Algorytmy alokacji punktów monitorowania jakości w systemach dystrybucji wody pitnej

Transkrypt

1 WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Autoreferat rozprawy doktorskiej Algorytmy alokacji punktów monitorowania jakości w systemach dystrybucji wody pitnej Autor: mgr inż. Rafał Łangowski Promotor: prof. dr hab. inż. Mieczysław Brdyś, prof. zw. PG Recenzenci: prof. dr hab. inż. Jan Tadeusz Duda, prof. zw. AGH /Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica, Katedra Informatyki Stosowanej/ dr hab. inż. Kazimierz Duzinkiewicz /Politechnika Gdańska, Katedra Inżynierii Systemów Sterowania/ Gdańsk, 2015

2 Spis treści: 1. WSTĘP TEZA ROZPRAWY STRUKTURA ROZPRAWY SYSTEMY WODOCIĄGOWE SYSTEM DYSTRYBUCJI WODY PITNEJ (SDWP) HYDRAULIKA I JAKOŚD WODY W SDWP Hydraulika w SDWP Model hydrauliki w SDWP Jakośd wody w SDWP Dezynfekcja wody Wskaźniki jakości wody MONITOROWANIE HYDRAULIKI I JAKOŚCI WODY W SDWP SYMULATORY SDWP MODELE JAKOŚCI WODY MODELE JAKOŚCI WODY POSZCZEGÓLNYCH ELEMENTÓW SDWP Modele jakości wody w węzłach Modele jakości wody w rurociągach Modele jakości wody w zbiornikach MODEL JAKOŚCI WODY W SDWP MODEL JAKOŚCI WODY W SDWP DLA CELÓW ESTYMACJI PROBLEM ESTYMACJI JAKOŚCI WODY W SDWP MODELOWANIE NIEPEWNOŚCI SYNTEZA MODUŁU ESTYMACJI ZMIENNYCH Niepewnośd modelu dynamiki jakości wody w SDWP Niepewnośd informacji pomiarowej Niepewnośd informacji a priori WIEDZA A PRIORI O SDWP DLA CELÓW ESTYMACJI Informacja o hydraulice w SDWP Informacja o stężeniu chloru w SDWP Cechy SDWP ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA JAKOŚCI WODY W SDWP ESTYMATOR PRZEDZIAŁOWY JAKOŚCI WODY W SDWP OBSERWATOR PRZEDZIAŁOWY JAKOŚCI WODY W SDWP IMPLEMENTACJA I DZIAŁANIE ESTYMATORA PRZEDZIAŁOWEGO JAKOŚCI WODY W SDWP EFEKTYWNOŚD OBLICZENIOWA ESTYMATORA PRZEDZIAŁOWEGO JAKOŚCI WODY W SDWP ALGORYTMY ALOKACJI PUNKTÓW MONITOROWANIA JAKOŚCI WODY W SDWP ALOKACJA PUNKTÓW MONITOROWANIA JAKOŚCI WODY W SDWP Algorytm jednowskaźnikowy Algorytm dwuwskaźnikowy Algorytm wielowskaźnikowy MODEL DECYZYJNY CHARAKTERYSTYKA SFORMUŁOWANYCH ZADAO OPTYMALIZACJI ALGORYTMY ALOKACJI - SFORMUŁOWANIA DLA POTRZEB NSGA-II IMPLEMENTACJA I DZIAŁANIE ALGORYTMÓW ALOKACJI BADANIA SYMULACYJNE MODEL JAKOŚCI WODY DLA POTRZEB ESTYMACJI - WYNIKI ALOKACJA PUNKTÓW MONITOROWANIA - WYNIKI Algorytm jednowskaźnikowy - wyniki Algorytm dwuwskaźnikowy - wyniki Algorytm wielowskaźnikowy - wyniki PODSUMOWANIE BIBLIOGRAFIA

3 1. Wstęp Algorytmy alokacji punktów monitorowania jakości w systemach dystrybucji wody pitnej System zaopatrzenia w wodę pitną (SZwWP), zwany często systemem wodociągowym lub siecią wodociągową oraz jego częśd odpowiadająca za dostarczenie wody do odbiorców zwana systemem dystrybucji wody pitnej (SDWP) jest jednym z systemów infrastruktury krytycznej, mających kluczowe znaczenie dla funkcjonowania społeczeostwa. Formułując podstawowe zadanie dla tego systemu naturalnym jest mówienie o zaspokojeniu czy zapewnieniu żądanych dostaw wody, czyli zapewnieniu jej ilości. Jednakże obecna świadomośd nie pozwala na poprzestaniu na powyższym, ponieważ niemniej ważnym aspektem jest jakośd dostarczanej wody. Wobec tego, definiując ogólne zadanie SDWP (czy SZwWP) oba aspekty muszą zostad wzięte pod uwagę. Dokładając do tego kwestię komfortu życia, podstawowe zadanie SDWP można sformułowad jako: zapewnienie użytkownikom żądanej ilości wody o odpowiedniej jakości w wymaganym przez nich czasie (Brdys i Ulanicki 1994). Co więcej, w dzisiejszym świecie bardzo ważnym aspektem jest ekonomia. Determinuje ona koniecznośd minimalizacji kosztów przy realizacji powyższego zadania. Jeśli dodamy do tego cechy samego SDWP takie jak: różne skale czasu dynamiki hydrauliki (ilości) i jakości wody, dużą liczbę elementów wchodzących w skład systemu, jego rozległośd oraz topografię wynikające z cech obszarów które dany SDWP zasila, specyficzne preferencje niektórych użytkowników, itd. to okazuje się, iż wydawałoby się proste zadanie staje się niezwykle skomplikowane. I tak jest w rzeczywistości, czego dowodzi chociażby znaczna liczba intensywnych prac prowadzonych zarówno w sektorach naukowych jak i przemysłowych mających na celu jak najefektywniejsze podołanie temu zadaniu. W rozprawie zostało poruszone jedno z zagadnieo istotnie wpływające na realizację zadania SDWP, a mianowicie monitorowanie jakości wody pitnej. Jego głównym celem jest dostarczenie informacji o stanie jakości wody w SDWP rozumianej przez pryzmat przyjętego wskaźnika lub wskaźników jakości. Wiedza ta jest niezbędna dla potrzeb efektywnego prowadzenia procesu dystrybucji wody pitnej, a tym samym spełnienia podstawowego zadania SDWP. Naturalnie, idealną sytuacją byłoby, aby pełna informacja o jakości wody pochodziła z urządzeo do pomiaru ww. wskaźnika lub wskaźników. Jednakże, w związku z dużą liczbą przede wszystkim węzłów, nawet w niewielkim SDWP, zainstalowanie odpowiednich urządzeo pomiarowych w nich wszystkich jest sytuacją, którą właściwie można rozważad jedynie teoretycznie. Wynika to zarówno z samej topologii SDWP jak i z powodów ekonomicznych. Innymi słowy, koszty zarówno zainstalowania tak znacznej liczby urządzeo jak i dalszej ich eksploatacji byłyby bardzo duże. Jednym z typowych rozwiązao tego problemu jest wykorzystanie narzędzia pozwalającego na oszacowanie wartości niemierzonych wielkości jakościowych w oparciu o dostępne pomiary. Narzędziem takim jest estymacja, która w powiązaniu z algorytmem alokacji pewnej (wystarczającej) liczby urządzeo pomiarowych jakości, pozwoli na zdobycie wystarczającej wiedzy na temat stanu całego SDWP. Jednakże, aby możliwe było przeprowadzenie procesu estymacji wartości niemierzonych wielkości (wskaźników) jakościowych w SDWP koniecznym jest posiadanie odpowiedniego, dla celów estymacji, modelu jakości wody w SDWP. Dodatkowo, w związku z niepewnością występującą zarówno w wielkościach hydraulicznych jak i w dostępnych pomiarach wielkości jakościowych, niezbędnym jest jej modelowanie. Reasumując, poprzez opracowanie odpowiedniego modelu jakości wody pitnej w SDWP, przy uwzględnieniu występującej niepewności oraz jak najlepszym rozmieszczeniu dostępnej liczby urządzeo pomiarowych, w procesie estymacji z wykorzystaniem opracowanego estymatora możliwym powinno byd uzyskanie jak najdokładniejszej informacji o jakości wody pitnej w całym SDWP. Wobec tego, ogólny cel badao przedstawionych w rozprawie został sformułowany jako: Opracowanie i komputerowa implementacja algorytmów rozmieszczania pewnej (wystarczającej) liczby urządzeo pomiarowych jakości wody (alokacji punktów monitorowania), aby na podstawie pomiarów z nich uzyskiwanych, poprzez zastosowanie odpowiednich narzędzi, otrzymad właściwą wiedzę na temat stanu jakości w całym SDWP. Ponadto, w rozprawie postawiono dodatkowy cel dla estymatora jakości wody w SDWP, w postaci efektywności jego działania umożliwiającej jego zastosowanie nie tylko przy rozwiązaniu projektowego zadania alokacji urządzeo pomiarowych, ale również w systemie monitorowania jakości on-line. Rozprawa była realizowana w ramach projektów badawczych: Monitorowanie i sterowanie jakością wody w systemach dostarczania i dystrybucji (SDiDW) wody pitnej - MiSterJa, 4T11A , MNiSW, Intelligent Monitoring, Control and Security of Critical Infrastructure Systems, EC Cost Action IntelliCIS - IC0806, Intelligent Systems for Monitoring, Control and Security of Critical Infrastructure Plants: Methodology, Structures, Algorithms and Applications to Drinking Water Distribution Networks - InSIK, 638/N - COST/09/20/2010/0, MNiSW/NCN, Intelligent Fault Tolerant Control Based on On-line Fuzzy Clustering and Closedloop Fuzzy Identification, , National Natural Science Foundation of China. Autor wyraża podziękowanie za okazane wsparcie

4 1.1 Teza rozprawy W rozprawie sformułowano następującą tezę: Poprzez opracowanie właściwych algorytmów rozmieszczania pewnej (wystarczającej) liczby urządzeo pomiarowych jakości wody (alokacji punktów monitorowania), w oparciu o dane pomiarowe z nich uzyskiwane, poprzez zastosowanie odpowiednich narzędzi, możliwym jest otrzymanie w sposób efektywny właściwej wiedzy o stanie jakości wody w całym SDWP. 1.2 Struktura rozprawy Rozprawa składa się z 9 rozdziałów, 4 załączników, bibliografii oraz spisu głównych oznaczeo. W poszczególnych rozdziałach oraz załącznikach zawarto: Rozdział 1: Rozdział 2: Rozdział 3: Rozdział 4: Rozdział 5: Rozdział 6: Rozdział 7: Rozdział 8: Rozdział 9: Załącznik 1: Załącznik 2: Załącznik 3: Załącznik 4: Rozdział zawiera opis przedmiotu rozprawy, aktualności podjętej tematyki badao, celu badao oraz motywacji do ich podjęcia. Przedstawiono w nim także tezę rozprawy oraz jej zawartośd. W rozdziale przedstawiono obiekt badao - SDWP, jego elementy wraz z ich podstawowymi modelami hydrauliki oraz model hydrauliki w SDWP. Zaprezentowano również wzajemne powiązania pomiędzy hydrauliką i jakością wody oraz jakośd wody wraz z opisem jej dezynfekcji, wskaźników oraz produktów ubocznych dezynfekcji. Ponadto, zwarto prezentację zagadnienia monitorowania hydrauliki i jakości oraz opis symulatorów SDWP. Rozdział zawiera podstawowe modele jakości wody dla poszczególnych elementów SDWP, tworzące w konsekwencji model jakości w SDWP, opis podstawowych metod numerycznych wykorzystywanych do rozwiązania tego modelu oraz szczegółowe wyprowadzenie modelu jakości dla celów estymacji wraz z przedstawieniem sposobu jego implementacji w Matlabie. W rozdziale przedstawiono problematykę estymacji jakości wody w SDWP. Zaprezentowano również główne sposoby modelowania niepewności w tych systemach oraz dokonano syntezy modułu estymacji zmiennych. Rozdział zawiera teoretyczne podstawy dotyczące obserwatora przedziałowego. W rozdziale przedstawiono opracowanie struktur obserwatora przedziałowego jakości wody w SDWP. Dla zaprezentowanych struktur wyprowadzono matematyczne dowody krzepkości i stabilności generowanych przez nie trajektorii dolnych i górnych estymat. Ponadto, przedstawiono sposób implementacji opracowanych struktur w Matlabie oraz ich efektywnośd obliczeniową. Rozdział zawiera przedstawienie zagadnienia alokacji punktów monitorowania jakości wody w SDWP. Zaprezentowano w nim opracowane trzy algorytmy alokacji wykorzystujące przygotowany model jakości i estymator przedziałowy. Do rozwiązania zadania rozmieszczania wykorzystano wielokryterialny algorytm genetyczny NSGA-II. W rozdziale przedstawiono wyniki symulacyjne opracowanej w rozprawie metodologii wykorzystując jako aplikację model rzeczywistego SDWP miasta Chojnice. Rozdział zawiera podsumowanie rozprawy oraz wskazanie możliwych kierunków przyszłych badao. Załącznik przedstawia dobór minimalnego kroku jakości oraz maksymalnej liczby segmentów. W załączniku zaprezentowano główne własności systemu z kooperatywną dynamiką. Załącznik zawiera charakterystykę wielokryterialnego algorytmu genetycznego NSGA-II. W załączniku przedstawiono szczegółowe dane modelu symulacyjnego SDWP miasta Chojnice. 2. Systemy wodociągowe Obiektem badao w rozprawie jest SDWP stanowiący obok systemu zasilania (SZ) jeden z dwóch funkcjonalnych podsystemów wyróżnianych zwykle w SZwWP (Brdys i Ulanicki 1994). W SZ realizowane są następujące podstawowe procesy (Brdys i Ulanicki 1994): ujmowanie wody surowej z powierzchniowych (rzeki, strumienie, jeziora, sztuczne zbiorniki) i/lub podziemnych (warstwy wodonośne) źródeł wody, transport wody surowej poprzez sied rurociągów, a w niektórych systemach dodatkowo za pośrednictwem zbiorników magazynujących, do stacji uzdatniania wody, uzdatnianie wody surowej w stacjach uzdatniania, dostarczanie wody uzdatnionej (pitnej) do SDWP albo bezpośrednio ze stacji uzdatniania (sytuacja rozważana w rozprawie) albo za pośrednictwem rurociągów o znacznych średnicach. Warto podkreślid, iż wartości wskaźników jakości wody pozwalające na uznanie jej za uzdatnioną (zdatną do picia) są ściśle zdefiniowane. Normy te (jak i same wskaźniki) określa Minister Zdrowia w drodze stosownego - 4 -

5 rozporządzenia. Zatem, wymaga się zachowania na wyjściu ze stacji uzdatniania (czy też w źródle wody uzdatnionej) odpowiednich wartości określonych parametrów. Wobec tego, bez utraty ogólności, w rozprawie przyjęto, iż jakośd wody definiowana jednym ze wskaźników (stężeniem chloru) jest stała na rozważanym horyzoncie czasu. Woda opuszczająca stację uzdatniania stanowi naturalne wyjście z SZ i wejście do SDWP - typowo przyjmowaną, umowną granicę pomiędzy oboma podsystemami. Na rysunku 2.1 zilustrowano SZwWP z wyróżnieniem w nim SZ i SDWP. SYSTEM ZAOPATRZENIA W WODĘ PITNĄ (SZwWP) SYSTEM WODOCIĄGOWY Granica SZwWP Granica SZwWP Ujęcia wody SYSTEM ZASILANIA (SZ) Granica systemów Źródła wody uzdatnionej SYSTEM DYSTRYBUCJI WODY PITNEJ (SDWP) Odbiorcy Rysunek 2.1 System zaopatrzenia w wodę pitną (SZwWP) z wyróżnieniem SZ i SDWP 2.1 System dystrybucji wody pitnej (SDWP) W SDWP realizowany jest proces dystrybucji wody uzdatnionej, czyli odbiór wody pojawiającej się na wyjściu stacji uzdatniania, a następnie jej dystrybucja w czasie i w ilości zapewniających zaspokojenie zapotrzebowania odbiorców (Brdys i Ulanicki 1994). Proces dystrybucji (realizacja głównego zadania SDWP) odbywa się z wykorzystaniem szeregu elementów pełniących różne funkcje zarówno z punktu widzenia ilości jak i jakości wody. Podstawowymi elementami SDWP są: źródła wody uzdatnionej (pitnej) - miejsca wprowadzania wody uzdatnionej do SDWP; wpływają zarówno na hydraulikę jak i na jakośd wody; typowe wielkości pomiarowe: natężenia przepływów wody oraz ciśnienia, wskaźniki jakościowe, węzły - miejsca w SDWP, w których następuje połączenie rurociągów; wpływają zarówno na hydraulikę jak i na jakośd wody; typowe wielkości pomiarowe: ciśnienia, wskaźniki jakościowe, rurociągi - elementy połączeniowe transportujące wodę pomiędzy poszczególnymi elementami SDWP; wpływają zarówno na hydraulikę jak i na jakośd wody; typowe wielkości pomiarowe: natężenia przepływów wody, zbiorniki - elementy umożliwiające magazynowanie wody; wpływają zarówno na hydraulikę jak i na jakośd wody; typowe wielkości pomiarowe: poziomy luster wody, wskaźniki jakościowe, pompy - elementy przenoszące wodę z poziomu niższego na poziom wyższy lub przetłaczające wodę z obszaru o ciśnieniu niższym do obszaru o ciśnieniu wyższym w SDWP; wpływają na hydraulikę; ich praca bazuje przede wszystkim na pomiarach ciśnieo w węzłach SDWP, zawory - elementy, które kontrolują albo ciśnienie lub przepływ wody w określonych punktach SDWP albo nawet całą strukturę SDWP przez otwarcie jednych dróg dla przepływu wody i zamknięcie innych; wpływają na hydraulikę; ich praca bazuje na pomiarach ciśnieo w węzłach oraz natężeo przepływów wody w rurociągach, w SDWP, stacje wtórnego uzdatniania - miejsca w SDWP, w których następuje ponowne (wtórne) uzdatnianie wody; wpływają na jakośd wody; ich praca bazuje na pomiarach danego wskaźnika jakości wody w węzłach z dozowaniem dezynfektanta. 2.2 Hydraulika i jakośd wody w SDWP Związek pomiędzy przebiegiem procesów hydrauliki i jakości w SDWP jest jednostronny. Oznacza to, że wartości wskaźników jakości wody istotnie zależą od czasu przebywania wody w systemie, a więc od przepływów. Sterowanie hydrauliką w SDWP ma istotny wpływ na jakośd wody, natomiast sterowanie jakością nie ma żadnego wpływu na stan hydrauliki. Zauważona, powyższa prawidłowośd po raz pierwszy została wykorzystana w rozważaniach dotyczących sterowania SDWP w publikacji (Brdys i inni 1995). Drugą, obok - 5 -

6 jednostronnego wpływu hydrauliki na jakośd wody, kwestią łączącą oba aspekty jest różna dynamika. Ze względu na różnice w skalach czasu dynamiki hydrauliki i jakości, układy sterowania obiema wielkościami, chod zintegrowane muszą mied możliwośd odpowiednio szybkiej reakcji. Typowo, w SDWP częstośd interwencji w przypadku ilości jest w przedziale od 0,5 do 2 *h. Przedział ten nosi nazwę kroku hydrauliki T H (Brdys i Ulanicki 1994). Natomiast w przypadku jakości wody w SDWP częstośd ta jest znacznie większa - przedział jest rzędu pojedynczych minut, a zwany jest krokiem jakości T Q. Ponadto, przyjmuje się, iż rozwiązanie hydrauliki (wartości natężeo przepływów wody, liniowe prędkości przepływów wody, itd. oraz kierunki przepływów wody) w obrębie danego T H jest stałe (Brdys i Ulanicki 1994; Rossman i Boulos 1996) Hydraulika w SDWP Zgodnie z podstawowym zadaniem SDWP, odnośnie hydrauliki, musi on zapewnid żądaną przez odbiorców ilośd wody w wymaganym przez nich czasie. Wartości natężeo przepływów wody w SDWP powinny byd dostosowane do bieżących wartości wielkości poboru wody przez odbiorców. Jest to ściśle związane z zapewnieniem właściwego ciśnienia (naporu hydraulicznego) w danych węzłach SDWP, tak aby zapewnid swobodny pobór potrzebnej ilości wody (Brdys i Ulanicki 1994; Duzinkiewicz 2005). Wobec tego, niezwykle istotnym jest określenie zapotrzebowania na wodę przez odbiorców w SDWP. Typowo, w SDWP zapotrzebowanie powiązane jest z węzłem reprezentującym odbiorców na danym obszarze, a możliwy sposób określania jego przebiegu można znaleźd np. w (Boulos i inni 2004; Walski i inni 2001). Określając wzorzec zapotrzebowania na wodę (jej predykcję) w danym węźle wykorzystuje się dane historyczne oraz wszelkie inne informacje w tym zakresie. Naturalnie mówiąc o prognozach pojawia się koniecznośd uwzględniania ich niepewności. Warto w tym miejscu zauważyd, iż predykcje zapotrzebowania na wodę w SDWP na 24-godzinnym horyzoncie mają dokładnośd 4-6% (Brdys i Ulanicki 1994). Określenie wzorców zapotrzebowania na wodę we wszystkich wymagających tego węzłach SDWP tworzy scenariusz zapotrzebowania na wodę. Określenie liczby możliwych scenariuszy zapotrzebowania na wodę w danym SDWP może zostad dokonane z wykorzystaniem wiedzy operatorów tego systemu i przy uwzględnieniu danych historycznych. Działanie takie jest niezwykle pożądane z punktu widzenia sterowania i monitorowania w SDWP Model hydrauliki w SDWP Model hydrauliki w SDWP uzyskuje się łącząc modele hydrauliki poszczególnych elementów, o których mowa w sekcji 2.1. Modele te przede wszystkim bazują na zasadach zachowania masy i energii wody, a ich przygotowanie wymaga znajomości topografii SDWP oraz parametrów rurociągów, zaworów i zbiorników (Bhave 1991; Boulos i inni 2004). Zasadniczym przeznaczeniem tych modeli jest prognozowanie (Brdys i Ulanicki 1994; Duzinkiewicz 2005): wartości ciśnieo w węzłach, przepływów w rurociągach oraz poziomów luster wody w zbiornikach, w SDWP. W celu korzystania z nich niezbędna jest wiedza o (Duzinkiewicz 2005): parametrach hydraulicznych wody opuszczającej stacje uzdatniania (natężenie przepływu wody i ciśnienie), prognozach poboru wody w węzłach oraz wartościach zmiennych sterujących (otwarcia zaworów, praca pomp itp.). Zatem, pełen model hydrauliki w SDWP składa się z (Brdys i Ulanicki 1994; Duzinkiewicz 2005): równao bilansu masy wody dla węzłów SDWP, równao dynamiki ilości wody dla zbiorników SDWP, równao dla połączeo pomiędzy poszczególnymi węzłami SDWP. Należy podkreślid, iż rozwiązanie modelu hydrauliki (wartości wielkości hydraulicznych: natężenia przepływów wody w rurociągach, ciśnienia/napory hydrauliczne w węzłach, poziomy luster wody w zbiornikach) stanowi wielkości wejściowe do modelu jakości wody w SDWP. Powyższe wynika wprost z wcześniej wspomnianej relacji łączącej hydraulikę z jakością wody Jakośd wody w SDWP Drugim, obok hydrauliki aspektem wynikającym z podstawowego zadania SDWP jest jakośd wody. Jakośd ta, a ściślej mówiąc wymagania jej dotyczące, w odniesieniu do wody przeznaczonej do picia określone są w Rozporządzeniu Ministra Zdrowia w sprawie jakości wody przeznaczonej do spożycia przez ludzi z dnia 29 marca 2007 roku wraz z późniejszymi zmianami (Dz. U., Nr 61, poz. 417 z dn r.). Wymagania te dzielone są na trzy podstawowe grupy: Bakteriologiczne - charakteryzują jakośd wody z punktu widzenia mikrobiologii. Najważniejszymi parametrami (wskaźnikami) w tej grupie są: bakterie escherichia coli i enterokoki. Należy dodad, iż dla poszczególnych wskaźników z tej grupy w ww. rozporządzeniu zdefiniowane zostały dopuszczalne poziomy ich wartości. Fizykochemiczne - charakteryzują jakośd wody z punktu widzenia jej właściwości fizycznych, chemicznych i radiologicznych. Wskaźnikami w tej grupie są między innymi: ołów, pestycydy, rtęd, trihalometany (THM), żelazo, mangan, chlor wolny, chloraminy, ozon, ph i tryt. Podobnie jak dla parametrów - 6 -

7 bakteriologicznych również dla poszczególnych wskaźników z tej grupy w ww. rozporządzeniu zdefiniowane zostały dopuszczalne poziomy ich wartości. Organoleptyczne - charakteryzują jakośd wody z punktu widzenia jej walorów smakowych czy zapachowych. Parametrami w tej grupie są przede wszystkim: barwa, mętnośd, smak i zapach. W odróżnieniu od powyższych grup, nie dla wszystkich wskaźników z tej grupy, z przyczyn naturalnych (smak i zapach), w ww. rozporządzeniu zdefiniowane zostały dopuszczalne poziomy ich wartości. Zapewnienie zdefiniowanych w ww. rozporządzeniu wartości poszczególnych wskaźników jest warunkiem koniecznym nadania wodzie w SDWP statusu wody zdatnej do picia. Można w tym miejscu przyjąd naturalne założenie, iż jakośd wody opuszczającej stację uzdatniania spełnia wszystkie powyższe wymagania. Natomiast jej utrzymanie w samym SDWP jest poważnym problemem, z uwagi na szereg czynników mogących wpływad na jej pogorszenie. Należą do nich (Mays 2000): gwałtowne zmiany prędkości wody (np. wskutek załączania i wyłączania pomp), zanieczyszczenia poprzez punkty nieszczelności bądź połączenia z innymi systemami, korozja materiału rurociągów (np. żelaza) oraz rozpuszczanie się składników materiału, z którego wykonane są rurociągi (np. ołowiu i miedzi), zanik dezynfektanta w zbiornikach przy długich czasach przetrzymania w nich wody, reakcje dezynfektanta z substancjami organicznymi i nieorganicznymi wpływające na smak i zapach wody oraz prowadzące do powstawania produktów ubocznych dezynfekcji (PUD) oraz ponowne namnażanie się bakterii. Warto jeszcze zwrócid uwagę na pomiary wielkości charakteryzujących jakośd. Ze swojej natury wiele z nich, do określenia ich wartości, wymaga odpowiednich czynności laboratoryjnych (np. określenie liczby bakterii). Tego typu pomiary, nazywane laboratoryjnymi, chod niezwykle ważne, z uwagi na powyższą cechę nie mają zastosowania w bieżącym sterowaniu i monitorowaniu w SDWP. Zastosowanie to znajdują pomiary wskaźników jakości wody, które mogą byd dokonywane on-line. Do takich wskaźników należy np. stężenie dezynfektanta. Jak już wspomniano, pomiary wskaźników jakości dokonywane są typowo w SDWP w węzłach i w zbiornikach. Uwzględniając dalsze rozważania zawarte w rozprawie autor wprowadził pojęcie punktu pomiarowego, jako miejsca w SDWP, w którym zostało ulokowane urządzenie do pomiaru przyjętego w rozprawie wskaźnika jakości wody Dezynfekcja wody Dezynfekcja wody oznacza usuwanie, dezaktywację lub zniszczenie mikroorganizmów chorobotwórczych, z wykorzystaniem substancji zwanych dezynfektantami. Do najczęściej stosowanych należą (Nawrocki i Biłozor 2000; Farren 2003; Duzinkiewicz 2005): chlor (najbardziej rozpowszechniony), chloramina, dwutlenek chloru i ozon. W rozprawie przyjęto, iż w danym SDWP proces dezynfekcji odbywa się z wykorzystaniem chloru Wskaźniki jakości wody Jak już wspomniano, jakośd wody w SDWP określają jej parametry - wskaźniki jakości. W rozprawie przyjęto jeden z typowo stosowanych w SDWP wskaźników jakości, którym jest stężenie dezynfektanta. Utrzymanie odpowiedniego jego stężenia w wodzie chroni ją przed skażeniem bakteriologicznym. W związku z założeniem dotyczącym dezynfekcji z wykorzystaniem chloru, to jego stężenie stanowi przyjęty w rozprawie wskaźnik jakości wody w SDWP. 2.3 Monitorowanie hydrauliki i jakości wody w SDWP W celu dostarczenia do odbiorców, w określonym czasie żądanej przez nich ilości wody o odpowiedniej jakości, proces dystrybucji wody pitnej powinien byd prowadzony przy wykorzystaniu odpowiedniego systemu sterowania. Uwzględniając fakt istnienia powiązania pomiędzy hydrauliką i jakością wody, taki system sterowania powinien generowad sterowania zarówno hydrauliką jak i jakością wody. Zatem, dystrybucja wody pitnej powinna byd prowadzona przy wykorzystaniu zintegrowanego systemu sterowania, z dodatkowym uwzględnieniem czynnika ekonomicznego (minimalizacji kosztów prowadzenia procesu). Systemem sterowania spełniającym powyższe jest dwuwarstwowa hierarchiczna struktura sterowania (Brdys i inni 2000; Brdys i inni 2002). Niemniej jednak, aby system ten mógł generowad efektywne i odpowiednie sterowania, potrzebuje on informacji o stanie SDWP. Informacji tej dostarcza system monitorowania, składający się z części związanej z monitorowaniem hydrauliki i odpowiadającej za monitorowanie jakości. Poniżej scharakteryzowano oba zagadnienia: Monitorowanie hydrauliki - jego głównym zadaniem jest dostarczenie informacji o stanie hydrauliki SDWP. Informacje te, to przede wszystkim wartości: natężeo przepływów wody przez rurociągi, poziomy luster wody w zbiornikach oraz ciśnienia w węzłach SDWP. Naturalnie, idealną sytuacją byłoby, aby pełna informacja o hydraulice (pełne rozwiązanie hydrauliki) pochodziła z urządzeo do pomiaru ww. wielkości hydraulicznych. Jednakże, w związku z dużą liczbą rurociągów i węzłów, nawet w niewielkim SDWP, zainstalowanie urządzeo do pomiaru ciśnieo we wszystkich węzłach czy też urządzeo do pomiarów natężeo przepływów wody w każdym rurociągu jest sytuacją, którą właściwie można rozważad jedynie - 7 -

8 teoretycznie. Typowym rozwiązaniem tego problemu jest wykorzystanie estymacji. Jednakże, aby możliwe było przeprowadzenie procesu estymacji wartości niemierzonych wielkości hydraulicznych w SDWP koniecznym jest posiadania odpowiedniego, dla celów estymacji, modelu hydrauliki SDWP. Dodatkowo, w związku z niepewnością występującą zarówno we wzorcach zapotrzebowania na wodę jak i w dostępnych pomiarach wielkości hydraulicznych niezbędnym jest modelowanie tej niepewności. Opracowanie estymatora hydrauliki można znaleźd np. w (Brdys i Chen 1995). Monitorowanie jakości wody - jego głównym zadaniem jest dostarczenie informacji o stanie jakości wody w SDWP. W związku z przyjętym w rozprawie wskaźnikiem jakości wody informacja o stanie jakości to informacja o wartościach stężeo chloru. Z praktycznego punktu widzenia istotne znaczenia ma znajomośd stężeo chloru w węzłach oraz w zbiornikach SDWP. Prowadząc analogiczne do powyższych rozważania można wyciągnąd podobne wnioski. Okazuje się bowiem, iż ulokowanie urządzeo do pomiaru stężenia chloru w każdym węźle i w każdym zbiorniku SDWP jest praktycznie nierealne. Pojawia się zatem potrzeba wykorzystania estymacji - tym razem estymacji jakości wody pitnej (stężenia chloru). Monitorowanie jakości wody pitnej, a więc opracowanie systemu dostarczającego informacji o jakości wody pitnej w całym SDWP jest de facto ogólnym sformułowaniem celu rozprawy. Zatem, w dalszej części przedstawiono: modelowanie jakości wody pitnej zakooczone opracowaniem modelu jakości wody pitnej w SDWP dla celów estymacji, modelowanie niepewności zakooczone wyborem modelu niepewności, problem estymacji jakości wody pitnej zakooczony opracowaniem estymatora jakości wody pitnej w SDWP oraz problem alokacji dostępnej liczby urządzeo do pomiaru stężenia chloru zakooczony opracowaniem algorytmów alokacji punktów monitorowania jakości wody pitnej w SDWP. Warto jeszcze podkreślid, iż w związku z wskazaną relacją pomiędzy hydrauliką i jakością wody w SDWP pełen system monitorowania jest systemem kaskadowym. Innymi słowy, monitorowanie jakości wody wymaga wiedzy o hydraulice. Zatem, zauważalne jest analogiczne powiązanie systemów monitorowania do powiązania pomiędzy hydrauliką i jakością wody pitnej. W celu zwiększenia przejrzystości opisu na rysunku 2.2 przedstawiono wzajemne powiązania w SDWP pomiędzy systemem monitorowania i zintegrowanym systemem sterowania. STEROWANIA HYDRAULIKĄ I JAKOŚCIĄ WODY ZINTEGROWANY SYSTEM STEROWANIA HYDRAULIKĄ I JAKOŚCIĄ WODY INFORMACJE O STANIE HYDRAULIKI INFORMACJE O STANIE JAKOŚCI WODY MONITOROWANIE HYDRAULIKI MONITOROWANIE JAKOŚCI WODY SYSTEM DYSTRYBUCJI WODY PITNEJ (SDWP) Rysunek 2.2 Ogólny schemat monitorowania i sterowania w SDWP - 8 -

9 2.4 Symulatory SDWP Dostępnych jest kilka symulatorów SDWP pozwalających na symulację zachowania się danego systemu zarówno z punktu widzenia ilości jak i jakości wody. Wśród nich najbardziej rozpowszechnionym jest pakiet Epanet (Rossman 1994; Rossman 2000), którego druga wersja z roku 2000 została wykorzystana w rozprawie, w szczególności do: modele symulacyjne danych SDWP zaimplementowane w Epanecie użyte zostały jako generatory wartości wielkości hydraulicznych i pomiarów stężeo chloru, ponadto, modele te wykorzystane zostały do weryfikacji uzyskanych wyników np. estymacji, oraz przyjęto założenie, że wyniki (wartości poszczególnych wielkości w SDWP) z modeli symulacyjnych zaimplementowanych w Epanecie stanowią wierne odzwierciedlenie rzeczywistego zachowania się danego SDWP. 3. Modele jakości wody Zgodnie z przyjętym w rozprawie wskaźnikiem jakości wody w postaci stężenia chloru, rozważanymi modelami jakości wody w SDWP są modele jego stężenia należące do grupy modeli fizyczno-chemicznych dla substancji niezachowawczych (Duzinkiewicz 2005). Uwzględniają one podstawowe procesy fizyczne i chemiczne, które wpływają na daną substancję niezachowawczą (stężenie chloru). Należą do nich: transport, mieszanie i zanikanie lub ponowny wzrost stężenia danej substancji. Głównym przeznaczeniem tych modeli jest badanie czasowej i przestrzennej zmienności stężenia takiej substancji, w tym przede wszystkim: zmian stężenia dezynfektanta (jego zanikania) oraz zmian stężenia produktów ubocznych dezynfekcji. Modele jakości fizycznochemicznej opierają się na zasadach: natychmiastowego i idealnego wymieszania wody docierającej do węzła SDWP, odpowiedniego wyrażenia kinetyki zwiększania (przyrostu) lub zmniejszania (zaniku) domieszki (dezynfektanta) podczas jej przepływu przez rurociąg lub przebywania w zbiorniku, zachowania masy wody oraz zachowania masy domieszki w obrębie rozważanego elementu SDWP. 3.1 Modele jakości wody poszczególnych elementów SDWP W sekcji 2.1 przedstawione zostały wszystkie typowe elementy występujące w SDWP. W związku z funkcją przez nie pełnioną nie wszystkie wpływają na jakośd wody. Do elementów takich należą pompy oraz zawory, które pełnią istotną rolę z punktu widzenia hydrauliki, ale nie mają wpływu na zmianę stężenia chloru w systemie. Natomiast występujące w SDWP źródła wody traktowane są jako źródła wody uzdatnionej o znanym stężeniu chloru wprowadzanym do sieci. Zatem, podczas modelowania dynamiki stężenia chloru w SDWP uwzględniono: węzły, rurociągi oraz zbiorniki. Przy formułowaniu tych modeli przyjęto założenie, iż wartości wszystkich wielkości hydraulicznych w SDWP (rozwiązanie hydrauliki) są znane i wartości te na określonych przedziałach czasu T H są stałe Modele jakości wody w węzłach Model jakości dla węzłów wyprowadza się na podstawie zasady zachowania masy domieszki wody oraz zasady zachowania masy wody. Wynika to z faktu, iż do danego węzła docierają strumienie wody z różnymi stężeniami chloru. Ponadto należy zauważyd, iż w węźle nie następuje gromadzenie wody, jak również przyjmuje się, iż czas przebywania chloru w węźle jest na tyle krótki, że nie następują w nim procesy jego zanikania. Modelując jakośd wody w węzłach SDWP wprowadza się podział na dwa podstawowe ich rodzaje (Duzinkiewicz 2005): węzły, w których nie jest dozowany chlor oraz węzły w których chlor jest dozowany. Drugi rodzaj węzłów został wykorzystywany do modelowania dynamiki stężenia chloru w źródłach wody uzdatnionej oraz w stacjach wtórnego uzdatniania. Model opisujący zmiany stężenia chloru w n-tym węźle, w którym nie jest dozowany chlor jest postaci (3.1) (Males i inni 1985; Boulos i inni 1995; Rossman i Boulos 1996; Mays 2000; Boulos i inni 2004): c out,n t = l INn t q l t c l L l, t l EINn t q l t c l L l, t l INn t q l t l EINn t q l t (3.1) c out,n t - stężenie chloru w węźle n w chwili t, q l t - odpowiednie natężenie dopływu wody do węzła n w chwili t, c l L l, t - stężenie chloru w odpowiednim dopływie do węzła n w chwili t (stężenie na koocu danego rurociągu doprowadzającego wodę do węzła n), INn t - zbiór rurociągów doprowadzających wodę z SDWP do węzła n w chwili t, EINn t - zbiór rurociągów doprowadzających wodę z zewnętrznych źródeł do węzła n w chwili t, l - indeks rurociągu należącego odpowiednio do zbiorów INn t oraz EINn t

10 Natomiast model opisujący zmiany stężenia chloru w n-tym węźle, w którym jest dozowany chlor jest postaci (3.2) (Propato i inni 2001; Boulos i inni 2004): c out,n t = l INn t q l t c l L l, t l EINn t q l t c l L l, t l INn t q l t l EINn t q l t c in,n t (3.2) c in,n t - stężenie dozowanego chloru do węzła n w chwili t Modele jakości wody w rurociągach Model jakości dla rurociągów wyprowadza się w oparciu o równanie bilansu masy substancji niezachowawczej rozpuszczonej lub zawieszonej w płynącym płynie. Ogólna struktura modelu stężenia chloru w rurociągu uwzględnia przede wszystkim mechanizm jego transportu oraz zawiera człon związany z kinetyką reakcji prowadzących do zmian stężenia (zanikania) chloru. Jednowymiarowy model zmian stężenia chloru w wodzie płynącej przez l-ty rurociąg uwzględniający tylko transport adwekcyjny w osi rurociągu z kinetyką zanikania pierwszego rzędu jest postaci (3.3) (Males i inni 1988; Rossman i inni 1994; Clark i inni 1995; Droste 1997; Park i Kuo 1999; Al-Omari i Chaudhry 2001; Walski i inni 2001; Boulos i inni 2004; Walski i inni 2004): c l z, t t v l z, t c l z, t z = α l c l z, t (3.3) z warunkami początkowymi i brzegowymi (3.4): c l z, 0 = c l,0,t z c l 0, t = c l,0,z t (3.4) c l z, t - stężenie chloru w l-tym rurociągu jako funkcja odległości od początku rurociągu z i czasu t, v l z, t - liniowa prędkośd przepływu wody w l-tym rurociągu jako funkcja odległości od początku rurociągu z i czasu t, α l - współczynnik szybkości reakcji chloru (zanikania) w wodzie w l-tym rurociągu. W rozprawie założono, iż współczynniki szybkości zanikania chloru dla poszczególnych rurociągów są znane. Ponadto przyjęto, że rurociągi są rurociągami ciśnieniowymi oraz woda jest cieczą nieściśliwą, co powoduje, iż prędkośd (dla l-tego rurociągu - v l z, t ) jest jednakowa w obrębie całego rurociągu Modele jakości wody w zbiornikach Model jakości dla zbiorników bazuje na wykorzystaniu zasady zachowania masy domieszki w obrębie zbiornika. W literaturze można znaleźd szereg modeli określających przepływ wody przez zbiornik jak i przestrzenny rozkład stężenia chloru w zbiorniku (Mau i inni 1995; Rossman i inni 1995; Clark i inni 1996; Clark i Grayman 1998; Rossman i Grayman 1999; Boulos i inni 2004). W rozprawie dla celów modelowania zmian stężenia chloru w zbiorniku wykorzystano model reaktora z ciągłym wymieszaniem (RCW). Model ten traktuje zbiornik jako jednolitą objętośd oraz zakłada jednorodne i ciągłe wymieszanie wody w zbiorniku. Dodatkowo zakładając, iż w zbiorniku procesy zmian stężenia chloru zachodzą zgodnie z modelem kinetyki pierwszego rzędu, model -tego RCW przedstawiają zależności (3.5) - (3.8): d V zb, c zb, dt = q in t c in L in, t q out t c zb, t β V zb, t c zb, t (3.5) dv zb, t dt = q in t q out t (3.6) z warunkami początkowymi: V zb, 0 = V zb,,0 c zb, 0 = c zb,,0 (3.7) dodatkowo, dla zbiornika nieprzepływowego (zbiornik, który fizycznie połączony jest z resztą SDWP tylko jednym rurociągiem) należy uwzględnid warunek: q in t q out t = 0 (3.8)

11 c zb, t - stężenie chloru w zbiorniku w chwili t, V zb, t - objętośd wody w zbiorniku w chwili t, c in L in, t - stężenie chloru w dopływie do zbiornika w chwili t (na koocu rurociągu doprowadzającego wodę do zbiornika ), q in t - natężenie dopływu wody do zbiornika w chwili t, q out t - natężenie wypływu wody ze zbiornika w chwili t, β - współczynnik szybkości reakcji chloru (zanikania) w wodzie w -tym zbiorniku. Dokonując dalszych przekształceo powyższych zależności model dynamiki stężenia chloru dla zbiornika przepływowego oraz nieprzepływowego w fazie jego napełniania przyjmuje postad (3.9): dc zb, t dt = q in t V zb, t β c zb, t q in t V zb, t c in L in, t (3.9) natomiast dla zbiornika nieprzepływowego w fazie jego opróżniania postad (3.10): dc zb, t dt = β c zb, t (3.10) Podobnie jak w przypadku rurociągów, w rozprawie założono, iż współczynniki szybkości zanikania chloru dla poszczególnych zbiorników są znane. 3.2 Model jakości wody w SDWP Model dynamiki stężenia chloru w SDWP uzyskuje się łącząc modele zamian stężenia chloru w poszczególnych jego elementach, które zostały przedstawione w sekcjach Dodatkowo warto zauważyd, iż rozważając model jakości całego systemu, modele dynamiki stężenia chloru w węzłach oraz w zbiornikach są jednocześnie warunkami brzegowymi modelu dynamiki stężenia chloru wzdłuż rurociągów. Rozważając pełen model dynamiki stężenia chloru w SDWP widad wyraźnie wpływ hydrauliki na jakośd wody. Warto podkreślid, iż do rozwiązania modelu jakości wody w SDWP potrzebna jest znajomośd nie tylko wartości wielkości hydraulicznych, ale również kierunków przepływów wody. Pierwsza z cech konieczna jest do uzyskania liczbowych wartości stężenia chloru w poszczególnych punktach SDWP oraz wraz z drugą cechą determinuje strukturę modelu jakości. Zatem, jak wynika z powyższego wartości wielkości hydraulicznych stanowią wielkości wejściowe do modelu jakości wody w SDWP. 3.3 Model jakości wody w SDWP dla celów estymacji Przedstawiony w sekcjach 3.1 i 3.2 model jakości wody opisuje przestrzenną i czasową zmianę stężenia chloru w SDWP. Model ten składa się z równao różniczkowych zwyczajnych i cząstkowych opisujących odpowiednio dynamikę stężenia chloru w zbiornikach i w rurociągach oraz równao algebraicznych modelujących zmiany stężenia chloru w węzłach SDWP. Zatem, dla potrzeb estymacji pojawia się koniecznośd aproksymowania równao różniczkowych cząstkowych postaci (3.3) równaniami różniczkowymi zwyczajnymi. W rozprawie zaproponowano taką metodę polegającą na dyskretyzacji równania (3.3) w dziedzinie przestrzeni pozostawiając czas ciągły (Łangowski i Brdys 2006; Łangowski i Brdys 2007). W wyniku jej wykorzystania uzyskuje się aproksymację równania (3.3) równaniem różniczkowym zwyczajnym postaci (3.11): dc l m, t dt v l m, t c l m, t c l m 1, t l l = α l c l m, t (3.11) z warunkiem początkowym (3.12): l l - m - c l m, 0 = c l,0,t m (3.12) krok przestrzenny, interpretowany jako długośd segmentu l w obrębie l-tego rurociągu, definiuje strukturę (określa położenie w przestrzeni). Zatem, równanie (3.11) opisuje zmiany stężenia chloru w m punktach l-tego rurociągu (w odległości m l l od początku rurociągu) w każdej chwili czasu t. Można więc powiedzied, iż równanie to ilustruje wirtualny podział rurociągu na segmenty. Graficznie, przykładowy podział rurociągu na segmenty przedstawiono na rysunku

12 Rysunek 3.1 Przykładowy podział rurociągu na segmenty Wobec powyższego, każdy rurociąg dzielony jest na segmenty o długości l (poprzez wstawienie dodatkowych węzłów - nazywanych dalej podwęzłami). Dla danego rurociągu segmenty mają tę samą długośd. Nie oznacza to, że wszystkie rurociągi mają segmenty o tej samej długości. Zgodnie z informacjami zawartymi w sekcji 3.1 natężenie przepływu wody jak i wynikająca z niego liniowa prędkośd przepływu wody są stałe tylko na pewnych przedziałach czasu w obrębie rozważanego horyzontu czasu T. W związku z tym, liczba przedziałów czasu T H, na których natężenie przepływu wody jak i liniowa prędkośd przepływu wody, w obrębie rozważanego horyzontu czasu, jest stała wynosi: J = T T H. Wykorzystywana w rozprawie procedura podziału rurociągów na segmenty l (wymagane przez równanie (3.11)) jest następująca (Rossman i inni 1993): Krok 1. Dla danego T H zostają obliczone czasy transportu wody T T przez rurociągi zgodnie z (3.13): T T,l = L l v l (3.13) l - indeks rurociągu, L l - długośd l-tego rurociągu, v l - liniowa prędkośd przepływu wody przez l-ty rurociąg w obrębie danego T H. Krok 2. Wyznaczenie wartości kroku jakości T Q zgodnie z (3.14): T Q = min l T T,l (3.14) Krok 3. Obliczenie liczby segmentów N dla każdego rurociągu, dla danego T H zgodnie z (3.15): N l = T T,l T Q N (3.15) N - operacja zaokrąglania wartości do najbliższej liczby naturalnej. Krok 4. Obliczenie długości segmentu l dla każdego rurociągu, dla danego T H na podstawie zależności (3.16): l l = L l N l (3.16) Należy jeszcze zwrócid uwagę na dwa ekstremalne przypadki, które mogą mied miejsce w SDWP. Są one następujące (Rossman i inni 1993):

13 Duża liniowa prędkośd przepływu wody w rurociągu o małej długości - powoduje, iż krok jakości T Q przyjmuje bardzo małą wartośd. W wyniku tego następuje bardzo duże zwiększenie czasu obliczeo. Aby tego uniknąd wprowadza się minimalny krok jakości T Q.min. Działanie to powoduje pewną utratę dokładności uzyskiwanego rozwiązania przede wszystkim dla rurociągów z krótkim czasem transportu (będzie następowało w nich większe niż powinno zanikanie stężenia chloru). Mała liniowa prędkośd przepływu wody w rurociągu o znacznej długości - powoduje, iż pojawia się bardzo duża liczba segmentów w rurociągach, co również wydłuża czas obliczeo. Aby tego uniknąd wprowadza się maksymalną liczbę segmentów w obrębie rurociągu N l,max. Analogicznie jak poprzednio wprowadza to pewną utratę dokładności rozwiązania przede wszystkim dla rurociągów z długim czasem transportu (będzie w nich następował szybszy niż powinien transport stężenia chloru). Powyższa procedura jest powtarzana dla każdego kroku hydrauliki T H. Zatem, liczba segmentów w obrębie danego rurociągu może byd różna dla kolejnych T H i w konsekwencji struktura modelu jakości wody dla celów estymacji złożonego z równao: (3.1), (3.2), (3.9), (3.10) oraz (3.11) jest zmienna. Jak można zauważyd model ten jest ciągłym, liniowym modelem o parametrach skupionych. Warto zauważyd, iż praktyczne znaczenie w SDWP ma przede wszystkim znajomośd stężeo chloru w węzłach oraz w zbiornikach. W rozprawie wielkości te postrzegane są jako wyjścia z SDWP. Stężenia chloru w węzłach SDWP wyznacza się na podstawie zależności (3.1) i (3.2). Stężenia chloru wprowadzane do danego węzła są równe stężeniom chloru na koocach rurociągów wprowadzających wodę do tego węzła i są one wyznaczane na podstawie zależności (3.11). Natomiast stężenia chloru w poszczególnych zbiornikach określane są na podstawie zależności (3.9) i (3.10). Warto zwrócid uwagę, iż równania (3.9) - (3.11) są równaniami dynamicznymi. W związku z tym, w rozprawie stężenia chloru w zbiornikach oraz na koocach poszczególnych rurociągów traktowane są jako jakościowe zmienne stanu SDWP i oznaczane przez wektor x t. Zmienne stanu reprezentujące stężenia chloru w zbiornikach przenoszone są bezpośrednio na wyjścia SDWP. Podobna sytuacja występuje w przypadku, gdy do węzła doprowadzana jest woda tylko jednym rurociągiem i nie jest to węzeł z dozowaniem chloru. W związku z różnym czasem transportu wody przez poszczególne rurociągi w SDWP następuje ich podział na segmenty. Dla każdego segmentu w SDWP dynamikę stężenia chloru można opisad zależnością (3.11). Zatem, naturalnym jest rozszerzenie wektora stanu o zmienne reprezentujące stężenia chloru na koocach pośrednich segmentów. W związku z tym, pełen wektor stanu x t reprezentuje stężenia chloru na koocach wszystkich segmentów wszystkich rurociągów występujących w danym SDWP oraz w zbiornikach. Stężenia chloru na koocach poszczególnych segmentów rurociągów wyznaczane są na podstawie zależności (3.11). Wprowadzając oznaczenie x r t dla stężenia chloru na koocu r-tego segmentu w obrębie l-tego rurociągu, zależnośd (3.11) dla tego segmentu przyjmuje postad (3.17): dx r t dt = v r t l r α l x r t v r t l r c inp,l,r t (3.17) v r t - l r - c inp,l,r t - liniowa prędkośd przepływu wody w r-tym segmencie l-tego rurociągu, długośd r-tego segmentu w l-tym rurociągu, stężenie chloru na początku r-tego segmentu l-tego rurociągu. Stężenie chloru na początku r-tego segmentu l-tego rurociągu c inp,l,r t może byd albo (Łangowski i Brdys 2007; Brdys i Łangowski 2008): (1) równe stężeniu chloru na koocu r 1 segmentu l-tego rurociągu, (2) równe stężeniu chloru w źródle wody, (3) równe stężeniu chloru w -tym zbiorniku, (4) równe stężeniu chloru w n-tym węźle. W przypadku (1) równanie (3.17) jest postaci (3.18): dx r t dt = v r t l r α l x r t v r t l r x r1 t (3.18) x r1 t - zmienna stanu reprezentująca stężenie chloru na koocu r 1 segmentu l-tego rurociągu. W przypadku (2) równanie (3.17) jest postaci (3.19): dx r t dt = v r t l r α l x r t v r t l r c źr t (3.19)

14 c źr t - stężenie chloru w źródle wody. W przypadku (3) równanie (3.17) jest postaci (3.20): x t - dx r t dt = v r t l r zmienna stanu reprezentująca stężenie chloru w -tym zbiorniku. α l x r t v r t l r x t (3.20) W przypadku (4) równanie (3.17) jest postaci (3.21): dx r t dt = v r t l r α l x r t v r t l r c out,n t (3.21) c out,n t - stężenie chloru w n-tym węźle wyznaczane z zależności (3.1) lub (3.2). Natomiast stężenia chloru w zbiornikach wyznaczane są na podstawie zależności (3.9) oraz (3.10). Wykorzystując oznaczenie x t dla stężenia chloru w -tym zbiorniku, zależności (3.9) i (3.10) dla tego zbiornika przyjmują postaci (3.22) i (3.23): dx t dt = q in t V zb, t β x t q in t V zb, t c izb, t (3.22) c izb, t - stężenie chloru wprowadzane do -tego zbiornika, dx t dt = β x t (3.23) Stężenie chloru wprowadzane do -tego zbiornika c izb, t jest równe stężeniu chloru na koocu ostatniego segmentu rurociągu dostarczającego wodę do tego zbiornika. Zatem, równanie (3.22) przyjmuje postad (3.24): dx t dt = q in t V zb, t β x t q in t V zb, t x κ t (3.24) x κ t - zmienna stanu reprezentująca stężenie chloru na koocu ostatniego segmentu rurociągu dostarczającego wodę do zbiornika. Na podstawie zależności (3.18) - (3.21), (3.23), (3.24) oraz uwzględniając (3.1) i (3.2) dynamikę stężenia chloru w SDWP można opisad ogólną zależnością (3.25): x t = A t x t b t (3.25) x t - A t - b t - wektor zmiennych stanu reprezentujących stężenia chloru na koocach wszystkich segmentów wszystkich rurociągów występujących w SDWP oraz w zbiornikach; przy czym w wektorze w pierwszej kolejności znajdują się zmienne stanu reprezentujące stężenia chloru na koocach segmentów, a dokładna ich kolejnośd jest zgodna z rozpływami wody w SDWP począwszy od źródeł poprzez wykorzystanie wzajemnych powiązao pomiędzy nimi, zmienna w czasie macierz stanu, której elementy zależą od wielkości hydraulicznych (natężenia przepływów wody, liniowe prędkości przepływów wody, objętości wody w zbiornikach), długości segmentów rurociągów oraz współczynników szybkości reakcji α i β, wektor wejśd, którego elementy zależą od wielkości hydraulicznych (liniowe prędkości przepływów wody), długości segmentów rurociągów, stężeo chloru w źródłach wody oraz w przypadku występowania w SDWP węzłów z dozowaniem chloru od dozowanych stężeo chloru w tych węzłach. Opisany w niniejszej sekcji model jakości wody w SDWP dla celów estymacji został zaimplementowany w środowisku obliczeniowym Matlab, według opracowanego algorytmu, który został przedstawiony na rysunku

15 START Zebranie danych o strukturze SDWP Początek danego T H Zebranie danych o hydraulice SDWP Podział rurociągów na segmenty Utworzenie struktury modelu jakości SDWP Określenie warunków początkowych Rozwiązanie modelu jakości SDWP Czy ostatni T H? STOP TAK NIE Rysunek 3.2 Algorytm działania opracowanego modelu jakości wody w SDWP Poszczególne bloki pełnią następujące funkcje: Zebranie danych o strukturze SDWP - na podstawie zaimplementowanego w symulatorze Epanet modelu symulacyjnego następuje zebranie i przesłanie do Matlaba danych o strukturze SDWP, takich jak: numery węzłów, numery rurociągów, numery źródeł, struktura połączeo pomiędzy węzłami i rurociągami, długości i średnice rurociągów, początkowe wartości stężeo chloru itd. Zebranie danych o hydraulice SDWP - symulacja hydrauliki SDWP w symulatorze Epanet i przesłanie do Matlaba wartości wielkości hydraulicznych, takich jak: natężenia przepływów wody, liniowe prędkości przepływów wody, itd. Podział rurociągów na segmenty - zgodnie z przedstawioną w niniejszej sekcji procedurą następuje podział rurociągów na segmenty z uwzględnieniem wartości T Q.min oraz N l,max. Utworzenie struktury modelu jakości SDWP - uwzględniając wartości wielkości hydraulicznych, długości segmentów rurociągów, współczynniki szybkości reakcji chloru oraz wartości wielkości jakościowych (stężenia chloru w źródłach wody i dozowane stężenia chloru do węzłów) zostaje utworzona struktura modelu jakości SDWP zgodnie z zależnością (3.25). Określenie warunków początkowych - w związku z faktem, iż dla kolejnych T H liczba segmentów w obrębie danego rurociągu może byd różna, rozwiązanie modelu jakości SDWP dla kroku hydrauliki T H 1 wymaga określenia stężeo chloru na początku każdego segmentu. Znając wartości stężeo chloru na koniec kroku T H znane są wartości stężeo chloru na początku każdego górnego segmentu (z którego woda odpływa) każdego rurociągu dla kroku T H 1 (są to wartości stężeo chloru w węzłach na koniec kroku T H ). Wyznaczenie początkowych stężeo chloru dla kroku T H 1 na podstawie stężeo z kroku T H dla pozostałych segmentów odbywa się z wykorzystaniem interpolacji liniowej, co ilustruje rysunek 3.3. Rozwiązanie modelu jakości SDWP - obliczenie wartości poszczególnych zmiennych stanu (stężeo chloru na koocach segmentów poszczególnych rurociągów) oraz stężeo chloru w zbiornikach i w węzłach SDWP

16 c l Przypadek, gdy w kroku hydrauliki T H 1 liczba segmentów w obrębie l-tego rurociągu jest mniejsza od liczby segmentów w kroku hydrauliki T H. Stężenia chloru na początku kroku hydrauliki T H 1 c l Δl l (T H 1) Δl l (T H 1) interpolacja liniowa L l długość Stężenia chloru na końcu kroku hydrauliki T H c l Δl l (T H ) Δl l (T H ) Δl l (T H ) L l długość Stężenia chloru na początku kroku hydrauliki T H 1 Δl l (T H 1) Δl l (T H 1) Δl l (T H 1) Δl l (T H 1) Przypadek, gdy w kroku hydrauliki T H 1 liczba segmentów w obrębie l-tego rurociągu jest większa od liczby segmentów w kroku hydrauliki T H. L l długość Rysunek 3.3 Wyznaczanie początkowych stężeo chloru z wykorzystaniem interpolacji liniowej dla rurociągu l Na rysunkach 3.4 i 3.5 przedstawiono przykładowe wyniki symulacji, ilustrujące trajektorie stężeo chloru w węzłach 2 i 4 przykładowego SDWP. Na każdym z rysunków widoczne są dwa przebiegi: z modelu zaimplementowanego w Matlabie (linia czerwona) oraz z modelu symulacyjnego zaimplementowanego w symulatorze Epanet (linia niebieska). Natomiast przykładowy SDWP został przedstawiony na rysunku 3.6 z dodatkowym zaznaczeniem kierunków przepływów wody oraz podziałem rurociągów na segmenty dla pierwszego T H. Rysunek 3.4 Przebiegi stężenia chloru w węźle 2 Rysunek 3.5 Przebiegi stężenia chloru w węźle 4 Wyniki symulacji pokazują, iż uzyskana została rozsądna dokładnośd rozwiązania modelu jakości SDWP w stosunku do rozwiązania uzyskanego z symulatora Epanet traktowanego jako wierne odzwierciedlenie rzeczywistości. Zatem, autor uznał, iż opracowany model jakości wody w SDWP dla celów estymacji z zadowalającą dokładnością odzwierciedla rzeczywiste zachowanie się SDWP i model ten został użyty do dalszych badao zawartych w rozprawie

17 Źródło wody q 1 1 q 3 q q q 6 q 5 q Problem estymacji jakości wody w SDWP Rysunek 3.6 Przykładowy SDWP Estymacja to proces poszukiwania oszacowao (estymat) wartości pewnych zmiennych charakteryzujących dany proces na podstawie dostępnej informacji o systemie. Informacja taka dostarczana jest z dwóch podstawowych źródeł: informacja pomiarowa pochodząca z urządzeo pomiarowych oraz informacja dostarczana przez matematyczny model systemu. W SDWP informacja pomiarowa dostarczana jest z dwóch głównych typów urządzeo pomiarowych, którymi są: urządzenia do pomiaru wielkości hydraulicznych oraz urządzenia do pomiaru wielkości jakościowych. Natomiast w celu uzyskania informacji o systemie dostarczanej przez model matematyczny, opracowany został model opisany ogólną zależnością (3.25). Jeżeli wszystkie parametry tego modelu, a więc współczynniki macierzy stanu A t oraz wektora wejśd b t będą dokładnie znane, jak również informacja pomiarowa dostarczana z urządzeo pomiarowych będzie dokładna, wówczas w celu estymacji niemierzonych zmiennych stanu może zostad wykorzystany obserwator Luenbergera (Luenberger 1979). Jednakże w rzeczywistości dostępna o systemie, zarówno informacja pomiarowa jak również informacja dostarczana z jego modelu matematycznego, obarczona jest niepewnością. Wynika ona z dwóch podstawowych źródeł, którymi są błędy pomiarowe oraz błędy modelowania. Zatem, wykorzystanie estymacji jako narzędzia dostarczającego informacji o niemierzalnych czy też niemierzonych zmiennych, oprócz opracowania odpowiedniego modelu matematycznego systemu, pociąga za sobą również koniecznośd modelowania niepewności. 4.1 Modelowanie niepewności Modelowanie niepewności może odbywad się na wiele sposobów (Schweppe 1973; Milanese i Vicino 1991; Kurzhanski i Veliov 1994; Brdys i Ulanicki 1994; Milanese i inni 1996; Ayyub i Gupta 1997; Chang i inni 2004; Rutkowski 2004; Duzinkiewicz 2005), spośród których najbardziej rozpowszechnionymi są następujące trzy: Probabilistyczny model niepewności. W podejściu tym modelowanie niepewności oparte jest na modelach probabilistycznych wyprowadzanych przy przyjęciu określonych założeo statystycznych o zakłóceniach. Niepewne wielkości reprezentowane są przez wartości zmiennych losowych wylosowanych ze ściśle określonych zbiorów. Informacja o wielkościach niepewnych jest podawana za pomocą łącznej funkcji gęstości prawdopodobieostwa (lub funkcji rozkładu). Rozmyty model niepewności. Modelowanie niepewności w tym podejściu bazuje na teorii zbiorów rozmytych. Niepewne wielkości reprezentowane są przez wartości zmiennych rozmytych, zdefiniowanych bezpośrednio przez funkcję przynależności. Model niepewności w postaci zbiorów ograniczonych. W podejściu tym niepewne wielkości modelowane są w postaci granic - dolnej i górnej, wewnątrz których na pewno znajdują się nieznane wielkości. W przypadku pojedynczych zmiennych są to więc przedziały niepewności. W przypadku wielkości zmiennych w czasie nieznane ich trajektorie ograniczane są przez górną i dolną trajektorię graniczną. Zatem, dla pewnej rzeczywistej zmiennej w czasie, niepewnej wielkości w oparciu o informację pomiarową s p t oraz informację o błędzie pomiarowym ε t uzyskuje się trajektorie ograniczające jej wartośd rzeczywistą s r t, co można zapisad w postaci nierówności (4.1): s r t s r t s r t (4.1) s r t = s p t ε max s r t = s p t ε max (4.2)

18 przy założeniu ograniczoności błędu ε t : ε t ε max (4.3) Analogiczny sposób postępowania można przedstawid dla wielkości s r t w przypadku, gdy nie dysponujemy informacją pomiarową, a jedynie informacją z modelu systemu. Zależności (4.2) przyjmują wówczas postaci (4.4): mod,max s r t = s mod t ε mod,max s r t = s mod t ε (4.4) s mod t - ε mod,max - informacja uzyskana z modelu systemu, wartośd ograniczająca błąd modelowania. Zatem, trajektorie ograniczające rzeczywistą trajektorię wielkości s r t można przedstawid w postaci odpowiednich trajektorii ograniczających: dolnej s r t oraz górnej s r t, co zilustrowano na rysunku 4.1. Rysunek 4.1 Graficzna interpretacja modelowania niepewności w postaci zbiorów ograniczonych Uzyskanie wiarygodnych modeli probabilistycznych lub rozmytych niepewności w SDWP jest zadaniem bardzo trudnym, przede wszystkim ze względu na ich niestacjonarny charakter i strukturę (Duzinkiewicz 2005). Dodatkowo uzyskane estymaty w oparciu o probabilistyczne lub rozmyte modele niepewności mogą byd kwestionowane przy rozwiązywaniu problemów decyzyjnych, w których wymagana jest duża pewnośd przewidywanych konsekwencji decyzji. W przeciwieostwie do nich, modele niepewności w postaci zbiorów ograniczonych są bardziej realistyczne, gdyż potrzebują mniej informacji a priori o charakterze systemu oraz są łatwiejsze do uzyskania i interpretacji (Brdys i Ulanicki 1994). Dodatkowo z punktu widzenia podejmowania decyzji o prowadzeniu systemu, informacja w postaci dolnych i górnych ograniczeo wartości zmiennych często jest bardziej wartościowa niż dokładna ich wartośd. Ponadto, taki model niepewności umożliwia uzyskanie krzepkich estymat poszukiwanych zmiennych oraz gwarantowanego oszacowania błędu estymacji. Powyższe miało kluczowe znaczenie odnośnie wyboru sposobu modelowania niepewności wykorzystywanego w rozprawie. Wybrany został model niepewności w postaci zbiorów ograniczonych. Takie podejście do modelowania niepewności w SDWP zostało wykorzystane już wcześniej m. in. w (Brdys i Kang 1994; Brdys i Chen 1995; Chen i Brdys 1995; Brdys i Chen 1996; Chen 1997; Brdys 1999; Brdys i inni 2001a; Brdys i inni 2001b; Duzinkiewicz 2006). 4.2 Synteza modułu estymacji zmiennych Synteza ta miała na celu określenie i zamodelowanie wszystkich niepewności: modelu dynamiki jakości wody w SDWP, informacji pomiarowej oraz informacji a priori, mających istotny wpływ na proces estymacji jakościowych zmiennych stanu w SDWP Niepewnośd modelu dynamiki jakości wody w SDWP Model dynamiki jakości wody w SDWP dla celów estymacji uwzględnia tylko częśd zjawisk wpływających na stężenie chloru, a mianowicie: kinetykę zanikania chloru w rurociągach i w zbiornikach (model kinetyki zanikania pierwszego rzędu) oraz transport adwekcyjny wody przez rurociągi. Dodatkowo dla modeli zbiorników założono jednorodne i ciągłe wymieszanie. Zatem, odwzorowanie rzeczywistości jest niepełne, co

19 stanowi błąd struktury modelu. Ponadto, w modelu znajduje się szereg parametrów, które stanowią kolejne źródło niepewności. Parametrami tymi są: długości rurociągów/segmentów rurociągów, współczynniki szybkośd reakcji chloru w wodzie w rurociągach oraz współczynniki szybkości reakcji chloru w wodzie w zbiornikach. W związku z faktem, iż zanikanie chloru w rurociągu opisują równania różniczkowe cząstkowe, które w celu ich rozwiązania aproksymowane są równaniami różniczkowymi zwyczajnymi, pojawia się błąd wprowadzany przez przyjętą procedurę aproksymacji. Wszystkie wyżej wymienione czynniki stanowią błąd modelowania. Wobec powyższego równanie opisujące dynamikę jakości wody w SDWP po uwzględnieniu błędu modelowania w postaci addytywnej można przedstawid w formie (4.5): x t = A t x t b t ε M t (4.5) ε M t - wektor błędów modelowania. Wykorzystując model niepewności w postaci zbiorów ograniczonych, wektor błędów modelowania jest ograniczony, co można zapisad w następujący sposób: Niepewnośd informacji pomiarowej ε M t ε M max (4.6) Urządzenia pomiarowe zainstalowane w SDWP można podzielid na dwie podstawowe grupy: urządzenia do pomiaru wielkości hydraulicznych oraz urządzenia do pomiaru wielkości jakościowych. Typowymi wielkościami hydraulicznymi mierzonymi w SDWP są: natężenia przepływów wody w rurociągach, poziomy luster wody w zbiornikach oraz ciśnienia w węzłach. Natomiast pomiary wielkości charakteryzujących jakośd wody mogą byd podzielone zgodnie ze wskaźnikami ją determinującymi. Wykorzystując zdefiniowanie jakości wody, poprzez stężenie chloru jako pomiary wielkości jakościowych, w rozprawie, rozumiane są pomiary stężeo chloru. Typowo, w SDWP pomiary te wykonywane są w zbiornikach i w węzłach oraz na wyjściu ze stacji uzdatniania. Wobec powyższego, w rozprawie zdefiniowano wektor pomiarowy y postaci (4.7): y = y yd i yd y Cl i Cl T (4.7) i yd - pomiarowa chwila czasu związana z hydrauliką, i Cl - pomiarowa chwila czasu związana z jakością wody, y yd i yd - wektor pomiarów wielkości hydraulicznych w i yd -tych chwilach pomiarowych, postaci (4.8): y yd i yd = y q i yd y l i yd y p i yd T (4.8) y q i yd - wektor pomiarów natężeo przepływów wody w rurociągach w i yd -tych chwilach pomiarowych, y l i yd - wektor pomiarów poziomów luster wody w zbiornikach w i yd -tych chwilach pomiarowych, y p i yd - wektor pomiarów ciśnieo w węzłach w i yd -tych chwilach pomiarowych, y Cl i Cl - wektor pomiarów stężeo chloru w i Cl -tych chwilach pomiarowych, postaci (4.9): y Cl i Cl = y cźr i Cl y czb i Cl y cout i Cl T (4.9) y cźr i Cl - y czb i Cl - y cou t i Cl - wektor pomiarów stężeo chloru w źródłach w i Cl -tych chwilach pomiarowych, wektor pomiarów stężeo chloru w zbiornikach w i Cl -tych chwilach pomiarowych, wektor pomiarów stężeo chloru w węzłach w i Cl -tych chwilach pomiarowych. W związku z faktem, iż pomiary poszczególnych wielkości obarczone są błędami pomiarowymi do oszacowania których wykorzystano wybrany model niepewności w postaci zbiorów ograniczonych, uzyskano model niepewności informacji pomiarowej w postaci nierówności (4.10) - (4.15): y q i yd y q i yd y q i yd (4.10) i yd y l i yd y l i yd (4.11) y p i yd y p i yd y p i yd (4.12) y cźr i Cl y cźr i Cl y cżr i Cl (4.13) y l

20 y czb i Cl y czb i Cl y czb i Cl (4.14) i Cl y cout i Cl y cout i Cl (4.15) y cout Interpretacja oznaczeo występujących w nierównościach (4.10) - (4.15) jest zgodna z rozważaniami przedstawionym w sekcji Niepewnośd informacji a priori Zdefiniowany w sekcji błąd modelowania jest ograniczony. Jednakże szacowanie wartości ε M max jest zadaniem nietrywialnym. W wyniku przeprowadzonych, w rozprawie, eksperymentów związanych zarówno z wpływem poszczególnych niepewności na jakośd estymacji jak również z doborem T Q.min oraz N l,max zaobserwowano, iż wpływ błędu modelowania można znacznie zredukowad, poprzez odpowiedni dobór wartości tych dwóch parametrów. Zakładając, iż przedział czasu pomiędzy i Cl -tymi chwilami pomiarowymi zdefiniowanymi w sekcji 4.2.2, jest na tyle mały, że można przyjąd, iż wartości stężeo chloru w jego obrębie są stałe oraz przyjmując, iż maksymalne wartości błędów pomiarowych w każdej chwili czasu i Cl są takie same i zakładając, iż na rozważanym horyzoncie czasu wartości stężenia chloru na wyjściu ze stacji uzdatniania są stałe, nierówności (4.13) - (4.15) przyjmują postaci (4.16) - (4.18): y cźr y cźr y cżr (4.16) y czb t y czb t y czb t (4.17) t y cout t y cout t (4.18) y cout W przypadku gdy w SDWP występują węzły z dozowaniem chloru naturalnym jest przyjęcie założenia, iż znane są wartości stężenia chloru dozowanego w tych węzłach. Zakładając, iż przedział czasu pomiędzy i yd -tymi chwilami pomiarowymi zdefiniowanymi w sekcji 4.2.2, jest równy T H - wartości wielkości hydraulicznych w jego obrębie są stałe oraz przyjmując, iż maksymalne wartości błędów pomiarowych w każdej chwili czasu i yd są takie same, nierówności (4.10) - (4.12) przyjmują postaci (4.19) - (4.21): y q t y q t y q t (4.19) t y l t y l t (4.20) y p t y p t y p t (4.21) y l W celu rozwiązania opracowanego modelu jakości wody w SDWP dla celów estymacji niezbędna jest wiedza o wartościach: natężeo przepływów wody, objętości wody w zbiornikach oraz liniowych prędkości przepływów wody. Jak można zauważyd, typowo w SDWP, tylko wartości natężeo przepływów wody są dostępne pomiarowo. Wartości pozostałych dwóch wielkości można uzyskad pośrednio, na podstawie ogólnie znanych zależności (Mays 2000) poprzez wykorzystanie dostępnej informacji pomiarowej. Postępowanie to prowadzi do uzyskania następujących nierówności dla -tego zbiornika i l-tego rurociągu: 4.3 Wiedza a priori o SDWP dla celów estymacji V zb, t V zb t V zb, t (4.22) v l t v l t v l t (4.23) Uwzględniając dynamikę stężenia chloru opisaną zależnością (3.25) oraz rozważania przedstawione w sekcjach , ogólny model informacji a priori o SDWP z punktu widzenia jakości wody dla każdej chwili t można przedstawid następująco: V zb t - v t - x t = A t x t b t y q t y q t y q t V zb t V zb t V zb v t v t v t y czb t y czb t y czb t t y cout t y cout t y cout y cźr y cźr y cżr t wektor objętości wody w zbiornikach w SDWP w chwili t, wektor liniowych prędkości przepływów wody w rurociągach w SDWP w chwili t. (4.24)