Systemy ekspertowe : predykaty
|
|
|
- Rafał Jabłoński
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego 16 kwietnia 2012
2 Skrócona zero-jedynkowa Schematy wnioskowania metoda założeniowa
3 Metoda zero-jedynkowa p (q p) (p q) p (p q) (p q) (p q) (p q) ( p q) (p q) (p q) [( p r) (p r)] {(p q) [(r s) ( q s)]} ( p r)
4 Skrócona metoda zero-jedynkowa Tablica: Skrócona zero-jedynkowa (p q) (q p)
5 Skrócona metoda zero-jedynkowa Tablica: Skrócona zero-jedynkowa (p q) (q p) 1
6 Skrócona metoda zero-jedynkowa Tablica: Skrócona zero-jedynkowa (p q) (q p)
7 Skrócona metoda zero-jedynkowa Tablica: Skrócona zero-jedynkowa (p q) (q p)
8 Skrócona metoda zero-jedynkowa Tablica: Skrócona zero-jedynkowa (p q) (q p)
9 Skrócona metoda zero-jedynkowa Tablica: Skrócona zero-jedynkowa (p q) (q p)
10 Skrócona metoda zero-jedynkowa (p q) (q p) (p q) (q p) (p q) ( q p) (p q) (p q) (p q) (p q) (p q) (p q) (p q) ( p q) (p q) ( q p) [(p q) (p q)] (q p)] [(p q) r] [(q r) ( p q)]
11 Skrócona metoda zero-jedynkowa Tablica: Skrócona zero-jedynkowa (p q) (q p)
12 Skrócona metoda zero-jedynkowa Tablica: Skrócona zero-jedynkowa (p q) (q p) 1
13 Skrócona metoda zero-jedynkowa Tablica: Skrócona zero-jedynkowa (p q) (q p)
14 Skrócona metoda zero-jedynkowa Tablica: Skrócona zero-jedynkowa (p q) (q p)
15 Skrócona metoda zero-jedynkowa Tablica: Skrócona zero-jedynkowa (p q) (q p)
16 Skrócona metoda zero-jedynkowa Tablica: Skrócona zero-jedynkowa (p q) (q p)
17 Skrócona metoda zero-jedynkowa Tablica: Skrócona zero-jedynkowa (p q) (q p)
18 Skrócona metoda zero-jedynkowa Tablica: Skrócona zero-jedynkowa (p q) (q p) Tablica: Skrócona zero-jedynkowa (p q) (q p)
19 Skrócona metoda zero-jedynkowa Tablica: Skrócona zero-jedynkowa (p q) (q p) Tablica: Skrócona zero-jedynkowa (p q) (q p) 1
20 Skrócona metoda zero-jedynkowa Tablica: Skrócona zero-jedynkowa (p q) (q p) Tablica: Skrócona zero-jedynkowa (p q) (q p)
21 Skrócona metoda zero-jedynkowa Tablica: Skrócona zero-jedynkowa (p q) (q p) Tablica: Skrócona zero-jedynkowa (p q) (q p)
22 Skrócona metoda zero-jedynkowa Tablica: Skrócona zero-jedynkowa (p q) (q p) Tablica: Skrócona zero-jedynkowa (p q) (q p)
23 Skrócona metoda zero-jedynkowa Tablica: Skrócona zero-jedynkowa (p q) (q p) Tablica: Skrócona zero-jedynkowa (p q) (q p)
24 Skrócona metoda zero-jedynkowa Tablica: Skrócona zero-jedynkowa (p q) (q p) Tablica: Skrócona zero-jedynkowa (p q) (q p)
25 Metoda założeniowa - opiera się na pewnych regułach zwanych schematami pierwotnymi: Reguła Odrywania (RO) : (a b) a b Reguła dołączania koniunkcji (DK) : (a) (b) (a b) Reguła opuszczania koniunkcji (OK) : (a b) a Reguła opuszczania koniunkcji II(OK) : (a b) b Reguła dołączania alternatywy (DA) : p (p q) Reguła dołączania alternatywy II (DA) : q (p q) Reguła opuszczania alternatywy (OA) : ((p q) p) q Reguła opuszczania alternatywy (OA) : ((p q) q) p Reguła dołączania równoważności (DE) : ((p q) (q p)) (p q) Reguła opuszczania równoważności (OE) : (p q) (p q) Reguła opuszczania równoważności II (OE) : (p q) (q p)
26 Przykład: ((p q) (q r)) (p r) 1 założenie pierwsze : (p q) 2 założenie drugie : (q r) 3 poprzednik tezy : p Jak otrzymać następnik tezy, czyli r? 4 RO dla 1 i 3 daje q 5 RO dla 2 i 4 daje r Otrzymaliśmy r - koniec dowodu.
27 Przykład 2: (dowodzenie nie wprost) ((p q) q) p 1 założenie: (p q) 2 założenie: q 3 założenie dowodu nie wprost p 4 RO dla 1 i 3 q - co jest sprzeczne z 2. Twierdzenie prawdziwe, ponieważ otrzymaliśmy sprzeczność.
28 Sylogizm warunkowy: Jeśli przez kilka dni będzie silny mróz, to będzie gruby lód na stawie. Jeśli będzie gruby lód na stawie, to dzieci będą jeździć na łyżwach na stawie. jeśli przez kilka dni będzie silny mróz, to dzieci będa jeździć na łyżwach na stawie. Oznaczmy: silny mróz przez kilka dni : p gruby lód na stawie : q dzieci jeżdżą na łyżwach na stawie r Czyli mamy: p q q r p r
29 Reguła modus tollens: 1 p q q - p
30 Reguła modus tollens: 1 p q q - p 2 p q q - p
31 Reguła modus tollens: 1 p q q - p 2 p q q - p 3 p q q - p
32 Reguła modus tollens: 1 p q q - p 2 p q q - p 3 p q q - p 4 p q q - p
33 Wnioskowanie według trzeciego schematu modus tollens: Jeśli Jan i Piotr są równieśnikami, to Jan nie jest starszy od Piotra Jan jest starszy od Piotra Jan i Piotr nie są rówieśnikami
34 Przykład 3: p q r s - (p r) (q s) Wypiszmy założenia: 1 zqałożenie : p q 2 założenie : r s 3 założenie : (p r) 4 Opuszczenie koniunkcji 3 p 5 Opuszczenie koniunkcji 3 r 6 Reguła odrywania : 1 i 4 q 7 Reguła odrywania : 2 i 5 s 8 Dołączanie koniunkcji 6 i 7 q s
35 Przykład wnioskowania według schematu: Jeśli jest zimno, to trzeba ubrać płaszcz Jeśli pada deszcz, to trzeba zabrać parasol jeśli jest zimno i pada deszcz to trzeba ubrać płaszcz i zabrać parasol.
36 Dylemat konstrukcyjny prosty: p r q r p q r Metoda założeniowa:
37 Dylemat konstrukcyjny prosty: p r q r p q r Metoda założeniowa: 1 założenie : p r
38 Dylemat konstrukcyjny prosty: p r q r p q r Metoda założeniowa: 1 założenie : p r 2 założenie :q r
39 Dylemat konstrukcyjny prosty: p r q r p q r Metoda założeniowa: 1 założenie : p r 2 założenie :q r 3 założenie : p q
40 Dylemat konstrukcyjny prosty: p r q r p q r Metoda założeniowa: 1 założenie : p r 2 założenie :q r 3 założenie : p q 4 założenie nie wprost : r
41 Dylemat konstrukcyjny prosty: p r q r p q r Metoda założeniowa: 1 założenie : p r 2 założenie :q r 3 założenie : p q 4 założenie nie wprost : r 5 modus tollens 1 i 4 : p
42 Dylemat konstrukcyjny prosty: p r q r p q r Metoda założeniowa: 1 założenie : p r 2 założenie :q r 3 założenie : p q 4 założenie nie wprost : r 5 modus tollens 1 i 4 : p 6 modus tollens 2 i 4 : q
43 Dylemat konstrukcyjny prosty: p r q r p q r Metoda założeniowa: 1 założenie : p r 2 założenie :q r 3 założenie : p q 4 założenie nie wprost : r 5 modus tollens 1 i 4 : p 6 modus tollens 2 i 4 : q 7 Opuszczanie alternatywy 3 i 5 : q
44 Dylemat konstrukcyjny prosty: p r q r p q r Metoda założeniowa: 1 założenie : p r 2 założenie :q r 3 założenie : p q 4 założenie nie wprost : r 5 modus tollens 1 i 4 : p 6 modus tollens 2 i 4 : q 7 Opuszczanie alternatywy 3 i 5 : q 8 sprzeczność 6 i 7. Sprzeczność, czyli udowodniliśmy schemat.
45 Przykład wnioskowania dla powyższego schematu: Jeśli pacjent ma zapalenie oskrzeli, to zastosowanie antybiotyków przyniesie poprawę. Jeśli pacjent ma zapalenie płuc, to zastosowanie antybiotyków przyniesie poprawę. pacjent ma zapalenie płuc lub pacjent ma zapalenie oskrzeli. Zastosowanie antybiotyków przyniesie poprawę.
46 Prawo Dunsa Szkota: p p q Metoda założeniowa: 1 założenie p
47 Prawo Dunsa Szkota: p p q Metoda założeniowa: 1 założenie p 2 założenie p
48 Prawo Dunsa Szkota: p p q Metoda założeniowa: 1 założenie p 2 założenie p 3 Dołączenie alternatywy 1 : p q
49 Prawo Dunsa Szkota: p p q Metoda założeniowa: 1 założenie p 2 założenie p 3 Dołączenie alternatywy 1 : p q 4 opuszczenie alternatywy 3 i 2 : q
50 Przykłady dla metody założeniowej: p q (p r) (q r) 1 założenie: p q
51 Przykłady dla metody założeniowej: p q (p r) (q r) 1 założenie: p q 2 załozenie: (p r)
52 Przykłady dla metody założeniowej: p q (p r) (q r) 1 założenie: p q 2 załozenie: (p r) 3 Opuszczanie koniunkcji 2 : p
53 Przykłady dla metody założeniowej: p q (p r) (q r) 1 założenie: p q 2 załozenie: (p r) 3 Opuszczanie koniunkcji 2 : p 4 reguła odrywania 1 i 3 : q
54 Przykłady dla metody założeniowej: p q (p r) (q r) 1 założenie: p q 2 załozenie: (p r) 3 Opuszczanie koniunkcji 2 : p 4 reguła odrywania 1 i 3 : q 5 Opuszczanie koniunkcji 2 : r
55 Przykłady dla metody założeniowej: p q (p r) (q r) 1 założenie: p q 2 załozenie: (p r) 3 Opuszczanie koniunkcji 2 : p 4 reguła odrywania 1 i 3 : q 5 Opuszczanie koniunkcji 2 : r 6 Dołaczanie koniunkcji 4 i 5 :q r
56 Metoda założeniowa: p q r p (q r)
57 Metoda założeniowa: p q r p (q r) 1 założenie : p q 2 założenie : r 3 założenie : p 4 Reguła odrywania : 1 i 3 : q
58 Metoda założeniowa: p q r p (q r) 1 założenie : p q 2 założenie : r 3 założenie : p 4 Reguła odrywania : 1 i 3 : q 5 Dołaczanie koniunkcji 2 i 4 : q r
59 Metoda założeniowa [(p q) (q r) r] p [(p q) (r s)] [(p r) (q s)] [(p q) r] [p (q r)] [(p r) (q r) (p q)] r
60 Przykłady: Zapisz schemat za pomocą zmiennych logicznych. Określ wszystkie zmienne występujące w schemacie. Uzupelnij brakujące części schematu. Oceń, czy uzupełniony schemat jest prawdziwy. Następnie udowodnij metodą założeniową.... Lubię się opalać - Jeżeli lubię, gdy jest ciepło, to lubię lato i lubię się opalać
61 Przykłady: Zapisz schemat za pomocą zmiennych logicznych. Określ wszystkie zmienne występujące w schemacie. Uzupelnij brakujące części schematu. Oceń, czy uzupełniony schemat jest prawdziwy. Następnie udowodnij metodą założeniową.... Lubię się opalać - Jeżeli lubię, gdy jest ciepło, to lubię lato i lubię się opalać Jeżeli lubię gdy jest ciepło, to lubię lato Lubię się opalać - Jeżeli lubię, gdy jest ciepło, to lubię lato i lubię się opalać
62 Lubię, gdy jest ciepło : p Lubię lato : q Lubię się opalać : r Zapiszmy schemat: p q r p (q r) Metoda założeniowa:
63 Lubię, gdy jest ciepło : p Lubię lato : q Lubię się opalać : r Zapiszmy schemat: p q r p (q r) Metoda założeniowa: 1 założenie : p q 2 założenie : r 3 założenie : p
64 Lubię, gdy jest ciepło : p Lubię lato : q Lubię się opalać : r Zapiszmy schemat: p q r p (q r) Metoda założeniowa: 1 założenie : p q 2 założenie : r 3 założenie : p 4 RO 1 i 3 : q
65 Lubię, gdy jest ciepło : p Lubię lato : q Lubię się opalać : r Zapiszmy schemat: p q r p (q r) Metoda założeniowa: 1 założenie : p q 2 założenie : r 3 założenie : p 4 RO 1 i 3 : q 5 DK 2 i 4 : q r
66 Jeśli lubię, gdy jest ciepło, to lubię lato Jeśli lubię lato, to lubię się opalać...
67 Jeśli lubię, gdy jest ciepło, to lubię lato Jeśli lubię lato, to lubię się opalać... Jeśli lubię, gdy jest ciepło, to lubię lato Jeśli lubię lato, to lubię się opalać Jeśli lubię, gdy jes ciepło, to lubię się opalać
68 p q q r p r Metoda założeniowa:
69 p q q r p r Metoda założeniowa: 1 założenie : p q 2 założenie : q r 3 założene : p
70 p q q r p r Metoda założeniowa: 1 założenie : p q 2 założenie : q r 3 założene : p 4 RO 1 i 3 q 5 RO 2 i 4 r
71 Jeśli lubię, gdy jest ciepło, to lubię lato... - Nie lubię, gdy jest ciepło
72 Jeśli lubię, gdy jest ciepło, to lubię lato... - Nie lubię, gdy jest ciepło Jeśli lubię, gdy jest ciepło, to lubię lato Nie lubię lata - Nie lubię, gdy jest ciepło Metoda założeniowa:
73 Jeśli lubię, gdy jest ciepło, to lubię lato... - Nie lubię, gdy jest ciepło Jeśli lubię, gdy jest ciepło, to lubię lato Nie lubię lata - Nie lubię, gdy jest ciepło Metoda założeniowa: 1 p q 2 q
74 Jeśli lubię, gdy jest ciepło, to lubię lato... - Nie lubię, gdy jest ciepło Jeśli lubię, gdy jest ciepło, to lubię lato Nie lubię lata - Nie lubię, gdy jest ciepło Metoda założeniowa: 1 p q 2 q 3 zał. nie wprost q
75 Jeśli lubię, gdy jest ciepło, to lubię lato... - Nie lubię, gdy jest ciepło Jeśli lubię, gdy jest ciepło, to lubię lato Nie lubię lata - Nie lubię, gdy jest ciepło Metoda założeniowa: 1 p q 2 q 3 zał. nie wprost q 4 RO 1 i 3 q sprzeczność z 2.
76 Jeśli nie polecę samolotem, to będę spóźniony Nie będę spóźniony...
77 Jeśli nie polecę samolotem, to będę spóźniony Nie będę spóźniony... Jeśli nie polecę samolotem, to będę spóźniony Nie będę spóźniony Polecę samolotem
78 Jeżeli są zaspy śnieżne to temperatura nie podnosi się powyżej 0 stopni Jeżeli autobus nie przejedzie to temperatura nie podnosi się powyżej 0 stopni Są zaspy śnieżne i autobus nie pojedzie -...
79 Jeżeli są zaspy śnieżne to temperatura nie podnosi się powyżej 0 stopni Jeżeli autobus nie przejedzie to temperatura nie podnosi się powyżej 0 stopni Są zaspy śnieżne i autobus nie pojedzie -... Jeżeli są zaspy śnieżne to temperatura nie podnosi się powyżej 0 stopni Jeżeli autobus nie przejedzie to temperatura nie podnosi się powyżej 0 stopni Są zaspy śnieżne i autobus nie pojedzie - Temperatura nie podnosi się powyżej 0 stopni
80 Oznaczmy: Są zaspy śnieżne : p Temperatura nie podnosi się powyżej 0 stopni q Autobus nie przejedzie : r p q r q p r q Metoda założeniowa:
81 Oznaczmy: Są zaspy śnieżne : p Temperatura nie podnosi się powyżej 0 stopni q Autobus nie przejedzie : r p q r q p r q Metoda założeniowa: 1 założenie : p q 2 założenie : r q 3 założenie : p r
82 Oznaczmy: Są zaspy śnieżne : p Temperatura nie podnosi się powyżej 0 stopni q Autobus nie przejedzie : r p q r q p r q Metoda założeniowa: 1 założenie : p q 2 założenie : r q 3 założenie : p r 4 OK 3 : r 5 RO : 2 i 4 q
83 Jeżeli są zaspy śnieżne, to autobus nie pojedzie Jeżeli temperatura nie podniesie się powyżej 0 stopni, to śnieg nie stopnieje -...
84 Jeżeli są zaspy śnieżne, to autobus nie pojedzie Jeżeli temperatura nie podniesie się powyżej 0 stopni, to śnieg nie stopnieje -... Jeżeli są zaspy śnieżne, to autobus nie pojedzie Jeżeli temperatura nie podniesie się powyżej 0 stopni, to śnieg nie stopnieje - Jeżeli są zaspy i temperatura nie podniesie się powyżej 0 stopni, to autobus nie poojedzie i śnieg nie stopnieje
85 p q r s (p r) (q s) Metoda założeniowa:
86 p q r s (p r) (q s) Metoda założeniowa: 1 założenie : p q 2 założenie : r s 3 założenie : p r 4 OK 3 : p 5 OK 3 : r 6 RO 1 i 4 : q 7 RO 2 i 5 : s 8 DK 6 i 7: q s
87 Oglądam telewizje i słucham radia Nie oglądam telewizji i slucham radia...
88 Oglądam telewizje i słucham radia Nie oglądam telewizji i slucham radia... Oglądam telewizje i słucham radia Nie oglądam telewizji i slucham radia Czytam książkę
89 Oglądam telewizje i słucham radia Nie oglądam telewizji i slucham radia... Oglądam telewizje i słucham radia Nie oglądam telewizji i slucham radia Czytam książkę p p q Metoda założeniowa: 1 założenie : p 2 założenie p 3 Dołączanie alternatywy 1 : p q 4 Opuszczanie alternatywy 3 i 2: q
90 Przydatne prawa: 1 Prawo negowania koniunkcji : (p q) ( p q) 2 Prawo negowania implikacji : (p q) (p q) 3 Prawo łączności koniunkcji i alternatywy : [(p q) r] [p (q r)] 4 Prawo negowania członów równoważności : (p q) ( p q) 5 Prawo komutacji : [p (q r)] [q (p r)] 6 Prawo eksportacji i importacji [(p q) r] [p (q r)] 7 Dylemat konstrukcyjny złożony: p q r s q s p r 8 Prawo zastępowania implikacji: (p q) (p q) (p q) ( p q)
91 Rachunek predykatów II rzędu (tylko informatyka): Kwantyfikatorem ogólnym nazywamy wyrażenia dla każdego. Wyrażenie z kwantyfikatorem: kwantyfikatora zmiennej wyrażenie zdaniowego Zmienna, do której odnosi sią kwantyfikator, nazywamy zmienną wiązaną. Reguły zamiany: x P(x) x P(x)
92 Przykład: Jakiś przedmiot jest zielony. Istnieje przedmiot, który jest zielony dwie zmienne: przedmiot, kolor zielony wypisujemy predykaty jednoargumentowe(dla każdej zmiennej) podajemy predykaty dwuargumentowe
93 Przykład: Jakiś przedmiot jest zielony. Istnieje przedmiot, który jest zielony dwie zmienne: przedmiot, kolor zielony wypisujemy predykaty jednoargumentowe(dla każdej zmiennej) podajemy predykaty dwuargumentowe x [P(x) Q(x)]
94 Przykłady: Jakiś Polak jest bogaty. Jakiś Polak zna jakiegoś Niemca. Jakiś Polak jest przystojny i bogaty.
95 Złożone przykłady: Kubuś widział Antykubusia, goniącego czas Wypisujemy zmienne nazwowe: 1 x - Kubuś 2 y - Antykubuś 3 z - czas teraz zmienne predykatowe (predykaty jednoargumentowe) 1 K(x) - x jest Kubusiem 2 A(y) - y jest Antykubusiem 3 C(z) - z jest czasem predykaty dwuargumentowe, łączące zmienne: 1 W(x,y) - x widział y 2 G(y,z) - y gonił z
96 Przykład cd. Kubuś jest jeden, czyli istnieje; Antykubuś jest jeden - istnieje; czas jest jeden - istnieje; Teraz możemy zapisać całe zdanie po kolei: istnieje x, taki, że x jest Kubusiem: x K(x) istnieje x, że x jest Kubusiem i istnieje y, że y jest Antykubusiem x K(x) y A(y) istnieje x...istnieje y...x widział y, czyli x K(x) y A(y) W (x, y) dodajemy jeszcze: istnieje czas, czyli x K(x) y A(y) W (x, y) z C(z) i połączenie między czasem z a y: x K(x) y A(y) W (x, y) z C(z) G(y, z) wszystko z nawiasami: x {K(x) y [A(y) W (x, y) z (C(z) G(y, z))]}
97 Przykład 2: Wszystkie misie nie zjedzą miodku, wyprodukowanego przez człowieka zmienne: 1 x - mis; 2 y - miodek; 3 z - człowiek; zmienne predykatowe: 1 M(x) - x jest misiem 2 U(y) - y jest miodkiem 3 C(z) - z jest człowiekiem zmienne predykatowe drugiego rzędu: 1 Z(x,y) - x zjada y 2 W(y,z) - z wyprodukowal y
98 dla każdego misia: x M(x) nie istnieje miodek: y U(y) do tego x zjada y ; x M(x) y U(y) Z(x, y) do tego istnieje człowiek: x M(x) y U(y) Z(x, y) z C(z); no i z wyprodukował y: x M(x) y U(y) Z(x, y) z C(z) W (y, z) nawiasy: x {M(x) y [U(y) Z(x, y) z (C(z) W (y, z))]}
99 Zadania: Istnieją ludzie, którzy są aniołami
100 Zadania: Istnieją ludzie, którzy są aniołami 1 x - istota 2 C(x) - x jest człowiekiem 3 A(x) - x jest aniołem
101 Zadania: Istnieją ludzie, którzy są aniołami 1 x - istota 2 C(x) - x jest człowiekiem 3 A(x) - x jest aniołem 4 x(c(x) A(x)) Istnieją ludzie, którzy nie sa aniołami
102 Zadania: Istnieją ludzie, którzy są aniołami 1 x - istota 2 C(x) - x jest człowiekiem 3 A(x) - x jest aniołem 4 x(c(x) A(x)) Istnieją ludzie, którzy nie sa aniołami x (C(x) A(x)) Żaden człowiek nie jest aniołem
103 Zadania: Istnieją ludzie, którzy są aniołami 1 x - istota 2 C(x) - x jest człowiekiem 3 A(x) - x jest aniołem 4 x(c(x) A(x)) Istnieją ludzie, którzy nie sa aniołami x (C(x) A(x)) Żaden człowiek nie jest aniołem x (C(x) A(x))
104 Zadania: Pewien mędrzec nie obejrzał żadnego filmu
105 Zadania: Pewien mędrzec nie obejrzał żadnego filmu 1 x - mędrzec 2 y - film 3 M(x) - x jest mędrcem 4 F(y) - y jest filmem 5 O(x,y) - x obejrzał y
106 Zadania: Pewien mędrzec nie obejrzał żadnego filmu 1 x - mędrzec 2 y - film 3 M(x) - x jest mędrcem 4 F(y) - y jest filmem 5 O(x,y) - x obejrzał y 6 x[m(x) y (F (y) O(x, y))]
107 Zadania: Pewien człowiek nie ma sąsiada
108 Zadania: Pewien człowiek nie ma sąsiada 1 y - człowiek 2 C(x) - x jest człowiekiem 3 C(y) - y jest człowiekiem 4 S(y,x) - y jest sąsiadem x
109 Zadania: Pewien człowiek nie ma sąsiada 1 y - człowiek 2 C(x) - x jest człowiekiem 3 C(y) - y jest człowiekiem 4 S(y,x) - y jest sąsiadem x 5 x[c(x) y (C(y) S(y, x))] Wszyscy ludzie są sąsiadami wszystkich.
110 Zadania: Pewien człowiek nie ma sąsiada 1 y - człowiek 2 C(x) - x jest człowiekiem 3 C(y) - y jest człowiekiem 4 S(y,x) - y jest sąsiadem x 5 x[c(x) y (C(y) S(y, x))] Wszyscy ludzie są sąsiadami wszystkich. 1 x[c(x) y (C(y) S(y, x))]
111 Zadania: Wszyscy Naukowcy mają poglądy, z którymi wszyscy naukowcy sie nie zgadzają.
112 Zadania: Wszyscy Naukowcy mają poglądy, z którymi wszyscy naukowcy sie nie zgadzają. 1 x - Naukowiec 2 y - pogląd 3 z - Naukowiec 4 M(x,y) - x ma y 5 Z(z,y) - z zgadza się z y
113 Zadania: Wszyscy Naukowcy mają poglądy, z którymi wszyscy naukowcy sie nie zgadzają. 1 x - Naukowiec 2 y - pogląd 3 z - Naukowiec 4 M(x,y) - x ma y 5 Z(z,y) - z zgadza się z y x {N(x) y [P(y) M(x, y) z (N(z) Z(z, y))]}
114 Zadania egzaminacyjne: Każdy pies jest ssakiem Każdy kot jest ssakiem żaden pies nie jest kotem Zakładamy: x - zwierzę P(x) - zwierzę jest psem S(x) - zwierzę jest ssakiem K(x) - zwierzę jest kotem to teraz możemy zapisać: x (P(x) S(x)) x (K(x) S(x)) x (P(x) K(x))
115 Usunięcie kwantyfikatorów jest możliwe tylko wtedy, gdy są one jednolite!!! P(x) S(x) K(x) S(x) P(x) K(x) Sprawdamy schemat metodą zero-jedynkową, lub skróconą zero-jedynkową.
116 Usunięcie kwantyfikatorów jest możliwe tylko wtedy, gdy są one jednolite!!! P(x) S(x) K(x) S(x) P(x) K(x) Sprawdamy schemat metodą zero-jedynkową, lub skróconą zero-jedynkową. Schemat jest zawodny. Koniec zadania.
117 Zadanie 2: Żadna ryba nie jest ssakiem Żaden wieloryb nie jest rybą Każdy wieloryb jest ssakiem Teraz mamy:
118 Zadanie 2: Żadna ryba nie jest ssakiem Żaden wieloryb nie jest rybą Każdy wieloryb jest ssakiem Teraz mamy: x zwierzę R(x) - zwierzę jest rybą S(x) - zwierzę jest ssakiem W(x) - zwierzę jest wielorybem to teraz możemy zapisać:
119 Zadanie 2: Żadna ryba nie jest ssakiem Żaden wieloryb nie jest rybą Każdy wieloryb jest ssakiem Teraz mamy: x zwierzę R(x) - zwierzę jest rybą S(x) - zwierzę jest ssakiem W(x) - zwierzę jest wielorybem to teraz możemy zapisać: x (R(x) S(x)) x (W (x) R(x)) x (W (x) S(x))
120 Bez kwantyfikatorów:
121 Bez kwantyfikatorów: R(x) S(x)) W (x) R(x)) W (x) S(x)) zamieniamy na zmienne:
122 Bez kwantyfikatorów: R(x) S(x)) W (x) R(x)) W (x) S(x)) zamieniamy na zmienne: r s w r w s Sprawdzamy schemat metodą zerojedynkową, lub skróconą.
123 Bez kwantyfikatorów: R(x) S(x)) W (x) R(x)) W (x) S(x)) zamieniamy na zmienne: r s w r w s Sprawdzamy schemat metodą zerojedynkową, lub skróconą. Schemat ok, więc udowadniamy metodą założeniową.
124 Przekształcanie tekstu - prawo rozdzielności kwantyfikatorów: x (α(x) β(x)) ( x α(x) x β(x)) Przyjmujjąc: x - budynek. α(x) - budynek zbudowany z cegły. β(x) - budynek jest trwalszy niż budynek zbudowany z drewna. Jeżli każdy dom zbudowany z cegły jest trwalszy od budynku zbudowanego z drewna (założenie) To każdy dom zbudowany z cegły jest trwalszy od każdego domu zbudowanego z drewna (teza).
125 Szum informacyjny:...zdaniem pana Nowaka, znanego inżyniera i specjalisty w dziedzinie budowy i utrzymania domów trudno jest przeceniać znaczenie podstawowego budulca. Prawidłowo zaprojektowane i wykonane domy drewniane są znacznie bardziej energooszczędne niż domy, do budowy których użyto znacznie bardziej popularnej cegły. Jednak niezależnie od rodzaju stosowanych zabezpieczeń, jeżeli dla każdego domu prawdą jest, że budynek zbudowany z cegły jest trwalszy niż budynek zbudowany z drewna. Uogólniając, można stwierdzić, że każdy dom zbudowany z cegły jest trwalszy niż każdy dom zbudowany z drewna. W sumie trudno jest nie przyznać racji naszemu specjaliście. Patrząc wstecz, wygląda na to, że jako pierwszy docenił to król Kazimierz Wielki, który zastał Polskę drewnianą, a zostawił murowaną. Dzięki Niemu do dziś możemy podziwiać przepiękne zamczyska lub też ruiny tych, które nie miały szczęścia oprzeć się wielu najeźdźcom... Następny etap to wygładzanie tekstu : każdy zamieniamy na wszystkie każdy na jakikolwiek
126 x (α(x) β(x)) ( x α(x) x β(x)) Przyjmując: x - budynek. α(x) - budynek zbudowany z cegły. β(x) - budynek jest trwalszy niż budynek zbudowany z drewna.
127 Uwzględniając powyższe oznaczenia zapisujemy schemat w postaci słownej. Jeżli każdy dom zbudowany z cegły jest trwalszy od budynku zbudowanego z drewna, to: Jeżli istnieje dom zbudowany z cegły to istnieje budynek trwalszy od domu zbudowanego z drewna.
Rachunek zdań i predykatów
Rachunek zdań i predykatów Agnieszka Nowak 14 czerwca 2008 1 Rachunek zdań Do nauczenia :! 1. ((p q) p) q - reguła odrywania RO 2. reguła modus tollens MT: ((p q) q) p ((p q) q) p (( p q) q) p (( p q)
Rachunek zdań i predykatów
Rachunek zdań i predykatów Agnieszka Nowak-Brzezińska 27 kwietnia 2015 1 Rachunek zdań II-go rzędu - Kwantyfikatory Kwantyfikatory są to najzwyczajniejsze w świecie stale (oczywiście logiczne), występujące
Rachunek zdań I i II rzędu
Rozumowanie w systemach ekspertowych Instytut Informatyki, Uniwersytet Śląski, ul. Będzinska 39, Sosnowiec, Polska Tel (32) 2 918 381, Fax (32) 2 918 283 Wykład IV Teoretyczne podstawy rachunku predykatów
Rachunek zdań I rzędu Aksjomaty rachunku zdań, tautologie Schematy rachunku zdań Dowodzenie poprawności Metoda zerojedynkowa Skrócona metoda
Rachunek zdań I rzędu Aksjomaty rachunku zdań, tautologie Schematy rachunku zdań Dowodzenie poprawności Metoda zerojedynkowa Skrócona metoda zerojedynkowa Metoda założeniowa Rachunek zdań II rzędu Rachunek
Logika formalna wprowadzenie. Ponieważ punkty 10.i 12. nie były omawiane na zajęciach, dlatego można je przeczytać fakultatywnie.
Logika formalna wprowadzenie Ponieważ punkty 10.i 12. nie były omawiane na zajęciach, dlatego można je przeczytać fakultatywnie. 1. Zdanie logicznie prawdziwe (Prawda logiczna) Zdanie, którego analityczność
Logika. Michał Lipnicki. 15 stycznia Zakład Logiki Stosowanej UAM. Michał Lipnicki () Logika 15 stycznia / 37
Logika Michał Lipnicki Zakład Logiki Stosowanej UAM 15 stycznia 2011 Michał Lipnicki () Logika 15 stycznia 2011 1 / 37 Wstęp Materiały na dzisiejsze zajęcia zostały opracowane na podstawie pomocy naukowych
Rachunek zdań I i II rzędu
RachunekzdańIiIIrzędu Rozumowanie w systemach ekspertowych Instytut Informatyki, Uniwersytet Śląski, ul. Będzinska 39, Sosnowiec, Polska Tel(32)2918381,Fax(32)2918283 Wykład IV Teoretyczne podstawy rachunku
LOGIKA Dedukcja Naturalna
LOGIKA Dedukcja Naturalna Robert Trypuz Katedra Logiki KUL 7 stycznia 2014 Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia 2014 1 / 42 PLAN WYKŁADU 1 Przykład dowodów
Konsekwencja logiczna
Konsekwencja logiczna Niech Φ 1, Φ 2,..., Φ n będa formułami logicznymi. Formuła Ψ wynika logicznie z Φ 1, Φ 2,..., Φ n jeżeli (Φ 1 Φ 2 Φ n ) Ψ jest tautologia. Formuły Φ 1, Φ 2,..., Φ n nazywamy założeniami
Rachunek zdań i predykatów
Rachunek zdań i predykatów Agnieszka Nowak 7 kwietnia 2008 1 1 Logika - Wprowadzenie 1.1 Słowniczek pojęć z logiki Język - jest to system znaków. Znak - def. Znak jest to przedmiot, który ma charakter
Logika. Michał Lipnicki. 18 listopada Zakład Logiki Stosowanej UAM. Michał Lipnicki Logika 18 listopada / 1
Logika Michał Lipnicki Zakład Logiki Stosowanej UAM 18 listopada 2012 Michał Lipnicki Logika 18 listopada 2012 1 / 1 Wstęp Materiały na dzisiejsze zajęcia zostały opracowane na podstawie pomocy naukowych
Dowody założeniowe w KRZ
Dowody założeniowe w KRZ Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl w styczniu 2007 Jerzy Pogonowski (MEG) Dowody założeniowe w KRZ w styczniu 2007 1 / 10 Dowody
Wybierz cztery z poniższych pięciu zadań. Poprawne rozwiazanie dwóch zadań oznacza zdany egzamin.
Logika, II rok Etnolingwistyki UAM, 20 VI 2008. Imię i Nazwisko:.............................. GRUPA: I Wybierz cztery z poniższych pięciu zadań. Poprawne rozwiazanie dwóch zadań oznacza zdany egzamin.
1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych.
Elementy logiki i teorii zbiorów. 1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Pojęcia pierwotne to najprostsze
Zagadnienia podstawowe dotyczące metod formalnych w informatyce
Zagadnienia podstawowe dotyczące metod formalnych w informatyce! Logika Analiza języka i czynności badawczych (np. rozumowanie, definiowanie, klasyfikowanie) w celu poznania takich reguł posługiwania się
WYKŁAD 7: DEDUKCJA NATURALNA
METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ WYKŁAD 7: DEDUKCJA NATURALNA III rok kognitywistyki UAM, 2016 2017 Systemy dedukcji naturalnej pochodzą od Gerharda Gentzena (1909 1945) oraz Stanisława
Język rachunku predykatów Formuły rachunku predykatów Formuły spełnialne i prawdziwe Dowody założeniowe. 1 Zmienne x, y, z...
Język rachunku predykatów 1 Zmienne x, y, z... 2 Predykaty n-argumentowe P(x, y,...), Q(x, y...),... 3 Funktory zdaniowe,,,, 4 Kwantyfikatory: istnieje, dla każdego Język rachunku predykatów Ustalenie
Elementy logiki. Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń
Elementy logiki Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń 1 Klasyczny Rachunek Zdań 1.1 Spójniki logiczne Zdaniem w sensie logicznym nazywamy wyrażenie, które jest
Rachunek zdań i predykatów
Rachunek zdań i predykatów Agnieszka Nowak 7 kwietnia 2008 1 Rachunek zdań Do nauczenia :! 1. ((p q) p) q - reguła odrywania RO 2. reguła modus tollens MT: ((p q) q) p ((p q) q) p (( p q) q) p (( p q)
JEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 29 czerwca Imię i Nazwisko:...
JEZYKOZNAWSTWO I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 29 czerwca 2015 Imię i Nazwisko:............................................................... DZIARSKIE SKRZATY Wybierz
Matematyka ETId Elementy logiki
Matematyka ETId Izolda Gorgol pokój 131A e-mail: I.Gorgol@pollub.pl tel. 081 5384 563 http://antenor.pol.lublin.pl/users/gorgol Zdania w sensie logicznym DEFINICJA Zdanie w sensie logicznym - zdanie oznajmujace,
ĆWICZENIE 2. DEF. Mówimy, że formuła A wynika logicznie z formuł wartościowanie w, takie że w A. A,, A w KRZ, jeżeli nie istnieje
ĆWICZENIE 2 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): wynikanie logiczne, wnioskowanie, niezawodny schemat wnioskowania, wnioskowanie dedukcyjne, równoważność logiczna, iniowalność spójników za mocą formuły. DEF.
Przykłady zdań w matematyce. Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny (a, b, c oznaczają dane liczby dodatnie),
Elementy logiki 1 Przykłady zdań w matematyce Zdania prawdziwe: 1 3 + 1 6 = 1 2, 3 6, 2 Q, Jeśli x = 1, to x 2 = 1 (x oznacza daną liczbę rzeczywistą), Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości
0.1. Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań.
Wykłady z Analizy rzeczywistej i zespolonej w Matematyce stosowanej Wykład ELEMENTY LOGIKI ALGEBRA BOOLE A Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek
Np. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0
ĆWICZENIE 1 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): zdania w sensie logicznym, wartości logiczne, spójniki logiczne, zmienne zdaniowe, tabele prawdziwościowe dla spójników logicznych, formuły, wartościowanie zbioru
NOWE ODKRYCIA W KLASYCZNEJ LOGICE?
S ł u p s k i e S t u d i a F i l o z o f i c z n e n r 5 * 2 0 0 5 Jan Przybyłowski, Logika z ogólną metodologią nauk. Podręcznik dla humanistów, Wydawnictwo Uniwersytetu Gdańskiego, Gdańsk 2003 NOWE
JEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 18 czerwca Imię i Nazwisko:... I
JEZYKOZNAWSTWO I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 18 czerwca 2013 Imię i Nazwisko:.................................................................................. I Wybierz
Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne)
Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne) Definicja 1: Tautologia jest to takie wyrażenie, którego wartość logiczna jest prawdą przy wszystkich możliwych wartościowaniach zmiennych
Dalszy ciąg rachunku zdań
Dalszy ciąg rachunku zdań Wszystkie możliwe funktory jednoargumentowe p f 1 f 2 f 3 f 4 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 Wszystkie możliwe funktory dwuargumentowe p q f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 f 8 f 9 f 10 f 11 f
Wstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Zdań II
Wstęp do logiki Klasyczny Rachunek Zdań II DEF. 1 (Słownik). Następujące znaki tworzą słownik języka KRZ: p 1, p 2, p 3, (zmienne zdaniowe) ~,,,, (spójniki) ), ( (nawiasy). DEF. 2 (Wyrażenie). Wyrażeniem
Myślenie w celu zdobycia wiedzy = poznawanie. Myślenie z udziałem rozumu = myślenie racjonalne. Myślenie racjonalne logiczne statystyczne
Literatura: podstawowa: C. Radhakrishna Rao, Statystyka i prawda, 1994. G. Wieczorkowska-Wierzbińska, J. Wierzbiński, Statystyka. Od teorii do praktyki, 2013. A. Aczel, Statystyka w zarządzaniu, 2002.
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykłady 12 i 13. Dowód i dowodzenie w KRP. Tezy KRP
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykłady 12 i 13. Dowód i dowodzenie w KRP. Tezy KRP 1 Pojęcie dowodu w KRP Pojęcia: formuły zdaniowej języka Klasycznego Rachunku
Lekcja 3: Elementy logiki - Rachunek zdań
Lekcja 3: Elementy logiki - Rachunek zdań S. Hoa Nguyen 1 Materiał a) Zdanie proste, złożone b) Spójniki logiczne (funktory zdaniotwórcze):,,,,, (alternatywa wykluczająca - XOR). c) Tautologia, zdanie
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykłady 7 i 8. Aksjomatyczne ujęcie Klasycznego Rachunku Zdań
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykłady 7 i 8. Aksjomatyczne ujęcie Klasycznego Rachunku Zdań 1 Istnieje wiele systemów aksjomatycznych Klasycznego Rachunku
Imię i nazwisko:... OBROŃCY PRAWDY
Egzamin: Logika Matematyczna, I rok JiNoI, 30 czerwca 2014 Imię i nazwisko:........................................... OBROŃCY PRAWDY Wybierz dokładnie cztery z poniższych pięciu zadań i spróbuj je rozwiazać.
Wprowadzenie do logiki Zdania, cz. III Język Klasycznego Rachunku Predykatów
Wprowadzenie do logiki Zdania, cz. III Język Klasycznego Rachunku Predykatów Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@amu.edu.pl Plan na pytanie o odniesienie przedmiotowe zdań odpowiedź
III rok kognitywistyki UAM,
METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ WYKŁAD 14: POWTÓRKA III rok kognitywistyki UAM, 2016 2017 Dzisiejszy wykład w całości poświęcony będzie omówieniu przykładowych zadań, podobnych do
Logika matematyczna i teoria mnogości (I) J. de Lucas
Logika matematyczna i teoria mnogości (I) J. de Lucas Ćwiczenie 1. (Zad. L. Newelskiego) Niech p oznacza zdanie Ala je, zaś q zdanie As wyje. Zapisz jako formu ly rachunku zdań nastȩpuj ace zdania: 1.1.
4 Klasyczny rachunek zdań
4 Klasyczny rachunek zdań Elementy Logiki i Teorii Mnogości 2015/2016 Spis najważniejszych tautologii: (a) p p prawo wyłączonego środka (b) ( p) p prawo podwójnej negacji (c) p q q p (d) p q q p prawo
JEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 11 czerwca Imię i Nazwisko:... FIGLARNE POZNANIANKI
JEZYKOZNAWSTWO I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 11 czerwca 2012 Imię i Nazwisko:........................................................... FIGLARNE POZNANIANKI Wybierz
ROZDZIAŁ 1. Rachunek funkcyjny
ROZDZIAŁ 1 Rachunek funkcyjny Niech X 1,..., X n będą dowolnymi zbiorami. Wyrażenie (formułę) ϕ(x 1,..., x n ), w którym występuje n zmiennych x 1,..., x n i które zamienia się w zdanie logiczne, gdy zamiast
Rachunek zdao i logika matematyczna
Rachunek zdao i logika matematyczna Pojęcia Logika - Zajmuje się badaniem ogólnych praw, według których przebiegają wszelkie poprawne rozumowania, w szczególności wnioskowania. Rachunek zdao - dział logiki
Przykładowe dowody formuł rachunku kwantyfikatorów w systemie tabel semantycznych
Przykładowe dowody formuł rachunku kwantyfikatorów w systemie tabel semantycznych Zapoznaj z poniŝszym tekstem reprezentującym wiedzę logiczną o wartościach logicznych będących interpretacjami formuł złoŝonych
Logika Radosna 2. Jerzy Pogonowski. KRZ: dowody założeniowe. Zakład Logiki Stosowanej UAM
Logika Radosna 2 Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl KRZ: dowody założeniowe Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Radosna 2 KRZ: dowody założeniowe 1 / 94 Wprowadzenie
Elementy logiki Klasyczny rachunek predykatów
Elementy logiki. Klasyczny rachunek predykatów. 1 Elementy logiki Klasyczny rachunek predykatów Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza
ĆWICZENIE 4 KRZ: A B A B A B A A METODA TABLIC ANALITYCZNYCH
ĆWICZENIE 4 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): metoda tablic analitycznych, system aksjomatyczny S (aksjomaty, reguła dowodzenia), dowód w systemie S z dodatkowym zbiorem założeń, tezy systemu S, wtórne reguły
Elementy logiki matematycznej
Elementy logiki matematycznej Przez p, q będziemy oznaczać zdania. Każdemu zdaniu możemy przyporządkować wartość logiczną 1, gdy jest prawdziwe oraz wartość logiczną 0, gdy jest fałszywe. Oznaczmy wartość
Zastosowanie logiki matematycznej w procesie weryfikacji wymagań oprogramowania
Zastosowanie logiki matematycznej w procesie weryfikacji wymagań oprogramowania Testerzy oprogramowania lub osoby odpowiedzialne za zapewnienie jakości oprogramowania oprócz wykonywania testów mogą zostać
Wstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Zdań III
Wstęp do logiki Klasyczny Rachunek Zdań III Przypomnijmy: Logika: = Teoria form (schematów, reguł) poprawnych wnioskowań. Wnioskowaniem nazywamy jakąkolwiek skończoną co najmniej dwuwyrazową sekwencję
Drzewa Semantyczne w KRZ
Drzewa Semantyczne w KRZ Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 7 XII 2006, 13:30 15:00 Jerzy Pogonowski (MEG) Drzewa Semantyczne w KRZ 7 XII 2006, 13:30 15:00
Ziemia obraca się wokół Księżyca, bo posiadając odpowiednią wiedzę można stwierdzić, czy są prawdziwe, czy fałszywe. Zdaniami nie są wypowiedzi:
1 Elementy logiki W logice zdaniem nazywamy wypowiedź oznajmującą, która (w ramach danej nauki) jest albo prawdziwa, albo fałszywa. Tak więc zdanie może mieć jedną z dwóch wartości logicznych. Prawdziwość
Elementy logiki Klasyczny rachunek zdań. Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im.
Elementy logiki. Klasyczny rachunek zdań. 1 Elementy logiki Klasyczny rachunek zdań Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Elementy
Rachunek zdań. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Rachunek zdań Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak RACHUNEK ZDAŃ Zdania Definicja Zdanie jest to stwierdzenie w języku naturalnym, któremu można przypisać wartość prawdy lub
MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI
MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI Program wykładów: dr inż. Barbara GŁUT Wstęp do logiki klasycznej: rachunek zdań, rachunek predykatów. Elementy semantyki. Podstawy teorii mnogości
Uwagi wprowadzajace do reguł wnioskowania w systemie tabel analitycznych logiki pierwszego rzędu
Witold Marciszewski: Wykład Logiki, 17 luty 2005, Collegium Civitas, Warszawa Uwagi wprowadzajace do reguł wnioskowania w systemie tabel analitycznych logiki pierwszego rzędu 1. Poniższe wyjaśnienie (akapit
Język KRP zadania z rozwiązaniami
Język KRP zadania z rozwiązaniami Michał Lipnicki 1 Napisz schematy poniższych zdań w języku KRP. (1) Stefan pije. (2) Stefan pije z Romanem. (3) Stefan pije i zakąsza. (4) Stefan pije lub Roman zakąsza.
Wprowadzenie do logiki Pojęcie wynikania
Wprowadzenie do logiki Pojęcie wynikania Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@amu.edu.pl Gry plan: jak używamy terminu wynikanie w potocznych kontekstach? racja, następstwo i związki
Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi.
Logika Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi. Często słowu "logika" nadaje się szersze znaczenie niż temu o czym będzie poniżej: np. mówi się "logiczne myślenie"
Zasady krytycznego myślenia (1)
Zasady krytycznego myślenia (1) Andrzej Kisielewicz Wydział Matematyki i Informatyki 2017 Przedmiot wykładu krytyczne myślenie vs logika praktyczna (vs logika formalna) myślenie jasne, bezstronne, oparte
Zestaw 1. Podaj zdanie odwrotne i przeciwstawne (kontrapozycję) dla każdego z następujących
Zestaw 1 Zadanie 1. Podaj zdanie odwrotne i przeciwstawne (kontrapozycję) dla każdego z następujących zdań: a) p (q r). b) Jeśli x + y = 1, to x 2 + y 2 1. c) Jeśli 2 + 2 = 4, to 3 + 3 = 8. Zadanie 2.
0. ELEMENTY LOGIKI. ALGEBRA BOOLE A
WYKŁAD 5() ELEMENTY LOGIKI ALGEBRA BOOLE A Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań Matematyka zbudowana jest z pierwotnych twierdzeń (nazywamy
LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW
LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja
Elementy rachunku zdań i algebry zbiorów
Rozdział 1. Elementy rachunku zdań i algebry zbiorów 1.1. Zdania Przez α, β będziemy oznaczać zdania. Każdemu zdaniu możemy przyporządkować wartość logiczną 1, gdy jest prawdziwe oraz wartość logiczną
5. OKREŚLANIE WARTOŚCI LOGICZNEJ ZDAŃ ZŁOŻONYCH
5. OKREŚLANIE WARTOŚCI LOGICZNEJ ZDAŃ ZŁOŻONYCH Temat, którym mamy się tu zająć, jest nudny i żmudny będziemy się uczyć techniki obliczania wartości logicznej zdań dowolnie złożonych. Po co? możecie zapytać.
Elementy logiki matematycznej
Elementy logiki matematycznej Przez p, q będziemy oznaczać zdania. Każdemu zdaniu możemy przyporządkować wartość logiczną 1, gdy jest prawdziwe oraz wartość logiczną 0, gdy jest fałszywe. Oznaczmy wartość
16. PODSTAWOWE POJĘCIA LOGIKI KWANTYFIKATORÓW
16. PODSTAWOWE POJĘCIA LOGIKI KWANTYFIKATORÓW 16.1. Cele zrozumienie, w jakim sensie logika kwantyfikatorów jest poszerzeniem logiki zdań umiejętność symbolizacji prostych zdań indywiduowych i skwantyfikowanych
(g) (p q) [(p q) p]; (h) p [( p q) ( p q)]; (i) [p ( p q)]; (j) p [( q q) r]; (k) [(p q) (q p)] (p q); (l) [(p q) (r s)] [(p s) (q r)];
![(g) (p q) [(p q) p]; (h) p [( p q) ( p q)]; (i) [p ( p q)]; (j) p [( q q) r]; (k) [(p q) (q p)] (p q); (l) [(p q) (r s)] [(p s) (q r)];](/thumbs/58/42277365.jpg "(g) (p q) [(p q) p]; (h) p [( p q) ( p q)]; (i) [p ( p q)]; (j) p [( q q) r]; (k) [(p q) (q p)] (p q); (l) [(p q) (r s)] [(p s) (q r)];")
Logika 1. Czy następujące sformułowania są zdaniami: (a) Wszystkie koty w Polsce są czarne. (b) Jak to udowodnić? (c) x + y = 7. (d) Jeśli x 2 = y 2, to x = y. (e) Jeśli x = y, to x 2 = y 2. (f) 2 n +
Lista 1 (elementy logiki)
Podstawy nauczania matematyki 1. Zdanie Lista 1 (elementy logiki) EE I rok W logice zdaniem logicznym nazywamy wyrażenie oznajmujące o którym można powiedzieć że jest prawdziwe lub fałszywe. Zdania z reguły
Michał Lipnicki (UAM) Logika 11 stycznia / 20
Logika Michał Lipnicki Zakład Logiki Stosowanej UAM 11 stycznia 2013 Michał Lipnicki (UAM) Logika 11 stycznia 2013 1 / 20 KRP wstęp Wstęp Rozważmy wnioskowanie: Każdy człowiek jest śmiertelny. Sokrates
1. Klasyczny Rachunek Zdań
Logiczne Podstawy Informatyki Elementy logiki 1 1. Klasyczny Rachunek Zdań Zdaniem w sensie logicznym nazywamy wyrażenie, które jest prawdziwe lub fałszywe. Prawdę i fałsz nazywamy wartościami logicznymi.
Wykład 2. Informatyka Stosowana. 8 października 2018, M. A-B. Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 1 / 41
Wykład 2 Informatyka Stosowana 8 października 2018, M. A-B Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 1 / 41 Elementy logiki matematycznej Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października
Logika I. Wykład 4. Semantyka Klasycznego Rachunku Zdań
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 4. Semantyka Klasycznego Rachunku Zdań 1 Skróty: Język Klasycznego Rachunku Zdań zamiast Klasyczny Rachunek Zdań piszę
Elementy logiki Klasyczny rachunek zdań. Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im.
Elementy logiki. Klasyczny rachunek zdań. Elementy logiki Klasyczny rachunek zdań Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza 1 Spójniki
Elementy logiki matematycznej
Elementy logiki matematycznej Przedmiotem logiki matematycznej jest badanie tzw. wyrażeń logicznych oraz metod rozumowania i sposobów dowodzenia używanych w matematyce, a także w innych dziedzinach, w
Logika Matematyczna. Zadania Egzaminacyjne, 2007
Logika Matematyczna Zadania Egzaminacyjne, 2007 I Rok Językoznawstwa i Informacji Naukowej UAM Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl Podajemy rozwiązania zadań egzaminacyjnych.
15. DOWODZENIE VI WTÓRNE REGUŁY WNIOSKOWANIA I REGUŁY PODSTAWIANIA
15. DOWODZENIE VI WTÓRNE REGUŁY WNIOSKOWANIA I REGUŁY PODSTAWIANIA W systemie SD dla każdego spójnika istnieje reguła wprowadzania i reguła eliminacji tegoż spójnika. Niemniej jednak dowodzenie za pomocą
Definicja: zmiennych zdaniowych spójnikach zdaniowych:
Definicja: Alfabet języka logiki zdań składa się z nieskończonego (najczęściej zakładamy: przeliczalnego) zbioru P, o którym myślimy jak o zbiorze zmiennych zdaniowych i skończonego zbioru symboli, o których
Podstawy Automatyki. Wykład 9 - Podstawy matematyczne automatyki procesów dyskretnych. dr inż. Jakub Możaryn. Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 9 - Podstawy matematyczne automatyki procesów dyskretnych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Kody liczb całkowitych nieujemnych Kody liczbowe dzielimy na analityczne nieanalityczne (symboliczne)
1 Podstawowe oznaczenia
Poniżej mogą Państwo znaleźć skondensowane wiadomości z wykładu. Należy je traktować jako przegląd pojęć, które pojawiły się na wykładzie. Materiały te nie są w pełni tożsame z tym co pojawia się na wykładzie.
1. Elementy logiki matematycznej, rachunek zdań, funkcje zdaniowe, metody dowodzenia, rachunek predykatów
1. Elementy logiki matematycznej, rachunek zdań, funkcje zdaniowe, metody dowodzenia, rachunek predykatów Logika matematyczna, dział matematyki zajmujący się badaniem własności wnioskowania (dowodzenia)
WSKAZANIE OBSZARÓW OBJĘTYCH OCHRONĄ ŚCISŁĄ, CZYNNĄ I KRAJOBRAZOWĄ
43 Załącznik nr 4 WSKAZANIE OBSZARÓW OBJĘTYCH OCHRONĄ ŚCISŁĄ, CZYNNĄ I KRAJOBRAZOWĄ Lp. Rodzaj ochrony Lokalizacja 1) Powierzchnia ogółem w ha 1 Ochrona ścisła Oddziały 1b, 1c, 1d, 1f, 1g, 1h, 1i, 1j,
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Elementy logiki
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Elementy logiki 1. Elementy logiki W logice zdaniem nazywamy wypowiedź oznajmującą, która (w ramach danej nauki) jest albo prawdziwa, albo fałszywa.
Logika pragmatyczna dla inżynierów
Logika pragmatyczna Logika pragmatyczna dla inżynierów Kontakt: dr hab. inż. Adam Kasperski pokój 509 B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl materiały + literatura + informacje na stronie www. Zaliczenie: Test pisemny
Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 5. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.5. Wynikanie logiczne 1 Na poprzednim wykładzie udowodniliśmy m.in.:
http://www-users.mat.umk.pl/~pjedrzej/wstep.html 1 Opis przedmiotu Celem przedmiotu jest wykształcenie u studentów podstaw języka matematycznego, wypracowanie podstawowych umiejętności przeprowadzania
Definicja: alfabetem. słowem długością słowa
Definicja: Niech X będzie zbiorem niepustym. Zbiór ten będziemy nazywać alfabetem. Skończony ciąg elementów alfabetu X będziemy nazywać słowem a liczbę elementów tego ciągu nazywamy długością słowa. Na
LOGIKA MATEMATYCZNA. Poziom podstawowy. Zadanie 2 (4 pkt.) Jeśli liczbę 3 wstawisz w miejsce x, to które zdanie będzie prawdziwe:
LOGIKA MATEMATYCZNA Poziom podstawowy Zadanie ( pkt.) Która koniunkcja jest prawdziwa: a) Liczba 6 jest niewymierna i 6 jest liczbą dodatnią. b) Liczba 0 jest wymierna i 0 jest najmniejszą liczbą całkowitą.
KURS MATEMATYKA DYSKRETNA
KURS MATEMATYKA DYSKRETNA Lekcja 8 Wprowadzenie do logiki ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Które z poniższych zdań
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa WYKŁAD 7. zdanie wynikanie wynikanie logiczne
WYKŁAD 7 zdanie wynikanie wynikanie logiczne 1 lukowski@filozof.uni.lodz.pl Katedra Logiki i Metodologii Nauk Instytut Filozofii Uniwersytet Łódzki ul. Kopcińskiego 16/18, I piętro, pok. 13 tel. 635-61-34
Drobinka semantyki KRP
Drobinka semantyki KRP Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Uniwersytet Opolski Jerzy Pogonowski (MEG) Drobinka semantyki KRP Uniwersytet Opolski 1 / 48 Wstęp
RACHUNEK ZDAŃ 7. Dla każdej tautologii w formie implikacji, której poprzednik również jest tautologią, następnik także jest tautologią.
Semantyczne twierdzenie o podstawianiu Jeżeli dana formuła rachunku zdań jest tautologią i wszystkie wystąpienia pewnej zmiennej zdaniowej w tej tautologii zastąpimy pewną ustaloną formułą, to otrzymana
Klasyczny rachunek zdań 1/2
Klasyczny rachunek zdań /2 Elementy logiki i metodologii nauk spotkanie VI Bartosz Gostkowski Poznań, 7 XI 9 Plan wykładu: Zdanie w sensie logicznym Klasyczny rachunek zdań reguły słownikowe reguły składniowe
Wykład 6. Reguły inferencyjne systemu aksjomatycznego Klasycznego Rachunku Zdań
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 6. Reguły inferencyjne systemu aksjomatycznego Klasycznego Rachunku Zdań System aksjomatyczny logiki Budując logikę
Semantyka rachunku predykatów
Relacje Interpretacja Wartość Spełnialność Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Relacje Interpretacja Wartość Plan Plan Relacje O co chodzi? Znaczenie w logice Relacje 3 Interpretacja i wartościowanie
Kultura logiczna Klasyczny rachunek zdań 1/2
Kultura logiczna Klasyczny rachunek zdań /2 Bartosz Gostkowski bgostkowski@gmail.com Kraków 22 III 2 Plan wykładu: Zdanie w sensie logicznym Klasyczny rachunek zdań reguły słownikowe reguły składniowe
Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu.
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu. 1 Logika Klasyczna obejmuje dwie teorie:
Logika Matematyczna (2,3)
Logika Matematyczna (2,3) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 11, 18 X 2007 Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (2,3) 11, 18 X 2007 1 / 34 Język KRZ
Monoidy wolne. alfabetem. słowem długością słowa monoidem wolnym z alfabetem Twierdzenie 1.
3. Wykłady 3 i 4: Języki i systemy dedukcyjne. Klasyczny rachunek zdań. 3.1. Monoidy wolne. Niech X będzie zbiorem niepustym. Zbiór ten będziemy nazywać alfabetem. Skończony ciąg elementów alfabetu X będziemy
Matematyka dla biologów skrót wykładu 1.
Matematyka dla biologów skrót wykładu 1. Dariusz Wrzosek Instytut Matematyki Stosowanej i Mechaniki, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki, Uniwersytet Warszawski, Banacha 2, 02-097 Warszawa pokój