ZASTOSOWANIE METODY MONTE CARLO DO WYZNACZANIA PRAWDOPODOBIEŃSTWA TRAFIENIA CELU POWIETRZNEGO

Transkrypt

1 Dr inż. Konrad SIENICKI Dr inż. Krzysztof MOTYL Wojskowa Akademia Techniczna ZASTOSOWANIE METODY MONTE CARLO DO WYZNACZANIA PRAWDOPODOBIEŃSTWA TRAFIENIA CELU POWIETRZNEGO Streszczenie: Pod pojęciem efektywności środka bojowego rozumie się miarę stopnia realizacji zadań, do wykonania których środek ten jest przeznaczony. Efektywnością sprzętu bojowego jest zbiór parametrów charakteryzujących stopień wykonania zadań bojowych przy jego użyciu, zgodnie z przeznaczeniem. W artykule przedstawiono metodę Monte Carlo, która została zastosowana do określania dokładności strzelania z przeciwlotniczego zestawu artyleryjskiego do celu powietrznego. APPLICATION OF THE MONTE CARLO METHOD FOR APPOINTING OF THE AIR TARGET HIT PROBABILITY Abstract: The effectiveness of the battle unit is mean the measure of a tasks execution degree according to it s destination. An effectiveness of the battle equipment is a set of parameters characterized a combat task realization degree according to it s destination. In the article the Monte Carlo method, which was applied for determining the accuracy of soaring from the anti-aircraft artillery set to the air target was presented. 1. WPROWADZENIE Pod pojęciem efektywności środka bojowego rozumie się miarę stopnia realizacji zadań, do wykonania których środek ten jest przeznaczony. Efektywnością sprzętu bojowego jest zbiór parametrów charakteryzujących stopień wykonania zadań bojowych przy jego użyciu, zgodnie z przeznaczeniem. Efektywność uzbrojenia można określać dużą ilością różnorodnych kryteriów ilościowych, do których przykładowo możemy zaliczyć: prawdopodobieństwo wykonania zadania bojowego w określonej sytuacji bojowej; prawdopodobieństwo trafienia celu jednym pociskiem, prawdopodobieństwo rażenia określonej liczby celów; wartość oczekiwaną ilości rażonych celów; wartość oczekiwaną zużytych środków bojowych na wykonanie zadania; wartość oczekiwaną czasu niezbędnego do wykonania zadania; wartość oczekiwaną strat przeciwnika; wartość oczekiwaną strat własnych. Wybór kryteriów zależy od celu prowadzonych badań, charakterystyk porównywanych wariantów uzbrojenia oraz od ich przeznaczenia. Powinny one wynikać z parametrów typu uzbrojenia. Jednym z najważniejszych parametrów charakteryzujących walory bojowe przeciwlotniczego systemu artyleryjskiego jest prawdopodobieństwo trafienia (porażenia) 895

2 celu powietrznego, gwarantującego wykonanie zadania bojowego. Prawdopodobieństwo trafienia celu powietrznego zależy od wielu czynników, które wnoszą do systemu błędy systematyczne i przypadkowe mające bezpośredni wpływ na prawidłowe wyznaczanie punktu wyprzedzonego. Do tych czynników zaliczamy: proces pomiarowy dostarczający dane o parametrach ruchu celu, proces przetwarzania danych pomiarowych, moduł obliczeń balistycznych, wysterowanie środków ogniowych na punkt wyprzedzony oraz czynniki zewnętrzne wpływające na tor lotu pocisku. Prawdopodobieństwo trafienia celu powietrznego jest przedmiotem analizy podczas dokonywania oceny skuteczności zautomatyzowanego systemu obrony przeciwlotniczej rozproszonej baterii lub dywizjonu armat 35 mm. 2. STOSOWANE METODY OKREŚLANIA DOKŁADNOŚCI STRZELANIA Z PRZECIWLOTNICZEGO SYSTEMU ARTYLERYJSKIEGO Dokładność strzelania stanowi obiektywną charakterystykę jakościową uzbrojenia. Nieprzypadkowo każdy nowy rodzaj uzbrojenia, zanim zostanie wprowadzony na wyposażenie wojsk, podlega najpierw szczegółowym badaniom, w których między innymi ocenia się dokładność jego działania. Pod pojęciem dokładności strzelania z przeciwlotniczego systemu artyleryjskiego rozumie się przede wszystkim jej celność i skupienie. Celność broni ocenia się na podstawie odchyleń wartości oczekiwanej torów lotu od środka celu, a skupienie broni na podstawie odchyleń poszczególnych torów (punktów upadku, uderzenia, trafienia) od wartości oczekiwanej toru. Rozróżnia się następujące metody określania charakterystyk dokładności strzelania: metoda doświadczalna, bezpośrednio związana ze strzelaniem pociskami artyleryjskimi lub rakietami i polegająca na opracowaniu wyników strzelań. Metoda ta szeroko jest stosowana w lufowej artylerii przeciwlotniczej; metoda teoretyczno-doświadczalna, w której bierze się pod uwagę uproszczone zależności teoretyczne w postaci wzorów interpolacyjnych w celu rozprzestrzenienia danych doświadczalnych na inne warunki strzelania; metoda modelowania statystycznego, opierająca się na statystycznej analizie materiałów z doświadczeń laboratoryjnych i symulowanych startów rakiet, przy czym charakterystyki dokładności wyznacza się drogą elektronicznej symulacji ruchu rakiety, powtarzanej wielokrotnie; metoda analityczna, polegająca na obliczeniu charakterystyk dokładności strzelania. Nie ulega wątpliwości, że dwie ostatnie metody pod względem dokładności mają wyraźną przewagę, ponieważ pozwalają na uwzględnienie znacznie większej liczby czynników, mających wpływ na strzelanie. Materiał statystyczny jest w tych przypadkach znacznie bogatszy. W trakcie rozwiązywania wielu zadań o charakterze wojskowo-technicznym celowe i niezbędne staje się stosowanie metod modelowania. Istnieją trzy zasadnicze metody modelowania procesów: matematyczna, fizyczna i mieszana (rys. 1). Modele matematyczne odróżniają się od oryginału strukturą fizyczną, a zbieżność ich z rzeczywistością wyrażona jest za pomocą równań matematycznych. Modele fizyczne natomiast, co do swej natury i formy, bliskie są oryginałowi, a różnią się od niego wymiarami, prędkością przebiegu procesu i innymi właściwościami. Metoda mieszana stanowi połączenie obu poprzednich metod, przy czym modelowanie fizyczne stosuje się do tych części procesu, które matematycznie są najtrudniejsze do uchwycenia. 896

3 Zaletą modeli matematycznych jest uniwersalność metod i stosowanej aparatury badawczej, możliwość badania dowolnych procesów, nie wyłączając nawet tych, które współcześnie nie dają się jeszcze fizycznie urzeczywistnić, szerokie i wszechstronne możliwości i prostota uzyskiwania rozwiązań optymalnych. Zaletą modelowania fizycznego jest możliwość badania dowolnych procesów niezależnie od tego, czy dają się one opisać matematycznie, czy też nie oraz duża poglądowość uzyskiwanych rezultatów. Do modelowania fizycznego zaliczyć można ćwiczenia i gry wojenne, a także różnego rodzaju badania poligonowe (z wyjątkiem tych, które odzwierciedlają rzeczywiste procesy). Metody badań Naturalne Modelowanie Fizyczne Matematyczne Mieszane Modele analityczne Modele statystyczne Określenie wartości oczekiwanej Określenie wariancji Określenie prawdopodobieństwa Weryfikacje hipotez Odnośnie wartości oczekiwanych Odnośnie wariancji Odnośnie prawdopodobieństwa Odnośnie korelacji Rys. 1. Zasadnicze metody modelowania zadań o charakterze wojskowo-technicznym Bardzo ważną zaletą modelowania fizycznego jest udział w nim człowieka, którego zachowanie się w różnorodnych sytuacjach jest bardzo trudno opisać za pomocą algorytmów. Nie ulega wątpliwości, że wyjątkowo dużą korzyść dać może łączenie modelowania fizycznego z modelowaniem matematycznym, które może następować etapami (model matematyczny, sprawdzenie wyników w toku ćwiczeń, poprawienie modelu matematycznego) lub stanowić kombinację modelu matematycznego i fizycznego (włączenie człowieka do modelu matematycznego). Obecnie modelowanie matematyczne znajduje szerokie zastosowanie do analizy różnorodnych procesów dynamicznych dzięki rozwojowi matematyki i szybkiemu postępowi elektronicznej techniki obliczeniowej, które stwarzają możliwości budowy i rozwiązywania modeli bardzo złożonych. Jednocześnie postęp techniczny w dziedzinie uzbrojenia i wyposażenia wojsk oraz wzrost jego kosztów dyktują potrzebę znacznie jeszcze szerszego stosowania metod matematycznych. Model matematyczny sprowadza się do układu równań matematycznych i relacji logicznych, za pomocą których przy przyjętych parametrach wyjściowych można wyznaczać wartości liczbowe kryteriów dla każdego wybranego wariantu rozwiązania. Modele matematyczne dzielą się na dwa zasadnicze rodzaje: 897

4 statystyczne i analityczne. Modelowanie statystyczne polega na uzyskaniu wielu losowych realizacji kryteriów, które należy statystycznie opracować. Modelowanie analityczne umożliwia wyznaczenie wartości oczekiwanej kryteriów oraz ich wariancji za pomocą form analitycznych. 3. METODA MONTE CARLO I JEJ ZASTOSOWANIE DO OKREŚLANIA DOKŁADNOŚCI STRZELANIA Z PRZECIWLOTNICZEGO SYSTEMU ARTYLERYJSKIEGO Metodą Monte Carlo nazywamy dowolną procedurę, w której znalezienie przybliżonego rozwiązania jakiegoś zadania matematycznego lub fizycznego oparte jest na zasadach statystycznego pobierania próbek. Metoda Monte Carlo ma zastosowanie do: badania procesów stochastycznych (przy czym zakłada się, że matematyczny lub fizyczny model tego procesu został już skonstruowany), rozwiązywania zadań deterministycznych (przez analogię między równaniami, które opisują takie zadania i równaniami opisującymi procesy stochastyczne). W badaniach efektywności uzbrojenia dość często zachodzi potrzeba posługiwania się pierwszą odmianą tej metody. Stosunkowo łatwo można sformułować złożone modele, zawierające prawdopodobieństwa związane z różnymi elementami przypadkowymi, takie jak: prawdopodobieństwo niezawodnej pracy wszystkich elementów systemu uzbrojenia, prawdopodobieństwo trafienia w cel, prawdopodobieństwo zniszczenia celu itp. Zbadanie tak złożonego modelu metodami analitycznymi jest bardzo trudne, a nawet niemożliwe. Dlatego też w wielu wypadkach metody Monte Carlo okazały się jedynymi, przydatnymi do praktycznego zastosowania metodami badawczymi. Rozpatrzymy zastosowanie metody Monte Carlo na prostym przykładzie. Przypuśćmy, że mamy obliczyć prawdopodobieństwo P trafienia pocisku w cel powietrzny, posiadający kształt koła o promieniu r. Zadanie to rozwiązuje się analitycznie, korzystając ze wzoru: gdzie: (1) Niewielkie skomplikowanie tego zadania sprawia, że uzyskanie dokładnego rozwiązania analitycznego staje się niemożliwe i wówczas zastosowanie metody Monte Carlo staje się celowe również dla praktycznych obliczeń. Aby wyliczyć prawdopodobieństwo P metodą Monte Carlo, należy przeprowadzić serię prób n: 1. Określić współrzędne punktu trafienia pocisku y n i z n. 2. Obliczyć odległość punktu trafienia od współrzędnych punktu celu: (2) (3) 3. Porównać r n i r. Jeżeli r n <r, to mamy trafienie w cel. Niech liczba takich przypadków będzie równa m. Jeżeli r n >r, to trafienia nie ma. 4. Obliczyć prawdopodobieństwo trafienia w cel: 898

5 Istota metody Monte Carlo tkwi w tym, że zakres jej stosowania nie ma jakichś zasadniczych ograniczeń, a praktycznie może być tylko ograniczony zużyciem czasu na dokonanie obliczeń. Szeroki rozwój komputerowych technik obliczeniowych uwalnia nas w znacznej mierze również i od tego ograniczenia, tak że metoda Monte Carlo staje się dokładną metodą rozwiązywania złożonych problemów z zakresu określania dokładności strzelania zestawów przeciwlotniczych. Pozytywną własność metody stanowi prostota jej praktycznego wykorzystania. Jeśli badany proces daje się opisać za pomocą układu dowolnych równań czy praw logicznych, to zastosowanie metody Monte Carlo nie przedstawia żadnych zasadniczych trudności, nie nakłada żadnych ograniczeń na te równania, czy prawa i nie wymaga ich uproszczenia. (4) 4. ANALIZA NUMERYCZNA WYZNACZANIA PRAWDOPODOBIEŃSTWA TRAFIENIA CELU PRZY WYKORZYSTANIU METODY MONTE CARLO Dokładność strzelania określa się zwykle sposobem doświadczalnym. Jednakże wysokie koszty doświadczalnego sposobu określania dokładności strzelania, konieczność przeprowadzenia dużej liczby takich doświadczeń w celu niezawodnego określenia dokładności strzelania w różnych warunkach, zmuszają do poszukiwania teoretycznych sposobów określania dokładności strzelania. Jednym z obiektywnych sposobów jest modelowanie statystyczne lotu pocisku z uwzględnieniem zakłóceń, działających na pocisk w czasie lotu. Wyznaczenie dokładności strzelania przy wykorzystaniu metody Monte Carlo przebiega w następujących etapach: określenie zakłóceń, określenie układu równań, opisujących proces ruchu pocisku, przeprowadzenie prób statystycznych i określenie w rezultacie każdej próbki uchylenia pocisku od celu, przeprowadzenie opracowania statystycznego otrzymanych danych i ocena dokładności uzyskanych wyników. Podczas modelowania statystycznego należy przeprowadzić próby lotu dostatecznie dużej liczby pocisków. Dla każdego układu warunków i zbioru parametrów pocisku należy wykonać dużą liczbę rozwiązań, aby można było uwzględnić zmiany wielkości losowych od jednego lotu do drugiego. Modelowanie lotu pocisków i rakiet można wykonywać zarówno za pomocą metod numerycznych techniką komputerową, jak i modeli analogowych. Modele analogowe stosowane są do analizy zagadnień stosunkowo prostych. Dużą wadą modeli analogowych jest mniejsza dokładność uzyskanych wyników, spowodowana koniecznością przekształcenia równań różniczkowych w równania różnicowe, oraz ograniczenie złożoności zadania w odniesieniu do układów nieliniowych. Symulacja komputerowa lotu pocisku charakteryzuje się wysoką dokładnością i szerokimi możliwościami rozwiązywania złożonych układów równań, a ich wykorzystanie ograniczone jest głównie zużyciem czasu obliczeniowego i czasu na programowanie. 899

6 4.1. Model symulacyjny procesu strzelania pociskiem przeciwlotniczym do celu powietrznego w pakiecie Mathcad Stochastyczny model symulacyjny procesu strzelania do celu powietrznego opracowano w pakiecie MATHCAD. Na podstawie opracowanego modelu fizycznego pocisku oraz modelu matematycznego procesu strzelania opracowano algorytm stochastycznej symulacji strzelań. W oparciu o algorytm przedstawiony na rysunku 2 opracowano w pakiecie MATHCAD program komputerowy pozwalający na dokonanie symulacji strzelań 35 mm pociskiem przeciwlotniczym typu TP-T i FAPDS-T. W każdej symulacji założono liczność prób na poziomie realizacji. W ogólnym przypadku wybrane wielkości wejściowe symulacji traktuje się jako zmienne losowe i dla każdej próby losuje się pewną ich realizację, co powoduje losowy rozkład współrzędnych punktów trafienia pocisku w płaszczyznę celu. Rozkład ten przyjęto opisywać funkcją gęstości dwuwymiarowego normalnego rozkładu prawdopodobieństwa. Do analiz przyjęto odchylenia prawdopodobne następujących parametrów E i : E V prędkości wylotowej V 0 ; E m masy pocisku m p ; E kąta wizowania celu w elewacji 0 ; E kąta wizowania celu w azymucie 0; E Vwb prędkości wiatru bocznego V wb. Dla wybranych danych wejściowych do symulacji przeprowadzana jest próba polegająca na numerycznym rozwiązaniu równań opisujących ruch przestrzenny pocisku do celu powietrznego. START Określenie liczności próby Losowanie warunków początkowych, traktowanych jako zmienne losowe Rozwiązanie równań modelu matematycznego oraz określenie współrzędnych punktu trafienia pocisku w cel powietrzny Czy została osiągnięta założona liczba prób? Estymacja parametrów rozkładu punktów trafienia pocisku Wyznaczenie prawdopodobieństwa trafienia i porażenia celu powietrznego T KONIEC Rys. 2. Algorytm stochastycznej symulacji strzelań do celu powietrznego N Po zakończeniu cyklu prób, przelicza się współrzędne punktów trafień w nowym układzie współrzędnych cy r z r, o początku w środku celu i wzajemnie prostopadłych osiach y r, z r. Na podstawie tak określonych współrzędnych estymuje się następujące parametry rozkładu punktów trafień (rys. 3): średnia statystyczna wartość oczekiwanej zmiennej losowej Y, średnia statystyczna wartość oczekiwanej zmiennej losowej Z, średnia statystyczna dyspersji dla zmiennej losowej Y, średnia statystyczna dyspersji dla zmiennej losowej Z, średnia statystyczna kowariancji, średnie statystyczne odchylenie standardowe dla zmiennej losowej Y, średnie statystyczne odchylenie standardowe dla zmiennej losowej Z, współczynnik korelacji. 900

7 Rys. 3. Przykładowy rozkład punktów trafień pocisku TP-T uzyskany z symulacji komputerowej dla odległości strzelania 1000 m 4.2. Wyniki badań numerycznych wyznaczania prawdopodobieństwa trafienia pociskiem w cel powietrzny amunicją TP-T i FAPDS-T Poniżej przedstawiono wyniki badań symulacyjnych procesu strzelania pociskiem TP-T i FAPDS-T w nieruchomą i ruchomą zastępczą sylwetkę celu powietrznego przedstawioną na rysunku 4 na odległościach strzelania od m i dla kąta wizowania celu 200 tysięcznych. y zastępcze pole rażenia (sylwetka samolotu w kształcie prostokąta) 2 m x 10 m Rys. 4. Zastępcze pole rażenia samolotu w kształcie prostokąta o wymiarach 2 x 10 m Mając wyznaczone estymatory rozkładu punktów trafień na płaszczyźnie celu powietrznego, wyznaczono: prawdopodobieństwo trafienia pociskiem TP-T w nieruchomą i ruchomą zastępczą sylwetkę celu powietrznego, prawdopodobieństwo trafienia pociskiem FAPDS-T w nieruchomą i ruchomą zastępczą sylwetkę celu powietrznego. Wyznaczenie prawdopodobieństwa trafienia pociskiem w nieruchomy i ruchomy cel powietrzny dla pocisków TP-T i FAPDS-T przeprowadzono dla wybranych parametrów z tabel do strzelań przeciwlotniczych przedstawionych w tabelach 1 i 2 oraz 3 i

8 prawdopodobieństwo Tabela 1. Tabela do strzelań przeciwlotniczych pociskiem TP-T dla kąta wizowania celu 200 mils Odległość do celu r [m] Kąt celownika [mils] Czas lotu t [s] Zboczenie 1 [mils] Wysokość celu h [m] Prędkość uderzenia w cel v u [m/s] ,13 0,957 0,1 195,1 917, ,17 2,216 0,1 390,2 688, ,31 3,924 0,2 585,3 499, ,12 6,305 0,3 780,4 354,9 Tabela 2. Tabela do strzelań przeciwlotniczych pociskiem FAPDS-T dla kąta wizowania celu 200 mils Odległość do celu r [m] Kąt celownika [mils] Czas lotu t [s] Zboczenie 1 [mils] Wysokość celu h [m] Prędkość uderzenia w cel v u [m/s] ,5 0,735 0,0 195,1 1282, ,4 1,555 0,1 390,2 1149, ,9 2,484 0,1 585,3 1030, ,0 3,516 0,2 780,4 922,8 Tabela 3. Wartości liczbowe wybranych parametrów wejściowych dla pocisku TP-T i celu Lp. Dane wejściowe do programu Wartości liczbowe 1. Masa pocisku [kg] 0, Prędkość początkowa pocisku [m/s] Kaliber pocisku [m] 0, Prędkość celu [m/s] 100 Tabela 4. Wartości liczbowe wybranych parametrów wejściowych dla pocisku FAPDS-T i celu Lp. Dane wejściowe do programu Wartości liczbowe 1. Masa pocisku [kg] 0,38/0, Prędkość początkowa pocisku [m/s] Kaliber pocisku [m] Prędkość celu [m/s] TP-T FAPDS-T Rys. 5. Prawdopodobieństwo trafienia pociskiem w cel nieruchomy w funkcji odległości strzelania dla pocisku TP-T i FAPDS-T D [m] 902

9 prawdopodobieństwo prawdopodobieństwo TP-T FAPDS-T Rys. 6. Prawdopodobieństwo trafienia w cel poruszający się z prędkością Vc = 100 m/s w funkcji odległości strzelania pociskiem TP-T i FAPDS-T (lot celu na parametrze, tylna półsfera) D [m] TP-T FAPDS-T D [m] Rys. 7. Prawdopodobieństwo trafienia w cel poruszający się z prędkością Vc = 100 m/s w funkcji odległości strzelania pociskiem TP-T i FAPDS-T (lot celu na parametrze, przednia półsfera) 5. PODSUMOWANIE I WNIOSKI KOŃCOWE 1. Model matematyczny procesu strzelania do celu powietrznego i program symulacyjny opracowany w pakiecie MATHCAD został oparty na stochastycznym algorytmie wyznaczania prawdopodobieństwa trafienia pociskiem TP-T i FAPDS-T w zastępczą sylwetkę celu powietrznego. 2. Do wyznaczenia prawdopodobieństwa trafienia pociskiem w cel nieruchomy i ruchomy zastosowano metodę Monte Carlo, która w zagadnieniach dotyczących określania dokładności strzelania ma bardzo szerokie zastosowanie. 3. Dla wybranych danych wejściowych do symulacji, takich jak: prędkość wylotowa V 0 (±2%), masa pocisku m p (±2%), kąt wizowania celu w elewacji 0 (±0.02 ), kąt wizowania celu w azymucie 0 (±0.02 ), przeprowadzana jest próba polegająca na numerycznym rozwiązaniu równań opisujących ruch przestrzenny pocisku w układzie współrzędnych 0y r z r, o początku w środku celu i wzajemnie prostopadłych osiach y r, z r. 903

10 4. Wybrane wielkości wejściowe symulacji traktuje się jako zmienne losowe i dla każdej próby losuje się pewną ich realizację, co powoduje losowy rozkład współrzędnych punktów trafienia pocisku w płaszczyznę celu. 5. Na podstawie tak określonych współrzędnych estymuje się parametry rozkładu punktów trafień, wykorzystując metodę największej wiarygodności. Mając wyznaczone estymatory rozkładu punktów trafień na płaszczyźnie celu powietrznego, można przystąpić do wyznaczenia prawdopodobieństwa trafienia (porażenia) celu powietrznego. *** Praca naukowa finansowana ze środków na naukę w latach jako projekt badawczy rozwojowy nr R LITERATURA [1] Podstawy badań operacyjnych w technice wojskowej, Wydawnictwo Ministerstwa Obrony Narodowej, [2] Gacek J., Sznuk K.: Teoria i zasady strzelania, WAT, Warszawa [3] Tomaszek H., Wróblewski M.: Podstawy oceny efektywności eksploatacji systemów uzbrojenia lotniczego, WAT, Warszawa [4] Radomski M.: Ocena skuteczności zestawów małokalibrowych armat automatycznych przeznaczonych do zwalczania celów powietrznych, Mat. III Międzynarodowego Sympozjum Rozwój Techniki Wojskowej, Systemy dowodzenia, Gdynia 1995, s [5] Papoulis A.: Prawdopodobieństwo, zmienne losowe i procesy stochastyczne, WNT, Warszawa [6] Pogorzelski F.: Teoria strzelania artylerii naziemnej, WAT, Warszawa [7] Szapiro J.: Balistyka zewnętrzna, MON, Warszawa