Rozwiązanie: MSFA MSAB

Transkrypt

1 Zadanie 1: Skompletuj poniższą tablicę analizy wariancji dwutorowej. Źródło SS? Wariancja? A 1828,09 2 MSFA=914,045? B 1102,34 3 =367,447 17,09? 88,91??? Błąd? 12??? 3277,34 23?? Rozwiązanie powyższego zadania polega na wpisaniu (lub usunięciu) niektórych symboli i wartości liczbowych. Korzystać w tym celu będziemy ze standardowej postaci tablicy ANOVA (patrz np. str. 51 tab. 2.10). A zatem, - w pierwszej kolumnie: zastępujemy pierwszy znak? przez czynnik AB, a drugi znak? przez słowa łącznie, - w drugiej kolumnie korzystamy z podstawowej równości analizy wariancji dwutorowej: SST = SSFA + SSFB + SSAB + SSE i wpisujemy zamiast znaku? wartość 258 otrzymując: 3277,34 = 1828, , , - w trzeciej kolumnie podobną równość otrzymujemy dla stopni swobody. Stąd, pierwszy pytajnik zastępujemy oznaczeniem stopni swobody (najczęściej jest to df ), a drugi pytajnik liczbą 6 otrzymując: = 23, - w czwartej kolumnie znajdują się odpowiednie wariancje związane z poszczególnymi źródłami zmienności. A zatem, po pierwsze uzupełniamy drugi wiersz o symbol MSFA, po drugie wyliczamy wartość wariancji dla oddziaływania łącznego (dzieląc 88,91 SSAB przez odpowiadającą mu liczbę stopni swobody): MSAB = = 14, 81, oraz dla błędu: MSE = = 21, 5, po trzecie: ostatni pytajnik usuwamy, jako że 12 sumowanie podobne do sum z poprzedniej kolumny nie zachodzi, - w ostatniej kolumnie zawarte są wartości statystyki F-Snedecora. A zatem jej MSFA MSAB nagłówek to najczęściej litera F, a dalej wartości: = 42, 51, = 0, 69. MSE Dwa ostatnie pytajniki usuwamy. A zatem uzupełniona tablica będzie miała następującą postać: MSE Źródło SS Df Wariancja F A 1828,09 2 MSFA =914,045 42,51 B 1102,34 3 MSFB =367,447 17,09 AB 88,91 6 MSAB =14,81 0,69 Błąd MSE =21,5 Łącznie 3277,34 23 Zadanie 2: Analizowano trzy metody karmienia kurczaków: 1, 2 i 3, które używano od momentu wylęgu do momentu uboju otrzymując następujące wyniki dotyczące wagi ubojowej:

2 Metody karmienia ,42 1,24 1,40 1,12 1,28 0,96 1,32 1,36 0,92 1,06 1,34 1,20 1,46 1,24 1,42 a) używając powyższych danych dowieść, że występują znaczące różnice w wadze ubojowej kurcząt karmionych według różnych metod, b) dokonać 95% estymacji różnicy średnich w wadze ubojowej pomiędzy metodami 2 i 3, c) rozwiązać problem z punktu a) stosując analizę rangową. a) Chcąc dowieść znaczących różnic w wadze ubojowej kurcząt karmionych różnymi metodami przyjmiemy jako czynnik różnicujący wagę kurcząt metodę karmienia i zastosujemy analizę wariancji. Mamy tutaj do czynienia z jednoczynnikową analizą wariancji, której standardowa postać tablicy wyników przedstawiona zastała w tab Aby otrzymać tablicę analizy wariancji dla tego problemu użyjemy arkusza kalkulacyjnego Excel. Dane wpisujemy do arkusza a następnie uruchamiamy analizę wariancji jednoczynnikową - wybieramy na pasku narzędziowym: Narzędzia Analiza danych Analiza wariancji: jednoczynnikowa: Stawiamy następujące hipotezy: H 0 : (wartości średnie poszczególnych grup są sobie równe); przeciwko hipotezie alternatywnej: H 1 : (nie wszystkie wartości średnie poszczególnych grup są sobie równe).

3 Wyniki są następujące: Analiza wariancji: jednoczynnikowa PODSUMOWANIE Grupy Licznik Suma Średnia Wariancja 1 5 6,46 1,292 0, ,62 1,124 0, ,66 1,332 0,01252 ANALIZA WARIANCJI Źródło warian SS df MS F Wartość-p Test F Pomiędzy g 0, , , , ,88529 W obrębie 0, , Razem 0, A zatem: nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej o tym, że nie występują znaczące różnice w wadze ubojowej kurcząt karmionych według różnych metod. Wniosek: metody karmienia nie mają wpływu na wagę ubojową kurcząt. b) Obliczmy na początek różnice średnich wag ubojowych kurcząt karmionych metodą drugą i trzecią: - waga średnia dla metody drugiej wynosi (dane zawarte są w powyższej tabeli analizy wariancji): 1,124, - dla metody trzeciej: 1,332 Stawiamy hipotezy: H 0 : średnie wagi kurcząt karmionych metodą drugą i trzecią nie różnią się, oraz H 1 : średnie wagi kurcząt karmionych metodą drugą i trzecią są istotnie różne. Aby zweryfikować powyższą hipotezę użyjemy dwustronnego testu t-studenta o równości średnich. Ponownie użyjemy arkusza kalkulacyjnego Excel - Narzędzia Analiza danych test t z dwiema próbkami zakładający równe wariancje: Test t: z dwiema próbami zakładający równe wariancje 2 3 Średnia 1,124 1,332 Wariancja 0, ,01252 Obserwacje 5 5 Wariancja sumaryczna 0,0271 Różnica średnich wg hipotezy 0 df 8 t Stat -1, P(T<=t) jednostronny 0, Test T jednostronny 1, P(T<=t) dwustronny 0, Test t dwustronny 2,

4 Wartość obliczona prawdopodobieństwa prawdziwości hipotezy zerowej dla testu dwustronnego wynosi 0,0808. Ponieważ zazwyczaj używamy poziomu istotności α = 0, 05 to, w tym przypadku nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej. Ponieważ użyliśmy tutaj testu t-studenta zakładającego równość wariancji zweryfikujmy zatem to założenie. Stawiamy hipotezy: H 0 : wariancje obu grup są równe, przeciwko hipotezie alternatywnej H 1 : wariancje obu grup są różne. Hipotezę zerową zweryfikujemy przy pomocy testu F-Snedecora. Ponownie w arkuszu Excel uruchamiamy - Narzędzia Analiza danych test F z dwiema próbkami, otrzymując: Test F: z dwiema próbami dla wariancji 2 3 Średnia 1,124 1,332 Wariancja 0, ,01252 Obserwacje 5 5 df 4 4 F 3, P(F<=f) jednostronny 0, Test F jednostronny 6, Widzimy, że prawdopodobieństwo prawdziwości hipotezy zerowej wynosi 0,1354 (większe od α = 0, 05, a zatem wcześniejsze założenie o równości wariancji może być utrzymane. Wniosek: średnie wagi kurcząt karmionych metodą drugą i trzecią nie różnią się istotnie. c) Przekształćmy najpierw dane z zadania w tablicę rangową. Najmniejsza zaobserwowana wartość wagi kurczęcia wynosi 0,92. Ta zatem wartość otrzymuje rangę 1. Następna w kolejności zaobserwowana waga wynosi 0,96. Otrzymuje zatem rangę 2. Postępując tak dalej otrzymujemy poniższą tablicę rang (podobnie do tab. 2.5): Metody karmienia rangi ,5 6, ,5 13,5 T 1 =40 T 2 =26 T 3 =50 Stawiamy hipotezę zerową: mediany poszczególnych grup są równe; przeciwko hipotezie alternatywnej, że nie wszystkie równości zachodzą i stosujemy test Kruskala-Wallisa: c 12 T H = n( n + 1) j = 1 n 2 j j 3( n + 1)

5 2 Otrzymujemy wyliczona wartość testu równą 3,12. Test ten ma rozkład χ z 2 stopniami swobody, o wartości krytycznej dla α = 0, 05 wynoszącej (ponownie odczytujemy to z arkusza excelowskiego: Wstaw funkcje statystyczne ROZKŁAD.T.ODW.): 4,3026. Ponieważ wartość krytyczna jest większa bezwzględnie od wartości testu obliczonej, zatem nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy o równości median. Wniosek: także i w tym przypadku potwierdziliśmy, że metody karmienia nie mają wpływu na wagę ubojową kurcząt. Zadanie 3: Badano szybkość czytania tekstów napisanych przy pomocy różnych krojów pisma. Tekst napisany przy użyciu czterech różnych czcionek został w sposób losowy przeczytany przez pięciu czytelników. Czas czytania zanotowano i przedstawiono w następującej tabeli: Czytelnicy Rodzaj czcionki a) czy rodzaj czcionki ma wpływ na szybkość czytania? b) czy czytelnicy czytają z rózną prędkością teksty pisane różnymi czcionkami? a) Ponownie użyjemy analizy wariancji jednotorowej (jednoczynnikowej) zawartej w arkuszu Excel, pamiętając, że tym razem grupowanie danych odbywa się wierszami. Analiza wariancji: jednoczynnikowa PODSUMOWANIE Grupy Licznik Suma Średnia Wariancja ,4 9, ,2 7, ,8 12, ,5 ANALIZA WARIANCJI Źródło warian SS df MS F Wartość-p Test F Pomiędzy g 45, ,25 1, , , W obrębie 162, ,175 Razem 208,55 19

6 Ponieważ obliczona wartość prawdopodobieństwa istotności (Wartość-p) wynosi 0,252885, to nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej na poziomie istotności α = 0, 05, która w tym przypadku mówiła o równości średnich prędkości czytania dla różnych czcionek. Wniosek: krój czcionki nie ma wpływu na prędkość czytania statystycznego czytelnika. b) Ponownie uruchamiamy analizę wariancji jednoczynnikową, tym razem grupując dane kolumnami. Otrzymujemy: Analiza wariancji: jednoczynnikowa PODSUMOWANIE Grupy Licznik Suma Średnia Wariancja ,5 11, ,75 0, ,75 2, ,25 4, ,5 3 ANALIZA WARIANCJI Źródło warian SS df MS F Wartość-p Test F Pomiędzy g 138,3 4 34,575 7, , , W obrębie 70, , Razem 208,55 19 Tym razem hipotezy zerowej o równym tempie czytania przez różnych ludzi różnych tekstów odrzucić nie mamy prawa (Wartość-p wynosi 0, i jest mniejsza od α = 0, 05). Wniosek (dosyć oczywisty): ludzie teksty czytają z różnymi prędkościami. Uwaga: czytelnik powinien przedyskutować ewentualną konieczność randomizacji bloków związaną z różnymi rodzajami czcionek. Zadanie 4. Badano wpływ efektu treningu w zarządzaniu wśród kadry kierowniczej pewnej firmy. W tym celu rozpatrzono wpływ dwóch czynników: czynnika A posiadanie lub nie treningu kierowniczego, oraz czynnik B wpływ sytuacji stresowej na podejmowanie decyzji. Badaniu poddano 16 decydentów różnego szczebla, z których 8 poddano treningowi kierowniczemu. Wyniki przedstawione w poniższej tabeli odzwierciedlają osiągnięte rezultaty mierzone w pewnej umownej skali. Czynnik A Czynnik B Z treningiem Bez treningu Sytuacja standardowa Sytuacja stresowa

7 71 39 a) czy trening wpływa na podwyższenie zdolności kierowniczej kadry zarządzającej w tej firmie? b) czy kadra ta lepiej sprawuje się w sytuacji stresowej czy też bezstresowej? c) jakie jest oddziaływanie łączne obu czynników? d) proszę sporządzić właściwy raport dla zarządu firmy. Analysis of Variance for Col_1 - Type I Sums of Squares Source Sum of Squares Df Mean Square F-Ratio P-Value MAIN EFFECTS A:Col_2 4489, ,0 117,49 0,0000 B:Col_3 132, ,25 3,46 0,0875 INTERACTIONS AB 56, ,25 1,47 0,2483 RESIDUAL 458, ,2083 TOTAL (CORRECTED) 5136,0 15 All F-ratios are based on the residual mean square error. The StatAdvisor The ANOVA table decomposes the variability of Col_1 into contributions due to various factors. Since Type I sums of squares have been chosen, the contribution of each factor is measured having removed the effects of factors above it in the table. The P-values test the statistical significance of each of the factors. Since one P-value is less than 0,05, this factor has a statistically significant effect on Col_1 at the 95,0% confidence level. Z przedstawionego wydruku programu Statgraph Plus znajdujemy, że tylko czynnik A (brak lub nie treningu kadry) jest czynnikiem różnicującym obserwacje. Fakt, że sytuacje mogą być standardowe lub stresowe nie ma wpływu istotnego na wyniki. Podobnie zauważamy, że brak jest oddziaływania łącznego. A zatem, odpowiadając na postawione w zadaniu pytania stwierdzamy: a) trening wpływa na zdolność kierowniczą badanej kadry, b) kadra ta sprawuje się jednakowo w sytuacji stresowej i standardowej, c) oddziaływanie łączne obu czynników nie występuje d) raport dla zarządu firmy powinien zawierać wymienione powyżej wnioski, lecz jego pełne stworzenie pozostawiamy czytelnikowi.