Part I. Położenie obserwatora na powierzchni Ziemi. Astronomia sferyczna Wykład 5: WSPÓŁRZEDNE GEOCENTRYCZNE Przejście topo- geocentrum i odwrotnie

Transkrypt

1 Astronomia sferyczna Wykład 5: WPÓŁRZEDNE GEOENTRYZNE Przejście topo- geocentrum i odwrotnie Tadeusz Jan Jopek Part I Instytut Obserwatorium Astronomiczne, UAM emestr II (Uaktualniono ) Przybliżenia kształtu Ziemi Modelowanie kształtu Ziemi Elipsoida obrotowa zerokość astronomiczna, geodezyjna i geocentryczna obserwatora Położenie geocentryczne obserwatora Kula, elipsoida, geoida chematyczny przebieg geoidy Kula 9 m Elipsoida b a=6738 km 6 m 08 m a b=3. km Rzeczywisty kształt bryły ziemskiej jest bardzo skomplikowany i nie daje się opisać prosta zależnościa funkcyjna. Powierzchnie ekwipotencjalne Linia pionu P Powierzchnia ladu H Poziom morza N Elipsoida Dno oceanu określa się w oparciu o średni poziom oceanu będacego w grawitacyjnej równowadze i pokrywajacego się z powierzchnia ekwipotencjalna obserwowanej siły ciażenia. W potencjale, poza grawitacyjnymi, uwzględnia się wyrazy reprezentujace siły odśrodkowe będace efektem ziemskiej rotacji wokół osi. Powierzchnię ekwipotencjalna pokrywajac a powierzchnię oceanu i rozciagnięt a pod masami ladowymi nazywamy geoida. Na geoidzie kierunek lokalnej siły ciażenia jest wszędzie normalny do jej powierzchni. Ziemska elipsoida odniesienia Elipsoidy odniesienia posiada liczne, w porównaniu do jej rozmiarów niewielkie nieregularności i dlatego można ja stosunkowo dokładnie przybliżyć elipsoida obrotowa o osi obrotu pokrywajacej się z osia rotacji Ziemi. Parametry elipsoidy: równikowy promień a oraz spłaszczenie biegunowe f, określaja tzw. standardowy sferoid wykorzystywany do celów astronomicznych i geodezyjnych. Południkowy przekrój elipsoidy ma równanie: x a + z a ( f ) = () Decyzja Międzynarodowej Unii Astronomicznej (MUA) z 976 roku, jako standardowy przyjęto sferoid o parametrach: a = [km], f = = /98.57 a promień równikowy (półoś wielka), c półoś mała, f spłaszczenie ziemskiej elipsoidy zwiazane sa równaniem c = a( f ). Table: Historia. Elipsoidy odniesienia: a półoś wielka, f spłaszczenie Elipsoida a [m] /f Airy (830) Everest (830) Bessel (84) larke (866) larke (880) Hayford (94) Krasovsky (940) IAU (968) WG 7 (97) IAU (976) GR 80 (980) WG 84 (984) IER (989) Więcej informacji - knyknij TUTAJ.

2 zerokość astronomiczna, geodezyjna i geocentryczna Zwiazki pomiędzy współrzędnymi geodezyjnymi i geocentrycznymi Elipsoida normalna do elipsoidy kierunek do geocentrum kierunek pionu O ZA ZG ZG Wyróżniamy trzy definicje zenitu miejsca obserwacji O. Kierunek pionu definiuje zenit astronomiczny ZA. Kierunek ku środkowi masy Ziemi definiuje zenit geocentryczny ZG. Przecięcie sfery półprosta normalna do elipsoidy odniesienia definiuje zenit geodezyjny ZG. Kierunki na zenit geodezyjny ZG i zenit geocentryczny ZG leża w płaszczyźnie tego samego południka. Zenit astronomiczny ZA nie musi leżeć w tej płaszczyźnie. W oparciu o każdy z tych kierunków definiujemy trzy różne szerokości obserwatora O (szerokość to kat jaki kierunek na zenit tworzy z płaszczyzna równika ziemskiego): szerokość geodezyjna, szerokość geocentryczna i szerokość astronomiczna. gdzie y b Zenit geodezyjny Zenit geocentryczny 00 ν 0 O OO =h O=ρ O ρ φ φ Q a x ρ cos φ = a cos φ ( + h/a) ρ sin φ = a sin φ ( + h/a) = [cos φ + ( f ) sin φ] / Dla obserwatora O dane sa współrzędne geocentryczne ρ, φ, λ. Odpowiadaja im współrzędne geodezyjne φ, λ, h. Długości lambda sa identyczne w obu zestawach wspołrzędnych. Natomiast współrzedne geodezyjne ρ, φ i h wiaż a się z współrzędnymi ρ, φ geocentrycznymi za pomoca: = ( f ) ρ odległość geocentryczna obserwatora, h jego wysokość nad ziemska elipsoida, a, f półoś wielka, spłaszczenie elipsoidy. () Part II 3 Przemieszczenie obserwatora paralaksa geocentryczna (dobowa) Paralaksa horyzontalna Paralaksa horyzontalna zastosowanie Klasyfikacja planet Konfiguracje planet Względne rozmiary orbit planet Rozmiary orbit planet w metrach Jednostka astronomiczna (dobowa) Paralaksa horyzontalna O z ρ z Z r r p Przemieszczenie z do O pociaga powiększenie obserwowanej odległości zenitalnej z obiektu o kat p bez wpływu na jego azymut. p to kat O rozpięty na promieniu łacz acym środek masy Ziemi i obserwatora. z = z + p (3) Z O z ρ z r p r Definicja Paralaksa horyzontalna (kat P), stanowi standaryzację paralaksy geocentrycznej. Odpowiada paralaksie obiektu obserwowanego na horyzoncie obserwatora O znajdujacego się w odległości ρ = a od środka Ziemi. z = z + P = 90 (5) Z trójkata O z wzoru sinusów dostaniemy sin p = ρ r sin z = ρ sin z (4) r Paralaksa zależy od odległości zenitalnej obiektu, zatem potrzebna jest standaryzacja. Dla z = 90, wzór (4) przechodzi w postać (a promień równikowy ziemskiej elipsoidy) sin P = a r Dla a = sinus paralaksy horyzontalnej jest równy odwrotności odległości obiektu od geocentrum. (6) Paralaksa horyzontalna - zastosowanie Jak wyznaczyć rozmiary Układu łonecznego? Wzór (6) możemy wykorzystać do modyfikacji wzoru (4): sin p = ρ a sin P sin z (7) Paralaksy horyzontalne P stosowane sa zamiast geocentrycznej odległości r obiektu. Jednak pamiętajmy, że w Układzie łonecznym wartości paralaks horyzontalnych planet..., ze względu na ich ruch orbitalny nie sa stałe. Np. dla Księżyca paralaksa horyzontalna oscyluje pomiędzy Dlatego Międzynarodowa Unia Astronomiczna rekomenduje średnie wartości paralaks i dla Księżyca zaleca wartość P 0 podana w 983 roku przez Murray a sin P 0 = sin co jest równoważne P 0 = (8) Paralaksy geocentryczne planet sa mniejsze. Dla aturna wynosi ona około, dla Wenus waha się w granicach Dla obiektu znajdujacego się na odległości AU, paralaksa nosi nazwę paralaksy słonecznej. Jest ona bardzo bliska średniej paralaksy prawdziwego łońca. Trzecie prawo Keplera k (M + m p) 4π = T p /a 3 p const (9) gdzie: k stała grawitacji, a p półoś orbity planety, T p orbitalny okres obiegu planety, M p masa planety, M masa łońca. Pozycyjne obserwacje w długich interwałach czasu pozwalaja dokładnie wyznaczyć okres orbitalny. Wówczas z prawa Keplera zastosowanego do dwóch planet daje się obliczyć względne rozmiary orbit planet. Aby wyznaczyć rozmiary absolutne (np. w metrach) trzeba znać wartość stałej k, ta zaś w czasach Keplera nie była znana. A zatem, można skonstruować model Układu łonecznego w pewnej skali, jednak by był to model w metrach konieczny jest pomiar obległości (paralaksy) choćby do jednej planety.

3 Klasyfikacja planet Konfiguracje planet Określenia Planety dolne: Merkury, Wenus. Planety górne: Mars, Jowisz, aturn, Uran, Neptun. Określenia Opozycja -E-J Jowisz w opozycji ze łońcem, E Ziemia. Kwadratura -E-J kwadratura zachodnia, -E-J 5 kwadratura wschodnia. Koniunkcja -E-V koniunkcja dolna, Venus -E-V 3 koniunkcja górna, -E-J 3 koniunkcja górna. Elongacja -E-V elongacja maksymalna, -E-J 4 elongacja Jowisza. Maksymalna elongacja a względne rozmiary orbit planet Dla Wenus w momencie maksymalnej elongacji mamy: M Eros V E = sin(ve) Z W 0 Jeśli odległość Ziemi od łońca E =, to odległość Wenus od łońca wynosi: γ V = sin(ve) V w jednostkach promienia orbity Ziemi. M W Z W oparciu o koniunkcje dolne Wenus? Figure: Koniunkcja dolna Wenus, styczeń 4. W oparciu o koniunkcje dolne Wenus? W oparciu o obserwacje tranzytu Wenus przed tarcza łońca? ( c gjscheffer@solcon.nl) Opozycje Marsa ze łońcem M Eros Z W 0 γ M W Z W oparciu o obserwacje Marsa w momencie jego opozycji ze łońcem? Rozmiary katowe Marsa wyraźnie zmieniaja się w momentach jego opozycji. Jednak nie wystarcza to dokładnego wyznaczenia jego paralaksy.

4 Kampania obserwacyjna Erosa M Eros Z W 0 γ M W Z Pod koniec XIX wieku odkryto planetkę Eros. Orbita Erosa zbliża się do orbity Ziemi na odległość 0.6 AU. Dzięki obserwacjom Erosa dokonano rewizji rozmiarów Układu Planetarnego. Misja Near do planetki 433 Eros Paralaksa słoneczna W roku 959, w warunkach koniunkcji Wenus ze łońcem zmierzono odległości do planety technika radarowa. W rezultacie wyznaczono paralaksę słoneczna: P 0 = która pozwoliła na udokładnienie wartości jednostki astronomicznej: [JA] = [m] Jednostka astronomiczna Obecnie jednostki astronomicznej nie definiuje się w oparciu o średnia wartość półosi orbity Ziemi. Ta zmienia się w wyniku perturbacji planetarnych. Definicja oparta jest o stała grawitacyjna k tzw. stała Gaussa, k = [JA 3/ doba M / która przetrwała zmiany systemu stałych i nie wydaje się by miało być inaczej w przyszłości. Dla podanej wyżej wartości stałej k jednostkę astronomiczna definiuje się jako długość wielkiej półosi a p w równaniu: k 4π = T p /a 3 p const której odpowiada okres obiegu T p jednego roku wyrażony w dobach. Part III Wpływ paralaksy i aberracji Wpływ paralaksy na współrzęne równikowe α, δ. 4 Paralaksa dobowa we współrzędnych równikowych Paralaksa dobowa przykład. P 90 φ t 90 δ Z z X X Horyzont W formułach na małe przesunięcie, punktem o współrzędnych α 0, δ 0 będzie zenit, czyli α 0 = G M a δ 0 = φ, gdzie G M czas gwiazdowy, φ geocentryczna szerokość obserwatora. Zatem α α 0 = H = t, oraz k = ρ r, gdzie ρ, r geocentryczna odległość obserwatora i obiektu, odpowiednio. 5 Wpływ ruchu wirowego obserwatora Poprawki paralaktyczne w α, δ Podstawiajac prawe strony wyrażeń na k i (α α 0) do formuł na małe przesunięcie uzyskamy: dα = α α = ρ r cos φ sin t sec δ dδ = δ δ = ρ r (cos φ cos t sin δ sin φ cos δ) (0)

5 Formuły przybliżone i formuły dokładne Paralaksa Księżyca () Formuły (0) sa przybliżone (pierwszy rzad ze względu na (ρ/r)), dlatego nie należy ich używać w przypadku Księżyca czy też sztucznych satelitów Ziemi. Nadaja się dla pozostałych ciał niebieskich o ile ciała te nie znajduja się zbyt blisko Ziemi. Dla obiektów bardzo dalekich należacych do Dysku Kuipera, paralaksy geocentryczne sa bardzo małe i w formułach (0) nie ma potrzeby rozróżnienia pomiędzy szerokościami geodezyjna i geocentryczna, a jako ρ można do wzorów podstawić wartość a równikowego promienia Ziemi. Formuły przybliżone należy stosować z rozwaga, a w sytuacjach watpliwych konieczne jest podejście dokłade. Mianowicie, niech r i R będa geocentrycznymi wektorami położenia obiektu i obserwatora O. Wówczas wektor r od obserwatora do obiektu dany jest jako różnica r = r R () Wektor R położenia obserwatora na powierzchni Ziemi jest to wektor o długości ρ skierowany na geocentryczny zenit obserwatora. We współrzędnych równikowych ma on składowe R = ρ(cos φ cos T, cos φ sin T, sin φ ) () gdzie T jest miejscowym czasem gwiazdowym w momencie obserwacji. Dla Księżyca, na moment obserwacji z rocznika astronomicznego bierzemy jego współrzędne równikowe geocentryczne (α, δ) oraz paralaksę horyzontalna P. Wówczas korzystajac z równania (6) możemy obliczyć geocentryczna odległość Księżyca r = a csc P gdzie a jest średnim promieniem równikowym Ziemi. Gocentryczny wektor położenia Księżyca ma zatem składowe r = a csc P(cos δ cos α, cos δ sin α, sin δ) (3) Paralaksa Księżyca () Paralaksa sztucznego satelity Ziemi () Niech (x, y, z ) będa składowymi wektora r, opisujacego obserwowane położenie Księżyca. Odpowiadajace im współrzędne sferyczne oznaczymy przez (α, δ ). Równanie () w wersji skalarnej będzie wówczas dane jako układ x = r cos δ cos α = a csc P cos δ cos α ρ cos φ cos T y = r cos δ sin α = a csc P cos δ sin α ρ cos φ sin T z = r sin δ = a csc P sin δ ρ sin φ (4) Dysponujac składowymi (x, y, z ) łatwo obliczymy (α, δ ) α = arctan(y /x ) δ = arctan(z / (x + y ) (5) Przykład. W stacji o szerokości geodezyjnej dokonano obserwacji sztucznego satelity Ziemi zarówno radiowo jak i optycznie. Wysokość stacji wynosi 456 metrów nad poziomem morza. Z obserwacji otrzymano następujace równikowe współrzędne satelity: r = km α = 7 h m 9 s δ = 4 T = 9 h 7 m 34 s gdzie T miejscowy czas gwiazdowy momentu obserwacji. Oblicz geocentryczne miejsce i odległość satelity. Równanie (5) wymaga pewnej ostrożności podczas normowania rektascensji do odpowiedniej ćwiartki. Paralaksa sztucznego satelity Ziemi () Paralaksa sztucznego satelity Ziemi (3) Rozwiazanie wymaga kilku kroków.. Należy obliczyć składowe wektora R położenia obserwatora na moment obserwacji. W tym celu przyjmujemy a = km, f = oraz zamieniamy wartości katowe φ = 39 ọ 733, T = 39 ọ 397. Kolejno obliczamy: h/a = (φ) = (f ) = ρ cos φ = [km] ρ sin φ = [km] W oparciu o te wielkości za pomoca równań () obliczamy składowe wektora położenia obserwatora na moment obserwacji T. R = ( , , ). Wykorzystujac obserwacje satelity obliczamy składowe wektora r r = [km] α = δ =.7058 r = ( , 533.6, ) 3. Wobec () geocentryczny wektor r ma składowe r = r + R = ( , , ) [km] 4. Po przejściu do współrzędnych sferycznych, na moment T mamy geocentryczne współrzędne sferyczne satelity (r, α, δ): r = α = 8 h 47 m 3 s δ = Paralaksa sztucznego satelity Ziemi (4) Porównajmy wartości topocentryczne współrzędnych położenia tego satelity: Miejsce topocentryczne Miejsce geocentryczne r = km α = 7 h m 9 s δ = 4 r = km α = 8 h 47 m 3 s δ = we współrzędnych równikowych Założenia, formuły ρ, φ, λ położenie obserwatora na powierzchni Ziemi, ω katowa szybkość wirowania Ziemi, stad liniowa szybkość obserwatora wynosi V = ρω cos φ, wektor prędkości obserwatora n skierowany jest na punkt o współrzędnych α 0, δ 0, czyli α 0 = G M + 6 h δ 0 = 0 z powodu aberracji dobowej, położenie gwiazdy określone za pomoca α, δ lub s, ulegnie zmianie o przyrosty: ds = (V /c) s (s n) dα = α α = (ρω cos φ /c) sec δ cos t dδ = δ δ = (ρω cos φ /c) sin δ sin t gdzie podstawiono (α 0 α) = t, natomiast c jest szybkościa światła. (6)

6 , uwagi Poprawki (6) na aberrację dobowa nie zależa od odległości obiektu. Aby otrzymać współrzędne geocentryczne trzeba jeszcze dokonać transformacji uwzględniajacej wpływ paralaksy geocentrycznej. Gdy paralaksa i aberracja sa małe porzadek uwzględnienia poprawek nie jest istotny. Dla dużej paralaksy, a natura rei, trzeba aberrację usuwać przed zastosowaniem ścisłych formuł na paralaksę geocentryczna. Wpływy relatywistyczne moga być pominięte ze względu na niewielki stosunek V /c dla aberacji dobowej. Pominięcie relatywistycznego efektu odchylenia światła δψ w polu grawitacyjnym Ziemi wymaga dalszego uzasadnienia. Odchylenie to nie przekracza m/a radianów, gdzie m jest połowa chwarzschildowskiego promienia Ziemi. Ponieważ m = GM /c = 4.4 [mm] (7) gdzie G stała grawitacji, M masa Ziemi, a promień Ziemi. tad δψ = m/a < (8) co usprawiedliwia pominięcie wpływu grawitacji na kierunak propagacji światła w pobliżu Ziemi. Figure: Kształt goidy WG-84/EGM96 względem elipsoidy odniesienia. Klor niebieski, purpurowy oznacza depresje (do -07m), kolor czerwony wzniesienia (do 85 m) nad elopsoida. [ Poczatek wykładu