EGZAMIN MATURALNY 2005

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "EGZAMIN MATURALNY 2005"

Transkrypt

1 EGZAMIN MATURALNY 005 Biulety OKE r.9/004 Iformacje po próbym egzamiie maturalym z matematyki Kraków, sierpień 004

2 Spis treści: stroa. Zamiast wstępu. Iformacja o wyikach próbego egzamiu z matematyki 5 3. Kometarz do zadań zamieszczoych w arkuszu 7 4. Uwagi ogóle i rady egzamiatorów 6 Arkusze egzamiacyje zastosowae podczas próby oraz modele oceiaia prac egzamiacyjych zajdują się a stroie W serwisie iteretowym OKE w Krakowie dostępe są elektroicze wersje biuletyów z serii Egzami maturaly 005. Opracował Piotr Ludwikowski

3 . Zamiast wstępu Mottem dla maturzystów, którzy wybrali matematykę jako trzeci przedmiot egzamiacyjy a próbym egzamiie maturalym w czerwcu 004 roku była zapewe myśl Kofucjusza: Słyszałem i zapomiałem. Widziałem i zapamiętałem. Zrobiłem i zrozumiałem. Poiższe opracowaie adresujemy do wszystkich, którzy zaiteresowai są jak ajlepszym przygotowaiem się do egzamiu maturalego z matematyki w maju 005 roku. W szczególości sam próby egzami maturaly i iformacje zawarte w tym biuletyie powiy wspomóc:! prezetację egzamiu maturalego z matematyki a poziomie podstawowym,! zapozaie ucziów z formułą egzamiu,! dokoaie wyboru przedmiotu egzamiu maturalego we wrześiu,! przypomieie auczycielom reguł kryterialego oceiaia,! dokoaie aalizy aktualego poziomu przygotowaia ucziów daej szkoły do egzamiu maturalego 005, w odiesieiu do wyików oceioej zewętrzie próby z całego okręgu,! uzyskaie iformacji potrzebych do orgaizacji procesu auczaia w klasie III. Przy kostrukcji jedeastu zadań próbego egzamiu maturalego z matematyki a poziomie podstawowym brao pod uwagę osiągięcia absolweta szkoły poadgimazjalej, które wymieia Podstawa Programowa Matematyki i Stadardy Wymagań Egzamiacyjych z Matematyki, tak je dostosowując, by większość ucziów kończących klasę drugą mogła te zadaia rozwiązać. Tabela. Zestawieie ilustrujące, za pomocą których zadań badao osiągięcia absolweta szkoły poadgimazjalej wymieioe w Podstawie Programowej Matematyki Osiągięcia absolweta szkoły średiej Operowaie podstawowymi obiektami matematyczymi Przeprowadzaie prostych rozumowań dedukcyjych Egzami maturaly z matematyki powiie badać czy absolwet szkoły poadgimazjalej za podstawowe pojęcia matematycze i potrafi przeczytać (apisać) prosty tekst matematyczy potrafi stosować podstawowe pojęcia i algorytmy w typowych sytuacjach potrafi rozwiązywać typowe zadaia matematycze za podstawowe twierdzeia matematycze i potrafi je zastosować w sytuacjach zadaiowych potrafi przedstawić argumetację wykorzystującą zae defiicje, twierdzeia i podstawowe reguły wioskowaia y zadań próbego egzamiu maturalego z matematyki, w których szczególie akcetuje się te osiągięcia,, 4, 6, 7, 0,,, 4, 0,,, 9, 0,, 3, 4,5, 6, 8, 9, 4, 6, 8, 9 3

4 Osiągięcia absolweta szkoły średiej Posiadaie umiejętości przydatych w życiu codzieym Precyzyje formułowaie myśli Egzami maturaly z matematyki powiie badać czy absolwet szkoły poadgimazjalej potrafi dobrać model matematyczy dla opisaia sytuacji z życia codzieego (w prostych lub typowych przypadkach) potrafi wykorzystać swoje umiejętości z różych działów matematyki przy rozwiązywaiu problemów z życia codzieego potrafi przeaalizować treść zadaia (problemu) wyodrębiając dae i iewiadome potrafi ustalić pla rozwiązaia zadaia (problemu) określając cele do osiągięcia w poszczególych częściach tego plau potrafi czytelie opisać tok swojego rozumowaia potrafi podsumować swoje rozumowaie i przedstawić osiągięty rezultat y zadań próbego egzamiu maturalego z matematyki, w których szczególie akcetuje się te osiągięcia 3, 5, 3, 5, 3, 5, 8, 3, 4, 5, 7, 9 4, 9, 3, 4, 6, 7, 8, 9 Tabela. Zestawieie ilustrujące, opaowaie których umiejętości opisaych w Stadardach Wymagań Egzamiacyjych z Matematyki, było sprawdzae w poszczególych zadaiach. zadaia Hasło z podstawy programowej Wielomiay i fukcje wymiere (fukcja liiowa) I i II Wielomiay i fukcje wymiere (trójmia kwadratowy) I i II 3 Ciągi liczbowe II i III 4 Fukcje trygoometrycze II i III 5 Fukcje trygoometrycze II i III 6 Wielomiay i fukcje wymiere (trójmia kwadratowy) II i III 7 Geometria aalitycza II 8 Ciągi liczbowe I i II 9 Geometria aalitycza I, II i III 0 Liczby i ich zbiory I Wielomiay i fukcje wymiere (wielomiay) stadardu wymagań I, II i III 4

5 . Ogóla iformacja o wyikach próbego egzamiu z matematyki Poiżej, w tabeli 3 przedstawioo podstawowe dae statystycze dotyczące wyików próbego egzamiu maturalego z matematyki a poziomie podstawowym przeprowadzoego w trzech województwach: lubelskim, małopolskim i podkarpackim, zestawioe a podstawie próby oceioej w Okręgowej Komisji Egzamiacyjej w Krakowie. zamówioych arkuszy, a więc liczba ucziów piszących próby egzami z matematyki była rówa 9500, zatem prawie co trzeci uczeń zdecydował się a matematykę jako obowiązkowy przedmiot wybray. Z każdej szkoły przesłao prace pierwszego i środkowego uczia a liście osób przystępujących do próby. Tabela 3. Podstawowe dae statystycze dla arkusza a poziomie podstawowym prac ucziów oceiaych zewętrzie (N) ucziów, którzy uzyskali miej iż 5 puktów Łatwość (p) 0,44 Średia puktów Mediaa (Me) 0 Modala (domiata) 6 Najwyższy wyik 50 Najiższy wyik 0 Rozstęp 50 Kometarz Statystyczy uczeń uzyskał pukty a 50 możliwych do otrzymaia. Środkowy uczeń rozkładu uporządkowaego malejąco uzyskał 0 puktów, czyli 40% możliwych do otrzymaia. Egzamiu ie zdało około 9,9% zdających (uzyskało miej iż 5 puktów) Najczęstszym wyikiem uczia (modala domiata) jest 6 puktów. 7 ucziów ie uzyskało ai jedego puktu, a 5 apisało swoje prace bezbłędie (50 puktów) częstość ie zdał zdał Wykres. Zestawieie częstości liczby uzyskaych puktów 5

6 Dla każdego zadaia obliczoo jego łatwość, tj. stosuek ogólej liczby puktów uzyskaych przez ucziów w oceiaych pracach za rozwiązaie daego zadaia, do liczby puktów możliwych do zdobycia za w pełi poprawe rozwiązaie tego zadaia. 0,8 łatwość 0,6 0,4 0, Wykres. Łatwości zadań Tabela 4. Iterpretacja wskaźika łatwości zadań , 4, 5, 6, 8, 9, 0,, 3-7 bardzo trude trude umiarkowaie trude łatwe bardzo łatwe zadań Aalizując wyiki uzyskae przez ucziów Państwa szkoły warto dokoać porówaia, czy te same zadaia sprawiały im trudość (w szczególości zadaia, 5 i 8), czy zadaie 7 było rówież dla ich wyraźie ajłatwiejsze. 6

7 3. Kometarz do zadań zamieszczoych w arkuszu Poiżej przedstawiam tekst każdego z zadań (w arkuszach egzamiacyjych wydzieloo poadto miejsce a wpisaie rozwiązaia i odpowiedzi), schematy ich oceiaia oraz uwagi autora zestawu, wioski egzamiatorów zebrae podczas ocey prac ucziów i kometarz dydaktyczy. Zadaie ( pukty) Miejscem zerowym fukcji f ( x) x + b Opis wykoywaej czyości = 3 jest. Oblicz b. puktów Modelowy wyik etapu (czyości). Zapisaie rówaia pozwalającego wyzaczyć b. 0 = 3 + b. Obliczeie b. b = 3 To klasycza rozgrzewka. Rozwiązujący zadaie abituriet powiie zać podstawowe własości fukcji. Zadaie spełiło częściowo swoją rolę, poieważ tylko dwóch a trzech zdających uzyskało, rozwiązując go, pełą liczbę puktów. Nie jest to więc zadaie ajłatwiejsze w zestawie (zajmuje biorąc pod uwagę łatwości 3 lokatę). W rozwiązaiach ucziowskich często przewija się typowy błąd podawaia współrzędych puktu przecięcia prostej z osią OX jako miejsca zerowego fukcji. Pokutuje tutaj skojarzeie słowa miejsce z puktem w układzie współrzędych. Błąd te ie zajduje odzwierciedleia w oceie prac ucziów, poieważ zajomość defiicji miejsca zerowego ie była bezpośredio badaa. Wątpliwości auczycieli, wyrażae w paelu dyskusyjym serwisu MODLE, budził fakt, że pojęcie fukcji liiowej, jej miejsca zerowego, to materiał gimazjum. Podstawa programowa auczaia matematyki zawiera zapis, który zobowiązuje uczia szkoły poadgimazjalej do zajomości pojęć opisaych w podstawy programowej gimazjum. Zestaw egzamiacyjy powiie więc sprawdzać rówież tę zajomość. Zadaie (3 pukty) Daa jest fukcja f określoa wzorem f ( x) ( x)( x + ) + x fukcji f... Opis wykoywaej czyości Zapisaie wzoru fukcji kwadratowej f w postaci ogólej. Obliczeie rzędej wierzchołka paraboli, która jest wykresem fukcji f. =. Wyzacz zbiór wartości puktów Modelowy wyik etapu (czyości) f ( x) = x + x + p y w =.3 Wyzaczeie zbioru wartości fukcji f. (, Stadardy wymagań egzamiacyjych, opisae w Iformatorze maturalym z matematyki, stawiają przed abiturietem zadaie wykazaia się zajomością i rozumieiem pojęć wyikających z podstawy programowej auczaia matematyki. Moża, co prawda, powiedzieć, że rozwiązując każde zadaie, zdający musi zać i rozumieć pojęcia potrzebe do przeprowadzeia kolejych etapów rozumowaia, ale gdy w zadaiu trzeba jakieś pojęcie ziterpretować, zastosować czy przekształcić, to ie to samo co wykazać się jego zajomością. Stadardy wymagań egzamiacyjych zbudowae są hierarchiczie. 7

8 Bez zajomości i rozumieia pojęć, ie da się wykorzystywać i przetwarzać iformacji ai tym bardziej rozwiązywać problemów. Może się jedak zdarzyć, że uczeń pojęcie za i rozumie, ale w kokretej sytuacji ie potrafi go wykorzystać. W zestawie egzamiacyjym powiy więc zaleźć się też takie zadaia, które bezpośredio badają zajomość i rozumieie pojęć. W zadaiu drugim uczeń, który za podstawowe pojęcia związae z trójmiaem kwadratowym (stadard I), powiie pokazać, że posiada umiejętości w zakresie stosowaia zaych defiicji i twierdzeń (stadard II). Nieoczekiwaie zadaie okazało się trude. Wyzaczaie zbioru wartości fukcji kwadratowej, auczycielom szacującym łatwość zadań przed oceiaiem prac ucziów, wydawało się jedym z ajłatwiejszych poleceń. W uwagach, auczyciele ci apisali, że jeżeli uczeń pokoa pierwszą trudość w zadaiu zauważeie, że omawiaa fukcja jest fukcją kwadratową, to w 75% przypadków wyzaczy zbiór wartości tej fukcji. W rzeczywistości okazało się, że co drugi uczeń przekształcił fukcję do postaci ogólej fukcji kwadratowej, a tylko co czwarty rozwiązał zadaie poprawie do końca. Wielu ucziów ie potrafi powiązać wyzaczaych stadardowo wartości (współrzęde wierzchołka paraboli, miejsca zerowe, współrzęde puktu przecięcia z osią OY) z własościami fukcji (zbiór wartości, mootoiczość). Zadaie 3 (4 pukty) Widowia wokół boiska do koszykówki podzieloa jest a cztery sektory. W pierwszym rzędzie każdego sektora jest 8 miejsc, a w każdym astępym rzędzie o miejsca więcej iż w rzędzie poprzedim. W każdym sektorze są rzędy. Oblicz liczbę wszystkich miejsc a widowi. 3. Opis wykoywaej czyości Zapisaie, że liczba miejsc w kolejych rzędach sektora to wyrazy ciągu arytmetyczego. puktów Modelowy wyik etapu (czyości) p. ( a ) - ciąg arytmetyczy, a = 8, r = = = 3. Obliczeie a. a Obliczeie S. S Obliczeie liczby wszystkich miejsc a 55 widowi. W zadaiach matematyczych, bywa tak, że czytając treść od razu wiadomo jakiego arzędzia użyć, żeby postawioy problem rozwiązać, ale częściej metody rozwiązaia trzeba poszukiwać. Umiejętość wyboru metody rozwiązaia to jedo z wymagań stawiaych absolwetowi, który wybrał matematykę jako przedmiot egzamiu maturalego. Wybierając zarówo poziom podstawowy jak i rozszerzoy egzamiu, Zdający dobiera odpowiedi algorytm do wskazaej sytuacji problemowej i oceia przydatość otrzymaych wyików. Zadaie 3 w zamyśle autorów powio skłoić zdającego do zbudowaia odpowiediego modelu matematyczego do opisaej w zadaiu sytuacji (ciąg arytmetyczy) i zastosowaia odpowiediego arzędzia, które te model udostępia (wzór a sumę ciągu arytmetyczego). Część rozwiązujących zadaie ucziów tak postąpiło. 8

9 Spora grupa ucziów liczyła a piechotę, w części korzystając z kalkulatorów. Za takie rozwiązaie, egzamiatorzy rówież przyzawali pełą liczbę puktów. Warto jedak zwrócić uwagę a fakt, że gdy uczeń posługując się kalkulatorem zrobił błąd mechaiczy p. wciskając ieodpowiedi klawisz, otrzymywał błędy wyik i w kosekwecji zero puktów za rozwiązaie zadaia. Błąd ieuwagi w obliczeiach z zastosowaiem własości ciągu arytmetyczego kosztował utratę tylko jedego puktu. Zadaie 4 (5 puktów) Na poiższym rysuku przedstawioo róworamiey trójkąt ABC (o podstawie AC ) oraz prostokąty róworamiey trójkąt BDC (o podstawie BC ). Uzasadij, że cos( ACD ) <. Opis wykoywaej czyości Modelowy wyik etapu puktów (czyości) 4. Obliczeie miary kąta DBC. DBC = Obliczeie miary kąta ABC. ABC = Obliczeie miary kąta BCA. BCA =, Obliczeie miary kąta ACD. ACD = 67, Uzasadieie, że cos( ACD ) <. p. powołując się a mootoiczość fukcji cosius ( cos 60 = cos 67,5 < ). Pierwsze cztery czyości, które powiie wykoać uczeń rozwiązujący zadaie 4 wymagały umiejętości aalizy tekstu matematyczego i elemetarej zajomości własości trójkątów róworamieych. Te trudości pokoał co drugi zdający. Bardzo różicujące, zgodie z oczekiwaiami okazało się uzasadieie, że cos 67,5 <. Tylko co szósty uczeń rozwiązał te problem. Hipoteza, że samo sformułowaie uzasadij działa odstraszająco wydaje się bardzo prawdopodoba, tym bardziej, iż wielu zdających ie podjęło awet próby zmierzeia się z tym problemem. 9

10 Warto zwrócić uwagę a fakt trudości z oceiaiem rozwiązaia, w którym uczeń wyzaczył a kalkulatorze wartość cos67,5 0, 38 i stwierdził, że obliczoa wartość jest miejsza iż. Sformułowaie zadań tego typu będzie mogło zostać doprecyzowae po ogłoszeiu przez dyrektora cetralej Komisji Egzamiacyjej listy pomocy, z których w trakcie egzamiu moża korzystać. Zadaie 5 (4 pukty) W architekturze islamu często stosowaym elemetem był łuk podkowiasty. Schemat oka w kształcie takiego łuku (łuku okręgu) przedstawioo a rysuku poiżej. Korzystając z daych a rysuku oblicz wysokość oka h i ajwiększy prześwit d Opis wykoywaej czyości Obliczeie długości r promieia okręgu. Obliczeie długości x = SO. puktów Modelowy wyik etapu (czyości),5 r = = si 60 3,5 x = = 0,5 tg Obliczeie długości d. d = Obliczeie długości h. h =,5 3 Zadaie 5 wymaga od rozwiązującego go uczia dobraia modelu matematyczego do opisaej w zadaiu sytuacji. W tym przypadku, posłużyć się moża pojęciami związaymi z zastosowaiem fukcji trygoometryczych do rozwiązywaia zadań z plaimetrii. Typowe usterki w rozwiązaiach ucziów to iezajomość defiicji i wartości fukcji trygoometryczych, wyzaczaie przybliżeń wartości otrzymaych wyrażeń. Dae w zadaiu zostały tak dobrae, że awet ci ucziowie, którzy ie potrafią posługiwać się fukcjami trygoometryczymi, wykorzystując własości trójkątów rówoboczych powii je rozwiązać. 0

11 Zadaie okazało się dość trude tylko co piąty uczeń otrzymał za jego rozwiązaie pełą liczbę puktów a 60% ucziów ie otrzymało awet jedego puktu. Zadaia praktycze, wymagające zbudowaia modelu matematyczego do kokretej, realej sytuacji adal sprawiają ucziom wiele trudości. Zadaie 6 (3 pukty) Fukcja f przyporządkowuje każdej liczbie rzeczywistej iloczy tej liczby przez liczbę o 3 od iej miejszą. a. Podaj wzór fukcji f b. Zbadaj, ile rozwiązań ma rówaie f ( x) + 3 = 0. Opis wykoywaej czyości puktów Modelowy wyik etapu (czyości) f x = x x 3 6. Podaie wzoru fukcji f. ( ) ( ) 6. Zapisaie odpowiediego rówaia x 3x + 3 = 0 Obliczeie wyróżika = 3 brak rozwiązań 6.3 i sformułowaie odpowiedzi. Powyższe zadaie dotyczy własości fukcji kwadratowej. Fukcje kwadratowe to klasycze tworzywo do budowaia zadań maturalych zarówo w starej jak i w owej formule, moża więc było sądzić, że łatwość tego zadaia będzie wysoka. Okazało się jedak, że ucziowie mieli kłopot z właściwym zapisaiem wzoru fukcji, co często uiemożliwiało dalsze rozwiązywaie zadaia wielokrotie iloczy zamieiao a iloraz lub zaiedbywao awiasy. Umiejętość zapisywaia symboliczego wyrażeń algebraiczych wymaga uważego czytaia i drobiazgowej aalizy przeczytaego tekstu. Zadaie 7 (5 puktów) Pole trójkąta o wierzchołkach = (, ), B = ( 3, 0), C = (, 4) A moża obliczyć stosując astępującą metodę: zazaczamy w układzie współrzędych pukty ABC; rysujemy prostokąt KLMN w sposób przedstawioy a rysuku (odpowiedie boki prostokąta mają być rówoległe do osi układu współrzędych); odczytujemy długości odpowiedich odcików: KL =, LM = 4, AK =, MC =, CN = NA = ; obliczamy pole prostokąta: P KLMN = KL LM = 4 = 8; obliczamy pola odpowiedich trójkątów prostokątych: P AKL = AK KL = = P LMC = LM MC = 4 = P CNA = CN NA = = ; od pola prostokąta odejmujemy sumę pól trójkątów: P = 8 ( + + ) = 3. Stosując opisaą wyżej metodę, oblicz pole trójkąta o wierzchołkach = (, 0), B = ( 5, ), C = ( 3, 4) ABC A.

12 kryteriu m Opis wykoywaej czyości Zazaczeie w układzie współrzędych puktów ABC oraz arysowaie prostokąta KLMN. Wyzaczeie długości odpowiedich odcików. puktów Modelowy wyik etapu (czyości) KL = 4, LB =, BM = 3, MC = CN =, NK = 7.3 Obliczeie pole prostokąta KLMN. P KLMN = 6 Obliczeie pól odpowiedich 7.4 P KLB =, P BMC = 3, P CNK = 4 trójkątów prostokątych. 7.5 Wyzaczeie pola trójkąta ABC. = 7 P ABC Nowa matura z matematyki różi się od egzamiu dojrzałości ie tylko liczbą zadań. W czasie egzamiu zdający będą mogli wykazać się bardziej wszechstroymi kwalifikacjami matematyczymi. Jede ze stadardów egzamiacyjych, w zakresie korzystaia z iformacji, brzmi: Zdający stosuje przedstawioy algorytm do rozwiązaia problemu praktyczego lub teoretyczego. Zadaia za pomocą których badaa jest ta umiejętość, składają się często z dwóch części, pierwszej - przedstawiającej metodę (algorytm) rozwiązywaia pewego typu zadań i drugiej - sprawdzającej, czy zdający potrafi zastosować tę metodę. Bardzo istote jest dokłade przeaalizowaie tekstu zadaia. Należy zwrócić uwagę a koleje etapy przykładowego rozwiązaia i a kometarz. Warto też pamiętać o tym, że zdający powiie wykazać się zrozumieiem istoty algorytmu a ie bezmyślym powieleiem zaprezetowaego rozwiązaia. Zadaia tego typu były sygalizowae w wielu publikacjach dotyczących owej matury, stąd wysoka łatwość zadaia zapropoowaego w arkuszu. Niepokoić może jedak uwaga jedego z auczycieli, który zazaczył, że treści programowe dotyczące zadaia 7 ie zostały zrealizowae. Algorytm przedstawioy w zadaiu omawiaego typu może być przecież awet spoza podstawy programowej. Zadaie 8 (6 puktów) Ciąg ( ) a określoy jest wzorem a = 5. a. Wyzacz liczbę ujemych wyrazów tego ciągu. a jest ciągiem geometryczym. b. Sprawdź a podstawie defiicji, czy ciąg ( ) Opis wykoywaej czyości Zapisaie ierówości za pomocą której moża wyzaczyć liczbę a. ujemych wyrazów ciągu ( ) Rozwiązaie ierówości 5 < 0 w zbiorze liczb aturalych. Podaie liczby ujemych wyrazów a. ciągu ( ) puktów Modelowy wyik etapu (czyości) 5 < 0 {, }

13 8.4 Zapisaie waruku a to by ciąg a+ ( a ) był ciągiem geometryczym. p. = cost a 8.5 a Obliczeie + a+ 4. p = a a Stwierdzeie, że więc ciąg ( ) a a ie jest geometryczy. + zależy od a p Bardzo często, rozwiązując zadaie 8, ucziowie wypisywali kilka początkowych a, zauważali, że pierwsze dwa z ich są ujeme i zapisywali odpowiedź. wyrazów ciągu ( ) Tylko ielicza grupa - około 7% zdających dostrzegła koieczość uzasadieia, że iych wyrazów ujemych w tym ciągu ie ma. Druga część zadaia była zaczie łatwiejsza. Co drugi zdający potrafił całkowicie lub częściowo poprawie uzasadić, że omawiay ciąg ie jest geometryczy. Warto zazaczyć, że ucziowie rozwiązując to zadaie wykorzystywali róże (ierówoważe) defiicje ciągu geometryczego. Zadaie 9 (7 puktów) Pukty = (, ), B = (, ), C = (, ) A są wierzchołkami trójkąta ABC. a. Oblicz długość odcika AB. b. Napisz rówaie prostej m, do której ależą pukty B i C. c. Napisz rówaie prostej k prostopadłej do prostej m takiej, że A k. d. Uzasadij, że środek okręgu opisaego a trójkącie ABC ie ależy do prostej k. Opis wykoywaej czyości puktów 9. Obliczeie długości odcika AB. AB = Wyzaczeie rówaia prostej m. Wyzaczeie współczyika kierukowego prostej k. Wyzaczeie rówaia prostej k. Zapisaie waruku a to, by środek okręgu opisaego a trójkącie ABC ależał do prostej k. p (jede pukt przyzajemy za poprawą metodę) Modelowy wyik etapu (czyości) y = 3 x y = x 3 3 p. trójkąt ABC musiałby być róworamiey, wtedy symetrala odcika BC pokrywałaby się z prostą k (w przeciwym przypadku są rozłącze, a środek okręgu opisaego a trójkącie musi do symetralej ależeć). 3

14 9.6 Sprawdzeie, czy środek okręgu opisaego a trójkącie ABC ależy do prostej k i udzieleie odpowiedzi. AC = 0 0 środek okręgu opisaego a trójkącie ABC ie ależy do prostej k. Koleje zadaie o wyraźie dwuczęściowej budowie. Rozwiązując podpukty a c uczeń powiie wykazać się zajomością odpowiedich algorytmów i umiejętością ich stosowaia w typowej sytuacji, atomiast Sprawdzeie, czy środek okręgu opisaego a trójkącie ABC ależy do prostej k wymagało przeprowadzeia samodzielego rozumowaia. Podobie jak w zadaiu 4, okazało się, że co drugi zdający potrafi dobrać i stosować właściwy algorytm, gdy poleceie w zadaiu wyraźie a te algorytm wskazuje, atomiast samodziele przeprowadzeie rozumowaia jest bardzo trude. W zadaiu 9 wymagae uzasadieie przedstawił tylko jede a dziewiętastu zdających. Zadaie 0 (6 puktów) Dae są liczby a = i b =. 5 5 a b a. Sprawdź, czy = 0 a b a b. Oblicz b Wyiki obliczeń przedstaw w postaci iezawierającej iewymierości w miaowiku. Opis wykoywaej czyości puktów Modelowy wyik etapu (czyości) 0. Obliczeie a b. 4 a b = 5 0. Obliczeie a b. a b = a b tak Sprawdzeie, czy = 0 a b 0.4 a Obliczeie. b a = 4 b a Zbadaie zaku wyrażeia. b < Zastosowaie defiicji wartości a bezwzględej. = b Typowe zadaie, za pomocą którego moża uzyskać odpowiedź a pytaie czy zdający posiada wprawę w przekształcaiu wyrażeń arytmetyczych oraz czy za i umie zastosować defiicję wartości bezwzględej. Najczęstszym błędem było iewłaściwe stosowaie kalkulatorów. W podpukcie a. przybliżaie wartości 3 powodowało, że odpowiedź a postawioe pytaie była egatywa, a w podpukcie b. otrzymao wartość przybliżoą podaego wyrażeia. 4

15 Zadaie (5 puktów) 3 Dae są wielomiay Q ( x) = x x + i S ( x) = x x + 4. a. Sprawdź, czy liczba jest pierwiastkiem wielomiau Q ( x). b. Wielomia P ( x) jest sumą wielomiaów Q ( x) i S ( x). Rozłóż wielomia ( x) czyiki liiowe. P a Opis wykoywaej czyości Obliczeie wartości wielomiau Q dla x = Sformułowaie odpowiedzi Wykoaie dodawaia wielomiaów Zapisaie wielomiau P w postaci iloczyu dwumiau liiowego i dwumiau kwadratowego Zapisaie wielomiau P w postaci iloczyowej puktów Modelowy wyik etapu (czyości) Q = ( ) 6 ie jest pierwiastkiem wielomiau Q P x = x 3 3x x + ( ) 6 P ( x) = ( x 3)( x ) P ( x) = ( x 3 )( x )( x + ) Egzami maturaly (od łac. maturus dojrzały) ma sprawdzać dojrzałość abiturieta. Absolwet szkoły poadgimazjalej powiie ie tylko wiedzieć co myśleć ale jak myśleć. III stadard egzamiacyjy (tworzeie iformacji) stawia ucziowi wymagaie umiejętości aalizowaia sytuacji problemowej i doboru właściwego algorytmu do rozwiązaia tego problemu. Wymagae jest też podsumowaie wyików rozumowaia (czyość.). Te etap rozwiązaia zadaia pomięło wielu rozwiązujących go ucziów. Rozkład wielomiau a czyiki liiowe okazał się za trudy dla a 3 ucziów rozwiązujących to zadaie. 5

16 4. Uwagi ogóle i rady egzamiatorów Jedym z ważych celów przeprowadzeia próby egzamiu maturalego jest zapozaie ucziów z formułą egzamiu, przypomieie zasad jego przeprowadzaia. Egzamiatorzy oceiający prace ucziów adesłae do Okręgowej Komisji Egzamiacyjej w Krakowie zwracali uwagę a uchybieia, które być może są bez większego zaczeia w przypadku próby, ale w trakcie prawdziwego egzamiu maturalego są bardzo istote i mogą spowodować daleko idące kosekwecje włączie z uieważieiem egzamiu. Ucziowie powii wiedzieć że: # prac ie wolo pisać ołówkiem, # ie moża stosować korektora (błędy zapis ależy przekreślić), # jeżeli ie ma stosowego odośika a pracy, to egzamiator ie oceia zapisu w brudopisie, # jeżeli praca jest apisaa ieczytelie, egzamiator może ie być w staie jej oceić, # rozwiązując zadaia zamieszczoe w arkuszu egzamiacyjym ie moża korzystać z dodatkowego brudopisu. # zespół adzorujący egzami ie może zamieszczać żadych iformacji a arkuszu (p. o czasie zakończeia pracy, zazaczać poprawek i skreśleń itp.). Egzamiatorzy zwracali rówież uwagę a fakt, że iektóre prace były odpisywae egzami dla tych ucziów zostałby uieważioy. Warto pamiętać rówież o tym, że egzamiatorzy oceiają tylko te fragmety pracy zdającego, które dotyczą poleceia. Kometarze, awet poprawe iemające związku z poleceiem, ie podlegają oceiaiu. Gdy do jedego poleceia zdający podaje kilka rozwiązań (jedo prawidłowe, ie błęde), to egzamiator ie przyzaje puktów za rozwiązaie takiego zadaia. Przedstawioa w schemacie oceiaia metoda rozwiązaia daego zadaia, to tylko jeda z wielu możliwości. Całkowicie poprawe rozwiązaia zadań, uwzględiające iy tok rozumowaia iż przewidziay w schemacie oceiaia, są oceiae pełą liczbą puktów. W przypadku, gdy uczeń zastosuje ią iż opisaa w schemacie oceiaia, poprawą metodę rozwiązaia zadaia, ale popełi błędy lub rozwiąże zadaie tylko częściowo, egzamiator oceiający taką pracę sporządza schemat oceia według metody zastosowaej przez uczia i według iego oceia to zadaie. Oceiaie według kryteriów jest korzyste dla uczia rówież dlatego, że popełieie błędu w początkowej fazie rozwiązywaia zadaia (jeżeli w efekcie tego błędu zadaie się istotie ie upraszcza), ie uiemożliwia otrzymaia puktów za koleje czyości przewidziae w schemacie oceiaia. Dyskusję ad iymi aspektami stosowaia kryteriów oceiaia, iterpretacją stadardów wymagań egzamiacyjych i podstawy programowej auczaia matematyki zapropoowałem w cyklu artykułów Oswajaie owej matury. Publikację tę otrzymali wszyscy dyrektorzy szkół poadgimazjalych razem z zestawami egzamiacyjymi w czerwcu i jest oa rówież dostępa, wraz z iymi materiałami dydaktyczymi, a stroie iteretowej OKE, w serwisie MODLE ( 6

MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum

MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturaly wraz ze schematem oceiaia dla klasy II Liceum Propozycja zadań maturalych sprawdzających opaowaie wiadomości i umiejętości matematyczych z zakresu

Bardziej szczegółowo

MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań

MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań MATURA 0 z WSiP Matematyka Poziom rozszerzoy Zasady oceiaia zadań Copyright by Wydawictwa Szkole i Pedagogicze sp z oo, Warszawa 0 Matematyka Poziom rozszerzoy Kartoteka testu Numer zadaia Sprawdzaa umiejętość

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI (wpisuje zdający przed rozpoczęciem pracy) KOD ZDAJĄCEGO PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Arkusz I Poziom podstawowy Instrukcja dla zdającego: Czas pracy 0 minut. Proszę sprawdzić, czy arkusz egzaminacyjny

Bardziej szczegółowo

Egzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011

Egzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011 Egzami maturaly z matematyki CZERWIEC 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Poziom podstawowy czerwiec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schematy oceniania zadań otwartych. Matematyka. Poziom podstawowy

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schematy oceniania zadań otwartych. Matematyka. Poziom podstawowy Klucz odpowiedzi do zadań zamkiętych oraz schematy oceiaia zadań otwartych Matematyka CZERWIEC 0 Schemat oceiaia Klucz puktowaia zadań zamkiętych Nr zad Odp 5 6 8 9 0 5 6 8 9 0 5 6 B C C B C C A A B B

Bardziej szczegółowo

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D.

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D. Arkusz ćwiczeiowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaiach od. do. wybierz i zazacz poprawą odpowiedź. Zadaie. ( pkt) Liczbę moża przedstawić w postaci A. 8. C. 4 8 D. 4 Zadaie. ( pkt)

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2015 poziom podstawowy. Liczba punktów Wyznaczenie pierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli: x.

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2015 poziom podstawowy. Liczba punktów Wyznaczenie pierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli: x. LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 05 poziom podstawowy ZESTAW A ZADANIA ZAMKNIĘTE 5 6 7 8 9 0 5 6 7 8 9 0 A B D D A D B D A B C D C B A C A C B C A B D C ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI zadaia 5 6 7 puktów

Bardziej szczegółowo

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012 Materiał ćwiczeiowy z matematyki Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr zad 3 5 6 7 8 9 0

Bardziej szczegółowo

Materiał ćwiczeniowy z matematyki marzec 2012

Materiał ćwiczeniowy z matematyki marzec 2012 Materiał ćwiczeiowy z matematyki marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych dla iewidomych POZIOM PODSTAWOWY Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr zad 3 4 6 7

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schematy oceniania zadań otwartych. Matematyka. Poziom podstawowy

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schematy oceniania zadań otwartych. Matematyka. Poziom podstawowy Klucz odpowiedzi do zadań zamkiętych oraz schematy oceiaia zadań otwartych Matematyka CZERWIEC 0 Klucz puktowaia zadań zamkiętych Nr zad Odp 5 6 8 9 0 5 6 8 9 0 5 6 B C C B C C A A B B C A B A A A B D

Bardziej szczegółowo

ZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO SPRAWDZIANÓW W KLASIE DRUGIEJ.

ZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO SPRAWDZIANÓW W KLASIE DRUGIEJ. ZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO SPRAWDZIANÓW W KLASIE DRUGIEJ I Fukcja kwadratowa ) PODAJ POSTAĆ KANONICZNĄ I ILOCZYNOWĄ (O ILE ISTNIEJE) FUNKCJI: a) f ( ) + b) f ( ) 6+ 9 c) f ( ) ) Narysuj wykresy fukcji f

Bardziej szczegółowo

Poziom rozszerzony. 5. Ciągi. Uczeń:

Poziom rozszerzony. 5. Ciągi. Uczeń: PIOTR LUDWIKOWSKI Materiał z wykładu z aalizy dla uczestików koerecji Podstawa programowa z kometarzami Tom 6 Edukacja matematycza i techicza w szkole podstawowej, gimazjum i liceum matematyka, zajęcia

Bardziej szczegółowo

Jak obliczać podstawowe wskaźniki statystyczne?

Jak obliczać podstawowe wskaźniki statystyczne? Jak obliczać podstawowe wskaźiki statystycze? Przeprowadzoe egzamiy zewętrze dostarczają iformacji o tym, jak ucziowie w poszczególych latach opaowali umiejętości i wiadomości określoe w stadardach wymagań

Bardziej szczegółowo

Klasa II technikum Egzamin poprawkowy z matematyki sierpień 2013

Klasa II technikum Egzamin poprawkowy z matematyki sierpień 2013 /7 I. FUNKCJA KWADRATOWA. Fukcja kwadratowa w postaci kaoiczej i ogólej. Napisz wzór fukcji kwadratowej wiedząc, że wierzchołkiem paraboli będącej jej wykresem jest początek układu współrzędych oraz, że

Bardziej szczegółowo

Zadanie 3. Na jednym z poniższych rysunków przedstawiono fragment wykresu funkcji. Wskaż ten rysunek.

Zadanie 3. Na jednym z poniższych rysunków przedstawiono fragment wykresu funkcji. Wskaż ten rysunek. FUNKCJA KWADRATOWA. Zadaia zamkięte. Zadaie. Wierzchołek paraboli, która jest wykresem fukcji f ( x) ( x ) ma współrzęde: A. ( ; ) B. ( ; ) C. ( ; ) D. ( ; ) Zadaie. Zbiorem rozwiązań ierówości: (x )(x

Bardziej szczegółowo

KLUCZ ODPOWIEDZI I ZASADY PUNKTOWANIA PRÓBNEGO EGZAMINU MATURALNEGO Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY

KLUCZ ODPOWIEDZI I ZASADY PUNKTOWANIA PRÓBNEGO EGZAMINU MATURALNEGO Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ ODPOWIEDZI I ZASADY PUNKTOWANIA PRÓBNEGO EGZAMINU MATURALNEGO Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Nr zadaia Odpowiedzi Pukty Badae umiejtoci Obszar stadardu 1. B 0 1 plauje i wykouje obliczeia a liczbach

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych z matematyki od absolwenta II klasy (poziom rozszerzony).

Katalog wymagań programowych z matematyki od absolwenta II klasy (poziom rozszerzony). Katalog wymagań programowych z matematyki od absolweta II klasy (poziom rozszerzoy). LICZBY RZECZYWISTE Na poziomie wymagań koieczych lub podstawowych a oceę dopuszczającą () lub dostateczą (3) uczeń wykorzystać

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17 Egzami, 18.02.2017, godz. 9:00-11:30 Zadaie 1. (22 pukty) W każdym z zadań 1.1-1.10 podaj w postaci uproszczoej kresy zbioru oraz apisz, czy kresy ależą do zbioru (apisz TAK albo NIE, ewetualie T albo

Bardziej szczegółowo

CIĄGI LICZBOWE. Poziom podstawowy

CIĄGI LICZBOWE. Poziom podstawowy CIĄGI LICZBOWE Poziom podstawowy Zadaie ( pkt) + 0 Day jest ciąg o wyrazie ogólym a =, N+ + jest rówy? Wyzacz a a + Czy istieje wyraz tego ciągu, który Zadaie (6 pkt) Marek chce przekopać swój przydomowy

Bardziej szczegółowo

a n 7 a jest ciągiem arytmetycznym.

a n 7 a jest ciągiem arytmetycznym. ZADANIA MATURALNE - CIĄGI LICZBOWE - POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Dauta Brzezińska Zad.1. ( pkt) Ciąg a określoy jest wzorem 5.Wyzacz liczbę ujemych wyrazów tego ciągu. Zad.. ( 6 pkt) a Day jest ciąg

Bardziej szczegółowo

Znajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek

Znajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy

Bardziej szczegółowo

NOWA MATURA 2005 ( ) ( ) Matematyka Arkusz II treści zadań i rozwiązania zadań. 9 maja = + i zapisz ją w

NOWA MATURA 2005 ( ) ( ) Matematyka Arkusz II treści zadań i rozwiązania zadań. 9 maja = + i zapisz ją w NOWA MATURA 005 Matematyka Arkusz II treści zadań i rozwiązaia zadań 9 maja 005 ZADANIE ( pkt) Wyzacz dziedzię fukcji f ( x) log ( x x x ) postaci sumy przedziałów liczbowych = + i zapisz ją w x ROZWIĄZANIE

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce a aklejkę z kodem szkoły dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MMA-RAP-06 POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 0 miut Istrukcja dla zdającego. Sprawdź, czy arkusz egzamiacyjy zawiera 4 stro (zadaia

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI MAJ 2012 POZIOM PODSTAWOWY CZĘŚĆ I WYBRANE: Czas pracy: 75 minut. Liczba punktów do uzyskania: 20 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI MAJ 2012 POZIOM PODSTAWOWY CZĘŚĆ I WYBRANE: Czas pracy: 75 minut. Liczba punktów do uzyskania: 20 WPISUJE ZDAJĄCY Cetrala Komisja Egzamiacyja Arkusz zawiera iformacje prawie chroioe do mometu rozpoczęcia egzamiu. Układ graficzy CKE 2010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce a aklejkę z kodem EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego Przkładowe zadaia dla poziomu rozszerzoego Zadaie. ( pkt W baku w pierwszm roku oszczędzaia stopa procetowa bła rówa p%, a w drugim roku bła o % iższa. Po dwóch latach, prz roczej kapitalizacji odsetek,

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE METODY STOLIKÓW EKSPERCKICH NA LEKCJACH MATEMATYKI SCENARIUSZE ZAJĘĆ

ZASTOSOWANIE METODY STOLIKÓW EKSPERCKICH NA LEKCJACH MATEMATYKI SCENARIUSZE ZAJĘĆ ZASTOSOWANIE METODY STOLIKÓW EKSERCKICH NA LEKCJACH MATEMATYKI SCENARIUSZE ZAJĘĆ Opracowała: mgr Ewa Atropik Koiecza Świebodzi 005 r Zastosowaie metody stolików eksperckich a lekcjach matematyki Wstęp

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie III poziom rozszerzony

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie III poziom rozszerzony Wymagaia edukacyje a poszczególe ocey z matematyki w klasie III poziom rozszerzoy Na oceę dopuszczającą, uczeń: zazacza kąt w układzie współrzędych, wskazuje jego ramię początkowe i końcowe wyzacza wartości

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16 Egzami,.9.6, godz. :-5: Zadaie. ( puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z 4 = 4 w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej (bez używaia fukcji trygoometryczych)

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 05/06 FORMUŁA OD 05 ( NOWA MATURA ) FORMUŁA DO 04 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 06 Klucz puktowaia

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Informatyka 2015/2016 Kazimierz Jezuita. ZADANIA - Seria 1. Znaleźć wzór na ogólny wyraz ciągu opisanego relacją rekurencyjną: x

ALGEBRA LINIOWA Informatyka 2015/2016 Kazimierz Jezuita. ZADANIA - Seria 1. Znaleźć wzór na ogólny wyraz ciągu opisanego relacją rekurencyjną: x Iformatyka 05/06 Kazimierz Jezuita ZADANIA - Seria. Relacja rekurecyja kowecja sumacyja suma ciągu geometryczego. Zaleźć wzór a ogóly wyraz ciągu opisaego relacją rekurecyją: x sprowadzając problem do

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI Miejsce a aklejkę z kodem szkoły dysleksja MIN-R_P-072 EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI MAJ ROK 2007 POZIOM ROZSZERZONY CZĘŚĆ I Czas pracy 90 miut Istrukcja dla zdającego. Sprawdź, czy arkusz egzamiacyjy

Bardziej szczegółowo

Szereg geometryczny. 5. b) b n = 4n 2 (b 1 = 2, r = 4) lub b n = 10 (b 1 = 10, r = 0). 2. jest równa 1 x dla x = 1+ Zad. 3:

Szereg geometryczny. 5. b) b n = 4n 2 (b 1 = 2, r = 4) lub b n = 10 (b 1 = 10, r = 0). 2. jest równa 1 x dla x = 1+ Zad. 3: Szereg geometryczy Zad : Suma wszystkich wyrazów ieskończoego ciągu geometryczego jest rówa 4, a suma trzech początkowych wyrazów wyosi a) Zbadaj mootoiczość ciągu sum częściowych tego ciągu geometryczego

Bardziej szczegółowo

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne. Zasada idukcji matematyczej Dowody idukcyje Z zasadą idukcji matematyczej i dowodami idukcyjymi sytuacja jest ajczęściej taka, że podaje się w szkole treść zasady idukcji matematyczej, a astępie omawia,

Bardziej szczegółowo

Internetowe Kółko Matematyczne 2004/2005

Internetowe Kółko Matematyczne 2004/2005 Iteretowe Kółko Matematycze 2004/2005 http://www.mat.ui.toru.pl/~kolka/ Zadaia dla szkoły średiej Zestaw I (20 IX) Zadaie 1. Daa jest liczba całkowita dodatia. Co jest większe:! czy 2 2? Zadaie 2. Udowodij,

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres rozszerzony)

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres rozszerzony) Przedmiotowy system oceiaia wraz z określeiem wymagań edukacyjych (zakres rozszerzoy) Wymagaia koiecze (K) dotyczą zagadień elemetarych, staowiących swego rodzaju podstawę, zatem powiy być opaowae przez

Bardziej szczegółowo

Kolorowanie Dywanu Sierpińskiego. Andrzej Szablewski, Radosław Peszkowski

Kolorowanie Dywanu Sierpińskiego. Andrzej Szablewski, Radosław Peszkowski olorowaie Dywau ierpińskiego Adrzej zablewski, Radosław Peszkowski pis treści stęp... Problem kolorowaia... Róże rodzaje kwadratów... osekwecja atury fraktalej...6 zory rekurecyje... Przekształcaie rekurecji...

Bardziej szczegółowo

2 n < 2n + 2 n. 2 n = 2. 2 n 2 +3n+2 > 2 0 = 1 = 2. n+2 n 1 n+1 = 2. n+1

2 n < 2n + 2 n. 2 n = 2. 2 n 2 +3n+2 > 2 0 = 1 = 2. n+2 n 1 n+1 = 2. n+1 Tekst a iebiesko jest kometarzem lub treścią zadaia. Zadaie 1. Zbadaj mootoiczość i ograiczoość ciągów. a = + 3 + 1 Ciąg jest mootoiczie rosący i ieograiczoy poieważ różica kolejych wyrazów jest dodatia.

Bardziej szczegółowo

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Techikum Nr 2 im. ge. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekoomiczych w Kaliszu Wymagaia edukacyje iezbęde do uzyskaia poszczególych śródroczych i roczych oce klasyfikacyjych z obowiązkowych zajęć

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI W ZESPOLE SZKÓŁ TECHNICZNYCH W RZESZOWIE

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI W ZESPOLE SZKÓŁ TECHNICZNYCH W RZESZOWIE Rzeszów, 0.09.04r. PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI W ZESPOLE SZKÓŁ TECHNICZNYCH W RZESZOWIE I. OGÓLNE KRYTERIA OCEN Z MATEMATYKI OCENA WYMAGANIA Oceę tę otrzymuje uczeń, którego wiedza zaczie

Bardziej szczegółowo

Damian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim.

Damian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim. Damia Doroba Ciągi. Graice, z których korzystamy. k. q.. 5. dla k > 0 dla k 0 0 dla k < 0 dla q > 0 dla q, ) dla q Nie istieje dla q ) e a, a > 0. Opis. Pierwsza z graic powia wydawać się oczywista. Jako

Bardziej szczegółowo

Informatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce!

Informatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce! Iformatyka Stosowaa-egzami z Aalizy Matematyczej Każde zadaie ależy rozwiązać a oddzielej, podpisaej kartce! y, Daa jest fukcja f (, + y, a) zbadać ciągłość tej fukcji f b) obliczyć (,) (, (, (,) c) zbadać,

Bardziej szczegółowo

MARIUSZ KAWECKI zbiór zadań dla zainteresowanego matematyką licealisty

MARIUSZ KAWECKI zbiór zadań dla zainteresowanego matematyką licealisty MARIUSZ KAWECKI zbiór zadań dla zaiteresowaego matematyką licealisty Copyright by M. Kawecki 07 Spis treści Wstęp 3. Logika w praktyce 5. Liczby i działaia 0 3. Rówaia i układy rówań 6 4. Własości fukcji

Bardziej szczegółowo

Przeczytaj, zanim zaczniesz rozwiązywać

Przeczytaj, zanim zaczniesz rozwiązywać Przeczytaj, zaim zacziesz rozwiązywać Maturzysto! Zaim rozpocziesz rozwiązywaie zadań z aszych arkuszy: Przygotuj: u Arkusz I 5 kartek papieru podaiowego w kratkę a czystopis i a brudopis; Arkusz II 5

Bardziej szczegółowo

O trzech elementarnych nierównościach i ich zastosowaniach przy dowodzeniu innych nierówności

O trzech elementarnych nierównościach i ich zastosowaniach przy dowodzeniu innych nierówności Edward Stachowski O trzech elemetarych ierówościach i ich zastosowaiach przy dowodzeiu iych ierówości Przy dowodzeiu ierówości stosujemy elemetare przejścia rówoważe, przeprowadzamy rozumowaie typu: jeżeli

Bardziej szczegółowo

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie Metrologia: miary dokładości dr iż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczeciie Miary dokładości: Najczęściej rozkład pomiarów w serii wokół wartości średiej X jest rozkładem Gaussa: Prawdopodobieństwem,

Bardziej szczegółowo

Scenariusz lekcji: Kombinatoryka utrwalenie wiadomości

Scenariusz lekcji: Kombinatoryka utrwalenie wiadomości Sceariusz lekcji: Kombiatoryka utrwaleie wiadomości 1 1. Cele lekcji a) Wiadomości Uczeń: za pojęcia: permutacja, wariacja i kombiacja, zdarzeie losowe, prawdopodobieństwo, za iezbęde wzory. b) Umiejętości

Bardziej szczegółowo

Egzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania

Egzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania zadaia Egzamiy wstępe a wyższe uczelie 003 I. Akademia Ekoomicza we Wrocławiu. Rozwiąż układ rówań Æ_ -9 y - 5 _ y = 5 _ -9 _. Dla jakiej wartości parametru a suma kwadratów rozwiązań rzeczywistych rówaia

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA 1 (MAP 1024) LISTY ZADAŃ

ANALIZA MATEMATYCZNA 1 (MAP 1024) LISTY ZADAŃ ANALIZA MATEMATYCZNA (MAP 0) LISTY ZADAŃ Listy zadań przezaczoe są dla studetów którzy program matematyki szkoły poadgimazjalej zają jedyie a poziomie podstawowym Obejmują iezbęde do dalszej auki zagadieia

Bardziej szczegółowo

Tematy zadań 2 razy 33 przykładowe zadania maturalne. Matura podstawowa

Tematy zadań 2 razy 33 przykładowe zadania maturalne. Matura podstawowa Tematy zadań razy przykładowe zadaia maturale Matura podstawowa Porówaj liczby: 54 + 5 oraz 4 W klasie jest 9 ucziów o średiej wieku 6 lat Średia wieku wzrośie o rok, jeżeli doliczy się wiek wychowawcy

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n = Rozwiązanie: Stosując wzór na wartość współczynnika dwumianowego otrzymujemy

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n = Rozwiązanie: Stosując wzór na wartość współczynnika dwumianowego otrzymujemy 12. Dowieść, że istieje ieskończeie wiele par liczb aturalych k < spełiających rówaie ( ) ( ) k. k k +1 Stosując wzór a wartość współczyika dwumiaowego otrzymujemy ( ) ( )!! oraz k k! ( k)! k +1 (k +1)!

Bardziej szczegółowo

Poradnik maturzysty matematyka

Poradnik maturzysty matematyka Barbara Kaim-Gwier, Zdzisława Hojacka Poradik maturzysty matematyka stara matura Umiejętości wymagae a pisemym egzamiie dojrzałości z matematyki dla wszystkich profili poza matematyczo-fizyczym (zestawy

Bardziej szczegółowo

1.3. Największa liczba naturalna (bez znaku) zapisana w dwóch bajtach to a) b) 210 c) d) 32767

1.3. Największa liczba naturalna (bez znaku) zapisana w dwóch bajtach to a) b) 210 c) d) 32767 Egzami maturaly z iformatyki Zadaie. (0 pkt) Każdy z puktów tego zadaia zawiera stwierdzeie lub pytaie. Zazacz (otaczając odpowiedią literę kółkiem) właściwą kotyuację zdaia lub poprawą odpowiedź. W każdym

Bardziej szczegółowo

VII MIĘDZYNARODOWA OLIMPIADA FIZYCZNA (1974). Zad. teoretyczne T3.

VII MIĘDZYNARODOWA OLIMPIADA FIZYCZNA (1974). Zad. teoretyczne T3. KOOF Szczeci: www.of.szc.pl VII MIĘDZYNAODOWA OLIMPIADA FIZYCZNA (1974). Zad. teoretycze T3. Źródło: Komitet Główy Olimpiady Fizyczej; Olimpiada Fizycza XXIII XXIV, WSiP Warszawa 1977 Autor: Waldemar Gorzkowski

Bardziej szczegółowo

I. Podzielność liczb całkowitych

I. Podzielność liczb całkowitych I Podzielość liczb całkowitych Liczba a = 57 przy dzieleiu przez pewą liczbę dodatią całkowitą b daje iloraz k = 3 i resztę r Zaleźć dzieik b oraz resztę r a = 57 = 3 b + r, 0 r b Stąd 5 r b 8, 3 więc

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi. Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Ciągi. Ćwiczeia 5.11.2012: zad. 140-173 Kolokwium r 5, 6.11.2012: materiał z zad. 1-173 Ćwiczeia 12.11.2012: zad. 174-190 13.11.2012: zajęcia czwartkowe

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI MAJ 2011 POZIOM ROZSZERZONY WYBRANE: CZĘŚĆ I. Czas pracy: 90 minut. Liczba punktów do uzyskania: 20 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI MAJ 2011 POZIOM ROZSZERZONY WYBRANE: CZĘŚĆ I. Czas pracy: 90 minut. Liczba punktów do uzyskania: 20 WPISUJE ZDAJĄCY Cetrala Komisja Egzamiacyja Arkusz zawiera iformacje prawie chroioe do mometu rozpoczęcia egzamiu. Układ graficzy CKE 2010 KOD WISUJE ZDAJĄCY ESEL Miejsce a aklejkę z kodem EGZAMIN MATURALNY Z INORMATYKI

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH POMIAR FIZYCZNY Pomiar bezpośredi to doświadczeie, w którym przy pomocy odpowiedich przyrządów mierzymy (tj. porówujemy

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 16 stron

Bardziej szczegółowo

Metody Obliczeniowe w Nauce i Technice laboratorium

Metody Obliczeniowe w Nauce i Technice laboratorium Marci Rociek Iformatyka, II rok Metody Obliczeiowe w Nauce i Techice laboratorium zestaw 1: iterpolacja Zadaie 1: Zaleźć wzór iterpolacyjy Lagrage a mając tablicę wartości: 3 5 6 y 1 3 5 6 Do rozwiązaia

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA poziom podstawowy Zbiór opracowali Irena O³tuszyk Witold Stachnik

MATEMATYKA poziom podstawowy Zbiór opracowali Irena O³tuszyk Witold Stachnik Zbiór zadañ maturalych MATEMATYKA poziom podstawowy Zbiór opracowali Irea O³tuszyk Witold Stachik Wydawictwo Szkole OMEGA Kraków 018 Copyright 018 by Wydawictwo Szkole OMEGA Projekt ok³adki: Jacek Kawa

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2016/2017 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY. Copyright by Nowa Era Sp. z o.o.

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2016/2017 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY. Copyright by Nowa Era Sp. z o.o. PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 06/07 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Zasady oceiaia rozwiązań zadań Copyright by Nowa Era Sp z oo Próby egzami maturaly z Nową Erą Uwaga: Akceptowae są wszystkie odpowiedzi

Bardziej szczegółowo

Miary położenia (tendencji centralnej) to tzw. miary przeciętne charakteryzujące średni lub typowy poziom wartości cechy.

Miary położenia (tendencji centralnej) to tzw. miary przeciętne charakteryzujące średni lub typowy poziom wartości cechy. MIARY POŁOŻENIA I ROZPROSZENIA WYNIKÓW SERII POMIAROWYCH Miary położeia (tedecji cetralej) to tzw. miary przecięte charakteryzujące średi lub typowy poziom wartości cechy. Średia arytmetycza: X i 1 X i,

Bardziej szczegółowo

Teoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =

Teoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i = Zastosowaie symboli Σ i Π do zapisu sum i iloczyów Teoria Niech a, a 2,..., a będą dowolymi liczbami. Sumę a + a 2 +... + a zapisuje się zazwyczaj w postaci (czytaj: suma od k do a k ). Zak Σ to duża grecka

Bardziej szczegółowo

Geometrycznie o liczbach

Geometrycznie o liczbach Geometryczie o liczbach Geometryczie o liczbach Łukasz Bożyk Dodatią liczbę całkowitą moża iterpretować jako pole pewej figury składającej się z kwadratów jedostkowych Te prosty pomysł pozwala w aturaly

Bardziej szczegółowo

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna Arkusz A01 2 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Liczba log 1 3 3 27 jest równa:

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16 Egzami,.6.6, godz. 9:-: Zadaie. puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z i w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej bez używaia fukcji trygoometryczych) oraz zazaczyć

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY MATEMATYKA EGZAMIN MATURALNY MATEMATYKA Poziom rozszerzoy ZBIÓR ZADAŃ Materiały pomocicze dla ucziów i auczycieli Cetrala Komisja Egzamiacyja 05 Zadaia 5 Zadaia Liczby rzeczywiste i wyrażeia algebraicze Rówaia i

Bardziej szczegółowo

I. Ciągi liczbowe. , gdzie a n oznacza n-ty wyraz ciągu (a n ) n N. spełniający warunek. a n+1 a n = r, spełniający warunek a n+1 a n

I. Ciągi liczbowe. , gdzie a n oznacza n-ty wyraz ciągu (a n ) n N. spełniający warunek. a n+1 a n = r, spełniający warunek a n+1 a n I. Ciągi liczbowe Defiicja 1. Fukcję określoą a zbiorze liczb aturalych o wartościach rzeczywistych azywamy ciągiem liczbowym. Ciągi będziemy ozaczać symbolem a ), gdzie a ozacza -ty wyraz ciągu a ). Defiicja.

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n 4n n 1

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n 4n n 1 30. Obliczyć wartość graicy ( 0 ( ( ( 4 +1 + 1 4 +3 + 4 +9 + 3 4 +7 +...+ 1 4 +3 + 1 ( ( 4 +3. Rozwiązaie: Ozaczmy sumę występującą pod zakiem graicy przez b. Zamierzamy skorzystać z twierdzeia o trzech

Bardziej szczegółowo

Metody badania zbieżności/rozbieżności ciągów liczbowych

Metody badania zbieżności/rozbieżności ciągów liczbowych Metody badaia zbieżości/rozbieżości ciągów liczbowych Ryszard Rębowski 14 grudia 2017 1 Wstęp Kluczowe pytaie odoszące się do zagadieia badaia zachowaia się ciągu liczbowego sprowadza się do sposobu opisu

Bardziej szczegółowo

Ciągi liczbowe wykład 3

Ciągi liczbowe wykład 3 Ciągi liczbowe wykład 3 dr Mariusz Grządziel semestr zimowy, r akad 204/205 Defiicja ciągu liczbowego) Ciagiem liczbowym azywamy fukcję odwzorowuja- ca zbiór liczb aturalych w zbiór liczb rzeczywistych

Bardziej szczegółowo

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI ARKUSZ 9 MATURA 2010 PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI Istrukcja dla zdajàcego POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy: 170 miut 1. Sprawdê, czy arkusz zawiera 11 stro. 2. W zadaiach od 1. do 23. sà podae

Bardziej szczegółowo

K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające

K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające Ozaczeia: *OZNACZONE ZOSTAŁY TEMATY REALIZOWANE NA OZIOMIE ROZSZERZONYM wymagaia koiecze; wymagaia podstawowe; R wymagaia rozszerzające; D wymagaia dopełiające; W wymagaia wykraczające Temat lekcji Zakres

Bardziej szczegółowo

Matematyka. Zakres podstawowy. Nawi zanie do gimnazjum. n/m Rozwi zywanie zada Zadanie domowe Dodatkowe Komunikaty Bie ce materiały

Matematyka. Zakres podstawowy. Nawi zanie do gimnazjum. n/m Rozwi zywanie zada Zadanie domowe Dodatkowe Komunikaty Bie ce materiały Lekcja 1. Lekcja orgaizacyja kotrakt Podręczik: W. Babiański, L. Chańko, D. Poczek Mateatyka. Zakres podstawowy. Wyd. Nowa Era. Zakres ateriału: Liczby rzeczywiste Wyrażeia algebraicze Rówaia i ierówości

Bardziej szczegółowo

Wymagania kl. 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Uczeń:

Wymagania kl. 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Uczeń: Wymagaia kl. 2 Zakres podstawowy i rozszerzoy Temat lekcji Zakres treści Osiągięcia uczia 1. WIELOMIANY 1. Stopień i defiicja jedomiau, dwumiau, wielomiau współczyiki pojęcie stopia jedomiau i stopia wielomiau

Bardziej szczegółowo

O liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi

O liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi O liczbach aturalych, których suma rówa się iloczyowi Lew Kurladczyk i Adrzej Nowicki Toruń UMK, 10 listopada 1998 r. Liczby aturale 1, 2, 3 posiadają szczególą własość. Ich suma rówa się iloczyowi: Podobą

Bardziej szczegółowo

3. Funkcje elementarne

3. Funkcje elementarne 3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących

Bardziej szczegółowo

Tytuł zajęć: Funkcja liniowa zajęcia dodatkowe dla gimnazjalistów Nauczyciel prowadzący: Beata Bąkała

Tytuł zajęć: Funkcja liniowa zajęcia dodatkowe dla gimnazjalistów Nauczyciel prowadzący: Beata Bąkała Szkoła Odkrywców Taletów Tytuł zajęć: Fukcja liiowa zajęcia dodatkowe dla gimazjalistów Nauczyciel prowadzący: Beata Bąkała Opis zajęć: Ucziowie w gimazjum dobrze pozają własości fukcji Ucziowie przygotowujący

Bardziej szczegółowo

I kolokwium z Analizy Matematycznej

I kolokwium z Analizy Matematycznej I kolokwium z Aalizy Matematyczej 4 XI 0 Grupa A. Korzystając z zasady idukcji matematyczej udowodić ierówość dla wszystkich N. Rozwiązaie:... 4 < + Nierówość zachodzi dla, bo 4

Bardziej szczegółowo

Pierwiastki z liczby zespolonej. Autorzy: Agnieszka Kowalik

Pierwiastki z liczby zespolonej. Autorzy: Agnieszka Kowalik Pierwiastki z liczby zespoloej Autorzy: Agieszka Kowalik 09 Pierwiastki z liczby zespoloej Autor: Agieszka Kowalik DEFINICJA Defiicja : Pierwiastek z liczby zespoloej Niech będzie liczbą aturalą. Pierwiastkiem

Bardziej szczegółowo

Definicja interpolacji

Definicja interpolacji INTERPOLACJA Defiicja iterpolacji Defiicja iterpolacji 3 Daa jest fukcja y = f (x), x[x 0, x ]. Zamy tablice wartości tej fukcji, czyli: f ( x ) y 0 0 f ( x ) y 1 1 Defiicja iterpolacji Wyzaczamy fukcję

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I ANALIZA DANYCH

STATYSTYKA I ANALIZA DANYCH TATYTYKA I ANALIZA DANYCH Zad. Z pewej partii włókie weły wylosowao dwie próbki włókie, a w każdej z ich zmierzoo średicę włókie różymi metodami. Otrzymao astępujące wyiki: I próbka: 50; średia średica

Bardziej szczegółowo

Stwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).

Stwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic). Materiały dydaktycze Aaliza Matematycza Wykład Ciągi liczbowe i ich graice. Graice ieskończoe. Waruek Cauchyego. Działaia arytmetycze a ciągach. Podstawowe techiki obliczaia graic ciągów. Istieie graic

Bardziej szczegółowo

Konspekt lekcji (Kółko matematyczne, kółko przedsiębiorczości)

Konspekt lekcji (Kółko matematyczne, kółko przedsiębiorczości) Kospekt lekcji (Kółko matematycze, kółko przedsiębiorczości) Łukasz Godzia Temat: Paradoks skąpej wdowy. O procecie składaym ogólie. Czas lekcji 45 miut Cele ogóle: Uczeń: Umie obliczyć procet składay

Bardziej szczegółowo

Trzeba pokazać, że dla każdego c 0 c Mc 0. ) = oraz det( ) det( ) det( ) jest macierzą idempotentną? Proszę odpowiedzieć w

Trzeba pokazać, że dla każdego c 0 c Mc 0. ) = oraz det( ) det( ) det( ) jest macierzą idempotentną? Proszę odpowiedzieć w Zad Dae są astępujące macierze: A =, B, C, D, E 0. 0 = = = = 0 Wykoaj astępujące działaia: a) AB, BA, C+E, DE b) tr(a), tr(ed), tr(b) c) det(a), det(c), det(e) d) A -, C Jeśli działaia są iewykoale, to

Bardziej szczegółowo

MINIMALIZACJA PUSTYCH PRZEBIEGÓW PRZEZ ŚRODKI TRANSPORTU

MINIMALIZACJA PUSTYCH PRZEBIEGÓW PRZEZ ŚRODKI TRANSPORTU Przedmiot: Iformatyka w logistyce Forma: Laboratorium Temat: Zadaie 2. Automatyzacja obsługi usług logistyczych z wykorzystaiem zaawasowaych fukcji oprogramowaia Excel. Miimalizacja pustych przebiegów

Bardziej szczegółowo

ZADANIA ZAMKNIĘTE. Zadanie 1. (1 pkt) Wartość wyrażenia. b dla a 2 3 i b 2 3 jest równa A B. 5 C. 6 D Zadanie 2.

ZADANIA ZAMKNIĘTE. Zadanie 1. (1 pkt) Wartość wyrażenia. b dla a 2 3 i b 2 3 jest równa A B. 5 C. 6 D Zadanie 2. Zachęcam do samodzielej prac z arkuszem diagostczm. Pozaj swoje moce i słabe stro, a astępie popracuj ad słabmi. Żczę przjemego rozwiązwaia zadań. Zadaie. ( pkt) Wartość wrażeia a ZADANIA ZAMKNIĘTE b dla

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejkę z kodem (Wpisuje zdający przed rozpoczęciem pracy) KOD ZDAJĄCEGO PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Arkusz II (dla poziomu rozszerzonego) ARKUSZ II GRUDZIEŃ ROK 2004 Instrukcja dla

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATUR pola do tego przeznaczone. Błędne

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATUR pola do tego przeznaczone. Błędne 1 MATEMATYKA - poziom podstawowy klasa 2 CZERWIEC 2015 Instrukcja dla zdaj cego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 17 stron. 2. Rozwiązania zadań i odpowiedzi zamieść w miejscu na to

Bardziej szczegółowo

STATYSTYCZNA OCENA WYNIKÓW POMIARÓW.

STATYSTYCZNA OCENA WYNIKÓW POMIARÓW. Statytycza ocea wyików pomiaru STATYSTYCZNA OCENA WYNIKÓW POMIARÓW CEL ĆWICZENIA Celem ćwiczeia jet: uświadomieie tudetom, że każdy wyik pomiaru obarczoy jet błędem o ie zawze zaej przyczyie i wartości,

Bardziej szczegółowo

zadań z pierwszej klasówki, 10 listopada 2016 r. zestaw A 2a n 9 = 3(a n 2) 2a n 9 = 3 (a n ) jest i ograniczony. Jest wiec a n 12 2a n 9 = g 12

zadań z pierwszej klasówki, 10 listopada 2016 r. zestaw A 2a n 9 = 3(a n 2) 2a n 9 = 3 (a n ) jest i ograniczony. Jest wiec a n 12 2a n 9 = g 12 Rozwiazaia zadań z pierwszej klasówki, 0 listopada 06 r zestaw A Ciag a ) jest zaday rekuryjie: a a, a + a a 9, a R, a

Bardziej szczegółowo

c 2 + d2 c 2 + d i, 2

c 2 + d2 c 2 + d i, 2 3. Wykład 3: Ciało liczb zespoloych. Twierdzeie 3.1. Niech C R. W zbiorze C określamy dodawaie: oraz możeie: a, b) + c, d) a + c, b + d) a, b) c, d) ac bd, ad + bc). Wówczas C, +, ) jest ciałem, w którym

Bardziej szczegółowo

I Liceum Ogólnokształcące w Warszawie

I Liceum Ogólnokształcące w Warszawie I Liceum Ogólnokształcące w Warszawie Imię i Nazwisko Klasa Nauczyciel PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Liczba punktów Wynik procentowy Informacje dla ucznia 1 Sprawdź, czy zestaw

Bardziej szczegółowo

Metoda analizy hierarchii Saaty ego Ważnym problemem podejmowania decyzji optymalizowanej jest często występująca hierarchiczność zagadnień.

Metoda analizy hierarchii Saaty ego Ważnym problemem podejmowania decyzji optymalizowanej jest często występująca hierarchiczność zagadnień. Metoda aalizy hierarchii Saaty ego Ważym problemem podejmowaia decyzji optymalizowaej jest często występująca hierarchiczość zagadień. Istieje wiele heurystyczych podejść do rozwiązaia tego problemu, jedak

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie 1. Matematyka poziom podstawowy Wyznaczanie wartości funkcji dla danych argumentów i jej miejsca zerowego. Zdający

Bardziej szczegółowo

BADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI

BADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI StatSoft Polska, tel. () 484300, (60) 445, ifo@statsoft.pl, www.statsoft.pl BADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI ZA POMOCĄ ANALIZY ROZKŁADÓW Agieszka Pasztyła Akademia Ekoomicza w Krakowie, Katedra Statystyki;

Bardziej szczegółowo

KURS MATURA PODSTAWOWA

KURS MATURA PODSTAWOWA KURS MATURA PODSTAWOWA LEKCJA 5 Ciągi ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Stroa 1 Część 1: TEST Zazacz poprawą odpowiedź (tylko jeda jest prawdziwa). Pytaie 1 Piąty wyraz ciągu liczbowego o wzorze a a) 5 b)

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA

Ćwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA Aaliza iepewości pomiarowych w esperymetach fizyczych Ćwiczeia rachuowe TEST ZGODNOŚCI χ PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA UWAGA: Na stroie, z tórej pobrałaś/pobrałeś istrucję zajduje się gotowy do załadowaia arusz

Bardziej szczegółowo

Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych

Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych Podstawy opracowaia wyików pomiarów z elemetami aalizepewości pomiarowych w zakresie materiału przedstawioego a wykładzie orgaizacyjym Pomiary Wyróżiamy dwa rodzaje pomiarów: pomiar bezpośredi, czyli doświadczeie,

Bardziej szczegółowo