Analiza i symulacja układów dynamiki na przykładzie obiektów cieplnych, hydraulicznych, elektrycznych i mechanicznych. I.

Transkrypt

1 Aliz i symlj łdów dymii przyłdzie oieów ieplyh hydrlizyh eleryzyh i mehizyh I. Wprowdzeie Przedmioem opisywyh dń jes memyzy opis łd fizyzego (p. eleryzego mehizego hydrlizego ieplego óry ędzie moż wyorzysć do lizy i symlji ego łd. W szzególośi omwie zgdiei mją zsosowie do di włsośi dymizyh oieów (proesów ehologizyh i łdów serowi (omyi dl yh oieów. Podswą dl rozwżń jes poiższe róie wprowdzeie (powór podswowyh pojęć i zgdień z memyi fizyi i wyrego progrm symlyjego.. Podswowe pojęi i rzędzi memyze (powór z memyi Opis i die dymii oieów wymg pewyh podswowyh miejęośi z różyh dziłów memyi elemerej i lizy memyzej. Rozdził I. jes swoisym zeswem słów lzowyh do zweryfiowi i zpełiei wiedzy oiezej do prowdzei dń liyzyh oieów... Model oie (łd Formy modeli Model oie opisje zhowie wyrego łd (fizyzego hemizego iologizego eoomizego z pomoą zmieyh óre reprezeją pewe włsośi łd. Zmiee e moż podzielić : - zmiee wejśiowe (wymszei óryh wrość ie zleży od ego się dzieje w łdzie (są wymsze z zewąrz - zmiee wyjśiowe (rozwiązi óryh wrość jes rezlem dziłi łd. Słe włsośi łdów zywe są prmermi. Model opisjąy dymię łd pozwl wyzzyć reję ( ( łd zmiee wymszei zyli opisć przeieg i ( m m ( ( rozwiązi w zsie ( przy zdym przeieg ( (Rys. I-. Rys. I-. Model łd Kosrj model przeprowdz podswie opis proesów zhodząyh oieie zyw się modelowiem. Wyiiem ego proes jes model liyzy (wyrżeie memyze. Fj memyz opisją zhowie łd może wysępowć w posi jwej i (f( m l wiłej F( m. Jwą posć fji zysje się drodze przeszłeń liyzyh jeśli ze są wrośi prmerów fji o ej podswie moż rysowć sępie różego yp wyresy przyłd przeieg wrośi zmieej w zsie. Progrmy symlyje pozwlją olizyć (rysowć wyres rówież podswie posi wiłej. Wyresy powsją rówież podswie esperymeów rzezywisyh oieh. Odworzeie model podswie wyres zywmy ideyfiją. Modele ideyfiowe są zzwyzj przyliżeiem. Podzs osrji i lizy modeli łdów sosowe są sępjąe rzędzi memyze: fje lgerize p. wielomiy fje wymiere i iewymiere fje przesępe (wyłdize logrymize rygoomeryze i ylomeryze rhe różizowy i łowy (p. rówi różizowe rhe operorowy (p. przeszłeie Lple i Forier szeregi fyje (p. Forier Tylor Lre. Typowe zdie z dziedziy di dymii łdów poleg wyzzei rozwiązi (o zzy fji opisjąyh przeieg zmieyh wyjśiowyh oie podswie zej (zdej fji opisjąej sy/zmiy zmieyh wejśiowyh i model w posi łd rówń lgerizyh i/l różizowyh (zęso w posi wiłej zyli zgdiei z zres rh różizowego i operorowego. Wzór óry jes rozwiąziem ego zdi po pierwsze m złożoą posć po drgie może yć rdzo rdy l wręz iemożliwy do wyzzei. Tymzsem w prye iżyiersiej zzwyzj wzór ie jes porzey o wysrzy zjomość hrerysyzyh eh rozwiązi óre moż oreślić w prosszy sposó sosją przeszłei i włsośi fji ze przyłd z lgery zy rygoomerii (Rys. I-. por. hps://pl.wiipedi.org/wii/modelowie_memyze - 6 -! RĘKOPIS PWr

2 Aliz i symlj łdów dymii przyłdzie oieów ieplyh hydrlizyh eleryzyh i mehizyh model: ( wejśi: ( (zdy prolem wyzzeie rozwiązi przeszłei wyjśi: ( zdie/zdi róworzęde die przeieg zmieośi fji ehy rozwiązi meody lizy zsdy wiosowi Rys. I-. Aliz włsośi dymizyh oie Nomis ypowym przyłdem zsosowi szeregów fyjyh jes szereg Tylor wyorzysywy do lieryzowi fji ieliiowyh zy szereg Forier sosowy w lizie zęsoliwośiowej łdów. Jedym z pierwszyh elemeów lizy włsośi jes pros lsyfij yp rówń (fji ór pozwl oreślić od rz ieóre ehy oie i wyrć meodę dlszyh dń. Podswow lsyfij doyzy liiowośi fji owiem zdeydow więszość meod liyzyh doyzy modeli liiowyh. Włsośi syze i dymize Model syzy o jprosszy opis włsośi oie w posi zleżośi pomiędzy zmieymi wejśiowymi i wyjśiowymi łd w wrh rówowgi zyli gdy przez odpowiedio dłgi ores zs ie yło zmi i wejśi i wyjśi. Grfiz reprezej włsośi syzyh hrerysy syz (Rys. I- pozwl odzyć wrośi wyjść podswie wrośi wejść p. ( p (. W jprosszyh przypdh są o fje liiowe (p.: A le w ( ( p rzezywisyh wrh zleżośi liiowe pryzie ie p wysępją. Są jed sosowe jo przyliżeie opis Rys. I-. Chrerysy syz rzezywisyh oieów. Model dymii łd opisje sposó reji łd zmię sygł wejśiowego. W dih sosje się rdzo prose sygły wejśiowe przyłd wymszeie soowe (Rys. I-4. Włsośi dymize oie sprwiją że jego rej ie jes yhmisow zsem może mieć hrer osylyjy o jwżiejsze ie zwsze ońzy się dojśiem do s rówowgi (r silośi sąd wyi oiezość di dymii oieów. Njprosszą reprezeją grfizą opis dymii są hrerysyi zsowe przedswijąe reje oie oreśloe wymszeie przyłd odpowiedzi soową zmię wymszei (Rys. I-5. p Rys. I-4. Wymszeie soowe ( ( p ( ( p Rys. I-5. Reje łd silego i iesilego wymszeie soowe Chrerysyi syze i zsowe (dymize oie moż wyzzyć przez przeprowdzeie esperyme rzezywisym oieie l podswie model memyzego. Podswową liyzą formą model dymii jes rówie różizowe (jzęśiej zwyzje gdzie zmieą iezleżą jes zs. Fj ór jes rozwiąziem ego rówi dl oreśloego wymszei i oreśloyh wrów poząowyh odpowid hrerysye zsowej oie. Model syzy powsje przez proszzeie model dymii o zzy po wyzerowi wszysih fji pohodyh. Powsje pyie sąd wziąć i model dl rzezywisego oie zyli j sosrowć model i zideyfiowć wrośi prmerów? J pryzie zrelizowć esperyme mjąy el wyzzeie hrerysy syzyh i dymizyh dl pomieszzei ogrzewego grzejiiem eleryzym o reglowej moy? Zmieą wyjśiową jes emperr wewąrz pomieszzei. i Prz: szereg (poęgowy Tylor (szereg Mlri szereg (rygoomeryzy Forier - 7 -! RĘKOPIS PWr

3 Aliz i symlj łdów dymii przyłdzie oieów ieplyh hydrlizyh eleryzyh i mehizyh.. Rówi i wyre operje lgerize Wielomiy rzezywise Szzególą rolę w lizie dymii oieów pełią wyrżei lgerize w posi wielomiów o rzezywisyh współzyih. Klzowe zzeie w dih mją pierwisi wielomi (miejs zerowyh zyli rozwiązi rówi: (I- Pierwisi wielomi mogą yć lizmi rzezywisymi (λ l sprzężoymi prmi liz zespoloyh (α ± jω. Wielomi rzezywisy -ego sopi m pierwisów przy zym mogą o yć pierwisi wieloroe. Wielomi rzezywisy moż rozłożyć ilozy wielomiów rzezywisyh sopi o jwyżej drgiego: ( λ ( λ ( (I- gdzie zyii pierwszego sopi są związe z pierwismi rzezywisymi λ i zyii drgiego sopi z prmi pierwisów zespoloyh. Moż że powiedzieć że wielomi rzezywisy moż przedswić w posi ilozy wielomiów liiowyh: λ λ λ (I- ( ( ( przy zym pierwisi λ i mogą yć rzezywise i/l zespoloe. Dosępe są róże meody rozwiązywi rówń wielomiowyh. Pierwisi wielomiów sopi od do 4 moż wyzzyć liyzie z pomoą ogólyh wzorów pierwisi (p. Zł. C.. Powyżej sopi 4 wzory pierwisi ie isieją oieze są ie meody l przyliżoe meryze wyzzie pierwisów N podswie rówowżośi posi ogólej (I- i ilozyowej (I-: ( λ( λ ( λ (I-4 sprwdzić poprwość wyzzoyh pierwisów λ λ. Zleżość (I-4 pozwl rówież wyprowdzić ogóle wzory Viée : λ λ λ / λλ λλ λλ λλ λλ / (I-5 M λλ λ ( / Wzory (I-5 moż wyorzysć jo rzędzie pomoize przy wyzzi pierwisów podoie j wzory sróoego możei. Jeśli współzyii wielomi mją posć lizową o pierwisi moż wyzzyć meodmi meryzymi (sosowe w progrmh symlyjyh. Poz różymi meodmi wyzzi wrośi pierwisów Im(λ sosowe są rówież zwe ryeri położei pierwisów Re(λ płszzyźie zespoloej (Rys. I-6. Kryeri (p. Hrwiz Roh pozwlją podswie prosyh operji współzyih wielomi swierdzić zy wszysie pierwisi leżą w lewej półpłszzyźie. Rys. I-6. Płszzyz zespolo Wedłg ryerim Roh wszysie pierwisi rówi λ λ leżą w lewej półpłszzyźie jeśli wszysie współzyii wielomi są róże od zer i mją jedowy z wszysie współzyii pierwszej olmy liy Roh są dodie: zespolo pr pierwisów α ± jω odpowid wielomiowi rzezywisem drgiego sopi o jemym wyróżi óry moż rozłożyć ilozy wielomiów pierwszego sopi o zespoloyh współzyih ( ( α jω ( ( α jω Prz: oiz posć wielomi sopi (widć współrzęde wierzhoł proli zy porzee? dzieleie wielomiów meody meryze. zy porzee? Prz: meody meryze - 8 -! RĘKOPIS PWr

4 Aliz i symlj łdów dymii przyłdzie oieów ieplyh hydrlizyh eleryzyh i mehizyh! RĘKOPIS PWr d d d ; d (I-6 Jeśli wri ryerim ie są spełioe o moż wyzzyć ilość pierwisów w prwej półpłszzyźie jes o rów lizie zmi z w pierwszej liy Roh. Ułdy rówń Peły opis dymii łd zęso oejmje il rówń óre pozwlją wyzzyć il iezleżyh zmieyh wyjśiowyh. Ułd rówń może yć ozzoy (sońzo ilość rozwiązń w łdh liiowyh jedo rozwiązie l ieozzoy (iesońzo ilość rozwiązń le ie powiie yć sprzezy (r rozwiązń. Modele w posi łd rówń liiowyh mogą yć zpisywe przy pomoy weorów i mierzy i lizowe meodmi z zres lgery liiowej. Sformłowie prolem w posi mierzowej jes szzególie preferowe podzs sosowi meod symlyjyh (. Podswą meod są operje lgerize mierzh orz olizie wyzzi i wrośi włsyh mierzy. Aliz włsośi modeli wielowymirowyh wymg zęso rozwiązywi łdów rówń liiowyh yp: (I-7 o moż przedswić w zpisie mierzowym: A (I-8 l weorowym: (I-9 gdzie weory/mierze współzyiów i zmieyh mją posć:. A i i i i Meody rozwiązywi są róże przyłd przez operje mierzh: A - (I- l: de( de( i i i (I- Jeśli rozwiązie jes wyzze liyzie o zsem jprosszą meodą rozwiązi jes meod podswii i elimiowi olejyh zmieyh przyłd gdy ilość rówń jes iewiel ( współzyii rówń są prmermi łd (symole l wyrżei. Przyłd i Prz: łdy rówń liiowyh włsośi mierzy

5 Aliz i symlj łdów dymii przyłdzie oieów ieplyh hydrlizyh eleryzyh i mehizyh.. Zmiee zespoloe i fje rygoomeryze Lizę zespoloą j sowi porządow pr Im [j] liz rzezywisyh ( zpisyw z żyiem jedosi zj rojoej j. Dwie podswowe posie liz zespoloyh r oiz i rygoomeryz wyiją wpros z ierpreji geomeryzej lizy płszzyźie φ Re zespoloej (Rys. I-7. Są o posi rówowże óre moż sosowć zmieie: Rys. I-7. Płszzyz zespolo posć rezjńs (oiz posć rygoomeryz posć wyłdiz (zęść rzezywis i rojo (modł r i rgme φ z j z r( osϕ j siϕ jϕ z re r osϕ r siϕ r ϕ r g Korzysją z yh posi i ierpreji geomeryzej łwo jes zilsrowć podswowe dziłi lizh zespoloyh: z z ( j ( j ( j( z z j j j ( ( ( ( jϕ ( [ os( ( ] jϕ j ϕ ϕ r e r r e r r ϕ ϕ j ϕ ϕ jϕ / / / [ os ] jϕ j ϕ ϕ r e r e r r e r r ϕ ϕ j ϕ ϕ z r e si / z z ( ( ( ( ( z si W e sposó moż rówież wpros zsdić związi pomiędzy fjmi wyłdizymi i rygoomeryzymi zyli wzory Eler w posi: jϕ e osϕ j siϕ (I- l w posi: e jϕ osϕ osϕ j siϕ jϕ jϕ ( e e / jϕ jϕ ( e e /( j siϕ Wzory Eler mogą yć podswą do dowodiei różyh relji dl fji rygoomeryzyh ih j (p. Zł. A.: si( α ± β siα osβ ± osα siβ (I-4 os( α ± β osα osβ m siα siβ Wzory (I- (I-4 pozwlją dowodić zleżośi óre ędą się pojwić w rozwiązih rówń różizowyh ( : j j A e Ae e ( B os jb si (I-5 orz B os jb si Aos( ϕ Asi( ϕ (I-6 gdzie: B A A B A A orz A B B ϕ r g( B / B ϕ rg( B / B. Rówość (I-5 jes wyiiem sępjąyh przeszłeń: j j j j j j A e Ae Ae e Ae e e ( Ae Ae (I-7 gdzie po podswiei wzorów Eler (I-: e [ A( os j si A( os j si ] e [( A A os j( A A si ] (I-8 orzymjemy rówość odpowidjąą zleżośi (I-5: A j j A e e ( B os jb si gdzie: B A A B A A (I-9 e W dowodzie rówośi (I-6 wyorzysje się przedswieie wyrżeń B jb i B jb orz j w posi wyłdizej: jϕ B jb Ae gdzie jϕ jϕ A B B orz ϕ rg( B /B. Sąd B A( e e / Aosϕ jϕ jϕ jϕ B jb Ae B A( e e /( j Asiϕ Po podswiei i wyorzysi zleżośi (I-4 orzymjemy ( * : B os jb si Aosϕ os Asiϕ si Aos( ϕ Aos( ϕ (I- o odpowid zleżośi (I-6 B os jb si A os( ϕ (I- (I- - -! RĘKOPIS PWr

6 Aliz i symlj łdów dymii przyłdzie oieów ieplyh hydrlizyh eleryzyh i mehizyh Sosją wzory redyje (p. Zł. A. orzymjemy rówowże eż posi: o Aos( ϕ Asi(9 ϕ Asi( ϕ (I- gdzie o ϕ 9 ϕ soro ϕ rg( B / B o o B / B g( ϕ g(9 ϕ g( ϕ wię ϕ rg( B / B (gdy B /B > o ϕ r g( B / B gdy B /B < o ϕ r g( B / B π lo o o o A os( ϕ Asi(9 ( ϕ Asi( ( ϕ 9 Asi( ϕ 9 Asi( ϕ (I- gdzie o o o o ϕ 9 ϕ soro ϕ rg( B / B o B / B g( ϕ g( ϕ 9 g( (9 ϕ g(9 ϕ g( ϕ wię ϕ rg(-b / B r g( B / B Spr.: ϕ ϕ 8 A si( ϕ Asi( 8ϕ Asi( ϕ.4. Liiowe rówi różizowe zwyzje (LISTA.4.. Klsyfij rówń różizowyh W dih dymii oieów (proesów ehologizyh podswowe zzeie mją rówi różizowe zwyzje gdzie zmieą iezleżą jes zs (.. R.ząsowe liiowe ieliiowe sjore iesjore Rozwżmy liiowe rówie różizowe posi: ( ( ( m & m & (I-4 gdzie wszysie i i i są słe wymszeie ( rozwiązie (. Rząd rówi i łd rówń..4.. Ogóly lgorym liyzego rozwiązywi liiowego rówi różizowego Rozwżmy liiowe rówie różizowe posi: ( ( ( m & ( m & ( (I-5 gdzie wszysie i i i są słe wymszeie ( rozwiązie (. Rozwiązie rówi zyli fj ( słd się rozwiązi swoodego s ( i rozwiązi wymszoego w (: s w( (I-6 Algorym rozwiązywi opier się zsdzie sperpozyji i słd się z zereh epów. I. Wyzzeie rozwiązi swoodego (słdowej swoodej s ( ( Uslić posć rówi jedorodego: ( ( s s & s( s (I-7 ( Złożyć że rozwiąziem jes fj espoejl o dwóh prmerh A i λ: λ s Ae (I-8 ( Podswić złożoe rozwiązie do rówi jedorodego: λ λ λ λ λ Ae λ Ae λae Ae (I-9 (4 Podzielić rówie przez Ae λ o prowdzi do rówi hrerysyzego (wielomi hrerysyzego: λ λ λ (I- (5 Rozwiązć lgerize rówie hrerysyze - wyzzyć pierwisów λ λ. (6 Pierwisi mogą yć rzezywise i zespoloe jedo- i wieloroe. Sąd wyi posć s (: ( Jeśli wszysie pierwisi rówi λ λ są rzezywise i róże o λ λ A e A e (I- s ( Jeśli óryś z pierwisów jes wieloroy p. -y pierwise λ jes m-roy (λ λ λ m- o s ( zwier m słdiów posi: m λ (I- ( A A A A e m ( Jeśli pierwisi są zespoloe (pr liz sprzężoyh p. λ αjω orz λ α-jω o s ( zwier słdii óre moż zpisć rzy rówowże sposoy (I-5 (I-6: ( α jω ( α jω α jω jω Ae A e e Ae A e (I- ( ( α e B osω jb siω B A A. ( ( gdzie: B A A (I-4 - -! RĘKOPIS PWr

7 Aliz i symlj łdów dymii przyłdzie oieów ieplyh hydrlizyh eleryzyh i mehizyh α α ( Ae os( ωϕ Ae si( ω ϕ gdzie: A B B ϕ rg( ϕ rg( B B / B / B II. Wyzzeie rozwiązi wymszoego (słdowej wymszoej w ( Dl dowolej (różizowlej fji f( ór jes podw jo wymszeie (: ( Wypisć fję wymszjąą f( i jej oleje pohode (różego yp: f f& & f (I-6 Wyrżei óre wysępją że w słdowej swoodej s ( leży pomożyć przez gdzie jes jmiejszym wyłdiiem óry zpewi że wyrżei ędą się różić od słdiów słdowej swoodej. ( Złożyć że rozwiązie wymszoe w ( jes smą yh słdiów posi : C f C f& w.. (I-7 ( Podswić wymszeie f( i złożoe rozwiązie w ( do rówi różizowego (I-6: ( ( ( m w w & w( w( m f f& f (I-8 (4 Porówć współzyii przy ih smyh fjh po o sroh rówi. (5 Rozwiązć orzymy łd rówń względem słyh C C Z osrji w ( wyi że jeśli fj wymszją f( jes ogrizo o słdow wymszo w ( eż jes ogrizo. W prye iżyiersiej sosje się zwyle wymszeie słe soowe implsowe i sisoidle. W przypd słego wymszei ( mmy dl >: ( & & ( w C & w & w( ( C (4 C (5 C w Rozwiązie o moż orzymć sróy jo rozwiązie rówi syzego: Przy słym wymszei wejśi ( rozwiązie wymszoe w ( eż jes słe: w( (I-5 (I-9 Rozwiązie (I-4 jes pem rówowgi ( łd przy słym wymszei (. III. Ogóle rozwiązie rówi różizowego (ł ogól zyli sm rozwiązi swoodego (z prmermi A i i wymszoego: λ A e λ A e ( (I-4 w W rozwiązi wysępją ieze prmery A A óre moż wyzzyć dopiero przy oreyh wrh poząowyh. IV. Rozwiązie szzególe (ł szzegól wymg wyzzei wrośi prmerów A i podswie wrośi wrów poząowyh zyli dowolyh spośród wrośi: ( ( ( & (. ( (I-4 N podswie wrów poząowyh orz wrośi fji wymszjąej f( i jej pohodyh wysępjąyh w rozwiązi ( powsje łd rówń do wyzzei prmerów A A. (I-4 - -! RĘKOPIS PWr

8 Aliz i symlj łdów dymii przyłdzie oieów ieplyh hydrlizyh eleryzyh i mehizyh.4.. Włsośi rozwiązi i ierprej fizyz Rówi różizowe sosowe w prye iżyiersiej do opis dymii łdów fizyzyh (oieów/proesów ehologizyh wyiją z podswowyh prw fizyi. Mogą o yć rówi zrówo liiowe j i ieliiowe (p.. W przypd rówń ieliiowyh sosje się róże meody prszzi opis (p. dodowe złożei lieryzj y orzymć rówi (modele liiowe o pozwl wyorzysywć róże rzędzi (meody liyze wyijąe z możliwośi rozwiązywi rówń liiowyh. Fj ( ór jes rozwiąziem rówi różizowego opisje reję łd (oie oreśloe wymszeie (sygł podwe wejśie łd (. Rozwiązie szzególe opisje ą reję w wrh gdy wymszeie zosło pode łd (oie óry zjdowł się w oreyh wrh poząowyh. Wri poząowe są iejo podsmowiem łej przeszłośi łd do hwili zmy wymszeie i s łd (wri poząowe w hwili i ie wże jie yło wześiej wymszeie i o się dziło w łdzie. W rozwiązi ( wyróżi się dwie słdowe: - słdow swood s ( ór ie zleży od wymszei (sygł wejśiowego jedyie od włsośi (prmerów smego łd o słdow ór deydje o silośi łd - słdow wymszo w ( ór zleży zrówo od wymszei j i od włsośi łd o słdow opisją zhowie łd w sie rówowgi. Słdimi rozwiązi swoodego są fje yp espoejlego (Rys. II-5 i ilozyy ih fji z fją sisoidlą (Rys. II-6. W o przypdh jeśli współzyi α w wyłdi fji espoejlej jes jemy o fj z iegiem zs zi do zer. W prye iżyiersiej ieresjąe są ylo przeiegi yh fji dl. Ae α α> A e α si(ω e α - α A α A- α> A- α< A α< A- Rys. I-8. Przyłdowe wyresy ±e Rys. I-9. Przyłdowe wyresy e si(ω Jeśli łe rozwiązie swoode zi z zsem do zer o łd osiąg s rówowgi i mówimy że łd jes sily. O silośi łd deydją pierwisi rówi hrerysyzego zywe iegmi łd. Alizją włsośi fji (I- (I-5 łwo moż wszć związe pomiędzy położeiem iegów łd płszzyźie zespoloej włsośimi rozwiązi swoodego s (Rys. I-. s Im(λ s α> α< -e α e α -e α s Re(λ s Rys. I-. Położeie iegów słdowe rozwiązi Biegy óre leżą w lewej półpłszzyzie zespoloej (mją jemą zęść rzezywisą odpowidją słdowym rozwiązi óre ziją z zsem. Biegy w prwej półpłszzyźie (mją dodią zęść rzezywisą są związe ze słdowymi (fjmi rosąymi w iesońzoość (±. Jeśli wszysie iegy łd leżą w lewej półpłszzyźie o łe rozwiązie swoode s ( zi z zsem o ozz że łd jes sily. Jeśli iegy są lizmi zespoloymi o zęść rzezywis odpowid z silość zęść rojo z wysępowie osylji i ih zęsoliwość. Jeśli wejśie łd silego ( podwe jes ogrizoe wymszeie o sygł wyjśiowy łd (rozwiązie ( eż ędzie ogrizoy słdow s ( zi i pozosje ylo ogrizo słdow w (. W szzególośi gdy wymszeie m słą wrość ( o łd sily w ogólośi wri poząowe mogą yć oreśloe w iej hwili zs - -! RĘKOPIS PWr

9 Aliz i symlj łdów dymii przyłdzie oieów ieplyh hydrlizyh eleryzyh i mehizyh zwsze dohodzi do p rówowgi (. Ułd iesily rw w pie rówowgi ylo gdy jes o jego s poząowy jmiejsze złóeie powodje rwłe oddleie od ego p (Rys. I-. s Rys. I-. P rówowgi silej (s i iesilej ( Jeśli łd m p rówowgi (jedo rozwiązie i wri poząowe o Przyłdy i proszzeie lgorym w podswowyh dih dymii W prye iżyiersiej opisy lgorym rozwiązywi rówń różizowyh moż zzie prosić. Złóżmy że leży rozwiązć sępjąe rówie drgiego rzęd: & & ( ( (I-4 ( I. Rozwiązie swoode Rówie hrerysyze (I- moż łwo pisć wpros podswie rówi różizowego (I-7 w lizowym przypd: λ λ (I-44 Sąd wyzzmy dw pierwisi (λ λ rówi (I-44. Jeśli złóżmy że są o dw róże pierwisi rzezywise o rozwiązie swoode m posć: λ A e λ A e (I-45 s II. Rozwiązie wymszoe W przypd rówń różizowyh opisjąyh oiey i łdy omyi dżą żyezość mją rozwiązi przy słym wymszei ( dl > zyli fje o słej wrośi orz wymszei soowe i implsowe (Rys. I-. p Rys. I-. Słe wymszeie dl > Wszysie e przypdi pozwlją wyzzć rozwiązie wymszoe podswie rówi syzego: (I-46 Rozwiązie wymszoe w ( przy słym wymszei ( m posć: (I-47 w W szzególyh przypdh wymszei soowego ( i implsowego δ( orzymjemy: - dl (( jes sąd w / (I-48 - dl (δ( jes sąd w Współrzęde ( óre opisją łd w sie rówowgi zywmy pem rówowgi. Ułd liiowy może mieć ylo jede p rówowgi (jes jedo rozwiązie rówi syzego. Sily łd liiowy zwsze dąży do p rówowgi. III. Rozwiązie ogóle λ A e A e IV. Rozwiązie szzególe W rozwiązi ogólym wysępją dw prmery A i A óre są wyzze dl oreyh wrów poząowyh. Wyór wrów poząowyh zleży od el di. Bdi z wymszeiem o słej wrośi ( zzwyzj słżą do pozi ewolji s łd od różyh wrów poząowyh do/od p rówowgi - łdy sile ędą dążyć do p rówowgi łdy iesile ędą się oddlć (Rys. I-. Rys. I-. Przyłdy ewolji s łd Złóżmy że szmy rozwiązi (I-49 dl wrów poząowyh: ( w &( w. Wrośi prmerów A i A moż wię wyzzyć z łd rówń: λ (I-49 p... - łd ozzoy i ieozzoy - 4 -! RĘKOPIS PWr

10 Aliz i symlj łdów dymii przyłdzie oieów ieplyh hydrlizyh eleryzyh i mehizyh λ λ w A e Ae w A A λ λ w λ Ae λ Ae w λ A λ A o prowdzi do rozwiązi: λ ( w w λ ( w w (I-5 A A λ λ λ λ W e sposó wyzzoo rozwiązie szzególe rówi (I-4 przy słym wymszei i dl zdyh wrów poząowyh: λ ( w w λ λ w w ( (I-5 λ e e λ λ λ λ Bdi z wymszeiem soowym są ypowymi dimi w omye ih elem jes wyzzeie p p reji łd soową zmię wrośi wejśiowej ( p zdwą w sie rówowgi łd. Rys. I-4. Przyłdy reji wymszeie soowe Poiewż zzwyzj liz zhowi łdów doyzy reji iewielie złóei woół ego s o poząowy p rówowgi zyw się rówież pem pry. To ozz że w wrh poząowyh wszysie pohode są rówe zero: ( ( & (. ( ( (I-5 l w rówowżej posi: ( (I-54 ( p & (. ( gdzie p p N ih podswie wyzzoo sępjąą odpowiedź wymszeie soowe ( p rówi (I-4 zyli rozwiązie szzególe: λ ( p λ ( p (I-55 λ λ e e λ λ λ λ Szzególym przypdiem odpowiedzi wymszeie soowe jes odpowiedź soow To ozz że wymszeie ( jes soiem jedosowym ( wię: - wrość ońow / poiewż - poząowy s rówowgi wyosi ( p poiewż poząow wrość wymszei ( (są o zerowe wri poząowe. Bdi z wymszeiem implsowym są że ypowe dl omyi i polegją wyzzei reji implsowe złóeie pojwijąe się w sie rówowgi łd. W dih liyzyh wyorzysje się odpowiedź implsową zyli odpowiedź eoreyzy impls δ(. Podzs olizeń pojwi się jed prolem óry wyi ze szzególyh włsośi fji implsowej w hwili o wymg zsosowi rozszerzoego pojęi fji (dysryji. W prye wyorzysje się włsość łdów liiowyh z órej wyi że odpowiedź implsow jes pohodą odpowiedzi soowej. Dl ilsrji porówjmy odpowiedź soową i implsową rówi pierwszego rzęd: Odpowiedź soow: (( I. Rozwiązie swoode: (I-5 & (I-56 λ λ / λ Odpowiedź implsow: (δ( s Ae II. Rozwiązie wymszoe Dl gdy > o Dl (δ( gdy > o w w( III. Rozwiązie ogóle λ Ae λ Ae gdzie / λ / IV. Wri poząowe: ( - ( - gdzie λ / - 5 -! RĘKOPIS PWr

11 A A λ e Aliz i symlj łdów dymii przyłdzie oieów ieplyh hydrlizyh eleryzyh i mehizyh λ ( e ( λ λ λ λ & λ e e e e ( ( Przyłdy rozwiązi rówń różizowyh II rzęd przy wymszei soowym przedswioo w Złązi B...5. Przeszłei Lple i Forier Modele opise liiowymi rówimi różizowymi moż poddć przeszłeiom łowym Lple (L l Forier (F i orzymć w wyi lgerize modele operorowe. Zsosowie łowego operor Lple L powodje że fje zleże od zs zosją przeszłoe w fje zmieej zespoloej s (rsformy fji zmis pohodyh fji wysępją poęgi zmieej s zyli fje lgerize. W prye rzdo zhodzi oiezość olizi rsformy Lple z defiiji przez łowie poiewż zesw fji wyorzysywyh do opis przeieg zmieyh i modeli oieów jes dość ogrizoy i wysrzy orzysć się z goowyh li (T. I-. T. I-. Trsformy wyryh fji Orygił fji f( Trsform f(s L[ (] δ( ( s! s s e ss siω ω s ω osω s s ω liz rl s liz zespolo f Uwgi Nomis olizie rsform Forier w prye iżyiersiej odyw się główie podswie ierozerwlego związ pomiędzy przeszłeiem Lple i Forier: s jω (I-57 Włsośi przeszłeń łowyh zzie prszzją lizowie dymii oie. T. I-. Wyre włsośi przeszłeń łowyh Twierdzeie o Przeszłeie L Przeszłeie F liiowośi L i fi i fi ( s F i fi i i i f i (ω i i rsformie łi L f ( τ dτ f ( s s F f ( τ dτ ( ω jω f rsformie df df L pohodej sf ( s f ( F d j ω f (ω d wrośi lim f lim sf ( s jeśli gri f( isieje ońowej s wrośi lim f lim sf ( s jeśli gri f( isieje poząowej s Przeszłeie Lple ie m ierpreji fizyzej. Prz: rhe operorowy przeszłei łowe i ih włsośi (wierdzei p. [/r.i] - 6 -! RĘKOPIS PWr