Fizyka statystyczna A. 2 Tydzień I, 1-7/10/ Warunki zaliczenia. 3 Tydzień II, 8-14/10/ Wykład. 2.2 Zadania na ćwiczenia

Transkrypt

1 Fizyka statystyczna A sem. zimowy Krzysztof Byczuk Instytut Fizyki Teoretycznej, Wydział Fizyki, UW byczuk@fuw.edu.pl Warunki zaliczenia Część praktyczna: 1. Obecność i aktywność na ćwiczeniach - 10p. 2. Kolokwium 07/12/201, 9:00-13:00 (sala 0.06) - 30p. 3. Egzamin pisemny 02/02/2016, 9:00-13:00 (sala 0.06) - 30p. (wyniki z aktywności, kolokwium i egzaminu pisemnego normujemy do 100) 4. Egzamin ustny 04 i 05/01/2016, 9:00-14:00 (sala 5.12), możliwość poprawy oceny w pierwszym terminie 5. Egzamin pisemny poprawkowy 22/02/2015, 9:00-13:00 (sala 1.01) (wynik z tej części normujemy do 100) 6. Egzamin ustny poprawkowy 23 i 24/02/2016, 9:00-14:00 (sala 5.12), możliwość poprawy oceny w drugim terminie Wypadkowa ocena z tej części: 5+ za p., 5 za 90-98p., 4+ za 81-89p., 4 za 72-80p., 3+ za , 3 za 50-61p., 2 za 0-49p. Część wykładowa: W czasie kolokwium i egzaminu pisemnego odbędzie się min. test z materiału teoretycznego - zaliczenie obydwu testów jest warunkiem koniecznym zaliczenia przedmiotu. Przewidujemy dodatkowe kolokwium tylko dla osób, które przyniosą dokument usprawiedliwiający ich nieobecność w terminie podstawowym. 2 Tydzień I, 1-7/10/ Wykład I. Podstawowe zasady mechaniki statystycznej: &1. Wprowadzenie - opis układów wielu cząstek, przykłady, pełny opis mikroskopowy, koncepcja mikrostanu i makrostanu, opis probabilistyczny, koncepcja zespołu statystycznego. &2. Elementy teorii prawdopodobieństwa - zdarzenia elementarne, zmienna losowa dyskretna i ciągła, prawdopodobieństwo, średnia, moment, średnia z funkcji zmiennej losowej, funkcja charakterystyczna, 2.2 Zadania na ćwiczenia 1. Obliczyć całkę dx exp( ax2 ). 2. Obliczyć całki dxxm exp( ax 2 ) 3. Przypomnieć funkcje gamma, obliczyć objętość kuli w n-wymiarach. 4. Wyprowadzić wzór Stirlinga dla n! w granicy dużych n. 5. Przypomnieć funkcje beta i pokazać B(x, y) = Γ(x)Γ(y)/Γ(x + y). 6. Przypomnieć dystrybucje Heaviside a i delta Diraca (dla fizyków). 2.3 Zadania domowe (Powtórka ze szkoły) 1. Ile wynosi prawdopodobieństwo wyrzucenia łącznie sześciu lub mniej punktów za pomocą trzech uczciwych kostek? 2. Rzucamy 5 uczciwymi kostkami. Ile wynosi prawdopodobieństwo wyrzucenia 6-tki: a) tylko jedna kostką, b) przynajmniej jedna kostką, c) tylko dwiema kostkami? 3. Wybieramy przypadkowo liczbę między 0 i 1. Ile wynosi prawdopodobieństwo, że dokładnie 5 spośród pierwszych dziesięciu cyfr po przecinku będzie ze zbioru cyfr mniejszych od 5? 4. Oblicz gęstość sześciofluorku wolframu (WF 6 ) w temperaturze 300K i pod ciśnieniem 1000 hpa. Masy atomowe wolframu 183,84u i fluoru 19u. Gdzie ten gaz znajduje zastosowanie? 3 Tydzień II, 8-14/10/ Wykład wielowymiarowe zmienne losowe, funkcje korelacji, prawdopodobieństwo warunkowe, centralne twerdzenie graniczne, rozkład Gaussa. &3. Rozkład Maxwella - wyprowadzenie rozkładu z tw. centralnego, postać rozkładu dla wartości prędkości i energii, prędkość średnia, typowa, wariancja. &4. Zespoły statystyczne w mechanice klasycznej - przestrzeń fazowa, waga punktu w przestrzeni fazowej, gęstość prawdopodobieństwa, 3.2 Zadania na ćwiczenia 1. Wyrazić średnią, moment i skośność przez momenty. 2. Znaleźć średnią i wariancję dla rozkładów: Bernulliego, Poissona, Gaussa. (Omówić te rozkłady) 3. Znaleźć funkcje charakterystyczne dla rozkładów: Bernulliego, Poissona, Gaussa. 4. Wyrazić pierwsze trzy kumulanty przez momenty. 5. Pokazać centralne twierdzenie graniczne dla sumy zmiennych losowych X 1

2 oskończonych momentach µ X i skończonych wariancjach σ X. Jakie sa parametry powstałego rozkładu Gaussa? 3.3 Zadania domowe 1. Kiedy rozkład Bernulliego dąży do rozkładu Poissona, a rozkład Poissona do rozkładu Gaussa? Pokazać. 2. Znaleźć kumulanty dla rozkładów Poissona i Gaussa. 3. Dlaczego centralne twierdzenie graniczne nie pracuje dla rozkładu Lorentza? 4 Tydzień III, 15-21/10/ Wykład równanie Liouville a. &5. Zespoły statystyczne w mechanice kwantowej - stany czyste i stany mieszane, przykład cząstki w studni kwantowej, macierz gęstości, operator statystyczny, własności, równanie von Neumanna. II Zespoły równowagowe: &1. Wprowadzenie - stan równowagi, opis mikroskopowy vs. opis makroskopowy. &2. Zespół mikrokanoniczny - postulat równego prawdopodobieństwa, defnicja zespołu mikrokanonicznego klasycznego, 4.2 Zadania na ćwiczenia 1. W rozkładach Maxwella p(v x, v y, v z ) i p(v) wyznaczyć współczynniki normalizacyjne. 2. Znaleźć średnią prędkość, wariancję i prędkość typową z rozkładu Maxwella. 3. W oparciu o założenie, że rozkład prędkości cząsteczek idealnego gazu dany jest przez rozkład Maxwella wyprowadzić równanie stanu gazu dodkonałego. wsk. z elementarnych rozważań szkolnych wynika, że cisnienie P = (N/V )2m dv 0 x vxp(v 2 x ). 4. W naczyniu z idealnym gazem zrobiono niewielki otwór o przekroju S. Znaleźć liczbę cząstek padających na dysk o promieniu R w odległości h na jednostkę czasu. 4.3 Zadania domowe 1. Znaleźć przyblizona liczbę cząsteczek tlenu O 2, których prędkości są w przedziale od 195 do 205 m/s w temperaturze 0C. Masa tlenu wynosi 0,1 kg. 2. Kula o promieniu R porusza sie z prędkością u w silnie rozrzedzonym idealnym gazie o temperaturze T i gęstości n. Jaki jest opór działający na kulę? 3. Podczas emisji termoelektronowej nastepuje wylot elektronów z powierzchni metalu lub półprzewodnika. Zakładając, że wyloty elektronów są statystycznie niezależne i prawdopodobieństwo wylotu jednego elektronu w jednostce czasu dt wynosi λtd, obliczyć prawdopodobieństwo wylotu n elektronów w czasie t. 4. Gaz idealny N czasteczek znajduje sie w objetości V. Znaleźć prawdopodobieństwo tego, że w danej objętości V 0 (V 0 << V ) będzie znajdowało się n cząsteczek gazu. Omówić przypadki n << N i n >> 1. 5 Tydzień IV, 22-28/10/ Wykład unormowanie, suma stanów, element objętości dqdp/h 3N N!, objętość Ω w przestrzeni fazowej H E i powierzchnia Ω w przestrzeni fazowej H = E, defninicja zespołu mikrokanonicznego kwantowego, unormowanie, suma stanów. &3. Doskonały gaz klasyczny w zespole mikrokanonicznym - defnicja gazu doskonałgo w pudle, obliczenie objętości w przestrzeni fazowej Ω i Ω. &4. Entropia - mikroskopowa defnicja entropii w mechanice klasycznej i kwantowej, 5.2 Zadania na ćwiczenia 1. Przypomnienie współrzędnych uogólnionych i liczby stopni swobody z przykładami (np. kilka zadań domowych). 2. Znaleźć ruch cząstki w przestrzeni fazowej dla a) oscylatora harmonicznego, b) swobodnego spadku, c) cząstki w nieskończonym pudle potencjału. W przestrzeni rzeczywistej ruch jest jednowymiarowy. (część mozna w domu) 3. (Dla grup po III wykładzie) Obliczyć liczbę stanów energetycznych Ω(E) o energii E pojedynczej cząsteczki argonu zamknietej w pudle jednowymiarowym i dwuwymiarowym. Zbadać przypadki klasyczny i kwantowy. Wyznaczyć współczynnik dla L = 10cm i masy atomowej argonu 39,9g/mol. N A = 6, /mol, h = 6, Js. 4. To samo co w zad. 3 ale dla oscylatora. (ew. do domu) 5.3 Zadania domowe 1. Określ liczbę stopni swobody i podaj współrzędne uogólnione dla: a) koralik na obwodzie koła, którego połozenie jest ustalone; b) koralik na linii śrubowej i stałym skoku i promieniu; c) cząstka na powierzchni walca prostego; d) nożyce na płaszczyźnie; e) sztywny pręt w d=3; f) sztywny krzyż w d=3; g) prostoliniowa sprężyna w d=3; h) dowolne ciało sztywne z jednym punktem unieruchomionym; i) atom wodoru; j) atom litu; k) wahadło podwójne; l) gaz klasyczny złożony z cząstek punktowych. 2. Obliczyć liczbę stanów energetycznych Ω(E) o energii E pojedynczej cząsteczki zamknietej w pudle trójwymiarowym. Zbadać przypadki klasyczny i kwantowy. To samo dla oscylatora. 3. Rozważyć ruch jednowymiarowego oscylatora harmonicznego o częstości ω. Zakładając, że energię znamy z dokładnością w przedziale [E, E + ] sprawdzić, że średnia po czasie (1/T ) T 0 dt(1/ ) E+ dea(x, p) równa jest średniej E po zespole (ω/2π ) dx dpa(x, p). Zastanowić się nad interpretacją. 6 Tydzień V, 29/10-03/11/ Wykład stała Boltzmanna, przykład obliczania entropii w układzie kwantowym M-poziomowym o jednostajnym rozkładzie prawdopodobieństwa, wzmianka o entropia w 2

3 teorii informacji, ekstensywność i addytywność entropii, zasada maksymalizacji entropii w zespole mikrokanonicznym, różne przedstawienia entropii i ich równoważność w granicy dużych N. 6.2 Zadania na ćwiczenia 1. Rozważyć wizake fotonów o polaryzacjach L i R. Znaleźć macierz gęstości dla stanu czystego α = cos α L + sin α R. Znaleźć macierz gęstości dla dla stanu mieszanego α i α, gdzie każdy stan może pojawić się z prawdopodobieństwen 0.5. Zinterpretować wyniki. 2. Załóżmy, że p n = exp( βe n ) we wzorze na macierz gęstości, β = 1/k B T (będzie pozniej na wykładzie). Wypisać macierze gęstości dla cząstek poruszających sie po okręgu (PBC) i po odcinku (nieskończona studnia). Sprawdzic granicę wysokotemperaturową. Zinterpretować wyniki. 6.3 Zadania domowe 1. Dla doskonałego gazu klasycznego sprawdzić, że w granicy termodynamicznej zachodzi ln Ω(E) = ln Ω(E) + O(ln E/N ). 7 Tydzień VI, 4-10/11/ Wykład &5. Temperatura i ciśnienie w zepole mikrokanonicznym - dwa podukłady we wzajemnym kontakcie termicznym i izolowane od otoczenia, modelowy hamiltonian, gęstość prawdopodobieństwa dla energii w jednym podukładzie, najbardziej prawdpopodobna wartość energii, defnicja temperatury, równość temperatur w podukładach, hamiltonian zależny od zewnętzrnego parametru, zmiana entropii przy zmianie parametru i energii, 7.2 Zadania na ćwiczenia 1. Dla doskonałego gazu klasycznego znaleźć p 2 1 i p Dla N nieoddziałujących kwantowyh oscylatorów znaleźć Ω(E) w granicy dużych N. 3. Dla N nieoddziałujących spinów σ i = ±1 w polu magnetycznym h znaleźć Ω(E) w granicy dużych N. 7.3 Zadania domowe 1. Pokazać, że liczba stanów Ω(E) dla dwóch podukładów jest splotem liczby stanów każdego z podukładów. Jak to zinterpretować? 2. Znaleźć Ω(E) dla N spinów S - dowolnego, w granicy klasycznej (spin ciągły) i kwantowej (spin skwantowany) w obecności pola magnetycznego. Wyznaczyć entropię. 8 Tydzień VII, 11-17/11/ Wykład Świeto państwowe, 11/11, dzień wolny 8.2 Zadania na ćwiczenia nadrabiamy zaległości z poprzednich tygodni 8.3 Zadania domowe nadrabiamy zaległości z poprzednich tygodni 9 Tydzień VIII, 18-24/11/ Wykład mikroskopowa defnicja ciśnienia, wyznaczenie cisnienia w zespole mikrokaninicznym, związek z I i II zasada termodynamiki, równość temperatur i ciśnień w układach w kontakcie i w równowadze, potencjał chenimiczny jako formalna pochodna entropii mikrokanonicznej po N. &6. Termodynamika doskonałego gazu klasycznego - wzór na entropię, temperaturę gazu doskonałgo, kaloryczne równanie stanu, Clapeyrona równanie stanu, typowe iso-przemiany. &8. Kanoniczny Zespół statystyczny - układ w kontakcie ze zbiornikiem cieplnym, wyprowadzenie wzoru Boltzmanna e βĥ na operator statystyczny (kwantowo), wzory klasyczne, normalizacja, suma ststystyczna, przykład rozkład Maxwella, 9.2 Zadania na ćwiczenia 1. W kwantowym zespole mikrokanonicznym pokazać, że ω(e 1 ) =< δ(h 1 E 1 ) >= Ω 1 (E 1 )Ω(E E 1 )/Ω(E) gdy mamy dwa podukłady w kontakcie termicznym, całośc izolowana. 2. Dla doskonałego gazu klasycznego wyznaczyć entropię i pokazać, że T E/N (entropię robiliśmy na wykładzie, ale warto powtórzyć). 3. W układzie paramagnetycznych spinów ±1 wyznaczyć entropię (Ω była wczesniej już policzona) oraz temperaturę. Omówić problem ujemnych temperatur (układ nierównowagowy, inwersja obsadzeń, widmo ograniczone z góry, układ z ujemna T jest cielpejszy,...). 9.3 Zadania domowe 1. Układ N nieoddziałujących kwantowych oscylatorów harmonicznych jest w stanie o energii E. Znaleźć entropię w granicy dużych N oraz temperaturę tego układu. 2. Zapoznac się z ostatnim doświadczeniem, w którym przygotowano układ o ujemnej temperaturze bezwzględnej: Jakie są liczbowe wartości N, E i T? Znaleźć i przedyskutować analogię pomiędzy tym układem a pracującym laserem. 3

4 10 Tydzień IX, 25/11-2/12/ Wykład entropia w zespole kanonicznym, zasada maksimum entropii, wyprowadzenie związków termodynamicznych z zespołu kanonicznego, I i II zasada termodynamiki, formalna definicja potencjału chemicznego, statystyczna interpretacja pracy i ciepła, suma statystyczna dla klasycznego gazu idealnego, długość termiczna. &9 Duży kaniniczny zespół statystyczny - zdefniniowanie układu, wyprowadzenie wzoru na gęstość prawodopodobieństwa i dużą sumę statystyczną, 10.2 Zadania na ćwiczenia 1. W zespole mikrokanonicznym rozważyć dwa podukłady gazów doskonałych w kontakcie termicznym i pokazać, że E 1 / < E 1 > 1/ N 1, gdzie E 1 to energia pierwszego podukładu (cf. Schwabl, p. 41). 2. Wyprowadzić kanoniczny rozkład Boltzmanna e βh(q,p) w przypadku klasycznym, omówić szczegóły rachunkowe. 3. Pokazać, że suma statystyczna Z = dee βe Ω(E) jest transformata Laplace a z sumy stanów Zadania domowe 1. Zinterpretować III zasadę termodynamiki lim T 0 S = 0 w ramach zespołu mikrokanonicznego i poznanej mikroskopowej defnicji entropii. Kiedy entropia resztkowa nie jest równa zero? 2. Podukład a zawiera N a spinów w polu magnetycznym H a, podukład b zawiera N b spinów w polu magnetycznym H b. Energia całego układu jest zachowana E = E a + E b, a podukłady wymieniaja energię. Biorąc E a = H a i=1 Na oraz H a = H b = H pokazać, że rozkład energii w podukładzie a jest Gaussowski. Wyznaczyć względne odchylenie standardowe energii. 11 Tydzień X, 3-9/12/ Wykład wielki potencjał termodynamiczny, związek z termodynamika i I zasadą termodynamiki, podsumowanie. &10 Wielki potencjał termodynamiczny dla klasycznego gazu doskonałego - wyprowadzenie wzoru na sumę statystyczną, potencjał termodynamiczny, liczba cząstek, cisnienie, równanie stanu, potencjał chemiczy, energia wewnętrzna, entropia Zadania na ćwiczenia 1. Korzystając z rozkładu Boltzmanna (zespół kanoniczny) dla nieoddziałujących cząstek w zewnętrznym potencjale V (r) = mgz wyprowadzić wzór barometryczny na ciśnienie wraz z wysokością. 2. Twierdzenie o wiriale: w zespole kanonicznym pokazać, że x i H/ x j = k B T δ ij, gdzie x i = q i lub p i. Pokazać E kin = 3/2Nk B T dla gazu doskonałego, ekwipartycja energii, i q 2 i = k BT/mω 2 dla gazu oscylatorów. 3. Dla klasycznego gazu dokonałego znaleźć sumę statystyczną, energię swobodną i entropię w zespole kanonicznym. Porównać z wynikami na entropie w zespole mikrokanonicznym. 4. Pokzać równoważność zespołów kanonicznego i mikrokanonicznego w granicy termodynamicznej, t.j zbadać fluktuacje energii w zesp. kan Zadania domowe 1. pokazać, że zasada maksymalizacji entropii przy ustalonej średniej energii prowadzi do rozkładu z zespołu kanonicznego. 2. Znaleźć sumę statystyczną i energię swobodną dla oscylatorów harmonicznym o masie m i częstości ω w przypadku: a) klasycznym, b) kwantowym. Przedyskutować dojście do granicy klasycznej. Zastanowić sie nad granicą ω 0 i dlaczego jest problem z odtworzeniem wyniku dla gazu idealnego kasycznego. 12 Tydzień XI, 10-16/12/ Wykład III. Idealne gazy kwantowe: &1. Duży potencjał termodynamiczny i funkcje rozkładu - problem jednocząstkowy w mechanice kwantowej, problem wielu cząstek identycznych, zasada nierozróżnialności cząstek kwantowych, stany symetryczne i antysymetryczne, bozony i fermiony, zasada Pauliego dla fermionów, suma statystyczna dla bozonów i fermionów, funkcje Bosego-Einsteina i Fermiego-Diraca, 12.2 Zadania na ćwiczenia 1. Znaleźć sumę statystyczną w zespole kanonicznym i dużym kanonicznym dla klasycznego gzau doskonałego w trzech wymiarach. Znaleźć róananie stanu, energie wewnętrzną, entropię. Porównac wyniki w granicy termodynamicznej. 2. Zbadać fluktuacje liczby cząstek w dużym zespole kanonicznym Zadania domowe 1. Znaleźć sumę statystyczną dla ultrarelatywistycznego gazu doskonałego w zespole kanonicznym, zbadać równanie stanu i energie wewnętrzną. 2. Znaleźć magnetyzację N rozróżnialnych twardych prętów o długości r w temperaturze T, oddziałujących z zewnętrzynym polem magnetycznym w kierunku osi z. Moment magnetyczny pręta µ = µr/r. 3. Znaleźć równanie stanu i energię wewnętrzną mieszaniny dwóch klasycznych gazów idealnych o śfedniej liczbie cząstek N A,B, masach m A,B w objętości V i temperaturze T. 13 Tydzień XII, 17-23/12/ Wykład średnie obsadzenie stanów, energia wewnętrzna, potencjał termidynamiczny bozonów i fermionów w granicy 4

5 wysokich temperatur, relacje Gibbsa-Duhema i równanie stanu dla bozonów i fermionów, funkcje polilogarytmiczne, pierwsza poprawka kwantowa do ciśnienia gazu klasycznego. &2. Prawie zdegenerowany gaz femiego - własności stanu podstawowego, wektor fermiego, energia fermiego, ciśnienie fermionów w T = 0, 13.2 Zadania na ćwiczenia 1. W wielkim zespole kanonicznym pokazać, że prawdopodobieństwo znalezienia N cząstek klasycznego gazu doskonałego w elemencie o objetości V dane jest rozkładem Poissona. Pokazać, że dla identycznychi nieoddziałujących cząstek zachodzi związek Z G (T, V, µ) = exp(e βµ Z(T, V, 1) Zadania domowe 1. Rozważ adsorbującą powierzchnię, będącą w kontakcie z gazem doskonałym o temperaturze T i potencjale chemicznym µ. Oblicz współczynnik pokrycia tej powierzchni θ, średnia liczba zaadsorbowanych cząstek do powierzchni, i opisz jak zalezy on od ciśnienia gazu. 2. Wyznacz wszystkie funkcje termodynamiczne dla doskonałego gazu klasycznego w wielkim zespole kanonicznym w dowolnym wymiarze d. 14 Tydzień XIII, 7-12/01/ Wykład dzień wolny, świeto 3 Króli Zadania na ćwiczenia 1. Trzy nieoddziałujące fermiony mogą obsadzać cztery różne stany o energiach ɛ i. Wypisać sumę statystyczną i podać średnią liczbę fermionów w poszczególnych stanach. Sprawdzić ile wynosi suma wszystkich średnich obsadzeń. 2. Trzy nieoddziałujące bozony mogą obsadzać trzy stany o energiach 0, ɛ, 2ɛ. Wypisać sumę statystyczną i podać średnią liczbę fermionów w poszczególnych stanach. Sprawdzić ile wynosi suma wszystkich średnich obsadzeń. 3. Nieoddzaiałujące fermiony w temperaturze T i potencjale chemicznym µ znajdują się w ukladzie jednopoziomowym o energii ɛ. Znaleźć sumę statystyczną, średnie obsadzenie poziomu, energię swobodną, entropę i energię wewnętrzną układu. Omówić przypadki graniczne, małe i duże T. 4. Rozważyć nieoddziałujące fermiony o gęstości stanów ρ(ɛ) = Aɛ α. Pokazać, że kalorymetryczne równanie stanu ma postać pv = CE. Wyznaczyć C. Przedyskutować przypadki cząstek swobodnych w d = 1, 2, 3 wymiarach. Ile wtedy wynoszą A i α? (część zadania można przenieść do domowych, np. d = 1, 2) Zadania domowe 1.N nieoddziałujących fermionów może obsadzać M stanów o różnych energiach (M N). Podać ogólny wzór na sumę statystyczną. Ile wynosi średnie obsadzenie pojedynczego stanu. Zbadać różne przypadki graniczne. 2.N nieoddziałujących bozonów może obsadzać M stanów o różnych energiach. Podać ogólny wzór na sumę statystyczną. Ile wynosi średnie obsadzenie pojedynczego stanu. Zbadać różne przypadki graniczne. 3. Nieoddzaiałujące bozony w temperaturze T i potencjale chemicznym µ znajdują się w ukladzie jednopoziomowym o energii ɛ. Znaleźć sumę statystyczną, średnie obsadzenie poziomu, energię swobodną, entropię i energię wewnętrzną układu. Omówić przypadki graniczne, małe i duże T. 4. Pokazać, że dla nieoddziałujących fermionów i bozonów w układzie jednopoziomowym dyspersja liczby cząstek wynosi σ N = N(1 N). 5. Rozważyć nieoddziałujące bozony o gęstości stanów ρ(ɛ) = Aɛ α. Pokazać, że kalorymetryczne równanie stanu ma postać pv = CE. Wyznaczyć C. Przedyskutować przypadki cząstek swobodnych w d = 1, 2, 3 wymiarach. Ile wtedy wynoszą A i α? 15 Tydzień IX, 13-19/01/ Wykład 15.2 Zadania na ćwiczenia 1. Zbadać wlasności nieoddziałującego gazu Fermiego o gęstości n w stanie podstawowym (T=0) w układzie d-wymiarowym. T.j. policzyć pęd Fermiego, energię Fermiego, długość fali Fermiego oraz znależć ciśnienie. 2. Wyznaczyć niskotemperaturowe zachowanie się potencjału chemicznego, enerii wewnętrznej i ciepła właściwego dla nieoodziałujących fermionów w trzech wymiarach. (Rozwinięcie Sommerfelda było na wykładzie w środę 13/01). 3. Zbadać w granicy niskich i wysokich temperatur podatność magnetyczną nieoodziałujących fermionów o spinie 1/2 w trzech wymiarach (prawo Pauli i Curie). Efekty orbitalne pomijamy. 4. (pewnie za tydzien) Diamagnetyzm Landaua i zjawisko de Hassa-van Alphena w d= Zadania domowe 1. Gęstości miedzi, żelaza i litu wynoszą odpowiednio 63,5 g/mol, 56,0 g/mol i 7,0 g/mol. Oszacować dla tych metali pęd Fermiego, energie Fermiego i długość fali Fermiego. porównać ją z średnią odległością pomiędzy elektronami przewodnictwa. 2. Wyznaczyć niskotemperaturowe zachowanie się potencjału chemicznego, enerii wewnętrznej, entropii, ścisliwości i ciepła właściwego dla nieoodziałujących fermionów w d wymiarach. 3. Zbadać w granicy niskich i wysokich temperatur podatność magnetyczną nieoodziałujących fermionów o spinie 1/2 w d wymiarach (prawo Pauli i Curie). Efekty orbitalne pomijamy. 16 Literatura K. Huang, Statistical mechanics. F. Schwabl, Statistical mechanics 5

6 R.H. Swendsen, An introduction to statistical mechanics and thermodynamics F. Reif, Fizyka statystyczna F. Mandl, Statistical physics H.B. Callen, Thermodynamics 6