Między kuchnią a matematyką

Transkrypt

1 Młodzieżowe Uniwesytety Matematyczne Pojekt współfinansowany pzez Unię Euopejską w amach Euopejskiego Funduszu Społecznego Dominik Kwietniak Między kuchnią a matematyką Wykład Rzeszów, 1 paździenika Pojekt ealizowany pzez Uniwesytet Rzeszowski w patnestwie z Uniwesytetem Jagiellońskim oaz Państwową Wyższą Szkołą Zawodową w Chełmie Centalne Biuo Pojektu, Uniwesytet Rzeszowski ul. Rejtana 16a, Rzeszów tel , faks

2 Motto I nastąpi taki moment, gdy społeczeństwo samo upomni się, by je uczyć matematycznego myślenia, bo to jest opłacalne tak stało się pzecież, gdy ogomne pieniądze zostały pzez ludzi włożone w naukę języka angielskiego i windowsów. I to będzie wielki sukces Gadnea, piewszego, któy odkył tę spawę. Pewnie to nie będzie zaaz. Ale będzie, czego jestem tak pewien, jak tego, że swego czasu Pitagoas zapoczątkował istnienie dewiantów, zwanych matematykami (choć też pzy tym nie byłem). pof. Maek Kodos, Delta, styczeń /Dlaczego_Matin_Gadne/index.html Puchay W jednym puchaze jest woda, w dugim wino. Zaczepnięto z dugiego puchau kieliszek wina i wlano do piewszego. Potem zaczepnięto ten sam kieliszek z piewszego puchau i wlano do dugiego. Czy na końcu więcej było wody w winie, czy wina w wodzie?

3 nieco tudniejsze Czy można pokyć kostkami domina 2 1 szachownicę 8 8, z któej usunięto dwa naożne pola leżące na jednej pzekątnej? Odpowiedź łatwo odgadnąć, ale jak tego dowieść? Odpowiedź Szachownicy 8 8, z któej usunięto dwa naożne pola leżące na jednej pzekątnej nie da się pokyć kostkami domina 2 1! Dowód.

4 Dowód Po usunięciu naożnych pól Szachownica 8 8 ma 64 pola, pozostaną 62 pola, 32 jasne po 32 w każdym koloze: i 30 ciemnych: = Aby pokyć 62 pola potzeba 31 kostek domina. Każda kostka domina pokywa jedno jasne i jedno ciemne pole. 31 = Zatem 31 kostek pokyje tylko 31 jasnych pól! Pokycie jakiego szukamy jest niewykonalne! Dowiedliśmy więcej niż zamiezaliśmy Twiedzenie Jeżeli z szachownicy 8 8 usuniemy dwa pola, któe pzy szachowym koloowaniu mają ten sam kolo, to pozostałych pól nie da się pokyć pzy pomocy kostek domina. Dowód. Koloujemy szachownicę tak, aby pola, któe mają być usuniętę pola były ciemne. Po usunięciu tych pól pozostaną nam 62 pola: 30 ciemnych i 32 jasne. Do pokycia musimy użyć 31 klocków domina, ale 31 klocków domina jest w stanie pokyć tylko 31 jasnych pól, a mamy do pokycia 32 takie pola...

5 Twiedzenie odwotne? Twiedzenie Jeżeli z szachownicy 8 8 usuniemy dwa pola, któe pzy szachowym koloowaniu mają ten sam kolo, to pozostałych pól nie da się pokyć pzy pomocy kostek domina. Twiedzenie Jeżeli obszau pozostałego po usunięciu dwóch pól z szachownicy 8 8 nie da się pokyć pzy pomocy kostek domina, to usunieto pola, któe pzy szachowym koloowaniu mają ten sam kolo. Twiedzenie Jeżeli z szachownicy 8 8 usuniemy dwa pola, któe pzy szachowym koloowaniu mają óżne koloy, to pozostałe pola można pokyć pzy pomocy kostek domina. Pzykład Usunięte pola są óżnych koloów, po ich usunięciu pozostaną 62 pola, dwa 31 zaznaczone jasnych ipo- 31 Usuwamy la ciemnych: 62 = Jeżeli nasze twiedzenie jest pawdziwe, to pozostałe pola można pokyć kostkami domina.

6 Spacey wieży po szachownicy Znajdź taką sekwencję uchów wieży szachowej, w czasie któej wieża odwiedzi każde pole szachownicy dokładnie az a na koniec wóci do punktu statu. Zadania konstukcyjne Dane są dwie klepsydy. Piasek w piewszej z nich pzesypuje się pzez 7 minut, a w dugiej 11 minut. Jak pzy pomocy tych dwóch klepsyd odmiezyć 15 minut?

7 Zadania konstukcyjne W pewnym 20-piętowym wieżowców jest winda, któa ma tylko dwa guziki. Wciśnięcie piewszego z nich powoduje, że winda wyjedzie 13 pięte do góy (o ile tylko wykonalne, bo jest pięto 13 pięte wyżej) a naciśnięcie dugiego spowoduje zjechanie 8 pięte w dół (o ile to możliwe). Jak dostać się z pięta 13 na 8? Zadania konstukcyjne Czy możemy liczby od 1 do 100 zapisać w zędzie w ten sposób, by moduł óżnicy między dwiema sąsiadującymi liczbami był nie mniejszy od 50? Jeżeli tak, to na ile sposobów możemy to zobić?

8 Zadania konstukcyjne Dozwolone są dwie opeacje: po piewsze, wolno podwoić liczbę zapisaną na tablicy, po dugie, wolno zmazać ostatnią cyfę liczby zapisanej na tablicy. Wymazanie wszystkich cyf ównoważne jest z zapisaniem liczby 0. Jak pzy pomocy tych dwóch opeacji z liczby 458 otzymać liczbę 14? Zadania konstukcyjne Katy ponumeowane liczbami od 1 do 9 ułożono na stole w następującej kolejności 7, 8, 9, 4, 5, 6, 1, 2, 3. Możemy pzestawiać kolejność kat, ale tylko w ten sposób, że wybieamy pewną liczbę sąsiadujących ze sobą kat i układamy je na upzednio zajmowanych miejscach, ale w odwotnej kolejności, np. 7, 8, 9, 4, 5, 6, 1, 2, 3 7, 8, 9, 6, 5, 4, 1, 2, 3. Czy możliwe jest ustawienie liczb w ich natualnym poządku, tzn. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?

9 Zadania konstukcyjne Czy w pola szachownicy 4 4 można wpisać óżne od zea liczby całkowite w ten sposób, że sumy liczb wpisanych w naożne pola każdego kwadatu 2 2, 3 3 oaz 4 4 jaki można utwozyć z sąsiadujących pól na naszej szachownicy wynoszą zeo? Zadania logiczne Na stole położono cztey katy na któych widnieją kolejno symbole A, B, 22, 23. Ile kat tzeba odwócić, aby spawdzić czy pawdziwe jest stwiedzenie: Jeżeli po jednej stonie katy wydukowano liczbę pazystą, to po dugiej stonie jest samogłoska.

10 Zadania logiczne Załóżmy, że pawdziwe są następujące zdania: 1. Wśód ludzi, któzy nie mają w domu telewizoa są tacy, któzy nie są matematykami. 2. Każdy kto nie jest matematykiem i codziennie ano biega (upawia jogging), nie ma telewizoa. Czy możemy na tej podstawie wywnioskować, że wśód ludzi, któzy mają w domu telewizo są tacy, któzy nie biegają codziennie ano? Zadania logiczne W Kainie Czaów pzed sądem Kólowej Kie stanęli: Szalony Kapelusznik, Suseł i Macowy Kólik. Macowy Kólik zeznał, że Szalony Kapelusznik ukadł ciastka w czasie Obłąkanej Hebatki. Następnie zeznawali Suseł i Kapelusznik, lecz ich zeznania nie zachowały się w potokole. Achiwista zapisał tylko, że po pzeanalizowaniu kolejnych dowodów okazało się, że tylko spawca kadzieży zeznał wtedy pawdę. Kto ukadł ciastka?

11 Zadania logiczne W pudełku znajdują się kedki w dwóch óżnych koloach i dwóch óżnych wielkości. Uzasadnić, że znajdziemy w tym pudełku dwie kedki, któe ównocześnie óżnych koloów i óżnych wielkości. Zadania logiczne Dane są tzy uny. Wiadomo, że w jednej z nich są dwie czane kule, w jednej są dwie białe kule, a w jednej znajdują się czana i biała kula. Na unach umieszczone są naklejki 2C, 2B, ibc, któe miały opisywać zawatość un (B oznacza kulę białą a C czaną). Niestety w skutek błędu żadna una nie została pawidłowo oznaczona. Czy wyciągając jedną kulę z jednej tylko uny można okeślić zawatość wszystkich un?

12 Kiełki Na katce papieu ysujemy pewną skończoną liczbę kopek. Dwaj gacze na pzemian ysują niepzewane linie w ten sposób, że każda z linii zaczyna się i kończy w jakiejś kopce (może to być ta sama kopka) oaz nie pzecina ani sama siebie, ani żadnej innej już naysowanej linii. Maksymalna liczba początków i końców linii, któe spotykają się w danej kopce jest ówna 3. Po doysowaniu nowej linii, w dowolnym miejscu gacz doysowuje nową kopkę leżącą na właśnie dodanej linii. Zauważmy, że do każdej doysowanej kopki może już tylko dojść jedna nowa linia. Wygywa ten gacz, któy jako ostatni doysuje nową linie zostawiając taką sytuacje na planszy, że dugi gacz nie ma już możliwości wykonania zgodnego z egułami gy uchu. Kiełki bukselki Na katce papieu ysujemy pewną skończoną liczbę kzyżyków. Końce tych kzyżyków nazywamy wolnymi. Dwaj gacze na pzemian ysują niepzewane linie łącząc wolne końce kzyżyków (można łączyć dwa wolne końce tego samego kzyżyka). Nowe linie należy ysować tak, aby nie pzecinały one ani samych siebie, ani żadnej innej już naysowanej linii. Po doysowaniu nowej linii, w dowolnym miejscu gacz doysowuje dwa amiona nowego kzyżyka w ten sposób, że utwozone dwa wolne amiona znajdują się po óżnych stonach linii na właśnie dodanej linii. Zauważmy, że do każdej doysowanej kopki może już tylko dojść jedna nowa linia. Wygywa ten gacz, któy jako ostatni doysuje nową linie zostawiając taką sytuacje na planszy, że dugi gacz nie ma już możliwości wykonania zgodnego z egułami gy uchu.