Matematyka A, kolokwium trzecie, 1 czerwca 2010, rozwia. a b. y = = ( 2) 13 5 ( 5) = 1, wie c macierz

Transkrypt

1 Matematyka A, kolokwium treie, erwa 00, rowia ania. 0 pt. Wykaać, że dla dowolnyh lib a lkowityh a, b istnieja takie liby a lkowite, y, że y = a b 5 Znaleźć wartośi i wektory w lasne maiery A = 5 3 Naskiować wektory w lasne. Cy istnieja takie wektory u i v, że A u < u i A v > v? Cy istnieje taki nieerowy wektor w, że A w = w? Rowia anie Pierwsy sposób. Mamy = =, wie maier 5 A odwrotna do maiery A = ma a lkowite wspó lynniki. Wobe tego, jeśli liby 5 3 a a, b sa a lkowite, to liby, y też, bo = A y. b.. Drugi sposób. Mnoża pierwse równanie uk ladu równań { + 5y = a 5 + 3y = b pre 5, drugie pre i dodaja otrymane równośi stronami otrymujemy y = 5a + b. Wynika sta d, że = 5y a = 6a + 0b, atem = 3a + 5b. Wobe tego, jeśli a, b Z, to również, y Z Uwaga. W laśnie wykaaliśmy, że =, hoć nikt nie lei l nam tej pray Znajdiemy wartośi w lasne λ λ = λ3 λ 5 5 = λ λ = λ 5 4. Wobe tego λ = 5 = 5 5 i λ = + 5 = Jeśli v = onaa wektor w lasny odpowiadaja y y wartośi w lasnej λ, to spe lnione sa równania { + 5y = 5 { 5 5y = 5 + 3y = 5 5 y, yli 5 5 { 5 y = 5 = y, yli 3 5 = y. Ponieważ =, wie otrymane równania sa równoważne, wie uk lad ma nieskońenie wiele rowia ań, wie ma nieerowe rowia ania któryh istnienie wynika resta tego, że libe λ wybraliśmy w laśnie tak, by one istnia ly. Nieh np. v = 3. W identyny 5 sposób sprawdamy, że wektor v = 3 +, to wektor w lasny, który odpowiada wartośi 5 w lasnej λ = + 5. Mamy λ = + 5 >, λ λ =, wie 0 > λ >. Sta d i definiji wektora w lasnego wynika, że A v = λ v = λ v < v. Możemy wie pryja ć, że u = v. Analoginie v = v. To oywiśie nie jedyny wybór, ale mieliśmy tylko wskaać jedna pare wektorów u, v! Nieh w t = 3 + t, gdy t. Oywiśie w 3 = v i w = v. Jeśli ft = A w t w t, to f < < f, a ponieważ funkja f jest ia g la, wie istnieje taka

2 liba τ,, że fτ =. Pryjmujemy w = w τ równość A w = w. Komentar: i stwierdamy be trudu, że ahodi Niektóre wektory y sa skraane pre preksta lenie y A y, np. wektor v, inne sa wyd lużane, np. wektor v, wie nie ma w tym ni diwnego, że po drode od wektora v do wektora v natrafiamy na taki, którego d lugość nie mienia sie. Jasne jest, że w tym roumowaniu w ogóle nie wraamy uwagi na kierunek, bo pytano nas jedyne o d lugość. Z równośi A v oywiśie nie wynika równość A v = v. Dodajmy jese, że można by lo posta pić inaej. Równość A y = y jest równoważna temu, że A y = y, yli równośi + 5y y = + y, wie równośi 8 50y + 93y = 0. Ponieważ = 50y y = 884y, wie dla każdego y 0 istnieje taka liba 0, że 8 50y + 93y = 0, a to onaa, że A y = y. Można też ustalić i sukać y. Jeśli np. =, to y ma spe lniać równanie y+93y = 0, o prowadi do wniosku, że y = 93 50±. Dodajmy jese, że ± = 93 ± ± 3, wie wektor ± NIE jest wektorem w lasnym odpowiadaja ym wartośi w lasnej resta liba wartośia w lasna nie jest.. 0 pt. Nieh A = Znaleźć wartośi i wektory w lasne maiery A. Znaleźć wartośi i wektory w lasne maiery A. Znaleźć wartośi i wsystkie wektory w lasne maiery A 3. Znaleźć maier A 3. Rowia anie Be diemy sukać wartośi w lasnyh, które to liby sa pierwiastkami wielomianu harakterystynego, wie be diemy starać sie ro lożyć ten wielomian na ynniki, wie wymnażanie jest ostatnia rea, a która należy sie brać. λ λ 0 treia ======= 3 3 λ 0 kolumna 0 + λ λ 3 3 λ = = λ λ + 3 = λ + λ i 3 = λ + λ i 3 + λ + i 3, atem λ =, λ = i 3 ora λ 3 = + i 3. Znajdiemy wektory w lasne odpowiadaja e λ. Jeśli v = równań y, to musi być spe lniony uk lad 3 + y y y. Diela pierwse równanie pre 3 i dodaja wynik do dru giego otrymujemy 4y = 0, wie y = 0. Wobe tego również = 0 pierwsego równania Wykaaliśmy, że wektory w lasne odpowiadaja e λ to wektory postai, 0, np.. W asadie te rahunki sa be dne, bo każdy, kto reywiśie potrafi mnożyć maiere, widi to 00 od rau: mnożenie maiery pre wektor postai to mnożenie jej treiej kolumny pre

3 libe, wie wynik to =. Tera ajmiemy sie λ. Jeśli v = y, to musi być spe lniony uk lad równań i 3 + y iy y i 3 = 0 Mnoża pierwse równanie pre libe i otrymujemy drugie, wie te dwa sa równoważne. Pierwse można apisać w postai y = i. Wtedy treie prybiera postać 3 + i i 3 = 0, i yli =. Pryjmuja = otrymujemy wektor v =. Ponieważ maier jest reywista i λ 3 = λ, wie jednym wektorów w lasnyh odpowiadaja i yh λ 3 jest wektor. Z równośi A v = λ v wynika od rau, że A v = λ v, atem wartośiami w lasnymi maiery A sa liby, i = i 3 ora +i = 3 4 i 3 a odpowiadaja te same 00 i i wektory w lasne, o w prypadku maiery A, yli kolejno, i wresie. Jeśli A v = λ v, to A 3 v = λ 3 v, atem wartośiami w lasnymi maiery A 3 sa liby λ 3 = = 3 = 8, λ 3 = i 3 3 = 8 i λ 3 = + i 3 3 = 8, a odpowiadaja ymi im wektorami sa 00 i i kolejno:, i. BARDZO WAŻNE STWIERDZENIE Jeśli A v = λ v, to dla każdej liby ahodi równość A v = λ v. Jeśli A v = λ v i A v = λ v, to ahodi równość A v + v = λ v + v. Z tego stwierdenia wynika, że biór wektorów w lasnyh, który awiera wektor v, awiera też a la prosta prehoda a pre punkt 0 wynaona pre v. Jeśli awiera dwa nierównoleg le wektory v i v, to awiera wsystkie wektory postai v + v, gdie, sa dowolnymi libami, a to onaa, że awiera p lasyne prehoda a pre 0 równoleg la do obu wektorów v i v. Jeśli awiera try wektory nie leża e w jednej p lasyźnie, to awiera a la trójwymiarowa prestreń. Z tego, o napisa lem, wynika, że biór wektorów w lasnyh maiery A 3 awiera wsystkie 00 i i y wektory postai + + 3, yli wsystkie wektory r postai. Onaa to, że dla każdego wektora r mamy A 3 r = 8 r. W sególnośi A 3 =, A 3 = i A 3 =. Onaa to, że A 3 = Uwaga Pomnożenie maiery A pre siebie, a potem otrymanego wyniku pre A nie jest b le dem, ale jest strata asu i jasnym komunikatem dla sprawdaja ego, że student ia gle jese nie wie, o to jest wektor w lasny, hoć jest w stanie poprawnie różne rey obliyć. Apeluje o mniej masynowe podejśie do nauki matematyki i apewne innyh predmiotów.

4 3. 0 pt. Nieh A = Znaleźć wartośi i wektory w lasne maiery A. Znaleźć wartośi i wektory w lasne maiery A. Znaleźć wartośi i wsystkie wektory w lasne maiery A. Znaleźć maier A. Znaleźć wsystkie takie wektory v R 3, że A v = v. Rowia anie Jasne jest, że jeśli liba λ jest wartośia w lasna maiery A, to liba 9λ jest wartośia w lasna maiery 9A. Wektory w lasne maiery A i maiery 9A to te same wektory. Zajmiemy sie wie maiera 9A, bo hoć radimy sobie u lamkami nienajgorej, to jednak preferujemy liby a lkowite.* Zaynamy oywiśie od wartośi w lasnyh. λ λ 4 = λ λ λ 4 7 λ λ 4 8 λ 4 4 = = λλ 8λ λ λ = λλ + λ λ = =λ 9 λ + λ 80 = λ 98 λ = λ 9 λ + 9. Wynika sta d, że wartośiami y w lasnymi maiery 9A sa liby λ = 9 = λ i λ 3 = 9. Jeśli jest wektorem w lasnym odpowiadaja ym wartośi w lasnej 9, to spe lniony jest uk lad równań: { 8 + 8y 4 = 0 8 8y + 4 = 0. Uk lad ten 4 + 4y = 0 jest równoważny temu, że y + = 0. Onaa to, że wektory w lasne odpowiadaja e wartośi y w lasnej 9 twora p lasyne o podanym pred hwila równaniu. jest wektorem w lasnym odpowiadaja ym wartośi w lasnej 9 wtedy i tylko wtedy, gdy { 0 + 8y 4 = y + 4 = 0. Dodaja 4 + 4y + 6 = 0 dwa pierwse równania, potem diela pre 8, otrymujemy + y = 0. Sta d i pierwsego równania wynika, że 4 = 0, yli =. Wynika sta d, że wektory w lasne odpowiadaja e 9 sa postai =. Jak widać sa one prostopad le do p lasyny lożonej wektorów w lasnyh odpowiadaja yh libie 9. Zajmijmy sie tera maiera A. Jej wartośiami w lasnymi sa liby, i. Wektory w lasne odpowiadaja e wartośi w lasnej to wsystkie wektory w p lasyźnie y + = 0, y y yli prostopad le do wektora [,, ]. Wobe tego, jeśli y + = 0, to A =, natomiast A = =. Onaa to, że wektory y y i A sa symetryne wgle dem p lasyny y + = 0. Wartośiami w lasnymi maiery A sa liby, i, wie liby, i. Odpowiadaja im wektory w lasne, np. [,, 0], [,, 4] i [,, ], wajemnie prostopad le, wie nie leża e w jednej p lasyźnie. Wobe tego każdy wektor jest wektorem w lasnym odpowiadaja ym jedyne, a to onaa, że A = * A o na to klasyk? Die ganen Zahlen hat der liebe Gott gemaht, alles andere ist Menshenwerk. = Good God made the integers, all else is the work of man. Leopold Kroneker, 83 89

5 Tak jak w poprednim adaniu, a nawet prośiej, można doliyć sie, że tak jest mnoża maier A pre siebie i ryykuja pomy lki w oblieniah. { 4. 0 pt. Rowia ać uk lad równań t = 6t 3yt, y t = 8t + 5yt. 6 3 Rowia anie Zajmiemy sie najpierw maiera. Wartośi w lasne sa 8 5 pierwiastkami równania 6 λ λ = 6 λ5 λ = λ + λ 6 = λ λ + 3. Wartośiami w lasnymi sa wie liby λ = 3 ora λ =. Wspó lre dne, y wektora w lasnego odpowiadaja ego λ = 3 spe lniaja uk lad równań { 3 3y = 0, yli równanie + y = y = 0 Wspó lre dne wektora w lasnego odpowiadaja ego wartośi w lasnej λ = spe lniaja uk lad równań { 8 3y = y = 0, yli równanie 8 + 3y = 0. Rowia anie ogóle uk ladu równań ma wie postać e 3t e t, tn. t = e 3t 3 e t, yt = e 3t + 8 e t. { 5. 0 pt. Znaleźć rowia anie uk ladu równań t = 4t + 5yt, y t = 9t + 6yt, które spe lnia warunek, y. Rowia anie Zaniemy od naleienia wartośi w lasnyh odpowiedniej maiery: 4 λ λ = 4 λ6 λ = λ λ = = λ λ = λ λ+ = λ, atem λ = = λ. Wspó lre dne, y wektora w lasnego odpowiadaja ego λ = spe lniaja uk lad równań { 5 + 5y = 0, yli równanie 9 + 5y = y = 0. Mamy wie tylko jeden kierunek w lasny. Znajdiemy wobe tego uogólniony wektor w lasny odpowiadaja y wektorowi { y = 5 3, yli rowia żemy uk lad równań. Jest on 9 + 5y = 3 równoważny jednemu równaniu 3+5y =, które ma oywiśie nieskońenie wiele rowia ań, np. =, y =. Rowia anie ogólne uk ladu wygla da tak 5 [ 3 e t + v +t v +t v 3 e λt + t 5 ] 3 e t, yli t = 5 e t + [ +5t]e t, yt = 3 e t + [ +3t]e t. Mamy naleźć rowia anie spe lniaja e warunek poa tkowy = 5, = y 3. Mnoża drugie równanie pre, naste pnie odejmuja wynik od pierwsego równania otrymujemy. Sta d natyhmiast wynika, że =. Wobe tego t = [ + 5t]e t, yt = [ + 3t]e t. Dlaego tak rowia ujemy uk lady równań różnikowyh? Rowia aniem równania drugiego re du o sta lyh wspó lynnikah okaa ly sie funkje, które by ly iloynem wielomianu i funkji wyk ladniej quasiwielomiany. W prypadku uk ladu t = At można mieć nadieje na podobny reultat. Sukamy wie rowia ania w postai v + t v + t v 3 e λt stopień jest dwa lub mniejsy, ale móg lby być wie ksy, nie he komplikować onaeń. Wektory v, v, v 3 to po prostu jakieś wektory o tej samej libie wspó lre dnyh o wektor t. Podstawiamy hipotetyne rowia anie do równania t = At i otrymujemy: v + t v 3 e λt + λ v + t v + t v 3 e λt = A v + t v + t v 3 e λt.

6 Po upora dkowaniu wed lug pote g t i podieleniu obu stron pre e λt wygla da to tak: v + λ v + t v 3 + λ v + t λ v 3 = A v + ta v + t A v 3. Wystary loby wie a można wykaać, że tak musi być, by A v = λ v + v, A v = λ v + v 3 i A v 3 = λ v 3. Np. jeśli v = 0 i v 3 = 0, to v jest wektorem w lasnym maiery A, który odpowiada wartośi w lasnej λ nie ak ladaliśmy weśniej, że λ to wartość w lasna maiery A, w laśnie okaa lo sie, że musi nia być! Jeśli v 3 = 0 v, to v jest wektorem wa snym odpowiadaja ym wartośi w lasnej λ, a v jest uogólnionym wektorem w lasnym odpowiadaja ym tej wartośi w lasnej. Wresie jeśli v 3 0, to v 3 jest wektorem w lasnym, v uogólnionym wektorem w lasnym, a v też naywamy uogólnionym wektorem w lasnym dodaja asem drugiego re du. Można wykaać, że jeśli nie stara wektorów w lasnyh do napisania rowia ania ogólnego, to można naleźć uogólnione wektory w lasne i podać rowia anie w postai wektorowego quasiwielomianu.