Implementacja metody Galerkina w środowisku Borland C++

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Implementacja metody Galerkina w środowisku Borland C++"

Transkrypt

1 Uniwersytet Marii Curie-Skłodowskiej Wydział Matematyki, Fizyki i Informatyki Dominik Grzywaczewski Implementacja metody Galerkina w środowisku Borland C++ Galerkin s method - implementation in Borland C++ Praca magisterska na kierunku Fizyka o specjalności Fizyka Komputerowa Praca napisana pod kierunkiem prof. dr hab. Krzysztofa Murawskiego Lublin, 2007

2

3 Składam serdeczne podziękowania prof. dr hab. Krzysztofowi Murawskiemu za opiekę nad pracą i poświęcony czas, jak również cenne uwagi dotyczące programu.

4

5 Pracę dedykuje wszystkim najbliższym osobom, w podziękowaniu za wyrozumiałość, obdarzenie mnie ciepłem, miłością i wiarą we mnie oraz pozwolnie mi na bycie sobą.

6

7 Spis treści 7 Spis treści Wstęp 9 1 Cel i zakres pracy 11 2 Klasyfikacja równań różniczkowych Równania różniczkowe zwyczajne Równania różniczkowe cząstkowe Równanie adwekcji 21 4 Metody numeryczne Schematy numeryczne dla równania adwekcji Metoda różnic skończonych Schemat Eulera Metody dyskretyzacji pod wiatr Schemat Laxa-Friedrichsa Schemat Laxa-Wendroffa Schemat Beama-Warminga Metody typu Godunowa Metoda elementów skończonych MES Metoda reszt ważonych Wprowadzenie Metoda Galerkina Projekt własny programu w Borland Builder C Środowisko Borland C Program własny Eksperymenty numeryczne Podsumowanie/Wnioski 83 Bibliografia 84

8

9 9 Wstęp W otaczającej nas rzeczywistości zachodzi wiele zjawisk fizycznych. Dzięki ludzkim zmysłom jesteśmy w stanie część z nich dostrzec, lecz dzięki niedoskonałości naszych zmysłów zdecydowana większość jest nieobserwowalna. W takich sytuacjach z pomocą człowiekowi przychodzi technika, która wraz z wykorzystaniem najnowszych możliwości pozwala na poszerzenie spektrum obserwowalnych zjawisk. Od początków istnienia ludzkości na Ziemi, uczeni podejmowali próby wyjaśnienia wszystkich zagadek, z którymi mieli okazję się spotkać. I tak przez cały rozwój cywilizacji ludzkiej powstają nowe prawa, zasady, twierdzenia opisujące w mniejszym lub większym stopniu rzeczywistość. Niestety jeszcze niepowstała taka teoria, która byłaby uniwersalna i zawierałaby w sobie cały dorobek naukowy człowieka. Ciągle ludzie napotykają na coraz to nowe problemy i podejmują próby ich rozwiązania, a co za tym idzie dalszy rozwój cywilizacyjny. W wieku XX, jak i również w czasach obecnych, dzięki olbrzymiemu rozwojowi technologi informatycznych oraz mocy obliczeniowej komputerów, które stały się powszechnym narzędziem pracy naukowców. Właśnie użycie ich podczas pracy nad danym problemem, pozwala na uproszczenie i wielokrotne powtarzanie danych obliczeń w celu poprawienia wyników. Proces ten umożliwia weryfikację i minimalizację błędów obliczeniowych. W przeciwieństwie do czasów, gdy komputerów jeszcze nie było i każde badanie pochłaniało olbrzymią ilość czasu oraz potrzebowało ogromnego wysiłku od osoby przeprowadzającej taką analizę. Niestety komputery nadal są tylko narzędziem w rękach naukowca, to on podejmuje wszelkie decyzje, począwszy od wprowadzenia odpowiedniego algorytmu po interpretacje wyników uzyskanych. Nadal wiele problemów, które dają się opisać poprzez matematyczne równania różniczkowe nie posiada analitycznego rozwiązania. Właśnie w takich sytuacjach ogromną rolę odgrywają metody numeryczne, dzięki którym uzyskujemy przybliżone rozwiązanie równania i jesteśmy w stanie dokonać analizy modelu z obserwacjami. Obecny dorobek metod numerycznych jest naprawdę imponujący. Duża część metod przybliżonego rozwiązywania równań różniczkowych powstała w połowie wieku XX. Obecnie trwają prace nad udoskonalaniem i tworzeniem nowych, dokładniejszych metod. W fizyce powszechnie występują równania różniczkowe opisujące zjawiska. Dla tychże równań również trwają poszukiwania rozwiązania dokładnego. Tak dla przy-

10 10 kładu w niniejszej pracy opisane jest zjawisko transportu, które charakteryzuje równanie adwekcji(38). Zjawisku temu towarzyszy przepływ wielkości fizycznej w danym obszarze z określoną prędkością. Dokładniej proces ten jest opisany w rozdziale 3. Obecnie metody numeryczne są powszechnie stosowane w każdej dziedzinie fizyki m.in. astrofizyce, fizyce jądrowej, fizyce ciała stałego. Metody te mają swoje zastosowanie również w przypadku weryfikacji modeli fizycznych z obserwacjami, jak i również w stwarzaniu wyidealizowanych warunków, które są potrzebne do wykonania doświadczenia. Jedną z głównych zalet metod przybliżonych rozwiązań jest bardzo szybki czas rozwiązania w stosunku do czasu rozwiązania analitycznego, nawet kosztem błędów numerycznych jakie pojawiają sie podczas symulacji. Tak, jak wspomniałem wcześniej, metod numerycznych jest bardzo dużo, natomiast w swojej pracy skupiłem się na metodach służących do rozwiązywania hiperbolicznych równań różniczkowych, których przykładem właśnie jest tutaj równanie adwekcji.

11 1 Cel i zakres pracy 11 1 Cel i zakres pracy Celem niniejszej pracy było przedstawienie metody rozwiązywania przybliżonego tj. metody Galerkina oraz dokonanie porównania tejże metody z innymi metodami rozwiązywania równań hiperbolicznych. Na początku pracy jest przedstawiony przykładowy podział równań różniczkowych oraz podane zostały przykładowe postacie równań różniczkowych zwyczajnych występujących w fizyce. W kolejnym rozdziale zostało opisane zjawisko adwekcji, wraz z wyprowadzeniem równania adwekcji, przy wykorzystaniu równania ciągłości. Został również podny przykład, w którym mamy do czynienia z transportem wielkości fizycznej. W rozdziale 4 zostały scharakteryzowane metody numeryczne oraz podane zastosowanie ich w praktyce. Wraz z opisem metod zostały przedstawione błędy numeryczne. Podany został również podział siatek numerycznych. Następnie zostały przedstawione schematy numeryczne wykorzystywane do rozwiązywania równania adwekcji oraz przykładowa dyskretyzacja obszaru symulacji. W rozdziale tym znajduje się również opis metod typu Godunowa oraz sama metoda Galerkina, która wykorzystywana jest w metodzie elementów skończonych. Pokazane zostały algorytmy postępowania w przypadku rozwiązywania problemu tego typu metodami. Rozdział dotyczącym Galerkina zawiera dokładny opis metody wraz z przykładowym rozwiązaniem równania. Rozdział 5 znajduje się opis programu numerycznego wykorzystującego metodę Galerkina do rozwiązania równania adwekcji oraz inne metody w celu porównania wyników. Następnie zawiera przeprowadzone badania własne oraz porównaniem wyników dla różnych metod i przypadków zagęszczania siatki numerycznej oraz zmiany funkcji bazowej. Rozdział 6 jest podsumowaniem całego cyklu symulacji numerycznych przeprowadzanych dla równania adwekcji z wykorzystaniem metody Galerkina.

12

13 2 Klasyfikacja równań różniczkowych 13 2 Klasyfikacja równań różniczkowych Wiele procesów i zjawisk zachodzących w otaczającej nas rzeczywistości daje się opisać równaniami różniczkowymi zwyczajnymi i cząstkowymi, dzięki związkom jakie występują pomiędzy nieznanymi funkcjami jednej lub wielu zmiennych i jej pochodnymi. Równania różniczkowe znajdują swoje zastosowanie w wielu dziedzinach nauki np. ekonomia, fizyka, matematyka itd. Trudno sobie wyobrazić obecny świat techniki bez tychże równań, dlatego właśnie dziedzina ta jest ciągle rozwijana i trwają prace nad znalezieniem coraz to większego spektrum rozwiązań analitycznych tych zagadnień[1]. Jedną z możliwych klasyfikacji jaką możemy dokonać przy podziale równań różniczkowych jest podział na równania zwyczajne (ang. Ordinary Differential Equation, ODE) i równania cząstkowe (ang. Partial Differential Equation, PDE) oraz inną ze względu na rząd danego równania, który daje nam możliwość następującego podziału: 1. równania różniczkowe liniowe pierwszego rzędu: a 0 (x)y + a 1 (x)y = a(x) (1) gdzie a 0 (x), a 1 (x) i a(x) są znanymi funkcjami ciągłymi w pewnym przedziale a < x < b. Jeśli a 0 (x) nie przyjmuje wartości równych zeru, to dzieląc obie strony powyższego równania przez a 0 (x), otrzymujemy równanie różniczkowe liniowe w postaci kanonicznej: y + p(x)y = f(x) (2) gdzie p(x) i f(x) są funkcjami znanymi. Równanie (2) jest równoważne równaniu (1) w każdym przedziale (a,b), w którym a 0 (x) równania różniczkowe liniowe drugiego i trzeciego rzędu, które możemy zapisać w kanonicznych postaciach: oraz y + p(x)y + q(x)y = f(x) (3) y + p(x)y + q(x)y + r(x)y = f(x) (4)

14 14 2 Klasyfikacja równań różniczkowych gdzie p(x),q(x),r(x),f(x) są znanymi funkcjami ciągłymi w pewnym przedziale a < x < b. 3. równania różniczkowe n-tego rzędu ma kanoniczną postać: y (n) + a 1 (x)y (n 1) a n 1 (x)y = f(x) (5) gdzie znane funkcje a i (x), (i = 1, 2,..., n) nazywamy współczynnikami równania różniczkowego (5). Lewa strona równania (5) jest wielomianem pierwszego stopnia względem nieznanej funkcji y(x) i jej pochodnych. Oznaczamy ją przez L n (y) i nazywamy operatorem różniczkowym liniowym n-tego rzędu. Jeśli f(x) 0, to równanie (5), czyli L n (y) = f(x) (6) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym niejednorodnym lub pełnym n- tego rzędu, a jeśli f(x) 0, to równanie L n (y) = 0 nazywamy równaniem różniczkowym jednorodnym lub uproszczonym n-tego rzędu. Rzędem danego równania jest rząd najwyższej pochodnej funkcji, niewiadomej funkcji występującej w tymże równaniu. W równaniach typu ODE niewiadoma funkcja zależy tylko od jednej zmiennej, wówczas równanie zawiera pochodne zwyczajne, natomiast w typie PDE występuje niewiadoma funkcja dwóch lub więcej zmiennych oraz jej pochodne cząstkowe[18].

15 2.1 Równania różniczkowe zwyczajne Równania różniczkowe zwyczajne Równania różniczkowe ze względu na swoją różnorodność można podzielić na wiele różnych sposobów. W tym rozdziale ograniczę się do przedstawienia kilku przykładów, a następnie skupie się na szczegółowym omówieniu równań rzędu drugiego. Do podstawowych równań różniczkowych możemy zaliczyć równania pierwszego rzędu postaci: (a) równanie zwyczajne o rozdzielonych zmiennych: (b) równanie zwyczajne p(y) dy dx = q(x) (7) dy dx = f(ax + by + c) (8) (c) równanie jednorodne względem x i y: dy dx = f(y x ) (9) (d) równanie liniowe: dy + p(x)y = q(x) (10) dx

16 Równania różniczkowe zwyczajne (e) równanie Bernoulliego nieliniowe: dy dx + p(x)y + q(x)yn = 0 (11) gdzie funkcje p(x) i q(x) są funkcjami ciągłymi w pewnym przedziale a<x<b, a n jest dowolną liczbą rzeczywistą; (f) równanie Riccatiego nieliniowe: dy dx = p(x)y2 + q(x)y + r(x) (12) w którym p(x), q(x), r(x) są funkcjami ciągłymi w pewnym wspólnym przedziale a<x<b; (g) równanie zupełne: P (x, y) + Q(x, y) dy dx = 0 (13) w którym funkcje P(x,y) i Q(x,y) są ciągłe w pewnym obszarze D i takie, że wyrażenie P (x, y)dx + Q(x, y)dy (14) jest różniczką zupełną pewnej funkcji F(x,y) określonej na obszarze D.

17 2.2 Równania różniczkowe cząstkowe 17 Oznacza to, że w obszarze D istnieje taka różniczkowalna funkcja F(x,y), że zachodzą związki: F x = P (x, y); F y = Q(x, y); (15) w każdym punkcie tego obszaru. Innym typem równań różniczkowych są równania liniowe rzędu drugiego o stałych współczynnikach mające postać: gdzie a 0 [10]. a d2 y dx + bdy + cy = f(x) (16) 2 dx 2.2 Równania różniczkowe cząstkowe W bardzo wielu przypadkach funkcje będące rozwiązaniem równań różniczkowych cząstkowych opisują pewne zjawiska fizyczne i wówczas również o równaniach mówimy, że opisują określone zjawiska. Można uznać, że teoria równań różniczkowych cząstkowych jest jedną z najbliższych fizyce dziedziną analizy matematycznej. Pierwsze równanie różniczkowe cząstkowe zostało sformułowane w połowie XVIII wieku przez J. d Alemberta ( ). Było to równanie typu hiperbolicznego i powstało w wyniku rozważań nad zagadnieniem struny drgającej. Następnie L.Euler ( ) sprecyzował warunki określające jednoznaczność rozwiązania tego równania tworząc początki teorii równań różniczkowych cząstkowych. Warunki te wynikały z interpretacji fizycznej zagadnienia. Później, kierując się sugestiami natury fizycznej, D. Bernoulii ( ) przedstawił rozwiązanie zagadnienia struny drgającej w postaci sumy szeregu trygonometrycznego, co dało początek nowej metodzie rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych. Metodę tę udoskonalił w początku XIX wieku J.Fourier ( ) pisząc kilka prac poświęconych równaniu

18 Równania różniczkowe cząstkowe przewodnictwa cieplnego. Były to równania typu parabolicznego[1]. W innej dziedzinie fizyki teoretycznej badania prowadził P. Laplace ( ). Zauważył on, że potencjał siły wzajemnego przyciągania dwóch mas spełnia równanie różniczkowe cząstkowe zwane obecnie równaniem Laplace a. Teorię zjawiska przyciągania grawitacyjnego rozwinął S.D. Poisson, w związku z którą wyprowadził równanie różniczkowe zwane równaniem Poissona. Można uznać zatem, że badania w zakresie mechaniki nieba doprowadziły do sformułowań równań różniczkowych cząstkowych typu eliptycznego. Następnie w początkach XIX wieku, G. Green ( ) stworzył ogólne podstawy teorii potencjału rozwijając teorię elektryczności i magnetyzmu. W związku z tym wyłoniła sie cała klasa równań różniczkowych cząstkowych bezpośrednio związanych z fizyką. Zajmując się teorią sprężystości oraz optyką A.L. Cauchy ( ) sformułował oraz dowiódł wiele twierdzeń o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania dla różnego typu równań różniczkowych cząstkowych. Następnie B.Riemann ( ) wyprowadził metody teorii funkcji analitycznych do rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych, a na przełomie XIX i XX wieku ukazało się wiele istotnych dla rozwoju prac z dziedziny równań różniczkowych związanych z fizyką, poświeconych zagadnieniom granicznym. Do najwybitniejszych możemy zaliczyć prace E.Picarda ( ) i J. Hadamarda ( ) [3]. Pojęcie zagadnienia początkowego poprawnie postawionego zostało wprowadzone przez Hadamarda, który zdefiniował je jako zagadnienie początkowe spełniające następujące dwa warunki: istnieje jednoznaczne rozwiązanie postawionego zagadnienia, rozwiązanie to zmienia się w sposób ciągły w zależności od zmian warunków początkowych. Matematykę polską chlubnie reprezentował w tej dziedzinie S.Zremba ( ). Głównym przedmiotem jego badań była teoria równań różniczkowych cząstkowych drugiego rzędu, wszystkich trzech typów, przy czym teoria ta stanowiła podstawowe narzędzie jego badań fizyki matematycznej i problemów techniki. Można wysnuć wniosek dotyczący istotnego znaczenia równań różniczkowych cząstkowych w zagadnieniach fizyki, a więc i techniki. Należy przy tym również zaznaczyć, że ta ważna w praktyce dziedzina, w dalszym ciągu się rozwija. Powstaje

19 2.2 Równania różniczkowe cząstkowe 19 wiele nowoczesnych analitycznych metod rozwiązywania zagadnień granicznych i bardzo szybko się rozwijają metody numeryczne, co jest skutkiem powszechnego wykorzystywania komputerów do analizy zjawisk opisanych równaniami różniczkowymi cząstkowymi[2]. W swojej pracy największą uwagę skupiłem na równaniach różniczkowych drugiego rzędu postaci: a 2 u(x,y) x 2 + b 2 u(x,y) x y + c 2 u(x,y) y 2 + d u(x,y) x + e u(x,y) y + fu(x, y) = = g(x, y) (17) gdzie a,b,c,d,e,f są funkcjami określonymi i ciągłymi w pewnym obszarze D R 2, a u=u(x,y)=u(x,t) jest funkcją dwóch zmiennych, dla której to argumentów nadana jest fizyczna interpretacja x położenia i t czasu klasy C 2, natomiast g(x,y) oznacza człon źródłowy. Jeżeli w równaniu (17) współczynniki te są stałe, to model ten będzie obiektem stacjonarnym. Natomiast w przypadku gdy współczynniki będą zależały od x lub y to (17) jest modelem niestacjonarnym. Wprowadzając następujące oznaczenie: = b 2 4ac (18) Otrzymujemy podział równań różniczkowych oparty na wartości wyróżnika postaci[8]: wyróżnik: < 0 = 0 > 0 typ równania: eliptyczne paraboliczne hiperboliczne Istotnym faktem jest możliwość zmiany wartości wyróżnika, która to może się zmieniać w różnych punktach przestrzeni i czasu. Do powyższej klasyfikacji można podać przykłady równań opisujących dane zjawisko fizyczne, a mianowicie[16]: równanie potencjału Laplace a równanie eliptyczne: 2 u x u y 2 = 0 (19)

20 Równania różniczkowe cząstkowe równanie transportu ciepła równanie paraboliczne: 2 u x u 2 y = 0 (20) równanie falowe równanie hiperboliczne: 2 u x 2 u 2 y = 0 (21) 2 Wszystkie z powyższych typów równań różniczkowych są wykorzystywane w numerycznym modelowaniu zjawisk fizycznych. Innym przykładem równania hiperbolicznego opisującego zależne od czasu procesy zachowawcze, których zaburzenia rozprzestrzeniają się ze skończoną prędkością c nazywamy skalarnym równaniem adwekcji, którego szczegółowe omówienie znajduje się w następnym rozdziale.

21 3 Równanie adwekcji 21 3 Równanie adwekcji Adwekcja, jako zjawisko fizyczne występuje powszechnie w przyrodzie i odgrywa bardzo istotną rolę. Pojęcie to samo w sobie oznacza przemieszczanie (transport) pewnej wielkości fizycznej z jakiegoś obszaru początkowego do obszaru docelowego. Zjawisko to jest dobrze znane meteorologom, jak i również inżynierom, którzy dzięki temu procesowi są w stanie zasymulować przepływ cieczy (zanieczyszczeń) przez rurę, przepływ powietrza przez dany korytarz. Zjawisko to może również posłużyć do modelowania ruchu drogowego, który ulega zmianom podczas zmian sygnalizacji świetlnej. W każdym z tych przykładów podanych powyżej w procesie adwekcji istotną rolę odgrywa inna wielkość fizyczna, którą może być między innymi temperatura, wilgotność, gęstość, jak i również natężenie samochodów w danej chwili czasu na drodze. Zjawisko adwekcji, tak jak wspomniałem we wcześniejszym rozdziale, opisywane jest przez równanie adwekcji, które ma następującą postać: u t + a u x = 0 (22) Powyższe równanie wywodzi się z prawa zachowania, które jest opisywane przez równanie ciągłości. Na samym początku musimy określić jak zmienia się masa m w funkcji czasu znajdująca się w ograniczonym przez powierzchnię Σ obszarze V, gdy do tego obszaru napływa pewien strumień masy. Ilość masy zawartej w elemencie objętości dv można wyrazić poprzez gęstość masy ρ: dm = ρdv (23)

22 22 3 Równanie adwekcji Głównym założeniem w tym przypadku jest fakt, iż masa nie może powstawać ani zanikać, czyli sama zmiana w czasie masy w objętości V może być spowodowana napływem lub odpływem strumienia masy. W przypadku gdy mamy do czynienia z rurą, przez którą płynie ciecz, w czasie dt przez element powierzchni d Σ wypływa masa o objętości d Σ vdt. Stąd: dm = ρd Σ vdt (24) Wówczas całkowita masa wypływająca z obszaru V, który otacza powierzchnia Σ w czasie dt, będzie równa: dm = Σ ρ v d Σdt (25) Dzieląc powyższe równanie przez dt, wykorzystując równanie (33) i całkując otrzymujemy wyrażenie określające zmianę w czasie masy m zawartej w obszarze V : d dt ρdv = ρ v d Σ (26) V Σ Korzystając z twierdzenia Gaussa zamieniamy całkę powierzchniową na objętościową i otrzymujemy: [ ρ t + div(ρ v) ] dv = 0 (27) V Całka ta musi znikać dla dowolnego obszaru V, więc funkcja podcałkowa jest równa zeru, czyli: ρ t + div(ρ v) = 0 (28) Równanie (28) jest równaniem ciągłości. Wykonując przekształcenia wykorzystujące wyrażenie na pochodną substancjalną dochodzimy do następującej postaci równania ciągłości: ρ t + div (ρ v) = ρ t + v grad ρ + ρ div v = 0 (29)

23 3 Równanie adwekcji 23 Stąd otrzymujemy ostatecznie równanie postaci: dρ dt gdzie d dt oznacza pochodną substencjalną taką, że: d dt = t + ρ div v = 0 (30) + v grad Zakładając, że jest przepływ bez źródłowy (div v = 0), otrzymujemy stałą gęstość masy w cieczy[5]: dρ dt = 0 (31) Mając już wyprowadzone równanie ciągłości możemy przejść do wyprowadzania równania adwekcji. Najczęściej spotykanym przykładem w literaturze omawianym jest rura z cieczą (Rys. 1). Rysunek 1: Przepływ cieczy przez rurę [8]. Analizując ten jednowymiarowy układ określmy funkcję u(x,t), jako koncentrację pewnej substancji w cieczy. Zmienna x niech oznacza współrzędną rurki w kierunku poziomym, a t oznacza daną chwilę czasu. Zbierając te informacje oznaczenie u(x,t) będzie nam mówiło o masie substancji w punkcie x i chwili czasu t. Zakładamy, że koncentracja jest stała na całej długości rury. Chcąc określić całkowitą

24 24 3 Równanie adwekcji masę substancji w przedziale [x 1, x 2 ] wystarczy scałkować funkcję u(x,t) w tym przedziale [7]: x 2 x 1 u(x, t) dx (32) Całkowita masa substancji wewnątrz może jedynie się zmieniać tylko z powodu napływu bądź też odpływu strumienia na brzegach w punktach x 1 i x 2, ponieważ nie jest w żaden sposób wytwarzana ani niszczona. Zmiana masy w danym przedziale [x 1, x 2 ] da się zapisać w postaci różnicy pomiędzy strumieniami wpływającym i wypływającym z tego obszaru w postaci: x 2 d u(x, t)dx = F (u(x 1, t)) F (u(x 2, t)) (33) dt x 1 Przyjmujemy tutaj następującą konwencję odnośnie strumienia, iż strumień F jest skierowany z punktu x 1 do x 2, czyli od lewej do prawej strony. W kwestii wyjaśnienia w punkcie x 1 następuje napływ danej substancji, natomiast w x 2 jej odpływ. Stąd mamy znak minus przed ostatnim wyrażeniem. Poczynając założenie, że u(x,t) oraz F(u(x,t)) są funkcjami różniczkowalnymi, prawą stronę równania (33) możemy zapisać w postaci: [F (u(x 2, t)) F (u(x 1, t)] = Wobec tego równanie (33) przyjmuje postać: x 2 d u(x, t)dx = dt x 1 x 2 x 1 x x 2 x 1 x F (u(x, t))dx (34) F (u(x, t))dx (35) Zapisując to równanie (35) pod jedną całką mamy następującą postać wyrażenia: x 2 x 1 [ ] u(x, t) + t x F (u(x, t)) dx = 0 (36) Podobnie jak w przypadku równania ciągłości, całka w równaniu (36) musi być równa zero dla dowolnych wartości x 1 i x 2. Stąd mamy, że funkcja podcałkowa w

25 3 Równanie adwekcji 25 równaniu (36) również musi być równa zero, czyli otrzymujemy postać nielinowego równania adwekcji: u(x, t) + F (u(x, t)) = 0 (37) t x Równanie (37) daje się przedstawić w prostszej postaci, a mianowicie: u t + F (u) x = 0 (38) Wprowadziliśmy tutaj następujące oznaczenia: u t = u t oraz F (u) x = F x. W przypadku gdy substancja jest niesiona ze stałą prędkością a, wówczas funkcję strumienia zapisuje się jako: F (u) = au W ten sposób otrzymujemy liniowe równanie adwekcji (22). Równanie to modeluje na przykład przepływ płynu w jednowymiarowej rurce. Strumień ten przepływa w prawą stronę, gdy jego prędkość a > 0 lub w lewą, jeśli a < 0. W przypadku gdy chcemy jednoznacznie wyznaczyć rozwiązanie równania (22), musimy określić warunki początkowe: u(x, 0) = u 0 (x) Biorąc pod uwagę sens fizyczny tego równania możemy się spodziewać, że początkowy kształt funkcji u 0 (x) będzie niesiony wraz ze strumieniem ze stała prędkością a. Stąd rozwiązaniem równania (22) przy powyższych warunkach początkowych jest: u(x, t) = u 0 (x ct) (39) Charakterystykami nieliniowego równania adwekcji (38) są krzywe przechodzące przez każdy punkt x 0 w chwili t = 0 takie, że: dx dt = f u oraz x(t = 0) = x 0

26 26 3 Równanie adwekcji Stąd charakterystykami są linie proste spełniające równanie x = x 0 + ct przechodzące przez każdy punkt x 0 w chwili t = 0. Jeżeli oznaczymy U(t) = u(x 0 + ct, t) na mocy (22) pochodna po czasie tego wyrażenia będzie równa: d dt U(t) = u t(x 0 + ct, t) + cu x (x 0 + ct, t) = 0 Wzdłuż charakterystyk, które są liniami prostymi, równanie różniczkowe cząstkowe redukuje się do równania różniczkowego zwyczajnego: U (t) = 0 i rozwiązanie musi być stałe wzdłuż każdej charakterystyki [7].

27 4 Metody numeryczne 27 4 Metody numeryczne W tym rozdziale przedstawię metody numeryczne, dzięki którym możemy uzyskać przybliżone rozwiązanie danego równania różniczkowego opisującego analizowane zjawisko. Ponieważ takich metod jest bardzo dużo, ograniczę się do tych, które mają zastosowanie w rozwiązywaniu równania adwekcji oraz były podstawą wyprowadzenia metody Galerkina. Jednym z pierwszych pytań, które się pojawiają w momencie spotkania z tematyką metod numerycznych, jest: Po co są te metody i jakie dają rozwiązania?. Dzięki metodom numerycznym jesteśmy w stanie, niekiedy metodą prób i błędów, odnaleźć najefektywniejsze i zgodne z prawami fizyki rozwiązanie. Symulacje numeryczne przeprowadzane przy pomocy komputera w wielu sytuacjach pozwalają nam obniżyć koszty przedsięzwięcia poprzez przetestowanie obiektu wirtualnego. Dla przykładu, gdy konstruktorzy samolotów czy samochodów chcą zbadać aerodynamikę swojej konstrukcji, to wystarcza im wykorzystać odpowiednią metodę i bez wielkich kosztów przetestować wirtualnie konstrukcję. Z podobną sytuacją możemy się spotkać wśród architektów i budowniczych, którzy badają obciążenia, jakich doznają konstrukcje na ziemi. Jedną z najistotniejszych zastosowań tych metod jest możliwość zbadania zjawiska fizycznego, które jest obserwowane, ale niestety nie jesteśmy w stanie w obecnej chwili uzyskać dokładnych pomiarów, ewentualnie być w odpowiedniej odległości od miejsca, gdzie dane zjawisko występuje. Jako przykład posłużyć może badanie Słońca, a więc jedynej gwiazdy w naszym Układzie Słonecznym oraz obiektów bardziej odległych, jakimi są czarne dziury [25]. Obecne możliwości techniczne, jakie nasza cywilizacja posiada, nie pozwalają nam na dokładne zbadanie wszystkich zjawisk zachodzących na Słońcu i dokładne ich poznanie. Właśnie tutaj z pomocą przychodzą nam metody numeryczne, które dzięki naszym metodom i obserwacjom pochodzącym z kolejnych misji kosmicznych pozwalają poznać coraz to więcej istotnych własności zjawisk występujących na Słońcu. Każda metoda numeryczna jest charakterystyczna i daje się zastosować do szerszej albo i węższej gamy zjawisk. Niestety nie mamy jednej metody, która byłaby dobra na wszystko i dlatego ciągle trwają prace nad udoskonalaniem obecnych. Powstają również nowe metody coraz to bardziej wyrafinowane i dające dokładniejsze rozwiązania. Wiele metod jest testowanych w bardzo prosty sposób. A mianowicie gdy mamy równanie opisujące dane zjawisko i dla tego problemu jest znane dokładne

28 28 4 Metody numeryczne analityczne rozwiązanie, to wystarczy tylko użyć danej metody i wyniki otrzymane dzięki niej porównać z rozwiązaniem dokładnym [12]. Wiadomo, że symulacje numeryczne są przeprowadzane przez komputery i działające w nich algorytmy. Niestety wszystkie zagadnienia rozwiązywane metodami numerycznymi są obarczone błędami, które możemy sklasyfikować w następujący sposób: błędy metody - są związane ze sformułowaniem zagadnienia matematycznego, przy którym niestety zostają nam narzucone pewne uproszczenia. Postać matematyczna rzadko kiedy opisuje realnie zjawisko, częściej reprezentuje ich wyidealizowany model. Błędy te również występują także wtedy, gdy postawione zagadnienie jest bardzo skomplikowane i zastępujemy go prostszym, o mniejszym stopniu złożoności, bliskim co do wyników zagadnieniem przybliżonym; błędy wejściowe - mamy z nimi do czynienia przez cały czas, gdy nasze dane są wprowadzane do pamięci komputera i występuje tutaj skończona długość słów reprezentujących liczby w naszym komputerze oraz związane z tym zaokrąglenie. Zapis każdej liczby stanowiącej daną wejściową dla obliczeń musi zostać przekształcony z zapisu w systemie dziesiętnym do zapisu do danej reprezentacji np. reprezentacji binarnej. Właśnie dlatego przedstawienie wartości liczby rzeczywistej często jest niemożliwe, na przykład liczby w systemie dziesiętnym z częścią ułamkową po przecinku po zamianie na system dwójkowy dają nieskończone rozwinięcie. Obecność tego typu błędów związana jest z arytmetyką komputerów. Każda liczba jest zapisana w postaci skończonego rozwinięcia. W obliczeniach przeprowadzanych przez komputer bierze udział skończona z góry ustalona liczba cyfr. W przypadku gdy mamy dokładne dane wejściowe, to w momencie zapisu tych danych do komputera następuje konwersja na daną reprezentację i wszelkie operacje są wykonywane na liczbach przybliżonych. Błędów tych można uniknąć stosując odpowiednią kolejność wykonywania działań i ich odpowiedni sposób zastosowania. Do tych błędów możemy jeszcze zaliczyć obecność we wzorach matematycznych parametrów liczbowych (stałych), których wartość można podać tylko w przybliżeniu,

29 4 Metody numeryczne 29 należą do nich takie jak: a) stałe fizyczne b) liczby niewymierne (π, e, 2) c) wyniki pomiarów wielkości fizycznych obarczonych błędami pomiaru; błędy obcięcia - powstają podczas obliczeń na skutek zmniejszania liczby działań. Są związane z istnieniem w matematyce funkcji nieskończonych (np. szeregi, ciągi, ułamki okresowe). Pojawia się wtedy konieczność zakończenia obliczeń na pewnym etapie, czyli uwzględniania w obliczeniach tylko skończonej liczby wyrazów. Dla przykładu, chcąc obliczyć wartość wyrażenia e x równego szeregowi nieskończonemu: 1 + x x n! xn +... zastępujemy je sumą częściową postaci 1+x+ 1 2 x n! xn z odpowiednio dobraną wartością n. Jeżeli n jest dostatecznie dużą liczbą, to całkowity błąd popełniony przy obliczaniu e x będzie równy błędowi wejściowemu. Ze względu na długi czas obliczeń, na ogół uwzględnia się niewielką liczbę składników szeregu, co skutkuje pojawieniem sie tego błędu. Błędy obcięcia często powstają przy obliczaniu wielkości będących granicami oraz podczas zastępowania pochodnej funkcji jej ilorazem różnicowym; błędy działań - związane z wykonywaniem działań arytmetycznych na liczbach przybliżonych. Podczas wykonywania operacji na liczbach przybliżonych do wyników obliczeń są przenoszone błędy danych początkowych. Błędy te w pojedynczej operacji zwykle nie są istotne. Przenoszenie błędów podczas wykonywania operacji na liczbach przybliżonych jest ważną cechą algorytmu. Ostatecznie zbierając te wszystkie powyższe błędy, które mogę się skumulować i dać błąd nazywany błędem numerycznym. Sposób przenoszenia sie błędów związany jest ze sformułowaniem zadania, ze stosowanym algorytmem i jego stopniem złożoności oraz z realizacją tego algorytmu w arytmetyce komputera. Przy konkretnych zagadnieniach pewne błędy mogą się w ogóle nie pojawić, jak i również nie mieć większego wpływu na ogół obliczeń. Zadanie, dla którego rozwiązanie jest mało wrażliwe na małe zmiany w danych wejściowych, nazywamy numerycznie dobrze uwarunkowanym. Często

30 30 4 Metody numeryczne od problemu fizycznego można przejść do różnych, ale równoważnych sformułowań matematycznych, z których jedno jest źle uwarunkowane, a inne dobrze[14]. Algorytm możemy uznać za numerycznie poprawny, jeżeli uzyskane dzięki niemu rozwiązanie będzie nieco odbiegało od rozwiązania ścisłego, uzyskanego dla zmienionych nieco danych wejściowych, czyli należy rozumieć zmianę tych danych na poziomie błędu reprezentacji. Taki algorytm jest najwyższej jakości. Z algorytmem numerycznie stabilnym mamy do czynienia, jeśli uzyskane za jego pomocą rozwiązanie ma błąd proporcjonalny do błędu optymalnego, tzn. błędu wynikającego z przybliżonej reprezentacji danych i wyniku. Wśród wszystkich metod przybliżonych nie ma jednej, optymalnej dla każdego z możliwych do postawienia występujących w praktyce zadań. Z tej przyczyny każda osoba zajmująca się metodami numerycznymi, na podstawie analizy postawionego problemu, powinna dobrać odpowiednią metodę. Do najpopularniejszych metod numerycznych możemy zaliczyć: - MRS (metoda różnic skończonych), - MES (metoda elementów skończonych), - MEB (metoda elementów brzegowych), - MAN (metody analityczno-numeryczne), - MRC (metoda równań całkowych). Metody numeryczne pozwalają wyznaczyć przybliżone wartości rozwiązania na pewnym (dyskretnym) podzbiorze zbioru D Γ i przyjmując oznaczenie jako zbiór, który nazywać będziemy siatką numeryczną, a jego podzbiór Γ - brzegiem siatki. Elementy zbioru są węzłami siatki, w których to będziemy szukać rozwiązania problemu w danym czasie, natomiast nasz D jest to n-wymiarowy obszar ograniczony brzegiem Γ. Podstawowym procesem zachodzącym podczas przeprowadzania symulacji numerycznych jest dyskretyzacja obszaru, czyli podział na węzły (punkty), dzięki którym będziemy mogli obliczyć poszczególne wartości przybliżone danego równania. Rozkład ten będzie dyskretny, ponieważ obecne komputery nie są przystosowane do pracy na rozkładach ciągłych, dlatego właśnie siatka numeryczna odgrywa w

31 4 Metody numeryczne 31 naszych procesach tak istotną rolę, gdyż dzięki niej dochodzimy do przybliżonego rozwiązania naszego problemu w poszczególnych węzłach sieci [15]. Siatki numeryczne generalnie możemy podzielić na: regularne - są to siatki, które na całym obszarze posiadają jednolity kształt (tzw. siatki jednorodne), węzły siatki oddalone są od siebie o te same odległości we wszystkich kierunkach (rys. 2). Ogólnie możemy powiedzieć, iż ten rodzaj siatek jest zbudowany z pojedynczych prostych figur geometrycznych tzw. komórek numerycznych, które w swoich wierzchołkach tworzą węzły siatki (jak również i węzeł może być w centralnej części komórki) i zestawione ze sobą na płaszczyźnie tworzą cały obszar symulacji tzw. siatke numeryczną. Niestety ten typ nie pozwala nam na dokonywanie dokładniejszych pomiarów w pod obszarze, w którym więcej informacji pozwoliłoby nam na otrzymanie istotnych informacji zbliżających nas do dokładnego rozwiązania równania. Do przykładowych siatek regularnych możemy zaliczyć [15]: a) siatka kwadratowa (Rys. 2) Rysunek 2: Siatka regularna kwadratowa.

32 32 4 Metody numeryczne b) siatka trójkątna (Rys. 3) Rysunek 3: Siatka regularna trójkątna. c) siatka heksagonalna (Rys. 4) Rysunek 4: Siatka regularna heksagonalna.

33 4 Metody numeryczne 33 samo-adaptacyjne - ten typ siatek numerycznych został zapoczątkowany w roku 1984 i jego główną zaletą, jest jak sama nazwa mówi, samo-adoptowanie (Rys. 5-7). A mianowicie obszar symulacji jest podzielony siatką regularną, ale w momencie, gdy w danym podobszarze zaczyna coś się dziać, następuję automatyczne zagęszczenie w tym właśnie podobszarze. Umożliwia to uzyskanie dokładnych wyników. Natomiast w pozostałych obszarach, gdzie nie mamy potrzeby zagęszczać siatki, pozostaje ona bez zmian. Wykorzystanie tego typu siatek prowadzi do dużo dokładniejszych wyników symulacji oraz prowadzi do istotnego skrócenia czasu przeprowadzanej symulacji danego problemu numerycznego [21]. Poniżej przedstawiony jest schemat działania siatki samo-adaptacyjnej, która automatycznie dzieli siatkę (zagęszcza się) w miejscu przebiegu symulacji: Rysunek 5: Na rysunku przedstawiono poszczególne etapy działania siatki samo-adaptacyjnej.

34 34 4 Metody numeryczne Rysunek 6: Przykład podziału obszaru symulacji przez siatkę samo-adaptacyjną. Rysunek 7: Zastosowanie siatki samo-adaptacyjnej w kodzie numerycznym AMR [24].

35 4.1 Schematy numeryczne dla równania adwekcji Schematy numeryczne dla równania adwekcji W tym rozdziale przedstawię po krótce kilka schematów mających swoje zastosowanie przy rozwiązywaniu równania adwekcji (22). Rozpocznę od metod pierwszego rzędu dokładnych. W szczególności rozważę metody różnic skończonych, takie jak schematy Eulera, metody dyskretyzacji pod wiatr i schemat Laxa-Friedrichsa. Przedstawię również schemat Laxa-Wendroffa oraz Beama-Warminga Metoda różnic skończonych Rozważmy obszar [0, L] [0, T ] w płaszczyźnie x-t. Niech dane będzie równanie adwekcji: z warunkiem początkowym u t + a u x = 0 u(x, 0) = u 0 (x) oraz warunkami brzegowymi: u(0, t) = u l (t) u(l, t) = u p (t) Powyższe równanie adwekcji możemy zapisać, przyjmując konwencję iż pochodne cząstkowe będą zapisywane poprzez dolne indeksy oraz tym razem prędkość adwekcji będziemy oznaczać jako a. Otrzymamy równanie: u t + au x = 0 (40) Możemy przystąpić do dyskretyzacji naszego obszaru symulacji i na samym początku musimy określić siatkę punktów w kierunku współrzędnej x np. x i = i x gdzie x = L M, i = 0,..., M

36 Schematy numeryczne dla równania adwekcji Wybierzmy siatkę punktów na osi czasu t n = n t Sposób dyskretyzacji czaso-przestrzeni przedstawia Rys. 8. Rysunek 8: Dyskretyzacja obszaru symulacji. Po procesie dyskretyzacji wartości funkcji u(x, t) przyjmą postać: u n i u(i x, n t) = u(x i, t n ) (41) Rozważmy przybliżenie pochodnej czasowej u t w punkcie siatki (x i, t n ) przednią różnicą skończoną: u t = un+1 i u n i t oraz przybliżenie centralne pochodnej u x : (42) u x = un i+1 u n i 1 2 x (43)

37 4.1 Schematy numeryczne dla równania adwekcji 37 Mając powyższe wyrażenia możemy przejść do dyskretnej postaci równania adwekcji, które zostaje przybliżone następująco: Stąd wartości u n+1 i n, czyli: u n+1 i u n i t + a [ u n i+1 u n ] i 1 = 0 (44) 2 x w kroku czasowym n+1 można wyrazić przez wartości w kroku u n+1 i lub w równoważnej postaci = u n i 1 2 a t x [un i+1 u n i 1] (45) u n+1 i = u n i 1 2 c [un i+1 u n i 1] (46) Współczynnik c, który pojawił się w powyższym równaniu, nosi nazwę liczby Couranta i wyraża się następująco: c = a t x = a x t Liczba Couranta oznacza, iloraz prędkości adwekcji a do prędkości siatki x t. Schemat ten jest bezwarunkowo niestabilny 1. 1 Niestabilność oznacza, że sygnał u n i rośnie niefizycznie szybko w czasie.

38 Schematy numeryczne dla równania adwekcji Schemat Eulera W metodzie tej dla równania adwekcji (22) pochodną czasową przybliżamy przednim ilorazem różnicowym o postaci: u n t = un+1 i u n i t Natomiast pochodną przestrzenną aproksymujemy ilorazem różnicowym centrowanym, korzystając z wielkości określonych dla poprzedniego kroku czasowego n, czyli: u n x = un i+1 u n i 1 2 x Wstawiając powyższe przybliżenia do równania (22) mamy: u n+1 i u n i t = a un i+1 u n i 1 2 x Po prostych przekształceniach otrzymujemy schemat Eulera (tzw. schemat FCTS): u n+1 i (47) = u n i a t x [un i+1 u n i 1] (48) Schemat powyższy jest dokładny, lecz niestety warunkowo niestabilny, co uniemożliwia jego stosowanie w praktyce, gdyż jest bezużyteczny [7] Metody dyskretyzacji pod wiatr Schemat ten konstruuje się używając niesymetrycznej aproksymacji pochodnych przestrzennych za pomocą ilorazu różnicowego przedniego lub tylnego. Są to przybliżenia jednostronne, ponieważ wykorzystują one informacje tylko z jednej strony punktu x i. Wykorzystując przedni iloraz różnicowy dla pochodnych otrzymamy dla równania adwekcji następujące schematy w zależności od wartości prędkości odpowiednio c > 0 i c < 0: oraz u n+1 i u n+1 i u n i t u n i t + a un i u n i 1 x + a un i+1 u n i x = 0 (49) = 0 (50)

39 4.1 Schematy numeryczne dla równania adwekcji 39 Wykorzystaliśmy tutaj przybliżenia pierwszego rzędu. W tym przypadku zdecydowanie lepszym przybliżeniem jest jednostronne, ponieważ samo równanie adwekcji zawiera niesymetryczność. Niesymetryczność ta związana jest z tym, że opisuje ona transport pewnej substancji z prędkością a. Przemieszczanie to odbywa sie w lewo, gdy a < 0 lub prawo, gdy a > 0. zachodzą odpowiednie warunki: oraz Okazuje się, że schematy są stabilne, gdy 0 a t x 1 1 a t x 0 Schematy powyższe noszą schematów nazwę pod wiatr (ang. upwind). Zatem schemat pod wiatr dla równania adwekcji przyjmuje postać: gdzie: u n+1 i = z+ u n i 1 + z u n i z + u n i + z u n i+1 x t (51) z + = 1 (c + c ) 2 z = 1 (c c ) Schemat Laxa-Friedrichsa Wykorzystując schemat Eulera (48) i dokonując w nim modyfikacji, wówczas otrzymujemy bardzo dobrą i użyteczną metodę. Jeżeli w równaniu (48) zamiast u n i zastosujemy średnią, tj. u n i właśnie schemat Laxa-Friedrichsa [8]: u = n i 1+u n i+1 2, to wtedy rezultatem tej czynności będzie u n+1 i = un i 1 + u n i+1 2 a t 2 x [un i+1 u n i 1] (52) Schemat ten charakteryzuje się dokładnością pierwszego rzędu w czasie oraz drugiego rzędu w przestrzeni. Schemat ten jest stabilny, jeśli spełniony jest warunek: c t x

40 Schematy numeryczne dla równania adwekcji Schemat Laxa-Wendroffa Do wyprowadzenia tego schematu wykorzystam szereg Taylora w postaci: u(x, t + t) = u(x, t) + t u t (x, t) + ( t)2 u tt (x, t) +... (53) 2 Następnie z równania (40) zapisujemy drugą pochodną względem czasu i wstawiając tę zależność do równania (53) uzyskujemy następujące wyrażenie: u(x, t + t) = u(x, t) a t u x (x, t) + ( t)2 a 2 u xx (x, t) Korzystając z scentrowanej aproksymacji pochodnych przestrzennych rzędu pierwszego i drugiego otrzymujemy schemat Laxa-Wendroffa [8]: u n+1 i = u n i a t 2 x [un i+1 u n i 1] + a2 ( t) 2 2( x) 2 [un i+1 2u n i + u n i 1] (54) Ten typ schematu jest dokładny drugiego rzędu w czasie oraz przestrzeni, natomiast warunek stabilności przedstawia się następująco: 0 c t x Schemat Beama-Warminga Schemat ten jest podobny do schematu Laxa-Wendroffa. Posiada on kilka modyfikacji, m.in uwzględniana jest informacja o wartości funkcji w kroku czasowym i 2. Zakładając, że prędkość c > 0, otrzymujemy schemat o następującej postaci [8]: u n+1 i = 1 2 c(c 1)un i 2 + c(2 c)u n i (c 1)(c 2)un i (55) Dzięki takim zabiegom otrzymujemy schemat drugiego rzędu dokładny w czasie oraz przestrzeni z warunkiem stabilności: 0 c t x 2

41 4.2 Metody typu Godunowa Metody typu Godunowa Do jednych z dokładniejszych metod rozwiązywania nieliniowej postaci równania adwekcji (38) możemy zaliczyć metodę Godunowa. Korzystając z dyskretyzacji obszaru z rozdziału (4.1.1) tworzymy siatkę numeryczną o N-węzłach. Następnie przystępując do rozwiązania równania (38) i uwzględniając dyskretną postać funkcji, rozwiązujemy N-równań określonych w poszczególnych węzłach siatki. Niestety nasza dyskretyzacji prowadzi nas do nieciągłości na brzegach komórek numerycznych i mamy do czynienia w takiej sytuacji z problemem Riemanna 2. W tej metodzie rozwiązanie zależy od postaci i własności funkcji tzw. strumienia, który odgrywa istotną rolę. W rozwiązywaniu równań typu hiperbolicznego istotną rolę odgrywa metoda objętości skończonych (ang. finite volume method). Właśnie to w tej metodzie, wartość funkcji ciągłej jest przybliżona poprzez uśrednienie po objętości w każdej komórce numerycznej [19]: q i n 1 x x+ 1 2 x 1 2 q(x, t n )dx (56) Mamy tutaj do czynienia z analogią zasady zachowania mas, która mówi nam, iż wartość q i w kolejnych odstępach czasowych może ulec zmianie jedynie poprzez zmianę strumienia na brzegu i-tej komórki. Teraz możemy dokonać uśrednienia strumienia przepływającego przez krawędź x i± 1. Ponieważ nie znana jest postać 2 q(x i± 1 2, t), Godunow zaproponował w swojej metodzie następujące uśrednienie [20]: f i± t t n +1 t n f ( q(x i± 1 2, t) ) dt (57) Powyższa metoda Godunowa jest stabilna, gdy spełniony jest warunek CFL. Schemat ten jest schematem pierwszego rzędu dokładnym w zmiennych przestrzennych. Mamy do czynienia z szerokim spektrum rozszerzeń metody pierwszego rzędu, dzięki którym uzyskujemy znacznie dokładniejsze wyniki w zmiennych przestrzennych jak i również w czasie przy podnoszeniu rzędu dokładności. W rozdziale odnoszącym się do badań własnych będę chciał porównać właśnie metodę Godunowa z metodą Galerkina w rozwiązaniu równania adwekcji [9]. 2 Problem ten jest pokazany na rysunku 9

42 Metody typu Godunowa Rysunek 9 pokazuje problem Riemanna, a mianowicie nieciągłość funkcji u(x, t = 0) dla czasu t = 0, gdzie u l i u p oznaczają odpowiednio wartości funkcji w lewej i prawej komórce numerycznej. Rysunek 9: Problem Riemanna - nieciągłość na brzegu komórki numerczynej [8].

43 4.3 Metoda elementów skończonych MES Metoda elementów skończonych MES Metoda elementów skończonych (MES) jest obecnie powszechnie stosowanym narzędziem obliczeń numerycznych. Rozwój metody datuje się od połowy lat sześćdziesiątych. Zapoczątkował ją Courant, który jako matematyk około 1943 roku opublikował pracę uważaną dziś za pionierską w tej dziedzinie. Po raz pierwszy wprowadził on, w celu rozwiązania eliptycznych równań różniczkowych cząstkowych, podział obszaru obliczeniowego na małe trójkąty. Metoda ta rozwijała się za sprawą matematyków, jak i również wielu osób zmagających się z trudnymi problemami praktycznymi. Metoda elementów skończonych miała swoje zastosowanie w analizie takich konstrukcji jak samoloty, pojazdy kosmiczne, konstrukcje towarzyszące reaktorom atomowym, platformom naftowym, co spowodowało olbrzymi wzrost zainteresowania tą metodą i zwiększyło nakład nad oprogramowaniem komputerowym. Obecnie z roku na rok liczba publikacji naukowych rośnie, które w mniejszym lub większym stopniu dotyczą problematyki związanej z tą metodą. W obecnych czasach wobec błyskawicznego rozwoju mocy obliczeniowej komputerów i dostępności do sprzętu informatycznego rozwiązywanie coraz to trudniejszych zagadnień nie stwarza większych problemów. Wraz z rozwojem metody elementów skończonych dla wielu problemów fizycznych i pojawiła się szansa ich realnego rozwiązania, gdyż dotąd ze względu na pojawiające się trudności w jednoczesnym spełnieniu wszystkich wymagań narzucanych na własność rozwiązań, tylko wybrana grupa zadań była rozwiązywana analitycznie. Większość problemów charakteryzująca się skomplikowanymi warunkami brzegowymi i sformułowaniami w kategoriach analizy matematycznej, nie mogła być w ogóle rozwiązana. W końcu pojawienie sie metod nawiązujących do dyskretyzacji obszaru symulacji, a co za tym idzie do zmiany formy matematycznego opisu problemów (z analitycznego na algebraiczny) umożliwiło podejmowanie tych skomplikowanych zagadnień. Metoda ta rozwija się ciągle w sposób równoległy z rozwojem techniki komputerowej. Początkowe obliczenia wykorzystujące MES dotyczyły obiektów o bardzo prostych geometriach (przeważało modelowanie w jednym wymiarze) i stałych własnościach oraz zjawisk opisywanych liniowymi równaniami różniczkowymi. W latach siedemdziesiątych metodę zaczęto stosować do rozwiązywania problemów nieliniowych, ale dalej dla obiektów o stosunkowo prostych kształtach (modelowanych w

44 Metoda elementów skończonych MES geometriach jedno- lub dwu-wymiarowych). W momencie gwałtownego rozwoju techniki komputerowej w latach osiemdziesiątych, związanych z coraz to większą mocą obliczeniową komputerów oraz możliwościami przechowywania i operowania bardzo dużych zbiorów informacji, umożliwiło zastosowanie metody elementów skończonych do obliczeń nieliniowych dla obiektów już o dowolnie złożonych geometriach, co odgrywało istotną rolę dla trzech wymiarów. Bardzo duży wkład w powstanie i rozwój metody oraz jej popularyzację miał profesor z Uniwersytetu Walijskiego w Swansea O.C. Zienkiewicz 3. Matematyczne podstawy teoretyczne metody elementów skończonych można znaleźć w pracach Galerkina i Ritza [11]. W chwili obecnej metoda ta jest z powodzeniem wykorzystywana w zagadnieniach, które możemy opisać poprzez równania różniczkowe wraz z odpowiednimi warunkami brzegowymi. Przykładowo wymieńmy zagadnienia: mechaniki ciał odkształcanych, mechaniki płynów, w analizie przewodnictwa cieplnego, wibroakustyce, analizie różnego typu pół: elektrycznych, magnetycznych i elektromagnetycznych. Daje ona dobre rezultaty w przypadku obliczeń w obszarach ograniczonych, zawierających materiały nieliniowe i niejednorodne oraz anizotropowe. Chcąc opisać dokładnie metodę elementów skończonych musimy na początku zdefiniować kilka podstawowych terminów, które posłużą do opisu poszczególnych etapów tejże metody: a) element skończony - jest prostą figurą geometryczną (płaską lub przestrzenną), dla której określone zostały wyróżnione punkty zwane węzłami oraz pewne funkcje interpolacyjne służące do opisu rozkładu analizowanej wielkości w jego wnętrzu i na jego bokach (Rys. 10). Rząd elementu jest zawsze równy rzędowi funkcji interpolacyjnych; 3 Profesor O.C. Zienkiewicz pochodził z Warszawy, stąd wyemigrował.

45 4.3 Metoda elementów skończonych MES 45 Rysunek 10: Typowe elementy skończone w przestrzeni jedno-, dwu- i trójwymiarowych. b) funkcje kształtu (funkcje węzłowe) - funkcje interpolacyjne służące do opisu analizowanej wielkości we wnętrzu lub na bokach elementu skończonego. Liczba funkcji kształtu w pojedynczym elemencie skończonym jest równa liczbie jego węzłów; c) węzły - znajdują sie w wierzchołkach elementu skończonego, ale mogą być również umieszczone na jego bokach i w jego wnętrzu. Jeżeli węzły znajdują się tylko w wierzchołkach, wtedy mówimy o elemencie liniowym (ponieważ wtedy funkcje interpolacyjne są wtedy liniowe), natomiast w pozostałych przypadkach mamy do czynienia z elementami wyższych rzędów. Metoda elementów skończonych oparta jest na kilku prostych ideach. Podstawową ideą jest skończony podział obszaru Ω, w którym problem jest zdefiniowany oddziel-

46 Metoda elementów skończonych MES nie na każdym z podobszarów, zwanych elementami. Dobór elementów dokonywany jest w taki sposób, aby: - posiadały one nieskomplikowany kształt geometryczny, - można było na nich zadać proste funkcje aproksymujące, przybliżające rozwiązanie wewnątrz każdego z nich. Najczęściej stosowanymi funkcjami aproksymującymi są wielomiany lub funkcje otrzymane z wielomianów przez zamianę zmiennych. Rozwiązania uzyskane na wszystkich elementach składających się na dany obszar Ω, łączone są w sposób zapewniający odpowiednią ciągłość szukanego rozwiązania w całym obszarze. Użycie elementów o tym samym kształcie i właściwościach (ewentualnie o podobnych parametrach) powoduje daleko idącą automatyzację procesu obliczeń [11]. Rysunek 11 przedstawia obszar, który został podzielony na pojedyncze elementy skończone postaci trójkątnej. Elementy te wypełniły w pełni bryłę przestrzenną. Rysunek 11: Dyskretyzacja obszaru za pomocą elementów trójkątnych.

47 4.3 Metoda elementów skończonych MES 47 Mając już zdefiniowane podstawowe pojęcia cechujące metodę elementów skończonych możemy przejść do przedstawienia poszczególnych etapów występujących w tejże metodzie. MES charakteryzują następujące etapy: 1. analizowany obszar dzielimy na pewną skończoną liczbę geometrycznie prostych elementów, tzw. elementów skończonych, 2. elementy skończone są ze sobą połączone w skończonej liczbie punktów znajdujących się na obwodach (najczęściej są to punkty narożne) - noszą nazwę węzłów, 3. obieramy funkcje jednoznacznie określające rozkład analizowanej wielkości fizycznej wewnątrz elementu skończonego w zależności od wartości tej wielkości w węzłach - funkcje kształtu (funkcje węzłowe), 4. przekształcamy równania różniczkowe opisujące dane zjawisko poprzez zastosowanie tzw. funkcji wagowych do równań metody elementów skończonych i powstają wtedy równania postaci algebraicznej, 5. przeprowadzamy asemblację, czyli obliczamy wartości współczynników stojących przy niewiadomych oraz odpowiadające im wartości prawych stron. Liczba równań w układzie jest równa liczbie węzłów przemnożonych przez liczbę stopni swobody węzłów tzn. liczbę niewiadomych występujących w pojedynczym węźle, 6. do układu równań wprowadzamy warunki brzegowe, 7. rozwiązujemy układ równań i otrzymujemy wartości poszukiwanych wielkości fizycznych w węzłach, 8. w zależności od typu rozwiązywanego problemu lub potrzeb oblicza się dodatkowe wielkości, 9. jeżeli zadanie jest niestacjonarne to czynności opisane w punktach 5,6,7,8 powtarza się aż do momentu spełnienia warunku zakończenia obliczeń. Programy numeryczne, w których jest zaimplementowana metoda elementów skończonych składają się z trzech zasadniczych części:

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą

Bardziej szczegółowo

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i

Bardziej szczegółowo

Metoda elementów skończonych

Metoda elementów skończonych Metoda elementów skończonych Wraz z rozwojem elektronicznych maszyn obliczeniowych jakimi są komputery zaczęły pojawiać się różne numeryczne metody do obliczeń wytrzymałości różnych konstrukcji. Jedną

Bardziej szczegółowo

Elementy równań różniczkowych cząstkowych

Elementy równań różniczkowych cząstkowych Elementy równań różniczkowych cząstkowych Magdalena Jakubek kwiecień 2016 1 Równania różniczkowe cząstkowe Problem brzegowy i problem początkowy Klasyfikacja równań Rodzaje warunków brzegowych Najważniejsze

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015

Metody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015 Metody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015 1 Metody numeryczne Dział matematyki Metody rozwiązywania problemów matematycznych za pomocą operacji na liczbach. Otrzymywane

Bardziej szczegółowo

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego 5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 7. Całkowanie numeryczne 7.1. Całkowanie numeryczne 7.2. Metoda trapezów 7.3. Metoda Simpsona 7.4. Metoda 3/8 Newtona 7.5. Ogólna postać wzorów kwadratur

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe zwyczajne

1 Równania różniczkowe zwyczajne Równania różniczkowe zwyczajne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe Równaniem

Bardziej szczegółowo

Matematyka licea ogólnokształcące, technika

Matematyka licea ogólnokształcące, technika Matematyka licea ogólnokształcące, technika Opracowano m.in. na podstawie podręcznika MATEMATYKA w otaczającym nas świecie zakres podstawowy i rozszerzony Funkcja liniowa Funkcję f: R R określoną wzorem

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

REPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH

REPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH REPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH Transport, studia I stopnia rok akademicki 2012/2013 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Pojęcie

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do Metody Elementu Skończonego

Wprowadzenie do Metody Elementu Skończonego Wprowadzenie do Metody Elementu Skończonego Krzysztof Balonek, Sławomir Gozdur Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej, AGH, Kraków, Poland email: kbalonek@g10.pl, slagozd@gmail.com Praca dostępna w internecie:

Bardziej szczegółowo

Rachunek całkowy - całka oznaczona

Rachunek całkowy - całka oznaczona SPIS TREŚCI. 2. CAŁKA OZNACZONA: a. Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną. b. Definicja całki oznaczonej. c. Własności całek oznaczonych. d. Zastosowanie całek oznaczonych. e. Zamiana zmiennej

Bardziej szczegółowo

Systemy. Krzysztof Patan

Systemy. Krzysztof Patan Systemy Krzysztof Patan Systemy z pamięcią System jest bez pamięci (statyczny), jeżeli dla dowolnej chwili t 0 wartość sygnału wyjściowego y(t 0 ) zależy wyłącznie od wartości sygnału wejściowego w tej

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 Obszar określoności równania Jeżeli występująca w równaniu y' f ( x, y) funkcja f jest ciągła, to równanie posiada rozwiązanie. Jeżeli f jest nieokreślona w punkcie (x 0,

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17 Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY III

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY III WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY III Program nauczania matematyki w gimnazjum Matematyka dla przyszłości DKW 4014 162/99 Opracowała: mgr Mariola Bagińska 1. Liczby i działania Podaje rozwinięcia

Bardziej szczegółowo

Łagodne wprowadzenie do Metody Elementów Skończonych

Łagodne wprowadzenie do Metody Elementów Skończonych Łagodne wprowadzenie do Metody Elementów Skończonych dr inż. Grzegorz DZIERŻANOWSKI dr hab. inż. Wojciech GILEWSKI Katedra Mechaniki Budowli i Zastosowań Informatyki 10 XII 2009 - część I 17 XII 2009 -

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, zatem

Bardziej szczegółowo

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d.

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości

Bardziej szczegółowo

Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych)

Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych) Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych) Funkcja uwikłana (równanie nieliniowe) jest to funkcja, która nie jest przedstawiona jawnym przepisem, wzorem wyrażającym zależność wartości

Bardziej szczegółowo

Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału

Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Zagadnienie dane jest następująco: znaleźć funkcje własne i wartości własne operatora energii dla cząstki umieszczonej w nieskończonej studni potencjału,

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY

ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY Numer lekcji 1 2 Nazwa działu Lekcja organizacyjna. Zapoznanie z programem nauczania i kryteriami wymagań Zbiór liczb rzeczywistych i jego 3 Zbiór

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I GIMNAZJUM Małgorzata Janik

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I GIMNAZJUM Małgorzata Janik WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I GIMNAZJUM Małgorzata Janik DOPUSZCZAJĄCY DOSTATECZNY DOBRY BARDZO DOBRY LICZBY I DZIAŁANIA zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej. rozumie rozszerzenie

Bardziej szczegółowo

1 Całki funkcji wymiernych

1 Całki funkcji wymiernych Całki funkcji wymiernych Definicja. Funkcją wymierną nazywamy iloraz dwóch wielomianów. Całka funkcji wymiernej jest więc postaci: W (x) W (x) = an x n + a n x n +... + a x + a 0 b m x m + b m x m +...

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania

Przedmiotowy system oceniania Przedmiotowy system oceniania gimnazjum - matematyka Opracowała mgr Katarzyna Kukuła 1 MATEMATYKA KRYTERIA OCEN Kryteria oceniania zostały określone przez podanie listy umiejętności, którymi uczeń musi

Bardziej szczegółowo

1. PODSTAWY TEORETYCZNE

1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały opisane bardziej szczegółowo w innych

Bardziej szczegółowo

Tadeusz Lesiak. Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii

Tadeusz Lesiak. Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii Mechanika klasyczna Tadeusz Lesiak Wykład nr 4 Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii Energia i praca T. Lesiak Mechanika klasyczna 2 Praca Praca (W) wykonana przez stałą

Bardziej szczegółowo

Matematyka na czasie Przedmiotowe zasady oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych dla klasy 1

Matematyka na czasie Przedmiotowe zasady oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych dla klasy 1 Matematyka na czasie Przedmiotowe zasady oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych dla klasy 1 Wyróżniono następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna

Geometria analityczna Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki dla zasadniczej szkoły zawodowej na poszczególne oceny

Wymagania edukacyjne z matematyki dla zasadniczej szkoły zawodowej na poszczególne oceny Wymagania edukacyjne z matematyki dla zasadniczej szkoły zawodowej na poszczególne oceny Podstawa programowa z 23 grudnia 2008r. do nauczania matematyki w zasadniczych szkołach zawodowych Podręcznik: wyd.

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum

Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum Poziom rozszerzony Obowiązują wymagania z zakresu podstawowego oraz dodatkowo: FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE zaznacza kąt w układzie współrzędnych, wskazuje

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy z przedmiotu: MATEMATYKA

Plan wynikowy z przedmiotu: MATEMATYKA Plan wynikowy z przedmiotu: MATEMATYKA Szkoła: Liceum Ogólnokształcące Klasa: pierwsza Poziom nauczania: podstawowy Numer programu: DPN-5002-31/08 Podręcznik: MATEMATYKA Anna Jatczak, Monika Ciołkosz,

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 1. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza

MATeMAtyka 1. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza MATeMAtyka 1 Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe

Bardziej szczegółowo

Wymagania na poszczególne oceny w klasie I gimnazjum do programu nauczania MATEMATYKA NA CZASIE

Wymagania na poszczególne oceny w klasie I gimnazjum do programu nauczania MATEMATYKA NA CZASIE Wymagania na poszczególne oceny w klasie I gimnazjum do programu nauczania MATEMATYKA NA CZASIE I.LICZBY - zaznacza na osi liczbowej punkty odpowiadające liczbom całkowitym, wymiernym(np. 1 2, 2 1 1 ),

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013 Dział LICZBY RZECZYWISTE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą lub dostateczną, jeśli: podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ

KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ TREŚCI KSZTAŁCENIA WYMAGANIA PODSTAWOWE WYMAGANIA PONADPODSTAWOWE Liczby wymierne i

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony W klasie drugiej na poziomie rozszerzonym realizujemy materiał z klasy pierwszej tylko z poziomu rozszerzonego (na czerwono) oraz cały materiał z klasy drugiej. Rozkład

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE A. RÓWNANIA RZĘDU PIERWSZEGO Uwagi ogólne Równanie różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego zawiera. Poza tym może zawierać oraz zmienną. Czyli ma postać ogólną Na przykład

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe drugiego rzędu

1 Równania różniczkowe drugiego rzędu Równania różniczkowe drugiego rzędu Najpierw zajmiemy się równaniami różniczkowymi rzędu drugiego, w których y nie występuje w sposób jawny, tzn. F (x, y, y ) = 0 (.) Równanie takie rozwiązujemy poprzez

Bardziej szczegółowo

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne: Prosto do matury klasa d Rok szkolny 014/015 WYMAGANIA EDUKACYJNE Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON.

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Zadanie 6. Dane są punkty A=(5; 2); B=(1; -3); C=(-2; -8). Oblicz odległość punktu A od prostej l przechodzącej

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony

Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Uczeń realizujący zakres rozszerzony powinien również spełniać wszystkie wymagania w zakresie poziomu podstawowego. Zakres

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA DO EGZAMINU MAGISTERSKIEGO

ZAGADNIENIA DO EGZAMINU MAGISTERSKIEGO ZAGADNIENIA DO EGZAMINU MAGISTERSKIEGO Na egzaminie magisterskim student powinien: 1) omówić wyniki zawarte w pracy magisterskiej posługując się swobodnie pojęciami i twierdzeniami zamieszczonymi w pracy

Bardziej szczegółowo

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe Metoda najmn. kwadr. - funkcje nieliniowe Metoda najmniejszych kwadratów Funkcje nieliniowe Procedura z redukcją kroku iteracji Przykłady zastosowań Dopasowanie funkcji wykładniczej Dopasowanie funkcji

Bardziej szczegółowo

Wymagania na poszczególne oceny szkolne z matematyki. dla uczniów klasy Ia i Ib. Gimnazjum im. Jana Pawła II w Mętowie. w roku szkolnym 2015/2016

Wymagania na poszczególne oceny szkolne z matematyki. dla uczniów klasy Ia i Ib. Gimnazjum im. Jana Pawła II w Mętowie. w roku szkolnym 2015/2016 Wymagania na poszczególne oceny szkolne z matematyki dla uczniów klasy Ia i Ib Gimnazjum im. Jana Pawła II w Mętowie w roku szkolnym 2015/2016 DZIAŁ I: LICZBY zaznacza na osi liczbowej punkty odpowiadające

Bardziej szczegółowo

Rozkład normalny, niepewność standardowa typu A

Rozkład normalny, niepewność standardowa typu A Podstawy Metrologii i Technik Eksperymentu Laboratorium Rozkład normalny, niepewność standardowa typu A Instrukcja do ćwiczenia nr 1 Zakład Miernictwa i Ochrony Atmosfery Wrocław, listopad 2010 r. Podstawy

Bardziej szczegółowo

Algorytm. Krótka historia algorytmów

Algorytm. Krótka historia algorytmów Algorytm znaczenie cybernetyczne Jest to dokładny przepis wykonania w określonym porządku skończonej liczby operacji, pozwalający na rozwiązanie zbliżonych do siebie klas problemów. znaczenie matematyczne

Bardziej szczegółowo

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu 1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą 1. Statystyka odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu 2. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach 3. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach 4. Potęga o wykładniku

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe wyższych rzędów

Równania różniczkowe wyższych rzędów Równania różniczkowe wyższych rzędów Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Istnienie rozwiązań............................... 1 1.2 Rozwiązanie ogólne............................... 2 1.3 Obniżanie rzędu

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści 0 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 2 1 Geometria analityczna w R 2 3 3 3 2 Liczby zespolone 4 4 4 3

Bardziej szczegółowo

Luty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl

Luty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl System dziesiętny 7 * 10 4 + 3 * 10 3 + 0 * 10 2 + 5 *10 1 + 1 * 10 0 = 73051 Liczba 10 w tym zapisie nazywa się podstawą systemu liczenia. Jeśli liczba 73051 byłaby zapisana w systemie ósemkowym, co powinniśmy

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY II TECHNIKUM 5 - LETNIEGO

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY II TECHNIKUM 5 - LETNIEGO Lp. I PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY II TECHNIKUM 5 - LETNIEGO Temat lekcji Umiejętności Podstawowe Ponadpodstawowe Funkcja kwadratowa Uczeń: Uczeń: 1 Wykres i własności funkcji y = ax 2. - narysuje

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Wymagania edukacyjne i zakres materiału dla klasy drugiej poziom podstawowy w roku szkolnym 2013/2014 ZAKRES MATERIAŁU, TREŚCI NAUCZANIA

MATEMATYKA Wymagania edukacyjne i zakres materiału dla klasy drugiej poziom podstawowy w roku szkolnym 2013/2014 ZAKRES MATERIAŁU, TREŚCI NAUCZANIA MATEMATYKA Wymagania edukacyjne i zakres materiału dla klasy drugiej poziom podstawowy w roku szkolnym 2013/2014 ZAKRES MATERIAŁU, TREŚCI NAUCZANIA 1. Funkcje i ich własności. odróżnić przyporządkowanie,

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0

przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0 MODELE MATEMATYCZNE UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Podstawową formą opisu procesów zachodzących w członach lub układach automatyki jest równanie ruchu - równanie dynamiki. Opisuje ono zależność wielkości fizycznych,

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć. Kształcenie w zakresie podstawowym.

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć. Kształcenie w zakresie podstawowym. Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Matematyka. Poznać, zrozumieć Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 1 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA

ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA DYNAMICZNYCH LOKAT KAPITAŁOWYCH Krzysztof Gąsior Uniwersytet Rzeszowski Streszczenie Celem referatu jest zaprezentowanie praktycznego zastosowania

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE I GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE I GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE I GIMNAZJUM OCENA ŚRÓDROCZNA: NIEDOSTATECZNY ocenę niedostateczny otrzymuje uczeń, który

Bardziej szczegółowo

III. STRUKTURA I FORMA EGZAMINU

III. STRUKTURA I FORMA EGZAMINU III. STRUKTURA I FORMA EGZAMINU Egzamin maturalny z matematyki jest egzaminem pisemnym sprawdzającym wiadomości i umiejętności określone w Standardach wymagań egzaminacyjnych i polega na rozwiązaniu zadań

Bardziej szczegółowo

166 Wstęp do statystyki matematycznej

166 Wstęp do statystyki matematycznej 166 Wstęp do statystyki matematycznej Etap trzeci realizacji procesu analizy danych statystycznych w zasadzie powinien rozwiązać nasz zasadniczy problem związany z identyfikacją cechy populacji generalnej

Bardziej szczegółowo

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE Standardy wymagań egzaminacyjnych Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY POZIOM ROZSZERZONY 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

2. LICZBY RZECZYWISTE Własności liczb całkowitych Liczby rzeczywiste Procenty... 24

2. LICZBY RZECZYWISTE Własności liczb całkowitych Liczby rzeczywiste Procenty... 24 SPIS TREŚCI WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI ALGEBRAICZNE 7 Wyrażenia algebraiczne 0 Równania i nierówności algebraiczne LICZBY RZECZYWISTE 4 Własności liczb całkowitych 8 Liczby rzeczywiste

Bardziej szczegółowo

Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 1

Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 1 Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 1 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego działu, aby uzyskać poszczególne stopnie. Na ocenę dopuszczającą uczeń powinien opanować

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y +x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI / POZIOM PODSTAWOWY /

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI / POZIOM PODSTAWOWY / WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI / POZIOM PODSTAWOWY / Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, zatem powinny być opanowane przez każdego ucznia. Wymagania

Bardziej szczegółowo

Wymagania na poszczególne oceny,,liczy się matematyka

Wymagania na poszczególne oceny,,liczy się matematyka Wymagania na poszczególne oceny,,liczy się matematyka Klasa I I. Liczby. 1. Zamienia liczby dziesiętne na ułamki zwykłe i liczby mieszane. 2. Zapisuje ułamek zwykły w postaci ułamka dziesiętnego skończonego.

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Katalog wymagań programowych

MATEMATYKA Katalog wymagań programowych MATEMATYKA Katalog wymagań programowych KLASA 1H LICZBY RZECZYWISTE Na poziomie wymagań koniecznych lub podstawowych - na ocenę dopuszczającą () lub dostateczną przedstawiać liczby rzeczywiste w różnych

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24)

Podstawy Automatyki. wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24) Podstawy Automatyki wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak Politechnika Wrocławska Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24) Laboratorium Podstaw Automatyzacji (L6) 105/2 B1 Sprawy organizacyjne

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16 Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

Kup książkę Poleć książkę Oceń książkę. Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność

Kup książkę Poleć książkę Oceń książkę. Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność Kup książkę Poleć książkę Oceń książkę Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność Spis treści WSTĘP 5 ROZDZIAŁ 1. Matematyka Europejczyka. Program nauczania matematyki w szkołach ponadgimnazjalnych

Bardziej szczegółowo

Zdający posiada umiejętności w zakresie: 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny i formułuje uzyskane wyniki

Zdający posiada umiejętności w zakresie: 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny i formułuje uzyskane wyniki Standardy wymagań na egzaminie maturalnym z matematyki mają dwie części. Pierwsza część opisuje pięć podstawowych obszarów umiejętności matematycznych. Druga część podaje listę szczegółowych umiejętności.

Bardziej szczegółowo

Wektory, układ współrzędnych

Wektory, układ współrzędnych Wektory, układ współrzędnych Wielkości występujące w przyrodzie możemy podzielić na: Skalarne, to jest takie wielkości, które potrafimy opisać przy pomocy jednej liczby (skalara), np. masa, czy temperatura.

Bardziej szczegółowo

Matematyka na czasie Przedmiotowe zasady oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych dla klasy 1

Matematyka na czasie Przedmiotowe zasady oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych dla klasy 1 Agnieszka Kamińska, Dorota Ponczek Matematyka na czasie Przedmiotowe zasady oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych dla klasy 1 Proponujemy, by omawiając dane zagadnienie programowe lub rozwiązując

Bardziej szczegółowo

SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 13

SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 13 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 13 CZĘŚĆ I. ALGEBRA ZBIORÓW... 15 ROZDZIAŁ 1. ZBIORY... 15 1.1. Oznaczenia i określenia... 15 1.2. Działania na zbiorach... 17 1.3. Klasa zbiorów. Iloczyn kartezjański zbiorów...

Bardziej szczegółowo

I semestr WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA VI. Wymagania na ocenę dopuszczającą. Dział programu: Liczby naturalne

I semestr WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA VI. Wymagania na ocenę dopuszczającą. Dział programu: Liczby naturalne WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA VI Wymagania na ocenę dopuszczającą I semestr Dział programu: Liczby naturalne Oblicza różnice czasu proste Wymienia jednostki opisujące prędkość, drogę, czas. Rozwiązuje

Bardziej szczegółowo

PORÓWNANIE WYBRANYCH SCHEMATÓW RÓŻNICO- WYCH NA PRZYKŁADZIE RÓWNANIA SELECTED DIFFERENTIAL SCHEMES COMPARISON BY MEANS OF THE EQUATION

PORÓWNANIE WYBRANYCH SCHEMATÓW RÓŻNICO- WYCH NA PRZYKŁADZIE RÓWNANIA SELECTED DIFFERENTIAL SCHEMES COMPARISON BY MEANS OF THE EQUATION Mirosław GUZIK Grzegorz KOSZŁKA PORÓWNANIE WYBRANYCH SCHEMATÓW RÓŻNICO- WYCH NA PRZYKŁADZIE RÓWNANIA SELECTED DIFFERENTIAL SCHEMES COMPARISON BY MEANS OF THE EQUATION W artykule przedstawiono niektóre

Bardziej szczegółowo

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a); Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA Proporcjonalnością prostą nazywamy zależność między dwoma wielkościami zmiennymi x i y, określoną wzorem: y = a x Gdzie a jest

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.)

PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) Równanie prostej w postaci ogólnej Wzajemne połoŝenie dwóch prostych Nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi

Bardziej szczegółowo

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2011-2014 STANDARDY WYMAGAŃ BĘDĄCE PODSTAWĄ PRZEPROWADZANIA EGZAMINU MATURALNEGO Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY 1. wykorzystania

Bardziej szczegółowo

Kryteria oceniania z matematyki w klasie pierwszej w roku szkolnym 2015/2016

Kryteria oceniania z matematyki w klasie pierwszej w roku szkolnym 2015/2016 Kryteria oceniania z matematyki w klasie pierwszej w roku szkolnym 2015/2016 1) Liczby - zamienia liczby dziesiętne skończone na ułamki zwykłe i liczby mieszane, - zapisuje ułamek zwykły w postaci ułamka

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie 1. Matematyka poziom podstawowy Wyznaczanie wartości funkcji dla danych argumentów i jej miejsca zerowego. Zdający

Bardziej szczegółowo

Symulacja przepływu ciepła dla wybranych warunków badanego układu

Symulacja przepływu ciepła dla wybranych warunków badanego układu Symulacja przepływu ciepła dla wybranych warunków badanego układu I. Część teoretyczna Ciepło jest formą przekazywana energii, która jest spowodowana różnicą temperatur (inną formą przekazywania energii

Bardziej szczegółowo

Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI

Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI MATEMATYKA ZAKRES PODSTAWOWY Rok szkolny 01/013 Klasa: II Nauczyciel: Mirosław Kołomyjski Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI Lp. Zagadnienie Osiągnięcia ucznia. 1. Podstawowe własności funkcji.. Podaje określenie

Bardziej szczegółowo

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI SPIS TREŚCI WSTĘP.................................................................. 8 1. LICZBY RZECZYWISTE Teoria............................................................ 11 Rozgrzewka 1.....................................................

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne klasa 1

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne klasa 1 Matematyka Liczy się matematyka Klasa klasa Rozdział. Liczby zamienia liczby dziesiętne skończone na ułamki zwykłe i liczby mieszane zapisuje ułamek zwykły w postaci ułamka dziesiętnego skończonego porównuje

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne klasa 1

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne klasa 1 Matematyka Liczy się matematyka Klasa klasa Rozdział. Liczby zamienia liczby dziesiętne skończone na ułamki zwykłe i liczby mieszane zapisuje ułamek zwykły w postaci ułamka dziesiętnego skończonego porównuje

Bardziej szczegółowo

Q t lub precyzyjniej w postaci różniczkowej. dq dt Jednostką natężenia prądu jest amper oznaczany przez A.

Q t lub precyzyjniej w postaci różniczkowej. dq dt Jednostką natężenia prądu jest amper oznaczany przez A. Prąd elektryczny Dotychczas zajmowaliśmy się zjawiskami związanymi z ładunkami spoczywającymi. Obecnie zajmiemy się zjawiskami zachodzącymi podczas uporządkowanego ruchu ładunków, który często nazywamy

Bardziej szczegółowo

1.. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE Poziom (K) lub (P)

1.. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE Poziom (K) lub (P) Wymagania edukacyjne dla klasy IIIc technik informatyk 1.. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE rok szkolny 2014/2015 zaznacza kąt w układzie współrzędnych, wskazuje jego ramię początkowe i końcowe wyznacza wartości

Bardziej szczegółowo

Kryteria ocen z matematyki w klasie I gimnazjum

Kryteria ocen z matematyki w klasie I gimnazjum 1. Zbieranie, porządkowanie i prezentowanie danych 1. Liczby naturalne 1. Cechy podzielności 1. Działania na liczbach naturalnych 1. Algorytmy działań pisemnych odczytywać informacje przedstawione w tabelach

Bardziej szczegółowo

Model odpowiedzi i schemat oceniania do arkusza I

Model odpowiedzi i schemat oceniania do arkusza I Model odpowiedzi i schemat oceniania do arkusza I Zadanie 1 (4 pkt) n Odczytanie i zapisanie danych z wykresu: 100, 105, 100, 10, 101. n Obliczenie mediany: Mediana jest równa 101. n Obliczenie średniej

Bardziej szczegółowo