8. WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH DWA RODZAJE TESTÓW STATYSTYCZNYCH: PARAMETRYCZNE I ZGODNOŚCI
|
|
- Leszek Kalinowski
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Weryfikacja hipotez statystyczych WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH DWA RODZAJE TESTÓW STATYSTYCZNYCH: PARAMETRYCZNE I ZGODNOŚCI 81 Rodzaje testów oraz etapy badań statystyczych Badaie iteresującej as cechy statystyczej populacji geeralej może się odbywać w dwóch różych sytuacjach: zaego oraz iezaego rozkładu prawdopodobieństwa W pierwszym przypadku szukamy tylko wartości pewych parametrów rozkładu i koiecze są odpowiedie testy parametrycze W drugim przypadku, gdy poszukiway jest rozkład prawdopodobieństwa, koiecze są testy zgodości rozkładów prawdopodobieństwa Jak już iejedokrotie podkreślao badaie każdej cechy statystyczej odbywa się w dwóch etapach: stawiaie hipotezy statystyczej a podstawie zebraego materiału statystyczego, a astępie zebraie owego, iezależego materiału statystyczego dla przeprowadzeia sprawdzeia, a więc testu-weryfikacji postawioej hipotezy statystyczej Wykorzystywaie tego samego materiału statystyczego do formułowaia i weryfikowaia hipotezy jest iedopuszczale, bowiem ie powio am zależeć a jak ajszybszym przyjęciu każdej hipotezy, jak to czasem bywa podczas testowaia, gdy testującemu, w grucie rzeczy, ie zależy a obiektywej prawdzie statystyczej, a zależy a przemyceiu pewych hipotez statystyczych, które uważa za pożytecze Są to iestety sytuacje maipulowaia materiałem statystyczym dla uzyskaia z góry założoego rezultatu badań statystyczych W zdrowej sytuacji praktyczej, ie powio się z góry igdy iczego zakładać i odrzucaie hipotezy powio występować jeszcze częściej, iż przyjmowaie A więc ormala sytuacja praktycza to taka, w której badający poszukuje obiektywej prawdy statystyczej i ie jest zaiteresoway jakimś z góry określoym wyikiem badań Tak więc postawioa hipoteza statystycza, aby moża ją traktować jako sprawdzoą hipotezę, musi rówież być potwierdzoa przez iezależy materiał statystyczy Jest to podstawowy kao sztuki statystyczej Co zatem robić, gdy ie możemy, ze względów kosztowych lub techiczych, zebrać iezależego materiału weryfikacyjego? Należy losowo (ie tedecyjie) podzielić zebray materiał a
2 96 Weryfikacja hipotez statystyczych 8 dwie części: jedą do stawiaia, a drugą do weryfikacji badaej hipotezy, a przykład za pomocą geeratora liczb pseudolosowych lub tablic statystyczych Drugim kaoem sztuki statystyczej jest specyficzy język określający badae hipotezy statystycze, który powiie am uświadamiać, że asze wioski z przeprowadzoych badań mają bardzo specyficzy, warukowy charakter, co pozwala am a ostroże formułowaie ogólych wiosków płyących z badań statystyczych W języku potoczym ie stosuje się a ogół tak ostrożego wyrażaia sądów ogólych, jakim są zweryfikowae hipotezy statystycze Język wiosków z weryfikacji hipotez statystyczych wyraża tę iepewą sytuację, jaką jest asza zajomość badaej rzeczywistości Trzecim kaoem sztuki statystyczej jest bardzo duża ostrożość podczas zbieraia i przetwarzaia daych statystyczych Dzisiejsza techika obliczeiowa stwarza duże możliwości w zakresie obliczeń statystyczych Z drugiej stroy, stwarza rówież możliwości popełieia błędów przeoszeia daych statystyczych, gdy uczesticzy w tym omyly, a czasem ieświadomie tedecyjy obserwator procesów trasportowych Łatwość stosowaia arzędzi weryfikacji hipotez statystyczych w postaci programów komputerowych stwarza rówież możliwości wykorzystaia przez użytkowików iewtajemiczoych w arzędzia statystycze i ułatwia maipulację przez użytkowików zaiteresowaych sfałszowaiem badań Iymi słowy, dzisiejsza techika komputerowa w zakresie statystyki matematyczej obok wspaiałych możliwości obliczeiowych, stwarza rówież duże możliwości maipulacji statystyczej opatrzoej etykietą: badaia aukowe Poprzedio zajmowaliśmy się metodami ajlepszego, w określoym sesie, oszacowaia wartości iezaych parametrów iteresującej as cechy elemetów populacji geeralej Obecie zajmiemy się zupełie iym zagadieiem Miaowicie, będziemy się starali dyspoując iformacjami z próbki, jak rówież czasami iformacjami spoza próbki zaklasyfikować iezay lub częściowo iezay rozkład iteresującej as cechy elemetów populacji do jedej z dwóch rozłączych podklas Mówiąc dokładiej, będziemy się starali odpowiedzieć a pytaie, do której z dwóch podklas pewej klasy rozkładów ależy wybray z tej klasy rozkład Dobrym wprowadzeiem do tej tematyki jest rozdział 511 książki Plucińskich (199), który w dalszym ciągu przytacza się po małej zmiaie termiologiczej Wspomiae iformacje spoza próbki mogą pozwolić a ograiczeie rozważań do pewej rodziy rozkładów, p ormalych, Poissoa, gamma itp Będziemy wtedy mówili, że zaa jest postać rozkładu Ie iformacje mogą dotyczyć zajomości iektórych parametrów lub iezależości pewych zdarzeń Iformacje tego typu pochodzą bądź z
3 Weryfikacja hipotez statystyczych 8 97 poprzedio przeprowadzoych badań statystyczych, bądź wyikają w sposób oczywisty z charakteru czy własości elemetów populacji I tak a przykład, przyjmuje się a ogół, że błędy pomiarów, cechy elemetów pochodzących z masowej produkcji mają rozkłady ormale W tym przypadku iformacja spoza próbki polega a zajomości rozkładu Niezae są atomiast parametry tego rozkładu i dlatego w tym przypadku możemy ograiczyć rozważaia do klasy rozkładów ormalych o iezaych parametrach Przystępując do badań statystyczych w miejszym lub większym stopiu ie zamy iteresującej as cechy X elemetów populacji Możemy jedak a ogół ustalić klasę P rozkładów, które mogą być brae pod uwagę jako ewetuale rozkłady cechy X Może to być p zbiór rozkładów ormalych o iezaej wartości przeciętej, zbiór rozkładów o ciągłej dystrybuacie, zbiór rozkładów, w których cecha X jest typu skokowego i przyjmuje wartości z pewego skończoego przedziału itp Jeśli elemety klasy P są wyzaczoe przez podaie wartości parametru θ, gdzie θ może być wektor, to klasę P wygodie jest zapisywać w postaci P = { Pθ : θ Θ } Zadaiem statystyka jest odpowiedź a pytaie: czy wskazay rozkład ależący do klasy P może być uzay za rozkład cechy X? W ajbliższych paragrafach będziemy się starali odpowiedzieć a powyższe pytaia w różych aspektach Hipotezą statystyczą azywamy każdy iepusty podzbiór klasy P Hipotezą statystyczą jest a przykład wybraie z klasy P kokretego rozkładu Jeżeli hipoteza statystycza polega a wyborze rozkładu PΘ P wskazaego przez podaie umeryczej wartości Θ parametru Θ, to taką hipotezę azywamy parametryczą Używać będziemy przy tym zapisu H ( Θ Θ ) = Klasę P azywamy zbiorem możliwych (dopuszczalych) hipotez Ze zbioru wszystkich możliwych w daym zagadieiu hipotez wyróżiamy, ze względu a aspekt praktyczy, tę hipotezę, która podlega weryfikacji Tę wyróżioą hipotezę azywać będziemy hipotezą zerową i ozaczać symbolem H Wszystkie pozostałe hipotezy azywać będziemy alteratywymi i ozaczać symbolem H 1 Jeżeli hipoteza dotyczy iezaej wartości parametru, to zbiór możliwych hipotez jest wyzaczay przez zbiór wszystkich możliwych wartości parametru W dalszych rozważaiach
4 98 Weryfikacja hipotez statystyczych 8 te dwa zbiory będziemy utożsamiać Te zbiór możliwych wartości parametru azywamy przestrzeią parametrów i ozaczamy symbolem Θ Przestrzeń parametrów Θ przedstawiamy w postaci sumy dwóch iepustych zbiorów rozłączych H i H = Θ H 1 Zbiór H azywamy hipotezą zerową, zbiór H 1 hipotezą alteratywą Jeżeli H jest zbiorem jedoelemetowym będziemy mówić że jest hipotezą prostą Jeżeli H jest zbiorem wieloelemetowym będziemy mówić, że jest hipotezą złożoą Podobie o hipotezie alteratywej mówić będziemy, że jest prosta lub złożoa w zależości od tego czy H 1 jest zbiorem jedoelemetowym czy wieloelemetowym Zaim sprecyzujemy co zaczy z w e r y f i k o w a ć hipotezę H rozważmy astępujący przykład: PRZYKŁAD 81 (Plucińscy, 199) Wyprodukowao owy materiał izolacyjy używay w określoym rodzaju kodesatorów Chcemy zbadać, czy owy materiał jest bardziej wytrzymały a przebicie od dotychczas używaego W tym celu przeprowadźmy astępujące doświadczeie Z bieżącej produkcji kodesatorów wybieramy losowo parę kodesatorów: jede z dotychczas stosowaym izolatorem, drugi z owym izolatorem Włączamy je rówocześie w obwód i obserwujemy apięcia, przy których astępują przebicia Ozaczmy zaobserwowae apięcia przez x 1 i y 1 Powtórzmy doświadczeie razy W wyiku obserwacji otrzymamy par liczb ( x y ) ( x y ) ( x y ),,,,,, 1 1 Opisaa metoda postępowaia gwaratuje jedakowe waruki przeprowadzaia doświadczeia Poieważ kodesatory pobierae są z bieżącej produkcji, więc a ich jakość ma wpływ wiele czyików losowych, takich jak: grubość izolatora, odległość okładzi, wilgotość itp Te czyiki losowe powodują, że zaobserwowae przez as wartości x 1, x,, x będą róże w różych doświadczeiach To samo dotyczy wartości y 1, y,, y Wspomiae czyiki losowe spowodują także, że w przypadku pobraia do badaia iych par kodesatorów otrzymamy iy układ zaobserwowaych wartości W wyiku przeprowadzoego doświadczeia chcemy odpowiedzieć a pytaie, czy owy izolator jest lepszy od starego
5 Weryfikacja hipotez statystyczych 8 99 Przyjmijmy, że a podstawie poprzedich badań wiemy, że x 1, x,, x są wartościami zmieej losowej X o rozkładzie ormalym o zaej wariacji Ze względu a idetyczy proces produkcji aalogicze założeie możemy przyjąć o wartościach y 1, y,, y Rozważmy różice y x = z, y x = z,, y x = z Wartości z 1, z,, z możemy zaobserwować jako zaobserwowae wartości zmieej losowej o rozkładzie ormalym o zaej wariacji σ Gdyby obydwa izolatory miały jedakową wytrzymałość a przebicie, wówczas z 1, z,, z byłyby zaobserwowaymi wartościami zmieej losowej o rozkładzie ormalym N(,σ ) Wartość z 1 = i= 1 z i byłaby wtedy zaobserwowaą wartością zmieej losowej Z o rozkładzie ormalym ( ) N,σ Gdybyśmy opisae doświadczeie powtarzali wielokrotie, to w poszczególych doświadczeiach otrzymać możemy róże wartości z Niektóre z ich mogą się dość zaczie różić od zera Oczywiście, im większą wartość z zaobserwujemy, tym bardziej skłoi jesteśmy sądzić, że owy izolator jest lepszy od starego Ale iewielkie odchyleia wartości z są ieuikioe ze względu a losowy charakter doświadczeia Powstaje zasadicze pytaie: jak duże odchyleia wartości z od zera ależy uważać za dopuszczale odchyleia losowe, a jak duże za istotą wskazówkę, że owy izolator jest lepszy od starego? Musimy przyjąć umowie jakąś graicę Wybór tej umowej graicy uzasadiamy w sposób astępujący Wartość z jest zaobserwowaą wartością zmieej losowej Z mającą rozkład ormaly o iezaej wartości oczekiwaej m i zaej wariacji σ Stawiamy hipotezę dotyczącą iezaej wartości parametru m Mamy tu więc do czyieia z hipotezą
6 1 Weryfikacja hipotez statystyczych 8 parametryczą Przestrzeią parametrów jest tu zbiór { m m } : < Wykluczamy możliwość, że owy izolator jest gorszy od starego Zbiór te przedstawiamy w postaci sumy dwóch zbiorów rozłączych { m: m = } { m: m > } Pierwszy z ich będzie hipotezą zerową H, drugi hipotezą alteratywą H 1 Hipoteza zerowa orzeka, że m =, tz że obydwa izolatory mają tę samą wytrzymałość a przebicie Jest to hipoteza wyróżioa ze zbioru możliwych hipotez wyłączie ze względu a aspekt praktyczy Jeżeli hipoteza H jest prawdziwa, to zaobserwowaie dużych odchyleń wartości z od zera jest zdarzeiem mało prawdopodobym Określeie takie jest mało precyzyje Dlatego też musimy ustalić, jakie prawdopodobieństwo w rozważaym przypadku uzamy za małe lub iaczej, zdarzeia o jakim prawdopodobieństwie uzajemy za przeczące hipotezie zerowej Ozaczmy to prawdopodobieństwo przez Jako wspomiaą wyżej umową graicę odchyleia wartości zaobserwowaej z od hipotetyczej m = przyjmijmy taką liczbę ε, dla której P Z > ε =, σ gdzie jest zaą liczbą Liczbę ε odczytujemy z tablic rozkładu ormalego Spełieie waruku z > ε σ iterpretujemy jako wystąpieie zdarzeia o małym prawdopodobieństwie (miejszym od ) i uzajemy za zaprzeczeie hipotezie zerowej, tz za zaprzeczeie zdaia: obydwa izolatory mają tę samą wytrzymałość a przebicie, lub iaczej ieprawdą jest, że zmiea losowa Z
7 Weryfikacja hipotez statystyczych 8 11 ma rozkład ormaly o wartości oczekiwaej m = Mówić wtedy będziemy: o d r z u c a m y hipotezę zerową H Jeżeli spełioa jest ierówość z ε σ, to będziemy uważać, że zaobserwowaa wartość z ie przeczy hipotezie zerowej, a więc możemy przyjąć, że obydwa izolatory mają tę samą wytrzymałość a przebicie lub iaczej, że zmiea losowa Z ma rozkład ormaly o wartości oczekiwaej m = Mówić wtedy będziemy: p r z y j m u j e m y hipotezę zerową H Zwroty odrzucamy hipotezę zerową i przyjmujemy hipotezę zerową są bardzo wygode i przyjęte w literaturze statystyczej Należy jedak przy tym pamiętać, że ie ozaczają oe aszego całkowitego przekoaia o ieprawdziwości czy prawdziwości hipotezy zerowej Naszym zadaiem była jedyie odpowiedź a pytaie: czy a podstawie zaobserwowaych wartości zmieej losowej Z uzać, że rozkład zmieej losowej Z jest rozkładem ormalym o wartości oczekiwaej m = czy też raczej o wartości m >? Przytoczoy przykład upoważia as do stwierdzeia, że z formalego puktu widzeia weryfikacja hipotez polega a określeiu a przestrzei próbkowej fukcji, której wartościami jest jedo z dwóch orzeczeń: przyjąć hipotezę zerową lub odrzucić hipotezę zerową Mówiąc bardziej poglądowo weryfikacja hipotezy zerowej polega a: 1 wyborze odpowiediej statystyki U, której rozkład (dokłady lub asymptotyczy) jest zay, ustaleiu zbioru W tych wartości statystyki U, których wystąpieie uważamy za zaprzeczeie hipotezy zerowej Statystykę U azywamy testem hipotezy H przeciw hipotezie alteratywej H 1, a zbiór W zbiorem krytyczym testu W przykładzie 81 statystyką U była statystyka Z, a zbiorem W zbiór ( x1, y1, x, y,, x, y ): z > ε σ
8 1 Weryfikacja hipotez statystyczych 8 Prawdopodobieństwo ( W H ) P U =, (81) tz prawdopodobieństwo odrzuceia hipotezy zerowej, gdy jest oa prawdziwa, azywamy poziomem istotości testu Wybór liczby jest w zasadzie dość dowoly W praktyce przyjmuje się a ogół jedą z liczb: 5,, 1, 1 Ustalając liczbę ależy przede wszystkim mieć a uwadze kosekwecje praktycze, jakie się z tym wiążą Testy służące do weryfikowaia hipotez parametryczych azywamy testami parametryczymi, testy służące do weryfikowaia hipotez ieparametryczvh - testami ieparametryczymi lub testami zgodości 8 Testy parametrycze W iiejszym rozdziale ograiczymy się do przedstawieia testów do weryfikacji hipotez dotyczących wartości oczekiwaej, wariacji, współczyika korelacji i współczyika regresji 1 W e r y f i k a c j a h i p o t e z y o w a r t o ś c i o c z e k i w a e j p r z y zae z a y m σ Niech cecha X elemetów populacji ma rozkład ormaly N( m,σ ), w którym σ jest Pobrao -elemetową próbkę i zaobserwowao wartości x 1, x,, x Przyjmując poziom istotości chcemy zweryfikować hipotezę H ( m m ) alteratywej H ( m m ) 1 = przeciw hipotezie Wykorzystując fakt, że średia arytmetycza X z iezależych zmieych losowych o rozkładach ormalych ( ) N m,σ ma rozkład ormaly N( m ) jako test przyjmujemy statystykę X Zbiorem krytyczym jest w tym przypadku zbiór,σ,
9 Weryfikacja hipotez statystyczych 8 13 W = ( x1, x,, x ): x m σ > ε, (8) gdzie ε wyzaczoe jest z rówości P X m σ W H P X m = σ > ε = Zatem hipotezę H odrzucamy, gdy x m > ε σ (83) i przyjmujemy, gdy x m ε σ (84) PRZYKŁAD 8 (Plucińscy, 199) Wiadomo, że dla oporików pochodzących z masowej produkcji odchyleie wartości rezystacji od wartości zamioowej ma rozkład ormaly o zaym odchyleiu stadardowym σ = kω Celem zweryfikowaia hipotezy H ( m = ), tz że wartość oczekiwaa rezystacji jest rówa wartości zamioowej (ie występują systematycze odchyleia) pobrao próbkę o liczości = 9 i otrzymao wyiki w kω k x k x k = 9 Przyjmujemy poziom istotości = 5 Z tablic statystyczych rozkładu ormalego odczytujemy, że ε = 196 Zatem
10 14 Weryfikacja hipotez statystyczych 8 ε σ = = 13 Uwzględiając, że x = 1 otrzymujemy x m = 1 = 1 13 Poieważ spełioa jest ierówość (84), więc hipotezę H przyjmujemy a poziomie istotości = 5 W e r y f i k a c j a h i p o t e z y o w a r t o ś c i o c z e k i w a e j w r o z k ł a d z i e o r m a l y m p r z y i e z a y m σ Wiadomo, że cecha X elemetów populacji ma rozkład ormaly N( m,σ ), w którym m i σ są iezae Na podstawie -elemetowej próbki chcemy zweryfikować hipotezę H ( m = m ) przeciw hipotezie alteratywej H ( m m ) 1 Niech poziom istotości będzie Korzystając z twierdzeia o rozkładzie Studeta jako test przyjmiemy t u statystykę t = X m S 1, o której wiemy, że ma rozkład iezależy od σ, a miaowicie, rozkład Studeta o 1 stopiach swobody Zbiorem krytyczym jest zbiór {( 1 ) } W = x, x,, x : t > t, gdzie t jest wartością odczytaą z tablicy rozkładu Studeta spełiającą waruek P( t W H ) P X m = S > t =
11 Weryfikacja hipotez statystyczych 8 15 Hipotezę H ( m m ) = odrzucamy, gdy i przyjmujemy, gdy s x m > t 1 (85) s x m t (86) 1 PRZYKŁAD 83 (Plucińscy, 199) Niech w warukach przykładu 8 odchyleie 9 1 = = 9 stadardowe σ będzie iezae Po obliczeiu s ( xk x ) i odczytaiu t = 36 z tablicy rozkładu Studeta otrzymujemy k = s x m = t = 6 = Poieważ jest spełioa ierówość (86), więc hipotezę H ( m m ) = przyjmujemy Porówując wyiki w przykładach 8 i 83 warto zwrócić uwagę a fakt, że iezajomość σ, a więc posiadaie miejszej ilości iformacji, powoduje ostrożiejsze podejmowaie decyzji o przyjęciu hipotezy zerowej 3 W e r y f i k a c j a h i p o t e z y o w a r i a c j i w r o z k ł a d z i e o r m a l y m Wiemy, że cecha X elemetów populacji ma rozkład ormaly N( m,σ ) o iezaych parametrach m i σ Na podstawie -elemetowej próbki chcemy zweryfikować hipotezę ( σ σ ) H hipoteza H 1 ( σ σ ), tz że wariacja ie przekracza pewej liczby Hipotezą alteratywą jest tu > Przyjmijmy poziom istotości Pamiętajmy, że statystyka S σ ma rozkład chikwadrat o 1 stopiach swobody Wykorzystamy tę statystykę jako test do weryfikacji hipotezy H ( σ σ ) Zbiorem krytyczym będzie tu zbiór
12 16 Weryfikacja hipotez statystyczych 8 s W = ( x1, x,, x ): > χ σ, gdzie χ jest liczbą odczytaą z tablicy rozkładu chi-kwadrat, spełiającą waruek P S W H P S χ σ = σ > = Hipotezę H o ( σ σ ) odrzucamy, gdy i przyjmujemy, gdy s σ > (87) χ s σ (88) χ PRZYKŁAD 84 (Plucińscy, 199) Błąd pomiaru odległości za pomocą radaru ma rozkład ormaly Przeprowadzoo 1 pomiarów tej samej odległości i otrzymao astępujące wartości błędów (w km): k x k Σx k = 5 Przyjmując poziom istotości = Z daych liczbowych wyika, że x = 5, s dla daych i, odczytujemy χ = zweryfikować hipotezę H ( 15) σ = 9435 Z tablicy rozkładu chi-kwadrat
13 Weryfikacja hipotez statystyczych 8 17 Zatem s σ = 15 = > odrzucić Ozacza to, że spełioa jest ierówość (87) i hipotezę H ( 15) σ ależy 4 W e r y f i k a c j a h i p o t e z y o r ó w o ś c i w a r t o ś c i o c z e k i w a y c h o r o z k ł a d a c h o r m a l y c h z j e d a k o w ą i e z a ą w a r i a c j ą Dae są dwie populacje, w których cecha X ma odpowiedio rozkład ormaly N( m 1,σ ) i ( ) N m,σ, przy czym parametry m, m i σ są iezae Pobrao z obu populacji 1 próbki o liczościach odpowiedio 1 i i otrzymao astępujące wyiki: x 1, x,, x dla próbki z pierwszej populacji i y 1, y,, y dla próbki z drugiej populacji Przyjmując poziom istotości chcemy zweryfikować hipotezę H ( m m ) ( ) H m m = przeciw hipotezie alteratywej Żada z pozaych dotąd statystyk ie adaje się do weryfikowaia hipotezy H Dlatego wprowadzamy tu ową statystykę określoą wzorem T = X Y 1 ( 1S + S ) (89) Jeśli hipoteza H jest prawdziwa, to statystyka T ma rozkład Studeta o 1 + stopiach swobody Nie trudo to uzasadić, jeżeli tylko (89) zapiszemy w ieco iej postaci, a miaowicie: T = ( X Y ) σ σ + 1 [( 1S σ ) + ( S ) 1 σ ] (81)
14 18 Weryfikacja hipotez statystyczych 8 Jeżeli hipoteza H jest prawdziwa, to wobec iezależości zmieych losowych X, X,, X, Y, Y,, Y i twierdzeia o rozkładzie chi-kwadrat, tak poday liczik i 1 1 awias kwadratowy w miaowiku wzoru (81) są iezależymi zmieymi losowymi o rozkładach odpowiedio N( 1), i chi-kwadrat o + stopiach swobody, a zatem w 1 myśl defiicji rozkładu Studeta zmiea losowa T ma rozkład Studeta o stopiach swobody + 1 Statystykę T określoą wzorem (89) możemy wykorzystać jako test do weryfikacji hipotezy H ( m m ) = 1 Przyjmijmy poziom istotości Zbiorem krytyczym jest tu zbiór x y 1 W = ( x1, x,, x, y1, y,, y ): > t 1, + S + S gdzie t jest liczbą odczytaą z tablicy rozkładu Studeta spełiającą waruek ( T W H ) = P( T > t ) P = Hipotezę H o rówości wartości oczekiwaych odrzucamy, gdy + x 1 1 y 1 1S + S > t (811) i przyjmujemy, gdy + x 1 1 y 1 1S + S t (81)
15 Weryfikacja hipotez statystyczych 8 19 PRZYKŁAD 85 (Plucińscy, 199) Wałek główy samochodowej skrzyki biegów obrabiay jest a obrabiarce automatyczej Rozkład średic wałków jest rozkładem ormalym W celu sprawdzeia, czy poziom astawieia obrabiarki ie zmieia się w czasie pracy, pobrao dwie próbki wałków o liczościach 8 i 1 sztuk, jedą próbkę z produkcji przedpołudiowej, drugą z popołudiowej i otrzymao astępujące dae dla długości średic wałków (w mm): k x k j y k Zakładamy, że zmiaa waruków w ciągu odstępu czasu między pobieraiem próbek może wpłyąć tylko a średi rozmiar, a ie zmieia wariacji Przyjmując poziom istotości = 5, zweryfikować hipotezę o iewystępowaiu zmia poziomu astawieia obrabiarki w czasie Z daych liczbowych zajdujemy x 8 = 19 9, s 8 =, y 1 =, s 1 = 6 Z tablic rozkładu Studeta dla = 5 i 8+1-=16 stopi swobody odczytujemy t = 1 Obliczając wartość statystyki (89) zajdujemy ( ) = 137 < 1 Poieważ spełioa jest ierówość (81) więc przyjmujemy hipotezę o iewystępowaiu zmia poziomu astawieia obrabiarki 5 W e r y f k a c j a h i p o t e z y o w a r t o ś c i o c z e k i w a e j a p o d s t a w i e p r ó b e k o d u ż e j l i c z e b o ś c i
16 11 Weryfikacja hipotez statystyczych 8 W puktach 1 4 iiejszego rozdziału zakładaliśmy, że zaa jest postać badaej cechy populacji, ie przyjmowaliśmy żadych założeń odośie do liczości próbki Przy tak mocym założeiu, jakim jest zajomość postaci rozkładu, założeie o liczości próbki ie było potrzebe Rozważmy teraz przypadek, gdy postać rozkładu iteresującej as cechy elemetów populacji jest iezaa Aby móc zweryfikować hipotezę o iezaej wartości oczekiwaej cechy X, musimy zać rozkład jakiejś statystyki, która może służyć za test Tylko wtedy bowiem potrafimy zbudować zbiór krytyczy W Nie zając rozkładu cechy X ie potrafimy zaleźć dokładego rozkładu żadej statystyki Nie jest to jedak sytuacja bez wyjścia Skorzystać przecież moża ze zaych twierdzeń graiczych, p z tw Lideberga-Ley ego, które orzeka, że jeżeli jest dostateczie duże, a zmiee losowe X 1, X,, X są iezależe o jedakowym rozkładzie, i istieją E( X 1 ) = m oraz V ( X 1 ) = σ, to zmiea losowa = ( 1 ) X X k = 1 k ma rozkład w przybliżeiu ormaly o parametrach m i σ Korzystając z iego twierdzeia możemy przyjąć, że σ s Uwzględiając powyższe, dochodzimy do wiosku, że chcąc zweryfikować hipotezę ( = ) przeciw hipotezie alteratywej H ( m m ) H m m 1, gdy ie mamy żadych iformacji o postaci rozkładu cechy X w populacji, ależy pobrać dostateczie liczą próbkę (rzędu co ajmiej kilku dziesiątek), a astępie jako test przyjąć statystykę X Zbiorem krytyczym będzie w tym przypadku zbiór x m W = ( x1, x,, x ): > ε s, gdzie ε jest liczbą odczytaą z tablic rozkładu ormalego, spełiającą waruek P X m S > ε =
17 Weryfikacja hipotez statystyczych Hipotezę H ( m m ) = odrzucamy, gdy x m s > ε (813) i przyjmujemy, gdy x m s ε (814) PRZYKŁAD 86 (Plucińscy, 199) Zużycie wody przez zakład przemysłowy podlega losowym wahaiom w kolejych diach Na podstawie obserwacji = 56 di stwierdzoo, że średie dziee zużycie wody wyosi x s = hl, a średie odchyleie kwadratowe 56 1 = 64 hl Przyjmując poziom istotości = 5 zweryfikować hipotezę 56 ( ) H m = 1 hl, tz że średie dziee zużycie wody wyosi 1 hl, przeciw hipotezie alteratywej H ( m hl) 1 1 Z tablicy rozkładu ormalego dla = 5 odczytamy ε = 196 Z daych przykładu wyika, że x s m = = 4 > ε = 196 Poieważ spełioa jest ierówość (813), więc hipotezę H odrzucamy
18 11 Weryfikacja hipotez statystyczych 8 Problemy rozdziału 8 1 Rodzaje testów statystyczych Podstawowe kaoy sztuki statystyczej 3 Przestrzeń parametrów 4 Hipotezy statystycze 5 Zbiór krytyczy testu 6 Poziom istotości testu 7 Waruek odrzuceia hipotezy 8 Waruek przyjęcia hipotezy 9 Weryfikacja hipotezy o wartości oczekiwaej przy zaej wariacji 1 Weryfikacja hipotezy o wartości oczekiwaej przy iezaej wariacji 11 Weryfikacja hipotezy o wariacji w rozkładzie ormalym 1 Weryfikacja hipotezy o rówości wartości oczekiwaych o rozkładach ormalych z jedakową iezaą wariacją 13 Weryfikacja hipotezy o wartości oczekiwaej a podstawie próbek o dużej liczebości
1. Wnioskowanie statystyczne. Ponadto mianem statystyki określa się także funkcje zmiennych losowych o
1. Wioskowaie statystycze. W statystyce idetyfikujemy: Cecha-Zmiea losowa Rozkład cechy-rozkład populacji Poadto miaem statystyki określa się także fukcje zmieych losowych o tym samym rozkładzie. Rozkłady
Bardziej szczegółowoX i. X = 1 n. i=1. wartość tej statystyki nazywana jest wartością średnią empiryczną i oznaczamy ją symbolem x, przy czym x = 1. (X i X) 2.
Zagadieia estymacji Puktem wyjścia badaia statystyczego jest wylosowaie z całej populacji pewej skończoej liczby elemetów i zbadaie ich ze względu a zmieą losową cechę X Uzyskae w te sposób wartości x,
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA
ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA Mamy populację geeralą i iteresujemy się pewą cechą X jedostek statystyczych, a dokładiej pewą charakterystyką liczbową θ tej cechy (p. średią wartością
Bardziej szczegółowo16 Przedziały ufności
16 Przedziały ufości zapis wyiku pomiaru: sugeruje, że rozkład błędów jest symetryczy; θ ± u(θ) iterpretacja statystycza przedziału [θ u(θ), θ + u(θ)] zależy od rozkładu błędów: P (Θ [θ u(θ), θ + u(θ)])
Bardziej szczegółowoEstymacja przedziałowa
Metody probabilistycze i statystyka Estymacja przedziałowa Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze
Bardziej szczegółowoZadanie 2 Niech,,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznym rozkładzie,.
Z adaie Niech,,, będą iezależymi zmieymi losowymi o idetyczym rozkładzie ormalym z wartością oczekiwaą 0 i wariacją. Wyzaczyć wariację zmieej losowej. Wskazówka: pokazać, że ma rozkład Γ, ODP: Zadaie Niech,,,
Bardziej szczegółowoLista 6. Estymacja punktowa
Estymacja puktowa Lista 6 Model metoda mometów, rozkład ciągły. Zadaie. Metodą mometów zaleźć estymator iezaego parametru a w populacji jedostajej a odciku [a, a +. Czy jest to estymator ieobciążoy i zgody?
Bardziej szczegółowoStatystyka i Opracowanie Danych. W7. Estymacja i estymatory. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407
Statystyka i Opracowaie Daych W7. Estymacja i estymatory Dr Aa ADRIAN Paw B5, pok407 ada@agh.edu.pl Estymacja parametrycza Podstawowym arzędziem szacowaia iezaego parametru jest estymator obliczoy a podstawie
Bardziej szczegółowoKURS STATYSTYKA. Lekcja 3 Parametryczne testy istotności ZADANIE DOMOWE. Strona 1
KURS STATYSTYKA Lekcja 3 Parametrycze testy istotości ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Stroa Część : TEST Zazacz poprawą odpowiedź (tylko jeda jest prawdziwa). Pytaie Statystykę moża rozumieć jako: a) próbkę
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna dla leśników
Statystyka matematycza dla leśików Wydział Leśy Kieruek leśictwo Studia Stacjoare I Stopia Rok akademicki 0/0 Wykład 5 Testy statystycze Ogóle zasady testowaia hipotez statystyczych, rodzaje hipotez, rodzaje
Bardziej szczegółowoParametryczne Testy Istotności
Parametrycze Testy Istotości Wzory Parametrycze testy istotości schemat postępowaia pukt po pukcie Formułujemy hipotezę główą H odośie jakiegoś parametru w populacji geeralej Hipoteza H ma ajczęściej postać
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez. H 1 : µ 15 lub H 1 : µ < 15 lub H 1 : µ > 15
Testowaie hipotez ZałoŜeia będące przedmiotem weryfikacji azywamy hipotezami statystyczymi. KaŜde przypuszczeie ma swoją alteratywę. Jeśli postawimy hipotezę, Ŝe średica pia jedoroczych drzew owej odmiay
Bardziej szczegółowoθx θ 1, dla 0 < x < 1, 0, poza tym,
Zadaie 1. Niech X 1,..., X 8 będzie próbą z rozkładu ormalego z wartością oczekiwaą θ i wariacją 1. Niezay parametr θ jest z kolei zmieą losową o rozkładzie ormalym z wartością oczekiwaą 0 i wariacją 1.
Bardziej szczegółowoMetrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie
Metrologia: miary dokładości dr iż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczeciie Miary dokładości: Najczęściej rozkład pomiarów w serii wokół wartości średiej X jest rozkładem Gaussa: Prawdopodobieństwem,
Bardziej szczegółowoEstymacja parametrów populacji
Estymacja parametrów populacji Estymacja parametrów populacji Estymacja polega a szacowaiu wartości parametrów rozkładu lub postaci samego rozkładu zmieej losowej, a podstawie próby statystyczej. Estymacje
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA OPISOWA I PROJEKTOWANIE EKSPERYMENTU dr inż Krzysztof Bryś
1 STATYSTYKA OPISOWA I PROJEKTOWANIE EKSPERYMENTU dr iż Krzysztof Bryś Pojȩcia wstȩpe populacja - ca ly zbiór badaych przedmiotów lub wartości. próba - skończoy podzbiór populacji podlegaj acy badaiu.
Bardziej szczegółowoStatystyka opisowa. (n m n m 1 ) h (n m n m 1 ) + (n m n m+1 ) 2 +1), gdy n jest parzyste
Statystyka opisowa Miary statystycze: 1. miary położeia a) średia z próby x = 1 x = 1 x = 1 x i - szereg wyliczający x i i - szereg rozdzielczy puktowy x i i - szereg rozdzielczy przedziałowy, gdzie x
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA I ANALIZA DANYCH
TATYTYKA I ANALIZA DANYCH Zad. Z pewej partii włókie weły wylosowao dwie próbki włókie, a w każdej z ich zmierzoo średicę włókie różymi metodami. Otrzymao astępujące wyiki: I próbka: 50; średia średica
Bardziej szczegółowoTESTY LOSOWOŚCI. Badanie losowości próby - test serii.
TESTY LOSOWOŚCI Badaie losowości próby - test serii. W wielu zagadieiach wioskowaia statystyczego istotym założeiem jest losowość próby. Prostym testem do weryfikacji tej własości jest test serii. 1 Dla
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2
STATYSTYKA Rafał Kucharski Uiwersytet Ekoomiczy w Katowicach 2015/16 ROND, Fiase i Rachukowość, rok 2 Rachuek prawdopodobieństwa Rzucamy 10 razy moetą, dla której prawdopodobieństwo wyrzuceia orła w pojedyczym
Bardziej szczegółowobędą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu jednostajnego na przedziale ( 0,
Zadaie iech X, X,, X 6 będą iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu jedostajego a przedziale ( 0, ), a Y, Y,, Y6 iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu jedostajego a przedziale ( 0, ), gdzie, są iezaymi
Bardziej szczegółowoStatystyka. Katarzyna Chudy Laskowska
Statystyka Katarzya Chudy Laskowska http://kc.sd.prz.edu.pl/ WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE Celem aalizy statystyczej ie jest zwykle tylko opisaie (prezetacja) posiadaych daych, czyli tzw. próby statystyczej.
Bardziej szczegółowoWykład 11 ( ). Przedziały ufności dla średniej
Wykład 11 (14.05.07). Przedziały ufości dla średiej Przykład Cea metra kwadratowego (w tys. zł) z dla 14 losowo wybraych mieszkań w mieście A: 3,75; 3,89; 5,09; 3,77; 3,53; 2,82; 3,16; 2,79; 4,34; 3,61;
Bardziej szczegółowoWokół testu Studenta 1. Wprowadzenie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaniu hipotez dotyczących rozkładów normalnych
Wokół testu Studeta Wprowadzeie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaiu hipotez dotyczących rozkładów ormalych Rozkład ormaly N(µ, σ, µ R, σ > 0 gęstość: f(x σ (x µ π e σ Niech a R \ {0}, b
Bardziej szczegółowo2. INNE ROZKŁADY DYSKRETNE
Ie rozkłady dyskrete 9. INNE ROZKŁADY DYSKRETNE.. Rozkład dwumiaowy - kotyuacja Przypomijmy sobie pojęcie rozkładu dwumiaowego prawdopodobieństwa k sukcesów w próbach Beroulli ego: P k k k k = p q m =
Bardziej szczegółowoMetoda łączona. Wykład 7 Dwie niezależne próby. Standardowy błąd dla różnicy dwóch średnich. Metoda zwykła (niełączona) n2 2
Wykład 7 Dwie iezależe próby Często porówujemy wartości pewej zmieej w dwóch populacjach. Przykłady: Grupa zabiegowa i kotrola Lekarstwo a placebo Pacjeci biorący dwa podobe lekarstwa Mężczyźi a kobiety
Bardziej szczegółowon n X n = σ σ = n n n Ponieważ zmienna losowa standaryzowana ma rozkład normalny N(0, 1), więc
5.3. Zagadieia estymacji 87 Rozważmy teraz dokładiej zagadieie szacowaia wartości oczekiwaej m zmieej losowej X o rozkładzie ormalym N(m, F), w którym odchyleie stadardowe F jest zae. Niech X, X,..., X
Bardziej szczegółowoElementy statystyki opisowej Izolda Gorgol wyciąg z prezentacji (wykład I)
Elemety statystyki opisowej Izolda Gorgol wyciąg z prezetacji (wykład I) Populacja statystycza, badaie statystycze Statystyka matematycza zajmuje się opisywaiem i aalizą zjawisk masowych za pomocą metod
Bardziej szczegółowo1 Testy statystyczne. 2 Rodzaje testów
1 Testy statystycze Podczas sprawdzaia hipotez statystyczych moga¾ wystapić ¾ dwa rodzaje b ¾edów. Prawdopodobieństwo b ¾edu polegajacego ¾ a odrzuceiu hipotezy zerowej (H 0 ), gdy jest oa prawdziwa, czyli
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania ze statystyki matematycznej-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3
L.Kowalski zadaia ze statystyki matematyczej-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3 Zadaie 3. Cecha X populacji ma rozkład N m,. Z populacji tej pobrao próbę 7 elemetową i otrzymao wyiki x7 = 9, 3, s7 =, 5 a Na poziomie
Bardziej szczegółowoPodstawowe oznaczenia i wzory stosowane na wykładzie i laboratorium Część I: estymacja
Podstawowe ozaczeia i wzory stosowae a wykładzie i laboratorium Część I: estymacja 1 Ozaczeia Zmiee losowe (cechy) ozaczamy a wykładzie dużymi literami z końca alfabetu. Próby proste odpowiadającymi im
Bardziej szczegółowoPRZEDZIAŁY UFNOŚCI. Niech θ - nieznany parametr rozkładu cechy X. Niech α będzie liczbą z przedziału (0, 1).
TATYTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 3 RZEDZIAŁY UFNOŚCI Niech θ - iezay parametr rozkład cechy. Niech będzie liczbą z przedział 0,. Jeśli istieją statystyki, U i U ; U U ; których rozkład zależy od θ oraz U θ
Bardziej szczegółowoCharakterystyki liczbowe zmiennych losowych: wartość oczekiwana i wariancja
Charakterystyki liczbowe zmieych losowych: wartość oczekiwaa i wariacja dr Mariusz Grządziel Wykłady 3 i 4;,8 marca 24 Wartość oczekiwaa zmieej losowej dyskretej Defiicja. Dla zmieej losowej dyskretej
Bardziej szczegółowoSTATYSTKA I ANALIZA DANYCH LAB II
STATYSTKA I ANALIZA DANYCH LAB II 1. Pla laboratorium II rozkłady prawdopodobieństwa Rozkłady prawdopodobieństwa dwupuktowy, dwumiaowy, jedostajy, ormaly. Związki pomiędzy rozkładami prawdopodobieństw.
Bardziej szczegółowo(X i X) 2. n 1. X m S
Wykład 8. Przedziały ufości i testowaie hipotez A gdy ie zamy wariacji σ 2? Załóżmy, że X ma rozkład ormaly, ale ie zamy wartości ai m ai σ 2. Jak wtedy szacować wartość średią m? Przypomijmy, że Wtedy
Bardziej szczegółowoKorelacja i regresja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 12
Wykład Korelacja i regresja Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Wykład 8. Badaie statystycze ze względu
Bardziej szczegółowoEstymacja przedziałowa:
Estymacja przedziałowa: Zamiast szukad ajlepszego estymatora, tak jak w estymacji puktowej będziemy poszukiwad przedziału, do którego będzie ależał szukay parametr z odpowiedio dużym prawdopodobieostwem.
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadaie. Wykoujemy rzuty symetryczą kością do gry do chwili uzyskaia drugiej szóstki. Niech Y ozacza zmieą losową rówą liczbie rzutów w których uzyskaliśmy ie wyiki iż szóstka a zmieą losową rówą liczbie
Bardziej szczegółowoTwierdzenia graniczne:
Twierdzeia graicze: Tw. ierówośd Markowa Jeżeli P(X > 0) = 1 oraz EX 0: P X k 1 k EX. Tw. ierówośd Czebyszewa Jeżeli EX = m i 0 < σ = D X 0: P( X m tσ) 1 t. 1. Z partii towaru o wadliwości
Bardziej szczegółowoElementy modelowania matematycznego
Elemety modelowaia matematyczego Wstęp Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU Modelowaie daych (ilościowe): Metody statystycze: estymacja parametrów modelu,
Bardziej szczegółowoSIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY
SIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY Weryfikacja hipotez statystyczych WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE Wioskowaie statystycze, to proces uogóliaia wyików uzyskaych a podstawie próby a całą
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystyczna analiza danych jakościowych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu.
Rachuek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystycza aaliza daych jakościowych Dr Aa ADRIAN Paw B5, pok 407 ada@agh.edu.pl Wprowadzeie Rozróżia się dwa typy daych jakościowych: Nomiale jeśli opisują
Bardziej szczegółowo3. Tworzenie próby, błąd przypadkowy (próbkowania) 5. Błąd standardowy średniej arytmetycznej
PODSTAWY STATYSTYKI 1. Teoria prawdopodobieństwa i elemety kombiatoryki 2. Zmiee losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby daych, estymacja parametrów 4. Testowaie hipotez 5. Testy parametrycze 6. Testy
Bardziej szczegółowoEstymacja przedziałowa - przedziały ufności
Estymacja przedziałowa - przedziały ufości Próbę -elemetową charakteryzujemy jej parametrami (p. x, s, s ). Służą oe do ocey wartości iezaych parametrów populacji (m, σ, σ). Nazywamy je estymatorami puktowymi
Bardziej szczegółowoTrzeba pokazać, że dla każdego c 0 c Mc 0. ) = oraz det( ) det( ) det( ) jest macierzą idempotentną? Proszę odpowiedzieć w
Zad Dae są astępujące macierze: A =, B, C, D, E 0. 0 = = = = 0 Wykoaj astępujące działaia: a) AB, BA, C+E, DE b) tr(a), tr(ed), tr(b) c) det(a), det(c), det(e) d) A -, C Jeśli działaia są iewykoale, to
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 1. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady
WYKŁAD Zdarzeia losowe i prawdopodobieństwo Zmiea losowa i jej rozkłady Metody statystycze metody opisu metody wioskowaia statystyczego sytetyczy liczbowy opis właściwości zbioru daych ocea charakterystyk
Bardziej szczegółowoWykład 5 Przedziały ufności. Przedział ufności, gdy znane jest σ. Opis słowny / 2
Wykład 5 Przedziały ufości Zwykle ie zamy parametrów populacji, p. Chcemy określić a ile dokładie y estymuje Kostruujemy przedział o środku y, i taki, że mamy 95% pewości, że zawiera o Nazywamy go 95%
Bardziej szczegółowoANALIZA DANYCH DYSKRETNYCH
ZJAZD ESTYMACJA Jest to metoda wioskowaia statystyczego. Umożliwia oa oszacowaie wartości iteresującego as parametru a podstawie badaia próbki. Estymacja puktowa polega a określeiu fukcji zwaej estymatorem,
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA
TATYTYKA MATEMATYCZNA ROZKŁADY PODTAWOWYCH TATYTYK zmiea losowa odpowiedik badaej cechy, (,,..., ) próba losowa (zmiea losowa wymiarowa, i iezależe zmiee losowe o takim samym rozkładzie jak (taką próbę
Bardziej szczegółowoĆwiczenie nr 14. Porównanie doświadczalnego rozkładu liczby zliczeń w zadanym przedziale czasu z rozkładem Poissona
Ćwiczeie r 4 Porówaie doświadczalego rozkładu liczby zliczeń w zadaym przedziale czasu z rozkładem Poissoa Studeta obowiązuje zajomość: Podstawowych zagadień z rachuku prawdopodobieństwa, Zajomość rozkładów
Bardziej szczegółowoEstymacja: Punktowa (ocena, błędy szacunku) Przedziałowa (przedział ufności)
IV. Estymacja parametrów Estymacja: Puktowa (ocea, błędy szacuku Przedziałowa (przedział ufości Załóżmy, że rozkład zmieej losowej X w populacji geeralej jest opisay dystrybuatą F(x;α, gdzie α jest iezaym
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadaie 1 Rzucamy 4 kości do gry (uczciwe). Prawdopodobieństwo zdarzeia iż ajmiejsza uzyskaa a pojedyczej kości liczba oczek wyiesie trzy (trzy oczka mogą wystąpić a więcej iż jedej kości) rówe jest: (A)
Bardziej szczegółowoModa (Mo, D) wartość cechy występującej najczęściej (najliczniej).
Cetrale miary położeia Średia; Moda (domiata) Mediaa Kwatyle (kwartyle, decyle, cetyle) Moda (Mo, D) wartość cechy występującej ajczęściej (ajlicziej). Mediaa (Me, M) dzieli uporządkoway szereg liczbowy
Bardziej szczegółowoO liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi
O liczbach aturalych, których suma rówa się iloczyowi Lew Kurladczyk i Adrzej Nowicki Toruń UMK, 10 listopada 1998 r. Liczby aturale 1, 2, 3 posiadają szczególą własość. Ich suma rówa się iloczyowi: Podobą
Bardziej szczegółowosą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie Poissona z wartością oczekiwaną λ równą 10. Obliczyć v = var( X
Prawdoodobieństwo i statystyka 5..008 r. Zadaie. Załóżmy że 3 są iezależymi zmieymi losowymi o jedakowym rozkładzie Poissoa z wartością oczekiwaą λ rówą 0. Obliczyć v = var( 3 + + + 3 = 9). (A) v = 0 (B)
Bardziej szczegółowoSłowniczek Hipoteza statystyczna Hipoteza parametryczna Hipoteza nieparametryczna Hipoteza zerowa Hipoteza alternatywna Błąd pierwszego rodzaju
Słowiczek Hipoteza statystycza jakiekolwiek przypuszczeie dotyczące rozkładu populacji geeralej Hipoteza parametrycza hipoteza statystycza precyzująca wartość parametru w rozkładzie populacji geeralej
Bardziej szczegółowoEstymacja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 7
Metody probabilistycze i statystyka Estymacja Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze
Bardziej szczegółowo0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK
0.1. ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK 1 0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK Zadaia 0.1.1. Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi o tym samym rozkładzie. Obliczyć ES 2 oraz D 2 ( 1 i=1 X 2 i ). 0.1.2.
Bardziej szczegółowo2.1. Studium przypadku 1
Uogóliaie wyików Filip Chybalski.. Studium przypadku Opis problemu Przedsiębiorstwo ŚRUBEX zajmuje się produkcją wyrobów metalowych i w jego szerokim asortymecie domiują różego rodzaju śrubki i wkręty.
Bardziej szczegółowoModele probabilistyczne zjawisk losowych
Statystyka-matematycza-II Wykład Modele probabilistycze zjawisk losowych Pojęcia podstawowe: Zdarzeia elemetare: ajprostsze zdarzeie mogące być wyróżioe dla daego doświadczeia losowego. Ω - zbiór zdarzeń
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VI: Metoda Mote Carlo 17 listopada 2014 Zastosowaie: przybliżoe całkowaie Prosta metoda Mote Carlo Przybliżoe obliczaie całki ozaczoej Rozważmy całkowalą fukcję f : [0, 1] R. Chcemy zaleźć przybliżoą
Bardziej szczegółowoPODSTAWY BIOSTATYSTYKI ĆWICZENIA
PODSTAWY BIOSTATYSTYKI ĆWICZENIA FILIP RACIBORSKI FILIP.RACIBORSKI@WUM.EDU.PL ZAKŁAD PROFILAKTYKI ZAGROŻEŃ ŚRODOWISKOWYCH I ALERGOLOGII WUM ZADANIE 1 Z populacji wyborców pobrao próbkę 1000 osób i okazało
Bardziej szczegółowoPorównanie dwu populacji
Porówaie dwu populacji Porówaie dwóch rozkładów ormalych Założeia:. X ~ N( m, σ ), X ~ N( m, σ ), σ σ. parametry rozkładów ie ą zae. X, X ą iezależe. Ocea różicy między średimi m m m m x x (,...) H 0 :
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna. Wykład II. Estymacja punktowa
Statystyka matematycza. Wykład II. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 dyskretych Rozkłady zmieeych losowych ciągłych 2 3 4 Rozkład zmieej losowej dyskretej dyskretych Rozkłady zmieeych losowych
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 2 ESTYMACJA STATYSTYCZNA
Ćwiczeie ETYMACJA TATYTYCZNA Jest to metoda wioskowaia statystyczego. Umożliwia oszacowaie wartości iteresującego as parametru a podstawie badaia próbki. Estymacja puktowa polega a określeiu fukcji zwaej
Bardziej szczegółowoPODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH
PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH POMIAR FIZYCZNY Pomiar bezpośredi to doświadczeie, w którym przy pomocy odpowiedich przyrządów mierzymy (tj. porówujemy
Bardziej szczegółowooznaczają łączne wartości szkód odpowiednio dla k-tego kontraktu w t-tym roku. O składnikach naszych zmiennych zakładamy, że:
Zadaie. Niech zmiee losowe: X t,k = μ + α k + β t + ε t,k, k =,2,, K oraz t =,2,, T, ozaczają łącze wartości szkód odpowiedio dla k-tego kotraktu w t-tym roku. O składikach aszych zmieych zakładamy, że:
Bardziej szczegółowoLista 5. Odp. 1. xf(x)dx = xdx = 1 2 E [X] = 1. Pr(X > 3/4) E [X] 3/4 = 2 3. Zadanie 3. Zmienne losowe X i (i = 1, 2, 3, 4) są niezależne o tym samym
Lista 5 Zadaia a zastosowaie ierówosci Markowa i Czebyszewa. Zadaie 1. Niech zmiea losowa X ma rozkład jedostajy a odciku [0, 1]. Korzystając z ierówości Markowa oszacować od góry prawdopodobieństwo, że
Bardziej szczegółowoPOLITECHNIKA OPOLSKA
POLITCHIKA OPOLSKA ISTYTUT AUTOMATYKI I IFOMATYKI LABOATOIUM MTOLOII LKTOICZJ 7. KOMPSATOY U P U. KOMPSATOY APIĘCIA STAŁO.. Wstęp... Zasada pomiaru metodą kompesacyją. Metoda kompesacyja pomiaru apięcia
Bardziej szczegółowo8 Weryfikacja hipotez statystycznych
Marek Beśka, Statystyka matematycza, wykład 8 04 8 Weryfikacja hipotez statystyczych 8. Hipotezy statystycze Drugą obok estymacji formą wioskowaia statystyczego jest weryfikacja hipotez statystyczych.
Bardziej szczegółowoStatystyka w rozumieniu tego wykładu to zbiór metod służących pozyskiwaniu, prezentacji, analizie danych.
Statystyka w rozumieiu tego wykładu to zbiór metod służących pozyskiwaiu, prezetacji, aalizie daych. Celem geeralym stosowaia tych metod, jest otrzymywaie, a podstawie daych, użyteczych uogólioych iformacji
Bardziej szczegółowo1 Twierdzenia o granicznym przejściu pod znakiem całki
1 Twierdzeia o graiczym przejściu pod zakiem całki Ozaczeia: R + = [0, ) R + = [0, ] (X, M, µ), gdzie M jest σ-ciałem podzbiorów X oraz µ: M R + - zbiór mierzaly, to zaczy M Twierdzeie 1.1. Jeżeli dae
Bardziej szczegółowoRozkłady statystyk z próby Twierdzenia graniczne
Rozkłady statystyk z róby Twierdzeia graicze PRÓBA LOSOWA Próbą losową rostą azyway ciąg -zieych losowych iezależych i osiadających jedakowe rozkłady takie jak rozkład zieej losowej w oulacji geeralej
Bardziej szczegółowoStatystyka opisowa - dodatek
Statystyka opisowa - dodatek. *Jak obliczyć statystyki opisowe w dużych daych? Liczeie statystyk opisowych w dużych daych może sprawiać problemy. Dla przykładu zauważmy, że aiwa implemetacja średiej arytmetyczej
Bardziej szczegółowo3. Regresja liniowa Założenia dotyczące modelu regresji liniowej
3. Regresja liiowa 3.. Założeia dotyczące modelu regresji liiowej Aby moża było wykorzystać model regresji liiowej, muszą być spełioe astępujące założeia:. Relacja pomiędzy zmieą objaśiaą a zmieymi objaśiającymi
Bardziej szczegółowoz przedziału 0,1. Rozważmy trzy zmienne losowe:..., gdzie X
Matematyka ubezpieczeń majątkowych.0.0 r. Zadaie. Mamy day ciąg liczb q, q,..., q z przedziału 0,. Rozważmy trzy zmiee losowe: o X X X... X, gdzie X i ma rozkład dwumiaowy o parametrach,q i, i wszystkie
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka Wnioskowanie statystyczne. Estymacja i estymatory. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407
Rachek rawdoodobieństwa i statystyka Wioskowaie statystycze. Estymacja i estymatory Dr Aa ADRIAN Paw B5, ok407 ada@agh.ed.l Estymacja arametrycza Podstawowym arzędziem szacowaia iezaego arametr jest estymator
Bardziej szczegółowoEstymacja punktowa i przedziałowa
Estymacja puktowa i przedziałowa Marta Zalewska Zakład Profilaktyki Zagrożeń Środowiskowych i Alergologii Populacja Próba losowa (próbka) Parametry rozkładu Estymatory (statystyki) Własości estymatorów
Bardziej szczegółowoZADANIA NA ĆWICZENIA 3 I 4
Agata Boratyńska Statystyka aktuariala... 1 ZADANIA NA ĆWICZENIA 3 I 4 1. Wygeeruj szkody dla polis z kolejych lat wg rozkładu P (N = 1) = 0, 1 P (N = 0) = 0, 9, gdzie N jest liczbą szkód z jedej polisy.
Bardziej szczegółowoLiczebnośd (w tys.) n
STATYSTYKA Statystyka bada prawidłowości w zjawiskach masowych (tz. takich, które mogą występowad ieograiczoą ilośd razy). Przedmiotem badao statyki są zbiory (populacje), których elemetami są wszelkiego
Bardziej szczegółowoI. Ciągi liczbowe. , gdzie a n oznacza n-ty wyraz ciągu (a n ) n N. spełniający warunek. a n+1 a n = r, spełniający warunek a n+1 a n
I. Ciągi liczbowe Defiicja 1. Fukcję określoą a zbiorze liczb aturalych o wartościach rzeczywistych azywamy ciągiem liczbowym. Ciągi będziemy ozaczać symbolem a ), gdzie a ozacza -ty wyraz ciągu a ). Defiicja.
Bardziej szczegółowoZeszyty naukowe nr 9
Zeszyty aukowe r 9 Wyższej Szkoły Ekoomiczej w Bochi 2011 Piotr Fijałkowski Model zależości otowań giełdowych a przykładzie otowań ołowiu i spółki Orzeł Biały S.A. Streszczeie Niiejsza praca opisuje próbę
Bardziej szczegółowoStatystyka i rachunek prawdopodobieństwa
Statystyka i rachuek prawdopodobieństwa Filip A. Wudarski 22 maja 2013 1 Wstęp Defiicja 1. Statystyka matematycza opisuje i aalizuje zjawiska masowe przy użyciu metod rachuku prawdopodobieństwa. Defiicja
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA. Wykład wstępy. Teoria prawdopodobieństwa i elemety kombiatoryki 3. Zmiee losowe 4. Populacje i próby daych 5. Testowaie hipotez i estymacja parametrów 6. Test t 7. Test 8. Test
Bardziej szczegółowoMODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH. 1. Renty
MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH WYKŁAD 2: RENTY. PRZEPŁYWY PIENIĘŻNE. TRWANIE ŻYCIA 1. Rety Retą azywamy pewie ciąg płatości. Na razie będziemy je rozpatrywać bez żadego związku z czasem życiem człowieka.
Bardziej szczegółowoO pewnych zastosowaniach rachunku różniczkowego funkcji dwóch zmiennych w ekonomii
O pewych zastosowaiach rachuku różiczkowego fukcji dwóch zmieych w ekoomii 1 Wielkość wytwarzaego dochodu arodowego D zależa jest od wielkości produkcyjego majątku trwałego M i akładów pracy żywej Z Fukcję
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna. Wykład IV. Weryfikacja hipotez statystycznych
Statystyka matematyczna. Wykład IV. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 2 3 Definicja 1 Hipoteza statystyczna jest to przypuszczenie dotyczące rozkładu (wielkości parametru lub rodzaju) zmiennej
Bardziej szczegółowoĆwiczenia nr 5. TEMATYKA: Regresja liniowa dla prostej i płaszczyzny
TEMATYKA: Regresja liiowa dla prostej i płaszczyzy Ćwiczeia r 5 DEFINICJE: Regresja: metoda statystycza pozwalająca a badaie związku pomiędzy wielkościami daych i przewidywaie a tej podstawie iezaych wartości
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza danych doświadczalnych
Komputerowa aaliza daych doświadczalych Wykład 7 8.04.06 dr iż. Łukasz Graczykowski lgraczyk@if.pw.edu.pl Semestr leti 05/06 Cetrale twierdzeie graicze - przypomieie Sploty Pobieraie próby, estymatory
Bardziej szczegółowo1 Przedziały ufności. ). Obliczamy. gdzie S pochodzi z rozkładu B(n, 1 2. P(2 S n 2) = 1 P(S 2) P(S n 2) = 1 2( 2 n +n2 n +2 n ) = 1 (n 2 +n+2)2 n.
Przedziały ufości W tym rozdziale będziemy zajmować się przede wszystkim zadaiami związaymi z przedziałami ufości Będą as rówież iteresować statystki pozycyje oraz estymatory ajwiększej wiarygodości (Eg
Bardziej szczegółowoPlan wykładu. Analiza danych Wykład 1: Statystyka opisowa. Literatura. Podstawowe pojęcia
Pla wykładu Aaliza daych Wykład : Statystyka opisowa. Małgorzata Krętowska Wydział Iformatyki Politechika Białostocka. Statystyka opisowa.. Estymacja puktowa. Własości estymatorów.. Rozkłady statystyk
Bardziej szczegółowoµ = Test jest następujący: jeŝeli X > 0.01 to odrzucamy H. 0
7. Testowaie hipotez statystyczych 7. Populacja ma rozkład ciągły opisay fukcją gęstości f ( x) ( + ) x dla x [,]. Testowaa jest hipoteza, Ŝe wobec hipotezy alteratywej, Ŝe. Wioskujemy a podstawie jedoelemetowej
Bardziej szczegółowoBłędy przy testowaniu hipotez statystycznych. Decyzja H 0 jest prawdziwa H 0 jest faszywa
Weryfikacja hipotez statystycznych Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o prawdziwości lub fałszywości którego wnioskuje się na podstawie
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.
Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Ciągi. Ćwiczeia 5.11.2012: zad. 140-173 Kolokwium r 5, 6.11.2012: materiał z zad. 1-173 Ćwiczeia 12.11.2012: zad. 174-190 13.11.2012: zajęcia czwartkowe
Bardziej szczegółowoI kolokwium z Analizy Matematycznej
I kolokwium z Aalizy Matematyczej 4 XI 0 Grupa A. Korzystając z zasady idukcji matematyczej udowodić ierówość dla wszystkich N. Rozwiązaie:... 4 < + Nierówość zachodzi dla, bo 4
Bardziej szczegółowoEstymacja przedziałowa - przedziały ufności
Estymacja rzedziałowa - rzedziały ufości Próbę -elemetową charakteryzujemy jej arametrami ( x, s, s ). SłuŜą oe do ocey wartości iezaych arametrów oulacji (m, σ, σ). Nazywamy je estymatorami uktowymi iezaych
Bardziej szczegółowoStatystyka opisowa. () Statystyka opisowa 24 maja / 8
Część I Statystyka opisowa () Statystyka opisowa 24 maja 2010 1 / 8 Niech x 1, x 2,..., x będą wyikami pomiarów, p. temperatury, ciśieia, poziomu rzeki, wielkości ploów itp. Przykład 1: wyiki pomiarów
Bardziej szczegółowoDamian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim.
Damia Doroba Ciągi. Graice, z których korzystamy. k. q.. 5. dla k > 0 dla k 0 0 dla k < 0 dla q > 0 dla q, ) dla q Nie istieje dla q ) e a, a > 0. Opis. Pierwsza z graic powia wydawać się oczywista. Jako
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych 9.10.2006 r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n
Maemayka ubezpieczeń mająkowych 9.0.006 r. Zadaie. Rozważamy proces adwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskreym posaci: U = u + c S = 0... S = W + W +... + W W W W gdzie zmiee... są iezależe i mają e sam
Bardziej szczegółowo