Lista 1 1. Ile jest tablic rejestracyjnych formatu LL CCCC? A ile CC LLLL?

Transkrypt

1 Statystyka i Rachunek Prawdopodobieństwa (IB) Lista zadań Marek Klonowski Wrocław 2015/16 Lista 1 1. Ile jest tablic rejestracyjnych formatu LL CCCC? A ile CC LLLL? 2. Ile jest ciągów bitowych długości 10? A ile z nich ma 0 na końcu? 3. Na ile sposobów można ustawić 3 osoby w kolejce? 4. Marek posiada 12 różnych książek - 7 z matematyki, 2 o filatelistyce oraz dwa życiorysy - Agnieszki Fitkau-Perepeczko i Justina Bibera. Na ile sposobów może ustawić książki na półce? Na ile sposobów może ustawić książki jeśli życiorys p. Agnieszki ma być na pierwszym miejscu? a na ile, jeśli książki z każdej dziedziny (matematyka, życiorysy, filatelistyka) mają być obok siebie? Dla ułatwienia przyjmij, że Marek ma półkę. 5. Ile jest słów czteroliterowych nad alfabetem {a, b, d, p, u}? A takich, które nie kończą się na literę a? 6. Czego jest więcej - ludzi na świecie czy ciągów 35 bitowych? 7. Czego jest więcej - atomów we wszechświecie czy ciągów 200 bitowych? 8. Na ile sposobów z klasy o 20 chłopcach i 15 dziewczynkach można wybrać delegację złożoną z 2 chłopców i dziewczynki? 9. TRUDNIEJSZE: Ile jest ciągów 100 bitowych takich, że jest dokładnie 80 jedynek a żadne dwa zera nie stoją obok siebie? 10. Udowodnij a potem uzasadnij (podaj interpretację kombinatoryczną) ( ) n = r ( ) n 1 + r 1 ( ) n Co ma wspólnego z pokerem liczba ( 52 5 ). Ile jest pokerów? 12. Przypomnij sobie i uzasadnij prawa de Mograna Lista 2 1. Marek ma 12 skarpet (6 par) - wybiera losowo dwie skarpety. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ubierze parę? r 1

2 2. Marek ma już tylko 10 skarpet - (4 pary i dwie pojedyncze skarpety) - wybiera losowo dwie skarpety. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ubierze parę? 3. Rysując odpowiedni diagram Venna uzasadnij, że dla zbiorów A, B, C zachodzi P (A B C) = P (A)+P (B)+P (C) P (A B) P (B C) P (C A)+P (A B C) 4. TRUDNIEJSZE: Udowodnij, że Podaj interpretację. n i=0 ( ) n = 2 n. i Lista 3 1. Dla n r udowodnij i uzasadnij wzór ( ) ( ) n n =. r n r 2. Rzucamy 10 razy monetą. Niech zdarzenia A oznacza, że w ostatnim rzucie wypadł orzeł a B że liczba orłów jest parzysta. Czy A i B są niezależne? 3. Rzucam dwa razy kostką. Niech S oznacza zdarzenie, że suma na obu kostkach jest równa 7 a A zdarzenie, że na pierwszej kostce jest 3. Czy zdarzenia A i S są niezależne? 4. Wiemy, że procenta ludzi jest zarażonych bakteriami guzikowca dżemowego. Na PWr opracowano test na nosicielstwo tej bakterii. Test daje odpowiedź pozytywną w przypadku osoby zarażonej z prawdopodobieństwem W przypadku osoby zdrowej wynik jest negatywny też z prawdopodobieństwem Pan Duszan, którego uznać można za losowego człowieka, otrzymał pozytywny wynik testu. Jakie jest prawdopodobieństwo, że jest nosicielem guzikowca dżemowego? Co z tego wynika dla praktyki? Czy ten test jest dobry? Czy założenie, że pacjent jest losowym człowiekiem jest istotne? 5. Przedstaw uogólniony wzór Bayesa przy rozbiciu przestrzeni probabilistycznej na zbiory B 1, B 2, Wypiłem kawę. Po wypiciu kawy rzucam monetą. Jak wypadnie orzeł znów wypijam kawę. (I tak rekurencyjnie). Po zakończeniu picia kaw, jeśli wypiłem ich k, mam migrenę z prawdopodobieństwem 1/k. Dziś migreny nie miałem. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wypiłem dokładnie 2 kawy? 7. TRUDNIEJSZE: Rzucam 100 razy monetą. Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba wyrzuconych orłów? (Możesz wykorzystać komputer) 8. Czy zdarzenie A może być niezależne od samego siebie? 9. Rzucam 100 razy monetą. Oblicz prawdopodobieństwa: wyrzucenia 50 orłów w 50 pierwszych rzutach; wyrzucenia dokładnie 50 orłów; 2

3 wyrzucenia samych reszek; wyrzucenia co najmniej dwóch reszek. Lista 4 1. Rozważmy taką sytuację - rzucam monetą, tak długo aż dostanę orła. Oczywiście możemy przyjąć, że kolejne rzuty są niezależne. Opisz przestrzeń probabilistyczną ( zbiór zdarzeń Ω oraz funkcję prawdopodobieństwa). 2. Rzucam kostką dwa razy. Niech zdarzenie A oznacza, że wypadła 6 na obu oczkach; zdarzenie B że suma oczek jest równa 8 a zdarzenie C oznacza, że na pierwszej kostce wypadła czwórka. Policzyć P (A C) P (B C) P (B C) P (A C) P (C A) P (A (C B)) P (A C C) P (A C B) P (A (C B)) P (A C C C ) P (A C A B) 3. Podaj przykłady par zdarzeń A, B, takich że P (A B) > P (A) oraz P (A B) < P (A). 4. Niech A, B dwa zdarzenia o dodatnim prawdopodobieństwie. Udowodnij, że jeśli P (A B) = P (A) to P (B A) = P (B). 5. Pan Duszan zjada na kolację dokładnie i cukierków z prawdopodobieństwem 1/2 i (dla i = 1, 2,...). Pan Duszan po zjedzeniu jednego cukierka nie choruje. Gdy zje dwa lub trzy cukierki choruje z prawdopodobieństwem 1/2. Gdy zje więcej niż trzy cukierki to choruje na pewno. Jakie jest prawdopodobieństwo, że Pan Duszan się rozchoruje? Wiemy, że się rozchorował. Jakie jest prawdopodobieństwo, że zjadł dokładnie dwa cukierki? 6. O zdarzeniach A, B, C wiemy, że są niezależne, P (A) = P (B) = 0.2 oraz P (C) = 0.1. Policzyć P (A B C). 7. O zdarzeniach A, B, C wiemy, że są niezależne, P (A) = P (B) = 0.2 oraz P (C) = 0.7. Policzyć prawdopodobieństwo, że nie zajdzie żadne z tych zdarzeń. 8. Czy zdarzenia rozłączne mogą być niezależne? 9. Wyciągamy ze standardowej talii 52 kart trzy kary. Jakie jest prawdopodobieństwo, że będą one tego samego koloru? 10. Wyciągamy ze standardowej talii 52 kart trzy kary. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród nich nie ma asa? 11. Na stole są trzy karty - as pik, as trefl oraz królowa pik. Pozostałe 49 kart jest w talii. Ciągnę trzy karty. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród nich nie ma asa? 3

4 Lista 5 1. Niech zmienna losowa X oznacza liczbę oczek jaką uzyskamy rzucając kostką. Podać rozkład zmiennej losowej X. Policzyć prawdopodobieństwa P (X < 3) oraz P (X = 5). Naszkicować dystrybuantę X. 2. X, Y - niezależne zmienne losowe odpowiadające niezależnym rzutom kostką. Policzyć P (X = Y ), P (X = Y = 2), P (X > Y ), P (X = 2, Y < 3) 3. Rzucam kostką tak długo, aż wyrzucę szóstkę. Niech X będzie liczbą rzutów które wykonam. Podać rozkład zm. losowej X. Policzyć P (X > 3) oraz P (X = 14). Jak wygląda dystrybuanta zm. losowej X? Lista 6 1. X 1, X 2 - dwa niezależne rzuty kostką. Niech Y = min{x 1, X 2 }. Pokazać, że zmienne losowe X oraz Y nie są niezależne. Ponadto narysuj dystrybuantę zmiennej loswej Y. 2. Zmienna losowa X przyjmuje wartości 5, 2, 0, 2 z prawdopodobieństwami odpowiednio 0.5; 0.3; 0.1; 0.1. Narysować dystrybuanty zm. losowych X, 2X, 2 X 1 a potem policzyć Pr[X = 2] Pr[ X = 2] Pr[X < 5] Pr[2X 1 < 5]. A po wszystkim jeszcze znaleźć medianę X oraz kwantyl rzędu 3/4. 3. Czy funkcja f(x) = x może być dystrybuantą jakiejś zmiennej losowej? 4. Zmienna losowa X Funkcja f(x) = c dla x [ 1, 2] oraz f(x) = 0 dla innych x. Policzyć c Policzyć Pr[X (0, 1)] Policzyć Pr[ X = 1] Pr[ X < 1] Naszkicować, jak zwykle, dystrybuantę. 5. X, Y - zmienne losowe takie, że Pr[X = 1] = Pr[X = 0] = Pr[Y = 1] = Pr[Y = 0] = 1/2. Czy może być Pr[X + Y = 2] = 0 Pr[X + Y = 2] = 1/4 Pr[X + Y = 2] = 1/2 Pr[X + Y = 2] = 1 A jak założymy niezależność to może tak być? Lista 7 Uwaga - do rozwiązania części zadań niezbędna jest wiedza z wykładu Pokazać, że D 2 (X) = E(X 2 ) (E(X)) 2 4

5 2. Pokazać, że wariancja zm.loswoej, o ile istnieje, jest nieujemna. 3. Zmienna losowa ma rozkład jednostajny na przedziale [ 3, 3]. Narysować jej dystrybuantę. 4. Zmienna losowa ma rozkład jednostajny na zbiorze { 1, 0, 1, 2}. Policzyć wartość oczekiwaną i wariancję. 5. Przy każdym podejściu do egzaminu na prawo jazdy udaje mi się niezależnie od poprzednich prób zdać z prawdopodobieństwem 1/6. Niech X będzie liczbą moich prób. Policzyć Pr[X < 4] oraz E(X). 6. Zmienna losowa X ma rozkład normalny z parametrami (2, 3). Korzystając z tablic (komputera/internetu). Policzyć Pr[X > 3.22] oraz Pr[X < 1]. 7. Zmienna losowa X ma rozkład Poissona z parametrem λ. Policzyć jej wariancję oraz wartość średnią (oczekiwaną) Lista Przykładowa na Kolokwium 1. Ile jest dziesięcioliterowych ciągów nad alfabetem {a, b, c} zaczynających się od a, takich, że występują tam dokładnie dwie litery c? 2. Pan Daniel je kanapkę z szynką z prawdopodobieństwem 1/10, kanapkę z serem z p-stwem 1/10 oraz suchą bułkę z p-swtem 9/10. Po kanapce z szynką choruje zawsze, po kanapce z serem z prawdopodobieństwem 1/2 zaś po samej bułce nigdy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że zachoruje? Zachorował, jakie jest prawdopodobieństwo, że jadł suchą bułkę? Nie zachorował, jakie jest prawdopodobieństwo, że jadł suchą bułkę? Nie zachorował, jakie jest prawdopodobieństwo, że jadł suchą kanapkę z serem? 3. Zdarzenia A, B, C są niezależne oraz Pr[A] = 1/2, Pr[B] = 1/2, Pr[C] = 1/4. Oblicz Pr[A B C]. 4. Rzucamy 100 razy sprawiedliwą monetą. Jakie jest p-stwo, że co najwyżej raz wypadnie orzeł? 5. Niech X i - wynik i-tego rzutu kostką. Rzuty są niezależne. Niech S = X X Policzyć wariancję oraz wartość oczekiwaną S oraz 2S Zm. losowa ma rozkład jednostajny na [0, 5] - naszkicować dystrybuantę, policzyć wartość oczekiwaną, medianę, etc. A potem to samo dla rozkładu jednostajnego na zbiorze { 1, 0, 1, 2}. Lista 8 1. Zm. losowe X, Y mają rozkład łączny opisany tak: Pr[X = 1, Y = 2] = 0.25, Pr[X = 3, Y = 0] = 0.25, Pr[X = 1, Y = 0] = 0.25, Pr[X = 1, Y = 2] = Policzyć kowariancję Corr(X, Y ) oraz wsp. korelacji ρ(x, Y ). 2. Zm. losowe X, Y mają rozkład łączny opisany tak: Pr[X = 1, Y = 0] = 0.2, Pr[X = 3, Y = 1] = 0.2, Pr[X = 1, Y = 1] = 0.2, Pr[X = 1, Y = 2] = 0.2, Pr[X = 3, Y = 1] = 0.2. Policzyć kowariancję Corr(X, Y ) oraz wsp. korelacji ρ(x, Y ). 5

6 3. Zm. losowe X, Y mają rozkład łączny opisany tak: Pr[X = 1, Y = 1] = 0.25, Pr[X = 1, Y = 1] = 0.5, Pr[X = 1, Y = a] = Dla jakich wartości parametru a wsp. korelacji ρ(x, Y ) jest ujemny? 4. Zmienne losowe X 1, X 2,..., X 1 0 są niezależne. Ponadto X i ma rozkład normalny N (i, 2) (czyli σ 2 = 2). Korzystając z Tablic / Komputera policzyć Pr[X 1 + X X 1 0 > 20]. 5. Zmienne losowe X 1, X 2,..., X n są niezależne. Ponadto X i ma rozkład normalny N (i, 5) (czyli σ 2 = 5). Korzystając z Tablic / Komputera policzyć Pr[10 < X 1 + X X n < 20]. 6. X ma rozkład normlalny N ( 1, 1). Korzystając z tablic/komputera znajdź a takie, żeby Pr[X < a] > X, Y mają rozkład normlalny N (0, 1) i są niezależne. Korzystając z tablic/komputera znajdź a takie, żeby Pr[ X + Y < a] > Dlaczego wzrost ludzi albo oceny nie mogą (wbrew obiegowym opiniom) mieć rozkładu normalnego? Lista 9 Uwaga - do rozwiązania części zadań niezbędna jest wiedza z wykładu X 1, X 2,..., X 100 są niezależne a każdy ma rozkład jednostajny na zbiorze [ 1, 1]. Stosując CTG oszacuj Pr[10 < X 1 + X X 100 < 20]. 2. X 1, X 2,..., X 100 są niezależne a każdy ma rozkład jednostajny na zbiorze [1, 2]. Stosując CTG oszacuj Pr[10 < X 1 + X X 100 < 20]. 3. Rzucam tysiąc razy monetą. Stosując CTG oszacuj prawdopodbieństwo, że liczba reszek będzie w przedziale [400, 550]. 4. Rzucam sto razy kostką a wynik sumuję dostając S. Stosując CTG oszacuj Pr[S > 3300] oraz Pr[S > 4300]. Lista Zaobserwowano takie wartości stężenia cynku w drażach Korsarz : 0.1, 0.02, 0.2, 0.3, 0.02, 0.1, 0.3, 0.4, 0.1, 0.2. Naszkicować dystrybuantę empiryczną tudzież histogram dla punktów podziału 0.02, 0.1, 0.15, 0, 25, Próbka X 1, X 2,..., X n pochodzi z rozkładu jednostajnego na odcinku [0, a] o nieznanym parametrze a > 0. Stosując metodę momentów znaleźć estymator dla m. Czy tak skonstruowany estymator jest nieobciążony? (Uwaga - to prosty przypadek, wystarczy jeden moment ). 3. Pan Janusz Marchewka otrzymał następujące wyniki obserwacji 0.1, 0.2, 0.2, 0.3, 0.2, 0.1, 0.3, 0.4, 0.1, 0.2, 0.5, które miały pochodzić z rozkładu jednostajnego na zbiorze [0, x]. Pan Marchewka postanowił estymować x stosując wzór z poprzedniego zadania. Jaki wyszedł mu wynik? 4. Zaobserwowano pewną próbkę X 1, X 2,..., X n pochodzącą z rozkładu o rozkładzie normalnym N(µ, 1) (średnia nieznana, wariancja 1). Pan Marchewka zaproponował estymator ˆµ M = 1 n n i=1 X i, Kubuś Puchatek, aby za dużo nie liczyć, zaproponował estymator ˆµ K = 1 2 (X 1 + X 2 ) a Prosiaczek twierdząc, że to i tak bez sensu zaproponował estymator ˆµ P = 0. Które estymatory ˆµ M, ˆµ P, ˆµ K są nieobciążone? Jakie mają wariancje? Który jest najlepszy? Które są zgodne? 6