Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna... 1

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna... 1"

Transkrypt

1 Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna... 1 Statystyka aktuarialna i teoria ryzyka LITERATURA Bowers N. i in. (1986 lub 1997) Actuarial mathematics, Hossak J.B., Pollard J.H. (1983 lub 1990), Introductory statistics with applications in general insurance, Cambridge University Press. Straub E. (1997), Non-Life Insurance Mathematics, Springer, Berlin-Heidelberg. Otto W. (2004), Ubezpieczenia majątkowe; t. I - Teoria ryzyka, WN-T, Warszawa. Zarządzanie ryzykiem w ubezpieczeniach, red. Ronka- Chmielowiec W., Wyd. AE we Wrocławiu, Wrocław Kaas, R., Goovaerts, M., Dhaene, J., Denuit, M. (2001), Modern Actuarial Risk Theory, Kluwer Academic Publishers, Boston. Kowalczyk P., Poprawska E., Ronka-Chmielowiec W. (2006), Metody aktuarialne, zastosowania matematyki w ubezpieczeniach, PWN, Warszawa. Klugman S., Panjer H., Willmot G. (1998) Loss Models, From Data to Decisions, Wiley

2 Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna... 2 Ubezpieczenie - urządzenie gospodarcze zapewniające pokrycie przyszłych potrzeb majątkowych, wywołanych u poszczególnych jednostek przez zdarzenia losowe, w drodze rozłożenia ciężaru tego pokrycia na wiele jednostek, którym te same zdarzenia zagrażają. Umowa ubezpieczeniowa (polisa) - umowa między ubezpieczanym (ubezpieczającym) a ubezpieczycielem (zakładem ubezpieczeń) w której ubezpieczany zobowiazuje się uiścić opłatę - składkę ubezpieczeniową (jednorazowo lub ratalnie) na rzecz zakładu ubezpieczeń, zakład ubezpieczeń zobowiązuje się do wypłacenia w razie zajścia wypadku ubezpieczeniowego określonego w polisie lub w ściśle określonym terminie sumy ubezpieczenia, wartości ubezpieczenia, odszkodowania na rzecz określonych w ubezpieczeniu osób. Reasekuracja - ubezpieczenie jednego zakładu ubezpieczeń w innym na wypadek zbyt dużych roszczeń

3 Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna... 3 Wskaźniki: ekonomiczno - ubezpieczeniowe: B Y gdzie B - suma składek, Y - dochód narodowy B m O m gdzie B m - suma składek na ubezpieczenia majątkowe, O m - suma o jaką zwiększyły się oszczędności, wskaźnik mówi o skłonności do zawierania ubezpieczeń; wskaźnik powszechności = liczba ubezpieczonych pole ubezpieczeń wskaźnik pełności = odszkodowania wypłacone suma rzeczywistych szkód

4 Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna... 4 wskaźniki techniczno-ubezpieczeniowe: wskaźnik szkodowości losowej = S U gdzie S - suma odszkodowań wypłaconych, U - suma ubezpieczenia szkodowość (szkodowość finansowa) = S B stopa zmiany szkodowości = szkodowość oczekiwana szkodowość 1 wskaźnik kosztów = Koszty B wskaźnik częstości = c = N n gdzie N - liczba wypadków, n - liczba ubezpieczonych wskaźnik rozszerzalności = liczba szkód N

5 Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna... 5 Rozkład gęstość f(x) F (x) EX V arx ( ) bin(n, θ) n x θ x (1 θ) n x nθ nθ(1 θ) θ (0, 1) x = 0, 1,..., n λ λx P oiss(λ) e x! λ λ λ > 0 x = 0, 1, 2,... bin Γ(r+x) (r, p) x!γ(r) pr (1 p) x r(1 p) r(1 p) p p 2 r > 0, p (0, 1) x = 0, 1, 2,... Γ(α+β)x Beta(α, β) α 1 (1 x) β 1 α Γ(α)Γ(β) B(α, β, x) α+β α, β > 0 x (0, 1) x (0, 1) N(µ, σ 2 ) 1 2πσ exp ( ) (x µ) 2 2σ 2 αβ (α+β) 2 (α+β+1) Φ( x µ σ ) µ σ2 σ > 0 wykładniczy θe θx 1 e θx 1 θ Ex(θ) θ > 0 x > 0 β Gamma(α, β) α Γ(α) xα 1 e βx α Γ(α, βx) β α, β > 0 x > 0 β IGamma α Γ(α) x α 1 e β x Γ(α, β x ) β α 1 α, β > 0 x > 0 β α τ T Gamma Γ(α) xατ 1 e βxτ Γ(α, βx τ ) α, β, τ > 0 x > 0 β α (ln x) α 1 Γ(α+ 1 τ ) Γ(α)β 1 τ 1 θ 2 α β 2 β 2 (α 1) 2 (α 2) EX 2 = Γ(α+ 2 τ ) Γ(α)β 2 τ ( ) α ( ) α ( ) 2α β β β 1 β 2 β β 1 LG(α, β) x β+1 Γ(α) Γ(α, β ln x) α, β > 0 x > 0 β > 1 β > 2 λ P areto(θ, λ) θ θ (λ+x) 1 λθ λ θ+1 (λ+x) θ θ 1 λ, θ > 0 x > 0 θ > 1 θ > 2 exp[ 1 2 ( ln x µ σ ) 2 ] LN(µ, σ) xσ 2π µ R, σ > 0 x > 0 Burr(θ, λ, τ) τθλ θ xτ 1 (λ+x τ ) θ+1 1 ( λ λ 2 θ (θ 1) 2 (θ 2) ln x µ Φ( σ ) e µ+ 1 2 σ2 e 2µ+σ2 (e σ2 1) ) θ Γ(θ 1 λ+x τ τ )Γ(1+ 1 τ ) λ 1 τ Γ(θ) τ, λ, θ > 0 x > 0 τθ > 1 EX 2 = λ 2 τ Γ(θ 2 τ )Γ(1+ 2 τ ) Γ(θ) τθ > 2 W eibull(c, τ) cτx τ 1 e cxτ 1 e cxτ Γ(1+ 1 τ ) c 2/τ c, τ > 0 x > 0 Γ(θ+τ)λ GP areto θ x τ 1 λτ Γ(θ)Γ(τ)(λ+x) B(τ, θ, u) θ+τ θ 1 (θ, λ, τ) u = x x+λ θ > 1 θ > 2 c 1/τ Γ(1+ 2 τ ) Γ(1+ 1 τ ) λ 2 τ(θ+τ 1) (θ 1) 2 (θ 2)

6 Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna... 6 ILE JESTEŚMY SKŁONNI ZAPŁACIĆ ZA UBEZ- PIECZENIE u - funkcja użyteczności, awersja do ryzyka - u > 0, u < 0 PRZYKŁAD: u(w) = ln w, u(w) = exp( βw), u(w) = w βw 2 Rozważmy ubezpieczenie pełne majątku w narażonego na stratę losową X, wtedy maksymalna opłata H za ubezpieczenie spełnia E (u(w X)) = u(w H) Przy u odpowiadającej awersji do ryzyka H spełnia H > EX.

7 Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna... 7 ZADANIE 1. Dwa zakłady ubezpieczeniowe A i B posługują się funkcją użyteczności u(w). Zakład A dysponuje kapitałem 10 8 ECU, zakład B kapitałem ECU. Zakłady A i B otrzymały ofertę ubezpieczenia statku o wartości ECU od całkowitego zniszczenia (zatonięcia). Prawdopodobieństwo tego zdarzenia jest równe q. 1. Wyznacz składkę minimalną jaką powinny ustalić zakłady pracując a) oddzielnie (każdy sam ubezpiecza cały statek) b) wspólnie ( dwa przypadki: koasekuracja po równo, koasekuracja proporcjonalna do majątku). Przyjmij q = 0.1, 0.01, 0.009, u(w) = 1 2 w 2. Wyznacz maksymalne akceptowane składki dla ubezpieczającego się, gdy wartość jego całkowitego majątku jest równa , , , , , Rozważ dwie funkcje użyteczności u(w) = 1 2 w u(w) = ln w

8 Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna... 8 GENEROWANIE ZMIENNYCH LOSOWYCH O USTALONYM ROZKŁADZIE Wieczorkowski R., Zieliński R. (1997), Komputerowe generatory liczb losowych, WNT, Warszawa. Funkcja LOS() - generuje zmienną U U(0, 1) X - zmienna o rozkładzie dyskretnym gdzie p i = 1. Niech X w 1 w 2... w k P (X = w i ) p 1 p 2... p k f 0 = 0, f i = f i 1 + p i, i = 1, 2,..., k ALGORYTM: 1. generuj U U(0, 1); 2. jeśli U (f i 1, f i ], to X := w i. X - zmienna o rozkładzie ciągłym i ściśle rosnącej dystrybuancie F LEMAT. Jeżeli X F i F jest ciągłą i ściśle rosnącą dystrybuantą, to zmienna F (X) ma rozkład jednostajny U(0, 1). DOWÓD. Wyznaczmy dystrybuantę zmiennej F (X) w punkcie z P (F (X) z) = P ( X F 1 (z) ) = F (F 1 (z)) = z dla z (0, 1).

9 Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna... 9 ALGORYTM: 1. generuj U U(0, 1); 2. X := F 1 (U). ZADANIE. Wygeneruj po n = 50 wartości zmiennych losowych o rozkładach: 1. zero-jedynkowym P (X = 1) = 0, 1; 2. równomiernym o wartościach 1, 2, 3, 4, 5; 3. Ex(2); Gamma(2, 4); 4. P areto(3, 2); 5. N(0, 1); N(2, 9). Wyznacz EX, V arx oraz odpowiedniki próbkowe. Zadanie powtórz dla n = 200. Wykorzystywanie własności i zależności między zmiennymi 1. PROCEDURA log and trig - generuje zmienne z rozkładu nomalnego Jeżeli U, V sa niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu U(0, 1), to X = 2 ln U cos(2πv ) Y = 2 ln U sin(2πv ) są niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu N(0, 1). ZADANIE. Wygeneruj po 50 wartości zmiennych losowych o rozkładach N(2, 9) i N(4, 5) korzystając z procedury log and trig. 2. Jeżeli X Ex(c), to Y = X τ 1 ma rozkład Weibulla o gęstości f(x) = cτx τ 1 exp( cx τ ).

10 Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna Jeżeli X 1, X 2,..., X k są i.i.d. z rozkładu N(0, 1), to Z = k i=1 X i ma rozkład chi-kwadrat z k stopniami swobody 4. Jeżeli X 0, X 1, X 2,... są i.i.d. z rozkładu Ex(1) to N = min j : j i=0 X i > λ jest zmienną losową o rozkładzie Poissona o wartości oczekiwanej λ. DOWÓD. k i=0 X i Gamma(k + 1, 1) P (N = k) = P (N k) P (N k 1) = P k i=0 X i > λ P + 1 λ k! xk e x dx + λ całkując przez części otrzymujemy P (N + k) = 1 k! xk e x k 1 i=0 X i > λ 1 (k 1)! xk 1 e x dx + λ = e λλk k! ALGORYTM: 1. N := 1; S := 0; 2. dopóki S λ powtarzaj generuj X Ex(1); S := S + X; N := N + 1; 3. zwróć N.

11 Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna Wykorzystanie rozkładów granicznych do generowania zmiennej o rozkładzie Poissona Z CTG: jeżeli N P oiss(λ) i λ +, to N λ λ N(0, 1) ALGORYTM: 1. generuj Z N(0, 1); 2. N := λz + λ. Aproksymacja Anscombe jeżeli N P oiss(λ) i λ +, to gdzie P (N k) Φ (A λ (k)) A λ (k) = 3 k λ λ + 1 ALGORYTM: 1. generuj Z N(0, 1); 2. N := (Z + b) 3 2a c, gdzie b = 1, 5 λ 1 24 λ, a = λ λ, c = 5 8 ZADANIE. Wygeneruj po 50 wartości zmiennych losowych z rozkładów P oiss(1), P oiss(2), P oiss(20), P oiss(100).

12 Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna PODZIAŁ RYZYKA (RODZAJE POLIS) strata, wypadek ubezpieczeniowy (loss), roszczenie (claim) X, S - zmienna losowa odszkodowanie (indemnity) I(X) - zmienna losowa, - ubezpieczenie pełne 0 I(X) X I(X) = X Wtedy EI(X) = EX i V ari(x) = V arx - pokrycie częściowe 0 I(X) < X U = X I(X) - udział ubezpieczonego w szkodzie PRZYKŁAD: Wartość szkody x Odszkodowanie I(x) 0 0,4 2 6 P (X = x) 0,8 0,1 0,06 0,04 Wyznacz EX, V arx, EI(X), V ari(x) EX = 0, 8 V arx = 3, 96 EI(X) = 0, 4 V ari(x) = 1, 536

13 Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna Kontrakt proporcjonalny I(X) = ax a (0, 1) 2. Polisa z franszyzą integralną (warunkową) I(X) = 0 gdy X < d X gdy X d 3. Polisa z udziałem własnym d (z franszyzą redukcyjną - bezwarunkową, stop-loss, deductible) I(X) = 0 gdy X < d X d gdy X d 4. Polisa z udziałem własnym d i górnym limitem odpowiedzialności M I(X) = 0 gdy X < d X d gdy d X M M d gdy X > M 5. Polisa z indywidualną franszyzą redukcyjną (ubezpieczenie częściowe z udziałem własnym) I(X) = 0 gdy X < d a(x d) gdy X d a (0, 1)

14 Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna Ubezpieczenie częściowe warstwy ograniczonej górnym limitem odpowiedzialności M i udziałem własnym d 0 gdy X < d I(X) = a(x d) gdy d X M a (0, 1) a(m d) gdy X > M 7. Ubezpieczenie ze znikającą franszyzą redukcyjną I(X) = 0 gdy X < d X d gdy d X M X gdy X > M 8. Ubezpieczenia na pierwsze ryzyko (first loss) I(X) = X d gdy X < d gdy X d 9. Ubezpieczenia na pierwsze ryzyko z udziałem własnym i pełnym pokryciem strat w granicach ustalonych limitów 0 gdy X < d X d gdy d X m I(X) = X gdy m < X < M M gdy X M

15 Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna TWIERDZENIE o optymalnym ubezpieczeniu Jeżeli pewien decydent 1. posiada początkowy zasób majątku w 2. przejawia awersję do ryzyka 3. narażony jest na stratę X 4. gotów jest przeznaczyć kwotę P na zakup ubezpieczenia i 0 P (1 + θ)ex oraz rynek ubezpieczeniowy oferuje wszystkie możliwe kontrakty I takie, że 0 I(X) X o ustalonej EI(X) po cenie (1 + θ)ei(x), to decydent osiągnie max oczekiwanej użyteczności zakupując kontrakt I (X) = gdzie P = (1 + θ)ei (X). 0 gdy X d X d gdy X > d

16 Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna SKŁADKA S - zmienna losowa równa wysokości odszkodowań (świadczeń zakładu w pewnej grupie ryzyka) w przyszłości zdyskontowaną na moment zawierania umowy B - składka brutto, H składka (premium) H > ES B = H + K H = Π + R(S) Π = ES - składka netto (czysta składka), równa oczekiwanej wypłacie, nie odzwierciedla ryzyka związanego z ubezpieczeniem, wyznaczana w drodze analiz aktuarialnych; R(S) - składka na ryzyko związane z losowością szkód oraz z popytem i podażą (narzut związany z ryzykiem), wyznaczana w drodze analiz aktuarialnych i ekonomicznych; K - składka na pokrycie kosztów, wyznaczana w drodze analiz finansowo-księgowych, często wyrażana jako K = βb, wtedy B = H 1 β

17 Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna PRAKTYCZNE ZASADY USTALANIA SKŁADEK Niech S oznacza wielkość odszkodowań, ryzyko A) zasada równoważności (zasada czystej składki) H = Π = ES B) zasada wartości oczekiwanej H = (1 + a)es C) zasada wariancji H = ES + αv ars D) zasada odchylenia standardowego H = ES + β V ars E) zasada percentyli - H spełnia warunek P (S > H) = ε Liczby a, α, β, ε ustalane przez zakład ubezpieczeniowy. H ES - narzut bezpieczeństwa

18 Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna TEORETYCZNE METODY USTALANIA SKŁADKI zasada zerowej użyteczności u - funkcja użyteczności ubezpieczyciela X - majątek ubezpieczyciela u(x) = Eu(X + H S) ZADANIE. Wyznacz składkę odpowiadającą funkcji F) składka wykładnicza u(x) = 1 e cx c H = 1 c ln E ( e cs ) POŻĄDANE WŁASNOŚCI SKŁADKI 1) H ES 2) H max odszkodowanie 3) H(S + c) = H(S) + c 4) S 1 i S 2 ryzyka niezależne, to H(S 1 + S 2 ) = H(S 1 ) + H(S 2 )

19 Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna ZADANIE. Sprawdź, które własności posiadają wymienione składki własność A B C D E F ZADANIE 2. Wygeneruj szkody dla polis z kolejnych lat wg rozkładu P (N = 1) = 0, 1 P (N = 0) = 0, 9, gdzie N jest liczbą szkód z jednej polisy. Wygeneruj wartości X szkód wg rozkładu P (X = 100) = 0, 5, P (X = 200) = 0, 25, P (X = 500) = 0, 25. Szkody o wartości 500 są regulowane w roku następnym szkody o pozostałych wartościach w roku zajścia. Wylicz składki na każdy rok w następujący sposób: składka I: w latach składka po 33, w latach następnych składka=średnia ze szkód wypłaconych w roku poprzednim razy częstość szkód w roku poprzednim razy 1,1 składka II: w latach składka po 33, w latach następnych - w roku n - składka=średnia ze szkód zaistniałych w roku n 2 razy częstość szkód w roku n 2 razy 1,1 Którą z metod uważasz za rozsądniejszą i dlaczego. Uwaga: Średnia ze szkód i częstość szkód jest liczona na podstawie symulacji. Wyniki przedstaw w tabelach. Wyznacz też składki nie opierając się na symulacjach ale na parametrach odpowiednich rozkładów. Porównaj wyniki.

20 Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna Szkody uregulowane (K - liczba, s - wartość) l.polis l.szkód K s K s K s K s K s K s suma średnia Wielkość szkód do zapłaty w roku 1986 = Porównanie składek rok składka kwota wartość H1-S składka kwota H2-S I składek H1 szkód S II składek H suma suma

21 Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna MODEL RYZYKA INDYWIDUALNEGO Pojedyncze ryzyko może generować co najwyżej jedną szkodę X wielkość ryzyka (pojedynczego) gdzie I = X = IY 1 z prwdopodobieństwem q 0 z prwdopodobieństwem 1 q Y F - wartość szkody, zmienna o rozkładzie ciągłym, F (0) = 0, EY = µ, V ary = σ 2 Rozkład zmiennej X (rozkład mieszany): F X (x) = 0 gdy x 0 (1 q) + qf (x) gdy x > 0 EX = qey = qµ V arx = qv ary + (EY ) 2 (q q 2 ) = qσ 2 + µ 2 q(1 q)

22 Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna Portfel ryzyk - założenia: ryzyka niezależne n - liczba ryzyk ustalona liczba zgłoszeń z ryzyka - co najwyżej jedno S = X 1 +X X n - łączna wartość szkód z portfela Rozkład zmiennej S = X 1 + X 2 X 1 F 1, X 2 F 2 F S (s) = P (X 1 + X 2 s) = P (X 1 s X 2 ) = R F 1(s x)df 2 (x) Zad 1. Wyznacz rozkład S jeśli X 1, X 2 Ex(λ) Zad 2. Wyznacz rozkład S jeśli dystrybuanty zmiennych X i są równe F 1 (x) = F 2 (x) = 0 gdy x < 0 0, 8 + 0, 1x gdy x [0, 1) 1 gdy x 1 0 gdy x < 0 0, 7 + 0, 2x gdy x [0, 1) 1 gdy x 1

23 Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna METODY APROKSYMACJI S 1. Aproksymacja rozkładem normalnym CTG: Jeżeli X 1, X 2,..., X n i.i.d. EX i = m i V arx i = σ 2 i S n = X 1 + X X n, to z lim P S n nm n + σ n z = Φ(z) Model indywidualny, X 1, X 2,..., X n i.i.d. Podstawowe estymatory: ˆq = częstość = ˆµ = ES = nqµ V ars = n ( qσ 2 + µ 2 q(1 q) ) liczba szkód w okresie liczba jednostek ryzyka = N n suma wartości szkód w okresie liczba szkód w okresie ˆΠ = nˆq ˆµ = 1 N N j=1 Y j ˆσ 2 = 1 N N j=1 (Y j ˆµ) 2

24 Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna Zad. 1. Portfel składa się z n niezależnych ryzyk. Pojedyncze ryzyko może generować co najwyżej jedną szkodę z prawdopodobieństwem q, a prawdopodobieństwem 1 q nie generuje szkody. Rozkład wysokości szkody jest zmienną losową o wartości oczekiwanej µ i wariancji σ 2. Składka przypadająca na jedno ryzyko jest skalkulowana tak H = 1 + θ n ES gdzie S oznacza sumaryczną wysokość szkód i θ oznacza narzut bezpieczeństwa dobrany tak by P (S > nh) = 0, 01. W portfelu mamy n = 1000 q = 0, 05 µ = 10 σ = 10. Wyznacz θ. Zad 2. Rozważamy portfel ubezpieczeń na życie. Dane podaje tabela. k n k - liczba q k - p-stwo b k polis w k-tej grupie zgonu - the benefit Wyznacz θ taką, aby P (S > (1 + θ)es) = 0, 05.

25 Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna Zad. 3. Tysiąc mężczyzn wykupiło polisę na życie na rok. Prawdopodobieństwo śmierci w ciągu roku dla każdego z mężczyzn wynosi 0,001, a świadczenie 1 jednostkę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że całkowite świadczenia w tej grupie wyniosą co najmniej 4 jednostki. Zastosuj aproksymację rozkładem normalnym i rozkładem Poissona, porównaj wyniki.

26 Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna Funkcja tworząca momenty zmiennej X > 0 Przykład. X Ex(λ) M X (t) = Ee tx M X (t) = 0 e tx λe λx dx = 1 λ t dla t < λ i M(t) = dla t λ. WŁASNOŚCI: 1. M X (0) = 1; 2. M (k) X (t) = dk M dt k X (t) = dk Ee tx = E(X k e tx ) dla dt k k = 1, 2,...; 3. [ d k M dt k X (t) ] = t=0 EXk ; 4. V arx = M X(0) (M X(0)) 2 ; 5. jeżeli Y = ax to M.G.F. Y jest równa M Y (t) = M X (at). 6. Niech S = X + Y, gdzie X i Y niezależne, wtedy M S (t) = M X (t)m Y (t). 7. jeżeli Y = a + X to M.G.F. Y jest równa M Y (t) = Ee ta+tx = e ta M X (t). 8. Jeżeli M X (t) = M Y (t) dla t (a, b), to X = Y wg rozkładu

27 Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna Niech X n 0 i X n X wg rozkładu, to M Xn (t) M X (t) dla t < 0. rozkład X M X (t) Bin(p, n) [1 p(e t 1)] n P oiss(λ) exp(λ(e t 1)) Bin (r, p) ( p 1 (1 p)e t ) r e tb e ta t(b a) U(a, b) N(m, σ) exp(tm σ2 t 2 ) Gamma(α, β) ( β β t )α

28 Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna Funkcja tworząca kumulanty zmiennej X > 0 WŁASNOŚCI: C X (t) = ln M X (t) C X(t) = M X(t) M X (t) = C X(0) = M X(0) = EX C X(t) = M X(t)M X (t) (M X(t)) 2 (M X (t)) 2 = C X(0) = V arx X (0) = E(X EX) 3 = γ X = C(3) X (0) (C X(0)) 3 2 C (3) C (4) X (0) = E(X EX) 4 3V ar 2 X = κ X = E(X EX)4 V ar 2 X 3 = C(4) X (0) (C X(0)) 2 Niech S = n i=1 X i, X i niezależne 5. C S (t) = n ln M X i (t) = n C X i (t) i=1 i=1 6. C (3) S (t) = n i=1 C(3) X i (t)

29 Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna stąd γ S = E(S ES) 3 = n n i=1 C (3) X i (0) ( n i=1 V arx i ) 3 2 i=1 E(X i EX i ) 3 = n i=1 γ X i (V arx i ) 3 2 ( n i=1 V arx i ) 3 2 W szczególności jeżeli X i i.i.d. γ Xi = γ i V arx i = σ 2, to γ S = nγ σ3 = γ (nσ 2 ) 3 2 n

30 Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna Aproksymacja rozkładem gamma Z Gamma(α, β, x 0 ), to Z x 0 Gamma(α, β) gęstość p α,β,x0 (x) = βα Γ(α) (x x 0) α 1 exp( β(x x 0 )) x > x 0 M Z (t) = e tx β 0 β t C Z (t) = tx 0 + α ln β α ln(β t) α EZ = x 0 + α β γ Z = 2 α V arz = α β 2 κ Z = 6 α = 3 2 γ2 Z Jeżeli S ma rozkład Gamma(α, β, x 0 ), to parametry α, β, x 0 wyznaczamy z układu równań x 0 + α β = µ S α β 2 = σs 2 2 α = γ S gdzie ES = µ S, V ars = σs, 2 γ S = E(S ES)3 σs 3.

31 Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna Model indywidualny, X 1, X 2,..., X n i.i.d. ES = nqµ V ars = n ( qσ 2 + µ 2 q(1 q) ) γ S = γ X n γ X = qe(y )3 3q 2 µ(µ 2 + σ 2 ) + 2q 3 µ 3 ( qσ 2 + µ 2 q(1 q)) 3 Jeżeli S = S 1 + S S k, gdzie S i niezależne (ale niekoniecznie o tym samym rozkładzie) to γ S = k i=1 γ S i ES = k V ars = k (V ars i ) 3 2 ( k i=1 V ars i ) 3 2 i=1 S i i=1 V ars i Jeżeli składka H ma spełniać warunek = P (S > H) = ε i S Gamma(α, β, x 0 ), to H = F 1 Gamma(α,β)(1 ε) + x 0 k i=1 E(S i ES i ) 3 (V ars) 3 2

32 Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna Zadanie 1. Rozważmy trzy grupy ryzyka k n k - liczba q k - p-stwo polis w k-tej grupie szkody Wartość szkody jest równa 1. Wyznacz składkę łączną H w każdej grupie osobno i łącząc grupy po dwie według zasady P (S > H) = 0, 002 stosując aproksymację rozkładem normalnym i rozkładem gamma. Zadanie 2. Wygeneruj 1000 polis wg modelu indywidualnego z prawdopodobieństwem szkody q = 0, 2 i wartością szkody a) Y Ex(0, 01) b) Y P areto(5, 400). Na podstawie otrzymanych danych oszacuj H tak, by P (S > H) = 0, 05, gdzie S suma szkód. Zastosuj aproksymację rozkładem normalnym i gamma. Wylicz H bez symulacji.

33 Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna MODEL RYZYKA ŁĄCZNEGO ZAŁOŻENIA: N(i) - liczba szkód na jedno ryzyko (jeden ubezpieczony), zmienna losowa o wartościach naturalnych Y - wielkość szkody, o dystrybuancie F Y X i = Y i,1 +Y i, Y i,n(i) - wartość szkód na jedno ryzyko S - suma roszczeń z portfela S = X 1 + X X n = Y 1 + Y Y N gdzie N - łączna ilość szkód, n - liczba ryzyk Y i - niezależne zmienne losowe o dystrybuancie F = F Y Wartość szkody jest niezależna od ilości szkód S ma złożony rozkład prawdopodobieństwa (jest suma zmiennych o losowej liczbie składników) określa się go przez podanie rozkładu zmiennej Y i zmiennej N Model indywidualny (szczególny przypadek modelu łącznego) S - ma złożony rozkład dwumianowy Cbin(n, p, F )

34 Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna Pewne własności rozkładów złożonych F S (x) = P (S x) = P (S x N = 0) + P (S x N = 1) +... = + k=1 P (S x N = k)p (N = k) Rozkład warunkowy S pod warunkiem N = k jest rozkładem sumy k zmiennych losowych niezależnych MGF (S) M S (t) = Ee ts = EE(e ts N) = E ( Ee ty ) N M S (t) = E ( (M Y (t)) N ) = M N (ln M Y (t)) ES = µen V ars = σ 2 EN + µ 2 V arn gdzie µ = EY, σ 2 = V ary

35 Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna ZŁOŻONY ROZKŁAD POISSONA CP oiss(λ, F ) N P oiss(λ) F S (x) = + e λλk k=1 k! F k (x) ES = λµ V ars = λ(µ 2 + σ 2 ) = λe(y 2 ) M S (t) = M N (ln M Y (t)) = exp (λ(m Y (t) 1)) C S (t) = λ(m Y (t) 1) C S(t) = λm Y (t) C S(t) = λm Y (t) C (3) S (t) = λm (3) Y (t) stąd ES = λey V ars = λe(y 2 ) E(S ES) 3 = λe(y 3 ) WNIOSEK. S ma rozkład asymetryczny o skośności prawostronnej oraz γ S = λe(y 3 ) (λe(y 2 )) 3 2 = lim γ S = 0 λ E(Y 3 ) λ(e(y 2 )) 3 2

36 Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna TWIERDZENIE 1. Niech S 1, S 2,..., S n będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach CP oiss(λ i, F i ), i = 1, 2,..., n. Niech Wtedy A = S 1 + S S n. A CP oiss Λ, 1 Λ λ if i i=1 gdzie Λ = n i=1 λ i. PRZYKŁAD. S 1 CP oiss(100, F 1 ), S 2 CP oiss(200, F 2 ), S 1, S 2 niezależne F 1 - dystrybuanta rozkładu wykładniczego Ex(α), F 2 - dystrybuanta rozkładu wykładniczego Ex(β). Wyznacz rozkład zmiennej S 1 + S 2. ODP. S 1 + S 2 CP oiss(λ, F ) gdzie Λ = 300 i F (x) = exp( xα) 2 3 exp( xβ) Interpretacja: łączna liczba roszczeń ma rozkład Poissona z parametrem 300, z prawdopodobieństwem 1 3 wielkość szkody pochodzi z rozkładu Ex(α) i z prawdopodobieństwem 2 3 z rozkładu Ex(β). n

37 Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna ZAD 1. Dla pewnego portfela ryzyk liczba szkód ma rozkład Poissona z wartością oczekiwaną 10, wysokość pojedynczej szkody jest zmienną o rozkładzie Ex(200). Ubezpieczyciel pokrywa nadwyżkę szkody ponad 100. Podaj wartość oczekiwaną i wariancję sumy wypłaconych odszkodowań. ZAD 2. Portfel ryzyk składa się z dwóch niezależnych podportfeli. Liczba szkód N i w i-tym podportfelu jest zmienną losową o rozkładzie P oiss(λ i ), zaś wysokość szkody jest ustalona równa b i. Niech λ 1 = 120 λ 2 = 30 b 1 = 1 b 2 = 3 Jaki rozkład ma łączna wartość szkód z portfela. Oblicz wartość oczekiwaną i wariancję łącznej wartości szkód jeśli wiadomo, że N 1 + N 2 = 200. ZAD 3. Dla pewnego portfela ryzyk liczba szkód ma rozkład Poissona z wartością oczekiwaną 5, wysokość pojedynczej szkody jest zmienną o rozkładzie Gamma(2, 10). Aproksymujemy łączną wartość szkód przesuniętym rozkładem gamma Gamma(α, β, x 0 ), zachowując przy tym wartości pierwszych trzech momentów. Wyznacz parametry α, β, x 0.

38 Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna TWIERDZENIE 2. Niech S n = n i=1 I ni Y ni, gdzie I ni = 1 z prawdopodobieństwem q ni 0 z prawdopodobieństwem 1 q ni Y ni są zmiennymi losowymi ciągłymi o dystrybuancie F ni i wszystkie zmienne I ni, Y ni są niezależne. Jeżeli lim n n q n n i = λ lim i=1 n i=1 q ni λ F n i (x) = F (x) to lim n S n = S (wg rozkładu), gdzie S ma złożony rozkład Poissona CP oiss(λ, F ).

39 Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna ZADANIE. Rozważamy portfel ryzyk k n k - liczba q k - p-stwo b k polis w k-tej grupie roszczenia - wartość TU chce zawrzeć kontrakt reasekuracyjny o współczynniku retencji M w przedziale (20000, ) za składkę równą 130% oczekiwanego kosztu pokrytych szkód przez reasekuratora. Niech S(M) oznacza odszkodowania pokryte przez ubezpieczyciela przy limicie reasekuracji M. Podaj parametry złożonego rozkładu Poissona jako aproksymacji dla zmiennej S(M). Stosując aproksymację złożonym rozkładem Poissona wyznacz ES(M) i V ars(m). Wyznacz M, przy którym prawdopodobieństwo zdarzenia, że S(M) plus opłata za reasekurację przekroczą poziom jest najmniejsze (zastosuj aproksymację rozkładem normalnym).

40 Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna ROZKŁAD UJEMNY DWUMIANOWY Zmienna N ma rozkład ujemny dwumianowy bin (r, p) wtt Γ(r + k) P (N = k) = p r (1 p) k k = 0, 1, 2,... Γ(r)k! r > 0, p (0, 1) - parametry Szczególny przypadek: r naturalne - interpretacja: N liczba porażek do uzyskania r-tego sukcesu M N (t) = gdzie q = 1 p C N (t) = r ln stąd p 1 e t (1 p) r = 1 q 1 e t q p 1 e t (1 p) = r ln p r ln(1 et (1 p)) EN = V arn = r(1 p) = rq p 1 q r(1 p) rq = p 2 (1 q) 2 γ N = 1 + q rq r

41 Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna Rozkład ujemny dwumianowy otrzymujemy jeśli przyjmiemy, że liczba szkód jest wynikiem dwuetapowego doświadczenia: pierwszy etap polega na wylosowaniu ryzyka, a drugi etap na wygenerowaniu przez to ryzyko liczby szkód, dokładniej ryzyko charakteryzuje się przez wartość parametru λ, odpowiadającego za wartość oczekiwaną liczby szkód z ryzyka przy znanym λ liczba szkód z ryzyka N ma rozkład P oiss(λ). stąd f λ (x) = P (N = k) = P (N = k λ) = λk k! e λ βα Γ(α) xα 1 e βx x > 0 Γ(α + k) Γ(α)k! β 1 + β α β podstawiając r = α i p = 1+β otrzymujemy wzór na prawdopodobieństwo w rozkładzie ujemnym dwumianowym. β k

42 Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna Rozkład ujemny dwumianowy jako rozkład złożony K - liczba wypadków z jednego ryzyka K P oiss(λ) N = J 1 + J J K - liczba szkód z jednego ryzyka (jeden wypadek może generować więcej niż jedną szkodę) Niech J i ma rozkład logarytmiczny P (m i = k) = gdzie c (0, 1) parametr. 1 c k ln(1 c) k M J (t) = ln(1 cet ) ln(1 c) N ma złożony rozkład Poissona MGF M N (t) = Ee tn = EE(e tn K) M N (t) = M K (ln M J (t)) = exp (λ(m J (t) 1)) 1 ce t λ = exp ln 1 c ln(1 c) wstawiając c = q i r = M N (t) = λ ln(1 c) otrzymujemy Zatem N bin (r, 1 q) p 1 e t (1 p) r

43 Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna Estymacja parametrów rozkładu bin (r, p) N 1, N 2,..., N n i.i.d. bin (r, p) EMM rozwiązujemy układ równań stąd r(1 p) p 2 r(1 p) p = S 2 = 1 n = N n i=1 (N i N) 2 EMM(p) = N S 2 EMM(r) = N 2 S 2 N

44 Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna ZADANIE. Tabela podaje liczbę kierowców w pewnej grupie ryzyka, którzy zgłosili 0,1,2,3,itd szkód w ciągu roku. k - liczba szkód n k - liczba ryzyk > 5 0 Dopasuj rozkład Poissona (kierowcy stanowią grupę jednorodną) rozkład ujemny dwumianowy (kierowcy nie stanowią grupy jednorodnej, parametr λ odpowiadający za średnia liczbę wypadków waha się w populacji) wyznacz parametry α i β rozkładu gamma opisującego wahanie parametru λ w populacji i oszacuj odsetek kierowców o średniej liczbie zgłoszeń przekraczającej 0,24.

45 Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna ENW Niech: m 0 = n m 1 - liczba obserwacji o wartości co najmniej 1; m 2 - liczba obserwacji o wartości co najmniej 2;... m M - liczba obserwacji o wartości co najmniej M; M - maksymalna zaobserwowana wartość m M+1 = 0 Funkcja wiarogodności L(m 1, m 2,..., m M, n, r, p) = q 2 m M p rn (rq) m 1 m 2 r(r + 1) 2 m 3 Γ(r + M) m... 2 M!Γ(r) qm = p rn (rq) m m r q 2 m r q 3 r + M 1... M ln L = nr ln(1 q) + M m i ln q + M 1 m r + i i+1 ln i=1 i=0 i + 1 Różniczkując po r i q otrzymujemy równania n ln(1 q) + m 1 r + m 2 r m M r + M 1 = 0 nr 1 q + n N q = 0. m M q.

46 Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna Z drugiego równania mamy p = 1 q = r r + N, wstawiając do równania pierwszego otrzymujemy równanie r n ln r + N + m 1 r + m 2 r które rozwiązujemy numerycznie. m M r + M 1 = 0,

47 Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna ZŁOŻONY ROZKŁAD UJEMNY DWUMIANOWY Cbin (r, p, F ) S = Y 1 + Y Y N i N bin (r, p), Y i F MGF P (S s) = = i=0 i=0 P (S s N = i) Γ(r + i) p r q i F i (s) Γ(r)i! M S (t) = Ee N ln M Y (t) = p 1 qm Y (t) Parametry: jeśli EY i = µ, V ary i = σ 2 to ES = µen = µr 1 p p V ars = r 1 p p σ2 + r 1 p µ 2 p 2 TWIERDZENIE. Jeżeli S i, i = 1, 2,..., k mają rozkłady Cbin (r i, p, F ) i są niezależne, to S = k i=1 S i ma rozkład Cbin ( k i=1 r i, p, F ). r

48 Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna ROZKŁADY WARTOŚCI SZKÓD Podstawowe własności: rozkłady skupione na dodatniej półosi X 0; rozkłady ciągłe, przy limicie odpowiedzialności rozkłady mieszane P (X = M) > 0, gdzie M limit odpowiedzialności; rozkłady prawostronnie asymetryczne, często z grubymi ogonami.

49 Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna Podstawowe rozkłady Rozkład gęstość F (x) EX V arx wykładniczy θe θx 1 e θx 1 1 θ θ 2 Ex(θ) θ > 0 x > 0 β Gamma(α, β) α Γ(α) xα 1 e βx α α Γ(α, βx) β β 2 α, β > 0 x > 0 β IGamma(α, β) α Γ(α) x α 1 e β x Γ(α, β x ) β β 2 α 1 (α 1) 2 (α 2) α, β > 0 x > 0 β α τ Γ(α+ 1 τ ) EX 2 = Γ(α+ 2 Γ(α)β τ 1 τ ) Γ(α)β τ 2 T Gamma(α, β, τ) Γ(α) xατ 1 e βxτ Γ(α, βx τ ) α, β, τ > 0 x > 0 β α (ln x) α 1 ( ) α ( ) α ( ) 2α β β β 1 β 2 β β 1 LG(α, β) x β+1 Γ(α) Γ(α, β ln x) α, β > 0 x > 0 β > 1 β > 2 λ P areto(θ, λ) θ θ (λ+x) 1 λθ λ θ+1 (λ+x) θ θ 1 λ, θ > 0 x > 0 θ > 1 θ > 2 exp[ 1 2 ( ln x µ σ ) 2 ] LN(µ, σ) xσ 2π µ R, σ > 0 x > 0 λ 2 θ (θ 1) 2 (θ 2) ln x µ Φ( σ ) e µ+ 1 2 σ2 e 2µ+σ2 (e σ2 1) Burr(θ, λ, τ) τθλ θ xτ 1 (λ+x τ ) θ+1 1 ( λ λ+x τ ) θ λ 1 τ Γ(θ 1 τ )Γ(1+ 1 τ ) Γ(θ) EX 2 = τ, λ, θ > 0 x > 0 τθ > 1 λ 2 τ Γ(θ 2 τ )Γ(1+ 2 τ ) Γ(θ) τθ > 2 W eibull(c, τ) cτx τ 1 e cxτ 1 e cxτ Γ(1+ 1 τ ) c 2/τ c, τ > 0 x > 0 Γ(θ+τ)λ GP areto θ x τ 1 λτ Γ(θ)Γ(τ)(λ+x) B(τ, θ, u) θ+τ θ 1 (θ, λ, τ) u = x x+λ θ > 1 θ > 2 IP areto(θ, γ) θ > 0, γ > 0 γθx θ 1 (γ+x) θ+1 ( x γ+x ) θ c 1/τ Γ(1+ 2 τ ) Γ(1+ 1 τ ) λ 2 τ(θ+τ 1) (θ 1) 2 (θ 2)

50 Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna ZALEŻNOŚCI MIĘDZY ROZKŁADAMI Funkcje od zmiennych losowych: mnożenie przez stałą - parametr skali y F Y (y) = P X c PRZYKŁAD Y = cx = FX y c f Y (y) = 1 c f X 1) X Ex(1) = Y = cx EX( 1 c ) 2) X Gamma(α, 1) = Y = X β Gamma(α, β) 3) X W eibull(1, τ) = Y = X a W eibull(aτ, τ) przekształcenie wykładnicze Y = e X F Y (y) = P (X ln y) = F X (ln y) f Y (y) = 1 y f X(ln y) PRZYKŁAD X N(µ, σ 2 ) = Y = e X LN(µ, σ 2 ) przekształcenie potęgowe Y = X 1 τ τ > 0 - rozkład transformowany τ < 0 - rozkład odwrócony transformowany τ = 1 - rozkład odwrócony F Y (y) = F X (y τ ) y c

51 Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna f Y (y) = f X (y τ ) τy τ 1 PRZYKŁAD 1. X Ex(θ) = Y = X 1 τ W eibull(θ, τ) 2. X gamma(α, β). = Y = X 1 IGamma(α, β) 3. X P areto(θ, λ) = Y = X 1 τ Burr, τ > 0 mieszanki rozkładów mieszanki dyskretne: f 1, f 2,..., f k - gęstości zmiennych X 1, x 2,..., X k p 1, p 2,..., p k > 0, p i = 1 - wagi Y zmienna o rozkładzie z gęstością f = p i f i mieszanki ciągłe - ryzyka heterogeniczne: f θ (x) = f(x θ), θ Π wtedy f(x) = Θ f θ(x)π(dθ) PRZYKŁAD: X Ex(γ) i γ Gamma(θ, λ) rozkład brzegowy X - P areto(θ, λ) X Gamma(τ, β) i β Gamma(θ, λ) rozkład brzegowy X - GP areto(θ, λ, τ)

52 Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna OGON ROZKłADU Funkcją przeżycia zmiennej X o gęstości f i dystrybuancie F nazywamy funkcję S(x) = 1 F (x) = F (x) Duża wartość S dla dużych x - ciężki ogon Porównywanie ogonów zmiennych X i Y : S X (x) lim x + S Y (x) = + to X cięższy ogon niż Y lim x + to X lżejszy ogon niż Y S X (x) S Y (x) = 0 Średnia długość przyszła życia (średnia nadwyżka szkody ponad wartość x) e(x) = E(X x X > x) = założenie EX < +. + x S(t)dt S(x) Duże e(x) dla dużych x świadczy o grubym ogonie. Estymator próbkowy ê n (x) = xj >x(x j x) {x j > x},

53 Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna Estymator w oparciu o szereg rozdzielczy: ê n (c i ) = x>ci (x c i ) n(1 F n (c i ) = j>i c j n j j>i n j c i PRZYKŁADY: X Ex(λ), wtedy e(x) = 1 λ X P areto(θ, λ) wtedy e(x) = λ+x θ 1 X LN(µ, σ 2 ) wtedy e(x) = exp µ Φ ( ln x µ σ 2 2 σ2 σ 1 Φ ( ) ln x µ σ )

54 Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna MODELE Z NIEKOMPLETNYMI DANYMI, DANE OBCIĘTE I OKROJONE (FRANSZYZA WARUNKO- WA I BEZWARUNKOWA, LIMIT ODPOWIEDZIAL- NOŚCI) dane obcięte - brak obserwacji z pewnego zakresu dane okrojone - znana jest liczba obserwacji z pewnego zakresu ale nie znane są konkretne wartości PRZYKŁADY: X - szkoda 1. limit odpowiedzialności Y = X M gdy X < M gdy X M próbka Y 1, Y 2,..., Y n - dane okrojone 2. franszyza warunkowa płatność dla szkody Y = 0 gdy X < d X gdy X d próbka Y 1, Y 2,..., Y n - dane okrojone ale często ubezpieczyciel nie ma informacji o szkodach mniejszych niż d płatność ubezpieczyciela V = X gdy X > d próbka V 1, V 2,..., V m - dane obcięte

55 Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna franszyza bezwarunkowa płatność dla szkody Y = 0 gdy X < d X d gdy X d próbka Y 1, Y 2,..., Y n - dane okrojone ale często ubezpieczyciel nie ma informacji o szkodach mniejszych niż d płatność ubezpieczyciela V = X d gdy X > d próbka V 1, V 2,..., V m - dane obcięte 4. Płatność reasekuratora przy płatności ubezpieczyciela do limitu odpowiedzialności M płatność dla szkody Z = 0 gdy X < M X M gdy X M próbka Z 1, Z 2,..., Z n - dane okrojone ale często reasekurator nie ma informacji o szkodach mniejszych niż M płatność reasekuratora W = X M gdy X > M próbka W 1, W 2,..., W m - dane obcięte

56 Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna Funkcja wiarogodności i wartość oczekiwana X zmienna o dystrybuancie F i gęstości f 1. X gdy X < M Y = M gdy X M próbka: Y 1, Y 2,..., Y n o wartościach mniejszych niż M, k liczba obserwacji o wartości M funkcja wiarogodności L(y 1, y 2,..., y n, k) = n i=1 f(y i) (1 F (M)) k EY = E(X M) = M 0 xf(x)dx + M(1 F (M)) Współczynnik eliminacji szkody 2. LER X (m) = E(X M) EX 0 gdy X < d Y = X gdy X d próbka Y 1, Y 2,..., Y m większe od 0, k - liczba obserwacji o wartości 0 - dane okrojone funkcja wiarogodności L(y 1, y 2,..., y m, k) = m EY = + d i=1 f(y i)f (d) k xf(x)dx

57 Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna Jeśli dane obcięte V 1, V 2,..., V m czyli dotyczące zmiennej V = X gdy X > d, to funkcja wiarogodności 3. L(v 1, v 2,..., v m ) = EV = xf(x)dx 1 F (d) + d m i=1 f(v i ) (1 F (d)) m = e X (d) + d 0 gdy X < d Y = X d gdy X d próbka Y 1, Y 2,..., Y m większe od 0, k - liczba obserwacji o wartości 0 - dane okrojone funkcja wiarogodności L(y 1, y 2,..., y m, k) = m i=1 f(y i + d)f (d) k EY = + d (x d)f(x)dx = e X (d)(1 F (d)) Jeśli dane obcięte V 1, V 2,..., V m czyli dotyczące zmiennej V = X d gdy X > d, to funkcja wiarogodności L(v 1, v 2,..., v m ) = EV = + d (x d)f(x)dx 1 F (d) m i=1 f(v i + d) (1 F (d)) m = e X (d)

58 Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna Przydatne wiadomości ze statystyki ESTYMACJA PARAMETRYCZNA EMM (estymacja metodą momentów) X 1, X 2,..., X n i.i.d z rozkładu P θ, θ- nieznany parametr 1. θ R (jednowymiarowa przestrzeń parametrów), rozwiąż: E θ X = X 2. θ = (θ 1, θ 2,..., θ k ) (k-wymiarowa przestrzeń parametrów), rozwiąż układ: gdzie µ = E θ X. Przykład: E θ X = X V ar θ X = S 2 E θ (X µ) 3 = 1 (Xi n X) E θ (X µ) k = 1 (Xi n X) k X = (X 1, X 2,..., X n ) X i LN(µ, σ), EMM(µ) =? i EMM(σ 2 ) =?. Otrzymujemy układ: e µ+ 1 2 σ2 = X e 2µ+σ2 (e σ2 1) = S 2 St ad: X 2 ˆµ = ln (S 2 + X ˆσ 2 = ln S2 2 ) 1 2 X Estymatory parametrów możemy również otrzymać wykorzystując własność: X LN(µ, σ) Y = ln X N(µ, σ). Niech Y i = ln X i, wtedy ˆµ = Ȳ i ˆσ2 = S 2 Y. Zad: Wyznaczyć EMM parametrów w rozkładzie P areto(θ, λ).

59 Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna Rozwiązanie: Otrzymujemy układ: Stąd: ˆθ = 2S2 S 2 X i ˆλ = X(ˆθ 1). 2 λ θ 1 = X λ 2 θ (θ 1) 2 (θ 2) = S2

60 Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna EMK (estymacja metodą kwantyli) X 1, X 2,..., X n i.i.d z rozkładu P θ, θ- nieznany parametr 1. θ R (jednowymiarowa przestrzeń parametrów), rozwiąż: 2. θ = (θ 1, θ 2 ), rozwiąż układ: q 1 2 (θ) = Q 1 2 F θ(q 1 2 ) = 1 2 lub układ równoważny: q 1 4 (θ) = Q 1 4 i q 3 4 (θ) = Q 3 4 F θ (Q 1 4 ) = 1 4 i F θ (Q 3 4 ) = θ = (θ 1, θ 2, θ 3 ). Otrzymujemy układ: F θ (Q 1 4 ) = 1 4 i F θ (Q 1 2 ) = 1 2 i F θ (Q 3 4 ) = θ = (θ 1, θ 2, θ 3, θ 4 ). Rozważamy kwantyle rzędu 1 8, 3 8, 5 8 i 7 8.

61 Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna Przykład: Niech X 1, X 2,..., X n i.i.d z rozkładu W eibull(c, τ). Otrzymujemy układ: 1 e cqτ 1 4 = 1 4 i 1 e cqτ 3 4 = 3 4. St ad Estymatory mają postać: ln 0.75 = cq τ 1 Q 1 4 Q τ ˆτ = log Q 14 Q 34 i ln 0.25 = cq τ 3 4 = ln 0.75 ln 0.25 ( ) ln 0.75 ln 0.25 ĉ = ln 0.75 Qˆτ 1 4

62 Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna EMNW (estymacja metodą największej wiarogodności) Niech X będzie obserwowaną zmienną losową o gęstości f θ (x), gdzie θ jest nieznanym parametrem. Funkcją wiarogodności nazywamy funkcję L(θ, x) = f θ (x) Estymatorem największej wiarogodności parametru θ (EN W (θ)) nazywamy argument maksimum funkcji L jako funkcji θ, ENW (θ) = arg max L(θ, x). θ Zachodzi: arg max θ L(θ, x) = arg max θ ln L(θ, x). Jeżeli θ = (θ 1,..., θ k ) jest parametrem ciągłym i L jest funkcją różniczkowalną, to ENW wyznaczamy rozwiązując układ równań: lub równoważny układ: L(θ, x) θ j = 0, j = 1, 2,..., k ln L(θ, x) θ j = 0, j = 1, 2,..., k. Własności i uwagi: 1. Niech X 1, X 2,..., X n i.i.d z rozkładu o gęstości f θ, gdzie θ jest nieznanym parametrem. Przy pewnych warunkach regularności, jeżeli układ równań Σ n ln L(θ, X i ) i=1 = 0, j = 1, 2,..., k θ j ma dokładnie jedno rozwiązanie, to jest ono ENW (θ) i jest to estymator zgodny. 2. Jeżeli dodatkowo istnieją 2 ln L(θ,x) θ, j = 1, 2,..., k i spełnione s a założenia umożliwiające zamianę kolejności operacji różniczkowania po θ j 2 j lub 2 θ 2 j i całkowania i I(θ) jest dodatnio określona, to EN W (θ) jest asymptotycznie normalny i asymptotyczna macierz kowariancji ma postać I 1 (θ), gdzie I(θ) = E ln f θ(x) θ θ i ln f θ(x) θ j i,j=1...k

63 Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna jest informacją Fishera. Uwaga: Jeżeli θ R, to I(θ) = E θ ( ln fθ (X) θ ) 2 ( ) = 2 ln f θ (X) Eθ θ Jeżeli g jest różniczkowalna i g (θ) 0 i ˆθ n jest ENW (θ) opartym na próbie n-elementowej asymptotycznie normalnym, to g(ˆθ) = ENW (g(θ)) i (g(ˆθ n ) g(θ)) n N(0, [g (θ)] 2 I 1 (θ)). Zad. Wyznacz asymptotyczną macierz kowariancji dla EN W w modelu lognormalnym. Stąd ln L(µ, σ, X) = ln X 0.5 ln(2π) 0.5 ln σ 2 2 ln L = 1 µ 2 σ 2 2 ln L (σ 2 ) = 1 (ln X µ)2 2 2σ4 σ 6 2 ln L X µ) = (ln µ σ2 σ 4 I(µ, σ 2 ) 1 = σ2 0 0 σ 4 (ln X µ)2 2σ 2

64 Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna ESTYMACJA W PRZYPADKU GDY DANE SĄ POGRUPOWANE Szereg rozdzielczy przedziały liczebności częstości (c 0, c 1 ] n 1 f 1 = n 1 n (c 1, c 2 ] n 2 f 2 = n 2 n (c k 1, c k ] n k f k = n k n Zakładamy, że nie obserwujemy wartości poniżej c 0 i wypłacamy max c k. Funkcja wiarogodności: L(θ) = lub za pomocą dystrybuanty: ( cl c l 1 f θ (x)dx ) n l ( ck c 0 f θ (x)dx ) n L(θ) = [F t(c l ) F θ (c l 1 )] n l [F θ (c k ) F θ (c 0 )] n W szczególności może być F θ (c 0 ) = 0 i F θ (c k ) = 1. Wyznaczamy θ dla którego L(θ) lub ln L(θ) osiąga max. Wykorzystujemy metody numeryczne dla znalezienia punktu zerowania się pochodnej np metodę Newtona.

65 Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA Niech X 1, X 2,..., X n i.i.d. z rozkładu o gęstości f θ (x), θ - nieznany parametr Niech ˆθ = ENW (θ) i ˆθ ma asymptotyczny rozkład normalny z wariancją asymptotyczną I(θ) 1. Wtedy ˆθ N(θ, (ni(θ)) 1 ) dla dużych n. Dodatkowo I(ˆθ) jest estymatorem zgodnym funkcji I(θ), stąd (ˆθ θ ) ni(ˆθ) N(0, 1). Otrzymujemy więc asymptotyczny przedział ufności dla θ na poziomie ufności 1 α postaci Przykład: ˆθ u 1 α 2 1 ni(ˆθ), ˆθ + u 1 α 2 1 ni(ˆθ) Niech X 1, X 2,..., X n i.i.d. z rozkładu Weibulla o gęstości f θ (x) = θx exp( θx2 2 ), θ > 0 - nieznany parametr. Funkcja. ln L(θ) = n ln θ + Σ ln x i θ 2 Σx2 i a stąd oraz I(θ) = E θ 2 ln f θ (X) θ 2 ENW (θ) = 2n Σx 2 i = E θ 2 (ln θ θx2 θ 2 2 ) = 1 θ 2. Otrzymujemy przedział ufności dla θ 2n Σx 2 i n u1 α 2, 2n n Σx 2 i n + u1 α 2. n

66 Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna Zauważmy, że w tym modelu niekoniecznie musieliśmy wyznaczać EN W (I(θ)). Z własności asymptotycznych EN W (θ) mamy Stąd przy n P (ENW (θ) θ) n θ ENW (θ) θ 1 N(0, 1) n u1 α 1 α Przekształcając nierówność i wstawiając postać EN W (θ) otrzymujemy przedział 2n n Σx 2, 2n n i n + u1 α Σx 2 2 i n u1 α 2 Korzystając z własności, że ENW (g(θ)) = g(ˆθ), gdzie ˆθ = ENW (θ), i (przy odpowiednich warunkach regularności ) ( ) ( g(ˆθ) g(θ) n N 0, [g (θ)] 2 I 1 (θ) ) w analogiczny sposób otrzymujemy asymptotyczny przedział ufności dla funkcji g(θ) na poziomie ufności 1 α. 2

67 Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna TESTOWANIE HIPOTEZ O ZGODNOŚCI Niech X 1, X 2,..., X n i.i.d. z rozkładu o nieznanej dystrybuancie F H 0 : F = F 0, F 0 ustalona 1. Test Kołmogorowa-Smirnowa Założenie: F 0 - ciągła, ściśle rosnąca dystrybuanta Statystyka testowa: D n = sup F n (t) F 0 (t), t R gdzie F n (t) = F n (X 1, X 2,..., X n, t) jest dystrybuantą empiryczną. gdzie D + n = max i=1...n ( i n z i) w przypadku szeregu przedziałowego D + n = max i=1...k (F n(c i ) F 0 (c i )) D n = max(d + n, D n ) D n = max i=1...n (z i i 1 n ) z i = F 0 (x i:n ) D n = max i=1...k (F 0(c i ) F n (c i 1 )) TEST: Jeżeli D n > c(α, n), to hipotezę H 0 odrzucamy. Wybór c(α, n): Rozkład statystyki D n przy prawdziwości hipotezy H 0 nie zależy od postaci F 0. Zatem c(α, n) są stablicowane. Dla n dużych korzystamy z wartości przybliżonych, kilka z nich podaje Tabela poniżej. α c 1.07/ n 1.22/ n 1.36/ n 1.63/ n

68 Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna Test Chi-kwadrat F 0 - dystrybuanta rozkładu dyskretnego, wtedy rozkład zmiennej X skupiony jest w punktach a 1, a 2,..., a k. Niech p j = P (X = a j ). Niech N j =liczba elementów próby losowej równych a j. Statystyka testowa: χ 2 = Σ k (N j np j ) 2 j=1 np j. Jeżeli n, to zmienna losowa χ 2 dąży według rozkładu do zmiennej losowej o rozkładzie Chi-kwadrat o k 1 stopniach swobody (χ 2 k 1) TEST: H 0 odrzucamy, gdy χ 2 1 α w rozkładzie χ 2 k 1. F 0 - dystrybuanta rozkładu ciągłego. > χ 2 k 1(α), gdzie χ 2 k 1(α) kwantyl rzędu Dzielimy nośnik rozkładu na k przedziałów o końcach c 0, c 1,..., c k. Niech p j = F 0 (c j ) F 0 (c j 1 ), N j =liczba elementów próby należących do przedziału (c j 1, c j ]. Następnie stosujemy test jak przy rozkładzie dyskretnym. Uwaga: Hipotezy złożone. Jeżeli H 0 : F {F θ : θ Θ}, to najpierw estymujemy parametr θ (np. stosując EN W ). Jeżeli estymujemy parametr d wymiarowy, to asymptotyczny rozkład statystyki χ 2 jest rozkładem Chi-kwadrat o k d 1 stopniach swobody.

69 Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna TESTOWANIE HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH (testy oparte na ilorazie wiarogodności) Niech X 1, X 2,..., X n i.i.d. z rozkładu P θ, θ Θ Statystyka testowa: lub gdzie L(θ) funkcja wiarogodności. Obszar krytyczny: lub H 0 : θ Θ 0 H 1 : θ Θ 1 = Θ Θ 0 Λ 0 = sup θ Θ 1 L(θ) sup θ Θ0 L(θ) Λ = sup θ Θ L(θ) sup θ Θ0 L(θ), K = {(x 1, x 2,..., x n ) : Λ > λ(α)} K = {(x 1, x 2,..., x n ) : Λ 0 > c(α)}, gdzie λ(α), c(α) wartości krytyczne dobrane tak by θ Θ 0 P θ (K) α.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 1.10.2012 r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 1.10.2012 r. Zadanie. W pewnej populacji każde ryzyko charakteryzuje się trzema parametrami q, b oraz v, o następującym znaczeniu: parametr q to prawdopodobieństwo, że do szkody dojdzie (może zajść co najwyżej jedna

Bardziej szczegółowo

Agata Boratyńska. WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ (II rok WNE) Warszawa 2014

Agata Boratyńska. WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ (II rok WNE) Warszawa 2014 1 Agata Boratyńska WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ (II rok WNE) Warszawa 2014 Agata Boratyńska Wykłady ze statystyki matematycznej 2 Literatura W. Niemiro Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna,

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. Zmienne losowe X 1, X 2 są niezależne i mają taki sam rozkład z atomami:

Zadanie 1. Zmienne losowe X 1, X 2 są niezależne i mają taki sam rozkład z atomami: Zadanie 1. Zmienne losowe X 1, X 2 są niezależne i mają taki sam rozkład z atomami: Pr(X 1 = 0) = 6/10, Pr(X 1 = 1) = 1/10, i gęstością: f(x) = 3/10 na przedziale (0, 1). Wobec tego Pr(X 1 + X 2 5/3) wynosi:

Bardziej szczegółowo

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d.

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych

Statystyczna analiza danych Statystyczna analiza danych Marek Ptak 21 października 2013 Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 1 / 70 Część I Wstęp Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 2 / 70 LITERATURA A. Łomnicki, Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

LIV Egzamin dla Aktuariuszy z 4 października 2010 r. Część III

LIV Egzamin dla Aktuariuszy z 4 października 2010 r. Część III Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIV Egzamin dla Aktuariuszy z 4 października 2010 r. Część III Matematyka ubezpieczeń majątkowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:. Czas egzaminu: 100 minut Komisja

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta

Bardziej szczegółowo

Spis treści 3 SPIS TREŚCI

Spis treści 3 SPIS TREŚCI Spis treści 3 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 1. WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE JAKO DYSCYPLINA MATEMATYCZNA... Metody statystyczne w analizie i prognozowaniu zjawisk ekonomicznych... Badania statystyczne podstawowe

Bardziej szczegółowo

Przegląd ważniejszych rozkładów

Przegląd ważniejszych rozkładów Przegląd ważniejszych rozkładów Rozkład dwupunktowy P (X = x) = { p dla x = a, 1 p dla x = b, to zmienna losowa X ma rozkład dwupunktowy z parametrem p (0 < p < 1). Rozkład ten pojawia się przy opisie

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 6.04.2009 r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 6.04.2009 r. Matematyka ubezpieczeń majątkowych 6.04.009 r. Zadanie. Niech N oznacza liczbę szkód zaszłych w ciągu roku z pewnego ubezpieczenia z czego: M to liczba szkód zgłoszonych przed końcem tego roku K to liczba

Bardziej szczegółowo

1. Ubezpieczenia życiowe

1. Ubezpieczenia życiowe 1. Ubezpieczenia życiowe Przy ubezpieczeniach życiowych mamy do czynienia z jednorazową wypłatą sumy ubezpieczenia. Moment jej wypłaty i wielkość wypłaty może być funkcją zmiennej losowej T a więc czas

Bardziej szczegółowo

Aktuariat i matematyka finansowa. Metody kalkulacji składki w ubezpieczeniach typu non - life

Aktuariat i matematyka finansowa. Metody kalkulacji składki w ubezpieczeniach typu non - life Aktuariat i matematyka finansowa Metody kalkulacji składki w ubezpieczeniach typu non - life Budowa składki ubezpieczeniowej Składka ubezpieczeniowa cena jaką ubezpieczający płaci za ochronę ubezpieczeniowa

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

Rok akademicki: 2013/2014 Kod: AMA-2-311-MN-s Punkty ECTS: 6. Kierunek: Matematyka Specjalność: Matematyka w naukach technicznych i przyrodniczych

Rok akademicki: 2013/2014 Kod: AMA-2-311-MN-s Punkty ECTS: 6. Kierunek: Matematyka Specjalność: Matematyka w naukach technicznych i przyrodniczych Nazwa modułu: teoria ryzyka Rok akademicki: 2013/2014 Kod: AMA-2-311-MN-s Punkty ECTS: 6 Wydział: Matematyki Stosowanej Kierunek: Matematyka Specjalność: Matematyka w naukach technicznych i przyrodniczych

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4.

Testowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4. Testowanie hipotez Niech X = (X 1... X n ) będzie próbą losową na przestrzeni X zaś P = {P θ θ Θ} rodziną rozkładów prawdopodobieństwa określonych na przestrzeni próby X. Definicja 1. Hipotezą zerową Θ

Bardziej szczegółowo

1. Przyszła długość życia x-latka

1. Przyszła długość życia x-latka Przyszła długość życia x-latka Rozważmy osobę mającą x lat; oznaczenie: (x) Jej przyszłą długość życia oznaczymy T (x), lub krótko T Zatem x+t oznacza całkowitą długość życia T jest zmienną losową, której

Bardziej szczegółowo

Rozkłady statystyk z próby

Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny

Bardziej szczegółowo

4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03)

4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) 4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) Definicja 1 Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która przyjmuje wszystkie

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;

Bardziej szczegółowo

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe.

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Rachunek prawdopodobieństwa MAP3040 WPPT FT, rok akad. 2010/11, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Warunkowa wartość oczekiwana.

Bardziej szczegółowo

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej 7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej Definicja 1 n-elementowa losowa próba prosta nazywamy ciag n niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach

Bardziej szczegółowo

Metoda największej wiarygodności

Metoda największej wiarygodności Metoda największej wiarygodności Próbki w obecności tła Funkcja wiarygodności Iloraz wiarygodności Pomiary o różnej dokładności Obciążenie Informacja z próby i nierówność informacyjna Wariancja minimalna

Bardziej szczegółowo

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich Wrocław, 5 grudnia 2014 Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja Przedziałem ufności dla paramertu

Bardziej szczegółowo

R ozkład norm alny Bardzo często używany do modelowania symetrycznych rozkładów zmiennych losowych ciągłych

R ozkład norm alny Bardzo często używany do modelowania symetrycznych rozkładów zmiennych losowych ciągłych R ozkład norm alny Bardzo często używany do modelowania symetrycznych rozkładów zmiennych losowych ciągłych Przykłady: Błąd pomiarowy Wzrost, wydajność Temperatura ciała Zawartość różnych składników we

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015 Zmienne losowe, statystyki próbkowe Wrocław, 2 marca 2015 Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20 punktów) aktywność Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych.

Testowanie hipotez statystycznych. Bioinformatyka Wykład 9 Wrocław, 5 grudnia 2011 Temat. Test zgodności χ 2 Pearsona. Statystyka χ 2 Pearsona Rozpatrzmy ciąg niezależnych zmiennych losowych X 1,..., X n o jednakowym dyskretnym rozkładzie

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna i ekonometria

Statystyka matematyczna i ekonometria Statystyka matematyczna i ekonometria prof. dr hab. inż. Jacek Mercik B4 pok. 55 jacek.mercik@pwr.wroc.pl (tylko z konta studenckiego z serwera PWr) Konsultacje, kontakt itp. Strona WWW Elementy wykładu.

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna dla leśników

Statystyka matematyczna dla leśników Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 03/04 Wykład 5 Testy statystyczne Ogólne zasady testowania hipotez statystycznych, rodzaje

Bardziej szczegółowo

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów. Rachunek prawdopodobieństwa MAP1181 Wydział PPT, MS, rok akad. 213/14, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.

Bardziej szczegółowo

Instytut Matematyczny Uniwersytet Wrocławski. Zakres egzaminu magisterskiego. Wybrane rozdziały anazlizy i topologii 1 i 2

Instytut Matematyczny Uniwersytet Wrocławski. Zakres egzaminu magisterskiego. Wybrane rozdziały anazlizy i topologii 1 i 2 Instytut Matematyczny Uniwersytet Wrocławski Zakres egzaminu magisterskiego Wybrane rozdziały anazlizy i topologii 1 i 2 Pojęcia, fakty: Definicje i pojęcia: metryka, iloczyn skalarny, norma supremum,

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów Wrocław, 18.03.2016r Plan wykładu: 1. Testowanie hipotez 2. Etapy testowania hipotez 3. Błędy 4. Testowanie wielokrotne 5. Estymacja parametrów

Bardziej szczegółowo

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas:

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas: ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. Można założyć, że przy losowaniu trzech kul jednocześnie kolejność ich wylosowania nie jest istotna. A więc: Ω = 20 3. a) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań

Bardziej szczegółowo

0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK

0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK 0.1. ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK 1 0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK Zadaia 0.1.1. Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi o tym samym rozkładzie. Obliczyć ES 2 oraz D 2 ( 1 i=1 X 2 i ). 0.1.2.

Bardziej szczegółowo

Gdy n jest duże, statystyka ta (zwana statystyką chikwadrat), przy założeniu prawdziwości hipotezy H 0, ma w przybliżeniu rozkład χ 2 (k 1).

Gdy n jest duże, statystyka ta (zwana statystyką chikwadrat), przy założeniu prawdziwości hipotezy H 0, ma w przybliżeniu rozkład χ 2 (k 1). PRZYKŁADY TESTÓW NIEPARAMETRYCZNYCH. Test zgodności χ 2. Ten test służy testowaniu hipotezy, czy rozważana zmienna ma pewien ustalony rozkład, czy też jej rozkład różni się od tego ustalonego. Tym testem

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych.

Testowanie hipotez statystycznych. Bioinformatyka Wykład 4 Wrocław, 17 października 2011 Temat. Weryfikacja hipotez statystycznych dotyczących wartości oczekiwanej w dwóch populacjach o rozkładach normalnych. Model 3. Porównanie średnich

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Statystyka i opracowanie danych W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Rozkład Poissona. Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i funkcja gęstości

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna - Seria 1

Statystyka matematyczna - Seria 1 Statystyka matematyczna - Seria. Niech Z oznacza zmienną losową o rozkładzie standardowym normalnym. Korzystając z tablic znaleźć (a) P (0 Z 2.7) (d) P (Z.37) (b) P ( Z 2.5) (e) P ( 2.5 Z 0) (c) P (Z.75)

Bardziej szczegółowo

1 Funkcja użyteczności

1 Funkcja użyteczności 1 Funkcja użyteczności Funkcja użyteczności to funkcja, której wartościami są wartości użyteczności (satysfakcji, komfortu psychicznego). Można mówić o użyteczności różnych zjawisk. Użyteczność pieniądza

Bardziej szczegółowo

Metody oceny ryzyka operacyjnego

Metody oceny ryzyka operacyjnego Instytut Matematyki i Informatyki Wrocław, 10 VII 2009 Bazylejski Komitet Nadzoru Bankowego Umowa Kapitałowa - 1988 Opracowanie najlepszych praktyk rynkowych w zakresie zarządzania ryzykiem Nowa Umowa

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA wykład 5-6

STATYSTYKA wykład 5-6 TATYTYKA wykład 5-6 Twierdzenia graniczne Rozkłady statystyk z próby Wanda Olech Twierdzenia graniczne Jeżeli rozpatrujemy ciąg zmiennych losowych {X ; X ;...; X n }, to zdarza się, że ich rozkłady przy

Bardziej szczegółowo

Analiza przeżycia. Wprowadzenie

Analiza przeżycia. Wprowadzenie Wprowadzenie Przedmiotem badania analizy przeżycia jest czas jaki upływa od początku obserwacji do wystąpienia określonego zdarzenia, które jednoznacznie kończy obserwację na danej jednostce. Analiza przeżycia

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa - Teoria - Przypomnienie.. A i B są niezależne, gdy P(A B) = P(A)P(B). P(A B i )P(B i )

Rachunek prawdopodobieństwa - Teoria - Przypomnienie.. A i B są niezależne, gdy P(A B) = P(A)P(B). P(A B i )P(B i ) Rachunek prawdopodobieństwa - Teoria - Przypomnienie Podstawy Definicja 1. Schemat klasyczny - wszystkie zdarzenia elementarne są równo prawdopodobne, licząc prawdopodobieństwo liczymy stosunek liczby

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne

Testowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne Testowanie hipotez statystycznych Wnioskowanie statystyczne Hipoteza statystyczna to dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej (jego postaci funkcyjnej lub wartości parametrów). Hipotezy

Bardziej szczegółowo

Rozkłady zmiennych losowych

Rozkłady zmiennych losowych Rozkłady zmiennych losowych Wprowadzenie Badamy pewną zbiorowość czyli populację pod względem występowania jakiejś cechy. Pobieramy próbę i na podstawie tej próby wyznaczamy pewne charakterystyki. Jeśli

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka - W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i unkcja gęstości rozkładu

Bardziej szczegółowo

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Marek Kubiak Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Plan wykładu Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa Rozkład

Bardziej szczegółowo

Dokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby

Dokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby Dokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby Przypomnijmy Populacja Próba Wielkość N n Średnia Wariancja Odchylenie standardowe 4.2 Rozkład statystyki Mówimy, że rozkład statystyki (1) jest dokładny,

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady

WYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady WYKŁAD 2 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady Metody statystyczne metody opisu metody wnioskowania statystycznego syntetyczny liczbowy opis właściwości zbioru danych ocena

Bardziej szczegółowo

Proces Poissona. Proces {N(t), t 0} nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t.

Proces Poissona. Proces {N(t), t 0} nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t. Procesy stochastyczne WYKŁAD 5 Proces Poissona. Proces {N(t), t } nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t. Proces zliczający musi

Bardziej szczegółowo

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe Metoda najmn. kwadr. - funkcje nieliniowe Metoda najmniejszych kwadratów Funkcje nieliniowe Procedura z redukcją kroku iteracji Przykłady zastosowań Dopasowanie funkcji wykładniczej Dopasowanie funkcji

Bardziej szczegółowo

Wykorzystanie funkcji powiązań do pomiaru ryzyka rynkowego. Katarzyna Kuziak

Wykorzystanie funkcji powiązań do pomiaru ryzyka rynkowego. Katarzyna Kuziak Wykorzystanie funkcji powiązań do pomiaru ryzyka rynkowego Katarzyna Kuziak Cel: łączenie różnych rodzajów ryzyka rynkowego za pomocą wielowymiarowej funkcji powiązań 2 Ryzyko rynkowe W pomiarze ryzyka

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez cz. I

Testowanie hipotez cz. I Wykład 11 Testowanie hipotez cz. I TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Hipoteza statystyczna jest to przypuszczenie dotyczące nieznanej własności rozkładu prawdopodobieństwa badanej cechy populacji. W zadaniach

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

OPIS MODUŁ KSZTAŁCENIA (SYLABUS)

OPIS MODUŁ KSZTAŁCENIA (SYLABUS) OPIS MODUŁ KSZTAŁCENIA (SYLABUS) I. Informacje ogólne: 1 Nazwa modułu Metody opracowania obserwacji 2 Kod modułu 04-A-MOO-60-1L 3 Rodzaj modułu obowiązkowy 4 Kierunek studiów astronomia 5 Poziom studiów

Bardziej szczegółowo

1. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że noworodek wybrany z populacji, w której śmiertelnością rządzi prawo Gompertza

1. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że noworodek wybrany z populacji, w której śmiertelnością rządzi prawo Gompertza 1. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że noworodek wybrany z populacji, w której śmiertelnością rządzi prawo Gompertza x µ x = 06e. dożyje wieku największej śmiertelności (tzn. takiego wieku, w którym

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Część I Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Część I Matematyka finansowa Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Rozważmy

Bardziej szczegółowo

Opis przedmiotu: Probabilistyka I

Opis przedmiotu: Probabilistyka I Opis : Probabilistyka I Kod Nazwa Wersja TR.SIK303 Probabilistyka I 2012/13 A. Usytuowanie w systemie studiów Poziom Kształcenia Stopień Rodzaj Kierunek studiów Profil studiów Specjalność Jednostka prowadząca

Bardziej szczegółowo

166 Wstęp do statystyki matematycznej

166 Wstęp do statystyki matematycznej 166 Wstęp do statystyki matematycznej Etap trzeci realizacji procesu analizy danych statystycznych w zasadzie powinien rozwiązać nasz zasadniczy problem związany z identyfikacją cechy populacji generalnej

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 STATYSTYKA Rafał Kucharski Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 Karl Popper... no matter how many instances of white swans we may have observed, this does not

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych.

Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Hipotezy i Testy statystyczne Każde

Bardziej szczegółowo

Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe

Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe Statystyka i opracowanie danych W4 Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Rozkład normalny wykres funkcji gęstości

Bardziej szczegółowo

SPIS TEŚCI CZĘŚĆ I RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA

SPIS TEŚCI CZĘŚĆ I RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA SPIS TEŚCI PRZEDMOWA...13 CZĘŚĆ I RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. ZDARZENIA LOSOWE I PRAWDOPODOBIEŃSTWO...17 1.1. UWAGI WSTĘPNE... 17 1.2. ZDARZENIA LOSOWE... 17 1.3. RELACJE MIĘDZY ZDARZENIAMI... 18 1.4.

Bardziej szczegółowo

Monte Carlo, bootstrap, jacknife

Monte Carlo, bootstrap, jacknife Monte Carlo, bootstrap, jacknife Literatura Bruce Hansen (2012 +) Econometrics, ze strony internetowej: http://www.ssc.wisc.edu/~bhansen/econometrics/ Monte Carlo: rozdział 8.8, 8.9 Bootstrap: rozdział

Bardziej szczegółowo

AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA Wydział Matematyki Stosowanej ROZKŁAD NORMALNY ROZKŁAD GAUSSA

AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA Wydział Matematyki Stosowanej ROZKŁAD NORMALNY ROZKŁAD GAUSSA AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA Wydział Matematyki Stosowanej KATEDRA MATEMATYKI TEMAT PRACY: ROZKŁAD NORMALNY ROZKŁAD GAUSSA AUTOR: BARBARA MARDOSZ Kraków, styczeń 2008 Spis treści 1 Wprowadzenie 2 2 Definicja

Bardziej szczegółowo

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Nierówność Czebyszewa Niech X będzie zmienną losową o skończonej wariancji V ar(x). Wtedy wartość oczekiwana E(X) też jest skończona i

Bardziej szczegółowo

Elektrotechnika II [ Laboratorium Grupa 1 ] 2016/2017 Zimowy. [ Laboratorium Grupa 2 ] 2016/2017 Zimowy

Elektrotechnika II [ Laboratorium Grupa 1 ] 2016/2017 Zimowy. [ Laboratorium Grupa 2 ] 2016/2017 Zimowy Elektrotechnika II [ Laboratorium Grupa ] 206/207 Zimowy Lp Numer indeksu Pkt Kol Suma Popr Ocena Data Uwagi 97574 6 7 Db + 2 9758 ++0,9 5 7,9 Db + 3 99555 0,9+0,9 2,8 Dst + 4 97595 0,8++ 0 2,8 Dst + 5

Bardziej szczegółowo

PRZEDZIAŁ UFNOŚCI DLA FRAKCJI. Ryszard Zieliński. XXXVIII Konferencja Zastosowań Matematyki Zakopane Kościelisko 8-15 września 2009

PRZEDZIAŁ UFNOŚCI DLA FRAKCJI. Ryszard Zieliński. XXXVIII Konferencja Zastosowań Matematyki Zakopane Kościelisko 8-15 września 2009 Ryszard Zieliński XXXVIII Ogólnopolska Konferencja Zastosowań Matematyki Zakopane Kościelisko 8-15 września 2009 ESTYMACJA FRAKCJI W populacji składającej się z N elementów jest nieznana liczba M elementów

Bardziej szczegółowo

Test t-studenta dla jednej średniej

Test t-studenta dla jednej średniej Test t-studenta dla jednej średniej Hipoteza zerowa: Średnia wartość zmiennej w populacji jest równa określonej wartości a 0 (a = a 0 ). Hipoteza alternatywna 1.: Średnia wartość zmiennej w populacji jest

Bardziej szczegółowo

ANALIZA STATYSTYCZNA WYNIKÓW BADAŃ

ANALIZA STATYSTYCZNA WYNIKÓW BADAŃ ANALIZA STATYSTYCZNA WYNIKÓW BADAŃ Dopasowanie rozkładów Dopasowanie rozkładów- ogólny cel Porównanie średnich dwóch zmiennych 2 zmienne posiadają rozkład normalny -> test parametryczny (t- studenta) 2

Bardziej szczegółowo

Oznacza to, że chcemy znaleźć minimum, a właściwie wartość najmniejszą funkcji

Oznacza to, że chcemy znaleźć minimum, a właściwie wartość najmniejszą funkcji Wykład 11. Metoda najmniejszych kwadratów Szukamy zależności Dane są wyniki pomiarów dwóch wielkości x i y: (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x n, y n ). Przypuśćmy, że nanieśliśmy je na wykres w układzie

Bardziej szczegółowo

ODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW

ODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW ODRZUCANIE WYNIKÓW OJEDYNCZYCH OMIARÓW W praktyce pomiarowej zdarzają się sytuacje gdy jeden z pomiarów odstaje od pozostałych. Jeżeli wykorzystamy fakt, że wyniki pomiarów są zmienną losową opisywaną

Bardziej szczegółowo

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii.

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii. Rozkład normalny Rozkład normalny jest niezwykle ważnym rozkładem prawdopodobieństwa w wielu dziedzinach. Nazywa się go także rozkładem Gaussa, w szczególności w fizyce i inżynierii. W zasadzie jest to

Bardziej szczegółowo

Immunizacja ryzyka stopy procentowej ubezpieczycieli życiowych

Immunizacja ryzyka stopy procentowej ubezpieczycieli życiowych Immunizacja ryzyka stopy procentowej ubezpieczycieli życiowych Elżbieta Krajewska Instytut Matematyki Politechnika Łódzka Elżbieta Krajewska Immunizacja ubezpieczycieli życiowych 1/22 Plan prezentacji

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna

Statystyka matematyczna Statystyka matematyczna dla kierunku Zarządzanie na studiach drugiego stopnia Wojciech Kordecki Wyższa Szkoła Handlowa we Wrocławiu Wrocław 2012 Materiał wyłącznie do użytku edukacyjnego. Reprodukcja do

Bardziej szczegółowo

UBEZPIECZENIE KALKULACJA SKŁADEK

UBEZPIECZENIE KALKULACJA SKŁADEK Ustalanie składek oraz świadczeń i odszkodowań. Składki, świadczenia i odszkodowania stanowią pozycje główne strumieni finansowych uruchamianych przez działalność ubezpieczeniową, główne pozycje rachunków

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA Statistics. Inżynieria Środowiska. II stopień ogólnoakademicki

STATYSTYKA Statistics. Inżynieria Środowiska. II stopień ogólnoakademicki Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr../12 z dnia.... 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2012/13 STATYSTYKA

Bardziej szczegółowo

Estymacja parametru rozkładu Rayleigha i logistycznego w terminach k-tych wartości rekordowych

Estymacja parametru rozkładu Rayleigha i logistycznego w terminach k-tych wartości rekordowych Estymacja parametru rozkładu Rayleigha i logistycznego w terminach k-tych wartości rekordowych Iwona Malinowska Politechnika Lubelska Dominik Szynal UMCS, Lublin XXXIII Konferencja "STATYSTYKA MATEMATYCZNA

Bardziej szczegółowo

Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski

Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski Książka jest nowoczesnym podręcznikiem przeznaczonym dla studentów uczelni i wydziałów ekonomicznych. Wykład podzielono na cztery części. W pierwszej

Bardziej szczegółowo

Aktuariat i matematyka finansowa. Probabilistyczne modele ryzyka ubezpieczeniowego

Aktuariat i matematyka finansowa. Probabilistyczne modele ryzyka ubezpieczeniowego Aktuariat i matematyka finansowa Probabilistyczne modele ryzyka ubezpieczeniowego Ryzyko jako przedmiot ubezpieczenia Ryzyko pewna sytuacja (zjawisko), która może, ale nie musi wygenerować zdarzenie niekorzystne,

Bardziej szczegółowo

LXVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 29 września 2014 r.

LXVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 29 września 2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 29 września 2014 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN DYPLOMOWY, część II, 23.09.2008 Biomatematyka

EGZAMIN DYPLOMOWY, część II, 23.09.2008 Biomatematyka Biomatematyka W 200-elementowej próbie losowej z diploidalnej populacji wystąpiło 89 osobników genotypu AA, 57 osobników genotypu Aa oraz 54 osobników genotypu aa. Na podstawie tych danych (a) dokonaj

Bardziej szczegółowo

= µ. Niech ponadto. M( s) oznacza funkcję tworzącą momenty. zmiennej T( x), dla pewnego wieku x, w populacji A. Wówczas e x wyraża się wzorem: 1

= µ. Niech ponadto. M( s) oznacza funkcję tworzącą momenty. zmiennej T( x), dla pewnego wieku x, w populacji A. Wówczas e x wyraża się wzorem: 1 1. W populacji B natężenie wymierania µ ( B ) x jest większe od natężenia wymierania ( A) µ x w populacji A, jednostajnie o µ > 0, dla każdego wieku x tzn. ( B) ( A) µ µ x = µ. Niech ponadto x M( s) oznacza

Bardziej szczegółowo

Aleksander Adamowski (s1869) zmienn ą losow ą T o rozkładzie wykładniczym o średniej 5 minut.

Aleksander Adamowski (s1869) zmienn ą losow ą T o rozkładzie wykładniczym o średniej 5 minut. Zadanie Statystyczna Analiza Danych - Zadania 6 Aleksander Adamowski (s869) W pewnym biurze czas losowo wybranej rozmowy telefonicznej jest zmienn ą losow ą T o rozkładzie wykładniczym o średniej 5 minut.

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. Wykład nr 12. Dr Piotr Fronczak

Metody numeryczne. Wykład nr 12. Dr Piotr Fronczak Metody numeryczne Wykład nr 1 Dr Piotr Fronczak Generowanie liczb losowych Metody Monte Carlo są oparte na probabilistyce działają dzięki generowaniu liczb losowych. W komputerach te liczby generowane

Bardziej szczegółowo

ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 5 Kalkulacja sk ladki netto I

ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 5 Kalkulacja sk ladki netto I Wst ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 5 Kalkulacja sk ladki netto I 1 Kodeks cywilny Tytu l XXVII, Umowa ubezpieczenia Dzia l I. Przepisy ogólne Dzia l II. Ubezpieczenia majatkowe

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 7 marca 2016 r. Część I

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 7 marca 2016 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 7 marca 2016 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

4. Ubezpieczenie Życiowe

4. Ubezpieczenie Życiowe 4. Ubezpieczenie Życiowe Składka ubezpieczeniowa musi brać pod uwagę następujące czynniki: 1. Kwotę wypłaconą przy śmierci ubezpieczonego oraz jej wartość aktualną. 2. Rozkład czasu do śmierci ubezpieczonego

Bardziej szczegółowo

Wpływ macierzy przejścia systemu bonus-malus ubezpieczeń komunikacyjnych OC na jego efektywność taryfikacyjną

Wpływ macierzy przejścia systemu bonus-malus ubezpieczeń komunikacyjnych OC na jego efektywność taryfikacyjną Wpływ macierzy przejścia systemu bonus-malus ubezpieczeń komunikacyjnych OC na jego efektywność taryfikacyjną Anna Szymańska Katedra Metod Statystycznych Uniwersytet Łódzki Taryfikacja w ubezpieczeniach

Bardziej szczegółowo

Klasyfikacja w oparciu o metrykę budowaną poprzez dystrybuanty empiryczne na przestrzeni wzorców uczących

Klasyfikacja w oparciu o metrykę budowaną poprzez dystrybuanty empiryczne na przestrzeni wzorców uczących Klasyfikacja w oparciu o metrykę budowaną poprzez dystrybuanty empiryczne na przestrzeni wzorców uczących Cezary Dendek Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych PW Plan prezentacji Plan prezentacji Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 października 2012 r.

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 października 2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 października 2012 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1

Bardziej szczegółowo

II WYKŁAD STATYSTYKA. 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15

II WYKŁAD STATYSTYKA. 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 II WYKŁAD STATYSTYKA 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 2 Rachunek prawdopodobieństwa zdarzenia elementarne zdarzenia losowe zmienna losowa skokowa i ciągła prawdopodobieństwo i gęstość prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1.

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1. tel. 44 683 1 55 tel. kom. 64 566 811 e-mail: biuro@wszechwiedza.pl Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: gdzie: y t X t y t = 1 X 1

Bardziej szczegółowo

ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 1 Wprowadzajacy

ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 1 Wprowadzajacy Wst ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 1 Wprowadzajacy 1 Matematyka aktuarialna 1. matematyka w ubezpieczeniach, 2. dok ladniej, matematyka ubezpieczeń na życie, 3. czasami szerzej,

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe zwyczajne

1 Równania różniczkowe zwyczajne Równania różniczkowe zwyczajne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe Równaniem

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Podstawowe pojęcia Metody opisowe w analizie rozkładu cechy

Wykład 1. Podstawowe pojęcia Metody opisowe w analizie rozkładu cechy Wykład Podstawowe pojęcia Metody opisowe w analizie rozkładu cechy Zbiorowość statystyczna - zbiór elementów lub wyników jakiegoś procesu powiązanych ze sobą logicznie (tzn. posiadających wspólne cechy

Bardziej szczegółowo

PROCES RYZYKA Z ZALEŻNYMI OKRESAMI MIĘDZY WYPŁATAMI ANALIZA PRAWDOPODOBIEŃSTWA RUINY 1

PROCES RYZYKA Z ZALEŻNYMI OKRESAMI MIĘDZY WYPŁATAMI ANALIZA PRAWDOPODOBIEŃSTWA RUINY 1 Stanisław Heilpern Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu PROCES RYZYKA Z ZALEŻNYMI OKRESAMI MIĘDZY WYPŁATAMI ANALIZA PRAWDOPODOBIEŃSTWA RUINY 1 Wprowadzenie W pracy będzie rozpatrywany ciągły proces ryzyka,

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO. Wykład 2

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO. Wykład 2 STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład Parametry przedziałowe rozkładów ciągłych określane na podstawie próby (przedziały ufności) Przedział ufności dla średniej s X t( α;n 1),X + t( α;n 1) n s n t (α;

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16 Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego

Bardziej szczegółowo

O ŚREDNIEJ STATYSTYCZNEJ

O ŚREDNIEJ STATYSTYCZNEJ O ŚREDNIEJ STATYSTYCZNEJ Ryszard Zieliński XII Międzynarodowe Warsztaty dla Młodych Matematyków Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Kraków, 20 26 IX 2009 r. WYNIKI OBSERWACJI X 1, X 2,..., X n WYNIKI

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń maj atkowych i osobowych (MUMIO)

Matematyka ubezpieczeń maj atkowych i osobowych (MUMIO) Matematyka ubezpieczeń maj atkowych i osobowych (MUMIO) Ryszard Szekli WYKŁAD (Uniwersytet Wrocławski -2012/2013) 2 Rozdział 1 Rozkłady wielkości portfela Portfel: X = {X 1,..., X N } zmienne niezależne

Bardziej szczegółowo