Funkcja ζ Riemanna. Anna Gwiżdż. Praca magisterska napisana pod kierunkiem dr hab. Zbigniewa Błockiego

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Funkcja ζ Riemanna. Anna Gwiżdż. Praca magisterska napisana pod kierunkiem dr hab. Zbigniewa Błockiego"

Transkrypt

1 Uniwersytet Jagielloński Wydział Matematyki i Informatyki Anna Gwiżdż Funkcja ζ Riemanna Praca magisterska napisana pod kierunkiem dr hab. Zbigniewa Błockiego Kraków 7

2 Składam serdeczne podziękowania opiekunowi mojej pracy za pomoc i wyrozumiałość.

3 Spis treści Definicja i podstawowe własności funkcji ζ 4. Funkcja ζ Riemanna Globalnie zbieżny szereg dla funkcji ζ Równanie funkcyjne Funkcje ξ(s) i Ξ(t) Twierdzenie o liczbach pierwszych. Wprowadzenie Twierdzenie o liczbach pierwszych a analiza zespolona Związki analizy zespolonej i twierdzenia o liczbach pierwszych 9.4 Twierdzenie całkowe Hipoteza Riemanna 6 3. Wprowadzenie Wstęp historyczny Zasadnicze twierdzenia o zerach funkcji ζ Hipotezy równoważne RH A Dalsze własności funkcji ζ 35 A. Wartości funkcji ζ A. Podstawowe reprezentacje funkcji ζ B Zastosowania funkcji ζ w fizyce 43 B. Efekt Casimira

4 Wstęp Celem niniejszej pracy jest omówienie jednej z najważniejszych funkcji specjalnych - funkcji dzeta Riemanna. Na jej temat napisano już wiele książek, powstało mnóstwo prac naukowych oraz artykułów. Tak więc z ogromnej ilości zagadnień, problemów i zastosowań tej funkcji musieliśmy niestety wybrać tylko niektóre. W pierwszym rozdziale opiszemy podstawowe własności funkcji ζ, udowodnimy iloczyn Eulera oraz równanie funkcyjne Riemanna. Wyprowadzimy również wzory szeregów będących przedłużeniami funkcji ζ na półpłaszczyznę zespoloną {s C : R(s) > s } oraz na całą płaszczyznę zespoloną bez punktu s =. W kolejnym rozdziale zaprezentujemy oraz udowodnimy tw. o liczbach pierwszych. Pokażemy związki analizy zespolonej z teorią liczb poprzez ukazanie roli funkcji ζ w tym dowodzie. W rozdziale trzecim postaramy się przybliżyć najsłynniejszy chyba i nadal otwarty problem matematyki współczesnej, hipotezę Riemanna. Pokrótce przedstawimy dotychczasowe wyniki w kierunku udowodnienia (lub obalenia) RH, a także opiszemy kilka równoważnych stwierdzeń oraz wniosków z niej wynikających. Na koniec przedstawimy wiele dalszych własności ζ, jej wartości w wybranych punktach, związki ζ z innymi funkcjami specjalnymi jak: funkcja Γ Eulera, funkcja µ Möbiusa, funkcja λ Liouville a. Pokażemy również jedno z licznych zastosowań funkcji ζ w fizyce. 3

5 Rozdział Definicja i podstawowe własności funkcji ζ. Funkcja ζ Riemanna Funkcja dzeta Riemanna określona jest wzorem: ζ(s) = + s + 3 s + 4 s +... = n=, R(s) >. (.) ns Dla s = σ + it mamy n s = n σ. A stąd wynika, że szereg ten jest zbieżny jednostajnie w każdym podzbiorze zwartym tej półpłaszczyzny i funkcja ζ jest tam holomorficzna. 4

6 ζ(t), < t < 6. Co ciekawe, wzór (.) jako pierwszy sformułował Euler. Wykazał on również, iż funkcja ta ma głębokie i istotne związki z liczbami pierwszymi, a dokładniej udowodnił, że ζ(s) = s 3 s 5 s gdzie P oznacza zbiór liczb pierwszych.... = 7 s p P p s Twierdzenie. (Iloczyn Eulera, 737 r.). Prawdziwa jest następująca tożsamość: ζ(s) = p P ( p s ), R(s) > gdzie w iloczynie występują wszystkie liczby pierwsze. Rysunek pochodzi ze strony http : //en.wikipedia.org/wiki/riemann_zeta_function. 5

7 Fakt ten ma ogromne zastosowanie w teorii liczb, m.in. w dowodzie twierdzenia o rozkładzie liczb pierwszych. Dowód. Zauważmy, że: ζ(s)( s ) = = ( + + s 3 + ) ( s ) s ( s + + s 3 + ) ( s s + s 4 + ) s s ζ(s)( s )( 3 s ) = Widać więc, że: ( s 5 + ) ( s s 3 + s 9 + ) s s ζ(s)( s )( 3 s )... ( p s n )... = ζ(s) ( p s n ) n= = A stąd już natychmiast otrzymujemy tezę.. Globalnie zbieżny szereg dla funkcji ζ Powyżej zdefiniowaliśmy funkcję ζ dla liczb zespolonych s takich, że R(s) >. Spróbujmy teraz znaleźć jej analityczne przedłużenie na większy obszar. Dla R(s) >, mamy: ζ(s) = n= n s = n= n ( ) n s (n + ) s = s n= n+ n x s dx. n Niech x = [x] + {x}, gdzie [x] jest cechą, a {x} mantysą liczby x. Ponieważ [x] jest na każdym z przedziałów [n, n + ) stałe i równe n, możemy więc napisać ζ(s) = s n+ [x]x s dx = s [x]x s dx. n n= Wstawiając [x] = x {x} dostajemy ζ(s) = s = x s dx s {x}x s dx s s s {x}x s dx, σ > (.) 6

8 Zauważmy teraz, że całka niewłaściwa w (.) jest zbieżna dla σ > (ponieważ całka x σ dx jest zbieżna). Ta całka niewłaściwa definiuje funkcję analityczną w obszarze R(s) >. Stąd też funkcja meromorficzna w (.) daje analityczną kontynuację ζ(s) na półpłaszczyznę R(s) >, a wyraz daje biegun ζ(s) w punkcie s =. Aby przedłużyć funkcję ζ(s) na całą płaszczyznę zespoloną bez punktu s = posłużymy się funkcją gamma Γ(s) zdefiniowaną w następujący sposób: Mamy Γ(s) = s s t s e t dt. (.3) ( s Γ = t ) s e t dt dla σ >. Wstawiając t = n πx, dostajemy π s Γ ( s ) n s = x s e nπx dx. Dalej sumując po n =,, 3,... oraz zmieniając kolejność sumowania i całkowania: gdzie π s Γ ( s θ(x) := ) ζ(s) = = e n πx n= jest funkcją theta Jacobiego. ( ) x s e n πx n= ) x s ( θ(x) Lemat.. Funkcja θ spełnia następujące równanie funkcyjne: dx dx, (.4) x θ(x) = θ(x ), (.5) prawdziwe dla x >. 7

9 Dowód. Definiujemy f(t) := e πt x oraz F (t) := f(t + n). n= Wówczas F jest funkcją okresową o okresie i spełnia warunek Lipschitza. Jej szereg Fouriera jest więc zbieżny punktowo, a stąd θ(x) = f(n) = F () = e πint F (t)dt = n= n= n= f(n), gdzie f(s) = e πist f(t)dt jest transformatą Fouriera funkcji f. Aby znaleźć f, musimy obliczyć całkę eiax bx dx dla a R oraz b >. Po podstawieniu s = bx ai/( b) i całkowaniu po odpowiednim konturze otrzymamy e iax bx dx = e a 4b b {I(s)= a b } e s ds = e a 4b b e x dx = πe a 4b b. Stąd ( e πt x ) = e πs /x x, co kończy dowód. dalej: Możemy więc już powrócić do naszych poprzednich rozważań. Liczymy ( ) x s θ(x) ( ) dx = x s θ(x) ( ) dx+ x s θ(x) dx. Zajmijmy się najpierw pierwszą całką. Korzystając z równania (.5) otrzy- 8

10 mujemy: ( ) x s θ(x) dx = ( ) x s θ(x)dx x s dx ( ) x s θ(x)dx = s + = s + = s + = s + = s + = x s x θ(x )dx x s θ(x)dx ( ) θ(x) dx + x s dx ( ) θ(x) dx + s ( ) x s θ(x) dx. x s x s s(s ) + Sumując ostatni wynik z drugą całką, dostajemy: ζ(s) = π s { ( ) } Γ ( ) s s(s ) + ( ) s x + x s θ(x) dx. (.6) Wskutek eksponencjalnego spadku funkcji θ, całka niewłaściwa w równaniu (.6) jest zbieżna dla każdego s C a stąd definiuje funkcję całkowitą na zbiorze liczb zespolonych. Stąd też (.6) jest analityczną kontynuacją funkcji ζ(s) na całą płaszczyznę zespoloną bez punktu s =..3 Równanie funkcyjne Zajmiemy się teraz równaniem funkcyjnym dla ζ(s). Riemann zauważył, że wzór (.6) nie tylko zapewnia analityczne przedłużenie funkcji ζ(s), ale także dostarcza równanie funkcyjne. Zaobserwował on bowiem, że wyrażenie s(s ) oraz całka niewłaściwa w (.6) nie zmienią się jeśli zastąpimy s przez s. Stąd też wyprowadził poniższe równanie: Twierdzenie.3 (Równanie funkcyjne). Dla każdego s C, ( ) ( ) π s s Γ ζ(s) = π s s Γ ζ( s), 9

11 Z powyższego równania funkcyjnego, widać że funkcja ζ ma tak zwane zera trywialne w punktach s =, 4, 6, Funkcje ξ(s) i Ξ(t) Rozpatrzmy funkcję: ξ(s) = s(s )π s Γ ( s ) ζ(s). Wówczas równanie funkcyjne upraszcza się do postaci: ξ(s) = ξ( s). Zbiór zer funkcji ξ(s) jest zbiorem nietrywialnych zer funkcji ζ(s). Mamy także ξ(s) = ξ(s). Wobec tego ( ) ( ) ξ + it = ξ it = ξ ( ( ) ( ) + it) = ξ + it Zatem ξ ( + it) R dla t R. Określamy teraz funkcję rzeczywistą Ξ(t) := ξ ( + it). Jest to funkcja parzysta, Ξ( t) = Ξ(t). Zbiór zer funkcji ζ(s) na prostej krytycznej jest równy zbiorowi zer funkcji ξ(s) na tej prostej, odpowiada więc zbiorowi zer rzeczywistych funkcji Ξ(t).

12 Rozdział Twierdzenie o liczbach pierwszych. Wprowadzenie Nasza fascynacja liczbami pierwszymi rozpoczęła się już w starożytności. Euklides udowodnił, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych. Eratostenes opracował metodę znajdowania liczb pierwszych (tzw. Sito Eratostenesa). Poprzez dokładne badania tabeli liczb pierwszych, C. Gauss ( ) sformułował zależność, którą my dziś nazywamy twierdzeniem o liczbach pierwszych. Niech π(n) oznacza moc zbioru liczb pierwszych spełniających warunek p n. Twierdzenie o liczbach pierwszych głosi, że: π(n) n log n, (tzn. π(n) n/ log n n ) Nie ma tu wzmianki o liczbach zespolonych, tym bardziej zaskakującym jest fakt, że pierwszy (i przez długi czas jedyny znany) dowód przeprowadzony był w oparciu o analizę zespoloną. Droga wiodąca do dowodu tego twierdzenia była długa i zawiła. Niezwykle pomocną okazała się być poniższa funkcja, tak zwany logarytm całkowy: Li(x) = x dt log t Łatwo zaobserwować, że Li(x) x/ log x przy x +. Posługując się komputerem można obliczyć, że dla x = 6 Li(x) oraz π(x) =

13 A biorąc x = 9 dostajemy Li(x) oraz π(x) = Twierdzenie o liczbach pierwszych orzeka, że błąd (w pewnym sensie) będzie malał do zera przy x dążącym do nieskończoności. Dokładniejsze przybliżenia tego błędu dostarczają nam bardziej szczegółowych informacji dotyczących rozmieszczenia liczb pierwszych. Rosyjski matematyk P. L. Czebyszew (8-894) udowodnił, że iloraz: π(n) n/ log n (.) zawsze leży pomiędzy dwoma dodatnimi stałymi, kiedy n jest duże. J. J. Sylvester (84 897) zepchnął te stałe bliżej siebie (choć nadal leżały one po obydwu stronach ). Dopiero J. Hadamard ( ) i C. de la Vallee Poussin (866 96), niezależnie od siebie udowodnili, że wyrażenie (.) jest asymptotyczne z gdy n. Napiszmy to bardziej formalnie: Twierdzenie. (Twierdzenie o liczbach pierwszych). Funkcja π(n) jest asymptotycznie równoważna z n/ log n w następującym sensie: lim n π(n) n/ log n =. Istotnym krokiem do przodu w dowodzie tego twierdzenia, dokonanym przez Hadamarda i de la Vallee Poussina, było zastosowanie narzędzi spoza teorii liczb. W szczególności posłużyli się analizą zespoloną - wykorzystali funkcję ζ Riemanna w wyczerpujący i oryginalny sposób. W 949 Selberg i Erdős znaleźli elementarny dowód Tw... Był on elementarny w tym sensie, że nie wykorzystano w nim analizy zespolonej. W istocie był on techniczny i niezwykle skomplikowany. Aktualny dowód Tw.., który zaprezentuję pochodzi od D. J. Newmana [6] i został nieco uproszczony przez Zagiera [].

14 . Twierdzenie o liczbach pierwszych a analiza zespolona Na pierwszy rzut oka nie widać żadnego oczywistego związku Tw.. z analizą zespoloną. Funkcja π(n) prowadzi z N w N stąd nie ma mowy o jej różniczkowalności, a nawet ciągłości. Kluczem do rozwiązania okazał się być iloczyn Eulera (patrz Tw..): ζ(s) = ( p ), p P R(s) > (.) który możemy zapisać w równoważnej postaci: ζ(s) = p P ( + p ). (.3) s ps Zaczniemy od dowodu następującego twierdzenia: Twierdzenie.. Suma odwrotności liczb pierwszych jest nieskończona: p P p = +. W szczególności istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych. Dowód. Zauważmy, że < ζ(s) < + dla s (, ). Prawa strona równości (.) wyraźnie maleje kiedy zbliżamy się z s do, s +. Załóżmy niewprost, że p P < +. Wówczas iloczyn p p P( ) jest zbieżny i ma granicę p różną od zera. Również dla wszystkich rzeczywistych s > oraz dla ustalonej N > mamy: ( p ) ( ) ( ) > p N s p N p p p Stąd lim s + ζ(s) = lim ( p ) ( p ) >. s + p P s p P s A zatem granica lim x + ζ(s) jest skończona. Ale dla dowolnego A >, znajdziemy N Z + takie, że N n > A. Stąd też lim s + ζ(s) N n > A. 3

15 W rezultacie otrzymujemy, że lim s + ζ(s) nie może być skończone. Sprzeczność. Dla uproszczenia zapisu będziemy używać następującego oznaczenia: f(x) f(x) g(x) lim x + g(x) =. Heureza. Funkcja π(x) wskazuje które liczby są pierwsze w następujący sposób: liczba naturalna n jest pierwsza wtedy i tylko wtedy, gdy wartość π(x) wzrasta o dla x = n. Stąd wartość poniższej sumy: f(p), p x p P gdzie dana funkcja f jest określona na R +, jest w tym sensie zdeterminowana przez wartości funkcji π(x). To ostatnie wyrażenie zapiszemy teraz przy pomocy całki Stjeltiesa. Mianowicie: x f(p) = f(t)dπ(t) p x zakładając oczywiście, że f jest ciągłą funkcją określoną na R +. Podstawmy w powyższym wyrażeniu f(x) = log x zakładając przy tym na chwilę, że π(x) równa się x/ log x. Oczywiście funkcja π(x), która jest skokowa, nie może i nie równa się x/ log x, która jest C na {x : x > }. Możemy jednak założyć, że idea asymptotycznego zachowania f(p) przy n + może wywodzić się z asymptotycznego zachowania funkcji π(x). Oznaczmy teraz: ϑ(x) := log p. p x p x Następnie dla wygody możemy zmienić dolną granicę sumowania (bez straty ogólności, ponieważ interesują nas tylko duże wartości x), ϑ(x) log p. <p x 4

16 Wyrażenie <p x log p powinno być tej samej wielkości co: x t log t d(t/ log t) = log t log t = x x x x log t dt. t t log t dt Skorzystaliśmy tu z całkowania przez części. Korzystając z reguły l Hospitala otrzymujemy: lim x x dt log t x R.H. = lim x Stąd możemy już wnioskować, że log x log x lim log p = lim x x x p x x lub też ϑ(x) x. = =. Ta ostatnia asymptotyczność jest rzeczywiście prawdziwa, chociaż jeszcze jej dokładnie nie udowodniliśmy, nawet przy dodatkowym założeniu, że π(x) x/ log x. Powyższe heurystyczne rozumowanie może być (nawet mniej formalnie) odwrócone. Załóżmy, że ϑ(x) = x lub x x (log t)dπ(t). Różniczkujemy ostatnie wyrażenie względem x otrzymując: czyli log x dπ(x) dx Ale π(x) x log t dt lim x + x dt log t x/ log x = 5

17 Ponownie, dzięki regule l Hospitala mamy: π(x) x log x. Tak więc niespodziewanie, te niepewne rozważania i mało rygorystyczne rozumowania zaprowadziły nas do prawdziwych konkluzji. Teraz sformułujemy i udowodnimy nasze pomysły prawidłowo i dokładnie: Lemat.3. Prawdziwa jest następująca asymptotyczność: ϑ(x) x wtedy i tylko wtedy, gdy π(x) x log x Dowód. Załóżmy najpierw, że ϑ(x) x. Teraz ϑ(x) = log p log x = π(x) log x. p x p x Także, dla ε >, ϑ(x) Stąd, dla dużych x, x ε p x x ε p x log p ( ε) log x ( ε) log x[π(x) π(x ε )]. ϑ(x) π(x) log x x x Ale π(x ε ) x ε, tak więc π(x ε ) log x lim x + x x ( ε)log x =. π(x) π(x ε ) log x ( ε). x Stąd już wynika, że π(x) x/ log x. Dowód w przeciwną stronę polega na odwróceniu kroków powyższego rozumowania. Pokażemy teraz, że dla dużych wartości x, ϑ(x) jest bliskie x w pewnym całkowym sensie. 6

18 Lemat.4. Jeśli istnieje x lim x + ϑ(t) t dt t to wówczas ϑ(x) x. Dowód. Załóżmy niewprost, że istnieje liczba λ > taka, że dla pewnego ciągu {x j }, x j R, którego granica lim j x j = + mamy: ϑ(x j ) λx j. Korzystając z faktu, że ϑ jest niemalejąca oraz biorąc x równe pewnemu x j dostajemy: λx x gdzie c ϑ(t) t λx λx t dt dt = t x t u= t x λ du= dt x = xdu=dt λ u u du = c, = + λ log λ > dla dowolnej λ >. To oszacowanie jest sprzeczne z założeniem o zbieżności całki (z warunku Cauchy ego). Ta zbieżność implikuje że λxj lim j + x j ϑ(t) t t dt =. Jeśli teraz założymy, że dla pewnego < λ < zachodzi nierówność ϑ(x j ) λx j, to dla x równemu pewnemu x j, mamy: x λx ϑ(t) t dt t x λx gdzie c = λ + log λ <. λx t t dt = Ponownie dostaliśmy sprzeczność. λ λ t t dt = c. To, czy faktycznie zrobiliśmy jakiś postęp w dowodzie Tw.., zależy od tego czy potrafimy udowodnić zbieżność całki: x ϑ(t) t dt, gdzie x +. t I tu właśnie sięgniemy po analizę zespoloną. Zanim jednak to zrobimy, udowodnimy jeszcze pewien wniosek dotyczący funkcji ϑ. Chcemy pokazać, że ϑ(x) x, ale już w tej chwili możemy zobaczyć, że ϑ(x) = O(x). notacja Landau a; oznacza to, że lim sup x + ϑ(x)/x < + lub równoważnie, że istnieje stała C > taka, że ϑ(x) Cx 7

19 Lemat.5. Dla pewnego C > i wszystkich x, mamy ϑ(x) Cx. Równoważnie, używając notacji Landau a, ϑ(x) = O(x). Dowód. Dla dowolnej liczby N Z + prawdą jest, że ( + ) N = N m= ( ) N m ( ) N e ϑ(n) ϑ(n) (.4) N biorąc liczbę pierwszą p taką, że p (N, N), widzimy że p dzieli (N)! ale nie dzieli N!. Stąd p dzieli ( ) N = (N)! N (N!). Logarytmując obustronnie wyrażenie (.4) otrzymujemy: ϑ(n) ϑ(n) N log. Sumując po N =, N = 4, N = 8,..., N = k ϑ(4) ϑ() 4 log ϑ(8) ϑ(4) 8 log + dostajemy: ϑ( k+ ) ϑ( k ) k log ϑ( k+ ) + (log )( k ) + (log )( k+ ) (3 log )( k ) przy założeniu, że k. Teraz, dla dowolnego x istnieje liczba całkowita k > taka, że k x k+. Stąd ϑ(x) ϑ( k+ ) (3 log )( k ) (6 log )x. 8

20 .3 Związki analizy zespolonej i twierdzenia o liczbach pierwszych W poprzednich podrozdziałach zasygnalizowaliśmy w jaki sposób wykorzystać nasze wiadomości na temat funkcji ζ w celu uzyskania informacji na temat dystrybucji liczb pierwszych. Jednakże w dowodzie Tw.. będziemy opierać się na bardziej szczegółowych rozważaniach dotyczących związku ζ i funkcji π. Rozpoczniemy prostej obserwacji, którą wykorzystamy w kilku dowodach. Lemat.6. Funkcja ζ(s) s, gdzie R(s) > przedłuża się holomorficznie do całej półpłaszczyzny {s : R(s) > }. Dowód. Wynika z faktu, że funkcja ζ jest postaci (.). Zdefiniujemy teraz funkcję Φ Φ(s) := p P(log p)p s, gdzie s C. Oczywiście, aby ta definicja miała sens, musimy mieć pewność, że szereg jest zbieżny dla wskazanych wartości s. W rzeczywistości, ten szereg jest absolutnie i jednostajnie zbieżny na zwartych podzbiorach półpłaszczyzny {s C : R(s) > s }, co w oczywisty sposób wynika z następujących faktów: () Oszacowanie: (log p)p s p s+ε p R(s)+ε pozostaje prawdziwe dla dużych wartości p; () Szereg p s jest zbieżny dla każdego s zespolonego z R(s) >. 9

21 Obydwa powyższe stwierdzenia są trywialne i nie wymagają formalnych dowodów. Funkcja Φ jest blisko związana z funkcją ζ. W szczególności Φ powstaje poprzez obliczenie pochodnej logarytmicznej ζ /ζ w następujący sposób: Korzystamy z reprezentacji ζ przy pomocy nieskończonego iloczynu: Stąd ζ(s) = p P ( p s ). ζ (s) ζ(s) = [ / s]( p s ) p P p s = p P(p s log p) p s = p P log p p s ζ (s) ζ(s) = p P = p P log p p s p s log p p s (p s ) (p s + ) log p p s (p s ) = p P = log p p P p s (p s ) + p P log p p s (p s ) + Φ(s). = p P log p p s Szereg p log p p s (p s ) jest absolutnie i jednostajnie zbieżny na zwartych podzbiorach półpłaszczyzny {s : R(s) > /}. Uzasadnienie tego faktu jest analogiczne do pokazania, że Φ jest dobrze zdefiniowana na {s : R(s) > }. Stąd z rozszerzenia

22 funkcji ζ na {s : R(s) > } wynika, że Φ przedłuża się meromorficznie na {s : R(s) > /}. Ta meromorficznie przedłużona funkcja ma biegun w s =, gdzie ζ też ma biegun. Ma również bieguny w miejscach zerowych funkcji ζ w półpłaszczyźnie {s : R(s) > /}. Oczywiście wiedzielibyśmy więcej o funkcji Φ gdybyśmy umieli dokładnie zlokalizować zera funkcji ζ. Twierdzenie.7. Funkcja ζ(s) dla s = + iα, gdzie α R. W szczególności Φ(s) /(s ) jest holomorficzna w otoczeniu zbioru {R(s) }. Dowód. Skoro ζ posiada biegun w punkcie s = to interesuje nas tylko przypadek gdy α. Załóżmy, że ζ ma zero rzędu µ w punkcie + iα oraz rzędu ν w punkcie + iα (używamy tu konwencji, w której zero rzędu jest punktem w którym funkcja jest niezerowa). Chcemy pokazać, że µ =. W tym celu ocenimy pewne granice, używając wzoru na ζ /ζ. (i) Granica lim ε + εφ( + ε) =, ponieważ Φ(s) /(s ) jest holomorficzna w otoczeniu punktu s =. (ii) Granica lim ε Φ( + ε ± iα) = µ ε + ponieważ końcowa suma w wyrażeniu na ζ /ζ jest zbieżna, więc pomnożona przez ε ma granicę równą zero. Ponadto (s ( + iα)) ζ (s)/ζ(s) ma granicę µ w + iα oraz (s ( iα)) ζ (s)/ζ(s) ma granicę µ w iα. (Zauważmy, że rzędy zer w punktach + α i α muszą być równe skoro ζ(s) = ζ(s). Ostatnia równość wynika z faktu, że ζ przyjmuje wartości rzeczywiste na zbiorze {x+i : x R, x > }.) (iii) Granica lim ε Φ( + ε ± iα) = ν. ε + Uzasadnienie analogiczne jak w (ii).

23 Teraz wykorzystamy pewną algebraiczną sztuczkę. Mianowicie, zauważmy że, skoro p iα/ + p iα/ jest liczbą rzeczywistą, to: ale p> p log p p +ε ( p iα/ + p iα/) 4, log p p +ε ( p iα/ + p iα/) 4 = Φ(+ε iα)+4φ(+ε iα)+6φ(+ε)+4φ(+ε+iα)+φ(+ε+iα). Mnożąc przez ε > i biorąc granice po ε + dostajemy ν 4µ + 6 4µ ν = 6 8µ ν Stąd µ = czyli ζ( + iα). Holomorficzność funkcji Φ(s) /(s ) w otoczeniu wynika z uwag poprzedzających to twierdzenie. Postaramy się teraz powiązać funkcję ϑ z Φ, o której zebraliśmy już sporo informacji. Lemat.8. Jeśli R(s) >, to Φ(s) = s e st ϑ(e t )dt. Dowód. Spróbujmy wyrazić Φ przy pomocy ϑ: ϑ(n) ϑ(n ) Φ(s) = = co kończy dowód. = s = = s n= n= ϑ(n) x=e t dx=e t dt n s ( ) n s (n + ) s ϑ(x) x s+ dx e st ϑ(e t )dt,

24 Możemy teraz sprowadzić tw. o liczbach pierwszych do ważnego wniosku analizy zespolonej. Wystarczy pokazać, że całka ϑ(x) x dx x jest zbieżna. Ta zbieżność jest równoważna, poprzez zmianę zmiennych x = e t, ze zbieżnością (ϑ(e t )e t )dt. Weźmy f(t) = ϑ(e t )e t. Wtedy, ze wzoru: Φ(s) = s e st ϑ(e t )dt, widzimy, że f(t)e st dt jest holomorficzna w otoczeniu {s : R(s) }. Mianowicie, s + Φ(s + ) = s + (s + ) = = = Ale jak już pokazaliśmy funkcja s + Φ(s + ) s + e st e t ϑ(e t )dt e st f(t)dt + e (s+)t ϑ(e t )dt e st f(t)dt + s. jest holomorficzna w otoczeniu {s : R(s) }. e st dt Jak widać zbieżność całki f(t)dt pociąga za sobą tw. o liczbach pierwszych, tak więc będzie ono udowodnione, jeśli uda nam się pokazać następujący rezultat (gdzie f zdefiniowana jak wyżej oraz g(s) = f(t)e st dt). 3

25 .4 Twierdzenie całkowe Twierdzenie.9. Niech f(t), t będzie ograniczoną i lokalnie całkowalną funkcją taką, że g(s) = f(t)e st dt, R(s) > przedłuża się holomorficznie do pewnego otoczenia {s : R(s) }. Wtedy f(t)dt istnieje (jest zbieżna) i równa jest g(). Dowód. Ustalamy T > i zdefiniujmy g T (s) = Wtedy g T T f(t)e st dt. jest w oczywisty sposób holomorficzna dla każdego s (z tw. Morery). Musimy pokazać, że lim g T () = g() T + Niech R będzie dużą, dodatnią liczbą, δ - małą, dodatnią liczbą a C - brzegiem następującego obszaru: U = {s C : s R, R(s) δ}. Dobieramy δ odpowiednio małą, tak aby g(s) była holomorficzna w otoczeniu domknięcia obszaru wyznaczonego przez C. Wtedy, z wzoru Cauchy ego zastosowanego do funkcji (g g T )h T, gdzie mamy: ( ) h T (s) := e st + s, R g() g T () = ( ) [g(s) g T (s)]e st + s ds πi C R s. 4

26 Na zbiorze C + = C {R(s) > }, funkcja podcałkowa jest ograniczona przez 4B/R, gdzie B = max t f(t). Jest tak ponieważ g(s) g T (s) = f(t)e st dt B e st dt = Be R(s)T T T R(s) dla R(s) > ) oraz ( ) est + s R s ( ) = e R(s) T + s R s = e R(s) T ( + eit ) s = e R(s) T R = e R(s) T R ( + cos(t)) + sin (t) + cos(t) = e R(s) T cos(t) R = e R(s) T R(s). R Stąd odpowiednia całka po C + jest zbieżna do, gdy R. Niech C osobno g i g T. C {R(s) < }. By obliczyć tę całkę po C, rozważmy Z jednej strony, skoro g T jest całkowita, drogę całkowania możemy zamienić na C {s C : s = R, R(s) < }. Całka po C będzie wtedy ograniczona na moduł przez 4πB/R z tym samym oszacowaniem co wcześniej, ponieważ g T (s) = dla R(s) <. T f(t)e st T dt B e st dt = Be R(s) T R(s) Z drugiej strony, pozostała całka po C zmierza do gdy T ponieważ funkcja podcałkowa jest jest iloczynem funkcji g(s) ( + s /R )/s, która jest niezależna od T oraz funkcji e st, która zmierza jednostajnie do na zbiorach zwartych gdy T + w półpłaszczyźnie {R(s) < }. Stąd lim sup g() g t () 4πB/R. T + Skoro R jest dowolne, twierdzenie zostało udowodnione. 5

27 Rozdział 3 Hipoteza Riemanna 3. Wprowadzenie Hipoteza Riemanna sformułowana pierwotnie przez Bernharda Riemanna w 859 r. jest chyba najbardziej znanym i najważniejszym nierozwiązanym problemem matematyki współczesnej. Pomimo skoncentrowanych wysiłków wielu wybitnych matematyków, problem ten nadal pozostaje otwarty. Hipoteza Riemanna dotyczy rozmieszczenia zer funkcji ζ(s). Wiemy, że funkcja ζ jest określona dla wszystkich liczb zespolonych s oraz że posiada tak zwane zera trywialne w punktach, 4, 6,.... Hipoteza Riemanna koncentruje się na zerach nietrywialnych i orzeka, że: Hipoteza 3. (Riemanna). Część rzeczywista każdego nietrywialnego zera funkcji ζ jest równa. Innymi słowy wszystkie nietrywialne zera funkcji ζ leżą na tak zwanej prostej krytycznej +it, t R. Hipoteza ta jest jednym z najważniejszych otwartych problemów matematyki współczesnej, ponieważ wiele głębokich i istotnych twierdzeń zostało udowodnionych przy założeniu, że jest ona prawdziwa. Clay Mathematics Institute zaoferował nawet nagrodę wysokości $.. za pierwszy poprawny dowód. 6

28 3. Wstęp historyczny W 859 r. Riemann sformułował w swojej pracy Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse, swoją hipotezę. Wiedział on, że funkcja ζ spełnia następujące równanie funkcyjne: ( s π s/ Γ ζ(s) = π ) ( s)/ Γ ( s ) ζ( s), a także, że nietrywialne zera funkcji ζ są symetrycznie rozłożone względem prostej s = + it oraz leżą w pasie < R(s) <. Policzył nawet kilka pierwszych zer: + i , + i.... Riemann wprowadził następującą funkcję zmiennej zespolonej s: ξ(s) = ( s s(s )π s/ Γ ζ(s) ) i pokazał, że ξ(s) jest całkowitą i parzystą funkcją zmiennej s, a jej zera pokrywają się z nietrywialnymi zerami funkcji ζ. Stwierdził również, że liczba zer ζ( + it) dla t (, T ] wynosi około T π log( T πe ). W 896 r. Hadamard i de la Vallée-Poussin niezależnie od siebie udowodnili, że funkcja ζ nie posiada zer na prostej R(s) =. W 9 r. Hilbert umieścił Hipotezę Riemanna na swojej sławnej liście 3 nierozwiązanych problemów (pod numerem VIII). Jednakże początkowo miał on mylne pojęcie na temat trudności RH. Porównał on bowiem trzy nierozwiązane problemy: przestępność liczby, Wielkie Twierdzenie Fermata oraz Hipotezę Riemanna. Uznał, że RH doczeka się rozwiązana w ciągu kilu najbliższych lat, Wielkie Twierdzenie Fermata w przeciągu jego życia, a przestępność liczby prawdopodobnie nigdy. W rzeczywistości problem przestępności został rozwiązany jako pierwszy zaledwie parę lat później przez Gelfonda i Schneidera, tw. Fermata w 994 r. przez Andrew Wilesa, a jak wiemy RH pozostaje nadal otwarta. W 94 r. Hardy udowodnił, że na prostej krytycznej leży nieskończenie wiele zer funkcji ζ. Późniejsze prace Hardy ego i Littlewood a z 9 r. oraz 7

29 Selberga z 94 r. przyniosły oszacowania średniej gęstości zer na prostej krytycznej. W 945 r. wydawało się, że niemiecki matematyk Hans Rademacher obalił RH. Ten wniosek oparty był na dedukcji, że pewna funkcja miałaby absurdalne przedłużenie analityczne, gdyby RH byłaby prawdziwa. Jednakże matematycy, którzy wzięli pod lupę ten dowód, wykazali że jest on błędny. Najnowsze prace skupiają się na obliczeniu dokładnych lokacji wielkiej liczby miejsc zerowych (w nadziei na znalezienie kontrprzykładu) lub umiejscowieniu górnych granic liczby zer, które mogą leżeć poza prostą krytyczną (w nadziei, że uda się je zredukować do zera). 3.3 Zasadnicze twierdzenia o zerach funkcji ζ Przypomnijmy najpierw udowodnione w rozdziale drugim jedno ważniejszych twierdzeń dotyczących zer funkcji ζ. Twierdzenie 3. (J. Hadamard, Ch. de le Vallée-Poussin, 896). Funkcja ζ(s) nie ma zer na prostej R(s) =. Warto tu jeszcze wspomnieć o osiągnięciach dwóch matematyków Vinogradova i Korobova, którzy niezależnie od siebie wykazali, że ζ(s) nie ma zer w obszarze: c R(s), (log t + ) 3 (log log(3 + t )) 3 gdzie c jest pewną stałą dodatnią. Oznaczmy teraz N(T ) := #{s C : ζ(s) =, R(s), I(s) T }, N (T ) := #{s C : ζ(s) =, R(s) =, I(s) T }, 8

30 Twierdzenie 3.3 (H. v. Mangoldt, 895, 95). Mamy N(T ) = T ( ) T π log T π π + O(log T ) Dokładniej O(log T ).5 log T + log log T + 4 W 94 r. J.E. Littlewood poprawił to oszacowanie do O(log T/ log log T ). Jednym z pierwszych rezultatów przemawiających na korzyść RH jest twierdzenie Hardy ego. ζ( + it), < t < 5. Twierdzenie 3.4 (G. H. Hardy, 94). Nieskończenie wiele zer funkcji ζ(s) leży na prostej R(s) = Rysunek pochodzi z pracy J.B.Conrey [3]. 9

31 Twierdzenie 3.5 (J. B. Conrey, 989). N (T ).488 N(T ). Hipoteza 3.6 (Riemanna). N (T ) = N(T ). 3.4 Hipotezy równoważne RH Omówię teraz kilka innych nadal otwartych problemów matematycznych, równoważnych RH. Warto poświęcić im trochę uwagi, ponieważ dają one większe pole do manewrów przy ewentualnych próbach dowiedzenia RH. Po pierwsze RH jest równoważna następującemu wzmocnionemu tw. o rozkładzie liczb pierwszych: Równoważność 3.7. Stwierdzenie, że π(x) = Li(x) + O( x log x) jest równoważne hipotezie Riemanna. Dla potrzeb kolejnej równoważności zdefiniujemy funkcję lambda Liouville a. Definicja 3.8. Funkcja lambda Liouville a jest zdefiniowana w następujący sposób: λ(n) := ( ) ω(n), gdzie ω(n) jest liczbą wszystkich czynników pierwszych n liczonych z krotnościami. Równoważność 3.9. Hipoteza Riemanna jest równoważna stwierdzeniu, że dla dowolnego ε > zachodzi λ() + λ() +... λ(n) n /+ε. 3

32 Używając języka rachunku prawdopodobieństwa możemy powiedzieć, że liczba całkowita ma równe szanse posiadania parzystej jak i nieparzystej liczby czynników pierwszych. Następna równoważność wykorzystuje funkcje Möbiusa i Mertensa. Definicja 3.. Funkcja Möbiusa jest zdefiniowana w następujący sposób, jeżeli n dzieli się przez kwadrat jakiejś liczby pierwszej µ(n) := k, gdy n = p... p k, p i P, p i p j dla i j, gdy n = Definicja 3.. M(x) = µ(n). n x Równoważność 3.. Hipoteza Riemanna jest równoważna następującemu oszacowaniu: M(x) = O(x /+ε ) dla dowolnego ε >. Zamiast analizować funkcję π(x), rozsądniejsza wydaje się być praca z funkcją M(x) i dowód powyższego oszacowania, być może poprzez jakieś rozumowanie kombinatoryczne. W rzeczywistości Stjelties dał do zrozumienia, że ma taki dowód. W 896 Hadamard, w swoim sławnym dowodzie tw. o liczbach pierwszych, odniósł się do orzeczenia Stjeltiesa i zaproponował osłabione znacznie twierdzenie, że ζ(s) na prostej R(s) =, w nadziei że prostota jego dowodu może się okazać użyteczna. Niestety Stjelties nigdy nie opublikował swojego dowodu. Z kolei Mertens postawił mocniejsza hipotezę: M(x) x. Oczywiście implikuje ona RH. Jednakże hipotezę tą obalili Odlyżko i te Riele w 985. Oszacowanie M(x) = O( x) najprawdopodobniej również jest nieprawdziwe, choć nikomu jeszcze nie udało się tego dowieść. Możemy także sformułować RH przy pomocy funkcji sumy dzielników. 3

33 Definicja 3.3. Dla n N σ(n) := d. d n Równoważność 3.4. Hipoteza Riemanna jest równoważna stwierdzeniu, że dla każdego n > 54 σ(n) < e γ n log log n, gdzie γ jest stałą Eulera. Robin wykazał również, bezwarunkowo, że: σ(n) < e γ n n log log n +.648, n 3, log log n W oparciu o jego prace, Lagarias udowodnił kolejną równoważność RH, która wykorzystuje funkcję sumy dzielników. Równoważność 3.5. Poniższe stwierdzenie jest równoważne RH: σ(n) H n + e Hn log H n dla każdego n, równość zachodzi gdy n=. Tutaj H n oznacza n-tą liczbę harmoniczną, zdefiniowaną jako: H n := n j= j. Ostatnia zaprezentowana równoważność odróżnieniu od poprzednich, ma charakter analityczny. Równoważność 3.6. Hipoteza Riemanna jest równoważna stwierdzeniu, że wszystkie zera funkcji η Dirichleta: ( ) n η(n) := n= n s = ( s )ζ(s), które znajdują się w pasie < R(s) <, leżą na prostej R(s) =. 3

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Uniwersyteckie Koło Matematyczne - Tajemnicza liczba e.

Uniwersyteckie Koło Matematyczne - Tajemnicza liczba e. Uniwersyteckie Koło Matematyczne - Tajemnicza liczba e. Filip Piękniewski Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Mikołaja Kopernika http://www.mat.umk.pl/ philip 17 grudnia 2009 Filip Piękniewski,

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie IV. Dany jest prostokątny arkusz kartony o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE A. RÓWNANIA RZĘDU PIERWSZEGO Uwagi ogólne Równanie różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego zawiera. Poza tym może zawierać oraz zmienną. Czyli ma postać ogólną Na przykład

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),

Bardziej szczegółowo

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i

Bardziej szczegółowo

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA Proporcjonalnością prostą nazywamy zależność między dwoma wielkościami zmiennymi x i y, określoną wzorem: y = a x Gdzie a jest

Bardziej szczegółowo

Rozdział 9. Funkcja pierwotna. 9.1 Funkcja pierwotna

Rozdział 9. Funkcja pierwotna. 9.1 Funkcja pierwotna Rozdział 9 Funkcja pierwotna 9. Funkcja pierwotna Definicja funkcji pierwotnej. Niech f będzie funkcją określoną na przedziale P. Mówimy, że funkcja F : P R jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale

Bardziej szczegółowo

Całki podwójne. Definicja całki podwójnej. Jacek Kłopotowski. 25 maja Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej

Całki podwójne. Definicja całki podwójnej. Jacek Kłopotowski. 25 maja Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Definicja całki podwójnej Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 25 maja 2016 Definicja całki podwójnej Załóżmy, że f : K R, gdzie K = a, b c, d R 2, jest funkcją ograniczoną. Niech x 0, x 1,...,

Bardziej szczegółowo

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Matematyka dla liceum ogólnokształcącego i technikum w zakresie podstawowym i rozszerzonym Z E S Z Y T M E T O D Y C Z N Y Miejski

Bardziej szczegółowo

Kurs Start plus poziom zaawansowany, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1.

Kurs Start plus poziom zaawansowany, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1. Projekt Fizyka Plus nr POKL.04.0.0-00-034/ współfinansowany przez Unię Europejską ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Kurs Start plus poziom zaawansowany,

Bardziej szczegółowo

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Nierówność Czebyszewa Niech X będzie zmienną losową o skończonej wariancji V ar(x). Wtedy wartość oczekiwana E(X) też jest skończona i

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Wyrażeniem algebraicznym nazywamy wyrażenie zbudowane z liczb, liter, nawiasów oraz znaków działań, na przykład: Symbole literowe występujące w wyrażeniu algebraicznym nazywamy zmiennymi.

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna - 14. Analiza zmiennych dyskretnych: ciągi i szeregi liczbowe

Analiza matematyczna - 14. Analiza zmiennych dyskretnych: ciągi i szeregi liczbowe Analiza matematyczna - 4. Analiza zmiennych dyskretnych: ciągi i szeregi liczbowe Wstęp: zmienne ciągłe i zmienne dyskretne Podczas dotychczasowych wykładów rozważaliśmy przede wszystkim zależności funkcyjne

Bardziej szczegółowo

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014.

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. W nawiasie przy zadaniu jego występowanie w numerze zestawu Spis treści (Z1, Z22, Z43) Definicja granicy ciągu. Obliczyć granicę:... 3 Definicja granicy ciągu...

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr. 6: Równania i układy równań liniowych

Zajęcia nr. 6: Równania i układy równań liniowych Zajęcia nr. 6: Równania i układy równań liniowych 13 maja 2005 1 Podstawowe pojęcia. Definicja 1.1 (równanie liniowe). Równaniem liniowym będziemy nazwyać równanie postaci: ax = b, gdzie x oznacza niewiadomą,

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 7. Całkowanie numeryczne 7.1. Całkowanie numeryczne 7.2. Metoda trapezów 7.3. Metoda Simpsona 7.4. Metoda 3/8 Newtona 7.5. Ogólna postać wzorów kwadratur

Bardziej szczegółowo

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0. 5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,

Bardziej szczegółowo

Wykłady z matematyki Liczby zespolone

Wykłady z matematyki Liczby zespolone Wykłady z matematyki Liczby zespolone Rok akademicki 015/16 UTP Bydgoszcz Liczby zespolone Wstęp Formalnie rzecz biorąc liczby zespolone to punkty na płaszczyźnie z działaniami zdefiniowanymi następująco:

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki (4 godz.)

Elementy logiki (4 godz.) Elementy logiki (4 godz.) Spójniki zdaniotwórcze, prawa de Morgana. Wyrażenie implikacji za pomocą alternatywy i negacji, zaprzeczenie implikacji. Prawo kontrapozycji. Podstawowe prawa rachunku zdań. Uczestnik

Bardziej szczegółowo

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści 0 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 2 1 Geometria analityczna w R 2 3 3 3 2 Liczby zespolone 4 4 4 3

Bardziej szczegółowo

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu 1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad. 2015 / 2016. ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1. 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad. 2015 / 2016. ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1. 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1 1. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y 1+x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz

Bardziej szczegółowo

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Całki potrójne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki olitechnika Białostocka 1

Bardziej szczegółowo

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego 5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =

Bardziej szczegółowo

22. CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA

22. CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA CAŁA RZYWOLINIOWA SIEROWANA Niech łuk o równaniach parametrycznych: x x(t), y y(t), a < t < b, będzie łukiem regularnym skierowanym, tzn łukiem w którym przyjęto punkt A(x(a), y(a)) za początek łuku, zaś

Bardziej szczegółowo

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE Zarządzanie i Inżynieria Produkcji studia stacjonarne Konspekt do wykładu z Matematyki 1 1 Postać trygonometryczna liczby zespolonej zastosowania i przykłady 1 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

166 Wstęp do statystyki matematycznej

166 Wstęp do statystyki matematycznej 166 Wstęp do statystyki matematycznej Etap trzeci realizacji procesu analizy danych statystycznych w zasadzie powinien rozwiązać nasz zasadniczy problem związany z identyfikacją cechy populacji generalnej

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe wyższych rzędów

Równania różniczkowe wyższych rzędów Równania różniczkowe wyższych rzędów Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Istnienie rozwiązań............................... 1 1.2 Rozwiązanie ogólne............................... 2 1.3 Obniżanie rzędu

Bardziej szczegółowo

Wzory skróconego mnożenia w zadaniach olimpijskich

Wzory skróconego mnożenia w zadaniach olimpijskich Wzory skróconego mnożenia w zadaniach olimpijskich Jacek Dymel 17.10.008 Bardzo często uczniowie wyrażają taką opinię, że do rozwiązywania zadań olimpijskich niezbędna jest znajomość wielu skomplikowanych

Bardziej szczegółowo

Kurs Start plus - matematyka poziom podstawowy, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1.

Kurs Start plus - matematyka poziom podstawowy, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1. Projekt Fizyka Plus nr POKL.04.0.0-00-034/ współfinansowany przez Unię Europejską ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Kurs Start plus - matematyka

Bardziej szczegółowo

1. Powtórka ze szkoły. Wykład: 4.10.2004 (4 godziny), ćwiczenia: 7.10.2004, kolokwium nr 1: 11.10.2004

1. Powtórka ze szkoły. Wykład: 4.10.2004 (4 godziny), ćwiczenia: 7.10.2004, kolokwium nr 1: 11.10.2004 ANALIZA MATEMATYCZNA A dla I roku, 2004/2005 1. Powtórka ze szkoły. Wykład: 4.10.2004 (4 godziny), ćwiczenia: 7.10.2004, kolokwium nr 1: 11.10.2004 Obliczyć sumy (postępów arytmetycznych i goemetrycznych):

Bardziej szczegółowo

Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału

Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Zagadnienie dane jest następująco: znaleźć funkcje własne i wartości własne operatora energii dla cząstki umieszczonej w nieskończonej studni potencjału,

Bardziej szczegółowo

Propozycje rozwiązań zadań z matematyki - matura rozszerzona

Propozycje rozwiązań zadań z matematyki - matura rozszerzona Jacek Kredenc Propozycje rozwiązań zadań z matematyki - matura rozszerzona Zadanie 1 Zastosujmy trójkąt Paskala 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 Przy iloczynie będzie stał współczynnik 3. Zatem Odpowiedź : C Zadanie

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości

Bardziej szczegółowo

Test kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne

Test kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne Test kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne Na pytania odpowiada się tak lub nie poprzez wpisanie odpowiednio T bądź N w pole obok pytania. W danym trzypytaniowym zestawie możliwa jest dowolna kombinacja

Bardziej szczegółowo

Luty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl

Luty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl System dziesiętny 7 * 10 4 + 3 * 10 3 + 0 * 10 2 + 5 *10 1 + 1 * 10 0 = 73051 Liczba 10 w tym zapisie nazywa się podstawą systemu liczenia. Jeśli liczba 73051 byłaby zapisana w systemie ósemkowym, co powinniśmy

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 1. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza

MATeMAtyka 1. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza MATeMAtyka 1 Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe

Bardziej szczegółowo

4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze. ϕ : K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η), taka że

4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze. ϕ : K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η), taka że 4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze taka że K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η) R n R, f(x 0, y 0 ) = 0, y f(x 0, y 0 ) 0. Wówczas dla odpowiednio

Bardziej szczegółowo

Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, , tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Rozwiązanie:

Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, , tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Rozwiązanie: Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, 6 11 6 11, tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Uprośćmy najpierw liczby dane w treści zadania: 8 2, 2 2 2 2 2 2 6 11 6 11 6 11 26 11 6 11

Bardziej szczegółowo

Matematyka Dyskretna Zestaw 2

Matematyka Dyskretna Zestaw 2 Materiały dydaktyczne Matematyka Dyskretna (Zestaw ) Matematyka Dyskretna Zestaw 1. Wykazać, że nie istnieje liczba naturalna, która przy dzieleniu przez 18 daje resztę 13, a przy dzieleniu przez 1 daje

Bardziej szczegółowo

Rozdział 8. Analiza fourierowska. 8.1 Rozwinięcie w szereg Fouriera

Rozdział 8. Analiza fourierowska. 8.1 Rozwinięcie w szereg Fouriera Rozdział 8 Analiza fourierowska 8.1 Rozwinięcie w szereg Fouriera Rozważmy funkcję rzeczywistą f określoną na okręgu o promieniu jednostkowym. Parametryzując okrąg przy pomocy kąta φ [, π] otrzymujemy

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y +x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013 Dział LICZBY RZECZYWISTE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą lub dostateczną, jeśli: podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje

Bardziej szczegółowo

przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0

przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0 MODELE MATEMATYCZNE UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Podstawową formą opisu procesów zachodzących w członach lub układach automatyki jest równanie ruchu - równanie dynamiki. Opisuje ono zależność wielkości fizycznych,

Bardziej szczegółowo

Równania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0

Równania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0 Równania różnicowe 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp Ponadto

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie układów równań liniowych

Rozwiązywanie układów równań liniowych Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy

Bardziej szczegółowo

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych

Bardziej szczegółowo

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Przestrzeń Hilberta

Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Sygnały. Funkcje (w języku inżynierów - sygnały) które będziemy rozważali na tym wykładzie będą kilku typów Sygnały ciągłe (analogowe). ) L (R) to funkcje na prostej spełniające

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą 1. Statystyka odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu 2. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach 3. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach 4. Potęga o wykładniku

Bardziej szczegółowo

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE Standardy wymagań egzaminacyjnych Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY POZIOM ROZSZERZONY 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny

Bardziej szczegółowo

a 1, a 2, a 3,..., a n,...

a 1, a 2, a 3,..., a n,... III. Ciągi liczbowe. 1. Definicja ciągu liczbowego. Definicja 1.1. Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R i oznaczamy przez {a

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 4. Wartości własne i wektory własne 4.1. Podstawowe definicje, własności i twierdzenia 4.2. Lokalizacja wartości własnych 4.3. Metoda potęgowa znajdowania

Bardziej szczegółowo

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi.

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi. Grupy. Permutacje 1 1 Definicja grupy Niech G będzie zbiorem. Działaniem na zbiorze G nazywamy odwzorowanie (oznaczane, jak mnożenie, przez ) przyporządkowujące każdej parze uporządkowanej (a, b) G G element

Bardziej szczegółowo

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe W rezultacie kształcenia matematycznego uczeń potrafi: Osiągnięcia ponadprzedmiotowe Umiejętności konieczne i podstawowe czytać teksty w stylu matematycznym wykorzystywać słownictwo wprowadzane przy okazji

Bardziej szczegółowo

LICZBY ZESPOLONE. 1. Wiadomości ogólne. 2. Płaszczyzna zespolona. z nazywamy liczbę. z = a + bi (1) i = 1 lub i 2 = 1

LICZBY ZESPOLONE. 1. Wiadomości ogólne. 2. Płaszczyzna zespolona. z nazywamy liczbę. z = a + bi (1) i = 1 lub i 2 = 1 LICZBY ZESPOLONE 1. Wiadomości ogólne DEFINICJA 1. Liczba zespolona z nazywamy liczbę taką, że a, b R oraz i jest jednostka urojona, definiowaną następująco: z = a + bi (1 i = 1 lub i = 1 Powyższą postać

Bardziej szczegółowo

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa, test próbny www.omg.edu.pl (wrzesień 2011 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba krawędzi pewnego ostrosłupa jest o

Bardziej szczegółowo

Przeksztacenie Laplace a. Krzysztof Patan

Przeksztacenie Laplace a. Krzysztof Patan Przeksztacenie Laplace a Krzysztof Patan Wprowadzenie Transformata Fouriera popularna metoda opisu systemów w dziedzinie częstotliwości Transformata Fouriera umożliwia wykonanie wielu użytecznych czynności:

Bardziej szczegółowo

POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny

POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny Funkcja Falowa Postulat 1 Dla każdego układu istnieje funkcja falowa (funkcja współrzędnych i czasu), która jest ciągła, całkowalna w kwadracie,

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH Transport, studia I stopnia Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym

Bardziej szczegółowo

WIELOMIANY SUPER TRUDNE

WIELOMIANY SUPER TRUDNE IMIE I NAZWISKO WIELOMIANY SUPER TRUDNE 27 LUTEGO 2011 CZAS PRACY: 210 MIN. SUMA PUNKTÓW: 200 ZADANIE 1 (5 PKT) Dany jest wielomian W(x) = x 3 + 4x + p, gdzie p > 0 jest liczba pierwsza. Znajdź p wiedzac,

Bardziej szczegółowo

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON.

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Zadanie 6. Dane są punkty A=(5; 2); B=(1; -3); C=(-2; -8). Oblicz odległość punktu A od prostej l przechodzącej

Bardziej szczegółowo

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne: Prosto do matury klasa d Rok szkolny 014/015 WYMAGANIA EDUKACYJNE Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.)

PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) Równanie prostej w postaci ogólnej Wzajemne połoŝenie dwóch prostych Nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie spektralne

Twierdzenie spektralne Twierdzenie spektralne Algebrę ograniczonych funkcji borelowskich na K R będziemy oznaczać przez B (K). Spektralnym rozkładem jedności w przestrzeni Hilberta H nazywamy odwzorowanie, które każdemu zbiorowi

Bardziej szczegółowo

LXIII Olimpiada Matematyczna

LXIII Olimpiada Matematyczna 1 Zadanie 1. LXIII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 17 lutego 2012 r. (pierwszy dzień zawodów) Rozwiązać w liczbach rzeczywistych a, b, c, d układ równań a

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Przestrzeń Hilberta

Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Sygnały. Funkcje (w języku inżynierów - sygnały) które będziemy rozważali na tym wykładzie będą kilku typów Sygnały ciągłe (analogowe). ) L 2 (R) to funkcje na prostej spełniające

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, zatem

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1 Wszelkie prawa zastrzeżone. Rozpowszechnianie, wypożyczanie i powielanie niniejszych testów w jakiejkolwiek formie surowo zabronione. W przypadku złamania zakazu mają zastosowanie przepisy dotyczące naruszenia

Bardziej szczegółowo

1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia.

1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. 1. Elementy logiki i algebry zbiorów 1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. Funkcje zdaniowe. Zdania z kwantyfikatorami oraz ich zaprzeczenia.

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Zadania. 1.1 Liczby pierwsze. 1. Wykorzystując sito Eratostenesa wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze mniejsze niż 200.

Rozdział 1. Zadania. 1.1 Liczby pierwsze. 1. Wykorzystując sito Eratostenesa wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze mniejsze niż 200. Rozdział 1 Zadania 1.1 Liczby pierwsze 1. Wykorzystując sito Eratostenesa wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze mniejsze niż 200. 2. Wyliczyć największy wspólny dzielnik d liczb n i m oraz znaleźć liczby

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń

Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Leszek Skrzypczak 1. Niech E = {x [0, 1] : x = k 2 n k = 1, 2,... 2 n, n = 1, 2, 3,...} Wówczas: (a) Dla dowolnych liczb wymiernych p, q [0,

Bardziej szczegółowo

Metoda największej wiarygodności

Metoda największej wiarygodności Metoda największej wiarygodności Próbki w obecności tła Funkcja wiarygodności Iloraz wiarygodności Pomiary o różnej dokładności Obciążenie Informacja z próby i nierówność informacyjna Wariancja minimalna

Bardziej szczegółowo

Zadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d)

Zadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d) Matemaryka dyskretna - zadania Zadanie 1. Opisać zbiór wszystkich elementów rangi k zbioru uporządkowanego X dla każdej liczby naturalnej k, gdy X jest rodziną podzbiorów zbioru skończonego Y. Elementem

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe zwyczajne

1 Równania różniczkowe zwyczajne Równania różniczkowe zwyczajne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe Równaniem

Bardziej szczegółowo

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. 1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje i ich granice

1 Funkcje i ich granice Funkcje i ich granice Było: Zbiór argumentów; zbiór wartości; monotoniczność; funkcja odwrotna; funkcja liniowa; kwadratowa; wielomiany; funkcje wymierne; funkcje trygonometryczne i ich odwrotności; funkcja

Bardziej szczegółowo

Systemy. Krzysztof Patan

Systemy. Krzysztof Patan Systemy Krzysztof Patan Systemy z pamięcią System jest bez pamięci (statyczny), jeżeli dla dowolnej chwili t 0 wartość sygnału wyjściowego y(t 0 ) zależy wyłącznie od wartości sygnału wejściowego w tej

Bardziej szczegółowo

Liczby rzeczywiste. Działania w zbiorze liczb rzeczywistych. Robert Malenkowski 1

Liczby rzeczywiste. Działania w zbiorze liczb rzeczywistych. Robert Malenkowski 1 Robert Malenkowski 1 Liczby rzeczywiste. 1 Liczby naturalne. N {0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8...} Liczby naturalne to liczby używane powszechnie do liczenia i ustalania kolejności. Liczby naturalne można ustawić

Bardziej szczegółowo

Elementy równań różniczkowych cząstkowych

Elementy równań różniczkowych cząstkowych Elementy równań różniczkowych cząstkowych Magdalena Jakubek kwiecień 2016 1 Równania różniczkowe cząstkowe Problem brzegowy i problem początkowy Klasyfikacja równań Rodzaje warunków brzegowych Najważniejsze

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe W rezultacie kształcenia matematycznego uczeń potrafi: Osiągnięcia ponadprzedmiotowe Umiejętności konieczne i podstawowe KONIECZNE PODSTAWOWE ROZSZERZAJĄCE DOPEŁNIAJACE WYKRACZAJĄCE czytać teksty w stylu

Bardziej szczegółowo

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4)

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4) Rozdział 1 Prosta i płaszczyzna 1.1 Przestrzeń afiniczna Przestrzeń afiniczna to matematyczny model przestrzeni jednorodnej, bez wyróżnionego punktu. Można w niej przesuwać punkty równolegle do zadanego

Bardziej szczegółowo

4. Granica i ciągłość funkcji

4. Granica i ciągłość funkcji 4. Granica i ciągłość funkcji W niniejszym rozdziale wprowadzamy pojęcie granicy funkcji, definiujemy funkcje ciągłe i omawiamy ich podstawowe własności. Niech f będzie funkcją określoną na przedziale

Bardziej szczegółowo

WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU

WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU Karolina Kalińska MATEMATYKA: PRZYKŁADY I ZADANIA Włocławek 2011 REDAKCJA WYDAWNICTWA PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU Matematyka:

Bardziej szczegółowo