Lekcja 1. Podstawowe prawa obwodów elektrycznych
|
|
- Ludwik Zych
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Lekcja. Podstawowe prawa obwodów elektrycznych Wstp Lekcja pierwsza wprowadza podstawowe pojcia i prawa obwodów elektrycznych, w tym prd i napicie, elementy liniowe obwodu w postaci rezystora, cewki i kondensatora oraz ródła sterowane i niezalene. Najwaniejszym prawem teorii obwodów jest prawo prdowe i napiciowe Kirchhoffa, podane tutaj w postaci ogólnej. Z prawa Kirchhoffa wynikaj reguły upraszczania obwodów, zdefiniowane dla połczenia szeregowego, równoległego oraz transfiguracji gwiazda-trójkt i trójkt-gwiazda... Podstawowe pojcia obwodów Teoria obwodów stanowi jedn z dziedzin elektrotechniki zajmujc si stron teoretyczn zjawisk wystpujcych w obwodach elektrycznych, w tym metodami analizy rozpływu prdów i rozkładu napi obwodu w stanie ustalonym i nieustalonym. Przyjmuje si, e nonikami elektrycznoci s czstki elementarne: elektrony i protony wystpujce w atomie. W przypadku przewodników elektrycznych najwaniejsz rol odgrywaj elektrony swobodne, stanowice trwałe noniki ujemnego ładunku q, wyzwolone z przycigania jdra atomu oraz jony, stanowice czsteczki naładowane dodatnio lub ujemnie. Ładunek elektryczny elektronu, oznaczany jest liter e a jego warto e,6-9. Prd elektryczny powstaje jako uporzdkowany ruch ładunków elektrycznych i jest utosamiany w teorii obwodów z pojciem natenia prdu elektrycznego. W ogólnoci definiowany jest jako granica stosunku ładunku elektrycznego przepływajcego przez przekrój poprzeczny elementu do rozpatrywanego czasu, gdy czas ten dy do zera. Prd elektryczny oznaczany bdzie liter i (du lub mał). Jest wielkoci skalarn a jej jednostk w układzie S jest amper (A). Kademu punktowi w rodowisku przewodzcym prd elektryczny mona przyporzdkowa pewien potencjał mierzony wzgldem punktu odniesienia. Rónica potencjałów midzy dwoma punktami tego rodowiska nazywana jest napiciem elektrycznym. Jednostk napicia elektrycznego jest volt (V).
2 .. Elementy obwodu elektrycznego Za obwód elektryczny uwaa bdziemy takie połczenie elementów ze sob, e istnieje moliwo przepływu prdu w tym połczeniu. Obwód jest odwzorowywany poprzez swój schemat, na którym zaznaczone s symbole graficzne elementów oraz sposób ich połczenia ze sob, tworzcy okrelon struktur. Na struktur obwodu elektrycznego poza elementami składaj si równie gałzie, wzły i oczka. Gał obwodu jest tworzona przez jeden lub kilka elementów połczonych ze sob w okrelony sposób. Wzłem obwodu jest zacisk bdcy kocówk gałzi, do którego mona dołczy nastpn gał lub kilka gałzi. Gał obwodu tworz elementy ograniczone dwoma wzłami. Oczko obwodu to zbiór gałzi połczonych ze sob i tworzcych drog zamknit dla prdu elektrycznego. Oczko ma t właciwo, e po usuniciu dowolnej gałzi ze zbioru pozostałe gałzie nie tworz drogi zamknitej. W obwodzie o zadanej strukturze istnieje cile okrelona liczba wzłów, natomiast liczba oczek jest wprawdzie skoczona ale bliej nieokrelona. Element jest czci składow obwodu niepodzieln pod wzgldem funkcjonalnym bez utraty swych cech charakterystycznych. Na elementy obwodu składaj si ródła energii elektrycznej oraz elementy akumulujce energi lub rozpraszajce j. W kadym elemencie mog zachodzi dwa lub nawet wszystkie trzy wymienione tu procesy, cho jeden z nich jest zwykle dominujcy. Element jest idealny jeli charakteryzuje go tylko jeden rodzaj procesu energetycznego. Elementy posiadajce zdolno akumulacji oraz rozpraszania energii tworz klas elementów pasywnych. Nie wytwarzaj one energii a jedynie j przetwarzaj. Najwaniejsze z nich to rezystor, kondensator oraz cewka. Elementy majce zdolno generacji energii nazywane s ródłami. Zaliczamy do nich niezalene ródło napicia i prdu oraz ródła sterowane. Kady element obwodu moe by opisany równaniami algebraicznymi lub róniczkowymi, wicymi prd i napicie na jego zaciskach. Element jest liniowy, jeli równanie opisujce go jest liniowe. W przeciwnym wypadku element jest nieliniowy.... Rezystor Rezystor, zwany równie opornikiem naley do klasy elementów pasywnych rozpraszajcych energi. W teorii obwodów rezystor uwaa si za element idealny i przypisuje mu tylko jedn cech (parametr), zwan rezystancj lub oporem. W dalszej czci rozwaa bdziemy wyłcznie rezystor liniowy. Rezystancj (oporno) oznacza bdziemy liter R a jej odwrotno jest nazywana konduktancj i oznaczana liter G, przy czym R /G. Symbol graficzny rezystora liniowego przedstawiony jest na rys...
3 Rys... Oznaczenie rezystora liniowego Opis matematyczny rezystora wynika z prawa Ohma, zgodnie z którym u R Ri R (.) Spadek napicia na rezystorze liniowym jest proporcjonalny do prdu przepływajcego przez niego a współczynnik proporcjonalnoci jest równy rezystancji R. Warto rezystancji rezystora liniowego przyjmuje warto stał. Jednostk rezystancji jest om (Ω) a konduktancji siemens (S). W realizacji praktycznej opornik jest wykonywany najczciej z drutu metalowego o długoci l, polu przekroju poprzecznego S i rezystancji właciwej ρ. Rezystancja takiego opornika jest wprost proporcjonalna do l i ρ a odwrotnie proporcjonalna do S, std R ρ l/s.... ewka ewka zwana równie induktorem naley równie do klasy elementów pasywnych. Ma zdolno gromadzenia energii w polu magnetycznym. ewce idealnej przypisuje si tylko jedn właciwo, zwan indukcyjnoci własn (w skrócie indukcyjnoci) L. W przypadku cewki liniowej indukcyjno definiuje si jako stosunek strumienia Ψ skojarzonego z cewk do prdu płyncego przez ni, to znaczy Ψ L (.) i L Strumie skojarzony Ψ cewki o z zwojach jest równy sumie strumieni wszystkich zwojów cewki, to jest Ψ zφ (φ - strumie skojarzony z jednym zwojem cewki, z liczba zwojów). Jednostk indukcyjnoci jest henr (H), przy czym H Ωs. Napicie cewki wyraone jest jako pochodna strumienia wzgldem czasu 3
4 u L dψ (.3) dt W przypadku cewki liniowej, dla której strumie jest iloczynem prdu i indukcyjnoci L, Ψ Li L, relacja napiciowo-prdowa upraszcza si do postaci di u L L L dt (.4) Na rys.. przedstawiono symbol graficzny cewki liniowej o indukcyjnoci L. Rys... Symbol graficzny cewki liniowej Zauwamy, e przy stałej wartoci prdu cewki napicie na niej jest równe zeru, gdy pochodna wartoci stałej wzgldem czasu jest równa zeru. Std cewka w stanie ustalonym obwodu przy prdzie stałym zachowuje si jak zwarcie. nteresujce zjawiska powstaj w układzie dwu cewek połoonych blisko siebie, w których zachodzi wzajemne przenikanie si strumieni magnetycznych. Jeli dwie cewki o indukcyjnociach własnych L i L s tak usytuowane, e strumie wytworzony przez jedn z nich jest skojarzony z drug to takie cewki nazywamy sprzonymi magnetycznie. Na rys..3 przedstawiono oznaczenie cewek sprzonych magnetycznie. Gwiazdkami oznaczono pocztki uzwoje kadej cewki. Rys..3. Oznaczenie cewek sprzonych magnetycznie 4
5 Obok indukcyjnoci własnej wprowadza si dla nich pojcie indukcyjnoci wzajemnej M, jako stosunek strumienia magnetycznego wytworzonego w cewce pierwszej i skojarzonego z cewk drug do prdu płyncego w cewce pierwszej, a wic M Ψ i (.5) Ψ i gdzie ψ oznacza strumie skojarzony z cewka drug wytworzony przez prd płyncy w cewce pierwszej a ψ strumie skojarzony z cewka pierwsz wytworzony przez prd płyncy w cewce drugiej. Jednostk indukcyjnoci wzajemnej jest równie henr. stnienie sprzenia magnetycznego powoduje indukowanie si napi na cewce wskutek zmian prdu płyncego w cewce drugiej. Zgodnie z prawem indukcji elektromagnetycznej napicie wytworzone na skutek indukcji wzajemnej okrelone jest wzorem di di L M (.6) dt dt u M ± di di L M (.7) dt dt u M ± Znak plus lub minus wystpujcy we wzorze jest uzaleniony od przyjtego zwrotu prdu wzgldem pocztku uzwojenia cewki. Przyjmuje si znak plus, jeli prdy w obu elementach sprzonych magnetycznie maj jednakowe zwroty wzgldem zacisków oznaczajcych pocztek uzwojenia (oznaczone na rysunku gwiazdk). Przy zwrotach przeciwnych przyjmuje si znak minus. Z zalenoci powyszych wida, e w elementach sprzonych magnetycznie energia elektryczna moe by przekazywana z jednego elementu do drugiego za porednictwem pola magnetycznego. o wicej, nawet przy braku przepływu prdu przez cewk, moe na niej pojawi si napicie pochodzce ze sprzenia magnetycznego od cewki drugiej...3. Kondensator Kondensator jest elementem pasywnym, w którym istnieje moliwo gromadzenia energii w polu elektrycznym. Kondensatorowi idealnemu przypisuje si tylko jedn 5
6 właciwo zwan pojemnoci. W przypadku kondensatora liniowego pojemno jest definiowana jako stosunek ładunku q zgromadzonego w kondensatorze do napicia midzy okładzinami tego kondensatora q (.8) u W układzie S jednostk ładunku jest kulomb (), a pojemnoci farad (F), przy czym F /V. Zaleno wica napicie i prd kondensatora dana jest w postaci równania róniczkowego du i (.9) dt Symbol graficzny kondensatora przedstawiony jest na rys..4. Rys..4. Symbol graficzny kondensatora Podobnie jak w przypadku cewki, jeli napicie na zaciskach kondensatora jest stałe, jego prd jest równy zeru (pochodna wartoci stałej wzgldem czasu jest zerem). Kondensator zachowuje si wtedy jak przerwa (pomimo istnienia napicia prd nie płynie)...4. Niesterowane ródło napicia i prdu ródło niesterowane (niezalene) prdu bd napicia, zwane w skrócie ródłem prdu i ródłem napicia, jest elementem aktywnym, generujcym energi elektryczn, powstajc zwykle z zamiany innego rodzaju energii, na przykład z energii mechanicznej, słonecznej, jdrowej itp. W teorii obwodów rozwaa bdziemy ródła idealne nalece do klasy ródeł napiciowych bd prdowych. Symbol idealnego niesterowanego ródła napicia przedstawiony jest na rys..5a, natomiast ródła prdu na rys..5.b. 6
7 Rys..5. Symbole graficzne niesterowanego ródła a) napicia, b) prdu Niesterowane ródła prdu i napicia maj nastpujce właciwoci. Napicie na zaciskach idealnego ródła napicia nie zaley od prdu przepływajcego przez to ródło, a zatem nie zaley od jego obcienia. Przy stałym napiciu u panujcym na zaciskach oraz prdzie i wynikajcym z obcienia, rezystancja wewntrzna idealnego ródła napiciowego, definiowana w du postaci zalenoci róniczkowej R w. Std idealne ródło napicia di charakteryzuje si rezystancj wewntrzna równ zeru (zwarcie z punktu widzenia rezystancyjnego). Prd idealnego ródła prdu nie zaley od obcienia tego ródła, a wic od napicia panujcego na jego zaciskach. Przy stałym prdzie płyncym przez idealne ródło prdowe i dowolnym (bliej nieokrelonym) napiciu panujcym na jego zaciskach rezystancja wewntrzna idealnego ródła prdowego jest równa nieskoczonoci. Std idealne ródło prdowe z punktu widzenia rezystancyjnego reprezentuje sob przerw. Rys..6 przedstawia charakterystyki prdowo-napiciowe obu rodzajów idealnych ródeł niesterowanych: napicia (rys..6a) i prdu (rys..6b). 7
8 Rys..6. harakterystyki prdowo-napiciowe idealnych ródeł niesterowanych: a) ródło napicia, b) ródło prdu Dla ródła napiciowego charakterystyka jest równoległa do osi prdowej (warto napicia u stała), a dla ródła prdowego równoległa do osi napiciowej (warto prdu i stała). Tak podane charakterystyki odnosz si do ródeł stałych. W przypadku ródeł sinusoidalnych idealno jest rozumiana jako stało parametrów ródła (amplituda, faza pocztkowa oraz czstotliwo niezalene od obcienia). Przykładami ródła napicia stałego jest akumulator, ródła napicia zmiennego - generator synchroniczny, ródła prdowego - elektroniczny zasilacz prdowy o stabilizowanym, niezalenym od obcienia prdzie, itp...5. ródła sterowane prdu i napicia W odrónieniu od ródeł niesterowanych, których prd lub napicie (bd parametry charakteryzujce je, np. amplituda i czstotliwo) były stałe, ustalone na etapie wytworzenia, ródła sterowane z definicji zale od wielkoci sterujcych, którymi mog by prd lub napicie dowolnego innego elementu w obwodzie. ródło sterowane jest wic elementem czterozaciskowym i charakteryzuje si tym, e napicie lub prd na jego zaciskach wyjciowych s proporcjonalne do napicia lub prdu zwizanego z druga par zacisków sterujcych. Wyróni mona cztery rodzaje ródeł sterowanych: ródło napicia sterowane napiciem, opisane równaniem u au ródło napicia sterowane prdem, opisane równaniem u ri ródło prdu sterowane napiciem, opisane równaniem i gu ródło prdu sterowane prdem, opisane równaniem i bi 8
9 Schematy graficzne wszystkich wymienionych tu rodzajów ródeł sterowanych prdu i napicia przedstawione s na rys..7. Rys..7. Schematy graficzne ródeł sterowanych Wielkoci r, g oraz a i b stanowi współczynniki proporcjonalnoci midzy wielkoci sterujca i sterowan tych ródeł. Przyjmuj one najczciej wartoci rzeczywiste, cho w rónego rodzaju modelach mog by równie opisane funkcj zespolon. Naley nadmieni, e ródła sterowane stanowi bardzo popularne modele wielu elementów elektrycznych i elektronicznych, takich jak transformatory idealne, maszyny elektryczne, tranzystory bipolarne i polowe, wzmacniacze operacyjne napiciowe i prdowe, itp..3. Prawa Kirchhoffa Pod pojciem analizy obwodu elektrycznego rozumie si proces okrelania rozpływu prdów i rozkładu napi w obwodzie przy załoeniu, e znana jest struktura obwodu oraz wartoci wszystkich jego elementów. Podstaw analizy obwodów elektrycznych stanowi prawa Kirchhoffa, podane przez niemieckiego fizyka Gustawa Kirchhoffa w dziewitnastym wieku. Wyrónia si dwa prawa okrelajce rozpływ prdów i rozkład napi w obwodzie. Pierwsze prawo Kirchhoffa kojarzy si zwykle z bilansem prdów w wle obwodu elektrycznego a drugie z bilansem napi w oczku..3.. Prawo prdowe Suma prdów w kadym wle obwodu elektrycznego jest równa zeru 9
10 k i (.) k Sumowanie dotyczy wszystkich prdów, które dopływaj lub odpływaj z danego oczka, przy czym wszystkie prdy wpływajce do wzła brane s z jednakowym znakiem a wszystkie prdy wypływajce z wzła ze znakiem przeciwnym (nie jest istotne czy znak plus dotyczy prdów wpływajcych czy wypływajcych). Sposób tworzenia równania prdowego Kirchhoffa zilustrujemy dla jednego wzła obwodu przedstawionego na rys..8. Rys..8. Przykład wzła obwodu elektrycznego Prawo Kirchhoffa dla tego wzła z uwzgldnieniem kierunków prdów w wle zapiszemy w postaci i i i i i Mona je równie zapisa jako bilans prdów dopływajcych i odpływajcych od wzła w postaci i i i3 i4 i5 Dla kadego obwodu mona napisa dokładnie n- niezalenych równa prdowych, gdzie n oznacza całkowit liczb wzłów a (n-) liczb wzłów niezalenych. Bilans prdów w pozostałym n-tym wle obwodu wynika z równa prdowych napisanych dla n- wzłów
11 (jest to wzeł zaleny zwany wzłem odniesienia). Wybór wzła odniesienia jest całkowicie dowolny..3.. Prawo napiciowe Suma napi w kadym oczku obwodu elektrycznego jest równa zeru k u (.) k Sumowanie dotyczy napi gałziowych wystpujcych w danym oczku zorientowanych wzgldem dowolnie przyjtego kierunku odniesienia. Napicie gałziowe zgodne z tym kierunkiem jest brane z plusem a przeciwne z minusem. Sposób pisania równa wynikajcych z prawa napiciowego Kirchhoffa pokaemy na przykładzie oczka obwodu przedstawionego na rys..9. Rys..9. Przykład oczka obwodu z oznaczeniami napi gałziowych wzgldniajc kierunki napi gałziowych równanie napiciowe Kirchhoffa dla tego oczka przyjmie posta u u u u e 3 4 Mona je równie zapisa jako bilans napi ródłowych i odbiornikowych w postaci e u u u3 u4 Dla kadego obwodu mona napisa tyle równa oczkowych ile oczek wyodrbnimy w tym obwodzie, przy czym cz równa oczkowych bdzie równaniami zalenymi (wynikajcymi
12 z liniowej kombinacji innych równa). Liczba równa oczkowych branych pod uwag w analizie jest wic równa liczbie oczek niezalenych. Przykład. Napiszmy równania Kirchhoffa dla obwodu z rys... Rys... Schemat obwodu poddanego analizie w przykładzie. Rozwizanie Zgodnie z prawami Kirchhoffa równania obwodu przyjm nastpujc posta. Równania prdowe: i i i L L L i i i L R i i R Równania napiciowe: u u R u u L R u R e Przedstawiony tu układ równa jest wystarczajcy do uzyskania wszystkich innych wielkoci prdowych bd napiciowych w obwodzie. Naley go jedynie uzupełni o równania definicyjne wice prd i napicie kadego elementu. Po takim uzupełnieniu uzyskuje si pełny opis obwodu a jego rozwizanie pozwala wyznaczy rozpływ prdów i rozkład napi w obwodzie. Szczególnie proste zalenoci otrzymuje si dla obwodu rezystancyjnego, zawierajcego oprócz ródeł wymuszajcych jedynie rezystory oraz (ewentualnie) ródła sterowane o rzeczywistych współczynnikach sterowania. Dla takich obwodów równania elementów rezystancyjnych s dane w postaci zalenoci algebraicznych, które wstawione do równa Kirchhoffa pozwalaj utworzy układ równa algebraicznych o liczbie zmiennych
13 3 równych liczbie równa. Sposób tworzenia takiego układu równa pokaemy na przykładzie obwodu z rys... Przykład. Naley okreli rozpływ prdów i rozkład napi w obwodzie rezystancyjnym o strukturze przedstawionej na rys... Wartoci elementów s nastpujce: R Ω, R Ω, R 3 3Ω, R 4 4Ω, e V, i z A, i z 5A. Rys... Struktura obwodu poddanego analizie w przykładzie. Rozwizanie Z równa Kirchhoffa otrzymuje si R R R R R z z u e u u e u u i i i i i i i i Równania elementów rezystancyjnych:, i R u R, i R u R i R u R, i R u R tworz wspólnie z równaniami Kirchhoffa nastpujcy układ równa algebraicznych: e i R i R e i R i R R i i i i i i i i i z z Po wstawieniu danych liczbowych do powyszych równa otrzymuje si:
14 i i i i i i i 3 i 4i 3i 4 4 i W wyniku rozwizania tego układu równa otrzymuje si: i 3,87A, i,875a, i 3 3,8A oraz i 4 -,6A. Łatwo sprawdzi przez podstawienie obliczonych wartoci do układu równa, e bilans prdów w kadym wle oraz bilans napi w kadym oczku obwodu jest zerowy..4. Przekształcenia obwodów W analizie obwodów elektrycznych wan rol odgrywa upraszczanie struktury obwodu, polegajce na zastpowaniu wielu elementów połczonych szeregowo lub równolegle poprzez jeden element zastpczy. moliwia to zmniejszenie liczby równa w opisie obwodu i uproszczenie etapu rozwizania tych równa. Wyróni mona cztery podstawowe rodzaje połcze elementów, do których stosuje si przekształcenie. S to: połczenie szeregowe połczenie równoległe połczenie gwiazdowe połczenie trójktne..4.. kład połczenia szeregowego elementów W połczeniu szeregowym elementów koniec jednego elementu jest bezporednio połczony z pocztkiem nastpnego. Rys.. przedstawia schemat ogólny połczenia szeregowego rezystorów. Rys... Połczenie szeregowe elementów 4
15 Prd kadego elementu obwodu jest jednakowy i równy i, natomiast napicie na zaciskach zewntrznych obwodu jest równe sumie napi poszczególnych elementów tworzcych połczenie. Napiciowe równanie Kirchhoffa dla obwodu z rys.. przyjmuje wic posta u R R... R ) N i (.) ( Przy oznaczeniu sumy rezystancji przez R R R... R R N (.3) otrzymuje si uproszczenie N rezystorów połczonych szeregowo do jednego rezystora zastpczego o rezystancji R opisanej wzorem (.3). Rezystancja wypadkowa połczenia szeregowego rezystorów jest równa sumie rezystancji poszczególnych elementów tworzcych to połczenie..4.. kład połczenia równoległego elementów W połczeniu równoległym pocztki i koce wszystkich elementów s ze sob bezporednio połczone, jak to pokazano dla elementów rezystancyjnych na rys..3. Rys..3. Połczenie równoległe elementów Z połczenia tego wynika, e napicie na wszystkich elementach jest jednakowe a prd wypadkowy jest równy sumie prdów wszystkich elementów obwodu. Prdowe prawo Kirchhoffa dla obwodu z rys..3 mona wic zapisa w postaci i G G... G ) N u (.) ( 5
16 przy czym G i (i,,..., N) stanowi konduktancje rezystorów, G i /R i. Przy oznaczeniu sumy konduktancji przez G, gdzie G G... G G N (.) otrzymuje si uproszczenie N rezystorów połczonych równolegle do jednego rezystora zastpczego o konduktancji G opisanej wzorem (.). Jak wida w połczeniu równoległym rezystorów konduktancja wypadkowa jest równa sumie konduktancji poszczególnych rezystorów. Szczególnie prosty jest wzór na rezystancj zastpcz dla rezystorów połczonych równolegle. W tym przypadku G G G. wzgldniajc, e G / R po prostych przekształceniach otrzymuje si R R R R R. Naley jednak podkreli, e przy trzech (i wicej) elementach połczonych równoległe wygodniejsze jest operowanie na konduktancjach a przejcie na rezystancj zastpcz wykonuje si w ostatnim kroku po ustaleniu wartoci sumy konduktancji Transfiguracja gwiazda-trójkt i trójkt-gwiazda Operowanie uproszczonym schematem wynikajcym z połczenia szeregowego i równoległego elementów jest najwygodniejszym sposobem redukcji obwodu. W przypadku gdy nie ma elementów połczonych szeregowo czy równolegle moliwe jest dalsze uproszczenie przez zastosowanie przekształcenia gwiazda-trójk lub trójkt-gwiazda. Oznaczenia elementów obwodu trójkta i gwiazdy s przedstawione na rys..4. 6
17 Rys..4. Połczenie trójktne i gwiazdowe elementów Transfiguracja trójkta na gwiazd lub gwiazdy na trójkt polega na przyporzdkowaniu danej konfiguracji elementów konfiguracji zastpczej, równowanej jej z punktu widzenia zacisków zewntrznych (te same prdy przy tych samych napiciach midzyzaciskowych). Dla uzyskania niezmienionych prdów zewntrznych obwodu gwiazdy i trójkta rezystancje midzy parami tych samych zacisków gwiazdy i trójkta powinny by takie same. Zostało udowodnione, e warunki powysze s automatycznie spełnione, jeli przy zamianie gwiazdy na trójkt spełnione s nastpujce warunki na rezystancje R R R R R (.3) R3 R R R 3 3 R R3 (.4) R R R R 3 3 R3 R (.5) R Podobnie przy zamianie trójkta na gwiazd rezystancje gwiazdy musz spełnia warunki R R R 3 R R3 R (.6) 3 R 3 (.7) R R R R 3 R 3 R R R R R3 R (.8) 3 7
18 Przekształcenia równowane obwodu wykorzystujce reguły połczenia szeregowego, równoległego oraz przekształcenia gwiazda-trójkt i trójkt-gwiazda umoliwiaj dalsz redukcj tego obwodu i po wykonaniu odpowiedniej liczby przekształce sprowadzenie go do pojedynczego elementu zastpczego. Przykład.3 Okreli rezystancj zastpcz obwodu przedstawionego na rys..5, widzian z zacisków -. Wartoci rezystancji s nastpujce: R Ω, R 4Ω, R 3Ω, R Ω, R 4Ω, R 5Ω, R 5Ω oraz R Ω Rys..5. Struktura obwodu do przykładu.3. Rozwizanie Z punktu widzenia zacisków wejciowych - w obwodzie nie mona wyróni adnego połczenia szeregowego czy równoległego elementów. Dla uproszczenia struktury tego obwodu konieczne jest wic zastosowanie przekształcenia gwiazda-trójkt lub trójktgwiazda w stosunku do rezystorów połoonych najdalej od wzłów wejciowych (w wyniku przekształcenia nie mog ulec likwidacji wzły wejciowe obwodu). Zamieniajc gwiazd złoon z rezystorów R, R 3 i R 5 na równowany jej trójkt otrzymuje si R R
19 R ,33 Schemat obwodu po przekształceniach przedstawiony jest na rys..6. Rys..6. Schemat obwodu z rys..5 po przekształceniu gwiazda-trójkt W obwodzie tym mona ju wyróni połczenia równoległe elementów R i R 3 oraz R 4 i R 35. Wykorzystujc reguł upraszczania elementów połczonych równolegle otrzymuje si R R 3 R z R R3 R R 4 35 R z R4 R35,667,667 Rezystory R z i R z s połczone szeregowo. ch rezystancja zastpcza jest równa R z3 R z R z 3,333 Jest ona połczona równolegle z rezystorem R 5. Std rezystancja zastpcza tego połczenia wynosi R z 3,333 3,33 3,333 3,33 4,667 9
20 Rezystory R 6, R z4 i R 7 s połczone szeregowo. ch rezystancja zastpcza wynosi wic R z5 R 6 R z4 R 7,667 Rezystancja ta jest z kolei połczona równolegle z rezystancj R 8 tworzc wypadkow rezystancj obwodu widzian z zacisków zewntrznych. Std całkowita rezystancja zastpcza obwodu wyraa si wzorem R we R,667 z5r8 5, 588Ω R R,667 z5 8 Jak wida w powyszym przykładzie przekształcenie gwiazda-trójkt umoliwiło dalsze uproszczenie obwodu i otrzymanie ostatecznego wyniku na rezystancj widzian z zacisków wejciowych. Naley jednak zaznaczy, e przekształcenia gwiazda-trójkt i trójkt-gwiazda s bardziej złoone obliczeniowo w stosunku do reguły upraszczania połczenia szeregowego i równoległego. Stosuje si je tylko wtedy, gdy w obwodzie nie da si wyróni adnych połcze szeregowych i równoległych. Zadania sprawdzajce Zadanie. Stosujc prawa Kirchhoffa wyznaczy prdy w obwodzie przedstawionym na rysunku.7, jeli R Ω, R 5Ω, R 3 Ω, R 4 4Ω, a wartoci ródeł s nastpujce: ev, i5a.
21 Rys..7. Schemat obwodu do zadania.. Rozwizanie Korzystajc z praw Kirchhoffa otrzymuje si układ równa opisujcych obwód w postaci i R i R i R e i R R i i i i i i i Po wstawieniu wartoci liczbowych parametrów i rozwizaniu układu równa otrzymuje si: i,a, i,798a, i 3 -,786A oraz i 4 4,4A. Zadanie. Stosujc prawa Kirchhoffa wyznaczy prdy w obwodzie przedstawionym na rysunku.8, jeli R Ω, R Ω, R 3 5Ω, R 4 5Ω, a wartoci ródeł s nastpujce: e V, i z A, i z A. Rys..8. Schemat obwodu do zadania.. Rozwizanie Korzystajc z praw Kirchhoffa otrzymuje si układ równa opisujcych obwód w postaci z z z i i e i R i R R i i i i i i i Po wstawieniu wartoci liczbowych otrzymuje si: i -,375A, i,375a, i 3 3,375A oraz i 4 A.
22 Zadanie.3 Wyznaczy rezystancj wypadkow obwodu przedstawionego na rys..9 Rys..9. Schemat obwodu do zadania.3 Rozwizanie Naley najpierw zastosowa transformacj trójkt-gwiazda lub gwiazda-trójkt w odniesieniu do wybranych trzech rezystorów obwodu, a nastpnie wykorzysta uproszczenia wynikajce z powstałych połcze szeregowych i równoległych w obwodzie. Po wykonaniu tych działa otrzymuje si R we 3,8Ω. Zadanie.4 Wyznaczy rezystancj wypadkow obwodu przedstawionego na rys.. Rys... Schemat obwodu do zadania.4
23 Rozwizanie Poniewa w obwodzie nie mona wyróni adnych połcze szeregowych i równoległych naley najpierw zastosowa transformacj trójkt-gwiazda lub gwiazda-trójkt w odniesieniu do wybranych trzech rezystorów obwodu (np. transfiguracja gwiazdy Ω, 3Ω i 5Ω na równowany trójkt) a nastpnie wykorzysta uproszczenia wynikajce z powstałych połcze szeregowych i równoległych w obwodzie. Po wykonaniu tych działa otrzymuje si warto rezystancji zastpczej obwodu równ R we,59ω. 3
24 Lekcja. Metoda symboliczna analizy obwodów w stanie ustalonym przy wymuszeniu sinusoidalnym Wstp Sporód wielu rónych rodzajów wymusze stosowanych w obwodach elektrycznych, do najwaniejszych naley wymuszenie sinusoidalne, ze wzgldu na to, e w praktyce codziennej mamy do czynienia z napiciem i prdem sinusoidalnym generowanym w elektrowniach. Analiza obwodów RL przy wymuszeniu sinusoidalnym nastrcza pewne problemy zwizane z koniecznoci rozwizania układu równa róniczkowych, wynikajcych z opisu ogólnego kondensatorów i cewek. W lekcji drugiej poznamy metod symboliczn analizy obwodów RL w stanie ustalonym przy wymuszeniu sinusoidalnym. Dziki tej metodzie układ równa róniczkowo-całkowych opisujcych obwód RL zostaje sprowadzony do układu równa algebraicznych typu zespolonego. Wprowadzone zostanie pojcie wartoci skutecznej zespolonej, impedancji i admitancji zespolonej oraz prawa Kirchhoffa dla wartoci skutecznych zespolonych. Prawo prdowe i napiciowe Kirchhoffa dla obwodów RL w metodzie symbolicznej stosuje si identycznie jak dla obwodów rezystancyjnych prdu stałego zastpujc rezystancj pojciem impedancji zespolonej. W rezultacie otrzymuje si wartoci zespolone odpowiedzi, którym mona przyporzdkowa wartoci chwilowe zgodnie z metod symboliczn. zupełnieniem tej lekcji s wykresy wektorowe przedstawiajce na płaszczynie zespolonej relacje midzy wartociami skutecznymi prdów i napi gałziowych w obwodzie... Parametry sygnału sinusoidalnego Sygnały sinusoidalne zwane równie harmonicznymi s opisane w dziedzinie czasu nastpujcym wzorem (w opisie przyjto oznaczenie sygnału napiciowego) u( t) m sin( ω t ψ ) (.) Wielkoci wystpujce w opisie maj nastpujce nazwy i oznaczenia: u(t) - warto chwilowa napicia 4
25 m - warto maksymalna (szczytowa) napicia zwana równie amplitud ψ - faza pocztkowa napicia odpowiadajca chwili t ω t ψ - kt fazowy napicia w chwili t f/t T - czstotliwo mierzona w hercach (Hz) - okres przebiegu sinusoidalnego ω πf - pulsacja mierzona w radianach na sekund. Wartoci chwilowe sygnałów oznacza bdziemy mał liter a wartoci maksymalne, skuteczne i wielkoci operatorowe du. Rys... Sygnał sinusoidalny Rys.. przedstawia przebieg sygnału sinusoidalnego napicia z oznaczeniami poszczególnych jego parametrów. O odcitych ma podwójne oznaczenie: czasu oraz fazy (aktualny kt fazowy). Przebiegi zmienne w czasie dobrze charakteryzuje warto skuteczna. Dla przebiegu okresowego f(t) o okresie T jest ona definiowana w postaci F to T T t f ( t) dt (.) 5
26 Łatwo udowodni, e warto skuteczna przebiegu okresowego nie zaley od wybory fazy pocztkowej. Dla okrelenia wartoci skutecznej sygnału sinusoidalnego przyjmiemy sygnał napiciowy o fazie pocztkowej równej zeru. u( t) m sin( ωt) (.3) Warto skuteczna tego sygnału okrelona jest wic zalenoci T T m sin ( ω t) dt (.4) Wykonujc operacj całkowania otrzymuje si T m,5t m T m sin ( ωt) dt,5 ( cosωt ) dt m,5 sin ωt ω T,5T m (.5) Std po podstawieniu do wzoru (.4) otrzymuje si m (.6) Analogicznie w przypadku prdu sinusoidalnego i t) m sin( ω t ψ ) (.7) ( i otrzymujemy identyczn relacj m (.8) 6
27 Dla sygnału sinusoidalnego warto skuteczna jest wic razy mniejsza ni jego warto maksymalna. Drugim parametrem charakteryzujcym sygnał sinusoidalny jest warto rednia, czyli pole zawarte pod krzyw odniesione do czasu, w którym ta warto jest obliczana. Warto redni sygnału w okresie T definiuje zaleno F r T t T t f ( t) dt (.9) Ze wzgldu na symetri funkcji sinusoidalnej warto rednia całookresowa jest z definicji równa zeru. W elektrotechnice uywa si pojcia wartoci redniej półokresowej, w której przyjmuje si T T /. W tym przypadku mona udowodni, e warto rednia półokresowa dla sygnału sinusoidalnego jest powizana z wartoci maksymaln poprzez relacj r t T / o T / t o m sin( ω t) dt,637 (.) m Naley zauway, e napicie stałe u(t) jest szczególnym przypadkiem sygnału sinusoidalnego, dla którego czstotliwo jest równa zeru (f) a warto chwilowa jest stała i równa u(t) m sin(ψ ). Jest to wana właciwo, gdy dziki temu metody analizy obwodów o wymuszeniu sinusoidalnym mog mie zastosowanie równie do wymusze stałych przy załoeniu f. Dla sygnału stałego warto maksymalna, skuteczna i rednia s sobie równe i równaj si danej wartoci stałej... Metoda symboliczna analizy obwodów RL w stanie ustalonym przy wymuszeniu sinusoidalnym Analiza obwodów zawierajcych elementy RL przy wymuszeniu sinusoidalnym napotyka na pewne trudnoci zwizane z wystpieniem w opisie cewki i kondensatora równa róniczkowych. Trudnoci te łatwo jest pokona w stanie ustalonym. Stanem ustalonym obwodu nazywa bdziemy taki stan, w którym charakter odpowiedzi jest identyczny jak charakter wymuszenia, to znaczy odpowiedzi na wymuszenie sinusoidalne jest odpowied równie sinusoidalna o tej samej czstotliwoci cho o rónej amplitudzie i fazie 7
28 pocztkowej. Dla stanu ustalonego obwodu wprowadzona zostanie metoda symboliczna sprowadzajca wszystkie operacje róniczkowe i całkowe do działa algebraicznych na liczbach zespolonych. Dla wprowadzenia tej metody przyjmijmy, e rozwaany jest obwód szeregowy RL (rys..) zasilany ze ródła napicia sinusoidalnego u( t) m sin( ω t ψ ). Rys... Połczenie szeregowe elementów RL Z prawa napiciowego Kirchhoffa wynika nastpujcy zwizek midzy napiciami elementów tego obwodu u ( t) u u u (.) R L Biorc pod uwag podstawowe zalenoci definicyjne dla rezystora, cewki i kondensatora u R Ri, u / idt di u L L dt otrzymuje si di m sin( ω t ψ ) Ri idt L (.) dt Jest to równanie róniczkowo-całkowe opisujce zalenoci midzy wartociami chwilowymi prdu i napicia wymuszajcego w obwodzie. Pełne rozwizanie tego równania sprowadza si 8
29 do wyznaczenia dwu składowych prdu, stanowicych odpowied obwodu w stanie ustalonym i stanie przejciowym:. składowej ustalonej, której charakter zmian w czasie jest taki sam jak sygnału wymuszajcego (przy sinusoidalnym wymuszeniu odpowied równie sinusoidalna o tej samej czstotliwoci). składowej przejciowej stanowicej rozwizanie równania róniczkowego pochodzcego od niezerowych warunków pocztkowych. Składowa przejciowa zanika zwykle szybko w czasie i pozostaje jedynie składowa ustalona. Stan po zanikniciu składowej przejciowej nazywamy stanem ustalonym obwodu. Składow ustalon prdu w obwodzie mona otrzyma nie rozwizujc równania róniczkowego opisujcego ten obwód a korzystajc jedynie z tzw. metody symbolicznej. stotnym elementem tej metody jest zastpienie przebiegów czasowych ich reprezentacj zespolon. Przyjmijmy, e prd i t) m sin( ω t Ψ ) oraz napicie u( t) m sin( ω t Ψ) zastpione ( i zostały przez wektory wirujce w czasie, odpowiednio (t) oraz (t) okrelone w postaci jψ jωt ( t) me e (.3) jψ i jωt t) me e ( (.4) Po zastpieniu wartoci czasowych prdu i napicia w równaniu (.) poprzez ich reprezentacj w postaci wektorów wirujcych otrzymuje si d( t) ( t) R( t) L ( t) dt (.5) dt Po wykonaniu operacji róniczkowania i całkowania równanie powysze przyjmuje posta m e jψ e jωt jω jψ i jωt jψ i jωt jψ i jωt R me e jωl me e me e (.6) Dzielc obie strony równania przez j t e ω i przechodzc do wartoci skutecznych (w tym celu naley podzieli obie strony równania przez ) otrzymuje si 9
30 m e jψ R e jωl e jω m jψ i m jψ i m jψ i e (.7) Oznaczmy przez m e jψ i warto skuteczn zespolon napicia, a przez m e j ψ warto skuteczn zespolon prdu. Wtedy równanie (.5) mona zapisa w nastpujcej postaci obowizujcej dla wartoci skutecznych zespolonych R jωl (.8) jω Składnik R R (.9) odpowiada napiciu skutecznemu zespolonemu na rezystorze. Wielko L jωl (.) reprezentuje warto skuteczn zespolon napicia na cewce, a składnik (.) j ω odpowiada wartoci skutecznej zespolonej napicia na kondensatorze. Wszystkie napicia i prd w obwodzie s wartociami zespolonymi. Równanie (.8) wyraa prawo napiciowe Kirchhoffa odnoszce si do wartoci skutecznych zespolonych dla obwodu szeregowego RL. Stwierdza ono, e przy wymuszeniu sinusoidalnym warto skuteczna napicia wymuszajcego w obwodzie szeregowym RL jest równa sumie wartoci skutecznych zespolonych napi na poszczególnych elementach tego obwodu. Analizujc posta równania (.8) mona zauway prost analogi do równania opisujcego obwód rezystancyjny. W tym celu wprowadzimy uogólnienie rezystancji w postaci pojcia impedancji zespolonej wicej wartoci skuteczne prdu i napicia na 3
31 elementach R, L, w stanie ustalonym przy wymuszeniu sinusoidalnym. Z ostatnich równa na podstawie prawa Ohma mona napisa nastpujce przyporzdkowania: Dla rezystora impedancja Z R jest równa rezystancji tego rezystora. Z R R (.) Dla cewki Z L jωl (.3) impedancja Z L jest liczb zespolon (urojon) zalen liniowo od czstotliwoci. Dla kondensatora Z j (.4) j ω ω impedancja Z jest take zespolona i odwrotnie proporcjonalna do czstotliwoci. Warto X L ωl nosi nazw reaktancji indukcyjnej a warto pojemnociowej. W zwizku z powyszym mona napisa X reaktancji ω Z jx. Z L jx L, Wprowadzajc oznaczenie wypadkowej impedancji obwodu przez Z, gdzie Z Z Z Z R L zaleno prdowo-napiciow w obwodzie szeregowym RL mona zapisa w postaci, znanej jako prawo Ohma dla wartoci symbolicznych Z (.5) lub Z jψ i e (.6) gdzie moduł prdu (.7) Z R ( ωl / ω) 3
32 natomiast kt fazowy prdu ωl / ω ψ i ψ arctg (.8a) R Faza pocztkowa wektora napicia wymuszajcego jest tu oznaczona przez ψ, a faza pocztkowa wektora prdu przez ψ i. Rónica faz nazywana jest przesuniciem fazowym prdu wzgldem napicia i oznaczana liter ϕ, przy czym ωl / ω ϕ ψ ψ i arctg (.8b) R Kt przesunicia fazowego ϕ odgrywa ogromn rol w elektrotechnice, zwłaszcza w zagadnieniach mocy. Kt ten jest uwaany za dodatni dla obwodów o charakterze indukcyjnym a za ujemny dla obwodów o charakterze pojemnociowym. Zauwamy, e wartociom skutecznym prdu oraz napicia mona przyporzdkowa funkcj czasu. Biorc pod uwag, e przejcie z przebiegu czasowego na opis zespolony (symboliczny) odbywa si według schematu u( t) sin( ω ψ ) m jψ m t e (.9) powrót z wartoci zespolonej do postaci czasowej polega na pomnoeniu modułu wartoci skutecznej przez i uzupełnieniu wyniku przez dopisanie funkcji sin( ω t ψ ). Std przykładowo, jeli wynik zespolony prdu dany jest w postaci e j5, to odpowiadajcy mu przebieg czasowy ma posta i( t) sin( ω t 5 ). stnieje równie cisła analogia midzy konduktancj (odwrotno rezystancji) a odwrotnoci impedancji. Analogicznie do pojcia konduktancji w obwodzie rezystancyjnym wprowadza si pojcie admitancji zespolonej dla obwodu RL. Admitancja jest definiowana jako odwrotno impedancji. Oznaczana jest najczciej liter Y, przy czym Y /Z (.3) 3
33 Admitancja kondensatora jest równa Y jω, cewki Y L j, natomiast j ω L ω L admitancja rezystora jest równa jego konduktancji Y R G/R. Podobnie odwrotno reaktancji X nosi specjaln nazw susceptancji. Warto susceptancji dla kondensatora jest równa B ω, natomiast dla cewki / ωl. B L.3 Prawa Kirchhoffa dla wartoci symbolicznych Przy zastpieniu wartoci rzeczywistych przez wartoci zespolone równania róniczkowe zostały zastpione przez równania algebraiczne. Nastpiła zatem algebraizacja równa opisujcych obwód. Wszystkie elementy RL traktowane s w podobny sposób i reprezentowane przez swoje impedancje symboliczne w postaci zespolonej. mpedancje zespolone mog by interpretowane jako uogólnienie rezystancji. Dla obwodu reprezentowanego w postaci symbolicznej obowizuj prawa Kirchhoffa, które maj identyczn posta jak dla obwodu rzeczywistego, z ta rónic, e zamiast wielkoci chwilowych uywa si wielkoci zespolonych. Prawo prdowe Kirchhoffa Suma prdów zespolonych w dowolnym wle obwodu elektrycznego jest równa zeru, co zapiszemy w postaci k (.3) k W równaniu tym wszystkie prdy dane s w postaci zespolonej. Prawo napiciowe Kirchhoffa Suma napi zespolonych w kadym oczku obwodu elektrycznego jest równa zeru, co zapiszemy w postaci k (.3) k W równaniu tym symbolem oznaczono wszystkie napicia w postaci zespolonej, zarówno na gałziach pasywnych jak i ródłowych obwodu. Sposób sumowania (znak plus lub minus) 33
34 zarówno prdów jak i napi jest taki sam jak w przypadku operowania wartociami rzeczywistymi..4. Wykresy wektorowe obwodu W przypadku analizy obwodów RL w stanie ustalonym wanym pojciem jest wykres wektorowy przedstawiajcy w sposób orientacyjny zalenoci midzy poszczególnymi wektorami prdu i napicia w obwodzie. Jak wiadomo kadej liczbie zespolonej mona przyporzdkowa reprezentacj geometryczn w postaci odpowiedniej zalenoci wektorowej przedstawionej na płaszczynie, w której o pozioma odpowiada czci rzeczywistej a o pionowa czci urojonej liczby zespolonej. Konstruujc wykres naley pamita, e pomnoenie wektora przez operator j jest równowane jego obrotowi o kt 9 stopni przeciwnie do ruchu wskazówek zegara gdy operator j jest równy j9 e. Podobnie pomnoenie wektora przez operator -j jest równowane jego obrotowi o kt 9 stopni zgodnie z ruchem wskazówek zegara gdy operator -j jest równy j9 e. Pomnoenie wektora przez liczb rzeczywist nie zmienia pozycji wektora w przestrzeni o ile jest to liczba dodatnia lub zmienia zwrot wektora o o 8 jeli liczba ta jest ujemna. Z zalenoci prdowo-napiciowych dla rezystora jest oczywiste, e R R R (.33) co wobec rzeczywistych, dodatnich wartoci R oznacza, e napicie na rezystorze jest w fazie z prdem tego rezystora. Dla cewki obowizuje jω (.34) L L L co oznacza, e napicie na cewce wyprzedza prd o kt kondensatorze opónia si wzgldem swojego prdu o kt 9, gdy 9. Podobnie napicie na j (.35) ω Na rys..3 przedstawiono wykresy wektorowe dla rezystora, cewki i kondensatora z zaznaczeniem przesuni ktowych midzy wektorami prdu i napicia. 34
35 Rys..3. Wykresy wektorowe dla a) rezystora, b) cewki, c) kondensatora Przedstawione powyej zasady konstruowania przesuni ktowych midzy wektorami prdu i napicia umoliwiaj podanie ogólnych zasad postpowania przy konstruowaniu wykresu wektorowego dla dowolnego obwodu RL. Wykres wektorowy z definicji uwzgldnia przede wszystkim przesunicia ktowe midzy poszczególnymi wektorami. Relacje ilociowe (długoci) poszczególnych wektorów s mniej istotne i zwykle uwzgldniane w sposób jedynie przybliony. Wykres rozpoczyna si zwykle od koca obwodu (gałzi najdalej połoonej od ródła). Jeli gał jest połczeniem szeregowym elementów rozpoczynamy od prdu tej gałzi, a w przypadku połczenia równoległego od napicia. Nastpnie rysuje si na wykresie na przemian napicia i prdy kolejnych gałzi, dochodzc w ten sposób do ródła. Budow wykresu koczy si w momencie dojcia do prdu i napicia ródłowego obwodu. Relacja wektora prdu ródłowego wzgldem napicia decyduje o charakterze obwodu. Jeli napicie wypadkowe (ródłowe) wyprzedza prd wypadkowy lub inaczej mówic prd opónia si wzgldem napicia - obwód ma charakter indukcyjny. Jeli natomiast napicie opónia si wzgldem prdu lub prd wyprzedza napicie - mówimy o charakterze pojemnociowym obwodu. Jeli nie istnieje przesunicie fazowe prdu wypadkowego wzgldem napicia (kt fazowy równy zeru) mówimy o tzw. stanie rezonansu obwodu, lub po prostu charakterze rezystancyjnym danego obwodu. harakter rezystancyjny obwodu moe powsta nawet przy istnieniu w obwodu indukcyjnoci i pojemnoci w przypadku gdy nastpuje kompensacja odpowiednich 35
36 składowych indukcyjnej i pojemnociowej wektorów. Sposób postpowania przy sporzdzaniu wykresów wektorowych przedstawimy na przykładzie konkretnego obwodu. Przykład. Narysowa wykres wektorowy prdów i napi dla obwodu RL o strukturze przedstawionej na rys..4. Rys..4. Schemat obwodu RL do przykładu. Rozwizanie Na rys..5 przedstawiono wykres wektorowy prdów i napi w obwodzie RL z rys..4. Rys..5. Wykres wektorowy prdów i napi dla obwodu z rys..4 36
37 Sporzdzanie wykresu rozpoczyna si od prdu 3 dobudowujc kolejno wektory napi i prdów gałzi przesuwajc si w stron ródła: R, 3 L, 3 R,,,, E. Jak wida obwód ma charakter pojemnociowy, gdy napicie wypadkowe E opónia si wzgldem odpowiadajcego mu prdu. Zadania sprawdzajce Zadanie. Wyznaczy rozpływy prdów w obwodzie z rys..6 w stanie ustalonym. Przyj nastpujce wartoci parametrów: i ( t) 5 sin(t ) A, R Ω,,F, L 5mH. Rys..6. Schemat obwodu do zadania. Rozwizanie Wartoci symboliczne elementów obwodu: ω 5 Z L jω L j5 Z / jω j mpedancje obwodu RL: Y R Z L Z, j, Z Y j e o 45 Prdy i napicie w obwodzie: 37
38 5 Z R L R Z L j e 5 e o 45 o 45 e j o j45 Z 5 e o j35 Wartoci chwilowe prdów i napicia u ( t) 5sin(t 45 i ( t) 5sin(t 45 R o i ( t) sin(t 45 ) L i ( t) 5sin(t 35 o o ) o ) ) Zadanie. Wyznaczy prdy i napicia w obwodzie przedstawionym na rys..7. Przyj nastpujce o wartoci elementów: e( t) sin(t 9 ) V, R Ω, R 5Ω,,F, L.5H. Rys..7. Schemat obwodu do zadania. Rozwizanie Wartoci symboliczne elementów obwodu: 38
39 ω E e o 9 Z L jω L j j5 Z / jω j mpedancje obwodu: R ZL ZRL,5 R Z j L,5 Z Z RL R Z,5 j7,5 Prdy i napicia w obwodzie: E / Z,7 j,8 RL Z RL 4,7 j,8,3 RL j ZL RL,94 R j Z,94,3,76 j7,6 7, R R j,8 Zadanie.3 Sporzdzi wykres wektorowy prdów i napi w obwodzie przedstawionym na rys..8. Rys..8. Schemat obwodu do zadania.3 Rozwizanie 39
40 Wykres rozpoczyna si od prdu 3, dodajc kolejno napicia na R 3 i L 3, napicie, prd, prd oraz napicie E. Pełny wykres wektorowy przedstawiony jest na rys..9. Rys..9. Wykres wektorowy obwodu z rys..8 Kt fazowy przesunicia prdu wzgldem napicia zasilajcego jest równy ϕ. Biorc pod uwag, e napicie wyprzedza prd obwód ma charakter indukcyjny. 4
41 Lekcja 3. Zagadnienia mocy w obwodach RL przy wymuszeniu sinusoidalnym Wstp Jednym z najwaniejszych poj w elektrotechnice jest moc elektryczna. Jest ona cile zwizana ze zjawiskami energetycznymi zachodzcymi w obwodzie o wymuszeniu sinusoidalnym. Wielkociom prdu i napicia przyporzdkowa mona róne rodzaje mocy. Lekcja trzecia powicona jest zagadnieniom mocy chwilowej p(t), mocy czynnej P, mocy biernej Q oraz mocy pozornej S. Poznamy wzory wice poszczególne rodzaje mocy z prdami i napiciami w obwodzie RL przy wymuszeniu sinusoidalnym w stanie ustalonym. Podane zostan wzory wyraajce energi zgromadzon w cewce i kondensatorze, a na tej podstawie modele rzeczywistej cewki i kondensatora, uwzgldniajce ich stratnoci. Ostatnim fragmentem lekcji s zagadnienia dopasowania odbiornika do ródła rzeczywistego o niezerowej impedancji wewntrznej. 3.. Moc chwilowa Warto chwilow napicia i prdu gałzi oznaczymy odpowiednio przez u( t) m sin( ωt) oraz i( t) m sin( ωt ϕ) przyjmujc dla uproszczenie faz pocztkow napicia równ zeru. Moc chwilowa p(t), jako jedyna z mocy jest funkcj czasu i definiuje si j w postaci iloczynu wartoci chwilowych prdu i(t) oraz napicia u(t) w obwodzie p ( t) u( t) i( t) (3.) Przy wymuszeniu sinusoidalnym moc chwilowa opisana jest wzorem m p( t) u( t) i( t) mm sin( ωt)sin( ωt ϕ) [cos cos(ωt ϕ)] m [ cosϕ cos(ωt ϕ) ] (3.) Z powyszej zalenoci wida, e moc chwilowa zawiera dwie składowe: stał cos(ϕ ) oraz zmienn w czasie cos( ωt ϕ) o czstotliwoci dwukrotnie wikszej od czstotliwoci napicia i prdu w obwodzie. Jest zatem wielkoci zmienn w czasie opisan 4
42 funkcj okresow harmoniczn. Moc chwilowa nie znajduje wikszego zastosowania praktycznego, natomiast jest niezbdna dla zdefiniowania mocy czynnej. 3.. Moc czynna Moc czynn definiuje si jako warto redni za okres z mocy chwilowej, to jest P T t T t p( t) dt (3.3) Podstawiajc do powyszego wzoru funkcj okrelajc moc chwilow w obwodzie, po wykonaniu operacji całkowania otrzymuje si P cosϕ (3.4) Moc czynna w obwodzie o wymuszeniu sinusoidalnym jest wic wielkoci stał równ iloczynowi modułów wartoci skutecznych napicia i prdu oraz cosinusa kta przesunicia fazowego midzy wektorem napicia i prdu. Współczynnik ten odgrywa ogromn rol w praktyce i nosi specjaln nazw współczynnika mocy ( cos ϕ ). Moc czynna stanowi składow stał mocy chwilowej. Jest ona nieujemna dla obwodu RL a w granicznym przypadku przy ϕ ±π / jest równa zeru. Moc czynna osiga warto najwiksz P wtedy, gdy ϕ, to znaczy gdy odbiornik ma charakter rezystancyjny, cos ϕ. Warto najmniejsz (P) moc osiga w przypadku granicznym, gdy ϕ ±π /, to znaczy gdy odbiornikiem jest cewka idealna lub kondensator idealny, cos ϕ. Oznacza to, e na elementach reaktancyjnych nie wydziela si moc czynna. Z przytoczonych rozwaa wynika, e moc czynna jest tym wiksza im mniejszy jest kt przesunicia fazowego midzy prdem i napiciem. Moe wydziela si jedynie na elementach rezystancyjnych i odpowiada energii, która wydziela si w jednostce czasu w postaci ciepła w tych elementach. wzgldniajc, e przesunicie fazowe prdu i napicia na rezystorze jest równe zeru ( cos ϕ ) wzór na moc czynn wydzielan w rezystorze moe by wyraony w trzech równorzdnych postaciach P cosϕ R G (3.5) 4
43 w których prd oraz napicie odpowiadaj rezystorowi R. Jednostk mocy czynnej jest wat (W), przy czym WAV. W praktyce stosuje si równie wielokrotnoci wata w postaci kilowata (kww) lub megawata (MW 6 W) oraz wartoci ułamkowe, np. miliwat (mw) lub mikrowat (W ) Moc bierna W obwodach elektrycznych prdu sinusoidalnego definiuje si trzeci wielko energetyczn bdc iloczynem napicia i prdu oraz sinusa kta przesunicia fazowego midzy nimi. Wielko ta oznaczana jest liter Q i nazywana moc biern Q sinϕ (3.6) Jednostk mocy biernej jest war (var) bdcy skrótem nazwy woltamper reaktywny. Ze wzgldu na wystpowanie w definicji mocy biernej funkcji sinusoidalnej jest oczywiste, e moc bierna jest tym mniejsza im mniejszy jest kt przesunicia fazowego prdu i napicia. Std w przypadku rezystora, dla którego przesunicie fazowe jest równe zeru ( sin ϕ ) moc bierna jest zerowa Moc bierna moe si wic wydziela jedynie na elementach reaktancyjnych, gdy tylko dla nich przesunicie fazowe prdu i napicia jest róne od zera. Przesunicie fazowe prdu i napicia na elementach reaktancyjnych (cewce i kondensatorze) przyjmuje warto 9 dla cewki oraz -9 dla kondensatora, co oznacza, e sinus kta jest odpowiednio równy równy dla cewki (moc bierna cewki jest uwaana za dodatni) oraz dla kondensatora (moc bierna kondensatora jest uwaana za ujemn). Std przy pominiciu znaku wzór na moc biern elementów reaktancyjnych o reaktancji X moe by przedstawiony w trzech równorzdnych postaciach Q sinϕ X (3.7) X W ogólnoci kt przesunicia fazowego ϕ uwaa si za dodatni dla obwodów o charakterze indukcyjnym (napicie wyprzedza prd) a za ujemny dla obwodów o charakterze pojemnociowym (napicie opónia si wzgldem prdu). Moc bierna obwodów o 43
44 charakterze indukcyjnym jest w sumie moc indukcyjn, kojarzona z liczb dodatni a moc bierna obwodów o charakterze pojemnociowym jest w sumie moc pojemnociow i kojarzon z liczb ujemn Moc pozorna zwartym rodzajem mocy wprowadzanym w obwodach elektrycznych jest tak zwana moc pozorna. Jest ona proporcjonalna do wartoci skutecznych prdu i napicia, i oznaczana liter S. Moc pozorna definiowana jest formalnie jako liczba zespolona w postaci iloczynu wartoci skutecznej zespolonej napicia i wartoci skutecznej sprzonej prdu * S (3.8) Tak zdefiniowana moc pozorna przedstawia sob sum mocy czynnej (cz rzeczywista S) oraz mocy biernej (cz urojona S), std S P jq (3.9) wzgldniajc, e operator j oznacza przesunicie wektora o kt 9, ostatniej zalenoci na moc pozorn przyporzdkowa mona wykres wektorowy mocy, tzw. trójkt mocy przedstawiony na rys. 3.. a) b) Rys. 3.. Wykres wektorowy mocy dla obwodu a) o charakterze indukcyjnym, b) o charakterze pojemnociowym 44
45 Biorc pod uwag kierunek przesunicia prdu wzgldem napicia na rys. 3.a wykres mocy dotyczy obwodu o charakterze indukcyjnym a rys. 3.b obwodu o charakterze pojemnociowym. Wykres ten nazywany jest równie trójktem mocy. W trójkcie mocy składowa czynna i bierna s przyprostoktnymi natomiast moc pozorna przeciwprostoktn. Zaleno na moc pozorn zespolon mona przedstawi równie w postaci wykładniczej S S e jϕ. W zalenoci tej S wyraa moduł mocy pozornej, który moe by wyraony w postaci iloczynu modułów wartoci skutecznych prdu i napicia S P Q (3.) Z wykresu wektorowego obwodu przedstawionego na rys. 3. moliwe jest wyznaczenie współczynnika mocy. Mianowicie P cos ϕ (3.) S Warto współczynnika mocy wyznaczona z powyszej zalenoci jest identyczna z wartoci wynikajc z relacji prdowo-napiciowych zachodzcych dla wielkoci bramowych obwodu. Dla ułatwienia korzystania z poj mocy zestawiono poniej najwaniejsze postacie wzorów na moc czynn, biern i pozorn Moc pozorna * S P jq (3.) Moc czynna R P cos ϕ Re( S) R R (3.3) R Moc bierna 45
46 X Q sin ϕ m( S) X X (3.4) X 3.5. Bilans mocy W obwodzie elektrycznym, jak w kadym układzie fizycznym obowizuje prawo zachowania energii. W przypadku obwodów prawo to przekształca si w tak zwane prawo bilansu mocy. Jeli całkowit moc pozorn wytworzon przez ródło (lub wiele ródeł wystpujcych w obwodzie) oznaczymy przez S g a sumaryczn moc pozorn wydzielon w elementach odbiornika przez S o, to biorc pod uwag prawo zachowania energii obie moce musz by sobie równe, to znaczy S g S o. Jest to tak zwana zasada bilansu mocy w obwodach elektrycznych. W tak sformułowanej zasadzie bilansu mocy przyjmuje si standardowo, e zwroty prdów i napi w elementach odbiornikowych s przeciwne sobie a w elementach ródłowych takie same. Jeli przyjmiemy ujednolicon zasad znakowania prdów i napi na gałziach obwodu, zakładajc, e niezalenie od rodzaju elementu zwroty prdu i napicia na gałzi s przeciwne sobie, to zasad bilansu mocy mona sformułowa w ten sposób, e suma mocy liczonej po wszystkich elementach w obwodzie elektrycznym jest równa zeru, S g S o. Dla zilustrowania wprowadzonych tu poj mocy oraz zasady bilansowania si mocy rozpatrzymy przykład obwodu przedstawionego na rys. 3.. Przykład 3. Niech dany bdzie obwód RL o strukturze przedstawionej na rys. 3. zasilany z sinusoidalnego ródła napicia e( t) sin( ωt 45 ) V o wartoci elementów obwodu s nastpujce: R Ω,, 5F, L H. rad ω. Wartoci s 46
Podstawy Elektrotechniki i Elektroniki. Opracował: Mgr inż. Marek Staude
Podstawy Elektrotechniki i Elektroniki Opracował: Mgr inż. Marek Staude Część 2 Analiza obwodów w stanie ustalonym przy wymuszeniu sinusoidalnym Przypomnienie ostatniego wykładu Prąd i napięcie Podstawowe
Bardziej szczegółowoPodstawy Elektrotechniki i Elektroniki. Opracował: Mgr inż. Marek Staude
Podstawy Elektrotechniki i Elektroniki Opracował: Mgr inż. Marek Staude Część 1 Podstawowe prawa obwodów elektrycznych Prąd elektryczny definicja fizyczna Prąd elektryczny powstaje jako uporządkowany ruch
Bardziej szczegółowoRys1 Rys 2 1. metoda analityczna. Rys 3 Oznaczamy prdy i spadki napi jak na powyszym rysunku. Moemy zapisa: (dla wzłów A i B)
Zadanie Obliczy warto prdu I oraz napicie U na rezystancji nieliniowej R(I), której charakterystyka napiciowo-prdowa jest wyraona wzorem a) U=0.5I. Dane: E=0V R =Ω R =Ω Rys Rys. metoda analityczna Rys
Bardziej szczegółowoWielkości opisujące sygnały okresowe. Sygnał sinusoidalny. Metoda symboliczna (dla obwodów AC) - wprowadzenie. prąd elektryczny
prąd stały (DC) prąd elektryczny zmienny okresowo prąd zmienny (AC) zmienny bezokresowo Wielkości opisujące sygnały okresowe Wartość chwilowa wartość, jaką sygnał przyjmuje w danej chwili: x x(t) Wartość
Bardziej szczegółowoWykład 2 Analiza obwodów w stanie ustalonym przy wymuszeniu sinusoidalnym. PEiE
Parametry sygnału sinusoidalnego Sygnały sinusoidalne zwane również harmonicznymi są opisane w dziedzinie czasu następującym wzorem (w opisie przyjęto oznaczenie sygnału napięciowego) : Wielkości występujące
Bardziej szczegółowoObwody sprzone magnetycznie.
POITECHNIKA SKA WYDZIAŁ INYNIERII RODOWISKA I ENERGETYKI INSTYTUT MASZYN I URZDZE ENERGETYCZNYCH ABORATORIUM EEKTRYCZNE Obwody sprzone magnetycznie. (E 5) www.imiue.polsl.pl/~wwwzmiape Opracował: Dr in.
Bardziej szczegółowoRezonans szeregowy (E 4)
POLITECHNIKA LSKA WYDZIAŁINYNIERII RODOWISKA I ENERGETYKI INSTYTT MASZYN I RZDZE ENERGETYCZNYCH Rezonans szeregowy (E 4) Opracował: mgr in. Janusz MDRYCH Zatwierdził: W.O. . Cel wiczenia. Celem wiczenia
Bardziej szczegółowoObwody prądu zmiennego
Obwody prądu zmiennego Prąd stały ( ) ( ) i t u t const const ( ) u( t) i t Prąd zmienny, dowolne funkcje czasu i( t) t t u ( t) t t Natężenie prądu i umowny kierunek prądu Prąd stały Q t Kierunek poruszania
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 3 BADANIE OBWODÓW PRĄDU SINUSOIDALNEGO Z ELEMENTAMI RLC
Ćwiczenie 3 3.1. Cel ćwiczenia BADANE OBWODÓW PRĄD SNSODANEGO Z EEMENTAM RC Zapoznanie się z własnościami prostych obwodów prądu sinusoidalnego utworzonych z elementów RC. Poznanie zasad rysowania wykresów
Bardziej szczegółowoROZDZIAŁ III: Stany nieustalone Temat 8 : Stan ustalony i nieustalony w obwodach elektrycznych.
OZDZIAŁ III: Stany niestalone Temat 8 : Stan stalony i niestalony w obwodach elektrycznych. Dotychczas rozpatrywane obwody elektryczne prd stałego i zmiennego rozpatrywane były w tzw. stanie stalonym.
Bardziej szczegółoworezonansu rezonansem napięć rezonansem szeregowym rezonansem prądów rezonansem równoległym
Lekcja szósta poświęcona będzie analizie zjawisk rezonansowych w obwodzie RLC. Zjawiskiem rezonansu nazywamy taki stan obwodu RLC przy którym prąd i napięcie są ze sobą w fazie. W stanie rezonansu przesunięcie
Bardziej szczegółowoPodstawy Elektrotechniki i Elektroniki. Opracował: Mgr inż. Marek Staude
Podstawy Elektrotechniki i Elektroniki Opracował: Mgr inż. Marek Staude Część 3 Zagadnienie mocy w obwodzie RLC przy wymuszeniu sinusoidalnym Przypomnienie ostatniego wykładu Prąd i napięcie sinusoidalnie
Bardziej szczegółowoLaboratorium Wirtualne Obwodów w Stanach Ustalonych i Nieustalonych
ĆWICZENIE 1 Badanie obwodów jednofazowych rozgałęzionych przy wymuszeniu sinusoidalnym Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest Poznanie podstawowych elementów pasywnych R, L, C, wyznaczenie ich wartości na
Bardziej szczegółowoInduktor i kondensator. Warunki początkowe. oraz ciągłość warunków początkowych
Termin AREK73C Induktor i kondensator. Warunki początkowe Przyjmujemy t, u C oraz ciągłość warunków początkowych ( ) u ( ) i ( ) i ( ) C L L Prąd stały i(t) R u(t) u( t) Ri( t) I R RI i(t) L u(t) u() t
Bardziej szczegółowoCharakterystyki częstotliwościowe elementów pasywnych
Charakterystyki częstotliwościowe elementów pasywnych Parametry elementów pasywnych; reaktancji indukcyjnej (XLωL) oraz pojemnościowej (XC1/ωC) zależą od częstotliwości. Ma to istotne znaczenie w wielu
Bardziej szczegółowoImpedancje i moce odbiorników prądu zmiennego
POLITECHNIKA ŚLĄSKA WYDZIAŁ INŻYNIERII ŚRODOWISKA I ENERGETYKI INSTYTUT MASZYN I URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH LABORATORIUM ELEKTRYCZNE Impedancje i moce odbiorników prądu zmiennego (E 6) Opracował: Dr inż.
Bardziej szczegółowoTeoria obwodów / Stanisław Osowski, Krzysztof Siwek, Michał Śmiałek. wyd. 2. Warszawa, Spis treści
Teoria obwodów / Stanisław Osowski, Krzysztof Siwek, Michał Śmiałek. wyd. 2. Warszawa, 2013 Spis treści Słowo wstępne 8 Wymagania egzaminacyjne 9 Wykaz symboli graficznych 10 Lekcja 1. Podstawowe prawa
Bardziej szczegółowoWykład Drgania elektromagnetyczne Wstęp Przypomnienie: masa M na sprężynie, bez oporów. Równanie ruchu
Wykład 7 7. Drgania elektromagnetyczne Wstęp Przypomnienie: masa M na sprężynie, bez oporów. Równanie ruchu M d x kx Rozwiązania x = Acost v = dx/ =-Asint a = d x/ = A cost przy warunku = (k/m) 1/. Obwód
Bardziej szczegółowoMetodę poprawnie mierzonego prądu powinno się stosować do pomiaru dużych rezystancji, tzn. wielokrotnie większych od rezystancji amperomierza: (4)
OBWODY JEDNOFAZOWE POMIAR PRĄDÓW, NAPIĘĆ. Obwody prądu stałego.. Pomiary w obwodach nierozgałęzionych wyznaczanie rezystancji metodą techniczną. Metoda techniczna pomiaru rezystancji polega na określeniu
Bardziej szczegółowoPrąd przemienny - wprowadzenie
Prąd przemienny - wprowadzenie Prądem zmiennym nazywa się wszelkie prądy elektryczne, dla których zależność natężenia prądu od czasu nie jest funkcją stałą. Zmienność ta może związana również ze zmianą
Bardziej szczegółowoBADANIE ODBIORNIKÓW R, L, C W OBWODZIE PRDU SINUSOIDALNEGO
Cel wiczenia BADANIE ODBIORNIKÓW R, L, C W OBWODZIE PRDU SINUSOIDALNEGO Cele wiczenia jest poznanie etod technicznych wyznaczania podstawowych paraetrów pojedynczych odbiorników o charakterze R, L, C i
Bardziej szczegółowoPRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO
ĆWICZENIE 53 PRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO Cel ćwiczenia: wyznaczenie wartości indukcyjności cewek i pojemności kondensatorów przy wykorzystaniu prawa Ohma dla prądu przemiennego; sprawdzenie prawa
Bardziej szczegółowoElektrotechnika teoretyczna
Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie RYSZARD SIKORA TOMASZ CHADY PRZEMYSŁAW ŁOPATO GRZEGORZ PSUJ Elektrotechnika teoretyczna Szczecin 2016 Spis treści Spis najważniejszych oznaczeń...
Bardziej szczegółowoWykład VII ELEMENTY IDEALNE: OPORNIK, CEWKA I KONDENSATOR W OBWODZIE PRĄDU PRZEMIENNEGO
Wykład VII ELEMENTY IDEALNE: OPORNIK, CEWKA I KONDENSATOR W OBWODZIE PRĄDU PRZEMIENNEGO IDEALNA REZYSTANCJA W OBWODZIE PRĄDU PRZEMIENNEGO Symbol rezystora: Idealny rezystor w obwodzie prądu przemiennego:
Bardziej szczegółowoROZDZIAŁ IV: Czwórniki. Temat 14 : Klasyfikacja czwórników. Pojcia podstawowe.
RODAŁ V: zwórniki Temat 4 : Klasyfikacja czwórników. Pojcia podstawowe. zwórnikiem (dwuwrotnikiem) nazywamy układ majcy cztery zaciski, a cile dwie pary uporzdkowanych zacisków. Dla czwórnika musi by spełniony
Bardziej szczegółowoPracownia fizyczna i elektroniczna. Wykład lutego Krzysztof Korona
Pracownia fizyczna i elektroniczna Wykład. Obwody prądu stałego i zmiennego 4 lutego 4 Krzysztof Korona Plan wykładu Wstęp. Prąd stały. Podstawowe pojęcia. Prawa Kirchhoffa. Prawo Ohma ().4 Przykłady prostych
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 4 WYZNACZANIE INDUKCYJNOŚCI WŁASNEJ I WZAJEMNEJ
Ćwiczenie 4 WYZNCZNE NDUKCYJNOŚC WŁSNEJ WZJEMNEJ Celem ćwiczenia jest poznanie pośrednich metod wyznaczania indukcyjności własnej i wzajemnej na podstawie pomiarów parametrów elektrycznych obwodu. 4..
Bardziej szczegółowoWszystkie znaki występujące w tekście są zastrzeżonymi znakami firmowymi bądź towarowymi ich właścicieli.
Wszelkie prawa zastrzeżone. Nieautoryzowane rozpowszechnianie całości lub fragmentu niniejszej publikacji w jakiejkolwiek postaci jest zabronione. Wykonywanie kopii metodą kserograficzną, fotograficzną,
Bardziej szczegółowoREZONANS SZEREGOWY I RÓWNOLEGŁY. I. Rezonans napięć
REZONANS SZEREGOWY I RÓWNOLEGŁY I. Rezonans napięć Zjawisko rezonansu napięć występuje w gałęzi szeregowej RLC i polega na tym, Ŝe przy określonej częstotliwości sygnałów w obwodzie, zwanej częstotliwością
Bardziej szczegółowoZasilanie urzdze elektronicznych laboratorium IV rok Elektronika Morska
Zasilanie urzdze elektronicznych laboratorium IV rok Elektronika Morska wiczenie 1. Wyznaczanie charakterystyk dławikowej przetwornicy buck przy wykorzystaniu analizy stanów przejciowych Celem niniejszego
Bardziej szczegółowoPOLITECHNIKA WROCŁAWSKA, WYDZIAŁ PPT I-21 LABORATORIUM Z PODSTAW ELEKTROTECHNIKI I ELEKTRONIKI 2 Ćwiczenie nr 10. Dwójniki RLC, rezonans elektryczny
POTEHNKA WOŁAWSKA, WYDZAŁ PPT - ABOATOM Z PODSTAW EEKTOTEHNK EEKTONK Ćwiczenie nr. Dwójniki, rezonans elektryczny el ćwiczenia: Podstawowym celem ćwiczenia jest zapoznanie studentów właściwościami elementów
Bardziej szczegółowoPodstawy fizyki sezon 2 7. Układy elektryczne RLC
Podstawy fizyki sezon 2 7. Układy elektryczne RLC Agnieszka Obłąkowska-Mucha AGH, WFIiS, Katedra Oddziaływań i Detekcji Cząstek, D11, pok. 111 amucha@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~amucha Układ RC
Bardziej szczegółowoI. KARTA PRZEDMIOTU CEL PRZEDMIOTU
I. KARTA PRZEDMIOTU 1. Nazwa przedmiotu: ELEKTROTECHNIKA 2. Kod przedmiotu: Eef 3. Jednostka prowadząca: Wydział Mechaniczno-Elektryczny 4. Kierunek: Automatyka i Robotyka 5. Specjalność: Elektroautomatyka
Bardziej szczegółowoDr inż. Agnieszka Wardzińska 105 Polanka Konsultacje: Poniedziałek : Czwartek:
Dr inż. Agnieszka Wardzińska 105 Polanka agnieszka.wardzinska@put.poznan.pl cygnus.et.put.poznan.pl/~award Konsultacje: Poniedziałek : 8.00-9.30 Czwartek: 8.00-9.30 Impedancja elementów dla prądów przemiennych
Bardziej szczegółowo1) Wyprowadź wzór pozwalający obliczyć rezystancję R AB i konduktancję G AB zastępczą układu. R 1 R 2 R 3 R 6 R 4
1) Wyprowadź wzór pozwalający obliczyć rezystancję B i konduktancję G B zastępczą układu. 1 2 3 6 B 4 2) Wyprowadź wzór pozwalający obliczyć impedancję (Z, Z) i admitancję (Y, Y) obwodu. Narysować wykres
Bardziej szczegółowoPRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO
ĆWICZENIE 53 PRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO Cel ćwiczenia: wyznaczenie wartości indukcyjności cewek i pojemności kondensatorów przy wykorzystaniu prawa Ohma dla prądu przemiennego; sprawdzenie prawa
Bardziej szczegółowoPolitechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania. Podstawy Automatyki
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podsta Automatyki Transmitancja operatorowa i widmowa systemu, znajdowanie odpowiedzi w dziedzinie s i w
Bardziej szczegółowoDrgania w obwodzie LC. Autorzy: Zbigniew Kąkol Kamil Kutorasiński
Drgania w obwodzie L Autorzy: Zbigniew Kąkol Kamil Kutorasiński 016 Drgania w obwodzie L Autorzy: Zbigniew Kąkol, Kamil Kutorasiński Rozpatrzmy obwód złożony z szeregowo połączonych indukcyjności L (cewki)
Bardziej szczegółowoObwody liniowe. Sprawdzanie praw Kirchhoffa
POLTECHNK ŚLĄSK WYDZŁ NŻYNER ŚRODOWSK ENERGETYK NSTYTT MSZYN RZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH LBORTORM ELEKTRYCZNE Obwody liniowe. Sprawdzanie praw Kirchhoffa (E 2) Opracował: Dr inż. Włodzimierz OGLEWCZ 3 1. Cel
Bardziej szczegółowo8. ELEMENTY RZECZYWISTE W OBWODACH PRĄDU ZMIENNEGO Cewka indukcyjna rzeczywista - gałąź szeregowa RL
8. ELEMENTY ZECZYWISTE W OBWODACH PĄDU ZMIENNEO Poznane przez nas idealne elementy obwodów elektrycznych są wyidealizowanymi, uproszczonymi odwzorowaniami obiektów rzeczywistych. Prostota ich matematycznego
Bardziej szczegółowoMetody analizy obwodów w stanie ustalonym
Metody analizy obwodów w stanie ustalonym Stan ustalony Stanem ustalonym obwodu nazywać będziemy taki stan, w którym charakter odpowiedzi jest identyczny jak charakter wymuszenia, to znaczy odpowiedzią
Bardziej szczegółowoX L = jωl. Impedancja Z cewki przy danej częstotliwości jest wartością zespoloną
Cewki Wstęp. Urządzenie elektryczne charakteryzujące się indukcyjnością własną i służące do uzyskiwania silnych pól magnetycznych. Szybkość zmian prądu płynącego przez cewkę indukcyjną zależy od panującego
Bardziej szczegółowoWykad 3 Spadki i straty napicia. Straty przesyowe mocy. Analiza promieniowych ukadów przesyowych.
1 Wykad 3 Spadki i straty napicia. Straty przesyowe mocy. Analiza promieniowych kadów przesyowych. 3.1. Spadki i straty napicia. Straty przesyowe. a rys. 3.1. pokazano wykres wektorowy napi# odnosz$cy
Bardziej szczegółowoLaboratorium Podstaw Elektrotechniki i Elektroniki
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i utomatyki 1) Wstęp st. stacjonarne I st. inżynierskie, Energetyka Laboratorium Podstaw Elektrotechniki i Elektroniki Ćwiczenie nr 3 OBWODY LINIOWE PRĄDU SINUSOIDLNEGO
Bardziej szczegółowoMoc (praca w jednostce czasu) pobierana przez urządzenie elektryczne wynosi:
Ćwiczenie POMIARY MOCY. Wprowadzenie Moc (praca w jednostce czasu) pobierana przez urządzenie elektryczne wynosi: P = U I (.) Jest to po prostu (praca/ładunek)*(ładunek/czas). Dla napięcia mierzonego w
Bardziej szczegółowoSystemy liniowe i stacjonarne
Systemy liniowe i stacjonarne Układ (np.: dwójnik) jest liniowy wtedy i tylko wtedy gdy: Spełnia własność skalowania (jednorodność): T [a x (t )]=a T [ x (t)]=a y (t ) Jeśli wymuszenie zostanie przeskalowane
Bardziej szczegółowoPrzyjmuje się umowę, że:
MODELE OPERATOROWE Modele operatorowe elementów obwodów wyprowadza się wykorzystując znane zależności napięciowo-prądowe dla elementów R, L, C oraz źródeł idealnych. Modele te opisują zależności pomiędzy
Bardziej szczegółowoPrdnica prdu zmiennego.
POLITECHNIK LSK YDZIŁ INYNIERII RODOISK I ENERGETYKI INSTYTT MSZYN I RZDZE ENERGETYCZNYCH LBORTORIM ELEKTRYCZNE Prdnica prdu zmiennego. (E 16) www.imiue.polsl.pl/~wwwzmiape Opracował: Dr in. łodzimierz
Bardziej szczegółowoLaboratorium elektryczne. Falowniki i przekształtniki - I (E 14)
POLITECHNIKA LSKA WYDZIAŁINYNIERII RODOWISKA I ENERGETYKI INSTYTUT MASZYN I URZDZE ENERGETYCZNYCH Laboratorium elektryczne Falowniki i przekształtniki - I (E 14) Opracował: mgr in. Janusz MDRYCH Zatwierdził:
Bardziej szczegółowoII. Elementy systemów energoelektronicznych
II. Elementy systemów energoelektronicznych II.1. Wstęp. Główne grupy elementów w układach impulsowego przetwarzania mocy: elementy bierne bezstratne (kondensatory, cewki, transformatory) elementy przełącznikowe
Bardziej szczegółowoELEMENTY RLC W OBWODACH PRĄDU SINUSOIDALNIE ZMIENNEGO
Politechnika Białostocka Wydział Elektryczny Katedra Elektrotechniki Teoretycznej i Metrologii nstrukcja do zajęć laboratoryjnych ELEMENTY RLC W OBWODACH PRĄD SNSODALNE ZMENNEGO Numer ćwiczenia E0 Opracowanie:
Bardziej szczegółowoSiła elektromotoryczna
Wykład 5 Siła elektromotoryczna Urządzenie, które wykonuje pracę nad nośnikami ładunku ale różnica potencjałów między jego końcami pozostaje stała, nazywa się źródłem siły elektromotorycznej. Energia zamieniana
Bardziej szczegółowoElementy elektroniczne i przyrządy pomiarowe
Elementy elektroniczne i przyrządy pomiarowe Cel ćwiczenia. Nabycie umiejętności posługiwania się miernikami uniwersalnymi, oscyloskopem, generatorem, zasilaczem, itp. Nabycie umiejętności rozpoznawania
Bardziej szczegółowoDr inż. Agnieszka Wardzińska pokój: 105 Polanka Advisor hours: Tuesday: Thursday:
Dr inż. Agnieszka Wardzińska pokój: 105 Polanka agnieszka.wardzinska@put.poznan.pl cygnus.et.put.poznan.pl/~award Advisor hours: Tuesday: 10.00-10.45 Thursday: 10.30-11.15 Literatura podstawowa: 1. Podstawy
Bardziej szczegółowo1 K A T E D R A F I ZYKI S T O S O W AN E J
1 K A T E D R A F I ZYKI S T O S O W AN E J P R A C O W N I A P O D S T A W E L E K T R O T E C H N I K I I E L E K T R O N I K I Ćw. 1. Łączenie i pomiar oporu Wprowadzenie Prąd elektryczny Jeżeli w przewodniku
Bardziej szczegółowoWartość średnia półokresowa prądu sinusoidalnego I śr : Analogicznie określa się wartość skuteczną i średnią napięcia sinusoidalnego:
Ćwiczenie 27 Temat: Prąd przemienny jednofazowy Cel ćwiczenia: Rozróżnić parametry charakteryzujące przebieg prądu przemiennego, oszacować oraz obliczyć wartości wielkości elektrycznych w obwodach prądu
Bardziej szczegółowoPOMIARY CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWEJ IMPEDANCJI ELEMENTÓW R L C
ĆWICZENIE 4EMC POMIARY CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWEJ IMPEDANCJI ELEMENTÓW R L C Cel ćwiczenia Pomiar parametrów elementów R, L i C stosowanych w urządzeniach elektronicznych w obwodach prądu zmiennego.
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne: Elektrotechnika i elektronika. Klasa: 1Tc TECHNIK MECHATRONIK. Ilość godzin: 4. Wykonała: Beata Sedivy
Wymagania edukacyjne: Elektrotechnika i elektronika Klasa: 1Tc TECHNIK MECHATRONIK Ilość godzin: 4 Wykonała: Beata Sedivy Ocena Ocenę niedostateczną uczeń który Ocenę dopuszczającą Wymagania edukacyjne
Bardziej szczegółowoBADANIE ELEKTRYCZNEGO OBWODU REZONANSOWEGO RLC
Ćwiczenie 45 BADANE EEKTYZNEGO OBWOD EZONANSOWEGO 45.. Wiadomości ogólne Szeregowy obwód rezonansowy składa się z oporu, indukcyjności i pojemności połączonych szeregowo i dołączonych do źródła napięcia
Bardziej szczegółowoLekcja 5. Temat: Prawo Ohma dla części i całego obwodu
Lekcja 5. Temat: Prawo Ohma dla części i całego obwodu Prąd płynący w gałęzi obwodu jest wprost proporcjonalny do przyłożonej siły elektromotorycznej E, a odwrotnie proporcjonalne do rezystancji R umieszczonej
Bardziej szczegółowoSTAŁY PRĄD ELEKTRYCZNY
STAŁY PRĄD ELEKTRYCZNY Natężenie prądu elektrycznego Wymuszenie w przewodniku różnicy potencjałów powoduje przepływ ładunków elektrycznych. Powszechnie przyjmuje się, że przepływający prąd ma taki sam
Bardziej szczegółowo7. REZONANS W OBWODACH ELEKTRYCZNYCH
OBWODY SYGNAŁY 7. EZONANS W OBWODAH EEKTYZNYH 7.. ZJAWSKO EZONANS Obwody elektryczne, w których występuje zjawisko rezonansu nazywane są obwodami rezonansowymi lub drgającymi. ozpatrując bezźródłowy obwód
Bardziej szczegółowoĆwiczenie nr 1. Badanie obwodów jednofazowych RLC przy wymuszeniu sinusoidalnym
Ćwiczenie nr Badanie obwodów jednofazowych RC przy wymuszeniu sinusoidalnym. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z rozkładem napięć prądów i mocy w obwodach złożonych z rezystorów cewek i
Bardziej szczegółowoPracownia Technik Informatycznych w Inżynierii Elektrycznej
UNIWERSYTET RZESZOWSKI Pracownia Technik Informatycznych w Inżynierii Elektrycznej Ćw. 3 Pomiar mocy czynnej w układzie jednofazowym Rzeszów 2016/2017 Imię i nazwisko Grupa Rok studiów Data wykonania Podpis
Bardziej szczegółowoPODSTAWY ELEKTOTECHNIKI LABORATORIUM
PODSTAWY ELEKTOTECHNIKI LABORATORIUM AKADEMIA MORSKA Katedra Telekomunikacji Morskiej ĆWICZENIE 8 OBWODY PRĄDU STAŁEGO -PODSTAWOWE PRAWA 1. Cel ćwiczenia Doświadczalne zbadanie podstawowych praw teorii
Bardziej szczegółowoWykład FIZYKA II. 4. Indukcja elektromagnetyczna. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Wykład FIZYKA II 4. Indukcja elektromagnetyczna Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/ PRAWO INDUKCJI FARADAYA SYMETRIA W FIZYCE
Bardziej szczegółowoElektrotechnika Electrical Engineering
Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr 10/12 z dnia 21 lutego 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2013/2014
Bardziej szczegółowoMiernictwo I INF Wykład 13 dr Adam Polak
Miernictwo I INF Wykład 13 dr Adam Polak ~ 1 ~ I. Właściwości elementów biernych A. Charakterystyki elementów biernych 1. Rezystor idealny (brak przesunięcia fazowego między napięciem a prądem) brak części
Bardziej szczegółowoładunek pobrany ze źródła jest równy sumie ładunków na poszczególnych kondensatorach
Opracował: mgr inż. Marcin Wieczorek www.marwie.net.pl Połączenie równoległe kondensatorów na każdym kondensatorze jest takie samo napięcie napięcie źródła ładunek pobrany ze źródła jest równy sumie ładunków
Bardziej szczegółowoELEMENTY REGULATORÓW ELEKTRYCZNYCH (A 4)
ELEMENTY REGULATORÓW ELEKTRYCZNYCH (A 4) 1. Cel wiczenia. Celem wiczenia jest poznanie budowy i działania elementów regulatorów elektrycznych. W trakcie wiczenia zdejmowane s charakterystyki statyczne
Bardziej szczegółowo13 K A T E D R A F I ZYKI S T O S O W AN E J
3 K A T E D R A F I ZYKI S T O S O W AN E J P R A C O W N I A P O D S T A W E L E K T R O T E C H N I K I I E L E K T R O N I K I Ćw. 3. Wyznaczenie elementów L C metoda rezonansu Wprowadzenie Obwód złożony
Bardziej szczegółowoWSTĘP DO ELEKTRONIKI
WSTĘP DO ELEKTONIKI Część II Podstawowe elementy elektroniczne dwójniki bierne LC Formalizm zespolony opisu napięć i prądów harmonicznie zmiennych w czasie impedancja Źródła napięcia i prądu Przekazywanie
Bardziej szczegółowou (0) = 0 i(0) = 0 Obwód RLC Odpowiadający mu schemat operatorowy E s 1 sc t = 0 i(t) w u R (t) E u C (t) C
Obwód RLC t = 0 i(t) R L w u R (t) u L (t) E u C (t) C Odpowiadający mu schemat operatorowy R I Dla zerowych warunków początkowych na cewce i kondensatorze 1 sc sl u (0) = 0 C E s i(0) = 0 Prąd I w obwodzie
Bardziej szczegółowoLaboratorium Półprzewodniki Dielektryki Magnetyki Ćwiczenie nr 8
Laboratorium Półprzewodniki Dielektryki Magnetyki Ćwiczenie nr 8 Analiza właściwości zmiennoprądowych materiałów i elementów elektronicznych I. Zagadnienia do przygotowania:. Wykonanie i przedstawienie
Bardziej szczegółowo2 K A T E D R A F I ZYKI S T O S O W AN E J
2 K A T E D R A F I ZYKI S T O S O W AN E J P R A C O W N I A P O D S T A W E L E K T R O T E C H N I K I I E L E K T R O N I K I Ćw. 2. Łączenie i pomiar pojemności i indukcyjności Wprowadzenie Pojemność
Bardziej szczegółowoMetody rozwiązywania ob o w b o w d o ów ó w e l e ek e t k r t yc y zny n c y h
Metody rozwiązywania obwodów elektrycznych ozwiązaniem obwodu elektrycznego - określa się wyznaczenie wartości wszystkich prądów płynących w rozpatrywanym obwodzie bądź wartości wszystkich napięć panujących
Bardziej szczegółowoPracownia fizyczna i elektroniczna. Wykład 1. 9 marca Krzysztof Korona
Pracownia fizyczna i elektroniczna Wykład. Obwody prądu stałego i zmiennego 9 marca 5 Krzysztof Korona Plan wykładu Wstęp. Prąd stały. Podstawowe pojęcia. Prawa Kirchhoffa. Prawo Ohma ().4 Przykłady prostych
Bardziej szczegółowoIndukcja elektromagnetyczna. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Indukcja elektromagnetyczna Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Strumień indukcji magnetycznej Analogicznie do strumienia pola elektrycznego można
Bardziej szczegółowoĆw. 27. Wyznaczenie elementów L C metoda rezonansu
7 K A T E D R A F I ZYKI S T O S O W AN E J P R A C O W N I A F I Z Y K I Ćw. 7. Wyznaczenie elementów L C metoda rezonansu Wprowadzenie Obwód złożony z połączonych: kondensatora C cewki L i opornika R
Bardziej szczegółowoLICZBY ZESPOLONE W ELEKTROTECHNICE, ELEKTRYCZNY WEKTOR ZESPOLONY, METODA SYMBOLICZNA,
Wykład VIII LICZBY ZESPOLONE W ELEKTROTECHNICE, ELEKTRYCZNY WEKTOR ZESPOLONY, METODA SYMBOLICZNA, ROZWIĄZYWANIA UKŁADÓW ROZGAŁĘZIONYCH PRĄDU PRZEMIENNEGO POSTACI LICZB ZESPOLONYCH Wskazy prądu i napięcia:
Bardziej szczegółowoĆwiczenie nr 3 OBWODY LINIOWE PRĄDU SINUSOIDALNEGO
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki 1. Wstęp st. stacjonarne I st. inżynierskie, Mechatronika (WM) Laboratorium Elektrotechniki Ćwiczenie nr 3 OBWODY LINIOWE PRĄDU SINUSOIDALNEGO
Bardziej szczegółowo2.Rezonans w obwodach elektrycznych
2.Rezonans w obwodach elektrycznych Celem ćwiczenia jest doświadczalne sprawdzenie podstawowych właściwości szeregowych i równoległych rezonansowych obwodów elektrycznych. 2.1. Wiadomości ogólne 2.1.1
Bardziej szczegółowoWykład 1 Technologie na urządzenia mobilne. Wojciech Świtała
Wykład 1 Technologie na urządzenia mobilne Wojciech Świtała wojciech.switala@cs.put.poznan.pl http://www.cs.put.poznan.pl/~wswitala Sztuka Elektroniki - P. Horowitz, W.Hill Układy półprzewodnikowe U.Tietze,
Bardziej szczegółowoPodstawy Elektrotechniki i Elektroniki
Politechnika Warszawska Wydział Budownictwa, Mechaniki i Petrochemii Instytut Inynierii Mechanicznej Zakład Maszyn Rolniczych i Automatyzacji Kierunek: Mechanika i Budowa Maszyn Przedmiot: Podstawy Elektrotechniki
Bardziej szczegółowo42. Prąd stały. Prawa, twierdzenia, metody obliczeniowe
Prąd stały. Prawa, twierdzenia, metody obliczeniowe 42. Prąd stały. Prawa, twierdzenia, metody obliczeniowe Celem ćwiczenia jest doświadczalne sprawdzenie praw obowiązujących w obwodach prądu stałego,
Bardziej szczegółowoDANE: wartość skuteczna międzyprzewodowego napięcia zasilającego E S = 230 V; rezystancja odbiornika R d = 2,7 Ω; indukcyjność odbiornika.
Zadanie 4. Prostownik mostkowy 6-pulsowy z tyrystorami idealnymi o komutacji natychmiastowej zasilany z sieci 3 400 V, 50 Hz pracuje z kątem opóźnienia załączenia tyrystorów α = 60º. Obciążenie prostownika
Bardziej szczegółowoDielektryki polaryzację dielektryka Dipole trwałe Dipole indukowane Polaryzacja kryształów jonowych
Dielektryki Dielektryk- ciało gazowe, ciekłe lub stałe niebędące przewodnikiem prądu elektrycznego (ładunki elektryczne wchodzące w skład każdego ciała są w dielektryku związane ze sobą) Jeżeli do dielektryka
Bardziej szczegółowoTeoria obwodów elektrycznych / Stanisław Bolkowski. wyd dodruk (PWN). Warszawa, Spis treści
Teoria obwodów elektrycznych / Stanisław Bolkowski. wyd. 10-1 dodruk (PWN). Warszawa, 2017 Spis treści Przedmowa 13 1. Wiadomości wstępne 15 1.1. Wielkości i jednostki używane w elektrotechnice 15 1.2.
Bardziej szczegółowoOBWODY JEDNOFAZOWE PRĄDU PRZEMIENNEGO
OBWODY JEDNOFAZOWE PRĄDU PRZEMIENNEGO mgr inż. Grzegorz Strzeszewski ZespółSzkółnrwWyszkowie 01 r. Nauka jest dla tych, którzy chcą być mądrzejsi, którzy chcą wykorzystywać swój umysł do poznawania otaczającego
Bardziej szczegółowoBadanie transformatora
Ćwiczenie 14 Badanie transformatora 14.1. Zasada ćwiczenia Transformator składa się z dwóch uzwojeń, umieszczonych na wspólnym metalowym rdzeniu. Do jednego uzwojenia (pierwotnego) przykłada się zmienne
Bardziej szczegółowoObwody sprzężone magnetycznie.
POLITECHNIKA ŚLĄSKA WYDZIAŁ INŻYNIERII ŚRODOWISKA I ENERGETYKI INSTYTT MASZYN I RZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH LABORATORIM ELEKTRYCZNE Obwody sprzężone magnetycznie. (E 5) Opracował: Dr inż. Włodzimierz OGLEWICZ
Bardziej szczegółowoLaboratorium Podstaw Elektrotechniki i Elektroniki
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i utomatyki 1. Wstęp st. stacjonarne I st. inżynierskie, Energetyka Laboratorium Podstaw Elektrotechniki i Elektroniki Ćwiczenie nr 3 OBWODY LINIOWE PĄDU SINUSOIDLNEGO
Bardziej szczegółowoObwód składający się z baterii (źródła siły elektromotorycznej ) oraz opornika. r opór wewnętrzny baterii R- opór opornika
Obwód składający się z baterii (źródła siły elektromotorycznej ) oraz opornika r opór wewnętrzny baterii - opór opornika V b V a V I V Ir Ir I 2 POŁĄCZENIE SZEEGOWE Taki sam prąd płynący przez oba oporniki
Bardziej szczegółowoMiBM_E_1/1 Elektrotechnika Electrical Engineering
Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr 10/12 z dnia 21 lutego 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2013/2014
Bardziej szczegółowoZespół Szkół Technicznych im. J. i J. Śniadeckich w Grudziądzu
Zespół Szkół Technicznych im. J. i J. Śniadeckich w Grudziądzu Przedmiot: Pomiary Elektryczne Materiały dydaktyczne: Pomiar i regulacja prądu i napięcia zmiennego Zebrał i opracował: mgr inż. Marcin Jabłoński
Bardziej szczegółowoObliczanie i pomiary parametrów obwodów prądu jednofazowego 311[08].O1.04
MINISTERSTWO EDKACJI i NAKI Teresa Birecka Obliczanie i pomiary parametrów obwodów prądu jednofazowego 311[08].O1.04 Poradnik dla ucznia Wydawca Instytut Technologii Eksploatacji Państwowy Instytut Badawczy
Bardziej szczegółowoELEKTRONIKA ELM001551W
ELEKTRONIKA ELM001551W Podstawy elektrotechniki i elektroniki Definicje prądu elektrycznego i wielkości go opisujących: natężenia, gęstości, napięcia. Zakres: Oznaczenia wielkości fizycznych i ich jednostek,
Bardziej szczegółowoWICZENIE 2 Badanie podstawowych elementów pasywnych
Laboratorium Elektroniki i Elektrotechniki Katedra Sterowania i In»ynierii Systemów www.control.put.poznan.pl 1 Politechnika Pozna«ska WICZENIE 2 Badanie podstawowych elementów pasywnych Celem wiczenia
Bardziej szczegółowoI Powiatowy Konkurs Matematyka, Fizyka i Informatyka w Technice Etap finałowy 10 kwietnia 2013 grupa elektryczno-elektroniczna
I Powiatowy Konkurs Matematyka, Fizyka i Informatyka w Technice Etap finałowy 10 kwietnia 2013 grupa elektryczno-elektroniczna (imi i nazwisko uczestnika) (nazwa szkoły) Arkusz zawiera 6 zada. Zadania
Bardziej szczegółowoOpracowała Ewa Szota. Wymagania edukacyjne. Pole elektryczne
Opracowała Ewa Szota Wymagania edukacyjne dla klasy I Technikum Elektrycznego i Technikum Elektronicznego Z S Nr 1 w Olkuszu na podstawie programu nauczania dla zawodu technik elektryk [311303] oraz technik
Bardziej szczegółowo