię, i można się nimi skutecznie posługiwać bez jej znajomości. Dla dwuwymiarowej powierzchni N, którą można podzielić na trójkąty w sposób nazywany triangulacją (jak na rys 5), liczba Eulera Poincarégo spełnia zależność χ(n) = v e + f, gdzie v jest liczbą wierzchołków, e jest liczbą krawędzi, a f jest liczbą trójkątów w triangulacji. Rysunek 5. Wiedząc to, nietrudno wykazać, że jeśli N jest ograniczona przez wielokąt wypukły, to χ(n) = 1. Ponieważ deg(γ) = 1, to z twierdzenia Gaussa Bonneta Hopfa mamy KdM = 2π, gdzie K oznacza krzywiznę krzywej na płaszczyźnie. Jak powiedzieliśmy, wynika stąd twierdzenie o 180 stopniach. Mamy więc wspaniałe uogólnienie pojęcia sumy kątów spełnione w każdym wymiarze i dane przez prosty wzór. Opowiedzmy ciąg dalszy niezwykłej historii tego rezultatu. Dziewiętnasty wiek. Twierdzenie Gaussa Bonneta jest tak interesujące, że wielu autorów nie mogło zrezygnować z opowiadania w swoich podręcznikach fragmentów jego historii. Na przykład Spivak [25] i Stillwell [24] zrelacjonowali jego wczesną historię. Rozważmy trójkąt geodezyjny T na powierzchni w trójwymiarowej przestrzeni. Krawędziami trójkąta są łuki geodezyjne. Geodezyjne to odpowiedniki linii prostych dla powierzchni; są one drogami o najmniejszej
8 70 D. H. Gottlieb długości na powierzchni. Niech α, β, γ oznaczają kąty wewnętrzne trójkąta (rys. 6). Jeśli scałkujemy krzywiznę K po trójkącie T, otrzymamy Twierdzenie (Gaussa Bonneta dla trójkąta geodezyjnego). KdT = α + β + γ π. β α γ Rysunek 6. Wynikają z tego wzoru interesujące wnioski: Jeśli T jest trójkątem na płaszczyźnie (wówczas geodezyjne są liniami prostymi i K jest tożsamościowo równa zeru), wtedy α + β + γ π = 0. Tak więc twierdzenie Gaussa Bonneta pociąga za sobą twierdzenie o 180 stopniach, ale nie w ten sam sposób, co twierdzenie Gaussa Bonneta Hopfa. Jeśli podzielimy defekt kątowy α + β + γ π przez pole trójkąta T, otrzymamy liczbę, która jest wyliczona wewnętrznie na powierzchni. Jeśli T będziemy ściągać do punktu m, wtedy iloraz dążyć będzie do krzywizny K(m) w punkcie m. Stąd K jest wewnętrzną własnością powierzchni. To właśnie jest sławne Theorema Egregium Gaussa, ale opublikowany przez niego dowód nie używa powyższych argumentów. We wcześniejszym nieopublikowanym rękopisie, przeprowadził tę dyskusję tuż po swoim dowodzie Theorema Egregium. Jeśli dokonamy triangulacji zamkniętej rozmaitości M na trójkąty geodezyjne, wtedy możemy zastosować twierdzenie Gaussa Bonneta do każdego z tych trójkątów. Jeśli dodamy równania, otrzymamy z lewej strony całkowitą krzywiznę (zwaną również Curvatura Integra): KdM. Po prawej stronie możemy zmienić kolejność sumowania kątów, otrzymując ostatecznie 4π χ(m)/2. Pokrywa się to z tym, co nazwaliśmy twierdzeniem Gaussa Bonneta, ponieważ dla powierzchni χ(m) = 2 χ(n), jeśli rozmaitość M jest brzegiem rozmaitości N. Faktycznie zależność χ(m) = 2 χ(n) jest prawdziwa dla dowolnej parzystowymiarowej rozmaitości M. Jednakże dla nieparzystowymiarowej rozmaitości M, χ(m) = 0. Te podstawo-
9 Historia twierdzenia Gaussa Bonneta i socjologia matematyki 71 we fakty topologiczne wraz z tym, co wewnętrzne versus to, co nie wewnętrzne grają kluczową rolę w tej opowieści. W niepublikowanym rękopisie z 1825 roku Gauss zapisał wcześniejszą wersję twierdzenia Gaussa Bonneta dla trójkąta geodezyjnego. W roku 1827 wydał książkę, w której podał pewien wzór różniczkowy, dający po scałkowaniu uogólnienie nazwane przez Bonneta wzorem Gaussa Bonneta. Dowiedziałem się o tym od Samelsona. W 1848 roku Bonnet uogólnił wzór Gaussa Bonneta dla trójkąta na zamknięte krzywe gładkie na powierzchni. Tu suma kątów zastąpiona została przez całkę z krzywizny geodezyjnej. Ten ogólniejszy wzór otrzymał nazwę Gaussa Bonneta jakiś czas później. Prawdopodobnie Blaschke był pierwszym autorem, który to użył tej nazwy w swoim podręczniku we wczesnych latach dwudziestych dwudziestego wieku. Jeśli striangulowaną trójkątami geodezyjnymi zamkniętą powierzchnią S jest sfera topologiczna, wtedy po zastosowaniu wzoru Eulera v e + f = 2, dostajemy pierwsze globalne twierdzenie Gaussa Bonneta: KdS = 4π. W 1860 roku został wydany w Comptes Rendus zagubiony rękopis Kartezjusza skopiowany ręką Leibniza i odkryty po latach. Notatka Bertranda następująca bezpośrednio po artykule Kartezjusza wskazuje na związek z twierdzeniem globalnym. Bertrand zauważa, że Kartezjusz wydaje się rozumieć wielościenną wersję globalnego twierdzenia Gaussa Bonneta. Przypisuje on globalne twierdzenie Gaussowi. Odsyłam do [23] po interesującą relację z tego rękopisu. Wiemy jednak, że w tym czasie nikt nie rozumiał liczby Eulera Poincarégo, i że wynik udowodniono w istocie tylko dla powierzchni dyfeomorficznej ze sferą. Dobry opis trudności wiążących się z rozwojem liczby Eulera Poincarégo znajduje się w [19]. Rzeczywiście, dyskusja Hiltona i innych pasowałyby do argumentacji, której Lakatos użył, by przedstawić swoją rozprawę. Wydaje się, że Walter Dyck pierwszy zdał sobie sprawę, że twierdzenie Gaussa Bonneta powinno być spełnione nie tylko przez powierzchnie sferyczne. Było to w 1888 roku. Według Hirscha [13], Dyck pierwszy połączył stopień z liczbą Eulera Poincarégo i udowodnił to, co się niesłusznie nazywa twierdzeniem Gaussa Bonneta. Przeglądanie pracy Dycka pozwala zobaczyć obrazki, które przypominają standardowe rysunki teorii Morse a, rozwiniętej 50 lat później. Dyck był prawdziwym pionierem, ale podobnie jak Kartezjusz wyprzedzał swoje czasy. Samelson mówił mi, że w pracach Gaussa nie
10 72 D. H. Gottlieb możne on znaleźć wzmianki o globalnym twierdzeniu Gaussa Bonneta. Tak więc okazuje się, że globalne twierdzenie Gaussa Bonneta powinno się nazywać twierdzeniem Kartezjusza Dycka. Rzeczywiście, część tej historii pokazuje, że nazwa twierdzenia niekoniecznie jest uprawniona. Wygodnie jest mieć nazwy dla ważnych twierdzeń, ale istotniejsze wydaje się, żeby dzięki nim ludzie wiedzieli mniej więcej, czego te twierdzenia dotyczą, niż komu je zawdzięczamy. A jednak można się zadumać nad tym, że nazwisko Bonneta jest sławne, a nazwisko Dycka jest obecnie praktycznie nieznane. Od Hopfa do Cherna. Dyck pracował w czasie, gdy dwa podstawowe pojęcia stopień odwzorowania i liczba Eulera Poincarégo nie były jasno rozumiane. Pojęcia te zostały poprawnie określone i dostrzeżone jako przydatne około 1925 roku. W niemałym stopniu było to zasługą Heinza Hopfa. Największe postępy Hopf poczynił w [14]. Przede wszystkim udowodnił, że γ = χ(m)/2 dla zamkniętej parzystowymiarowej hiperpowierzchni. Czynnik 1 /2 tłumaczy się faktem, że χ(n) = χ(m)/2, gdy N jest domkniętą nieparzystowymiarową rozmaitością z brzegiem M. Ponieważ χ(m) = 0 dla domkniętej nieparzystowymiarowej rozmaitości, więc udowodnione przez Hopfa twierdzenie wydawało się niemożliwe do uogólnienia dla nieparzystowymiarowego przypadku i w szczególności nie było uogólnieniem twierdzenia o 180 stopniach, które jak przecież zobaczyliśmy jest uogólniane przez wzór Gaussa Bonneta. Ponieważ krzywizna powierzchni dwuwymiarowej jest własnością wewnętrzną, Hopf szukał wewnętrznego dowodu i uogólnienia własnego rezultatu z [16]. Robił to wielokrotnie i zainteresował paru matematyków tym problemem. Książka [8] opisuje tę historię. Używając teorii tub Hermanna Weyla, dwóch matematyków niezależnie odpowiedziało na apel Hopfa w 1940 roku. Allendoerfer [1] i Fenchel [5] odkryli, że deg(g) brzegu otoczenia tubularnego zamkniętej 2n-wymiarowej rozmaitości zanurzonej w 2r-wymiarowej przestrzeni euklidesowej równa się całce 2n-formy skonstruowanej ze składowych tensora krzywizny Riemanna i połączonych jako pfaffian. (Zagadnienia te są zbyt skomplikowane, by opisywać je tu szczegółowo.) Ponieważ otoczenie tubularne ma taką samą liczbę Eulera Poincarégo jak zanurzona w nim rozmaitość, otrzymali oni wzór na liczbę Eulera Poincarégo w terminach krzywizny Riemanna spełniony dla dowolnej rozmaitości riemannowskiej. Ten niezwykły wzór jest spełniony dla dowolnej rozmaitości Riemanna, ponieważ każdą z nich można izometrycznie
11 Historia twierdzenia Gaussa Bonneta i socjologia matematyki 73 zanurzyć w jakąś przestrzeń euklidesową. Jednakże ten ostatni rezultat nie był znany aż do lat pięćdziesiątych, kiedy to został on dowiedziony przez Nasha. Pomimo, że wzór Allendoerfera Fenchela jest prawdziwy dla zanurzonej rozmaitości, to jest on oczywiście niezależny od zanurzenia. Kiedy proszony o wewnętrzny dowód, S. S. Chern dostarczył go w 1944 roku [4], to został on tak dobrze przyjęty, że wzór Allendoerfera Fenchela często bywa nazywany wzorem (albo twierdzeniem) Gaussa Bonneta Cherna. Faktycznie, jednym z celów książki Graya [8] było nie dopuścić, żeby interesujące metody tuby nie zostały zupełnie zatopione przez silne pojęcia dowodu Cherna. SATZ VI. Przechodzimy teraz do najbardziej interesującej części historii. W 1956 roku Hopf wygłosił na Uniwersytecie Stanforda wykłady z globalnej geometrii różniczkowej. Wykłady te uhonorowano przez opublikowanie ich w 1983 roku w Lecture Notes in Mathematics Springera z numerem 1000 [17]. Na stronach Hopf opisuje swoją wersję twierdzenia Gaussa Bonneta dla wymiarów parzystych. Nie wspomina o wersji dla nieparzystych wymiarów. Z tego powodu i na skutek różnych rozmów napisałem następujące trzy akapity. Jest jasne, że w tym czasie Hopf nie wiedział, iż twierdzenie Gaussa Bonneta jest prawdziwe dla wszystkich wymiarów, a co za tym idzie jest uogólnieniem twierdzenia o 180 stopniach. W przeciwnym razie jeśli wiedział to miał kłopot, jak je przedstawić. Hopf na pewno od wielu lat znał wszystkie składniki dowodu we wszystkich wymiarach, a dowód jest tak samo trudny, jak jego parzystowymiarowy odpowiednik. Wydawałoby się, że gdyby znał wersję prawdziwą dla wszystkich wymiarów, to nie powinien był szukać dowodu wewnętrznego, nie mając go w wymiarach nieparzystych. Wtedy dwie bardzo owocne linie badań prawdopodobnie nie zostałyby podjęte. Jednakże paru topologów znało twierdzenie Gaussa Bonneta Hopfa w połowie lat pięćdziesiątych, wśród nich Milnor i Lashof. Chyba nikt nie wie, kto pierwszy sformułował to twierdzenie. W tym czasie prowadzone były wyrafinowane uogólnienia i badania nad stopniem normalnym deg(γ), na przykład [18] i [20]. Dopiero co Bredon w swoim podręczniku [2] po prostu sformułował i dowiódł ten rezultat jako Twierdzenie (Lefschetz). Wyprowadza on je jako wniosek z twierdzenia Lefschetza o punkcie stałym odwzorowania. Twierdzenie Gaussa Bonneta Hopfa zaistniało ostatecznie w literaturze w 1960 roku dzięki Samelsonowi [22] i Haefligerowi [11], lecz w jeszcze ogólniejszej formie: Niech N będzie zwartą n-wymiarową rozmaitością z brzegiem M i niech f : N R n będzie immersją. Wtedy nadal można określić odwzorowanie Gaussa γ : M S n 1 oraz spełniony jest wzór deg(γ) = χ(n).
12 74 D. H. Gottlieb Po napisaniu tych słów otrzymałem list od Hansa Samelsona. We wcześniejszej korespondencji pytałem go, czy wie, kto pierwszy odkrył twierdzenie Gaussa Bonneta Hopfa. W końcu to on je uogólnił w [22], a na dodatek jest znawcą twierdzenia Gaussa Bonneta i był studentem Heinza Hopfa! Samelson sądził, że to Morse pierwszy je udowodnił. Nie mógł znaleźć odnośnika i na wyczucie spojrzał do pracy Hopfa z roku 1927 [15]. Na 248 stronie tej pracy, jako Satz VI, sformułowane jest twierdzenie Gaussa Bonneta Hopfa dla wszystkich wymiarów! Świadectwem geniuszu Hopfa jest fakt, że mimo iż znał on Satz VI dla wszystkich wymiarów, to świadomość, że parzystowymiarowy przypadek był spełniony nie tylko dla zanurzenia, a również dla immersji (pojęcia niezbyt wtedy dobrze rozróżniane), musiała doprowadzić go do przypuszczenia, że w parzystowymiarowym przypadku istnieje dowód wewnętrzny. Odwzorowanie różniczkowalne między dwiema rozmaitościami tego samego wymiaru jest immersją, jeśli jakobian odwzorowania nigdzie się nie zeruje. Jest ono zanurzeniem, jeśli jest w dodatku różnowartościowe. Stąd immersje są różnowartościowe w małym otoczeniu dowolnego punktu, podczas gdy zanurzenia są różnowartościowe w ogóle. To rozróżnienie można rozszerzyć na odwzorowania rozmaitości dowolnych wymiarów. Satz VI, to jest twierdzenie Gaussa Bonneta Hopfa, zostało dowiedzione tylko dla zanurzeń, podczas gdy Hopf wykazał w [14], że dla parzystowymiarowej rozmaitości M, dla której istnieje immersja w przestrzeń euklidesową wymiaru o jeden wyższy niż wymiar M, prawdziwy jest wzór deg(γ) = χ(m)/2. Nawiasem mówiąc, ponieważ M lokalnie jest zanurzona w przestrzeni euklidesowej, to istnieje kierunek normalny, zatem określone jest odwzorowanie Gaussa γ. Różnicę między nieparzysto- i parzystowymiarowymi przypadkami można łatwo zilustrować przykładem. Immersja okręgu w płaszczyznę może mieć dowolny stopień normalny, ale immersja sfery dwuwymiarowej w trójwymiarową przestrzeń musi mieć stopień normalny równy jedynce. Tak więc dowód z [14] nie okazał się zbyteczny pomimo, że Hopf udowodnił Satz VI w tym pierwszym bowiem dostrzegł i docenił wewnętrzność. Zatem swoją pracą [16] zainspirował geometrów do szukania wewnętrznego dowodu parzystowymiarowego twierdzenia Gaussa Bonneta Hopfa. Zadał również pytanie o możliwe stopnie normalne immersji dla nieparzystowymiarowej M. Zaowocowało to piękną pracą Milnora [20], a następnie [3], gdzie pokazano, że stopień normalny może przybierać dowolne całkowite nieparzyste wartości.
13 Historia twierdzenia Gaussa Bonneta i socjologia matematyki 75 stopień normalny = 0 stopień normalny = 2 stopień normalny = 1 stopień normalny = 1 Rysunek 7. Niezadane pytanie. Spoglądając w przeszłość widzimy, że zadanie, jakie postawił sobie Hopf, sprowadzało się do następującego: Znaleźć wzór wyrażający χ(m) w terminach tensora krzywizny dla parzystowymiarowej rozmaitości Riemanna. Bardziej sensowne byłoby zadanie: Znaleźć wzór wyrażający deg(γ) we wszystkich wymiarach. Nikt go nie zadał. Rozwiązanie jednakże zostało znalezione. Jest nim to, co nazwę topologicznym twierdzeniem Gaussa Bonneta w odróżnieniu od twierdzenia Gaussa Bonneta Cherna. To twierdzenie natychmiast pociąga za sobą dowód Satz VI, jak również dowód immersyjngo przypadku parzystowymiarowej części dowodu z [14]. Dowód tego twierdzenia nie wymaga niczego, czego by nie znano w 1929 roku. Jest całkowicie zewnętrzny. Gdyby Hopf odkrył ten dowód, to wydaje się mało prawdopodobne, by rozpatrywał wewnętrzny dowód z [14], zatem nie odkryto by tak szybko pewnej bardzo ważnej matematyki. Co do wzoru Allendoerfera Fenchela, znanego teraz jako wzór Gaussa Bonneta Cherna, nie mógł zostać odkryty przypadkiem. Jest na to zbyt skomplikowany. Szukali go bardzo utalentowani matematycy. Topologiczne twierdzenie Gaussa Bonneta przeciwnie jest wystarczająco proste, by mogło zostać odkryte przypadkiem. I zostało! Twierdzenie (topologiczne Gaussa Bonneta). Niech f : N R n będzie odwzorowaniem, którego jakobian nie zeruje się na zorientowanej rozmaitości M będącej brzegiem n-wymiarowej rozmaitości N. Niech ponadto x będzie rzutowaniem z R n na którąś z osi oraz (x f) będzie
14 76 D. H. Gottlieb gradientowym polem wektorowym złożenia (x f), a Ind jego indeksem. Wówczas deg(γ) = χ(n) Ind( (x f)). Fakt, że jakobian odwzorowania f nie zeruje się na brzegu M, oczywiście oznacza, że f jest immersją na M. Ponieważ złożenie (x f) jest odwzorowaniem z N do prostej rzeczywistej R, to w znany z analizy matematycznej sposób można dla niego zdefiniować pole gradientowe, które jest polem wektorowym na N. Indeks pola wektorowego nowe pojęcie w tym artykule jest kolejnym niezmiennikiem topologicznym antycypującym początki topologii algebraicznej. Dla dwuwymiarowych pól wektorowych zdefiniował go Poincaré pod koniec dziewiętnastego wieku. Hopf uogólnił indeks pola wektorowego dla rozmaitości dowolnego wymiaru i użył tego pojęcia w swoich dowodach twierdzenia Gaussa Bonneta Hopfa w [14] i [15]. Indeks pola wektorowego V jest liczbą całkowitą. Jest on ściśle związany ze stopniem odwzorowania, jednak został zdefiniowany wcześniej niż to pojęcie. W odróżnieniu od stopnia odwzorowania, najlepsza definicja indeksu niekoniecznie wymaga teorii homologii. W istocie, można go zdefiniować przy pomocy prostej tożsamości. W 1929 roku Morse [21] odkrył piękne równanie, w którym występuje indeks pola wektorowego V na zwartej rozmaitości N z brzegiem M. Równanie to nazywam prawem pól wektorowych. Twierdzenie (prawo pól wektorowych). Niech V będzie polem wektorowym określonym na N, i przypuśćmy, że V nie zeruje się na brzegu M. Wtedy Ind V + Ind V = χ(n), gdzie V jest polem wektorowym indukowanym przez V i określonym na tej części brzegu M, na której V skierowane jest do wnętrza. Pole wektorowe V jest indukowane przez V przez wzięcie składowej pola wektorowego V stycznej do brzegu. Ponieważ V jest zdefiniowane na przestrzeni wymiaru o jeden niższego części brzegu M rozmaitości N indukcyjny schemat obliczania indeksu nasuwa się sam. Istotnie, prawo pól wektorowych jest indukcyjną definicją indeksu pól wektorowych [9]. Jest to elementarna, ale zręczna topologia. Niemniej cała teoria Ind(V ) wysnuwa się z prostego równania postaci A plus B równa się C. To równanie jest kluczem do ostatniej części tej opowieści. Wśród konsekwencji łatwo wynikających z prawa pól wektorowych są dwie dobrze znane własności indeksu, które w połączeniu z topologicz-
15 Historia twierdzenia Gaussa Bonneta i socjologia matematyki 77 nym twierdzeniem Gaussa Bonneta dają wszystkie poprzednie globalne rezultaty mające w nazwie nazwiska Gaussa i Bonneta: 1. Jeśli V jest polem wektorowym bez zer, to Ind V = Jeśli V jest polem wektorowym na nieparzystowymiarowej rozmaitości, wtedy Ind( V ) = Ind(V ), gdzie V jest polem wektorowym, w którym każdy wektor V ma zmieniony znak. Twierdzenie Gaussa Bonneta Hopfa wynika natychmiast z pierwszej własności, gdyż jeśli f jest zanurzeniem, wówczas pole wektorowe (x f) jest równe po prostu x, to jest stałemu polu wektorowemu równoległemu do osi x, ograniczonemu do N. Nie ma ono miejsc zerowych, więc stosując topologiczne twierdzenie Gaussa Bonneta z indeksem zero dostajemy twierdzenie Gaussa Bonneta Hopfa. Jeśli f jest immersją, to pole wektorowe (x f) nadal nie ma miejsc zerowych (ponieważ x f nie ma punktów krytycznych). Otrzymujemy więc uogólnienie Samelsona i Haefligera twierdzenia Gaussa Bonneta Hopfa z zanurzeń na immersje. Z drugiej strony, pierwsza wersja Hopfa w [14] mówiąca, że dla parzystowymiarowej rozmaitości M mającej immersję w R n+1 mamy deg(γ) = χ(m)/2, wynika z własności numer 2. Jeśli w topologicznym twierdzeniu Gaussa Bonneta oś x wybierzemy tak, by zmieniła zwrot, odwracamy kierunek pola gradientowego. Pozostałe dwa składniki w topologicznym twierdzeniu Gaussa Bonneta na pewno nie zależą od tego, w którą stronę skierowana jest oś x. Mamy więc Ind( (x f)) = 0. Stąd deg(γ) = χ(n) = χ(m)/2. Ostatnia równość wynika stąd, że liczba Eulera Poincarégo dla parzystowymiarowego brzegu M jest dwa razy większa niż liczba Eulera Poincarégo rozmaitości, której jest brzegiem. Pozostaje do wyjaśnienia jeden punkt. Czy każda orientowalna rozmaitość M mająca immersję w przestrzeń euklidesową kowymiaru jeden jest brzegiem rozmaitości N takiej, że tę immersję można rozszerzyć do jakiegoś f? Odpowiedź jest pozytywna. Muszę jednak przyznać, że moje uzasadnienie tego faktu było natychmiastowym wnioskiem ze sławnego wyniku Thoma dotyczącego teorii bordyzmu i liczb Stiefela Whitneya, które pojawiły się w latach pięćdziesiątych. Przypadkowe odkrycie. Prawo pól wektorowych zostało odkryte przez Morse a w 1929 roku [21]. Mimo interesującego podobieństwa z Satz VI, Morse rzadko odnosił się do tego rezultatu ani nie wykorzystał jego możliwości. Być może dlatego, że wymyślał teorię Morse a; a może podświadomie jak wielu topologów był przekonany, że wszystkie pola wektorowe są gradientowe. W każdym razie tego rezultatu nie wyko-
16 78 D. H. Gottlieb rzystano i praktycznie o nim zapomniano. Gdy odkryłem go na nowo w latach osiemdziesiątych, to prawie rok rozpytywałem, zanim ktoś powiedział mi o pracy [21]. Zakończenie. Dziesięć lat temu podzielałem powszechne mylne wyobrażenie o tym, jak powstaje matematyka. Nie znałem lekcji wynikającej z tej opowieści. Byłem więc wstrząśnięty odkrywając, że większość topologów nie zna związków, które uważam za podstawowe, spełnianych przez dwa klasyczne topologiczne pojęcia: indeksu i liczby Eulera Poincarégo. Pomyślałem, że być może istnieją jakieś nieznane interesujące wnioski z prawa pól wektorowych. Wymyśliłem prosty schemat próbowania i stosowania prawa pól wektorowych. Patrzyłem na interesujące pola wektorowe i stosowałem do nich równanie. Miewałem pewne sukcesy przy różnych wyborach. Gdy zastosowałem je do czegoś, co nazwałem cofniętym polem wektorowym (ang. pullback vector field), które uogólnia gradient, otrzymałem równanie obejmujące stopień normalny i liczbę Eulera Poincarégo [6, 7]. Trochę potrwało, zanim przyszło mi do głowy, że uogólniłem twierdzenie Gaussa Bonneta. Uproszczona wersja tego rezultatu jest topologicznym twierdzeniem Gaussa Bonneta, jak podano powyżej. Jedynym uproszczeniem jest to, że otrzymałem ten rezultat dla pól gradientowych, a to pojęcie jest dobrze znane z rachunku różniczkowego. W istocie jednak cofnięte pola wektorowe mogą być nawet łatwiejsze niż gradienty. Wnioski. Mandelbrot, proponując nazwę fraktale skarżył się, że matematycy nie nadają nazw pojęciom i twierdzeniom. Miał rację. W najgłębszym sensie, ta historia toczy się wokół nazywania twierdzeń i krzywizn. Ale pokazuje ona również, że liczne z powszechnych przekonań, z którymi dorastaliśmy, bywają błędne; że wielcy ludzie nie pomijają prostych punktów widzenia; że nie można osiągnąć wielkich rezultatów przy zastosowaniu starych metod; że nie można odkryć czegoś dobrego, o ile się nie zada właściwego pytania; że matematyka rozwija się głównie dzięki wysiłkowi kilku wybitnych matematyków (to szczególne błędne wyobrażenie historycy nauk ścisłych nazywają efektem Mateusza). Wydaje mi się że to, co przytrafiło się twierdzeniu Gaussa Bonneta przytrafiało się bardzo często najlepszym z naszych matematycznych pomysłów. Wydaje się, że nikt nie wie, kto wynalazł współrzędne kartezjańskie, albo kto pierwszy pomyślał o wyżej wymiarowych przestrzeniach. Wielkim matematykom zdarzało się lekceważyć idee, które później zakwitły i zdominowały matematykę. Pojęcia z obecnego punktu widzenia wyglądające na łatwe, bywały trudne do przyswojenia przez naszych wielkich poprzedników.
17 Historia twierdzenia Gaussa Bonneta i socjologia matematyki 79 To, co wydaje się teraz być trywialnym, było kiedyś najtrudniejszą częścią matematyki: nieskończoność, prędkość i przyśpieszenie, dowolne aksjomaty, grupy abstrakcyjne, funkcje. Ostatecznie, ta historia pokazuje, że matematyczne wyzwania mogą mieć wielkie i dobre następstwa dla rozwoju matematyki, nawet jeśli opierają się na błędnych przesłankach. Jako zastosowanie tej ostatniej lekcji podejmę matematyczno-historyczne wyzwanie. Zgódźmy się, że jedno twierdzenie jest uogólnieniem drugiego twierdzenia, jeśli to drugie ma krótki dowód, wynikający w dominującej części z pierwszego. W takim razie proponuję Punktację Historycznej Sławy dowolnego twierdzenia: P H S jest iloczynem trzech liczb P, H, i S. H jest procentem historii matematyki nieodkrytej między momentem, gdy został dowiedziony pierwszy interesujący szczególny przypadek a momentem, gdy zostało dowiedzione jego uogólnienie. Za początek historii matematyki zostanie uznany rok 300 przed Chr. na cześć Euklidesa, wobec niedostępności dokładnych wcześniejszych dat. P jest procentem matematyków, którzy znają najsławniejszy szczególny przypadek uogólnienia twierdzenia. S jest procentem rezultatów ściśle się wiążących z tematem uogólnianego twierdzenia, który otrzymuje nowe dowody, albo nowy wgląd, albo nowe wnioski z uogólnianego twierdzenia. Maksymalny wynik jest równy milion. Oceniam, że topologiczne twierdzenie Gaussa Bonneta otrzymuje maksymalny wynik. Wyzwaniem jest znalezienie uogólnień z porównywalnymi wynikami. Bibliografia [1] C. B. Allendoerfer, The Euler Number of a Riemannian manifold, Amer. J. Math. 62 (1940), [2] G. E. Bredon, Topology and Geometry, Graduate Text in Mathematics, New York, [3] G. E. Bredon, A. Kosinski, Vector fields on Π-manifolds, Annals of Math. 84 (1966), [4] S. S. Chern, A simple intrinsic proof of the Gauss Bonnet theorem for closed Riemannian manifolds, Annals of Math. 45 (1944), [5] W. Fenchel, On the total curvature of Riemannian manifolds, I, J. London Math. Soc. 15 (1940), [6] D. H. Gottlieb, On the index of pullback vector fields, Lecture Notes in Mathematics, vol. 1350, Springer Verlag, 1987.
18 80 D. H. Gottlieb [7] D. H. Gottlieb, Zeroes of pullback vector fields and fixed point theory for bodies, Contemporary Mathematics 96 (1989), [8] A. Gray, Tubes, Addison Wesley, Redwood City California, [9] D. H. Gottlieb, G. Samaranayake, Index of discontinuous vector fields, New York J. Math. 1 (1994/95), [10] B. Grünbaum, G. C. Shephard, A new look at Euler s Theorem for polyhedra, Amer. Math. Monthly 101 (1994), [11] A. Haefliger, Quelques remarques sur les applications differentiables d une surface dans le plan, Ann. Inst. Fourier 10 (1960), [12] P. J. Hilton, J. Pederson, Euler s Theorem for polyhedra: A Topologist and a Geometer respond, Amer. Math. Monthly 101 (1994), [13] M. W. Hirsch, Differential Topology, Springer Verlag, New York, [14] H. Hopf, Über die Curvatura integra geschlossener Hyperflächen, Math. Ann. 95 (1925), [15] H. Hopf, Vektorfelder in n-dimensionalen Mannigfaltigkeiten, Math. Ann. 96 (1927), [16] H. Hopf, Differential Geometrie und Topological Gestalt, Jahresbericht der Deutcher Math. Verein. 41 (1932), [17] H. Hopf, Differential Geometry in the Large: Seminar Lectures NYU 1946 and Stanford 1956, Lecture Notes in Mathematics, vol. 1000, Springer Verlag, [18] M. E. Kervaire, Courbure integrale generalisee et homotopie, Math. Ann. 131 (1956), [19] I. Lakatos, Proofs and Refutations: The Logic of Mathematical Discovery, Cambridge University Press, Cambridge, [20] J. W. Milnor, On the immersion of n-manifolds in (n + 1)-dimensional space, Commentarii Math. Helvetici 30 (1956), [21] M. Morse, Singular points of vector fields under general boundary conditions, Amer. J. Math 51 (1929), [22] H. Samelson, On immersion of manifolds, Canadian J. Math. 12 (1960), [23] H. Samelson, Descartes and Differential Geometry, in: Geometry, Topology, and Physics for Raoul Bott (S. T. Yau, ed.), International Press, Boston, [24] J. Stillwell, Mathematics and its History, Springer Verlag, New York, [25] M. Spivak, A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, 2nd ed., vol. 1 5, Publish or Perish, Houston, Daniel Henry Gottlieb Department of Mathematics Purdue University gottlieb@math.purdue.edu
Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013
Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 013 3.4.1 Inwersja względem okręgu. Inwersja względem okręgu jest przekształceniem płaszczyzny
Bardziej szczegółowoRozkład figury symetrycznej na dwie przystające
Rozkład figury symetrycznej na dwie przystające Tomasz Tkocz 10 X 2010 Streszczenie Tekst zawiera notatki do referatu z seminarium monograficznego Wybrane zagadnienia geometrii. Całość jest oparta na artykule
Bardziej szczegółowoKrzywa uniwersalna Sierpińskiego
Krzywa uniwersalna Sierpińskiego Małgorzata Blaszke Karol Grzyb Streszczenie W niniejszej pracy omówimy krzywą uniwersalną Sierpińskiego, zwaną również dywanem Sierpińskiego. Pokażemy klasyczną metodę
Bardziej szczegółowoMETODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ
METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ Wykład 3 Elementy analizy pól skalarnych, wektorowych i tensorowych Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 1 Analiza
Bardziej szczegółowoGeometria. Rozwiązania niektórych zadań z listy 2
Geometria. Rozwiązania niektórych zadań z listy 2 Inne rozwiązanie zadania 2. (Wyznaczyć równanie stycznej do elipsy x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 w dowolnym jej punkcie (x 0, y 0 ). ) Przypuśćmy, że krzywa na
Bardziej szczegółowoCzy kwadrat da się podzielić na nieparzystą liczbę trójkątów o równych polach? Michał Kieza
Czy kwadrat da się podzielić na nieparzystą liczbę trójkątów o równych polach? Michał Kieza Łatwo zauważyć, że kwadrat można podzielić na 2, 4, 6,..., a także na dowolną parzystą liczbę trójkątów o równych
Bardziej szczegółowoCharakterystyka Eulera Sławomir Cynk
Charakterystyka Eulera Sławomir Cynk 22 listopada 2001 roku Leonard Euler ur. 15 kwietnia 1707 w Bazylei (Szwajcaria) zm. 18 września 1783 w St. Petersburgu (Rosja). Wzór Eulera Twierdzenie 1. Dla dowolnego
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji odwrotnej
Pochodna funkcji odwrotnej Niech będzie dana w przedziale funkcja różniczkowalna i różnowartościowa. Wiadomo, że istnieje wówczas funkcja odwrotna (którą oznaczymy tu : ), ciągła w przedziale (lub zależnie
Bardziej szczegółowoZajęcia nr. 3 notatki
Zajęcia nr. 3 notatki 22 kwietnia 2005 1 Funkcje liczbowe wprowadzenie Istnieje nieskończenie wiele funkcji w matematyce. W dodaktu nie wszystkie są liczbowe. Rozpatruje się funkcje które pobierają argumenty
Bardziej szczegółowoKRZYŻÓWKA 2. 11. Może być np. równoboczny lub rozwartokątny. Jego pole to a b HASŁO:
KRZYŻÓWKA.Wyznaczają ją dwa punkty.. Jego pole to π r² 3. Jego pole to a a 4.Figura przestrzenna, której podstawą jest dowolny wielokąt, a ściany boczne są trójkątami o wspólnym wierzchołku. 5.Prosta mająca
Bardziej szczegółowoAnaliza na rozmaitościach Calculus on Manifolds. Matematyka Poziom kwalifikacji: II stopnia
Nazwa przedmiotu: Kierunek: Rodzaj przedmiotu: Przedmiot obowiązkowy dla wszystkich specjalności Rodzaj zajęć: Liczba godzin/tydzień: Liczba punktów: wykład, ćwiczenia W, C 5 ECTS PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Bardziej szczegółowoRozdział 2. Liczby zespolone
Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ MATEMATYKI KARTA PRZEDMIOTU
WYDZIAŁ MATEMATYKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim: GEOMETRIA I TOPOLOGIA RÓŻNICZKOWA Nazwa w języku angielskim: DIFFERENTIAL GEOMETRY AND TOPOLOGY Kierunek studiów (jeśli dotyczy): MATEMATYKA
Bardziej szczegółowoZagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych
Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta
Bardziej szczegółowoTeoria miary. WPPT/Matematyka, rok II. Wykład 5
Teoria miary WPPT/Matematyka, rok II Wykład 5 Funkcje mierzalne Niech (X, F) będzie przestrzenią mierzalną i niech f : X R. Twierdzenie 1. NWSR 1. {x X : f(x) > a} F dla każdego a R 2. {x X : f(x) a} F
Bardziej szczegółowoWażną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. u = 0, (6.1) jest operatorem Laplace a. (x,y)
Wykład 6 Funkcje harmoniczne Ważną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. e f i n i c j a Funkcję u (x 1, x 2,..., x n ) nazywamy harmoniczną w obszarze R n wtedy i
Bardziej szczegółowoSIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Pitagorasa
Imię Nazwisko: Paweł Rogaliński Nr indeksu: 123456 Grupa: wtorek 7:30 Data: 10-10-2012 Twierdzenie Pitagorasa Tekst artykułu jest skrótem artykułu Twierdzenie Pitagorasa zamieszczonego w polskiej edycji
Bardziej szczegółowoO geometrii semialgebraicznej
Inauguracja roku akademickiego 2018/2019 na Wydziale Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Łódzkiego O geometrii semialgebraicznej Stanisław Spodzieja Łódź, 28 września 2018 Wstęp Rozwiązywanie równań
Bardziej szczegółowoDyskretna teoria Morse a
Dyskretna teoria Morse a Toruńska Letnia Szkoła Matematyki 2011 Michał Kukieła Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu θ R θ Klasyczna teoria Morse a M n - zwarta rozmaitość gładka bez brzegu, f : M n
Bardziej szczegółowoPochodną funkcji w punkcie (ozn. ) nazywamy granicę ilorazu różnicowego:
Podstawowe definicje Iloraz różnicowy funkcji Def. Niech funkcja będzie określona w pewnym przedziale otwartym zawierającym punkt. Ilorazem różnicowym funkcji w punkcie dla przyrostu nazywamy funkcję Pochodna
Bardziej szczegółowoII. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia.
II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia. Definicja 1.1. Niech Q R n, n 1, będzie danym zbiorem i niech f : Q R n będzie daną funkcją określoną na Q. Równanie różniczkowe postaci (1.1) x = f(x),
Bardziej szczegółowoLI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów)
LI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Dana jest liczba całkowita n 2. Wyznaczyć liczbę rozwiązań (x 1,x
Bardziej szczegółowoRodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki.
3. Funkcje borelowskie. Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. (1): Jeśli zbiór Y należy do rodziny F, to jego dopełnienie X
Bardziej szczegółowoPLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1
PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 Planimetria to dział geometrii, w którym przedmiotem badań są własności figur geometrycznych leżących na płaszczyźnie (patrz określenie płaszczyzny). Pojęcia
Bardziej szczegółowoWykład 9. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/ listopada 2011
Wykład 9. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/2012 4 listopada 2011 W trakcie poprzedniego wykładu zdefiniowaliśmy pojęcie k-kowektora na przestrzeni wektorowej. Wprowadziliśmy także iloczyn zewnętrzny wielokowektorów
Bardziej szczegółowoZ czterech wierzchołków w głąb geometrii
Paweł Walczak Uniwersytet Łódzki 7 października 2009 Ogólny problem Problem Dla danej wielkości (funkcji, pola wektorowego, pola tensorowego) i danego niezmiennika geometrycznego (krzywizny pewnego typu,
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II
ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II POZIOM ROZSZERZONY Równania i nierówności z wartością bezwzględną. rozwiązuje równania i nierówności
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.
Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki
Bardziej szczegółowoKatalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć
Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Matematyka. Poznać, zrozumieć Kształcenie w zakresie rozszerzonym. Klasa 4 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego
Bardziej szczegółowoLUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 09 MARCA Kartoteka testu. Maksymalna liczba punktów. Nr zad. Matematyka dla klasy 3 poziom podstawowy
Matematyka dla klasy poziom podstawowy LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 09 MARCA 06 Kartoteka testu Nr zad Wymaganie ogólne. II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.. II. Wykorzystanie i interpretowanie
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do struktur o-minimalnych
Wprowadzenie do struktur o-minimalnych Piotr Pokora 22.02.2009 1 Wprowadzenie do struktur o-minimalnych i pojęcia wstępne Na początku lat 80-tych Pillay i Steinhorn wprowadzili pojęcie o-minimalności bazując
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Sobolewa
Wykład 11 Informacja o przestrzeniach Sobolewa 11.1 Definicja przestrzeni Sobolewa Niech R n będzie zbiorem mierzalnym. Rozważmy przestrzeń Hilberta X = L 2 () z iloczynem skalarnym zdefiniowanym równością
Bardziej szczegółowoMatematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)
Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),
Bardziej szczegółowoZasada indukcji matematycznej
Zasada indukcji matematycznej Twierdzenie 1 (Zasada indukcji matematycznej). Niech ϕ(n) będzie formą zdaniową zmiennej n N 0. Załóżmy, że istnieje n 0 N 0 takie, że 1. ϕ(n 0 ) jest zdaniem prawdziwym,.
Bardziej szczegółowoW naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.
1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy
Bardziej szczegółowodomykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów
1 of 8 2012-03-28 17:45 Logika i teoria mnogości/wykład 5: Para uporządkowana iloczyn kartezjański relacje domykanie relacji relacja równoważności rozkłady zbiorów From Studia Informatyczne < Logika i
Bardziej szczegółowoGeometria Różniczkowa II wykład piąty
Geometria Różniczkowa II wykład piąty Wykład piąty poświęcony będzie pojęciu całkowalności dystrybucji oraz fundamentalnemu dal tego zagadnienia twierdzeniu Frobeniusa. Przy okazji postanowiłam sprawdzić
Bardziej szczegółowoWeronika Łabaj. Geometria Bolyaia-Łobaczewskiego
Weronika Łabaj Geometria Bolyaia-Łobaczewskiego Tematem mojej pracy jest geometria hiperboliczna, od nazwisk jej twórców nazywana też geometrią Bolyaia-Łobaczewskiego. Mimo, że odkryto ją dopiero w XIX
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki dla kl. 2 Gimnazjum Publicznego im. Jana Pawła II w Żarnowcu w roku szkolnym 2016/2017
NAUCZYCIEL: edukacyjne z matematyki dla kl. 2 Gimnazjum Publicznego im. Jana Pawła II w Żarnowcu w roku szkolnym 2016/2017 mgr Dorota Maj PODRĘCZNIK: Liczy się matematyka WYD. WSiP Na lekcjach matematyki
Bardziej szczegółowoWykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne.
Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. pytania teoretyczne:. Co to znaczy, że wektory v, v 2 i v 3
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE III GIMNAZJUM
WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE III GIMNAZJUM OCENA ŚRÓDROCZNA: NIEDOSTATECZNY ocenę niedostateczny otrzymuje uczeń, który
Bardziej szczegółowoTemperatura w atmosferze (czy innym ośrodku) jako funkcja dł. i szer. geogr. oraz wysokości.
Własności Odległości i normy w Będziemy się teraz zajmować funkcjami od zmiennych, tzn. określonymi na (iloczyn kartezja/nski egzemplarzy ). Punkt należący do będziemy oznaczać jako Przykł. Wysokość terenu
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 7/15 Rachunek różnicowy Dobrym narzędziem do obliczania skończonych sum jest rachunek różnicowy. W rachunku tym odpowiednikiem operatora
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania z teorii liczb
Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę
Bardziej szczegółowoTechnikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z obowiązkowych
Bardziej szczegółowoInformatyk i matematyk: dwa spojrzenia na jedno zadanie (studium przypadku) Krzysztof Ciebiera, Krzysztof Diks, Paweł Strzelecki
Informatyk i matematyk: dwa spojrzenia na jedno zadanie (studium przypadku) Krzysztof Ciebiera, Krzysztof Diks, Paweł Strzelecki Zadanie (matura z informatyki, 2009) Dane: dodatnia liczba całkowita R.
Bardziej szczegółowoMgr Kornelia Uczeń. WYMAGANIA na poszczególne oceny-klasa VII-Szkoła Podstawowa
Mgr Kornelia Uczeń WYMAGANIA na poszczególne oceny-klasa VII-Szkoła Podstawowa Oceny z plusem lub minusem otrzymują uczniowie, których wiadomości i umiejętności znajdują się na pograniczu wymagań danej
Bardziej szczegółowoNastępnie przypominamy (dla części studentów wprowadzamy) podstawowe pojęcia opisujące funkcje na poziomie rysunków i objaśnień.
Zadanie Należy zacząć od sprawdzenia, co studenci pamiętają ze szkoły średniej na temat funkcji jednej zmiennej. Na początek można narysować kilka krzywych na tle układu współrzędnych (funkcja gładka,
Bardziej szczegółowoLUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2017 poziom podstawowy
LUELSK PRÓ PRZE MTURĄ 07 poziom podstawowy Schemat oceniania Uwaga: kceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne i spełniające warunki zadania (podajemy kartotekę zadań, gdyż łatwiej będzie
Bardziej szczegółowo13. Równania różniczkowe - portrety fazowe
13. Równania różniczkowe - portrety fazowe Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - portrety fazowe 1 /
Bardziej szczegółowoZbiory wypukłe i stożki
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 28 kwietnia 2016 Hiperpłaszczyzna i półprzestrzeń Definicja Niech a R n, a 0, b R. Zbiór H(a, b) = {x R n : (a x) = b} nazywamy hiperpłaszczyzną, zbiory {x R
Bardziej szczegółowoGeometria Lista 0 Zadanie 1
Geometria Lista 0 Zadanie 1. Wyznaczyć wzór na pole równoległoboku rozpiętego na wektorach u, v: (a) nie odwołując się do współrzędnych tych wektorów; (b) odwołując się do współrzędnych względem odpowiednio
Bardziej szczegółowoZakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/
Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ MATEMATYKA Klasa III ZAKRES PODSTAWOWY Dział programu Temat Wymagania. Uczeń: 1. Miara łukowa kąta zna pojęcia: kąt skierowany, kąt
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. x + 2 = 0.
Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą
Bardziej szczegółowoGEOMETRIA ELEMENTARNA
Bardo, 7 11 XII A. D. 2016 I Uniwersytecki Obóz Olimpiady Matematycznej GEOMETRIA ELEMENTARNA materiały przygotował Antoni Kamiński na podstawie zbiorów zadań: Przygotowanie do olimpiad matematycznych
Bardziej szczegółowoElementy rachunku różniczkowego i całkowego
Elementy rachunku różniczkowego i całkowego W paragrafie tym podane zostaną elementarne wiadomości na temat rachunku różniczkowego i całkowego oraz przykłady jego zastosowania w fizyce. Małymi literami
Bardziej szczegółowo1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia.
1. Elementy logiki i algebry zbiorów 1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. Funkcje zdaniowe. Zdania z kwantyfikatorami oraz ich zaprzeczenia.
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki
Wymagania edukacyjne z matematyki Poziom podstawowy Klasa IIIb r.szk. 2014/2015 PLANIMETRIA(1) rozróżnia trójkąty: ostrokątne, prostokątne, rozwartokątne stosuje twierdzenie o sumie miar kątów w trójkącie
Bardziej szczegółowoWykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2
Wykład 16 Geometria analityczna Przegląd wiadomości z geometrii analitycznej na płaszczyźnie rtokartezjański układ współrzędnych powstaje przez ustalenie punktu początkowego zwanego początkiem układu współrzędnych
Bardziej szczegółowoKONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM. Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie
KONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM ETAP I TEST II Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie 1. A. Stosunek pola koła wpisanego w kwadrat o boku długości 6 do pola koła opisanego na tym kwadracie
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY CZWARTEJ H. zakres rozszerzony. Wiadomości i umiejętności
WYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY CZWARTEJ H. zakres rozszerzony Funkcja wykładnicza i funkcja logarytmiczna. Stopień Wiadomości i umiejętności -definiować potęgę
Bardziej szczegółowoRozdział 5. Twierdzenia całkowe. 5.1 Twierdzenie o potencjale. Będziemy rozpatrywać całki krzywoliniowe liczone wzdłuż krzywej C w przestrzeni
Rozdział 5 Twierdzenia całkowe 5.1 Twierdzenie o potencjale Będziemy rozpatrywać całki krzywoliniowe liczone wzdłuż krzywej w przestrzeni trójwymiarowej, I) = A d r, 5.1) gdzie A = A r) jest funkcją polem)
Bardziej szczegółowoSTEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH
STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI 2 proste
Bardziej szczegółowoMechanika. Wykład 2. Paweł Staszel
Mechanika Wykład 2 Paweł Staszel 1 Przejście graniczne 0 2 Podstawowe twierdzenia o pochodnych: pochodna funkcji mnożonej przez skalar pochodna sumy funkcji pochodna funkcji złożonej pochodna iloczynu
Bardziej szczegółowoLiczby pierwsze rozmieszczenie. Liczby pierwsze rozmieszczenie
Rozmieszczenie liczb pierwszych Wprowadzamy funkcję π(x) def = p x 1, liczbę liczb pierwszych nie przekraczających x. Łatwo sprawdzić: π(12) = 5 (2, 3, 5, 7, 11); π(17) = 7 (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17). Jeszcze
Bardziej szczegółowoWymagania na poszczególne oceny w klasie II gimnazjum do programu nauczania MATEMATYKA NA CZASIE
Wymagania na poszczególne oceny w klasie II gimnazjum do programu nauczania MATEMATYKA NA CZASIE Wymagania konieczne K dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, powinien je
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA KLASA 8 DZIAŁ 1. LICZBY I DZIAŁANIA
WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA KLASA 8 DZIAŁ 1. LICZBY I DZIAŁANIA zna znaki używane do zapisu liczb w systemie rzymskim; zna zasady zapisu liczb w systemie rzymskim; umie zapisać
Bardziej szczegółowoKształcenie w zakresie rozszerzonym. Klasa IV
Kształcenie w zakresie rozszerzonym. Klasa IV Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego działu, aby uzyskać poszczególne stopnie. Na ocenę dopuszczającą uczeń powinien opanować
Bardziej szczegółowoSTAN NAPRĘŻENIA. dr hab. inż. Tadeusz Chyży
STAN NAPRĘŻENIA dr hab. inż. Tadeusz Chyży 1 SIŁY POWIERZCHNIOWE I OBJĘTOŚCIOWE Rozważmy ciało o objętości V 0 ograniczone powierzchnią S 0, poddane działaniu sił będących w równowadze. Rozróżniamy tutaj
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA DLA CIEKAWSKICH. Twierdzenie Pitagorasa inaczej cz. 1
Renata Nowak MATEMATYKA DLA CIEKAWSKICH Twierdzenie Pitagorasa inaczej cz. 1 Twierdzenie Pitagorasa, potrzebne do rozwiązywania trójkątów, na ogół jest wprowadzane przez nauczyciela i rzadko bywa na lekcjach
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe
Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:
Bardziej szczegółowoO TYM, JAK LEONHARD EULER SPACEROWAŁ PO MOSTACH W KRÓLEWCU I CO Z TEGO WYNIKŁO...
O TYM, JAK LEONHARD EULER SPACEROWAŁ PO MOSTACH W KRÓLEWCU I CO Z TEGO WYNIKŁO... Bogusław Uniwersytet Warmińsko Mazurski Olsztyn, 30.09.2015 Problem Czy można przejść wszystkie mosty przechodzac przez
Bardziej szczegółowoAlgebra WYKŁAD 3 ALGEBRA 1
Algebra WYKŁAD 3 ALGEBRA 1 Liczby zespolone Postać wykładnicza liczby zespolonej Niech e oznacza stałą Eulera Definicja Równość e i cos isin nazywamy wzorem Eulera. ALGEBRA 2 Liczby zespolone Każdą liczbę
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM
Na ocenę dopuszczającą uczeń umie : WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM stosować cztery podstawowe działania na liczbach wymiernych, zna kolejność wykonywania działań
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA WYKAZ UMIEJĘTNOŚCI WYMAGANYCH NA POSZCZEGÓLNE OCENY DLA KLASY DRUGIEJ
MATEMATYKA WYKAZ UMIEJĘTNOŚCI WYMAGANYCH NA POSZCZEGÓLNE OCENY 1. SUMY ALGEBRAICZNE DLA KLASY DRUGIEJ 1. Rozpoznawanie jednomianów i sum algebraicznych Obliczanie wartości liczbowych wyrażeń algebraicznych
Bardziej szczegółowoA,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4)
Rozdział 1 Prosta i płaszczyzna 1.1 Przestrzeń afiniczna Przestrzeń afiniczna to matematyczny model przestrzeni jednorodnej, bez wyróżnionego punktu. Można w niej przesuwać punkty równolegle do zadanego
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych ocen klasyfikacyjnych z matematyki klasa 2 (oddział gimnazjalny)
edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych ocen klasyfikacyjnych z matematyki klasa 2 (oddział gimnazjalny) Stopień Rozdział 1. Potęgi i pierwiastki zapisuje w postaci potęgi iloczyn
Bardziej szczegółowoLUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2018 poziom podstawowy
LUELSK PRÓ PRZED MTURĄ 08 poziom podstawowy Schemat oceniania Zadania zamknięte (Podajemy kartotekę zadań, która ułatwi Państwu przeprowadzenie jakościowej analizy wyników). Zadanie. (0 ). Liczby rzeczywiste.
Bardziej szczegółowoCałki krzywoliniowe skierowane
Całki krzywoliniowe skierowane Zamiana całki krzywoliniowej skierowanej na całkę pojedyńcza. Twierdzenie Greena. Zastosowania całki krzywoliniowej skierowanej. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE
GIMNAZJUM NR 2 W RYCZOWIE WYMAGANIA EDUKACYJNE niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z MATEMATYKI w klasie II gimnazjum str. 1 Wymagania edukacyjne niezbędne
Bardziej szczegółowo4 Równania różniczkowe w postaci Leibniza, równania różniczkowe zupełne
Równania w postaci Leibniza 4 1 4 Równania różniczkowe w postaci Leibniza, równania różniczkowe zupełne 4.1 Równania różniczkowe w postaci Leibniza Załóżmy, że P : D R i Q: D R są funkcjami ciągłymi określonymi
Bardziej szczegółowoSpis treści. Definicje prawdopodobieństwa. Częstościowa definicja prawdopodobieństwa. Wnioskowanie_Statystyczne_-_wykład
Wnioskowanie_Statystyczne_-_wykład Spis treści 1 Definicje prawdopodobieństwa 1.1 Częstościowa definicja prawdopodobieństwa 1.1.1 Przykład 1.1.2 Rozwiązanie: 1.1.3 Inne rozwiązanie: 1.1.4 Jeszcze inne
Bardziej szczegółowo3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas
3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas oddziaływanie między ciałami, ani też rola, jaką to
Bardziej szczegółowoFunkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej. Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska
Funkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska . Wprowadzenie pojęcia funkcji liniowej w nauczaniu matematyki w gimnazjum. W programie nauczania matematyki w
Bardziej szczegółowoKLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI
Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Li-Yorke a Twierdzenie Szarkowskiego
Politechnika Gdańska Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej Twierdzenie Li-Yorke a Twierdzenie Szarkowskiego Autor: Kamil Jaworski 11 marca 2012 Spis treści 1 Wstęp 2 1.1 Podstawowe pojęcia........................
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 12: Krzywe eliptyczne Gniewomir Sarbicki Rozważać będziemy przestrzeń K n Definicja: x y λ K x = λy. Relację nazywamy różnieniem się o skalar Przykład: [4, 10, 6, 14] [6, 15,
Bardziej szczegółowo2) R stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu.
ZAKRES ROZSZERZONY 1. Liczby rzeczywiste. Uczeń: 1) przedstawia liczby rzeczywiste w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego, ułamka dziesiętnego okresowego, z użyciem symboli pierwiastków, potęg); 2)
Bardziej szczegółowoROK SZKOLNY 2017/2018 WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY:
ROK SZKOLNY 2017/2018 WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY: KLASA II GIMNAZJUM Wymagania konieczne K dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, powinien je zatem opanować
Bardziej szczegółowoMatematyka A kolokwium 26 kwietnia 2017 r., godz. 18:05 20:00. i = = i. +i sin ) = 1024(cos 5π+i sin 5π) =
Matematyka A kolokwium 6 kwietnia 7 r., godz. 8:5 : Starałem się nie popełniać błędów, ale jeśli są, będę wdzięczny za wieści o nich Mam też nadzieję, że niektórzy studenci zechcą zrozumieć poniższy tekst,
Bardziej szczegółowoMateriał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania
Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń 0 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania KLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH Nr zadania 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 0 Odpowiedź
Bardziej szczegółowo1 Nierówność Minkowskiego i Hoeldera
1 Nierówność Minkowskiego i Hoeldera Na państwa użytek załączam precyzyjne sformułowania i dowody nierówności Hoeldera i Minkowskiego: Twierdzenie 1.1 Nierówność Hoeldera). Niech p, q będą takimi liczbami
Bardziej szczegółowoTRYGONOMETRIA FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA SKIEROWANEGO
TRYGONOMETRIA Trygonometria to dział matematyki, którego przedmiotem badań są związki między bokami i kątami trójkątów oraz tzw. funkcje trygonometryczne. Trygonometria powstała i rozwinęła się głównie
Bardziej szczegółowoZbiory, relacje i funkcje
Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację
Bardziej szczegółowoII. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Zbiory w przestrzeni R n Ustalmy dowolne n N. Definicja 1.1. Zbiór wszystkich uporzadkowanych układów (x 1,..., x n ) n liczb rzeczywistych, nazywamy przestrzenią n-wymiarową
Bardziej szczegółowodr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
Bardziej szczegółowoWymagania programowe na poszczególne oceny. Klasa 2. Potęgi o wykładnikach naturalnych i całkowitych. Poziom wymagań edukacyjnych:
Wymagania programowe na poszczególne oceny Poziom wymagań edukacyjnych: K konieczny (ocena dopuszczająca) P podstawowy (ocena dostateczna) R rozszerzający (ocena dobra) D dopełniający (ocena bardzo dobra)
Bardziej szczegółowoKORESPONDENCYJNY KURS Z MATEMATYKI. PRACA KONTROLNA nr 1
KORESPONDENCYJNY KURS Z MATEMATYKI PRACA KONTROLNA nr 1 październik 000r 1. Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego wynosi 040. Jeśli pierwszy wyraz tego ciągu zmniejszymy o 17, a jego
Bardziej szczegółowoElementy geometrii analitycznej w R 3
Rozdział 12 Elementy geometrii analitycznej w R 3 Elementy trójwymiarowej przestrzeni rzeczywistej R 3 = {(x,y,z) : x,y,z R} możemy interpretować co najmniej na trzy sposoby, tzn. jako: zbiór punktów (x,
Bardziej szczegółowo