DENOTO WANIĘ. Jakiś człowiek", pewien człowiek", jakiś mężczyzna", pewien mężczyzna".

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "DENOTO WANIĘ. Jakiś człowiek", pewien człowiek", jakiś mężczyzna", pewien mężczyzna"."

Transkrypt

1 Bertrand Russell DENOTO WANIĘ Przez zwrot denotujący" rozumiem taki zwrot, jak każdy z poniższych: a man" x, some man" 2, any man" 3, all men" 4, the present King of England" 5, the present King of France" 6, the centrę of mass of the Solar System at the first instant of the twentieth century" 7, the revolution of the sun round the earth" 8. A więc zwrot jest zwrotem denotującym wyłącznie na mocy swej formy. Możemy rozróżnić trzy wypadki: (1) Zwrot może być zwrotem denotującym, a mimo to niczego nie denotować; np. the present King of France". (2) Zwrot może denotować jeden określony obiekt; np. the present King of England" denotuje pewnego mężczyznę 9. (3) Zwrot może denotować w sposób niejasny; np. a man" denotuje nie wielu ludzi, lecz jakiegoś nieokreślonego człowieka. Interpretacja takich zwrotów sprawia 1 (Jakiś) człowiek", (jakiś) mężczyzna". 2 Jakiś człowiek", pewien człowiek", jakiś mężczyzna", pewien mężczyzna". 3 Każdy człowiek", pierwszy lepszy człowiek", każdy mężczyzna", pierwszy lepszy mężczyzna". 4 Wszyscy ludzie", wszyscy mężczyźni". 5 (Ten oto) obecny król Anglii", (jedyny) obecny król Anglii". 6 (Ten oto) obecny król Francji". 7 Środek masy systemu słonecznego w pierwszej chwili dwudziestego stulecia". 8 Obrót Słońca wokół Ziemi". 9 Rozprawa ta została opublikowana po raz pierwszy w r. 1905, kiedy na tronie zasiadał król Edward VII.

2 254 Bertrand Bussell nie lada trudności; naprawdę, bardzo trudno zbudować teorię, która by nie była narażona na zarzuty formalne. Wszystkim jednak znanym mi trudnościom stawia czoło o tyle, o ile mogę się zorientować teoria, którą mam właśnie wyłożyć. Problem denotowarna ma bardzo duże znaczenie nie tylko w logice i matematyce, lecz również w teorii poznania. Wiemy np., że środek masy systemu słonecznego w określonej chwili to pewien określony punkt, i możemy o nim wypowiedzieć wiele sądów logicznych; nie jest jednak naszym udziałem bezpośrednie poznanie tego punktu, znamy go jedynie na podstawie opisu. Różnica między poznaniem bezpośrednim a wiedzą o czymś to różnica między postrzeganiem rzeczy a docieraniem do nich jedynie za pomocą zwrotów denotujących. Często się zdarza, iż wiemy, że pewien zwrot denotuje w sposób niedwuznaczny, chociaż tego, co on denotuje, nie znamy w sposób bezpośredni; tak właśnie jest w powyższym wypadku z owym środkiem masy. W percepcji zaznajamiamy się z przedmiotami percepcji, a w myśleniu z przedmiotami mającymi bardziej abstrakcyjny charakter logiczny, niekoniecznie natomiast z przedmiotami denotowanymi przez zwroty złożone ze słów, których znaczenia znamy. Żeby Avymienić bardzo ważny przykład: nie ma chyba powodu przypuszczać, że kiedykolwiek osiągamy poznanie cudzej psychiki, skoro nigdy wprost jej nie postrzegamy; to zatem, co o niej wiemy, uzyskuje się za pomocą denotowania. Wszelkie myślenie musi brać swój początek od poznania zmysłowego, następnie jednak rozwija się w myślenie o wielu rzeczach, których bezpośrednio nie znamy. Tok moich wywodów będzie następujący. Zacznę od przedstawienia teorii, za którą mam zamiar się opowiedzieć *; następnie omówię teorie Fregego i Meinonga, wykazując, czemu żadna z nich mnie nie zadowala; dalej podam argumenty na rzecz mej własnej teorii; wreszcie wskażę pokrótce jej konsekwencje filozoficzne. * Sprawę tę omawiałem w Principles of Mathematies, rozdz. V oraz 476. Teoria, której tam bronię, jest niemal zupełnie taka sama, jak Fregego, różni się zaś zupełnie od teorii, której mam bronić w następujących niżej rozważaniach.

3 Denotowanie 255 Teoria moja jest, krótko mówiąc, następująca. J&ko pod&tawowe przyjmuję pojęcie zmiennej; wyrażeniem C (%)" posługuję się dla oznaczenia sądu logicznego *, którego składnikiem jest x, zmienna zasadniczo i całkowicie nieokreślona. Możemy tedy rozważyć dwa pojęcia: C (x) jest zawsze prawdziwe' 4 oraz 0 (x) jest niekiedy prawdziwe" **. Wówczas wszystko, nic oraz coś należy rozumieć w następujący sposób: C (wszystko) C (nic) C (coś) znaczy: C (x) jest zawsze prawdziwe"; znaczy: «0 (x) jest fałszem» jest zawsze prawdziwe" ; znaczy: Meprawdą jest, że «C (x) jest fałszem» jest zawsze prawdziwe" Pojęcie C (x) jest zawsze prawdziwe" przyjęto tu jako ostateczne i nie dające się zdefiniować, pozostałe zaś definiuje się za pomocą niego. Zakłada się, że wszystko, nic oraz coś, gdy występują samodzielnie, nie mają żadnego znaczenia, natomiast przypisuje się znaczenie każdemu sądowi logicznemu, w którym słowa te figurują. Jest to zasada teorii denotowania, za którą pragnę się opowiedzieć: mianowicie że zwroty denotujące nigdy same przez się nie mają jakiegokolwiek znaczenia, lecz że każdy sąd logiczny, w którego słownym sformułowaniu występują, ma znaczenie. Wszystkie trudności związane z denotowaniem są, jak sądzę, rezultatem błędnej analizy sądów logicznych, których sformułowanie słowne zawiera zwroty denotujące. Poprawną analizę, jeśli się nie mylę, można dalej przedstawić w następujący sposób. Oto przypuśćmy, że pragniemy zinterpretować sąd logiczny: I met a man" 10. Jeśli to jest prawda, to spotkałem pewnego * Ściślej funkcji zdaniowej. ** Drugie z nich da się zdefiniować przy pomocy pierwszego, jeśli przyjmiemy, że ma ono znaczyć: Nieprawdą jest, że «C (x) jest fałszem» jest zawsze prawdziwe?" *** Niekiedy zamiast tego skomplikowanego zwrotu używać będę wyrażenia: C (x) nie jest zawsze fałszywe" lub C (x) jest niekiedy prawdziwe", jako w założeniu, na mocy definicji, znaczącego to samo, co ów skomplikowany zwrot. 10 Spotkałem (jakiegoś) człowieka", Spotkałem (jakiegoś) mężczyznę".

4 256 Bertrand Bussell bro określonego człowieka; nie to jednak stwierdzam. Według nionej przeze mnie teorii tym. co stwierdzam, jest: «Spotkałem x oraz x jest ludzkie» nie jest zawsze fałszywe". W ogóle, definiując klasę ludzi jako klasę obiektów orzecznik ludzki, mówimy, że: mających C (a man)" znaczy: «C (x) oraz x jest ludzkie» nie jest zawsze fałszywe". Pozostawia się tu samo a man", całkowicie pozbawione znaczenia, natomiast nadaje się znaczenie każdemu sądowi logicznemu, w którego sformułowaniu słownym występuje a man". Rozważmy z kolei sąd logiczny: Wszyscy ludzie są śmiertelni". Sąd ten * jest w rzeczywistości hipotetyczny i stanowi, że -jeśli coś jest człowiekiem, to jest śmiertelne. Czyli stanowi, że jeśli x jest człowiekiem, to x jest śmiertelne, bez względu na to, czym x jest. A zatem podstawiając jest ludzkie" na miejsce x jest człowiekiem", otrzymujemy: Wszyscy ludzie są śmiertelni" znaczy: «Jeżeli x jest ludzkie, to x jest śmiertelne» jest zawsze prawdziwe". To jest właśnie to, co w logice formalnej wyraża się za pomocą powiedzenia, że wszyscy ludzie są śmiertelni" znaczy: «x jest ludzkie)) implikuje, iż «x jest śmiertelne)) dla wszelkich wartości #-a". W sposób bardziej ogólny powiadamy: C (wszyscy ludzie)" znaczy: «Jeżeli x jest ludzkie, to C (x) jest prawdziwe)) jest zawsze prawdziwe". Podobnie: C (żadni ludzie)" znaczy: «Jeżeli x jest ludzkie, to C {x) jest fałszywe)) jest zawsze prawdziwe". C (niektórzy ludzie)" znaczyć będzie to samo, co: C(aman)"**, * Jak mądrze wykazał p. Bradley w Logice, Księga I, rozdz. II. ** Z psychologicznego punktu widzenia, w wyrażeniu C (a man)" tkwi sugestia, iż idzie o jednego tylko, a w wyrażeniu C (niektórzy ludzie)" że o więcej niż jednego; nam jednak wolno pominąć te sugestie w zarysie wstępnym.

5 Denotowanie 257 zaś C (a man)" znaczy: Nieprawda, że «C (x) oraz x jest ludzkie» jest zawsze fałszywe". C (każdy człowiek)" znaczyć będzie to samo, co: C (wszyscy ludzie)". Pozostaje podać interpretację zwrotów zawierających the 1 1. Są to niewątpliwie najbardziej interesujące i najtrudniejsze spośród zwrotów denotujących. Weźmy jako przykład: The father of CharlesTT was executed" 12. W zdaniu tym stwierdza się, że istniał jakiś x, który był ojcem Karola II, i że został stracony. Otóż the, użyte w sposób ścisły, pociąga za sobą jedyność; co prawda, mówimy: the son of So-and-so" 13, nawet jeśli So-and-so ma kilku synów, bardziej jednak poprawne byłoby w takim wypadku a son of So-and-so" 14. Dla naszych zatem celów przyjmujemy, że the pociąga ża~sobą jedyność. A^więc gdy powfadamy: ^TM^irrlather of Charles II" 15, to nie tylko stwierdzamy, że x pozostawał w określonym stosunku pokrewieństwa względem Karola II, lecz również, że nikt poza tym w tymże stosunku nie pozostawał. Relację, o której mowa, bez założenia jedyności i bez zwrotów denotujących, wyraża zdanie: x begat Charles II" 16. Aby otrzymać równoważnik zdania: x was the father of Charles II", musimy dodać: Jeśli y jest różny od #-a, to y nie spłodził Karola II", lub co jest równoważne Jeżeli y spłodził Karola II, to y jest tożsamy z #-em". A zatem: x jest ojcem Karola II", przechodzi w: a? spłodził Karola II; oraz «jeżeli y spłodził Karola II, to y jest tożsamy z x-em» jest zawsze prawdziwe w odniesieniu do #-a". 11 Rodzajnik, czyli przedimek określony; ten", ta", to", ci", te"; jedyny". 12 Ojciec Karola II został stracony". 13 (Ten oto) syn Takiego a takiego", (ten oto) syn Tego a tego"; (jedyny) syn Takiego a takiego", (jedyny) syn Tego a tego". 14 (Jakiś) syn Takiego a takiego, (któryś) syn Tego a tego". 16 x był ojcem Karola II". 16 x spłodził Karola II".

6 258 Bertrand Bussell A więc Ojciec Karola II został stracony" przechodzi w: Nie jest zawsze fałszem w odniesieniu do x, że x spłodził Karola II* i że x został stracony, i że «jeśli y spłodził Karola II, to y jest tożsamy z x-em» jest zawsze prawdziwe w odniesieniu do y-a". Interpretacja ta może się wydawać nieco nieprawdopodobna, ja jednak obecnie nie podaję uzasadnienia, tylko przedstawiam \ teorię. Aby podać interpretację wyrażenia C (the father of Charles II)", gdzie C zastępuje dowolną wypowiedź o nim, winniśmy tylko w powyższym podstawić C (x) zamiast x został stracony". Zauważmy, że według powyższej interpretacji, bez względu na to, jakim by C twierdzeniem być mogło, C (the father of Charles II)" implikuje: Nie jest zawsze fałszem w odniesieniu do a?, że «jeśli y spłodził Karola II, to y jest tożsamy z x-em» jest zawsze prawdziwe w odniesieniu do 2/-a", czyli to, co w zwykłym języku wyrażamy mówiąc: Charles II had one father and no more" 11. Jeśli przeto warunek ten nie jest spełniony, to każdy sąd logiczny, mający postać: C (ojciec Karola II)", staje się fałszem. Tak więc np. każdy sąd logiczny, mający kształt: C (the present King of France 1 8 )", jest fałszywy. \ Wielka to zaleta niniejszej teorii. Wykażę później, że nie sprzeciwia się to prawu sprzeczności, jak by się mogło w pierwszej chwili wydawać. Uwagi powyższe dają redukcję wszelkich sądów logicznych, w których występują zwroty dęnotnj.ące^ do sformułowań wolnych od takich zwrotów. Dlaczego koniecznie trzeba takiej redukcji dokonać, postaramy się wykazać w toku dalszej dyskusji. Świadectwem na rzecz powyższej teorii są -trudności, nieuniknione chyba, gdy zwroty denotujące, spotykane w słownych sformułowaniach sądów logicznych, traktujemy jako wyrażenia, które występują zamiast zwykłych składników tych sądów. Spośród teorii, dopuszczających takie składniki, najprostsza jest Karol II miał tylko jednego ojca". (Ten oto) obecny król Francji", (jedyny) obecny król Francji".

7 Denotowanie 259 teoria Meinonga *. Teoria ta każdy poprawny pod względem gramatycznym zwrot denotnjący uważa za wyrażenie, które występuje zamiast jakiegoś obiektu. Tak więc the present King of France", the round sąuare" 19 etc. mają to być autentyczne obiekty ^Przyznaje się, że obiekty takie nie istnieją 2 0, niemniej jednak uważa się je za obiekty. Jest to zapatrywanie, które samo w sobie kryje trudności;^główny jednak zarzut polega na tym, że takie obiekty według powszechnej opinii często naruszają prawo sprzeczności. Utrzymuje się np., jakoby (jedyny) istniejący obecny król Francji istniał, a zarazem nie istniał, jakoby (ten oto) okrągły kwadrat był okrągły, a zarazem nieokrągły, etc. To zaś jest nie do przyjęcia; jeśli więc można znaleźć jakąkolwiek teorię, która by uniknęła tego rezultatu, to na pewno trzeba jej dać pierwszeństwo. Powyższego pogwałcenia prawa sprzeczności unika teoria Fregego. Rozróżnia on w zwrocie denotującym dwa elementy, które możemy nazwać znaczeniem i denotacją **. Oto np. wyrażenie środek masy systemu słonecznego na początku dwudziestego stulecia" jest wysoce złożone pod względem znaczenia, natomiast jego denotacją to określony punkt, a więc coś prostego. System słoneczny, dwudzieste stulecie etc. są składnikami wspomnianego znaczenia; natomiast denotacją, o której mówimy, W ogóle nie ma żadnych składników ***. Jedną z zalet tego * Zobacz Untersuchungen zur Gegenstandstheorie und Psychologie, Leipzig 1904, pierwsze trzy artykuły (Meinonga, Amesedera i Mally'ego). ** Zob. Gottlob Frege, tlber Sinn und Bedeutung, Zeitschr. f. Philos. und Philos. Kritik", 1892 [w niniejszym tomie zob. s ]. *** Frege rozróżnia te dwa elementy, znaczenie i denotację, wszędzie, a nie tylko w złożonych zwrotach denotujących. A zatem to właśnie znaczenia składników zespołu denotującego wchodzą w skład jego znaczenia, nie zaś ich denotacją. W sądzie logicznym: Mont Blanc ma ponad 1000 m wysokości" to właśnie, zdaniem Fregego, znaczenie wyrażenia Mont Blanc", a nie faktycznie istniejąca góra, jest składnikiem znaczenia tego sądu. [W cytowanym tekście Fregego terminy znaczenie" ( Sinn") i detonacja" ( Bedeutung") oddano w przekładzie, odpowiednio, przez 'fśeits^i nominat"]. 19 (Ten oto) okrągły kwadrat. 20 Subsist" istnieją", ale w sposób zależny, niesamodzielny, niesamoistny, w przeciwieństwie do istnienia niezależnego, samodzielnego ( exist"). Logika i język 19

8 260 Bertrand Russell rozróżnienia jest to, że pokazuje ono, dlaczego nieraz warto stwierdzić identyczność^ Gdy mówimy: Scott is the author of «Waverley»" 21, stwierdzamy identyczność denotacji przy jednoczesnej różnicy znaczenia. Nie będę jednak powtarzał argumentów przemawiających za tą teorią, jako że jej twierdzenia przytoczyłem gdzie indziej (loc. cit.), a teraz idzie mi o ich przedyskutowanie. Jedna z pierwszych trudności, które stają przed nami, gdy przyjmujemy pogląd, iż zwroty denotujące wyrażają znaczenie, a denotują denotację *, wiąże się z wypadkami, kiedy owej denotacji, jak się okazuje, brak. Gdy mówimy: The King of Epgland is bald u 22, nie jest to wydawałoby się wypowiedź o złożonym znaczeniu the King of * England" 23, lecz o konkretnym człowieku, denotowanym przez to znaczenie. Ale teraz rozważmy: The King of France is bald" 24. Na podstawie paralelizmu formy to również powinno być o denotacji zwrotu the King of France". Ten jednak zwrot aczkolwiek ma znaczenie, o ile ma je the King of England" na pewno nie ma denotacji, przynajmniej w żadnym oczywistym sensie. Można by zatem myśleć, iż the King of France is bald" powinno być nonsensem; nie jest to jednak nonsens, wobec tego że jest to po prostu fałsz. Albo znów rozważmy taki oto sąd logiczny: Jeżeli u jest klasą, która ma tylko jeden element, to ten jedyny element jest elementem klasy u", czy też można to i tak sformułować If u is a unit class, the u is a u" 25. Sąd ten powinien być zawsze prawdziwy, ponieważ jegot"następnik jest prawdziwy, ilekroć prawdziwy jest poprzednik. Ale the u" to zwrot denotujący, * W teorii tej mówię będziemy, że dany zwrot denotujący wyraża znaczenie; a zarówno o owym zwrocie, jak i wspomnianym znaczeniu będziemy mówili, że denotują one denotację. Natomiast w teorii, której bronię, nie istnieje żadne znaczenie, tylko niekiedy denotacja. 21 Scott jest (jedynym) autorem «Waverleya»'\ 22 (Ten oto) król Anglii jest łysy", (jedyny obecnie) król Anglii jest łysy". 23 (Ten oto) król Anglii", (jedyny obecnie) król Anglii". 24 (Ten oto) król Francji jest łysy", (jedyny obecnie) król Francji jest łysy". 25 Jeżeli u jest klasą jednostkową, to (to oto jedyne) u jest (jakimś) u".

9 Denotowanie 261 właśnie więc o jego denotacji, nie zaś o znaczeniu powiedziano, że jest (pewnym) u. No, a jeśli u nie jest klasą jednostkową, to the u" niczego -chy-ba-niedenotuje; nasz zatem sąd logiczny wyglądałoby na to, że staje się nonsensem, skoro tylko u przestaje być klasą jednostkową. Ale przecież jest rzeczą zrozumiałą, że takie sądy logiczne nie stają się nonsensami, dlatego tylko że ich poprzedniki są fałszywe. Król w Burzy mógłby rzec: Jeśli Ferdynand nie utonął, Ferdynand jest mym jedynym synem". Otóż mój jedyny syn" to zwrot denotujący, który na pierwszy rzut oka ma denotację wtedy i tylko wtedy, gdy mam dokładnie jednego syna. Niemniej jednak powyższa wypowiedź pozostałaby prawdziwa, gdyby Ferdynand rzeczywiście utonął. A zatem musimy albo zapewnić denotację w wypadkach, gdy na pierwszy rzut oka jej brak, albo też zrezygnować z poglądu, że to właśnie o ową denotację chodzi w sądach logicznych, zawierających zwroty denotujące. Opowiadam się za drugą z tych możliwości. Pierwszą można przyjąć, tak jak to uczynił Meinong, uznając obiekty, które nie istnieją 26, a zaprze-/ czając, jakoby były one posłuszne prawu sprzeczności; tego jednak należy w miarę możności unikać. Inne wyjście w randach tejże( pierwszej możliwości (idzie ciągle o wspomnianą tu alternatywę) wybrał Frege, który definicyjnie zawarowuje pewną czysto umowną denotację, w wypadkach gdy w przeciwnym razie wcale by jej nie było. Tak więc the King of France" ma denotować klasę zerow^f^fche only son of Mr. So-and-so" 2 6 a (który to pan" ma jak się patrzy rodzinę dziesięcioosobową) ma denotować klasę wszyst^ kich jego synów, itd, Ale ta procedura, choć może i nie doprowadza ; do faktycznego błędu logicznego, to jednak jest w sposób oczywisty sztuczna i nie daje właściwej analizy naszego przedmiotu. Jeśli się więc zgodzimy, że zwroty denotujące zazwyczaj mają te dwie strony, mianowicie znaczenie i denotację, to wypadki, w których jak się zdaje nie ma żadnej denotacji, sprawiają / trudności zarówno przy założeniu, iż rzeczywiście istnieje deno- \ tacja, jak przy założeniu, iż takowej naprawdę nie ma. \ 26 26a Subsist"; zob. przypis 20, s (Ten oto) jedyny syn pana Takiego a takiego". 1 19*

10 262 Bertrand Bussell Teorię logiczną można wypróbować badając, w jakiej mierze radzi sobie ona z łamigłówkami; i zdrowy to sposób postępowania, rozmyślając nad logiką zadawać sobie do rozwiązania możliwie jak najwięcej łamigłówek, te bowiem służą podobnemu celowi, jak eksperymenty w fizyce. Dlatego podam trzy łamigłówki, które teoria dotycząca denotowania powinna móc rozwiązać; następnie zaś pokażę, że moja teoria je rozwiązuje. (1) Jeżeli a jest identyczne z 6, to cokolwiek jest prawdą o jednym z nich, jest też prawdą o drugim, oraz każde z tych dwóch można podstawić na miejsce pozostałego w dowolnym sądzie logicznym, nie zmieniając przez to prawdziwości ani fałszywości owego sądu. Otóż Jerzy IV pragnął się dowiedzieć, czy Scott jest autorem 2 7 Waverleya"; i faktycznie Scott jest autorem Waverleya". Możemy zatem podstawić Scott na miejsce autor Waverleya" 28 i tym samym dowieść, że Jerzy IV pragnął się dowiedzieć, czy Scott jest Scottem. A jednak zainteresowanie prawem identyczności trudno przypisać pierwszemu dżentelmenowi Europy. (2) Na mocy prawa wyłączonego środka musi być prawdą albo A jest B", albo A nie jest B". A zatem prawdą być musi albo: The present King of France is bald", albo: The present King of France is not bald". A jednak gdybyśmy wyliczyli rzeczy łyse, następnie zaś rzeczy niełyse, to na żadnej z tych list nie znaleźlibyśmy (jedynego) obecnego króla Francji. Hegliści, którzy kochają syntezę, wyciągną prawdopodobnie wniosek, że nosi on perukę. (3) Eozważmy sąd logiczny: A różni się od B". Jeśli to prawda, to istnieje różnica między A oraz B, co można wyrazić w postaci zdania: The difference between A and B subsists" 29. Jeśli jednak fałszem jest, iż A różni się od B, to nie ma różnicy między A oraz B, co można wyrazić w postaci zdania: The dif- 27 The author" (jedynym) autorem". 28 The author of «Waverley»" (jedyny) autor «Waverleya»". 29 (Ta, o której mowa) różnica między A oraz B istnieje" [ Subsists"; zob. przypis 20, s. 259].

11 Denotowanie 263 ference between A and B does not subsist" 30. Jakże jednak jakiś pie-byt 3 1 może być podmiotem sądu logicznego? Myślę, więc jestem" wcale nie jest bardziej oczywiste niż: Jestem podmiotem sądu logicznego, więc jestem", pod warunkiem że jestem" użyto dla stwierdzenia subzystencji, czyli bycia *, nie zaś egzystencji. Wyglądałoby więc na to, że zaprzeczenie bycia czegokolwiek musi zawsze mieć charakter wewnętrznie sprzeczny- ale widzieliśmy, w związku z Meinongiem, iż uznanie bycia także niekiedy prowadzi do sprzeczności. A zatem jeśb"""arofaz"'b nie różnią się od siebie, to zarówno mniemanie, że istnieje, jak mniemanie, że nie istnieje taki obiekt, jak the difference between A andb", wydają się jednakowo niemożliwe. Stosunek omawianego znaczenia do omawianej denotacji pociąga za sobą dosyć dziwne trudności i już one same starczą chyba za dowód, iż teoria, która do nich prowadzi, musi być błędna. Gdy pragniemy mówić o znaczeniu zwrotu denotującego, w przeciwieństwie do jegi5 denotacji, to naturalnym sposobem jest tu użycie cudzysłowów. 0 onp.mówimy: Środek masy systemu słonecznego to punkt, nie zaś zespół denotujący 32 ; N Środek masy systemu słonecznego" to zespół denotujący, nie zaś punkt. Albo też: Pierwszy wiersz Elegii" Graya jest sądem logicznym. Pierwszy wiersz «Blegii» Graya" nie jest sądem logicznym. Biorąc zatem dowolny zwrot denotujący, powiedzmy C, pragniemy rozważyć relację między C oraz C", gdzie różnica między tymi dwoma elementami ma taki charakter, jak w przytoczonych wyżej dwóch przykładach. * Używam tych słów jako synonimów [zob. przypis 20, s. 259]. 30 (Ta, o której mowa) różnica między A oraz B nie istnieje". 31 A non-entity"v- (jakiś) nie-byt", (jakaś) nicość", coś nie istniejącego", coś, co ńfe jest bytem". 32 A denoting complex".

12 264 Przede wszystkim: powiadamy, że gdy występuje C, to właśnie denotacja jest tym, o czym się mówi; gdy natomiast występuje C", to tym czymś jest znaczenie. Otóż ta relacja znaczenia i denotacji nie jest jedynie językowa w Obrębie owego iwrotu: musi tu wchodzić w grę relacja logiczna, którą wyrażamy mówiąc, że dane znaczenie 4enot^^4arnąr-denotacjęr-ffle trudiro&ć^ która przed nami staje, polega na tym, iż nie udaje nam się zarazem / zachować związku znaczenia i denotacji oraz nie dopuścić do tego, / by były one jednym i tym samym; a także na tym, iż do owego znaczenia nie można dotrzeć inaczej, jak tylko za pośrednictwem, Zwrotów denotujących. Dzieje się to w następujący sposób. /" Jeden i ten sam zwrot C miał mieć zarówno znaczenie, jak ddi notację. Ale jeśli mówimy o znaczeniu owego C" 33, daje to nanjl znaczenie odpowiedniej denotacji (o ile w ogóle jest takowe). Znaczenie pierwszego wiersza «Elegii» Graya" jest takie samo jak: Znaczenie zdania: «Wieczorny dzwon obwieszcza pogrzeb gasnącego dnia 3 4»", a nie jest takie samo jak: Znaczenie zwrotu: «pierwszy wiersz»elegii«graya»". Żeby więc uzyskać znaczenie, o które nam chodzi, musimy mówić nie o znaczeniu owego C", lecz o znaczeniu «C» 3 5, które jest identyczne z samym C". Analogicznie: TJenotMja owego C" 3 6 nie oznacza denotacji, o którą nam chodzi, lecz oznacza coś, co denotuje (o ile w ogóle denotuje), to, co jest denotowane przez denotację, o którą nam chodzi. Mech np. C" będzie to zespół denotujący, który występuje w drugim z powyższych przykładów". Wówczas C = pierwszy wiersz «Elegii» Graya", a denotacja owego C = Wieczorny dzwon obwieszcza pogrzeb gasnącego dnia. Ale tym, co myśmy chcieli mieć jako omawianą denotację, było: Pierwszy wiersz «Elegii» Graya". A zatem nie udało nam się uzyskać tego, czegośmy chcieli. Trudność.ikwiącą-JŁJiio^ęniu o znaczeniu zespołu denotują- 33 The meaning of C" znaczenie Cea". 3 4 The curfew tolls the knell of parting day" (dosłownie) Hasło do gaszenia ogni wydzwania podzwonne odchodzącemu dniu". 35 The meaning of «C»" znaczenie (zwrotu) «C»". 3 6 The denotation of C" - denotacja Cea".

13 Denotowanie 265 cego można tak scharakteryzować. W tym momencie gdy umieszczamy ów zespół -wadzielogicznym, sąd ten zaczyna być sądem o odpowiedniej denotacji; gdy więc budujemy sąd logiczny, którego podmiotem jest znaczenie owego C", to wówczas podmiot ten to znaczenie (o ile w ogóle jest takowe) odpowiedniej denotacji; a to nie było zamierzone. Skłania to nas do powiedzenia, że gdy rozróżniamy znaczenie i denotację, to musimy się zajmować takim oto znaczeniem: znaczenie to ma denotację oraz jest pewnym zespołem, i nie istnieje nic innego, poza owym znaczeniem, co można by-nazwać takim zespołem i o czym można by powiedzieć, że ma zarówno znaczenie, jak denotację. Właściwym sformułowaniem, jeśli idzie o omawiane zapatrywanie, bębędzie, iż pewne znaczenia mają denotację. To jednak sprawia tylko, że nasza trudność, tkwiąca w mówieniu o znaczeniach, staje się bardziej widoczna.tfz^julijtny bowiem, iż C jest naszym zespołem; wówczas powinniśmy powiedzieć, że C jest znaczeniem tego zespołu. Niemniej jednak, ilekroć C występuje bez cudzysłowu, tylekroć to, co się mówi, nie stosuje się do owego znaczenia, lecz tylko do odpowiedniej denotacji, tak jak wtedy, gdy powiadamy: Środek masy systemu słonecznego jest punktem. Ą więc, aby była mowa o samym O, czyli aby powstał sąd logiczny o owym znaczeniu, naszym podmiotem_ni0 może być C. tylko, coś, przez, co 0 jgstjdenoto^aae.- A z&tem 0", które jest tym właśnie^ezego używamy, gdy chcemy mówić o wspomnianym znaczeniu, musi być nie owym znaczeniem, lecz czymś, przez co owo znaczenie jest denotowane. C więc nie może być składnikiem tego zespołu (tak jak jgsttfifft w zwrocie znaczenie owego C" 3 6 a ); bo jeśli C się pojawi w tym zespole, wówczas tym, co wystąpi, będzie jego denotacją, a nie jego znaczenie, nie ma zaś żadnej drogi powrotnej od denotacji do znaczeń, ponieważ każdy obiekt może być denotowany przez nieograniczoną liczbę różnych zwrotów denotujących. Wydawałoby się przeto, że C" oraz C są różnymi bytami, takimi że 0 jest denotowane przez C"; to jednak nie może sta- 36a The meaning of C".

14 266 Bertrand Bussell nowić wytłumaczenia, pcmiawąż relacja C" względem O pozostaje całkowicie tajemnicza; i gdzie mamy natrafić na ów denotujący zespół 0", przez któryttma być denotowanef Poza tym, gdy 0 zjawia się w sądzie logicznym, wówczas tym, co występuje, jest nie tylko odpowiednia denotacja (jak zobaczymy w następnym ustępie); na razie jednak, w świetle rozważanych poglądów, C to tylko denotacja, znaczenie zaś zostaje całkowicie przesunięte do C". Jest to gmatwanina nie do rozwikłania i chyba dowodzi, że całe rozróżnienie znaczenia oraz denotacji zostało źle pomyślane. ;., :> Tego, że znaczenie jest czymś istotnym, gdy w sądzie logicznym pojawia się zwrot denotujący, formalnie dowodzi cytowana łamigłówka na temat autora Waverleya". Sąd logiczny ^Scott był autorem «Waverleya»" 3 6 b - ma własność nie przysługującą sądowi: Scott był Scottem", tę mianowicie, że Jerzy IV pragnął się dowiedzieć, czy to prawda. Te więc dwa sądy logiczne nie są identyczne; a zatem zarówno znaczenie zwrotu the author of «Waverley»", jak jego denotacja muslby^ jeżeli obstajemy przy poglądzie, któremu rozróżnienie to jest właściwe. A jednak, jakeśmy dopiero co widzieli, dopóki trzymamy się tego poglądu, jesteśmy zmuszeni twierdzić, że tylko owa denotacja może być czymś istotnym. Trzeba więc omawiany punkt widzenia odrzucić. Pozostaje pokazać, w jaki sposób wszystkie te rozważane łamigłówki rozwiązuje się przy pomocy teorii, którąśmy wyjaśniali na początku tego artykułu. Zgodnie z poglądem, którego jestem zwolennikiem, zwrot denotujący to w pierwszym rzędzie część zdania, i nie ma on, podobnie jak większość pojedynczych słów, żadnego znaczenia na własny swój rachunek. Jeśli mówię: Scott was a man" 37, to jest to wypowiedź mająca postać: a? was a man" 38 i ma ona słowo Scott" jako swój podmiot. Jeśli natomiast mówię: The author 36ł) Scott was the author of «Waverley»". Scott był (jakimś) człowiekiem", Scott był (pewnym) mężczyzną". x był (jakimś) człowiekiem", a? był (pewnym) mężczyzną".

15 Denotowanie 267 of «\Vaverley» was a man" 39, to nie jest to wypowiedź, mająca postać:,r was a man", i nie ma ona słów: The author of «Waverley>>" jako swego podmiotu. Skracając wypowiedź sformułowaną na początku tego artykułu, możemy zamiast: The author of «Waverley» was a man" powiedzieć, jak następuje: One and only one entity wrote «Waverley», and that one was a man" 40. (Nie jest to tak ściśle to, co się ma na myśli, jak w wypadku pierwszej wypowiedzi; ale łatwiej to zrozumieć). Mówiąc więc ogólnie: przyjmijmy, że pragniemy powiedzieć, iż (jedyny) autor «Waverleya» miał własność <Ź>, a wówczas to, co pragniemy powiedzieć, równoważne jest zdaniu: Jedna i tylko jedna istota napisała «Waverleya» i istota ta miała własność #". Wyjaśnienie denotacji jest teraz następujące. Każdy sąd logiczny, w którym występuje the author of «Waverley»", interpretowany jak wyżej, np. sąd Scott was the author of «Waverley»" (czyli Scott był identyczny z (jedynym) autorem «Waverleya»" 41 ) staje się sądem: One and only one entity wrote «Waverley», and Scott was identical with that one" 4 2 ; albo wracając do postaci w pełni rozwiniętej: It is not always false of x that x wrote «Waverley», that it is always true of y that if y wrote «Waverley» y is identical with x, and that Scott is identical with,r" 43. Jeśli więc C" jest zwrotem denotującym, to może się zdarzyć, że istnieje jeden byt x (nie może tu być więcej niż jeden), w odniesieniu do którego prawdziwy jest sąd logiczny x jest identyczne z C", o ile sąd ten interpretuje się jak wyżej. Możemy przeto powiedzieć, iż ów byt x to denotacją wspomnianego zwrotu C". Scott zatem jest denotacją zwrotu the author 3 9 # (Jedyny) autor «Waverleya» był (jakimś) człowiekiem", (ten oto) autor «Waverleya» był (pewnym) mężczyzną". 40 Jedna i tylko jedna istota napisała «Waverleya» i istota ta była (jakimś/pewnym) człowiekiem/mężczyzną". 41 Scott was identical with the author of «Waverley»". 42 Jedna i tylko jedna istota napisała «Waverleya» i Scott był identyczny z tą istotą". 43 Nie zawsze jest fałszem w odniesieniu do x, że x napisał «Waveiieya», gdy zawsze jest prawdą w odniesieniu do y, że jeśli y napisał «Waverleya», to y jest identyczn3 r z x, oraz że Scott jest identyczny z x".

16 268 Bertrand Bussell of «Waverley»". Owo C" w cudzysłowie będzie po prostu zwrotem, nie zaś czymś, co można by nazwać odpowiednim znaczeniem. Zwrot ten per se nie ma żadnego znaczenia, ponieważ w żadnym sądzie logicznym, zawierającym go, po pełnym rozwinięciu owego sądu zwrotu tego nie będzie, rozpłynie się. Widać teraz, że łamigłówka na temat ciekawości Jerzego IV ma bardzo proste rozwiązanie. Sąd logiczny: Scott was theautfaor of «Waveriey>^L r - który- w poprzednim ustępie został napisany w postaci nieskróconej, wcale nie zawiera składnika the author of «Waverley», na którego miejsce można by podstawić Scott". Wcale to nie koliduje z prawdziwością wniosków wynikających z dokonania tego, co jest pod względem werbalnym podstawieniem Scott" na miejsce the author of «Waverley»", byle tylko the author of «Waverley»" występował w rozważanym sądzie jako zwrot w użyciu pry marnym, czyli podstawo wym. Bóżnica między^prxmaruym~ a sekundarnym, czyli wtórnym, użyciem zwrotów deaotujących jest taka oto: Gdy mówimy: Jerzy TV pragnął się dowiedzieć, czy tak a tak" lub gdy mówimy: To a to jest dziwne", czy: To a to jest prawdą" etc, owo tak a tak" bądź to a to" musi być sądem logicznym. Załóżmy teraz, iż tak a tak" czy to a to" zawiera w sobie zwrot denotujący. Możemy ów zwrot denotujący usunąć albo z obrębu podrzędnego sądu logicznego tak a tak", albo z obrębu całego tego sądu logicznego, w którym tak a tak" jest jedynie składnikiem. W zależności od tego, jak postąpimy, powstaną różne sądy. Słyszałem o pewnym drażliwym właścicielu jachtu, że gdy ktoś z gości, widząc ów jacht po raz pierwszy, zauważył: Myślałem, że twój jacht jest większy niż w rzeczywistości" 44, ten odpowiedział: Me, mój jacht nie jest większy ńiż w rzeczywistości" 45. Gość ów miał na myśli: Wymiary, które jak myślałem ma twój jacht, są większe od tych, które ma on 4 4 I thought your yacht was larger than it is" (dosłownie): Myślałem, że twój jacht jest większy, niż jest. 45 No, my yacht is not larger than it is" (dosłownie): Nie, mój jacht nie jest większy, niż jest".

17 Denotowanie 269 faktycznie"; przypisano zaś jego słowom takie znaczenie: Myślałem, że wymiary twego jachtu są większe od wymiarów twego jachtu". Żeby wrócić do Jerzego IV i Waverleya" gdy mówimy: George IV wished to know whether Scott was the author of «Waverley»" 46, to normalnie mamy na myśli: Jerzy IV pragnął się dowiedzieć, czy jeden i tylko jeden człowiek napisał «\Vaverleya» i czy Scott jest owym człowiekiem" 4 7 ; ale możemy także mieć na myśli: Jeden i tylko jeden człowiek napisał «Waverleya», a Jerzy IV pragnął się dowiedzieć, czy Scott jest owym człowiekiem" 48. Przy tej drugiej interpretacji the author of «Waverley»" ma charakter pry marny, przy pierwszej zaś sekundarny. Tę drugą interpretację można wyrazić przy pomocy zdania Jerzy IV pragnął się dowiedzieć co się tyczy tego człowieka, który faktycznie napisał «Waverleya» czy to Scott" 49. Byłaby to prawda, gdyby np. Jerzy IV zobaczył Scotta z daleka i zapytał: Czy to Scott?" Sekundarne użycie zwrotu denotującego zdefiniować można jako takie, w którym występuje on w sądzie logicznym będącym jedynie składnikiem rozważanego sądu logicznego, przy czym wspomniane zastąpienie zwrotu denotującego winno zostać dokonane w obrębie p, nie zaś w obrębie całego omawianego sądu. Takiej dwuznaczności, jak między użyciem prymarnym a sekundarnym, trudno uniknąć w języku; nie przynosi ona jednak szkody, o ile mamy się przed nią na baczności. W logice formalnej łatwo jej, rzecz jasna, uniknąć. Powyższe rozróżnienie użycia prymarnego i sekundarnego daje nam również możność rozwiązania kwestii, czy (jedyny) obecny król Francji jest łysy, czy też nie, a także w ogóle zagadnienia stanu logicznego zwrotów denotujących, które niczego nie deno- 4 6 Jerzy IV pragnął się dowiedzieć, czy Scott jest (jedynym) autorem «Waverleya»". 47 George IV wished to know whether one and only one man wrote «Waverley» and Scott was that man". 48 One and only one man wrote «Waverley» and George IV wished to know whether Scott was that man". 49 George IV wished to know, concerning the man who in fact wrote «Waverley», whether he was Scott".

18 270 Bertrand Bussell tują. Jeśli C" jest zwrotem denotującym, np. the term having the property F" 50, to wówczas: O ma własność 0" 51 znaczy*: Jeden i tylko jeden termin ma wspomnianą własność F i tenże termin ma ową własność 0 U 52. Jeśli teraz owa własność F nie przysługuje żadnemu terminowi bądź przysługuje kilku terminom, to z tego wynika, że C ma własność < " jest fałszem dla wszelkich wartości zmiennej 0. A zatem: The present King of France is bald" jest na pewno fałszywe; a the present King of France is not bald" jest fałszywe, o ile znaczy: Istnieje (jakaś) istota, która jest teraz królem Francji i nie jest łysa" 53, jest natomiast prawdziwe, o ile znaczy: Fałszem jest, że: istnieje (jakaś) istota, która jest teraz królem Francji i jest łysa" 54. To znaczy: The King of France is not bald" jest fałszem, jeśli the King of France" występuje w użyciu prymarnym, prawdą zaś jeśli w sekundarnym. Wszystkie więc sądy logiczne, w których the King of France" występuje w użyciu prymarnym, są fałszywe; zaprzeczenia takich sądów są prawdziwe, w nich jednak the King of France" występuje w użyciu sekundarnym. Tak oto uniknęliśmy wniosku, że ów król Francji ma perukę. Teraz możemy także zrozumieć, w jaki sposób zaprzeczyć, że istnieje obiekt taki, jak różnica między A oraz B, w wypadku gdy A oraz B się nie różnią. Jeśli A oraz B się różnią, to istnieje jeden i tylko jeden byt x taki, że: # jest ową różnicą między A * Jest to interpretacja skrótowa, nie zaś ściślejsza. 50 (Jedyny) termin mający (tę oto) własność F". 51 C has the property & u. 52 One and only one term has the property F, and that one has the property 0". 53 There is an entity which is no w King of France and is not bald". 54 It is false that there is an entity which is now King of France and is bald".

19 Denotowanie 271 oraz B" to sąd logiczny prawdziwy; jeżeli A oraz B się nie różnią, to taki byt x nie istnieje. Zgodnie zatem z niedawno wyjaśnionym znaczeniem denotacji, the difference between A and B" 55 ma denotację, gdy A oraz B są różne, nie ma zaś w przeciwnym razie. Bóżnica ta stosuje się w ogóle do prawdziwych i fałszywych sądów logicznych. Jeżeli &BZ>" znaczy: va pozostaje w stosunku B względem &", to gdy allb jest prawdą, wówczas istnieje taki byt, jak ów stosunek B między a oraz b; gdy arb jest fałszem, byt taki nie istnieje. Z każdego więc sądu logicznego można zrobić zwrot denotujący, który denotuje jakąś istniejącą rzecz, jeśli ów sąd jest prawdziwy, nie denotuje zaś.żadnego bytu, jeśli ów sąd jest fałszywy. Np. prawdą jest (przynajmniej będziemy tak myśleć), że Ziemia obraca się wokół Słońca, a fałszem jest, że Słońce obraca się wokół Ziemi; a zatem przez obrót Ziemi wokół Słońca" 5 6 jest denotowany jakiś byt, gdy tymczasem obrót Słońca wokół Ziemi" 5 7 nie denotuje żadnego bytu *. Można teraz w należyty sposób zająć się całym królestwem bytów nie istniejących realnie, takich jak: okrągły kwadrat", parzysta liczba pierwsza, różna od 2" 58, Apollo", Hamlet" etc. Wszystko to są zwroty denotujące, które niczego nie denotują. Sąd logiczny o Apollinie znaczy tyle, co sąd otrzymany w wyniku podstawienia tego, co według słownika klasycznego rozumie się przez Apollina, np. bóg słońca" 59. Wszystkie sądy logiczne, w których występuje Apollo, winno się interpretować wedle powyższych reguł, dotyczących zwrotów denotujących. Jeśli Apollo" występuje w użyciu prymarnym, to sąd logiczny, zawierający ten wyraz, jest fałszywy; jeśli zaś mamy użycie sekundarne, to odpowiedni sąd logiczny może być prawdziwy. Podobnie też: * Sądy logiczne, z których wywodzi się takie byty, nie są identyczne ani z tymi bytami, ani też z sądami, iż owym bytom przysługuje subzystencja. 55 (Omawiana) różnica między A oraz B". 56 The revolution of the earth round the sun". 57 The revolution of the sun round the earth". 58 The even prime other than 2" (jedyna) parzysta liczba pierwsza, różna od 2". 59 The sun-god" (jedyny) bóg słoneczny".

20 Bertrand Bussell The round sąuare is round" 6 0 znaczy: Istnieje jeden i tylko jeden byt x, który jest okrągły i kwadratowy, i byt ten jest okrągły" 61, a to sąd logiczny fałszywy, nie zaś jak utrzymuje Meinong prawdziwy. Istota najdoskonalsza odznacza się wszelkimi doskonałościami; egzystencja to doskonałość; zatem Istota najdoskonalsza istnieje" 62 przechodzi w: Jest jeden i tylko jeden byt x, który jest najdoskonalszy; byt ten odznacza się wszelkimi doskonałościami, egzystencja to doskonałość, zatem byt ów istnieje" 63. Jako dowód, nie spełnia to swego zadania na skutek braku uzasadnienia przesłanki: Istnieje jeden i tylko jeden byt x, który jest najdoskonalszy" *. Pan Mac Cali ( Mind", N. S., nr 54 oraz nr 55, s. 40.1) rozróżnia indywidua dwojakiego rodzaju: realne i nierealne; w związku z tym klasę zerową definiuje jako klasę złożoną ze wszystkich indywiduów nierealnych. Tkwi w tym założenie, iż zwroty takie, jak the present King o France", które nie denotują żadnego indywiduum realnego, niemniej jednak denotują jakieś indywiduum, tyle że nierealne.. Jest-to w zasadzie teoria Meinonga; widzieliśmy zaś powód, który każe ją odrzucić, ten mianowicie, iż koliduje ona z prawem sprzeczności. Przy pomocy naszej teorii denotowania potrafimy obronić pogląd, że nie maiadnych indy- * Można przeprowadzić rozumowanie, które by wykazało w sposób niezbity, że istnieją wszystkie elementy klasy istot najdoskonalszych; można też dowieść formalnie, że klasa ta nie może mieć więcej niż jeden element; ale, jeśli przyjąć definicję doskonałości jako posiadanie wszelkich predykatów pozytywnych, można dowieść prawie tak samo formalnie, iż klasa ta nie ma ani jednego elementu. 60 (Jedyny) okrągły kwadrat jest okrągły", (ten oto) okrągły kwadrat jest okrągły". 61 There is one and only one entity x which is round and sąuare, and that entity is round". 62 The most perfect Being has all perfections; existence is a perfection; therefore the most perfect Being exists". 63 There is one and only one entity x which is most perfect; that one has all perfections; existence is a perfection; therefore that one exists".

Rodzaje argumentów za istnieniem Boga

Rodzaje argumentów za istnieniem Boga Rodzaje argumentów za istnieniem Boga Podział argumentów argument ontologiczny - w tym argumencie twierdzi się, że z samego pojęcia bytu doskonałego możemy wywnioskować to, że Bóg musi istnieć. argumenty

Bardziej szczegółowo

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja

Bardziej szczegółowo

5. Rozważania o pojęciu wiedzy. Andrzej Wiśniewski Wstęp do filozofii Materiały do wykładu 2015/2016

5. Rozważania o pojęciu wiedzy. Andrzej Wiśniewski Wstęp do filozofii Materiały do wykładu 2015/2016 5. Rozważania o pojęciu wiedzy Andrzej Wiśniewski Andrzej.Wisniewski@amu.edu.pl Wstęp do filozofii Materiały do wykładu 2015/2016 Wiedza przez znajomość [by acquaintance] i wiedza przez opis Na początek

Bardziej szczegółowo

Filozofia przyrody, Wykład V - Filozofia Arystotelesa

Filozofia przyrody, Wykład V - Filozofia Arystotelesa Filozofia przyrody, Wykład V - Filozofia Arystotelesa 2011-10-01 Tematyka wykładu 1 Arystoteles - filozof systematyczny 2 3 4 Różnice w metodzie uprawiania nauki Krytyka platońskiej teorii idei Podział

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki i teorii mnogości

Elementy logiki i teorii mnogości Elementy logiki i teorii mnogości Zdanie logiczne Zdanie logiczne jest to zdanie oznajmujące, któremu można przypisać określoną wartość logiczną. W logice klasycznej zdania dzielimy na: prawdziwe (przypisujemy

Bardziej szczegółowo

5. OKREŚLANIE WARTOŚCI LOGICZNEJ ZDAŃ ZŁOŻONYCH

5. OKREŚLANIE WARTOŚCI LOGICZNEJ ZDAŃ ZŁOŻONYCH 5. OKREŚLANIE WARTOŚCI LOGICZNEJ ZDAŃ ZŁOŻONYCH Temat, którym mamy się tu zająć, jest nudny i żmudny będziemy się uczyć techniki obliczania wartości logicznej zdań dowolnie złożonych. Po co? możecie zapytać.

Bardziej szczegółowo

NOWE ODKRYCIA W KLASYCZNEJ LOGICE?

NOWE ODKRYCIA W KLASYCZNEJ LOGICE? S ł u p s k i e S t u d i a F i l o z o f i c z n e n r 5 * 2 0 0 5 Jan Przybyłowski, Logika z ogólną metodologią nauk. Podręcznik dla humanistów, Wydawnictwo Uniwersytetu Gdańskiego, Gdańsk 2003 NOWE

Bardziej szczegółowo

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie

Bardziej szczegółowo

Uwagi wprowadzajace do reguł wnioskowania w systemie tabel analitycznych logiki pierwszego rzędu

Uwagi wprowadzajace do reguł wnioskowania w systemie tabel analitycznych logiki pierwszego rzędu Witold Marciszewski: Wykład Logiki, 17 luty 2005, Collegium Civitas, Warszawa Uwagi wprowadzajace do reguł wnioskowania w systemie tabel analitycznych logiki pierwszego rzędu 1. Poniższe wyjaśnienie (akapit

Bardziej szczegółowo

Wstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Zdań II

Wstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Zdań II Wstęp do logiki Klasyczny Rachunek Zdań II DEF. 1 (Słownik). Następujące znaki tworzą słownik języka KRZ: p 1, p 2, p 3, (zmienne zdaniowe) ~,,,, (spójniki) ), ( (nawiasy). DEF. 2 (Wyrażenie). Wyrażeniem

Bardziej szczegółowo

Przykłady zdań w matematyce. Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny (a, b, c oznaczają dane liczby dodatnie),

Przykłady zdań w matematyce. Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny (a, b, c oznaczają dane liczby dodatnie), Elementy logiki 1 Przykłady zdań w matematyce Zdania prawdziwe: 1 3 + 1 6 = 1 2, 3 6, 2 Q, Jeśli x = 1, to x 2 = 1 (x oznacza daną liczbę rzeczywistą), Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości

Bardziej szczegółowo

Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu.

Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu. Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu. 1 Logika Klasyczna obejmuje dwie teorie:

Bardziej szczegółowo

Darmowy artykuł, opublikowany na: www.fluent.com.pl

Darmowy artykuł, opublikowany na: www.fluent.com.pl Copyright for Polish edition by Bartosz Goździeniak Data: 4.06.2013 Tytuł: Pytanie o czynność wykonywaną w czasie teraźniejszym Autor: Bartosz Goździeniak e-mail: bgozdzieniak@gmail.com Darmowy artykuł,

Bardziej szczegółowo

Rachunek zdań i predykatów

Rachunek zdań i predykatów Rachunek zdań i predykatów Agnieszka Nowak 14 czerwca 2008 1 Rachunek zdań Do nauczenia :! 1. ((p q) p) q - reguła odrywania RO 2. reguła modus tollens MT: ((p q) q) p ((p q) q) p (( p q) q) p (( p q)

Bardziej szczegółowo

Przykładami ciągów, które Czytelnik dobrze zna (a jeśli nie, to niniejszym poznaje), jest ciąg arytmetyczny:

Przykładami ciągów, które Czytelnik dobrze zna (a jeśli nie, to niniejszym poznaje), jest ciąg arytmetyczny: Podstawowe definicje Definicja ciągu Ciągiem nazywamy funkcję na zbiorze liczb naturalnych, tzn. przyporządkowanie każdej liczbie naturalnej jakiejś liczby rzeczywistej. (Mówimy wtedy o ciągu o wyrazach

Bardziej szczegółowo

Filozofia, Historia, Wykład V - Filozofia Arystotelesa

Filozofia, Historia, Wykład V - Filozofia Arystotelesa Filozofia, Historia, Wykład V - Filozofia Arystotelesa 2010-10-01 Tematyka wykładu 1 Arystoteles - filozof systematyczny 2 3 4 Podział nauk Arystoteles podzielił wszystkie dyscypliny wiedzy na trzy grupy:

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr. 3 notatki

Zajęcia nr. 3 notatki Zajęcia nr. 3 notatki 22 kwietnia 2005 1 Funkcje liczbowe wprowadzenie Istnieje nieskończenie wiele funkcji w matematyce. W dodaktu nie wszystkie są liczbowe. Rozpatruje się funkcje które pobierają argumenty

Bardziej szczegółowo

Lista 1 (elementy logiki)

Lista 1 (elementy logiki) Podstawy nauczania matematyki 1. Zdanie Lista 1 (elementy logiki) EE I rok W logice zdaniem logicznym nazywamy wyrażenie oznajmujące o którym można powiedzieć że jest prawdziwe lub fałszywe. Zdania z reguły

Bardziej szczegółowo

Filozofia przyrody - Filozofia Eleatów i Demokryta

Filozofia przyrody - Filozofia Eleatów i Demokryta 5 lutego 2012 Plan wykładu 1 Filozofia Parmenidesa z Elei Ontologia Parmenidesa Epistemologiczny aspekt Parmenidejskiej filozofii 2 3 4 Materializm Ontologia Parmenidesa Epistemologiczny aspekt Parmenidejskiej

Bardziej szczegółowo

Logika intuicjonistyczna

Logika intuicjonistyczna Logika intuicjonistyczna Logika klasyczna oparta jest na pojęciu wartości logicznej zdania. Poprawnie zbudowane i jednoznaczne stwierdzenie jest w tej logice klasyfikowane jako prawdziwe lub fałszywe.

Bardziej szczegółowo

Logika. Zadanie 4. Sprawdź, czy poniższe funkcje zdaniowe są tautologiami: i) (p q) = ( p q), ii) (p = q) ( p q). Rozwiązanie.

Logika. Zadanie 4. Sprawdź, czy poniższe funkcje zdaniowe są tautologiami: i) (p q) = ( p q), ii) (p = q) ( p q). Rozwiązanie. Logika Zadanie 4. Sprawdź, czy poniższe funkcje zdaniowe są tautologiami: i) (p q) = ( p q), ii) (p = q) ( p q). Rozwiązanie. i) Wprowadźmy oznaczenie F (p, q) ((p q) = ( p q)). Funkcja zdaniowa F nie

Bardziej szczegółowo

Dalszy ciąg rachunku zdań

Dalszy ciąg rachunku zdań Dalszy ciąg rachunku zdań Wszystkie możliwe funktory jednoargumentowe p f 1 f 2 f 3 f 4 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 Wszystkie możliwe funktory dwuargumentowe p q f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 f 8 f 9 f 10 f 11 f

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK ZDAŃ 7. Dla każdej tautologii w formie implikacji, której poprzednik również jest tautologią, następnik także jest tautologią.

RACHUNEK ZDAŃ 7. Dla każdej tautologii w formie implikacji, której poprzednik również jest tautologią, następnik także jest tautologią. Semantyczne twierdzenie o podstawianiu Jeżeli dana formuła rachunku zdań jest tautologią i wszystkie wystąpienia pewnej zmiennej zdaniowej w tej tautologii zastąpimy pewną ustaloną formułą, to otrzymana

Bardziej szczegółowo

Wstęp do logiki. Pytania i odpowiedzi

Wstęp do logiki. Pytania i odpowiedzi Wstęp do logiki Pytania i odpowiedzi 1 Pojęcie pytania i odpowiedzi DEF. 1. Pytanie to wyrażenie, które wskazuje na pewien brak w wiedzy subiektywnej lub obiektywnej i wskazuje na dążenie do uzupełnienia

Bardziej szczegółowo

Filozofia, ISE, Wykład V - Filozofia Eleatów.

Filozofia, ISE, Wykład V - Filozofia Eleatów. 2011-10-01 Plan wykładu 1 Filozofia Parmenidesa z Elei Ontologia Parmenidesa Epistemologiczny aspekt Parmenidejskiej filozofii 2 3 Ontologia Parmenidesa Epistemologiczny aspekt Parmenidejskiej filozofii

Bardziej szczegółowo

Rozprawka materiały pomocnicze do pisania rozprawki przygotowane przez Katarzynę Buchman. Rozprawka - podstawowe pojęcia

Rozprawka materiały pomocnicze do pisania rozprawki przygotowane przez Katarzynę Buchman. Rozprawka - podstawowe pojęcia Rozprawka materiały pomocnicze do pisania rozprawki przygotowane przez Katarzynę Buchman Rozprawka - podstawowe pojęcia 1. rozprawka - forma wypowiedzi pisemnej, w której piszący prezentuje własne stanowisko

Bardziej szczegółowo

Wybierz cztery z poniższych pięciu zadań. Poprawne rozwiazanie dwóch zadań oznacza zdany egzamin.

Wybierz cztery z poniższych pięciu zadań. Poprawne rozwiazanie dwóch zadań oznacza zdany egzamin. Logika, II rok Etnolingwistyki UAM, 20 VI 2008. Imię i Nazwisko:.............................. GRUPA: I Wybierz cztery z poniższych pięciu zadań. Poprawne rozwiazanie dwóch zadań oznacza zdany egzamin.

Bardziej szczegółowo

Dzięki ćwiczeniom z panią Suzuki w szkole Hagukumi oraz z moją mamą nauczyłem się komunikować za pomocą pisma. Teraz umiem nawet pisać na komputerze.

Dzięki ćwiczeniom z panią Suzuki w szkole Hagukumi oraz z moją mamą nauczyłem się komunikować za pomocą pisma. Teraz umiem nawet pisać na komputerze. Przedmowa Kiedy byłem mały, nawet nie wiedziałem, że jestem dzieckiem specjalnej troski. Jak się o tym dowiedziałem? Ludzie powiedzieli mi, że jestem inny niż wszyscy i że to jest problem. To była prawda.

Bardziej szczegółowo

0.1. Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań.

0.1. Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań. Wykłady z Analizy rzeczywistej i zespolonej w Matematyce stosowanej Wykład ELEMENTY LOGIKI ALGEBRA BOOLE A Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek

Bardziej szczegółowo

Twierdzenia Gödla dowody. Czy arytmetyka jest w stanie dowieść własną niesprzeczność?

Twierdzenia Gödla dowody. Czy arytmetyka jest w stanie dowieść własną niesprzeczność? Semina Nr 3 Scientiarum 2004 Twierdzenia Gödla dowody. Czy arytmetyka jest w stanie dowieść własną niesprzeczność? W tym krótkim opracowaniu chciałbym przedstawić dowody obu twierdzeń Gödla wykorzystujące

Bardziej szczegółowo

RENÉ DESCARTES (KARTEZJUSZ)

RENÉ DESCARTES (KARTEZJUSZ) (1596-1650) mal. Frans Hals (1648) RENÉ DESCARTES (KARTEZJUSZ) NAJWAŻNIEJSZE DZIEŁA Discours de la Méthode (Rozprawa o metodzie) 1637 Meditationes de prima philosophia (Medytacje o filozofii pierwszej)

Bardziej szczegółowo

Ziemia obraca się wokół Księżyca, bo posiadając odpowiednią wiedzę można stwierdzić, czy są prawdziwe, czy fałszywe. Zdaniami nie są wypowiedzi:

Ziemia obraca się wokół Księżyca, bo posiadając odpowiednią wiedzę można stwierdzić, czy są prawdziwe, czy fałszywe. Zdaniami nie są wypowiedzi: 1 Elementy logiki W logice zdaniem nazywamy wypowiedź oznajmującą, która (w ramach danej nauki) jest albo prawdziwa, albo fałszywa. Tak więc zdanie może mieć jedną z dwóch wartości logicznych. Prawdziwość

Bardziej szczegółowo

1 Podstawowe oznaczenia

1 Podstawowe oznaczenia Poniżej mogą Państwo znaleźć skondensowane wiadomości z wykładu. Należy je traktować jako przegląd pojęć, które pojawiły się na wykładzie. Materiały te nie są w pełni tożsame z tym co pojawia się na wykładzie.

Bardziej szczegółowo

JEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 11 czerwca Imię i Nazwisko:... FIGLARNE POZNANIANKI

JEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 11 czerwca Imię i Nazwisko:... FIGLARNE POZNANIANKI JEZYKOZNAWSTWO I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 11 czerwca 2012 Imię i Nazwisko:........................................................... FIGLARNE POZNANIANKI Wybierz

Bardziej szczegółowo

Filozofia analityczna szkoła analityczna a neopozytywizm

Filozofia analityczna szkoła analityczna a neopozytywizm Filozofia analityczna szkoła analityczna a neopozytywizm odmiany f. analitycznej: filozofia języka idealnego filozofia języka potocznego George E. Moore (1873 1958) analiza pojęciowa a filozoficzna synteza

Bardziej szczegółowo

Wykład z równań różnicowych

Wykład z równań różnicowych Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki matematycznej

Elementy logiki matematycznej Elementy logiki matematycznej Przedmiotem logiki matematycznej jest badanie tzw. wyrażeń logicznych oraz metod rozumowania i sposobów dowodzenia używanych w matematyce, a także w innych dziedzinach, w

Bardziej szczegółowo

Indukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Indukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka

Bardziej szczegółowo

Wstęp do logiki. Semiotyka cd.

Wstęp do logiki. Semiotyka cd. Wstęp do logiki Semiotyka cd. Semiotyka: język Ujęcia języka proponowane przez językoznawców i logików różnią się istotnie w wielu punktach. Z punktu widzenia logiki każdy język można scharakteryzować

Bardziej szczegółowo

Drzewa Semantyczne w KRZ

Drzewa Semantyczne w KRZ Drzewa Semantyczne w KRZ Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 7 XII 2006, 13:30 15:00 Jerzy Pogonowski (MEG) Drzewa Semantyczne w KRZ 7 XII 2006, 13:30 15:00

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Próbna matura, grudzień 2014 r. poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Próbna matura, grudzień 2014 r. poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Próbna matura, grudzień 01 r. poziom rozszerzony 1 Próbna matura rozszerzona (jesień 01 r.) Zadanie 18 kilka innych rozwiązań Wojciech Guzicki Zadanie 18. Okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu

Bardziej szczegółowo

Logika formalna wprowadzenie. Ponieważ punkty 10.i 12. nie były omawiane na zajęciach, dlatego można je przeczytać fakultatywnie.

Logika formalna wprowadzenie. Ponieważ punkty 10.i 12. nie były omawiane na zajęciach, dlatego można je przeczytać fakultatywnie. Logika formalna wprowadzenie Ponieważ punkty 10.i 12. nie były omawiane na zajęciach, dlatego można je przeczytać fakultatywnie. 1. Zdanie logicznie prawdziwe (Prawda logiczna) Zdanie, którego analityczność

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Zadanie 41 z Informatora Maturalnego poziom podstawowy 1

W. Guzicki Zadanie 41 z Informatora Maturalnego poziom podstawowy 1 W. Guzicki Zadanie 41 z Informatora Maturalnego poziom podstawowy 1 W tym tekście zobaczymy rozwiązanie zadania 41 z Informatora o egzaminie maturalnym z matematyki od roku szkolnego 014/015 oraz rozwiązania

Bardziej szczegółowo

1. Liczby naturalne, podzielność, silnie, reszty z dzielenia

1. Liczby naturalne, podzielność, silnie, reszty z dzielenia 1. Liczby naturalne, podzielność, silnie, reszty z dzielenia kwadratów i sześcianów przez małe liczby, cechy podzielności przez 2, 4, 8, 5, 25, 125, 3, 9. 26 września 2009 r. Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie

Bardziej szczegółowo

Argument teleologiczny

Argument teleologiczny tekst Argument teleologiczny i piąta droga św. Tomasza z Akwinu Tekst piątej drogi (z celowości): Piąta Droga wywodzi się z faktu kierowania rzeczami. Stwierdzamy bowiem, że pewne rzeczy, które są pozbawione

Bardziej szczegółowo

Czy możemy coś powiedzieć o istocie Boga?

Czy możemy coś powiedzieć o istocie Boga? Przymioty Boga Czy możemy coś powiedzieć o istocie Boga? dowody na istnienie Boga ustaliły, że On jest, ale czy poza wiedzą o Jego istnieniu możemy coś wiedzieć o Jego istocie? Św. Tomasz twierdzi, że

Bardziej szczegółowo

Wykład 6. Reguły inferencyjne systemu aksjomatycznego Klasycznego Rachunku Zdań

Wykład 6. Reguły inferencyjne systemu aksjomatycznego Klasycznego Rachunku Zdań Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 6. Reguły inferencyjne systemu aksjomatycznego Klasycznego Rachunku Zdań System aksjomatyczny logiki Budując logikę

Bardziej szczegółowo

Klasyczny rachunek zdań 1/2

Klasyczny rachunek zdań 1/2 Klasyczny rachunek zdań /2 Elementy logiki i metodologii nauk spotkanie VI Bartosz Gostkowski Poznań, 7 XI 9 Plan wykładu: Zdanie w sensie logicznym Klasyczny rachunek zdań reguły słownikowe reguły składniowe

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej 1 Przedstawione na poprzednich wykładach logiki modalne możemy uznać

Bardziej szczegółowo

Jesper Juul. Zamiast wychowania O sile relacji z dzieckiem

Jesper Juul. Zamiast wychowania O sile relacji z dzieckiem Jesper Juul Zamiast wychowania O sile relacji z dzieckiem Dzieci od najmłodszych lat należy wciągać w proces zastanawiania się nad różnymi decyzjami i zadawania sobie pytań w rodzaju: Czego chcę? Na co

Bardziej szczegółowo

Kultura logiczna Klasyczny rachunek zdań 1/2

Kultura logiczna Klasyczny rachunek zdań 1/2 Kultura logiczna Klasyczny rachunek zdań /2 Bartosz Gostkowski bgostkowski@gmail.com Kraków 22 III 2 Plan wykładu: Zdanie w sensie logicznym Klasyczny rachunek zdań reguły słownikowe reguły składniowe

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ 1 Tezy KRZ Pewien system aksjomatyczny KRZ został przedstawiony

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia

Bardziej szczegółowo

x 2 = a RÓWNANIA KWADRATOWE 1. Wprowadzenie do równań kwadratowych 2. Proste równania kwadratowe Równanie kwadratowe typu:

x 2 = a RÓWNANIA KWADRATOWE 1. Wprowadzenie do równań kwadratowych 2. Proste równania kwadratowe Równanie kwadratowe typu: RÓWNANIA KWADRATOWE 1. Wprowadzenie do równań kwadratowych Przed rozpoczęciem nauki o równaniach kwadratowych, warto dobrze opanować rozwiązywanie zwykłych równań liniowych. W równaniach liniowych niewiadoma

Bardziej szczegółowo

Logika Matematyczna. Zadania Egzaminacyjne, 2007

Logika Matematyczna. Zadania Egzaminacyjne, 2007 Logika Matematyczna Zadania Egzaminacyjne, 2007 I Rok Językoznawstwa i Informacji Naukowej UAM Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl Podajemy rozwiązania zadań egzaminacyjnych.

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Indukcja matematyczna 1 Zasada indukcji Rozpatrzmy najpierw następujący przykład. Przykład 1 Oblicz sumę 1 + + 5 +... + (n 1). Dyskusja. Widzimy że dla n = 1 ostatnim składnikiem powyższej sumy jest n

Bardziej szczegółowo

166 Wstęp do statystyki matematycznej

166 Wstęp do statystyki matematycznej 166 Wstęp do statystyki matematycznej Etap trzeci realizacji procesu analizy danych statystycznych w zasadzie powinien rozwiązać nasz zasadniczy problem związany z identyfikacją cechy populacji generalnej

Bardziej szczegółowo

Programowanie celowe #1

Programowanie celowe #1 Programowanie celowe #1 Problem programowania celowego (PC) jest przykładem problemu programowania matematycznego nieliniowego, który można skutecznie zlinearyzować, tzn. zapisać (i rozwiązać) jako problem

Bardziej szczegółowo

Logika dla socjologów Część 2: Przedmiot logiki

Logika dla socjologów Część 2: Przedmiot logiki Logika dla socjologów Część 2: Przedmiot logiki Rafał Gruszczyński Katedra Logiki Uniwersytet Mikołaja Kopernika 2011/2012 Spis treści 1 Działy logiki 2 Własności semantyczne i syntaktyczne 3 Błędy logiczne

Bardziej szczegółowo

JĘZYK ANGIELSKI POZIOM ROZSZERZONY

JĘZYK ANGIELSKI POZIOM ROZSZERZONY EGZAMIN GIMNAZJALNY W ROKU SZKOLNYM 2013/2014 JĘZYK ANGIELSKI POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SHEMAT PUNKTOWANIA KWIEIEŃ 2014 Rozumienie ze słuchu Wymagania ogólne II. Rozumienie Uczeń rozumie proste,

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji odwrotnej

Pochodna funkcji odwrotnej Pochodna funkcji odwrotnej Niech będzie dana w przedziale funkcja różniczkowalna i różnowartościowa. Wiadomo, że istnieje wówczas funkcja odwrotna (którą oznaczymy tu : ), ciągła w przedziale (lub zależnie

Bardziej szczegółowo

JEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 18 czerwca Imię i Nazwisko:... I

JEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 18 czerwca Imię i Nazwisko:... I JEZYKOZNAWSTWO I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 18 czerwca 2013 Imię i Nazwisko:.................................................................................. I Wybierz

Bardziej szczegółowo

Weronika Łabaj. Geometria Bolyaia-Łobaczewskiego

Weronika Łabaj. Geometria Bolyaia-Łobaczewskiego Weronika Łabaj Geometria Bolyaia-Łobaczewskiego Tematem mojej pracy jest geometria hiperboliczna, od nazwisk jej twórców nazywana też geometrią Bolyaia-Łobaczewskiego. Mimo, że odkryto ją dopiero w XIX

Bardziej szczegółowo

domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów

domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów 1 of 8 2012-03-28 17:45 Logika i teoria mnogości/wykład 5: Para uporządkowana iloczyn kartezjański relacje domykanie relacji relacja równoważności rozkłady zbiorów From Studia Informatyczne < Logika i

Bardziej szczegółowo

(g) (p q) [(p q) p]; (h) p [( p q) ( p q)]; (i) [p ( p q)]; (j) p [( q q) r]; (k) [(p q) (q p)] (p q); (l) [(p q) (r s)] [(p s) (q r)];

(g) (p q) [(p q) p]; (h) p [( p q) ( p q)]; (i) [p ( p q)]; (j) p [( q q) r]; (k) [(p q) (q p)] (p q); (l) [(p q) (r s)] [(p s) (q r)]; Logika 1. Czy następujące sformułowania są zdaniami: (a) Wszystkie koty w Polsce są czarne. (b) Jak to udowodnić? (c) x + y = 7. (d) Jeśli x 2 = y 2, to x = y. (e) Jeśli x = y, to x 2 = y 2. (f) 2 n +

Bardziej szczegółowo

Etyka Tożsamość i definicja. Ks. dr Artur Aleksiejuk

Etyka Tożsamość i definicja. Ks. dr Artur Aleksiejuk Etyka Tożsamość i definicja Ks. dr Artur Aleksiejuk 1. ETYKA A FILOZOFIA PYTANIA PROBLEMOWE: Czy etyka musi być dyscypliną filozoficzną? Czy etyka może być wolna od filozoficznych założeń? Czy i jak dalece

Bardziej szczegółowo

Trzy razy o indukcji

Trzy razy o indukcji Trzy razy o indukcji Antoni Kościelski 18 października 01 1 Co to są liczby naturalne? Indukcja matematyczna wiąże się bardzo z pojęciem liczby naturalnej. W szkole zwykle najpierw uczymy się posługiwać

Bardziej szczegółowo

Konspekt do wykładu z Logiki I

Konspekt do wykładu z Logiki I Andrzej Pietruszczak Konspekt do wykładu z Logiki I (z dnia 24.11.2006) Poprawność rozumowania. Wynikanie Na wykładzie, na którym omawialiśmy przedmiot logiki, powiedzieliśmy, że pojęcie logiki wiąże się

Bardziej szczegółowo

Filozofia, Pedagogika, Wykład III - Filozofia archaiczna

Filozofia, Pedagogika, Wykład III - Filozofia archaiczna Filozofia, Pedagogika, Wykład III - Filozofia archaiczna 2009-09-04 Plan wykładu 1 Jońska filozofia przyrody - wprowadzenie 2 3 Jońska filozofia przyrody - problematyka Centralna problematyka filozofii

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do logiki Zdania, cz. III Język Klasycznego Rachunku Predykatów

Wprowadzenie do logiki Zdania, cz. III Język Klasycznego Rachunku Predykatów Wprowadzenie do logiki Zdania, cz. III Język Klasycznego Rachunku Predykatów Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@amu.edu.pl Plan na pytanie o odniesienie przedmiotowe zdań odpowiedź

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika II. Wykłady 10b i 11. Semantyka relacyjna dla normalnych modalnych rachunków zdań

Andrzej Wiśniewski Logika II. Wykłady 10b i 11. Semantyka relacyjna dla normalnych modalnych rachunków zdań Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykłady 10b i 11. Semantyka relacyjna dla normalnych modalnych rachunków zdań 1 Struktury modelowe Przedstawimy teraz pewien

Bardziej szczegółowo

Matematyka ETId Elementy logiki

Matematyka ETId Elementy logiki Matematyka ETId Izolda Gorgol pokój 131A e-mail: I.Gorgol@pollub.pl tel. 081 5384 563 http://antenor.pol.lublin.pl/users/gorgol Zdania w sensie logicznym DEFINICJA Zdanie w sensie logicznym - zdanie oznajmujace,

Bardziej szczegółowo

Logika pragmatyczna dla inżynierów

Logika pragmatyczna dla inżynierów Logika pragmatyczna Logika pragmatyczna dla inżynierów Kontakt: dr hab. inż. Adam Kasperski pokój 509 B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl materiały + literatura + informacje na stronie www. Zaliczenie: Test pisemny

Bardziej szczegółowo

Zasada indukcji matematycznej

Zasada indukcji matematycznej Zasada indukcji matematycznej Twierdzenie 1 (Zasada indukcji matematycznej). Niech ϕ(n) będzie formą zdaniową zmiennej n N 0. Załóżmy, że istnieje n 0 N 0 takie, że 1. ϕ(n 0 ) jest zdaniem prawdziwym,.

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie logiki matematycznej w procesie weryfikacji wymagań oprogramowania

Zastosowanie logiki matematycznej w procesie weryfikacji wymagań oprogramowania Zastosowanie logiki matematycznej w procesie weryfikacji wymagań oprogramowania Testerzy oprogramowania lub osoby odpowiedzialne za zapewnienie jakości oprogramowania oprócz wykonywania testów mogą zostać

Bardziej szczegółowo

Filozofia, Germanistyka, Wykład IX - Immanuel Kant

Filozofia, Germanistyka, Wykład IX - Immanuel Kant Filozofia, Germanistyka, Wykład IX - Immanuel Kant 2011-10-01 Plan wykładu 1 Immanuel Kant - uwagi biograficzne 2 3 4 5 6 7 Immanuel Kant (1724-1804) Rysunek: Immanuel Kant - niemiecki filozof, całe życie

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DLA CIEKAWSKICH. Twierdzenie Pitagorasa inaczej cz. 2

MATEMATYKA DLA CIEKAWSKICH. Twierdzenie Pitagorasa inaczej cz. 2 Renata Nowak MATEMATYKA DLA CIEKAWSKICH Twierdzenie Pitagorasa inaczej cz. 2 Wróćmy do twierdzenia Pitagorasa, które dobrze znamy. Mówi ono o związkach między bokami w trójkącie prostokątnym. Może w jego

Bardziej szczegółowo

Wstęp do logiki. Kto jasno i konsekwentnie myśli, ściśle i z ładem się wyraża,

Wstęp do logiki. Kto jasno i konsekwentnie myśli, ściśle i z ładem się wyraża, Prof. UAM, dr hab. Zbigniew Tworak Zakład Logiki i Metodologii Nauk Instytut Filozofii Wstęp do logiki Kto jasno i konsekwentnie myśli, ściśle i z ładem się wyraża, kto poprawnie wnioskuje i uzasadnia

Bardziej szczegółowo

Liczby losowe i pętla while w języku Python

Liczby losowe i pętla while w języku Python Liczby losowe i pętla while w języku Python Mateusz Miotk 17 stycznia 2017 Instytut Informatyki UG 1 Generowanie liczb losowych Na ogół programy są spójne i prowadzą do przewidywanych wyników. Czasem jednak

Bardziej szczegółowo

Kryteria oceniania z języka angielskiego, obejmujące zakres umiejętności ucznia na poszczególne oceny:

Kryteria oceniania z języka angielskiego, obejmujące zakres umiejętności ucznia na poszczególne oceny: Kryteria oceniania z języka angielskiego, obejmujące zakres umiejętności ucznia na poszczególne oceny: W każdym semestrze uczeń uzyskuje oceny cząstkowe za poszczególne umiejętności. Ocenianie ucznia przyjmuje

Bardziej szczegółowo

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a); Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania z teorii liczb

Przykładowe zadania z teorii liczb Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę

Bardziej szczegółowo

1 Nierówność Minkowskiego i Hoeldera

1 Nierówność Minkowskiego i Hoeldera 1 Nierówność Minkowskiego i Hoeldera Na państwa użytek załączam precyzyjne sformułowania i dowody nierówności Hoeldera i Minkowskiego: Twierdzenie 1.1 Nierówność Hoeldera). Niech p, q będą takimi liczbami

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki. Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń

Elementy logiki. Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń Elementy logiki Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń 1 Klasyczny Rachunek Zdań 1.1 Spójniki logiczne Zdaniem w sensie logicznym nazywamy wyrażenie, które jest

Bardziej szczegółowo

Filozofia, Germanistyka, Wykład VIII - Kartezjusz

Filozofia, Germanistyka, Wykład VIII - Kartezjusz 2013-10-01 Plan wykładu 1 Krytyka nauk w Rozprawie o metodzie 2 Idea uniwersalnej metody Prawidła metody 3 4 5 6 Krytyka Kartezjusza Podstawą wiedzy jest doświadczenie Krytyka nauk Kartezjusz - krytyka

Bardziej szczegółowo

23. PODSTAWY SYMBOLIZACJI W LOGICE RELACJI

23. PODSTAWY SYMBOLIZACJI W LOGICE RELACJI 23. PODSTAWY SYMBOLIZACJI W LOGICE RELACJI Logika relacji jest pewnym poszerzeniem logiki predykatów. Również w logice relacji musimy opanować pewne podstawowe chwyty, które pozwolą nam dokonywać symbolizacji.

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ 1 Inferencyjna równoważność formuł Definicja 9.1. Formuła A jest

Bardziej szczegółowo

INFORMATYKA a FILOZOFIA

INFORMATYKA a FILOZOFIA INFORMATYKA a FILOZOFIA (Pytania i odpowiedzi) Pytanie 1: Czy potrafisz wymienić pięciu filozofów, którzy zajmowali się także matematyką, logiką lub informatyką? Ewentualnie na odwrót: Matematyków, logików

Bardziej szczegółowo

Porównywanie populacji

Porównywanie populacji 3 Porównywanie populacji 2 Porównywanie populacji Tendencja centralna Jednostki (w grupie) według pewnej zmiennej porównuje się w ten sposób, że dokonuje się komparacji ich wartości, osiągniętych w tej

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia do rozdziału 2, zestaw A: z książki Alfreda Tarskiego Wprowadzenie do logiki

Ćwiczenia do rozdziału 2, zestaw A: z książki Alfreda Tarskiego Wprowadzenie do logiki 0 1 Ćwiczenia do rozdziału 2, zestaw A: z książki Alfreda Tarskiego Wprowadzenie do logiki 2. W następujących dwóch prawach wyróżnić wyrażenia specyficznie matematyczne i wyrażenia z zakresu logiki (do

Bardziej szczegółowo

Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Systemy aksjomatyczne I

Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Systemy aksjomatyczne I Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Systemy aksjomatyczne I Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@.edu.pl OSTRZEŻENIE Niniejszy plik nie zawiera wykładu z Metod dowodzenia...

Bardziej szczegółowo

Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą

Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą Andrzej Nowicki Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet M. Kopernika w Toruniu anow @ mat.uni.torun.pl 4 sierpnia 00 Jeśli r jest liczbą rzeczywistą, to

Bardziej szczegółowo

http://www-users.mat.umk.pl/~pjedrzej/wstep.html 1 Opis przedmiotu Celem przedmiotu jest wykształcenie u studentów podstaw języka matematycznego, wypracowanie podstawowych umiejętności przeprowadzania

Bardziej szczegółowo

Opis wymaganych umiejętności na poszczególnych poziomach egzaminów DELF & DALF

Opis wymaganych umiejętności na poszczególnych poziomach egzaminów DELF & DALF Opis wymaganych umiejętności na poszczególnych poziomach egzaminów DELF & DALF Poziom Rozumienie ze słuchu Rozumienie tekstu pisanego Wypowiedź pisemna Wypowiedź ustna A1 Rozumiem proste słowa i potoczne

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr. 6: Równania i układy równań liniowych

Zajęcia nr. 6: Równania i układy równań liniowych Zajęcia nr. 6: Równania i układy równań liniowych 13 maja 2005 1 Podstawowe pojęcia. Definicja 1.1 (równanie liniowe). Równaniem liniowym będziemy nazwyać równanie postaci: ax = b, gdzie x oznacza niewiadomą,

Bardziej szczegółowo

Jak zawsze wyjdziemy od terminologii. While oznacza dopóki, podczas gdy. Pętla while jest

Jak zawsze wyjdziemy od terminologii. While oznacza dopóki, podczas gdy. Pętla while jest Pętle Pętla to pewien fragment kodu, który jest wykonywany wielokrotnie. Wyobraź sobie taką sytuację. Piszesz program do szyfrowania danych. Dane są szyfrowane kolejno bajt po bajcie. Załóżmy, że plik

Bardziej szczegółowo

znajdowały się różne instrukcje) to tak naprawdę definicja funkcji main.

znajdowały się różne instrukcje) to tak naprawdę definicja funkcji main. Część XVI C++ Funkcje Jeśli nasz program rozrósł się już do kilkudziesięciu linijek, warto pomyśleć o jego podziale na mniejsze części. Poznajmy więc funkcje. Szybko się przekonamy, że funkcja to bardzo

Bardziej szczegółowo

Logika I. Wykład 1. Wprowadzenie do rachunku zbiorów

Logika I. Wykład 1. Wprowadzenie do rachunku zbiorów Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 1. Wprowadzenie do rachunku zbiorów 1 Podstawowe pojęcia rachunku zbiorów Uwaga 1.1. W teorii mnogości mówimy o zbiorach

Bardziej szczegółowo

JĘZYK ANGIELSKI POZIOM ROZSZERZONY (A1)

JĘZYK ANGIELSKI POZIOM ROZSZERZONY (A1) EGZAMIN GIMNAZJALNY W ROKU SZKOLNYM 2012/2013 JĘZYK ANGIELSKI POZIOM ROZSZERZONY (A1) ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMAT PUNKTOWANIA KWIECIEŃ 2013 Rozumienie ze słuchu Wymagania ogólne II. Rozumienie Uczeń rozumie

Bardziej szczegółowo