Aktuariat i matematyka finansowa. Probabilistyczne modele ryzyka ubezpieczeniowego

Transkrypt

1 Aktuariat i matematyka finansowa Probabilistyczne modele ryzyka ubezpieczeniowego

2 Ryzyko jako przedmiot ubezpieczenia Ryzyko pewna sytuacja (zjawisko), która może, ale nie musi wygenerować zdarzenie niekorzystne, które pociąga za sobą niebezpieczeństwo lub stratę. Hazard zespół warunków i okoliczności, w których Dane ryzyko realizuje się, czyli pojawiają się straty.

3 Cechy ryzyka Nie jest jednorodne Zmienne Uzależnione od czasu Uwzględnia dynamikę Powinno zawierać w sobie czynniki uwzględniające jego charakter

4 Rodzaje hazardu Hazard fizyczny warunki zewnętrzne lub cechy fizyczne, które bezpośrednio wpływają na nasilenie przyczyn strat i na wzrost niebezpieczeństwa Hazard moralny zespół warunków podmiotowych danej osoby wyrażających się w negatywnych tendencjach charakterologicznych, takich jak: nieuczciwość, skłonność do defraudacji itp. Hazard duchowy subiektywna reakcja ubezpieczonego, która jest wywołana świadomością istnienia ochrony ubezpieczeniowej, co objawia się mniejszą starannością i dbałością o ubezpieczony obiekt i obojętnością wobec zagrożeń.

5 Podział ryzyka Z tytułu przedmiotu ubezpieczenia Ryzyko osobowe powoduje straty w dobrach osobistych Ryzyko majątkowe powoduje straty wynikające z posiadania mienia ruchomego i nieruchomego, prowadzenia działalności gospodarczej, wykonywania różnych zawodów, korzystania z różnych usług finansowych itp. Z tytułu przedmiotu kontraktu ubezpieczeniowego Ryzyko czyste jego realizacja powoduje tylko stratę, a brak realizacji nie przynosi ani straty ani zysku Ryzyko spekulatywne jego realizacja przynosi stratę brak straty i zysku. Z tytułu postrzegania ryzyka Ryzyko subiektywne Ryzyko obiektywne

6 Własności ubezpieczalności ryzyka Losowość Definiowalność Mierzalność Powtarzalność Brak szkód katastroficznych

7 Zmienne opisujące ryzyko Wartość szkód zmienne losowe ciągłe Liczba szkód - zmienne losowe skokowe Momenty czasowe w których występują szkody

8 Miary ryzyka ubezpieczeniowego Wartość oczekiwana Odchylenie standardowe Wariancja Współczynnik zmienności Współczynnik skośności

9 Przestrzeń zdarzeń elementarnych (Ω) Doświadczenia wzajemnie wykluczające się o losowym charakterze są opisane za pomocą zdarzeń elementarnych ω, które są elementami przestrzeni zdarzeń elementarnych Gdy przestrzeń zdarzeń elementarnych jest skończona, albo przeliczalna to każdy jest podzbiór nazywamy zdarzeniem losowym Gdy przestrzeń zdarzeń elementarnych jest nieprzeliczalna, spośród jej podzbiorów wyróżnia się pewną klasę podzbiorów Ƒ, zwaną σ ciałem zdarzeń.

10 Przeliczalne addytywne σ ciało zdarzeń Niepusta klasa podzbiorów Ƒ spełniająca następujące warunki Ω ε Ƒ A Ƒ A = Ω Aε Ƒ A i Ƒ, i N i=1 A i Ƒ Zdarzeniem losowym jest cała przestrzeń (zdarzenie pewne) i zbiór pusty (zdarzenie niemożliwe)

11 Prawdopodobieństwo (miara probabilistyczna) Funkcja P określona na σ ciele Ƒ, przyporządkowująca każdemu A Ƒ liczbę P(A) 0,1 zgodnie z następującymi warunkami: P(A) 0 dla każdego zdarzenia A Ƒ, P(Ω) = 1, (postulat unormowania), Jeżeli A 1, A 2,, A n jest dowolnym ciągiem parami rozłącznych zdarzeń ze zbioru Ƒ, to: P( i=1 A i ) = i=1 P A i. Postulat przeliczalnej addytywności. Ω, Ƒ, P przestrzeń probabilistyczna (przestrzeń prawdopodobieństwa, model probabilistyczny) R przestrzeń liczb rzeczywistych

12 Zmienna losowa Funkcja rzeczywista X ( ma wartość w przestrzeni R), określona na przestrzeni Ω zdarzeń elementarnych, mająca następującą własność: dla każdej liczby rzeczywistej x zbiór zdarzeń elementarnych ω, dla których spełniona jest nierówność X(ω) < x, jest zdarzeniem, czyli w: X ω < x Ƒ dla każdego x R

13 Dystrybuanta Funkcja F określona na całym zbiorze liczb rzeczywistych, o wartościach w przedziale [0,1] wzorem F(x) = P(ω: X(ω) x), x R. Własności: niemalejąca, prawostronnie ciągła, lim n F x = 1, lim n F x = 0

14 Zmienna losowa skokowa Określona przez rozkład prawdopodobieństwa albo funkcję prawdopodobieństwa P(X = x k ) = p k > 0, k = 0, 1, 2,, Gdzie: x k - punkty skokowe p k - skoki Dystybuanta F x = xk x p k, Warunek unormowania k p k = 1.

15 Zmienna losowa ciągła Zmienna losowa X, dla której istnieje nieujemna funkcja f(x) taka, że dla każdego rzeczywistego x zachodzi relacja x F x = f t dt, f(x) gęstość prawdopodobieństwa (gęstość zmiennej losowej ciągłej, pochodna dystrybuanty) Dla funkcji ciągłej w punkcie F x = f(x)

16 Prawdopodobieństwo warunkowe P A B Prawdopodobieństwo zdarzenia A pod warunkiem że zaszło zdarzenie B nazywamy iloraz prawdopodobieństwa łącznego zajścia zdarzeń A i B przez prawdopodobieństwo zdarzenia B P A B = P(A B), gdzie P(B)>0. P(B)

17 Niezależność zdarzeń A i B P A B = P A P B, Gdzie P(A)>0 i P(B)>0, wówczas P A B = P A, P B A = P(B)

18 Przeliczalny zupełny (całkowity) układ zdarzeń A 1 A 2 A 3 =Ω, A 1 A 2 = dla i j P(A i )>0 dla i= 1,2,

19 Skończony zupełny (całkowity) układ zdarzeń A 1 A 2 A 3 A n =Ω, A 1 A 2 = dla i j P(A i )>0 dla i= 1,2,,n

20 Prawdopodobieństwo zupełne (całkowite) Gdy zdarzenia A 1, A 2, A 3,, A n (A 1, A 2, A 3, ) tworzą zupełny układ zdarzeń dla i =1, 2, 3,, n (i =1, 2, 3, ), to dla dowolnego B Ƒ zachodzi równość: P B = i P A i P B A i

21 Wzór Bayesa Gdy zdarzenia A 1, A 2, A 3,, A n (A 1, A 2, A 3, ) tworzą zupełny układ zdarzeń dla i =1, 2, 3,, n (i =1, 2, 3, ) oraz P(B)>0, to P A k B = P A k P B A k i P A i P B A i

22 Wartość oczekiwana E(X) E X = k x k p k - dla zmiennej losowej skokowej, + E X = xf x dx - dla zmiennej losowej ciągłej. Własności: E(c) = c, E(cX) = ce(x), E(X +c) = E(X) + c, E(X E(X)) = 0, E(X + Y) = E(X) + E(Y), E(XY) = E(X)E(Y), gdy X i Y są niezależne.

23 Moment rzędu l (μ l c ) Momentem rzędu l (l=1,2,3, ) względem liczby c zmiennej losowej X nazywamy: μ c l = k (x k c) l p k - dla zmiennej losowej skokowej, μ c + l = (x c) l f x dx - dla zmiennej losowej ciągłej,

24 Moment zwykły (m l ) Jeżeli c=0 to: m l = k x l k p k dla zmiennej losowej skokowej, + m l = x l f x dx dla zmiennej losowej ciągłej.

25 Moment centralny (μ l ) Jeżeli c=m 1 to: μ l = k (x k m 1 ) l p k dla zmiennej losowej skokowej, + μ l = (x m1 ) l f x dx dla zmiennej losowej ciągłej.

26 Wariancja (σ x 2, D 2 X, Var(X)), odchylenie standardowe (σ X, D(X)) D 2 X = k [x k E(X)] 2 p k dla zmiennej losowej skokowej, D 2 + X = [x E X ] 2 f x dx dla zmiennej losowej ciągłej. Zadania: Własności wariancji: D 2 c = 0, D 2 cx = c 2 D 2 X, D 2 c + X = D 2 X, D 2 X ± Y = D 2 X + D 2 Y D 2 X = E X 2 (E X ) 2

27 Przykład Wyznaczyć wariancję i odchylenie standardowe dla następujących danych Liczba P(X) 0,05 0,05 0,1 0,15 0,3 0,15 0,1 0,05 0,05

28 Współczynnik zmienności Względna miara rozproszenia danych V = σ E(X) Na podstawie cen akcji wybranych 4 spółek indeksu WIXX w roku 2008, proszę obliczyć dla każdej ze spółek: 1/ średnią stopę zwrotu, 2/ odchylenie standardowe, 3/ współczynnik zmienności, oraz oceń, która ze spółek jest najbardziej, najmniej ryzykowna?

29 Współczynnik asymetrii Miara asymetrii/skośności rozkładu danych A = μ 3 σ 3

30 Rozkład normalny Zmienna X ma rozkład normalny o parametrach m x, σ x X~N m x, σ x, gdy funkcja gęstości przyjmuje postać: f x = 1 σ x 2π exp((x m x) 2 2σ2 x gdzie σ x > 0, m x εr., < x < +, Gdy m x = 0 i σ x =1 to standardowy rozkład normalny.

31 Tablice trwania życia Opracowywane osobno dla kobiet i mężczyzn przy uwzględnieniu ich warunków życia oraz czynników na nie wpływających (geograficznych, społecznych, ekonomicznych) Zawierają przeważnie przedział wiekowy lat lub 110 lat Charakterystyczne dla populacji danego kraju

32 Oczekiwana liczba osób dożywających l x A X = k=0 v k+1 d x+k Gdzie: A X - jednorazowa składka netto l x - oczekiwana liczba osób dożywających l x A X - łączna składka netto na ubezpieczenie na całe życie x liczba lat v - czynnik dyskontujący d - efektywna stopa procentowa

33 Zdyskontowana liczba osób żyjących D x = v x l x Liczba osób zmarłych d x d x = l x+1 l x Zdyskontowana liczba osób zmarłych C x = v x+1 d x

34 Prawdopodobieństwo zgonu q x = d x l x Prawdopodobieństwo przeżycia tp x = l x+t l x

35 Renta Ciąg płatności o ustalonej wysokości, które powtarzają się w regularnych odstępach czasu (najczęściej miesięcznych), inaczej systematycznie uzyskiwany dochód z kapitału, nie wymagający wkładu pracy. Renta życiowa Umowa w której ubezpieczyciel zobowiązuje się do regularnych wypłat w formie ustalonych kwot, w pewnym okresie lub dożywotnio lecz nie dłużej niż do chwili zgonu. Ryzyko ponoszone przez ubezpieczyciela to okres życia ubezpieczonego. Zależy od: Wysokości składek, Okresu składkowego, Umieralności ubezpieczonych

36 Podział rent życiowych Okresowe Dożywotnie Odroczone Pewne

37 Wartość aktuarialna Wartość oczekiwana E(Z) wartości obecnej Z tego świadczenia Z góry: n letnia a n = p 1 vn d m razy w roku a m n = p 1 vn d (m) Z dołu: n letnia a n = p 1 vn i m razy w roku a m n = p 1 vn i (m) N - letnia ciągła a n = 1 vn r nom

38 Renta pełna Rentobiorca żyje i renta trwa do końca jego życia a x = k=0 Dx+k D x Renta okresowa n - letnia Płatna na początku każdego roku przez n lat, gdy rentobiorca żyje przez okres n lat. Gdy rentobiorca rozpoczął pobieranie tej renty w wieku x lat, to będzie ją pobierał do wieku x+n, jeżeli dożyje. Natomiast w przypadku zgonu wypłacanie renty zostaje przerwane A. a x:n = k=0 Dx+k k=0 Dx+k+n D x

39 Renta odroczona o n lat Płatna na początek każdego roku do momentu zgonu rentobiorcy, przy czym pobieranie renty rozpoczyna się w wieku x+n lat, tzn. po n letnim okresie odroczenia n / a x = k=0 Dx+k+n D x Renta okresowa n letnia odroczona o m lat Płatna na początek każdego roku, gdy rentobiorca żyje począwszy od roku x+m, ale nie dłużej niż przez n lat m / nax= k=0 Dx+k+m k=0 D x Dx+k+m+n

40 Zakumulowana (aktuarialna) wartość renty Gdy rentobiorca żyje S x:n = k=0 Dx+k k=0 D x+n Dx+k+n Zmienne renty (la) x:n = k=0 Nx+k k=0 Dx+k+n n k=0 D x+n Dx+k+n

41 Renta pełna płatna z dołu a x = k=0 D x+k+1 D x Renta okresowa płatna z dołu n letnia a x:n = k=0 D x+k+1 k=0 D x D x+k+n+1 Renta odroczona płatna z dołu o n lat n / a x = k=0 D x+k+n+1 D x

42 Renta okresowa płatna z dołu n letnia odroczona o m lat m / nax = k=0 D x+k+m+1 k=0 D x D x+k+m+n+1 Zakumulowana wartość renty płatnej z dołu n letniej okresowej S x:n = k=0 D x+k+1 k=0 D x+n D x+k+n+1 Renty zmienne (płatne z dołu) (la) x:n = k=0 Nx+k+1 k=0 Dx+k+n+1 n k=0 D x+n Dx+k+n+1

43 Przykład Jaki kapitał pozwoli na wypłacanie miesięcznej renty stałej w wysokości 600 PLN z góry przez okres 7 lat, gdy stopa procentowa wynosi 4% oraz składki są płacone z góry i z dołu.

44 Przykład Korzystając z tablic trwania życia dla mężczyzn z 2012 roku, oblicz wartość rent a) a 65 wartość renty pełnej płatnej z góry dla 65 letniego mężczyzny, b) 32/ a 33 wartość renty odroczonej o 32 lata dla 33 letniego mężczyzny, c) a 33:32 wartość renty okresowej trwającej 32 lata dla 33 letniego mężczyzny.

45 Przykład Jak wielki fundusz powinien zgromadzić ubezpieczony, aby wykupić ubezpieczenie renty w wysokości PLN miesięcznie, płatnej na koniec roku przez okres 30 lat, przy rocznej stopie procentowej 6%. W przypadku zgonu ubezpieczeniowego przed końcem trwania ubezpieczenia rentę będzie pobierać osoba przez niego upoważniona.

46 Podział ubezpieczeń - Ubezpieczenia na życie 1. Ubezpieczenia na życie. 2. Ubezpieczenia posagowe, zaopatrzenia dzieci. 3. Ubezpieczenia na życie, jeżeli są związane z ubezpieczeniowym funduszem kapitałowym. 4. Ubezpieczenia rentowe. 5. Ubezpieczenia wypadkowe i chorobowe, jeśli są uzupełnieniem ubezpieczeń wymienionych w grupach 1-4.

47 Podział ubezpieczeń - Pozostałe ubezpieczenia osobowe oraz ubezpieczenia majątkowe 1. Ubezpieczenia wypadku, w tym wypadku przy pracy i choroby zawodowej: 1) świadczenia jednorazowe; świadczenia powtarzające się; 3) połączone świadczenia, o których mowa w pkt 1 i 2; 4) przewóz osób. 2) 2. Ubezpieczenia kombinowane. choroby: 1) świadczenia jednorazowe; 2) świadczenia powtarzające się; 3) świadczenia 3. Ubezpieczenia casco pojazdów lądowych, z wyjątkiem pojazdów szynowych, obejmujące szkody samochodowych; 2) pojazdach lądowych bez własnego napędu. w: 1) pojazdach 4. Ubezpieczenia casco pojazdów szynowych, obejmujące szkody w pojazdach szynowych. 5. Ubezpieczenia casco statków powietrznych, obejmujące szkody w statkach powietrznych. 6. Ubezpieczenia żeglugi morskiej i śródlądowej casco statków żeglugi morskiej i statków żeglugi śródlądowej, obejmujące szkody w: 1) statkach żeglugi morskiej; 2) statkach żeglugi śródlądowej. 7. Ubezpieczenia przedmiotów w transporcie, obejmujące szkody na transportowanych przedmiotach, niezależnie od każdorazowo stosowanych środków transportu. 8. Ubezpieczenia szkód spowodowanych żywiołami, obejmujące szkody rzeczowe nieujęte w grupach 3-7, spowodowane przez: 1) ogień; 2) eksplozję; 3) burzę; 4) inne żywioły; 5) energię jądrową; 6) obsunięcia ziemi lub tąpnięcia. 9. Ubezpieczenia pozostałych szkód rzeczowych (jeżeli nie zostały ujęte w grupie 3, 4, 5, 6 lub 7), wywołanych przez grad lub mróz oraz inne przyczyny (jak np. kradzież), jeżeli przyczyny te nie są ujęte w grupie 8.

48 Podział ubezpieczeń - Pozostałe ubezpieczenia osobowe oraz ubezpieczenia majątkowe - cd 10. Ubezpieczenia odpowiedzialności cywilnej wszelkiego rodzaju, wynikającej z posiadania i użytkowania pojazdów lądowych z napędem własnym, łącznie z ubezpieczeniem odpowiedzialności przewoźnika. 11. Ubezpieczenia odpowiedzialności cywilnej wszelkiego rodzaju, wynikającej z posiadania i użytkowania statków powietrznych, łącznie z ubezpieczeniem odpowiedzialności przewoźnika. 12. Ubezpieczenia odpowiedzialności cywilnej za żeglugę morską i śródlądową, wynikającej z posiadania i użytkowania statków żeglugi śródlądowej i statków morskich, łącznie z ubezpieczeniem odpowiedzialności przewoźnika. 13. Ubezpieczenia odpowiedzialności cywilnej (ubezpieczenie odpowiedzialności cywilnej ogólnej) nieujętej w grupach Ubezpieczenia kredytu, w tym: 1) ogólnej niewypłacalności; hipotecznego, kredytu rolniczego. 2) kredytu eksportowego, spłaty rat, kredytu 15. Gwarancja ubezpieczeniowa: 1) bezpośrednia; 2) pośrednia. 16. Ubezpieczenia różnych ryzyk finansowych, w tym: 1) ryzyka utraty zatrudnienia; 2) niewystarczającego dochodu; 3) złych warunków atmosferycznych; 4) utraty zysków; 5) stałych wydatków ogólnych; 6) nieprzewidzianych wydatków handlowych; 7) utraty wartości rynkowej; 8) utraty stałego źródła dochodu; 9) pośrednich strat handlowych poza wyżej wymienionymi; 10) innych strat finansowych. 17. Ubezpieczenia ochrony prawnej. 18. Ubezpieczenia świadczenia pomocy na korzyść osób, które popadły w trudności w czasie podróży lub podczas nieobecności w miejscu zamieszkania.

49 Ryzyko ubezpieczeniowe w ubezpieczeniach typu non - life Ryzyko ubezpieczeniowe objęte jedną polisą ubezpieczeniową mogą być następujące sytuacje: Jedno ryzyko ubezpieczeniowe generuje albo jeden wypadek ubezpieczeniowy, albo nie występuje żaden wypadek ubezpieczeniowy w okresie ubezpieczenia, Jedno ryzyko ubezpieczeniowe generuje kilka wypadków ubezpieczeniowych lub nie występuje wypadek ubezpieczeniowy w okresie ubezpieczenia, Jedną polisą objętych jest kilka typów ryzyka ubezpieczeniowego i wówczas do każdego z nich mają zastosowanie oba przypadki.

50 Wskaźniki liczby szkód Wskaźnik częstotliwości wypadków ubezpieczeniowych, Wskaźnik rozszerzalności wypadków ubezpieczeniowych, Wskaźnik częstości roszczeń, Wskaźnik intensywności działania wypadków ubezpieczeniowych.

51 Wskaźnik częstości wypadków ubezpieczeniowych Gdzie: N liczba polis lub ubezpieczonych rodzajów ryzyka n liczba wypadków ubezpieczeniowych. n N W przypadku licznego portfela polis za wartość tego wskaźnika przyjmuje się przybliżoną miarę prawdopodobieństwa wystąpienia wypadku ubezpieczeniowego w badanym portfelu ryzyka.

52 Wskaźnik rozszerzalności wypadków ubezpieczeniowych Gdy w danym typie ubezpieczeń obserwuje się zjawisko kumulacji rodzajów szkód, Występuje w ubezpieczeniach transportowych, ogniowych, powodziowych, katastroficznych i innych, gdy jeden wypadek powoduje kilka szkód (roszczeń). m Gdzie: m liczba szkód (roszczeń) n liczba wypadków ubezpieczeniowych n

53 Wskaźnik częstości roszczeń Każde roszczenie traktowane jest jako oddzielny wypadek ubezpieczeniowy, a tak jest w ubezpieczeniach osobowych, nie oblicza się ostatniego wskaźnika, gdyż pokrywa się on ze wskaźnikiem częstości wypadków ubezpieczeniowych m Gdzie: m liczba roszczeń (szkód) N liczba polis N

54 Wskaźnik intensywności działania wypadków ubezpieczeniowych Stosunek sumy odszkodowań (Z) do sumy ubezpieczeń (S) dla obiektów w których pojawiła się szkoda. z s m Opisuje jaka w przybliżeniu część wartości majątku, w którym powstała szkoda, uległa zniszczeniu.

55 Elementy opisu szkód Trendy, Cykle, Krótkookresowe wahania, Fluktuacje czysto losowe.

56 Wartość szkód Wielkości szkód są najczęściej małe i średnie, stąd liczba danych obserwowalnych jest duża, co pozwala zastosować modelowanie empiryczne i utworzyć szereg rozdzielczy oraz wyznaczyć dystrybuantę empiryczną; Wielkie odszkodowania występują rzadko, czyli z małymi prawdopodobieństwami, i stąd mało jest o nich danych. Stosuje się modelowanie teoretyczne, czyli założyć hipotetyczny rozkład i zweryfikować hipotezę o rozkładzie za pomocą statycznych testów istotności nieparametrycznych; Wielkości szkód należy analizować w kontekście czasowym i przestrzennym, gdyż mogą one być zmienną czasu i występować ze zróżnicowanymi wartościami w różnych regionach; Należy uwzględnić inflację; Wartości szkód są związane z sumą ubezpieczenia, czyli górną granicą odpowiedzialności ubezpieczyciela, lub z decyzjami reasekuracyjnymi, które ustalają udział własny ubezpieczyciela i automatycznie określają górną granicę zbioru obserwacji; Rozkład prawdopodobieństwa wartości tej zmiennej jest przeważnie asymetryczny i w przypadku dużych roszczeń, z tak zwanym wyciągniętym i ciężkim ogonem; Wartości szkód przyjmują wartości rzeczywiste i dlatego opisują je zmienne losowe ciągłe.

57 Dziękuję za uwagę