Funkcja ζ Riemanna. Anna Gwiżdż. Praca magisterska napisana pod kierunkiem dr hab. Zbigniewa Błockiego

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Funkcja ζ Riemanna. Anna Gwiżdż. Praca magisterska napisana pod kierunkiem dr hab. Zbigniewa Błockiego"

Transkrypt

1 Uniwersytet Jagielloński Wydział Matematyki i Informatyki Anna Gwiżdż Funkcja ζ Riemanna Praca magisterska napisana pod kierunkiem dr hab. Zbigniewa Błockiego Kraków 7

2 Składam serdeczne podziękowania opiekunowi mojej pracy za pomoc i wyrozumiałość.

3 Spis treści Definicja i podstawowe własności funkcji ζ 4. Funkcja ζ Riemanna Globalnie zbieżny szereg dla funkcji ζ Równanie funkcyjne Funkcje ξ(s) i Ξ(t) Twierdzenie o liczbach pierwszych. Wprowadzenie Twierdzenie o liczbach pierwszych a analiza zespolona Związki analizy zespolonej i twierdzenia o liczbach pierwszych 9.4 Twierdzenie całkowe Hipoteza Riemanna 6 3. Wprowadzenie Wstęp historyczny Zasadnicze twierdzenia o zerach funkcji ζ Hipotezy równoważne RH A Dalsze własności funkcji ζ 35 A. Wartości funkcji ζ A. Podstawowe reprezentacje funkcji ζ B Zastosowania funkcji ζ w fizyce 43 B. Efekt Casimira

4 Wstęp Celem niniejszej pracy jest omówienie jednej z najważniejszych funkcji specjalnych - funkcji dzeta Riemanna. Na jej temat napisano już wiele książek, powstało mnóstwo prac naukowych oraz artykułów. Tak więc z ogromnej ilości zagadnień, problemów i zastosowań tej funkcji musieliśmy niestety wybrać tylko niektóre. W pierwszym rozdziale opiszemy podstawowe własności funkcji ζ, udowodnimy iloczyn Eulera oraz równanie funkcyjne Riemanna. Wyprowadzimy również wzory szeregów będących przedłużeniami funkcji ζ na półpłaszczyznę zespoloną {s C : R(s) > s } oraz na całą płaszczyznę zespoloną bez punktu s =. W kolejnym rozdziale zaprezentujemy oraz udowodnimy tw. o liczbach pierwszych. Pokażemy związki analizy zespolonej z teorią liczb poprzez ukazanie roli funkcji ζ w tym dowodzie. W rozdziale trzecim postaramy się przybliżyć najsłynniejszy chyba i nadal otwarty problem matematyki współczesnej, hipotezę Riemanna. Pokrótce przedstawimy dotychczasowe wyniki w kierunku udowodnienia (lub obalenia) RH, a także opiszemy kilka równoważnych stwierdzeń oraz wniosków z niej wynikających. Na koniec przedstawimy wiele dalszych własności ζ, jej wartości w wybranych punktach, związki ζ z innymi funkcjami specjalnymi jak: funkcja Γ Eulera, funkcja µ Möbiusa, funkcja λ Liouville a. Pokażemy również jedno z licznych zastosowań funkcji ζ w fizyce. 3

5 Rozdział Definicja i podstawowe własności funkcji ζ. Funkcja ζ Riemanna Funkcja dzeta Riemanna określona jest wzorem: ζ(s) = + s + 3 s + 4 s +... = n=, R(s) >. (.) ns Dla s = σ + it mamy n s = n σ. A stąd wynika, że szereg ten jest zbieżny jednostajnie w każdym podzbiorze zwartym tej półpłaszczyzny i funkcja ζ jest tam holomorficzna. 4

6 ζ(t), < t < 6. Co ciekawe, wzór (.) jako pierwszy sformułował Euler. Wykazał on również, iż funkcja ta ma głębokie i istotne związki z liczbami pierwszymi, a dokładniej udowodnił, że ζ(s) = s 3 s 5 s gdzie P oznacza zbiór liczb pierwszych.... = 7 s p P p s Twierdzenie. (Iloczyn Eulera, 737 r.). Prawdziwa jest następująca tożsamość: ζ(s) = p P ( p s ), R(s) > gdzie w iloczynie występują wszystkie liczby pierwsze. Rysunek pochodzi ze strony http : //en.wikipedia.org/wiki/riemann_zeta_function. 5

7 Fakt ten ma ogromne zastosowanie w teorii liczb, m.in. w dowodzie twierdzenia o rozkładzie liczb pierwszych. Dowód. Zauważmy, że: ζ(s)( s ) = = ( + + s 3 + ) ( s ) s ( s + + s 3 + ) ( s s + s 4 + ) s s ζ(s)( s )( 3 s ) = Widać więc, że: ( s 5 + ) ( s s 3 + s 9 + ) s s ζ(s)( s )( 3 s )... ( p s n )... = ζ(s) ( p s n ) n= = A stąd już natychmiast otrzymujemy tezę.. Globalnie zbieżny szereg dla funkcji ζ Powyżej zdefiniowaliśmy funkcję ζ dla liczb zespolonych s takich, że R(s) >. Spróbujmy teraz znaleźć jej analityczne przedłużenie na większy obszar. Dla R(s) >, mamy: ζ(s) = n= n s = n= n ( ) n s (n + ) s = s n= n+ n x s dx. n Niech x = [x] + {x}, gdzie [x] jest cechą, a {x} mantysą liczby x. Ponieważ [x] jest na każdym z przedziałów [n, n + ) stałe i równe n, możemy więc napisać ζ(s) = s n+ [x]x s dx = s [x]x s dx. n n= Wstawiając [x] = x {x} dostajemy ζ(s) = s = x s dx s {x}x s dx s s s {x}x s dx, σ > (.) 6

8 Zauważmy teraz, że całka niewłaściwa w (.) jest zbieżna dla σ > (ponieważ całka x σ dx jest zbieżna). Ta całka niewłaściwa definiuje funkcję analityczną w obszarze R(s) >. Stąd też funkcja meromorficzna w (.) daje analityczną kontynuację ζ(s) na półpłaszczyznę R(s) >, a wyraz daje biegun ζ(s) w punkcie s =. Aby przedłużyć funkcję ζ(s) na całą płaszczyznę zespoloną bez punktu s = posłużymy się funkcją gamma Γ(s) zdefiniowaną w następujący sposób: Mamy Γ(s) = s s t s e t dt. (.3) ( s Γ = t ) s e t dt dla σ >. Wstawiając t = n πx, dostajemy π s Γ ( s ) n s = x s e nπx dx. Dalej sumując po n =,, 3,... oraz zmieniając kolejność sumowania i całkowania: gdzie π s Γ ( s θ(x) := ) ζ(s) = = e n πx n= jest funkcją theta Jacobiego. ( ) x s e n πx n= ) x s ( θ(x) Lemat.. Funkcja θ spełnia następujące równanie funkcyjne: dx dx, (.4) x θ(x) = θ(x ), (.5) prawdziwe dla x >. 7

9 Dowód. Definiujemy f(t) := e πt x oraz F (t) := f(t + n). n= Wówczas F jest funkcją okresową o okresie i spełnia warunek Lipschitza. Jej szereg Fouriera jest więc zbieżny punktowo, a stąd θ(x) = f(n) = F () = e πint F (t)dt = n= n= n= f(n), gdzie f(s) = e πist f(t)dt jest transformatą Fouriera funkcji f. Aby znaleźć f, musimy obliczyć całkę eiax bx dx dla a R oraz b >. Po podstawieniu s = bx ai/( b) i całkowaniu po odpowiednim konturze otrzymamy e iax bx dx = e a 4b b {I(s)= a b } e s ds = e a 4b b e x dx = πe a 4b b. Stąd ( e πt x ) = e πs /x x, co kończy dowód. dalej: Możemy więc już powrócić do naszych poprzednich rozważań. Liczymy ( ) x s θ(x) ( ) dx = x s θ(x) ( ) dx+ x s θ(x) dx. Zajmijmy się najpierw pierwszą całką. Korzystając z równania (.5) otrzy- 8

10 mujemy: ( ) x s θ(x) dx = ( ) x s θ(x)dx x s dx ( ) x s θ(x)dx = s + = s + = s + = s + = s + = x s x θ(x )dx x s θ(x)dx ( ) θ(x) dx + x s dx ( ) θ(x) dx + s ( ) x s θ(x) dx. x s x s s(s ) + Sumując ostatni wynik z drugą całką, dostajemy: ζ(s) = π s { ( ) } Γ ( ) s s(s ) + ( ) s x + x s θ(x) dx. (.6) Wskutek eksponencjalnego spadku funkcji θ, całka niewłaściwa w równaniu (.6) jest zbieżna dla każdego s C a stąd definiuje funkcję całkowitą na zbiorze liczb zespolonych. Stąd też (.6) jest analityczną kontynuacją funkcji ζ(s) na całą płaszczyznę zespoloną bez punktu s =..3 Równanie funkcyjne Zajmiemy się teraz równaniem funkcyjnym dla ζ(s). Riemann zauważył, że wzór (.6) nie tylko zapewnia analityczne przedłużenie funkcji ζ(s), ale także dostarcza równanie funkcyjne. Zaobserwował on bowiem, że wyrażenie s(s ) oraz całka niewłaściwa w (.6) nie zmienią się jeśli zastąpimy s przez s. Stąd też wyprowadził poniższe równanie: Twierdzenie.3 (Równanie funkcyjne). Dla każdego s C, ( ) ( ) π s s Γ ζ(s) = π s s Γ ζ( s), 9

11 Z powyższego równania funkcyjnego, widać że funkcja ζ ma tak zwane zera trywialne w punktach s =, 4, 6, Funkcje ξ(s) i Ξ(t) Rozpatrzmy funkcję: ξ(s) = s(s )π s Γ ( s ) ζ(s). Wówczas równanie funkcyjne upraszcza się do postaci: ξ(s) = ξ( s). Zbiór zer funkcji ξ(s) jest zbiorem nietrywialnych zer funkcji ζ(s). Mamy także ξ(s) = ξ(s). Wobec tego ( ) ( ) ξ + it = ξ it = ξ ( ( ) ( ) + it) = ξ + it Zatem ξ ( + it) R dla t R. Określamy teraz funkcję rzeczywistą Ξ(t) := ξ ( + it). Jest to funkcja parzysta, Ξ( t) = Ξ(t). Zbiór zer funkcji ζ(s) na prostej krytycznej jest równy zbiorowi zer funkcji ξ(s) na tej prostej, odpowiada więc zbiorowi zer rzeczywistych funkcji Ξ(t).

12 Rozdział Twierdzenie o liczbach pierwszych. Wprowadzenie Nasza fascynacja liczbami pierwszymi rozpoczęła się już w starożytności. Euklides udowodnił, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych. Eratostenes opracował metodę znajdowania liczb pierwszych (tzw. Sito Eratostenesa). Poprzez dokładne badania tabeli liczb pierwszych, C. Gauss ( ) sformułował zależność, którą my dziś nazywamy twierdzeniem o liczbach pierwszych. Niech π(n) oznacza moc zbioru liczb pierwszych spełniających warunek p n. Twierdzenie o liczbach pierwszych głosi, że: π(n) n log n, (tzn. π(n) n/ log n n ) Nie ma tu wzmianki o liczbach zespolonych, tym bardziej zaskakującym jest fakt, że pierwszy (i przez długi czas jedyny znany) dowód przeprowadzony był w oparciu o analizę zespoloną. Droga wiodąca do dowodu tego twierdzenia była długa i zawiła. Niezwykle pomocną okazała się być poniższa funkcja, tak zwany logarytm całkowy: Li(x) = x dt log t Łatwo zaobserwować, że Li(x) x/ log x przy x +. Posługując się komputerem można obliczyć, że dla x = 6 Li(x) oraz π(x) =

13 A biorąc x = 9 dostajemy Li(x) oraz π(x) = Twierdzenie o liczbach pierwszych orzeka, że błąd (w pewnym sensie) będzie malał do zera przy x dążącym do nieskończoności. Dokładniejsze przybliżenia tego błędu dostarczają nam bardziej szczegółowych informacji dotyczących rozmieszczenia liczb pierwszych. Rosyjski matematyk P. L. Czebyszew (8-894) udowodnił, że iloraz: π(n) n/ log n (.) zawsze leży pomiędzy dwoma dodatnimi stałymi, kiedy n jest duże. J. J. Sylvester (84 897) zepchnął te stałe bliżej siebie (choć nadal leżały one po obydwu stronach ). Dopiero J. Hadamard ( ) i C. de la Vallee Poussin (866 96), niezależnie od siebie udowodnili, że wyrażenie (.) jest asymptotyczne z gdy n. Napiszmy to bardziej formalnie: Twierdzenie. (Twierdzenie o liczbach pierwszych). Funkcja π(n) jest asymptotycznie równoważna z n/ log n w następującym sensie: lim n π(n) n/ log n =. Istotnym krokiem do przodu w dowodzie tego twierdzenia, dokonanym przez Hadamarda i de la Vallee Poussina, było zastosowanie narzędzi spoza teorii liczb. W szczególności posłużyli się analizą zespoloną - wykorzystali funkcję ζ Riemanna w wyczerpujący i oryginalny sposób. W 949 Selberg i Erdős znaleźli elementarny dowód Tw... Był on elementarny w tym sensie, że nie wykorzystano w nim analizy zespolonej. W istocie był on techniczny i niezwykle skomplikowany. Aktualny dowód Tw.., który zaprezentuję pochodzi od D. J. Newmana [6] i został nieco uproszczony przez Zagiera [].

14 . Twierdzenie o liczbach pierwszych a analiza zespolona Na pierwszy rzut oka nie widać żadnego oczywistego związku Tw.. z analizą zespoloną. Funkcja π(n) prowadzi z N w N stąd nie ma mowy o jej różniczkowalności, a nawet ciągłości. Kluczem do rozwiązania okazał się być iloczyn Eulera (patrz Tw..): ζ(s) = ( p ), p P R(s) > (.) który możemy zapisać w równoważnej postaci: ζ(s) = p P ( + p ). (.3) s ps Zaczniemy od dowodu następującego twierdzenia: Twierdzenie.. Suma odwrotności liczb pierwszych jest nieskończona: p P p = +. W szczególności istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych. Dowód. Zauważmy, że < ζ(s) < + dla s (, ). Prawa strona równości (.) wyraźnie maleje kiedy zbliżamy się z s do, s +. Załóżmy niewprost, że p P < +. Wówczas iloczyn p p P( ) jest zbieżny i ma granicę p różną od zera. Również dla wszystkich rzeczywistych s > oraz dla ustalonej N > mamy: ( p ) ( ) ( ) > p N s p N p p p Stąd lim s + ζ(s) = lim ( p ) ( p ) >. s + p P s p P s A zatem granica lim x + ζ(s) jest skończona. Ale dla dowolnego A >, znajdziemy N Z + takie, że N n > A. Stąd też lim s + ζ(s) N n > A. 3

15 W rezultacie otrzymujemy, że lim s + ζ(s) nie może być skończone. Sprzeczność. Dla uproszczenia zapisu będziemy używać następującego oznaczenia: f(x) f(x) g(x) lim x + g(x) =. Heureza. Funkcja π(x) wskazuje które liczby są pierwsze w następujący sposób: liczba naturalna n jest pierwsza wtedy i tylko wtedy, gdy wartość π(x) wzrasta o dla x = n. Stąd wartość poniższej sumy: f(p), p x p P gdzie dana funkcja f jest określona na R +, jest w tym sensie zdeterminowana przez wartości funkcji π(x). To ostatnie wyrażenie zapiszemy teraz przy pomocy całki Stjeltiesa. Mianowicie: x f(p) = f(t)dπ(t) p x zakładając oczywiście, że f jest ciągłą funkcją określoną na R +. Podstawmy w powyższym wyrażeniu f(x) = log x zakładając przy tym na chwilę, że π(x) równa się x/ log x. Oczywiście funkcja π(x), która jest skokowa, nie może i nie równa się x/ log x, która jest C na {x : x > }. Możemy jednak założyć, że idea asymptotycznego zachowania f(p) przy n + może wywodzić się z asymptotycznego zachowania funkcji π(x). Oznaczmy teraz: ϑ(x) := log p. p x p x Następnie dla wygody możemy zmienić dolną granicę sumowania (bez straty ogólności, ponieważ interesują nas tylko duże wartości x), ϑ(x) log p. <p x 4

16 Wyrażenie <p x log p powinno być tej samej wielkości co: x t log t d(t/ log t) = log t log t = x x x x log t dt. t t log t dt Skorzystaliśmy tu z całkowania przez części. Korzystając z reguły l Hospitala otrzymujemy: lim x x dt log t x R.H. = lim x Stąd możemy już wnioskować, że log x log x lim log p = lim x x x p x x lub też ϑ(x) x. = =. Ta ostatnia asymptotyczność jest rzeczywiście prawdziwa, chociaż jeszcze jej dokładnie nie udowodniliśmy, nawet przy dodatkowym założeniu, że π(x) x/ log x. Powyższe heurystyczne rozumowanie może być (nawet mniej formalnie) odwrócone. Załóżmy, że ϑ(x) = x lub x x (log t)dπ(t). Różniczkujemy ostatnie wyrażenie względem x otrzymując: czyli log x dπ(x) dx Ale π(x) x log t dt lim x + x dt log t x/ log x = 5

17 Ponownie, dzięki regule l Hospitala mamy: π(x) x log x. Tak więc niespodziewanie, te niepewne rozważania i mało rygorystyczne rozumowania zaprowadziły nas do prawdziwych konkluzji. Teraz sformułujemy i udowodnimy nasze pomysły prawidłowo i dokładnie: Lemat.3. Prawdziwa jest następująca asymptotyczność: ϑ(x) x wtedy i tylko wtedy, gdy π(x) x log x Dowód. Załóżmy najpierw, że ϑ(x) x. Teraz ϑ(x) = log p log x = π(x) log x. p x p x Także, dla ε >, ϑ(x) Stąd, dla dużych x, x ε p x x ε p x log p ( ε) log x ( ε) log x[π(x) π(x ε )]. ϑ(x) π(x) log x x x Ale π(x ε ) x ε, tak więc π(x ε ) log x lim x + x x ( ε)log x =. π(x) π(x ε ) log x ( ε). x Stąd już wynika, że π(x) x/ log x. Dowód w przeciwną stronę polega na odwróceniu kroków powyższego rozumowania. Pokażemy teraz, że dla dużych wartości x, ϑ(x) jest bliskie x w pewnym całkowym sensie. 6

18 Lemat.4. Jeśli istnieje x lim x + ϑ(t) t dt t to wówczas ϑ(x) x. Dowód. Załóżmy niewprost, że istnieje liczba λ > taka, że dla pewnego ciągu {x j }, x j R, którego granica lim j x j = + mamy: ϑ(x j ) λx j. Korzystając z faktu, że ϑ jest niemalejąca oraz biorąc x równe pewnemu x j dostajemy: λx x gdzie c ϑ(t) t λx λx t dt dt = t x t u= t x λ du= dt x = xdu=dt λ u u du = c, = + λ log λ > dla dowolnej λ >. To oszacowanie jest sprzeczne z założeniem o zbieżności całki (z warunku Cauchy ego). Ta zbieżność implikuje że λxj lim j + x j ϑ(t) t t dt =. Jeśli teraz założymy, że dla pewnego < λ < zachodzi nierówność ϑ(x j ) λx j, to dla x równemu pewnemu x j, mamy: x λx ϑ(t) t dt t x λx gdzie c = λ + log λ <. λx t t dt = Ponownie dostaliśmy sprzeczność. λ λ t t dt = c. To, czy faktycznie zrobiliśmy jakiś postęp w dowodzie Tw.., zależy od tego czy potrafimy udowodnić zbieżność całki: x ϑ(t) t dt, gdzie x +. t I tu właśnie sięgniemy po analizę zespoloną. Zanim jednak to zrobimy, udowodnimy jeszcze pewien wniosek dotyczący funkcji ϑ. Chcemy pokazać, że ϑ(x) x, ale już w tej chwili możemy zobaczyć, że ϑ(x) = O(x). notacja Landau a; oznacza to, że lim sup x + ϑ(x)/x < + lub równoważnie, że istnieje stała C > taka, że ϑ(x) Cx 7

19 Lemat.5. Dla pewnego C > i wszystkich x, mamy ϑ(x) Cx. Równoważnie, używając notacji Landau a, ϑ(x) = O(x). Dowód. Dla dowolnej liczby N Z + prawdą jest, że ( + ) N = N m= ( ) N m ( ) N e ϑ(n) ϑ(n) (.4) N biorąc liczbę pierwszą p taką, że p (N, N), widzimy że p dzieli (N)! ale nie dzieli N!. Stąd p dzieli ( ) N = (N)! N (N!). Logarytmując obustronnie wyrażenie (.4) otrzymujemy: ϑ(n) ϑ(n) N log. Sumując po N =, N = 4, N = 8,..., N = k ϑ(4) ϑ() 4 log ϑ(8) ϑ(4) 8 log + dostajemy: ϑ( k+ ) ϑ( k ) k log ϑ( k+ ) + (log )( k ) + (log )( k+ ) (3 log )( k ) przy założeniu, że k. Teraz, dla dowolnego x istnieje liczba całkowita k > taka, że k x k+. Stąd ϑ(x) ϑ( k+ ) (3 log )( k ) (6 log )x. 8

20 .3 Związki analizy zespolonej i twierdzenia o liczbach pierwszych W poprzednich podrozdziałach zasygnalizowaliśmy w jaki sposób wykorzystać nasze wiadomości na temat funkcji ζ w celu uzyskania informacji na temat dystrybucji liczb pierwszych. Jednakże w dowodzie Tw.. będziemy opierać się na bardziej szczegółowych rozważaniach dotyczących związku ζ i funkcji π. Rozpoczniemy prostej obserwacji, którą wykorzystamy w kilku dowodach. Lemat.6. Funkcja ζ(s) s, gdzie R(s) > przedłuża się holomorficznie do całej półpłaszczyzny {s : R(s) > }. Dowód. Wynika z faktu, że funkcja ζ jest postaci (.). Zdefiniujemy teraz funkcję Φ Φ(s) := p P(log p)p s, gdzie s C. Oczywiście, aby ta definicja miała sens, musimy mieć pewność, że szereg jest zbieżny dla wskazanych wartości s. W rzeczywistości, ten szereg jest absolutnie i jednostajnie zbieżny na zwartych podzbiorach półpłaszczyzny {s C : R(s) > s }, co w oczywisty sposób wynika z następujących faktów: () Oszacowanie: (log p)p s p s+ε p R(s)+ε pozostaje prawdziwe dla dużych wartości p; () Szereg p s jest zbieżny dla każdego s zespolonego z R(s) >. 9

21 Obydwa powyższe stwierdzenia są trywialne i nie wymagają formalnych dowodów. Funkcja Φ jest blisko związana z funkcją ζ. W szczególności Φ powstaje poprzez obliczenie pochodnej logarytmicznej ζ /ζ w następujący sposób: Korzystamy z reprezentacji ζ przy pomocy nieskończonego iloczynu: Stąd ζ(s) = p P ( p s ). ζ (s) ζ(s) = [ / s]( p s ) p P p s = p P(p s log p) p s = p P log p p s ζ (s) ζ(s) = p P = p P log p p s p s log p p s (p s ) (p s + ) log p p s (p s ) = p P = log p p P p s (p s ) + p P log p p s (p s ) + Φ(s). = p P log p p s Szereg p log p p s (p s ) jest absolutnie i jednostajnie zbieżny na zwartych podzbiorach półpłaszczyzny {s : R(s) > /}. Uzasadnienie tego faktu jest analogiczne do pokazania, że Φ jest dobrze zdefiniowana na {s : R(s) > }. Stąd z rozszerzenia

22 funkcji ζ na {s : R(s) > } wynika, że Φ przedłuża się meromorficznie na {s : R(s) > /}. Ta meromorficznie przedłużona funkcja ma biegun w s =, gdzie ζ też ma biegun. Ma również bieguny w miejscach zerowych funkcji ζ w półpłaszczyźnie {s : R(s) > /}. Oczywiście wiedzielibyśmy więcej o funkcji Φ gdybyśmy umieli dokładnie zlokalizować zera funkcji ζ. Twierdzenie.7. Funkcja ζ(s) dla s = + iα, gdzie α R. W szczególności Φ(s) /(s ) jest holomorficzna w otoczeniu zbioru {R(s) }. Dowód. Skoro ζ posiada biegun w punkcie s = to interesuje nas tylko przypadek gdy α. Załóżmy, że ζ ma zero rzędu µ w punkcie + iα oraz rzędu ν w punkcie + iα (używamy tu konwencji, w której zero rzędu jest punktem w którym funkcja jest niezerowa). Chcemy pokazać, że µ =. W tym celu ocenimy pewne granice, używając wzoru na ζ /ζ. (i) Granica lim ε + εφ( + ε) =, ponieważ Φ(s) /(s ) jest holomorficzna w otoczeniu punktu s =. (ii) Granica lim ε Φ( + ε ± iα) = µ ε + ponieważ końcowa suma w wyrażeniu na ζ /ζ jest zbieżna, więc pomnożona przez ε ma granicę równą zero. Ponadto (s ( + iα)) ζ (s)/ζ(s) ma granicę µ w + iα oraz (s ( iα)) ζ (s)/ζ(s) ma granicę µ w iα. (Zauważmy, że rzędy zer w punktach + α i α muszą być równe skoro ζ(s) = ζ(s). Ostatnia równość wynika z faktu, że ζ przyjmuje wartości rzeczywiste na zbiorze {x+i : x R, x > }.) (iii) Granica lim ε Φ( + ε ± iα) = ν. ε + Uzasadnienie analogiczne jak w (ii).

23 Teraz wykorzystamy pewną algebraiczną sztuczkę. Mianowicie, zauważmy że, skoro p iα/ + p iα/ jest liczbą rzeczywistą, to: ale p> p log p p +ε ( p iα/ + p iα/) 4, log p p +ε ( p iα/ + p iα/) 4 = Φ(+ε iα)+4φ(+ε iα)+6φ(+ε)+4φ(+ε+iα)+φ(+ε+iα). Mnożąc przez ε > i biorąc granice po ε + dostajemy ν 4µ + 6 4µ ν = 6 8µ ν Stąd µ = czyli ζ( + iα). Holomorficzność funkcji Φ(s) /(s ) w otoczeniu wynika z uwag poprzedzających to twierdzenie. Postaramy się teraz powiązać funkcję ϑ z Φ, o której zebraliśmy już sporo informacji. Lemat.8. Jeśli R(s) >, to Φ(s) = s e st ϑ(e t )dt. Dowód. Spróbujmy wyrazić Φ przy pomocy ϑ: ϑ(n) ϑ(n ) Φ(s) = = co kończy dowód. = s = = s n= n= ϑ(n) x=e t dx=e t dt n s ( ) n s (n + ) s ϑ(x) x s+ dx e st ϑ(e t )dt,

24 Możemy teraz sprowadzić tw. o liczbach pierwszych do ważnego wniosku analizy zespolonej. Wystarczy pokazać, że całka ϑ(x) x dx x jest zbieżna. Ta zbieżność jest równoważna, poprzez zmianę zmiennych x = e t, ze zbieżnością (ϑ(e t )e t )dt. Weźmy f(t) = ϑ(e t )e t. Wtedy, ze wzoru: Φ(s) = s e st ϑ(e t )dt, widzimy, że f(t)e st dt jest holomorficzna w otoczeniu {s : R(s) }. Mianowicie, s + Φ(s + ) = s + (s + ) = = = Ale jak już pokazaliśmy funkcja s + Φ(s + ) s + e st e t ϑ(e t )dt e st f(t)dt + e (s+)t ϑ(e t )dt e st f(t)dt + s. jest holomorficzna w otoczeniu {s : R(s) }. e st dt Jak widać zbieżność całki f(t)dt pociąga za sobą tw. o liczbach pierwszych, tak więc będzie ono udowodnione, jeśli uda nam się pokazać następujący rezultat (gdzie f zdefiniowana jak wyżej oraz g(s) = f(t)e st dt). 3

25 .4 Twierdzenie całkowe Twierdzenie.9. Niech f(t), t będzie ograniczoną i lokalnie całkowalną funkcją taką, że g(s) = f(t)e st dt, R(s) > przedłuża się holomorficznie do pewnego otoczenia {s : R(s) }. Wtedy f(t)dt istnieje (jest zbieżna) i równa jest g(). Dowód. Ustalamy T > i zdefiniujmy g T (s) = Wtedy g T T f(t)e st dt. jest w oczywisty sposób holomorficzna dla każdego s (z tw. Morery). Musimy pokazać, że lim g T () = g() T + Niech R będzie dużą, dodatnią liczbą, δ - małą, dodatnią liczbą a C - brzegiem następującego obszaru: U = {s C : s R, R(s) δ}. Dobieramy δ odpowiednio małą, tak aby g(s) była holomorficzna w otoczeniu domknięcia obszaru wyznaczonego przez C. Wtedy, z wzoru Cauchy ego zastosowanego do funkcji (g g T )h T, gdzie mamy: ( ) h T (s) := e st + s, R g() g T () = ( ) [g(s) g T (s)]e st + s ds πi C R s. 4

26 Na zbiorze C + = C {R(s) > }, funkcja podcałkowa jest ograniczona przez 4B/R, gdzie B = max t f(t). Jest tak ponieważ g(s) g T (s) = f(t)e st dt B e st dt = Be R(s)T T T R(s) dla R(s) > ) oraz ( ) est + s R s ( ) = e R(s) T + s R s = e R(s) T ( + eit ) s = e R(s) T R = e R(s) T R ( + cos(t)) + sin (t) + cos(t) = e R(s) T cos(t) R = e R(s) T R(s). R Stąd odpowiednia całka po C + jest zbieżna do, gdy R. Niech C osobno g i g T. C {R(s) < }. By obliczyć tę całkę po C, rozważmy Z jednej strony, skoro g T jest całkowita, drogę całkowania możemy zamienić na C {s C : s = R, R(s) < }. Całka po C będzie wtedy ograniczona na moduł przez 4πB/R z tym samym oszacowaniem co wcześniej, ponieważ g T (s) = dla R(s) <. T f(t)e st T dt B e st dt = Be R(s) T R(s) Z drugiej strony, pozostała całka po C zmierza do gdy T ponieważ funkcja podcałkowa jest jest iloczynem funkcji g(s) ( + s /R )/s, która jest niezależna od T oraz funkcji e st, która zmierza jednostajnie do na zbiorach zwartych gdy T + w półpłaszczyźnie {R(s) < }. Stąd lim sup g() g t () 4πB/R. T + Skoro R jest dowolne, twierdzenie zostało udowodnione. 5

27 Rozdział 3 Hipoteza Riemanna 3. Wprowadzenie Hipoteza Riemanna sformułowana pierwotnie przez Bernharda Riemanna w 859 r. jest chyba najbardziej znanym i najważniejszym nierozwiązanym problemem matematyki współczesnej. Pomimo skoncentrowanych wysiłków wielu wybitnych matematyków, problem ten nadal pozostaje otwarty. Hipoteza Riemanna dotyczy rozmieszczenia zer funkcji ζ(s). Wiemy, że funkcja ζ jest określona dla wszystkich liczb zespolonych s oraz że posiada tak zwane zera trywialne w punktach, 4, 6,.... Hipoteza Riemanna koncentruje się na zerach nietrywialnych i orzeka, że: Hipoteza 3. (Riemanna). Część rzeczywista każdego nietrywialnego zera funkcji ζ jest równa. Innymi słowy wszystkie nietrywialne zera funkcji ζ leżą na tak zwanej prostej krytycznej +it, t R. Hipoteza ta jest jednym z najważniejszych otwartych problemów matematyki współczesnej, ponieważ wiele głębokich i istotnych twierdzeń zostało udowodnionych przy założeniu, że jest ona prawdziwa. Clay Mathematics Institute zaoferował nawet nagrodę wysokości $.. za pierwszy poprawny dowód. 6

28 3. Wstęp historyczny W 859 r. Riemann sformułował w swojej pracy Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse, swoją hipotezę. Wiedział on, że funkcja ζ spełnia następujące równanie funkcyjne: ( s π s/ Γ ζ(s) = π ) ( s)/ Γ ( s ) ζ( s), a także, że nietrywialne zera funkcji ζ są symetrycznie rozłożone względem prostej s = + it oraz leżą w pasie < R(s) <. Policzył nawet kilka pierwszych zer: + i , + i.... Riemann wprowadził następującą funkcję zmiennej zespolonej s: ξ(s) = ( s s(s )π s/ Γ ζ(s) ) i pokazał, że ξ(s) jest całkowitą i parzystą funkcją zmiennej s, a jej zera pokrywają się z nietrywialnymi zerami funkcji ζ. Stwierdził również, że liczba zer ζ( + it) dla t (, T ] wynosi około T π log( T πe ). W 896 r. Hadamard i de la Vallée-Poussin niezależnie od siebie udowodnili, że funkcja ζ nie posiada zer na prostej R(s) =. W 9 r. Hilbert umieścił Hipotezę Riemanna na swojej sławnej liście 3 nierozwiązanych problemów (pod numerem VIII). Jednakże początkowo miał on mylne pojęcie na temat trudności RH. Porównał on bowiem trzy nierozwiązane problemy: przestępność liczby, Wielkie Twierdzenie Fermata oraz Hipotezę Riemanna. Uznał, że RH doczeka się rozwiązana w ciągu kilu najbliższych lat, Wielkie Twierdzenie Fermata w przeciągu jego życia, a przestępność liczby prawdopodobnie nigdy. W rzeczywistości problem przestępności został rozwiązany jako pierwszy zaledwie parę lat później przez Gelfonda i Schneidera, tw. Fermata w 994 r. przez Andrew Wilesa, a jak wiemy RH pozostaje nadal otwarta. W 94 r. Hardy udowodnił, że na prostej krytycznej leży nieskończenie wiele zer funkcji ζ. Późniejsze prace Hardy ego i Littlewood a z 9 r. oraz 7

29 Selberga z 94 r. przyniosły oszacowania średniej gęstości zer na prostej krytycznej. W 945 r. wydawało się, że niemiecki matematyk Hans Rademacher obalił RH. Ten wniosek oparty był na dedukcji, że pewna funkcja miałaby absurdalne przedłużenie analityczne, gdyby RH byłaby prawdziwa. Jednakże matematycy, którzy wzięli pod lupę ten dowód, wykazali że jest on błędny. Najnowsze prace skupiają się na obliczeniu dokładnych lokacji wielkiej liczby miejsc zerowych (w nadziei na znalezienie kontrprzykładu) lub umiejscowieniu górnych granic liczby zer, które mogą leżeć poza prostą krytyczną (w nadziei, że uda się je zredukować do zera). 3.3 Zasadnicze twierdzenia o zerach funkcji ζ Przypomnijmy najpierw udowodnione w rozdziale drugim jedno ważniejszych twierdzeń dotyczących zer funkcji ζ. Twierdzenie 3. (J. Hadamard, Ch. de le Vallée-Poussin, 896). Funkcja ζ(s) nie ma zer na prostej R(s) =. Warto tu jeszcze wspomnieć o osiągnięciach dwóch matematyków Vinogradova i Korobova, którzy niezależnie od siebie wykazali, że ζ(s) nie ma zer w obszarze: c R(s), (log t + ) 3 (log log(3 + t )) 3 gdzie c jest pewną stałą dodatnią. Oznaczmy teraz N(T ) := #{s C : ζ(s) =, R(s), I(s) T }, N (T ) := #{s C : ζ(s) =, R(s) =, I(s) T }, 8

30 Twierdzenie 3.3 (H. v. Mangoldt, 895, 95). Mamy N(T ) = T ( ) T π log T π π + O(log T ) Dokładniej O(log T ).5 log T + log log T + 4 W 94 r. J.E. Littlewood poprawił to oszacowanie do O(log T/ log log T ). Jednym z pierwszych rezultatów przemawiających na korzyść RH jest twierdzenie Hardy ego. ζ( + it), < t < 5. Twierdzenie 3.4 (G. H. Hardy, 94). Nieskończenie wiele zer funkcji ζ(s) leży na prostej R(s) = Rysunek pochodzi z pracy J.B.Conrey [3]. 9

31 Twierdzenie 3.5 (J. B. Conrey, 989). N (T ).488 N(T ). Hipoteza 3.6 (Riemanna). N (T ) = N(T ). 3.4 Hipotezy równoważne RH Omówię teraz kilka innych nadal otwartych problemów matematycznych, równoważnych RH. Warto poświęcić im trochę uwagi, ponieważ dają one większe pole do manewrów przy ewentualnych próbach dowiedzenia RH. Po pierwsze RH jest równoważna następującemu wzmocnionemu tw. o rozkładzie liczb pierwszych: Równoważność 3.7. Stwierdzenie, że π(x) = Li(x) + O( x log x) jest równoważne hipotezie Riemanna. Dla potrzeb kolejnej równoważności zdefiniujemy funkcję lambda Liouville a. Definicja 3.8. Funkcja lambda Liouville a jest zdefiniowana w następujący sposób: λ(n) := ( ) ω(n), gdzie ω(n) jest liczbą wszystkich czynników pierwszych n liczonych z krotnościami. Równoważność 3.9. Hipoteza Riemanna jest równoważna stwierdzeniu, że dla dowolnego ε > zachodzi λ() + λ() +... λ(n) n /+ε. 3

32 Używając języka rachunku prawdopodobieństwa możemy powiedzieć, że liczba całkowita ma równe szanse posiadania parzystej jak i nieparzystej liczby czynników pierwszych. Następna równoważność wykorzystuje funkcje Möbiusa i Mertensa. Definicja 3.. Funkcja Möbiusa jest zdefiniowana w następujący sposób, jeżeli n dzieli się przez kwadrat jakiejś liczby pierwszej µ(n) := k, gdy n = p... p k, p i P, p i p j dla i j, gdy n = Definicja 3.. M(x) = µ(n). n x Równoważność 3.. Hipoteza Riemanna jest równoważna następującemu oszacowaniu: M(x) = O(x /+ε ) dla dowolnego ε >. Zamiast analizować funkcję π(x), rozsądniejsza wydaje się być praca z funkcją M(x) i dowód powyższego oszacowania, być może poprzez jakieś rozumowanie kombinatoryczne. W rzeczywistości Stjelties dał do zrozumienia, że ma taki dowód. W 896 Hadamard, w swoim sławnym dowodzie tw. o liczbach pierwszych, odniósł się do orzeczenia Stjeltiesa i zaproponował osłabione znacznie twierdzenie, że ζ(s) na prostej R(s) =, w nadziei że prostota jego dowodu może się okazać użyteczna. Niestety Stjelties nigdy nie opublikował swojego dowodu. Z kolei Mertens postawił mocniejsza hipotezę: M(x) x. Oczywiście implikuje ona RH. Jednakże hipotezę tą obalili Odlyżko i te Riele w 985. Oszacowanie M(x) = O( x) najprawdopodobniej również jest nieprawdziwe, choć nikomu jeszcze nie udało się tego dowieść. Możemy także sformułować RH przy pomocy funkcji sumy dzielników. 3

33 Definicja 3.3. Dla n N σ(n) := d. d n Równoważność 3.4. Hipoteza Riemanna jest równoważna stwierdzeniu, że dla każdego n > 54 σ(n) < e γ n log log n, gdzie γ jest stałą Eulera. Robin wykazał również, bezwarunkowo, że: σ(n) < e γ n n log log n +.648, n 3, log log n W oparciu o jego prace, Lagarias udowodnił kolejną równoważność RH, która wykorzystuje funkcję sumy dzielników. Równoważność 3.5. Poniższe stwierdzenie jest równoważne RH: σ(n) H n + e Hn log H n dla każdego n, równość zachodzi gdy n=. Tutaj H n oznacza n-tą liczbę harmoniczną, zdefiniowaną jako: H n := n j= j. Ostatnia zaprezentowana równoważność odróżnieniu od poprzednich, ma charakter analityczny. Równoważność 3.6. Hipoteza Riemanna jest równoważna stwierdzeniu, że wszystkie zera funkcji η Dirichleta: ( ) n η(n) := n= n s = ( s )ζ(s), które znajdują się w pasie < R(s) <, leżą na prostej R(s) =. 3

Liczby pierwsze rozmieszczenie. Liczby pierwsze rozmieszczenie

Liczby pierwsze rozmieszczenie. Liczby pierwsze rozmieszczenie Rozmieszczenie liczb pierwszych Wprowadzamy funkcję π(x) def = p x 1, liczbę liczb pierwszych nie przekraczających x. Łatwo sprawdzić: π(12) = 5 (2, 3, 5, 7, 11); π(17) = 7 (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17). Jeszcze

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),

Bardziej szczegółowo

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I)

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie

Bardziej szczegółowo

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R) Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)

Bardziej szczegółowo

Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych

Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Marcin Michalski 14.11.014 1 Wprowadzenie Jedną z intuicji na temat liczb rzeczywistych jest myślenie o nich jako liczbach,

Bardziej szczegółowo

Szeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka

Szeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne Szeregi potęgowe i trygonometryczne Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne str. 1/36 Szereg potęgowy Szeregiem potęgowym o

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania z teorii liczb

Przykładowe zadania z teorii liczb Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie

Bardziej szczegółowo

13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła.

13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła. Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła 13 1 13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła. 13.1 Równanie struny drgającej Równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu typu

Bardziej szczegółowo

Uniwersyteckie Koło Matematyczne - Tajemnicza liczba e.

Uniwersyteckie Koło Matematyczne - Tajemnicza liczba e. Uniwersyteckie Koło Matematyczne - Tajemnicza liczba e. Filip Piękniewski Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Mikołaja Kopernika http://www.mat.umk.pl/ philip 17 grudnia 2009 Filip Piękniewski,

Bardziej szczegółowo

6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.).

6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.). 6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.). 0 grudnia 008 r. 88. Obliczyć podając wynik w postaci ułamka zwykłego a) 0,(4)+ 3 3,374(9) b) (0,(9)+1,(09)) 1,() c) (0,(037))

Bardziej szczegółowo

Całki niewłaściwe. Całki w granicach nieskończonych

Całki niewłaściwe. Całki w granicach nieskończonych Całki niewłaściwe Całki w granicach nieskończonych Wiemy, co to jest w przypadku skończonego przedziału i funkcji ograniczonej. Okazuje się potrzebne uogólnienie tego pojęcia w różnych kierunkach (przedział

Bardziej szczegółowo

Funkcje analityczne. Wykład 1. Co to są i do czego służą funkcje analityczne? Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017)

Funkcje analityczne. Wykład 1. Co to są i do czego służą funkcje analityczne? Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) Funkcje analityczne Wykład 1. Co to są i do czego służą funkcje analityczne? Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) Paweł Mleczko Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu 1. Sprawy organizacyjne

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE A. RÓWNANIA RZĘDU PIERWSZEGO Uwagi ogólne Równanie różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego zawiera. Poza tym może zawierać oraz zmienną. Czyli ma postać ogólną Na przykład

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie IV. Dany jest prostokątny arkusz kartony o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe

Bardziej szczegółowo

Równanie przewodnictwa cieplnego (I)

Równanie przewodnictwa cieplnego (I) Wykład 4 Równanie przewodnictwa cieplnego (I) 4.1 Zagadnienie Cauchy ego dla pręta nieograniczonego Rozkład temperatury w jednowymiarowym nieograniczonym pręcie opisuje funkcja u = u(x, t), spełniająca

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006

FUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006 FUNKJE ZESPOLONE Lista zadań 25/26 Opracowanie: dr Jolanta Długosz Liczby zespolone. Obliczyć wartości podanych wyrażeń: (2 + ) ( ) 2 4 i (5 + i); b) (3 i)( 4 + 2i); c) 4 + i ; d) ( + i) 4 ; e) ( 2 + 3i)

Bardziej szczegółowo

Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą

Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą Andrzej Nowicki Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet M. Kopernika w Toruniu anow @ mat.uni.torun.pl 4 sierpnia 00 Jeśli r jest liczbą rzeczywistą, to

Bardziej szczegółowo

Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne

Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne Analiza zajmuje się problemami, w których pojawia się przejście graniczne. Przykładami takich problemów w matematyce bądź fizyce mogą być: 1. Pojęcie prędkości

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

Całki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C,

Całki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C, Całki nieoznaczone Adam Gregosiewicz 7 maja 00 Własności a) Jeżeli F () = f(), to f()d = F () + C, dla dowolnej stałej C R. b) Jeżeli a R, to af()d = a f()d. c) Jeżeli f i g są funkcjami całkowalnymi,

Bardziej szczegółowo

Krzysztof Rykaczewski. Szeregi

Krzysztof Rykaczewski. Szeregi Krzysztof Rykaczewski Spis treści 1 Definicja szeregu 2 Zbieżność szeregu 3 Kryteria zbieżności szeregów 4 Iloczyn Cauchy ego szeregów 5 Bibliografia 1 / 13 Definicja szeregu Niech dany będzie ciąg (a

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział

Bardziej szczegółowo

1 Podstawowe oznaczenia

1 Podstawowe oznaczenia Poniżej mogą Państwo znaleźć skondensowane wiadomości z wykładu. Należy je traktować jako przegląd pojęć, które pojawiły się na wykładzie. Materiały te nie są w pełni tożsame z tym co pojawia się na wykładzie.

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ

Bardziej szczegółowo

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a); Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Szeregi liczbowe. 5.1 Szeregi liczbowe. Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy (a n ) n=1.

Rozdział 5. Szeregi liczbowe. 5.1 Szeregi liczbowe. Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy (a n ) n=1. Rozdział 5 Szeregi liczbowe 5. Szeregi liczbowe Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy ( ). Ciąg (s n ) określony wzorem s n = n a j, n N, nazywamy ciągiem sum częściowych ciągu

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN, ANALIZA 1A, , ROZWIĄZANIA

EGZAMIN, ANALIZA 1A, , ROZWIĄZANIA Zadanie 1. Podać kresy następujących zbiorów. Przy każdym z kresów napisać, czy kres należy do zbioru (TAK = należy, NIE = nie należy). infa = 0 NIE A = infb = 1 TAK { 1 i + 2 j +1 + 3 } k +2 : i,j,k N

Bardziej szczegółowo

Rozwiązaniem jest zbiór (, ] (5, )

Rozwiązaniem jest zbiór (, ] (5, ) FUNKCJE WYMIERNE Definicja Miech L() i M() będą niezerowymi wielomianami i niech D { R : M( ) 0 } Funkcję (*) D F : D R określoną wzorem F( ) L( ) M( ) nazywamy funkcją wymierną Funkcja wymierna, to iloraz

Bardziej szczegółowo

Definicja odwzorowania ciągłego i niektóre przykłady

Definicja odwzorowania ciągłego i niektóre przykłady Odwzorowania Pojęcie odwzorowania pomiędzy dwoma zbiorami było już definiowane, ale dawno, więc nie od rzeczy będzie przypomnieć, że odwzorowaniem nazywamy sposób przyporządkowania (niekoniecznie każdemu)

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),

Bardziej szczegółowo

1. Liczby naturalne, podzielność, silnie, reszty z dzielenia

1. Liczby naturalne, podzielność, silnie, reszty z dzielenia 1. Liczby naturalne, podzielność, silnie, reszty z dzielenia kwadratów i sześcianów przez małe liczby, cechy podzielności przez 2, 4, 8, 5, 25, 125, 3, 9. 26 września 2009 r. Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie

Bardziej szczegółowo

Dystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5

Dystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5 Dystrybucje Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Dystrybucje................................... 1 1.2 Pochodna dystrybucyjna............................ 3 1.3 Przestrzenie...................................

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Li-Yorke a Twierdzenie Szarkowskiego

Twierdzenie Li-Yorke a Twierdzenie Szarkowskiego Politechnika Gdańska Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej Twierdzenie Li-Yorke a Twierdzenie Szarkowskiego Autor: Kamil Jaworski 11 marca 2012 Spis treści 1 Wstęp 2 1.1 Podstawowe pojęcia........................

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

n=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = :

n=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = : 4. Zbiory borelowskie. Zbiór wszystkich podzbiorów liczb naturalnych będziemy oznaczali przez ω. Najmniejszą topologię na zbiorze ω, w której zbiory {A ω : x A ω \ y}, gdzie x oraz y są zbiorami skończonymi,

Bardziej szczegółowo

5. Logarytmy: definicja oraz podstawowe własności algebraiczne.

5. Logarytmy: definicja oraz podstawowe własności algebraiczne. 5. Logarytmy: definicja oraz podstawowe własności algebraiczne. 78. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log 6 2+log 36 9 a) 4 2+log 27 = (2 2 ) log 27 4 = 28 2 = 784 29 listopada 2008

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych

Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych V Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych Opracowanie Monika Fabijańczyk ROZDZIAŁ 1 Cechy podzielności Poniższe zadania zostały wybrane z różnych zbiorów zadań, opracowań, konkursów matematycznych.

Bardziej szczegółowo

Czy kwadrat da się podzielić na nieparzystą liczbę trójkątów o równych polach? Michał Kieza

Czy kwadrat da się podzielić na nieparzystą liczbę trójkątów o równych polach? Michał Kieza Czy kwadrat da się podzielić na nieparzystą liczbę trójkątów o równych polach? Michał Kieza Łatwo zauważyć, że kwadrat można podzielić na 2, 4, 6,..., a także na dowolną parzystą liczbę trójkątów o równych

Bardziej szczegółowo

Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady

Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady Pochodne wyższych rzędów Drugą pochodną funkcji nazywamy pochodną pochodnej tej funkcji. Trzecia pochodna jest pochodną drugiej pochodnej; itd. Ogólnie, -ta

Bardziej szczegółowo

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją

Bardziej szczegółowo

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) =

Bardziej szczegółowo

Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości

Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości Funkcją pierwotną funkcji w przedziale nazywamy funkcję taką, że dla każdego punktu z tego przedziału zachodzi Różnica dwóch funkcji pierwotnych w przedziale danej

Bardziej szczegółowo

1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa.

1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1.1. NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1. Wykład 1 Twierdzenie 1.1 (o dzieleniu z resztą). Niech a, b Z, b 0. Wówczas istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych q, r Z taka, że a = qb + r oraz 0 r< b.

Bardziej szczegółowo

II. RÓŻNICZKOWANIE I CAŁKOWANIE NUMERYCZNE Janusz Adamowski

II. RÓŻNICZKOWANIE I CAŁKOWANIE NUMERYCZNE Janusz Adamowski II. RÓŻNICZKOWANIE I CAŁKOWANIE NUMERYCZNE Janusz Adamowski 1 1 Różniczkowanie numeryczne Rozważmy funkcję f(x) określoną na sieci równoodległyc węzłów. Funkcja f(x) może być dana za pomocą wzoru analitycznego

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1 1. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y 1+x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz

Bardziej szczegółowo

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i

Bardziej szczegółowo

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych.

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących, 008/09. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. 15 listopada 008 r. Uwaga: Przyjmujemy,

Bardziej szczegółowo

Matematyka Dyskretna 2/2008 rozwiązania. x 2 = 5x 6 (1) s 1 = Aα 1 + Bβ 1. A + B = c 2 A + 3 B = d

Matematyka Dyskretna 2/2008 rozwiązania. x 2 = 5x 6 (1) s 1 = Aα 1 + Bβ 1. A + B = c 2 A + 3 B = d C. Bagiński Materiały dydaktyczne 1 Matematyka Dyskretna /008 rozwiązania 1. W każdym z następujących przypadków podać jawny wzór na s n i udowodnić indukcyjnie jego poprawność: (a) s 0 3, s 1 6, oraz

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone Zadanie 1.1. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone (1) 1 i (2) (5)

1. Liczby zespolone Zadanie 1.1. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone (1) 1 i (2) (5) . Liczby zespolone Zadanie.. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone () i +i, () 3i, (3) ( + i 3) 6, (4) (5) ( +i ( i) 5, +i 3 i ) 4. Zadanie.. Znaleźć moduł i argument główny

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA Proporcjonalnością prostą nazywamy zależność między dwoma wielkościami zmiennymi x i y, określoną wzorem: y = a x Gdzie a jest

Bardziej szczegółowo

Zakładamy, że są niezależnymi zmiennymi podlegającymi (dowolnemu) rozkładowi o skończonej wartości oczekiwanej i wariancji.

Zakładamy, że są niezależnymi zmiennymi podlegającymi (dowolnemu) rozkładowi o skończonej wartości oczekiwanej i wariancji. Wnioskowanie_Statystyczne_-_wykład Spis treści 1 Centralne Twierdzenie Graniczne 1.1 Twierdzenie Lindeberga Levy'ego 1.2 Dowód 1.2.1 funkcja tworząca sumy zmiennych niezależnych 1.2.2 pochodna funkcji

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17 Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Funkcje zespolone Complex functions Kierunek: Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla wszystkich specjalności Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia Matematyka Poziom kwalifikacji: I stopnia Liczba

Bardziej szczegółowo

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja

Bardziej szczegółowo

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna. 1. Ciągi

Analiza matematyczna. 1. Ciągi Analiza matematyczna 1. Ciągi Definicja 1.1 Funkcję a: N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość tego odwzorowania w punkcie n nazywamy n

Bardziej szczegółowo

Jeśli lubisz matematykę

Jeśli lubisz matematykę Witold Bednarek Jeśli lubisz matematykę Część 3 Opole 011 1 Wielokąt wypukły i kąty proste Pewien wielokąt wypukły ma cztery kąty proste. Czy wielokąt ten musi być prostokątem? Niech n oznacza liczbę wierzchołków

Bardziej szczegółowo

Całki podwójne. Definicja całki podwójnej. Jacek Kłopotowski. 25 maja Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej

Całki podwójne. Definicja całki podwójnej. Jacek Kłopotowski. 25 maja Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Definicja całki podwójnej Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 25 maja 2016 Definicja całki podwójnej Załóżmy, że f : K R, gdzie K = a, b c, d R 2, jest funkcją ograniczoną. Niech x 0, x 1,...,

Bardziej szczegółowo

Funkcja wykładnicza kilka dopowiedzeń

Funkcja wykładnicza kilka dopowiedzeń Funkcje i ich granice Było: Zbiór argumentów; zbiór wartości; monotoniczność; funkcja odwrotna; funkcja liniowa; kwadratowa; wielomiany; funkcje wymierne; funkcje trygonometryczne i ich odwrotności; funkcja

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu 10.1.010r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II Zadanie 1. Wyznacz dziedzinę naturalną funkcji f (x) = x 4x + 3 x + x + log arc sin 1 x. Rozwiązanie. Wymagane

Bardziej szczegółowo

Kryptografia - zastosowanie krzywych eliptycznych

Kryptografia - zastosowanie krzywych eliptycznych Kryptografia - zastosowanie krzywych eliptycznych 24 marca 2011 Niech F będzie ciałem doskonałym (tzn. każde rozszerzenie algebraiczne ciała F jest rozdzielcze lub równoważnie, monomorfizm Frobeniusa jest

Bardziej szczegółowo

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Matematyka dla liceum ogólnokształcącego i technikum w zakresie podstawowym i rozszerzonym Z E S Z Y T M E T O D Y C Z N Y Miejski

Bardziej szczegółowo

1 Całki funkcji wymiernych

1 Całki funkcji wymiernych Całki funkcji wymiernych Definicja. Funkcją wymierną nazywamy iloraz dwóch wielomianów. Całka funkcji wymiernej jest więc postaci: W (x) W (x) = an x n + a n x n +... + a x + a 0 b m x m + b m x m +...

Bardziej szczegółowo

Łatwy dowód poniższej własności pozostawiamy czytelnikowi.

Łatwy dowód poniższej własności pozostawiamy czytelnikowi. Rozdział 3 Logarytm i potęga 3.1 Potęga o wykładniku naturalnym Definicja potęgi o wykładniku naturalnym. Niech x R oraz n N. Potęgą o podstawie x i wykładniku n nazywamy liczbę x n określoną następująco:

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Indukcja matematyczna 1 Zasada indukcji Rozpatrzmy najpierw następujący przykład. Przykład 1 Oblicz sumę 1 + + 5 +... + (n 1). Dyskusja. Widzimy że dla n = 1 ostatnim składnikiem powyższej sumy jest n

Bardziej szczegółowo

Rachunek całkowy - całka oznaczona

Rachunek całkowy - całka oznaczona SPIS TREŚCI. 2. CAŁKA OZNACZONA: a. Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną. b. Definicja całki oznaczonej. c. Własności całek oznaczonych. d. Zastosowanie całek oznaczonych. e. Zamiana zmiennej

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych

Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Arytmetyka liczb całkowitych Wykład 1 Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Z = {0, ±1, ±2,...}. Zakładamy, że czytelnik zna relację

Bardziej szczegółowo

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Nierówność Czebyszewa Niech X będzie zmienną losową o skończonej wariancji V ar(x). Wtedy wartość oczekiwana E(X) też jest skończona i

Bardziej szczegółowo

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Wyrażeniem algebraicznym nazywamy wyrażenie zbudowane z liczb, liter, nawiasów oraz znaków działań, na przykład: Symbole literowe występujące w wyrażeniu algebraicznym nazywamy zmiennymi.

Bardziej szczegółowo

Kurs Start plus poziom zaawansowany, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1.

Kurs Start plus poziom zaawansowany, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1. Projekt Fizyka Plus nr POKL.04.0.0-00-034/ współfinansowany przez Unię Europejską ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Kurs Start plus poziom zaawansowany,

Bardziej szczegółowo

Rozdział 9. Funkcja pierwotna. 9.1 Funkcja pierwotna

Rozdział 9. Funkcja pierwotna. 9.1 Funkcja pierwotna Rozdział 9 Funkcja pierwotna 9. Funkcja pierwotna Definicja funkcji pierwotnej. Niech f będzie funkcją określoną na przedziale P. Mówimy, że funkcja F : P R jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr. 6: Równania i układy równań liniowych

Zajęcia nr. 6: Równania i układy równań liniowych Zajęcia nr. 6: Równania i układy równań liniowych 13 maja 2005 1 Podstawowe pojęcia. Definicja 1.1 (równanie liniowe). Równaniem liniowym będziemy nazwyać równanie postaci: ax = b, gdzie x oznacza niewiadomą,

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 3 Jacek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 6 Różniczkowanie funkcji rzeczywistej 1. Pocodna funkcji W tym rozdziale rozważać będziemy funkcje rzeczywiste określone w pewnym przedziale

Bardziej szczegółowo

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych, IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy

Bardziej szczegółowo

Sumy kwadratów. Twierdzenie Fermata-Eulera. Lemat Minkowskiego

Sumy kwadratów. Twierdzenie Fermata-Eulera. Lemat Minkowskiego Sumy kwadratów TWIERDZENIE LAGRANGE A Każda liczba naturalna da się przedstawić w postaci sumy czterech kwadratów. Twierdzenie Fermata-Eulera Każda liczba pierwsza postaci 4k + 1 daje się przedstawić w

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Pochodną funkcji w punkcie (ozn. ) nazywamy granicę ilorazu różnicowego:

Pochodną funkcji w punkcie (ozn. ) nazywamy granicę ilorazu różnicowego: Podstawowe definicje Iloraz różnicowy funkcji Def. Niech funkcja będzie określona w pewnym przedziale otwartym zawierającym punkt. Ilorazem różnicowym funkcji w punkcie dla przyrostu nazywamy funkcję Pochodna

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 4: Podzielność liczb całkowitych Gniewomir Sarbicki Dzielenie całkowitoliczbowe Twierdzenie: Dla każdej pary liczb całkowitych (a, b) istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna - 14. Analiza zmiennych dyskretnych: ciągi i szeregi liczbowe

Analiza matematyczna - 14. Analiza zmiennych dyskretnych: ciągi i szeregi liczbowe Analiza matematyczna - 4. Analiza zmiennych dyskretnych: ciągi i szeregi liczbowe Wstęp: zmienne ciągłe i zmienne dyskretne Podczas dotychczasowych wykładów rozważaliśmy przede wszystkim zależności funkcyjne

Bardziej szczegółowo

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014.

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. W nawiasie przy zadaniu jego występowanie w numerze zestawu Spis treści (Z1, Z22, Z43) Definicja granicy ciągu. Obliczyć granicę:... 3 Definicja granicy ciągu...

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdającego 1 Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1,y 1 +x,y := x 1 +x,y 1 +y, 1 x 1,y 1 x,y := x 1 x y 1 y,x 1 y +x y 1 jest ciałem zob przykład 16, str 7; jest to tzw

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

1 + iϕ n. = cos ϕ + i sin ϕ. e n z n n n. c M n z n, c n z Mn.

1 + iϕ n. = cos ϕ + i sin ϕ. e n z n n n. c M n z n, c n z Mn. WRAiT 2 #1 1. Dla jakich a C ciągi o wyrazach na n, a n 1 + a n, an /n, są zbieżne? 2. Wykaż zbieżność i znajdź granice ciągów n a k, a n 1 + a 2n ( a < 1), a n 1 + a 2n ( a > 1), 1 n 3. Dla danego ϕ R

Bardziej szczegółowo

Ciągi. Granica ciągu i granica funkcji.

Ciągi. Granica ciągu i granica funkcji. Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Ciągi. Granica ciągu i granica funkcji.. Ciągi Ciąg jest to funkcja określona na zbiorze N lub jego podzbiorze. Z tego względu ciągi dziey na

Bardziej szczegółowo

Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych)

Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych) Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych) Funkcja uwikłana (równanie nieliniowe) jest to funkcja, która nie jest przedstawiona jawnym przepisem, wzorem wyrażającym zależność wartości

Bardziej szczegółowo

Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne

Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne Paweł Foralewski Teoria Ponieważ funkcje wykładnicza i logarytmiczna zostały wprowadzone wcześniej, tutaj przypomnimy tylko definicję logarytmu i jego

Bardziej szczegółowo

Równanie przewodnictwa cieplnego (II)

Równanie przewodnictwa cieplnego (II) Wykład 5 Równanie przewodnictwa cieplnego (II) 5.1 Metoda Fouriera dla pręta ograniczonego 5.1.1 Pierwsze zagadnienie brzegowe dla pręta ograniczonego Poszukujemy rozwiązania równania przewodnictwa spełniającego

Bardziej szczegółowo