ALOKACJA ZASOBU W WARUNKACH NIEPEWNOŚCI: MODELE DECYZYJNE I PROCEDURY OBLICZENIOWE

Transkrypt

1 B A D A N I A O P E R A C Y J N E I D E C Y Z J E Nr Helena GASPARS ALOKACJA ZASOBU W WARUNKACH NIEPEWNOŚCI: MODELE DECYZYJNE I PROCEDURY OBLICZENIOWE Sformułowano modele optymalizacyne, maące zastosowanie w zagadnieniu aloaci zasobu w warunach niepewności, z tórą mamy do czynienia wówczas, gdy zysi wyniaące ze sierowania duże ilości środa do onretne działalności są opisane ao zmienne losowe o nieznanym rozładzie. Modele zostały sonstruowane na podstawie reguł Walda, Hurwicza, Bayesa i Savage a. Przeanalizowano również możliwość zastosowania różnych procedur obliczeniowych, w tym programowania dynamicznego. Słowa luczowe: zagadnienie aloaci zasobu, programowanie dynamiczne, binarne modele decyzyne, podemowanie decyzi w warunach niepewności, stany natury, strategia czysta, strategia mieszana, dysretne zagadnienie plecaowe Wstęp Zagadnienie optymalne aloaci zasobu dotyczy sytuaci, w tóre mamy do dyspozyci oreśloną ilość aiegoś ednorodnego zasobu 1. Może on być użytowany na rozmaite sposoby. Każde możliwe zastosowanie nazywamy działalnością. W wyniu sierowania całości środa bądź ego części do wybrane działalności poawia się orzyść. Celem rozdziału zasobu pomiędzy n działalności est masymalizaca orzyści całowite. Zauważmy edna, że z omawianym zagadnieniem wiąże się dość istotne upraszczaące założenie. Wyznaczenie optymalnego planu aloaci zasobów wymaga znaomości zysów z tytułu przeznaczenia dane ilości środa na -tą działalność. W pratyce z olei rzado się zdarza, by poziom dochodów był znany, zanim zostanie zrealizowana Katedra Badań Operacynych, Aademia Eonomiczna w Poznaniu, al. Niepodległości 10, Poznań, helenagaspars@poczta.onet.pl 1 Na przyład siłę roboczą, pieniądze, maszyny, poazdy, surowiec.

2 6 H. GASPARS zaplanowana inwestyca. Bezpiecznie est zatem przyąć dla ażdego wyniu aiś przedział liczbowy (wersa ciągła) lub chociaż iluelementowy zbiór (wersa dysretna), uwzględniaący różne możliwe scenariusze. W literaturze można wprawdzie znaleźć opis stochastyczne odmiany aloaci zasobu [14, s ], [18, s ], lecz znadue ona zastosowanie tylo wtedy, gdy zys wyniaący ze sierowania dane ilości środa do onretne działalności est opisany zmienną losową o znanym rozładzie. W te sytuaci mamy do czynienia z podemowaniem decyzi w warunach ryzya, a celem aloaci zasobu est masymalizaca zysu oczeiwanego. Gdy rozład prawdopodobieństwa owe zmienne nie est decydentowi znany, warto sformułować problem ao zagadnienie aloaci zasobu w warunach niepewności. W niniesze pracy przedstawiono modele optymalizacyne, tóre można by wyorzystać w ta zdefiniowanym problemie, oraz możliwe procedury ego rozwiązania. Analiza będzie dotyczyć zarówno sytuaci, w tóre masymalna ilość zasobu sierowanego do wszystich działalności est z góry ustalona, a i przypadu, w tórym ilość ta est dowolna. Prezentacę proponowanych modeli i metod poprzedzi opis zagadnienia aloaci zasobów i problemu optymalizaci w warunach niepewności. 1. Optymalny rozdział zasobu W zagadnieniu optymalnego rozdziału zasobu załada się, że decydent dysponue pewną ilością środa (b), tóry może być sierowany do n działalności ( = 1, 2,, n). Naład środa w ażde działalności (x ) dae oreślone orzyści (f (x )), tóre są zależne zarówno od poniesionych naładów, a i od rodzau działalności, do tóre zostały sierowane. Korzyści te mierzone są nieoniecznie w ednostach pieniężnych (np. wyorzystane maszyny mogą wpłynąć na przyrost posiadanych pieniędzy z tytułu sprzedaży wyproduowanych przez nie wyrobów, ale mogą też wytworzyć inne urządzenia producyne bądź zaowocować wzrostem wydaności przedsiębiorstwa). Celem decydenta est ustalenie taiego rozdziału posiadanego zasobu, aby osiągnięta orzyść była masymalna. n = 1 f ( x ) max, (1) n =1 x b. (2) Dodatowo należy przyąć, że naład środa na -tą działalność nie może spaść poniże poziomu d, tóry naczęście wynosi 0, ani przeroczyć masymalnego dopuszczalnego naładu g. Zbiór {d,, g } stanowi tzw. zbiór stanów dopuszczalnych [17, s. 371].

3 Aloaca zasobu w warunach niepewności = d x g, = 1, 2,, n. (3) Problem aloaci zasobu można taże rozpatrywać przy założeniu, że posiadany zasób ma być w całości sierowany do n działalności. Wówczas warune (2) ulega zmianie: n = 1 x = b. (4) Aby rozwiązanie optymalne zadania opisanego warunami (1), (3), (4) było efetywne, funce f (x ) powinny być monotoniczne (por. [6, s ]), a doładnie rosnące, dla całego zbioru {d,, g }. Taie założenie nie est natomiast onieczne, gdy obowiązue warune (2). Analizuąc omawiane zagadnienie, należy ierować się następuącymi założeniami [10, s. 205]: 1) rozdział zasobu est doonywany w ednostach całowitych, 2) orzyści z poszczególnych działalności można zmierzyć tą samą ednostą miary, 3) orzyść uzysana z dowolne działalności est niezależna od ilości zasobu sierowanego do inne działalności, 4) całowita orzyść, czyli użyteczność całego procesu aloaci, est sumą orzyści cząstowych, rozumianych ao użyteczności pochodzące z indywidualnych działalności. W dalsze części opracowania orzyść będziemy utożsamiać z zysiem, a optymalizaca będzie dotyczyć zadania opisanego warunami (1) (3). 2. Procedury ustalania optymalnego rozdziału zasobu Warto podreślić, że zagadnienie rozdziału zasobu est problemem ombinatorycznym. Rozpatrzymy sytuacę, w tóre zbiory stanów dopuszczalnych dla wszystich zmiennych niezależnych są pięcioelementowe, czyli ażda zmienna może przyąć pięć różnych wartości. Jeżeli pominiemy warune (2), to proces masymalizaci dla n zmiennych będzie wówczas prowadzić do wyboru spośród 5 n różnych możliwości! Liczba ombinaci urczy się, gdy zbiór rozwiązań dopuszczalnych est ograniczony nierównością (2), lecz i ta przeanalizowanie wszystich możliwych przypadów w celu wyłonienia strategii optymalne wymaga nadal wiele czasu. Dlatego zadanie (1) (3) warto rozwiązywać za pomocą programowania dynamicznego, tórego twórcą est R.E. Bellman [1, s ], [2, s ], [7, s ], [11, s. 6 13]. Metoda programowania dynamicznego est ta sonstruowana, że pozwala szybo rozwiązać

4 8 H. GASPARS problemy znacznie bardzie sompliowane od zaprezentowanego. Je efetywność wynia z fatu, iż zamiast żmudnego badania wszystich wariantów dopuszczalnych, stosue się odpowiednie równania funcyne. Klucz do wyaśnienia taiego postępowania dae zasada optymalności Bellmana [8, s. 172], [16, s. 101]. Pozwala ona na deompozycę zadania wyściowego na ciąg powiązanych ze sobą prostszych zadań, tóre należy rozwiązywać po olei [8, s. 171]. Na podstawie optimów warunowych dla poszczególnych etapów można ustalić optymalne rozwiązanie zadania (1) (3) 2. Ponieważ rozdział naładów est doonywany w ednostach całowitych, metoda programowania dynamicznego stosowana w zagadnieniu aloaci zasobów ma charater numeryczny. Funce podawane są nie w postaci ogólnego wzoru analitycznego, lecz w formie wartości w tabeli. Tablicowany est oczywiście tylo pewien oreślony zbiór wartości funci, odpowiadaący sończonemu zbiorowi argumentów. Metoda ogólna programowania dynamicznego nie est sompliowana. Można z nie orzystać zarówno wtedy, gdy zależy nam na sierowaniu posiadanego zasobu do wszystich analizowanych działalności w części lub całości, a i wówczas, gdy łączna wielość zasobu, tórą mamy do dyspozyci, nie est z góry ustalona. Jedna wraz ze wzrostem rozmiarów zadania wzrasta również liczba równań funcynych. Dlatego, gdy est taa możliwość, stosue się pewne metody uproszczone, tóre podobnie a metoda programowania dynamicznego zwracaą zawsze optimum [9, s ], [15, s ]. Problemy aloacyne, w tórych całowita wielość rozdzielonego zasobu może być dowolna (co est równoznaczne z pominięciem warunu (2)), proście rozwiązać za pomocą tzw. metody estremów loalnych. Załada ona wybór masymalne wartości funci f (x ) oddzielnie dla ażde działalności. Otrzymane wartości oreślaą optymalne ilości zasobu sierowanego do poszczególnych działalności. Gdy funce zysów rańcowych dla rozpatrywanych działalności są nierosnące: 2 Zadanie (1) (3) sprowadza się do obliczenia estremum funci wielu zmiennych. Można by więc, zamiast programowania dynamicznego polegaącego na rozwiązaniu szeregu zadań wyznaczaących masimum (minimum) funci edne zmienne (chociaż nie wciąż te same) [16, s. 100], sorzystać z lasycznych metod rachunu różniczowego. Polegaą one na ustaleniu wzorów pochodnych cząstowych funci główne względem wszystich zmiennych po olei i na przyrównaniu tych pochodnych do zera. Oazue się edna, że tai zabieg stanowi warune onieczny, lecz nie dostateczny dla istnienia estremum. Pochodna est równa zeru nie tylo w puntach, gdzie występuą estrema, ale również w puntach przegięcia. Kolene ograniczenie rachunu różniczowego wynia z fatu, iż w zagadnieniu aloaci poszuuemy estremum w pewnym obszarze sończonym. Tymczasem przyrównuąc pochodne do zera, otrzymuemy estrema loalne. Nie znaduemy natomiast zazwycza estremów położonych na rańcach interesuącego nas obszaru. Rachune różniczowy traci na znaczeniu eszcze z ednego powodu przy optymalizaci rozdziału zasobu mamy do czynienia z funcami nieróżniczowalnymi oraz z masymalizacą na zbiorach nieciągłych. Tymczasem programowanie dynamiczne poonue wymienione trudności [2, s. 17].

5 Aloaca zasobu w warunach niepewności... 9 f ' ( x + 1) f ' ( x ), = 1, 2,, n, (5) rozwiązanie problemu aloaci można wyznaczyć, orzystaąc z olene procedury uproszczone, tzw. metody zysów rańcowych 3. Napierw należy oreślić zysi rańcowe dla ażde działalności zgodnie ze wzorem f ' ( x ) = f ( x ) f ( x 1), x = 1, 2,..., g. (6) Jeżeli ilość zasobu est dowolna, olene ednosti środa przydzielane są tam, gdzie zysi rańcowe są nawięsze i ta długo, aż poawią się niedodatnie wartości. Poniże podano doładny schemat postępowania. K-tą ednostę zasobu ieruemy do działalności, tóra spełnia warune 1 1 F ( x ) = max { f ( x + 1)}, (7) = 1,..., n gdzie 1 x wartość zmienne x otrzymana w ( 1) etapie. 0 Początowo x = x = d = 0 dla = 1, 2,..., n. Zmienna x, dla tóre w -tym etapie: a) f ( x + 1) < F ( x ), przymue w -tym etapie wartość x x, 1 1 b) f ( x + 1) = F ( x ), przymue w -tym etapie wartość x = 1 x +1. Gdy istniee więce niż edna zmienna x, dla tóre w -tym etapie 1 1 f ( x + 1) = F ( x ), należy zwięszyć wartość tylo edne z nich, a pozostałe zmienne rozpatrzyć w olenych iteracach. Jeżeli F ( 1 ) 0, dalszy rozdział zasobu nie powodue wzrostu zysu całowitego, zatem x = x dla = 1, 2,., n. Metoda zysów rańcowych może zastąpić metodę programowania dynamicznego również wtedy, gdy ilość posiadanego środa est z góry ustalona i wynosi b. W te sytuaci rozdział olenych ednoste zasobu ończymy, gdy F ( 1 x ) 0 lub/i gdy = b. 4 Stosuąc powyższy algorytm dla zadania (1) (3) lub problemu pomiaącego warune (2), otrzymamy rozwiązanie optymalne, tóre nieoniecznie musi być edynym. x 1 = 3 Metoda zysów rańcowych est również nazywana metodą zachłanną. Polega ona na rozpatrywaniu danych w oleności uporządowane. W ażdym rou wybieramy te dane, tóre są naodpowiedniesze, a więc decyduemy się na nabardzie obiecuącą w danym momencie drogę rozwiązania. Naczęście metoda zachłanna prowadzi do otrzymania rozwiązania przybliżonego, choć istnieą problemy, dla tórych dae ona wyni optymalny (np. zagadnienie aloaci zasobu). 4 Jeżeli zamiast warunu (2) wprowadzimy wzór (4), a funce zysów całowitych będą rosnące dla ażde działalności, to przydzielanie olenych ednoste środa dobiegnie ońca, gdy = b.

6 10 H. GASPARS Z więszą liczbą strategii optymalnych możemy mieć do czynienia wówczas, gdy 1 1 istniee więce niż edna zmienna x, dla tóre w -tym etapie f ( x + 1) = F ( x ). Zerowy zys rańcowy przy aieolwie działalności również oznacza możliwość wyznaczenia przynamnie dwóch rozwiązań optymalnych, tóre z matematycznego puntu widzenia są identyczne, gdyż wiążą się z taą samą wartością funci celu. Rozsąde podpowiada nam edna, by nie ierować zasobu tam, gdzie dodatowa ednosta środa nie zwięszy zysu całowitego. Dlatego raconalną strategią optymalną est taa strategia optymalna, tóra pozwala osiągnąć dany poziom zysu przy a namniesze ilości rozdzielonego zasobu. 3. Programowanie w warunach niepewności Z programowaniem w warunach niepewności mamy do czynienia wówczas, gdy przynamnie eden parametr zadania est zmienną losową o nieznanym (i niemożliwym do oszacowania na podstawie danych historycznych) rozładzie. Wyni działania zależy zatem nie tylo od tego, aą podemiemy decyzę, ale taże od tego, ai wystąpi stan natury, przy czym prawdopodobieństwo wystąpienia danego stanu nie est nam znane. Optymalizaca sprowadza się do wyboru nalepsze decyzi na podstawie macierzy zysów (wypłat): a11, a12, a1n =.....,. A, (8)... am1 am2..., amn gdzie: n liczba możliwych decyzi, m liczba możliwych stanów natury, a i zys z podęcia -te decyzi, o ile wystąpi i-ty stan natury. Podemuąc decyzę w warunach niepewności, możemy być zainteresowani ustaleniem optymalne strategii czyste bądź mieszane. Ze strategią czystą mamy do czynienia wówczas, gdy zależy nam na wyborze tylo edne decyzi spośród n możliwych. Z olei strategia mieszana stanowi ombinacę strategii czystych. W literaturze można znaleźć różne podeścia, maące na celu wyznaczenie optymalne strategii czyste bądź mieszane [4, s ], [17, s , ]. Wybór onretne metody postępowania zależy od preferenci decydenta, ego nastawienia do ryzya oraz sytuaci, w tóre ma podąć decyzę. Celem ninieszego opracowania nie est przedstawienie wszystich możliwych procedur, lecz omówienie te grupy metod,

7 Aloaca zasobu w warunach niepewności tóra mogłaby znaleźć bezpośrednio zastosowanie w zagadnieniu optymalnego rozdziału zasobu. Warto zaznaczyć, że aloaca zasobu pomiędzy różne działalności nie polega wcale na wyborze optymalne strategii mieszane, lecz na oreśleniu nalepsze strategii czyste oddzielnie dla ażde działalności! Początowo możemy mieć wrażenie, że rozdział środa w warunach niepewności sprowadza się do znalezienia strategii mieszane, ponieważ zasób ma trafić do różnych działalności w oreślonych proporcach. Taie rozumowanie est edna obarczone błędem, gdyż działalności nie powinniśmy utożsamiać z onretną decyzą, lecz z obszarem, dla tórego decyzę należy dopiero podąć! Warianty decyzyne dla poszczególnych działalności odpowiadaą natomiast elementom zbioru stanów dopuszczalnych {d,..., g }. Optymalną strategię czystą można wyznaczyć, orzystaąc m.in. z reguł Walda, Hurwicza, Savage a i Bayesa (Laplace a), przy czym należy podreślić, że żadna z nich nie est regułą, tórą wszyscy we wszystich sytuacach uznaliby za rozsądną [4, s. 136]. Reguła Walda (reguła max-min) gwarantue osiągnięcie pewnego minimalnego zysu, niezależnie od stanu natury. Decydent stosuący tę regułę, nawet przy zaściu nabardzie nieorzystnych ooliczności, uzysa w tych warunach nawięszą możliwą orzyść (por. [12, s. 130]). Sposób postępowania est następuący. Należy oreślić dla ażde decyzi minimalną orzyść, tórą możemy uzysać, biorąc pod uwagę możliwość realizaci olenych stanów natury: w = min{ a }, (9) a następnie wybrać tę decyzę, dla tóre minimalna orzyść est nawięsza: i i w = max{ w }. (10) Reguła Walda est zalecana pesymistom, czyli osobom o duże awersi do ryzya. Reguła max-min est również nazywana regułą aseurancą [4, s. 137]. Reguła Hurwicza stanowi próbę połączenia dwóch sraności (max-min i maxmax). Wyorzystue ona współczynni ostrożności (pesymizmu), tórego poziom ustala decydent: 0 α 1. (11) Dla ażdego wariantu decyzynego ustalamy zys ważony: h α) = α min{ a } + (1 α) max{ a }. (12) ( i i i i Optymalną strategią est ta, dla tóre ważony zys est nawięszy: h ( α) = max{ h ( )}. (13) α W szczególnych przypadach reguła Hurwicza sprowadza się do reguły Walda (gdy α = 1) bądź do omówione poniże reguły Bayesa (gdy występuą tylo dwa sta-

8 12 H. GASPARS ny natury i α = 0,5). W przypadu sranych wartości współczynnia ostrożności regułę Hurwicza można nazwać regułą aseurancą lub hazardową [4, s. 137]. Reguła Bayesa (Laplace a), nazywana również regułą brau dostateczne raci, załada, że soro nie znamy prawdopodobieństw zaistnienia poszczególnych stanów natury, możemy przyąć, że są one równie prawdopodobne. Wystarczy znaleźć dla ażde decyzi oczeiwaną orzyść (średni zys): b 1 = m m a i i i wybrać wariant decyzyny charateryzuący się nawięszym średnim zysiem [4, s. 138]: (14) b = max{ b }. (15) Zrównanie prawdopodobieństw dla stanów natury sprawia, iż mamy do czynienia z ednym z możliwych przypadów stochastycznego problemu aloaci zasobu 5. Wreszcie reguła Savage a (zwana taże regułą min-max bądź regułą minimalnego żalu) ma na celu minimalizacę utraconych orzyści, związanych z podęciem decyzi, tóra oazała się nietrafna w onteście zrealizowanego stanu natury. Dla ażdego stanu natury ustalamy masymalny zys: A = max{ a }. (16) Wyznaczamy macierz względnych strat (utraconych orzyści): i i przy czym s11, s12, s1n =.. L,. S, (17)... sm1 sm2 L, smn s i = A a. (18) i i Dla ażde decyzi oreślamy masymalną względną stratę s = max{ s } (19) i wybieramy tę decyzę, dla tóre masymalna strata est namniesza: i i 5 Por. wstęp oraz [18].

9 Aloaca zasobu w warunach niepewności s = min{ s }. (20) Savage proponue zatem minimalizacę względnych strat, tóre stanowią różnicę między nalepszym rezultatem, ai można uzysać, gdy wystąpi dany scenariusz, a wyniiem osiąganym przy wyborze onretne strategii i ednoczesnym wystąpieniu tego scenariusza. Reguła Savage a est też znana pod nazwą minimasowe reguły zawodu [12, s. 131]. Wymienione onurencyne reguły mogą prowadzić do wyboru różnych decyzi. 4. Optymalizaca rozdziału zasobu w warunach niepewności modele decyzyne Załóżmy, że decydent dysponue tabelą zysów całowitych (w tys. zł), uwzględniaącą dwa możliwe scenariusze: pesymistyczny (I) i optymistyczny (II). Środe może być uloowany w trzech działalnościach A, B i C (n = 3), a ilość środa przeznaczona na -tą działalność nie może przeroczyć 3 ednoste (d = 0, g = 3). Jeżeli na daną działalność nie zostanie przeznaczona ani edna ednosta zasobu, dochód dla wariantu zarówno pesymistycznego, a i optymistycznego będzie zerowy. Decydent zamierza ta przydzielić posiadany zasób środa, aby osiągnąć a nawięsze zysi. Tabela 1 Tabela zysów całowitych (wariant pesymistyczny i optymistyczny) x Działalność A Działalność B Działalność C wariant I wariant II wariant I wariant II wariant I wariant II W tym przypadu bezpośrednie zastosowanie wspomniane metody programowania dynamicznego, czy też procedur uproszczonych, nie wydae się możliwe, choć można by było potratować powyższe zadanie ao dwa odrębne problemy i wyznaczyć dwie strategie optymalne dla obu wariantów osobno. Taie podeście pozbawia edna decydenta możliwości uwzględnienia w modelu swoich preferenci i przypuszczeń co do szans wystąpienia danego scenariusza. Celem zaproponowanych poniże modeli decyzynych est ustalenie optymalne aloaci zasobu w warunach niepewności. Każdy model został sformułowany na podstawie inne reguły postępowania (zob. rozdz. 3).

10 14 H. GASPARS a) Reguła Walda (max-min) n g = 1 i= d g i= d ( min{ a } x ) max, (21) i i x = 1, = 1,..., n, (22) i x {0, 1}, (23) i gdzie: n liczba działalności, a i zys z -te działalności przy założeniu, że sierowanych zostanie do nie i ednoste oraz że wystąpi -ty stan natury, x i zmienna przymue wartość 1, gdy na -tą działalność przeznaczymy i ednoste środa, d minimalny dopuszczalny naład środa na -tą działalność, g masymalny dopuszczalny naład środa na -tą działalność. Właśnie równania (22) (23) świadczą o tym, iż przy aloaci zasobu w warunach niepewności poszuuemy optymalne strategii czyste (por. rozdz. 3). Gdy celem zadania est sierowanie środa w ilości nie przeraczaące b ednoste, do modelu (21) (23) należy dołączyć formułę: g n i x i b. (24) i= d = 1 W naszym przyładzie zadanie (21) (23) przymue postać: 0x 01 + min{5,8} x + min{3,4} x + min{4,5} x min{6,8} x + min{5,8} x + min{6,10} x min{4,5} x + min{7,12} x + min{8,9} x x + 0x max, (25) x + x + x + x 1 (26) = x + x + x + x 1 (27) = x + x + x + x 1 (28) = x x, x,..., x {0,1}. (29) 01, Gdy dany est parametr b (np. równy 5), nierówności (24) odpowiada warune:

11 Aloaca zasobu w warunach niepewności ( x01 + x02 + x03) + 1( x11 + x12 + x13) + 2( x21 + x22 + x23) + 3( x31 + x32 + x ) 5. (30) Rozwiązaniem zadania (25) (29) est strategia (2,3,3) 6. Masymalny gwarantowany zys wynosi wówczas 21 tys. zł. W przypadu problemu (25) (30) istnieą trzy strategie optymalne: (1,1,3), (1,2,2) oraz (1,3,1). Zauważmy, iż przyład został ta sonstruowany, że wystarczy zreduować tabelę zysów całowitych, oncentruąc się na wariancie pesymistycznym, i rozwiązać zwyłe zadanie rozdziału zasobu. Nieiedy edna uład wartości odpowiadaących poszczególnym scenariuszom może nie pozwolić na taie uproszczenie. Waruni ograniczaące modeli optymalizacynych w poszczególnych regułach postępowania są identyczne. Dlatego w dalsze części rozdziału przedstawione zostaną edynie funce celu odpowiadaące olenym regułom. b) Reguła Hurwicza n g = 1 i= d (( α min{ a } + (1 α) max{ a }) x ) max. (31) Jeżeli założymy, że α = 0,2, funca celu przymie postać: 0x x + 7,4x ,8x + 7,6x ,2x i + 4,8x ,8x + 0x max. i + 3,8 x 12 i + 7,4x x Gdy łączny zasób przydzielony do poszczególnych działalności może być dowolny 7, rozwiązaniem optymalnym est strategia (2,3,2). Jeśli natomiast decydent zamierza sierować masymalnie 5 ednoste 8, powinien zrealizować plan (1,2,2). c) Reguła Bayesa (Laplace a) n g = 1 i= d T = 32 (32) a i 1 xi max, (33) T gdzie T liczba rozpatrywanych scenariuszy. Wyrażenie (33) będzie dla naszego przyładu wyglądało następuąco: 0x x + 6,5x ,5x + 7x x + 4,5x ,5x + 0x ,5x max ,5x ,5x 32 (34) 6 Należy przeznaczyć 2 ednosti środa na działalność A i po 3 ednosti na działalności B i C. 7 Zob. wzory (26) (29) oraz (32). 8 Zob. wzory (26) (30) oraz (32).

12 16 H. GASPARS Rozwiązaniem zadania (26) (29) i równania (34) est plan (2,3,3). Po uwzględnieniu warunu (30) otrzymuemy wyni (1,2,2). W przypadu reguł Hurwicza i Bayesa celowo nie został podany zys odpowiadaący wyznaczonym strategiom, gdyż zastosowane funce celu stanowią edynie sposób wyłonienia optymalnego rozwiązania na podstawie preferenci decydenta. Nie daą one natomiast informaci o zysu fatycznie przez niego otrzymanym, gdyż wagi tych funci wyniaą z uśrednienia pewnych wartości. d) Reguła Savage a (min-max) s i = } n g = 1 i= d ( max{ s i } x max { ai ai, = 1,..., n, i d, d +1,..., g i i ) min, (35) =, = 1,..., T, (36) gdzie s i względna strata związana z -tą działalnością przy założeniu, że sierowanych zostanie do nie i ednoste oraz że wystąpi -ty stan natury. Na podstawie względnych strat ustalonych dla analizowanego przyładu (tab. 2) można sformułować odpowiednią funcę celu: max{6,8} x max{4,8} x max{2,0} x max{1,0} x 11 + max{2,4} x + max{0,1} x max{0,0} x + max{0,0} x min max{2,3} x 31 + max{8,10} x + max{7,12} x max{4,5} x (37) Tabela względnych strat Tabela 2 x Działalność A Działalność B Działalność C wariant I wariant II wariant I wariant II wariant I wariant II Kieruąc się równaniami (26) (29) i (37), decydent powinien wybrać plan (2,3,3). Gdy z góry oreślona est masymalna ilość środa (b = 5), optymalny wyni est następuący: (1,3,1). Zaproponowane modele różnią się od zadania (1) (3) nie tylo postacią funci celu, tóra tym razem uwzględnia fat działania w warunach niepewności, lecz interpretacą zmiennych decyzynych. W pierwotnym modelu zbudowanym dla deterministyczne odmiany zagadnienia aloaci zmienne x mogą przymować wartości ze zbioru liczb naturalnych i oreślaą wielość środa sierowanego do dane działalno-

13 Aloaca zasobu w warunach niepewności ści. Jednaże, ze względu na stablicowanie wartości funci zysów całowitych, wygodnie est operować przy formułowaniu zadań zmiennymi binarnymi z podwónym indesem. Zmienna x i może być równa 1, gdy na -tą działalność przeznaczamy i ednoste środa, bądź 0, gdy taa wielość zasobu nie zostanie do nie sierowana. Tai zabieg oznacza edna, że dla ażde działalności należy zdefiniować aż (g d +1) zmiennych decyzynych 9. Liczba warunów ograniczaących nie ulegnie wprawdzie zmianie, ale ich postać stanie się bardzie złożona. Zwróćmy uwagę na eszcze edną westię. W dotychczasowych rozważaniach przyęto, że decydent, w zależności od swego nastawienia do ryzya, może wybrać model sonstruowany na podstawie edne z omówionych reguł. Z przedstawionych zadań wynia, iż wybrane podeście należy stosować w stosunu do wszystich rozpatrywanych działalności. Może się edna zdarzyć, iż decydent w różny sposób będzie oceniał inwestyce poczynione w poszczególnych działalnościach. Na przyład, ego zdaniem, wystąpienie pesymistycznego scenariusza może oazać się znacznie bardzie realne w przypadu pierwsze działalności, aniżeli w przypadu pozostałych. Jeżeli założymy, iż sceptycyzm decydenta wobec onretne działalności est całowicie subietywny, to nic nie stoi na przeszodzie, aby zastosować odpowiednio sonstruowaną hybrydę uwzględniaącą różne reguły postępowania dla olenych działalności. Waruni taiego modelu mieszanego nie ulegną zmianie. Zmienią się tylo wagi funci celu. 5. Możliwe procedury rozwiązania modeli decyzynych Z zaproponowanych w rozdziale 4 modeli decyzynych i podanego przyładu liczbowego wynia, że zastosowanie omówionych reguł pozwala przypisać ażde decyzi w ramach dane działalności edną onretną wartość, co bardzo ułatwia dalsze obliczenia. Znia bowiem nieliniowy charater rozpatrywanych zadań. Po zreduowaniu modeli do postaci niezawieraące funci typu max{} lub min{} orzystanie z narzędzia Solver znaduącego się w paiecie Excel est możliwe, ale tylo w przypadu zadań o małych rozmiarach. Problemy charateryzuące się dużą liczbą zmiennych i warunów ograniczaących powinny być rozwiązywane za pomocą lepszych paietów 10. Ręczne rozwiązanie zaprezentowanych zadań nie est proste, gdyż ich zmienne decyzyne przymuą wartości binarne, a więc ustalenie strategii optymalne nawet dla problemów o małych rozmiarach może oazać się dość czasochłonne. 9 Rozmiar modeli est więc wyładniczy względem danych weściowych. 10 Zob. m.in. program QS (Quant System) oraz paiet CPLEX (

14 18 H. GASPARS Przedstawione modele przypominaą zadania dotyczące binarnego zagadnienia załadunu, zwanego również dysretnym problemem plecaowym bądź problemem złodziea rabuącego slep. Zagadnienie to formułuemy następuąco. Mamy do dyspozyci pleca o masymalne poemności (nośności) b oraz zbiór n elementów {x 1, x,..., x N }, przy czym ażdy element ma oreśloną wartość c oraz wielość w (np. wagę). Należy znaleźć taie upaowanie plecaa, aby suma wartości znaduących się w nim elementów była a nawięsza. Zmienna x przymue wartość 1, gdy -ty przedmiot zabieramy do plecaa, a 0, gdy ten przedmiot nie znadzie się w plecau. Dysretne zagadnienie plecaowe est zaliczane do lasy problemów NP-trudnych, a te z olei można rozwiązać za pomocą przeglądu zupełnego, o duże złożoności obliczeniowe: Θ(2 n ), lub metody znacznie bardzie suteczne, czyli programowania dynamicznego 11. My również odwołamy się do te metody, zastępuąc binarne zmienne decyzyne z podwónym indesem zmiennymi x taimi, że = 1, 2,..., n i x { d,..., g }. Metoda programowania dynamicznego sprawdza się niezależnie od przyęte reguły postępowania (patrz. rozdz. 4). Przyładowo, tabele 3, 4 i 5 zawieraą informace o możliwych masymalnych względnych stratach dla n etapów, obliczonych na podstawie programowania dynamicznego przy założeniu, iż decydent stosue regułę Savage a 12. Tabela 3 Tabela możliwych względnych strat (etap 1) 13 x x A s A (x A ) Ze względu na wzór (19), danymi weściowymi w zadaniu wyorzystuącym regułę Savage a są te względne straty, tóre oazały się nawyższe dla poszczególnych decyzi (podreślono e w tab. 2). Wartości te posłużą nam do ustalenia łączne względne straty dla różnych wariantów decyzynych, a ombinace, dla tórych poziom straty est naniższy, wsażą rozwiązania optymalne. 13 Z uwagi na przyętą w rozdziale 4 wartość parametru b, względne straty obliczono edynie dla x = 0, 1,, 5, gdzie x stanowi wielość posiadanego zasobu (tóry nieoniecznie musi być w całości rozdzielony). Wyrażenie s A (x A ) oznacza masymalną względną stratę dla działalności A z tytułu sierowania do nie x A ednoste zasobu. Ponieważ, począwszy od x A = 3, funca względnych strat zaczyna rosnąć, nie warto ierować do analizowane działalności więce niż 2 ednosti środa nawet wówczas, gdy wielość posiadanego zasobu est więsza.

15 Aloaca zasobu w warunach niepewności Tabela 4 Tabela możliwych względnych strat (etap 2) 14 s B (x B ) x B S 1 (x) x Tabela 5 Tabela możliwych względnych strat (etap 3) s C (x C ) x C S 2 (x) x Z tabel 3 5 można odczytać optymalne strategie dla różnych poziomów parametru b. Dzięi metodzie programowania dynamicznego w miarę szybo otrzymuemy rozwiązanie, lecz gdy liczba rozpatrywanych działalności, bądź/i liczebność ich zbiorów stanów dopuszczalnych, wzrasta, wtedy zwięsza się również liczba doonywanych obliczeń. Każda dodatowa działalność wymaga wygenerowania olene tabeli możliwych względnych strat (dla reguły Savage a) bądź możliwych zysów (dla pozostałych reguł). Dlatego, eżeli tylo spełnione są odpowiednie założenia, warto orzystać z procedur uproszczonych, o tórych była mowa w rozdziale S 1 (x) oreśla optymalny (minimalny) poziom względne straty dla różnych wielości posiadanego środa przy założeniu, że przydzielany est on wyłącznie działalności A. S 2 (x) optymalny (minimalny) poziom względne straty dla różnych wielości posiadanego środa przy założeniu, że przydzielany est on działalności A i B.

16 20 H. GASPARS Tabela 6 Optymalne strategie przy różnych poziomach parametru b 15 b Działalność A Działalność B Działalność C Gdy łączna ilość środa nie est z góry ustalona, rozpatrywany problem przestae być NP-trudny. W taim przypadu znacznie szybcie uzysamy rozwiązanie dzięi metodzie estremów loalnych, tóra znadue zastosowanie we wszystich czterech modelach. W przypadu reguły Savage a wystarczyłoby znaleźć minimalne wartości dla ażde działalności spośród masymalnych względnych strat (tab. 7). Przy regule Walda należałoby odszuać masymalne wartości spośród zysów minimalnych (tab. 8), natomiast przy modelach sonstruowanych na podstawie reguł Hurwicza, czy też Bayesa, poszuiwane estrema dla ażde działalności byłyby masymalnymi średnimi ważonymi bądź arytmetycznymi. Tabela 7 Tabela masymalnych względnych strat (reguła Savage a) x Działalność A Działalność B Działalność C Tabela minimalnych zysów (reguła Walda) Tabela 8 x Działalność A Działalność B Działalność C Model sonstruowany na podstawie reguły Savage a załada minimalizacę masymalnych względnych strat, a więc wyznaczanie strategii optymalnych dla wybrane wartości parametru b sprowadza się do znalezienia namnieszych wartości funci S 3 (x), tóre pogrubiono w tabeli 5, a potem S 2 (x) i S 1 (x). W przypadu pozostałych trzech reguł postępowania to nawięsze wartości tychże funci oreślaą rozwiązanie optymalne.

17 Aloaca zasobu w warunach niepewności Problem może poawić się wówczas, gdy należy sierować do analizowanych działalności co nawyże b ednoste zasobu. W te sytuaci należy sorzystać z metody zysów rańcowych, ale pod waruniem, że ich funce będą nierosnące. Tabela zysów rańcowych (reguła Walda) Tabela 9 x Działalność A Działalność B Działalność C Tabela zysów rańcowych (reguła Hurwicza) Tabela 10 x Działalność A Działalność B Działalność C 1 7,4 3,8 4,8 2 0,2 3,6 4,4 3 2,8 3,6 0,4 Tabela zysów rańcowych (reguła Bayesa) Tabela 11 x Działalność A Działalność B Działalność C 1 6,5 3,5 4,5 2 0,5 3 3,5 3 2,5 3 0,5 Oazue się, że rozpatrywany przyład liczbowy spełnia ten warune dla wszystich trzech modeli zawieraących ryterium masymalizowane (tab. 9 11). Ustalenie rozwiązania optymalnego dla dowolnego poziomu parametru b est zatem możliwe. Na przyład, stosuąc regułę Walda i przymuąc, że b = 5, powinniśmy pierwszą ednostę środa sierować do działalności A, drugą do C, trzecią do B, czwartą np. do B i wówczas piątą do B lub C. Jeżeli czwarta ednosta zostanie przydzielona działalności C, to piąta może trafić do działalności B lub C. Posiadany zasób można zatem uloować na trzy różne sposoby. W przypadu ryterium minimalizowanego stosuemy oczywiście metodę osztów rańcowych, z tóre można sorzystać, gdy są one niemaleące dla ażde działalności (por. [15, s.167]). Kolene ednosti środa są przydzielane tam, gdzie oszty rańcowe są namniesze i ta długo, aż poawią się nieuemne wartości. Gdy ilość posiadanego zasobu ma być rozdzielona w całości, procedura ta znadue zastosowanie, o ile funce osztów całowitych są monotoniczne, a doładnie maleące.

18 22 H. GASPARS Celem zadania sonstruowanego na podstawie reguły Savage a nie est edna minimalizaca osztów, lecz minimalizaca względnych strat. Gdybyśmy mieli do czynienia z tabelą osztów rańcowych, wówczas aloaca zasobu polegałaby na przydzielaniu środa, poczynaąc od namnieszych osztów rańcowych, przy czym puntem wyścia przy rozdziale zasobu byłby pierwszy wiersz, czyli ten, dla tórego aloaca est na poziomie edne ednosti. W naszym przypadu należy przyąć nieco inny sposób postępowania. Tuta puntem wyścia nie est pierwszy wiersz, lecz te wiersze, tóre dla poszczególnych działalności wsazuą rozwiązanie optymalne przy założeniu, że łączna wielość przydzielonego zasobu może być dowolna (zob. tab. 7). Chodzi zatem o wiersz trzeci dla działalności A i wiersz czwarty dla pozostałych dwóch działalności. Kombinaca tych poziomów wiąże się edna z aloacą 8 ednoste (2+3+3). Jeżeli dysponuemy pięcioma ednostami, należy zmnieszyć ilość przydzielonego zasobu, przesuwaąc się do wyże położonych omóre w tai sposób, aby przyrosty masymalne względne straty (wzór (38)) były a namniesze. s ( x s ( x ) = 0 s ( x ) s ( x ) s ( x + 1), gdy 1) x x x = 0,1,..., x = x = x + 1, x 1 + 2,..., g, (38) gdzie: s ( x ) przyrost masymalne względne straty związany ze zmianą ilości środa przydzielonego -te działalności o edną ednostę, s (x ) masymalna względna strata związana ze sierowaniem x ednoste środa do -te działalności, x optymalna wielość środa sierowanego do -te działalności przy założeniu, że łączna ilość zasobu przydzielonego wszystim działalnościom może być dowolna, g masymalny dopuszczalny naład środa na -tą działalność. W pierwszym rzędzie należy zmnieszyć ilość przydzielonego środa o edną ednostę w przypadu działalności A i C (tab. 12). Dzięi temu łączna wielość rozdzielonego zasobu będzie równa uż tylo 6 ednoste. Następny ro polega na obniżeniu wielości środa przydzielonego działalności C o eszcze edną ednostę. Strategii optymalne (1,3,1) odpowiada wzrost względne straty w stosunu do rozwiązania wygenerowanego dla zadania pomiaącego warune (2) o = 5 tys. zł. Przymimy, że zaprezentowana nowa procedura będzie nosić nazwę metody przyrostów względnych strat. Ta a zastosowanie, znane z literatury, metody zysów (osztów) rańcowych wymaga spełnienia warunu o nierosnących zysach rańcowych (niemaleących osztach rańcowych), ta też orzystanie z metody przyrostów względnych strat est możliwe, o ile spełnione zostanie następuące założenie:

19 Aloaca zasobu w warunach niepewności s ( x s ( x ) s ( x ) s ( x + 1), gdy 1) x x = 0,1,..., x = x + 1, x 1 + 2,..., g. (39) Tabela 12 Tabela przyrostów masymalnych względnych strat (reguła Savage a) x Działalność A Działalność B Działalność C Kro Zauważmy, że gdy ilość zasobu est dowolna, rozwiązanie otrzymuemy od razu zerowa wartość przyrostu masymalne straty wsazue optymalną liczbę ednoste, aą należy sierować do dane działalności. Poniże podano algorytm generowania strategii optymalne metodą przyrostów masymalnych względnych strat, gdy ilość rozdzielonego środa nie może przeroczyć b. Maąc dane rozwiązanie optymalne dla zadania pomiaącego warune (24), sprawdzamy, czy r = n = 1 x b, gdzie x optymalna ilość środa sierowanego do -te działalności. Jeżeli ta, otrzymana strategia est również optymalna dla problemu uwzględniaącego nierówność (24). Jeżeli r = n = 1 x > b, należy zmnieszyć wielość uloowanego zasobu w stosunu do rozwiązania ( x 1,, xn ) o (r b) ednoste. K-tą ednostę środa odbieramy te działalności, tóra w danym etapie spełnia warune gdzie: S 1 1 S ( x ) = min { s ( x 1)}, (40) = 1,..., n 1 x wartość zmienne x otrzymana w (-1) etapie. Początowo x = 0 x = 1 1 x dla = 1, 2,..., n. Zmienna x, dla tóre w -tym etapie: 1 = x a) s ( x 1) > S ( x ), przymue w -tym etapie wartość x, 1 1 b) s ( x 1) = S ( x ), przymue w -tym etapie wartość x = 1 x 1. Gdy istniee więce niż edna zmienna x, dla tóre w -tym etapie s ( 1 1) = 1 ( x ), należy zmnieszyć wartość tylo edne z nich, a pozostałe zmienne rozpa- Kro 2 Kro 1 x

20 24 H. GASPARS trzyć w olenych iteracach. Obliczenia ończymy, gdy x = b. Dalszemu obniżaniu ilości rozdzielonego zasobu towarzyszyłby wzrost względne straty, zatem dla rozwiązania zadania (22) (24), (35) (36) i przy założeniu (39) warune (24) będzie zawsze wiążący. Stosuąc powyższy algorytm dla analizowanego zadania, otrzymamy rozwiązanie optymalne, tóre nieoniecznie musi być edynym. Z więszą liczbą strategii optymalnych możemy mieć do czynienia wówczas, gdy istniee więce niż 1 1 edna zmienna x, dla tóre w -tym etapie s ( x 1) = S ( x ). Generowanie rozwiązania metodą przyrostów względnych strat również wtedy, gdy warune (39) nie est spełniony, może sutować błędem w obliczeniach. Przymimy na przyład, że masymalne względne straty oraz ich przyrosty są równe wartościom zamieszczonym w tabelach 13 i 14. n = 1 Tabela 13 Tabela masymalnych względnych strat (reguła Savage a) x Działalność A Działalność B Działalność C Tabela 14 Tabela przyrostów masymalnych względnych strat (reguła Savage a) x Działalność A Działalność B Działalność C Gdy łączna wielość przydzielonego zasobu est dowolna, strategia (1,2,2) est optymalna. Jeżeli natomiast b = 4, to odczytanie rozwiązania optymalnego z tabeli 14 nie est uż taie oczywiste. Wydawać by się mogło, że szuanym wyniiem est (0,2,2) lub (1,2,1). Tymczasem oazue się, że optymalna strategia wygenerowana za pomocą metody programowania dynamicznego ma postać (2,2,0)! Na podstawie tego przyładu można wyciągnąć następuący wniose. Niech r oznacza łączną ilość środa przydzielonego w sposób optymalny wszystim działalnościom przy założeniu, że wielość posiadanego zasobu nie est z góry ustalona. Gdy warune (39) nie est spełniony, rozwiązanie dla onretnego poziomu parametru b < r może polegać na zmnieszeniu ilości środa sierowanego do onretne działalności, w stosunu do optymalne wielości ustalone dla zadania pomiaącego warune (24), przy ednoczesnym zwięszeniu wielości zasobu dla inne działalności!

21 Aloaca zasobu w warunach niepewności Metoda przyrostów masymalnych względnych strat nie est oczywiście edynym uproszczonym podeściem, aie można zastosować, gdy obowiązue warune (24). Można przecież tabelę masymalnych względnych strat (tab. 7) przedstawić ao tabelę zysów uemnych, a następnie sorzystać z metody zysów rańcowych (zob. rozdz. 2). Podsumowanie 1. W literaturze można znaleźć opis deterministyczne i stochastyczne wersi problemu aloaci zasobu [14], [18]. W ninieszym opracowaniu natomiast podęto próbę sformułowania modeli decyzynych, mogących znaleźć zastosowanie w zagadnieniu aloaci zasobu w warunach niepewności. Zaproponowane modele dotyczą ednowymiarowych procesów aloacynych, czyli taich, w tórych rozporządzamy tylo ednym ednorodnym zasobem [2, s ]. Przedstawione zadania charateryzuą się binarnymi zmiennymi decyzynymi oraz nieliniową funcą celu, tórą można w bardzo prosty sposób sprowadzić do postaci liniowe. 2. W związu z tym, iż rozdział środa w warunach niepewności pomiędzy n działalności sprowadza się do wyznaczenia n optymalnych strategii czystych, wyorzystano w zaprezentowanych modelach decyzynych reguły Walda, Hurwicza, Bayesa i Savage a. Podreślono również, iż istniee możliwość sonstruowania modelu uwzględniaącego ednocześnie różne reguły decyzyne. W pracy przyęto, że decyza podemowana est ednorotnie. Gdyby natomiast celem poruszonego problemu było wielorotne podemowanie decyzi przy te same macierzy wypłat, nie byłoby powodu, by z góry załadać, iż za ażdym razem należy wybierać tę samą decyzę dla dane działalności. Lepsze mogłoby się oazać podemowanie różnych możliwych decyzi z oreśloną częstością i wówczas aloaca zasobu polegałaby na wyborze strategii mieszane (por. [4, s. 140]). Z uwagi na warune (24) sformułowanie i rozwiązanie powyższego problemu nie byłoby edna taie proste. 3. Oprócz modeli przedstawiono również procedury, umożliwiaące rozwiązanie tychże zadań. Oazue się, iż poza metodą programowania dynamicznego można orzystać z opisanych w literaturze procedur uproszczonych [9], [15], eśli tylo dany problem spełnia odpowiednie założenia. Metoda estremów loalnych może być stosowana niezależnie od przyęte reguły postępowania, o ile masymalna wielość zasobu, tórą rozdzielamy pomiędzy analizowane działalności, nie est z góry ustalona. Gdy należy przydzielić środe w ilości nieprzeraczaące pewnego zadanego poziomu, metoda zysów rańcowych może się oazać bardzo przydatna pod waruniem, że funce zysów rańcowych dla poszczególnych działalności są nierosnące. To założenie ma sens edynie dla modeli sonstruowanych na podstawie reguły Walda, Hurwicza i Bayesa. Puntem wyścia dla wymienionych reguł est tabela zysów.

22 26 H. GASPARS W przypadu reguły Savage a, bazuące na względnych stratach, onieczne est przyęcie nieco innego sposobu postępowania zarówno w zaresie generowania tabeli z wyniami marginalnymi (zob. warune (38)), a i w zaresie formułowania założeń, tóre dane zadanie powinno spełnić, by można e było rozwiązać procedurą uproszczoną (wzór (39)). 4. Jest rzeczą oczywistą, iż znaomość doładnych zysów z tytułu rozdziału środa pomiędzy działalności nie est edynym upraszczaącym założeniem, przyętym w zagadnieniu aloaci zasobu. Rozwiązuąc zadanie przymuemy, że rozpatrywane działalności funconuą całowicie niezależnie (zob. rozdz. 1). Załóżmy, że środiem do rozdziału est apitał, tóry można sierować do różnych obszarów w celu rozpoczęcia inwestyci. Oazue się, że w rzeczywistości inwestyce rozpoczęte na danym terenie mogą wpłynąć na sytuacę w innym obszarze nawet wówczas, gdy est pomiędzy nimi wyznaczona granica. Dalsze rozszerzenie modeli optymalizacynych stosowanych w zagadnieniu aloaci zasobu mogłoby dotyczyć właśnie te westii. Bibliografia [1] BELLMAN R.E., DREYFUS S.E., On the computational solution of dynamic programming processes I: on a tactical air warfare model of Mengel, Operations Research, 1958, t. 6, s [2] BELLMAN R.E., DREYFUS S.E., Programowanie dynamiczne (zastosowanie), PWE, Warszawa [3] BERTSEKAS D.P., Dynamic programming: Deterministic and Stochastic Models, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey [4] CZERWIŃSKI Z., Matematya na usługach eonomii, PWN, Warszawa [5] DENARDO E.V., Dynamic programming: Models and Applications, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey [6] DZIUBIŃSKI I., ŚWIĄTKOWSKI T. (red.), Poradni matematyczny, PWN, Warszawa [7] FAURE R., KAUFMANN A., Badania operacyne na co dzień, PWN, Warszawa [8] GASS S.I., HARRIS C.M., Encyclopedia of operations research and management science, Kluwer Academic Publishers, [9] GUZIK B. (red.), Eonometria i badania operacyne. Uzupełnienia z badań operacynych, MD 51, AE, Poznań [10] KUKUŁA K. (red.), JĘDRZEJCZYK Z., SKRZYPEK J., WALKOSZ A., Badania operacyne w przyładach i zadaniach, PWN, Warszawa [11] LESZ M., Techniczno-eonomiczne zastosowania metod programowania dynamicznego, PWE, Warszawa [12] MOORE P.G., Basic Operational Research, Sir Isaac Pitman and Sons Ltd, London [13] PRATT J.W., HOWARD R., SCHLAIFER R., The foundations of decision under uncertainty: An Elementary Exposition, Mc Graw Hill, New Yor [14] RADZIKOWSKI W., Matematyczne technii zarządzania, PWE, Warszawa [15] SIKORA W. (red.), ANHOLCER M., GASPARS H., OWCZARKOWSKI A., Przyłady i zadania z badań operacynych i eonometrii, MD 163, AE, Poznań [16] SZYMANOWSKI W. (red.), BARANOWSKA B., BIEŃKOWSKA-LIPIŃSKA K., LIPIEC-ZAJCHOWSKA M., Badania operacyne w zarządzaniu, Wydawnictwo Prywatne Wyższe Szoły Biznesu i Administraci, Warszawa 1996.

23 Aloaca zasobu w warunach niepewności [17] TRZASKALIK T., Wprowadzenie do badań operacynych z omputerem, PWE, Warszawa [18] WAGNER H.M., Principles of Operations Research with Applications to Managerial Decisions, second edition, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey Resource allocation under uncertainty: choice models and computational procedures The deterministic and stochastic versions of the resource allocation problem have already been discussed in the literature. The goal of this contribution is to formulate optimization models applicable to the problem of resource allocation under uncertainty, which signifies that profits resulting from the assignment of a quantity of resource to a given activity, are defined as random variables with unnown distribution. The author presents four models depending on the attitude of the decision-maer towards states of nature that may occur, and refers to the rules formulated by Wald, Hurwicz, Bayes and Savage to this end. Possible computational procedures, allowing finding the optimal solution for each case, are also analyzed. Apart from the dynamic programming, two simplified methods used for the deterministic version of resource allocation can also be applied when decisions are made under uncertainty. However, these two methods require that the problem fulfil additional assumptions, which are partially different from those formulated for the deterministic approach. Keywords: resource allocation problem, dynamic programming, binary choice models, decision-maing under uncertainty, states of nature, pure strategy, mixed strategy, binary napsac problem