Alokacja kosztów bez subsydiowania w grach kooperatywnych opartych na programowaniu liniowym
|
|
- Witold Podgórski
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 AUTOMATYKA 2009 Tom 13 Zeszyt 2 Mariusz Kaleta* Alokacja kosztów bez subsydiowania w grach kooperatywnych opartych na programowaniu liniowym 1. Wprowadzenie W sytuacji gdy wiele niezale nych podmiotów realizuje wspólne przedsiêwziêcie, ca³kowity koszt przedsiêwziêcia zazwyczaj jest oczywisty i ³atwy do wyznaczenia. Jednak e, trudnoœci mo e sprawiaæ jednoznaczne okreœlenie indywidualnych udzia³ów w globalnym koszcie ka dego z podmiotów m M, gdzie M = {1, 2,..., M} jest zbiorem wszystkich podmiotów, a M liczb¹ podmiotów. Niech C(S), S M, bêdzie ca³kowitym kosztem realizacji przedsiêwziêcia przez grupê graczy S. Wówczas zadanie podzia³u ca³kowitego kosztu C(M) przedsiêwziêcia na poszczególne podmioty, polega na wyznaczeniu wektora alokacji kosztów x = (x 1,..., x M ), gdzie x i jest wartoœci¹, jak¹ musi ponieœæ podmiot i-ty uczestnicz¹cy w przedsiêwziêciu. Zagadnienia alokacji kosztów w ujêciu przyjêtym w tej pracy wystêpuj¹ m.in. w zagadnieniach ³añcucha dostaw, logistycznych, systemach produkcyjnych, mechanizmach rynkowych z ograniczeniami [6, 8, 10]. Specyficzn¹ klas¹ problemów alokacji kosztów s¹ zagadnienia, w których koszt realizacji przedsiêwziêcia jest okreœlony przez rozwi¹zanie optymalne zadania programowania liniowego (prowadzi to do klasy teoriogrowych modeli okreœlanej jako LP-games). Historycznie pierwsz¹ znacz¹c¹ prac¹ w tym obszarze jest praca Owena [10], w której rozwa a siê problem alokacji kosztów modelowany jako tzw. linear production game, gdzie udzia³ poszczególnych podmiotów w przedsiêwziêciu przejawia siê w wartoœciach prawych stron ograniczeñ zadania programowania liniowego okreœlaj¹cego koszty realizacji przedsiêwziêcia. Na bazie problemu sformu³owanego przez Owena powsta³o wiele uogólnieñ [1, 2, 4], co doprowadzi³o m.in. do klasy zagadnieñ alokacji kosztów zwi¹zanych z przep³ywem towarów w sieci (tzw. networks games) [3] i uogólnienia problemu bazuj¹cego na zadaniu programowania liniowego [5]. Strumieñ prac naukowych w obszarze problemów podzia³u kosztów bazuj¹cych na zadaniach programowania liniowego ma dwie istotne cechy. Ogromna wiêkszoœæ prac jest poœwiêcona po * Instytut Automatyki i Informatyki Stosowanej, Politechnika Warszawska 333
2 334 Mariusz Kaleta pierwsze problemom, które prowadz¹ do modeli gier kooperatywnych z niepusty rdzeniem, a po drugie analizie w³aœciwoœci formu³owanych modeli gier kooperatywnych, w szczególnoœci wykazaniu istnienia niepustego rdzenia gry. Aspekty algorytmicznie pojawiaj¹ siê rzadko i dotycz¹ konkretnych problemów, np. gry transportowej (ale równie w zawê onym sensie) [11]. Metaalgorytm wyznaczania alokacji w szerokiej klasie metod bazuj¹cych na tzw. œcie kach dla zadañ programowania liniowego ze zmiennymi ci¹g³ymi jest przedstawiony w pracy [5]. W niniejszej pracy rozwa amy problem alokacji kosztów modelowany jako gra kooperatywna z potencjalnie pustym rdzeniem, bazuj¹cy na zadaniu programowania liniowego. K³adziemy nacisk przede wszystkim na zagadnienia motywacji podmiotów, co prowadzi do koncepcji relaksacji tzw. warunków globalnej racjonalnoœci przy zachowaniu warunków indywidualnej/grupowej racjonalnoœci. Istotnym elementem motywacji podmiotów jest zapewnienie braku subsydiowania rozumianego w³aœnie jako spe³nienie wspomnianych warunków indywidualnej/grupowej racjonalnoœci alokacji. Dla tej klasy problemów przedstawiamy model optymalizacyjny do wyznaczania alokacji wolnej od subsydiowania. Istotnym wk³adem jest przedstawienie efektywnego algorytmu obliczeniowego do rozwi¹zywania sformu³owanego modelu. 2. Model gry kooperatywnej i warunki rdzenia gry Rozwa my prosty przyk³ad ilustruj¹cy. Za³ó my, e dwóch producentów P 1 i P 2, dostarcza towar do dwóch odbiorców D 1 i D 2. Zdolnoœci wytwórcze producentów s¹ ograniczone i wynosz¹ 5 i 8 odpowiednio dla P 1 i P 2. Wymagania odbiorców wynosz¹ce 4 i 3 odpowiednio dla D 1 i D 2, musz¹ zostaæ w pe³ni zaspokojone. Rysunek 1 przedstawia model sieciowy sytuacji decyzyjnej. Na rysunku zamieszczono równie informacje o kosztach jednostkowych dostawy towarów, która jest zawsze realizowana przy najni szych kosztach ca³kowitych. Rys. 1. Model sieciowy przyk³adu ilustruj¹cego Jak ³atwo policzyæ, zapotrzebowania mog¹ zostaæ zaspokojone przy ³¹cznym koszcie 15 (przep³ywy 2 po ³uku P 1 -D 1, 3 po P 1 -D 2 i 2 po P 2 -D 1 ). Rozwa my teraz potencjalne sytuacje, gdy poszczególni odbiorcy wycofuj¹ siê z przedsiêwziêcia. Gdy wycofuje siê odbiorca D 1, to ca³kowity koszt zaspokojenia zapotrzebowania spada o 12. Odbiorca D 2 uzna
3 Alokacja kosztów bez subsydiowania w grach kooperatywnych za sprawiedliwe jedynie takie rozwi¹zania, w których D 1 zostanie obarczony kosztem nie mniejszym ni 12. Analogicznie odbiorca D 1 uzna, i subsydiuje innych odbiorców, je eli D 2 zostanie obarczony kosztem mniejszym ni 15 8 = 7, gdzie 8 jest kosztem zaspokojenia zapotrzebowania jedynie odbiorcy D 1. Uogólniaj¹c, warunek indywidualnej/grupowej racjonalnoœci, bêd¹cej warunkiem koniecznym, aby podmioty uzna³y alokacjê x za woln¹ od dotacji, przyjmuje postaæ (warunek jest równie nazywany incremental cost test) xi C( M) C( M \ S), S M (1) i S W rozwa anym przyk³adzie, z uwagi na warunki indywidualnej/grupowej racjonalnoœci, odbiorcy musz¹ zostaæ obarczeni kosztem o wartoœci co najmniej = 19, gdzie 12 to koszt przydzielony odbiorcy D 1, a 7 to koszt zaalokowany do odbiorcy D 2. Zatem, ³¹czne koszty w wysokoœci 15 s¹ pokrywane z nadmiarem. Oznacza to brak mo liwoœci spe³nienia warunku tzw. globalne racjonalnoœci xi = C( M ) (2) i M Problem alokacji kosztów mo na modelowaæ jako grê kooperatywn¹ M, C, sk³adaj¹c¹ siê ze M zbioru graczy oraz funkcji charakterystycznej C. Warunki (1) i (2) definiuj¹ tzw. rdzeñ gry zbiór indywidualnie/grupowo i globalnie racjonalnych alokacji. Jak pokazaliœmy na powy szym przyk³adzie, mog¹ one byæ sprzeczne, a co za tym idzie, rdzeñ gry mo e byæ pusty. W takiej sytuacji zazwyczaj stosuje siê relaksacjê warunków (1), np. odejmuj¹c od prawej strony ograniczenia (1) pewn¹ wartoœæ ε i definiuj¹c w ten sposób ε-rdzeñ. Jednak w sytuacji, gdy nacisk jest k³adziony na motywacjê podmiotów, ograniczenia (1) nie mog¹ byæ ³agodzone. W zamian za to mo liwa jest relaksacja warunku (2). Innymi s³owy, niedopuszczenie do subsydiowania kosztów, np. ze wzglêdu na potrzebê zapewnienia zgodnoœci motywacyjnej podmiotów, mo e wi¹zaæ siê z koniecznoœci¹ pokrycia czêœci kosztów odgórnie, np. przez podmiot zarz¹dzaj¹cy systemem, albo w wyniku socjalizacji brakuj¹cej czêœci kosztów. 3. Wyznaczanie alokacji bez subsydiowania Dalej przyjmujemy za³o enie, e warunki (1) musz¹ zostaæ spe³nione, a ograniczenie (2) mo e byæ ³agodzone. Odbiorca i-ty jest zainteresowany jak najmniejszym kosztem x i. W efekcie mo emy sformu³owaæ nastêpuj¹ce zadanie optymalizacji wielokryterialnej MASIT (minimal allocation satysfing incremental cost test), w którym minimalizujemy przydzielone koszt indywidualne przy zachowaniu warunku testu przyrostu kosztu (1). Problem MASIT: min( x1,..., x M ) (3)
4 336 Mariusz Kaleta przy ograniczeniach xi C( M) C( M \ S), S M (4) i S xi 0, i M (5) Zbiór warunków (4) testu przyrostu kosztów tworzy sympleks, w obszarze którego rozwi¹zanie zadania minimalizacji z funkcj¹ celu (3) zazwyczaj nie jest jednoznaczne. Zastosowanie prostych funkcji skalaryzuj¹cych, np. minimalizacji œredniej z alokacji lub minimalizacji maksymalnej alokacji mo e prowadziæ do wyników ³atwych do zakwestionowania z punktu widzenia ogólnie rozumianej sprawiedliwoœci alokacji. W szczególnoœci dwóch graczy maj¹cych taki sam wp³yw na koszty globalne mo e zostaæ obarczonych ró - nymi kosztami przy minimalnej wartoœci funkcji skalaryzuj¹cej. W tym wypadku, je eli mo liwe jest równe potraktowanie takich graczy przy zachowaniu tej samej wartoœci skalaryzuj¹cej funkcji celu, to rozwi¹zanie takie powinno byæ preferowane. Prowadzi to do koncepcji relacji preferencji wyrównuj¹co racjonalnej. Relacja ta bazuje na aksjomacie przesuniêæ wyrównuj¹cych Pigou Daltona. Przesuniêcie wyrównuj¹ce polega na pogorszeniu lepszej (ni szej) alokacji x i i jednoczesnym zmniejszeniu wy szej alokacji x j o pewn¹ niewielk¹ wartoœæ ε > 0. Wektor alokacji otrzymany w wyniku przesuniêæ wyrównuj¹cych x εe i + εe j jest œciœle preferowany w stosunku do oryginalnego wektora x. Wektor alokacji x' dominuje wyrównuj¹co wektor alokacji x'', je eli jest œciœle preferowany zgodnie z racjonaln¹ relacj¹ preferencji x fw x. WprowadŸmy operator Θ : R M R M porz¹dkuj¹cy niemalej¹co wspó³rzêdne wektora x, to znaczy Θ(x) = (Θ 1 (x), Θ 2 (x),..., Θ M (x)), gdzie Θ 1 (x) Θ 2 (x)... Θ M (x). WprowadŸmy dalej operator skumulowanego uporz¹dkowania Θ ( x) = ( Θ1, Θ2,..., Θ M ), gdzie i Θ i = Θ ( ) l 1 l x dla i=1, 2,, M. Kolejne wspó³rzêdne wektora Θ ( x) oznaczaj¹ najmniejsz¹ alokowan¹ wartoœæ, sumê dwóch najmniejszych alokowanych wartoœci, sumê = trzech najmniejszych alokowanych wartoœci, itd. Rozwi¹zanie dopuszczalne x problemu (3) (5) jest wyrównuj¹co efektywnym rozwi¹zaniem wtedy i tylko wtedy, gdy jest rozwi¹zaniem efektywnym nastêpuj¹cego problemu wielokryterialnego [7]: max{ Θ( x)} (6) przy ograniczeniach (4) i (5). Zadanie to mo e byæ rozwi¹zane poprzez sprowadzenie zadania do problemu jednokryterialnego stosuj¹c wa enie ocen, co jest równowa ne zastosowaniu agregacji OWA (ordered weighted average) do zadania maksymalizacji Θ(x) przy ograniczeniach (4) i (5) [12]. Agregacjê OWA mo na przedstawiæ w wygodnej obliczeniowo postaci maksymalizacji liniowej kombinacji skumulowanych uporz¹dkowanych ocen zapisanych w postaci liniowej [9]. W wyniku otrzymujemy zadanie programowania liniowego:
5 Alokacja kosztów bez subsydiowania w grach kooperatywnych Problem MASIT_OWA: n n max wk( kvk dki) k= 1 i= 1 (7) xi C( M) C( M \ S), S M (8) i S vk + xi dki, i, k M (9) dki, xi 0, i, k M (10) gdzie wystêpuj¹ wspó³czynniki w k > 0, nieograniczone zmienne v k oraz nieujemne zmienne d ki reprezentuj¹ce dolne odchylenie od wartoœci v k. Zauwa my, e z w³asnoœci wyrównuj¹co racjonalnej relacji preferencji wynika, e rozwi¹zanie problemu (7) (10) spe³nia warunek symetrycznoœæ (anonimowoœci) alokacji, a wiêc jest niewra liwe na przenumerowanie graczy. Z ograniczeñ (8) wynika spe³nienie warunku indywidualnej/grupowej racjonalnoœci, a st¹d równie warunek alokacji niezerowych kosztów na gracza istotnego oraz braku alokacji na gracza nieistotnego (dummy player). Zgodnie z warunkiem (1) alokacja bêd¹ca rozwi¹zaniem problemu (7) (10) jest wolna o subsydiowania. W problemie (7) (10) liczba ograniczeñ (8) wynosi 2 M. Dodatkowo, nale y spodziewaæ siê, i wiêkszoœæ z tych ograniczeñ nie jest aktywna w rozwi¹zaniu optymalnym. Dlatego do rozwi¹zania problemu (7) (10) mo na efektywnie zastosowaæ technikê generacji kolumn. Jako zadanie nadrzêdne w technice generacji kolumn przyjmujemy zadanie dualne do zadania (7) (10) o nastêpuj¹cej postaci: min C( M) C( M \ S) λ S (11) S M λ km, = kwk, k M m S (12) λkm, wk, k, m M (13) S M λs λk, m 0, m M (14) k M λs 0, S, λk, m 0, k, m M M (15) W danej iteracji techniki generacji kolumn w problemie (11) (15) wystêpuj¹ jedynie wybrane zmienne decyzyjne λ S odpowiadaj¹ce wprowadzonym kolumnom. Zauwa my, e zmienna decyzyjna λ S wystêpuje jedynie w funkcji celu oraz ograniczeniach (14). St¹d,
6 338 Mariusz Kaleta w zadaniu podrzêdnym wymagana jest znajomoœæ π = (π m ) cen dualnych jedynie dla ograniczeñ (14). W zadaniu podrzêdnym poszukujemy nowej kolumny reprezentuj¹cej podzbiór graczy, której wprowadzenie do zadania nadrzêdnego poprawi wartoœæ funkcji celu. Poprawa taka nast¹pi, je eli dla nowej kolumny λ S, wyra enie π T λ S C(M) + C(M \ S) bêdzie mia³o wartoœæ dodatni¹. Dla rozwa anego przyk³adu przep³ywu towaru w sieci formu³ujemy nastêpuj¹ce zadanie podrzêdne: T max[ π λ S C( M) + C( M \ S)] (16) S M i pji Pj, j P (17) p ji D i (1 z i), i M (18) j U pj 0, j Di, zi {0,1}, i M (19) i M Zmienne p ji reprezentuj¹ przep³ywy pomiêdzy producentem j a odbiorc¹ i, c ji jest jednostkowym kosztem przesy³u, P j zdolnoœci¹ wytwórcz¹ producenta j, P zbiorem wszystkich producentów, D i wymaganiami odbiorcy i, a N odpowiednio du ¹ liczb¹. W problemie tym wystêpuj¹ tak e zmienne binarne z i odpowiedzialne za obecnoœæ gracza i-tego w koalicji S. Jako nowa kolumna λ S jest przyjmowany wektor (z i ) w rozwi¹zaniu optymalnym problemu podrzêdnego. 4. Eksperymenty obliczeniowe 4.1. Zbiory danych testowych Proponowany algorytm wyznaczania alokacji kosztów zosta³ przebadany na przyk³adzie zestawu problemów transportowych. Zosta³y wygenerowane trzy zestawy danych testowych, w ka dym zestawie po 20 problemów. Parametry zestawów zosta³y zebrane w tabeli 1. Liczba producentów Tabela 1 Charakterystyka zestawów danych testowych Liczba odbiorców Zakres wolumenu zapotrzebowañ Liczba ³uków Zakres jednostkowych cen przesy³u Zestaw Zestaw Zestaw
7 Alokacja kosztów bez subsydiowania w grach kooperatywnych Charakter danych testowych powinien mieæ istotny wp³yw na z³o onoœæ obliczeniow¹ badanej metody. Dlatego podjêto próbê wygenerowania problemów testowych o mo liwie du ej liczbie ograniczeñ aktywuj¹cych siê dla pewnych podzbiorów zapotrzebowañ S M. W tym celu przeprowadzono nastêpuj¹c¹ procedurê generowania danych testowych. Topologia sieci oraz ceny zosta³y wygenerowane w sposób losowy (rozk³ad jednostajny, ceny z przedzia³u 0 100) tak, aby tworzona sieæ by³a spójna. Nastêpnie w sposób losowy okreœlono wolumeny zapotrzebowañ (rozk³ad jednostajny z przedzia³u 1 200). Otrzymano w ten sposób problem z nieograniczonymi mo liwoœciami wytwórczymi producentów. Po jego rozwi¹zaniu przyjêto wstêpne mo liwoœci wytwórcze producentów równe produkcji w rozwi¹zaniu optymalnym problemu bez ograniczonych mo liwoœci wytwórczych. Nastêpnie podejmowano próbê obni ania mo liwoœci wytwórczych losowo wybranych producentów tak, aby powsta³y problem mia³ niepusty zbiór rozwi¹zañ dopuszczalnych. Liczba prób obni enia zdolnoœci wytwórczych losowo wybranego producenta by³a równa dwukrotnoœci liczby producentów. Ka da próba rozpoczyna³a siê od przyjêcia po³owy zdolnoœci wytwórczych danego producenta, a w przypadku niedopuszczalnoœci rozwi¹zania, stopniowemu zwiêkszaniu jego zdolnoœci wytwórczych, a do uzyskania problemu niesprzecznego Rezultaty Jako pocz¹tkowy zbiór kolumn przyjêto jedn¹ kolumnê odpowiadaj¹c¹ wszystkim graczom wszystkie zapotrzebowania s¹ zaspokajane. Wyniki obliczeniowe proponowanego algorytmu zosta³y zebrane w tabeli 2. Tabela 2 Wyniki obliczeñ dla danych testowych Liczba dodanych kolumn Liczba dodanych kolumn [%] Czas obliczeñ [s] Nadwy ka zaalokowanych kosztów [%] œrednia min. maks. œrednia min. maks. œrednia min. maks. œrednia min. maks. Zestaw 1 Zestaw 2 Zestaw 3 30,5 21,0 52,0 2,97 2,05 5,08 8,24 1,58 120,00 34,92 4,16 82,47 161,2 65,0 253,0 1,5E-07 0,6E-07 2,4E-07 13,66 5,91 23,59 35,30 13,87 101,62 295,3 79,0 429,0 2,6E-11 0,7E-11 3,8E ,05 154, ,00 32,45 3,01 69,10 Zauwa my, e liczba dodanych kolumn jest istotnie mniejsza od liczby ograniczeñ (8). W zestawie danych 1 s¹ to pojedyncze procenty ca³kowitej liczby wszystkich kolumn. Z uwagi na wyk³adniczy wzrost liczby wszystkich mo liwych kolumn wraz ze wzrostem
8 340 Mariusz Kaleta liczby odbiorców, procent wprowadzonych kolumn spada do bardzo ma³ych liczb. Dziêki temu, wydaje siê, i jest szansa na rozwi¹zywanie rzeczywistych problemów nawet dla kilkudziesiêciu graczy, co w przypadku alokacji, w których trzeba rozwa aæ wiele lub wszystkie kombinacje graczy (np. wartoœæ Shapleya) jest niemo liwe. Czasy obliczeniowe s¹ akceptowalne, przy czym wykorzystane do eksperymentu oprogramowanie zawiera wci¹ du e pole do redukcji nak³adów obliczeniowych w warstwie programistycznej (np. redukcja generowanych komunikatów w trakcie obliczeñ istotnie wp³ywa na czasy obliczeniowe). Ostatni wiersz tabeli 2 zawiera udzia³ procentowy nadwy ki zaalokowanych kosztów nad kosztami ca³kowitymi w kosztach ca³kowitych [ x C( M)]/ C( M). i M i Œrednia wartoœæ oko³o 34% w ka dym zestawie danych potwierdza, i wygenerowane problemy testowe nie by³y trywialne, a spe³nienie warunków braku subsydiowania kosztów wymaga³o poniesienia dodatkowych kosztów przez podmioty. 5. Podsumowanie Brak rozwi¹zañ w rdzeniu gry koopertywnej modeluj¹cej pewien problem alokacji kosztów powoduje, i wyznaczanie alokacji wolnej od subsydiowania wymaga relaksacji warunków na dok³adny podzia³ ca³kowitych kosztów. Alokacjê woln¹ od subsydiowania, ale niedok³adn¹ w sensie warunku (2) mo na uzyskaæ, rozwi¹zuj¹c zaproponowany wielokryterialny model MASIT. Dziêki zastosowaniu wyrównuj¹co racjonalnej relacji preferencji, spoœród rozwi¹zañ efektywnych problemu MASIT preferowane s¹ rozwi¹zania jednakowo traktuj¹ce podmioty o podobnym wp³ywie na ³¹czne koszty przedsiêwziêcia. Jak pokazaliœmy w eksperymentach obliczeniowych, uzyskany model mo e byæ efektywnie rozwi¹zywany technik¹ generacji kolumn. Sformu³owane zadanie podrzêdne dotyczy³o problemu transportowego, lecz analogiczne podejœcie mo e byæ zastosowane do innych gier z klasy LP-games. Nale y zaznaczyæ, i praktycznie wszystkie inne teoriogrowe metody alokacji kosztów nie uwzglêdniaj¹ warunków braku subsydiowania w rozwa anym przypadku gry kooperatywnej, jak równie wiele z nich nie jest w stanie wydajnie rozwi¹zywaæ problemów dla tak znacznej liczby graczy. Literatura [1] Curiel I., Derks J., Tijs S.H., On balanced games and games with committee control. OR Spektrum, 11, 1989, [2] Dubey P., Shapley L.S., Totally balanced games arising from controlled programming problems. Math. Programming, 29, 1984, [3] Gamble A.B., Pazgal A.I., A Linear Programming Framework for Network Games. Discussion Papers 1119, Northwestern University, Center for Mathematical Studies in Economics and Management Sci., 1995.
9 Alokacja kosztów bez subsydiowania w grach kooperatywnych [4] Granot D., A generalized linear production model: a unifying model. Math. Prog., 34, 1986, [5] Kaleta M., Toczy³owski E., Computing the Path Generated Cost allocations for the Generlaized LP Games. Rozdzia³ [w:] Badania operacyjne i systemowe: decyzje, gospodarka, kapita³ ludzki i jakoœæ, 2008, [6] Kaleta M., Subsidize-free cost allocation method for infrastructure market game. Proceedings of 13th IEEE International Conference on Methods and Models in Automation and Robotics, 2007, [7] Kostreva M.M., Ogryczak W., Linear Optimization with Multiple Equitable Criteria. RAIRO Rech. Opér., 33, 1999, [8] Leng M., Parlar M., Game theoretic applications in supply chain management: A review. Infor 43(3), 2005, [9] Ogryczak W., Œliwiñski T., On solving linear programs with the ordered weighted averaging obejctive. European Journal of Operational Research, vol. 148, 2003, [10] Owen G., On the Core of Linear Production Games. Mathematical Programming, vol. 9, 1975, [11] Samet D., Tauman Y., Zang I., An application of the aumann-shapley prices for cost allocation in transportation problems. Mathematics of Operations Research, 9(1), 1984, [12] Yager R.R., On ordered weighted averaging aggreagation operators in multicriteria decision making. IEEE Transactions on Systems Man and Cybernetics, vol. 18, 1988,
(wymiar macierzy trójk¹tnej jest równy liczbie elementów na g³ównej przek¹tnej). Z twierdzen 1 > 0. Zatem dla zale noœci
56 Za³ó my, e twierdzenie jest prawdziwe dla macierzy dodatnio okreœlonej stopnia n 1. Macierz A dodatnio okreœlon¹ stopnia n mo na zapisaæ w postaci n 1 gdzie A n 1 oznacza macierz dodatnio okreœlon¹
Bardziej szczegółowoRys Mo liwe postacie funkcji w metodzie regula falsi
5.3. Regula falsi i metoda siecznych 73 Rys. 5.1. Mo liwe postacie funkcji w metodzie regula falsi Rys. 5.2. Przypadek f (x), f (x) > w metodzie regula falsi 74 V. Równania nieliniowe i uk³ady równañ liniowych
Bardziej szczegółowoIV. UK ADY RÓWNAÑ LINIOWYCH
IV. UK ADY RÓWNAÑ LINIOWYCH 4.1. Wprowadzenie Uk³ad równañ liniowych gdzie A oznacza dan¹ macierz o wymiarze n n, a b dany n-elementowy wektor, mo e byæ rozwi¹zany w skoñczonej liczbie kroków za pomoc¹
Bardziej szczegółowoAnaliza motywacyjnie zgodnych decyzji w wielokryterialnym przetargu
AUTOMATYKA 2011 Tom 15 Zeszyt 2 Lech Kruœ*, Jan Skorupiñski**, Eugeniusz Toczy³owski** Analiza motywacyjnie zgodnych decyzji w wielokryterialnym przetargu 1. Wprowadzenie Prezentowana praca wykonywana
Bardziej szczegółowoPodstawowe działania w rachunku macierzowym
Podstawowe działania w rachunku macierzowym Marcin Detka Katedra Informatyki Stosowanej Kielce, Wrzesień 2004 1 MACIERZE 1 1 Macierze Macierz prostokątną A o wymiarach m n (m wierszy w n kolumnach) definiujemy:
Bardziej szczegółowo1. Rozwiązać układ równań { x 2 = 2y 1
Dzień Dziecka z Matematyką Tomasz Szymczyk Piotrków Trybunalski, 4 czerwca 013 r. Układy równań szkice rozwiązań 1. Rozwiązać układ równań { x = y 1 y = x 1. Wyznaczając z pierwszego równania zmienną y,
Bardziej szczegółowogdy wielomian p(x) jest podzielny bez reszty przez trójmian kwadratowy x rx q. W takim przypadku (5.10)
5.5. Wyznaczanie zer wielomianów 79 gdy wielomian p(x) jest podzielny bez reszty przez trójmian kwadratowy x rx q. W takim przypadku (5.10) gdzie stopieñ wielomianu p 1(x) jest mniejszy lub równy n, przy
Bardziej szczegółowoTemat: Funkcje. Własności ogólne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1
Temat: Funkcje. Własności ogólne A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1 Kody kolorów: pojęcie zwraca uwagę * materiał nieobowiązkowy A n n a R a
Bardziej szczegółowoProblemy optymalizacyjne - zastosowania
Problemy optymalizacyjne - zastosowania www.qed.pl/ai/nai2003 PLAN WYKŁADU Zło ono obliczeniowa - przypomnienie Problemy NP-zupełne klika jest NP-trudna inne problemy NP-trudne Inne zadania optymalizacyjne
Bardziej szczegółowoSYMULACJA STOCHASTYCZNA W ZASTOSOWANIU DO IDENTYFIKACJI FUNKCJI GÊSTOŒCI PRAWDOPODOBIEÑSTWA WYDOBYCIA
Górnictwo i Geoin ynieria Rok 29 Zeszyt 4 2005 Ryszard Snopkowski* SYMULACJA STOCHASTYCZNA W ZASTOSOWANIU DO IDENTYFIKACJI FUNKCJI GÊSTOŒCI PRAWDOPODOBIEÑSTWA WYDOBYCIA 1. Wprowadzenie W monografii autora
Bardziej szczegółowoDE-WZP.261.11.2015.JJ.3 Warszawa, 2015-06-15
DE-WZP.261.11.2015.JJ.3 Warszawa, 2015-06-15 Wykonawcy ubiegający się o udzielenie zamówienia Dotyczy: postępowania prowadzonego w trybie przetargu nieograniczonego na Usługę druku książek, nr postępowania
Bardziej szczegółowoKatowice, dnia 29 wrzeœnia 2006 r. Nr 15 ZARZ DZENIE PREZESA WY SZEGO URZÊDU GÓRNICZEGO
DZIENNIK URZÊDOWY WY SZEGO URZÊDU GÓRNICZEGO Katowice, dnia 29 wrzeœnia 2006 r. Nr 15 TREŒÆ: Poz.: ZARZ DZENIE PREZESA WY SZEGO URZÊDU GÓRNICZEGO 81 nr 6 z dnia 29 sierpnia 2006 r. zmieniaj¹ce zarz¹dzenie
Bardziej szczegółowoStatystyczna analiza danych w programie STATISTICA. Dariusz Gozdowski. Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW
Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA ( 4 (wykład Dariusz Gozdowski Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW Regresja prosta liniowa Regresja prosta jest
Bardziej szczegółowoWitold Bednarek. Konkurs matematyczny w gimnazjum Przygotuj siê sam!
Witold Bednarek Konkurs matematyczny w gimnazjum Przygotuj siê sam! OPOLE Wydawnictwo NOWIK Sp.j. 2012 Spis treœci Od autora......................................... 4 Rozgrzewka.......................................
Bardziej szczegółowoIII. INTERPOLACJA Ogólne zadanie interpolacji. Niech oznacza funkcjê zmiennej x zale n¹ od n + 1 parametrów tj.
III. INTERPOLACJA 3.1. Ogólne zadanie interpolacji Niech oznacza funkcjê zmiennej x zale n¹ od n + 1 parametrów tj. Definicja 3.1. Zadanie interpolacji polega na okreœleniu parametrów tak, eby dla n +
Bardziej szczegółowoPRAWA ZACHOWANIA. Podstawowe terminy. Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc
PRAWA ZACHOWANIA Podstawowe terminy Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc a) si wewn trznych - si dzia aj cych na dane cia o ze strony innych
Bardziej szczegółowo(0) (1) (0) Teoretycznie wystarczy wzi¹æ dowoln¹ macierz M tak¹, by (M) < 1, a nastêpnie obliczyæ wektor (4.17)
4.6. Metody iteracyjne 65 Z definicji tej wynika, e istnieje skalar, taki e Av = v. Liczbê nazywamy wartoœci¹ w³asn¹ macierzy A. Wartoœci w³asne macierzy A s¹ pierwiastkami wielomianu charakterystycznego
Bardziej szczegółowoInnym wnioskiem z twierdzenia 3.10 jest
38 Innym wnioskiem z twierdzenia 3.10 jest Wniosek 3.2. Jeœli funkcja f ma ci¹g³¹ pochodn¹ rzêdu n + 1 na odcinku [a, b] zawieraj¹cym wêz³y rzeczywiste x i (i = 0, 1,..., k) i punkt x, to istnieje wartoœæ
Bardziej szczegółowoInstalacja. Zawartość. Wyszukiwarka. Instalacja... 1. Konfiguracja... 2. Uruchomienie i praca z raportem... 4. Metody wyszukiwania...
Zawartość Instalacja... 1 Konfiguracja... 2 Uruchomienie i praca z raportem... 4 Metody wyszukiwania... 6 Prezentacja wyników... 7 Wycenianie... 9 Wstęp Narzędzie ściśle współpracujące z raportem: Moduł
Bardziej szczegółowoWarszawa: Dostawa kalendarzy na rok 2017 Numer ogłoszenia: 41127-2016; data zamieszczenia: 15.04.2016 OGŁOSZENIE O ZAMÓWIENIU - dostawy
Strona 1 z 5 Adres strony internetowej, na której Zamawiający udostępnia Specyfikację Istotnych Warunków Zamówienia: www.knf.gov.pl/o_nas/urzad_komisji/zamowienia_publiczne/zam_pub_pow/index.html Warszawa:
Bardziej szczegółowobiuro@cloudtechnologies.pl www.cloudtechnologies.pl Projekty uchwał dla Zwyczajnego Walnego Zgromadzenia
Warszawa, 11 kwietnia 2016 roku Projekty uchwał dla Zwyczajnego Walnego Zgromadzenia w sprawie przyjęcia porządku obrad Zwyczajne Walne Zgromadzenie przyjmuje następujący porządek obrad: 1. Otwarcie Zgromadzenia,
Bardziej szczegółowo2.Prawo zachowania masy
2.Prawo zachowania masy Zdefiniujmy najpierw pewne podstawowe pojęcia: Układ - obszar przestrzeni o określonych granicach Ośrodek ciągły - obszar przestrzeni którego rozmiary charakterystyczne są wystarczająco
Bardziej szczegółowoProjektowanie procesów logistycznych w systemach wytwarzania
GABRIELA MAZUR ZYGMUNT MAZUR MAREK DUDEK Projektowanie procesów logistycznych w systemach wytwarzania 1. Wprowadzenie Badania struktury kosztów logistycznych w wielu krajach wykaza³y, e podstawowym ich
Bardziej szczegółowoRudniki, dnia 10.02.2016 r. Zamawiający: PPHU Drewnostyl Zenon Błaszak Rudniki 5 64-330 Opalenica NIP 788-000-22-12 ZAPYTANIE OFERTOWE
Zamawiający: Rudniki, dnia 10.02.2016 r. PPHU Drewnostyl Zenon Błaszak Rudniki 5 64-330 Opalenica NIP 788-000-22-12 ZAPYTANIE OFERTOWE W związku z planowaną realizacją projektu pn. Rozwój działalności
Bardziej szczegółowoModele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania
Politechnika Poznańska Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Joanna Józefowska POZNAŃ 1/11 Spis treści Rozdział 1. Zagadnienie transportowe................... 5 1.1.
Bardziej szczegółowoZapytanie ofertowe nr 3
I. ZAMAWIAJĄCY STUDIUM JĘZYKÓW OBCYCH M. WAWRZONEK I SPÓŁKA s.c. ul. Kopernika 2 90-509 Łódź NIP: 727-104-57-16, REGON: 470944478 Zapytanie ofertowe nr 3 II. OPIS PRZEDMIOTU ZAMÓWIENIA Przedmiotem zamówienia
Bardziej szczegółowoSmart Beta Święty Graal indeksów giełdowych?
Smart Beta Święty Graal indeksów giełdowych? Agenda Smart Beta w Polsce Strategie heurystyczne i optymalizacyjne Strategie fundamentalne Portfel losowy 2 Agenda Smart Beta w Polsce Strategie heurystyczne
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE TRANSPORTOWE
ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT jest specyficznym problemem z zakresu zastosowań programowania liniowego. ZT wykorzystuje się najczęściej do: optymalnego planowania transportu towarów, przy minimalizacji kosztów,
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA 4 INSTYTUT MEDICUS FUNKCJA KWADRATOWA. Kurs przygotowawczy na studia medyczne. Rok szkolny 2010/2011. tel. 0501 38 39 55 www.medicus.edu.
INSTYTUT MEDICUS Kurs przygotowawczy na studia medyczne Rok szkolny 00/0 tel. 050 38 39 55 www.medicus.edu.pl MATEMATYKA 4 FUNKCJA KWADRATOWA Funkcją kwadratową lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI
Miejsce na naklejkê z kodem (Wpisuje zdaj¹cy przed rozpoczêciem pracy) KOD ZDAJ CEGO MIN-W2A1P-021 EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI Instrukcja dla zdaj¹cego Czas pracy 120 minut 1. Proszê sprawdziæ, czy
Bardziej szczegółowoModele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania
Przedmiot: Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Nr ćwiczenia: 2 Temat: Problem transportowy Cel ćwiczenia: Nabycie umiejętności formułowania zagadnienia transportowego
Bardziej szczegółowoAdres strony internetowej, na której Zamawiający udostępnia Specyfikację Istotnych Warunków Zamówienia: zrd.poznan.pl; bip.poznan.
Adres strony internetowej, na której Zamawiający udostępnia Specyfikację Istotnych Warunków Zamówienia: zrd.poznan.pl; bip.poznan.pl Poznań: Dostawa w formie leasingu operacyjnego fabrycznie nowej frezarki
Bardziej szczegółowoWyk³ad INTERPOLACJA.
Wyk³ad 1. 3.10.2003 INTERPOLACJA. G³ównym zadaniem interpolacji jest wyznaczenie mo liwie szybki sposób wartoœci funkcji f(x) dla zmiennej niezale nej x, która nie nale y do tablicy danych (x i,y i ).
Bardziej szczegółowoAdres strony internetowej, na której Zamawiający udostępnia Specyfikację Istotnych Warunków Zamówienia: www.mcs-przychodnia.pl
Adres strony internetowej, na której Zamawiający udostępnia Specyfikację Istotnych Warunków Zamówienia: www.mcs-przychodnia.pl Warszawa: Dostawa materiałów i wypełnień stomatologicznych dla Mazowieckiego
Bardziej szczegółowoSPECYFIKACJA ISTOTNYCH WARUNKÓW ZAMÓWIENIA DLA PRZETARGU NIEOGRANICZONEGO CZĘŚĆ II OFERTA PRZETARGOWA
Powiat Wrocławski z siedzibą władz przy ul. Kościuszki 131, 50-440 Wrocław, tel/fax. 48 71 72 21 740 SPECYFIKACJA ISTOTNYCH WARUNKÓW ZAMÓWIENIA DLA PRZETARGU NIEOGRANICZONEGO CZĘŚĆ II OFERTA PRZETARGOWA
Bardziej szczegółowo14.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe.
Matematyka 4/ 4.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe. I. Przypomnij sobie:. Wiadomości z poprzedniej lekcji... Że przy rozwiązywaniu zadań tekstowych wykorzystujących
Bardziej szczegółowoart. 488 i n. ustawy z dnia 23 kwietnia 1964 r. Kodeks cywilny (Dz. U. Nr 16, poz. 93 ze zm.),
Istota umów wzajemnych Podstawa prawna: Księga trzecia. Zobowiązania. Dział III Wykonanie i skutki niewykonania zobowiązań z umów wzajemnych. art. 488 i n. ustawy z dnia 23 kwietnia 1964 r. Kodeks cywilny
Bardziej szczegółowoLiczba stron: 3. Prosimy o niezwłoczne potwierdzenie faktu otrzymania niniejszego pisma.
Dotyczy: Zamówienia publicznego nr PN/4/2014, którego przedmiotem jest Zakup energii elektrycznej dla obiektów Ośrodka Sportu i Rekreacji m. st. Warszawy w Dzielnicy Ursus. Liczba stron: 3 Prosimy o niezwłoczne
Bardziej szczegółowoZAPYTANIE OFERTOWE nr 4/KadryWM13
Białystok, dn. 16.01.2014r. ZAPYTANIE OFERTOWE nr 4/KadryWM13 DOTYCZY: postępowania opartego na zasadzie konkurencyjności mającego na celu wyłonienie najkorzystniejszej oferty dotyczącej realizacji szkoleń
Bardziej szczegółowoAdres strony internetowej, na której Zamawiający udostępnia Specyfikację Istotnych Warunków Zamówienia: www.wup.pl/index.php?
1 z 6 2013-10-03 14:58 Adres strony internetowej, na której Zamawiający udostępnia Specyfikację Istotnych Warunków Zamówienia: www.wup.pl/index.php?id=221 Szczecin: Usługa zorganizowania szkolenia specjalistycznego
Bardziej szczegółowoTABELA ZGODNOŚCI. W aktualnym stanie prawnym pracodawca, który przez okres 36 miesięcy zatrudni osoby. l. Pornoc na rekompensatę dodatkowych
-...~.. TABELA ZGODNOŚCI Rozporządzenie Komisji (UE) nr 651/2014 z dnia 17 czerwca 2014 r. uznające niektóre rodzaje pomocy za zgodne z rynkiem wewnętrznym w zastosowaniu art. 107 i 108 Traktatu (Dz. Urz.
Bardziej szczegółowoMinimalne wymagania odnośnie przedmiotu zamówienia zawarto w punkcie I niniejszego zapytania.
Lubań, 12.06.2011 r. ZAPYTANIE OFERTOWE na projekt współfinansowany przez Unie Europejską z Europejskiego Funduszu Rozwoju Regionalnego oraz z budżetu państwa w ramach Regionalnego Programu Operacyjnego
Bardziej szczegółowoKLAUZULE ARBITRAŻOWE
KLAUZULE ARBITRAŻOWE KLAUZULE arbitrażowe ICC Zalecane jest, aby strony chcące w swych kontraktach zawrzeć odniesienie do arbitrażu ICC, skorzystały ze standardowych klauzul, wskazanych poniżej. Standardowa
Bardziej szczegółowoMechanizm zawarty w warunkach zamówienia podstawowego. Nie wymaga aneksu do umowy albo udzielenia nowego zamówienia. -
Załącznik nr 1a Lista sprawdzająca dot. ustalenia stosowanego trybu zwiększenia wartości zamówień podstawowych na roboty budowlane INFORMACJE PODLEGAJĄCE SPRAWDZENIU Analiza ryzyka Działanie Uwagi Czy
Bardziej szczegółowoL A K M A R. Rega³y DE LAKMAR
Rega³y DE LAKMAR Strona 2 I. KONSTRUKCJA REGA ÓW 7 1 2 8 3 4 1 5 6 Rys. 1. Rega³ przyœcienny: 1 noga, 2 ty³, 3 wspornik pó³ki, 4pó³ka, 5 stopka, 6 os³ona dolna, 7 zaœlepka, 8 os³ona górna 1 2 3 4 9 8 1
Bardziej szczegółowoAdres strony internetowej, na której Zamawiający udostępnia Specyfikację Istotnych Warunków Zamówienia: www.zozbrodnica.pl
1 z 7 2015-07-13 08:48 Adres strony internetowej, na której Zamawiający udostępnia Specyfikację Istotnych Warunków Zamówienia: www.zozbrodnica.pl Brodnica: Dostawa implantów i materiałów ortopedycznych,
Bardziej szczegółowoPodstawy programowania
Podstawy programowania Elementy algorytmiki C w środowisku.e (C#) dr inŝ. Grzegorz Zych Copernicanum, pok. 104 lub 206a 1 Minimum programowe reści kształcenia: Pojęcie algorytmu. Podstawowe konstrukcje
Bardziej szczegółowoINSTRUKCJA DLA UCZESTNIKÓW ZAWODÓW ZADANIA
INSTRUKCJA DLA UCZESTNIKÓW ZAWODÓW 1. Zawody III stopnia trwają 150 min. 2. Arkusz egzaminacyjny składa się z 2 pytań otwartych o charakterze problemowym, 1 pytania opisowego i 1 mini testu składającego
Bardziej szczegółowoOgólna charakterystyka kontraktów terminowych
Jesteś tu: Bossa.pl Kurs giełdowy - Część 10 Ogólna charakterystyka kontraktów terminowych Kontrakt terminowy jest umową pomiędzy dwiema stronami, z których jedna zobowiązuje się do nabycia a druga do
Bardziej szczegółowoBielsko-Biała, dn. 10.02.2015 r. Numer zapytania: R36.1.089.2015. WAWRZASZEK ISS Sp. z o.o. ul. Leszczyńska 22 43-300 Bielsko-Biała ZAPYTANIE OFERTOWE
Bielsko-Biała, dn. 10.02.2015 r. Numer zapytania: R36.1.089.2015 WAWRZASZEK ISS Sp. z o.o. ul. Leszczyńska 22 43-300 Bielsko-Biała ZAPYTANIE OFERTOWE W związku realizacją projektu badawczo-rozwojowego
Bardziej szczegółowoRegulamin oferty Taniej z Energą
Regulamin oferty Taniej z Energą ROZDZIAŁ I POSTANOWIENIA OGÓLNE 1. Niniejszy Regulamin określa zasady i warunki skorzystania z oferty Taniej z Energą (zwanej dalej Ofertą) dla Odbiorców, którzy w okresie
Bardziej szczegółowoSpis treœci WSTÊP...9
Spis treœci 5 Spis treœci WSTÊP...9 1. WYBRANE ELEMENTY TEORII GRAFÓW...11 1.1 Wstêp...13 1.2 Grafy nieskierowane...15 1.3 Grafy skierowane...23 1.4 Sk³adowe dwuspójne...31 1.5 Zastosowanie teorii grafów
Bardziej szczegółowoI. 1) NAZWA I ADRES: Muzeum Warszawy, Rynek Starego Miasta 28-42, 00-272 Warszawa, woj. mazowieckie, tel. +48 22 596 67 11, faks +48 22 596 67 20.
Warszawa: dostawa toreb i kubków papierowych z logo Muzeum Warszawy Numer ogłoszenia: 66360-2016; data zamieszczenia: 23.03.2016 OGŁOSZENIE O ZAMÓWIENIU - dostawy Zamieszczanie ogłoszenia: obowiązkowe.
Bardziej szczegółowoProjektowanie bazy danych
Projektowanie bazy danych Pierwszą fazą tworzenia projektu bazy danych jest postawienie definicji celu, założeo wstępnych i określenie podstawowych funkcji aplikacji. Każda baza danych jest projektowana
Bardziej szczegółowoZAPYTANIE OFERTOWE z dnia 03.12.2015r
ZAPYTANIE OFERTOWE z dnia 03.12.2015r 1. ZAMAWIAJĄCY HYDROPRESS Wojciech Górzny ul. Rawska 19B, 82-300 Elbląg 2. PRZEDMIOT ZAMÓWIENIA Przedmiotem Zamówienia jest przeprowadzenie usługi indywidualnego audytu
Bardziej szczegółowoGdynia: Księgowość od podstaw Numer ogłoszenia: 60337-2012; data zamieszczenia: 15.03.2012 OGŁOSZENIE O ZAMÓWIENIU - usługi
1 z 5 2012-03-15 12:05 Adres strony internetowej, na której Zamawiający udostępnia Specyfikację Istotnych Warunków Zamówienia: www.pupgdynia.pl Gdynia: Księgowość od podstaw Numer ogłoszenia: 60337-2012;
Bardziej szczegółowoRozdział 6. KONTROLE I SANKCJE
Rozdział 6. KONTROLE I SANKCJE 6.1. AUDYT I KONTROLE FINANSOWE Komisja w czasie realizacji projektu i do 5 lat po jego zakończeniu może zlecić przeprowadzenie audytu finansowego. Audyt może obejmować:
Bardziej szczegółowoRozdział 6. Pakowanie plecaka. 6.1 Postawienie problemu
Rozdział 6 Pakowanie plecaka 6.1 Postawienie problemu Jak zauważyliśmy, szyfry oparte na rachunku macierzowym nie są przerażająco trudne do złamania. Zdecydowanie trudniejszy jest kryptosystem oparty na
Bardziej szczegółowoModele optymalizacyjne wspomagania decyzji wytwórców na rynku energii elektrycznej
Modele optymalizacyjne wspomagania decyzji wytwórców na rynku energii elektrycznej mgr inż. Izabela Żółtowska Promotor: prof. dr hab. inż. Eugeniusz Toczyłowski Obrona rozprawy doktorskiej 5 grudnia 2006
Bardziej szczegółowoProgram szkoleniowy Efektywni50+ Moduł III Standardy wymiany danych
Program szkoleniowy Efektywni50+ Moduł III 1 Wprowadzenie do zagadnienia wymiany dokumentów. Lekcja rozpoczynająca moduł poświęcony standardom wymiany danych. Wprowadzenie do zagadnień wymiany danych w
Bardziej szczegółowoWarunki Oferty PrOmOcyjnej usługi z ulgą
Warunki Oferty PrOmOcyjnej usługi z ulgą 1. 1. Opis Oferty 1.1. Oferta Usługi z ulgą (dalej Oferta ), dostępna będzie w okresie od 16.12.2015 r. do odwołania, jednak nie dłużej niż do dnia 31.03.2016 r.
Bardziej szczegółowoRegulamin Konkursu Start up Award 9. Forum Inwestycyjne 20-21 czerwca 2016 r. Tarnów. Organizatorzy Konkursu
Regulamin Konkursu Start up Award 9. Forum Inwestycyjne 20-21 czerwca 2016 r. Tarnów 1 Organizatorzy Konkursu 1. Organizatorem Konkursu Start up Award (Konkurs) jest Fundacja Instytut Studiów Wschodnich
Bardziej szczegółowoNa podstawie art.4 ust.1 i art.20 lit. l) Statutu Walne Zebranie Stowarzyszenia uchwala niniejszy Regulamin Zarządu.
Na podstawie art.4 ust.1 i art.20 lit. l) Statutu Walne Zebranie Stowarzyszenia uchwala niniejszy Regulamin Zarządu Regulamin Zarządu Stowarzyszenia Przyjazna Dolina Raby Art.1. 1. Zarząd Stowarzyszenia
Bardziej szczegółowoZapytanie ofertowe. (do niniejszego trybu nie stosuje się przepisów Ustawy Prawo Zamówień Publicznych)
Kraków, dn. 15 września 2015 r. Zapytanie ofertowe (do niniejszego trybu nie stosuje się przepisów Ustawy Prawo Zamówień Publicznych) W związku z realizacją przez Wyższą Szkołę Europejską im. ks. Józefa
Bardziej szczegółowoAdres strony internetowej, na której Zamawiający udostępnia Specyfikację Istotnych Warunków Zamówienia: www.namyslow.pl
Page 1 of 5 Adres strony internetowej, na której Zamawiający udostępnia Specyfikację Istotnych Warunków Zamówienia: www.namyslow.pl Namysłów: Zakup i dostawa gadżetów promocyjnych z nadrukiem i/lub grawerem.
Bardziej szczegółowoRekompensowanie pracy w godzinach nadliczbowych
Rekompensowanie pracy w godzinach nadliczbowych PRACA W GODZINACH NADLICZBOWYCH ART. 151 1 K.P. Praca wykonywana ponad obowiązujące pracownika normy czasu pracy, a także praca wykonywana ponad przedłużony
Bardziej szczegółowoLublin, 19.07.2013. Zapytanie ofertowe
Lublin, 19.07.2013 Zapytanie ofertowe na wyłonienie wykonawcy/dostawcy 1. Wartości niematerialne i prawne a) System zarządzania magazynem WMS Asseco SAFO, 2. usług informatycznych i technicznych związanych
Bardziej szczegółowoArkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu.
Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu. Uk ad graficzny CKE 2010 KOD WPISUJE ZDAJ CY PESEL Miejsce na naklejk z kodem EGZAMIN MATURALNY
Bardziej szczegółowoMetoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010
R. Rȩbowski 1 WPROWADZENIE Metoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010 1 Wprowadzenie Powszechnie uważa siȩ, że metoda simplex, jako uniwersalny algorytm pozwalaj acyznaleźć rozwi azanie optymalne
Bardziej szczegółowoWsparcie wykorzystania OZE w ramach RPO WL 2014-2020
Wsparcie wykorzystania OZE w ramach RPO WL 2014-2020 Zarys finansowania RPO WL 2014-2020 Na realizację Regionalnego Programu Operacyjnego Województwa Lubelskiego na lata 2014-2020 przeznaczono łączną kwotę
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Bayesa. Indukowane Reguły Decyzyjne Jakub Kuliński Nr albumu: 53623
Twierdzenie Bayesa Indukowane Reguły Decyzyjne Jakub Kuliński Nr albumu: 53623 Niniejszy skrypt ma na celu usystematyzowanie i uporządkowanie podstawowej wiedzy na temat twierdzenia Bayesa i jego zastosowaniu
Bardziej szczegółowoPrzedmowa Czêœæ pierwsza. Podstawy frontalnych automatów komórkowych... 11
Spis treœci Przedmowa... 9 Czêœæ pierwsza. Podstawy frontalnych automatów komórkowych... 11 1. Wstêp... 13 1.1. Rys historyczny... 14 1.2. Klasyfikacja automatów... 18 1.3. Automaty komórkowe a modelowanie
Bardziej szczegółowoJakie są te obowiązki wg MSR 41 i MSR 1, a jakie są w tym względzie wymagania ustawy o rachunkowości?
Jakie są te obowiązki wg MSR 41 i MSR 1, a jakie są w tym względzie wymagania ustawy o rachunkowości? Obowiązki sprawozdawcze według ustawy o rachunkowości i MSR 41 Przepisy ustawy o rachunkowości w zakresie
Bardziej szczegółowoDr inż. Andrzej Tatarek. Siłownie cieplne
Dr inż. Andrzej Tatarek Siłownie cieplne 1 Wykład 3 Sposoby podwyższania sprawności elektrowni 2 Zwiększenie sprawności Metody zwiększenia sprawności elektrowni: 1. podnoszenie temperatury i ciśnienia
Bardziej szczegółowoGie³da Papierów Wartoœciowych w Warszawie S.A.
Gie³da Papierów Wartoœciowych w Warszawie S.A. (spó³ka akcyjna z siedzib¹ w Warszawie przy ul. Ksi¹ êcej 4, zarejestrowana w rejestrze przedsiêbiorców Krajowego Rejestru S¹dowego pod numerem 0000082312)
Bardziej szczegółowoNowy Serwis Pstr gowy. Analiza Rynku Producentów Ryb ososiowatych
Nowy Serwis Pstr gowy Analiza Rynku Producentów Ryb ososiowatych Spis Tre ci Za enia Nowego Serwisu Historia Serwisu Pstr gowego Problemy Nowego Serwisu Pstr gowego Pozyskiwanie Danych ci galno danych
Bardziej szczegółowoStanowisko Rzecznika Finansowego i Prezesa Urzędu Ochrony Konkurencji i Konsumentów w sprawie interpretacji art. 49 ustawy o kredycie konsumenckim
Prezes Urzędu Ochrony Konkurencji i Konsumentów Warszawa, 16 maja 2016 r. Stanowisko Rzecznika Finansowego i Prezesa Urzędu Ochrony Konkurencji i Konsumentów w sprawie interpretacji art. 49 ustawy o kredycie
Bardziej szczegółowoZapytanie ofertowe dotyczące wyboru wykonawcy (biegłego rewidenta) usługi polegającej na przeprowadzeniu kompleksowego badania sprawozdań finansowych
Zapytanie ofertowe dotyczące wyboru wykonawcy (biegłego rewidenta) usługi polegającej na przeprowadzeniu kompleksowego badania sprawozdań finansowych Data publikacji 2016-04-29 Rodzaj zamówienia Tryb zamówienia
Bardziej szczegółowoFormy zatrudnienia zarządu spółki kapitałowej. Aspekty prawne, podatkowe i ubezpieczeniowe. Zawiera wzory pism
Formy zatrudnienia zarządu spółki kapitałowej. Aspekty prawne, podatkowe i ubezpieczeniowe. Zawiera wzory pism Agnieszka Kowalska,,, Artur Kowalski Publikacja stanowi kompendium wiedzy na 2010 rok dotyczące
Bardziej szczegółowoAdres strony internetowej, na której Zamawiający udostępnia Specyfikację Istotnych Warunków Zamówienia: www.kcer.pl
Adres strony internetowej, na której Zamawiający udostępnia Specyfikację Istotnych Warunków Zamówienia: www.kcer.pl Brwinów: Dostawa materiałów papierniczo-piśmienniczych dla uczniów Numer ogłoszenia:
Bardziej szczegółowoRozdzia 5. Uog lniona metoda najmniejszych kwadrat w : ::::::::::::: Podstawy uog lnionej metody najmniejszych kwadrat w :::::: Zastos
Spis tre ci PRZEDMOWA :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 11 CZ I. Wprowadzenie do modelowania ekonometrycznego ::::::::::: 13 Rozdzia 1. Modelowanie ekonometryczne ::::::::::::::::::::::::::::::
Bardziej szczegółowoAdres strony internetowej, na której Zamawiający udostępnia Specyfikację Istotnych Warunków Zamówienia: www.zsb.iq.pl
Adres strony internetowej, na której Zamawiający udostępnia Specyfikację Istotnych Warunków Zamówienia: www.zsb.iq.pl Braniewo: Pełnienie funkcji Koordynatora Projektu Priorytet: IX Rozwój wykształcenia
Bardziej szczegółowoAdres strony internetowej, na której Zamawiający udostępnia Specyfikację Istotnych Warunków Zamówienia: www.rops-katowice.pl
1 z 5 2014-09-19 09:17 Adres strony internetowej, na której Zamawiający udostępnia Specyfikację Istotnych Warunków Zamówienia: www.rops-katowice.pl Katowice: ROPS.ZPP.3321.28.2014 - Wybór osób prowadzących
Bardziej szczegółowoKOMISJA WSPÓLNOT EUROPEJSKICH. Wniosek DECYZJA RADY
KOMISJA WSPÓLNOT EUROPEJSKICH Bruksela, dnia 13.12.2006 KOM(2006) 796 wersja ostateczna Wniosek DECYZJA RADY w sprawie przedłużenia okresu stosowania decyzji 2000/91/WE upoważniającej Królestwo Danii i
Bardziej szczegółowoPOMIAR STRUMIENIA PRZEP YWU METOD ZWÊ KOW - KRYZA.
POMIAR STRUMIENIA PRZEP YWU METOD ZWÊ KOW - KRYZA. Do pomiaru strumienia przep³ywu w rurach metod¹ zwê kow¹ u ywa siê trzech typów zwê ek pomiarowych. S¹ to kryzy, dysze oraz zwê ki Venturiego. (rysunek
Bardziej szczegółowoKrótkoterminowe planowanie finansowe na przykładzie przedsiębiorstw z branży 42
Krótkoterminowe planowanie finansowe na przykładzie przedsiębiorstw z branży 42 Anna Salata 0 1. Zaproponowanie strategii zarządzania środkami pieniężnymi. Celem zarządzania środkami pieniężnymi jest wyznaczenie
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Liczba szkód w każdym z trzech kolejnych lat dla pewnego ubezpieczonego ma rozkład równomierny:
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 5.2.2008 r. Zadanie. Liczba szkód w każdym z trzech kolejnych lat dla pewnego ubezpieczonego ma rozkład równomierny: Pr ( N = k) = 0 dla k = 0,, K, 9. Liczby szkód w
Bardziej szczegółowoPK1.8201.1.2016 Panie i Panowie Dyrektorzy Izb Skarbowych Dyrektorzy Urzędów Kontroli Skarbowej wszyscy
Warszawa, dnia 03 marca 2016 r. RZECZPOSPOLITA POLSKA MINISTER FINANSÓW PK1.8201.1.2016 Panie i Panowie Dyrektorzy Izb Skarbowych Dyrektorzy Urzędów Kontroli Skarbowej wszyscy Działając na podstawie art.
Bardziej szczegółowoKOMISJA NADZORU FINANSOWEGO
KOMISJA NADZORU FINANSOWEGO PLAC POWSTAŃ CÓW WARSZAWY 1, 00-950 WARSZAWA WNIOSEK O ZATWIERDZENIE ANEKSU DO PROSPEKTU EMISYJNEGO zatwierdzonego w dniu 6 marca 2008 r. decyzją nr DEM/410/4/26/08 (Na podstawie
Bardziej szczegółowoAdres strony internetowej, na której Zamawiający udostępnia Specyfikację Istotnych Warunków Zamówienia: bip.koweziu.edu.pl
Adres strony internetowej, na której Zamawiający udostępnia Specyfikację Istotnych Warunków Zamówienia: bip.koweziu.edu.pl Warszawa: Produkcja 12 odcinków filmu animowanego na potrzeby projektu współfinansowanego
Bardziej szczegółowoZarz¹dzanie sieci¹ wielkopowierzchniowych sklepów samoobs³ugowych
AUTOMATYKA 2005 Tom 9 Zeszyt 3 Bogus³aw Filipowicz *, Joanna Kwiecieñ * Zarz¹dzanie sieci¹ wielkopowierzchniowych sklepów samoobs³ugowych. Wprowadzenie W ci¹gu ostatnich kilku lat nast¹pi³ znacz¹cy rozwój
Bardziej szczegółowoII.2) CZAS TRWANIA ZAMÓWIENIA LUB TERMIN WYKONANIA: Okres w miesiącach: 7.
Warszawa: Organizacja cyklu wyjazdów informacyjnych w ramach Regionalnego Programu Operacyjnego Województwa Mazowieckiego (RPO WM) w roku 2010 Numer ogłoszenia: 34595-2010; data zamieszczenia: 19.02.2010
Bardziej szczegółowoRegulamin Zarządu Pogórzańskiego Stowarzyszenia Rozwoju
Regulamin Zarządu Pogórzańskiego Stowarzyszenia Rozwoju Art.1. 1. Zarząd Pogórzańskiego Stowarzyszenia Rozwoju, zwanego dalej Stowarzyszeniem, składa się z Prezesa, dwóch Wiceprezesów, Skarbnika, Sekretarza
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych 12.10.2002 r.
Matematya ubezpieczeń majątowych.0.00 r. Zadanie. W pewnym portfelu ryzy ubezpieczycielowi udaje się reompensować sobie jedną trzecią wartości pierwotnie wypłaconych odszodowań w formie regresów. Oczywiście
Bardziej szczegółowoAdres strony internetowej, na której Zamawiający udostępnia Specyfikację Istotnych Warunków Zamówienia: przetargi.bip.uml.lodz.pl/
1 z 6 2016-04-22 14:22 Adres strony internetowej, na której Zamawiający udostępnia Specyfikację Istotnych Warunków Zamówienia: przetargi.bip.uml.lodz.pl/ Łódź: Dostawa samochodów osobowych dla Urzędu Miasta
Bardziej szczegółowoOPIS PRZEDMIOTU ZAMÓWIENIA DO ZAPYTANIA KE1/POIG 8.2/13
Zapytanie ofertowe - Działanie PO IG 8.2 Warszawa, dnia 13.12.2013 r. OPIS PRZEDMIOTU ZAMÓWIENIA DO ZAPYTANIA KE1/POIG 8.2/13 ISTOTNE INFORMACJE O PROJEKCIE: Celem projektu "Wdrożenie zintegrowanego systemu
Bardziej szczegółowoPOSTANOWIENIA DODATKOWE DO OGÓLNYCH WARUNKÓW GRUPOWEGO UBEZPIECZENIA NA ŻYCIE KREDYTOBIORCÓW Kod warunków: KBGP30 Kod zmiany: DPM0004 Wprowadza się następujące zmiany w ogólnych warunkach grupowego ubezpieczenia
Bardziej szczegółowoZadania. SiOD Cwiczenie 1 ;
1. Niech A będzie zbiorem liczb naturalnych podzielnych przez 6 B zbiorem liczb naturalnych podzielnych przez 2 C będzie zbiorem liczb naturalnych podzielnych przez 5 Wyznaczyć zbiory A B, A C, C B, A
Bardziej szczegółowoOFERTA WYKŁADÓW, WARSZTATÓW I LABORATORIÓW DLA UCZNIÓW KLAS IV- VI SZKÓŁ PODSTAWOWYCH, GIMNAZJALNYCH I ŚREDNICH
OFERTA WYKŁADÓW, WARSZTATÓW I LABORATORIÓW DLA UCZNIÓW KLAS IV- VI SZKÓŁ PODSTAWOWYCH, GIMNAZJALNYCH I ŚREDNICH Strona 1 z 9 SPIS ZAJĘĆ WRAZ Z NAZWISKAMI WYKŁADOWCÓW dr hab. Mieczysław Kula Poznaj swój
Bardziej szczegółowotel/fax 018 443 82 13 lub 018 443 74 19 NIP 7343246017 Regon 120493751
Zespół Placówek Kształcenia Zawodowego 33-300 Nowy Sącz ul. Zamenhoffa 1 tel/fax 018 443 82 13 lub 018 443 74 19 http://zpkz.nowysacz.pl e-mail biuro@ckp-ns.edu.pl NIP 7343246017 Regon 120493751 Wskazówki
Bardziej szczegółowo