6. " 8& #% " L przedstawiono dwa. Wariant 1. % R k 5 & 6!! stopie oprocentowania i =,.%!*! Wariant 2. % V k 5 & 6!! stopie oprocentowania j = -.%!*!

Transkrypt

1

2 Matematyka finansowa r. 6. " 8& #% " L przedstawiono dwa "%% Wariant 1 9%")% - *% % R k 5 & 6!! stopie oprocentowania i =,.%!*! R R 1 k P R k 1 Q1 dla k {2, 3,..., 20} Wariant 2 9%")% - *% % V k 5 & 6!! stopie oprocentowania j = -.%!*! V V P 1 k 1 Vk 2 Q2 dla k {2, 3,..., 20} ( & 4 R10 3 R11 60 Q1 2 V5 5 V6 72 Q2. " :& #% " /, % "* # %% - * % #% %!! 0 P 20 Q1 20 Q2 ) skalkulowanej przy efektywnej rocznej stopie procentowej k ;<.'7 * ) )L.!" 0!!" )1 A B C D E

3 Matematyka finansowa r. 7. = ") "6 n letniej renty pewnej natychmiast %! % R 5 ' % n *% % K 5 '7 * ) %!!%!%!%!*%*% 5k tego roku (0 < k n1 "! kredytu. #!!$!%!&!%!%!' zostaje dokonana w chwili t !!" )1 A. B. C. D. (1 v) ( n k) v (1 v n( k 1) v (1 v ) n( k 1) (1 v) ( n ( k 1)) v (1 v n( k 1) v (1 v ) (1 v) ( n k) v (1 v nk v (1 v ) nk (1 v) ( n ( k 1)) v (1 v n( k 1) v (1 v ) ) ) n( k 1) n( k 1) ) ) E.!% 7

4 Matematyka finansowa r. 8. : 6! )! *! (i) " %!!* =, % 0! )! 1!*& (ii)!% 5 & (iii) wys )! " %#*!# I 0,1 K 0,01 max( K ( k 1); 0) ; k 1 gdzie: K *& I ) ' 7 " #)% $ %' Policz ile kredy #) 0 % * $ %'1 " %# 0! 1"% % & # " ' A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 E. 9 8

5 Matematyka finansowa r letni %+,%, + % % + 30%.! + $ + $$ $ + do poziomu i = 1% z oryginalnego poziomu i = 1.2% + + $ + %+,%++!"0$$ % 1# A. 620 B. 720 C. 820 D. 920 E

6 Matematyka finansowa r. 8. Rozwamy kredyt w wysokoci , który ma zosta spacony w cigu 20 lat i o którym wiadomo, e w cigu pierwszego 10 letniego okresu spaty raty s patne na kocu kadego roku oraz e w cigu kolejnego 10 letniego okresu spaty raty s patne na kocu kadego kwartau. Wiadomo te, e czna zapacona suma w cigu kadego z dwóch rozpatrywanych okresów spaty jest taka sama oraz e w trakcie kadego z nich wysoko raty pozostaje staa. Przy kalkulacji wysokoci rat zaoono, e efektywna roczna stopa procentowa w trakcie pierwszego 10 letniego okresu spaty wynosi i 12% oraz e nominalna roczna stopa procentowa w trakcie drugiego 10 - letniego okresu spaty wynosi i ( 4 ) 16%. Natychmiast po zapaceniu 16 raty kredytobiorca poyczy dodatkowo kwot L, w zwizku z czym bank zmodyfikowa zasady spaty obecnego cznego zaduenia. Wiadomo, e wedug nowego planu spaty zmodyfikowana rata ma by patna na kocu kadego miesica przez okres pozostajcy do koca oryginalnie ustalonego terminu spaty oraz e jej wysoko pozostaje staa. Wiadomo te e przy kalkulacji zmodyfikowanej raty uyto nominalnej stopy ( 12 ) procentowej i 18%. Prosz obliczy L jeli wiadomo, e suma faktycznie zapaconych odsetek jest o 15% wysza od sumy odsetek która zostaaby zapacona gdyby nie nastpiy adne zmiany. Odpowied (podaj najblisz warto): A B C D E

7 Matematyka finansowa r. 4. Rozwamy plan spaty 30 - letniego kredytu w wysokoci , o którym wiadomo, e: (i) (ii) (iii) przez pierwsze 10 lat na kocu kadego roku spacane bd jedynie odsetki od kwoty biecego zaduenia; przez kolejne 10 lat na kocu kadego roku spacany bdzie jedynie kapita przy uyciu równych rat, przy czym cznie nominalnie zapacone zostanie 40% pierwotnej kwoty zaduenia; przez ostatnie 10 lat na kocu kadego roku spacone zostanie pozostae zaduenie przy uyciu równych rat. Prosz obliczy wysoko raty patnej w ostatnim 10 letnim okresie spaty, jeli wiadomo, e w caym okresie spaty efektywna roczna stopa procentowa (ang. annual effective interest rate) wyniesie i = 8%, z wyjtkiem roku 5, 15 oraz 25, kiedy to w wyniku waha kursowych efektywna roczna stopa procentowa wzronie i wyniesie odpowiednio 10%, 12% oraz 14%. Odpowied (podaj najblisz warto): A B C D E

8 Matematyka finansowa Rozwamy plan spaty 40 - letniego kredytu w nieznanej wysokoci L, o którym wiadomo, e: (i) (ii) (iii) przez pierwsze 10 lat na kocu kadego roku spacane bdzie jedynie 25% kwoty odsetek od oryginalnego zaduenia; przez kolejne 10 lat na kocu kadego roku spacane bd jedynie odsetki od biecego zaduenia; przez ostatnie 10 lat na kocu kadego roku spacany bdzie jedynie kapita przy uyciu równych rat, przy czym cznie w tym okresie zapacone zostanie 50% nominalnej kwoty zaduenia. Prosz obliczy wysoko staej raty patnej na kocu kadego roku w trzecim 10 letnim okresie spaty, jeli wiadomo, e gdyby w pierwszym oraz drugim 10 letnim okresie spaty na kocu kadego roku spacane byo 50% kwoty odsetek od oryginalnego zaduenia przy niezmienionych patnociach w ostatnim 10 letnim okresie spaty, to wynosiaby ona Wiadomo ponadto, e efektywna roczna stopa procentowa (ang. annual effective interest rate) wyniesie odpowiednio 14%, 12%, 10% oraz 8% w kolejnych 10 letnich okresach spaty. Odpowied (podaj najblisz warto): A B C D E

9 Matematyka finansowa Kredyt ma zosta pobrany przy uyciu renty pewnej natychmiast patnej o patnociach dokonywanych na pocztku kadego roku przez okres 8 lat. Rata kredytu pobrana na pocztku k tego roku bdzie wynosi r k k dla k = 1, 2,..., 8. Kada rata kredytu r k bdzie spacona poprzez k letni rent pewn o równych patnociach dokonywanych co rok, przy czym pierwsza patno z tytuu spaty raty r k nastpi 5 lat po jej wypaceniu. Wiadomo, e na kocu 17 roku liczc od daty otrzymania pierwszej raty kredytu r 1 kredytobiorca zapaci odsetki w wysokoci 370. Prosz obliczy ile, przed zrealizowaniem jakichkolwiek patnoci przewidzianych na t dat, wynosi bdzie biece zaduenie kredytobiorcy na kocu 3 roku liczc od daty otrzymania pierwszej raty kredytu r 1. W kalkulacji przyjto, e efektywna roczna stopa procentowa (ang. annual effective interest rate) w caym rozpatrywanym okresie wyniesie 7%. Odpowied (podaj najblisz warto): A B C D E

10 Matematyka finansowa Kredyt ma zosta pobrany w formie 40 letniej renty pewnej natychmiast patnej o ustalonych patnociach w wysokoci dokonywanych na kocu kadego roku. Kada rata kredytu zostanie spacona poprzez 30 letni rent pewn natychmiast patn o równych patnociach K dokonywanych na kocu kadego roku. Prosz obliczy czn rat odsetkow zapacon na kocu 15 roku liczc od daty pobrania ostatniej raty kredytu. Efektywna roczna stopa procentowa (ang. annual effective interest rate) wynosi i = 12% w caym rozpatrywanym okresie. Odpowied (podaj najblisz warto): A B C D E Uwaga: Jeeli rata kredytu zostaa pobrana w chwili t, to pierwsza rata jej spaty K zostanie dokonana w chwili t

11 Matematyka finansowa r. 4. Bank oferuje moliwo zacignicia kredytu krótkoterminowego w dowolnej wysokoci L na okres jednego roku. Kredyt ten ma zosta spacony przy uyciu jednej patnoci dokonanej na kocu roku. Odsetki I maj zosta naliczone wedug nastpujcego wzoru: I 0.05 k 0 ( k 1) minmax 0;L k; Dodatkowo, na pocztku roku kredytobiorca musi zapaci sta prowizj (niezalen od kwoty udzielonego kredytu) w wysokoci Kredytobiorca rozwaa zacignicie kredytu w cznej wysokoci L Ile kredytów na czn kwot L powinien zacign, aby warto obecna zapaconych prowizji oraz odsetek bya minimalna (ang. net present value). Przy kalkulacji wartoci obecnej zapaconych odsetek naley uy efektywnej rocznej stopy procentowej i 10.00% (ang. annual effective interest rate). Odpowied: A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 E. adna z powyszych odpowiedzi nie jest prawidowa 4

12 Matematyka finansowa r. 9. Poyczka oprocentowana przy nominalnej rocznej stopie procentowej naliczanej kwartalnie (ang. annual nominal interest rate convertible quaterly) miaa by spacana przez okres 32 lat za pomoc patnoci dokonywanych na kocu kadego kwartau, przy czym patnoci dokonywane na kocu kwartau parzystego (tj. na kocu pórocza) miay by dwa razy wiksze od patnoci dokonywanych na kocu kwartau nieparzystego. Po zapaceniu poowy rat wyduono pozostay okres spaty do 32 lat (bez zmiany pozostaych warunków), w wyniku czego wysoko kadej raty zmniejszya si o 20.00%. Wyznacz stop ( 4 ) procentow i. ( 4 ) i Odpowied (podaj najblisz warto): A. 8.40% B. 8.80% C. 9.20% D. 9.60% E % 9

13 Matematyka finansowa roku 1. Poyczka w wysokoci jest spacana przez okres 20 lat wedug nastpujcego planu: (i) (ii) w pierwszym 10 letnim okresie spaty patnoci w równych wysokociach s dokonywane na kocu kadego kwartau, w drugim 10 letnim okresie spaty równe raty kapitaowe s patne na kocu kadego kwartau, natomiast odsetki naliczone od biecego zaduenia s pacone na pocztku kadego kwartau. Wiadomo, e efektywne oprocentowanie poyczki wynosi 10% oraz 8%, odpowiednio w pierwszym oraz drugim 10 letnim okresie spaty (ang. annual effective interest rate). Wiadomo te, e kwota zaduenia wedug stanu na koniec 10 roku (po dokonaniu ostatniej patnoci w pierwszym 10 letnim okresie spaty, ale przed dokonaniem jakiejkolwiek patnoci w drugim 10 letnim okresie spaty) bdzie wynosi Wyznacz czn wysoko odsetek zapaconych przez cay okres spaty poyczki. Odpowied (podaj najblisz warto): A B C D E

14 Matematyka finansowa roku 3. Poyczka w wysokoci 1 jest spacana przez okres n - lat przy uyciu wpat dokonywanych do funduszu umorzeniowego (ang. sinking fund) oraz odsetek spacanych na bieco. Zarówno wpaty do funduszu umorzeniowego, jak i patnoci odsetek dokonywane s na kocu kadego roku. Wiadomo, e fundusz umorzeniowy akumulowany jest w oparciu o efektywn roczn stop procentow i (ang. annual effective interest rate). Wiadomo te, e odsetki naliczane s przy uyciu efektywnej rocznej stopy procentowej j. Wyznacz wysoko odsetek netto uzyskanych w cigu pierwszych k lat (1 k n ), to jest rónic pomidzy odsetkami zapaconymi a odsetkami zakumulowanymi w funduszu. Odpowied: ( Is ) A. k j i s k1 i n i B. C. D. ( Is ) k j i s n i ( Is ) k j i s k i k1 i n i ( Is ) k j i s n i k i E. adna z odpowiedzi A, B, C, oraz D nie jest prawidowa 3

15 Matematyka finansowa roku 7. Poyczkobiorca zacign kredyt w wysokoci L na okres 14 lat. Kredyt mia by spacony przy uyciu renty pewnej natychmiast patnej o równych patnociach R 1 dokonywanych na kocu kadego roku. Przy kalkulacji wysokoci patnoci R 1 zaoono, e efektywna roczna stopa procentowa (ang. annual effective interest rate) bdzie wynosi i 1 5% oraz i 2 10% odpowiednio w pierwszym oraz drugim 7 letnim okresie spaty. Po zapaceniu 3 rat postanowiono, e poyczkobiorca dodatkowo poyczy oraz e spaci cao zaduenia równymi patnociami R 2 dokonywanymi na kocu kadego roku przez okres 20 lat liczc od tej chwili. Wiadomo te, e przy kalkulacji wysokoci patnoci R 2 uyto efektywnej rocznej stopy procentowej i 3 15%. Oblicz R 2. Odpowied (podaj najblisz warto): A B C D E

16 Matematyka finansowa r. 2. Kredytobiorca otrzymuje od banku kredyt w 10 transzach, patnych na pocztku roku w odstpach 2 letnich, w wysokoci kolejno 100,150,200,...,550. Kada transza kredytu spacana jest poczwszy od momentu jej otrzymania w postaci renty 30 letniej o równych patnociach na koniec kolejnych lat. Ile wynosi cakowite zaduenie kredytobiorcy po 25 latach od otrzymania pierwszej raty kredytu (po zapaceniu rat wymagalnych w tym terminie) jeeli roczna stopa procentowa i=10% (podaj najblisz warto)? A) 2560 B) 2640 C) 2720 D) 2800 E)

17 Matematyka finansowa r. 10. Kredytobiorca ma do wyboru dwa 3-letnie kredyty inwestycyjne: a) kredyt zotówkowy w kwocie z, o zmiennym oprocentowaniu, przy którym roczna stopa oprocentowania jest zmienn losow o rozkadzie jednostajnym na przedziale [0.1; 0.15], b) kredyt w dolarach w wysokoci USD, o staym oprocentowaniu 5% rocznie; o kursie dolara amerykaskiego wiemy, e jest zmienn losow o rozkadzie ze redni ,1 * t i wariancj ,2 * t (t okres od zacignicia kredytu w latach). Kredyty s spacane w taki sposób, e raty kapitaowe s równe (cao raty jest zmienna, bo zmienne s odsetki) i patne na koniec roku. Kurs dolara w chwili wzicia kredytu wynosi 3.5 PLN/USD. Raty kredytu dolarowego s kalkulowane po kursie z dnia spaty raty. Odsetki od kredytów s naliczane nastpujco: na koniec roku k oblicza si odsetki od caoci kredytu 4 k pomnoonego przez wskanik. 3 Niech: A = warto oczekiwana kwoty cznych odsetek zapaconych przy kredycie zotowym, B = warto oczekiwana kwoty cznych odsetek zapaconych przy kredycie dewizowym, przeliczonych na zotówki po wartoci kursu dolara w dniach patnoci. (odsetki = warto nominalna wszystkich rat warto nominalna kredytu) Stosunek A B wynosi (podaj najblisz warto): A) 0.25 B) 0.35 C) 0.45 D) 0.55 E)

18 Matematyka finansowa r. 6. Dwaj kredytobiorcy X i Y zaci gaj jednocze nie kredyty w kwocie , sp acane w formie rent 30 letnich o równych ratach p atnych na koniec kolejnych lat. i(x,0) = 10% a i(y,0) = 6% (sta e stopy oprocentowania kredytów odpowiednio dla X i Y w chwili jego otrzymania t=0). Bezpo rednio po zap aceniu 10 raty zmieniaj si warunki rynkowe i kredytobiorcy musz renegocjowa z bankiem warunki kredytu. X otrzymuje nowe korzystniejsze i(x,10) = 8% a Y zmuszony jest przyj od banku gorsz od dotychczasowej ofert i(y,10) = 8%. Wed ug tych stóp wyliczane s nowe raty kredytu sp acanego teraz w równych ratach przez kolejnych 20 lat (uwzgl dniane jest ca e pozosta e na dan chwil ich zad u enie). Kolejna renegocjacja ma miejsce po zap aceniu 20 raty kredytu (czyli na koniec 20 roku od otrzymania kredytu). Tym razem i(x,20) = 6% a i(y,20) = 10%. Ponownie wyliczane s nowe raty na podstawie stanu zad u enie na moment zmiany stóp kredytu (przy za o eniu sp aty w 10 równych rocznych ratach). Ile wynosi ró nica (nom inalna) sumy rat zap aconych na rzecz banku przez kredytobiorc X i rat zap aconych przez kredytobiorc Y w okresie od ko ca 5 do ko ca 25 roku wa no ci kredytów? Podaj najbli sz warto (nie uwzgl dniamy p atno ci raty nr 5 natomiast uwzgl dniamy rat nr 25). A) B) C) D) E)

19 Matematyka finansowa r. 3. Biece kursy walutowe wynosz : 1 USD = 4 PLN, 1 USD = 0,80 EUR. Oprocentowanie rocznych depozytów i kredytów: PLN EUR USD kredyt 10% 6% 4% depozyt 5% 3% 2% Inwestor moe dokonywa bez kosztów wszelkich operacji wedug wyej okrelonych stawek rynkowych. Przy którym z poniszych kursów terminowych z rozliczeniem za rok jest moliwy arbitra? A) 1 EUR = 5,30 PLN B) 1USD = 4,29 PLN C) 1 USD = 0,795 EUR D) 1 EUR = 1,19 USD E) 1 PLN = 0,20 EUR 4

20 Matematyka finansowa r. 5. Inwestor bierze kredyt w wysokoci z spacany w 50 równych rocznych ratach patnych z dou przy stopie i 1 = 10%. Bezporednio po zapacie 10 raty renegocjuje warunki kredytu. Pozostaa do spaty cz kredytu bdzie teraz spacona przez kolejne 30 lat (razem 40 lat) w równych ratach ze zmienion stop i 2 = 12%. Ile wynosi rónica pomidzy sum odsetek zapaconych na koniec 12,14,16,...,40 roku przy nowych warunkach a sum odsetek jaka byaby zapacona w pierwotnej formule spaty kredytu w tym samym czasie? (podaj najblisz warto) A) 530 B) 280 C) 30 D) 220 E) 470 6

21 Matematyka finansowa r. 10. Pan Jan zacign kredyt w wysokoci PLN. Nominalna roczna stopa oprocentowania wynosi 5.5%. Prowizja dla banku za jego udzielenie wyniosa 2% wartoci. Pan Jan wybra opcj 3-miesicznej karencji w spacie kapitau (przez pierwsze 3 miesice spaca wycznie odsetki). Po 3 miesicach karencji kredyt jest spacany w 360 równych miesicznych ratach z dou. Po zapaceniu 120 rat, pan Jan spaca cao pozostaego mu do spaty kredytu jednorazowo na koniec kolejnego miesica. Ile wyniosa czna nominalna suma kosztów tego kredytu? (podaj najblisz warto). A) B) C) D) E)

22 Matematyka finansowa r. 5. Bank chce ubezpieczy udzielony kredyt 30-letni. Kredyt ma nastpujce parametry: a) spacany jest w równych ratach na koniec kolejnych lat, b) efektywna stopa oprocentowania i 1 = 8% w skali roku, c) kwota kredytu PLN, d) na koniec 15 roku (po zapaceniu 15-tej raty) kredytobiorca ma moliwo zacignicia dodatkowego kredytu w wysokoci równej wielkoci aktualnego zaduenia z tytuu kredytu dotychczasowego. Przyjmujemy zaoenie, e kredytobiorca zawsze skorzysta z tej opcji, o ile bdzie wówczas wypacalny (nie dojdzie wczeniej do jego bankructwa). Dodatkowy kredyt spacany jest w 15 równych ratach patnych na koniec kolejnych lat przy tej samej stopie i 1 = 8%. Prawdopodobiestwo bankructwa kredytobiorcy w kadym z lat 1,2,...,30 wynosi 0.5% o ile nie doszo do niego wczeniej (bankructwo jest nieodwracalne i moe wystpi tylko raz). W przypadku bankructwa kredytobiorcy, ubezpieczyciel przejmuje na siebie spacanie kredytu i musi spaci wszystkie pozostae do zapaty raty w terminach ich patnoci (równie wynikajce z zacignitego kredytu dodatkowego, o ile mia miejsce). Ile wynosi skadka jednorazowa netto, jeeli zakad ubezpiecze stosuje do takiego ubezpieczenia roczn stop techniczn i 2 = 5%? Podaj najblisz warto A) B) C) D) E)

23

24 Matematyka finansowa r letni kredyt hipoteczny X jest spłacany w równych ratach na koniec kolejnych lat z efektywn stop oprocentowania i 1 = 6% w skali roku. Na koniec 15 roku (po zapłaceniu 15- tej raty) kredytobiorca ma moliwo zacignicia dodatkowego kredytu Y w wysokoci równej wielkoci aktualnego zadłuenia z tytułu kredytu dotychczasowego. Przyjmujemy załoenie, e kredytobiorca zawsze skorzysta z tej opcji, o ile bdzie wówczas wypłacalny (nie dojdzie wczeniej do jego bankructwa). Dodatkowy kredyt spłacany jest w 15 równych ratach płatnych na koniec kolejnych lat przy tej samej stopie i 1 = 6%. Warunkiem uruchomienia całoci kredytu 30-letniego było opłacenie jednorazowej składki (netto) P = za ubezpieczenie niewypłacalnoci kredytobiorcy, skalkulowanej przy rocznej stopie technicznej i 2 = 4%. Prawdopodobiestwo bankructwa kredytobiorcy w kadym z lat 1,2,...,30 wynosi 0.5% o ile nie doszło do niego wczeniej (bankructwo jest nieodwracalne i moe wystpi tylko raz). W przypadku bankructwa kredytobiorcy, ubezpieczyciel przejmuje na siebie spłacanie kredytu i musi spłaci wszystkie pozostałe do zapłaty raty w terminach ich płatnoci (równie wynikajce z zacignitego kredytu dodatkowego, o ile miał miejsce). Jaka jest kwota zacignitego kredytu X? Podaj najblisz warto. A) B) C) D) E)

25

26

27 Matematyka finansowa r. 1. Kredytobiorca otrzyma od banku kredyt w 6 transzach, płatnych na pocztku roku w odstpach 3 letnich. Wysoko pierwszej transzy wyniesie , a kada kolejna transza bdzie mniejsza od poprzedniej o ustalon liczbr. Kada transza kredytu spłacana jest, poczwszy od momentu jej otrzymania, w postaci renty o równych płatnociach na koniec kolejnych lat. W przypadku kadej z powyszych rent ostatnia rata jest płatna na koniec roku, który koczy 25 letni okres czasu, który zaczł si w momencie otrzymania pierwszej transzy kredytu. Wyznacz warto R (podaj najblisz warto), jeeli wiadomo, e całkowite zadłuenie kredytobiorcy po 20 latach od otrzymania pierwszej transzy kredytu (po zapłaceniu rat wymaganych w tym terminie) wynosi , a roczna stopa procentowa jest równa 5%. A) B) C) D) E)