Analiza Rynków Finansowych

Transkrypt

1 Analiza Rynków Finansowych Skrypt dla studentów Ekonofizyki Marek Łukaszewski i Marcin Kostur April

2

3 Spis treści 1 O autorach Marek Łukaszewski Marcin Kostur Wstęp 3 3 Wstęp techniczny czyli jak korzystać z części interaktywnych? Interaktywne komórki Sagecell Analiza danych rynkowych Zwroty względne, bezwzględne i log-zwroty Przykład analizy danych rynkowych Problem - analiza innych danych Zarzadzanie ryzykiem Narzędzia używane w zarządzaniu ryzykiem (finansowym)- rys historyczny Czym jest zarządzanie ryzykiem? Zarządzanie ryzykiem finansowym Natura ryzyka na rynkach finansowych Składowe procesu zarządzania ryzykiem Kontrolowanie ryzyka Opcje Podstawowe cechy opcji Opcja call i opcja put Terminologia rynku opcji Profile ryzyka w czterech przypadkach Jak zależy profil wypłaty od parametrów K,S? Wycena opcji Opcje i lekcja na ich temat, jaka wynika z kłopotów polskich firm z opcjami w roku Metody wyznaczania ceny opcji Jak wyznaczyć cenę opcji? Model minimalny - rynek dwustanowy jednookresowy i

4 7.3 Wycena opcji na drzewie binarnym Model ciągły Związek pomiędzy modelem ciągłym i binarnym Wzory Blacka Scholesa dla europejskiech opcji Call i Put Porównanie wyceny modelem binarnym i BS Analiza wrażliwości Wycena opcji Amerykańskiej modelami binarnymi i ciągłym Instrumenty syntetyczne Syntetyczny Put Syntetyczna pozycja Long Stock Syntetyczny Long Call Syntetyczna sprzedaż akcji Syntetyczna pozycja short Put Instrumenty syntetyczne Swapy Swaption - swapcja Struktura terminowa stóp procentowych Podstawowe zależności Krzywa dochodowości Modelowanie ewolucji stóp procentowych Krzywa dochodowości Hedging Hedging: cel operacji zabezpieczenia przed ryzykiem Ryzyko walutowe i ryzyko zmiany ceny Zabezpieczenie przy pomocy kontraktów Futures Przykład obliczeń hedgingu za pomocą kontraktów futures Hedging przy pomocy opcji Strategie opcyjne polegające na stosowaniu kombinacji opcji VaR Wstęp Kwantyle i percentyle VaR - metody obliczania Przykład - obliczenie VaR dla nieliniowej funkcji wyceny Metoda historyczna Metoda wariancji kowariancji Metoda Monte Carlo Porównanie Dodatek: Komputerowa analiza drzew binarnych Drzewa binarne ii

5 ROZDZIAŁ 1 O autorach 1.1 Marek Łukaszewski Absolwent Uniwersytetu Śląskiego, Uniwersytetu Quebec w Montrealu i Szkoły Głównej Handlowej w Warszawie. Doktor fizyki i Master of Business Administration. W dotychczasowej swej działalności tworzył od podstaw większość firm (10), w których pracował. M.in. tworzył pierwsze w Polsce, po wojnie, joint ventures partnerów prywatnych. Pełnił szereg funkcji menedżerskich m.in.: - Prezesa Zarządu Krajowego Funduszu Kapitałowego S.A., Prezesa Izby Zarządzających Funduszami i Aktywami, Prezesa Stowarzyszenia Towarzystw Funduszy Inwestycyjnych w Polsce. Prezesa Zarządu Górnośląskiego Towarzystwa Funduszy Inwestycyjnych SA. Wcześniej Wiceprezes Zarządu Funduszu Górnośląskiego S.A. i Wiceprezes Zarządu Międzynarodowej Szkoły Finansów i Bankowości w Katowicach. Związany z rynkiem kapitałowym od 1991 roku. Był również Członkiem i przewodniczył pracom Prezydium Porozumienia na rzecz rozwoju polskiego rynku kapitałowego, Członkiem Rady Rynku Kapitałowego (2004r), założycielem i członkiem Polskiego Instytutu Dyrektorów - instytucji dedykowanego sprawom Corporate Governance - czyli zasadom etyki w biznesie. Był także członkiem prezydium Komitetu Koordynującego przy Związku Banków Polskich do Spraw Standardów w Bankowości - uczestniczył w grupie eksperckiej w zakresie Rynku Pie- 1

6 niężnego i Kapitałowego. W Stowarzyszeniu Towarzystw Funduszy Inwerstycyjnych - przewodniczył Zespołowi ds. Standardów. 1.2 Marcin Kostur Marcin Kostur, fizyk, profesor nadzwyczajny Uniwersytetu Śląskiego. Stypendysta DAAD, Fundacji na Rzecz Nauki Polskiej. Pracował na Uniwersytetach w Anglii, Niemczech, USA i RPA. Laureat Center for Nanoscience w Monachium za publikację roku w 2007 i Zajmuje się badaniami układów złożonych począwszy od złącz Josephsona, syntetycznych nanoporów i motorów molekularnych po dynamikę płynów. Jest autorem ponad 50 prac naukowych. Ekspert w zakresie programowania równoległego, technologii GPU i chmurowych systemów obliczeniowych. Entuzjasta stosowania nowoczesnych metod komputerowych w edukacji i popularyzator nauki. Autor i lider projektu icse wdrażającego powszechne stosowanie systemu Sage i języka Python na Wydziale Matematyki Fizyki i Chemii Uniwersytetu Śląskiego. 2 Rozdział 1. O autorach

7 ROZDZIAŁ 2 Wstęp Niniejsze opracowanie jest oparte na zbiorze naszych materiałów przygotowanych w różnych formach dla studentów Ekonofizyki. Celem tego opracowania jest zainteresowanie studentów rynkami finansowymi, ich funkcjonowaniem i bezpiecznym korzystaniem z możliwości jakie stwarzają. Tematyka bezpieczeństwa na rynkach finansowych jest głównym motywem jaki przyświeca nam w prowadzonych zajęciach. Bezpieczeństwo rynków i etyka ich uczestników jest bowiem podstawą zaufania do tych rynków. Kwoty pieniężne transformowane przez instrumenty na rynkach finansowych to nie szeregi cyfr i ciekawe pomysły intelektualno matematyczne ale czyjeś ciężko zarobione pieniądze zabezpieczające przyszłość. Nadzieja na lepszą przyszłość, ambitne plany, marzenia i również bezpieczeństwo codziennego życia. Czyli należna jest im należyta troska i rozwaga oraz głęboko etyczne postępowanie z nimi. Ta rozwaga jest tez częścią limitowania ryzyka operacji i funkcjonowania rynków, częścią bezpieczeństwa rynków finansowych. Bezpieczeństwo tych rynków opiera się na zdrowym rozsądku, dobrej i dokładnej znajomości oraz rozumieniu funkcjonowania instrumentów i rynków finansowych. Temu celowi ma tez służyć niniejsze opracowanie. Forma jaka została nadana niniejszemu opracowaniu ma za zadanie usunąć pewna ujemną cechę klasycznej książki. Taka książka, bowiem, nie odpowiada na pytania czytającego, trudno z książka prowadzić dialog, trudno zadać książce pytanie co by było gdyby wziąć pod uwagę inne parametry? albo jak mogę zastosować te wiedze do mojej konkretnej potrzeby? Proponowana przez nas forma interaktywnej książki pozwala na bardzo aktywna i indywidualna współpracę z zawartością opracowania. Wykresy zależności w wielu miejscach pozwalają na interaktywne zmienianie parametrów zależności w celu obserwacji jak zależności te mogą zmieniać się w zależności od zmian wspomnianych parametrów. Podane kody komputerowe pozwalają na wyliczenia własnych przypadków czytelników. Literatura przedmiotu jest bardzo obszerna i ciągle się wzbogaca o nowe pozycje. Zainteresowanym polecamy następujące pozycje z których sami często korzystaliśmy: 1. David Blake: Financial Market Analysis, McGraw-Hill Book Comp.; 2. Stanley R. Pliska: Wprowadzenie do matematyki finansowej, WNT; 3. Maria Podgórska, Joanna Klimkowska: Matematyka finansowa, PWN; 4. Andrzej Sławiński: Rynki Finansowe PWE Warszawa 2006; 5. (a) Weron, R. Weron: Inżynieria Finansowa, WNT, Warszawa 2009; 3

8 6. S. Benninga, Z. Wiener, Mathematica in Education and Research Vol. 7 No. 1-4, (1998) oraz Vol.6 No. 3-4, (1997), (seria artykułów) 4 Rozdział 2. Wstęp

9 ROZDZIAŁ 3 Wstęp techniczny czyli jak korzystać z części interaktywnych? Skrypt ten kładzie szczególny praktyczny aspekt zrozumienia teorii rynków finansowych. Wychodzimy z założenia, że ćwiczenia w samodzielnej implementacji wielu algorytmów pozwolą na praktyczne sprawdzenie nabytej wiedzy teoretycznej. Nie podważamy tutaj istoty i piekna teorii matematycznych. Pragniemy jedynie podkreślić, że napisanie algorytmu wymaga nie tylko jej zrozumienia, ale i jest podwierdzemien poprawności toku rozumowania. Otrzymanie poprawnego wyniku liczbowego nie wybacza pomyłki. Samodzielne eksperymentowanie z komputerem pozwala na uzyskanie biegłości, która jest potrzebna gdy na osi odciętych jest przyszłość a na rzędnych prawdziwe pieniądze. Sage, jest pakietem otwartego oprogramowania opartym o język Python. Proponujemy wykorzystanie Sage do wizualizacji i analizy danych, przekształcania formuł i wykonywania symulacji numerycznych. Z systemu Sage można korzystać na wiele sposobów. 1. Po pierwsze można pracować w systemie notatnik, zarówno korzystając z instalacji lokalnej na własnym komputerze jak i z instalacji oferowanej przez Wydział MFiCh. 2. Do wykonania pojedyńczych eksperymentów i prostych obliczeń, możemy korzystać z serwera pojedyńczyć obliczeń, znanego Sagecell. 3. Interaktywne książki - jak ten sktypt, korzystający z systemu Sagecell, umożliwiają korzystanie z systemu Sage z poziomu przeglądarki, bez uprzedniej rejestracji czy logowania, tak jak w tym przykładzie. 4. Można skorzystać z darmowago systemu stworzonego przez Wiliama Steina zmanego Sage Math Cloud. 5

10 3.1 Interaktywne komórki Sagecell Jak skorzystać z elementów interaktywnych w tym skrypcie? Jeśli zobaczymy taką komórkę wystarczy nacisnąć przyciska Wykonaj i zostanie uruchomiony system Sage na jednym z serwerów i wykonany na nim kod programu znajdującego się w polu tekstowym: Poeksperymentuj z komputerem Naciśnij Wykonaj! formula = integrate( sin(2*x),x) show( formula ) Zauważmy ważną cechę - jeśli na stronie jest więcej niż jedna komórka to definicje utworzone podczas wykonania jednej są dostępne w drugiej. Poeksperymentuj z komputerem Wykonaj najpiejw piewszą komórkę a potem drugą. Następnie przeładuj stronę i wykonaj najpierw druga a potem pierwszą. Zauważ, że przeładowawanie strony powoduje skasowanie informacji o wczesniej zdefiniowanych zmiennych! Dzieje się tak dlatego, gdyż po przeładowaniu komórki obsługuje nowy proces Sage na serwerze, a stary ginie. try: show( formula ) print "pochodna wynosi:" show( formula.diff(x) ) except: print "Nie zdefiniowano zmiennej!" Uwaga: Problem 1: Naciskanie na przycisk Wykonaj nie przynosi oczekiwanego efektu. Odp. W takim razie zalecamy ponowne przeładowanie strony i ewentualne wykonanie komórek z wymaganymi uprzednio definicjami (pamiętamy, że przeładowanie strony kasuje stan Sage. Problem 2: Program po zwiększeniu liczby kroków przestaje działać. Odp. Proces na serwerze ma ograniczoną ilość czasu na wykonanie. Jeśli czas zostaje przekroczony to ginie. Aby dalej używać komórek interaktywnych trzeba przeładować stronę. Komórki Sagecell zawierają dostęp do kompletnego systemu Sage. Nie sposób we wstępie opisać jego możliwości, ale zachęcamy do przeczytania licznych materiałów: Bardzo krótkie wprowadzenie do Sage a Książka Matematyka łatwiejsza niż przypuszczasz link Materiały do zajęc Technologie Informacyjne dla I roku Studentów: link. Dociekliwych zachęcamy do zanurkowania w Pythonie 6 Rozdział 3. Wstęp techniczny czyli jak korzystać z części interaktywnych?

11 ROZDZIAŁ 4 Analiza danych rynkowych Oprogramowanie Sage a w szczególności zawarte w nim biblioteki numpy oraz scipy oraz wbudowane możliwości wizualizacji i interakcji dają możliwość stworzenia od podstaw prototypu własnej aplikacji to szerokiego spektrum analiz danych i statystyk. 4.1 Zwroty względne, bezwzględne i log-zwroty Rozważmy ewolucję ceny pewnego aktywa w czasie. Wartości notowań aktywa są pewnym procesem losowym. W analizie jego zmienności ważnym pojęciem jest zwrot, który jest matematycznie rzecz biorąc przyrostem procesu na pewnym okresie czasu. Załóżmy, że mamy pewien dyskretny ciąg chwil czasu t i w których aktywo ma cenę S i. W finansach spotykamy trzy Ważne pojęcia: zwrot absolutny w chwili t i : S i S i 1 zwrot względny w chwili t i : S i S i 1 S i 1 log-zwrot w chwili t i : log S i log S i 1 Analiza szeregów czasowych notowań historycznych najczęściej operuje właśnie tymi wielkościami. Posiadają one kilka istotnych własności. Po pierwsze, korzystając z własności logarytmu naturalnego możemy napisać: log S i log S i 1 = log S i S i 1. Jeśli zwrot względny jest mały, to jest w przybliżeniu równy log-zwrotowi. Zapiszmy: log S i = log S i 1 + S i S i 1 S i 1 S ( i 1 = log 1 + S ) i S i 1. S i 1 Teraz możemy rozwinąć logarytm w szereg Taylora: log(1 + x) = x x2 x + O(x 3 ), (4.1) 7

12 jeżeli zatrzymamy się tylko na liniowym członie to otrzymamy: log S i S i 1 S i S i 1 S i 1 Klasycznym modelem matematycznym, który stosuje się do opisu zachowania się zmian ceny jest geometryczny ruch Browna. W takim przypadku zakłada się, że zwrot względny spełnia: S i S i 1 S i 1 = μ + σn i (0, 1), gdzie μ to deterministyczne tempo wzrostu logarytmu ceny związane ze stopą procentową a σ 2 to wariancja zmian logarytmu ceny. N i (0, 1) oznacza niezależne gaussowskie zmienne losowe o średniej zero i wariancji jeden. Przejście do granicy (t i t i 1 ) 0 wymaga zastosowania stochastycznych równań różniczkowych i taki proces ciągły jest dany wzorem: ds = μsdt + σsdw, (4.2) gdzie dw to różniczka procesu Wienera. Można pokazać, że zakładając ewolucje według równania stochastycznego (4.2) otrzymujemy proces w którym warunkowy rozkład ceny w czasie t przy założeniu ceny S 0 w chwili t = 0, jest log-normalny: P S (S, t S 0, 0) = (log( S S 0 ) (μ σ2 2 1 )t)2 2πσ2 ts e 2σ 2 t. (4.3) Informacja: Sprawdź jaka jest kanoniczna postać rozkładu log-normalnego np. w Wikipedii. Zauważ, że w naszej notacji zarówno średnia jak i wariancja rosną z liniowo czasem. Jak to zinterpretować? Rozkład log-normalny jest zupełnie odmienny od rozkładu normalnego, jednak dla małych zmian ceny można by się spodziewać pewnych podobieństw. Rozważmy sytuację w której mamy wartość początkową ceny pewnego aktywa równą S 0 i rozważamy najbliższą przyszłość. Co to znaczy? W tej sytuacji będzie to taki horyzont czasowy na którym cena akcji niewiele się zmieni w stosunku do ceny początkowej tzn.: S S 0 1 W praktyce, taki krótki horyzont czasowy może typowo oznaczać zmianę kursów pomiędzy notowaniami dziennymi. Przekonamy się teraz, że rozkład ceny na któtkich czasach jest prawie gaussowski. Do równania (4.3) wstawmy w mianowniku S 0 zamiast S a w eksponencie zastąpny logarytm rozwinięciem log S S 0 S S 0 S 0. Otrzymamy wówczas rozkład normany w postaci: P S (S, t S 0, 0) = S S 0 1 e S 0 (μ σ2 2 )t)2 2σ 2 t. 2πσ2 ts 0 (4.4) 8 Rozdział 4. Analiza danych rynkowych

13 Poeskperymentuj z komputerem Zbadaj czym różnią się dwa rozkłady - normalny (4.4) i log-normalny (4.3) dla małych i dużych czasów. Zwiększ czas i zaobserwuj jak zmienia się rozkład. Czy w każdym z przypadków może pojawić się cena aktywa mniejsza od zera? Zmień w kodzie inne parametry: wartość początkową, wariancję na jednostkę czasu i szybkość wzrostu ceny. var( r,sigma,t,x0 ) logn = 1/(sigma*sqrt(2*pi*t)*x)*exp(-(log(x)-log(x0)-(r-sigma^2)*t)^2/(2*sigma^2*t)) Normal = 1/(sigma*sqrt(2*pi*t)*x0)*exp(-( def _(t_=slider(0.001,0.2,0.001,default=0.01)): pars = {r:0,sigma:1.51,x0:1,t:t_} p1 = plot( logn.subs(pars), (x,1e-5,4), fill=true) p2 = plot( Normal.subs(pars), (x,1e-5,4), figsize=4,color= red ) (p1+p2).show() 4.2 Przykład analizy danych rynkowych Wczytamy dane i obliczymy zwroty względne i logarytmiczne. Uwaga: Dane zazwyczaj są w pliku, jednak w tym przypadku w skrypcie nie mamy możliwości załączenia pliku. Dlatego będziemy analizować dane, które są dostępne jako odnośnik URL i które możemy otworzyć z pomocą biblioteki urllib. Dane z notowań historycznych najczęściej występują w formacie zwanym csv - czyli wartości oddzielone przecinkiem. Można je wczytać do arkusza kalkulacyjnego, ale też bezpośrednio otworzyć za pomocą pakietu numpy. import numpy as np import urllib fp = urllib.urlopen(" data = np.loadtxt(fp,skiprows=1,usecols=[2],delimiter=, ) N = data.shape[0] t = np.arange(n) line(zip(t,data),thickness=0.3,figsize=(7,2)) Poeksperymentuj sam Ile jest danych? Wypisz na ekranie pierwsze 100 wartości. Policzmy teraz zwroty względne i logarytmiczne i narysujmy wykres log-zwrotów i zwrotów względnych. Aby odróżnić te dwa zestawy danych będziemy rysować kropkami i: r_rel = np.gradient(data)/data r_log = np.gradient(np.log(data)) line(zip(t,r_rel),color= gray,thickness=0.5)+\ 4.2. Przykład analizy danych rynkowych 9

14 point(zip(t,r_log),color= red ) Jak widać praktycznie wielkości te się pokrywają. Możemy też łatwo sporządzić histogram wartość tychże zwrotów co jeszcze bardziej uwydatnia tą własność: nbins=100 plst = [] for r,c in zip([r_rel,r_log],[ red, blue ]): H = np.histogram(r,bins=nbins) normalizacja = H[0].sum()*(H[1].max()-H[1].min())/nbins plst.append(line( zip(h[1],h[0]/normalizacja),color=c,figsize=(4,2))) html.table([["zwroty wzgledne","log-zwroty"],plst]) Poeksperymentuj z komputerem Zbadaj jak wyglądałby histogram dla różnych wartości parametry nbins. Czy bardzo duże i bardzo małe wartości mają sens? Jaki jest użyteczny zakres tego parametru? Stacjonarność danych Zauważmy że w modelu geometrycznego ruchu Browna, parametry r, σ 2 nie zależą jawnie od czasu. Może się to wydawać mylące bo wariancja i średnia rozkładu warunkowego na cenę aktywa (4.3) jest funkcją czasu. Jednak to wynika z faktu, że cena aktywa jest opisana zmienną losową spełniającą równanie stochastyczne (4.2). Jej rozkład warunkowy jest jednak zależny od czasu. Sytuacja jest taka sama jak dla np. położenia punktu materialnego w ruchu jednostajnym prostoliniowym. W takim ruchu położenie zależy od czasu pomimo, że wszystkie współczynniki w równaniu Newtona są stałe. W naszym przypadku mamy interpretację dla parametrów r, σ 2 - są mianowicie to średnia i wariancja na jednostkę czasu. Zauważmy też, że jest to prawdą tylko w granicy małych czasów. Sprawdźmy jak dobrze jest spełniony warunek stacjonarności r, σ 2! print np.std(r_log[:1000]),np.std(r_log[1000:2000]) Widzimy, że jest kiepsko spełniona! Widać to już całkiem nieżle z wykresu log-zwrotów, który to ma okresy większej i mniejszej zmienności. Poeksperymentuj z komputerem Narysuj wykres wariancji danych estymowanej po okresie k notowań. Co się stanie gdy zwiększymy ten okres? Porównaj ten wykres z zależnością dziennych zwrotów od czasu. k=5 X = r_log var_win = [np.var(x[i:i+k]) for i in range(0,x.shape[0],1)] line(zip(t[::1],var_win),ymin=0,ymax=0.002,figsize=(6,2)) Autokorelacja Log-zwroty są ze sobą nieskorelowane. Gdyby było inaczej to predykcja ceny była by zbyt prosta i teoretycznie prowadziła by do możliwości arbitrażu. Sprawdźmy, że tak jest rzeczywi- 10 Rozdział 4. Analiza danych rynkowych

15 ście: X = r_log autocorr = [np.corrcoef(np.vstack((x[:-k],x[k:])))[0,1] for k in range(1,250)] line(enumerate(autocorr)) Grube ogony, kurtoza i skośność Analizując histogram log-zwrotów możemy odnieść wrażenie, że jest on nieco bardziej wypikowany w okolicy zera i ma trochę grubszy ogon tzn. większe wartości daleko od zera. Zobaczmy sami: Poeksperymentuj z komputerem Uruchom poniższy kod. Oblicza on histogram log-zwrotów oraz porównuje go z rozkładem Gaussa o tych samych parametrach: średniej i wariancji. nbins=80 Gaussian(x,mu,sigma) = 1/sqrt(2*pi*sigma^2)*exp(-(x-mu)^2/(2*sigma^2)) X = r_rel[400:1200] mu,sigma = np.average(x),np.std(x) H = np.histogram(x,bins=nbins,range=[-.13,.13]) normalizacja = H[0].sum()*(H[1].max()-H[1].min())/nbins p = line( zip(h[1],h[0]),color= red,figsize=(7,4)) mu,sigma = np.average(x),np.std(x) p += plot(normalizacja*gaussian(x,mu,sigma),(x,-4*sigma,4*sigma),fill=true,gridlines=[no p Popularnymi wielkościami, które charakteryzują jak dany rozkład odbiega od rozkładu normalnego są kurtoza i skośność. Jak wiemy w rozkładzie normalnym wszystkie momenty rzędu wyższego niż dwa można wyrazić jako funkcje momentów pierwszego i drugiego. Dlatego można zbudować wyrażenia: gdzie μ i = E [ (X μ) i]. ˆK = μ 4 σ 4 3 ˆS = μ 3 σ 3, Poeksperymentuj z komputerem Estymatory kurtozy i skośności są zaimplementowane w pakiecie scipy i można je zaimportować przez: from scipy.stats import kurtosis,skew. Do poprzedniego kodu dodaj obliczanie kurtozy i skośności danego rozkładu Zmień okno z [400:1200] na inne, mniejsze większe i w innym miejscu. Jakie wartości kurtozy i skośności można zaobserwować? 4.2. Przykład analizy danych rynkowych 11

16 4.3 Problem - analiza innych danych Zdobądź ze źródeł internetowych pliki z innymi indeksami giełdowymi. Napisz własny analizator, który będzie potrafił na podstawie pliku z danymi: narysować zależność czasową wybrać okno do analizy i je zaznaczyć na wykresie obliczyć log-zwroty narysować histogram wybranego okna obliczyć współczynniki takie jak kurtoza, wariancja, średnia, skośność. 12 Rozdział 4. Analiza danych rynkowych

17 ROZDZIAŁ 5 Zarzadzanie ryzykiem Motto Zarzadzanie ryzykiem i pasy bezpieczeństwa chronia tylko wtedy gdy sa używane Z dyskusji w przerwie konferencyjnej Omawiając funkcjonowanie rynków finansowych i ich instrumentów zawsze wspomina się o ryzyku, które to ryzyko jest permanentnie związane z tymi zagadnieniami. Przyjmijmy definicję ryzyka wg, Teresy Kamińskiej:. Ryzyko oznacza możliwość osiagnięcia wartości końcowej kapitału (inwestycji, instrumentu finansowego) różniacej się od wartości oczekiwanej. Działanie w warunkach ryzyka, dotyczy podejmowania decyzji odnośnie do zdarzeń, które moga wystapić z określonym prawdopodobieństwem. Szczegółowe rozważania dotyczące tego czym jest ryzyko i czym jest niepewność zostały już przedstawione w skrypcie Wybrane Zagadnienia Analizy Rynków Finansowych. Myśląc o ryzyku i kontrolowaniu go w jakiś sposób widzimy, ze jego występowanie jest zjawiskiem szerszym i nie zawęża się do rynków finansowych i działalności człowieka w tym obszarze. Każde przedsięwzięcie jest bowiem obarczone ryzykiem. Z doświadczenia znany tylko przeszłość, obserwujemy teraźniejszość i próbujemy przewidzieć przyszłość. Przewidywanie jest związane z wymyślaniem prawdopodobnych scenariuszy opartych na odkrytych trakcie obserwacji zasadach i prawach. Nie wszystkie są prawami deterministycznymi. Często wspomagać się musimy prawdopodobnymi scenariuszami. Niedoskonałość naszych zmysłów nie pozwala nam patrzeć w przód w czasie tak jak to robimy w przestrzeni. Tą niedoskonałość rekompensujemy sobie tworzeniem modeli, analizą statystyczną danych przeszłości, tak, aby znaleźć przesłanki o przyszłości i przewidzieć ją najlepiej. Najlepiej, znaczy by przewidzieć, jak będzie. Ten nieco idealny sposób myślenia jest uproszczeniem i jest bardzo niedoskonały z powodu tego jakimi danymi dysponujemy. Uwaga: W tym miejscu zacytować można Konfucjusza, który to przed wiekami powiedział Kto nie umie spogladać daleko, będzie miał kłopoty blisko 13

18 Tak wiec planując jakiekolwiek działanie w przyszłości (projekt, kampanie prasową, wojskową, budowanie strategii, etc.) rozpatrujemy trzy obszary naszej wiedzy i doświadczenia: 1. Wiemy, to co wiemy. Tutaj mieszczą się nasze doświadczenia i posiadana wiedza. Nasze doświadczenia z przeszłości, statystyki, modele etc. Tylko należy pamiętać, ze mapa to nie realny teren a model ma się tak do rzeczywistości jak mapa do terenu. 2. Wiemy, czego nie wiemy W tym obszarze mieszczą się nasze uświadomione ograniczenia. Czegoś nie wiemy ale potrafimy zaplanować nasze działania na wypadek gdyby zdarzyło się to coś o czym nie wiemy czy może zdarzyć w tym przypadku ale możemy założyć że gdyby się zdarzyło to mogłoby wyglądać następująco. Albo musimy podjąć działania aby zdobyć potrzebne informacje. W tym obszarze mieszczą się ludzkie błędy oraz odmienne od przewidywanych zachowania ludzkie spowodowane przykładowo zaistnieniem konfliktu interesów. 3. Nie wiemy, czego nie wiemy. Ten obszar jest największą niepewnością. Staramy się by był najmniejszy, ale zawsze istnieje i powoduje, że przyszłość tylko potrafimy przybliżać, a jej kształt nigdy nie jest pewny. Chcąc działać skutecznie i efektywnie planujemy działania na przyszłość aby najlepiej wykorzystać wszystkie nasze zasoby i umiejętności. Musimy jednak wziąć pod uwagę i to co może się zdarzyć na wypadek ryzyka niepowodzenia w pewnych obszarach. Czyli nie tylko jak będziemy zarządzać naszymi zasobami, aktywami, etc. ale i jak będziemy zarządzali ryzykiem. Zarządzanie ryzykiem jako stały element planu działania pojawiło się w latach dziewięćdziesiątych poprzedniego wieku jako uzupełnienie dotychczasowych standardów planowania. Jak powiedział Peter Bernstein w swej książce Against the Gods (Bernstein, Peter L. (1996). Against The Gods: The Remarkable Story of Risk. New York: John Wiley & Sons. ISBN )- Najbardziej rewolucyjną ideą, która zdefiniowała granice między przeszłością a teraźniejszością jest zarządzanie ryzykiem.. Zarządzanie ryzykiem jest podejmowane, by zredukować lub wyeliminować ryzyko wystąpienia pewnych zdarzeń, mogących mieć wpływ (negatywny) na działalność organizacji. Często działanie zarządzania ryzykiem koncentrują się na umożliwieniu przetrwania i funkcjonowania organizacji oraz ograniczenia ryzyka finansowego. Niemniej jednak zarządzanie ryzykiem ma na celu również ochronę pracowników, klientów i osoby przypadkowe od skutków takich zdarzeń jak pożar, akty terroryzmu etc. Zarządzanie ryzykiem zawiera w sobie również ochronę obiektów, ochronę danych operacyjnych, księgowych oraz wszelkich zasobów organizacji. W tym zakresie należy również pamiętać o ochronie przed nadużyciami, kradzieżami itd. Zarządzanie ryzykiem dotyczy wszystkich aspektów działalności organizacji i wszelkich ryzyk jakie występują lub mogą występować. Ryzyk wystąpienia zdarzeń i efektów niepożądanych. Co jest zdarzeniem i efektem niepożądanym zależy od szerokiego wachlarza przyczyn i jest definiowane zazwyczaj przez organizacje i zależy od jej celów i obszaru działania i środowiska. Środowisko naturalne, oczywiście, też jest brane pod uwagę. A katastrofy takie jak Czarnobyl, wypływ ropy naftowej do wód morskich są tylko przykładem tego, że efekt niezamierzony może powodować skutki przekraczające wąskie, techniczne spojrzeniu na działalność firmy. 14 Rozdział 5. Zarzadzanie ryzykiem

19 W liczbie ryzyk należy też uwzględnić niezamierzone efekty takie może przynieść utrata reputacji, zaufania, klientów etc. Zarządzanie ryzykiem w ostatnich latach staje się coraz powszechniej praktykowanym postępowaniem w firmach, organizacjach a nawet agendach rządowych nie wspominając o naszym, osobistym, codziennym życiu. Zakres działania ewoluował w czasie i pojawiały się nowe narzędzia i techniki zarządzania oraz metody oceny ryzyka. Zarządzanie ryzykiem z czasem nabierało znaczenia i stawało się znaczącą częścią działań organizacji i firm. Osoby odpowiedzialne za te działalność zaczęły być coraz bardziej znaczące w hierarchii organizacji i coraz większa ilość członków tych organizacji zaczęło brać czynny udział w tym zarządzaniu ryzykiem. Specjaliści z tej dziedziny staja się coraz bardziej poszukiwani. Dziedzina, która nie istniała przed rokiem 1990 zaczyna zajmować znaczącą pozycję w strukturach współczesnych organizacji. Znaczenie zarządzania ryzykiem wzrasta. Pojawiają się regulacje prawne stawiające wymogi zarządzaniu ryzykiem i regulujące odpowiedzialność za kontrole ryzyka w organizacjach. Coraz większe znaczenie mają zasady corporate governance i znaczenie konfliktu interesów jest coraz bardziej uświadamiane. Wydarzenia 11 września 2001roku i kryzysy finansowe 2008 roku wyzwoliły niezwykle szybkie działania w kierunku polepszania zarządzania ryzykiem. Globalny kryzys finansowy spowodował znaczące i trwające do dziś zmiany zarządzania ryzykiem w instytucjach finansowych. Inicjatywy regulacji prawnych mające na celu zwiększenie transparentności i stabilności systemu finansowego pojawiają się w znaczących gospodarkach świata. Należą do nich amerykańskie regulacje autorstwa Dodda -Franka, europejskie EMIR (European Market Infrastructure Regulation) i ogólnoświatowa regulacja Basel III. Głównym celem tych i podobnych im regulacji jest zmiana wymogów prawnych dla zarządzania ryzykiem, wymogów kapitałowych, płynności, używania instrumentów pochodnych i transakcji z użyciem środków własnych i transakcji z klientami. Unia Europejska centralizuje nadzór nad bankami pod skrzydłami Europejskiego Banku Centralnego. W tym samym czasie instytucje finansowe doskonalą swe programy zarządzania ryzykiem poprzez poprawę ładu korporacyjnego oraz poprawę modeli oceny ryzyka, stress testingu, systemów informacyjnych zarządzania ryzykiem. 5.1 Narzędzia używane w zarzadzaniu (finansowym)- rys historyczny ryzykiem Od chwili pojawienia się idei zarządzania ryzykiem, zarządzanie to poszukiwało najefektywniejszych narzędzi do oceny ryzyka. Zanim zostaną one omówione należy podkreślić, że najlepszym narzędziem jest, było i będzie- zdrowy rozsadek i dobra znajomość i rozumienie tego co się robi. Te cechy są niezmienne i podstawowe mimo technicznej ewolucji narzędzi i ich technicznej złożoności. Należy pamiętać, że zarządzanie (a szczególnie zarządzanie finansowe) to nie wyszukana matematyka ale konkretne działania na pieniądzach będących oszczędnościami i nadzieją na przyszłość ludzi. Wiec dobrze jest wiedzieć co się robi i przewidywać jakie mogą być skutki naszych działań. Niewątpliwie z wielu aspektów działalności ludzkiej działalność finansowa wytworzyła znaczące narzędzia do zarządzania ryzykiem. Około roku 1938 pojawiła się idea duration jako sposobu porównywania instrumentów dłużnych (obligacji). Bardzo trudno jest porównywać różne obligacje bo mimo, ze posiadają często szereg podobnych parametrów je opisujących, jednak się różnią w relacji do ryzyka. Jak już było wykazane duration pozwalała na pewne porównania a szczególnie na porównanie ryzyka obligacji łącząc 5.1. Narzędzia używane w zarzadzaniu ryzykiem (finansowym)- rys historyczny 15

20 niejako sobie stopy procentowe, okres czasu do zapadalności itd. Markowitz na początku lat pięćdziesiątych XX wieku w swej pracy doktorskiej zaproponował rewolucyjne podejście do ryzyka. Nie wchodząc w zawiłe rozważania o sensie i istocie ryzyka powiedział, ze dla niego ryzyko będzie charakteryzowane przez wariancje ceny aktywa. Lata sześćdziesiąte to rozwinięcie analiz zarządzania portfelem i pojawienie się bety jako miary ryzyka instrumentu czy też portfela. Próby opisu zachowania rynków i przewidywania ich zachowania, skutkowały poszukiwaniem związków rożnych czynników i ich wpływu na to co dzieje się na rynku. Pojawiają się modele wielofaktorowe. Lata siedemdziesiąte to stosowanie coraz bardziej wyrafinowanych metod obliczeniowych opartych na doświadczeniach fizyków a stosowanych w finansach. Zastosowanie metodologii drzew binarnych, rozważania opartych na stosowaniu metody ruchów Browna z dryftem spowodowały powstanie ciekawych sposobów wyceny zachowania się rynków i wyceny opcji. Wzory Blacka, Scholesa pozwoliły na nieco inne spojrzenia na ryzyko i jego pomiar. Analiza cen i ich czułości na parametry rynku (greki) pozwoliły na lepsza oceny ryzyka i zmienności parametrów rynku i cen. Lata osiemdziesiąte to idea zwrotu na kapitale modyfikowanego ryzykiem. Można porównywać rożne instrumenty o różnym ryzyku i ich wpływ na wynik końcowy instytucji. W zakresie zarządzania aktywami i pasywami pojawiają się limity na ekspozycje duration, oraz limity na greki. Lata dziewięćdziesiąte to bardzo szybki rozwój narzędzi, pojawia się idea testów w warunkach ekstremalnych, stress test a następnie Value at Risk, zmodyfikowana i rozwinięta jako Risk Metrics, z czasem dotycząca też ryzyka kredytowego. Koniec wieku to połączenie ryzyka kredytowego rynkowym (rynki finansowe) oraz z ryzykiem operacyjnym. Od początku wieku XXI proces zarządzania ryzykiem dotyczy wszelkich obszarów działania organizacji i zarządzania ryzykami występującymi w tych obszarach. Rodzaje ryzyk W działaniach organizacji należy zidentyfikować wszelkie możliwe, występujące ryzyka. Identyfikacja ryzyk to ważny element zarządzania ryzkiem. Jest to proces, który zaczyna się na początkowym etapie tworzenia planu postępowania w obliczu ryzyka a która to lista ryzyk jest ciągle analizowana monitorowana i aktualizowana. W skład ryzyk wchodzą ryzyka działalności ogólne takie jak ryzyka wypadków w miejscu pracy, ryzyko pożaru, powodzi, zalania, i innych klęsk naturalnych. Należy wziąć pod uwagę również wszelkie ryzyka prawne, kradzieże defraudacje, oszustwa, oskarżenia o żądanie zadośćuczynienia w przypadku oskarżeń o mobing, napastowanie seksualne i możliwość prawnego dochodzenia na wypadek błędnego czy niewłaściwego wykonania pracy, usługi etc. Ryzyka również wiążą się z działalnością zawodową, zjawiskami na rynkach finansowych, niepowodzeniami projektów, ryzykiem kredytowym oraz bezpieczeństwem bazy danych i systemów komputerowych. 5.2 Czym jest zarzadzanie ryzykiem? Zarządzanie Ryzykiem jest to oparta na logice metoda systematycznej identyfikacji, analizowania, zapobiegania i monitorowania ryzyk wiążących się z każdą działalnością czy procesem. Zarządzanie ryzykiem jest sposobem, który umożliwia menedżerom najlepsze wykorzystanie środków jakie mają do dyspozycji. Zarządzanie ryzykiem jest obecnie nierozerwalna częścią planowania każdej działalności. Zarządzanie Ryzykiem jest to istotna składowa zarządzania każdej organizacji bez względu na obszar działania lub pełnioną funkcję. Zarządzanie ryzykiem to proces łagodzenie skutków lub eliminowania pewnych ryzyk w różnych obszarach działania organizacji tak by ich wpływ negatywny na wynik działania organizacji był najmniejszy. Różne strategie są wdrażane by zarządzać ryzykiem w zależności od rodzaju działalności organizacji i jej celów. W przypadku zarządzania ryzykiem finansowym polega to na ocenie 16 Rozdział 5. Zarzadzanie ryzykiem

21 czy ryzyko brane w działalności jest właściwe (nie można liczyć na nagrodę zysku jeśli nie weźmie sie ryzyka). Zazwyczaj polega to na wprowadzeniu zasad jak organizacja podejmuje decyzje finansowe i określenie co to jest właściwe ryzyko. 5.3 Zarzadzanie ryzykiem finansowym Organizacja podejmując decyzje finansowe, zazwyczaj podejmuję pewne ryzyko związane z tymi działaniami, szczególnie jeśli dotyczą one inwestycji. Zarządzanie ryzykiem finansowym to zbiór zasad który to zbiór, pozwala organizacji optymalizować sposób brania na siebie ryzyka finansowego. Ten zbiór zasad zawiera również sposób w jaki organizacja monitoruje działania obarczone ryzykiem i jak proces zarządzania jest wdrażany i jak jest monitorowany. W instytucjach finansowych zarządzanie ryzykiem podlega bezpośrednio pod Zarząd, który to prawnie odpowiada za zarządzanie ryzykiem, podobnie jak Rada Nadzorcza. Wymienione organy ustalają i monitorują jak decyzje finansowe zapadają w spółce. 5.4 Natura ryzyka na rynkach finansowych Ryzyko operacji na rynkach finansowych ma wiele postaci i wiele źródeł pochodzenia. Literatura fachowa podaje wiele ich klasyfikacji. Przykładowo zaproponowana przez Bank Rozrachunków Międzynarodowych (Bank for International Settlements - BIS) <ref> definicja ryzyka wiąże je z podejmowaniem decyzji finansowych, dotyczących sposobów finansowania działalności instytucji finansowej. BIS zaproponował wyodrębnienie pięciu podstawowych pod kategorii ryzyka finansowego: ryzyko kredytowe - rozumiane jako ewentualność, ze Klient, druga strona transakcji może nie wywiązać się z warunków umowy. ryzyko rynkowe - wiąże się z możliwością zmiany cen instrumentów na rynkach finansowych co w konsekwencji prowadzi do zmiany wyniku finasowego transakcji ryzyko płynności - a właściwie jej braku. Ryzyko to może dotyczyć instrumentu lub strony transakcji. Ryzyko braku płynności instrumentu występuje jeśli warunki rynkowe uniemożliwiają dokonanie transakcji kupna/sprzedaży danego instrumentu (np. mała aktywność w tym segmencie rynku, brak notowań), Ryzyko braku płynności strony transakcji (instytucji) występuje jeśli dana instytucja nie posiada w danym momencie środków płynnych na wywiązanie się z warunków umowy. ryzyko prawne - to ryzyko poniesienia straty z powodu niewłaściwej dokumentacji, złych zapisów w umowach, konfliktu interpretacji prawnych czy systemów prawnych. Źródło definicji (Bank for International Settlement) jest wiodącym źródłem dla zasad zarządzania ryzykiem obowiązujących banki. Banki operują głównie kapitałem klientów wiec szczególna ostrożność prowadzenia operacji jest wymagana. Bezpieczeństwo systemu bankowego i jego operacji zostało omówione w rozdziale Bezpieczeństwo systemu finansowego- Rynki Finansowe. Zarządzanie ryzykiem banki opierają na zasadach Nowej Umowy kapitałowej (Basel II). W kształtowaniu zarządzania ryzykiem Bank BIS odgrywa wiodąca rolę Zarzadzanie ryzykiem finansowym 17

22 Inwestor w swych operacjach na rynkach finansowych spotkać się może z ryzykami powodującymi inne od zamierzonego efektami prowadzonych operacji inwestowania. Biorąc pod uwagę instrumenty finansowe to wiążące się z nimi ryzyk można pogrupować: **Ryzyka związane ze zmiennością na rynkach finansowych Ryzyko stopy procentowej - dotyczy inwestycji w instrumenty dłużne. Jeśli, na rynku finansowym zmieniają sie stopy procentowe, to taka zmiana powoduje to zmiany stóp dochodu z posiadanych instrumentów. Inne dochody powodują inna wycenę wartości instrumentów. Wzrost stopy procentowej powoduje spadek ceny instrumentu dłużnego, a spadek stopy procentowej wzrost ceny instrumentu. Ryzyko zmiany kursów walut - występuje, gdy instrument finansowy, jest denominowany w innej walucie niż waluta rozliczania instrumentu. Zmiany kursu walutowego powodują to, że stopy zwrotu wyrażone w dwóch różnych walutach nie są takie same. Ryzyko inflacji, - występuje wtedy, gdy inflacja zmienia siłę nabywcza dochodu z inwestycji. Ryzyko rynku - to ryzyko zmiany ceny na rynkach finansowych. Ceny na rynkach finansowych zmieniają sie pod wpływem wielu czynników zarówno fundamentalnych (czynniki gospodarcze) jak i emocji uczestników rynku. Ryzyko braku płynności instrumentu - występuje w przypadku instrumentów finansowych handlowanych rynku o niewielkiej aktywności uczestników. A takich rynkach instrumenty stosunkowo trudno jest sprzedać po godziwej cenie. Ryzyka wiaż ace się z zachowaniem drugiej strony transakcji. Ryzyko niedotrzymania warunków emisji instrumentu (default risk) - występuje wtedy, gdy emitent instrumentu finansowego nie może dotrzymać warunków umowy emisji. Przykładowo - nie wypłaca odsetek(instrument dłużny) Ryzyko zarzadzania - wynika błędów w zarządzania spółką emitującą papiery wartościowe mających wpływ na uzyskiwane przez nią wyniki finansowe, co w rezultacie przekłada się na wartość instrumentu finansowego. Skrajną formą tego ryzyka jest ryzyko bankructwa emitenta. Ryzyko finansowe - występuje jeśli skutkiem błędów w zarządzaniu lub zmiany otoczenia rynkowego spółki, jej lewarowanie zobowiązaniami powoduje straty w wyniku finansowym Ryzyko braku płynności emitenta - wiąże się z wystąpieniem braku możliwości do wypełnienia zobowiązań finansowych emitenta w terminie. Ryzyko biznesu - nazywane ryzykiem operacyjnym, wynika ze zmienności dochodów uzyskiwanych przez emitenta instrumentu finansowego skutkiem zmiany otoczenia rynkowego emitenta lub błędów w zarządzaniu. Ryzyka otoczenia rynków Ryzyko polityczne - występuje wtedy, gdy rząd, parlament lub inne władze uchwalają regulacje prawne lub podejmuje decyzje dotyczące wpływające na sytuacje inwestorów, 18 Rozdział 5. Zarzadzanie ryzykiem

23 lub emitentów (np. decyzje dotyczące opodatkowania). Ryzyko polityczne może występować w skali ponad państwowej (konflikty polityczne, wojny). 5.5 Składowe procesu zarzadzania ryzykiem Proces zarządzania ryzykiem składa się z: Określenia i zrozumienia celów organizacji. Identyfikacji ryzyk Zmierzenia ryzyk Ocenienia efektów (wpływów) ryzyk Wybrania i sprawdzenia właściwych narzędzi do zarządzania ryzykami. Wyboru właściwego podejścia do zarządzania ryzykami. Wdrożenia i monitorowania programu działania Istnieje wiele standardów zarządzania ryzykiem przykładowo: International Organization for Standardization ISO 31000, PRIMIA, CoSco, AIRMIC, FERMA, Pomarańczowa księga. Zastosowanie któregoś ze standardów pomaga zrozumieć sens zarządzania i jego techniki oraz pozwala na bycie kompatybilnym do innych instytucji co niewątpliwie polepsza możliwości współpracy. Proces wdrażania Zarządzania Ryzykiem (ZR) zaczyna się od zrozumienia celów organizacji, sposobów działania i osiągania celów. W trakcie tego etapu należy analizować co może nie pozwolić na pełną i efektywne osiąganie celów. Te okoliczności to ryzyka. Wiele z nich to ryzyka strategiczne. Analizując takie ryzyka należy ustalić strony uczestniczące w takim splocie wydarzeń (Interesariuszy), ustalić kogo dotyczą lub mogą dotyczyć oraz komu szkodzić. Warto w tym miejscu omówić i zanalizować poprzednie przypadki i ewentualne nowe istniejące już scenariusze działań z przeszłości i ich zalecenia na przyszłość. Bardzo często w strategiach pojawia się wzrost jako element strategii. Należy pamiętać, że wzrost jest bardzo ważnym elementem strategii, ale on jest też elementem ryzyka. Wzrost to nie zawsze znaczy duże ryzyko ale duże straty prawie zawsze następują po szybkim wzroście. Ryzyka w obszarze działania organizacji wynikają z: Otoczenia rynkowego Cykli gospodarczych Cykli sektorowych Tendencje w branży Zmian technologicznych Przyjętej strategii opartej na sformułowanej wcześniej wizji Składowe procesu zarzadzania ryzykiem 19

24 Powyższa analiza czynników prowadzona pod kątem ryzyka nie osiągnięcia celów instytucji w naturalny sposób ogarnie kolejne obszary, ryzyko występujące w których może mieć negatywny wpływ na osiągniecie celów organizacji. Te obszary to obszary ryzyka niejako pierwotnego czyli obszar ryzyka rynkowego, ryzyka kredytowego i ryzyka operacyjnego. Ryzyko operacyjne - to zagrożenie możliwości osiągnięcia zamierzonych celów w wyniku błędów funkcjonowania, usterek systemów informacyjnych, błędów pracowników, niewłaściwej kontroli wewnętrznej instytucji finansowej. Albo inaczej cytując definicje z dokumentu S&P 2005 Insurance Criteria : Ryzyko operacyjne zawiera ryzyka dystrybucji, procesu i czynnika ludzkiego, defraudacji oraz kontroli wewnętrznej, outsourcingu, uszczerbku na reputacji, technologii informatycznej, niewłaściwego zarzadzania zasobami ludzkimi, regulacji oraz niedotrzymania warunków usług lub produktów (compliance), zarzadzania zmiana, oraz ryzyka zagrożenia kontynuowania działalności. W obszarze tego ryzyka należy pamiętać o analizie możliwości wystąpienia konfliktu interesów. Istnienie takich konfliktów ma zazwyczaj brzemienne skutki bo w większości przypadków zawodzi człowiek. Mając zidentyfikowane ryzyka należy je oszacować tzn ryzyka i ich ewentualne skutki. Innymi słowy należy określić czy zdarzenie może wystąpić? (Prawdopodobieństwo lub częstotliwość występowania a następnie, jaki będzie efekt, koszty lub konsekwencje wystąpienia takiego zdarzenia. (Gospodarcze, polityczne, społeczne). Ta ocena ma na celu uświadomienie istnienia ryzyka i uporządkowanie ryzyk pod kątem priorytetów zarządzania firmą, kategorii ryzyk i nadanie im wagi, biorąc pod uwagę prawdopodobieństwo i wielkość możliwych kosztów albo konsekwencji. Ryzyka nie da się wyeliminować zupełnie, więc należy ustalić poziom akceptowalnego ryzyka. Porównanie ryzyk to uporządkowanie ich pod kątem prawdopodobieństwa i skutku. Np. Na dwuwymiarowym wykresie prawdopodobieństwo i skutek. Rysunek 5.1: Prawdopodobieństwo Priorytety: Czerwony- wysoki Żółty- średni Zielony - niski Przy pomiarze ryzyka wykorzystuje sie zazwyczaj miary zmienności (volatility). W przypadku instrumentów czy portfeli instrumentów j stosuje się zazwyczaj Value at Risk. Mając ustalone ryzyka należy sporządzić plan przeciwdziałanie każdemu zidentyfikowanemu ryzyku, biorąc pod uwagę dostępne środki - techniczne finansowe, zasoby ludzkie etc. Porów- 20 Rozdział 5. Zarzadzanie ryzykiem

25 nanie ryzyk i ustalenie priorytetów (strategiczne, operacyjne) pod katem ich skutków ustala się tak, że dla każdego ryzyka ocenić należy prawdopodobieństwo danego skutku Pi, ocenić kwotowo straty związane z danym skutkiem wystąpienia ryzyka Si i mnożąc Pi x Si otrzymuje się kwotę wystawioną na ryzyko niechcianego skutku. Otrzymywana kwota jest porównywana w przypadku różnych działań mających na celu łagodzenie skutków ryzyka (analiza scenariuszy) i kolejny krok to wyliczenie dźwigni ryzyka czyli (kwoty skutku przed obniżeniem ryzyka - kwota skutku po obniżeniu ryzyka ) / (koszty obniżenia ryzyka ). Ochrona przed ryzykiem wiąże się z kosztami a zdrowy rozsądek obowiązuje zawsze, więc ekonomizacja działań jest wręcz intuicyjnym zabiegiem. Ustalenie priorytetu i kosztów przeciwdziałania pozwala świadomie ocenić poziom akceptowalnego ryzyka. 5.6 Kontrolowanie ryzyka Zarządzanie ryzykiem jest procesem, procesem ciągłym a nie działaniem akcyjnym. Celem ustalenia ryzyk, ich źródła, sposobów łagodzenie ich skutków i ich analiza jest podstawą jest ciągłość procesu zarządzania ryzykiem - ciągłość kontroli ryzyka. Polega to na tym, że kierując się na obniżanie ryzyka, planuje się działania na wypadek wszelkich możliwości a następnie monitoruje się proces i prowadzi się ciągłą ocenę i wycenę ryzyka. Wyniki pomiarów ryzyka i identyfikacja jest podstawą do wdrażania przygotowanych procedur postępowania oraz ich analiza i ciągłe ich poprawianie i ulepszanie. Ciągłość tego procesu jest niezmiernie ważna. Ważną częścią tego procesu jest kontrola wewnętrzna i sprawdzanie czy procedury i zasady postępowania przewidziane w zarządzaniu ryzykiem są przestrzegane i czy funkcjonują w praktyce i czy funkcjonują dobrze. Kontrola wewnętrzna to nie jest ćwiczeniem akademickim, o którym można przeczytać w podręczniku a następnie zapomnieć. Wprost przeciwnie w instytucji finansowej kontrola wewnętrzna jest tym czynnikiem, który pozwala tej instytucji utrzymać wysoki poziom efektywności systemu. Żadna działalność nie może na dłuższa metę funkcjonować efektywnie bez skutecznego systemu kontroli wewnętrznej Postępowanie ze zidentyfikowanym ryzykiem Jeśli ryzyka zostają zidentyfikowane i pomierzone(porównane) należy zastanowić się nad tym co można uczynić aby im zapobiec albo zmniejszyć ich negatywne skutki. Celem myślenia jest obniżenie ryzyka wszędzie tam gdzie jest to możliwe i wskazane. Obniżyć ryzyko można próbując go uniknąć. Podjęte działanie w takim przypadku to modyfikacja założeń działania. Inną ewentualnością jest transfer ryzyka. Transfer polega na przeniesieniu niejako skutków tego ryzyka do innego systemu, poza organizacje, której ryzykiem zarządzamy. Przykładem takiego działania jest ubezpieczenie się od ryzyka u ubezpieczyciela wykupując polisę pokrywającą straty wynikłe w skutku ryzyka. Chętnych do brania ryzyka jest na rynku więcej i wiele firm na kupowaniu ryzyka oparło swój sposób na funkcjonowanie. Rynek instrumentów pochodnych to możliwość transferu ryzyka. Dzięki takim rynkom i firmom na nich działających, możliwy jest hedging czyli zabezpieczanie się przed ryzykiem zmiany ceny. Obniżanie ewentualnych negatywnych skutków ryzyka daje proces zwany łagodzeniem (mitygacją) skutków ryzyka. Łagodzenie to działania wyprzedzające umożliwiające zmniejszenie 5.6. Kontrolowanie ryzyka 21

26 prawdopodobieństwa wystąpienia ryzyka albo minimalizacje jego skutków. Transakcje hedgingowe mają podobne działanie. Jednak zawierając takie transakcje należy pamiętać, ze wymagają one dodatkowej troski. Zawarte dzisiaj łagodzą skutki ryzyk z dzisiejszego punktu widzenia ale należy pamiętać zabezpieczeniu skutków rozkładu prawdopodobieństwa wartości przyszłej (np. grube ogony). Istnieją ryzyka, których nie można obniżyć ani uniknąć. Na wypadek ich wystąpienia należy przygotować plan i procedury postępowania. Przygotowanie planów i procedur postępowania to nie niepotrzebna biurokracja. Działania te skutecznie zastosowane redukują atmosferę kryzysową, obniżają prawdopodobieństwo popełniania błędów w stresie kryzysu. Minimalizują czas kontrreakcji co może mieć kluczowe znaczenie nie tylko dla firmy ale i dla ludzi znajdujących się w takiej sytuacji. Posiadanie gotowych procedur na wypadek pozwala kierownictwu kierować procesem funkcjonowania firmy efektywnie a nie zajmować się gaszeniem pożarów kolejnych problemów. Oczywiście procedury awaryjne i postępowania w sytuacjach kryzysowych wymagają nie tylko opracowania i przygotowania ale i wdrożenia, praktycznego szkolenia i... wspominanej, kontroli wewnętrznej czy działają dobrze. Ćwiczenia pożarowe Osobom które czytają teraz ten tekst z powątpiewaniem polecamy wykonanie następującego eksperymentu. Do przeprowadzenia tego eksperymentu potrzebny będzie stoper albo inne urządzenie do pomiaru czasu. Proszę na wstępie odpowiedzieć na pytanie: Kiedy ostatni raz braliście udział w ćwiczeniach działań na wypadek pożaru w instytucji, w której akurat przebywacie? Spodziewamy się uśmiechu i chyba znamy odpowiedź. A teraz włączcie stoper. Właśnie usłyszeliście sygnał ostrzegający, że wybuchł pożar. Co zrobicie najpierw? Którędy, jaka drogą opuścicie pomieszczenie? Zróbcie to. Ile czasu Wam to zabrało? Czy były po drodze miejsca gdzie mogliście spotkać innych uciekających, których zachowanie mogłoby utrudnić Wam ucieczkę? Schody, Windy.?? W którą stronę należało uciekać? W górę czy w dół? Gdzie założyliście wybuch pożaru? A co gdy właśnie jest zlokalizowany na drodze Waszej ucieczki? Dobrze, uratowaliście się. Ile czasu wam to zabrało? Czy można szybciej? A czy pomyśleliście o innych?? A o kim? Co mogliście zrobić dla nich? Może wiążą Was z nimi jakieś zobowiązania? A co zrobiliście dla zabezpieczenia przyszłości instytucji w której się znajdujecie (przyszłego jej funkcjonowania)? Czy coś i co należało wyłączyć? Co z danymi? Wynikami badań? Ile czasu to zabiera? Robicie to w spokoju i bez stresu, a co będzie jak wybuchnie panika? Co wskazuje czasomierz? Powtórzcie po pewnym czasie przemyślony już zestaw czynności. Ile czasu Wam to teraz zabrało? Takie ćwiczenie jest pomocne by zrozumieć znaczenie procedur i ich wyszkolenia. Pożar dość łatwo sobie wyobrazić natomiast inne zdarzenia (np. zamieszanie na rynku finansowym i to z jakimi reakcjami mamy wtedy do czynienie) raczej trudno sobie tak na poczekaniu wymyślić. Zarządzanie ryzykiem to proces i to proces ciągły. Dokumentuj zarządzanie ryzykiem i zapisz przyczyny stojące za wybranymi ryzykami i jakie sposoby przeciwdziałania im wybrano i zastosowano. Co i kto zrobił. Taka dokumentacja jest bardzo cenna. To na jej podstawie 22 Rozdział 5. Zarzadzanie ryzykiem

27 można później ocenić czy plany i procedury są efektywne, Co zawiodło? Co było właściwym zachowaniem. Co poprawić.? Ustal i zapisz kto za co odpowiada. Monitoruj i oceniaj proces zarządzania ciągle. Błędów nie robią tylko Ci, którzy nic nie robią albo ich ograniczenia mentalne uniemożliwiają im zauważenie robienia błędów. Próby ukrycia popełnionych błędów to oznaka konfliktu interesów. Ja jestem przecież dobrym pracownikiem, musze ukryć błąd bo nie będę uważany za dobrego, bez względu na to ile to będzie kosztować organizacje Monitorowanie i ciagła weryfikacja procesu zarzadzania ryzykiem Zmieniające się otoczenie weryfikuje przyjętą strategie zarządzania ryzykiem. Zmienność wymusza okresowy przegląd sytuacji i ponowne analizowanie sytuacji. Okresowe przeglądy sytuacji ryzyka pozwalają na wychwycenia i ocenę zmian prawdopodobieństwa wystąpienia ryzyk oraz ewentualnych zmian ich skutków. Monitoring i ciągła analiza pozwala na wprowadzenie zmian w zaplanowanych działaniach unikani/ łagodzenia ryzyka. Jest konieczny by sprawdzać czy przyjęte zabezpieczenia nadal są właściwymi i czy koszt ich stosowania jest nadal usprawiedliwiony. Ponowny przegląd jest robiony jako powtarzająca się procedura w równych odstępach czasu jeśli zmiany w otoczenie nie są zmianami gwałtownymi. W przypadku tych drugich każde wystąpienie dużej zmiany powoduje konieczność kolejnego przeglądu. Periodyczne przeglądy pozwalają na identyfikacje nowych zagrożeń nie występujących w czasie poprzedniego przeglądu i aktualizacji. Każdy pracownik na swoim stanowisku informuje o dostrzeżonym przez siebie ryzyku przełożonych. Ci z kolei powinni spowodować by informacja ta dotarła do osób odpowiedzialnych za zarządzanie ryzykiem. Jeśli w czasie monitorowania zauważone zostają ryzyka, które mogą spowodować kłopoty dla klientów firma powinna o tym poinformować swoich klientów. Powodem takiego działania jest słowo- swoich. Na rynku każdy działa na własny ryzyko i swoja odpowiedzialność. Ale zawsze jeśli klient nie do końca rozumie wyrafinowane transakcje finansowe jakie za pomocą swojej instytucji zawiera. W każdym przypadku (przykład - opcje sprzedawana polskim firmom w 2008 roku, Orange County, itd.) klient w przypadku strat będzie na drodze sadowej starał się dochodzić zadość uczynienie od swojej instytucji finansowe. Bez względu na to czy klient ma racje albo inaczej czy racje jego uzna sąd, reputacja Waszej instytucji jest narażona na ryzyko utraty lub uszczerbku Skuteczność zarzadzania ryzykiem Stworzenie systemu skutecznego w zarządzaniu ryzykiem nie polega jedynie na przygotowaniu procedur i formalnego wpisania go w system zarządzania instytucją. Zarządzanie ryzykiem to proces złożony, opierający się na szerokim i powszechnym zrozumienie sensu operacji i instrumentów których się używa i oferuje klientom. Wymaga szkoleń wstępnych i przygotowania odpowiedniej kultury wewnątrz organizacji. Ta kultura i to że proces ten działa jest podstawą by nie został tylko zbiorem nudnych zapisów procedur, których nikt nie czyta ani nie stosuje. Jest podstawą jego efektywnego działania. Każdy pracownik powinien czuć, że uczestniczy w czymś co jest ważne dla firmy i widzieć, ze rzeczywiście tak jest. Kluczowym dla skuteczności tego procesu jest osobiste zaangażowanie Członków Zarządu w ten proces. Wiele 5.6. Kontrolowanie ryzyka 23

28 regulacji prawnych w wielu krajach nakłada na Zarząd (instytucji finansowych) obowiązek i odpowiedzialność za zarządzanie ryzykiem w firmie. Na każdym poziomie operacyjnymi w każdej operacji powinna być obecna kultura zarządzania ryzykiem i jego świadomość jego występowania i kontrolowania. Zasady funkcjonowania organizacji powinny być jasne transparentne (sposoby podejmowania decyzji). Unikanie konfliktu interesów powinno być podstawą myślenia o strukturze działań organizacji. W trudnych przypadkach najczęściej zawodzi człowiek. Zawodzi głównie dlatego, ze uwikłany jest w konflikt interesów nie zawsze z własnej winy. Ten konflikt może przejawiać się w bardzo pozornie niewinnych zachowaniach. Patrząc na przykłady kłopotów Orange County, Barings Banku Societe Generale widać, że bohaterami tych historii byli wybitni specjaliści. Osoby uznawane za najlepsze. Każdy człowiek bardzo chce być uznawany za dobrego w tym co robi, tak wiec w chwili pomyłki stara się ja ukryć i naprawić ja w przyszłości. Często jest wspierany praz najbliższych kolegów, którzy w poczuciu solidarności kryją jego błędy obserwując ja stara się odrobić straty. Staja się z czasem współwinnymi i kryją błąd dalej. To z reguły doprowadza do tego, że błąd, kiedyś mały staje się duży. Często prowadzący do upadku wielkich organizacji. W wymienionych wyżej przykładach upadków widać, ze niemożliwym jest by ich bohaterowie działali samotnie bez wiedzy i wsparcia kolegów z pracy. Gdyby ich błąd wykazał by system zarządzana ryzykiem zaraz na początku, ewentualna strata byłaby mała i łatwa do odrobienia albo łatwiejsza do absorpcji. Pomoc koleżeńska i przymykanie oka przy omijaniu procedur (aby być ludzkim przyjaciele a nie formalistom, często prowadzi do dużych kłopotów mimo, że wynika, jak się wydaje z pobudek dobrych i humanitarnych (konflikt interesu- dla kogo jestem dobry?). W tworzeniu procedur i planowaniu musi być jasno zdefiniowana odpowiedzialność. Kto za co odpowiada i dlaczego należy sprawdzić osobiście i podpisać decyzje podpisana już przez kolegę. Działaniom musi towarzyszyć poczucie wspólnoty działania, współpracy w sukcesie i w niepowodzeniach. Aby system mógł działać sprawnie dobra komunikacja jest bezwzględnie konieczna. Działać dobrze w dół jak i w górę a nawet między działami organizacji. Skutecznie działające zarządzanie ryzykiem pozwala na realizacje podstawowego oczekiwania stawianego instytucji komercyjnej czyli na tworzenie i wzrost wartości firmy. Zapewnia jej ciągłość działania i osiąganie stawianej sobie celów. Stabilizuje dochody. Zarządzenie ryzykiem musi być ciągle doskonalone a działania podejmowane w tym zakresie muszą uwzględniać koszty zarządzania ryzykiem, które nie powinny nadmiernie wzrastać. Organizując zarządzanie ryzykiem w instytucji finansowej należy sobie postawić trzy kluczowe cele: Pomiar - jak pomierzyć ryzyko? Jaki system software będziemy wykorzystywać do tego celu. Z kim ( jaką instytucją powinniśmy być kompatybilni? Często bowiem nasza jednostka organizacyjna wchodzi w skład innych jednostek organizacyjnych i przyjmujemy wspólny system obrabiania danych. Najczęściej pomiar ryzyka będzie jakaś odmiana Value at Risk. Ta metoda zostanie omówiona w kolejnych rozdziałach niniejszego opracowania. Kluczowym jest decyzja o przyjętych modelach wyceny. Należy bowiem pamiętać, ze firma jest tak bezpieczna, jak bezpieczne są jej modele. Procedury - kto co robi? 24 Rozdział 5. Zarzadzanie ryzykiem

29 Należy bardzo dobrze znać produkty i instrumenty finansowe, których się używa lub które się sprzedaje. Znać wszelkie możliwe ryzyka jakie się z nimi wiążą. Do tego dochodzą ryzyka operacyjne. Mając przygotowane listę tych ryzyk należy zaplanować, stworzyć, bądź dostosować istniejące procedury tak by powstały opisy działania w trakcie rutynowych operacji jaki w sytuacjach kryzysowych. Procedury określają co i kto robi w opisanych sytuacjach. Z nich wynikają przydziały czynności i podziały obowiązków. Procedury określają kto zatwierdza decyzje i działania, kto sprawdza poprawność wykonania etc. Z działaniami i wiąże się odpowiedzialność, którą procedury musza określać i zakres raportowania i rodzaj dokumentów które musza powstać w opisanych sytuacjach. Procedury musza wynikać i być zgodne z regulacjami wewnętrznymi i regulacjami zewnętrznymi (np. Nadzoru Finansowego. Zgodność regulacji to osobne źródło ryzyka prawnego. Procedury powinny być jasne i stosowane. Świadomość problemów zarządzania ryzykiem powinna być jak najszersza wśród pracowników. Kontrolowanie ryzyka to również określanie ( przydział ) limitów na poszczególne operacje, instrumenty, Przydział limitów zaczyna się od góry i obejmuje poszczególne działy organizacji i poszczególne stanowiska i instrumenty. Z limitów wynika jak wielkie transakcje i kto ma prawo zawierać, jest to szczególnie istotne w przypadku osób prowadzący operacje na rynkach walutowych, kapitałowych, kupujących/ sprzedających instrumenty finansowe, inwestujące powierzone środki bądź zarządzające portfelem firmy. Limity nie tylko dotyczą wielkości pozycji zajętej ale dotyczą też stóp procentowych. Muszą odpowiadać przyjętej i określonej dywersyfikacji ze względu na walutę i zapadalność tak aby uniknąć nadmiernej koncentracji. Limity powinny określać listę instrumentów dozwolonych. W tym miejscu należy podkreślić ryzyko instrumentów pochodnych i limitów na nie (wielkość zobowiązania oraz wielkość depozytu zabezpieczający- problem konieczności uzupełniania). Limity również powinny zawierać określenie maksymalnej straty jak można ponieść na danej pozycji. Jeśli strata osiągnie limit, pozycja musi być bezwzględnie zlikwidowana. W działaniach rynkowych musi być wprowadzona zasada wyceny instrumentów (aktywów i pasywów) jako Mark - to market czyli po aktualnych wycenach rynkowych i ustalać limity księgowe dla narastających pozycji. Ustalanie limitów to również liczenie VaR- zagregowanej ekspozycji jako potencjalna strata ustalenie limitu na tę wartość. Ustalenie limitów jest wymagane przez Risk Managera (osobę odpowiadającą w organizacji za zarządzanie ryzykiem) i zatwierdzone przez Zarząd. Limity musza być zaimplementowane w odpowiednich systemach i sprawdzane na koniec dnia przez Kontrole finansową oraz na bieżąco kontrolowane przez Risk Managera. Komunikacja - dochodzenie do tak lub nie W całym procesie zarządzania ryzykiem istotna jest komunikacja. Zarządzanie ryzykiem to działanie zespołowe. Przepływ informacji nie tylko musi zapewniony z góry na dół ale i tez w kierunku odwrotnym oraz miedzy działami i pracownikami. Właściwa komunikacja to nie tylko przepływ informacji ale i podejmowanie wspólnych działań i dokonywanie wspólnej oceny. Informacja która pojawia się w systemie musi powodować reakcje i to reakcje jednoznaczną. Ocena sytuacji na podstawie dochodzących informacji musi zakończyć się jednoznaczna decyzją. Jednoznacznie należy określić tak implementujemy określone działanie lub nie nie robimy tego. Ryzyka nie da się uniknąć ale daje się nim zarządzać. Właściwa komunikacja i świadomość zarządzania ryzykiem pozwala na jego ocenę a podejmowane działania czynią go akceptowalnym Kontrolowanie ryzyka 25

30 Jest to możliwe jeśli pracownicy są świadomi problemów a informacje o pojawieniu się ryzyka dociera do właściwych ludzi w organizacji na czas. Okresowy monitoring tego co zaszło dzienne pozycje powinny być analizowane na szczeblu działów jak i na szczeblu centralnym. Wyniki raportów ze stress testów powinny być omawiane w gronie kierownictwa. Służby zarządzania ryzykiem przygotowują raporty tygodniowe i miesięczne, które to raporty są prezentowane i omawiane przez kierownictwo organizacji. Funkcje zarządzania ryzykiem ewoluują w czasie. Aby zarządzać skutecznie należy włączyć w zarządzanie ryzykiem, kierownictwo i wszystkich pracowników. Zarząd organizacji musi być odpowiedzialny za zarządzane ryzykiem. Procedury i działania powinny być zaprojektowane uważnie. Decyzje personalne czyli właściwe obsadzenie stanowisk analizy ryzyka i jego monitorowania jest niezmiernie ważną sprawą. Odpowiednie zaplecze technologiczne jest niezmiernie istotne, dane muszą być aktualne i prawdziwe a modele wyceny godne zaufania. Organizacja jest tak bowiem bezpieczna jak dobre i bezpieczne są modele, których używa. 26 Rozdział 5. Zarzadzanie ryzykiem

31 ROZDZIAŁ 6 Opcje 6.1 Podstawowe cechy opcji Opcje stanowią podstawowy element innych instrumentów finansowych. Opcje to instrument zwany instrumentem pochodnym, gdyż jego cena zależy (pochodzi) od ceny innego aktywa. Opcje to instrument finansowy, którego popularność szybko rośnie. Opcje to instrument mądry, użyteczny ale i niebezpieczny. Opcje to instrumenty coraz częściej stosowane. Ten wzrost stosowania opcji ma swe źródło w szczególnych cechach opcji. Opcje: Stwarzają na rynku możliwości do korygowania ryzyka lub zmieniania przepływów przychodów co bez ich istnienia nie byłoby możliwym. Stwarzają możliwość stosowania dźwigni finansowej. Mogą być używane jako generator dodatkowego dochodu z portfela inwestycyjnego. Przykładowo opcje dają możliwość dźwigni finansowej. Efekt dźwigni finansowej w przypadku opcji polega na tym, że przy pomocy względnie małych sum pieniędzy możemy generować znaczne zyski. Przykładowo popatrzmy na notowania cen akcji Yahoo w kilku kolejnych dniach i cen opcji na zakup tych akcji w tym samym czasie. czas cena akcji Yahoo cena opcji na akcje DZIEŃ DZIEŃ DZIEŃ DZIEŃ Zysk (%) Jak widać w przypadku zmian cen akcji można było zarobić 13% dysponując kwotą około 100 jednostek a na opcjach 100% dysponując kwota około 10 jednostek. Opcja to niezłe narzędzie do spekulacji. Ale to jest właśnie w niej niebezpieczne. Wszystkim zainteresowanym polecamy przeczytanie ciekawego tekstu 10 mitów o instrumentach pochodnych : 27

32 Opcje mają i inne zastosowania. Głównie stosuje się je do zabezpieczania przed niekorzystną zmianą cen instrumentów finansowych. Temu ich zastosowaniu będzie poświecony poniższy tekst. Co dają opcje swym posiadaczom. Za co płacą pieniądze kupując opcje? Kupując opcje kupuje się możliwość wyboru w przyszłości. Prawo wyboru jest niestety prawem ograniczonym, bo cena opcji wiąże się z ceną aktywa. Opcje bowiem są oparte o prawo do aktywów. Właściciel opcji może: Sprzedać ją komuś innemu. Pozwolić jej wygasnąć (nie skorzystać z możliwości jakie daje). Wykonać ją (czyli skorzystać z niej). 6.2 Opcja call i opcja put Opcja call daje prawo (ale nie nakaz) do kupienia w określonym okresie czasie aktywa za określoną cenę. Nabywający opcji płaci pieniądze w wysokości Premii sprzedawcy opcji w zamian za to prawo. Sprzedawca opcji bierze pieniądze (Premia) za obowiązek sprzedaży w określonym okresie czasu, aktywa, za określona cenę, jeśli posiadacz opcji zechce skorzystać z tego prawa. Opcja call to jak kupienie biletu do kina. Kupując bilet do kina za jego cenę (Premia) możemy wybierać miedzy następującymi możliwościami (wybór ograniczony w czasie - praktycznie do rozpoczęcia seansu): Iść do kina i zobaczyć film (wykonanie opcji) Sprzedać posiadany bilet komuś innemu (np. z zyskiem jeśli seans jest wyjątkowo atrakcyjny) Nie iść do kina (pozwolić opcji na wygaśniecie). Opcja put daje prawo (ale nie obowiązek) do sprzedaży aktywa w określonym czasie, za określoną cenę. acz opcji płaci pieniądze w wysokości Premii sprzedawcy opcji w zamian za prawo do sprzedania. Sprzedawca opcji bierze pieniądze w zamian za obowiązek kupienia określone aktywa za, określoną cenę, w określonym czasie. Nie jest koniecznym posiadanie aktywa przed wykorzystaniem prawa z wystawienia opcji Put. Aby wejść w posiadanie opcji, ktoś ja musi sprzedać (wystawić). Jeśli wystawi się opcję a nikt jej nie kupi można ją zniszczyć. Ilość opcji call w obrocie nie jest równa ilości opcji put. Ilość opcji w obrocie zmienia się w trakcie każdego dnia funkcjonowania rynku finansowego. 28 Rozdział 6. Opcje

33 6.3 Terminologia rynku opcji Cena wykonania Cena za którą nabywca może kupić (w przypadku Call) lub sprzedać (w przypadku Put) aktywo podstawowe Premia Cena opcji, płacona przez nabywającego, wystawcy opcji. Każda opcja posiada dwie ceny: Cenę sprzedaży (bid) czyli najwyższa cenę, jaką ktoś chce zapłacić za opcje. Cenę kupna (ask) czyli najniższą za którą ktoś chce sprzedać daną opcję Data wygaśnięcia/zapadalności T Jest to ostatni termin do wykorzystania opcji (jeśli to opcja amerykańska), jedyna data do wykorzystania opcji (jeśli jest to opcja europejska). Różnica miedzy opcją amerykańską a europejską jest taka, że opcje amerykańska możemy wykorzystać każdego dnia do terminu wygaśnięcia (zapadalności) a opcje europejska tylko w dzień zapadalności. Po tym terminie opcja wygasa Wykonanie Kupno podstawowego aktywa (w przypadku call), sprzedaż aktywa podstawowego (w przypadku put). Zazwyczaj jest jedna cena wykonania powyżej i jedna cena poniżej aktualnej ceny aktywa Prawo Tylko posiadacz opcji ma prawo. Prawo by sprzedać lub kupić aktywo podstawowe. Wystawca opcji (sprzedający) ma wypełnić obowiazek wynikający z prawa posiadacza opcji. W przypadku kontraktu opcyjnego występują dwie transakcje związane z tym kontraktem. Transakcja otwierająca zależność opcyjną to sprzedaż opcji przez wystawiającego. Transakcja która kończy zobowiązanie opcyjne jest nazywana transakcją zamknięcia. UWAGA! Opcja call nie jest odwrotną transakcją do put ani put nie jest odwrotna do call. Ryzyko stron nie jest bowiem symetryczne. Można pozbyć się ryzyka wystawienia opcji poprzez zawarcie transakcji odwrotnej - t.j. wystawca opcji może pozbyć sie zobowiązania poprzez kupienie identycznej opcji Terminologia rynku opcji 29

34 Posiadając opcje posiadamy prawo wyboru. Jaka jest wartość takiego prawa czyli co to jest wartość opcji? Opcja to prawo kupna lub sprzedaży aktywa za określoną cenę. Jej wartość składa się z wartości oceniającej aktualne warunki rynkowe (wartość wewnętrzna intristic value) oraz nadzieje na przyszłość, ocenę przyszłych warunków rynkowych - wartość czasową (time value). Na wartość opcji czyli na jej cenę składa się jej wartość wewnętrzna i jej wartość czasowa. Im opcja jest bliższa wygaśnięcia tym wartość czasowa maleje Wartość wewnętrzna (Intrinsic Value) dla opcji call jest różnicą pomiędzy ceną instrumentu bazowego, a ceną wykonania, dla opcji put jest różnicą pomiędzy ceną wykonania, a ceną instrumentu bazowego. Wartość wewnętrzna przyjmuje tylko wartości dodatnie lub jest równa zero. Opcja z zerowa wartością wewnętrzna nazywa się out of the money, opcja z wartości a wewnętrzną większą od zera nazywa się in the money a jeśli cena wykonania opcji jest równa cenie aktywa bazowego opcje nazywa się at the money. Rysunek 6.1: Ewolucja czasowa ceny aktywa. Jeśli mamy opcję Call o cenie wykupu K = 125 to w obszarze czerwonym jest ona out of the money*, w zielonym in the money a punktach w których kurs aktywa przechodzi przez cenę wykonania at the money. Kupując opcje musimy się liczyć z dwoma opłatami transakcyjnymi. Jedna - zakup opcji, druga transakcja nabycia/sprzedania aktywa. Wystawca opcji zarabia wartość premii jeśli nabywca nie wykorzysta opcji. Inwestor wyszukuje właściwą opcje kierując się (w przypadku akcji spółki) Nazwą firmy, datą zapadalności (wygaśnięcia), ceną wykonania, i typem opcji. 6.4 Profile ryzyka w czterech przypadkach 30 Rozdział 6. Opcje

35 Przykład Mamy następującą informacje: Diora Stycz Call Gdzie: Diora - nazwa spółki Styczeń - data zapadalności, cena wykonania Call - typ opcji. Przyjmijmy, ze cena takiej opcji cal wynosi 3.25 a cena opcji put jednostki monetarnej. Będziemy także oznaczać datę zapadalności jako t = T, a chwilę obecną t = Long Call - kupujemy prawo kupna Zanim przystąpimy do analizy profili wypłat, omówimy dokładnie co bedzie znajdowało się na poniższych wykresach. We wszyskich przypadkach będziemy rozważać ten sam przypadek opcji na aktywo o chwilowej cenie 115, i cenie wykonania w momencie czasu t = T wynosi K = 125. Rynkowa cena takiej opcji call i put wynosi odpowiednio 3.25 i Na poniższym rysunku znajdują się dwie krzywe. Grubą niebieską linią zaznaczono profil wypłaty w czasie t = T od ceny jaką przyjmie aktywo w czasie t = T. Cienką czerwoną linią zaznaczono cenę opcji w czasie t = Zwrot w czasie wykonania Long Call Cena aktywa (S) Rysunek 6.2: Cena akcji w t = 0 (cienka czerwona linia) oraz t = T (grubą niebieską linia). Załóżmy teraz, że nabędziemy taką opcje w momencie t = 0. Jej cena zgodnie z założeniami 6.4. Profile ryzyka w czterech przypadkach 31

36 wynosi Zakładając, że nie mamy żadnego kapitału, pod takim zakupie jesteśmy zadłużeni na 3.25 i mamy opcje z pewnym profilem wypłaty w okresie zapadalności t = T. Jeżeli wieć przesuniemy wykres o 3.25 do góry, to wykres ceny opcji w czasie t = 0 będzie przechodził przez zero dokładnie dla tej wartości ceny aktywa jaka akurat jest w t = 0. Dostaniemy więc wykres: Zysk/strata Long Call Cena aktywa (S) Rysunek 6.3: Long - Call: czyli nabyliśmy prawo do kupna po cenie K. Punkt na wykresię (115, 0) możemy interpetować jako stan naszego portfela, mamy bowiem. na chwilę zakupu opcji t = 0 mamy dokładnie zero a aktywo ma wartość 115. Czy zarobimy na kupnie tej opcji zależy od scenariusza ewolucji ceny aktywa na rynku w czasie do t = T. W przypadku opcji europejskiej, jedynie od jego końcowej wartości. Posiadacz opcji call, wystawca opcji call, posiadacz opcji put, wystawca opcji put. Innymi słowy: Profil zysku dla posiadacza opcji call (long call) w zależności od ceny wykonania aktywa jest następujący: jeśli cena aktywa na czas wykonania jest niższa od ceny wykonania, posiadacz opcji ponosi koszt jej zakupu, bo oczywiście pozwoli jej wygasnąć a kupi aktywo poniższych cenach rynkowych. W naszym przypadku Gdy cena aktywa wzrośnie powyżej ceny wykonania + cena opcji ( =128.25) (break even point) zysk będzie praktycznie nieograniczony i zależny od wzrostu. Miedzy cena wykonania a cena wykonania + cena opcji zysk będzie równy ujemny ale ograniczony. Te punkty punkty zaznaczone są czerwonymi kropkami na osi odciętych na powyższym wykresie. 32 Rozdział 6. Opcje

37 6.4.2 Short Call - sprzedajemy prawo kupna W przypadku strony wystawiającej (sprzedającego opcje call) zysk pojawia się w wysokości premii jeśli kupujący nie skorzysta z opcji. Jeśli cena aktywa będzie wyższa od ceny wykonania sprzedający ponosi stratę i jest ona zależna od ceny aktywa czyli jest nieograniczona Zysk/strata 115 Short Call Cena aktywa (S) Rysunek 6.4: Short - Call: czyli sprzedaliśmy prawo do kupna po cenie K - wystawiliśmy opcję Long Put - kupujemy prawo sprzedaży Posiadacz opcji put (long put) o cenie i cenie wykonania 125 nie będzie wykorzystywał opcji jeśli cena aktywa będzie wyższa niż 125 bo sprzeda aktywo na rynku kasowym. W zakresie zrealizuje opcje celem zminimalizowania straty. Zysk osiągnie jak cena spadnie poniżej Wystawca opcji put natomiast realizuje zysk w wysokości premii jeśli nabywca nie zrealizuje opcji czyli gdy ceny aktywa będą powyżej Natomiast jeśli spadną poniżej poniesie stratę. Kupując opcje kupujący zabezpiecza się przed niekorzystna zmianą ceny aktywa. Wystawca opcji kupna zarabia, gdy nie zrealizujemy opcji, czyli wtedy gdy cena akcji na rynku spadnie. Wystawca opcji sprzedaży zarabia wtedy, gdy na wskutek wzrostu cen nie wykorzystamy opcji. Patrząc na profile ryzyka poszczególnych pozycji zajętych na rynku opcji - czyli; long call, short call, long put, short put, nasuwa się pomysł aby używać kombinacji opcji i w ten sposób 6.4. Profile ryzyka w czterech przypadkach 33

38 Long Put Zysk/strata Cena aktywa (S) Rysunek 6.5: Long - Put: czyli nabyliśmy prawo do sprzedaży po cenie K. Zysk/strata Short Put Cena aktywa (S) Rysunek 6.6: Short - Put: czyli sprzedaliśmy prawo do sprzedaży po cenie K - wystawiliśmy opcję. 34 Rozdział 6. Opcje

39 chronić posiadane aktywa za pomocą opcji. Takie strategie opcyjne są omówione w rozdziale - Hedging za pomoca opcji. 6.5 Jak zależy profil wypłaty od parametrów K,S? Poeksperymentujmy z wykresem zysku/straty na zakupie opcji w zależności od parametrów S 0, K. Tak jak poprzednio, zakładamy, że w chwili początkowej nie mamy zadnego kapitału i jedyną operacją, którą wykonujemy jest zakup lub sprzedaż opcji. W przypadku zakupu stan naszego portfela jest obciąża nasz na kredyt, jeśli zaś sprzedajemy to mamy depozyt. Zakładamy, że w chwili początkowej istnieje pewna godziwa cena opcji, którą wliczamy w nasz początkowy bilans. Innymi słowy na poniższych wykresach zielona linia oznacza profil zysku straty z transakcji w chwili t = T, biorący pod uwagę fakt poniesienia kosztów kupienia opcji lub wpływów za jej wystawienie. Informacja: W poniższym kodzie definiujemy funkcje C i P, które są słynnymi wzrorami Blacka-Scholesa na cenę opcji Call i Put, odpowiednio. W tym momencie przyjmijmy, że reprezentują one cenę godziwą opcji. Ich wyprowadzenie będzie omówione w następnym rozdziale Kupujemy opcję Call Poeksperymentuj komputerem Uruchom poniższy kod. Jak z otrzymanego wykresu odczytać cenę za którą kupiono opcję? Dla jakich ustawień suwaka opcja jest in-the-money a dla jakich out-the-money? Dla jakiego ustawienia wartość czasowa opcji jest największa? Kiedy opcja jest prawie nic nie warta? Ustaw S 0 = 130 a na K = 110. Z przesunięcia wykresu profilu wypłaty określ ile zapłacono za opcje. Dlaczego cena była równa prawie ? Jaką możemy ponieść maksymalną stratę? Jaki jest maksymalny zysk? def _(K=slider(100,135,1,default=125),\ S0=slider(100,135,1,default=115)): p = plotoption(option=longcall,s0=s0,k=k,c= green ) p.set_axes_range(xmin=100,xmax=140,ymin=-20,ymax=20) p.show(figsize=5) except: print "Wykonaj pierwszą komórkę!" Sprzedajemy opcję Call 6.5. Jak zależy profil wypłaty od parametrów K,S? 35

40 Rysunek 6.7: Opcja call z parametrami K i S 0. Poeksperymentuj komputerem Uruchom poniższy kod. Jak z otrzymanego wykresu odczytać cenę otrzymaną za wystawienie opcji? Dla jakich ustawień suwaka opcja jest in-the-money a dla jakich out-the-money? Dla jakiego ustawienia wartość czasowa opcji jest największa? Kiedy opcja jest prawie nic nie warta? Ustaw S 0 = 128 a na K = 108. Z przesunięcia wykresu profilu wypłaty określ ile zapłacono za opcje.dlaczego cena była równa prawie ? Jaką możemy ponieść maksymalną stratę? Jaki jest maksymalny zysk? def _(K=slider(100,135,1,default=125),S0=slider(100,135,1,default=115)): p = plotoption(option=shortcall,s0=s0,k=k,c= green ) p.set_axes_range(xmin=100,xmax=140,ymin=-10,ymax=20) p.show(figsize=5) except: print "Wykonaj pierwszą komórkę!" Kupujemy opcję Put 36 Rozdział 6. Opcje

41 Poeksperymentuj komputerem Uruchom poniższy kod. Jak z otrzymanego wykresu odczytać cenę za którą kupiono opcję? Dla jakich ustawień suwaka opcja jest in-the-money a dla jakich out-the-money? Dla jakiego ustawienia wartość czasowa opcji jest największa? Kiedy opcja jest prawie nic nie warta? Ustaw S 0 = 110 a na K = 130. Z przesunięcia wykresu profilu wypłaty określ ile zapłacono za opcje. Dlaczego cena była równa prawie ? Jaką możemy ponieść maksymalną stratę? Jaki jest maksymalny zysk? def _(K=slider(100,135,1,default=122),S0=slider(100,135,1,default=115)): p = plotoption(option=longput,s0=s0,k=k,c= green ) p.set_axes_range(xmin=100,xmax=140,ymin=-20,ymax=20) p.show(figsize=5) except: print "Wykonaj pierwszą komórkę!" Sprzedajemy opcję Put Poeksperymentuj komputerem Uruchom poniższy kod. Jak z otrzymanego wykresu odczytać cenę otrzymaną za wystawienie opcji? Dla jakich ustawień suwaka opcja jest in-the-money a dla jakich out-the-money? Dla jakiego ustawienia wartość czasowa opcji jest największa? Kiedy opcja jest prawie nic nie warta? Ustaw S 0 = 105 a na K = 125. Z przesunięcia wykresu profilu wypłaty określ ile zapłacono za opcje.dlaczego cena była równa prawie ? Jaką możemy ponieść maksymalną stratę? Jaki jest maksymalny zysk? def _(K=slider(100,135,1,default=125),S0=slider(100,135,1,default=115)): p = plotoption(option=shortput,s0=s0,k=k,c= green ) p.set_axes_range(xmin=100,xmax=140,ymin=-10,ymax=20) p.show(figsize=5) except: print "Wykonaj pierwszą komórkę!" 6.6 Wycena opcji Na wartość opcji wpływają czynniki rynkowe. Na przykładzie europejskiej opcji call (pierwszej opcji wycenionej teoretycznie) widać, ze wartość opcji zależy od pięciu czynników. Czyn Wycena opcji 37

42 nikami tym są: cena aktywa podstawowego na rynku kasowym cena wykonania czas do wygaśnięcia stopa wolna od ryzyka zmienność ceny aktywa (volatility) W przypadku ceny aktywa, im wyższa cena aktywa (np. akcji), tym wyższa cena opcji call a niższa cena opcji put. Odwrotna zależność zachodzi w przypadku ceny wykonania dla opcji call; im niższa cena aktywa tym wyższa wartość opcji. Czas do wygaśnięcia (zapadalności) - Czas do wygaśnięcia jest mierzony jako część roku. Podobnie jak zmienność (volatility), dłuższy czas do wygaśnięcia zwiększa wartość wszelkich opcji. To dlatego, ze są większe szanse że opcja wygaśnie w cenie (in-the-money) w dłuższym czasie. Stopa wolna od ryzyka - Stopa wolna od ryzyka jest najmniej znaczącym parametrem. Jest ona używana do dyskontowania ceny wykonania, ale ponieważ czas do wygaśnięcia w praktyce jest dużo niższy niż 9 miesięcy to stopy te bywają niskie i mają niewielki wpływ na cenę opcji. Jeśli stopa wzrasta, to w wyniku wzrostu obniża się cena wykonania. Dlatego, jeśli stopa rośnie opcja call wzrasta w wartości a opcja put obniża wartość. Im większa stopa wolna od ryzyka to większy przychód wygeneruja pieniadze, które zaoszczędzi się kupujac opcje a nie aktywo. Ta różnica zainwestowana do czasu wygaśnięcia opcji generuje wyższy przychód. Zmienność ceny aktywa podstawowego (Volatility) jest mierzona jako zanualizowane odchylenie standardowe zysku z aktywa podstawowego. Cena wszystkich opcji rośnie z rosnącą zmiennością (volatility). To dlatego, że opcje z wyższą zmiennością maja większą szanse na wygaśnięcie w cenie (in-the-money). Cena wykonania jest ustalona na czas życia opcji, ale każde aktywo podstawowe może mieć kilka cen wykonania dla każdego miesiąca wykorzystania. Dla call, im wyższa cena wykonania (strike price), tym niższa wartość call. Dla put, im wyzsza cena strike, tym wyższa wartość put. Czynnik Opcja Call Opcja Put Cena aktywa Wprost Odwrotnie Cena wykonania Odwrotnie Wprost Zmienność Wprost Wprost Stopa wolna od ryzyka Wprost Odwrotnie Czas Wprost Wprost Tabela (1). Wpływ czynników rynkowych na cenę opcji call i put. Podsumowując, aktualna cena aktywa podstawowego jest najbardziej istotnym parametrem ceny. Dla opcji call, im wyższa cena aktywa podstawowego tym wyższa wartość call. 38 Rozdział 6. Opcje

43 6.7 Opcje i lekcja na ich temat, jaka wynika z kłopotów polskich firm z opcjami w roku 2008 W każdym rozdziale niniejszego opracowania, tam gdzie wspomina się o opcjach podkreślane jest, że opcja to świetny instrument do zabezpieczania się przed ryzykiem ale jeśli chodzi o relacje do tego ryzyka - asymetryczny. Asymetryczność przejawia się m.in. w tym, ze kupujący opcje czuje się jak posiadacz polisy ubezpieczeniowej. Zapłacił za nią, czyli poniósł koszt, ale wie, że za tą cenę może być spokojny o przyszłość. Bo jeśli ceny aktywa na które opiewa opcja zmienią się w sposób niekorzystny dla posiadacza opcji (ubezpieczenia) to opcja ochrania go i zmiany te nie będą odczuwalne dla niego. Jeśli zmiany pójdą w stronę korzystną pozwoli opcji wygasnąć ( tak jak w przypadku polisy- nie skorzysta z niej jeśli nie potrzebuje) i skorzysta z dobrodziejstw zmiany. Koszty opcji już poniósł w przeszłości i żadne dodatkowe koszty mu nie grożą. Niestety inaczej wygląda sytuacja wystawcy opcji. Wystawca opcji sprzedaje ubezpieczenie od niekorzystnej zmiany ceny na rynku i zobowiązuje się do zrealizowania w przyszłości transakcji w warunkach korzystnych dla nabywcy i przed zmianą których nabywca się zabezpieczał. Czyli kupić od nabywcy opcji put aktywo po określonej cenie lub sprzedać nabywcy opcji call aktywo po określonej cenie. Przypomnieć należy, że aby wystawić opcje nie jest wymagane posiadanie aktywa na które opcja opiewa. Wystawca opcji działa podobnie do firmy ubezpieczeniowej. W zamian za premie, czyli cenę sprzedanej opcji zobowiązuje się wyrównania niekorzystnych zmian ceny. Zarabia wtedy gdy nabywca nie skorzysta z opcji ale musi wywiązać się ze zobowiązania jeśli ten co kupił u niego opcje zażąda tego i to bez względu na to ile go to będzie kosztować. To znaczy, że sprzedając opcje powinien skalkulować sobie ile to może kosztować i wziął to pod uwagę roztropnie zanim wystawił opcję. Jak wynika z powyższego straty z nabycia opcji nie przekraczają kosztów jej kupna ale korzyść z jej posiadania znaczna i nie ograniczana żadnymi barierami poza wielkością zmiany ceny na rynku, a ta zmiana może być, przynajmniej teoretycznie, nieograniczona. Koszty z wystawienia opcji niestety mogą być wysokie, bo zależą od zmiany ceny na rynku, a ta, przynajmniej teoretycznie, może być nieograniczona. Korzyść natomiast ograniczona jest do wysokości premii czyli ceny za którą nabywca opcji kupił, opcje od wystawcy. Jeśli po lekturze powyższego tekstu pojawi się refleksja, że wystawcy opcji bardzo ryzykują to ta refleksja na tym poziomie wiedzy o rynku i opcjach jest w pełni słuszna ( i taką pozostaje). Żałować należy, że taką wiedzą albo inaczej, że do takiej konkluzji nie doszli zarządzający pewnymi spółkami w kraju w roku Spółki te popadły bowiem w tym czasie w duże kłopoty finansowe w związku z transakcjami opcyjnymi, które, zawarły. Zanim sytuacja roku 2008 zostanie przedstawiona istotnym jest zrobienie jeszcze jednego wyjaśnienia. Uwaga o tym,ze ryzyko wystawcy opcji jest większe niż nabywającego jest prawdą na tym poziomie wiedzy i taką prawdą pozostaje, tak jak zasady zachowania mechaniki klasycznej przykładowo są ważne w fizyce kwantowej i innych bardziej zaawansowanych działach fizyki. Prawda ta jednak nie wyklucza wystawiania opcji. Aby można było nabyć opcje, ktoś ja musi wystawić. Opcje są wystawiane i jest to robione w celach uzyskania zysku a nie straty. Zaleca się jednak by czytający ten tekst nie wystawiali opcji tak długo, jak długo będą odkrywać jakieś istotne informacje w niniejszym opracowaniu. Jeśli bowiem ich doświadczenie i wiedza o rynku będzie tak duża, że nie będą korzystać z takich opracowań, niech wystawiają opcje. Na rynku finansowym, jak i w życiu, nie można osiągnąć nic więcej bez podjęcia ry Opcje i lekcja na ich temat, jaka wynika z kłopotów polskich firm z opcjami 39 w roku 2008

44 zyka. Tylko należy mieć świadomość istnienia ryzyka i umieć oszacować koszty podjęcia tego ryzyka i zarządzania nim tak by, ewentualne straty mieściły się w możliwościach ich pokrycia bez zdezorganizowania funkcjonowania firmy i jej działalności. Niemniej jednak, podmiot gospodarczy, który nie specjalizuje się w transakcjach na rynku instrumentów pochodnych, nie powinien wystawiać tego typu instrumentów Sytuacja na rynku walutowym w okolicach roku uwarunkowania eksporterów Od kilku lat polski złoty PLN generalnie umacniał się w stosunku do głównych walut i coraz mniej złotówek otrzymywali eksporterzy za każdy ( przykładowo) dolar uzyskany z eksportu. Koszty jednak ponosili w złotówkach. Czyli z ich punktu widzenia eksport stawał się mniej opłacalny albo inaczej byli coraz mniej konkurencyjni na rynku. Rysunek 6.8: Kurs USD - PLN w okresie od kwietnia 2004 roku do kwietnia 2008 roku. Interesem eksporterów było zabezpieczenie się przed umacniającym się złotym czyli otrzymywanie jak najwięcej złotówek za np. dolara. Transakcja która mogła spełnić ich oczekiwania przykładowo wygladała następująco: 40 Rozdział 6. Opcje

45 Scenariusz 1 Firma Export S.A. chciała zabezpieczyć swój przyszły przychód o wartości 1 miliona USD na wypadek wzrostu wartości złotówki. Ponieważ działalność firmy to eksport towarów a nie operacje finansowe skorzystała z pomocy dostawcy usług finansowych np. Banku International. Bank zaproponował sprzedaż opcji walutowej - koszt opcji (jakiś ułamek wartości aktywa) - czyli PLN. Kupiony instrument zobowiązywał bank w określonym terminie ( np. 3 miesiące) do zakupu miliona dolarów po ustalonym kursie ( korzystnym dla eksportera)- powiedzmy po 2,50 PLN za USD. W chwili zawarcia transakcji kurs oscyluje około 2.48 PLN za dolara. Firma nie martwi się w tym przypadku o zmiany ceny dolara na rynku bo jeśli złoty się umocni w stosunku do sytuacji opisanej w zawartej transakcji i skorzysta z zakupionej opcji, jeśli natomiast złoty się osłabi pozwoli opcji wygasnąć i skorzysta z zaistniałej sytuacji na rynku. W tym drugim przypadku można mówić o stracie w wysokości opłaty za transakcje czyli ceny opcji, w tym przypadku PLN. Ten koszt już był poniesiony i jest już zaksięgowany w kosztach i wielkość ewentualnych kosztów nie wzrośnie. Właściwie do tego miejsca wszystko wydaje się jasne i zrozumiałe. Tak powinno działać zabezpieczenie. Tylko że z czasem firmie bardzo nie podoba się poziom kosztów transakcji zawieranych. Jeśli obroty wynoszą dziesiątki i setki milionów koszty te stanowią pokaźną pozycje. Bank, któremu klient zwierzył się ze swych obserwacji o kosztach i w obawie o stratę klienta a może w trosce o jego komfort?? wymyśla taką konstrukcję transakcji aby klient nie ponosił tych kosztów. Zaproponowana transakcja wygląda następująco: Scenariusz 2 Firma Export S.A chcąc zabezpieczyć swój przyszły przychód w wysokości 1 miliona USD na wypadek wzrostu wartości złotówki. Ponieważ nie chce płacić bankowi International za wykupienie opcji walutowej PLN bank International proponuje: ja sprzedam Ci opcję walutową za PLN w której zobowiążę się do wykupienia Twojego miliona dolarów po korzystnym 2,50 PLN, to kosztować Cię będzie PLN ale Ty sprzedasz mi opcję walutową wartą, powiedzmy PLN, i zgodnie z tą umową zobowiążesz się, że sprzedasz bankowi 1 milion USD po kursie 2,50PLN za USD. Ponieważ Klient ma płacić bankowi a bank klientowi równe kwoty opłaty za opcje wiec sumaryczny koszt dla klienta wynosi 0 PLN. Koszty takie zadawalają klienta. Ponadto firma Export S.A nie musi martwić się wzrastającą wartością złotówki. Rozwiązanie wydaje się idealne. Co prawda przykład jest teoretyczny wiec cena opcji sprzedaży i kupna są identyczne. W praktyce tak nie jest ale od czego są specjaliści od finansów. Można bowiem regulować tak kwotą sprzedawanych przez klienta bankowi dolarów aby kwoty opłat za opcje były równe czego oczekuje klient. Zadowolenie klienta - wartością naczelna dla banku. To ze Klient ma sprzedać więcej dolarów bankowi niż bank zobowiązuję w swej opcji kupić jest szczegółem. Przecież wystarczy popatrzeć na wykres by zobaczyć, ze PLN się umacnia czyli bank i tak nie wykorzysta swej opcji. I znów wszyscy są zadowoleni, tylko, że klient nie zauważa (może nie zauważył), że wystawił opcje. Jako wystawca opcji ma obowiązek dostarczyć bankowi dolary po 2,50 jeśli bank tego 6.7. Opcje i lekcja na ich temat, jaka wynika z kłopotów polskich firm z opcjami 41 w roku 2008

46 zażąda. Sytuacja na rynku nagle uległa zmianie. Kryzys finansowy USA pojawił się w roku 2008 powodując duże perturbacje na rynkach, w tym na rynku walutowym. Rysunek 6.9: Notowania kursu USD/PLN. Skutkiem wyprzedaży aktywów przez inwestorów zagranicznych w Polsce złoty uległ nagłemu osłabieniu. Wtedy pojawił się problem dla posiadaczy złożonych opcji, kiedy wartość złotego idzie w dół. 1 milion dolarów jaki zarobi firma Export S.A. bank International kupiłby po kursie 3,50 PLN za 1 USD. Tylko, że Firma Export S.A. nie ma już wyboru musi sprzedać swoje pieniądze bankowi International po kursie 2,50 za 1 USD. Ponadto często więcej dolarów niż zabezpieczała sobie kupując opcje put ( pierwsza opcja) bo druga opcja zawarta celem zrównoważenia opłaty (kosztów opcji) za opcje put często opiewała na większą kwotę. Kolejny raz na rynku zdarzyła się sytuacja, której nie przewidzieli zawierający transakcje albo inaczej uznali prawdopodobieństwo wystąpienia jako bardzo niskie, wręcz niemożliwe do wystąpienia w realnym świecie. Kolejny raz rynek brutalnie nauczał pokory. Zerowe prawdopodobieństwo nie istnieje. Ilość zawartych transakcji była znaczna. Patrz wykres poniżej. Firmy wpadły w kłopoty finansowe. W mediach pojawiło się określenie toksyczne opcje jako określenie umów określenie umów zawieranych z bankami przez polskie przedsiębiorstwa w 2008 roku, które często doprowadzały je do kłopotów finansowych, z bankructwem włącznie. Jak to bywa z mediami określenie nie było precyzyjne bo firmy zawierały różne umowy z różnymi bankami, ale miało cel wywołania emocji. Zaistniała sytuacja była analizowana i omawiana szeroko bo i problem był spory i w przypadku niektórych firm zakończył się bankructwem 1. 1 Ciekawą analizę problemu można przykładowo znaleźć w pracy: Danuta Dziagwo, Leszek Dziagwo. 42 Rozdział 6. Opcje

47 Konkluzje prawie wszystkich opracowań były zgodne i podobne. Wypracowując opisaną strategie zabezpieczającą przed ryzykiem kursowym i podpisując umowy z bankami firmy przyjęły na siebie jeszcze większe ryzyko kursowe niż to, przed którym szukały ochrony. A nawet wystawiły się na to ryzyko w stopniu większym niż były wystawione. Ponadto, asymetria umów, w których nominał opcji wystawionych przewyższa nominał opcji nabytych, wskazywał na brak orientacji w działaniu opcji albo brak zrozumienia wykonywanych transakcji( co wydaje się mało prawdopodobne) albo na działania spekulacyjne. Firmy jako podmioty nie zajmujące się działalnością na rynkach finansowych nie powinny były wystawiać opcji. Zawsze, w każdej działalności, należy kierować się zasadą ograniczonego zaufania do partnerów ( a szczególnie finansowych i oferujących coś za darmo ) i nigdy nie wchodzić posiadanie instrumentów finansowych, których działania do końca się nie rozumie. Na rynku pojawiają się ciągle coraz bardziej skomplikowane i wymyślne instrumenty finansowe projektowane przez świetne wyszkolonych specjalistów posiadających znakomita wiedzę matematyczno- numeryczną, których działanie nie wszyscy do końca rozumieją a ryzyka których nie jest w pełni znane. Jednak należy podkreślić jedna pozytywną element omawianej sytuacji. Firmy nie finansowe podeszły aktywnie do zarządzania ryzykiem finansowym, w tym przypadku, kursowym. Omówiony został przypadek firm, które nie zrobiły tego idealnie i popełniły pewne błędy na słusznej drodze słusznych decyzji o zabezpieczeniu. W powyższym przypadku nie mówiono o firmach, które zrobiły to zabezpieczenie właściwie. RYZYKO INSTRUMENTÓW POCHODNYCH W OBROCIE GOSPODARCZYM NA PRZYKŁADZIE OPCJI TOKSYCZNYCH - ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO NR 752 EKO- NOMICZNE PROBLEMY USŁUG NR Opcje i lekcja na ich temat, jaka wynika z kłopotów polskich firm z opcjami 43 w roku 2008

48 44 Rozdział 6. Opcje

49 ROZDZIAŁ 7 Metody wyznaczania ceny opcji 7.1 Jak wyznaczyć cenę opcji? Wyznaczenie ceny opcji polega na tym by określić jej wartość godziną w dowolnej chwili czasu. Wartość zależy od ceny aktywa w przyszłości a ta z kolei zmienia się w losowy sposób. Niestety, nie ma sposobu by znać tę wartość z wyprzedzeniem. Dlatego aby wyznaczyć cenę opcji posługujemy się modelami teoretycznymi. Istnieje wiele modeli stosowanych do tego celu. Wszystkie modele zakładają, że proces ewolucji ceny aktywa jest jest pewnym procesem losowym. Ponadto zakładamy, że mamy do czynienia z rynkiem wolnym od arbitrażu na którym można bez ograniczeń i prowizji handlowac dowolną ilością aktywów. Najprostszym modelem jest dwumianowy model wyceny opcji. (Cox, Ross, Rubinstein, Option pricing: Simplified Approach, Journal of Financial Economics- September 1979). Ten model wycenia europejską opcję call na akcje spółki nie wypłacającej dywidendę. W modelu dwumianowym czas pozostały do wygaśnięcia opcji dzieli się na dyskretne Przedziały. W każdym przedziale czasu cena aktywa P zmienia się przyjmując jeden z dwu możliwych stanów- czyli dwumianowo. Może wzrosnąć do wartości Pu (z prawdopodobieństwem p) lub zmaleć do wartości Pd (z prawdopodobieństwem 1 p), gdzie u > 1, d < 1. Mając zbiór cen aktywa (np. akcji) w postaci drzewka, można wycenić opcję przeprowadzając rachunek wstecz, począwszy od daty wygaśnięcia. Obliczenia wykonuje się w kierunku początku drzewa od chwili T do T 1, dyskontując w tym przedziale czasowym wartość portfela bezpiecznego składającego się z aktywa i opcji, po stopie procentowej wolnej od ryzyka. Procedurę powtarza się aż do chwili wystawienia opcji. Modele te są opisane w szczególach w rozdziale o opcjach binarnych binarne. 7.2 Model minimalny - rynek dwustanowy jednookresowy Rozważmy najprostszy rynek uwzględniający nieprzewidywalną zmienność. Wyobraźmy sobie, że mamy pewne aktywo S, które w chwili początkowej t = 0 posiada wartość S(t = 0) = S 0. Po czasie T dopuszczamy jeden z dwóch możliwych scenariuszy: aktywo drożeje do 45

50 wartości S up albo tanieje do wartości S down. W tym momencie prawdopodobieństwa zajęcia każdego ze scenariuszy są niewiadomą. Rynek jest jednookresowy, co oznacza, że rozważamy tylko dwie chwile czasu: początkową: t = 0 i przyszłą: t = T. Zakładamy, że na rynku istnieje możliwość ulokowania gotówki w depozyt bankowy ze stopą procentową r. Zakładamy, że taka operacja jest pozbawiona jakiegokolwiek ryzyka. Innymi słowy po czasie T depozyt bankowy gwarantuje nam, że nasz kapitał będzie wynosił S 0 e rt. Kolejnym elementem stosowanym przy wycenie instrumentów co do których przyszłości nie mamy pewności, jest pojęcie rynku wolnego od arbitrażu. Arbitraż oznacza, że startując z pewnego kapitału możemy zarobić - w sensie wartości średniej, kupując lub sprzedająć dostępne instrumenty. Zarobek oznacza oczywiście, że po operacji będziemy mieli więcej środków niż dał by nam depozyt bankowy. Oczywiście musimy wziąć pod uwagę wartości średnie, jeśli występują losowo zmieniające się aktywa. Okazuje się, że jeśli przyjmiemy założenie rynku wolnego od arbitrażu, to przy ustalonych stanach aktywa S up i S down, prawdopodobieństwo tego, że aktywo podrożeje p musi spełniać: ps up + (1 p)s down = S 0 e rt (7.1) Dlaczego? Jeśli prawdopodobieństwo to było by większe, wtedy moglibyśmy kupić aktywo i w sensie wartości średniej otrzymalibyśmy więcej niż lokata bankowa. Arbitraż byłby możliwy. W przeciwnym przypadku posiadając aktywo moglibyśmy je sprzedać i ulokować środki na depozycie. Po okresie T za wartość depozytu moglibyśmy nabyć więcej jednostek aktywa niż mieliśmy na początku. Znowu zyskaliśmy w sensie wartości średniej. Równanie (7.1) jest podstawą konstrukcji wszystkich metod wyceny instrumentów finansowych. Korzystając z niego możemy się przekonać jaka jest wartość instrumentu w chwili początkowej czyli wycenić dany instrument. Jeśli znamy, albo założymy, wartości cen po czasie T, to równanie (7.1) jest równaniem na prawdopodobieństwo p. Możemy je wyliczyć. Wtedy mając wszystkie dane na temat drzewa kombinacji, jesteśmy w stanie analizować proces ewolucji cen różnych instrumentów na takim drzewie. 7.3 Wycena opcji na drzewie binarnym 46 Rozdział 7. Metody wyznaczania ceny opcji

51 Ważne: Do analizy zachowania się ceny na drzewie będziemy korzystać z kilku funkcji pomocniczych. Dlatego należy wczytać poniższą komórkę: import numpy as np def gen_all(niter,sp = 4.0,q=0.175,delta1=None,delta2=None): SP = [[SP]] for i in range(niter): tmp = [] for s in SP[-1]: if delta1==none or delta2==none: tmp+= [ (1+q)*s, s/(1+q) ] else: tmp+= [ s+delta1, s-delta2 ] SP.append(tmp) return SP def gen_recombining(niter,sp = 4.0,q=0.175,delta1=None,delta2=None): SP = [[SP]] for i in range(niter): tmp = [] for s in SP[-1]: if delta1==none or delta2==none: tmp+= [ (1+q)*s] else: tmp+= [ s+delta1] if delta1==none or delta2==none: tmp+= [ s/(1+q)] else: tmp+= [ s-delta2] SP.append(tmp) return SP def plot_tree(sp): plt = point( (0,SP[0][0]),size=244,color= gray,alpha=0.2,zorder=0) if len(sp) == len(sp[-1]): for l,prices in enumerate(sp): for i,p in enumerate(prices): if l>0: plt+=point2d( (l,p),size=244,color= gray,alpha=0.2,zorder=0,fac plt+= text("%0.1f"%p,(l,p),color= black,figsize=(5,3)) for l in range(len(sp)-1): for i in range(l+1): plt+=arrow2d( (l,sp[l][i]),(l+1,sp[l+1][i]), arrowshorten=16) plt+=arrow2d( (l,sp[l][i]),(l+1,sp[l+1][i+1]), arrowshorten=16) else: for l,prices in enumerate(sp): for i,p in enumerate(prices): if l>0: plt+=arrow2d( (l-1,sp[l-1][int(i/2)]),(l,p), arrowshorten=16) plt+=point2d( (l,p),size=244,color= gray,alpha=0.2,zorder=0,fac plt+= text("%0.1f"%p,(l,p),color= black,figsize=(5,3)) plt.axes_labels(["rok","wartosc"]) plt.axes_range(xmin=-.2, xmax = len(sp)-1+0.2,ymin=0,ymax=sp[-1][0]+1) return plt def plot_tree2(sp,op): plt = point( (0,SP[0][0]),size=244,color= gray,alpha=0.2,zorder=0) 7.3. Wycena if len(sp) opcji na == drzewie len(sp[-1]): binarnym 47 for l,(prices,oprices) in enumerate(zip(sp,op)): for i,(p,op) in enumerate(zip(prices,oprices)): if l>0:

52 Rozważmy drzewo multiplikatywne i instrument o wartości początkowej S 0. Narysujmy drzewo możliwych scenariuszy po pięciu miesiącach, przyjmując jeden okres modelu jako jeden miesiąc: N = 5 SP = gen_recombining(n,sp=50,q=0.1224) plot_tree(sp) Niech roczna stopa procentowa wynosi 10% a cena wykupu opcji K = 50. Łatwo się przekonać, że takie drzewo jest wolne od arbitrażu dla miary określonej przez q = q = Q = [q,1-q] K = 50 r = 10.0 C = exp(r/100*1/12.).n() Aby wycenic opcje postępujemy w następujący sposób. W ostatnim okresie cena europejskiej opcji kupna (call) zależy tylko od ceny aktualnej aktywa oraz ceny wykupu i jest równa: [max(0,s-k) for s in SP[N]] Znając te liczby możemy obliczyć cenę opcji w przedostatnim okresie rozliczeniowym. Skorzystamy z tym celu z równania (??), dla ceny nie aktywa podstawowoego ale opcji. Zauważmy, że miarę martyngałową obliczyliśmy z równania (??) dla cen opcji. Mamy więc: S i = e ( rt ps + i+1 + (1 ) p)s i+1 Możemy więc napisać następujący algorytm. Zaczynamy od ceny opcji w chwili t = T - czyli od prawej strony drzewa binarnego, która jest dana przez max(0, S K). Następnie stosując wzrór (7.1) dla każdego rozgałędzienia z osobna wyliczamy ceny arbitrażowe dla czasu o jeden okres wcześniej. Podstępując dalej w ten sposób możemy otrzymać całe drzewo cen: OP = [ [max(0,s-k) for s in SP[N]] ] for idx in range(n): el = [ 1/C*(q*OP[-1][i]+(1-q)*OP[-1][i+1]) for i in range(len(op[-1])-1)] OP.append(el) OP.reverse() print "Cena opcji:",op[0] plot_tree2(sp,op) Można jeszcze sobie zadać pytanie jaką intepretacje mają poszczególne ceny w okresach pośrednich? Weżmy z powyższego rysunku punkt z ceną 8.2. Jest to cena opcji okresie 3 w przypadku, gdy cena aktywa w tym momencie wynosi Tą ostatnią cenę odczytujemy z poprzedniego wykresu drzewa cen instrumentu bazowego. Powyższy algorytm wycenia opcję nie tylko w okresie początkowym, ale i w każdej chwili pośredniej. Jeżeli opcja jest typy europejskiego to możemy uprościć ten proces. Zauważmy, że w tym przypadku cena zależy tylko od rozkładu cen w chwili t = T. Całe drzewo składa się z niezależnych zmian ceny, o tych samych prawdopodobieństwach p i 1 p w każdym rozgałęzieniu. Taki proces zmian jest stochastycznym procesem Bernouliego. Dla takiego procesu znamy rozkład końcowy po N próbach: P (k) = ( N k ) p k (1 p) N k. (7.2) 48 Rozdział 7. Metody wyznaczania ceny opcji

53 Cena opcji zależy tylko od tego rozkładu końcowego i możemy ją obliczyć jaka średnią funkcji zmiennej losowej po rozkładzie (7.2): S = N max(0, S(k) K)P (k) (7.3) k=1 Implementacja tego wzoru w Sage jest bardzo prosta: r=0.1 T = 5/12. p = K = 50 S0 = 50 u = d = 1/u N = 5 print exp(-r*t).n()*sum([ binomial(n,j)*p^(j)*(1-p)^(n-j)*max(s0*u^j*d^(n-j)-k,0) for j Wykonując ostatnią komórkę powinniśmy dostać tą samą liczbę jak w procesie wyceny na całym drzewie. 7.4 Model ciagły Obok modeli dyskretnych do opisu ewolucji ceny danego aktywa stosuje się modele ciągłe. Można by zadać sobie pytanie do czego jest potrzebne takie podejscie, skoro czas w praktyce jest naturalnie podzielony na okresy związane z notowaniami np. dziennymy czy miesięcznymi? Jedną z głównych zalet jest możliwość uzyskania, przynajmniej w najprostszych przypadkach, analitycznych wyników. Umożliwiają one np. przeprowadzanie analizy wrażliwości, która była trudna do przeprowadzenia tylko na podstawie symulacji. Modele z czasem ciągłym można też rozwiązywać numerycznie stosując dyskretyzację czasu z pewnym skończonym krokiem. Krok ten decyduje o dokładności rozwiązania numerycznego, im miejszy krok tym większa dokładność. Z drugiej strony powoduje to zwiększenie liczby obliczeń, która w tym przypadku rośnie liniowo z ilością kroków. Jeśli mamy model ciągły to mamy pełną kontrolę nad wielkością kroku i ilością obliczeń i możemy zoptymalizować procedurę numryczną. Klasycznym modelem stosowanym do opisu ewolucji ceny aktywów, jest tzw. geometryczny ruch Browna:. Dany jest on przez równanie Langevina: ds(t) = μs(t)dt + σs(t)dw (t), (7.4) gdzie S jest procesem stochastycznym - ceną aktywa. Parametry μ oraz σ mają interpretację stopy wzrostu i wariancji danego aktywa, odpowiednio. Proces taki jest łatwy do zasymulowania numerycznego Model ciagły 49

54 Poeksperymentuj z komputerem Poniższa komórka zawiera kod programu symulującego proces geometrycznego ruchu Browna. W tablicy numpy zapisujemy historię M trajektorii składającą się z N punktów czasu. Innymi słowy S[3,5] - szóstym krokiem czwartej trajektorii (indeksy zaczynają sie od zera). Poeksperymentujmy: Wykonaj kilka razy komórkę. Za każdym wykonaniem generator liczb losowych np.random.randn zwróci inną próbkę liczb gaussowskich i otrzymamy inne scenariusze symulowanej historii ceny. Jak wpływa wartość parametru r oraz σ na wygląd trajektorii? Zmień liczbę trajektorii na dużo większą. Jak zmienia się czas obliczeń? Dopisz linijkę obliczającą średnią cenę na końcu symulacji (w czasie t = T ) np.average(s[:,-1]). Wykonaj symulacje kilka razy - zobacz jak zmienia się średnia dla M = 10, 100, 1000, 10000? Jak wpływa ilość trajektorii na wartość średnią? Można zautomatyzować ten proces uruchamiając część kodu w dodatkowej pętli. Wykonaj histogram cen końcowych i porównaj z rozkładem P (S, t = T ). W rozdziale geometryczny ruch Browna znajduje się zarówno postać wzoru końcowego jak i obliczanie histogramu, jednak w języku matlab. import numpy as np T,r,sigma = 1,0.1,0.2 S0 = 100 N = 300 M = 10 h = T/N; S = np.zeros((m,n)) S[:,0] = S0*np.ones(M); for i in range(1,n): S[:,i] = S[:,i-1] + r*s[:,i-1]*h + sigma*np.sqrt(h)*s[:,i-1]*np.random.randn(m) sum([line(enumerate(s[i,:]),thickness=0.2,figsize=4) for i in range(m)]) Kolejnym elementem analizy jest określenie związku między modelami ciągłym a drzewami dyskretnymi. 7.5 Zwiazek pomiędzy modelem ciagłym i binarnym kalibracja modelu binarnego Rozważmy model dwustanowy - jednookresowy. Niech cenę aktywa określa reguła multiplikatywna. { S0 u S 1 = S 0 d z prawdopodobieństwem p z prawdopodobieństwem 1 p Mamy więc trzy liczby: p, u, d, które określają ten model. Chcemy zastosować go jako przybliżenie pewnego ciągłego procesu ewolucji ceny, który jest scharakteryzowany przez dwa parametry: 50 Rozdział 7. Metody wyznaczania ceny opcji

55 rt - wolna od ryzyka stopa procentowa σ 2 t = log( S 1 S 0 ) - średniokwadratowe odchylenie standardowe logarytmicznej stopy zwrotu (w modelu ciągłym). Dla procesu ciągłego opisywanego przez geometryczny proces Wienera: ds = rsdt + σsdw, prawdopodobieństwo ceny aktywa w czasie t przy założeniu, że cena w czasie S(t = 0) = S 0 jest dane rozkładem lognormalnym: P (S, t S 0, 0) = (log( S S 0 ) (r σ2 )t) 2 2πσ2 ts 2 e 2σ 2 t (7.5) Wykorzystując wzory na średnią i wariancję (np. z wikipedii) i porównując z postacią rozkładu (7.5) otrzymujemy wzory na wartość oczekiwaną i wariancję procesu ciągłego: E(S) = S 0 e rt ( (7.6) V ar(s) = S0 2 e σ2t 1 ) e 2 rt Chcemy by jeden krok procesu binarnego odtwarzał przynajmniej dwa pierwsze momenty procesu ciągłego: średnią i wariancję. Tak więc proces dyskretny będzie musiał spełnić dwa równania: E(S) = ps 0 u + (1 p)s 0 d V ar(s) = p(s 0 u) 2 + (1 p)(s 0 d) 2 E(S) (7.7) gdzie podstawiamy wartości średniej i wariancji rozkładu lognormalnego korzystając z (7.6). Mamy więc dwa warunki i trzy zmienne do ustalenia, co powoduje, że potencjalnie może być nieskończenie wiele rozwiązań. Rozważmy pierwszy przypadek w którym przyjmiemy: d = 1 u. (7.8) Taki wariant drzewa binarnego jest znany jako model Cox-a, Ross-a i Rubinstein-a (CRR). Rozwiązując układ równań (7.8), w przybliżenie małego czasu t, otrzymujemy wzory wiążące model ciągły z drzewem binarnym: p = ert d u d u = e σ t d = e σ t. (7.9) Wyprowadzenie tych wzorów można łatwo otrzymać na przykład stosując system algebry komputerowej. I tak, zdefiniujmy najpierw zmienne i wzory na średnią i wariancję rozkładu lognormalnego oraz zdefiniujmym układ (7.7): var( r,t,u,d,s0,p,sigma ) lognorme = S0*exp(r*t) lognormvar = S0^2*exp(2*r*t)*(exp(sigma^2*t)-1) 7.5. Zwiazek pomiędzy modelem ciagłym i binarnym 51

56 show([lognorme,lognormvar]) eq1 eq2 = lognorme == p*s0*u+(1-p)*s0*d = lognormvar ==(p*(s0*u)^2+(1-p)*(s0*d)^2) - lognorme^2 show([eq1,eq2]) Rozwiążmy teraz pierwsze równanie ze względu na p psol = solve(eq1,p,solution_dict=true)[0] p.subs(psol).show() a następnie podstawmy wynik do drugiego równania i skorzystajmy z założenia (7.8): solsu = (eq2).subs(psol).subs(d=1/u).solve(u) expr = solsu[1].rhs() expr.show() Ponieważ interesuje nas granica małych czasów to możemy rozwinąć ten nieco długi wzór w szereg Taylora w punktcie t = 0 i ograniczyć się do wyrazów pierwszego rzędu w czasie. Zauważmy, że to rozwinięcie jest identyczne z rozwinięciem drugiego równania ze wzorów (7.9), co kończy nasze wyprowadzenie: expr.taylor(t,0,1).show() exp(sigma*sqrt(t)).taylor(t,0,1).show() Możemy też pokusić się o rozwiązanie układu równań w innej parametryzacji, w której mamy: p = 1 2 u = e σ t+(r σ2 2 )*t) (7.10) d = e σ t+(r σ2 2 )*t). Taki przypadek jest znany jako parametryzacja Jarrowa-Rudda. Sprawdźmy, czy rzeczywiście to zachodzi. W równaniach podstawmy więc od razu p = 1 i porównajmy rozwinięcia w szereg 2 wyników oraz rozwinięcia równań (7.10): sols = solve([eq1.subs(p==1/2),eq2.subs(p==1/2)],[u,d]) print "pełne rozwiązanie:" show(sols[1]) print "Rozwinięcia w t=0:" sols[1][0].rhs().taylor(t,0,1).show() sols[1][1].rhs().taylor(t,0,1).show() print "Rozwinięcia wzorów w t=0:" exp(sigma*sqrt(t)+(r-sigma^2/2)*t).taylor(t,0,1).show() exp(-sigma*sqrt(t)+(r-sigma^2/2)*t).taylor(t,0,1).show() Ważną uwagą jest to, że model drzewa binarnego i model ciągły jest równoważny tylko w granicy t 0. Oznacza to, że wyceniając pewnien instrument jednookresowym modelem dyskretnym otrzymamy spore różnice w stosunku do modelu ciągłego, jeśli interesująca nas skala czasowa będzie duża. Sytuacja jednak się zmienia jeśli zastosujemy model wielookresowy. Wtedy nasz czas możemy podzielić na wiele odcinków a liczba tych podziałów będzie zależała od tego jaką dokładność chcemy osiągnąć. Wycena za pomocą modelu wielokresowego będzie dążyła do modelu ciągłego w granicy n. 52 Rozdział 7. Metody wyznaczania ceny opcji

57 Przykład - wyceny opcji z danymi z rynku ciągłego. T = 5/12. N = 123 sigma = 0.4 K = 50 r = 10.0 u = exp(sigma*sqrt(t/n)) d = 1.0/u p = (exp(r/100*t/n)-d)/(u-d) C = exp(r/100*t/n).n() SP = gen_recombining(n,sp=k,q=u-1.0) OP = [ [max(0,s-k) for s in SP[N]] ] for idx in range(n): el = [ 1/C*(p*OP[-1][i]+(1-p)*OP[-1][i+1]) for i in range(len(op[-1])-1)] OP.append(el) print OP[-1] 7.6 Wzory Blacka Scholesa dla europejskiech opcji Call i Put W tym rozdziale pozamy własności metody opartej o ciagły proces losowy. Jest olbrzymią zaletą jest istnienie prostych analitycznych wzorów na cenę opcji Europejskich, co pozwala na łatwą ich analizę i poznanie własności. Model dwumianowy zakładał stacjonarny dwumianowy proces stochastyczny dla ruchu ceny aktywa (akcji) zachodzący w dyskretnych przedziałach czasowych. Jeśli przejdziemy do granicy skracając dyskretne okresy czasowe to ten stochastyczny proces stanie procesem dyfuzji (Ito proces) zwanym geometrycznym ruchem Browna. Podobnie jak w poprzednim modelu dwumianowym konstruowany jest portfel wolny od ryzyka składający się z aktywa i wystawionej opcji call. Taki portfel generuje bezpieczna stopę zwrotu. Struktura zabezpieczonego portfela posiada formę zbliżoną do równania dyfuzji ciepła w fizyce. Wzór Blacka Scholesa na wartość opcji nie wypłacającej dywidendy przyjmuje postać: Opcja Call a opcja Put gdzie symbole d 1, d 2 oznaczają: C(S 0, K, r, T, σ, r) = S 0 F (d 1 ) Ke rt F (d 2 ) P (S 0, K, r, T, σ, r) = Ke rt F ( d 2 ) S 0 F ( d 1 ) a d 1 = ln(s 0/K) + (r σ2 )T σ T d 2 = d 1 σ T 7.6. Wzory Blacka Scholesa dla europejskiech opcji Call i Put 53

58 Funkcja F (x) jest dystrybuantą rozkładu normalnego o średniej zero i jednostkowej variancji. Możemy więc wyrazić ją przez funkcja błędu Gaussa: F (x) = 1 ( ) 1 2 erf 2x Powyższe wzory możemy wprowadzić do systemu Sage i zbadać ich własności: Poeksperymentuj z komputerem Zbadaj własności wzorów na wycenę opcji Call. Zauważmy, że poniższy wykres jest wykresem ceny opcji a nie wykresem zysk/strata. Linia niebieska to cena kupna opcji a czerwona to cena jej wykonania. Ustaw σ, r, T na zero. Jak można zinterpetować taki profil ceny? Zwiększ σ - co się dzieje z ceną? Jak zmienia się jej wartość czasowa? Zostawiąjąc niezmienne (ale dodatnie σ) zwiększ stopę procentową. Pojawia się dodatkowa linia będąca asymtotą wzoru Blacka-Scholesa. Co to oznacza? var( S ) def longcall(s,k,p=0): return max_symbolic(s-k,0)-p def longput(s,k,p=0): return max_symbolic(k-s,0)-p def shortcall(s,k,p=0): return -max_symbolic(s-k,0)+p def shortput(s,k,p=0): return -max_symbolic(k-s,0)+p var( sigma,s0,k,t,r ) cdf(x) = 1/2*(1+erf(x/sqrt(2))) d1=(log(s0/k)+(r+sigma**2/2)*t)/(sigma*sqrt(t)) d2=d1-sigma*sqrt(t) C(S0,K,r,T,sigma) = S0*cdf(d1)-K*exp(-r*T)*cdf(d2) P(S0,K,r,T,sigma) = K*exp(-r*T)*cdf(-d2)-S0*cdf(-d1) def plotbs(option=longcall,k=125,sigma=.1,r=0.0,t=1, c= red ): var( S ) S1,S2 = 100,160 if "CALL" in OPTION. name : cena = C else: cena = P if "short" in OPTION. name : k = -1.0 else: k = 1.0 p = plot( OPTION(S,K),(S,S1,S2),color=c,thickness=2.5) p += plot( OPTION(S,exp(-r*T)*K),(S,S1,S2),color= gray,thickness=.5) p += plot(k*(cena(x,k,r,t,sigma)),(x,s1,s2),color= blue,thickness=1) p += point([(k,0)],color= brown,size=40,gridlines=[[k],[]]) p += text(r"$k$",(k,2)) 54 Rozdział 7. Metody wyznaczania ceny opcji

59 return def _(s=slider(0.001,0.5,0.02,label= volatility,default=0.1),r=slider(0,0.1,0.01),t=sli p = plotbs(option=longcall,k=k, c= red,sigma=s,r=r,t=t) p.set_axes_range(ymax=50,ymin=0) p.show(figsize=6) Opcję europejską możemy wycenić zarówno korzystając z analitycznego wzoru jak i bezpośrednio z symulacji procesu losowego. W tym celu generujemy M trajektorii ceny instrumentu podstawowego i obliczamy średnią z funkcji wyceny opcji w ostatnim momencie czasu. var( sigma,s0,k,t,r ) cdf(x) = 1/2*(1+erf(x/sqrt(2))) d1=(log(s0/k)+(r+sigma**2/2)*t)/(sigma*sqrt(t)) d2=d1-sigma*sqrt(t) C(S0,K,r,T,sigma) = S0*cdf(d1)-K*exp(-r*T)*cdf(d2) K = r,t,sigma = 0.1, 1, 0.1 S0 = 120 print "Wycena ze wzoru:",c(s0,k,r,t,sigma).n() import numpy as np N=100 M=1000 h=t/n; S=np.zeros((M,N)) S[:,0]=S0*np.ones(M); for i in range(1,n): S[:,i]=S[:,i-1] + r*s[:,i-1]*h + sigma*np.sqrt(h)*s[:,i-1]*np.random.randn(m) call_mc=np.exp(-r*t)*np.mean( np.maximum(s[:,n-1]-k,0) ) put_mc=np.exp(-r*t)*np.mean( np.maximum(k-s[:,n-1],0) ) print "Wycena z symuacji Monte-Carlo:",call_MC,put_MC sum([line(enumerate(s[i,:]),thickness=0.2,figsize=4) for i in range(123)]) 7.7 Porównanie wyceny modelem binarnym i BS Załóżmy, że wyceniamy opcję Europejską. Można zadać sobie pytanie o ile będą różniły się wyceny według modelu ciągłego i binarnego z N okresami. W tym celu definiujemy sobie funkcje wyceniające opcje modelem binarnym Bin_Call. Można narysować wykres ceny opcji od ilości pokoleń drzewa. Cena wynikającą ze wzoru Blacka-Scholesa będzie zaznaczoną przerywaną poziomą linią Porównanie wyceny modelem binarnym i BS 55

60 Poeksperymentuj z komputerem Poniższy kod zawiera zaimlementowaną funkcję wyceny opcji europejskie kupna oraz rysuje wykres jej wyceny w zależności od ilości okresów. Jaki jest błąd względny dla małej liczby okresów: N = 1, 2, 3? Zaimplementuj podobne porównanie dla opcji sprzedaży. Czy dla dużych N cena opcji zależy od metody jej wyceniania? def Bin_Call(N,S0,K,r,T,sigma): u = exp(sigma*sqrt(t/n)) d = 1.0/u p = (exp(r*t/n)-d)/(u-d) return exp(-r*t).n()*sum([binomial(n,j)*p^j*(1-p)^(n-j)*max(s0*u^j*d^(n-j)-k,0) for sigma,s0,k,t,r=0.1,120,125,1,0.1 point( [(i,bin_call(i,s0,k,r,t,sigma)) for i in range(1,36,1)], \ gridlines=[none,[c(s0,k,r,t,sigma).n()]],figsize=(8,2)).show() 7.8 Analiza wrażliwości Analiza wrażliwości określa jak czuła jest cena opcji na zmianę wartości wielkości rynkowych. Wiemy, że na cenę opcji w chwili t = 0 wpływają następujące wielkości: cena aktywa podstawowego: S (w chwili t = 0), cena wykonania: K, czas do wygaśnięcia: T, stopa procentowa wolna od ryzyka: r, zmienność ceny aktywa (volatility) σ Powstaje pytanie jak cena opcji jest czuła na zmiany tych parametrów? Aby odpowiedzieć na to pytanie możemy posłużyć się, może nie eleganckim ale usprawiedliwionym i skutecznym do tego celu, rozwinięciem tej funkcji we szereg Taylora i uwzględnić w nim tylko pierwsze pochodne cząstkowe (z wyjątkowo drugą pochodną względem ceny opcji względem ceny aktywa). W ten sposób określoną zmianę ceny przybliżamy otrzymanym wzorem zakładając ze zmiana nie jest mniejsza niż. Pochodne cząstkowe ceny opcji wchodzące w sklad tego przybliżenia maja znaczenie praktyczne bedac używane i oznaczane swymi nazwami. Oznaczmy symbolem V cenę naszej opcji. W przypadku europejskiej opcji Put lub Call będziemy stosować symbole od pierwszych liter, odpowiednio: P C. Tak więc dla dowolnej opcji 56 Rozdział 7. Metody wyznaczania ceny opcji

61 zawsze możemy zapisać: V V V T + T S S V 2 S 2 ( S)2 + V V σ + σ r r. Współczynniki w powyższym wzorze można ławto obliczyć jeśli dany jest formuła analityczna na cenę opcji. Najczęsciej spotykanym przypadkiem są wzory Blacka-Scholesa dla europejskich opcji kupna i sprzedaży. Dla dociekliwych Spróbuj obliczyć poniższe współczynniki dla modelu CRR. Czy można policzyć jeśli jedyną metodą wyceny jest metoda Monte Carlo Delta opcji Zmiana ceny opcji przy zmianie ceny aktywa podstawowego nosi nazwę współczynnika delta. = V S dla europejskiej opcji Call wycenionej według modelu Blacka-Scholesa (bez dywidendy) wynosi ona: a dla opcji Put Call = N(d 1 ) P ut = N(d 1 ) 1 Powyższe wzory możemy otrzymać przez różniczkowanie wzorów Blacka-Scholesa ze względu na S 0. Sprawdźmy z pomocą systemu algebry komputerowej czy, rzeczywiście są spełnione. Po pierwsze wczytajmy sobie wzory Blacka-Scholesa: var( sigma,s0,k,t,r ) cdf(x) = 1/2*(1+erf(x/sqrt(2))) d1=(log(s0/k)+(r+sigma**2/2)*t)/(sigma*sqrt(t)) d2=d1-sigma*sqrt(t) C(sigma,S0,K,T,r) = S0*cdf(d1)-K*exp(-r*T)*cdf(d2) P(sigma,S0,K,T,r) = K*exp(-r*T)*cdf(-d2)-S0*cdf(-d1) try: print bool( C.diff(S0) == cdf(d1) ) print bool( P.diff(S0) == cdf(d1)-1 ) print bool( C.diff(S0) - P.diff(S0) == 1 ) except: print "Wczytaj wzory Blacka-Scholesa!" Widać, że zachodzi własność: call put = 1, która jest bezpośrednią konsekwencja parytetu kupna sprzedaży Analiza wrażliwości 57

62 Delta wskazuje na ilość akcji potrzebnych do otworzenia zwrotu z opcji. Np., call = 0.80 znaczy ze działa jak 0.80 akcji. Jeśli cena akcji wzrośnie o 1, cena opcji call wzrośnie o cecha ta pozwala na budowanie strategii zabezpieczających. Ale o zastosowania analizy wrażliwości w strategii zabezpieczania przed ryzykiem można znaleźć w Hedging za pomoca opcji. Narysujmy jak zależy dla pewnej opcji Call Delta od ceny instrumentu bazowego: try: p = plot( C.diff(S0)(0.1,S0,120,1,0.03),(S0,90,150),figsize=5) p += plot( C(0.1,S0,120,1,0.03)/10,(S0,90,150),color= gray ) p.show() except: print "Wczytaj wzory Blacka-Scholesa!" Współczynnik gamma po- Gamma druga pochodna ceny opcji względem ceny akcji. Gamma jest pierwsza chodną delta w stosunku do ceny aktywa. Gamma jest także nazywana krzywizna. Γ c = 2 C S = c 2 S Γ p = 2 P S = p 2 S Współczynnik gamma jest zatem miarą niestabilności współczynnika delta. try: p = plot( C.diff(S0,2)(0.1,S0,120,1,0.03),(S0,90,150),figsize=5) p += plot( C.diff(S0)(0.1,S0,120,1,0.03)/10,(S0,90,150),color= gray ) p += plot( C(0.1,S0,120,1,0.03)/100,(S0,90,150),color= gray ) p.show() except: print "Wczytaj wzory Blacka-Scholesa!" Interpretacja Jeżeli w wyniku zmiany kursu instrumentu bazowego współczynnik delta zmieni się z 0.5 do 0.52 to wówczas zmiana delty o 0.02 określać będzie wartość współczynnika gamma. Przykład. Niech aktualna wartość instrumentu bazowego wynosi =75 jednostek pieniężnych. Aktualna wartość opcji = Delta opcji = 0.16 a gamma opcji = Jaka jest wartość opcji jeżeli kurs instrumentu bazowego wzrośnie do 80? A wiec zmiana ceny instrumentu bazowego = 5 a zmiana ceny wynikająca ze wsp. delta = 5 x 0.16 = Wzrost wartości instrumentu bazowego o 5 powoduje wzrost wartości delty a zatem należy wyznaczyć dodatkową zmianę wartości opcji wynikającą z gamma. Zmiana ceny wynikająca z gamma = 0.5 x 0.05 x 52 = Nowa wartość opcji to stara wartość + zmiana z delty + zmiany gamma czyli: = Rozdział 7. Metody wyznaczania ceny opcji

63 7.8.3 Współczynnik Theta Kolejna pochodna cząstkowa jest wielkość zwana Theta. Określa ona jak się zachowa cena opcji call (put) jeśli zmieni się czas do wygaśnięcia, a wszystko inne zostanie stałe? Theta jest to pierwsza pochodna ceny względem czasu. Opcje to psujące się aktywa, ponieważ wartość ich zanika po pewnym (wygaśnięcie). Wartość opcji = wartość wewnętrzna + premia czasowa. Wielkość tę dla opcja call i put wylicza się: Θ c = C t Θ p = P t Theta większa od zera gdyż im więcej jest czasu do wygaśnięcia tym większa wartość opcji. Ale ponieważ czas do wygaśnięcia może tylko maleć theta jest rozpatrywana jako wartość ujemna. Biorąc pod uwagę możliwość zajmowanej pozycji w opcjach należy pamiętać, że: Upływ czasu szkodzi posiadaczowi opcji. Upływ czasu działa na korzyść temu co opcje wystawił. Ze wzoru Blacka Scholes można wyliczyć wartość: Θ c = Sσe.5(d2 1 ) 2 rke rt N(d 2 ) 2πt Θ p = Sσe.5(d2 1 ) 2 + rke rt N(d 2 ) 2πt try: p = plot( C.diff(T)(0.1,S0,120,1,0.03),(S0,90,150),figsize=5) p += plot( C(0.1,S0,120,1,0.03)/10,(S0,90,150),color= gray ) p.show() except: print "Wczytaj wzory Blacka-Scholesa!" Liczenie Theta - interpretacja Równania określają theta na rok. Np. Θ = 5.58, znaczy, że opcja straci 5.58 w wartości ceny na rok - czyli (0.02 na dzień). Theta pozycji krótkich jest dodatnia. Theta pozycji długich jest ujemna. Opcje at-the-money mają największe wartości theta. Tabela poniżej pokazuje znaki pochodnych cząstkowych dla róznych pozycji opcji.. Delta Theta Gamma Long call Long put Short call Short put Analiza wrażliwości 59

64 Znak gamma jest zawsze przeciwny do znaku theta Czułość względem odchylenia standardowego - Vega Odpowiada na pytanie, jak się zmieni wartość opcji Call (Put) jeśli zmieni się odchylenie standardowe zwrotu czyli czułość na zmienność (volatility) funkcji? Vega pierwsza czastkow a pochodna ceny opcji względem zmienności (volatility) podstawowego. vega c = C σ vega c = P σ aktywa Im wyższa volatility tym większa wartość opcji. Np., opcja o vega 0.30 zyskuje 0.30% wartości na każdy punkt procentowy wzrostu spodziewanej zmienności aktywa. Vega bywa także nazywane kappa, omega, tau, zeta, lub sigma prim. Ze wzoru Blacka Scholesa można przykładowo wyliczyć wartości Vega. vega = S te 0.5(d2 1 ) 2π Vega pozycji długich jest dodatnia. Vega pozycji krótkich jest ujemna. Wartości opcji są bardzo czułe na zmianę odchylenia standardowego ceny aktywa. Im większe volatility, tym więcej są warte opcje call i put. Opcje at-the-money mają największą wartość Vega. Vega maleje dla opcji in- oraz out-of-the-money. Vega, maleje wraz z upływem czasu do terminu wygaśnięcia. var( sigma,s0,k,t,r ) cdf(x) = 1/2*(1+erf(x/sqrt(2))) d1=(log(s0/k)+(r+sigma**2/2)*t)/(sigma*sqrt(t)) d2=d1-sigma*sqrt(t) C(sigma,S0,K,T,r) = S0*cdf(d1)-K*exp(-r*T)*cdf(d2) plot( C.diff(sigma,1)(.1,S0,125,1,.1),(S0,70,150),figsize=5) Rho Rho pierwsza pochodna ceny opcji względem stopy procentowej wolnej od ryzyka: ρ c = Kte rt N(d 2 ) ρ p = Kte rt N( d 2 ) Rho jest najmniej znaczącą z pochodnych. Nawet jeśli opcja ma wyjątkowo długie życie, zmiany stopy procentowej wpływają na premie niewiele. try: p = plot( C.diff(r)(0.1,S0,120,1,0.03),(S0,90,150),figsize=5) p += plot( C(0.1,S0,120,1,0.03)/10,(S0,90,150),color= gray ) p.show() except: print "Wczytaj wzory Blacka-Scholesa!" 60 Rozdział 7. Metody wyznaczania ceny opcji

65 7.9 Wycena opcji Amerykańskiej modelami binarnymi i ciagłym Nie zawsze wycena opcji jest możliwa poprzez uśrednianie po rozkładzie brzegowym dla t = T. Przykładem są opcje amerykańskie. Różnią się one od europejskich tym, że prawo do zawarcia transakcji obowiązuje nie tylko w chwili t = T, ale w dowolnej chwili przed nią. Posiadacz tego prawa musi zadecydować kiedy będzie chciał z tego prawa skorzystać. Procedura wyceny takiej opcji, będzie korzystała z pełnej informacji o historii zmian ceny instrumentu. Innymi słowy, w języku trajektorii oznacza to, że będziemy obliczać maximum po całej trajektorii a nie tylko po wartości końcowej. Algorytm wyznaczania ceny opcji korzysta z warunku braku arbitrażu. Postępujemy podobnie jak przy wycenie opcji europejskiej na całym drzewie. Jednak w każdym rozwidleniu drzewa, sprawdzamy czy wartość otrzymana z warunku braku arbitrażu (7.1) nie jest mniejsza od wartości wewnętrzej opcji. Jesli tak jest to wpisujemy właśnie tą wartość wewnętrzą do drzewa, zamiast wartości wynikającej z (7.1). Poniżej prezentujemy możliwą implementację tego algorytmu: T = 5/12. N = 8 sigma = 0.4 K = 50 r = 0.26 u = exp(sigma*sqrt(t/n)) d = 1.0/u p = (exp(r*t/n)-d)/(u-d) C = exp(r*t/n).n() S0 = K-15 SP = gen_recombining(n,sp=s0,q=u-1.0) # PUT AM OP = [ [max(0,k-s) for s in SP[N]] ] for j in range(n): el = [ max( max(k-sp[n-j-1][i],0), 1/C*(p*OP[-1][i]+(1-p)*OP[-1][i+1])) for i in ra OP.append(el) OP.reverse() def Bin_Put(N,sigma,S0,K,T,r): u = exp(sigma*sqrt(t/n)) d = 1.0/u p = (exp(r*t/n)-d)/(u-d) return exp(-r*t).n()*sum([binomial(n,j)*p^j*(1-p)^(n-j)*max(k-s0*u^j*d^(n-j),0) for print "Opcja amerykańska:",op[0],"opcja europejska:",bin_put(n,sigma,s0,k,t,r) Widzimy, że wartość opcji amerykańskiej przy podanych parametrach różni się znacznie od opcji europejskiej. Mozna się przypatrzeć na drzewie w których miejscach wartość wewnętrzna będzie większa od wartości arbitrażowej. Zobaczmy: html.table( [[max(l-k,0)>l2 for l,l2 in zip(b,b2)] for b,b2 in zip(sp,op)] ) 7.9. Wycena opcji Amerykańskiej modelami binarnymi i ciagłym 61

66 Poeksperymentuj z komputerem W powyższym kodzie pozmieniaj wartość początkową aktywa. Jak zmienia się cena opcji? Jak zmienia się tabla z ostatniej komórki Sage? Zaimplementuj wycenę amerykańskiej opcji Call. Porównaj wartość z opcją europejska. Czy zaobserwowałeś coś dziwnego? Zaimplementuj wycenę opcji amerykańskiej w oparciu o model ciągły stosując odpowiednie uśrednianie po trajektoriach. T = 5/12. N = 8 sigma = 0.4 K = 50 r = 0.26 u = exp(sigma*sqrt(t/n)) d = 1.0/u p = (exp(r*t/n)-d)/(u-d) C = exp(r*t/n).n() S0 = K-15 SP = gen_recombining(n,sp=s0,q=u-1.0) #call AM OP = [ [max(0,s-k) for s in SP[N]] ] for j in range(n): el = [ max( max(sp[n-j-1][i]-k,0), 1/C*(p*OP[-1][i]+(1-p)*OP[-1][i+1])) for i OP.append(el) OP.reverse() def Bin_Call(N,sigma,S0,K,T,r): u = exp(sigma*sqrt(t/n)) d = 1.0/u p = (exp(r*t/n)-d)/(u-d) return exp(-r*t).n()*sum([binomial(n,j)*p^j*(1-p)^(n-j)*max(s0*u^j*d^(n-j)-k,0) html.table( [[max(l-k,0)>l2 for l,l2 in zip(b,b2)] for b,b2 in zip(sp,op)] ) import numpy as np N = 300 M = 1000 h = T/N; r = 0.1 S = np.zeros((m,n)) S[:,0] = S0*np.ones(M); for i in range(1,n): S[:,i] = S[:,i-1] + r*s[:,i-1]*h + sigma*np.sqrt(h)*s[:,i-1]*np.random.randn(m) 62 Rozdział 7. Metody wyznaczania ceny opcji

67 ROZDZIAŁ 8 Instrumenty syntetyczne Tak jak światło składa się z elementów składowych tak i instrumenty finansowe składają się z instrumentów podstawowych. Jak już było wspomniane to na początku rozdziału o opcjach, opcje należą do tych składowych. Instrumenty syntetyczne to instrumenty składające (dające się rozłożyć) na składowe instrumenty. Instrumenty syntetyczne składają się z kombinacji dwu lub więcej elementów składowych. Konstrukcja takich instrumentów nazywana jest inżynierią finansową. Oprócz opcji cegiełkami tworzącymi inne instrumenty są obligacje, akcje oraz swapy. Na początek budujemy portfel inwestycyjny. Kupujemy aktywo i od momentu posiadania aktywa obawiamy się spadku jego ceny i chcemy by wartość naszego portfela nie zmalała w przypadku spadku cen tego aktywa na rynku. Aby się zabezpieczyc przed spadkiem wartości portfela kupujemy opcje Put na wspomniane aktywo. Kupienie opcji Put i zapłacenie premii pozwala na ograniczenie możliwych strat z dołu przy zachowaniu szans na wzrost wartości aktywa. W takiej strategii widać podobieństwo do płacenia polisy ubezpieczeniowej za ograniczenie strat. Ale widać strategie alternatywna dla opisanej sytuacji. Zamiast kupować aktywo i opcje Put zapewniającą atrakcyjna cenę jego sprzedaży możemy kupić jedynie opcje Call na atrakcyjną cenę aktywa. Zaoszczędzone pieniądze (różnica miedzy ceną kupna aktywa i premia opcji Put) możemy zainwestować w instrument dłużny oprocentowany stopa wolna od ryzyka. Jeśli wartość aktywa wzrośnie możemy kupić je wykorzystując opcje Call i swoją inwestycje. Jeśli wartość aktywa spadnie można pozwolić wygasnąć opcji i zachować pieniądze w inwestycji w stopę wolną od ryzyka. Porównując obie strategie widzimy, że: Wartość przy wygaśnięciu pozycja początkowa S < K S K Akcje + Put K S Call + PV(K) K S Niech cena aktywa wynosi S a cena wykonania opcji K. W zależności od tego ile wynosi cena aktywa na rynku postępujemy: w przypadku portfela: Aktywo + Put 63

68 Jeśli S < K, wykorzystaj Put i weź K Jeśli S K, niech Put wygaśnie a masz S Portfel Call + PV(K) P V (K) będzie warta K dla wygaśnięcia opcji Jeśli S < K, niech Call wygaśnie a masz inwestycje, K Jeśli S K, wykorzystaj Call mając inwestycje i masz S Jeśli te dwie pozycje są tyle samo warte na koniec inwestycji to powinny być tyle samo warte na początku inwestycji. To prowadzi do warunku równości (parytetu) Put-Call Gdzie S - cena aktywa (1 akcji) S + P = C + P V (K) (8.1) P - cena opcji Put (1 opcja) na cenę wykonania K i czasie do wygaśnięcia T C - cena opcji Call (jedna opcja) na cene wykonania K i czasie do wygaśnięcia T - jak opcja Put. P V (K) - jedna obligacja (instrument dyskontowy) z wartością w czasie zapadalności T równej K. Możemy również rozumieć ten związek jako konsekwencję matematycznej równości: max(s K, 0) max(k S, 0) = S K. (8.2) Prześledźmy, jeśli S > K to pierwszy składnik różnicy w równaniu (8.2) jest równy S K, a drugi jest zero. W przeciwnym przypadku K > S pierwszy się zeruje a drugi daje (K S) = S K czyli w efekcie to samo co pierwszy. Funkcja wypłaty dla różnicy dwóch opcji - Call i Put, jest więc taka sama jak funkcja wypłaty dla posiadanej opcji i kredytu na wartość K. Funkcja wypłady zobowiązuje w czasie zapadalności obydwu opcji - czyli math:t=t). Wyobrażmy sobie, że jesteśmy w dowolnym momencie przed tym czasem, (niech będzie on oznaczony przez t = 0). Wtedy cena akcji jest inna. Opcje przez ich czasem zapadalności możemy wycenić, np. za pomocą wzoru Blacka-Scholesa. Kredyt K będzie trzeba zdyskontować ze stopą wolną od ryzyka r. Dlatego możemy się spodziewać, że będzie zachodził wzór: S + P P = P C + e rt K, gdzie przez P C, P P to ceny opcji Call i Put, odpowiednio, w czasie t = 0. Wzór ten powinien zachodzić na wyceny opcji, sprawdźmy więc czy rzeczywiście tak jest. Możemy wykorzystać system algebry komputerowej by wykonal mozolną robotę za nas. 64 Rozdział 8. Instrumenty syntetyczne

69 Poeksperymentuj z Sage! Kod wykorzystujący CAS do pokazania spełnienia przez wzory Blacka-Scholesa parytetu Put-Call. Do sprawdzenia parytetu używamy polecenia bool, które próbuje algebraicznie udowodnić równość. Możemy też zobaczyć jawną postać lewej lub prawej strony równości używając do tego polecenia show, jednak uzyskane wzory mogą być dość długie, spróbuj sam! var("s0,k,r,t,sigma") cdf(x) = 1/2*(1+erf(x/sqrt(2))) d1=(log(s0/k)+(r+sigma**2/2)*t)/(sigma*sqrt(t)) d2=d1-sigma*sqrt(t) C(S0,K,r,T,sigma) = S0*cdf(d1)-K*exp(-r*T)*cdf(d2) P(S0,K,r,T,sigma) = K*exp(-r*T)*cdf(-d2)-S0*cdf(-d1) bool( S0+P(S0,K,r,T,sigma) == K*exp(-r*T) + C(S0,K,r,T,sigma) ) Jeśli ten warunek nie zachodzi to mamy do czynienia z arbitrażem. Możliwość arbitrażu nie będzie istnieć długo, ale wtedy opłacalnym będzie działanie: Kup stronę niską a sprzedaj wysoką. Arbitraż jest sytuacją wyjątkową i ulotną w stosunku do sytuacji gdy rynek jest w równowadze. Jeśli rynek jest efektywny (a raczej jest) używamy tego równania do znalezienia wielkości przy pomocy danych pozostałych trzech instrumentów Informacja: Przykład Z danych rynkowych widać, że: aktualna cena akcji = 50, cena opcji Put = 1.15, z ceną wykonania = 45, stopa wolna od ryzyka = 5%, Termin wygaśnięcia 1 rok Pytanie: Jaka jest cena opcji Call? Korzystając z równania parytetu mamy Czyli cena opcji Call wynosi C = = C + 45/(1.05) Przy wycenie opcji podobnie jak w wielu przypadkach instrumentów dłużnych stosuje ciągłą kapitalizacje w czasie. Równania wartości pieniądza w czasie dla ciągłej kapitalizacji: P V = F V e Rt F V = P V e Rt Równanie pokazujące związek ceny akcji i opcji Call oraz Put i obligacji o stopie bez ryzyka (8.1) wygląda: S + P = C + Ke Rt (8.3) Gdzie K - to wartość obligacji na stopę wolna od ryzyka na datę wygaśnięcia opcji. K to również cena wykonania opcji (obu) w czasie wygaśnięcia. 65

70 Równanie (8.3) nazwane parytetem call - put pokazuje symetrie ceny opcji put i call. Najlepiej można to prześledzić w przypadku opcji europejskich i aktywa nie wypłacającego dywidendy. Potraktujmy równanie (8.3) jako równość wartości dwu portfeli. Pierwszy portfel składa się z opcji call z ceną wykonania przykładowo 12 i obligacji która w chwili wygaśnięcia ma wartość aktywa w chwili wykonania. Obligacja obrazuje pożyczone środki pieniężne, które w chwili z wygaśnięcia musza być równe cenie wykonania aktywa pozwalając na wykonanie opcji. Drugi portfel składa się z opcji put z ta samą ceną wykonania jak opcja call i aktywa, które w chwili wykonania ma wartość ceny wykonania. Istota parytetu zasadza się w równości tych dwu portfeli. Ta równość zachodzi niezależnie od ceny (wykonania) aktywa. Sprawdźmy to: Dla ceny aktywa 12 równość ta, wygląda następująco: Call= 0 put = 0 Obligacja= 12 Aktywo =12 Wartość = 12 Wartość = 12 Call wygasa bez wartości gdy w chwili wygaśnięcia cena aktywa wynosi 12, podobnie put. Jednak zaciągnięty został kredyt o wartości 12. Dla ceny aktywa 14 równość ta, wygląda następująco: Call =2 put = 0 Obligacja= 12 Aktywo =14 Wartość = 14 Wartość = 14 Dla tej ceny aktywa opcja call ma wartość = 2 a opcja put wygasa bez wartości. Dla ceny aktywa 6 równość ta, wygląda następująco: Call= 0 put = 6 Obligacja= 12 Aktywo =6 Wartość = 12 Wartość = 12 Jak widać jeden portfel replikuje wartość drugiego bez względu na wartość aktywa. Są one równowartościowe. Jeśli aktywo (akcja) wypłaca dywidendę to zachodzi równość. cena opcji Put - cena opcji Call = present value ceny wykonania + present value dywidend - cena akcji Gdy na wykresie zysków (strat) od ceny aktywa naniesiemy zależności dla ceny akcji opcji Call i Put możemy łatwo wykazać zależność parytetu graficznie. Mając do dyspozycji równanie (8.1), możemy je rozwiązać na cenę opcji Call, cenę opcji Put lub cenę aktywa. Powyższe trzy możliwości mogą zostać wykorzystane do zastąpienia pozycji długiej lub krótkiej w portfelu. Razem daje to sześć możliwości zastosowania parytetu Put- Call, oraz tworzenia instrumentów syntetycznych. 66 Rozdział 8. Instrumenty syntetyczne

71 zysk/strata cena S -40 Rysunek 8.1: Oznaczenia: Zółty kolor - long Call Czerwony - long Put Niebieski - pozycja długa w aktywie (akcja) Zielony - pozycja długa w obligacji. 8.1 Syntetyczny Put Analogicznie aby określić cenę opcji Put przekształcamy wzór (8.1) do postaci: P = C S + Ke Rt (8.4) Co to oznacza? Kupienie opcji Call i sprzedaż aktywa (np. akcji) oraz kupienie obligacji o tym samym terminie zapadalności jak termin wygaśnięcia opcji (czyli T ) replikuje wypłatę z zakupu opcji Put. Graficznie wygląda to tak: Krok po kroku Zobaczmy jak to można samemu utworzyć powyższe wykresy. Po pierwsze zdefiniujmy z systemie Sage wypłaty opcji Put i Call oraz wzory Blacka-Scholesa: var( S ) def longcall(s,k,p=0): return max_symbolic(s-k,0)-p def longput(s,k,p=0): return max_symbolic(k-s,0)-p var( sigma,s0,k,t,r ) cdf(x) = 1/2*(1+erf(x/sqrt(2))) d1=(log(s0/k)+(r+sigma**2/2)*t)/(sigma*sqrt(t)) d2=d1-sigma*sqrt(t) C(S0,K,r,T,sigma) = S0*cdf(d1)-K*exp(-r*T)*cdf(d2) P(S0,K,r,T,sigma) = K*exp(-r*T)*cdf(-d2)-S0*cdf(-d1) print "Wczytano definicje!" Rozważmy aktywo o wartości chwilowej (spot price) S = 50 i zmienności (volatility) σ = 0.5. Ponadto, niech wolna od ryzyka stopa procentowa wynosi r = Będziemy rozważać 8.1. Syntetyczny Put 67

72 Rysunek 8.2: Syntetyczna opcja Put. Korzystając z parytetu put-call w postaci: P = C S + Ke Rt możemy za pomoca trzech instrumentów otrzymać taki sam efekt finansowy jak z instrumentu Put. Na prawym panelu pomarańczowa gruba linia oznacza zależność zysku/straty z opcji Put. Na prawym panelu naniesiona trzy instrumenty z prawej strony równania (8.4). Dodając je do siebie otrzymujemy zysk/stratę całego portfela. Suma ta jest zaznaczona na wykresie lewym czarną linią. Widzimy, że pokrywa się ona zyskiem/stratą z opcji Put. opcje o czasie wygaśnięcia trzy miesiące czyli T = 90/365. W chwili początkowej mamy następujące ceny opcji Call i Put, dane przez wzory Blacka-Scholesa: P_c,P_p = C(50,50,.05,90/365.,0.3).n(),P(50,50,.05,90/365.,0.3).n() print P_c,P_p p3= plot( longcall(s,50,0)-p_c,(s,0,100),color= red,aspect_ratio=1)+\ plot( - (S-50),(S,0,100),color= green,aspect_ratio=1)+\ plot( ( 50-50*exp(-0.05*90/365.) ),(S,0,100),color= blue,aspect_ratio=1,figsize=4) show(p3) p2=plot( longcall(s,50,0)-p_c-( S-50) + ( 50-50*exp(-0.05*90/365.) ),(S,0,100),color= bl p2 += plot( longput(s,50,0)-p_p,(s,0,100),color= pink,thickness=5,figsize=4) html.table([["instrumenty bazowe","instrument syntetyczny"],[p3,p2]]) Na ostatnim rysunku widzimy po prawej - profil zysku/straty dla poszczególnych instrumentów bazowych a po lewej czarną linią zaznaczono ich sumę - czyli nasz instrument syntetyczny. Szeroka różowa linia oznacza profil zysku straty dla opcji Call. Spełnienie parytetu powoduje, że obie linie się pokrywają. Korzystając ze wzoru (8.1) możemy tworzyć instrumenty syntetyczne korzystając z czterech cegieł wymienionych powyżej. 68 Rozdział 8. Instrumenty syntetyczne

73 Poeksperymentuj z komputerem! 1. Przypuśćmy, że nie wycenilismy opcji Put wg. wzoru Blacka-Scholesa, tylko od kolegi, który zawsze ma odmienne od rynku zdanie, dowiedzieliśmy się, że P p = Przeprowadźmy te same obliczenia i zobaczmy czy parytet Put-Call dalej będzie spełniony! 2. Napisz własne programy rysujące pozostałe pięc instrumentów syntetycznych. 8.2 Syntetyczna pozycja Long Stock Można stworzyć syntetyczną pozycję posiadania akcji poprzez kupienie Call, sprzedaż Put, i zainwestowanie ceny wykonania na stopę wolna od ryzyka do wygaśnięcia. Graficznie pokazuje to rysunek poniżej: S = C P + Ke Rt Rysunek 8.3: Parytet put-call: S = C P + Ke Rt 8.3 Syntetyczny Long Call Można zbudować pozycje syntetyczną long Call poprzez kupienie Put, kupienie akcji za pożyczoną kwotę równa cenie wykonania i spłacanej w chwili wygaśnięcia przy stopie wolnej od ryzyka. Na wykresie C = P + S Ke Rt 8.2. Syntetyczna pozycja Long Stock 69

74 Rysunek 8.4: Parytet put-call: C = P + S Ke Rt 8.4 Syntetyczna sprzedaż akcji Można utworzyć syntetyczną pozycja sprzedaży akcji (short) poprzez sprzedaż Call, kupienie Put, kupienie obligacji (stopa wolna od ryzyka) za pożyczona cenę wykonania i trzymanie jej do zapadnięcia. Graficznie S = P C Ke Rt Rysunek 8.5: Parytet put-call: S = P C Ke Rt 70 Rozdział 8. Instrumenty syntetyczne

75 8.5 Syntetyczna pozycja short Put Można stworzyć syntetyczną short Put poprzez sprzedaż opcji Call, kupno aktywa za pożyczone na stopę wolna od ryzyka do wygaśnięcia. Graficznie przedstawia wykres P = S C Ke Rt Rysunek 8.6: Parytet put-call: P = S C Ke Rt Jeśli w miejsce kontraktów kasowych na aktywo wstawimy do równania parytetu kontrakty terminowe to otrzymamy podobne zależności dla rynku futures ( forward). W równości parytetu dla tego rynku opcje są opcjami dla kupna i sprzedaży kontraktu futures. Podsumowujac. Równość zwana parytetem cen opcji call i put jest spełniona przy następujących warunkach: 1. Opcje są opcjami europejskimi 2. Cena wykonana jest identyczna dla opcji cal i opcji put. 3. Ceny transakcji są zerowe (tzw. Rynek bez tarcia) 4. Stopy procentowe są niezmienne aż do terminu wygaśnięcia. 5. Akcja nie wypłaca dywidendy. Parytet put-call jest skutecznym narzędziem pozwalającym na testowanie modeli wyceny opcji. Jeśli sprawdzany model wyceny prowadzi do wyliczenia cen które nie spełniają parytetu na rynku bez arbitrażu, należy uznać go za błędny i go odrzucić ( albo jeszcze nad nim popracować by usunąć jego braki). Parytet nie stosuje się do opcji amerykańskich jeśli są wykonywane przed dniem wygaśnięcia Syntetyczna pozycja short Put 71

76 Wynika to z równań Blacka Scholes a, które jest spełnione jeśli opcja nie zostanie wykonana przed wygaśnięciem. Amerykańskie opcje call i put nie spełniają warunków parytetu, ale spełniają słabszą relacje: S 0 K C P S0 Ke Rt Warunek wypłacania dywidendy czyli warunek nr. 5 parytetu jest dość łatwy do ominięcia jeśli uwzględni sie wartość czasową wypłacanej dywidendy zanim opcja wygasnie. Wyniki takich wyliczeń, które polecamy do własnych wyliczeń można znaleźć: W pracy Weiyu Guo i Tie Su- Option Put-Call Parity Relations When the Underlying Security Pays Dividends - International Journal of Business and Economics, 2006, Vol. 5, No. 3, albo Instrumenty syntetyczne Kilka uwag o instrumentach syntetycznych. Istnienie ich warunkuje ważność parytetu Call- Put. Do tego miejsca zajecie pozycji na rynku oznaczało kupno/sprzedaż aktywa lub kontraktu futures, kupno/sprzedaż opcji call lub put na dany instrument. Parytet call- put jest podstawa pewnego nowego innego spojrzenia na aktywo. Pozwala na tworzenie instrumentów rynkowych jako kombinacji innych instrumentów dających ten sam efekt i wartość dla inwestora. Pozycja syntetyczna pozwala na osiągnięcie tego samego zysku( lub straty) co posiadanie instrumentu poprzez zajecie dwu innych pozycji na tym samym rynku. To jest często bardzo wygodne. Przykładowo, jeśli inwestor jest long call a chce być long put. Zamiast likwidować pozycję i otwierać nową,inwestor może zostać long call a sprzedać aktywo lub kontrakt futures jeśli na takim rynku działa. Zamiast więc dwu transakcji zawiera jedną i to dzięki temu przyjmuje syntetyczną pozycje long put. Innymi słowy inwestor sfabrykował syntetyczną pozycję dającą ten sam zysk jak long put posiadając opcje call i sprzedając aktywo (kontrakt futures). Syntetyczne opcje muszą posiadać te same ceny wykonania i czasy wygaśnięcia, co jest konsekwencją założeń parytety call- put. Ponadto jeśli pozycja syntetyczna zawiera w sobie akcje i opcje, liczba akcji reprezentowanych przez opcje musi być równa ilości akcji. Zalety instrumentów syntetycznych. Instrumenty syntetyczne stwarzają w pewnych sytuacjach możliwości które mogą być atrakcyjne dla ich posiadacza. 1. Tworząc kontrakt syntetyczny wchodzimy w posiadanie instrumentu który nie istnieje inaczej niż wspomniany syntetyk. 2. W pewnych sytuacjach może być taniej kupić syntetyk niż instrument, który syntetyk naśladuje ze względu na opłaty, prowizje, spready oraz wolumen który wymagany jest przy zakupie instrumentu fizycznego. 3. Często ( ale nie zawsze) syntetyki są mniej zmienne niż ceny instrumentów fizycznych. 4. Przykładem zalety syntetyka jest sytuacja krótkiej sprzedaży. Jeśli sprzedajemy krótko akcje nie musimy jej pożyczać i nie musimy się martwić o płatność dywidendy na sprzedaną krótko akcje. 72 Rozdział 8. Instrumenty syntetyczne

77 Niemniej jednak należy pamiętać, ze instrumenty syntetyczne pozwalają na większą spekulacje i pozwalają na uniknięcie depozytów zabezpieczających. Przykładowo może się wydawać, że w przypadku syntetycznego long/short futures można uniknąć płacenia depozytu zabezpieczającego. Niestety, pozycja short put wymaga tego samego depozytu jak pozycja short futures. Syntetyczna pozycja long futures wymaga wpłaty podiobnego rzędu jak fizyczna pozycja długa na rynku kontraktów fures. 8.7 Swapy Transakcje swapowe to syntetyczne instrumenty zbudowane z dwu podstawowych cegiełek instrumentów finansowych. Przykładowo są to polaczenia instrumentu dłużnego o stałym oprocentowaniu z instrumentem dłużnym o zmiennym oprocentowaniu. Często do tej kombinacji instrumentów dochodzi transakcja wymiany walut. Swapy stosuje się w celu unikania niedogodności związanych z wymiana walut, przeciwdziałaniu ryzyku kursowemu oraz zabezpieczenia się przed ryzykiem związanym z wahaniem stóp procentowych. Typowy podział swapów to podział na swapy kuponowe i bazowe Swap stopy procentowej Swap kuponowy Najbardziej typowy swap dotyczy wymiany płatności opartej na zmiennej stopie na płatność opartą o stopę stałą. Na ilustracji spółka A zgadza się wykonać płatność do spółki B liczoną w oparciu o zmienne oprocentowanie (np. LIBOR 6 - miesięczny) ustalonej kwoty. W zamian Spółka B zgadza się dokonać płatności odsetek od tej kwoty dla stałego oprocentowania ( np. 10% na rok) Wymiana płatności nastąpi co 6 miesięcy. Swap bazowy Dotyczy wymiany płatności opartych o zmienne oprocentowanie, ale dla różnych rodzajów stóp procentowych. W przypadku swapu bazowego strony wymieniają płatności oparte na 8.7. Swapy 73

78 jednym rodzaju zmiennej stopy procentowej( np. 3- miesięczny LIBOR) na inne płatności oparte o inną zmienną stopę oprocentowania. ( np. LIBOR 6- miesięczny). SWAP jest transakcją zawierana przez dwie strony. Podstawową trudnością dla instytucji z chcącej zawrzeć transakcje tego typu jest znalezienie drugiej strony transakcji, czyli firmy chcącej również zawrzeć transakcje swap na warunkach atrakcyjnych. To stwarza nowe możliwości dla banków, które to pośredniczą w transakcjach i są stroną dla każdej części transakcji zawierając oddzielne kontrakty swap z obu stronami( klientami). Swap stopy procentowej Inaczej nazywany IRS (czyli interest rate swap). Polega ten swap na tym, że płatności wynikające dla stron z kontraktu swap dotyczą tego samego nominału kwoty, ale nie następuje tu żaden transfer tejże kwoty ani inna forma zmiany własności. Raczej mówi się o wymianie oprocentowania, ale nie wynika z tego, że następuje tu jakaś pożyczka. Kontrakt swap reguluje okresowość płatności. Najczęściej są to okresy półroczne, ale mogą być i inne. Podstawą jest regulacja zawarta w kontrakcie. Chociaż strony umawiają się w kontrakcie co do dokonywania płatności w regularnych odstępach czasu to w praktyce, jednak, jest to każdorazowo, płatność jednej strony do drugiej równa różnicy zobowiązań. Mechanizm swapu na stopę procentową. Niech będą dwie firmy: Spółka A i spółka B. Spółka A funkcjonuje na rynku długo i jest uważana za spółkę o bardzo bezpiecznym bilansie i bezpiecznej działalności finansowej. Dla tego na rynku może otrzymać kredyt stało procentowy o stopie 8% lub zmienno procentowy w oparciu o WIBOR + 0,5%. Spółka B jest firma młodą i oferowany dla niej kredyt stało procentowy opiera się o stopę 10% albo kredyt o stopie zmiennej liczony według formuły WIBOR +1%. Załóżmy że Spółka A, oczekując wzrostu stóp procentowych chce zaciągnąć kredyt o oprocentowaniu stałym, B zaś woli zaciągnąć kredyt o oprocentowaniu zmiennym. W powyższej sytuacji: Dla spółki A korzystne jest płacić 8% za kredyt o stałym oprocentowaniu a spółka B musi płacić WIBOR+0,5% za kredyt o zmiennym oprocentowaniu. I tak by było, gdyby nie istniał rynek swapów. Ale istnieje i firmy mogą we wzajemnym współdziałaniu poprawić sobie warunki 74 Rozdział 8. Instrumenty syntetyczne

79 kredytowania. Zawarcie kontraktu swap pomiędzy tymi dwoma firmami umożliwia poprawę sytuacji każdej z nich. Na obu rynkach firma A ma lepsza sytuacje i otrzymuje lepsze propozycje, posiada bowiem bezwzględną przewagę na obu rynkach kredytowych. Na rynku stóp zmiennych spółka B za kredyt o zmiennym oprocentowaniu musi płacić tylko o 0,5% więcej niż firma A, która to na rynku kredytów procentowych otrzymuje warunki o 2% lepsze od spółki B. Tak wiec na rynku kredytów opartych o zmienna stopę firma B osiąga przewagę komparatywną. Firmy zawierają kontrakt swap w ramach którego spółka B zaciąga kredyt według stopy WI- BOR+1% i zobowiązuje się do płacenia stałej stopy 8.5% na rzecz A, w zamian to Spółka A zaciąga kredyt wg stopy stałej (8%) i zobowiązuje się do płacenia na rzecz B zmiennej stopy WIBOR. Czyli: W wyniku zawartej transakcji Spółka B płaci: -stałą stopę 8.5% -WIBOR+1% ale dostaje: +WIBOR Czyli, w sumie płaci 9.5% odsetek wg stałej stopy procentowej. Dzięki zastosowaniu takiego swapu firma B zaoszczędza 0.5% w stosunku do stopy oferowanej przez kredytodawcę. Natomiast spółka A płaci: -stałą stopę 8% -WIBOR Lecz dostaje od spółki B: +stałą stopę 8.5%, i w sumie płaci WIBOR-0.5% odsetek (zmienna stopa procentowa). Dzięki zastosowaniu takiego swapu firma A zaoszczędza 1% w stosunku do stopy oferowanej przez kredytodawcę Swapy 75

80 Analiza powyższego przykładu jest ilustracją ogólniejszej zasady. Podział zysków ze swapu może jest dowolny i negocjowany miedzy partnerami swapu i zależy od ich porozumienia (warunków kontraktu), aczkolwiek ograniczony. Korzyść osiągana przez obie strony jest równa wartości różnicy stóp oferowanych firmom na rynku stałych pomniejszonej o wartość różnicy stóp na rynku stóp zmiennych. W naszym przypadku wartości te wynoszą 2%-0.5%=1.5%. Natomiast w sytuacji gdy jedna z firm ma przewagę bezwzględną na jednym rynku a druga na drugim zysk będzie sumą wartość różnicy stóp oferowanym firmom na rynku stóp stałych powiększoną o wartość różnicy na rynku stóp zmiennych. W warunkach rynkowych przewaga komparatywna nie zawsze musi występować oraz ewentualne korzyści osiągane ze swapu mogą być zbyt małe w porównaniu do kosztów transakcji. Znalezienie drugiej strony swapu często jest trudne. Trudność tą usuwa pośrednik finansowy, który niejako staje się strona dla obu stron swapu. Pośrednik przejmuje na siebie ryzyko związane z niedotrzymaniem warunków umowy przez kontrahenta (ryzyko kredytowe), oraz może przejmować na siebie część ryzyka walutowego (w swapach walutowych). Żąda w zamian wynagrodzenia- czyli każda ze stron rezygnuje na rzecz pośrednika z części beneficjów swapu. Swap stopy procentowej ma podobną strukturę do kontraktu terminowego futures (forward) na stopę procentową, w tym sensie, że przyszłe zobowiązania swapu są określane dzisiaj Swap walutowy W transakcji swapu walutowego ( currency swap), strony wymieniają waluty po ustalonym kursie, Następnie w określonych okresach dokonują wzajemnie płatności odsetkowych w oparciu o wcześniej ustalone pary stóp procentowych. Na koniec, dokonują powtórnej wymiany do oryginalnych walut w terminie zapadalności transakcji. W każdym swapie walutowym występują trzy ważne składowe: Kwota główna Kurs wymiany Dwie stopy oprocentowania Na początku swapu strony wymieniają się Kwotą Główną. Wymiana może być zarówno rzeczywista jak i teoretyczna (fizyczna wymiana nie ma miejsca). Kurs wymiany kurs spot. Znaczenie kwoty głównej jest istotne dla określenia wielkości odsetek i wielkości wtórnej wymiany pod koniec transakcji swap. Końcowa wymiana następuje po kursie wymiany początkowej. Walutowy swap kuponowy Ten rodzaj swapu zwany powszechnie (currency coupon swap) ( cross currency interest rate swap) jest złożeniem swapu walutowego ze swapem stopy procentowej. Mechanizm swapu jest taki sam jak poprzednio. (Te same ruchy i zasady przepływu strumieni pieniężnych jak w swapie walutowym). Dodatkowo zamieniane jest oprocentowanie o stopie stałej na zmienna, lub odwrotnie. 76 Rozdział 8. Instrumenty syntetyczne

81 Przykład: Dolarowy kredyt o stałej stopie odsetek zamieniany jest na kredyt w Euro o zmiennym oprocentowaniu Assets swap Swap aktywów jest kombinacją aktywów i swapu, tak by stworzyć syntetyczne aktywa. Przykładowo: aktywo stałego oprocentowania może zostać zamienione w aktywo o zmiennym oprocentowaniu wyceniane w tej samej lub innej walucie. Przykład: Strony transakcji : Fundusz inwestycyjny i bank. Fundusz inwestycyjny zamierza kupić na rynku : albo obligacje o stałym oprocentowaniu o rentowności 4 % rocznie, albo papier o zmiennym oprocentowaniu wyceniany na poziomie LIBOR. Bank jest zainteresowany posiadaniem obligacji stał.opr.-4 %, albo zamierza udzielić kredytu hipotecznego dla klienta na poziomie LIBOR + 0.5%. Fundusz kupuje obligacje i swapuje ją z bankiem, bez pośrednika. Mechanizm swapu : Fundusz: Kupuje obl. o rentowności 4% Płaci do banku - 3,75% Otrzymuje z banku LIBOR Czyli w wyniku otrzymuje LIBOR +0,25 Bank: Udziela kredytu hipotecznego o oprocentowaniu LIBOR +0,5% Otrzymuje od Funduszu 3,75% Płaci do funduszu - LIBOR Czyli w sumie otrzymuje 4,25%. W wyniku transakcji swapu z funduszem Bank wykreował syntetyczna obligacje stało procentowa o oprocentowaniu wyższym niż rynek a fundusz syntetyczny papier dłużny zmienno procentowy o rentowności wyższej niż rynek Swap a kontrakt forward Swap to umowa stron by wymienić się przepływami pieniężnymi w przyszłości. Umowa ta określa daty w których strumienie pieniężne będą płacone i sposób jak będą one liczone. Kontrakt forward jest przykładem prostego swapu. W przypadku kontraktu forward, następuje wymiana przepływów pieniężnych w danej, konkretnej dacie w przyszłości. W przypadku swapu przepływy występuje kilka razy w określonych datach w przyszłości. Czyli,...innymi słowy,... Możemy traktować swap jako syntetyczny portfel kontraktów forward na stopę procentową czyli Forward Rate Agreement (FRA) Swap jako para obligacji Jeśli kupujemy obligację, płacą nam odsetki. Jeśli emitujemy obligację, to my płacimy odsetki. W prostym swap ie, robimy obie te rzeczy czyli płacimy stałe oprocentowanie fixed rate, nam płacą zmienne oprocentowanie, lub odwrotnie Swapy 77

82 8.7.6 Forward Rate Agreement (FRA) Transakcja FRA (opisana w skrypcie) to terminowa transakcja stopy procentowej polegająca na ustaleniu w dniu jej zawarcia wysokości stopy procentowej dla przyszłego okresu odsetkowego (np. za 6 miesięcy) w odniesieniu do kwoty nominalnej, bez faktycznego jej zaangażowania. Zysk, bądź strata wynikają z różnicy pomiędzy stopą procentową transakcji, a właściwą dla danego okresu odsetkowego stawką referencyjną. FRA są równoważne kontraktom forward w krótkoterminowych swap ach stopy procentowej. FRA są syntetycznymi kontraktami swap kontraktów forward lub futures. FRA jest umową stron aby wymienić się (swap)płatnościami wynikającymi ze stóp procentowych poprzez umówiony okres od pewnej daty w przyszłości. Jedna ze stron takiego kontraktu ustala sobie stałe oprocentowanie a druga zmienne. Kwota główna nie zostaje przesuwana miedzy stronami, natomiast w dacie umowy jedna strona dokonuje wpłaty by skompensować drugiej stronie różnicę pomiędzy uzgodnionym oprocentowaniem a stopą spot w dniu zawarcia. Jak to było zilustrowane w skrypcie); Jeśli chcemy ustalić przyszłą stopę oprocentowania kredytu otrzymujemy zmienną a płacimy stałą (kupujemy FRA). Jeśli chcemy ustabilizować przyszła stopę inwestycji płacimy zmienną a otrzymujemy stałą (sprzedajemy FRA). 8.8 Swaption - swapcja Wśród instrumentów finansowych służących do zarządzania ryzykiem stopy procentowej ważne miejsce zajmuje Swapcja (swaption). Jest to instrument finansowy, który jest opcją na zakup/sprzedaż swapu. Długa pozycja w opcji kupna daje prawo, ale nie obowiązek kupna swapu. Innymi słowy swapcja daje temu, kto ją posiada prawo (ale nie obowiązek) do zawarcia umowy swap u z wystawcą swapcji. Warunki transakcji swap u ustalone zostają w umowie swapcji. Warunki te okreslają: nominalna kwota główna wymiany, okresowość płatności stron (np. półrocznie, rocznie), płacone i otrzymywane stopy dla wymiany płatności, które to stopy określane są jako cena wykonania swapcji. Podobne jak w przypadku opcji, swapcja może mieć cechy opcji europejskiej tzn. wykonanie w dacie wygaśnięcia, albo cechy opcji amerykańskiej- wykonalność w dowolnej dacie od zawarcia umowy do daty wygaśnięcia. Swapcja typu amerykańskiego daje większą elastyczność w wyborze najlepszego czasu wykonania niż swapcja europejska co ma odbicie w cenie. Swapcje amerykańskie są znacznie droższe od europejskich. Wysokość premii za swapcje jest ustalana miedzy nabywcą a sprzedającym. Swapcja jest instrumentem OTC, czyli umową zawieraną pomiędzy bankiem specjalizującym się w transakcjach swap a klientem. Zależy ona od stóp procentowych, ich zmienności i czasu do wygaśnięcia. Data wygaśnięcia swapcji może wynosić i pięć lat od chwili zawarcia umowy ale typowe okresy ustalania stóp procentowych są między trzy a 12 miesięcy. 78 Rozdział 8. Instrumenty syntetyczne

83 Przykład: Firma z kraju Euro kupuje swapcje od Banku w dniu 23 października roku1, którą może wykonać w dowolnym czasie do 23 października następnego roku. Firma bowiem spodziewa się zawarcia transakcji kredytowej gdzieś w przyszłości do roku czasu i zamierza wejść w tym czasie w transakcje swapu płatności. Swap dotyczy kapitału w wysokości 100 milionów USD i terminu 5 lat. Firma zamierza zapewnić sobie płatności, powiedzmy, 1% stałego oprocentowania i otrzymywać zmienne w wysokości USD LIBOR, w sześciomiesięcznych płatnościach swapowych. Premia za swapcje wynosi, powiedzmy, i jest płatna w EUR. Przyczyna dla której firma kupiła swapcje to przewidywanie ze firma wejdzie ( lub może wejść) w umowę swapu kiedyś w ciągu roku. W ramach tej umowy zapewnia sobie płatności stałoprocentowe na poziomie 1%by otrzymywać USD LIBOR. Taki poziom płatności byłby dla niej zadawalający. Chce wiec zapewnić sobie takie warunki swapu, którego umowę chce zawrzeć w przyszłości. Obawia się jednak,ze oprocentowanie stało procentowe może wzrosnąć zanim umowa swapu się rozpocznie. Płacąc premie za swapcje zabezpiecza sobie już dziś niższe płatności oprocentowania stałego. Jeśli stopy wzrosną zanim firma będzie chciała zacząć swap to oprocentowanie stałe też wzrośnie wtedy firma wykorzysta swapcje i wejdzie w umowę swapu z bankiem płacąc 1% stałego procentowania a otrzymując stopę LIBOR w dolarach amerykańskich. Jeśli stopy obniżą się to oprocentowanie stałe też będzie niższe i firma nie skorzysta ze swapcji wchodząc w umowę swapu na warunkach rynkowych płacąc niższą stopę stałą niż 1 % a otrzymując LIBOR w USD. **Dlaczego Bank wystawia swapcje? ** Wystawiając swapcje bank bierze na siebie ryzyko, ze w czasie od wystawienia swapcji do jej wygaśnięcia stopy procentowe mogą się zmienić w kierunku niekorzystnym i swapcja zostanie wykorzystana przez jej posiadacza. Gdy to się zdarzy wystawca swapcji jest zobowiązany do zawarcia kontraktu swapu na warunkach lepszych dla posiadacza swapcji niż aktualne warunki rynkowe. W zamian za to ryzyko zyskuje premie za wystawienie swapcji. Wystawca opcji spodziewa się zysku z zawartych transakcji to znaczy, ze premia za swapcje przewyższy straty na oprocentowaniu gdy posiadacz swapcji ją wykorzysta. Najwięcej zyskuje gdy swapcja nie zostaje wykonana ( podobnie jak w przypadku opcji). Jeśli swapcja zostaje wykonana, czyli stopy procentowe wykonywane ( wynikające z umowy swapcji) są bardziej korzystne dla posiadacza swapcji w stosunku do stóp na rynku swapów, to zysk posiadacza swapcji to niższe płatności oprocentowania albo wyższe przychody z oprocentowania w swapie. A jego stratą jest płacona za swapcje premia. Należy podkreślić, że ryzykom wystawcy swapcji może być duże jeśli zmienność stóp procentowych na rynku jest znaczna, a nominał kapitału wielki. Załóżmy że swap dotyczy 100 milionów a posiadacz swapcji zamierza płacić 1% stałego otrzymując LIBOR w zamian. Gdy stopy na rynku swapów będą równe np. 2% skorzysta on z swapcji a jej wystawca będzie otrzymywał mniej niż stopy rynkowe stałe ( a pewnie i mniej niż LIBOR, który będzie płacił). Jego strata w tym przypadku wyniesie 1% (2%-1%) roczne od kapitału czyli 1 milion rocznie. Jeśli stopy będą bardziej zmienne ( i wyniosą np. 3%) to rozmiar tej straty wyniesie 2 mi Swaption - swapcja 79

84 liony. W przypadku dużej zmienności na rynku stóp procentowych premia za swapcje będzie tez wyższa. Swapcje stosuje się by zabezpieczyć swą ekspozycje na ryzyko stóp procentowych, w przypadku spodziewanego zawierania swapu w przyszłości. Swapcja gwarantuje najgorszy przypadek stóp dla swapu. Dla posiadacza swapcji, który chce płacić stałe oprocentowanie w swapie swapcja gwarantuje maksymalna stopę płatności. Dla posiadacza swapcji, który chce otrzymywać stała stopę, swapcja zabezpiecza minimalny poziom otrzymywanego oprocentowania. Swapcja jest podobna do kontraktów caps i floor i collars w tym sensie, że są to też kontrakty opcyjnie na stopę procentową. Jednak w odróżnieniu od tych kontraktów są częściej stosowane ze wzgledu na lepsze dopasowanie do rynku swapów. 80 Rozdział 8. Instrumenty syntetyczne

85 ROZDZIAŁ 9 Struktura terminowa stóp procentowych 9.1 Podstawowe zależności Jeśli mamy do czynienie z instrumentem dłużnym generującym określoną stopę zwrotu w określonym czasie. I jeśli ponadto inwestujemy kwotę inwestycji na końcu każdego etapu na okres następny, w którym stopa procentowa może być inna albo taka sama to mamy do czynienia z inwestycją wieloetapową. Jeśli zdefiniujemy zwrot z inwestycji jako: R = S S 0 S 0, (9.1) gdzie: S końcowa wartość naszego portfela a S 0 to jego wartość początkowa. Jeśli w portfelu mamy instrument dłużny (instrument stałego dochodu) o stopie procentowej w danym okresie i równej r i, to licząc wartości portfela w kolejnych etapach inwestowania otrzymujemy: S 1 = S 0 (1 + r 1 ) S 2 = S 1 (1 + r 2 ) = S 0 (1 + r 1 )(1 + r 2 ) S 3 = S 2 (1 + r 3 ) = S 0 (1 + r 1 )(1 + r 2 )(1 + r 3 )... S n = S n 1 (1 + r n ) = S 0 (1 + r 1 )(1 + r 2 )(1 + r 3 ) (1 + r n ) Korzystając ze wzoru definiującego (9.1) widać, że zwrot z takiej wieloetapowej inwestycji wynosi: R = n (1 + r i ) 1 (9.2) i=1 Stopa średnia roczna to wielkość stopy, która stosowana do każdego roku inwestycji da końcowy wynik równy R. Czyli: (r s + 1) n = n (1 + r i ) (9.3) i=1 81

86 Stąd wynika wzór: r s = n n (1 + r i ) 1 (9.4) i=1 Inaczej r s nosi nazwę średniej geometrycznej stopy zwrotu Przypominam, że w finansach występuję wiele rodzajów średnich. Należy zawsze pamiętać jak się je liczy i wiedzieć, że nie są to raczej średnie arytmetyczne. Średnia arytmetyczna w przypadku wieloetapowej inwestycji w instrument stałego dochodu była by średnia arytmetyczną gdyby w każdym etapie inwestowana była ta sama wartość portfela. Dla takich samych ri takich samych i średnia geometryczna stopa zwrotu jest zawsze mniejsza lub równa średniej arytmetycznej stopie zwrotu. 9.2 Krzywa dochodowości Związek miedzy dochodowościami obligacji a czasem ich życia określa krzywa zwana krzywa dochodowości. Konstrukcja krzywej dochodowości jest tylko łatwa jeśli dysponujemy jednorodnymi obligacjami o różnych datach zapadalności pozwalających na konstrukcje tejże krzywej. Powinien ten zbiór danych zawierać wszystkie kolejne daty zapadalności. Największy problem to właśnie założenie jednorodnego zbioru obligacji o różnej zapadalności. Obligacje raczej nie są jednorodne czyli np. charakteryzować się tym samym ryzykiem charakteryzować się dużą i taka samą płynnością. Z tych przykładowo powodów strukturę terminowa stóp procentowych określa się na podstawie krzywej dochodowości dla wybranych obligacji, przykładowo o tym samym oprocentowaniu, czy też biorąc pod uwagę stopę zwrotu do zapadalności. Stopy spot to stopy oprocentowania pożyczek dzisiaj: rok, 2 lata, 5lat, 10 lat, etc... Krzywa rentowności to pokazane aktualnych stóp spot dla różnych zapadalności. Z kształtu krzywej rentowności inwestorzy optymalizują swe działania inwestycyjne. Decydują czy lepiej reinwestować środki na okresy krótsze czy dłuższe. Wyliczanie stop forward ilustrować może poniższy przykład. Przykładowo przyjmijmy hipotetycznie istniejące instrumenty dłużne, które obserwujemy na hipotetycznym rynku. Instrumenty te są instrumentami emitowanymi przez Skarb Państwa (hipotetycznego) więc możemy przyjąć, że są to instrumenty o minimalnym ryzyku na naszym rynku i ryzyku podobnym. Przyjmijmy ponadto, że instrumenty te mają wartość nominalna jednakową - powiedzmy Tak więc bierzemy pod uwagę: 1. Jednoroczny bon skarbowy sprzedawany na rynku po Skarbowa obligacje dwuletnią wypłacającą kupon 15.5% i handlowana po Trzyletnią obligacje skarbową o kuponie 16.2% handlowana po Aby określić stopy forward postępuje się następująco. Z danych bonu skarbowego wyliczamy 82 Rozdział 9. Struktura terminowa stóp procentowych

87 Rysunek 9.1: Krzywa dochodowości stopę roczną: stąd r 1 = 15% = r 1 Z danych obligacji dwuletniej wyliczamy stopę roczną za drugi rok - r 2 : stad r 2 = 16%. Z danych obligacji trzyletniej otrzymujemy: Stad r 3 = 17% = r 1 (1 + r 1 )(1 + r 2 ) = r 1 (1 + r 1 )(1 + r 2 ) (1 + r 1 )(1 + r 2 )(1 + r 3 ) Sprawdźmy te obliczenia wykorzystując Sage: var( r1,r2,r3 ) s =solve( [86956 == /(1+r1),\ == 15500/(1 + r1) /((1+r1)*(1+r2)),\ == 16200/(1+r1)+16200/((1+r1)*(1+r2)) /((1+r1)*(1+r2)*(1+r3)) ],[r1,r print map(lambda x:x.rhs().n()*100,s[0]) 9.2. Krzywa dochodowości 83

88 Przy czym należy podkreślić, że r 2 to stopa roczna dla roku drugiego życia obligacji, a r 3 to roczna stopa oprocentowania za dwa lata na rok trzeci. W przypadku stóp forward użytecznym jest następujące oznaczenie: Stopy forward to oprocentowanie dla pożyczki zawartej w przyszłości - F : F (1, 1) oprocentowanie rocznej pożyczki zawartej w terminie 1 rok od dziś F (1, 2) oprocentowanie 2 letniej pożyczki zawartej w terminie rok od dziś. F (2, 1) oprocentowanie jedno rocznej pożyczki zawartej w terminie 2 lat od dziś Stopa spot to szczególny przypadek - S(1) = F (0, 1) Zasadę tę ilustruje rysunek poniżej: Rysunek 9.2: Zbiór stóp forward i związanych z nimi stóp spot. Przyjmijmy, że na rynku znajdujemy dwuletni bon skarbowy A o rentowności rocznej 3.52% a bon roczny B, ma roczną rentowność równa 3.12%. Aby określić stopę forward F (1, 1), widzimy że inwestując w bon A jednostkę pieniędzy otrzymujemy: Bon A: ( )( ) = Czyli ok. 7.2% zwrotu. Inwestując natomiast w bon B na rok jednostkę pieniędzy inwestujemy ja na 3.15% ale możemy otrzymany wynik reinwestować na kolejny rok na stopę F (1.1). Zakładając, że na rynku nie istnieje możliwość arbitrażu, to obie te strategie muszą dać ten sam efekt inwestycji. Czyli: ( )(1 + F (1.1)) = ( )( ) 84 Rozdział 9. Struktura terminowa stóp procentowych