ZAJĘCIA VII. Zastosowanie estymatora LS do identyfikacji obiektów dynamicznych
|
|
- Magdalena Szczepaniak
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 ZAJĘCIA VII Zastosowanie estymatora LS do identyfikacji obiektów dynamicznych Równanie różniczkowe a metoda LS Czas dyskretny a czas ciągły Obciążenie estymatora LS w przypadku dynamicznym Estymacja parametrów modelu dyskretnego
2 WPROWADZENIE Komputerowa identyfikacja obiektów W dotychczasowych zadaniach posługiwaliśmy się modelami statycznymi, dobrze opisującymi takie obiekty, w których procesy przejściowe trwają na tyle krótko, że mogą być pominięte w danym zastosowaniu. Wyjście i wejścia takiego modelu są powiązane zależnością algebraiczną. W rzeczywistych obiektach zawsze istnieją zasobniki energii, które powodują zależność wyjścia obiektu nie tylko od bieżących wartości jego wejść, ale również od poprzednich wartości wejść, które wpłynęły na bieżący stan tych zasobników. Modele uwzględniające zmiany energii wewnątrz obiektu są nazywane modelami dynamicznymi. Dla wyjścia modelu dynamicznego istotne są więc zarówno bieżące wartości wejść jak i ich przeszłe wartości. Celem identyfikacji parametrycznej obiektu dynamicznego jest określenie struktury modelu dynamicznego, której rząd odpowiada obiektowi i wyznaczenie estymat parametrów opisujących własności dynamiczne (jak np. szybkość ładowania czy pojemność zasobników energii) i własności statyczne obiektu. W dalszej części będzie analizowana identyfikacja obiektów dynamicznych jednowejściowych i jednowyjściowych. Podstawową postacią modelu będzie równanie różniczkowe i odpowiadające mu równanie różnicowe. Przykład: Modelem obiektu dynamicznego inercyjnego jest transmitancja ze stałą czasową. Magazynowanie energii wewnątrz inercji prowadzi do zależności bieżącego wyjścia od historii wejścia (model całkowy splotu). Wprowadzając zależność bieżącego wyjścia od historii wyjścia (trendu zawartego w pochodnej) uzyskujemy bardziej zwarty opis transmitacyjny.
3 MODEL DYNAMICZNY A RÓWNANIE LINIOWE Jednym z modeli obiektu dynamicznego z czasem ciągłym jest równanie różniczkowe: () y t n m () dy t d y t du t d u t + α + + αn = β n 0u() t + β + + βm m dt dt dt dt Stosując podstawienie zmiennych za kolejne pochodne wejścia i wyjścia: () () ( n ) n 0 m ( m ) () y t = α y t α y t + β u t + β u t + + β u t można zauważyć jego podobieństwo do równania algebraicznego modelu statycznego. W notacji modelu LS (tj. Y = Uθ) macierz U zawierałyby próbki poszczególnych zmiennych (czyli oryginalnych pochodnych), a wektor θ współczynniki równania różniczkowego. () ( n) ( m) 0 y y u u () ( n) ( 0) ( m) y2 y2 u2 u2 U =, () ( n) ( 0) ( m ) yn yn un u N α y Y = αn, θ = β0 yn βm Widoczna jest jakościowa zmiana modelu: w macierzy wejść pojawiają się wartości pochodnych wyjścia, które nie są znane dokładnie. Ma to swoje konsekwencje w niekorzystnych własnościach estymatora, co zostanie pokazane później.
4 MODEL Z CZASEM CIĄGŁYM A MODEL Z CZASEM DYSKRETNYM Metoda różniczkowania sygnałów była powszechna w czasach komputerów hybrydowych, w których dokonywano analogowego różniczkowania sygnałów. We współczesnych komputerowych systemach identyfikacji klasycznym estymatorem LS nie wykonuje się operacji numerycznych na sygnałach w celu uzyskania przybliżonych pochodnych sygnałów. Proces identyfikacji modelu ciągłego polega na transformacji modelu ciągłego do postaci dyskretnej, identyfikacji modelu dyskretnego i przejścia powrotnego do modelu ciągłego, z przeliczeniem wartości współczynników zidentyfikowanego modelu dyskretnego na współczynniki modelu ciągłego. Metodą transformacji modelu przy niskich rzędach może być aproksymacja pochodnych sygnału przybliżeniami różnicowymi przy odstępie próbek (okresie próbkowania) t, np. dla pierwszej pochodnej : () ( + ) df t f t t f t dt t t= t Jaki błąd popełniamy przy takim przybliżeniu? Możemy go przedstawić w dziedzinie częstotliwości. Porównamy transmitancje modeli różniczkowania ciągłego G( s) = s i dyskretnego przybliżonego ilorazem różnicowym ( ) G z = f z. s bode(tf([ 0],[ ]), 'r', tf([ -],[ ], ), 'b') Zauważmy, że błąd rośnie dla dużych częstotliwości. Magnitude (db) Phase (deg) Bode Diagram Frequency (rad/sec)
5 Przykład: Przybliżenie pochodnej ilorazem różnicowym Komputerowa identyfikacja obiektów dy t Przeprowadźmy transformację modelu inercyjnego pierwszego rzędu o postaci: y () t + T = Ku() t. dt ( + ) y t t y t y() t + T = Ku t t () ( ) ( τ) τ y t + t = y t + K u t gdzie zastosowano podstawienie τ = t T Stosując podstawienia a = τ, b = Kτ i operując numerami próbek odległych o t otrzymujemy model, który może być identyfikowany estymatorem LS: y = + ay + bu i i i lub w zapisie transmitancji operatora z: G( z) y z b = = u z z a Na podstawie N próbek wejścia i wyjścia tworzymy macierze y2 y u y 3 y2 u 2 a y =, U=, θ = b y y u N N N i wykonujemy obliczenia estymatora LS ( θ ˆ = U\ y). Po wyliczeniu wartości współczynników a i b przeliczamy je na współczynniki K i T modelu ciągłego wg zależności odwrotnych: T t ( a) =, K = Tb t. Sprawdźmy czy to działa: >> dt=0.; >> t=0:dt:50*dt; >> u=ones(size(t)); >> y=step(5,[2 ],t); >> U=[y(:end-), u(:end-)']; >> Y=y(2:end); >> p=u\y p = >> T=dt/(-p()) T = >> K=T*p(2)/dt K =
6 METODY KONWERSJI DZIEDZINY MODELU Tego rodzaju obliczenia dla modeli wyższego rzędu są uciążliwe. Istnieją sformalizowane metody transformacji dla modeli w postaci równań stanu lub transmitancji wykonujące przekształcenie modelu przy szczególnych założeniach o postaci wejścia (np. ekstrapolacja zerowego rzędu pomiędzy próbkami) czy przy przybliżeniu relacji między operatorami czasu ciągłego s i dyskretnego z (np. transformata biliniowa). Najstarszą i najprostszą do zrozumienia metodą jest transformacja przy założeniu stałowartościowego wejścia pomiędzy momentami próbkowania. Jeśli to założenie jest spełnione to obydwa modele są równoważne. Jeśli jednak wejście zmienia się nie w sposób skokowy to model dyskretny jest opisem przybliżonym. Analiza metody jest opisana w każdej książce do automatyki lub identyfikacji systemów (np. podręcznik Sydenhama) a ponieważ wymaga wiedzy z dziedziny układów równań różniczkowych, to zostanie tu pominięta. Wynikiem tej analizy jest zależność między macierzami równań stanu modelu ciągłego i modelu dyskretnego. Matlab oferuje możliwość przeliczania współczynników modelu równań stanu i transmitancyjnego funkcją c2dm dla przejścia z postaci ciągłej na dyskretną i d2cm dla przejścia w drugą stronę dla różnych rodzajów aproksymacji. W identyfikacji modelu ciągłego początkowe przejście od modelu ciągłego do dyskretnego potrzebne nam jest tylko do wyznaczenia rzędu odpowiedniego modelu dyskretnego. Przyjmując rząd modelu dyskretnego równy rzędowi modelu ciągłego, możemy ten krok pominąć. Przyjmowanie takiej samej postaci sparametryzowanego modelu dyskretnego jak ciągłego (po podstawieniu za operator s operatora z) nie zawsze jest poprawne, o czym nas przekona następny przykład. Działa natomiast wyrównywanie w górę rzędów licznika i mianownika.
7 Przykład: Metoda transformacji biliniowej (Tustina) jω j2π f f 2 Korzystamy z aproksymacji: s s t + s t 2 z z = e = e = e s s t 2 tz + Np. dla rozważanej wcześniej inercji o modelu operatorowym G( s) G z Kτ K Kτ ( z+ ) + = = = 2Tz ( ( ) ) z τ τ τ z tz+ τ + ( z + ) τ K = dostajemy (podstawienie 2 st + τ = t T ): Dla K=5, T=2, t =: G( z) Oczywiście możemy do konwersji (z identycznym wynikiem) wykorzystać funkcje Matlaba: c2d(tf([5],[2 ]),,'tustin') = z + z 0.6 Wynikiem przekształceń modelu w postaci równania różniczkowego jest równanie różnicowe z nowymi współczynnikami a i, b i y + ay + + a y = b u + bu + + b u i i i n i n 0 i i m i m które można przedstawić w postaci transmitancji dyskretnej (dwie równoważne postaci): G z y z m b0 + bz + + bmz u z n + az + + anz = = G z bz + bz + + b z = n n n m 0 m n n z + az + + an
8 OBLICZENIA LS DLA USTALONEGO MODELU DYSKRETNEGO Stosując metodę LS do tego modelu (relacji pomiędzy próbkami ) operujemy macierzami: U y y u u y y u u n n n m n 2 n+ n m+ = y y u u N N n N N m, θ a a, bm n = b0 Y y y n = n+ y N Chociaż w macierzy U występują próbki wejścia i wyjścia, to dla ujednolicenia nazewnictwa modeli liniowych nazywa się ją macierzą wejść uogólnionych. Po wyznaczeniu rozwiązania θ ˆ = U\ Ypozostaje wrócić do postaci ciągłej modelu (jeśli taka nas interesuje), co można zrobić korzystając z funkcji konwersji d2c(). Uwaga: Ostatecznie uzyskany model ciągły może różnić się rzędami licznika i mianownika od początkowo założonego modelu. Co wtedy zrobić?
9 CZY ESTYMATOR LS UTRZYMAŁ SWOJE WŁASNOŚCI? (I DLACZEGO NIE) Analiza obciążenia estymatora LS dla modelu opisanego równaniem Y = Uθ+ ε, przeprowadzona na poprzednich zajęciach zakładała niezależność losową wejść obiektu i zakłóceń wielkości wyjściowej. Jak widać z postaci powyższej macierzy, ten warunek w przypadku modelu dyskretnego obiektu dynamicznego nie jest już spełniony, ponieważ pomiary zakłóconego wyjścia znajdują się w macierzy wejścia. Macierz ta jest więc zależna losowo od zakłóceń. Wartość oczekiwana estymatora LS będzie w tym przypadku równa: [ ] T T T T T T E θˆ = E UU UY = UU U E Uθ+ ε = θ+ E U U U ε θ Prosty przykład na tablicy: zakłócenia obserwacji sygnału wejściowego przy wyznaczaniu średniej W ogólnym przypadku jest to więc estymator obciążony, co można łatwo sprawdzić dla podanego wcześniej przykładu obiektu inercyjnego pierwszego rzędu. Musimy tu jednak rozdzielić błąd systematyczny estymat pochodzący od dyskretyzacji (jak to było we wcześniejszym przykładzie) od błędu systematycznego pochodzącego od obecności zakłóceń w macierzy wejść uogólnionych.
10 MODELOWANIE I IDENTYFIKACJA BEPOŚREDNIO W DZIEDZINIE DYSKRETNEJ W dotychczasowych wywodach wychodziliśmy od modelu z czasem ciągłym, którego parametry miały dla nas znaczenie fizykalne. Dzięki znajomości ich wartości mogliśmy przewidzieć zachowanie się identyfikowanego obiektu i odnieść je do równań fizycznych (dla czasu ciągłego) opisujących to zachowanie. Takie podejście jest stosowane często tylko z powodu nawyków operowania w czasie ciągłym. Nie ma żadnych przeszkód żeby zacząć budowanie modelu od razu w dziedzinie dyskretnej, opisując relacje pomiędzy próbkami sygnałów wejściowych i wyjściowych. Tak zbudowany model można następnie zidentyfikować i używać np. do analizy zachowania w dziedzinie czasu lub częstotliwości. Możemy przy tym używać modeli liniowych typu FIR lub IIR, które w zapisie relacji między próbkami i transmitancji operatora z mają postać: FIR: IIR: y = b u + bu + + b u i 0 i i m i m y + ay + + a y = b u + bu + + b u G( z) i i i n i n 0 i i m i m y z m G z = = b0 + bz + + bmz u z y z m b0 + bz + + bmz u z n + az + + anz = =
11 Przykład: Identyfikacja parametryczna karty dźwiękowej komputera PC Na zajęciach poświęconych metodom nieparametrycznym używaliśmy metody korelacyjnej z pseudolosowym sygnałem pobudzającym. Wykorzystamy teraz tamte rejestracje sygnałów do identyfikacji parametrycznej z modelem FIR, czyli modelem zależności bieżących próbek wyjścia od bieżących i poprzednich próbek wejścia. Na ćwiczeniach rozszerzymy problem do identyfikacji IIR, czyli poszukiwania zależności wyjścia dodatkowo od poprzednich próbek wyjścia. load sndb_prbs; M=30; % dlugosc licznika L=length(u); % Metoda parametryczna model FIR o dlugosci M U=[]; for i=:m U=[U, u(i:l-m+i)]; end Y=y(M:L); b=u\y; Hls=freqz(b(:M),[], L/2); % Metoda nieparametryczna dla porównania ry=xcorr(y,u,l); ry=ry(end/2:end/2+l-); %plot(ry) H=fft(ry)/(L/4); ids=:l/2; Freqs=(ids-)*fs/L; % Porównanie estymat loglog(freqs, abs(h(ids)),'r.', Freqs, abs(hls), 'b-')
12 ZADANIA Komputerowa identyfikacja obiektów Zadanie Na podstawie danych z pliku (rozdany na zajęciach dane7-.mat) przeprowadź identyfikację obiektu z modelem dyskretnym drugiego rzędu i po identyfikacji z użyciem funkcji d2cm przejdź do postaci modelu ciągłego. Zweryfikuj model przez sprawdzenie dopasowania wyjścia modelu do pomiarów. Zadanie 2 Przeprowadź identyfikację parametryczną karty dźwiękowej na podstawie rejestracji dostępnych w pliku i po przyjęciu modelu IIR. Najłatwiej będzie to wykonać przez modyfikację programu identyfikacji z modelem FIR. Zweryfikuj wyniki przez porównanie moduły transmitancji IIR z nieparametryczną charakterystyką częstotliwościową. Zadanie 3 Na podstawie odpowiedzi skokowej obiektu inercyjnego RC zarejestrowanej na zajęciach (lub dostępnej w pliku) przeprowadź identyfikację obiektu. Zweryfikuj model przez sprawdzenie dopasowania wyjścia modelu do pomiarów i przez porównanie wartości estymat parametrów z wartościami nominalnymi elementów R i C.
13 LITERATURA Komputerowa identyfikacja obiektów Mańczak K., Nahorski Z., Komputerowa identyfikacja obiektów dynamicznych, PWN, Warszawa 983 Bubnicki Z., Identyfikacja obiektów sterowania, PWN, Warszawa 974 Eykhoff P., Identyfikacja w układach dynamicznych, PWN, Warszawa980
Systemy. Krzysztof Patan
Systemy Krzysztof Patan Systemy z pamięcią System jest bez pamięci (statyczny), jeżeli dla dowolnej chwili t 0 wartość sygnału wyjściowego y(t 0 ) zależy wyłącznie od wartości sygnału wejściowego w tej
Bardziej szczegółowoCYFROWE PRZTWARZANIE SYGNAŁÓW (Zastosowanie transformacji Fouriera)
I. Wprowadzenie do ćwiczenia CYFROWE PRZTWARZANIE SYGNAŁÓW (Zastosowanie transformacji Fouriera) Ogólnie termin przetwarzanie sygnałów odnosi się do nauki analizowania zmiennych w czasie procesów fizycznych.
Bardziej szczegółowoProcedura modelowania matematycznego
Procedura modelowania matematycznego System fizyczny Model fizyczny Założenia Uproszczenia Model matematyczny Analiza matematyczna Symulacja komputerowa Rozwiązanie w postaci modelu odpowiedzi Poszerzenie
Bardziej szczegółowoAutomatyka i robotyka ETP2005L. Laboratorium semestr zimowy
Automatyka i robotyka ETP2005L Laboratorium semestr zimowy 2017-2018 Liniowe człony automatyki x(t) wymuszenie CZŁON (element) OBIEKT AUTOMATYKI y(t) odpowiedź Modelowanie matematyczne obiektów automatyki
Bardziej szczegółowoPolitechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania. Podstawy Automatyki
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podsta Automatyki Transmitancja operatorowa i widmowa systemu, znajdowanie odpowiedzi w dziedzinie s i w
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI, AUTOMATYKI I INFORMATYKI INSTYTUT AUTOMATYKI I INFORMATYKI KIERUNEK AUTOMATYKA I ROBOTYKA STUDIA STACJONARNE I STOPNIA
WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI, AUTOMATYKI I INFORMATYKI INSTYTUT AUTOMATYKI I INFORMATYKI KIERUNEK AUTOMATYKA I ROBOTYKA STUDIA STACJONARNE I STOPNIA PRZEDMIOT : : LABORATORIUM PODSTAW AUTOMATYKI 10. Dyskretyzacja
Bardziej szczegółowoTransformata Laplace a to przekształcenie całkowe funkcji f(t) opisane następującym wzorem:
PPS 2 kartkówka 1 RÓWNANIE RÓŻNICOWE Jest to dyskretny odpowiednik równania różniczkowego. Równania różnicowe to pewne związki rekurencyjne określające w sposób niebezpośredni wartość danego wyrazu ciągu.
Bardziej szczegółowoMechatronika i inteligentne systemy produkcyjne. Modelowanie systemów mechatronicznych Platformy przetwarzania danych
Mechatronika i inteligentne systemy produkcyjne Modelowanie systemów mechatronicznych Platformy przetwarzania danych 1 Sterowanie procesem oparte na jego modelu u 1 (t) System rzeczywisty x(t) y(t) Tworzenie
Bardziej szczegółowoStabilność. Krzysztof Patan
Stabilność Krzysztof Patan Pojęcie stabilności systemu Rozważmy obiekt znajdujący się w punkcie równowagi Po przyłożeniu do obiektu siły F zostanie on wypchnięty ze stanu równowagi Jeżeli po upłynięciu
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 2 - podstawy matematyczne. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 2 - podstawy matematyczne Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Rzeczywiste obiekty regulacji, a co za tym idzie układy regulacji, mają właściwości nieliniowe, n.p. turbulencje, wiele
Bardziej szczegółowoTeoria sterowania - studia niestacjonarne AiR 2 stopień
Teoria sterowania - studia niestacjonarne AiR stopień Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. Inż. Katedra Inżynerii Systemów Sterowania Wykład 4-06/07 Transmitancja widmowa i charakterystyki częstotliwościowe
Bardziej szczegółowoCałkowanie numeryczne
Całkowanie numeryczne Poniżej omówione zostanie kilka metod przybliżania operacji całkowania i różniczkowania w szczególności uzależnieniu pochodnej od jej różnic skończonych gdy równanie różniczkowe mamy
Bardziej szczegółowoLaboratorium nr 3. Projektowanie układów automatyki z wykorzystaniem Matlaba i Simulinka
Laboratorium nr 3. Cele ćwiczenia Projektowanie układów automatyki z wykorzystaniem Matlaba i Simulinka poznanie sposobów tworzenia liniowych modeli układów automatyki, zmiana postaci modeli, tworzenie
Bardziej szczegółowoAKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE WI-ET / IIT / ZTT. Instrukcja do zajęc laboratoryjnych nr 6 AUTOMATYKA
AKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE WI-ET / IIT / ZTT Instrukcja do zajęc laboratoryjnych nr 6 AUTOMATYKA II rok Kierunek Transport Temat: Transmitancja operatorowa. Badanie odpowiedzi układów automatyki. Opracował
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 2 - matematyczne modelowanie układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 2 - matematyczne modelowanie układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2019 Wstęp Obiekty (procesy) rzeczywiste, a co za tym idzie układy regulacji, mają właściwości nieliniowe,
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 2 - modelowanie matematyczne układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 2 - modelowanie matematyczne układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2017 Wstęp Rzeczywiste obiekty regulacji, a co za tym idzie układy regulacji, mają właściwości nieliniowe,
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 2 - modelowanie matematyczne układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 2 - modelowanie matematyczne układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2019 Wstęp Obiekty (procesy) rzeczywiste, a co za tym idzie układy regulacji, mają właściwości nieliniowe,
Bardziej szczegółowoTransmitancje układów ciągłych
Transmitancja operatorowa, podstawowe człony liniowe Transmitancja operatorowa (funkcja przejścia, G(s)) stosunek transformaty Laplace'a sygnału wyjściowego do transformaty Laplace'a sygnału wejściowego
Bardziej szczegółowoSposoby modelowania układów dynamicznych. Pytania
Sposoby modelowania układów dynamicznych Co to jest model dynamiczny? PAScz4 Modelowanie, analiza i synteza układów automatyki samochodowej równania różniczkowe, różnicowe, równania równowagi sił, momentów,
Bardziej szczegółowoPolitechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie
Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Procesy wykładniczego wzrostu i spadku (np populacja bakterii, rozpad radioaktywny, wymiana ciepła) można modelować równaniem
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24)
Podstawy Automatyki wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak Politechnika Wrocławska Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24) Laboratorium Podstaw Automatyzacji (L6) 105/2 B1 Sprawy organizacyjne
Bardziej szczegółowoPOLITECHNIKA ŚLĄSKA WYDZIAŁ GÓRNICTWA I GEOLOGII. Roman Kaula
POLITECHNIKA ŚLĄSKA WYDZIAŁ GÓRNICTWA I GEOLOGII Roman Kaula ZASTOSOWANIE NOWOCZESNYCH NARZĘDZI INŻYNIERSKICH LabVIEW oraz MATLAB/Simulink DO MODELOWANIA UKŁADÓW DYNAMICZNYCH PLAN WYKŁADU Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoELEMENTY AUTOMATYKI PRACA W PROGRAMIE SIMULINK 2013
SIMULINK część pakietu numerycznego MATLAB (firmy MathWorks) służąca do przeprowadzania symulacji komputerowych. Atutem programu jest interfejs graficzny (budowanie układów na bazie logicznie połączonych
Bardziej szczegółowoW celu obliczenia charakterystyki częstotliwościowej zastosujemy wzór 1. charakterystyka amplitudowa 0,
Bierne obwody RC. Filtr dolnoprzepustowy. Filtr dolnoprzepustowy jest układem przenoszącym sygnały o małej częstotliwości bez zmian, a powodującym tłumienie i opóźnienie fazy sygnałów o większych częstotliwościach.
Bardziej szczegółowoPlan wykładu. Własności statyczne i dynamiczne elementów automatyki:
Plan wykładu Własności statyczne i dynamiczne elementów automatyki: - charakterystyka statyczna elementu automatyki, - sygnały standardowe w automatyce: skok jednostkowy, impuls Diraca, sygnał o przebiegu
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne
Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2005/06 Wstęp
Bardziej szczegółowoDyskretne układy liniowe. Funkcja splotu. Równania różnicowe. Transform
Dyskretne układy liniowe. Funkcja splotu. Równania różnicowe. Transformata Z. March 20, 2013 Dyskretne układy liniowe. Funkcja splotu. Równania różnicowe. Transformata Z. Sygnał i system Sygnał jest opisem
Bardziej szczegółowoPolitechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie
Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Wyznacz transformaty Laplace a poniższych funkcji, korzystając z tabeli transformat: a) 8 3e 3t b) 4 sin 5t 2e 5t + 5 c) e5t e
Bardziej szczegółowoInformatyczne Systemy Sterowania
Adam Wiernasz Nr albumu: 161455 e-mail: 161455@student.pwr.wroc.pl Informatyczne Systemy Sterowania Laboratorium nr 1 Prowadzący: Dr inż. Magdalena Turowska I. Wykaz modeli matematycznych członów dynamicznych
Bardziej szczegółowoprzy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0
MODELE MATEMATYCZNE UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Podstawową formą opisu procesów zachodzących w członach lub układach automatyki jest równanie ruchu - równanie dynamiki. Opisuje ono zależność wielkości fizycznych,
Bardziej szczegółowox x 1. Przedmiot identyfikacji System x (1) x (2) : x (s) a 1 a 2 : a s mierzone, a = zestaw współczynników konkretyzujacych F ()
. Przedmiot identyfikacji System () x (2) x * a z y ( s ) x y = F (x,z)=f(x,z,a ),gdziex = F () znane, a nieznane x () x (2) x (s) mierzone, a = a a 2 a s zestaw współczynników konkretyzujacych F () informacja
Bardziej szczegółowoPrzekształcenie Z. Krzysztof Patan
Przekształcenie Z Krzysztof Patan Wprowadzenie Przekształcenie Laplace a można stosować do sygnałów i systemów czasu ciągłego W przypadku sygnałów czy systemów czasu dyskretnego do wyznaczenia transmitancji
Bardziej szczegółowoDystrybucje, wiadomości wstępne (I)
Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów
Bardziej szczegółowoKompensacja wyprzedzająca i opóźniająca fazę. dr hab. inż. Krzysztof Patan, prof. PWSZ
Kompensacja wyprzedzająca i opóźniająca fazę dr hab. inż. Krzysztof Patan, prof. PWSZ Kształtowanie charakterystyki częstotliwościowej Kształtujemy charakterystykę układu otwartego aby uzyskać: pożądane
Bardziej szczegółowoOpis systemów dynamicznych w przestrzeni stanu. Wojciech Kurek , Gdańsk
Opis systemów dynamicznych Mieczysław Brdyś 27.09.2010, Gdańsk Rozważmy układ RC przedstawiony na rysunku poniżej: wejscie u(t) R C wyjście y(t)=vc(t) Niech u(t) = 2 + sin(t) dla t t 0 gdzie t 0 to chwila
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do technik regulacji automatycznej. prof nzw. dr hab. inż. Krzysztof Patan
Wprowadzenie do technik regulacji automatycznej prof nzw. dr hab. inż. Krzysztof Patan Czym jest AUTOMATYKA? Automatyka to dziedzina nauki i techniki zajmująca się teorią i praktycznym zastosowaniem urządzeń
Bardziej szczegółowoProjektowanie układów regulacji w dziedzinie częstotliwości. dr hab. inż. Krzysztof Patan, prof. PWSZ
Projektowanie układów regulacji w dziedzinie częstotliwości dr hab. inż. Krzysztof Patan, prof. PWSZ Wprowadzenie Metody projektowania w dziedzinie częstotliwości mają wiele zalet: stabilność i wymagania
Bardziej szczegółowoTematyka egzaminu z Podstaw sterowania
Tematyka egzaminu z Podstaw sterowania Rafał Trójniak 6 września 2009 Spis treści 1 Rozwiązane tematy 1 1.1 Napisać równanie różniczkowe dla zbiornika z odpływem grawitacyjnym...............................
Bardziej szczegółowoZASTOSOWANIA PRZEKSZTAŁCENIA ZET
CPS - - ZASTOSOWANIA PRZEKSZTAŁCENIA ZET Rozwiązywanie równań różnicowych Dyskretny system liniowy-stacjonarny można opisać równaniem różnicowym w postaci ogólnej N M aky[ n k] bkx[ n k] k k Przekształcenie
Bardziej szczegółowoPOMIARY WIELKOŚCI NIEELEKTRYCZNYCH
POMIARY WIELKOŚCI NIEELEKTRYCZNYCH Dr inż. Eligiusz PAWŁOWSKI Politechnika Lubelska Wydział Elektrotechniki i Informatyki Prezentacja do wykładu dla EMST Semestr letni Wykład nr 3 Prawo autorskie Niniejsze
Bardziej szczegółowoAutomatyka i sterowanie w gazownictwie. Regulatory w układach regulacji
Automatyka i sterowanie w gazownictwie Regulatory w układach regulacji Wykładowca : dr inż. Iwona Oprzędkiewicz Nazwa wydziału: WIMiR Nazwa katedry: Katedra Automatyzacji Procesów AGH Ogólne zasady projektowania
Bardziej szczegółowoAutomatyka i robotyka
Automatyka i robotyka Wykład 6 - Odpowiedź częstotliwościowa Wojciech Paszke Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych, Uniwersytet Zielonogórski 1 z 37 Plan wykładu Wprowadzenie Podstawowe człony
Bardziej szczegółowoTransmitancje i charakterystyki częstotliwościowe. Krzysztof Patan
Transmitancje i charakterystyki częstotliwościowe Krzysztof Patan Transmitancja systemu czasu ciągłego Przekształcenie Laplace a systemu czasu ciągłego jest superpozycją składowych pochodzących od wymuszenia
Bardziej szczegółowoNumeryczne rozwiązywanie równań różniczkowych ( )
Numeryczne rozwiązywanie równań różniczkowych Równanie różniczkowe jest to równanie, w którym występuje pochodna (czyli różniczka). Przykładem najprostszego równania różniczkowego może być: y ' = 2x które
Bardziej szczegółowoTechnika regulacji automatycznej
Technika regulacji automatycznej Wykład 3 Wojciech Paszke Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych, Uniwersytet Zielonogórski 1 z 32 Plan wykładu Wprowadzenie Układ pierwszego rzędu Układ drugiego
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 7 - obiekty regulacji. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 7 - obiekty regulacji Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2018 Obiekty regulacji Obiekt regulacji Obiektem regulacji nazywamy proces technologiczny podlegający oddziaływaniu zakłóceń, zachodzący
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Stabilność O układzie możemy mówić, że jest stabilny gdy układ ten wytrącony ze stanu równowagi
Bardziej szczegółowoDefinicje i przykłady
Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest
Bardziej szczegółowoRys 1 Schemat modelu masa- sprężyna- tłumik
Rys 1 Schemat modelu masa- sprężyna- tłumik gdzie: m-masa bloczka [kg], ẏ prędkośćbloczka [ m s ]. 3. W kolejnym energię potencjalną: gdzie: y- przemieszczenie bloczka [m], k- stała sprężystości, [N/m].
Bardziej szczegółowoFFT i dyskretny splot. Aplikacje w DSP
i dyskretny splot. Aplikacje w DSP Marcin Jenczmyk m.jenczmyk@knm.katowice.pl Wydział Matematyki, Fizyki i Chemii 10 maja 2014 M. Jenczmyk Sesja wiosenna KNM 2014 i dyskretny splot 1 / 17 Transformata
Bardziej szczegółowoUkłady równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Bardziej szczegółowoAproksymacja funkcji a regresja symboliczna
Aproksymacja funkcji a regresja symboliczna Problem aproksymacji funkcji polega na tym, że funkcję F(x), znaną lub określoną tablicą wartości, należy zastąpić inną funkcją, f(x), zwaną funkcją aproksymującą
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 3 Badanie własności podstawowych liniowych członów automatyki opartych na biernych elementach elektrycznych
Ćwiczenie 3 Badanie własności podstawowych liniowych członów automatyki opartych na biernych elementach elektrycznych Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest poznanie podstawowych własności członów liniowych
Bardziej szczegółowoCHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE
CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE Do opisu członów i układów automatyki stosuje się, oprócz transmitancji operatorowej (), tzw. transmitancję widmową. Transmitancję widmową () wyznaczyć można na podstawie
Bardziej szczegółowoPOMIARY WIELKOŚCI NIEELEKTRYCZNYCH
POMIARY WIELKOŚCI NIEELEKTRYCZNYCH Dr inż. Eligiusz PAWŁOWSKI Politechnika Lubelska Wydział Elektrotechniki i Informatyki Prezentacja do wykładu dla EMNS Semestr zimowy studia niestacjonarne Wykład nr
Bardziej szczegółowoRys. 1 Otwarty układ regulacji
Automatyka zajmuje się sterowaniem, czyli celowym oddziaływaniem na obiekt, w taki sposób, aby uzyskać jego pożądane właściwości. Sterowanie często nazywa się regulacją. y zd wartość zadana u sygnał sterujący
Bardziej szczegółowoPrzekształcanie równań stanu do postaci kanonicznej diagonalnej
Przekształcanie równań stanu do postaci kanonicznej diagonalnej Przygotowanie: Dariusz Pazderski Liniowe przekształcenie równania stanu Rozważmy liniowe równanie stanu i równanie wyjścia układu niesingularnego
Bardziej szczegółowoPRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Kierunek: ENERGETYKA Rodzaj przedmiotu: kierunkowy ogólny Rodzaj zajęć: wykład, laboratorium I KARTA PRZEDMIOTU CEL PRZEDMIOTU PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE C1. Zapoznanie studentów z własnościami
Bardziej szczegółowoTEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM
TEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM AKADEMIA MORSKA Katedra Telekomunikacji Morskiej ĆWICZENIE 7 BADANIE ODPOWIEDZI USTALONEJ NA OKRESOWY CIĄG IMPULSÓW 1. Cel ćwiczenia Obserwacja przebiegów wyjściowych
Bardziej szczegółowoKatedra Automatyzacji Laboratorium Podstaw Automatyzacji Produkcji Laboratorium Podstaw Automatyzacji
Katedra Automatyzacji Laboratorium Podstaw Automatyzacji Produkcji Laboratorium Podstaw Automatyzacji Opracowanie: mgr inż. Krystian Łygas, inż. Wojciech Danilczuk Na podstawie materiałów Prof. dr hab.
Bardziej szczegółowoSterowanie Napędów Maszyn i Robotów
Wykład 4 - Model w przestrzeni stanów Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Do zaprojektowania układu regulacji pozycji siłownika pneumatycznego, poszukiwany jest model dynamiki układu w
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Stabilność - definicja 1 O układzie możemy mówić, że jest stabilny gdy wytrącony ze stanu równowagi
Bardziej szczegółowoInstytut Politechniczny Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa. Diagnostyka i niezawodność robotów
Instytut Politechniczny Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa Diagnostyka i niezawodność robotów Laboratorium nr 6 Model matematyczny elementu naprawialnego Prowadzący: mgr inż. Marcel Luzar Cele ćwiczenia:
Bardziej szczegółowoINSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 7
KATEDRA MECHANIKI STOSOWANEJ Wydział Mechaniczny POLITECHNIKA LUBELSKA INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 7 PRZEDMIOT TEMAT OPRACOWAŁ LABORATORIUM MODELOWANIA Przykładowe analizy danych: przebiegi czasowe, portrety
Bardziej szczegółowow analizie wyników badań eksperymentalnych, w problemach modelowania zjawisk fizycznych, w analizie obserwacji statystycznych.
Aproksymacja funkcji a regresja symboliczna Problem aproksymacji funkcji polega na tym, że funkcję F(), znaną lub określoną tablicą wartości, należy zastąpić inną funkcją, f(), zwaną funkcją aproksymującą
Bardziej szczegółowoPODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI Katedra Inżynierii Systemów Sterowania PODSTAWY AUTOMATYKI MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.
Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy
Bardziej szczegółowoModele zapisane w przestrzeni stanów
Modele zapisane w przestrzeni stanów Modele Przestrzeni Stanów (State Space Models) sa to modele, w których część parametrów jest nieobserwowalna i losowa. Zachowanie wielowymiarowej zmiennej y t zależy
Bardziej szczegółowoĆwiczenie nr 6 Charakterystyki częstotliwościowe
Wstęp teoretyczny Ćwiczenie nr 6 Charakterystyki częstotliwościowe 1 Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest wyznaczenie charakterystyk częstotliwościowych układu regulacji oraz korekta nastaw regulatora na
Bardziej szczegółowoTechnika regulacji automatycznej
Technika regulacji automatycznej Wykład 2 Wojciech Paszke Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych, Uniwersytet Zielonogórski 1 z 56 Plan wykładu Schematy strukturalne Podstawowe operacje na schematach
Bardziej szczegółowo[ P ] T PODSTAWY I ZASTOSOWANIA INŻYNIERSKIE MES. [ u v u v u v ] T. wykład 4. Element trójkątny płaski stan (naprężenia lub odkształcenia)
PODSTAWY I ZASTOSOWANIA INŻYNIERSKIE MES wykład 4 Element trójkątny płaski stan (naprężenia lub odkształcenia) Obszar zdyskretyzowany trójkątami U = [ u v u v u v ] T stopnie swobody elementu P = [ P ]
Bardziej szczegółowolim Np. lim jest wyrażeniem typu /, a
Wykład 3 Pochodna funkcji złożonej, pochodne wyższych rzędów, reguła de l Hospitala, różniczka funkcji i jej zastosowanie, pochodna jako prędkość zmian 3. Pochodna funkcji złożonej. Jeżeli funkcja złożona
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne rozwiązywania równań różniczkowych
Metody numeryczne rozwiązywania równań różniczkowych Marcin Orchel Spis treści Wstęp. Metody przybliżone dla równań pierwszego rzędu................ Metoda kolejnych przybliżeń Picarda...................2
Bardziej szczegółowoLINIOWE UKŁADY DYSKRETNE
LINIOWE UKŁADY DYSKRETNE Współczesne układy regulacji automatycznej wyposażone są w regulatory cyfrowe, co narzuca konieczność stosowania w ich analizie i syntezie odpowiednich równań dynamiki, opisujących
Bardziej szczegółowoEstymacja wektora stanu w prostym układzie elektroenergetycznym
Zakład Sieci i Systemów Elektroenergetycznych LABORATORIUM INFORMATYCZNE SYSTEMY WSPOMAGANIA DYSPOZYTORÓW Estymacja wektora stanu w prostym układzie elektroenergetycznym Autorzy: dr inż. Zbigniew Zdun
Bardziej szczegółowoMacierze. Rozdział Działania na macierzach
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy
Bardziej szczegółowoTEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM
TEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM AKADEMIA MORSKA Katedra Telekomunikacji Morskiej ĆWICZENIE 3 BADANIE CHARAKTERYSTYK CZASOWYCH LINIOWYCH UKŁADÓW RLC. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia są pomiary i analiza
Bardziej szczegółowo1. POJĘCIA PODSTAWOWE I RODZAJE UKŁADÓW AUTOMATYKI
Podstawy automatyki / Józef Lisowski. Gdynia, 2015 Spis treści PRZEDMOWA 9 WSTĘP 11 1. POJĘCIA PODSTAWOWE I RODZAJE UKŁADÓW AUTOMATYKI 17 1.1. Automatyka, sterowanie i regulacja 17 1.2. Obiekt regulacji
Bardziej szczegółowob n y k n T s Filtr cyfrowy opisuje się również za pomocą splotu dyskretnego przedstawionego poniżej:
1. FILTRY CYFROWE 1.1 DEFIICJA FILTRU W sytuacji, kiedy chcemy przekształcić dany sygnał, w inny sygnał niezawierający pewnych składowych np.: szumów mówi się wtedy o filtracji sygnału. Ogólnie Filtracją
Bardziej szczegółowoAnaliza szeregów czasowych: 2. Splot. Widmo mocy.
Analiza szeregów czasowych: 2. Splot. Widmo mocy. P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2007/08 Splot Jedna z najważniejszych własności transformaty Fouriera jest to, że transformata
Bardziej szczegółowoE-E-A-1008-s5 Komputerowa Symulacja Układów Nazwa modułu. Dynamicznych. Elektrotechnika I stopień Ogólno akademicki. Przedmiot kierunkowy
Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr 10/12 z dnia 21 lutego 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu E-E-A-1008-s5 Komputerowa Symulacja Układów Nazwa modułu Dynamicznych Nazwa modułu w języku
Bardziej szczegółowoAnalityczne metody detekcji uszkodzeń
Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski Wykład 5 Model procesu Rozważmy czasowo-dyskretny model liniowy gdzie: k dyskretny czas, x(k) R n wektor stanu, x(k + 1) = Ax(k)
Bardziej szczegółowoTechnika regulacji automatycznej
Technika regulacji automatycznej Wykład 5 Wojciech Paszke Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych, Uniwersytet Zielonogórski 1 z 38 Plan wykładu Kompensator wyprzedzający Kompensator opóźniający
Bardziej szczegółowoPRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Kierunek: Mechatronika Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy Rodzaj zajęć: wykład, laboratorium Automatyka Automatics Forma studiów: studia stacjonarne Poziom kwalifikacji: I stopnia Liczba
Bardziej szczegółowoZ-ZIP-103z Podstawy automatyzacji Basics of automation
KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 01/013 Z-ZIP-103z Podstawy automatyzacji Basics of automation A. USYTUOWANIE MODUŁU
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 9 METODY ZMIENNEJ METRYKI
WYKŁAD 9 METODY ZMIENNEJ METRYKI Kierunki sprzężone. Metoda Newtona Raphsona daje dobre przybliżenie najlepszego kierunku poszukiwań, lecz jest to okupione znacznym kosztem obliczeniowym zwykle postać
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2018 Wstęp Stabilność O układzie możemy mówić, że jest stabilny jeżeli jego odpowiedź na wymuszenie (zakłócenie)
Bardziej szczegółowoTydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L
Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja) Równania różniczkowe wartości własne funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na przemek.majewski@gmail.com
Bardziej szczegółowoAutomatyka i Regulacja Automatyczna Laboratorium Zagadnienia Seria II
Automatyka i Regulacja Automatyczna Laboratorium Zagadnienia Seria II Zagadnienia na ocenę 3.0 1. Podaj transmitancję oraz naszkicuj teoretyczną odpowiedź skokową układu całkującego z inercją 1-go rzędu.
Bardziej szczegółowoInterpolacja, aproksymacja całkowanie. Interpolacja Krzywa przechodzi przez punkty kontrolne
Interpolacja, aproksymacja całkowanie Interpolacja Krzywa przechodzi przez punkty kontrolne Aproksymacja Punkty kontrolne jedynie sterują kształtem krzywej INTERPOLACJA Zagadnienie interpolacji można sformułować
Bardziej szczegółowoElektrotechnika II stopień ogólnoakademicki. stacjonarne. przedmiot specjalnościowy. obowiązkowy polski semestr II semestr letni. tak. Laborat. 30 g.
KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2012/2013 Metody estymacji parametrów i sygnałów Estimation methods of parameters
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Uwarunkowanie zadania numerycznego Niech ϕ : R n R m będzie pewna funkcja odpowiednio wiele
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Równania sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych Niech f będzie funkcją ciągłą na przedziale (a, b), spełniającą na
Bardziej szczegółowoDRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Rys Model układu
Ćwiczenie 7 DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Cel ćwiczenia Doświadczalne wyznaczenie częstości drgań własnych układu o dwóch stopniach swobody, pokazanie postaci drgań odpowiadających
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz
Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym
Bardziej szczegółowo1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych
Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Definicja. Równaniem różniczkowym o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie postaci p(y) = q() (.) rozwiązanie równania sprowadza się do postaci
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne
Testowanie hipotez statystycznych Wnioskowanie statystyczne Hipoteza statystyczna to dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej (jego postaci funkcyjnej lub wartości parametrów). Hipotezy
Bardziej szczegółowoLepkosprężystość. Metody pomiarów właściwości lepkosprężystych materii
Metody pomiarów właściwości lepkosprężystych materii Pomiarów dokonuje się w dwóch dziedzinach: czasowej lub częstotliwościowej i nie zależy to od rodzaju przyłożonych naprężeń (normalnych lub stycznych).
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych
Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta
Bardziej szczegółowo