GPS a teoria względności

Transkrypt

1 GPS a teoria względnośi Marta Urbanowska, Paweł Gusin Zakład Fizyki Kryształów, Instytut Fizyki, Uniwersytet Śląski, Katowie GPS and the theory of relativity Abstrat: GPS the Global Positioning System is most amazing and fasinating of reent tehnologies. It serves the determination of positions of different objets and makes good use in its ation of the assumptions of the theory of both speial and general relativity as well as of the quantum mehanis. The paper is devoted to the ation of GPS and to the disussions on the amendments arising from the theories of both speial and general relativity. It is divided into three parts orresponding to the individual hapters. The first part desribes GPS. The notion of GPS is defined, the history of this navigation system is presented, as well as the information on its early days, for whom it was reated and in whih aim, what were its parameters of the measurement auray and how did they hange nowadays. In this hapter the onstrution of GPS is desribed, i.e. the preise desription of the individual elements of whih the whole system onsists: the osmi omponent, the earth omponent and the user s omponent. The seond part of the paper onerns the appliations of the theory of relativity in GPS. Some essential definitions and relationships from the theory of both the speial and general relativity have been here outlined. The question is here about first of all suh notions as: spaetime, spaetime interval and Lorentz s transformations, whih are explained in the theory of speial relativity, as well as the Einstein equations and the Shwarzshild metri, whih are desribed in the theory of speial relativity. The third part is devoted to the relativisti phenomena whih essentially influene the determination of the time amendments in GPS, the latter being as follows: the shift of the frequenies of signals towards violet and red), the Sagna effet and the time oordinate. Eah of these effets introdues the time differene between the satellite lok and the reeiver whih is essential in the proess of synhronization. To make possible to desribe the relativisti phenomena mentioned above, several frames of referene have been introdued ECI, ECEF, ICRF) whih are useful to the formulation of the orresponding equations of motion of satellites and the reeivers of signals on the Earth s surfae. The passing over the errors following from the relativisti phenomena mentioned above ould ause big disrepanies in the determination of the position and the GPS would stop funtion at all. Globalny System Pozyjonowania Global Positioning System) jest najbardziej fasynująym urządzeniem naszyh zasów, służąym do określania pozyji różnyh obiektów i wykorzystująym w swoim działaniu założenia ogólnej i szzególnej teorii względnośi, a także mehaniki kwantowej. Praa jest poświęona działaniu GPS oraz rozważaniom nad poprawkami wynikająymi z ogólnej i szzególnej teorii względnośi. Jest ona podzielona na trzy zęśi, odpowiadająe poszzególnym rozdziałom. Pierwsza zęść opisuje GPS. Zdefiniowano tu pojęie GPS, przedstawiono historię systemu nawigaji, a także informaje o jego pozątkah, dla kogo powstał i w jakim elu, jakie były pozątkowe parametry dokładnośi pomiaru i jak zmieniły się obenie. W rozdziale tym opisana jest również budowa GPS dokładny opis poszzególnyh elementów składająyh się na ały system: składowa kosmizna, składowa naziemna oraz składowa użytkownika). Druga zęść pray dotyzy zastosowania teorii względnośi w GPS. Przybliżono tutaj kilka istotnyh definiji i zależnośi ze szzególnej i ogólnej teorii względnośi. Mowa tu przede wszystkim o takih pojęiah jak: zasoprzestrzeń, interwał zasoprzestrzenny i transformaje Lorentza, które wyjaśnia szzególna teoria względnośi, oraz równania Einsteina i metryka Shwarzshilda, które opisuje ogólna teoria względnośi. Część trzeia poświęona jest zjawiskom relatywistyznym, które mają zasadnizy wpływ na wyznazanie poprawek zasowyh w GPS, takih jak: przesunięie zęstotliwośi sygnałów w stronę fioletu i ku zerwieni), zjawisko Sagnaa oraz współrzędna zasowa. Każde z nih wnosi różnię zasową między zegarem satelity i odbiornika istotną w proesie synhronizaji. Aby mó opisać wymienione wześniej zjawiska relatywistyzne wprowadzono kilka układów odniesienia ECI, ECEF, ICRF) przydatnyh do sformułowania odpowiednih równań ruhu satelitów i odbiorników sygnałów na powierzhni Ziemi. Pominięie błędów wynikająyh z wymienionyh zjawisk relatywistyznyh powodowałoby duże rozbieżnośi w określaniu położenia i GPS przestałby funkjonować. Tekst artykułu oparty jest na wykonanej pod kierunkiem dr Pawła Gusina pray magisterskiej mgr Marty Urbanowskiej. 134 POSTĘPY FIZYKI TOM 60 ZESZYT 4 ROK 2009

2 Wstęp Wyznazanie położenia na powierzhni Ziemi było i jest ważnym problemem w żyiu ywilizaji opartym na wymianie dóbr materialnyh i rozwiązywaniu zagadnień geodezyjnyh kuli ziemskiej. Od momentu wprowadzenia systemu globalnego pozyjonowania, który jest reprezentowany przez GPS, problem nawigaji, zarówno na lądah i oeanah, jak i w powietrzu został rozwiązany ałkowiie. Praa ta jest poświęona działaniu GPS oraz rozważaniom nad poprawkami wynikająymi z ogólnej i szzególnej teorii względnośi. W rozdziale pierwszym zdefiniowano pojęie GPS i przedstawiono jego historię. GPS jest urządzeniem, dzięki któremu możemy określić swoje położenie i monitorować trasę, po której się poruszamy. Tutaj znajdziemy także informaje o pozątkah systemu nawigaji, dla kogo powstał i w jakim elu, jakie były pozątkowe parametry dokładnośi pomiaru i jak zmieniły się obenie. Rozdział pierwszy jest również poświęony budowie GPS. Znajduje się w nim dokładny opis poszzególnyh elementów składająyh się na ały system składowa kosmizna, składowa naziemna oraz składowa użytkownika). Składową kosmizną tworzą 32 satelity umieszzone na wysokośi km na orbitah kołowyh nahylonyh względem płaszzyzny równika pod kątem 55 lub 63. Przedstawiono tutaj także shemat budowy satelity oraz krótko opisano jego elementy składowe i ih funkje. Składową naziemną, inazej składową kontroli stanowi 5 zlokalizowanyh w pobliżu równika staji kontrolnyh: Głównej Staji Nadzoru w Bazie Sił Powietrznyh USA Falon w Colorado Springs i staji pomonizyh w Kwajalein, Diego Garia, Asension i na Hawajah. Element użytkownika składa się z odbiorników GPS samodzielnie funkjonująyh lub wbudowanyh w inne systemy, któryh zadaniem jest odbieranie, dekodowanie i przetwarzanie sygnałów GPS. Odbiorniki te różnią się funkjami i konstrukją pod względem ih zastosowania: w nawigaji powietrznej, morskiej, lądowej), wyznazaniu pozyji, transferze zasu, pomiarah geodezyjnyh i wielu innyh. Po sharakteryzowaniu budowy systemu nawigaji satelitarnej przedstawiona została zasada jego działania. Opiera się ona na pomiarze odległośi pomiędzy odbiornikiem a satelitą, poruszająym się po śiśle wyznazonej orbiie. Rozdział drugi został podzielony na ztery zasadnize zęśi. Pierwsza poświeona jest szzególnej teorii względnośi STW). Tutaj zdefiniowano takie pojęia jak: zasoprzestrzeń oraz interwał zasoprzestrzenny. Opisano także transformaje Lorentza i wynikająe z tyh przekształeń wnioski tj.: dylataja zasu, równoważność masy i energii, względność jednozesnośi, kontrakja przestrzeni, reguły dodawania prędkośi oraz zwiększenie masy przy zwiększaniu prędkośi iała. Druga zęść dotyzy ogólnej teorii względnośi OTW), zwanej również teorią grawitaji Einsteina. OTW jest uogólnieniem STW obowiązująej dla inerjalnyh układów odniesienia) rozszerzonym na dowolne układy odniesienia, wśród któryh występują także układy nieinerjalne. W podrozdziale tym przedstawiony został związek między geometrią zasoprzestrzeni a rozkładem mas. Tutaj znajdziemy również wyprowadzenie równań Einsteina opisująyh związek między zakrzywieniem zasoprzestrzeni tensorem metryznymg µν ) a rozkładem materii opisanej tensorem energii pędu T µν. Trzei fragment przedstawia rozwiązania równań Einsteina. Przede wszystkim mowa tutaj o metrye Shwarzshilda, która ałkowiie określa pole grawitayjne w próżni wytworzone przez nieobraająy się układ o entralnie symetryznym rozkładzie materii. Są tam również podane postaie interwałów zasoprzestrzennyh grawitayjnie zapadająego się iała kulistego bez momentu pędu i z momentem pędu. W zęśi zwartej tego rozdziału znajdują się wyprowadzenia równań ruhu ząstek, wykorzystują dwa założenia dla pola grawitayjnego, mianowiie że jest ono słabe i statyzne. W rozdziale trzeim zostały przedstawione zjawiska relatywistyzne, które mają zasadnizy wpływ na wyznazanie poprawek zasowyh w systemie GPS takie jak: przesunięie zęstotliwośi sygnałów w stronę fioletu i ku zerwieni), zjawisko Sagnaa oraz współrzędna zasowa. Jest on podzielony na trzy podrozdziały poświęone tym zjawiskom. Każde z nih wnosi różnię zasową między zegarem satelity i odbiornika istotną w proesie synhronizaji przesunieie zęstotliwośi w stronę fioletu: ns = 45,7 µs, przesunięie zęstotliwośi w stronę zerwieni: 7100 ns = 7,1 µs, zjawisko Sagnaa: 207,4 ns oraz współrzędna zasowa: 38,58 µs). Aby mó opisać wymienione wześniej zjawiska relatywistyzne wprowadzono kilka układów odniesienia ECI, ECEF, ICRF) przydatnyh do sformułowania odpowiednih równań ruhu satelitów i odbiorników sygnałów na powierzhni Ziemi. I. Definija GPS i jego historia I.1. Definija GPS Omawiają historię i sposób działania nawigaji satelitarnej GPS należy rozpoząć od zdefiniowania zym ona jest i do zego służy. Zgodnie z wydaniem 2005 Enyklopedii PWN GPS definiujemy następująo: GPS, ang. Global Positioning System, globalny system wyznazania pozyji lokalizaji) obiektów wykorzystująy sztuzne satelity Ziemi, przeznazony do iągłego, szybkiego i dokładnego wyznazania trzeh współrzędnyh, określająyh pozyję anteny odbiornika osobistego albo zainstalowanego na obiekie stałym lub ruhomym, znajdująym się na lądzie, wodzie lub w powietrzu. Dzięki urządzeniu, jakim jest GPS, możemy zlokalizować swoje położenie oraz monitorować trasę, po której się poruszamy. I.2. Historia GPS Badania, jakie zostały przeprowadzone w 1957 roku, są uważane za pozątek nawigaji satelitarnej. Wtedy to naukowy z Johns Hopkins University w Baltimore w Stanah Zjednozonyh, używają sygnałów radiowyh wysyłanyh przez radziekiego satelitę Sputnik I, przedstawili możliwość wykorzystania do nawigaji sztuznyh POSTĘPY FIZYKI TOM 60 ZESZYT 4 ROK

3 satelitów Ziemi. Jednym z pierwszyh ogólnie dostępnyh, skuteznyh systemów nawigaji satelitarnej był opraowany dla amerykańskiej marynarki wojennej system Transit SATNAV powstały na przełomie lat pięćdziesiątyh i sześćdziesiątyh dwudziestego wieku. W 1964 r. ogłoszono jego zdolność operayjną, a w 1967 r. system ten został udostępniony także do elów ywilnyh. Podstawę systemu Transit stanowiło sześć okrążająyh Ziemię satelitów, które nadawały sygnały na zęstotliwośiah 150 MHz i 400 MHz. Pozyja określana była poprzez wykorzystanie zjawiska Dopplera. Aby był on wyraźny, satelity umieszzone zostały na niskih orbitah w odległośi 1100 km od powierzhni Ziemi. System Transit nie zapewniał jednak pokryia ałego obszaru Ziemi ze względu na niewielką lizbę satelitów. W tym samym okresie zbudowano radzieki odpowiednik systemu Transit, zyli system Cykada. Systemy te wykorzystano do zbierania informaji w zakresie nawigaji satelitarnej. Na podstawie doświadzeń Amerykanów rozpozęto prae nad różnymi, nowymi układami nawigaji satelitarnej, między innymi były to programy: TIMATION Marynarki Wojennej USA i 621 B Wojsk Powietrznyh USA w 1968 roku. W 1973 r. rozpozęto projekt DNSS Defense Navigation Satellite System) koordynowany przez Ministerstwo Obrony USA. W 1973 r. powołane zostało Połązone Biuro Programu JPO Joint Program Offie) i rozpozęto pierwszą fazę projektu, którego wynikiem okazał się system GPS NAVSTAR Global Positioning System NAVigation Signal Timing And Ranging). Od pozątku lat osiemdziesiątyh GPS był stopniowo udostępniany w wersji PPS Preision Positioning Servie) z błędem wyznazania pozyji poziomej wynosząym mniej niż 10 m autoryzowanym użytkownikom wojskowym. Gdy wymiary i eny odbiorników zmalały, także użytkowniy ywilni zazęli domagać się dostępu do systemu. Uruhomiono wię wersję ogólnodostępną SPS Standard Positioning Servie) z tzw. Ogranizonym Dostępem SA Seleted Availability), w której błąd wyznazania pozyji wynosił 500 m. Ze względu na wzrost zainteresowania GPS-em poprawiono dokładność wersji, a mianowiie zmniejszono błąd wyznazania pozyji do 100 m. Produentom sprzętu udało się poprawić dokładność odbiorników ywilnyh, by osiągała poziom dokładnośi wersji PPS. Opraowano konepję wersji różniowej DGPS Differential GPS), w której eliminowane były niektóre rodzaje błędów i elowo wprowadzane zakłóenia SA. Po wprowadzeniu na orbity i uruhomieniu wszystkih planowanyh satelitów ofijalnie ogłoszono GPS w pełni operayjnym, zyli spełniająym wymagania podane w ofijalnyh speyfikajah systemu 27 kwietnia 1995 r.) [1]. W latah osiemdziesiątyh zrodził się pomysł budowy w Europie systemu nawigaji satelitarnej: Galileo. Aktualnie jest on w trakie budowy, która planowo ma potrwać do 2012 roku. Galileo ma być równoważną alternatywą do amerykańskiego GPS i rosyjskiego GLONASS, lez w przeiwieństwie do nih będzie kontrolowany przez instytuje ywilne. Pierwsza faza pra, zwana fazą definiji, rozpozęła się 19 lipa 1999 i zakońzyła 22 listopada 2000 roku. Wtedy to przeanalizowano potrzeby przyszłyh użytkowników systemu i określono tehnizne, ekonomizne i programowe aspekty realizaji projektu. W roku 2002 rozpozęła się druga faza budowy, tzw. faza wdrażania, która planowo miała zakońzyć się w 2006 roku. Obejmowała ona szzegółowe zdefiniowanie parametrów tehniznyh i opraowanie projektu segmentów: naziemnego, kosmiznego i użytkownika. W pierwszym etapie testów systemu, zakońzonym 22 grudnia 2004 roku, dokonano udanyh testów segmentu naziemnego. Drugi etap rozpozął się 28 grudnia 2005 r. wyniesieniem na orbitę pierwszego testowego satelity systemu, GIOVE-A. Trzeia faza budowy ma obejmować umieszzenie wszystkih operayjnyh satelitów na orbitah okołoziemskih oraz pełne uaktywnienie segmentu naziemnego [2]. I.3. Budowa GPS Strukturę GPS stanowią trzy podstawowe elementy, są to: składowa kosmizna, składowa kontroli naziemna), składowa użytkownika. I.3.1. Składowa kosmizna Rys. 1. Satelita GPS Składową kosmizną tworzą 32 stan na 28 grudnia 2008 r.) satelity umieszzone na orbitah kołowyh na wysokośi km. Orbity te nahylone są względem płaszzyzny równika pod kątem 55 Blok IIA, IIR, IIR-M) lub 63 Blok I). Około 28 satelitów jest stale zynnyh, a pozostałe są testowane bądź wyłązone z przyzyn tehniznyh. Satelita obiega orbitę w zasie równym połowie doby gwiazdowej 11 h 58 min) [1,3,4]. Obserwator, znajdująy się na Ziemi, zaobserwuje tą samą konstelaję satelitów odziennie, o prawie tej samej porze. Dzieje się tak, ponieważ każdego dnia taki układ powtarza się o ztery minuty wześniej z powodu różniy pomiędzy długośiami doby słoneznej i gwiazdowej. Satelity rozmieszzone są tak, że o najmniej 5 z nih powinno być widoznyh z każdego punktu Ziemi. Taka konfiguraja umożliwia wyznazenie współrzędnyh dowolnego miejsa na powierzhni Ziemi w dowolnym momenie doby. 136 POSTĘPY FIZYKI TOM 60 ZESZYT 4 ROK 2009

4 Satelita Navstar posiada kilka systemów konieznyh do prawidłowego funkjonowania na orbiie: system wprowadzania na orbitę służy do wprowadzania satelity z orbity parkingowej, na której został umieszzony przez rakietę nośną, na kołową orbitę robozą), system kontroli wysokośi i prędkośi utrzymuje korpus satelity w odpowiednim położeniu względem Ziemi i Słońa; składa się z bezwładnośiowego układu sterowania oraz podsystemu optyznego do sterowania ustawieniem ogniw słoneznyh i zujników promieniowania ziemskiego), system kontroli orientaji steruje zespołem hydrazynowyh silników korekyjnyh i za ih pomoą dokonuje zmiany położenia lub orientaji ałego satelity), system śledzenia, telemetrii i sterowania obejmuje wszystkie układy służąe do telemetrii, aktywnej lokalizaji, zdalnego sterowania i kontroli systemów satelity), system nawigayjny to zespół urządzeń realizująyh zasadnize zadania satelity Navstar, zyli utrzymywanie zasu oraz generowanie i emitowanie sygnałów), system wykrywania wybuhów jądrowyh NUDET Nulear Detonation Detetion System dysponuje zujnikami promieniowania X, detektorem impulsu elektromagnetyznego i radiometrem optyznym), system kontroli termiznej zapewnia izolaję ieplną systemów satelity od ekstremalnyh warunków panująyh na wysokih orbitah), blok zasilania konstrukji nośnej zasilanie systemów zapewniają dwie baterie słonezne o wspólnej powierzhni 7,25 m 2 i moy 700 W) [5]. Na rysunku 2 jest przedstawiony model satelity. 7 m. Elementy anteny są wykonane z laminatu grubośi 0,5 m i metalizowane. Dla otrzymania właśiwego kształtu harakterystyki promieniowania, anteny są ustawione w dwa konentryzne okręgi: wewnętrzny 4 elementy) o średniy 15 m i zewnętrzny 8 elementów) o średniy 44 m. Wewnętrzne anteny mają nieo wyższe podstawy. Anteny okręgu wewnętrznego i zewnętrznego są zasilane w przeiwfazie, z tym, że 90% moy dostaje okrąg zewnętrzny [5]. Satelity emitują sygnały na 2 zęstotliwośiah: sygnał L1 = 1575,42 MHz mająy falę nośną o długośi 19 m i sygnał L2 = 1227,6 MHz o fali nośnej 24 m. Sygnały te są modulowane odpowiednimi kodami binarnymi 0,1) i odbierane przez anteny odbiorników naziemnyh. Sygnał L1 modulowany jest kodem C/A, tzn., że jest to sygnał dla użytku ywilnego, drugi L2 kodem P przeznazonym dla wojska. Obydwie zęstotliwośi są ponadto modulowane kodem, zawierająym pakiet informaji dotyząyh parametrów orbity satelity i poprawki zegara satelity, efemeryd pozostałyh aktywnyh satelitów oraz innyh informaji umożliwiająyh praę odbiornika i urządzeń satelity. Kody P i C/A służą do identyfikaji satelitów [5]. I.3.2. Składowa naziemna Naziemna składowa kontroli to 5 zlokalizowanyh w pobliżu równika staji kontrolnyh: Głównej Staji Nadzoru MCS Master Control Station) w Bazie Sił Powietrznyh USA Falon w Colorado Springs i staji pomonizyh w Kwajalein, Diego Garia, Asension i na Hawajah. Rys. 2. Budowa satelity GPS Serem satelity są ztery atomowe wzore zasu: dwa rubidowe i dwa ezowe, wzajemnie się uzgadniająe. Wybór zegara zasadnizego odbywa się zdalnie, na sygnał głównej staji kontrolnej. Zegar ezowy wymaga konserwaji pompowania ) około dwa razy do roku, o powoduje wyłązenie satelity na średnio 18 godzin. Zespół anten składa się z dwunastu elementów promieniująyh o długośi 62 m 51 m w satelitah blok I) i średniy Rys. 3. Lokalizaja staji kontrolnyh 3.jpg) Staje kontroli gromadzą dane na temat współrzędnyh satelitarnyh i ih orbit. Wszystkie staje monitorująe pomonize) posiadają anteny do dwustronnej łąznośi z satelitami i biernie śledzą wszystkie widozne satelity. Dane ze staji monitorująyh przesyłane są do Głównej Staji Nadzoru, gdzie wyznazane są efemerydy satelitów i parametry ih zegarów. MCS okresowo przesyła satelitom efemerydy i poprawki zegara, aby je retransmitować w depeszy nawigayjnej [1,3,4]. POSTĘPY FIZYKI TOM 60 ZESZYT 4 ROK

5 Cała struktura składowej naziemnej kontroli) tworzona jest przez: 5 bezzałogowyh staji śledząyh, któryh zadaniem jest iągły pomiar pseudoodległośi odległość pomiędzy satelitą a odbiornikiem w momentah transmisji i odbioru sygnału) i faz nośnyh oraz gromadzenie depesz satelitów nawigayjnyh, staję główną, która analizuje stan tehnizny satelitów i deyduje o konieznyh korektah, 3 staje korygująe, które dokonują transmisji danyh do satelitów efemerydy pokładowe, współzynniki równania zegara itp.) [6]. I.3.3. Składowa użytkownika Element użytkownika składa się z różnorodnyh, wojskowyh i ywilnyh odbiorników GPS samodzielnie funkjonująyh lub wbudowanyh w inne systemy. Ih zadaniem jest odbieranie, dekodowanie i przetwarzanie sygnałów GPS. Ze względu na wielorakie zastosowania: nawigaję powietrzną, morską, lądową), wyznazanie pozyji, transfer zasu, pomiary geodezyjne i wiele innyh, odbiorniki różnią się funkjami i konstrukją. Tehnika GPS rozwija się dzięki rozwojowi mikroelektroniki i elektroniznej tehniki oblizeniowej. Na pozątku lat osiemdziesiątyh urządzenia odbiorze Globalnego Systemu Pozyjonowania zajmowały objętość rzędu kilkuset litrów i ważyły kilkanaśie kilogramów. We współzesnyh odbiornikah wykorzystuje się układy salone i yfrowe tehniki przetwarzania sygnału, natomiast układy analogowe wykorzystywane są jedynie w elu wzmonienia sygnału. Współzesne najmniejsze i najprostsze odbiorniki, przeznazone dla potrzeb nawigayjnyh mają masę nie większą niż kilkaset gramów i mogą być trzymane w dłoni. W GPS składową użytkownika tworzą odbiorniki, które przetwarzają sygnały z satelity na trójwymiarowe współrzędne położenia, prędkość, zas itp. Ilość, dokładność oraz postać prezentowanyh danyh zależą od przeznazenia i rodzaju odbiornika. Istnieje wiele typów odbiorników GPS: odbiorniki ręzne wielkośi telefonu komórkowego, profesjonalne zestawy do nawigaji i geodezji zy wysokiej klasy moduły GPS sprzężone z systemami nawigayjnymi samolotów komunikayjnyh i wojskowyh. Odbiorniki GPS harakteryzują się między innymi: dokładnośią wyznazania pozyji, prędkośi i zasu, lizbą śledzonyh satelitów minimum to ztery, jednak wtedy utrata sygnału jednego z nih powoduje przerwanie iągłośi nawigaji trójwymiarowej, dlatego najlepsze jest śledzenie minimum 5 satelitów, a najbezpiezniejsze wszystkih widoznyh), zasem akwizyji zas od włązenia do pierwszego wyznazenia pozyji), zasem reakwizyji potrzebnym do wznowienia pomiarów po hwilowym zaniku sygnału satelitarnego, zułośią odbiornika im niższa wartość minimalnego sygnału, tym lepszy odbiornik, stosunkiem sygnał/szum minimalny stosunek sygnału do szumu, przy którym odbiornik może jeszze prawidłowo śledzić sygnał satelitarny), odpornośią na sygnały zakłóająe konstrukja anteny powinna zmniejszać wpływ sygnałów odbityh), odpornośią na warunki środowiskowe [1]. I.4. Zasada działania GPS, zyli Globalny System Pozyjonowania Global Positioning System) jest systemem satelitarnym zapewniająym preyzyjne wyznazanie pozyji, prędkośi i zasu. Satelity NAVSTAR, obiegająe Ziemię, umożliwiają nieprzerwaną dostawę sygnału radiowego, który, odebrany przez spejalny odbiornik, pozwala na wylizenie aktualnej pozyji. Sygnał ten jest dostępny na ałym globie, a korzystanie z niego jest bezpłatne. Dokładność pomiaru waha się od entymetra odbiorniki geodezyjne, pomiar różniowy Differential GPS) do stu metrów proste odbiorniki nawigayjne bez korekji różniowej). Satelity rozmieszzone są na sześiu orbitah na wysokośi km nad Ziemią i obiegają ją dwa razy dziennie rys. 4). Rys. 4. Rozmieszzenie satelitów GPS na orbitah brus/satelity/navi.html) Zasada działania systemu opiera się na pomiarze odległośi pomiędzy odbiornikiem a poruszająym się po śiśle wyznazonej orbiie satelitą. Aby oblizyć odległość od satelity, odbiornik GPS mierzy zas, który upłynął pomiędzy wysłaniem a odbiorem sygnału. Różnię między tymi dwiema wartośiami mnoży się przez prędkość światła, zyli prędkość rozhodzenia się fal radiowyh. Wyznazenie odległośi od pierwszego satelity umiejsawia odbiornik GPS na powierzhni sfery o środku w sateliie i promieniu równym odległośi od niego. Znają odległość od drugiego satelity, można zawęzić ten obszar do okręgu, który powstaje z przeięia obydwu sfer. Dystans, który dzieli trzeiego satelitę od odbiornika, pozwala ogranizyć obszar poszukiwań do dwóh punktów. Jeden z tyh punktów można wykluzyć jako znajdująy się zbyt wysoko lub poruszająy się zbyt szybko i w ten sposób wyznazyć swoją pozyję. Teoretyznie dane te wystarzałyby do dokładnego wyznazenia odległośi, ale odbiornik GPS wyposażony jest jedynie w zegar kwarowy, który nie umożliwia wystarzająo dokładnego pomiaru zasu. Dlatego właśnie potrzebny jest zwarty satelita, dzięki któremu możliwa staje się synhronizaja zegara kwarowego odbiornika z atomowym satelity rys. 5) [1]. 138 POSTĘPY FIZYKI TOM 60 ZESZYT 4 ROK 2009

6 Rys. 5. Odbiór sygnałów od satelitów ategory.php?id=1&language=9) Każdy z satelitów posiada ztery zegary atomowe, którymi synhronizuje wysyłany sygnał. Zadaniem odbiornika jest zmierzenie opóźnienia sygnału odebranego z poszzególnyh satelitów. Jednak odbiornik GPS nie posiada własnego zegara atomowego, a tylko dokładny zegar kwarowy, wię ma na pozór trudne, nierozwiązywalne zadanie: stwierdzić, która jest godzina z dokładnośią do nanosekundy) dysponują tylko sygnałem otrzymanym z satelitów, z któryh każdy podaje inny zas. Dokonuje tego odbierają sygnał nie od trzeh, lez od ztereh satelitów rys. 6). Można wówzas wylizyć zarówno rzezywisty zas, jak i położenie klasyzny układ ztereh równań z zterema niewiadomymi). Odbiornik znajdują się w określonej pozyji r i zasie t otrzymuje sygnały od ztereh zegarów atomowyh zawierająe współrzędne położenia r j w zasie t j, gdzie j = 1, 2, 3, 4. Wiedzą, że prędkość światła jest stała, związek między zasami i położeniami jest następująy [7]: t t j ) 2 = r r j 2, gdzie j = 1, 2, 3, 4, a prędkość światła jest równa: = m/s. Rys. 6. Sygnał pohodząy od ztereh satelitów gps/gps/tres.htm) Odbiorniki GPS mierzą odległośi, od o najmniej 4 satelitów, wykorzystują sygnały L1 i L2. Są one odbiornikami wielokanałowymi, wię możliwa jest jednozesna rejestraja sygnałów pohodząyh nawet od 12 satelitów. Każdy odbiornik ma antenę ustawioną nad ustalonym punktem, którego współrzędne hemy określić. Odbiornik GPS posiada antenę z opjonalnym wzmaniazem wstępnym, która odbiera sygnały wysłane od wszystkih dostępnyh satelitów i wzmania je. Następnie sygnał jest przesyłany do sekji zęstotliwośi radiowej i zęstotliwośi średniej RF/IF), później sekji śledzenia korelaji sygnału. Na konie trafia do mikroproesora, który kontroluje wszystkie podzespoły odbiornika, a jednoześnie przetwarza sygnały. Poprzez dekodowanie informaji nałożonej na fale, identyfikuje on satelity, obliza współrzędne obserwatora, jego prędkość i kurs. Zgromadzone informaje trafiają do komputera w odbiorniku GPS, który dokonuje oblizeń. Aby wyeliminować zakłóenia przy dokładnyh pomiarah geodezyjnyh, wysokość horyzontalna satelitów powinna wynosić: dla pomiarów kinematyznyh objaśnione niżej) ponad 15, a dla pomiarów statyznyh objaśnione niżej) ponad 10. Taka metoda pomiaru daje błąd poniżej 10 metrów. Tehnologia pomiarów statyznyh GPS polega na tym, że uzestnizy w niej więej niż jeden odbiornik GPS i pozostają one stałe względem siebie w iągu ałej sesji kampanii) pomiarowej. Możliwe jest zbieranie obserwaji z wielu sesji pomiarowyh np. po kilka godzin dziennie), zaś zebrany materiał jest poddawany opraowaniu po zakońzeniu ałej kampanii pomiarowej obserwayjnej). Natomiast w przypadku tehnologii pomiarów kinematyznyh, w pomiarze bierze udział jeden odbiornik stajonarny, względem którego wyznazana jest pozyja drugiego, ruhomego odbiornika umieszzonego na obiekie poruszająym się. Do niedawna dokładność poniżej 10 m mogły uzyskać tylko amerykańskie odbiorniki wojskowe. Odbiorniki ywilne musiały zadowolić się dokładnośią do ok metrów. Sztuznie wprowadzone do systemu zakłóenia sprawiały, że każdy samodzielny odbiornik GPS, pozostawiony w bezruhu, stopniowo wykazywał zmiany pozyji. Dokładność taka nie była wystarzająa zarówno w nawigaji, jak i w pomiarah geodezyjnyh. Niepewnośi określenia pozyji rzędu metrów były niedopuszzalne, dlatego wymyślono metodę obejśia problemu zakłóania sygnału [6]. Metodą tą jest pomiar względny DGPS Differential GPS). Polega on na tym, że jeżeli odbiornik GPS ustawi się w określonym punkie, to na skutek zakłóenia sygnału pozyja, która jest wyznazana, będzie się iągle zmieniać. Jeżeli oblizymy różnię pomiędzy zmierzoną przez odbiornik pozyją a pozyją rzezywistą odbiornika, to otrzymamy tzw. wektor błędu rys. 7). Zastosowanie korekji różniowej DGPS) pozwala wyeliminować także inne błędy systemu, takie jak: błędy zegarów i orbit satelitów, błędy spowodowane opóźnieniem jonosferyznym i troposferyznym, szumem odbiornika i odbiiem. Zatem metoda ta ulepsza dokładność pomiaru. Zagłuszanie sygnału z satelitów GPS zwane ogranizonym dostępem Seletive Availability SA) elowo zmniejszało dokładnośi systemu GPS, by nie był on wykorzystywany przez wrogie armie. Wyłązenie SA przez POSTĘPY FIZYKI TOM 60 ZESZYT 4 ROK

7 Rys. 7. Pomiar względny DGPS zintegrowany-system.jpg) USA 1 maja 2000 roku okazało się bardzo korzystne, ponieważ spowodowało polepszenie dokładnośi wyznazania pozyji ze 100 do metrów, zyli prawie dziesięiokrotnie. Zauważalna była również poprawa dokładnośi określania prędkośi [1]. Wyróżnia się dwie metody pomiaru odległośi od satelitów: 1) Metoda kodowa wykorzystuje fakt, że satelita emituje i odbiornik wytwarza ten sam kod C/A lub P) w tyh samyh określonyh momentah zasu. Kod, który z sygnałem satelitarnym doiera do odbiornika, jest przesunięty w zasie względem kodu wytwarzanego w odbiorniku. Przesunięie to jest miarą zasu przebiegu sygnału satelita odbiornik t) i jest proporjonalne do odległośi satelita odbiornik d). W odbiorniku następuje przesunięie kodów do uzyskania korelaji i pomiaru zasu t. W ten sposób zmierzony zas t przebiegu sygnału z satelity do odbiornika, pomnożony przez prędkość rozhodzenia się fal elektromagnetyznyh jest równy mierzonej odległośi Ziemia satelita d = t) [8]. 2) Metoda fazowa polega na pomiarze różniowym faz na jednej lub dwóh zęstotliwośiah L1 i L2. Jest to pomiar fazy sygnału przyhodząego ϕ. Pseudoodległość d jest określona następująym związkiem: d =λn +λϕ, gdzie: N ałkowita lizba pełnyh długośi fal mieszząyh się w odległośi satelita Ziemia, λ długość fali nośnej, ϕ mierzona faza sygnału przyhodząego [3]. II. Zastosowanie teorii względnośi w systemie nawigaji II.1. Szzególna teoria względnośi Szzególna teoria względnośi STW) to teoria fizyzna stworzona w 1905 roku przez Alberta Einsteina. Zmieniła ona podstawy postrzegania zasu i przestrzeni opisane wześniej w mehanie klasyznej Newtona, w taki sposób, aby można było usunąć sprzeznośi pomiędzy mehaniką klasyzną a teorią elektromagnetyzmu Maxwella. Już starożytni grey filozofowie zajmowali się zjawiskiem ruhu iał. Arystoteles uznał, że wszystkie przedmioty dążą do osiągnięia stanu spozynku względem jednego absolutnego układu odniesienia, o było zgodne z odziennym doświadzeniem. Do innyh wniosków doszedł Galileusz, który badają ruh różnyh przedmiotów stwierdził względność prędkośi i pozyji iała. Z każdym przedmiotem, który porusza się ruhem jednostajnym, można powiązać inerjalny układ odniesienia. Obserwator siedząy na takim obiekie odnosi wrażenie, że on stoi, podzas kiedy ałe otozenie porusza się ruhem jednostajnym, a jednoześnie osoba stojąa twardo na Ziemi dojdzie do zupełnie przeiwnyh wniosków. Matematyznym zapisem względnośi położenia i prędkośi jest transformaja Galileusza, która stała się fundamentem fizyki Newtona. Pod konie XIX wieku okazało się, że transformaja Galileusza nie dotyzy wszystkih praw i zjawisk. Równania Maxwella, opisująe fale elektromagnetyzne, nie poddawały się transformaji Galileusza. Co więej zgodnie z oblizeniami opartymi na mehanie Newtona, prędkość światła powinna zależeć od ruhu obserwatora względem hipotetyznego eteru, w którym miały rozhodzić się fale elektromagnetyzne. Lorentz zaproponował, że elementy przyrządów pomiarowyh na skutek ruhu kurzą się w kierunku przemieszzania się Ziemi, o prowadzi do uzyskania zawsze tej samej wartośi prędkośi światła. Matematyznym tego opisem stała się transformaja Lorentza. W 1905 roku Albert Einstein sformułował teorię na podstawie prostego założenia, że prędkość światła mierzona przez różnyh obserwatorów jest zawsze taka sama, niezależnie od ih względnego ruhu [9,10]. II.1.1. Czasoprzestrzeń Szzególna teoria względnośi zakłada, że nasz wszehświat jest zterowymiarową zasoprzestrzenią. Czterem wymiarom tej przestrzeni odpowiadają zas i miejse trzy współrzędne przestrzenne). Punktom w zasoprzestrzeni odpowiadają zdarzenia. Ruh każdej ząstki w tej przestrzeni reprezentuje pewna krzywa zwana linią świata. Poszzególne punkty tej krzywej opisują współrzędne ząstki w danej hwili zasu. Linia świata ząstki materialnej, poruszająej się ruhem jednostajnym i prostoliniowym, jest linią prostą [9 11]. II.1.2. Interwał zasoprzestrzenny Interwałem zasoprzestrzennym, inazej odległośią zasoprzestrzenną, nazywamy wielkość: ds 2 = dx 0 ) 2 dx 1 ) 2 dx 2 ) 2 dx 3 ) 2. II.1.2.1) Interwał ds 2 odległość między dwoma punktami w zasoprzestrzeni) jest odpowiednikiem odległośi między dwoma punktami w trójwymiarowej przestrzeni dl 2 = 140 POSTĘPY FIZYKI TOM 60 ZESZYT 4 ROK 2009

8 dx 1 ) 2 +dx 2 ) 2 +dx 3 ) 2 uwzględniająym dodatkowo współrzędną zasową. W zasoprzestrzeni interwał może być dowolną lizbą ujemną, dodatnią lub zero). Jeżeli interwał jest większy od zera, to mówi się, że punkty zdarzenia) są położone zasowo. Każdy punkt w stożku świetlnym pojęie stożka świetlnego objaśnione poniżej) danego punktu jest położony względem niego zasowo. Na rysunku stożków świetlnyh rys. 8) punkt B jest położony zasowo względem punktu A. Przy zym obszar górnego stożka to absolutna przyszłość, a dolnego to absolutna przeszłość. Zdarzenia położone zasowo można osiągnąć przez wysłanie lub odebranie ząstki obdarzonej masą. Jeżeli interwał jest mniejszy od zera, oznaza to, że zdarzenia są położone przestrzennie. Na rysunku rys. 8) punkt C jest położony przestrzennie względem punktu A. Każdy punkt zdarzenie) zasoprzestrzeni położony poza stożkami świetlnymi ma położenie przestrzenne. W dowolnym układzie odniesienia zdarzenia te zahodzą w różnyh miejsah przestrzeni. Zdarzenia położone przestrzennie można nazwać bezwzględnie odległymi od zdarzenia A, a stwierdzenia: wześniej, później, jednoześnie są w ih przypadku względne. Dla każdego punktu położonego przestrzennie można znaleźć takie układy współrzędnyh, w któryh dane zdarzenie zahodzi przed lub po zdarzeniu A oraz układ, w którym oba zdarzenia występują jednoześnie. Zdarzenia położone przestrzennie nie mają na siebie wpływu. Jeżeli interwał jest równy zero, wtedy zdarzenia są położone zerowo. Każdy punkt leżąy na powierzhni stożka świetlnego ma położenie zerowe. Zdarzenia o interwale zerowym można osiągnąć wysyłają lub odbierają sygnał świetlny [9,10,12]. Stożkiem świetlnym nazywa się zbiór punktów zasoprzestrzeni, które można połązyć promieniem świetlnym, x 0 = t, gdzie jest prędkośią światła w próżni. Zdarzenia położone zasowo lub zerowo na dolnym stożku świetlnym mogą wpływać na rozpatrywane zdarzenie być przyzyną), położone zaś na stożku górnym mogą wynikać z rozpatrywanego zdarzenia być skutkiem), a położone przestrzennie nie mogą mieć związku. Bardzo ważne jest, że żadne zjawisko swoimi skutkami nie może wybiegać poza stożek świetlny, bo złamałoby to zasadę przyzynowośi i potrafilibyśmy przesłać sygnał do zdarzeń, które już były w innym układzie odniesienia). Na przykład jeżeli w punkie A wybuhnie supernowa, to obserwator w punkie B ją dostrzeże, ale ten w punkie C już nie będzie widział eksplozji [9,10]. II.1.3. Transformaje Lorentza Transformaje Lorentza są liniowym przekształeniem przestrzeni Minkowskiego, które zahowuje interwał odległość zdarzeń w zasoprzestrzeni). Opisują one zależnośi między współrzędnymi i zasem tego samego zdarzenia w dwóh układah odniesienia [13]. Własnośią łąząą spostrzeżenia poszzególnyh obserwatorów jest to, że interwał zasoprzestrzenny miedzy dwoma zdarzeniami A x µ A = x0 A, x A ) oraz B xµ B = x 0 B, x B ) jest zawsze, dla każdego obserwatora, taki sam. Interwał jest zdefiniowany jako: ds 2 BA := x0 B x0 A )2 x B x A ) 2 = η µν x B x A ) µ x B x A ) ν, II.1.3.1) gdzie η µν ) = g µν ) = II.1.3.2) Współzynnikig µν zwane tensorem metryznym zawierają podstawową informaję o własnośiah geometryznyh zasoprzestrzeni, które na moy zasady równoważnośi zależą od rozkładu masy energii) [12 14]. Nieh A będzie zdarzeniem mająym w obu układah współrzędnyh U i U ) współrzędne 0, 0), natomiast zdarzenie B ma współrzędne x µ w układzie U oraz x µ w układzie U. Współrzędne x µ oraz x µ są związane liniowymi transformajami Λ: µν x µ =Λ µ ν x µ. II.1.3.3) Ponieważ interwał zasoprzestrzenny w układah U i U jest niezmiennizy: ds 2 =η µν Λ µ ρλ ν σdx ρ dx σ = ds 2, II.1.3.4) Rys. 8. Sygnał pohodząy od ztereh satelitów 5/55/Szzegolna teoria wzglednosi stozek swiatla.svg/ 250px-Szzegolna teoria wzglednosi stozek swiatla.svg.png) wię otrzymuje się następująy związek: η µν Λ µ ρλ ν σ =η µν. II.1.3.5) W zapisie maierzowym ostatnie równanie ma postać: η =Λ T ηλ. II.1.3.6) Transformaje liniowe Λ, które spełniają równ. II.1.3.6), nazywają się transformajami Lorentza. Gdy układ U porusza się z prędkośiąv = v 1,v 2,v 3 ) względem układu U, to maierz transformaji Lorentza wygląda w następująy sposób: POSTĘPY FIZYKI TOM 60 ZESZYT 4 ROK

9 γ β v1 Λ µ ν = β v2 β v3 β v1 β v2 β v3 1 + γ 1) v1 ) 2 γ 1) v1 v 2 γ 1) v1 v 3 v) 2 v) 2 v) 2 γ 1) v1 v γ 1) v2 ) 2 γ 1) v2 v 3 v) 2 v) 2 v) 2 γ 1) v1 v 3 v) 2 γ 1) v2 v γ 1) v3 ) 2 v) 2 v) 2. II.1.3.7) Transformaję współrzędnyh z układu nieruhomego U do poruszająego się względem niego układu U przedstawia wyrażenie x µ x µ =Λ µ ν x ν : x 0 x 1 x 2 = x 3 γ β v1 β v2 β v3 gdzieγ = 1/ 1 v 2 /,β =v/, zyliγ = 1/ 1 β 2. β v1 β v2 β v3 1 + γ 1) v1 ) 2 γ 1) v1 v 2 γ 1) v1 v 3 v) 2 v) 2 v) 2 γ 1) v1 v γ 1) v2 ) 2 γ 1) v2 v 3 v) 2 v) 2 v) 2 γ 1) v1 v 3 v) 2 γ 1) v2 v γ 1) v3 ) 2 v) 2 v) 2 x 0 x 1 x 2, x 3 II.1.3.8) Transformaje Lorentza mają najprostszą postać wówzas, gdy odpowiadająe sobie osie współrzędnyh kartezjańskih inerjalnyh układów odniesienia, nieruhomego P i poruszająego się P, są do siebie wzajemnie równoległe, przy zym układ P porusza się ze stałą prędkośią v wzdłuż osi OX. Jeśli ponadto jako pozątek odlizania zasu w obu układah t = 0) i t = 0) wybrany został moment, w którym pozątki osi współrzędnyh O i O w obu układah pokrywają się, to transformaje Lorentza są w postai: x 0 γ γβ 0 0 x 0 x 1 x 2 = γβ γ 0 0 x x 2, II.1.3.9) x x 3 t =γt vx/ ) t =γt +vx / ) x =γx vt) x =γx y lub +vt ) =y y =y. z = z z = z II ) Dla prędkośi znaznie mniejszyh od prędkośi światłaγ 1iv/ 0, transformaja Lorentza staje się równoważna transformaji Galileusza. Oznaza to, że ta druga jest przybliżeniem transformaji Lorentza dla małyh prędkośi. Przekształenia wynikająe z transformaji Lorentza, a wię i szzególnej teorii względnośi, prowadzą do różnyh wniosków fizyznyh w porównaniu do mehaniki Newtona) przy względnyh prędkośiah porównywalnyh do prędkośi światła [13 16]. Niektóre wnioski szzególnej teorii względnośi: Dylataja zasu zas, jaki mija pomiędzy dwoma zdarzeniami, nie jest jednoznaznie określony, lez zależy od obserwatora. Czas trwania zjawiska, zahodząego w punkie przestrzeni, obserwowany z punktów poruszająyh się względem tego punktu, jest dłuższy niż zas trwania tego zjawiska w układzie odniesienia, w którym ten punkt spozywa. W układzie U spozywa zegar. W tym samym miejsu x,y, z zahodzą dwa zdarzenia, miedzy którymi w układzie U upłynął zas t = t 2 t 1. Szukamy zasu t = t 2 t 1, jaki upłynął miedzy tymi zdarzeniami w układzie U. Znają wzory na przekształenie Lorentza II ), mamy: t 1 = t 1 vx / oraz t 2 = t 2 vx / II ) 1 v2 / 1 v2 /2. Odejmują t 1 od t 2 otrzymujemy: t = t 2 t 1 = t 1 v2 /. II ) Zwolnienie tempa upływu zasu, w układzie poruszająym się względem drugiego układu poruszająego się z mniejszą prędkośią, opisuje zależność: t = t 1 v 2 /, II ) gdzie: t zas w układzie U, t zas w układzie U,v prędkość układu U względem U [15,17,18]. Masa jest równoważna energii, a związek między tymi wielkośiami opisuje wzór E = m. Zwiększenie energii układu zwiększa jego masę, zmniejszenie energii powoduje zmniejszenie masy. I odwrotnie, ubytek masy oznaza ubytek energii układu tzw. defiyt masy). Ruh dowolnego układu opisuje się za pomoą zasady najmniejszego działania, która mówi, że istnieje ałka S zwana ałką działania przyjmująa dla ruhów rzezywistyh najmniejszą wartość. Wyraża się to przez warunek, że jej wariaja jest równa zero:δs = 0. Całka ta 142 POSTĘPY FIZYKI TOM 60 ZESZYT 4 ROK 2009

10 powinna być niezmienniza względem transformaji Lorentza, zatem wyrażenie podałkowe powinno być skalarem. W przypadku jednej swobodnej ząstki jedynym skalarem, który ją harakteryzuje, jest jej interwał ds lub αds, gdzie α jest pewną stałą. Wię działanie jest dane wzorem: S = α b a ds. II ) Wprowadzają funkję Lagrange a L w następująej postai: L = α η µν dx µ dx ν = α 1 v 2 /, II ) ałka działania II ) przyjmuje formę: S = tb t a Ldt. II ) Rozwijają w szereg potęgowy względem v/ wyrażenie 1 v2 / i odrzuają wyrazy wyższyh rzędów, otrzymamy równanie II ) w postai: L = α 1 v 2 / α + αv2 2. II ) Odrzuają stałą α i porównują z wyrażeniem klasyznym otrzymamy, żeα = m, zatem ałka działania przyjmuje postać: C = m b a funkja Lagrange a ma formę: L = m 1 v 2 /. a ds, II ) II ) Wektor pędu p = p i ) jest otrzymany z funkji Lagrange a: p i = L/ v i. Dla L danego wzorem II ) wektor pędu jest równy: mu p = 1 v2 /. II ) Wprowadzają pojęie zteropędu p µ, który składa się z energii układu E i wektora pędu p, oraz przyjmują że składowe kowariantne są dane wyrażeniem: p µ = E/, p), można wyznazyć energię układu E korzystają z zależnośi: E = p u L. Zatem energia dla ząstki swobodnej wyraża się w następująy sposób: E = p u L = m 1 v2 /, II ) skąd wynika, że energia ząstki w swoim układzie spozynkowym jest wielkośią stałą [17,18]: E = m. II ) Względność jednozesnośi dwa zdarzenia określone jako jednozesne przez jednego obserwatora, nie są jednozesne dla innego obserwatora [15]. Kontrakja przestrzeni odległośi między punktami zależą od układu. Wszystkie poruszająe się przedmioty obserwujemy jako krótsze w kierunku ruhu [15]. W nieruhomym układzie U znajduje się pręt, którego długość w tym układzie wynosi x = x 2 x 1 x 1 i x 2 są współrzędnymi końów pręta w U). W układzie U długość tego pręta wynosi x = x 2 x 1 x 1 i x 2 są współrzędnymi końów pręta w U ). Znają wzory na przekształenie Lorentza II ), znajdujemy: x 1 = x 1 +vt x 2 oraz x 2 = +vt II ) 1 v2 / 1 v2 /2. Odejmują x 1 od x 2, otrzymujemy: x = x 1 v2 /. II ) Długość pręta w układzie, w którym on spozywa U) nazywa się długośią własną oznazaną przez l 0 = x, natomiast długość tego samego pręta w układzie poruszająym się U jest oznazona przez l. Wtedy: l = l 0 1 v2 /, II ) gdzie: l 0 długość w układzie U, l długość w układzie U,v prędkość względna układów U i U [15,17,18]. Reguła dodawania prędkośi Definiują prędkośćv U w układzie U i prędkośćv U w układzie U jakov U = dx 1 /dt orazv U = dx 1 /dt, otrzymujemy względną prędkośćv UU pomiędzy dwoma układami U i U [9,10,15,17,18]: v UU = v U +v U 1 +v U v U /2. II ) Zwiększanie się masy przy zwiększaniu prędkośi iała wartość masy iała znajdująego się w poruszająym się układzie U, mierzona przez obserwatora z układu U poruszająego się z mniejszą prędkośią, jest większa niż, gdyby to iało znajdowało się w układzie U zgodnie z równaniem: m = m 1 v2 /, II ) gdzie: m masa w układzie U, m masa w układzie U, v prędkość względna układów U i U [15,17,18]. II.2. Ogólna teoria względnośi Ogólna teoria względnośi OTW) została opublikowana w 1916 roku i nazywana jest teorią grawitaji Alberta Einsteina. Według niej siła grawitaji wynika z lokalnej geometrii zasoprzestrzeni. Nieeuklidesowa geometria zasoprzestrzeni została rozwinięta przez George a Bernarda Riemanna, ale stała się szerzej znana dopiero wówzas, gdy do szzególnej teorii względnośi Einsteina Hermann Minkowski wprowadził pojęie zasoprzestrzeni tzw. zasoprzestrzeń Minkowskiego). Teoria grawitaji Einsteina jest uogólnieniem szzególnej teorii względnośi, która obowiązuje dla inerjalnyh układów odniesienia, rozszerzonym na dowolne układy odniesienia, wśród któryh występują także układy nieinerjalne. W teorii względnośi nie możemy mówić o wielkośiah fizyznyh, takih jak prędkość zy przyspieszenie, POSTĘPY FIZYKI TOM 60 ZESZYT 4 ROK

11 nie określają wześniej układu odniesienia. Układ odniesienia definiuje się poprzez wybór pewnego punktu w zasoprzestrzeni, z którym jest on związany. Oznaza to, że każdy ruh określa się i mierzy względem pewnyh określonyh układów odniesienia. OTW stwierdza, że z daną dokładnośią można definiować jedynie lokalne układy odniesienia, dla skońzonyh okresów zasu i ogranizonyh obszarów w przestrzeni. Cząstki, na które nie działa żadna siła, poruszają się po liniah prostyh w lokalnyh inerjalnyh układah odniesienia. Jednak, jeżeli przedłużymy te linie, to nie otrzymujemy linii prostyh, lez krzywe zwane geodezyjnymi. Inerjalne układy odniesienia harakteryzują się tym, że iała fizyzne nie zmieniają swojego stanu ruhu, jeżeli nie oddziałują z żadnym innym iałem fizyznym, natomiast w przypadku układów nieinerjalnyh poruszająe się iała mają przyspieszenie pohodząe od układu odniesienia. Pojawia się tutaj pozorna siła wynikająa z przyspieszenia samego układu odniesienia, a nie z oddziaływania z innym iałem fizyznym. Matematyznie biorą, Einstein przedstawia zasoprzestrzeń za pomoą zterowymiarowej pseudo-riemannowskiej rozmaitośi 1, a jego równania pola mówią, że krzywizna rozmaitośi w punkie jest bezpośrednio związana z tensorem energii pędu w tym punkie tensor ten jest miarą gęstośi materii i energii). Krzywizna określa sposób, w jaki materia się porusza, a materia określa sposób, w jaki przestrzeń się zakrzywia [19,20]. W 1916 roku astronomowie ały Wszehświat utożsamiali z Drogą Mlezną ogromnym dyskopodobnym skupiskiem gwiazd, które powoli krążą wokół jej entrum. Nie byli pewni, zy gwiazdy wypełniają ałą przestrzeń, zy też są skupione w obszarze Drogi Mleznej, a poza nią istnieje tylko pusta przestrzeń. Uważano, że rozkład gwiazd jest stajonarny, a przestrzeń jest statyzna. Einstein przekonał się, że równania ogólnej teorii względnośi nie mogą opisać takiego statyznego Wszehświata. Zatem zmodyfikował swoje równania dodają do nih dodatkowy parametr zwany stałą kosmologizną Λ. Opisywała ona stałą siłę równoważąą siłę przyiągania grawitayjnego miedzy gwiazdami i została wprowadzona, aby Wszehświat pozostał statyzny tzn. nierozszerzająy i niezapadająy się). Zakładają, że Wszehświat jest statyzny i ma stałą dodatnią krzywiznę, a wię ma skońzoną objętość, Einstein wyprowadził zależność między promieniem krzywizny a średnią gęstośią materii we Wszehświeie. W 1923 roku Edwin Hubble odkrył, że tak zwane mgławie spiralne są ogromnymi skupiskami gwiazd galaktykami) położonymi daleko poza graniami Drogi Mleznej. Sześć lat później wykazał, że galaktyki oddalają się od nas z prędkośią proporjonalną do ih odległośi. Statyzny model Wszehświata upadł, a wraz z nim konepja stałej kosmologiznej. Wiele lat później Einstein przyznał, że wprowadzenie stałej kosmologiznej było największą pomyłką w jego żyiu. Choć statyzny model Wszehświata odszedł w zapomnienie, nie zapomniano o stałej kosmologiznej. Zazęto ją ponownie wprowadzać podzas prób kwantowania pola grawitayjnego. W ogólnej teorii względnośi każda postać energii zakrzywia przestrzeń. Energia próżni, zakrzywiająa przestrzeń, zahowuje się analogiznie do stałej kosmologiznej, hoć przekraza o ponad sto rzędów wielkośi jej akeptowalną wartość [21,22]. Różnię taką powodują rozbieżnośi pomiędzy wartośiami energii próżni stałej kosmologiznej) wynikająymi z obserwaji opartyh na ogólnej teorii względnośi a wartośiami oblizonymi w modelah kwantowej teorii pola. Z obserwaji dalekih supernowyh wynika, że obenie Wszehświat rozszerza się oraz szybiej zamiast oraz wolniej, tak jak powinien gdyby zawierał jedynie zwykłą materię. Ten wynik obserwayjny można wyjaśnić zakładają, że obenie gęstość energii materii we Wszehświeie jest zdominowana przez iemną energię 2 lub stałą kosmologizną. Zostało to potwierdzone przez satelitę WMAP, który mierzy anizotropię rozkładu temperatury promieniowania reliktowego 3. Okazało się, że obenie Wszehświat składa się w 73% z iemnej energii, w 23% z iemnej egzotyznej materii, natomiast zwykła materia stanowi zaledwie 4% średniej gęstośi materii energii) [21,22]. II.2.1. Geometria zasoprzestrzeni a rozkład mas Ogólna teoria względnośi wiąże geometrię zasoprzestrzeni z rozkładem materii. Czasoprzestrzeń jest rozmaitośią różnizkową, której punktom przyporządkowuje się ztery współrzędne: x µ = x 0 = t, x 1, x 2, x 3 ). II.2.1.1) Odległość między dwoma punktami o współrzędnyh x µ i x µ + dx µ opisana jest wzorem: ds 2 =gx) µν dx µ dx ν. II.2.1.2) Lokalna płaskość zakrzywionej zasoprzestrzeni oznaza możliwość przejśia do takiego układu współrzędnyh, aby g µν = e a µe b νη ab. Pola e a µx) nazywamy polami reperów. Zawierają one ałą informaję o zakrzywieniu zasoprzestrzeni. Z matematyznego punktu widzenia pola reperów są formami różnizkowymi e a = e a µdx µ [19,23,24]. 1 Rozmaitość pseudo-riemannowska uogólnienie rozmaitośi riemannowskiej rozmaitość różnizkowa M,g), dla której zdefiniowany jest tensor metryzny g oraz istnieje funkja dx, y) określająa najkrótszą możliwą krzywą łąząą punkty x i y jako rzezywistą nieujemną wartość); tutaj tensor metryzny nie musi być dodatnio określony, lez tylko niezdegenerowany. 2 Ciemna energia w kosmologii hipotetyzna forma energii wypełniająa ałą przestrzeń i wywierająa na nią ujemne iśnienie, powodują tym samym rozszerzanie się Wszehświata. 3 Promieniowanie reliktowe mikrofalowe promieniowanie tła) to rodzaj promieniowania o rozkładzie termiznym energii, zyli widmie iała doskonale zarnego o temperaturze 2,7 K. Maksimum gęstośi energii przypada na długość fali 1,1 mm. Promieniowanie to jest pozostałośią po wzesnyh etapah ewoluji Wszehświata, wypełnia Wszehświat i niemal nie oddziałuje z ząstkami materii. 144 POSTĘPY FIZYKI TOM 60 ZESZYT 4 ROK 2009

12 II.2.2. Równania Einsteina Równania Einsteina opisują związek między zakrzywieniem zasoprzestrzeni tensorem metryznymg µν ) a rozkładem materii opisanej tensorem energii pędu T µν. Są równaniami ruhu dla pola grawitayjnego i dla pól materii i mają następująą postać: R µν 1 2 g µνr = 8πk T µν. II.2.2.1) 4 Ogólniejsza postać tyh równań została zaproponowana przez Einsteina poprzez dodanie stałej kosmologiznej Λ: R µν 1 2 g µνr +Λg µν = 8π GT µν, II.2.2.2) 4 gdzie: R µν jest tensorem krzywizny Riiego, R jest skalarem krzywizny Riiego, g µν to tensor metryzny, Λ to stała kosmologizna, T µν jest tensorem energii pędu, prędkośią światła w próżni, a G to stała grawitaji [18,19,23,24]. Równania Einsteina II.2.2.2) opisują tensor metryznyg µν, który jest określony poprzez rozkład materii i energii zawarty w tensorze energii pędu pól materii. Równania te są bardzo skomplikowane ze względu na złożoną i nieliniową zależnośią tensora i skalara krzywizny Riiego od tensora metryznego. W konsekwenji równania Einsteina zostały rozwiązane jedynie w nieliznyh przypadkah np. dla układów o sferyznie symetryznym rozkładzie masy metryka Shwarzshilda). II.3. Rozwiązania równań Einsteina II.3.1. Metryka Shwarzshilda Jedno z rozwiązań równań Einsteina zostało odkryte przez K. Shwarzshilda w 1916 roku. Rozwiązanie to ałkowiie określa pole grawitayjne w próżni wytworzone przez dowolny nieobraająy się układ o entralnie symetryznym rozkładzie materii pozostająym w spozynku. Symetria entralna oznaza, że metryka zasoprzestrzeni interwał ds) powinna być niezmienniza względem trójwymiarowej grupy obrotów. Metryka ta wyrażona jest wzorem: ds 2 = 1 r g r ) dt 2 r 2 dθ 2 + sin 2 θdϕ 2 ) dr 2 1 r g /r. II.3.1.1) Metryka ta posiada pozorną osobliwość na tzw. horyzonie zdarzeń, który jest zadany powierzhnią sfery o promieniu r g r g = 2km/ promień grawitayjny iała). Cząstki i promienie świetlne mogą przehodzić przez tę powierzhnię tylko w jednym kierunku do jej wnętrza [18,23]. III. Zjawiska relatywistyzne w GPS III.1. Zjawiska relatywistyzne GPS wykorzystuje dokładne, stabilne zegary atomowe na satelitah i na Ziemi, aby dostarzać określonyh współrzędnyh położenia i zasu. W konstelaji GPS zegary na satelitah utrzymują zas z dokładnośią ok. 4 ns na dzień. Zegary te mają grawitayjne i kinematyzne przesunięia zęstotliwośi, identyfikowane jako zjawiska relatywistyzne. Mimo że prędkośi zegarów są małe i pola grawitayjne są słabe, to jak się okazuje należy uwzględnić między innymi następująe zjawiska relatywistyzne: 1) Pole grawitayjne wpływa na tempo upływu zasu przesunięie zęstotliwośi) zegary spóźniają lub spieszą się, w zależnośi od ih ruhu względnego oraz od ih odległośi od źródła pola grawitayjnego, którym jest Ziemia. 2) Zjawisko Sagnaa jest związane z dobowym ruhem obrotowym Ziemi oraz ruhem orbitalnym satelitów wokół Ziemi wnosi błędy pomiaru zasu rzędu 200 nanoseknd na dobę). 3) Zjawisko grawitomagnetyzne dobowy obrót pola magnetyznego Ziemi wpływa na tempo upływu zasu; poprawki są rzędu pikosekund na dobę, są do zaniedbania [25]. Aby mó opisać te zjawiska, należy wprowadzić kilka układów odniesienia, które są przydatne do sformułowania odpowiednih równań ruhu, dotyząyh satelitów i odbiorników sygnałów na powierzhni Ziemi. W elu zdefiniowania układu odniesienia referene frame) mówi się o systemie odniesienia referene system), który jest zbiorem układów odniesienia. Stanowi on zbiór ustaleń i zaleeń, konieznyh do wyznazenia parametrów, potrzebnyh do określenia w sposób jednoznazny układu. Parametry te to: pozątek układu, jednostki skali na odpowiednih osiah i orientaja osi. Następnie należy znaleźć zależnośi tyh parametrów od zasu. Układ odniesienia stanowi praktyzną realizaję systemu odniesienia. Na układ odniesienia składają się wyznazone z obserwaji wartośi powyższyh parametrów [26]. Wyróżnia się kilka układów odniesienia: ECI Earth-Centered Inertial) jest inerjalnym, geoentryznym układem odniesienia. Środek układu odniesienia jest w środku masy Ziemi. W tym układzie płaszzyzna równikowa Ziemi jest nahylona pod kątem 23,5 do płaszzyzny ekliptyki. To wyznaza orientaję układu ECI. Ziemia obraa się względem ustalonyh osi ze zdefiniowaną prędkośiąω E = 7, rad/s. Rysunek 9 przedstawia lokalizaję Ziemi w tym układzie. Układ x, y, z jest układem współrzędnyh związanyh na stałe z Ziemią, natomiast osie X, Y, Z wyznazają układ ECI, w którym określona jest pozyja satelity [27]. ECEF Earth-Centered, Earth-Fixed) jest kartezjańskim układem współrzędnyh na stałe związanym z Ziemią i wykorzystywanym w systemie GPS. Pozątek układu odniesienia 0, 0, 0) jest w środku masy Ziemi. Oś z pokrywa się z osią obrotu Ziemi, oś x przeina powierzhnię Ziemi w punkie o współrzędnyh geografiznyh: 0 szerokośi geografiznej i 0 długośi geografiznej. Natomiast ośy jest prostopadła do płaszzyzny wyznazonej przez osie x i z i przeina równik w punkie o długośi geografiznej 90 E. Oznaza to, że układ ECEF obraa się razem z Ziemią wokół osi z, zatem współrzędne nieporuszająego się po powierzhni Ziemi punktu są stałe. Układ ten opisany jest symbolem WGS-84G873). Na rysunku 9 jest on reprezentowany przez osie x,y, z [28]. POSTĘPY FIZYKI TOM 60 ZESZYT 4 ROK

13 Rys. 9. Położenie Ziemi w układah ECI i ECEF ICRF International Celestial Referene Frame) Międzynarodowy Niebieski Niebiański) Układ Odniesienia jest quasi-inerjalnym układem odniesienia, według którego geometryzny środek znajduje się w środku masy Układu Słoneznego. ICRF jest obenie standardowym układem odniesienia używanym do określenia pozyji planet w tym Ziemi) i innyh obiektów astronomiznyh zdefiniowany z dokładnośią do około 30µas as sekunda łuku) poprzez podanie 212 pozyji radioźródeł [29]. W następnyh podrozdziałah przedstawiono opis zjawisk relatywistyznyh, które mają zasadnizy wpływ na wyznazanie poprawek zasowyh. Zjawisko grawitomagnetyzne daje zaburzenie o wiele mniejsze niż pozostałe wyżej wymienione. III.2. Przesunięia zęstotliwośi Aby wyznazyć przesunięie zęstotliwośi sygnałów radiowyh fal elektromagnetyznyh) w polu grawitayjnym Ziemi będziemy korzystać z metryki Shwarzshilda: ds 2 = 1 2GM r ) dt 2 1 2GM r ) 1 dr 2 r 2 dω 2, III.2.1) gdzie dω 2 = dθ 2 + sin 2 θdϕ 2. Równanie III.2.1) dzielimy obustronnie przez dt 2 i równoześnie przyjmujemy, że θ = 0 tzn. że wybieramy płaszzyznę równikową obiektu sferyznie symetryznego o masie M). W wyniku tej operaji otrzymamy zależność: ds dt ) 2 = 1 2GM r ) 1 2GM r ) 1 dr dt ) 2. III.2.2) Rozwijają w szereg wyrażenie 1 2GM/r ) 1 zgodnie ze wzorem 1 x) x, otrzymujemy: ) 2 ds = 1 2GM ) 1 + 2GM ) ) 2 dr. III.2.3) dt r r dt Wprowadzają prędkość dr/dt i potenjał Newtona V = GM/r oraz zaniedbują pierwszy złon w równaniu III.2.3), dostaniemy: ) 2 ds = 1 + 2V ) v2 dt, III.2.4) gdzie t jest zasem mierzonym w inerjalnym układzie odniesienia umieszzonym w nieskońzonośi, a v prędkośią liniową obiektu na równikowej orbiie kołowej o promieniu r. Interwał zasoprzestrzenny ds ma interpretaję zasu własnego dτ obiektu znajdująego się w położeniu r oraz poruszająego się z prędkośią v. Związek III.2.4) jest kluzowym równaniem w proedurze wyznazania przesunięia zęstotliwośi sygnałów. Zastosujemy go do wyznazenia ilorazów zasów własnyh dwóh różnyh obiektów zegarów), tj. do zegara na powierzhni Ziemi i zegara na orbiie. Czas t jest w obu przypadkah ten sam, wię iloraz zasów własnyh ma postać: ) 2 dτz = 1 2GM Z/R Z v 2 Z /2 dτ s 1 2GM Z /R s v 2 s/, III.2.5) gdzie dτ Z dτ s ) to zas własny zegara na Ziemi na sateliie), M Z to masa Ziemi, R Z promień Ziemi na równiku, R s promień orbity satelity,v Z prędkość liniowa zegara na równiku Ziemi,v s prędkość liniowa zegara na sateliie. Równanie III.2.5) będzie stosowane w dwóh przypadkah: gdy prędkośi zegarów są do pominięia w porównaniu z potenjałem V oraz gdy potenjał V jest do pominięia w porównaniu z prędkośiami [7]. 1. Przesunięie grawitayjne zęstośi w stronę fioletu Gdy zaniedbujemy ruh zegarów ziemskih i satelitarnyh tzn.v Z =v s = 0, wówzas równanie III.2.5) ma formę: dτ Z dτ s = 1 2GM Z /R Z 1 2GM Z /R s. III.2.6) Biorą pod uwagę rozwinięie pierwiastka 1 x) 1/2 1 x/2, równanie III.2.6) można zapisać: dτ Z = GM Z dτ s R Z + GM Z 2 R s = 1 d Z d s ) = 1 D, III.2.7) gdzie D = d Z d s > 0. Wartośi d Z oraz d s są następująe: d Z = GM Z R Z = 6, , d s = GM Z R s = 1, Ponieważ f = 1/τ, to stosunek zęstośi zegara na orbiie i na Ziemi wynosi f s / f Z = 1 D<1. Oznaza to, że wysłany z satelity sygnał o zęstotliwośi f s odbierany na powierzhni Ziemi na zęstotliwośi f Z = f s /1 D)> f s. Częstotliwość sygnału rośnie i mamy przesunięie ku fioletowi. Przesunięie ku fioletowi oznaza, że zegar na orbiie spieszy się względem ziemskiego, gdyż f s / f Z = 1 D<1. W iągu doby różnia we wskazaniah zegarów osiąga wartość: t = ns = 45,7µs. W tym zasie światło przebywa odległość: l = m 14 km [7,26]. 2. Przesunięie kinematyzne zęstośi w stronę zerwieni Zakładamy, że pole grawitayjne na powierzhni Ziemi oraz pole w punkie, gdzie jest satelita, spełniają następująe warunki: 2GM Z /R Z v 2 Z /2, 2GM Z /R s v 2 s/. 146 POSTĘPY FIZYKI TOM 60 ZESZYT 4 ROK 2009

14 Wówzas równanie III.2.5) ma formę: dτ Z 1 v 2 Z = /2 dτ s 1 v 2 s/. III.2.8) Wiedzą, że prędkość satelity na orbiie kołowej wynosi v s = 3874 m/s, prędkość zaś odbiornika na równiku ziemskim wynosiv Z = 465 m/s, rozwijamy w szereg wyrażenia podpierwiastkowe zgodnie ze wzorem 1 x) 1/2 1 x/2. Wówzas otrzymujemy: dτ Z = 1 v2 Z dτ s 2 + v2 s 2 2 = v2 s v 2 Z ) = 1 + B, III.2.9) gdzie B = v 2 s v 2 Z )/22 > 0. Oznaza to, że stosunek zęstośi zegara na orbiie i na Ziemi wynosi: f s / f Z = 1 + B>1. Ponieważ zęstotliwość sygnału maleje f Z = f s /1 + B) < f s ), wię mamy przesunięie ku zerwieni. Przesunięie ku zerwieni powoduje, że zegar na orbiie spóźnia się względem ziemskiego, ponieważ f s / f Z = 1 + B>1. W iągu doby różnia we wskazaniah zegarów osiąga wartość: t = 7100 ns = 7,1µs. W tym zasie światło przebywa odległość: l = 2130 m 2km [7,26]. Kiedy uwzględnimy efekty związane z polem grawitayjnym oraz z względnym ruhem zegarów, to wyrażenie III.2.5) będzie miało postać: dτ Z = 1 2GM Z v2 Z dτ s R Z 2 + 2GM Z 2 R s + v2 s = 1 D+ B>1. 22 III.2.10) Wypadkowa różnia zasu na zegarze ziemskim i satelitarnym przesunięie zęstośi ku fioletowi i zerwieni) jest rzędu t = ns = 39µs. W rezultaie zegar atomowy na orbiie spieszy się względem ziemskiego idzie szybiej) o 39 mikrosekund na dobę. W tym zasie światło przebywa odległość: l = m 12 km [7,26]. III.3. Zjawisko Sagnaa Metryka płaskiej zasoprzestrzeni Minkowskiego we współrzędnyh ylindryznyh dana jest wzorem: ds 2 = dt) 2 + dr 2 + r 2 dφ 2 + dz 2. III.3.1) Dokonajmy transformaji tego inerjalnego układu do układu obraająego się. Wówzas współrzędne{t, r,φ, z } układu, który obraa się z prędkośiąω E są związane ze współrzędnymi układu{t, r, φ, z} w następująy sposób : t = t, r = r, φ =φ +ω E t, z = z. III.3.2) Metryka III.3.1) we współrzędnyh III.3.2) ma postać: ds 2 = 1 ω E 2r 2 / )dt ) 2 + 2ω E r 2 dφ dt + dσ ) 2, III.3.3) gdzie dσ ) 2 = dr ) 2 + r dφ ) 2 + dz ) 2. Każdy punkt w zasoprzestrzeni jest teoretyznie wyposażony w wirtualny zegar. Aby dokonać synhronizaji zegarów, znajdująyh się w dwóh punktah zasoprzestrzeni, wysyłamy sygnał świetlny do punktu zaopatrzonego w zegar. W momenie powrotu sygnału również w postai impulsu świetlnego) znamy opóźnienie zegara, który synhronizowaliśmy. Należy podkreślić, że synhronizujemy zegary tylko w obrębie tego samego układu inerjalnego, uwzględniają zasadę stałośi prędkośi światła. Wtedy światło porusza się po zerowej linii świata, wię ds 2 = 0. Przyjmują parametrω E r / w równaniu III.3.2) za bardzo mały, otrzymamy: a zatem: dt ) 2 2ω Er 2 dφ dt dσ ) 2 = 0, III.3.4) dt = dσ + ω Er 2 dφ. III.3.5) Człon r 2 dφ /2 jest infinitezymalnym polem powierzhni da Z zakreślanym przez promień r, wyhodząy od osi obrotu do miejsa rozhodzenia się światła w obraająym się układzie współrzędnyh. Czas, w którym światło pokonuje drogę γ we współrzędnyh biegunowyh jest otrzymany przez sałkowanie równania III.3.5): γ dt = γ dσ + 2ω E γ da Z. III.3.6) Naiwne użyie Einsteinowskiej proedury synhronizaji zegarów w obraająym się układzie odniesienia daje tylko pierwszy wyraz po prawej stronie równania III.3.6), o prowadzi do poważnego błędu. Dla proesu synhronizaji, przeprowadzanego na ziemskim równiku w kierunku wshodnim, wyrażenie 2ω E / ma wartość 2ω E / = 1, s/m 2, natomiast promień równika r E = m, wię pole powierzhni wielkiego koła równikowego jest równe:πr 2 E = 1, m 2. Zgodnie z tym ostatni złon w równaniu III.3.6) jest: 2ω E da Z droga = 207,4 ns. III.3.7) W inerjalnym układzie odniesienia zas otrzymany z równania III.3.7) jest interpretowany jako dodatkowy zas potrzebny, aby światło dotarło do poruszająego się punktu. Poruszają się wzdłuż równika na wshód w proesie synhronizaji, ostatni zegar w siei zegarów będzie się opóźniał o 207,4 ns względem pierwszego. Wybierają kierunek poruszania się na zahód otrzymuje się, że ostatni zegar będzie się spieszył o 207,4 ns względem pierwszego [30]. Jeśli dwa impulsy światła są wysłane w przeiwnyh kierunkah wokół utworzonej ze światłowodu nieruhomej kołowej pętli o promieniu R, to będą one poruszały się po tej samej drodze, którą przebędą w tym samym zasie patrz rys. 10 po lewej stronie). Prawa strona rys. 10 ilustruje sytuaję, gdy pętla wiruje; symbol α oznaza drogę kątową pętli w zasie ruhu impulsów światła. Dla dodatnih wartośi α impuls biegnąy zgodnie z kierunkiem obrotu przebywa nieo dłuższą drogę, w wyniku zego osiąga konie pętli nieo później. POSTĘPY FIZYKI TOM 60 ZESZYT 4 ROK

15 natomiast trzei złon jest potenjałem związanym z obrotem Ziemi. Zatem metryka w układzie ECEF przyjmuje postać: ds 2 = 1 + 2φ ) 0 dt 2 2ω E r 2 sin 2 θdϕ dt 1 2V ) dr 2 r 2 dω 2. III.4.5) Rys. 10. Droga przebyta przez impulsy światła wsalejda/pop/gps final.pdf) Jeśli przez ω oznazymy prędkość kątową, wówzas prędkość styzna końów pętli jest równav=ωr, a wypadkowe prędkośi impulsów są v i +v. Oba impulsy rozpozynają bieg po drodze 2πR w układzie związanym z osią obrotu). Tak wię różnia zasów przebiegu obu impulsów wynosi: t = 2πR 1 v 1 +v ) = 4πRv v = 4Aω 2 v2, III.3.8) gdzie A =πr 2 jest powierzhnią pętli [25]. III.4. Współrzędna zasowa w systemie GPS Metrykę Shwarzshilda opisana wzorem II.2.1) można zapisać w postai: ds 2 = 1 + 2V ) dt 2 1 2V ) dr 2 r 2 dω 2, III.4.1) gdzie V jest newtonowskim potenjałem oraz metryka na sferze jednostkowej ma postać: dω 2 = dθ 2 + sin 2 θdϕ 2. Transformaja z układu ECI do układu ECEF zdefiniowanyh w podrozdziale III.1) polega na następująej zamianie współrzędnyh: t = t, r = r, θ =θ, ϕ =ϕ +ω E t, wię równanie III.4.1) przyjmie postać: ds 2 = 1 + 2φ ) ef dt 2 2ω E r 2 sin 2 θdϕ dt 1 2V ) dr 2 r 2 dω 2, III.4.2) gdzieφ ef jest efektywnym potenjałem, w obraająym się układzie ECEF, zdefiniowanym w następująy sposób: φ ef = V ω2 E r2 sin 2 θ. III.4.3) 2 Na równiku r = r E,θ=π/2) wartość potenjału efektywnegoφ ef =φ 0 podzielonego przez kwadrat prędkośi światła jest równa: φ 0 GM 2GM = 2 r E J E r2 E = 6, III.4.4) 2r E ω2 2 Pierwszy wyraz po prawej stronie równania III.4.4) związany jest z polem grawitayjnym, drugi wyraz dotyzy kwadrupolowego potenjału ziemskiego. J 2 jest ziemskim momentem kwadrupolowym i ma wartość J 2 = 1, , Współrzędna zasowa t w powyższej metrye i współrzędna zasowa oznazona jako t GPS dla nieruhomyh zegarów na geoidzie jest związana jak następuje: dt GPS = 1 + 2φ 0 dt III.4.6) 2 lub w pierwszym przybliżeniu dt GPS = 1 + φ ) 0 dt. III.4.7) W systemie GPS współrzędna zasowa t GPS opóźnia się względem współrzędnej zasowej t, mierzonej przez inerjalnego obserwatora w nieskońzonośi. Aby otrzymać metrykę w układzie ECI, należy podstawić równanie III.4.6) do równania III.4.1), o daje następująy związek: ds 2 = 1 + 2V φ 0) ) dt 2GPS 1 2V ) dr 2 r 2 dω 2. III.4.8) Z prawej strony równania III.4.8) przed nawias wyiągamy dt 2 GPS i otrzymujemy: ds 2 = 1 + 2V φ 0) ) 1 2V ) 2 r2 dω dt 2 dtgps 2. GPS ) ) 2 1 dr dt GPS III.4.9) Prędkość liniowa satelity, znajdująego się na orbiie kołowej o stałym promieniu r w układzie odniesienia ECI, dana jest wzorem: v s = r dω dt GPS. III.4.10) Zatem zas własny zegara na sateliie jest równy: dτ s = ds = 1 + V φ ) 0 v2 s dt 2 GPS. III.4.11) Współrzędną zasową w systemie GPS wyznazamy ałkują równanie III.4.11) wzdłuż pewnej drogi C i otrzymujemy związek: dt GPS = dτ s 1 V φ ) 0 + v2 s. III.4.12) 2 C C Przy założeniu, że orbita, po której porusza się satelita, jest kołowa i ma promień r, kwadrat jego prędkośi jest równy:v 2 s = GM/r, natomiast potenjał w punkie, gdzie 148 POSTĘPY FIZYKI TOM 60 ZESZYT 4 ROK 2009

16 znajduje się satelita, jest równy: V = GM/r. Wtedy równanie III.4.12) przyjmuje postać: dt GPS = dτ s 1 + 3GM ) 2r +φ 0. III.4.13) 2 C C Dla promienia orbity r = km wartość w nawiasie równania III.4.13) jest następująa: 3GM 2r +φ 0 = 4, = 38,58µs/d. III.4.14) Wypadkowa różnia zasu na zegarze ziemskim i satelitarnym jest rzędu t = 38,58µs. Oznaza to, że zegar atomowy satelity spieszy się względem ziemskiego idzie szybiej) o 38,58 mikrosekund na dobę. W tym zasie światło przebywa odległość: l = m [7,30]. Podsumowanie Praa miała na elu przedstawienie sposobu działania systemu GPS oraz istotę uwzględniania poprawek wynikająyh z ogólnej i szzególnej teorii względnośi. Bez tyh poprawek nie byłoby możliwe wyznazenie położenia. Dopiero wprowadzanie odpowiednih równań i warunków wykluzało kolejne pomyłki systemu. Istotną rolę w systemie GPS odgrywają równania Einsteina, które opisują związek między zakrzywieniem zasoprzestrzeni a rozkładem materii. W pray przedstawiono kilka możliwyh rozwiązań tyh równań, lez szzególną uwagę poświęono metrye Shwarzshilda równanie II.3.1.6)), gdyż ją wykorzystuje system GPS. Za pomoą metryki Shwarzshilda przedstawić można zjawiska relatywistyzne wyprowadzają odpowiednie zależnośi) ważne w prawidłowym działaniu GPS, m.in.: grawitayjne i kinematyzne przesunięia zęstotliwośi sygnału, zjawisko Sagnaa oraz współrzędną zasową. Każde z tyh zjawisk wnosi pewne poprawki zasowe, które należy uwzględnić w proesie synhronizaji zegarów na sateliie i na powierzhni Ziemi. Aby dokonać synhronizaji zegarów, znajdująyh się w dwóh punktah zasoprzestrzeni, wysyłamy sygnał świetlny do punktu zaopatrzonego w zegar. W momenie powrotu sygnału znamy opóźnienie zegara, który synhronizowaliśmy. Należy podkreślić, że synhronizujemy zegary tylko w obrębie tego samego układu odniesienia. Grawitayjne przesunięie zęstotliwośi w stronę fioletu zahodzi wówzas, gdy ruh zegarów ziemskih i satelitarnyh jest zaniedbywalnie mały v Z =v s = 0) w porównaniu do działająego pola grawitayjnego. Daje ono różnię zasów: t = ns = 45,7µs. Kinematyzne przesunięie zęstotliwośi w stronę zerwieni uwzględnia ruh zegarów ziemskih i satelitarnyh, lez zakładamy tutaj, że działanie pola grawitayjnego na powierzhni Ziemi oraz pola w punkie, gdzie znajduje się satelita, jest bardzo małe. Założenia takie prowadzą do powstania różniy zasów miedzy wskazaniami zegarów rzędu t = 7100 ns = 7,1 µs. Kiedy uwzględnimy efekty związane z polem grawitayjnym oraz z względnym ruhem zegarów, wypadkowa różnia zasu na zegarze ziemskim i satelitarnym przesunięie zęstośi ku fioletowi i zerwieni) jest rzędu t = ns = 39µs. W rezultaie zegar atomowy na orbiie spieszy się względem ziemskiego o 39 mikrosekund na dobę. Zjawisko Sagnaa rozpatrywane w inerjalnym układzie odniesienia prowadzi do uzyskania różniy zasu w siei zegarów równej o do wartośi 207,4 ns równanie III.3.7)). Jest ona interpretowana jako dodatkowy zas potrzebny, aby światło dotarło do poruszająego się punktu. Współrzędna zasowa w systemie GPS, wyznazana dla satelity poruszająego się po stałej orbiie kołowej o promieniu r, prowadzi do wypadkowej różniy zasu na zegarah ziemskim i satelitarnym równanie III.4.13)) rzędu t = 38,58µs, wię zegar atomowy satelity spieszy się względem ziemskiego o 38,58 mikrosekund na dobę. Rozważania dotyząe współrzędnej zasowej prowadzą do zależnośi opisanej równaniem III.4.12). Formuła ta zawiera w sobie kilka głównyh źródeł błędu m.in. globalne przesunięie ku fioletowi, ziemski potenjał kwadrupolowy, potenjał związany z rotają Ziemi i zjawiska związane z ruhem satelitów na orbitah. Pominięie błędów wynikająyh z wyżej wymienionyh zjawisk relatywistyznyh powodowałoby wskazanie niepoprawnyh położeń odbiornika, a o z tym idzie, również nieprawidłowe działanie ałego systemu GPS. Zatem w proesie synhronizaji zegarów na sateliie i na powierzhni Ziemi kluzową rolę odgrywają zależnośi pohodząe ze szzególnej i ogólnej teorii względnośi, które umożliwiają wprowadzanie odpowiednih korekt w działaniu systemu. Literatura [1] gps/gps/tres.htm. [2] system nawigayjny). [3] Positioning System. [4] [5] [6] systemu gps.do. [7] J.F. Pasual-Sánhez, Introduing Relativity in Global Navigation Satellite Systems, v3. [8] [9] W. Kopzyński, A. Trautman, Czasoprzestrzeń i grawitaja PWN, 1984). [10] Szzególna teoria względnośi. [11] [12] zasoprzestrzenny. [13] Lorentza. [14] Lorentza. [15] D.J. Griffiths, Podstawy elektrodynamiki PWN, 2006). [16] B.F. Shutz, Wstęp do ogólnej teorii względnośi PWN, 1995). [17] Moduł 6. [18] L.D. Landau, E.M. Lifszy, Teoria pola PWN, 1976). [19] teoria względnośi. [20] fizjks/kosmologia/otw/otw.html. [21] kosmologizna. [22] stalak.pdf. POSTĘPY FIZYKI TOM 60 ZESZYT 4 ROK

17 [23] J. Foster, J.D. Nightingale, Ogólna teoria względnośi PWN, 1985). [24] Einsteina. [25] wsalejda/pop/gps final.pdf. [26] [27] Centered Inertial. [28] [29] International Celestial Referene Frame. [30] N. Ashby, Relativity in the Global Positioning System, PTF Nagrody PTF za rok 2009 Nagrody otrzymali: Medal im. Mariana Smoluhowskiego dr Wojieh Żurek z Los Alamos National Laboratory za badania związków pomiędzy fizyką klasyzną i kwantową; Nagrodę im. Wojieha Rubinowiza prof. Jerzy Jurkiewiz z Instytutu Fizyki UJ za udział w sformułowaniu kauzalnej teorii grawitaji w ztereh wymiarah; Nagrodę I stopnia im. Arkadiusza Piekary za wyróżniająą się praę magisterską mgr Anna Dyrdał za praę Topologizny anomalny efekt Halla wykonaną pod kierunkiem prof. Józefa Barnasia na Wydziale Fizyki UAM w Poznaniu; Nagrodę II stopnia za wyróżniająą się praę magisterską mgr Wojieh Brzeziki za praę Kwantowe przejśia fazowe w łańuhah spinowyh wykonaną pod kierunkiem prof. Andrzeja M. Olesia w Instytuie Fizyki UJ; Nagrodę III stopnia za wyróżniająą się praę magisterską mgr inż. Bartłomiej Grześkiewiz za praę Model materiału o ujemnym współzynniku załamania dla fal elektromagnetyznyh z zakresu mikrofalowego wykonaną pod kierunkiem dr hab. Eryka Wolarza na Wydziale Fizyki Politehniki Poznańskiej; Medal i nagrodę im. Krzysztofa Ernsta za popularyzaję fizyki prof. Jan Stankowski za wszehstronną i pełną pasji działalność popularyzatorską, w szzególnośi za organizaję warsztatów naukowyh Lato z helem ; Medal i nagrodę I stopnia im. Grzegorza Białkowskiego dla wyróżniająyh się nauzyieli mgr Elżbieta Kaweka, nauzyielka z XXXV Lieum Ogólnokształąego im. Bolesława Prusa w Warszawie, za wkład w rozwój nowyh metod nauzania fizyki, a w szzególnośi wspomaganyh tehnologią informayjną, oraz praę z nauzyielami i młodzieżą, mająą na elu zwiększenie efektywnośi nauzania uzenia się; Nagrodę II stopnia dla wyróżniająyh się nauzyieli ex aequo mgr Jaek Orzehowski, nauzyiel z II Lieum Ogólnokształąego im. Stanisława Staszia w Starahowiah, za praę z uzdolnioną młodzieżą i wybitne osiągnięia uzniów na arenie krajowej i międzynarodowej, oraz dr Dagmara Sokołowska, nauzyielka z V Lieum Ogólnokształąego im. Augusta Witkowskiego w Krakowie, za wkład w kształenie przyszłyh naukowów poprzez stosowanie nowyh inijatyw w nauzaniu; Nagrodę III stopnia dla wyróżniająyh się nauzyieli ex aequo mgr Maria Puhta, nauzyielka z Zespołu Szkół nr 5 z Oddziałami Integrayjnymi im. Stefana Kisielewskiego w Warszawie, za aktywną, twórzą praę na rzez poprawy jakośi nauzania fizyki w gimnazjum i lieum, oraz mgr Paweł Zięba, nauzyiel z III Lieum Ogólnokształąego we Wroławiu, za wdrażanie indywidualnego programu nauzania fizyki i sukesy w pray z uzdolnionymi uzniami; Dyplom spejalny prof. Andrzej Bielski z Instytutu Fizyki UMK za długoletnią działalność na rzez Polskiego Towarzystwa Fizyznego; Dyplom spejalny dr Wojieh Dindorf za znazny i niekonwenjonalny wkład w kształenie nauzyieli w Polse. Urozyste wręzenie nagród odbyło się we wrześniu 2009 r. podzas XL Zjazdu Fizyków Polskih w Krakowie. 150 POSTĘPY FIZYKI TOM 60 ZESZYT 4 ROK 2009