FUNKCJE ZMIENNYCH LOSOWYCH MO LIWO CI REDUKCJI MODELI STOCHASTYCZNYCH. 1. Wprowadzenie. Ryszard Snopkowski*

Transkrypt

1 Górnictwo i Geoinynieria Rok 9 Zeszyt Ryszard Snopkowski* FUNKCJE ZMIENNYCH LOSOWYCH MOLIWOCI REDUKCJI MODELI STOCHASTYCZNYCH. CZ II. Wprowadzenie Niniejsza praca stanowi cz drug publikacji [8]. W czci pierwszej omówiono funkcje zmiennych losowych o nastpujcych rozkadach: beta, chi-kwadrat, Cauchy ego, F-Snedecora, gamma, jednostajny. Ta cz publikacji zawiera omówienie funkcji zmiennych losowych o rozkadach: normalnym, lognormalnym, t-studenta oraz wykadniczym. Wprowadzenie do zagadnienia jest analogiczne jak w czci pierwszej publikacji, gdy obie czci dotycz tego samego zagadnienia moliwoci redukcji modeli stochastycznych. Metoda symulacji stochastycznej wykorzystywana jest do komputerowego modelowania dowolnych procesów (fizycznych, ekonomicznych, technologicznych itp.) lub ich fragmentów, których cech charakterystyczn jest wystpowanie w ich opisie co najmniej jednej zmiennej losowej. Metod po raz pierwszy zastosowano w trakcie bada w ramach projektu Manhattan, majcych na celu budow amerykaskiej bomby atomowej. Opracowany wówczas model stochastyczny dotyczy analizy propagacji neutronów w reaktorze jdrowym. Opracowali go wspólnie John von Neumann oraz polski matematyk Adam Ulman. Metoda symulacji stochastycznej wykorzystywana jest z powodzeniem take wspóczenie. Moliwoci tworzenia zoonych modeli stochastycznych, ich zapis w postaci programu komputerowego w jzyku zorientowanym na rozwizywanie tego typu zagad- * Wydzia Górnictwa i Geoinynierii, Akademia Górniczo-Hutnicza, Kraków 5

2 nie, a take wci szybsze komputery to wszystko stanowi o czstym wyborze symulacji stochastycznej, jako metody rozwizywania zagadnie opisywanych modelami o charakterze niezdeterminowanym. Biorc pod uwag charakter procesów górniczych, take udzia wielu czynników niezdeterminowanych w ich przebiegu, uzasadnione jest stosowanie tej metody take w górnictwie. W pracy [0] opisano model stochastyczny procesu produkcyjnego realizowanego w przodku cianowym kopalni wgla kamiennego. Wystpujce w modelu zmienne losowe s charakteryzowane odpowiednimi funkcjami gstoci prawdopodobiestwa. Niejednokrotnie, wystpujce zalenoci funkcyjne midzy zmiennymi losowymi mog by zastpione jedn funkcj gstoci prawdopodobiestwa (tzw. rozkadem wynikowym), co powoduje, i opracowany model stochastyczny analizowanego procesu ulega uproszczeniu. W dalszej czci przedstawiono funkcje zmiennych losowych, których wykorzystanie umoliwia uzyskanie rozkadów wynikowych, wród których znalaz si rozkad normalny, lognormalny, t-studenta oraz wykadniczy. Charakterystyka kadego rozkadu wynikowego zawiera ponadto wzór funkcji gstoci prawdopodobiestwa, przykadowy wykres rozkadu, a take przykady zmiennych losowych opisywanych danym rozkadem.. Rozkady wynikowe, funkcje zmiennych losowych.. Rozkad wynikowy normalny Rozkad normalny naley do rozkadów, które czsto wykorzystywane s w modelach stochastycznych. Ze wzgldu na osob jego odkrywcy, która nie jest powszechnie znana (z rozkadem kojarzeni s raczej Gauss oraz Laplace), przedstawiono poniej krótk histori jego odkrycia. listopada 733 roku francuski matematyk Abraham de Moivre ( ) opublikowa broszur, w której przedstawi zbieno rozkadu dwumianowego do rozkadu normalnego, gdy n ronie (zbieno t zilustrowano graficznie na rys. ), a take poda wzór na funkcj gstoci prawdopodobiestwa rozkadu normalnego. Abraham de Moivre by czonkiem The Royal Society, nauczycielem matematyki oraz doradc uczestników gier losowych w karczmach. Autorstwo rozkadu normalnego przypisano jednak dwóm innym naukowcom. Byli to Pieerre Simon de Laplace (749 87) oraz Carl Friedrich Gauss ( ), którzy prawie cay wiek póniej, w sposób niezaleny od siebie, zaczli posugiwa si tym rozkadem. Dopiero w roku 94 angielski statystyk Karl Pearson przypadkowo trafi na publikacj de Moivre a z 733 roku. W tym samym roku, w czasopimie Biometrika [6] Pearson poda do wiadomoci, e odkrywc rozkadu normalnego by Abraham de Moivre. Rozkad normalny by kiedy nazywany prawem (rozkadem) bdów (por. [6]). 5

3 Rys.. Zbieno rozkadu dwumianowego do rozkadu normalnego, gdy n ronie ródo: opracowanie wasne Funkcja gstoci prawdopodobiestwa rozkadu normalnego (rys. ) okrelona jest wzorem ( x) f( x) e () dla: 0ix gdzie: μ warto oczekiwana zmiennej losowej X, δ odchylenie standardowe zmiennej losowej X. Posta rozkadu po standaryzacji wyraaj wzory: f ( z) e z () Z X (3) 53

4 Rys.. Przykadowy wykres rozkadu normalnego ródo: opracowanie wasne Przykady zmiennych losowych (lub procesów), do których opisu wykorzystuje si rozkad normalny Rozkad normalny jest modelem dla losowych bdów pomiarów. Jeeli bd pomiaru jest sum wielu losowych bdów (zarówno dodatnich, jak i ujemnych), to ich suma ma rozkad bliski rozkadowi normalnemu. Stwierdzenie to wynika z tzw. centralnego twierdzenia granicznego, którego jedna z wersji brzmi: Suma duej iloci niezalenych zmiennych losowych ma w przyblieniu (asymptotycznie) rozkad normalny. Wiele zjawisk fizycznych moe by opisanych rozkadem normalnym, mimo e dziedzina funkcji gstoci prawdopodobiestwa rozkadu to przedzia od minus do plus nieskoczonoci. Przykad rozwizania, polegajcego na modelowaniu rozkadem normalnym zmiennej losowej opisanej na przedziale skoczonym, zamieszczono w publikacji autora [9]. Rozwizanie polega na zastosowaniu operacji obustronnego symetrycznego ucicia rozkadu (ucicie moe by oczywicie niesymetryczne, jak równie jednostronne, prawo- lub lewostronne), tak by by on opisany na przedziale skoczonym, wydzielonym z obszaru liczb rzeczywistych dodatnich. Jeli zaoymy, e przedzia ten zawiera si bdzie w granicach od do oraz oznaczymy funkcj gstoci rozkadu normalnego opisanego na przedziale od minus do plus nieskoczonoci jako f x, wówczas gsto g x rozkadu ucitego dwustronnie bdzie mona wyznaczy z zalenoci g x F f x F gdzie F oraz F s wartociami dystrybuanty F x w punktach oraz. (4) 54

5 Na rysunku 3 zamieszczono przykad funkcji g x, opisanej na przedziale,. Rys. 3. Funkcja gstoci g ( x) rozkadu normalnego dwustronnie ucitego ródo: opracowanie wasne Funkcje zmiennych losowych, których rozkadem wynikowym jest rozkad normalny [3, 5] Jeli X, X,..., Xn s niezalenymi zmiennymi losowymi o rozkadach normalnych odpowiednio N,, N,,..., Nn, n oraz a, a,..., an s dowolnymi liczbami, to zmienna losowa ax ax... anxn ma rozkad normalny N,, gdzie aa... annoraz a a a n n.... Jeli X jest zmienn losow o rozkadzie normalnym N Y ax bdla a 0 ma rozkad normalny Nab, a.,, to zmienna losowa N gdzie... n oraz... n. Jeli X, X,..., Xn s niezalenymi zmiennymi losowymi o rozkadzie normalnym o parametrach, ;,,..., n, n, to zmienna losowa X X... Xn ma rozkad normalny,, 55

6 Jeli X jest redni arytmetyczn niezalenych zmiennych losowych o rozkadzie normalnym N, zmiennych losowychy Y Y o rozkadzie normalnym N,, to zmienna losowa X Y,,..., n ma rozkad normalny N,. n n X, X,..., Xn oraz jeliy jest redni arytmetyczn niezalenych Jeli X oraz Y s niezalenymi zmiennymi losowymi o rozkadzie jednostajnym na przedziale (0,), to zmienne losowet ln X cosy oraz Z ln X siny s niezalenymi zmiennymi losowymi o rozkadzie normalnym N(0,)... Rozkad wynikowy logarytmiczno-normalny (lognormalny) Tak jak rozkad normalny jest rozkadem sum wielu czynników losowych (model sum), tak rozkad logarytmiczno-normalny (lognormalny) jest okrelany mianem modelu iloczynów. Modelem iloczynów mona wyjani zjawisko rozdrabniania kruszywa lub transport osadów w rzece. W procesach tych kocowa wielko ziarna zaley od liczby wczeniejszych zderze z innymi ziarnami, przy czym kade zderzenie zmniejsza proporcjonalnie rozmiar ziarna. Oznaczajc kocowy rozmiar ziarna jako X, rozmiar pocztkowy ziarna jako X 0, mona zapisa X X... 0WW Wn (5) gdziew, W,..., Wn s losowymi czynnikami powodujcymi zmniejszanie si wymiaru ziarna w trakcie kolejnych zderze (s to zmienne losowe). Logarytm obu stron równania jest nastpujcy ln X ln X lnw ln W... lnw n (6) 0 Czynniki W, W,..., W n s zmiennymi losowymi, a poniewa ich logarytmy s take zmiennymi losowymi, std na podstawie centralnego twierdzenia granicznego mona wnioskowa, e suma tych zmiennych bdzie miaa w przyblieniu rozkad normalny. OznaczajcY lnx oraz wiedzc, e Y ma rozkad normalny N,, mona wyznaczy rozkad zmiennej X jako X e Y. Zmienna losowa X, której logarytm naturalny podlega rozkadowi normalnemu, ma rozkad logarytmiczno-normalny (lognormalny), o funkcji gstoci (dla x > 0) (rys. 4) ln x f( x) e (7) x 56

7 Rys. 4. Przykadowy wykres rozkadu logarytmiczno-normalnego (lognormalnego) ródo: opracowanie wasne Przykady zmiennych losowych (lub procesów), do których opisu wykorzystuje si rozkad logarytmiczno-normalny (lognormalny) Rozkad logarytmiczno-normalny stosuje si: w procesie rozdrabniania kruszywa, a take w procesie transportu osadów w rzece; w badaniach ekonomicznych, w których wystpuj zmienne o wartociach dodatnich rozoone asymetrycznie w taki sposób, e wartoci mniejsze od dominanty s bardziej skupione, natomiast wartoci wiksze do dominanty s bardziej rozproszone; w tych przypadkach, w których stosuje si rozkad Pareto; w modelowaniu procesów zmczeniowych. Funkcje zmiennych losowych, których rozkadem wynikowym jest rozkad logarytmiczno-normalny (lognormalny) [] Jeli zmienna losowa Y ma rozkad normalny N Y e ma rozkad logarytmiczno-normalny (lognormalny).,, to zmienna losowa X.3. Rozkad wynikowy t-studenta Autorem rozkadu t-studenta (rys. 5) jest statystyk angielski W. Gosset publikujcy pod pseudonimem Student. 57

8 Rys. 5. Przykadowy wykres rozkadu t-studenta ródo: opracowanie wasne Dla maych prób (n 30) Gosset stwierdzi, e dla cigu X, X,..., Xn niezalenych zmiennych losowych, z których kada posiada rozkad N,, ich rednia X posiada równie rozkad normalny, zmienna losowa T postaci n T X (8) S gdzie S oznacza odchylenie standardowe cigu X n, ma funkcje gstoci rozkadu t-studenta k k / t f t k k (9) k gdzie k oznacza liczb stopni swobody k n. Przykady zmiennych losowych (lub procesów), do których opisu wykorzystuje si rozkad t- Studenta Rozkad t-studenta wykorzystuje si: jako model opisu wytrzymaoci konstrukcji montaowych; 58

9 do opisu zmiennych losowych, które z wikszym prawdopodobiestwem ni zmienne normalne przybieraj wartoci nietypowe, odbiegajce od redniej (rozkad t-studenta ma grubsze ogony ). Funkcje zmiennych losowych, których rozkadem wynikowym jest rozkad t-studenta [] Jeli X oraz Y s niezalenymi zmiennymi losowymi, X o rozkadzie normalnym N(0,), Y o rozkadzie chi-kwadrat o n stopniach swobody, to zmienna losowa Z X Y (0) n ma rozkad t-studenta o n stopniach swobody..4. Rozkad wynikowy wykadniczy Rozkad wykadniczy jest cigym odpowiednikiem rozkadu geometrycznego. Funkcja gstoci prawdopodobiestwa rozkadu wykadniczego (rys. 6) jest okrelona wzorem x e dla x 0 f( x) 0 dla x 0 () λ> 0 (λ intensywno uszkodze, redni czas midzy zdarzeniami). Rys. 6. Przykadowy wykres rozkadu wykadniczego ródo: opracowanie wasne 59

10 Przykady zmiennych losowych (lub procesów), do których opisu wykorzystuje si rozkad wykadniczy Rozkad wykadniczy wykorzystuje si: do opisu upywajcego czasu midzy pojazdami mijajcymi okrelony punkt na drodze; do opisu czasu trwania rozmowy telefonicznej; do opisu czasu wykonywania okrelonej operacji na obrabiarce; do opisu czasu midzy kolejnymi powodziami; w teorii masowej obsugi, jako rozkad interwaów czasu midzy zgoszeniami [4]; w teorii niezawodnoci (trwao elementów elektronicznych, mechanicznych); stosowanie rozkadu ma uzasadnienie wtedy, gdy pojawiajce si uszkodzenia maj charakter awarii wystpujcych na skutek zadziaania przyczyn zewntrznych pojawiajcych si przypadkowo i ze staym nateniem. Funkcje zmiennych losowych, których rozkadem wynikowym jest rozkad wykadniczy [3] Jeli X jest zmienn losow o rozkadzie jednostajnym na przedziale (0,), to zmienna losoway ln X ma rozkad wykadniczy z parametrem. 3. Wnioski kocowe W celu badania i analizy zjawisk i procesów rzeczywistych (ekonomicznych, technicznych, take z zakresu górnictwa np. [0]), tworzone s modele stochastyczne. Wystpujce w tych modelach zmienne losowe, opisywane s odpowiednimi rozkadami prawdopodobiestwa. Niejednokrotnie w modelach tych wystpuj take zalenoci funkcyjne midzy zmiennymi losowymi. Zamieszczone i omówione w obu czciach publikacji funkcje zmiennych losowych wraz z opisem ich rozkadów (przyjto tu termin rozkady wynikowe ), mog zosta wykorzystane w celu uproszczenia tworzonego modelu stochastycznego lub jego fragmentu. W ten sposób przeprowadzona redukcja modelu ma korzystny wpyw na dalsze etapy jego wykorzystania, a wic upraszcza zapis w postaci programu komputerowego i skraca sam proces symulacji stochastycznej. LITERATURA [] Aczel Amir D.: Statystyka w zarzdzaniu. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 000 (dane oryginau: Complete Business Statistics Richard D. Irwin Inc., Boston Sydney, 993) [] Brandt S.: Analiza danych. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 998, (dane oryginau: Statistical and Computational Methods in Data Analysis Springer Verlag New York 997) 60

11 [3] Klonecki W.: Statystyka dla inynierów. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa Wrocaw 999 [4] Morse P.M.: Queues, Inventories and Maintenance. New York, Wiley, 958 [5] Pacut A.: Prawdopodobiestwo, teoria, modelowanie probabilistyczna w technice. Wydawnictwo Naukowo- -Techniczne, Warszawa 985 [6] Pearson K.: Historical Note on the Origin of the Normal Curve of Errors. Biometrika, 94, nr XVI, [7] Pawowski Z.: Statystyka matematyczna. Pastwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 980 [8] Snopkowski R.: Funkcje zmiennych losowych moliwoci redukcji modeli stochastycznych (cz I). Górnictwo i Geoinynieria, z., Kraków 005 [9] Snopkowski R.: Wskaniki efektywnoci ukadu kombajn obudowa przenonik. Konferencja pn. Szkoa Ekonomiki i Zarzdzania w Górnictwie AGH, Komitet Górnictwa PAN, Krynica 004 [0] Snopkowski R.: Metoda identyfikacji rozkadu prawdopodobiestwa wydobycia uzyskiwanego z przodków cianowych kopal wgla kamiennego. Wydawnictwa AGH, Rozprawy i Monografie, nr 85, Kraków 000 [] Zeigler B.: Teoria modelowania i symulacji. Pastwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 984 6