Sterowanie predykcyjne systemami nieliniowymi Algorytmy z adaptacją wskaźnika jakości
|
|
- Janina Janiszewska
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Sterowanie predykcyjne systemami nieliniowymi Algorytmy z adaptacją wskaźnika jakości Piotr Bania Akademia Górniczo-Hutnicza Katedra Automatyki pba@ia.agh.edu.pl Seminarium Polskiego Towarzystwa Matematycznego, Kraków Maj 2007
2 Sterowanie predykcyjne stanowi przedmiot bardzo intensywnych badań Google Model predictive control (MPC) odnośników Nonlinear model predictive control (NMPC) odnośników Receding horizon control (RHC) odnośników Sterowanie predykcyjne" 264 odnośniki Regulacja predykcyjna" 243 odnośniki Piotr Bania - Sterowanie predykcyjne systemami nieliniowymi - Seminarium PTM Kraków Maj 2007
3 Czym jest sterowanie predykcyjne? Sterowanie predykcyjne (MPC model predictive control lub RHC receding horizon control) jest metodą sterowania systemami dynamicznymi, polegającą na cyklicznym rozwiązywaniu odpowiednio sformułowanego zadania sterowania optymalnego (ZSO). Początkowa część rozwiązania (funkcji sterującej) podawana jest na wejścia obiektu, po czym całą procedurę powtarza się dla nowego aktualnie wyznaczonego stanu obiektu. x &( t) = f ( x( t), u( t)) U System x( t) m = { u R ; u u umax, umin < 0, umax X n R u( t) U min > 0} 0 X Prawa strona ciągła, spełnia globalny warunek Lipschitza, f(0,0)=0, Wskaźnik jakości J i t + T i i i i i ( u, Ti, x( ti )) = L( x, u ) dt + q( x ( ti + Ti )) t i i Ograniczenia na stan końcowy x ( i t i + T ) Ω Zbiór dopuszczalnych stanów końcowych Piotr Bania - Sterowanie predykcyjne systemami nieliniowymi - Seminarium PTM Kraków Maj 2007
4 Uzasadnienie sterowania predykcyjnego Regulator optymalny u=k(x) moŝna wyznaczyć na drodze rozwiązania równania Hamiltona-Jacobiego-Bellmana, jednakŝe znalezienie rozwiązania jest praktycznie niemoŝliwe dla bardziej skomplikowanych zadań z ograniczeniami. (Mayne et. al. 2000) Znacznie łatwiejsze jest cykliczne rozwiązywanie zadania sterowania optymalnego ze skończonym horyzontem przy zadanym warunku początkowym. (Mayne et. al. 2000) Piotr Bania - Sterowanie predykcyjne systemami nieliniowymi - Seminarium PTM Kraków Maj 2007
5 Rozwój algorytmów predykcyjnych Pierwsze wzmianki Lee and Markus1967 Foundations of optimal control theory Kalman1960 optimality does not imply stability ale po wprowadzeniu twardych ograniczeń na stan końcowy moŝna uzyskać stabilny regulator Pakiet IDCOM (identification and command) model linowy dyskretny w postaci odpowiedzi imulsowej i kwadratowa funkcja kosztu Richalet et al DMC Dynamic Matrix Control; Culter&Ramaker 1980, Prett&Gilette 1980 model liniowy dyskretny w postaci odpowiedzi skokowej, ograniczenia stanu i sterowania QDMC Quadratic Dynamic Matrix Control, zadanie programowania kwadratowego z uwzględnieniem ograniczeń stanu i sterowania, model liniowy dyskretny w czasie Garcia & Morshedi 1986 GPC generalized predictive control Clarke & Mothadi 1987 model linowy dyskretny w postaci transmitancji z uwzględnieniem zakłóceń i estymacją parametrów na bieŝąco Piotr Bania - Sterowanie predykcyjne systemami nieliniowymi - Seminarium PTM Kraków Maj 2007
6 W systemach z czasem ciagłym przełom nastapił po opublikowaniu w 1990 r. artykułu Mayne & Michalska 1990 Receding Horizon Control of Non-linear Systems ograniczenia stanu końcowego, nieliniowy model obiektu w postaci układu równań róŝniczkowych, Quasi infinity horizon model predictive control Chen & Algöwer 1998 Model nielinowy w postaci równań róŝniczkowych, kwadratowy wskaźnik jakości, funkcja kary za niespełnienie warunku końcowego, wskaźnik jakości wybrany tak aby dobrze oszacować koszt dla zadania z nieskończonym horyzontem Suboptimal Model Predictive Control (Feasibility Implies Stability) Scokaert, Mayne, Rao 1999 nielinowe systemy dyskretne, suboptymalne sterowania dopuszczalne pozwalają uzyskać stabilność Bania 2007 QTO-RHC Quasi Time Optimal Receding Horizon Control suboptymalny algorytm predykcyjny dla systemów ciągłych w czasie dla zadań czasooptymalnych Piotr Bania - Sterowanie predykcyjne systemami nieliniowymi - Seminarium PTM Kraków Maj 2007
7 Zastosowania algorytmów predykcyjnych Przemysł chemiczny, petrochemiczny, metalurgia Lotnictwo Robotyka Loty kosmiczne Qin & Badgwel 1997 An overview of industrial model predictive control technology Morari & Lee 1999 Model predictive control : Past, present and and future Mayne et al Constrained model predictive control: Stability and optimality Tatjewski P Sterowanie zawansowane obiektów przemysłowych Maciejowski J. M Predictive control Piotr Bania - Sterowanie predykcyjne systemami nieliniowymi - Seminarium PTM Kraków Maj 2007
8
9
10 Przykład Utrata stabilności. Weźmy prosty system liniowy (niestabilny) Niestabilność w sterowaniu predykcyjnym x& ( t) = x( t) + u( t), x( t), u( t) R, x(0) = x0, t 0. (1.1.5) Piotr Bania - Sterowanie predykcyjne systemami nieliniowymi - Seminarium PTM Kraków Maj 2007
11 Wnioski z przykładów 1. Sterowanie i trajektoria składają się z kawałków sterowań i trajektorii będących rozwiązaniami kolejnych ZSO. 2. Rozwiązanie uzyskane po zamknięciu sprzęŝenia zwrotnego moŝe być istotnie róŝne od rozwiązania problemu sterowania w chwili początkowej. 3. WydłuŜenie horyzontu sterowania powoduje, Ŝe trajektoria systemu zamkniętego zbliŝa się do optymalnej trajektorii uzyskanej w chwili początkowej 4. Skracanie horyzontu z lewej strony powoduje Ŝe trajektoria systemu zamkniętego jest równa optymalnej trajektorii uzyskanej w chwili początkowej (przy braku zakłóceń). 5. Rozwiązania kolejnych problemów ZSO mogą się od siebie znacznie róŝnić RóŜnice pomiędzy rozwiązaniami kolejnych ZSO stają się pomijalnie małe przy odpowiednim wyborze horyzontu T i liczby ρ. 6. Zbyt krótki horyzont moŝe spowodować utratę stabilności. 7. Wprowadzenie funkcji kary za niespełnienie warunku końcowego pozwala ustabilizować system nawet przy krótkich horyzontach. Piotr Bania - Sterowanie predykcyjne systemami nieliniowymi - Seminarium PTM Kraków Maj 2007
12 Cel badań Skonstruować uniwersalny stabilny i odporny algorytm sterowania predykcyjnego umoŝliwiający realizację zadań: Sterowania czasooptymalnego, Sterowania docelowego, Stabilizacji po osiągnięciu otoczenia celu, przy moŝliwie niskim nakładzie obliczeń. Uzasadnienie Algorytmy predykcyjne były zwykle stosowane do stabilizacji systemów nieliniowych. Przedstawiony cel badań stanowi znaczące poszerzenie zakresu stosowalności algorytmów predykcyjnych i nie był dotychczas analizowany w literaturze. Piotr Bania - Sterowanie predykcyjne systemami nieliniowymi - Seminarium PTM Kraków Maj 2007
13 A. Wymagania sztywne 1. Stabilność ( w odpowiednim sensie) 2. Odporność (w odpowiednim sensie) B. Sterowanie czasooptymalne (docelowe) i stabilizacja są trudne do pogodzenia w jednym algorytmie Sterowanie optymalne i docelowe 1. Celem jest osiągnięcie zadanego stanu końcowego 2. DuŜa wraŝliwość rozwiązań optymalnych 3. Zadanie ze skończonym horyzontem 4. Na ogół nie implikuje stabilności AP (Kalman 1960) optimality does not implies stability) Stabilizacja Celem jest minimalizacja odchyłek stanu w otoczeniu punktu równowagi Synteza regulatora na podstawie lokalnego modelu linowego, mniejsza wraŝliwość na zakłócenia Na ogół nieskończony horyzont sterowania Przy nieskończonym horyzoncie implikuje stabilność AP. Piotr Bania - Sterowanie predykcyjne systemami nieliniowymi - Seminarium PTM Kraków Maj 2007
14 Adaptacja wskaźnika jakości: Doprowadzić system do otoczenia celu i stopniowo zmieniać strategię sterowania włączając do wskaźnika jakości składnik stabilizujący (np. całka z kwadratu odchyłek stanu) Start adaptacji gdy trajektoria osiąga zbiór B Strategia stabilizacji i X(t+ T) i i Ω * X(t) i * X(t ) B Strategia czasooptymalna lub docelowa Piotr Bania - Sterowanie predykcyjne systemami nieliniowymi - Seminarium PTM Kraków Maj 2007 i-1
15 C. Minimalizacja nakładu obliczeń PODSTAWOWY PROBLEM Zadanie sterowania optymalnego musi być rozwiązywane on-line co czas δ!!! Wniosek NaleŜy wykorzystać rozwiązania suboptymalne do redukcji nakładu obliczeń oraz maksymalnie uprościć zadanie sterowania optymalnego Piotr Bania - Sterowanie predykcyjne systemami nieliniowymi - Seminarium PTM Kraków Maj 2007
16 Zadanie oryginalne Sterowanie optymalne z punktu do punktu Zadanie przekształcone Suboptymalne sterowanie dopuszczalne, z punktu do zbioru końcowego. DuŜy nakład obliczeń, zadanie nieskończenie wymiarowe niepotrzebne iteracje pod koniec procesu optymalizacji, ale gwarantowana stabilność. Redukcja nakładu obliczeń, prostszy problem sterowania, moŝliwość przerwania obliczeń po znalezieniu rozwiązania dopuszczalnego. Niskowymiarowa parametryzacja sterowania za pomocą wielomianów trzeciego stopnia. Czy sterowania suboptymalne zachowują stabilność i odporność? Piotr Bania - Sterowanie predykcyjne systemami nieliniowymi - Seminarium PTM Kraków Maj 2007
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28 Lemat Zachodzi implikacja WS1 WS3. Piotr Bania - Sterowanie predykcyjne systemami nieliniowymi - Seminarium PTM Kraków Maj 2007
29
30 Wpływ zakłóceń Przewidywana poprawa przy braku zakłóceń Rozwiązania zmierzają do kuli K(0,R(ε)) i pozostają w tej kuli, Promień kuli jest tym mniejszy im mniejsze są zakłócenia Piotr Bania - Sterowanie predykcyjne systemami nieliniowymi - Seminarium PTM Kraków Maj 2007
31
32
33 Wnioski Stosowanie rozwiązań suboptymalnych nie narusza stabilności i odporności algorytmu predykcyjnego Procedura Π moŝe zakończyć obliczenia gdy W praktyce optymalizujemy aŝ do wyczerpania limitu czasu Piotr Bania - Sterowanie predykcyjne systemami nieliniowymi - Seminarium PTM Kraków Maj 2007
34 Algorytm QTO-RHC (Quasi Time Optimal Receding Horizon Control ) Zmienna strategia sterowania Ograniczenie stanu końcowego jest realizowane przez dobór współczynnika kary ρ. Adaptacja wskaźnika jakości, regularne przejście od sterowania czasooptymalnego do stabilizacji Piotr Bania - Sterowanie predykcyjne systemami nieliniowymi - Seminarium PTM Kraków Maj 2007
35
36 W początkowej fazie sterowanie jest zbliŝone do czasooptymalnego; Po osiągnięciu zbioru B (zadawanego przez uŝytkownika) rozpoczyna się adaptacja wskaźnika jakości, algorytm przechodzi do fazy stabilizacji zwiększając współczynnik εi i włączając do wskaźnika jakości człon stabilizujący; Horyzont zmierza do wartości minimalnej Tmin; Wskaźnik jakości zmierza do zera; Współczynnik kary ρ ulega zmianie co najwyŝej raz; JeŜeli funkcja podcałkowa we wskaźniku jakości jest kwadratowa i prawa strona równań stanu jest afiniczna względem sterowania, to sterowania generowane przez algorytm zmierzają do rozwiązań problemu liniowo kwadratowego ze skończonym horyzontem sterowania dla systemu zlinearyzowanego w otoczeniu zera. Regulator zmierza asymptotycznie do regulatora LQ Piotr Bania - Sterowanie predykcyjne systemami nieliniowymi - Seminarium PTM Kraków Maj 2007
37 Algorytm optymalizacji MSE - Monotone Structural Evolution (Korytowski, Szymkat, Turnau) Algorytm MSE jest bezpośrednią metodą rozwiązywania zadań sterowania optymalnego dla systemów opisywanych równaniami róŝniczkowymi zwyczajnymi przy ograniczeniach stanu i sterowania. Struktura sterowania: łuki graniczne, wewnętrzne, singularne oraz punkty podziału Łuk graniczny : wartość sterowania i końce przedziału, 2 parametry; Łuk wewnętrzny: wielomian stopnia 1 lub 3 oraz końce przedziału max. 6 parametów; Łuk singularny: us(x,ψ) końce przedziału, dwa parametry ; Piotr Bania - Sterowanie predykcyjne systemami nieliniowymi - Seminarium PTM Kraków Maj 2007
38 Przy ustalonej strukturze sterowania poszukuje się metodami gradientowymi (BFGS) minimum wskaźnika jakości Q(p), gdzie p jest wektorem parametrów sterowania Gradient wskaźnika jakości wylicza się na drodze numerycznego całkowania równań stanu i równań sprzęŝonych W trakcie optymalizacji wywoływane są procedury generacji i redukcji Generacja szpilkowa wstawienie nowego krótkiego łuku Generacja jednowęzłowa wstawienie nowego węzła Generacja płaska wstawienie łuku wewnętrznego na łuku granicznym Generacja wielomianowa zwiększenie o 2 stopnia wielomianu opisującego dany łuk wewnętrzny Efektywność generacji: Przyrost kwadratu normy gradientu przed i po generacji Warunki generacji czy dana generacja jest dopuszczalna i minimalnie efektywna Po generacji następuje zmiana struktury sterowania i zmiana wymiaru przestrzeni decyzyjnej Proces poszukiwania kontynuuje się w nowej przestrzeni aŝ do następnej generacji bądź spełnienia warunków koniecznych optymalności Procedury redukcji usuwanie łuków o zerowej długości zmiana struktury Piotr Bania - Sterowanie predykcyjne systemami nieliniowymi - Seminarium PTM Kraków Maj 2007
39 Przykład generacji szpilkowej 1. Sterowanie początkowe oraz antygradient wskaźnika jakości 2. Generacja szpilkowa na drugim sterowaniu 3. W następnej iteracji nowy łuk poszerza się 4. Po kilkunastu iteracjach wystąpiła redukcja pierwszego łuku oraz generacja nowego łuku granicznego na końcu Piotr Bania - Sterowanie predykcyjne systemami nieliniowymi - Seminarium PTM Kraków Maj 2007
40 Przykład generacji jednowęzłowej 1. Sterowanie tuŝ przed generacją 2. Efektywność generacji jednowęzłowej 3. Wstawienie nowego węzła w punkcie o maksymalnej efktywności Piotr Bania - Sterowanie predykcyjne systemami nieliniowymi - Seminarium PTM Kraków Maj 2007
41 Własności metody MSE Niski wymiar przestrzeni decyzyjnej zwykle <100 dobierany dynamicznie w trakcie procesu optymalizacji Szybka zbieŝność w porównaniu z metodą strzałów Wskaźnik jakości monotonicznie maleje w kolejnych iteracjach MoŜliwość zastosowania w czasie rzeczywistym Wada duŝy nakład pracy analitycznej wyznaczenie równań sprzęŝonych i wzorów na sterowania singularne Przy większej liczbie sterowań (>4) znacząco rośnie nakład obliczeń Piotr Bania - Sterowanie predykcyjne systemami nieliniowymi - Seminarium PTM Kraków Maj 2007
42
43
44 Kąt wahadła PołoŜenie wózka Piotr Bania - Sterowanie predykcyjne systemami nieliniowymi - Seminarium PTM Kraków Maj 2007
45
46
47
48
49 Porównanie z regulatorem LQ Pokaz Piotr Bania - Sterowanie predykcyjne systemami nieliniowymi - Seminarium PTM Kraków Maj 2007
50
51
52
53
54
55
56
57 Pokaz
58
59
60 Maksymalizacja stosunku masy końcowej do początkowej Piotr Bania - Sterowanie predykcyjne systemami nieliniowymi - Seminarium PTM Kraków Maj 2007
61 Pokaz
62 Dziękuję za uwagę Piotr Bania - Sterowanie predykcyjne systemami nieliniowymi - Seminarium PTM Kraków Maj 2007
1. Podstawowe pojęcia
1. Podstawowe pojęcia Sterowanie optymalne obiektu polega na znajdowaniu najkorzystniejszej decyzji dotyczącej zamierzonego wpływu na obiekt przy zadanych ograniczeniach. Niech dany jest obiekt opisany
Bardziej szczegółowoSterowanie optymalne
Sterowanie optymalne Sterowanie Procesami Ciągłymi 2017 Optymalizacja statyczna funkcji Funkcja celu/kryterialna/kosztów Ograniczenie Q(x) min x x = arg min Q(x) x x X, gdzie X zbiór rozwiązań dopuszczalnych
Bardziej szczegółowoZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA
ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA DYNAMICZNYCH LOKAT KAPITAŁOWYCH Krzysztof Gąsior Uniwersytet Rzeszowski Streszczenie Celem referatu jest zaprezentowanie praktycznego zastosowania
Bardziej szczegółowoModel Predictive Control
Model Predictive Control podstawy Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Opracowanie: dr inż. Tomasz Rutkowski Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 2014/2015 1 Plan wykładu Część I:
Bardziej szczegółowoSterowanie napędów maszyn i robotów
Wykład 7b - Układy wieloobwodowe ze sprzężeniem od zmiennych stanu Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2014 Układy wieloobwodowe ze sprzężeniem od zmiennych stanu Zadanie przestawiania Postać modalna
Bardziej szczegółowoModel Predictive Control podstawy
Model Predictive Control podstawy Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Opracowanie: dr inż. Tomasz Rutkowski Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 2015/2016 1 Plan wykładu Część I:
Bardziej szczegółowoPolitechnika Warszawska Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych Instytut Podstaw Budowy Maszyn Zakład Mechaniki
Politechnika Warszawska Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych Instytut Podstaw Budowy Maszyn Zakład Mechaniki http://www.ipbm.simr.pw.edu.pl/ Teoria maszyn i podstawy automatyki semestr zimowy 206/207
Bardziej szczegółowoCyfrowe algorytmy sterowania AR S1 semestr 4 Projekt 4
Cyfrowe algorytmy sterowania AR S1 semestr 4 Projekt 4 MPC Sterowanie predykcyjne Cel: Poznanie podstaw regulacji predykcyjnej i narzędzi do badań symulacyjnych Wykonali: Konrad Słodowicz Patryk Frankowski
Bardziej szczegółowo1. Cel projektu. Sprawdzić wpływ ograniczeń sygnału sterującego oraz ograniczeń przyrostów sygnału sterującego.
1. Cel projektu. Przeprowadzić badania symulacyjne układu regulacji z liniowym regulatorem predykcyjnym GPC oraz obiektem G(s) z zadania nr 1, dla skokowej zmiany wartości zadanej z 0 na 0.5. Jako model
Bardziej szczegółowoPolitechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie
Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Wyznacz transformaty Laplace a poniższych funkcji, korzystając z tabeli transformat: a) 8 3e 3t b) 4 sin 5t 2e 5t + 5 c) e5t e
Bardziej szczegółowoInżynieria Systemów Dynamicznych (4)
Inżynieria Systemów Dynamicznych (4) liniowych (układów) Piotr Jacek Suchomski Katedra Systemów Automatyki WETI, Politechnika Gdańska 2 grudnia 2010 O czym będziemy mówili? 1 2 WE OKREŚLO 3 ASYMPTO 4 DYNAMICZ
Bardziej szczegółowoSchemat programowania dynamicznego (ang. dynamic programming)
Schemat programowania dynamicznego (ang. dynamic programming) Jest jedną z metod rozwiązywania problemów optymalizacyjnych. Jej twórcą (1957) był amerykański matematyk Richard Ernest Bellman. Schemat ten
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 7 - Jakość układu regulacji. Dobór nastaw regulatorów PID. dr inż. Jakub Możaryn. Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 7 - Jakość układu regulacji. Dobór nastaw regulatorów PID Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Jakość układu regulacji Oprócz wymogu stabilności asymptotycznej, układom regulacji stawiane
Bardziej szczegółowoBadanie stabilności liniowych układów sterowania
Badanie stabilności liniowych układów sterowania ver. 26.2-6 (26-2-7 4:6). Badanie stabilności liniowych układów sterowania poprzez analizę równania charakterystycznego. Układ zamknięty liniowy i stacjonarny
Bardziej szczegółowoProgramowanie celowe #1
Programowanie celowe #1 Problem programowania celowego (PC) jest przykładem problemu programowania matematycznego nieliniowego, który można skutecznie zlinearyzować, tzn. zapisać (i rozwiązać) jako problem
Bardziej szczegółowoStabilność II Metody Lapunowa badania stabilności
Metody Lapunowa badania stabilności Interesuje nas w sposób szczególny system: Wprowadzamy dla niego pojęcia: - stabilności wewnętrznej - odnosi się do zachowania się systemu przy zerowym wejściu, czyli
Bardziej szczegółowoUKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia I stopnia rok akademicki 2011/2012 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Uwagi wstępne Układ liniowych równań algebraicznych można
Bardziej szczegółowoPolitechnika Warszawska Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych Instytut Podstaw Budowy Maszyn Zakład Mechaniki
Politechnika Warszawska Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych Instytut Podstaw Budowy Maszyn Zakład Mechaniki http://www.ipbm.simr.pw.edu.pl/ Teoria maszyn i podstawy automatyki semestr zimowy 207/208
Bardziej szczegółowoAutomatyka i robotyka
Automatyka i robotyka Wykład 5 - Stabilność układów dynamicznych Wojciech Paszke Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych, Uniwersytet Zielonogórski 1 z 43 Plan wykładu Wprowadzenie Stabilność modeli
Bardziej szczegółowoA B. Modelowanie reakcji chemicznych: numeryczne rozwiązywanie równań na szybkość reakcji chemicznych B: 1. da dt. A v. v t
B: 1 Modelowanie reakcji chemicznych: numeryczne rozwiązywanie równań na szybkość reakcji chemicznych 1. ZałóŜmy, Ŝe zmienna A oznacza stęŝenie substratu, a zmienna B stęŝenie produktu reakcji chemicznej
Bardziej szczegółowoINTELIGENTNE SYSTEMY STEROWANIA OPRACOWANIE
Arkadiusz Kwiatkowski INTELIGENTNE SYSTEMY STEROWANIA OPRACOWANIE Nie biorę odpowiedzialności za skutki błędów zawartych w opracowaniu. 1. Schemat inteligentnego sensora inteligentny sensor zintegrowany
Bardziej szczegółowoOptymalizacja ciągła
Optymalizacja ciągła 5. Metoda stochastycznego spadku wzdłuż gradientu Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 04.04.2019 1 / 20 Wprowadzenie Minimalizacja różniczkowalnej
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Stabilność O układzie możemy mówić, że jest stabilny gdy układ ten wytrącony ze stanu równowagi
Bardziej szczegółowoPolitechnika Warszawska Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych Instytut Podstaw Budowy Maszyn Zakład Mechaniki
Politechnika Warszawska Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych Instytut Podstaw Budowy Maszyn Zakład Mechaniki http://www.ipbm.simr.pw.edu.pl/ Teoria maszyn i podstawy automatyki semestr zimowy 207/208
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Stabilność - definicja 1 O układzie możemy mówić, że jest stabilny gdy wytrącony ze stanu równowagi
Bardziej szczegółowo4. UKŁADY II RZĘDU. STABILNOŚĆ. Podstawowe wzory. Układ II rzędu ze sprzężeniem zwrotnym Standardowy schemat. Transmitancja układu zamkniętego
4. UKŁADY II RZĘDU. STABILNOŚĆ Podstawowe wzory Układ II rzędu ze sprzężeniem zwrotnym Standardowy schemat (4.1) Transmitancja układu zamkniętego częstotliwość naturalna współczynnik tłumienia Odpowiedź
Bardziej szczegółowoDefinicja problemu programowania matematycznego
Definicja problemu programowania matematycznego minimalizacja lub maksymalizacja funkcji min (max) f(x) gdzie: x 1 x R n x 2, czyli: x = [ ] x n przy ograniczeniach (w skrócie: p.o.) p.o. g i (x) = b i
Bardziej szczegółowoKADD Minimalizacja funkcji
Minimalizacja funkcji Poszukiwanie minimum funkcji Foma kwadratowa Metody przybliżania minimum minimalizacja Minimalizacja w n wymiarach Metody poszukiwania minimum Otaczanie minimum Podział obszaru zawierającego
Bardziej szczegółowoVII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 7 - obiekty regulacji. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 7 - obiekty regulacji Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2018 Obiekty regulacji Obiekt regulacji Obiektem regulacji nazywamy proces technologiczny podlegający oddziaływaniu zakłóceń, zachodzący
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne I Równania nieliniowe
Metody numeryczne I Równania nieliniowe Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/66 Równania nieliniowe 1. Równania nieliniowe z pojedynczym pierwiastkiem
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych. Ax = b (1)
Układy równań liniowych Dany jest układ m równań z n niewiadomymi. Liczba równań m nie musi być równa liczbie niewiadomych n, tj. mn. a a... a b n n a a... a b n n... a a... a b m m mn n m
Bardziej szczegółowoPolitechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra InŜynierii Systemów Sterowania Podstawy Automatyki
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra InŜynierii Systemów Sterowania Podstawy Automatyki Stabilność systemów sterowania kryterium Nyquist a Materiały pomocnicze do ćwiczeń termin
Bardziej szczegółowo1. POJĘCIA PODSTAWOWE I RODZAJE UKŁADÓW AUTOMATYKI
Podstawy automatyki / Józef Lisowski. Gdynia, 2015 Spis treści PRZEDMOWA 9 WSTĘP 11 1. POJĘCIA PODSTAWOWE I RODZAJE UKŁADÓW AUTOMATYKI 17 1.1. Automatyka, sterowanie i regulacja 17 1.2. Obiekt regulacji
Bardziej szczegółowo11. 11. OPTYMALIZACJA KONSTRUKCJI
11. OPTYMALIZACJA KONSTRUKCJI 1 11. 11. OPTYMALIZACJA KONSTRUKCJI 11.1. Wprowadzenie 1. Optymalizacja potocznie i matematycznie 2. Przykład 3. Kryterium optymalizacji 4. Ograniczenia w zadaniach optymalizacji
Bardziej szczegółowoZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO W ZAGADNIENIACH WSPOMAGANIA PROCESU PODEJMOWANIA DECYZJI
Wstęp ZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO W ZAGADNIENIACH WSPOMAGANIA PROCESU PODEJMOWANIA DECYZJI Problem podejmowania decyzji jest jednym z zagadnień sterowania nadrzędnego. Proces podejmowania decyzji
Bardziej szczegółowoFLAC Fast Lagrangian Analysis of Continua
FLAC Fast Lagrangian Analysis of Continua Program FLAC jest oparty o metodę róŝnic skończonych. Metoda RóŜnic Skończonych (MRS) jest chyba najstarszą metodą numeryczną. W metodzie tej kaŝda pochodna w
Bardziej szczegółowoALGORYTMY EWOLUCYJNE W OPTYMALIZACJI JEDNOKRYTERIALNEJ
ALGORYTMY EWOLUCYJNE W OPTYMALIZACJI JEDNOKRYTERIALNEJ Zalety: nie wprowadzają żadnych ograniczeń na sformułowanie problemu optymalizacyjnego. Funkcja celu może być wielowartościowa i nieciągła, obszar
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24)
Podstawy Automatyki wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak Politechnika Wrocławska Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24) Laboratorium Podstaw Automatyzacji (L6) 105/2 B1 Sprawy organizacyjne
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 1 Zadanie Definicja 1.1. (zadanie) Zadaniem nazywamy zagadnienie znalezienia rozwiązania x spełniającego równanie F (x, d) = 0, gdzie d jest zbiorem danych (od których zależy rozwiązanie x), a F
Bardziej szczegółowoDefinicja pochodnej cząstkowej
1 z 8 gdzie punkt wewnętrzny Definicja pochodnej cząstkowej JeŜeli iloraz ma granicę dla to granicę tę nazywamy pochodną cząstkową funkcji względem w punkcie. Oznaczenia: Pochodną cząstkową funkcji względem
Bardziej szczegółowoTematyka egzaminu z Podstaw sterowania
Tematyka egzaminu z Podstaw sterowania Rafał Trójniak 6 września 2009 Spis treści 1 Rozwiązane tematy 1 1.1 Napisać równanie różniczkowe dla zbiornika z odpływem grawitacyjnym...............................
Bardziej szczegółowoRegulator P (proporcjonalny)
Regulator P (proporcjonalny) Regulator P (Proportional Controller) składa się z jednego członu typu P (proporcjonalnego), którego transmitancję określa wzmocnienie: W regulatorze tym sygnał wyjściowy jest
Bardziej szczegółowoPolitechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie
Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Procesy wykładniczego wzrostu i spadku (np populacja bakterii, rozpad radioaktywny, wymiana ciepła) można modelować równaniem
Bardziej szczegółowoModelowanie glikemii w procesie insulinoterapii
Dawid Kaliszewski Modelowanie glikemii w procesie insulinoterapii Promotor dr hab. inż. Zenon Gniazdowski Cel pracy Zbudowanie modelu predykcyjnego przyszłych wartości glikemii diabetyka leczonego za pomocą
Bardziej szczegółowoSIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Bardziej szczegółowoMetody Rozmyte i Algorytmy Ewolucyjne
mgr inż. Wydział Matematyczno-Przyrodniczy Szkoła Nauk Ścisłych Uniwersytet Kardynała Stefana Wyszyńskiego Podstawy optymalizacji Plan prezentacji 1 Podstawy matematyczne 2 3 Eliminacja ograniczeń Metody
Bardziej szczegółowoSterowanie w technice morskiej. Wprowadzenie
Sterowanie w technice morskiej Wprowadzenie Od momentu wprowadzenia do przemysłu regulatora typu PID wymyślono wiele rodzajów kontrolerów i metod sterowania. Coraz to bardziej zaawansowane technicznie
Bardziej szczegółowoSZTUCZNA INTELIGENCJA
SZTUCZNA INTELIGENCJA WYKŁAD 13. PROBLEMY OPTYMALIZACYJNE Częstochowa 2014 Dr hab. inż. Grzegorz Dudek Wydział Elektryczny Politechnika Częstochowska PROBLEMY OPTYMALIZACYJNE Optymalizacja poszukiwanie
Bardziej szczegółowoRozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.1 Opis programów Do rozwiązania zadań programowania
Bardziej szczegółowoINSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 7
KATEDRA MECHANIKI STOSOWANEJ Wydział Mechaniczny POLITECHNIKA LUBELSKA INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 7 PRZEDMIOT TEMAT OPRACOWAŁ LABORATORIUM MODELOWANIA Przykładowe analizy danych: przebiegi czasowe, portrety
Bardziej szczegółowoPolitechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Metody optymalizacji Metody bezgradientowe optymalizacji bez ograniczeń Materiały pomocnicze do ćwiczeń
Bardziej szczegółowoRozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.2 Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 1.1 Wykorzystując
Bardziej szczegółowoKLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI
Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie 1. Matematyka poziom podstawowy Wyznaczanie wartości funkcji dla danych argumentów i jej miejsca zerowego. Zdający
Bardziej szczegółowoZADANIA OPTYMALIZCJI BEZ OGRANICZEŃ
ZADANIA OPTYMALIZCJI BEZ OGRANICZEŃ Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTEP Zadanie minimalizacji bez ograniczeń f(ˆx) = min x R nf(x) f : R n R funkcja ograniczona z dołu Algorytm rozwiazywania Rekurencyjny
Bardziej szczegółowodoc. dr Beata Pułska-Turyna Zarządzanie B506 mail: mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505.
doc. dr Beata Pułska-Turyna Zakład Badań Operacyjnych Zarządzanie B506 mail: turynab@wz.uw.edu.pl mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505. Tel.: (22)55 34 144 Mail: student@pgadecki.pl
Bardziej szczegółowoPolitechnika Warszawska Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych Instytut Podstaw Budowy Maszyn Zakład Mechaniki
Politechnika Warszawska Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych Instytut Podstaw Budowy Maszyn Zakład Mechaniki http://www.ipbm.simr.pw.edu.pl/ Teoria maszyn i podstawy automatyki semestr zimowy 2017/2018
Bardziej szczegółowoModelowanie, sterowanie i symulacja manipulatora o odkształcalnych ramionach. Krzysztof Żurek Gdańsk,
Modelowanie, sterowanie i symulacja manipulatora o odkształcalnych ramionach Krzysztof Żurek Gdańsk, 2015-06-10 Plan Prezentacji 1. Manipulatory. 2. Wprowadzenie do Metody Elementów Skończonych (MES).
Bardziej szczegółowo1. Regulatory ciągłe liniowe.
Laboratorium Podstaw Inżynierii Sterowania Ćwiczenie: Regulacja ciągła PID 1. Regulatory ciągłe liniowe. Zadaniem regulatora w układzie regulacji automatycznej jest wytworzenie sygnału sterującego u(t),
Bardziej szczegółowoUKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać układu równań liniowych Układ liniowych równań algebraicznych
Bardziej szczegółowoEkonometryczne modele nieliniowe
Ekonometryczne modele nieliniowe Wykład 10 Modele przełącznikowe Markowa Literatura P.H.Franses, D. van Dijk (2000) Non-linear time series models in empirical finance, Cambridge University Press. R. Breuning,
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 11 Ogólna postać metody iteracyjnej Definicja 11.1. (metoda iteracyjna rozwiązywania układów równań) Metodą iteracyjną rozwiązywania { układów równań liniowych nazywamy ciąg wektorów zdefiniowany
Bardziej szczegółowo27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE
27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i
Bardziej szczegółowoProblemy Decyzyjne Markowa
Problemy Decyzyjne Markowa na podstawie AIMA ch17 i slajdów S. Russel a Wojciech Jaśkowski Instytut Informatyki, Politechnika Poznańska 18 kwietnia 2013 Sekwencyjne problemy decyzyjne Cechy sekwencyjnego
Bardziej szczegółowoOptymalizacja konstrukcji
Optymalizacja konstrukcji Kształtowanie konstrukcyjne: nadanie właściwych cech konstrukcyjnych przeszłej maszynie określenie z jakiego punktu widzenia (wg jakiego kryterium oceny) będą oceniane alternatywne
Bardziej szczegółowoPlan. Zakres badań teorii optymalizacji. Teoria optymalizacji. Teoria optymalizacji a badania operacyjne. Badania operacyjne i teoria optymalizacji
Badania operacyjne i teoria optymalizacji Instytut Informatyki Poznań, 2011/2012 1 2 3 Teoria optymalizacji Teoria optymalizacji a badania operacyjne Teoria optymalizacji zajmuje się badaniem metod optymalizacji
Bardziej szczegółowoModele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania
Politechnika Poznańska Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Joanna Józefowska POZNAŃ 2010/11 Spis treści Rozdział 1. Metoda programowania dynamicznego........... 5
Bardziej szczegółowoINSTRUKCJA Regulacja PID, badanie stabilności układów automatyki
Opracowano na podstawie: INSTRUKCJA Regulacja PID, badanie stabilności układów automatyki 1. Kaczorek T.: Teoria sterowania, PWN, Warszawa 1977. 2. Węgrzyn S.: Podstawy automatyki, PWN, Warszawa 1980 3.
Bardziej szczegółowoMechatronika i inteligentne systemy produkcyjne. Modelowanie systemów mechatronicznych Platformy przetwarzania danych
Mechatronika i inteligentne systemy produkcyjne Modelowanie systemów mechatronicznych Platformy przetwarzania danych 1 Sterowanie procesem oparte na jego modelu u 1 (t) System rzeczywisty x(t) y(t) Tworzenie
Bardziej szczegółowoukładu otwartego na płaszczyźnie zmiennej zespolonej. Sformułowane przez Nyquista kryterium stabilności przedstawia się następująco:
Kryterium Nyquista Kryterium Nyquista pozwala na badanie stabilności jednowymiarowego układu zamkniętego na podstawie przebiegu wykresu funkcji G o ( jω) układu otwartego na płaszczyźnie zmiennej zespolonej.
Bardziej szczegółowoProgramowanie dynamiczne. Tadeusz Trzaskalik
Programowanie dynamiczne Tadeusz Trzaskalik 9.. Wprowadzenie Słowa kluczowe Wieloetapowe procesy decyzyjne Zmienne stanu Zmienne decyzyjne Funkcje przejścia Korzyści (straty etapowe) Funkcja kryterium
Bardziej szczegółowoRegulator liniowo kwadratowy na przykładzie wahadła odwróconego
Regulator liniowo kwadratowy na przykładzie wahadła odwróconego kwiecień 2012 Sterowanie Teoria Przykład wahadła na wózku Dany jest system dynamiczny postaci: ẋ = f (x, u) (1) y = h(x) (2) Naszym zadaniem
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa projekt Ilustracja metody Monte Carlo obliczania całek oznaczonych
Rachunek prawdopodobieństwa projekt Ilustracja metody Monte Carlo obliczania całek oznaczonych Autorzy: Marta Rotkiel, Anna Konik, Bartłomiej Parowicz, Robert Rudak, Piotr Otręba Spis treści: Wstęp Cel
Bardziej szczegółowoRozdział 6 PROGRAMOWANIE WYPUKŁE I KWADRATOWE
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 6 PROGRAMOWANIE WYPUKŁE I KWADRATOWE 6. Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 6.1
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2018 Wstęp Stabilność O układzie możemy mówić, że jest stabilny jeżeli jego odpowiedź na wymuszenie (zakłócenie)
Bardziej szczegółowoPlan wykładu. Własności statyczne i dynamiczne elementów automatyki:
Plan wykładu Własności statyczne i dynamiczne elementów automatyki: - charakterystyka statyczna elementu automatyki, - sygnały standardowe w automatyce: skok jednostkowy, impuls Diraca, sygnał o przebiegu
Bardziej szczegółowoInterpolacja, aproksymacja całkowanie. Interpolacja Krzywa przechodzi przez punkty kontrolne
Interpolacja, aproksymacja całkowanie Interpolacja Krzywa przechodzi przez punkty kontrolne Aproksymacja Punkty kontrolne jedynie sterują kształtem krzywej INTERPOLACJA Zagadnienie interpolacji można sformułować
Bardziej szczegółowoInterpolacja i modelowanie krzywych 2D i 3D
Interpolacja i modelowanie krzywych 2D i 3D Dariusz Jacek Jakóbczak Politechnika Koszalińska Wydział Elektroniki i Informatyki Zakład Podstaw Informatyki i Zarządzania e-mail: Dariusz.Jakobczak@tu.koszalin.pl
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 6 - Miejsce i rola regulatora w układzie regulacji. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 6 - Miejsce i rola regulatora w układzie regulacji Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Regulacja zadajnik regulator sygnał sterujący (sterowanie) zespół wykonawczy przetwornik pomiarowy
Bardziej szczegółowoMetody rozwiązania równania Schrödingera
Metody rozwiązania równania Schrödingera Równanie Schrödingera jako algebraiczne zagadnienie własne Rozwiązanie analityczne dla skończonej i nieskończonej studni potencjału Problem rozwiązania równania
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe. Tadeusz Trzaskalik
Programowanie liniowe Tadeusz Trzaskalik .. Wprowadzenie Słowa kluczowe Model matematyczny Cel, środki, ograniczenia Funkcja celu funkcja kryterium Zmienne decyzyjne Model optymalizacyjny Układ warunków
Bardziej szczegółowoRozdział 2 PROGRAMOWANIE LINIOWE CAŁKOWITOLICZBOWE
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 2 PROGRAMOWANIE LINIOWE CAŁKOWITOLICZBOWE 2.2 Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie
Bardziej szczegółowoRealizacja programowa algorytmu sterowania adaptacyjnopredykcyjnego. KSSiWD 2013 dr inż. Jarosław Tarnawski
Realizacja programowa algorytmu sterowania adaptacyjnopredykcyjnego ampc KSSiWD 2013 dr inż. Jarosław Tarnawski Sterowanie MPC Istnieje wiele odmian sterowania predykcyjnego jednak we wszystkich z nich
Bardziej szczegółowoEkonometria - ćwiczenia 11
Ekonometria - ćwiczenia 11 Mateusz Myśliwski Zakład Ekonometrii Stosowanej Instytut Ekonometrii Kolegium Analiz Ekonomicznych Szkoła Główna Handlowa 21 grudnia 2012 Na poprzednich zajęciach zajmowaliśmy
Bardziej szczegółowoINTERPOLACJA I APROKSYMACJA FUNKCJI
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Wprowadzenie Na czym polega interpolacja? Interpolacja polega
Bardziej szczegółowoModelowanie układów energoelektronicznych w środowisku MATLAB-SIMULINK
Modelowanie układów energoelektronicznych w środowisku MATLAB-SIMULINK Tomasz Bajdecki Instytut Energetyki Oddział Gdańsk Zakład OGC IEn Gdańsk 2011 Gdańsk 11.04.2011 r. Program prezentacji Mały wstęp
Bardziej szczegółowoMnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym
Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych metod a funkcji kary i mnożników Lagrange a - zadania sterowania optymalnego
Bardziej szczegółowoZasada maksimum Pontriagina
25.04.2015 Abstrakt Wiele zagadnień praktycznych dotyczących układów dynamicznych wymaga optymalizacji pewnych wielkości. Jednakże zwykła teoria gładkich układów dynamicznych zajmuje się jednak tylko opisem
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA NIELINIOWE Maciej Patan
RÓWNANIA NIELINIOWE Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski Przykład 1 Prędkość v spadającego spadochroniarza wyraża się zależnością v = mg ( 1 e c t) m c gdzie g = 9.81 m/s 2. Dla współczynnika oporu c
Bardziej szczegółowoMnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym
Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych metod a funkcji kary i mnożników Lagrange a - zadania sterowania optymalnego
Bardziej szczegółowoNotatki do tematu Metody poszukiwania rozwiązań jednokryterialnych problemów decyzyjnych metody dla zagadnień liniowego programowania matematycznego
Notatki do tematu Metody poszukiwania rozwiązań jednokryterialnych problemów decyzyjnych metody dla zagadnień liniowego programowania matematycznego część III Analiza rozwiązania uzyskanego metodą simpleksową
Bardziej szczegółowoPolitechnika Gdańska Wydział Oceanotechniki i Okrętownictwa. Marzec Podstawy teorii optymalizacji Oceanotechnika, II stop., sem.
Politechnika Gdańska Wydział Oceanotechniki i Okrętownictwa St. II stop., sem. I, Kierunek Oceanotechnika, Spec. Okrętowe Podstawy teorii optymalizacji Wykład 1 M. H. Ghaemi Marzec 2016 Podstawy teorii
Bardziej szczegółowoROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL. sin x2 (1)
ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL 1. Problem Rozważmy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi (x 1, x 2 ): 1 x1 sin x2 x2 cos x1 (1) Nie jest
Bardziej szczegółowoAutomatyka i Regulacja Automatyczna Laboratorium Zagadnienia Seria II
Automatyka i Regulacja Automatyczna Laboratorium Zagadnienia Seria II Zagadnienia na ocenę 3.0 1. Podaj transmitancję oraz naszkicuj teoretyczną odpowiedź skokową układu całkującego z inercją 1-go rzędu.
Bardziej szczegółowoProblemy optymalizacji układów napędowych w automatyce i robotyce
Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Elektroniki Katedra Automatyki Autoreferat rozprawy doktorskiej Problemy optymalizacji układów napędowych
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne Wykład 7
Metody numeryczne Wykład 7 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Plan wykładu Rozwiązywanie równań algebraicznych
Bardziej szczegółowoAiR_TR2_5/9 Teoria Regulacji II Control Theory II. Automatyka i Robotyka I stopień ogólno akademicki studia niestacjonarne
Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr 10/12 z dnia 21 lutego 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU AiR_TR2_5/9 Teoria Regulacji II Control Theory II Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim
Bardziej szczegółowoDrgania poprzeczne belki numeryczna analiza modalna za pomocą Metody Elementów Skończonych dr inż. Piotr Lichota mgr inż.
Drgania poprzeczne belki numeryczna analiza modalna za pomocą Metody Elementów Skończonych dr inż. Piotr Lichota mgr inż. Joanna Szulczyk Politechnika Warszawska Instytut Techniki Lotniczej i Mechaniki
Bardziej szczegółowoMetoda simpleks. Gliwice
Sprowadzenie modelu do postaci bazowej Sprowadzenie modelu do postaci bazowej Przykład 4 Model matematyczny z Przykładu 1 sprowadzić do postaci bazowej. FC: ( ) Z x, x = 6x + 5x MAX 1 2 1 2 O: WB: 1 2
Bardziej szczegółowoUkład regulacji automatycznej (URA) kryteria stabilności
Układ regulacji automatycznej (URA) kryteria stabilności y o e G c (s) z z 2 u G o (s) y () = () ()() () H(s) oraz jego wartością w stanie ustalonym. Transmitancja układu otwartego regulacji: - () = ()
Bardziej szczegółowo