Oznaczenia: -średnia arytmetyczna -średnia geometryczna. x H -średnia harmoniczna

Transkrypt

1 Ops statystyczy Puktem wyjśca do woskowaa statystyczego (uogólae wyków badaa póby a populację geealą) jest odpoweda aalza ozkładu badaej cechy w tej póbe. Metody służące do aalzy ozkładu cechy w póbe są azywae metodam opsu statystyczego. Ops statystyczy spowadza sę do wyzaczea pewych lczbowych paametów chaakteyzujących baday ozkład. Ops statystyczy może byd zamkętym badaem (w pzypadku skooczoej zboowośc geealej).

2 Ops statystyczy Stosowae w aalzach paamety: May położea (pzecęte, śede) May zmeośc (zóżcowaa, dyspesj, ozposzea) May asymet (skośośc) May skupea May położea : klasycze śeda aytmetycza śeda geometycza śeda hamocza pozycyje domata medaa kwatyle

3 Ozaczea: A G -śeda aytmetycza -śeda geometycza Ops statystyczy H -śeda hamocza ˆ -śodek -tego pzedzału klasowego -lczebośd -tego waatu cechy -lczebośd badaej zboowośc -lczba waatów cechy 3

4 Ops statystyczy Śeda aytmetycza A szeeg szczegółowy a b A A ˆ ˆ szeeg ozdzelczy puktowy szeeg ozdzelczy pzedzałowy o domkętych pzedzałach klasowych gdze Uwaga: Dla szeegów pzedzałowych wyzacza sę tzw. śedą ważoą (wagam są częstośc ) 4

5 Ops statystyczy UWAG:. Śodk pzedzałów uzajemy za epezetatywe, ale oe tylko w pzyblżeu odzwecedlają zeczywste watośc; stąd dla szeegów ozdzelczych pzedzałowych watośc: śedej aytmetyczej wyzaczoej wg wzou (b) śedej aytmetyczej wyzaczoej dla szeegu szczegółowego wg wzou () a ogół będą sę óżd.. Śeda aytmetycza jest pewą abstakcyją welkoścą (wypadkową wszystkch obsewacj) e mus ależed do zbou watośc cechy. 3. Dla szeegów ozdzelczych pzedzałowych o otwatych pzedzałach klasowych pzed oblczeem śedej ależy pzedzały domkąd; pzyjmuje sę, że otwate pzedzały moża domkąd, jeśl ch lczebośd jest mejsza ż 0,05. 5

6 Ops statystyczy Własośc śedej aytmetyczej. A ( ; ) A A ˆ. m ma 3. ) ( ; ) ( ) 0 0 ( ( ˆ ) 0 4. m ( c) ( ) ( m ( c) ( ) ) c R c R 6

7 Ops statystyczy Własośc śedej aytmetyczej (c.d.) 5. Jeśl wszystke watośc cechy powększymy (pomejszymy, pomożymy, podzelmy) o/pzez pewą stałą, to śeda aytmetycza będze ówa sume (óżcy, loczyow, loazow) śedej aytmetyczej wyjścowej cechy tej stałej. 6. Śeda aytmetycza sumy (óżcy) cech ówa sę sume (óżcy) ch śedch aytmetyczych. 7. a pozom śedej aytmetyczej sly wpływ mają watośc ekstemale (skaje), pzy czym wpływ jest slejszy w pzypadku wysokch watośc cechy. UWAGA: Śeda aytmetycza jest maą pawdłową dla zboowośc w któych ozkład cechy jest jedomodaly, symetyczy lub o ewelkej asymet. Jeśl tak e jest, to dla schaakteyzowaa śedego pozomu zjawska ależy wykozystad pzecęte pozycyje. 7

8 Ops statystyczy Załóżmy, że zboowośd jest podzeloa a m ozłączych gup zamy śedą aytmetyczą watośc cechy dla każdej z gup. ech (j=,,...,m) ozacza śedą aytmetyczą oblczoą dla j-tej gupy, lczebośd j-tej gupy ogóla lczebośd póby Wtedy śeda aytmetycza dla wszystkch gup łącze j dla j=,,...,m oaz 3 ~ j j A ~ A j j m j ~ j j 8 m j j

9 Ops statystyczy Śeda geometycza dla szeegów szczegółowych G 4a... G... dla szeegów ozdzelczych Śeda geometycza ma zastosowae wtedy, gdy zjawska ujmowae są dyamcze, pzy badau śedego tempa zma zjawsk w czase. 9

10 Ops statystyczy Śeda hamocza 5 H dla szeegów wylczających 6 dla szeegów ozdzelczych puktowych H ˆ 7 dla szeegów ozdzelczych pzedzałowych H Śedą hamoczą stosuje sę, gdy watośc cechy podae są w jedostkach względych (km/godz, kg/osobę). UWAGA: Dla koketej cechy tylko jeda śeda klasycza jest odpoweda. 0

11 Ops statystyczy Domata Domata (modala, moda, watośd ajczęstsza) w ozkładze empyczym Do ta watośd cechy, któej odpowada ajwększa lczebośd (częstośd). Domata e zawsze steje. a podstawe pzedzałowego szeegu ozdzelczego domatę moża wyzaczyd jedye wówczas, gdy pzedzały klasowe w tym szeegu mają jedakową ozpętośd (wysoka lczebośd mogłaby byd spowodowaa szeszą ozpętoścą tego pzedzału w stosuku do ych). Dla szeegów ozdzelczych pzedzałowych moża popzestad a wskazau pzedzału zaweającego domatę.

12 Ops statystyczy Zwykle dla dokładejszego wyzaczea mody stosuje sę wzó tepolacyjy (8), wypowadzoy pzy założeu, że wzost lczebośc w poszczególych pzedzałach klasowych jest popocjoaly do wzostu watośc cechy. 8 gdze 0d h d d Do d d 0d hd (d d ) (d d ) dola gaca pzedzału, w któym występuje domata ozpętośd pzedzału z domatą,d, d lczebośc pzedzału zaweającego domatę, popzedego, astępego (odpowedo) Uwaga: We wzoze (8) lczebośc moża zastąpd częstoścam.

13 Ops statystyczy Gafcze wyzaczae domaty Wyzaczyd hstogam dla pzedzału klasowego zaweającego domatę, popzedego astępego. Z góych wezchołków ajwyższego postokąta ależy wykeśld dwa odck łączące po pzekątej blższe góe wezchołk sąsedch postokątów. Rzut puktu pzecęca tych odcków a oś odcętych jest domatą. Uwag:. Jeśl lczebośc pzedzałów sąsadujących z pzedzałem domaty są jedakowe, to domata jest ówa śodkow klasy domującej.. Wyzaczae domaty jest uzasadoe wówczas, gdy ozkład empyczy jest jedomodaly asymeta jest umakowaa. 3

14 Ops statystyczy Kwatyle Kwatyl zędu p w ozkładze empyczym taka watośd cechy k p, dla któej jako pewszej dystybuata empycza speła elację 9 0 < p < F(k p ) p W statystyce opsowej wyóża sę: kwatyle (kwatyle zędu k =,,3) decyle (kwatyle zędu k =,,3,,9) cetyle (kwatyle zędu k =,,3,,99) k 4 k 0 k 00 4

15 Kwatyle: Q Ops statystyczy - kwatyl pewszy (zędu ) me - kwatyl dug (zędu Q 3 - kwatyl tzec (zędu ) ) - medaa Medaa jest tą watoścą cechy, któą posada śodkowa jedostka w upoządkowaym (emalejąco) cągu watośc cechy; gdy tych jedostek jest węcej beze sę ch śedą aytmetyczą, tz. dla szeegów wylczających me ( ) gdy - epazyste gdy - pazyste 5

16 Ops statystyczy Własośc meday. m c R c me. Medaa e eaguje a zmay watośc cech skajych jedostek (a obsewacje etypowe). 3. Pzy zmae póby medaa ulega wększym zmaom ż śeda aytmetycza. Uwaga: Medaa obok śedej aytmetyczej jest ajczęścej stosowaym paametem; może byd oblczoa, gdy e moża oblczyd śedej aytmetyczej (otwate pzedzały). 6

17 Ops statystyczy Do wyzaczea kwatyl z szeegów ozdzelczych pzedzałowych stosuje sę wzó tepolacyjy (), wypowadzoy pzy założeu, że wzost lczebośc w poszczególych pzedzałach klasowych jest popocjoaly do wzostu watośc cechy. gdze: 0Q Q p ząd kwatyla h [ p dola gaca pzedzału, w któym jest watośd kwatyla h Q ozpętośd pzedzału kwatyla Q lczebośd pzedzału kwatyla sk lczebośd skumulowaa w pzedzale popzedzającym klasę kwatyla ogóla lczebośd zboowośc. Q 4p 0Q Q Q 7 sk Q ]

18 Ops statystyczy Do gafczego wyzaczea kwatyl wykozystuje sę welobok skumuloway lczebośc (częstośc) - łamaa łącząca pukty o współzędych: góa gaca pzedzału klasowego, odpowadająca daej klase lczebośd (częstośd ) skumulowaa. Watośd kwatyla zędu p staow odczytaa a os odcętych (watośc cechy) lcza odpowadająca skumulowaej lczebośc ówej p (skumulowaej częstośc ówej p); jest ogólą lczeboścą zboowośc. W pzypadku ozkładu umakowae asymetyczego zachodz wzó Peasoa Do 3 ( me) 8

19 Ops statystyczy May zmeośc: klasycze pozycyje waacja odchylee stadadowe odchylee pzecęte współczyk zmeośc ozstęp odchylee dwatkowe współczyk zmeośc 9

20 Ops statystyczy Waacja Waacja to śeda aytmetycza kwadatów odchyleo watośc cechy od śedej ( ) 3 S szeeg szczegółowy 3a S ( ) ( ) szeeg ozdzelczy puktowy 3b S (ˆ ) (ˆ ) szeeg ozdzelczy pzedzałowy gdze 0

21 Ops statystyczy Uwaga: Waacja dla szeegów ozdzelczych pzedzałowych jest zawyżoa (bezemy śodk klas; lczba pzedzałów jest odwote popocjoala do ch ozpętośc, węc pzeszacowae jest tym wększe m mej jest klas). Zaleca sę stosowae popawk Sheppada ówej h 4 S (ˆ ) h h gdze h ozpętośd pzedzałów klasowych. (ˆ ) Dla waacj zachodz 5... S

22 Ops statystyczy Jeśl zboowośd jest podzeloa a m ozłączych gup, to waacja dla całej zboowośc, tzw. waacja ogóla jest sumą dwóch składków: waacj wewątzgupowej (śeda aytmetycza waacj gup); waacj mędzygupowej (waacja śedch gupowych)

23 Ops statystyczy Waacja ogóla wyaża sę wzoem 6 S S S ( ~ ) gdze: S S ( ~ ~ S - waacja wewątzgupowa ) - waacja mędzygupowa (=,,...,m) ozacza śedą aytmetyczą oblczoą dla -tej gupy - lczebośd -tej gupy - ogóla lczebośd póby m S - śeda aytmetycza dla wszystkch gup łącze S ( ~ ) m ( ~ ) 3

24 Ops statystyczy Odchylee stadadowe Odchylee stadadowe S jest to pewastek z waacj. Wyaża sę w maach takch jak badaa cecha. Okeśla pzecęte zóżcowae poszczególych watośc cechy w stosuku do śedej aytmetyczej. Typowy obsza zmeośc 7 S typ S a ogół w obszaze tym meszczą sę watośc cechy około /3 jedostek badaej zboowośc 4

25 Uwag: Ops statystyczy. Odchylee stadadowe jest ajczęścej stosowaym paametem statystyczym.. Oblczae jest a podstawe wszystkch obsewacj. 3. Im zboowośd badzej zóżcowaa, tym wększa waacja odchylee stadadowe. 4. a podstawe eówośc Czebyszewa, sfomułowao tzw. egułę tzech sgm któa mów, że wystąpee obsewacj o watośc cechy poza pzedzałem ( 3S; 3S) jest mało pawdopodobe. 5. Dla ozkładów omalych lub zblżoych do omalych: tylko /3 obsewacj wykacza poza typowy pzedzał obsewacj ( S; S) tylko 5% obsewacj wykacza poza pzedzał ( S; S) a około 0,3% obsewacj poza pzedzał ( 3S; 3S) 5

26 Ops statystyczy Odchylee pzecęte Odchylee pzecęte d wyaża sę wzoem 8 d szeeg szczegółowy 8a d szeeg ozdzelczy puktowy 8b d ˆ ˆ szeeg ozdzelczy pzedzałowy gdze 6

27 Ops statystyczy Rozstęp Rozstęp R to badzo ogóla maa zmeośc 9 Odchylee ćwatkowe Odchylee ćwatkowe Q mezy pozom zóżcowaa tylko częśc jedostek (po odzuceu 5% o ajmejszej 5% o ajwększej watośc cechy) 0 R (Q ma m me) (me Q ) Zachodz zwązek Q < d < S. Q Q 3 3 Q Typowy obsza zmeośc cechy (w opacu o paamety pozycyje) 0. me Q me Q typ 7

28 Ops statystyczy Współczyk zmeośc Dotychczas omówoe may dyspesj są maam bezwzględym (w takch jedostkach jak cecha); e moża węc ch wykozystad do poówywaa ozkładów cech w zboowoścach. Dlatego w aalze dyspesj stosuje sę względą maę ozposzea współczyk zmeośc. Współczyk zmeośc jest stosukem bezwzględej may zóżcowaa cechy do pzecętej watośc cechy (jest maą emaowaą, ajczęścej podawaą w pocetach). 8

29 Ops statystyczy W zależośc od pzyjętych ma pzecętych dyspesj wyóża sę współczyk zmeośc: Klasycze Pozycyje 3 V S V d V Q S d Q me Q3 Q 4 ( Q3 Q V ) Q Q 3 Q Q Q 3 9

30 Ops statystyczy May asymet Rozkłady mogą óżd sę keukam słą asymet. W szeegach symetyczych me Do Q3 me me Q 0 Do Asymeta lewostoa: Q3 me me Q - wskaźk skośośc (okeśla keuek asymet) - pozycyjy wskaźk skośośc me Do Asymeta pawostoa: Q3 me me Q me Do 0 Q3 me me Q 0 30

31 Ops statystyczy May asymet (współczyk skośośc) okeślają keuek słę asymet Klasycze współczyk asymet: gdze m ( ) Pozycyjy współczyk asymet 8 A S A d A Do S Do d m S Q Q 3 me me me me Q Q 3 Uwaga: Im wększa watośd bezwzględa współczyka asymet, tym slejsza asymeta Q 3 ( Q Q 3 3 AQ 3 ) me 3 m 3 ( ) 3

32 May kocetacj Ops statystyczy Współczyk skupea (kutoza) maa skupea obsewacj 4 wokół śedej 4 ( ) ( ) 9 m4 gdze m ( m ) Im wyższa watośd K, tym badzej wysmukła kzywa lczebośc, węc wększa kocetacja watośc cechy wokół śedej. Jeśl zboowośd ma ozkład omaly, to K = 3. K < 3 -ozkład platokutyczy badzej spłaszczoy od omalego K > 3 - ozkład leptokutyczy badzej wysmukły od omalego 30 K K 0 0 K S 4 m S 4 K 4 - ozkład platokutyczy -ozkład leptokutyczy