Metody szacowania i analizy błędów pomiarowych

Transkrypt

1 Metody szacowania i analizy błędów pomiarowych Paweł Możejko Aparatura Millikana do wyznaczenia ładunku elektronu Politechnika Gdańska, semestr zimowy

2 Wykład: Paweł Możejko 126 E (GG) paw@mif.pg.gda.pl Konsultacje: wtorek 11-12

3 Prosty eksperyment

4 Prosty eksperyment? Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła prostego Wahadło matematyczne punkt materialny o masie m zawieszony na nieważkiej i nierozciągliwej nici Wahadło proste (realny obiekt fizyczny np. mała kulka o masie m zawieszona na długiej nici Problemy: kryterium przybliżenia punktu materialnego kulką nierozciągliwość i nieważkość fizycznej nici stosowalność formalnego opisu wahadła matematycznego w przypadku wahadła fizycznego

5 Prosty eksperyment cd. Dla małych wartości kąta wychylenia można przyjąć: S l sinα= x l Pierwszy problem: co w praktyce oznaczają małe kąty? Czy S rzeczywiście jest równe x?

6 Prosty eksperyment cd. F 2 =Qsinα F 2 =ma=mgsinα= mg x l Siła F 2 jest skierowana przeciwnie do kierunku wychylenia i jest proporcjonalna do wychylenia stąd można uważać ruch wahadła za ruch harmoniczny a= 4π2 4π 2 g T 2x T 2x= l x l T =2π g g= 4π2 T 2l W celu wyznaczenia g należy wykonać pomiary l i T

7 A może dowolne wychylenie d 2 α dr 2 = g l sinα T(α)=2π l g n=0 (2n)! (2 n n!) 2 2 sin 2n α 2 T(α)=T sin 2 α sin 4 α sin 6 α T 0 =2π l g

8 Równanie różniczkowe to w obecnych realiach nie jest zagadnienie dla uczniów ale T(α)=T 0 [1+A+B+C+...] α α/2 A B C

9 Prosty eksperyment? c.d. źródło niepewności odczyt skali oraz konieczność interpolacji np. pomiędzy podziałkami miarki pomiar czasu i długości Zagadnienie definicji niepewności powstające ze względu na nieprecyzyjne określenie dwóch punktów np. pomiar długości wahadła fizycznego, określenie chwili zwrotu wahadła

10 Prosty eksperyment? c.d. 1. Załóżmy, że uporaliśmy się z problemami definicji oraz że jesteśmy w stanie oszacować niepewności pomiarów czasu drgań i długości wahadła 2. Jak te niepewności przenoszą się na wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego? 3. Wykład: Planowanie i analiza eksperymentu 15 h 4. Odpowiedź na pytanie z punktu 2

11 Wielkości fizyczne Wielkością fizyczną nazywamy mierzalną cechę zjawiska lub ciała Wielkości fizyczne dzielimy na wielkości podstawowe i pochodne Wielkości podstawowe definiuje się za pomocą określonych wzorców Wielkości pochodne definiuje się za pomocą wielkości podstawowych

12 Jednostki podstawowe Międzynarodowego Układu Jednostek SI jednostka długości metr [m] jednostka masy - kilogram [kg] jednostka czasu sekunda [s] jednostka natężenia prądu elektrycznego amper [A] jednostka temperatury kelwin [K] jednostka liczności materii mol [mol] jednostka światłości kandela [cd] jednostka miary kąta płaskiego radian [rad] jednostka miary kąta bryłowego steradian [sr]

13 Jednostki podstawowe Międzynarodowego Układu Jednostek SI 1 metr jest to odległość, jaką pokonuje światło w próżni w czasie 1/ s. 1 kilogram jest to masa międzynarodowego wzorca (walca o wysokości i średnicy podstawy 39 mm wykonanego ze stopu platyny z irydem) przechowywanego w Międzynarodowym Biurze Miar. 1 sekunda jest to czas równy okresów promieniowania odpowiadającego przejściu między dwoma poziomami F = 3 i F = 4 struktury nadsubtelnej stanu podstawowego 2 S 1/2 atomu cezu 133 Cs 1 amper - prąd o natężeniu 1 A jest to stały prąd elektryczny, który płynąc w dwóch równoległych, prostoliniowych, nieskończenie długich przewodach o znikomo małym przekroju kołowym, umieszczonych w próżni w odległości 1 m od siebie, spowodowałby wzajemne oddziaływanie przewodów na siebie z siłą równą N na każdy metr długości przewodu. 1 kelwin jest równy 1/273,16 temperatury termodynamicznej punktu potrójnego wody. 1 mol jest to liczność materii układu zawierającego liczbę cząstek (atomów, elektronów, jonów, cząsteczek) równą liczbie atomów w masie 12 gramów izotopu węgla 12 C. W jednym molu znajduje się ok. 6, (10) cząstek. 1 kandela jest to światłość, z jaką świeci w określonym kierunku źródło emitujące promieniowanie monochromatyczne o częstotliwości Hz, i którego natężenie w tym kierunku jest równe (1/683) W/sr.

14 Przedrostki dla jednostek wielokrotnych i podwielokrotnych jotta Y jokto y zetta Z zepto z eksa E atto a peta P femtof tera T piko p giga G 10 9 nano n 10-9 mega M 10 6 mikro m 10-6 kilo k 10 3 mili m 10-3 hekto h 10 2 centy c 10-2 deka da 10 1 decy d 10-1

15 Układ Si cd.

16 Dobre źródła stałych fizycznych CODATA recommended values of the fundamental physical constants: 2002 Peter J. Mohr andbarry N. Taylor Rev. Mod. Phys. 77, 1 (2005) CODATA recommended values of the fundamental physical constants: 1998 Peter J. Mohr andbarry N. Taylor Rev. Mod. Phys. 72, 351 (2000)

17 Dobre źródła stałych fizycznych cd.

18 Źródła stałych i wielkości fizykochemicznych Poradniki fizyko-chemiczne np. Należy zwracać uwagę na datę wydania! CRC Handbook of Chemistry and Physics dostępny jest w Czytelni Wydziałowej

19 Wielkości fizyczne cd. Ilościowo każdą wielkość fizyczną wyrażamy jej miarą a={a}[a] Gdzie {a} jest liczbą zwaną wielkością miary, zaś [a] reprezentuje jednostkę miary Przykład: prędkość v=5678 m/s {v}= 5678, [v]= m/s

20 Pojęcie pomiaru Pomiarem nazywamy zespół czynności wykonanych w celu ustalenia miary określonej wielkości fizycznej Inna definicja pomiaru Pomiar jest określeniem szczególnej charakterystyki układu w języku liczby standardowych jednostek przypisanych tej charakterystyce

21 Pomiary bezpośrednie i pośrednie Pomiary dzielimy na dwie grupy: Pomiary bezpośrednie miarę wielkości fizycznej otrzymujemy jako wynik bezpośredniego porównania mierzonej wielkości z wzorcem Przykład: pomiar przedziału czasu, pomiar długości, pomiar natężenia prądu, pomiar kąta... pomiary pośrednie to pomiary wielkości złożonej jeżeli dokonujemy pomiaru wielkości z=f(x 1,x 2,...,x n ), gdzie wielkości x 1,x 2,...,x n są mierzone bezpośrednio to mówimy, że z jest wielkością złożoną, a jej pomiar pośrednim

22 Pomiary cd. Wielkością wyznaczoną nazywamy wielkość określoną za pomocą obliczeń wykonanych przy użyciu wielkości zmierzonych. Przykład: przyspieszenie ziemskie jest wielkością wyznaczoną w pomiarze pośrednim g= 4π2 W celu wyznaczenia g należy T 2l wykonać pomiary l i T

23 Dokładność pomiarów i błąd pomiaru Każdy pomiar jest obarczony jakąś niepewnością, czyli błędem, którego nie można uniknąć. Seria pomiarowa to wielokrotne powtarzanie danego pomiaru w ten sam sposób, w tych samych warunkach i tym samym przyrządem pomiarowym Celem teorii błędów jest oszacowanie niepewności pomiaru czyli podanie nierówności: x x 0 x+ oraz prawdopodobieństwa, że nierówność ta jest spełniona

24 Błędy przypadkowe, systematyczne i grube Błędami przypadkowymi (statystycznymi) nazywamy niepewności pomiarowe, które, jeżeli pomiar wykonujemy wielokrotnie, ujawniają się w postaci rozrzutu wyników Wykonując pomiary nie możemy uniknąć wpływu błędów statystycznych stąd rozrzut wyników w pomiarach wielokrotnych będzie zawsze występował

25 Błędy przypadkowe, systematyczne i grube cd. Błędy systematyczne mogą być spowodowane: dokładnością przyrządu metodą pomiaru niewłaściwym wyborem i stosowaniem przyrządu pomiarowego stałymi bądź wielkościami wyznaczonymi uprzednio stosowaniem wzorów przybliżonych Pomiar jest dokładny gdy błąd systematyczny można pominąć. Pomiar jest precyzyjny gdy błędy przypadkowe są małe

26 Błędy przypadkowe, systematyczne i grube cd. Błędy grube powstają w wyniku niedbale wykonanych pomiarów lub omyłek eksperymentatora w odczycie wskazań przyrządów. Błędy grube mogą również wystąpić w wyniku zakłóceń, np. elektromagnetycznych Błędy grube można wykryć powtarzając pomiary

27 Błędy bezwzględne Błąd bezwzględny to różnica między wartością zmierzoną x danej wielkości fizycznej, a jej wartością rzeczywistą x 0 : δ=x x 0 Błędy bezwzględne zawsze muszą być wyrażone w tych samych jednostkach co pomiar Nigdy nie znamy błędu bezwzględnego pomiaru danej wielkości, jako że nie znamy wartości rzeczywistej x 0 Błędy bezwzględne możemy jedynie oszacować

28 Błędy względne Błędem względnym zmierzonej wielkości nazywamy wartość bezwzględną stosunku błędu bezwzględnego do wartości rzeczywistej δ x 0 Błąd względny wyrażony w procentach nazywamy błędem procentowym δ x 0 100%

29 Przedstawianie błędów pomiarowych i zaokrąglanie wyników Jeżeli x jest wartością otrzymaną w wyniku pomiarów jakiejś wielkości fizycznej F, a błąd tego pomiaru wynosi to wynik pomiaru przedstawiamy w postaci: F =x± Błąd pomiaru jest wielkością oszacowaną nie ma sensu podawać wszystkich cyfr otrzymanych w obliczeniach Podobnie jest dla wartości x Wartości zarówno x jaki i błędu podajemy zaokrąglone

30 Zaokrąglanie wyników cd. Cyframi znaczącymi danej liczby różnej od zera nazywamy wszystkie jej cyfry z wyjątkiem występujących na początku zer Cyfry pewne: jeżeli błąd spowodowany przybliżeniem liczby dziesiętnej jest mniejszy od jedności na ostatnim miejscu dziesiętnym, to mówimy, że wszystkie jej cyfry są pewne Przy zaokrąglaniu wyniku pomiaru stosujemy następujące zasady- liczbę kończącą się cyframi: 0-4 zaokrąglamy w dół, a 5 9 w górę; lub 0 4 zaokrąglamy w dół, 6 9 w górę, a cyfrę 5 w dół jeżeli poprzedza ją liczba parzysta, w górę, gdy poprzedza ją liczba nieparzysta

31 Zaokrąglanie wyników cd. Oszacowane błędy zaokrąglamy zawsze w górę. Obliczenia x jak i wykonujemy zawsze z większą liczbą cyfr niż chcemy podać w wyniku Zaokrągleń dokonujemy dopiero po zakończeniu obliczeń Błędy pomiarów zaokrąglane są do pierwszej cyfry znaczącej Ostatnia cyfra znacząca w każdym wyniku pomiaru powinna stać na tym samym miejscu dziesiętnym co błąd pomiaru Odstępstwo od powyższej reguły stosujemy gdy zaokrąglenie niepewności powoduje jej wzrost o więcej niż o 10%

32 Zgodność wyników pomiarów Warunek zgodności dwóch wyników pomiarów wielkości fizycznej X wykonanych niezależnie od siebie x 1 x 2 < 1 + 2

33 PRZENOSZENIE NIEPEWNOŚCI Niepewności w pomiarach bezpośrednich Niepewności sumy i różnicy Niepewności iloczynów i ilorazów Niepewności wyrażenia potęgowego Niezależne niepewności w sumie Niepewności niezależne c.d. Niepewności dowolnej funkcji jednej zmiennej Ogólna reguła przenoszenia błędów

34 Niepewności sumy i różnicy W wyniku pomiarów bezpośrednich wyznaczamy wielkości x, y,,z wraz odpowiadającymi im niepewnościami δx, δy,,δz. Zmierzone wartości x, y,,z używamy do wyznaczenia szukanej wielkości q=x+y+ +z-(u+ +w) Ile wynosi niepewność δq wielkościq? δq δx+δy+ + δz+ δu+...+ δu

35 Niepewności iloczynów i ilorazów Jaką niepewnością obarczona jest wielkość q wyznaczona z pomiarów bezpośrednich wielkości x,y,,z,u, w zmierzonych z małymi niepewnościami, δy,,δz, δu, δw? q = x u z w Niepewność względna wielkości q wynosi δq q δx δy δz δu x y z u δw w

36 Niepewności iloczynów i ilorazów Wielkość x wyznaczona jest z niepewnością δx używana jest do obliczenia iloczynu q=bx, B jest wielkością stałą nie mającą żadnej niepewności tzn. δβ=0 Niepewność wielkości q wynosi δ q = B δ x

37 Niepewności wyrażenia potęgowego Wielkość x zmierzona z niepewnością δx, jest używana do obliczenia wyrażenia potęgowego n q = Niepewność względna jest n razy większa niż niepewność x x δ q = q n δx x

38 Niepewności niezależne - niepewność sumy i różnicy Jeżeli niepewności, δx,, δz, δu,, δw wielkości zmierzonych x,, z, u,, w są niezależne i przypadkowe to niepewność obliczonej wartości q jest pierwiastkiem z sumy kwadratów niepewności początkowych: Zachodzi: q = x z ( u w) δ q = ( δx) ( δz) + ( δu) +... ( δw δ q δx δz + δu δ w ) 2

39 Niepewności niezależne - niepewność iloczynu i ilorazu Jeżeli niepewności, dx,, δz, δu,, δw wielkości zmierzonych x,, z, u,, w są niezależne i przypadkowe to niepewność obliczonej wartości q jest pierwiastkiem z sumy kwadratów początkowych niepewności względnych: Zachodzi: w u z x q = w w u u z z x x q q δ δ δ δ δ w w u u z z x x q q δ δ δ δ δ

40 Niepewności dowolnej funkcji jednej zmiennej q q max δq q(x) δq = q( xnp + δx) q( xnp ) q np q min q ( x + u) q( x) = dq dx u x np -δx x np x np +δx x δ q = dq δx dx

41 Niepewności dowolnej funkcji jednej zmiennej Jeżeli wielkość x jest zmierzona z niepewnością δx i wykorzystywane do obliczenia wartości funkcji q(x), to niepewność δq jest równa: dq δq = δx dx

42 Niepewności dowolnej funkcji jednej zmiennej Niepewność wyrażenia potęgowego Jeżeli x jest zmierzone z niepewnością dx i wykorzystywane do obliczenia potęgi q=x n (gdzie n jest ustaloną znaną liczbą), to niepewność względna q jest równa: δ q = q n δx x

43 Ogólna reguła przenoszenia błędów Niepewność wartości funkcji wielu zmiennych Załóżmy, że x,,z zmierzone z niepewnościami δx,, δz służą do obliczenia wartości funkcji q(x,..,z). Jeżeli niepewności wyznaczenia x,..,z są niezależne i przypadkowe, to niepewność wyznaczenia wartości funkcji q równa jest: Zachodzi: = z z q x x q q δ δ δ z z q x x q q δ δ δ

44 Co zrobić gdy mamy serię pomiarów? Analiza statystyczna niepewności przypadkowych albo czy warto wykonywać pomiary wielokrotne

45 Jeszcze raz błędy przypadkowe i systematyczne Błędy przypadkowe mogą być ujawnione poprzez wielokrotne powtarzanie pomiaru Błędy systematyczne nie mogą być w ten sposób ujawnione Dwa użyteczne aksjomaty: (i) Wartość precyzyjnie zmierzonej wielkości może być niedokładna (ii)wartość nieprecyzyjnie zmierzonej wielkości może być dokładna (x=-x np ) W praktyce błędy przypadkowe i systematyczne mogą pojawiać się tak:

46 Przykład z pracowni fizycznej

47 Przykład z pracowni fizycznej

48 Problem z błędami systematycznymi

49 Średnia i odchylenie standardowe Najlepszym przybliżeniem wielkości x, zmierzonej N razy tym samym urządzeniem i w identyczny sposób jest średnia wartości x 1,...,x N x= x 1+x x N N = N i=1 N x i

50 Średnia i odchylenie standardowe c.d. Odchylenie wartości x i od średniej obliczamy w następujący sposób d i =x i x Gdy d i ma małą wartość pomiary są precyzyjne, gdy d i ma dużą wartość pomiary są mało precyzyjne Odchylenie standardowe (dyspersja) pomiarów x 1, x 2,..., x N jest miarą średniej niepewności pomiarów x 1, x 2,..., x N σ x = 1 N N (d i ) 2 = i=1 1 N N (x i x) 2 i=1

51 Średnia i odchylenie standardowe c.d. Definicja odchylenia standardowego korygująca niedocenianie niepewności pomiarów x 1, x 2,..., x N szczególnie dla małej liczby pomiarów N σ x = 1 N 1 N (d i ) 2 = i=1 1 N 1 N (x i x) 2 i=1

52 Odchylenie standardowe średniej Niepewność wartości średniej równa jest odchyleniu standardowemu podzielonemu przez pierwiastek z liczby pomiarów σ x = σ x N Ostateczny wynik pomiaru możemy zapisać jako: x= x±σ x

53 Przykład Mierzymy wielkość x, w wyniku pomiaru uzyskaliśmy następujące wartości 7, 8, 9, 7, 8 x= = 39 5 =7,8 d 1 =7 7,8= 0,8 d 2 =8 7,8=0,2 d 3 =9 7,8=1,2 d 4 =7 7,8= 0,8 d 5 =8 7,8=0,2 5 d i =0 d=0 i=1

54 Przykład c.d. σ x = 1 N N (d i ) 2 = 1 N N (x i x) 2 σ x 0,75 i=1 i=1 σ x = 1 N 1 N (d i ) 2 = i=1 1 N 1 N (x i x) 2 i=1 σ x 0,84 σ x 0,37 x=7,8±0,4 Uwzględnione zostały jedynie błędy statystyczne, a co z niepewnościami systematycznymi?

55 Błędy systematyczne procedura wielokrotnego pomiaru nie usuwa błędów systematycznych błędy systematyczne powinny być rozpoznane i wyeliminowane te których nie da się wyeliminować całkowicie powinny zostać zredukowane do poziomu dużo niższego niż wymagana precyzja

56 Błędy systematyczne c.d. Wyznaczamy wielkośćx= m T 2 Pomiary m i T są niezależne, wielkości te mierzone są wiele razy (1,...,N) Obliczamy x 1,..., x N oraz wartość średnią x i odchylenie standardowe średniej ( x, σ x ) δ xstat =σ x

57 Błędy systematyczne c.d. Pomiary m obarczony jest niepewnością systematyczną równą 1%, a pomiar T z niepewnością systematyczną wynoszącą 0.5% Błędy pomiarowe są niezależne bo pomiary były niezależne, stąd δmsys 2 δ xsys x = + 2 δt 2 sys m T δx= (δ xstat ) 2 + δ xsys 2

58 Zadania na przyszłe wykłady Jak uśredniać pomiary wykonywane seriami obarczone różnymi niepewnościami statystycznymi Uzasadnić w oparciu o rozkład normalny, że wartość średnia jest najlepszym przybliżeniem wielkości mierzonej wielokrotnie

59 Histogramy i rozkłady Dla dużej liczby pomiarów N możemy zapisać średnią w postaci: przy czym x= Możemy zdefiniować częstość F k = n k N F k określa rozkład wyników k k n k =N x k n k N

60 Histogramy i rozkłady x= k F k x k średnia jest sumą ważoną różnych wartości x k z wagami określonymi poprzez częstości F k ich występowania Zachodzi k F k = k n k N = N N =1

61 Histogramy i rozkłady 0,4 0,3 F k 0,2 0,1 0, x k Przykładowy histogram

62 Histogramy i rozkłady 0,5 0,4 0,3 F k 0,2 k 0,1 F k f k f k k = 0, częstość pomiarów w k-tej przegródce x

63 Histogramy i rozkłady N=10 N=100 N=1000 N Duże N f k 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0, x 0,6 0,5 Bardzo duże N f k 0,4 0,3 0,2 0,1 Błędy przypadkowe (statystyczne)!!! 0, x

64 Rozkłady graniczne f(x)dx= częstość pomiarów w przedziale od x do x +dx b a f(x)dx = częstość pomiarów w przedziale od x =a do x =b

65 Rozkłady graniczne f(x)dx= prawdopodobieństwo, że wynik dowolnego pomiaru znajdzie się w przedziale od x do x+dx Stąd konieczność odpowiedniej normalizacji f(x)dx=1

66 Rozkłady graniczne duża precyzja f(x) mała precyzja x

67 Rozkłady graniczne Mamy x= k F k x k Przy dużej liczbie pomiarów przedziały możemy wybrać od x k do x k +dx. Częstości w przedziałach spełniają związek Stąd σ 2 x= x= F k =f(x k )dx k xf(x)dx (x x) 2 f(x)dx Zauważmy, że zachodzi N N N 1

68 Rozkład normalny Pomiar obarczony wieloma małymi przypadkowymi błędami Błędy statystyczne!!! Funkcja rozkładu normalnego jest funkcją Gaussa f(x)=exp( x2 f(x) 2σ 2) 0 x

69 Rozkład normalny f(x)=exp (x X)2 2σ 2 f(x) X x

70 Normalizacja rozkładu normalnego f(x)dx=1 (x X) 2 f(x)=nexp 2σ 2 f(x)dx= (x X) 2 Nexp 2σ 2 dx Wprowadźmy nowe zmienne całkowania x-x=y, dx=dy f(x)dx=n exp y2 2σ 2 dy

71 Normalizacja rozkładu normalnego Ponownie wprowadźmy nowe zmienne całkowania y/σ=z, dy=σ dz f(x)dx=nσ exp z2 2 dz Korzystając z tablic znajdujemy exp z2 2 dz= 2π

72 Normalizacja rozkładu normalnego Stąd f(x)dx=nσ 2π=1 i dalej N= 1 σ 2π f X,σ (x)= 1 (x X) σ 2 2π exp 2σ 2

73 Jakie jest znaczenie parametru X? f X,σ (x)= 1 (x X) σ 2 2π exp 2σ 2 Policzmy oczekiwaną wartość średnią x= xf X,σ (x)dx f(x) X x

74 Jakie jest znaczenie parametru X? x= xf X,σ (x)dx= 1 σ 2π xexp[( x X) 2 /2σ 2 ]dx Podstawmy: Y =x X dx=dy,x=y+x Stąd x= 1 σ 2π yexp( y 2 /2σ 2 )dy+x Pierwsza całka znika ponieważ funkcja podcałkowa jest nieparzysta, a granice całkowania są symetryczne, drugą już liczyliśmy przy normalizacji, jej wartość wynosi σ 2π exp( y 2 /2σ 2 )dy

75 Jakie jest znaczenie parametru X? x= 1 σ 2π yexp( y 2 /2σ 2 )dy+x exp( y 2 /2σ 2 )dy] x= 1 σ 2π Xσ 2π=X Jaki stąd wniosek? jeżeli wyniki pomiarów podlegają rozkładowi normalnemu to wartość średnia obliczona na postawie serii pomiarów jest równa wartości prawdziwej, wokół której funkcja Gaussa jest wyśrodkowana

76 Jakie jest znaczenie parametru X? O.K. ale w praktyce nigdy nie mamy nieskończonej liczby pomiarów stąd wnioskujemy, że w wyniku bardzo dużej liczby powtórzeń uzyskana średnia będzie bliska wartości prawdziwej. I tu ponownie należy założyć, że w pomiarach nie występowały niepewności systematyczne.

77 σx 2 = Policzmy wariancję (x x) 2 f X,σ (x)dx= 1 σ 2π Dokonajmy takiego samego podstawienia jak poprzednio Y =x X dx=dy,x=y+x (x x) 2 exp[(x X) 2 /2σ 2 ]dx Po przekształceniach otrzymujemy: σ 2 x=σ 2

78 σ 2 x=σ 2 Szerokość funkcji Gaussa jest równa odchyleniu standardowemu otrzymanemu dla pomiarów wielokrotnych