GRZEGORZ SZKIBIEL WSTE P DO TEORII ZBIORÓW I KOMBINATORYKI

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "GRZEGORZ SZKIBIEL WSTE P DO TEORII ZBIORÓW I KOMBINATORYKI"

Transkrypt

1 U N I W E R S Y T E T S Z C Z E C I Ń S K I GRZEGORZ SZKIBIEL WSTE P DO TEORII ZBIORÓW I KOMBINATORYKI SZCZECIN 2002

2

3 Spis treści Przedmowa Elementy teorii matematycznych Zasada indukcji matematycznej Rachunek zdań Niektóre zastosowania rachunku zdań Wzmianka o kwantyfikatorach Elementy algebry zbiorów Sumy i przekroje uogólnione Poje cie produkt kartezjański dwóch zbiorów Relacje Relacje równoważności Funkcje Obrazy i przeciwobrazy zbiorów Zbiory skończone Zbiory przeliczalne Zbiory nieprzeliczalne Zbiory cze ściowo uporza dkowane Zbiory uporza dkowane liniowo Rozwia zania Elementy teorii matematycznych Zasada indukcji matematycznej Rachunek zdań Niektóre zastosowania rachunku zdań Wzmianka o kwantyfikatorach Elementy algebry zbiorów Sumy i przekroje uogólnione Poje cie produktu kartezjańskiego dwóch zbiorów Relacje Relacje równoważności Funkcje Obrazy i przeciwobrazy zbiorów

4 13. Zbiory skończone Zbiory przeliczalne Zbiory nieprzeliczalne Zbiory cze ściowo uporza dkowane Zbiory uporza dkowane liniowo Skorowidz Literatura

5 Przedmowa Fakt, że matematyka leży u podstaw wszystkich nauk zosta l stwierdzony już w starożytności. Wielcy filozofowie greccy Pitagoras, Tales, Eratostenes i inni, to przede wszystkim matematycy. Potrzeba by lo jednak wielu wieków, by stwierdzić, co leży u podstaw matematyki. Nowoczesna matematyka opiera sie na poje ciu zbiór poje cie to zosta lo przyje te ponad sto lat temu*. Niniejszy skrypt jest w ca lości poświe cony zbiorom oraz tematom, które pozwalaja lepiej zrozumieć to poje cie. Przedstawiono w nim podstawowe poje cia matematyczne: produkt kartezjański, relacja, funkcja. Sa one przyk ladami zbiorów. Prawid lowe zrozumienie tych poje ć jest dość trudne, ale konieczne w studiowaniu matematyki. Zbiorom poświe cony jest jeden z d luższych rozdzia lów tego skryptu. Przedtem wprowadzone sa elementy, które po pierwsze pozwalaja lepiej zrozumieć to trudne poje cie, a po drugie maja na celu przybliżenie pewnych schematów rozumowania, które spotykane sa we wszystkich dzia lach matematyki. W dalszych rozdzia lach pokazano, w jaki sposób podstawowe elementy matematyki opieraja sie na poje ciu zbiór. Każdy rozdzia l sk lada sie z trzech cze ści, z których pierwsza to cze ść teoretyczna, odpowiadaja ca wyk ladowi. Druga cze ść, czyli,,problemy do dyskusji, powinna stanowić treść ćwiczeń. Rozwia - zania wszystkich zadań z tej cze ści zosta ly umieszczone w ostatnim rozdziale. Ostatnia, trzecia cze ść to zadania przeznaczone do samodzielnego rozwia zania, czyli praca domowa (cze ści tej pozbawiony jest ostatni rozdzia l). Niniejszy skrypt jest adresowany przede wszystkim do studentów pierwszego roku studiów licencjackich, ale także studenci studiów magisterskich znajda w nim cenne uzupe lnienie wyk ladu. Materia l tu zawarty cze sto be dzie wykorzystywany na starszych latach studiów, dlatego warto jest zachować egzemplarz skryptu przynajmniej do końca studiów. * Dok ladnie w 1883 roku w ksia żce Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre Georga Cantora.

6 6 Wste p do teorii zbiorów i kombinatoryki Skrypt powsta l na podstawie wyk ladów oraz ćwiczeń prowadzonych w latach prze lomu tysia cleci przez autora oraz jego asystentki: A. Szkibiel, E. Kasior oraz I. Staniewska. Autor pragnie podzie kować serdecznie tym osobom za owocna pomoc przy prowadzeniu wyk ladu, jak i za cenne wskazówki oraz ciekawe zadania, które zosta ly tu umieszczone. Podzie kowania należa sie też studentom, których wszystkich nie sposób wymienić, ale to dzie ki nim i dla nich powsta l ten skrypt.

7 1. Elementy teorii matematycznych Na wszystkich zaje ciach z przedmiotów matematycznych be - dziemy sie poruszać wewna trz pewnych teorii. Każdy dzia l matematyki sk lada sie z wielu teorii, które cze sto nak ladaja sie na siebie. W analizie matematycznej na przyk lad mamy do czynienia z teoriami liczb rzeczywistych, cia gów, szeregów, ca lki, pochodnych funkcji oraz wieloma innymi. W algebrze spotkamy sie z teoriami przestrzeni wektorowych, liczb zespolonych, macierzy, równań liniowych itp. Teoria równań liniowych cze sto korzysta z teorii macierzy i na odwrót. Zatem teorie te nak ladaja sie na siebie. Poznamy tutaj kilka podstawowych sk ladników, które wchodza w sk lad każdej teorii. Sa to naste ce elementy: poje cia pierwotne, definicje, aksjomaty, pewniki, twierdzenia, hipotezy. Omówimy wszystkie te wspomniane elementy, trzeba jedynie nadmienić, że w zależności od kontekstu lub upodobań autorów ksia żek nazwy tych poje ć moga sie różnić. Dla dok ladnego zilustrowania omawianych przez nas poje ć, be dziemy pos lugiwać sie dwoma przyk ladami. Pierwszy z nich to skończona geometria afiniczna, a drugi to liczby naturalne. Poje cia pierwotne. Sa to elementy, których sie nie definiuje. Odgrywaja one role atomów ba dź też bitów, z których zbudowana jest teoria. Musza to wie c być poje cia zrozumia le dla każdego oraz zgodne z intuicja. Na przyk lad, wiemy dobrze co to jest czas, ale nie silimy sie tego definiować. Podobnie każdy doskonale rozumie s lowo,,posi lek, jednakże wielu z nas sprawi loby wiele k lopotów dok ladne zdefiniowanie tego poje cia. W matematyce najcze ściej używanymi poje ciami pierwotnymi sa zbiór i element zbioru. W teoriach geometrycznych sa one zasta pione przez, odpowiednio, poje cia

8 8 Wste p do teorii zbiorów i kombinatoryki figura i punkt. W teorii prawdopodobieństwa poje ciami pierwotnymi sa zdarzenie oraz zdarzenie elementarne Przyk lad: skończona geometria afiniczna. Poje ciami pierwotnymi sa tu punkt oraz zbiór Przyk lad: liczby naturalne. Poje ciami pierwotnymi sa tu zbiór, liczba, liczba 1 lub jedynka oraz bycie naste pnikiem. O ile trzy pierwsze poje cia sa raczej zrozumia le, o tyle zrozumienie ostatniego może przysporzyć problemu. Intuicyjny sens sformu lowania,,liczba m jest naste pnikiem liczby n jest taki, że liczba m jest liczba naturalna, która naste puje (wyste puje, jest) bezpośrednio po n. Oznacza to wie c pewna relacje określona na pewnym zbiorze liczb. Definicja. Jest to element, który określa sie za pomoca poje ć pierwotnych lub też za pomoca systemu w lasności. Na przyk lad, jeśli definiujemy s lowo,,sztućce, możemy użyć poje cia pierwotnego,,posi lek. Nasza definicja może wówczas przyja ć forme sztućce sa to przyrza dy s luża ce do spożywania posi lku. Oczywiście moga sie tu pojawić pewne wa tpliwości. Na przyk lad, czy re ka też jest sztućcem? Osoba nie maja ca nic wspólnego z matematyka wyśmiewa zwykle tego rodzaju pytania. Dla matematyka stanowia one jednak źród lo problemu. W matematyce tworzymy definicje tak, aby tego rodzaju wa tpliwości nie by lo. Podamy teraz przyk lad definicji, która be dziemy później używać. Jest to definicja oparta na poje ciach pierwotnych zbiór i element Przyk lad. Zdefiniujemy sume zbiorów naste co: Suma zbiorów A oraz B jest to zbiór sk ladaja cy sie z tych i tylko tych elementów, które sa elementami zbioru A lub elementami zbioru B. Na pewno znajdzie sie wielu czytelników, których zdziwi nadmiar s lów w tej definicji. Po co jest tam fraza,,z tych i tylko tych? Odpowiedź: gdyby tej frazy nie by lo, natychmiast powsta loby pytanie, czy oprócz elementów zbioru A oraz zbioru B coś jeszcze może należeć do sumy. Czasami trudno jest zdefiniować pewne poje cie, używaja c do tego tylko jednego zdania. Trzymaja c sie naszych kulinarnych porównań, spróbujmy zdefiniować,,obiad. Mamy tu do dyspozycji

9 Elementy teorii matematycznych 9 poje cie pierwotne,,posi lek. Definicja Obiad jest to posi lek spożywany po po ludniu nie jest dobra, ponieważ w tym czasie możemy po prostu pić kawe i jeść pa czka, co trudno uznać za obiad. Podobnie definicja Obiad jest to posi lek sk ladaja cy sie z dwóch dań nie jest najlepsza, bo nie precyzujemy przedzia lu czasowego, kiedy te dania maja być spożyte. Dlatego, aby zdefiniować poje cie obiad, musimy użyć nie jednej w lasności, ale systemu w lasności Przyk lad: skończona geometria afiniczna. Zdefiniujemy poje cia krawe dź oraz linia. Krawe dzia nazywamy dowolny zbiór z lożony z dok ladnie dwóch punktów. Zatem krawe dź nie może zawierać wie cej niż dwa punkty. Oczywiście możemy narysować dwa punkty oraz la cza cy je odcinek i traktować te figure jako krawe dź. Jednakże żaden punkt odcinka, z wyja tkiem jego końców, nie należy do krawe dzi. Wyobraźmy sobie sytuacje, w której mamy cztery punkty, z których żadne trzy nie sa wspó lliniowe, czyli mamy sześć krawe dzi. Jeżeli oznaczymy te krawe dzie, jak opisaliśmy wyżej, to dwie z nich sie przetna. Miejsce przecie cia sie tych krawe dzi nie jest punktem. Także jeśli trzy punkty sa wspó lliniowe, to krawe dź zawieraja ca dwa skrajne punkty nie zawiera tego środkowego. Podamy teraz druga definicje. Linia o pocza tku w punkcie a oraz końcu w punkcie b nazywamy taki zbiór K krawe dzi, że A1 punkty a oraz b należa do pewnych krawe dzi k a, k b należa - cych do zbioru K; A2 jeżeli x jest punktem różnym od a i od b oraz należy on do pewnej krawe dzi k x1 należa cej do zbioru K, to istnieje krawe dź k x2 należa ca do zbioru K, która zawiera punkt x. Aby zdefiniować poje cie linia, użyliśmy nie jednej w lasności, tylko systemu w lasności. Tak zdefiniowana linie możemy interpretować jako figure z lożona z odcinków. Pamie tajmy jednak, że jeśli dwa z takich odcinków sie przetna, to miejsce przecie cia nie może być punktem Przyk lad: liczby naturalne. Zdefiniujemy liczbe 2. Liczba 2 lub dwójka nazywamy liczbe, która jest naste pnikiem jedynki. Możemy tu sie spytać, czy istnieje wie cej niż jedna dwójka. Odpowiedź na to pytanie znajdziemy w naste pnym podrozdziale.

10 10 Wste p do teorii zbiorów i kombinatoryki Aksjomat. Jest to w lasność poje cia pierwotnego lub też zdefiniowanego, przyje ta bez dowodzenia. Nikt nie ma wa tpliwości, co do tego, że czas p lynie, ale nikomu nie przyjdzie do g lowy tego udowadniać. Aksjomat cze sto nazywamy prawem. Jak wiadomo, każde prawo ma jaka ś motywacje i podobnie jest z aksjomatami. Aksjomaty określaja zarówno dobrze znane w lasności liczb (na przyk lad prawo la czności mnożenia lub prawo przemienności dodawania) czy figur geometrycznych, jak i bardziej skomplikowane w lasności obiektów spotykanych przy studiowaniu matematyki wyższej. Na przyk lad, przyjmujemy, że prosta nie ma szerokości, ale nie dowodzimy tego. Podobnie nie próbujemy udowadniać praw la czności dodawania i mnożenia liczb rzeczywistych lub praw przemienności tych dzia lań Przyk lad. Najprostszym, ale i najistotniejszym aksjomatem dla wielu teorii jest aksjomat istnienia. Zaczyna sie on od s lów istnieje przynajmniej jeden..., na przyk lad Istnieje przynajmniej jeden zbiór. lub Istnieje przynajmniej jeden punkt. By loby g lupio, gdyby elementy, na których opiera sie nasza teoria, nie istnia ly. Dlatego ich istnienie przyjmujemy,,na wiare. W teorii zbiorów za ten,,przynajmniej jeden zbiór uważamy zbiór pusty, czyli taki, który nie ma elementów. Oznaczamy go przez. Maja c już jeden zbiór, możemy zdefiniować drugi. Na przyk lad { }, co oznacza zbiór jednoelementowy, zawieraja cy zbiór pusty. Dalej definiujemy {,{ }}, {,{ },{,{ }}} i tak dalej. Jeżeli podamy definicje za pomoca systemu w lasności (jak na przyk lad definicja linii), to w lasności z tej definicji staja sie aksjomatami poje cia, które jest definiowane. I tak, A1 oraz A2, to dwa aksjomaty linii. Przyjmuja c zbiór, punkt oraz krawe dź jako poje cia pierwotne tworzymy pocza tki teorii linii, której aksjomatami sa w laśnie A1 i A2. Definicje i aksjomaty możemy wprowadzać w dowolnej chwili. Nie można jednak,,sie zape tlić, czyli w definicji powo lać sie na

11 Elementy teorii matematycznych 11 aksjomat, który jest w niej użyty. Na przyk lad, nie możemy zdefiniować powietrza jako atmosfery, która nas otacza, a naste pnie zadeklarować aksjomat,,atmosfera sk lada sie z powietrza. Aksjomaty danej teorii uk ladaja sie w system aksjomatów zwany też aksjomatyka. Aksjomatyka nie może być sprzeczna. Nie możemy zadeklarować w teorii linii aksjomatu, powiedzmy A3 Punkt a nie należy do żadnej krawe dzi należa cej do zbioru K, gdyż by loby to sprzeczne z aksjomatem A1. Matematycy unikaja też aksjomatyki zależnej, czyli takiej, gdzie pewien aksjomat wynika z pozosta lych. Na przyk lad, jeżeli dodamy do aksjomatów teorii linii aksjomat A4 Jeśli a = b, to punkt a należy do przynajmniej jednej z krawe dzi należa cych do zbioru K, to otrzymamy aksjomatyke zależna. Aksjomat A4 wynika bowiem z aksjomatu A1. Istotnie, aksjomat A1 gwarantuje istnienie przynajmniej jednej krawe dzi k a ze zbioru K, do której należy punkt a. Trzecia w lasnościa aksjomatyki jest zupe lność, której nie be - dziemy teraz omawiać, ze wzgle du na jej z lożoność i konieczność wprowadzania wielu nowych poje ć nieprzydatnych w tej chwili Przyk lad: liczby naturalne. Podamy teraz aksjomatyke liczb naturalnych. N1 Istnieje jedynka, która jest liczba. N2 Jedynka nie jest naste pnikiem żadnej liczby. N3 Dla każdej liczby n istnieje dok ladnie jedna liczba m, która jest naste pnikiem n. N4 Jeżeli m jest naste pnikiem liczby n oraz m jest naste pnikiem liczby k, to n = k. N5 Jeżeli A jest zbiorem sk ladaja cym sie z liczb, który spe lnia aksjomaty N1 N4, takim że 1 0 jedynka należy do A; 2 0 dla każdej liczby n, jeśli n należy do A, a m jest naste pnikiem n, to m również należy do A, to każda liczba należy do A. Ostatni z aksjomatów nazywamy zasada indukcji matematycznej. Każdy zbiór, spe lniaja cy wszystkie pie ć aksjomatów, nazywamy zbiorem liczb naturalnych. Oczywiście, dobrze nam znany

12 12 Wste p do teorii zbiorów i kombinatoryki zbiór {1, 2, 3,...} jest zbiorem spe lniaja cym N1 N5, czyli jest zbiorem liczb naturalnych. Ale także zbiory {0, 1, 2, 3,...} oraz {0, 2, 4, 6,...} sa zbiorami liczb naturalnych. Nawia zuja c do problemu postawionego w poprzednim podrozdziale, zauważmy, że aksjomat N3 mówi, iż istnieje dok ladnie jedna dwójka. Pewnik. Jest to w lasność, której nie dowodzimy, lecz jest ona (być może w danej chwili) zbyt skomplikowana, by być aksjomatem. Może to też być w lasność, która podejrzewamy, że jest zależna od pozosta lych aksjomatów, nie możemy jednak tego udowodnić. W historii matematyki da ly o sobie znać dwa s lynne pewniki Przyk lad. Pewnik Euklidesa: Jeżeli dana jest prosta l oraz punkt P poza prosta l, to przez P przechodzi dok ladnie jedna prosta równoleg la do l. Pewnik ten nie dawa l spać matematykom od czasów starożytnych, aż do XVIII wieku, kiedy udowodniono, że jest on niezależny od czterech pozosta lych aksjomatów Euklidesa Przyk lad. Pewnik wyboru. Zdefiniujmy najpierw rodzine zbiorów jako zbiór, którego elementami sa zbiory. Pewnik wyboru brzmi naste co: Istnieje zbiór X, który ma dok ladnie jeden element wspólny z każdym zbiorem danej rodziny. Inaczej, na zbiór X sk ladaja sie po jednym elemencie wszystkie zbiory rodziny. Treść pewnika wyboru wydaje sie tak naturalna, że nikt nie waha lby sie nazwać go aksjomatem. Okazuje sie jednak, że przyje cie go jako aksjomatu teorii zbiorów prowadzi do wielu paradoksów. Najbardziej znanym jest twierdzenie, że każda kule można podzielić na dwie kule o identycznej obje tości co pierwotna kula. Z tego powodu niektórzy matematycy unikaja pewnika wyboru i każde twierdzenie, którego dowód opiera sie na tym pewniku, oznaczaja w pewien szczególny sposób. Najcze ściej jest to gwiazdka lub litery AC. Twierdzenie. Jest to w lasność wynikaja ca z definicji lub aksjomatów. Ze wzgle du na treść lub znaczenie, twierdzenia nazywamy czasem zadaniami, stwierdzeniami, spostrzeżeniami, problemami, ćwiczeniami, wnioskami, regu lami, formu lami, wzorami

13 Elementy teorii matematycznych 13 lub lematami. Pierwsze trzy terminy określaja latwe lub ma lo istotne twierdzenie. Terminem ćwiczenie jest zwykle określane latwe zadanie, a terminem problem trudne. Wniosek jest to w lasność, która nie jest trudna do zauważenia i która wynika z ogólnego twierdzenia lub jego dowodu. Naste pne trzy terminy oznaczaja twierdzenia, których tezy sa zapisane w postaci równości lub nierówności. Dodatkowo jeszcze, za lożenia sa tak proste i oczywiste, że sie je pomija. Lemat jest to twierdzenie pomocnicze lub twierdzenie, które jest używane w różnych dzia lach matematyki w dowodach wielu donios lych twierdzeń. Hipoteza. Jest to w lasność zbyt skomplikowana, by być aksjomatem ba dź pewnikiem i nie zosta la jeszcze udowodniona. Jeżeli ktoś udowodni hipoteze, staje sie ona twierdzeniem. Można też pokazać, że danej hipotezy nie można udowodnić, maja c do dyspozycji dany system aksjomatów. Wówczas mówimy, że hipoteza jest niezależna od systemu aksjomatów i możemy ja do la czyć jako kolejny aksjomat. Problemy do dyskusji P 1.1. W czym tkwi istota b le du w przedstawionych definicjach? (a) Równoleg lobok jest wieloka tem, którego przeciwleg le boki sa parami równoleg le. (b) Równoleg lobok jest czworoka tem, którego wszystkie boki sa równe i równoleg le. (c) Proste sa równoleg le, jeśli nie maja punktu wspólnego. (d) Prostoka t jest czworoka tem o równych przeka tnych. (e) Ostros lup nazywamy prawid lowym, jeśli jego podstawa jest wieloka t foremny. P 1.2. Rozważmy naste ca sytuacje z przyk ladu 1.4. Przyjmijmy, że wszystkich punktów jest dok ladnie trzy (możemy to traktować jako aksjomat). Ile jest krawe dzi? P 1.3. Zróbmy serie zadań podobnych do P1.2, zmieniaja c nasze za lożenie, tj. zamiast trzech punktów deklarujemy 4, 5,..., n punktów. Ile jest wówczas krawe dzi? Ile linii zawieraja cych dok- ladnie trzy punkty można utworzyć?

14 14 Wste p do teorii zbiorów i kombinatoryki P 1.4. Rozważmy aksjomatyke liczb naturalnych z przyk ladu 1.7. Które z poniższych zbiorów spe lniaja aksjomaty N1 N5, czyli które z nich sa zbiorami liczb naturalnych? A = zbiór liczb parzystych wie kszych od zera, czyli liczb 2, 4, 6, B = zbiór liczb postaci n, gdzie n przybiera kolejne wartości 1, 2, 3,... C = zbiór liczb ujemnych 1, 2,... D = zbiór sk ladaja cy sie ze wszystkich liczb postaci 1 1 n, gdzie n przybiera kolejne wartości 1, 2, 3,..., oraz z liczby 1. Wskaż też jedynki we wszystkich tych zbiorach, które spe lniaja aksjomaty N1 N5. Przyjmujemy, że naste pnikiem danej liczby jest liczba, która znajduje sie w opisie zbioru tuż za nia, na przyk lad w zbiorze C naste pnikiem 1 3 jest 1 4, a naste pnikiem w zbiorze D jest Zadania do samodzielnego rozwia zania Z 1.1. W czym tkwi istota b le du w naste cych definicjach? (a) Równoleg lobok jest czworoka tem, którego dwa przeciwleg le boki sa równoleg le. (b) Kwadrat jest czworoka tem, którego wszystkie boki sa równe. (c) Prostoka t jest wieloka tem o równych ka tach. (d) Graniastos lup nazywamy prawid lowym, jeśli jego wysokość jest prostopad la do podstawy. (e) Wieloka ty nazywamy podobnymi, jeśli maja podobny kszta lt. (f) Trójka ty nazywamy jednok ladnymi, jeśli ich wierzcho lki leża na tych samych prostych. Z 1.2. Kiedy chcemy rozwia zać jakikolwiek problem, musimy zawsze wiedzieć dwie rzeczy: co jest dane, czyli co wiemy, oraz co jest szukane, czyli czego nie wiemy. W matematyce na wyższym poziomie problemy sa sformu lowane w postaci twierdzeń lub hipotez. To co jest dane nazywamy za lożeniem, a to co szukane, nazywamy teza. Zwykle twierdzenie sformu lowane jest w sposób: Jeżeli (tu naste puje za lożenie), to (tu naste puje teza). Cze sto jednak ta forma sformu lowania twierdzenia jest zaste powana inna,

15 Elementy teorii matematycznych 15 (a) (b) (c) (d) (e) (f) Plansza 1.

16 16 Wste p do teorii zbiorów i kombinatoryki prostsza w wypowiedzeniu, jednakże w sensie je zykowym mówia ca to samo, co forma,,klasyczna. W naste cych twierdzeniach wskaż za lożenie oraz teze : (a) Jeżeli proste sa równoleg le, to każda p laszczyzna przecinaja ca jedna z nich przecina też druga. (b) Każda liczba ca lkowita podzielna przez 15 dzieli sie przez 3 oraz przez 5. (c) Istnieje liczba ca lkowita podzielna przez 24. (d) Suma ka tów w trójka cie wynosi (e) Warunkiem koniecznym, aby ostros lup by l prawid lowy, jest foremność jego podstawy. (f) Podzielność przez 4 jest warunkiem wystarczaja cym do podzielności przez dwa. Z 1.3. Rozważmy naste ca sytuacje z przyk ladu 1.4. Przyjmijmy, że wszystkich punktów jest dok ladnie cztery (możemy to traktować jako aksjomat). Zdefiniujmy trójka t jako dowolny zbiór, do którego należa dok ladnie trzy punkty. Ile jest wszystkich trójka tów? Z 1.4. Przyjmijmy w poprzednim zadaniu, że wszystkich punktów jest dok ladnie n. Zdefiniujmy m-mnogość jako dowolny zbiór, do którego należy przynajmniej m punktów. Ile jest wszystkich mnogości? Z 1.5. Które zbiory krawe dzi przedstawione na Planszy 1 sa liniami (w sensie definicji z przyk ladu 1.4)? Wskaż pocza tek oraz koniec każdej z linii. Z 1.6. Czy zbiór, posiadaja cy tylko skończona liczbe elementów, może być zbiorem liczb naturalnych?

17 2. Zasada indukcji matematycznej Cze sto spotykamy sie z sytuacja, w której, aby rozwia zać problem, musimy wykonać wiele czynności nierzadko podobnych do siebie. Zazwyczaj mówimy wtedy, że najtrudniej jest zacza ć, a później to już idzie. Przypuśćmy, na przyk lad, że trzeba wype lnić kilkanaście deklaracji podatkowych i sa to deklaracje tego samego typu, ale za każdym razem trzeba wpisać inne dane. Na pewno pierwsza z nich sprawi nam najwie cej k lopotu, a siedemnasta czy osiemnasta nie be dzie już trudna do wype lnienia. Sytuacje tego rodzaju zdarzaja sie też i w matematyce. Zwróćmy uwage na definicje dwójki (przyk lad 1.5): 2 jest to liczba, która jest naste pnikiem 1. Zapewne definicja trójki i czwórki nie sprawi nikomu k lopotu: wiemy co to jest 2, wie c 3 definiujemy jako liczbe, która jest naste pnikiem 2. A skoro wiemy już co to jest 3, to 4 definiujemy jako liczbe, która jest naste pnikiem 3. I tak dalej. Zdefiniowanie liczby 174 by loby pewnie k lopotliwe, ze wzgle du na duża ilość pisania, ale możemy sprawe uprościć, używaja c zwrotu przypuśćmy, że wszystkie liczby od 1 do 173 zosta ly zdefiniowane. Po tym zdaniu możemy już bez przeszkód zdefiniować 174 jako liczbe, która jest naste pnikiem 173. Używaja c tego sposobu (zwanego indukcja matematyczna ), możemy zdefiniować każda liczbe naturalna. Indukcja matematyczna jest to metoda zarówno dowodzenia twierdzeń, jak i formu lowania definicji oparta na aksjomacie N5 z przyk ladu 1.7. Przypomnijmy treść tego aksjomatu. Jeżeli A jest zbiorem sk ladaja cym sie z liczb, który spe lnia aksjomaty N1 N4, takim że 1 0 jedynka należy do A, 2 0 dla każdej liczby n, jeśli n należy do A, oraz m jest naste pnikiem n, to m również należy do A, to każda liczba należy do A. Ta postać aksjomatu nie jest zbyt,,pore czna i dlatego zwykle podaje sie ja w innej formie. Przede wszystkim, przez zbiór liczb naturalnych rozumie sie zwykle zbiór N = {1, 2, 3,...} lub zbiór {0, 1, 2,...}, a aksjomaty N1 N4 spe lnia też wiele innych zbiorów. Dlatego musimy jasno określić klase zbiorów, dla których

18 18 Wste p do teorii zbiorów i kombinatoryki możemy zastosować zasade indukcji matematycznej i nie możemy tych zbiorów nazywać zbiorami liczb naturalnych, gdyż k lóci loby sie to z ogólnym poje ciem tego zbioru. Ustalmy wie c, że od tej pory przez N be dziemy oznaczać zbiór {1, 2, 3,...} i be dziemy go nazywać zbiorem liczb naturalnych. Zdefinujmy jeszcze zbiór liczb ca lkowitych Z jako zbiór {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2,...}. Zauważmy, że każda liczba naturalna jest też liczba ca lkowita. Przyjmijmy teraz, że terminem zdanie be dziemy określać takie zdanie w sensie gramatyki, któremu można przypisać prawde albo fa lsz. Możemy teraz sformu lować zasade indukcji matematycznej w takiej formie, jakiej be dziemy używać Zasada indukcji matematycznej (ZIM). Niech T (n) be dzie pewnym twierdzeniem dotycza cym liczby ca lkowitej n. Jeżeli 1 0 T (m 0 ) jest zdaniem prawdziwym, gdzie m 0 jest pewna ustalona liczba ca lkowita, 2 0 z prawdziwości zdań T (k), gdzie m 0 k m, wynika prawdziwość zdania T (m + 1), to zdanie T (n) jest prawdziwe dla każdej liczby ca lkowitej n m 0. Aby użyć zasade indukcji matematycznej, musimy wie c sprawdzić dwa warunki, a naste pnie wysnuć odpowiedni wniosek. Poniższe dwa przyk lady pokaża, że obydwa warunki sa istotne Przyk lad.,,pokażemy, że każda liczba naturalna postaci 3k + 2 (gdzie k jest liczba naturalna ) dzieli sie przez trzy. Pomijaja c warunek 1 0, zak ladamy, że dla wszyskich liczb k mniejszych lub równych m, liczby postaci 3k + 2 dziela sie przez 3. Rozważmy liczbe 3(m + 1) + 2 = (3m + 2) + 3. Ponieważ 3m+2 dzieli sie przez trzy, wie c istnieje liczba naturalna a, taka że 3a = 3m + 2. Ale wówczas 3(a + 1) = (3m + 2) + 3, wie c 3 dzieli liczbe 3(m + 1) + 2. Zatem warunek 2 0 jest spe lniony. To co,,pokazaliśmy jest oczywistym fa lszem, ponieważ 3 nie dzieli liczby 5, chociaż 5 = B la d wynik l z faktu, że nie sprawdziliśmy warunku 1 0.

19 Zasada indukcji matematycznej Przyk lad.,,pokażemy, że 5207 jest liczba pierwsza, czyli, że jedynymi liczbami naturalnymi, które dziela liczbe 5207, sa 1 oraz W tym celu dzielimy 5207 przez 2. Stwierdzamy, że dana liczba nie jest dzielnikiem liczby Mamy zatem sprawdzony warunek 1 0 zasady indukcji matematycznej. Warunku 2 0 nie uda nam sie sprawdzić, bo 41 jest dzielnikiem Zatem zdanie,,5207 jest liczba pierwsza jest fa lszywe. Przytoczymy teraz kilka przyk ladów prawid lowego użycia ZIM Przyk lad. Pokażemy, że n 3 = n2 (n + 1) 2. (2.1) 4 Ta w lasność bezpośrednio dotyczy liczb naturalnych. Sprawdzamy warunek 1 0, czyli za n podstawiamy 1. W zwia zku z tym lewa strona wzoru 2.1 ma tylko jeden sk ladnik, 1 3. Tak wie c lewa strona jest równa 1, a prawa = 1. Aby sprawdzić warunek 2 0, zak ladamy, że k 3 = k2 (k + 1) 2 dla wszystkich liczb 1 k m i pokazujemy, że 4 (2.2) m 3 + (m + 1) 3 = (m + 1)2 (m + 2) 2. (2.3) 4 Mamy z za lożenia, że m 3 + (m + 1) 3 = m2 (m + 1) (m + 1) 3. (2.4) Rozwijaja c prawa strone (2.4), a naste pnie zamieniaja c ja na iloczyn, otrzymujemy prawa strone (2.3). Zatem na podstawie ZIM stwierdzamy, że wzór (2.1) jest prawdziwy dla każdej liczby naturalnej n. Zdanie dotycza ce liczby ca lkowitej n nie znaczy wcale, że twierdzenie musi koniecznie mówić o liczbach ca lkowitych. Wystarczy, że liczby ca lkowite sa w jakiś sposób użyte. Można ich, na przyk lad, użyć do numerowania wyrazów cia gu.

20 20 Wste p do teorii zbiorów i kombinatoryki 2.5. Przyk lad. Udowodnimy, że cia g 2, 2 + 2, , ,... (2.5) jest ograniczony od góry liczba 2. Aby sprawdzić warunek 1 0, wystarczy jedynie zauważyć, że 2 < 2. Sprawdzenie warunku 2 0 jest nieco trudniejsze. Niech a n be dzie n-tym wyrazem cia gu (2.5). Zak ladamy, że a k < 2 i pokażemy, że a k+1 < 2. Zauważmy, że a k+1 = 2 + a k. Sta d a k+1 < = 2. Zatem ma mocy ZIM, a n < 2 dla każdego n. Problemy do dyskusji P 2.1. Wykaż, że dla n 2 siedem jest ostatnia cyfra liczby 2 2n +1. Liczby postaci 2 2n +1, gdzie n jest liczba naturalna wie ksza od 1, nazywamy liczbami Fermata. P 2.2. Oznaczmy przez i=1 i=1 n a i sume a 1 +a 2 + +a n. Używaja c indukcji matematycznej, pokaż, że n 1 (a) i(i + 1) = n n + 1, (b) (c) n j=1 1 (4 + j)(5 + j) = n 5(5 + n), n (2k 1) = n 2. k=1 P 2.3. Pokaż, że dla dowolnej liczby naturalnej n > 3 zachodzi nierówność n! > n 2. P 2.4. Dla jakich liczb naturalnych prawdziwe sa naste ce nierówności (a) 2n + 1 < 2 n, (b) n 3 < 2 n, (c) 3 n < n 2 + 2n 4?

21 Zasada indukcji matematycznej 21 P 2.5. Pokaż, że dla dowolnej liczby naturalnej n oraz dla każdej liczby rzeczywistej x > 1 zachodzi (1 + x) n 1 + nx. Nierówność te nazywamy nierównościa Bernoulli ego. 2, P 2.6. Pokaż, że każdy wyraz cia gu 2 + 2, , jest mniejszy od naste pnego wyrazu Zadania do samodzielnego rozwia zania Z 2.1. Udowodnij indukcyjnie nierówności (a) 2 n > n 2, dla dowolnego n > 4, (b) n! < ( ) n+1 n 2, dla dowolnego n > ,... Z 2.2. Pokaż, że 3 n 3 n, 5 n 5 n, 7 n 7 n. Czy prawdziwe jest twierdzenie: k n k n dla dowolnej nieparzystej liczby naturalnej k? Z 2.3. Udowodnij naste ce w lasności znaku (zobacz zadanie P2.2). n n n 1 (a) a i = a i + a 1 = a i + a n, (b) (c) (d) (e) i=1 i=2 n ka i = k i=1 n a i, i=1 n (a i + b i ) = i=1 n a = na, i=1 n log a i = log i=1 n a i + i=1 i=1 n b i, i=1 n a i, gdzie i=1 n a i = a 1 a 2... a n. i=1

22 22 Wste p do teorii zbiorów i kombinatoryki Z 2.4. Pokaż, że n (a) i 2 n(n + 1)(2n + 1) =, 6 i=1 n (b) i i! = (n + 1)! 1, i=1 n 1 (c) x n 1 = (x 1) x j. j=0 Z 2.5. Napisz kilka pierwszych wyrazów cia gu określonego przez a 1 = 3, a n+1 = 3 + a n, a naste pnie pokaż, że cia g ten jest rosna cy (czyli każdy naste pny wyraz jest wie kszy od poprzedniego) oraz ograniczony z góry liczba 3.

23 3. Rachunek zdań W tym rozdziale zajmiemy sie podstawami logiki matematycznej. Zgodnie z zasada, że,,oczywiste jest najtrudniejsze, logika jest tak skomplikowanym dzia lem matematyki, że nie be dziemy nawet próbowali nauczyć sie ca lej teorii, a zadowolimy sie tylko jej,,liźnie ciem, ograniczaja c sie ca lkowicie do rachunku zdań. Już samo sformu lowanie aksjomatów logiki stwarza wiele problemów. Nie be dziemy wie c próbowali formalizować tej teorii. Wszystkie poje cia, które sie pojawia, zostana jednakże dok ladnie zdefiniowane. Oczywiście, zrobimy tu wyja tek dla poje ć i twierdzeń znanych przez nas z kursów szko ly podstawowej i średniej. Zdania. Poje cie zdania w logice ma inny sens niż w gramatyce. Zdaniem w sensie logiki nazywamy takie zdanie w sensie gramatyki, któremu można przypisać jedna z dwóch wartości logicznych prawde lub fa lsz. Tak wie c zdaniami dla nas be da tylko zdania oznajmuja ce.,,podnieść re ce do góry! lub,,która teraz jest godzina? sa poprawnymi zdaniami w je zyku polskim, jednak nie można im przypisać żadnej wartości logicznej. Dlatego nie sa to zdania w sensie logicznym. Zdania,,Na dworze leje oraz,,warszawa jest stolica Francji sa zdaniami w sensie logicznym. W matematyce cze sto spotykamy zdania zapisane za pomoca symboli. Na przyk lad,,, 5 < 1 lub,, a,b (a + b)2 = a 2 + 2ab + b 2. W naszych rozważaniach be dziemy oznaczać zdania pojedynczymi literami p, q, r itd. lub też zespo lem liter i znaków. Wartości logiczne prawda i fa lsz oznaczymy odpowiednio przez 1 i 0. Fakt, że zdanie p ma wartość logiczna x zapisujemy w(p) = x. Na przyk lad w(5 < 1) = 0. Za lóżmy, że dany jest niepusty zbiór X. Dowolny sposób tworzenia zdania, w którym wyste puje jedna lub wie cej zmiennych przebiegaja cych zbiór X, nazywamy forma zdaniowa (jednej lub wielu zmiennych). Zbiór X nazywamy dziedzina tej formy zdaniowej. Na przyk lad, jeżeli X jest zbiorem wszystkich miast świata, to schemat,, x jest stolica Polski (x X) jest forma zdaniowa. Zauważmy, że forma zdaniowa staje sie zdaniem, jeśli zmienna zasta pimy przez konkretny element z jej dzie-

24 24 Wste p do teorii zbiorów i kombinatoryki dziny. Używaja c powyższej formy zdaniowej, możemy zatem utworzyć zdania:,,warszawa jest stolica Polski,,,Paryż jest stolica Polski,,,Borne Sulinowo jest stolica Polski i wiele innych. Podobnie, jeśli za X weźmiemy zbiór liczb rzeczywistych R, to 2x + 3 < 7 oraz 3x 2 y = z sa formami zdaniowymi, odpowiednio, jednej i trzech zmiennych. Funktory zdaniotwórcze. W każdym je zyku świata tworzymy nowe zdania wykorzystuja c zdania już u lożone. W je zyku polskim używamy cze sto partyku ly nie oraz spójników i, lub. Zasada tworzenia zdań z lożonych ze zdań prostych ma swe uogólnienie w matematyce. Regu ly tworzenia (przekszta lcania) zdań (zdania) w zdanie nazywamy funktorami zdaniotwórczymi. Zajmiemy sie najpierw funktorami jednej zmiennej, czyli takimi, które przekszta lcaja jedno zdanie. Niech p be dzie naszym zdaniem. Oznaczmy przez & i p przekszta lcone zdanie p. Z dok ladnościa do wartości logicznej otrzymujemy cztery możliwe klasy funktorów zdaniotwórczych: p & 1 p & 2 p & 3 p & 4 p Funktory & i możemy definiować na wiele różnych sposobów, jednak gdy porównamy możliwe wartości logiczne otrzymanego zdania w stosunku do wartości logicznych zdania pierwotnego okaże sie, że nasz funktor należy do którejś z powyższych klas. Spośród wymienionych klas funktorów jednej zmiennej najcze ściej używamy funktorów ostatniej klasy, a najcze ściej wykorzystywanym funktorem z tej klasy jest taki, który zdanie p przekszta lca w,,nieprawda, że p. Nazywa sie go funktorem negacji lub negacja i oznacza przez. Istnieje 16 klas funktorów dwóch zmiennych. Spośród tych szesnastu klas zajmiemy sie tylko czterema i wspomnimy dalsze

25 Rachunek zdań 25 trzy, które zrobi ly furore w zwia zku z rozwojem techniki komputerowej. Wartości logiczne wspomnianych siedmiu klas określa poniższa tabela. p q p q p q p q p q p albo q p NOR q p NAND q Cztery pierwsze funktory zdaniotwórcze wyróżnione w tabeli nazywaja sie, odpowiednio, alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważnościa. Pozosta le to alternatywa wy la czna, jednoczesne zaprzeczenie oraz dyzjunkcja, jednakże cze ściej nazywa sie je funktorami albo, NOR i NAND. Alternatywa oraz koniunkcja sa rozumiane dok ladnie tak, jak w życiu codziennym. Nie powinniśmy wie c mieć trudności z ich zrozumieniem. Zatrzymajmy sie na d lużej przy implikacji. Zdanie p q odczytujemy na kilka sposobów. Najpopularniejszymi sposobami sa,,jeśli p to q,,, p implikuje q,,,z p wynika q,,, p jest warunkiem dostatecznym aby q oraz,, q jest warunkiem koniecznym na to, aby p. Tak wie c mamy tu przynajmniej cztery funktory reprezentuja ce klase funktorów implikacji. Zauważmy, że jeżeli w(p) = 0, to w(p q) = 1 bez wzgle du na wartość logiczna zdania q! Zatem zdanie,,jeśli 2 = 1, to ja jestem Papieżem jest prawdziwe. Podobnie, jeżeli w(q) = 1, to w(p q) = 1 bez wzgle du na wartość logiczna zdania p. Wynika sta d, że zdanie,,śledź ma uszy, implikuje Szczecin leży nad Odra jest jak najbardziej prawdziwe. Innym sposobem rozumienia implikacji sa sposoby odczytu typu,,warunek konieczny i,,warunek dostateczny lub,,wystarczaja cy. Przy prawdziwej implikacji p q, prawdziwość p wystarcza, aby i q by lo prawdziwe, natomiast prawdziwość q jest konieczna, aby p by lo prawdziwe Przyk lad. Oznaczmy przez a b fakt, że b jest podzielne przez a. Rozważmy zdanie,, 4 x 2 x. Zauważmy, że do podzielności przez 2 wystarczy podzielność przez 4, ale podzielność przez 4 nie jest do tego konieczna, gdyż liczba x może sie dzielić

26 26 Wste p do teorii zbiorów i kombinatoryki przez dwa także wtedy, gdy nie dzieli sie przez 4. Na pewno jednak podzielność x przez 2 jest konieczna, aby x dzieli lo sie przez 4. Funktor równoważności odczytujemy jako,, p jest równoważne q,,, p wtedy i tylko wtedy, gdy q lub,, p jest warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, aby q. Równoważność rozumiemy jako,,to samo, tzn. zdanie po lewej stronie znaku oznacza to samo, co zdanie po prawej stronie tego znaku. Można ja też rozumieć jako koniunkcje (p q) (q p) dwóch implikacji. Podrozdzia l ten zakończymy uwaga, że każdy funktor zdaniotwórczy można utworzyć za pomoca funktorów negacji, alternatywy i koniunkcji. Przy projektowaniu uk ladów scalonych oraz sieci logicznych powszechnie wykorzystuje sie fakt, że każdy funktor można utworzyć za pomoca funktora NAND lub funktora NOR. Prawa rachunku zdań. Utworzone za pomoca funktorów zdaniotwórczych zdanie, które jest zawsze prawdziwe, nazywamy tautologia. Podamy tu kilkadziesia t tautologii, które be dziemy używać przy różnych okazjach. Każda z nich jest twierdzeniem w teorii rachunku zdań. Dowody tych twierdzeń polegaja na sprawdzeniu, że dla dowolnych wartości logicznych zdań sk ladowych, tautologia jest zawsze prawdziwa, tj. ma wartość logiczna 1. T1. p p, T2. p p, T3. ( p) p (prawo podwójnego przeczenia), T4. (p p) (prawo sprzeczności), T5. p p (prawo wy la czonego środka), T6. (p p) p, T7. (p p) p, T8. p (p q), T9. (p q) ( p q) (prawo transpozycji), T10. (p q) ( p q), T11. ((p q) r) (p (q r)), T12. (p q) ( p q), T13. (p q) ( p q), T14. (p q) ((q r) (p r)),

27 Rachunek zdań 27 T15. (p q) (p q), T16. (p q) ((p q) (p q)), T17. (p q) (q p), T18. (p q) p, T19. (p q) (q p), T20. p (p q), T21. (p (q r)) ((p q) r), T22. (p (q r)) ((p q) r), T23. (p (q r)) ((p q) (p r)), T24. (p (q r)) ((p q) (p r)), T25. (p q) ( q p), T26. ( q (s s)) q, T27. (p q) ((p q) q), T28. (p q) (((p q) r) r), T29. ((p q) (q r)) (p r), T30. ((p q) (q p)) (p q). Wprowadzaja c oznaczenie P dla zdania zawsze prawdziwego oraz F dla zdania zawsze fa lszywego, do wymienionych tautologii możemy jeszcze dodać naste ce dwie: T31. (p F ) p, T32. (p P ) p. Wiele z tych tautologii ma swoje nazwy. Na przyk lad, tautologie T17 oraz T19 nazywamy prawami przemienności, odpowiednio, koniunkcji i alternatywy. Natomiast tautologie T12 oraz T13 nazywaja sie prawami de Morgana dla rachunku zdań. Obok niektórych praw podaliśmy ich tradycyjne nazwy w nawiasach. Wykonuja c obliczenia numeryczne, zawsze kierujemy sie pewna kolejnościa wykonywania operacji. Wiadomo, że najpierw wykonujemy dzia lania w nawiasie, naste pnie mnożenie lub dzielenie, a potem dodawanie i odejmowanie. Pomieszanie kolejności tych dzia lań prowadzi zwykle do nieporozumień. Na przyk lad: = 3, a nie 11. Liczbe 11 otrzymamy w wyniku obliczenia

28 28 Wste p do teorii zbiorów i kombinatoryki (4 2) W logice wyste puje wiele analogii do dzia lań oraz relacji arytmetycznych. Cze sto stosujemy te analogie, jeśli nie jesteśmy pewni wartości logicznej zdania. I tak, alternatywe możemy skojarzyć z dodawaniem, a koniunkcje z mnożeniem. Implikacje kojarzymy z relacja mniejszości, a równoważność z relacja równości =. Również w sprawie pierwszeństwa dzia lań wykorzystywana jest ta analogia najpierw rozważamy negacje, potem koniunkcje, naste pnie alternatywe, a na końcu implikacje i równoważność. Tautologie T25, na przyk lad, możemy zapisać nie używaja c nawiasów: p q q p. Problemy do dyskusji P 3.1. Użyj różnych metod do sprawdzenia tautologii T1 T32. P 3.2. Która z podanych niżej informacji pozwala ustalić wartość logiczna zdania oznaczonego litera p? (a) p tworzy fa lszywa koniunkcje z dowolnym zdaniem, (b) p tworzy prawdziwa koniunkcje z pewnym zdaniem, (c) p tworzy prawdziwa alternatywe z pewnym zdaniem, (d) p tworzy fa lszywa alternatywe z dowolnym zdaniem, (e) implikacja, której p jest poprzednikiem jest zawsze fa lszywa, (f) implikacja, której p jest poprzednikiem jest prawdziwa dla pewnego naste pnika q, (g) implikacja, której p jest naste pnikiem jest prawdziwa dla pewnego poprzednika q. P 3.3. Za lóżmy, że implikacja dwóch zdań jest prawdziwa. Co możemy powiedzieć na temat alternatywy (koniunkcji) tych zdań? P 3.4. Pokaż, że jeżeli równoważność dwóch zdań jest prawdziwa, to także ich implikacja jest prawdziwa.

29 Rachunek zdań 29 P 3.5. Przedstaw (a) alternatywe dwóch zdań za pomoca koniunkcji i negacji, (b) implikacje za pomoca alternatywy i negacji, (c) koniunkcje za pomoca implikacji i negacji. Zadania do samodzielnego rozwia zania Z 3.1. Udowodnij kilka tautologii spośród T1 T32. Z 3.2. W podanych zdaniach z lożonych wyodre bnij przynajmniej trzy zdania proste, oznaczaja c je pojedynczymi literami, a naste pnie napisz je za pomoca wprowadzonych oznaczeń i odpowiednich funktorów zdaniotwórczych. (a) Jeżeli podstawa ostros lupa jest wieloka t foremny i wysokość przechodzi przez środek podstawy lub ka ty dwuścienne przy podstawie sa równe, to ostros lup jest prawid lowy. (b) Jeżeli podstawa ostros lupa jest trójka t prostoka tny, to ściana boczna przechodza ca przez przeciwprostoka tna jest prostopad la do p laszczyzny podstawy wtedy i tylko wtedy, gdy wysokość ostros lupa przechodzi przez środek przeciwprostoka tnej. (c) Jeżeli liczba jest ca lkowita lub wyraża sie za pomoca u lamka zwyk lego lub za pomoca skończonego rozwinie cia dziesie tnego, to liczba ta może być wyrażona za pomoca nieskończonego okresowego rozwinie cia dziesie tnego. (d) Jeżeli prosta a jest równoleg la do prostej b i prosta b należy do p laszczyzny π, to prosta a jest równoleg la do p laszczyzny π lub należy do p laszczyzny π. Z 3.3. Która z podanych niżej informacji pozwala ustalić wartość logiczna zdania oznaczonego litera p? (a) p tworzy fa lszywa koniunkcje z pewnym zdaniem, (b) p tworzy prawdziwa koniunkcje z dowolnym zdaniem, (c) p tworzy prawdziwa alternatywe z dowolnym zdaniem, (d) p tworzy fa lszywa alternatywe z pewnym zdaniem, (e) implikacja, której p jest poprzednikiem jest zawsze prawdziwa, (f) implikacja, której p jest naste pnikiem jest zawsze prawdziwa,

30 30 Wste p do teorii zbiorów i kombinatoryki (g) implikacja, której p jest naste pnikiem jest zawsze fa lszywa, (h) równoważność, w której wyste puje p jest zawsze prawdziwa, (i) równoważność, w której wyste puje p jest zawsze fa lszywa, (j) równoważność, w której wyste puje p jest prawdziwa dla pewnego zdania q, (k) równoważność, w której wyste puje p jest fa lszywa dla pewnego zdania q. Z 3.4. Zdanie 3 < 0 2 przedstaw jako koniunkcje zdań, z których jedno jest alternatywa. dwóch Z 3.5. Podaj przyk lad dwóch zdań p i q takich, że (a) zdanie p q jest fa lszywe, (b) zdania p q oraz p q sa prawdziwe. Z 3.6. Udowodnij, że jeżeli alternatywa dwóch zdań jest fa lszywa, to także ich koniunkcja jest fa lszywa. Z 3.7. Udowodnij, że jeżeli koniunkcja dwóch zdań jest prawdziwa, to ich równoważność też jest prawdziwa. Z 3.8. Przedstaw (a) implikacje za pomoca koniunkcji i negacji, (b) koniunkcje za pomoca alternatywy i negacji, (c) równoważność dwóch zdań za pomoca funktorów implikacji i koniunkcji. Z 3.9. Stosuja c metode,,nie wprost dowodzenia tautologii, sprawdź, czy podane zdania sa tautologiami. (a) ((p q) p) q, (b) (p q) (p (q r)), (c) ((p q) (p q)) (q p), (d) (p ( p q)), (e) ((p q) (r s)) ((p r) (q s)).

31 Rachunek zdań 31 Z Kontrtautologia nazywamy zdanie, które jest zawsze fa lszywe. Zbadaj, które z poniższych zdań sa kontrtautologiami. (a) (p q) (p q), (b) (p q) (p q), (c) ((p q) (q p)), (d) (p q) ( p q), (e) (p q) ( p q), (f) (p q) (p q).

32 4. Niektóre zastosowania rachunku zdań Logika matematyczna oraz rachunek zdań maja wiele zastosowań i to nie tylko w matematyce. Jeżeli chodzi o sama matematyke, to rachunek zdań spotykamy tu dos lownie na każdym kroku, cze sto nie zdaja c sobie nawet z tego sprawy. W tym rozdziale zajmiemy sie tylko tymi zastosowaniami, które pozwola nam lepiej zrozumieć niniejszy skrypt. Dedukcja. Prowadza c jakiekolwiek rozumowanie, cze sto używamy s lów wie c, zatem, sta d itd. Każde z tych s lów oznacza implikacje. Istotnie, w rozumowaniu opieramy sie na pewnych za- lożeniach. Wykorzystuja c te za lożenia oraz znane już fakty, wyprowadzamy wnioski, które możemy wykorzystać w po la czeniu z innymi faktami oraz innymi za lożeniami, a to pozwala na wyprowadzenie nowych wniosków. Po jakimś czasie wysnuwamy ostateczny wniosek, który jest nasza teza. Dla przyk ladu rozważmy naste ce twierdzenie Twierdzenie. Jeżeli zachodzi równanie tg(α + β) = 3tgα, to zachodzi także równanie sin β = 2 sin α cos(α + β). Dowód: Jeżeli tg(α + β) = 3tgα, to tg(α + β) tgα = 2tgα. Sta d wynika, że sin β cos(α + β) cos α = 2 sin α cos α. Z ostatniego mamy natychmiast teze. W twierdzeniu 4.1 mamy za lożenie p =,, tg(α + β) = 3tgα. Po przeniesieniu wyrażenia tgα na lewa strone otrzymujemy zdanie q =,,tg(α + β) tgα = 2tgα. Mamy zatem implikacje p q, a zdanie q jest pierwszym wnioskiem dedukcyjnym. W dalszej cze ści dowodu wykorzystujemy definicje funkcji tg, czyli forme zdaniowa φ(x) =,,tgx = sin x cos x. Potrzebny nam jeszcze be dzie pewien fakt z teorii funkcji trygonometrycznych, czyli zdanie s =,, sin(α + β) cos α sin α cos(α + β) = sin β

33 Niektóre zastosowania rachunku zdań 33 oraz wzór na sprowadzanie do wspólnego mianownika, czyli forma zdaniowa ψ(a,b,c,d) =,, a b c d = ad bc bd. Jeśli oznaczymy teraz sin β r =,, cos(α + β) cos α = 2 sin α cos α, to dostaniemy naste pna implikacje, mianowicie q φ(α + β) φ(α) ψ(sin(α + β),cos(α + β),sin α,cos β) s r. Zatem r jest kolejnym wnioskiem. Teza twierdzenia, czyli zdanie t =,, sin β = 2 sin α cos(α + β) wynika ze zdania r oraz z odpowiedniego wykorzystania dwóch naste cych form zdaniowych. Pierwsza z tych form, to χ(a,b,c) =,, A B = C A = BC. Pozwala ona pomnożyć obie strony równania przez te sama liczbe. Druga z wymienionych form zdaniowych, to zwyk le skracanie u lamków, czyli ϕ(x,y ) =,, XY Y = X. Możemy teraz napisać implikacje, z której wynika teza: r χ(sin β,cos(α + β) cos α,2 sin α cos α ) ϕ(cos(α + β) cos α sin α,cos α) t. Zauważmy, że w tym twierdzeniu mamy jeszcze dodatkowo pewne ukryte za lożenia. Mianowicie α i β musza być takie, aby tangensy istnia ly, tj. α + β π 2 + kπ, gdzie k jest liczba ca lkowita oraz α π 2 + sπ, gdzie s jest liczba ca lkowita. Dowody nie wprost. Jeśli zawodza metody dedukcyjne, cze - sto zadajemy pytanie,,co by sie sta lo, gdyby tak nie by lo? Metody rozumowania, w których zaprzeczamy tezie, nazywamy metodami nie wprost. Metody nie wprost dziela sie na dwie grupy: rozumowanie (dowodzenie) przez kontrapozycje oraz przez sprowadzenie do niedorzeczności.

34 34 Wste p do teorii zbiorów i kombinatoryki Tautologia T25 nazywa sie inaczej prawem kontrapozycji i stanowi podstawe dowodów przez kontrapozycje. Dzie ki tej tautologii możemy stwierdzić, że jeśli z negacji naste pnika implikacji (tezy twierdzenia) wynika negacja poprzednika (za lożenia), czyli prawdziwe jest zdanie q p, to prawdziwe jest też zdanie p q, a wie c twierdzenie. Oznaczyliśmy tu przez p za lożenie, a przez q teze twierdzenia. Podstawe dowodów przez sprowadzenie do niedorzeczności stanowi tautologia T26. Tutaj q jest nasza teza, a za lożenie twierdzenia p jest cze ścia zdania s. Zauważmy, że s jest tu zdaniem, którego prawdziwość i fa lszywość wynika z zaprzeczenia tezy twierdzenia, czyli z q. Rozważmy aksjomatyke liczb naturalnych z przyk ladu 1.7. Na jej podstawie przeprowadzimy dowód poniższego twierdzenia Twierdzenie. Jedynka jest dok ladnie jedna. Dowód (nie wprost). Z aksjomatu N1 wynika, że istnieje przynajmniej jedna jedynka. Przypuśćmy, że pewien zbiór liczb naturalnych N zawiera dwie lub wie cej jedynek. Oznaczmy dwie różne jedynki przez 1 i 1. Rozważmy zbiór A sk ladaja cy sie ze wszystkich elementów N z wyja tkiem 1. Wówczas aksjomaty N1 N4 sa w oczywisty sposób spe lnione dla zbioru A. Podobnie spe lnione sa warunki 1 0 oraz 2 0 aksjomatu N5. Ale A jest zbiorem różnym od N, wie c mamy sprzeczność z aksjomatem N5, co oznacza, że N nie jest zbiorem liczb naturalnych. W powyższym twierdzeniu za lożeniem jest aksjomatyka liczb naturalnych. Tego rodzaju za lożenia nie sa sformu lowane w treści twierdzenia. Teza jest tu ca la treść twierdzenia. W dowodzie zaprzeczyliśmy tezie, zak ladaja c, że jedynek jest wie cej niż jedna. Uzyskaliśmy sprzeczność z aksjomatyka liczb naturalnych, czyli droga dedukcyjna doszliśmy do zaprzeczenia za lożenia. W dowodzie naste pnego twierdzenia zademonstrujemy metode przez sprowadzenie do niedorzeczności. W celu uproszczenia zapisu, oznaczmy przez x A fakt, że x jest elementem (należy do) zbioru A. Jeśli x nie należy do zbioru A, to zapiszemy x / A Twierdzenie. Nie istnieje zbiór wszystkich zbiorów.

35 Niektóre zastosowania rachunku zdań 35 Dowód (nie wprost). Za lóżmy, że taki zbiór istnieje i oznaczmy go przez A. Skoro A jest zbiorem, wie c jest elementem zbioru wszystkich zbiorów. Zapiszmy wie c A A. Zdefiniujmy zbiór B jako zbiór wszystkich,,porza dnych zbiorów X, czyli takich, dla których X / X, Zbiór B na pewno nie jest pusty, bo /, jako że do zbioru pustego nic nie należy. Podobnie, poza zbiorem B sa jakieś elementy, ponieważ A A. Czy B B? NIE, ponieważ zbiory spe lniaja ce warunek B B nie sa,,porza dne, wie c zbiór B nie może być elementem zbioru zbiorów porza dnych. TAK, bo gdyby B / B, to zbiór B by lby,,porza dnym zbiorem, a to oznacza loby, że zbiór B jest elementem zbioru zbiorów,,porza dnych, czyli B B. Zatem mamy tu niedorzeczność, ponieważ zbiór B jest swoim elementem i jednocześnie nim nie jest! Naszym zdaniem s z tautologii T26 jest tu zdanie B B. Samo twierdzenie nie ma za lożeń, albo ma za lożenia puste. Zauważmy, że w pewnym momencie dowodu rozumowaliśmy przez kontrapozycje. Dowody nie wprost stanowia mniejszość wśród wszystkich dowodów. Ponieważ dodatkowo jeszcze przy ich przeprowadzeniu korzystamy z dodatkowego za lożenia, jakim jest zaprzeczenie tezy, do dobrego stylu należy wie c zaznaczenie przy s lowie dowód, że be dzie on nie wprost. Na zakończenie naszych rozważań na temat dowodów nie wprost zaznaczmy, że najcze stszym b le dem przy stosowaniu tego typu rozumowania jest zaprzeczanie nie tezie, a za lożeniu. Co gorsza, b la d ten wyste puje na samym pocza tku dowodu, dyskwalifikuja c ca ly dowód. Rozwia zywanie równań i nierówności. Przy rozwia zywaniu równań lub nierówności zawsze spotykamy sie z równoważnościa, a prawie zawsze z alternatywa lub koniunkcja Przyk lad. Zdefiniujmy [a] jako najwie ksza liczbe ca lkowita, która nie jest wie ksza od a. Rozwia żemy równanie [2x + 1] + 3x = 7. (4.1) Zauważmy najpierw, że równanie 4.1 jest równoważne poniższemu

13 Zastosowania Lematu Szemerédiego

13 Zastosowania Lematu Szemerédiego 13 Zastosowania Lematu Szemerédiego 13.1 Twierdzenie Erdősa-Stone a (Rozdzia ly 7.1 i 7.5 podre cznika) Jednym z g lównych zagadnień ekstremalnej teorii grafów jest wyznaczenie parametru ex(n, H) = max{

Bardziej szczegółowo

Grupy i cia la, liczby zespolone

Grupy i cia la, liczby zespolone Rozdzia l 1 Grupy i cia la, liczby zespolone Dla ustalenia uwagi, b edziemy używać nast epuj acych oznaczeń: N = { 1, 2, 3,... } - liczby naturalne, Z = { 0, ±1, ±2,... } - liczby ca lkowite, W = { m n

Bardziej szczegółowo

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Matematyka dla liceum ogólnokształcącego i technikum w zakresie podstawowym i rozszerzonym Z E S Z Y T M E T O D Y C Z N Y Miejski

Bardziej szczegółowo

Metodydowodzenia twierdzeń

Metodydowodzenia twierdzeń 1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ 1 Tezy KRZ Pewien system aksjomatyczny KRZ został przedstawiony

Bardziej szczegółowo

LOGIKA ALGORYTMICZNA

LOGIKA ALGORYTMICZNA LOGIKA ALGORYTMICZNA 0.0. Relacje. Iloczyn kartezjański: A B := (a, b) : a A i b B} (zak ladamy, że (x, y) i (u, v) s a równe wtedy i tylko wtedy gdy x = u i y = v); A n := (x 1,..., x n ) : x i A}; R

Bardziej szczegółowo

P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki. Uproszczony 1 j. ezyk PCF

P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki. Uproszczony 1 j. ezyk PCF 29 kwietnia 2013, godzina 23: 56 strona 1 P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki Uproszczony 1 j ezyk PCF Sk ladnia: Poniżej Γ oznacza otoczenie typowe, czyli zbiór deklaracji postaci (x : τ).

Bardziej szczegółowo

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE Zarządzanie i Inżynieria Produkcji studia stacjonarne Konspekt do wykładu z Matematyki 1 1 Postać trygonometryczna liczby zespolonej zastosowania i przykłady 1 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

5. OKREŚLANIE WARTOŚCI LOGICZNEJ ZDAŃ ZŁOŻONYCH

5. OKREŚLANIE WARTOŚCI LOGICZNEJ ZDAŃ ZŁOŻONYCH 5. OKREŚLANIE WARTOŚCI LOGICZNEJ ZDAŃ ZŁOŻONYCH Temat, którym mamy się tu zająć, jest nudny i żmudny będziemy się uczyć techniki obliczania wartości logicznej zdań dowolnie złożonych. Po co? możecie zapytać.

Bardziej szczegółowo

Matematyka Dyskretna Zestaw 2

Matematyka Dyskretna Zestaw 2 Materiały dydaktyczne Matematyka Dyskretna (Zestaw ) Matematyka Dyskretna Zestaw 1. Wykazać, że nie istnieje liczba naturalna, która przy dzieleniu przez 18 daje resztę 13, a przy dzieleniu przez 1 daje

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm

Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm 1 Grupa ilorazowa Niech H b edzie dzielnikiem normalnym grupy G. Oznaczmy przez G/H zbiór wszystkich warstw lewostronnych grupy G wzgl edem podgrupy

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga

Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga Anna Romanowska January 29, 2016 4 Kraty i algebry Boole a 41 Kraty zupe lne Definicja 411 Zbiór uporza dkowany (P, ) nazywamy krata zupe lna,

Bardziej szczegółowo

Luty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl

Luty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl System dziesiętny 7 * 10 4 + 3 * 10 3 + 0 * 10 2 + 5 *10 1 + 1 * 10 0 = 73051 Liczba 10 w tym zapisie nazywa się podstawą systemu liczenia. Jeśli liczba 73051 byłaby zapisana w systemie ósemkowym, co powinniśmy

Bardziej szczegółowo

Czas pracy 170 minut

Czas pracy 170 minut ORGANIZATOR WSPÓŁORGANIZATOR PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MARZEC ROK 013 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla piszącego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron.. W zadaniach od

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś. Wprowadzenie

MATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś. Wprowadzenie 1 MATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś Wprowadzenie Istniej a dwa różne kryteria mówi ace, które narzȩdzia matematyczne należy zaliczyć do matematyki dyskretnej. Pierwsze definiuje matematykȩ

Bardziej szczegółowo

Pierścienie grupowe wyk lad 2. Przypomnijmy, że K-algebra A jest pó lprosta, gdy jej lewe A-modu ly przypominaja

Pierścienie grupowe wyk lad 2. Przypomnijmy, że K-algebra A jest pó lprosta, gdy jej lewe A-modu ly przypominaja Pierścienie grupowe wyk lad 2. Przypomnijmy, że K-algebra A jest pó lprosta, gdy jej lewe A-modu ly przypominaja przestrzenie liniowe nad A: każdy z nich ma rozk lad na sume modu lów prostych. W tych rozk

Bardziej szczegółowo

Czas pracy 170 minut

Czas pracy 170 minut ORGANIZATOR WSPÓŁORGANIZATOR PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW LICEUM MARZEC ROK 015 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla piszącego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron..

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ L.p. 1. Liczby rzeczywiste 2. Wyrażenia algebraiczne bada, czy wynik obliczeń jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Matematyka A, kolokwium, 15 maja 2013 rozwia. ciem rozwia

Matematyka A, kolokwium, 15 maja 2013 rozwia. ciem rozwia Maemayka A kolokwium maja rozwia zania Należy przeczyać CA LE zadanie PRZED rozpocze ciem rozwia zywania go!. Niech M. p. Dowieść że dla każdej pary liczb ca lkowiych a b isnieje aka para liczb wymiernych

Bardziej szczegółowo

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa, test próbny www.omg.edu.pl (wrzesień 2011 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba krawędzi pewnego ostrosłupa jest o

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone Definicja liczb zespolonych Liczbami zespolonymi nazywamy liczby postaci a + bi, gdzie i oznacza jednostke urojona, przyjmujemy,

Liczby zespolone Definicja liczb zespolonych Liczbami zespolonymi nazywamy liczby postaci a + bi, gdzie i oznacza jednostke urojona, przyjmujemy, Liczby zespolone Definicja liczb zespolonych Liczbami zespolonymi nazywamy liczby postaci a + bi, gdzie i oznacza jednostke urojona, przyjmujemy, że i = 1 zaś a i b sa liczbami rzeczywistymi. Suma liczb

Bardziej szczegółowo

Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu.

Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu. pobrano z www.sqlmedia.pl Uk ad graficzny CKE 00 KOD Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu. WPISUJE ZDAJ CY PESEL Miejsce na naklejk

Bardziej szczegółowo

Definicja: alfabetem. słowem długością słowa

Definicja: alfabetem. słowem długością słowa Definicja: Niech X będzie zbiorem niepustym. Zbiór ten będziemy nazywać alfabetem. Skończony ciąg elementów alfabetu X będziemy nazywać słowem a liczbę elementów tego ciągu nazywamy długością słowa. Na

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1 Wszelkie prawa zastrzeżone. Rozpowszechnianie, wypożyczanie i powielanie niniejszych testów w jakiejkolwiek formie surowo zabronione. W przypadku złamania zakazu mają zastosowanie przepisy dotyczące naruszenia

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 80 minut Instrukcja dla zdaj¹cego. SprawdŸ, czy arkusz egzaminacyjny zawiera stron (zadania 0). Ewentualny brak zg³oœ przewodnicz¹cemu

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny treningowy nr 7. W zadaniach 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź.

Arkusz maturalny treningowy nr 7. W zadaniach 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź. Czas pracy: 170 minut Liczba punktów do uzyskania: 50 Arkusz maturalny treningowy nr 7 W zadaniach 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź. Zadanie 1. (0-1) Wyrażenie (-8x 3

Bardziej szczegółowo

1. Powtórka ze szkoły. Wykład: 4.10.2004 (4 godziny), ćwiczenia: 7.10.2004, kolokwium nr 1: 11.10.2004

1. Powtórka ze szkoły. Wykład: 4.10.2004 (4 godziny), ćwiczenia: 7.10.2004, kolokwium nr 1: 11.10.2004 ANALIZA MATEMATYCZNA A dla I roku, 2004/2005 1. Powtórka ze szkoły. Wykład: 4.10.2004 (4 godziny), ćwiczenia: 7.10.2004, kolokwium nr 1: 11.10.2004 Obliczyć sumy (postępów arytmetycznych i goemetrycznych):

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

nie zdałeś naszej próbnej matury z matematyki?

nie zdałeś naszej próbnej matury z matematyki? Szanowny Maturzysto, nie zdałeś naszej próbnej matury z matematyki? To prawie niemożliwe, ale jeżeli jednak tak, to Pewnie sądzisz, że przyczyna tkwi w bardzo trudnym arkuszu! Zobaczmy, jak to wygląda

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 016 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY DATA: 9

Bardziej szczegółowo

celu przyjmijmy: min x 0 = n t Zadanie transportowe nazywamy zbilansowanym gdy podaż = popyt, czyli n

celu przyjmijmy: min x 0 = n t Zadanie transportowe nazywamy zbilansowanym gdy podaż = popyt, czyli n 123456789 wyk lad 9 Zagadnienie transportowe Mamy n punktów wysy lajacych towar i t punktów odbierajacych. Istnieje droga od każdego dostawcy do każdego odbiorcy i znany jest koszt transportu jednostki

Bardziej szczegółowo

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014.

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. W nawiasie przy zadaniu jego występowanie w numerze zestawu Spis treści (Z1, Z22, Z43) Definicja granicy ciągu. Obliczyć granicę:... 3 Definicja granicy ciągu...

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY LISTOPAD 014 Czas pracy: 170 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 1

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum - nie potrafi konstrukcyjnie podzielić odcinka - nie potrafi konstruować figur jednokładnych - nie zna pojęcia skali - nie rozpoznaje figur jednokładnych

Bardziej szczegółowo

14.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe.

14.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe. Matematyka 4/ 4.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe. I. Przypomnij sobie:. Wiadomości z poprzedniej lekcji... Że przy rozwiązywaniu zadań tekstowych wykorzystujących

Bardziej szczegółowo

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. 1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy

Bardziej szczegółowo

MATERIAŁY DIAGNOSTYCZNE Z MATEMATYKI

MATERIAŁY DIAGNOSTYCZNE Z MATEMATYKI MATERIAŁY DIAGNOSTYCZNE Z MATEMATYKI LUTY 01 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera strony (zadania 1 ).. Arkusz zawiera 4 zadania zamknięte i 9

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI CZERWIEC 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI CZERWIEC 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

Szkoła Podstawowa. Uczymy się dowodzić. Opracowała: Ewa Ślubowska. ewa.slubowska@wp.pl

Szkoła Podstawowa. Uczymy się dowodzić. Opracowała: Ewa Ślubowska. ewa.slubowska@wp.pl Szkoła Podstawowa Uczymy się dowodzić Opracowała: Ewa Ślubowska ewa.slubowska@wp.pl PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA II etap edukacyjny: klasy IV VI I. Sprawność rachunkowa. Uczeń wykonuje proste

Bardziej szczegółowo

KLASA 3 GIMNAZJUM. 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE (26 h) 1. Lekcja organizacyjna 1. 2. System dziesiątkowy 2-4. 3. System rzymski 5-6

KLASA 3 GIMNAZJUM. 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE (26 h) 1. Lekcja organizacyjna 1. 2. System dziesiątkowy 2-4. 3. System rzymski 5-6 KLASA 3 GIMNAZJUM TEMAT LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE (26 h) 1. Lekcja organizacyjna 1 2. System dziesiątkowy 2-4 WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ Z XII 2008 R.

Bardziej szczegółowo

Podstawowe operacje arytmetyczne i logiczne dla liczb binarnych

Podstawowe operacje arytmetyczne i logiczne dla liczb binarnych 1 Podstawowe operacje arytmetyczne i logiczne dla liczb binarnych 1. Podstawowe operacje logiczne dla cyfr binarnych Jeśli cyfry 0 i 1 potraktujemy tak, jak wartości logiczne fałsz i prawda, to działanie

Bardziej szczegółowo

Zadania o liczbach zespolonych

Zadania o liczbach zespolonych Zadania o liczbach zespolonych Zadanie 1. Znaleźć takie liczby rzeczywiste a i b, aby zachodzi ly równości: a) a( + i) + b(4 i) 6 i, b) a( + i) + b( + i) 8i, c) a(4 i) + b(1 + i) 7 1i, ( ) a d) i + b +i

Bardziej szczegółowo

Logika i teoria mnogości Wykład 14 1. Sformalizowane teorie matematyczne

Logika i teoria mnogości Wykład 14 1. Sformalizowane teorie matematyczne Logika i teoria mnogości Wykład 14 1 Sformalizowane teorie matematyczne W początkowym okresie rozwoju teoria mnogości budowana była w oparciu na intuicyjnym pojęciu zbioru. Operowano swobodnie pojęciem

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt

Bardziej szczegółowo

Podstawą w systemie dwójkowym jest liczba 2 a w systemie dziesiętnym liczba 10.

Podstawą w systemie dwójkowym jest liczba 2 a w systemie dziesiętnym liczba 10. ZAMIANA LICZB MIĘDZY SYSTEMAMI DWÓJKOWYM I DZIESIĘTNYM Aby zamienić liczbę z systemu dwójkowego (binarnego) na dziesiętny (decymalny) należy najpierw przypomnieć sobie jak są tworzone liczby w ww systemach

Bardziej szczegółowo

Elżbieta Świda Elżbieta Kurczab Marcin Kurczab. Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie na obowiązkowej maturze z matematyki

Elżbieta Świda Elżbieta Kurczab Marcin Kurczab. Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie na obowiązkowej maturze z matematyki Elżbieta Świda Elżbieta Kurczab Marcin Kurczab Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie na obowiązkowej maturze z matematyki Zadanie Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym. Z punktu M, należącego

Bardziej szczegółowo

LXIII Olimpiada Matematyczna

LXIII Olimpiada Matematyczna 1 Zadanie 1. LXIII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 17 lutego 2012 r. (pierwszy dzień zawodów) Rozwiązać w liczbach rzeczywistych a, b, c, d układ równań a

Bardziej szczegółowo

Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy

Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy Wariant nr (klasa I 4 godz., klasa II godz., klasa III godz.) Klasa I 7 tygodni 4 godziny = 48 godzin Lp. Tematyka zajęć

Bardziej szczegółowo

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI Zestaw P1 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla pisz cego 1. Sprawd, czy arkusz zawiera 16 stron.. W zadaniach od 1. do 5. s podane 4 odpowiedzi:

Bardziej szczegółowo

Kryteria oceniania z matematyki w klasie pierwszej w roku szkolnym 2015/2016

Kryteria oceniania z matematyki w klasie pierwszej w roku szkolnym 2015/2016 Kryteria oceniania z matematyki w klasie pierwszej w roku szkolnym 2015/2016 1) Liczby - zamienia liczby dziesiętne skończone na ułamki zwykłe i liczby mieszane, - zapisuje ułamek zwykły w postaci ułamka

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne klasa 1

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne klasa 1 Matematyka Liczy się matematyka Klasa klasa Rozdział. Liczby zamienia liczby dziesiętne skończone na ułamki zwykłe i liczby mieszane zapisuje ułamek zwykły w postaci ułamka dziesiętnego skończonego porównuje

Bardziej szczegółowo

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi.

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi. Grupy. Permutacje 1 1 Definicja grupy Niech G będzie zbiorem. Działaniem na zbiorze G nazywamy odwzorowanie (oznaczane, jak mnożenie, przez ) przyporządkowujące każdej parze uporządkowanej (a, b) G G element

Bardziej szczegółowo

SPRAWDZIANY Z MATEMATYKI

SPRAWDZIANY Z MATEMATYKI SPRAWDZIANY Z MATEMATYKI dla klasy III gimnazjum dostosowane do programu Matematyka z Plusem opracowała mgr Marzena Mazur LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Grupa I Zad.1. Zapisz w jak najprostszej postaci

Bardziej szczegółowo

Rezolucja w rachunku predykatów. Przedrostkowa koniunkcyjna postać normalna. Formu ly ustalone. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010

Rezolucja w rachunku predykatów. Przedrostkowa koniunkcyjna postać normalna. Formu ly ustalone. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010 Instytut Informatyki Poznań, rok akademicki 2009/2010 1 Postać klauzulowa formu l 2 Regu la rezolucji Regu la rezolucji dla klauzul ustalonych Regu la rezolucji dla klauzul ustalonych a spe lnialność Ogólna

Bardziej szczegółowo

'()(*+,-./01(23/*4*567/8/23/*98:)2(!."/+)012+3$%-4#"4"$5012#-4#"4-6017%*,4.!"#$!"#%&"!!!"#$%&"#'()%*+,-+

'()(*+,-./01(23/*4*567/8/23/*98:)2(!./+)012+3$%-4#4$5012#-4#4-6017%*,4.!#$!#%&!!!#$%&#'()%*+,-+ '()(*+,-./01(23/*4*567/8/23/*98:)2(!."/+)012+3$%-4#"4"$5012#-4#"4-6017%*,4.!"#$!"#%&"!!!"#$%&"#'()%*+,-+ Ucze interpretuje i tworzy teksty o charakterze matematycznym, u ywa j zyka matematycznego do opisu

Bardziej szczegółowo

Zadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d)

Zadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d) Matemaryka dyskretna - zadania Zadanie 1. Opisać zbiór wszystkich elementów rangi k zbioru uporządkowanego X dla każdej liczby naturalnej k, gdy X jest rodziną podzbiorów zbioru skończonego Y. Elementem

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i przykładowe rozwiązania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i przykładowe rozwiązania zadań otwartych Centralna Komisja Egzaminacyjna Materiał współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Próbny egzamin maturalny z matematyki listopad 009 Klucz odpowiedzi do

Bardziej szczegółowo

Próbna Nowa Matura z WSiP Październik 2014 Egzamin maturalny z matematyki dla klasy 3 Poziom podstawowy

Próbna Nowa Matura z WSiP Październik 2014 Egzamin maturalny z matematyki dla klasy 3 Poziom podstawowy Wypełnia uczeń Numer PESEL Kod ucznia Próbna Nowa Matura z WSiP Październik 0 Egzamin maturalny z matematyki dla klasy Poziom podstawowy Informacje dla ucznia. Sprawdź, czy zestaw egzaminacyjny zawiera

Bardziej szczegółowo

Twierdzenia Gödla dowody. Czy arytmetyka jest w stanie dowieść własną niesprzeczność?

Twierdzenia Gödla dowody. Czy arytmetyka jest w stanie dowieść własną niesprzeczność? Semina Nr 3 Scientiarum 2004 Twierdzenia Gödla dowody. Czy arytmetyka jest w stanie dowieść własną niesprzeczność? W tym krótkim opracowaniu chciałbym przedstawić dowody obu twierdzeń Gödla wykorzystujące

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY SIERPIEŃ 2014. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY SIERPIEŃ 2014. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 03 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Instrukcja

Bardziej szczegółowo

V Konkurs Matematyczny Politechniki Białostockiej

V Konkurs Matematyczny Politechniki Białostockiej V Konkurs Matematyczny Politechniki iałostockiej Rozwiązania - klasy pierwsze 27 kwietnia 2013 r. 1. ane są cztery liczby dodatnie a b c d. Wykazać że przynajmniej jedna z liczb a + b + c d b + c + d a

Bardziej szczegółowo

KRZYŻÓWKA 2. 11. Może być np. równoboczny lub rozwartokątny. Jego pole to a b HASŁO:

KRZYŻÓWKA 2. 11. Może być np. równoboczny lub rozwartokątny. Jego pole to a b HASŁO: KRZYŻÓWKA.Wyznaczają ją dwa punkty.. Jego pole to π r² 3. Jego pole to a a 4.Figura przestrzenna, której podstawą jest dowolny wielokąt, a ściany boczne są trójkątami o wspólnym wierzchołku. 5.Prosta mająca

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI poziom rozszerzony

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI poziom rozszerzony Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony 1 PRÓNY EGZMIN MTURLNY Z MTEMTYKI poziom rozszerzony ZNI ZMKNIĘTE W każdym z zadań 1.. wybierz i zaznacz jedną poprawną odpowiedź. Zadanie 1. (0

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych ocen śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z matematyki klasa 1 gimnazjum

Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych ocen śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z matematyki klasa 1 gimnazjum edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych ocen śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z matematyki klasa 1 gimnazjum Semestr I Stopień Rozdział 1. Liczby Zamienia liczby dziesiętne na ułamki

Bardziej szczegółowo

Wymagania na poszczególne oceny klasa 4

Wymagania na poszczególne oceny klasa 4 Wymagania na poszczególne oceny klasa 4 a) Wymagania konieczne (na ocenę dopuszczającą) obejmują wiadomości i umiejętności umożliwiające uczniowi dalszą naukę, bez których uczeń nie jest w stanie zrozumieć

Bardziej szczegółowo

XIII KONKURS MATEMATYCZNY

XIII KONKURS MATEMATYCZNY XIII KONKURS MTMTYZNY L UZNIÓW SZKÓŁ POSTWOWYH organizowany przez XIII Liceum Ogólnokształcace w Szczecinie FINŁ - 19 lutego 2013 Test poniższy zawiera 25 zadań. Za poprawne rozwiązanie każdego zadania

Bardziej szczegółowo

LOGIKA MATEMATYCZNA, ZBIORY I LICZBY RZECZYWISTE

LOGIKA MATEMATYCZNA, ZBIORY I LICZBY RZECZYWISTE LOGIKA MATEMATYCZNA, ZBIORY I LICZBY RZECZYWISTE ZDANIA W LOGICE Zdaniem nazywamy w logice wypowiedź twierdzącą, której można przypisać jedną z dwóch ocen: prawdę lub fałsz. Zdanie zaczynające się np.

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 016 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę dyskalkulia dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VI ROK SZKOLNY 2015/2016 PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLAS 4 6 SZKOŁY PODSTAWOWEJ

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VI ROK SZKOLNY 2015/2016 PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLAS 4 6 SZKOŁY PODSTAWOWEJ WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VI ROK SZKOLNY 2015/2016 PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLAS 4 6 SZKOŁY PODSTAWOWEJ REALIZOWANY PRZY POMOCY PODRĘCZNIKA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY VI I.

Bardziej szczegółowo

2. Równania nieliniowe i ich uk lady

2. Równania nieliniowe i ich uk lady Metoda Newtona stycznych dla równania f(x) 0: x n+ x n f(x n) f (x n ) Chcemy rozwia ι zać uk lad N równań dla N niewiadomych f (x,x,,x N ) 0 f (x,x,,x N ) 0, f N (x,x,,x N ) 0 krócej: Czy jest jakaś analogia?

Bardziej szczegółowo

OFERTA WYKŁADÓW, WARSZTATÓW I LABORATORIÓW DLA UCZNIÓW KLAS IV- VI SZKÓŁ PODSTAWOWYCH, GIMNAZJALNYCH I ŚREDNICH

OFERTA WYKŁADÓW, WARSZTATÓW I LABORATORIÓW DLA UCZNIÓW KLAS IV- VI SZKÓŁ PODSTAWOWYCH, GIMNAZJALNYCH I ŚREDNICH OFERTA WYKŁADÓW, WARSZTATÓW I LABORATORIÓW DLA UCZNIÓW KLAS IV- VI SZKÓŁ PODSTAWOWYCH, GIMNAZJALNYCH I ŚREDNICH Strona 1 z 9 SPIS ZAJĘĆ WRAZ Z NAZWISKAMI WYKŁADOWCÓW dr hab. Mieczysław Kula Poznaj swój

Bardziej szczegółowo

Schemat rekursji. 1 Schemat rekursji dla funkcji jednej zmiennej

Schemat rekursji. 1 Schemat rekursji dla funkcji jednej zmiennej Schemat rekursji 1 Schemat rekursji dla funkcji jednej zmiennej Dla dowolnej liczby naturalnej a i dowolnej funkcji h: N 2 N istnieje dokładnie jedna funkcja f: N N spełniająca następujące warunki: f(0)

Bardziej szczegółowo

X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów www.omg.edu.pl X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (10 listopada 01 r. 15 grudnia 01 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych 1. nia rozmieniła banknot

Bardziej szczegółowo

LICZBY PIERWSZE. Jan Ciurej Radosław Żak

LICZBY PIERWSZE. Jan Ciurej Radosław Żak LICZBY PIERWSZE Jan Ciurej Radosław Żak klasa IV a Katolicka Szkoła Podstawowa im. Świętej Rodziny z Nazaretu w Krakowie ul. Pędzichów 13, 31-152 Kraków opiekun - mgr Urszula Zacharska konsultacja informatyczna

Bardziej szczegółowo

GIMNAZJUM WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI

GIMNAZJUM WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI GIMNAZJUM WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI Klasa I Liczby i działania wskazać liczby naturalne, całkowite, wymierne zaznaczyć liczbę wymierną na osi liczbowej podać liczbę przeciwną do danej

Bardziej szczegółowo

Plan wyk ladu. Kodowanie informacji. Systemy addytywne. Definicja i klasyfikacja. Systemy liczbowe. prof. dr hab. inż.

Plan wyk ladu. Kodowanie informacji. Systemy addytywne. Definicja i klasyfikacja. Systemy liczbowe. prof. dr hab. inż. Plan wyk ladu Systemy liczbowe Poznań, rok akademicki 2008/2009 1 Plan wyk ladu 2 Systemy liczbowe Systemy liczbowe Systemy pozycyjno-wagowe y 3 Przeliczanie liczb Algorytm Hornera Rozwini ecie liczby

Bardziej szczegółowo

Zadania na dowodzenie Opracowała: Ewa Ślubowska

Zadania na dowodzenie Opracowała: Ewa Ślubowska Egzamin Gimnazjalny Zadania na dowodzenie Opracowała: Ewa Ślubowska W nauczaniu matematyki ważne jest rozwijanie różnych aktywności umysłu. Ma temu służyć min. rozwiązywanie jednego zadania czy dowodzenie

Bardziej szczegółowo

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON.

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Zadanie 6. Dane są punkty A=(5; 2); B=(1; -3); C=(-2; -8). Oblicz odległość punktu A od prostej l przechodzącej

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie 1. Matematyka poziom podstawowy Wyznaczanie wartości funkcji dla danych argumentów i jej miejsca zerowego. Zdający

Bardziej szczegółowo

Test kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne

Test kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne Test kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne Na pytania odpowiada się tak lub nie poprzez wpisanie odpowiednio T bądź N w pole obok pytania. W danym trzypytaniowym zestawie możliwa jest dowolna kombinacja

Bardziej szczegółowo

III Powiatowy Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjum organizowany przez II LO im. Marii Skłodowskiej-Curie w Końskich

III Powiatowy Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjum organizowany przez II LO im. Marii Skłodowskiej-Curie w Końskich III Powiatowy Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjum organizowany przez II LO im. Marii Skłodowskiej-Curie w Końskich Rozwiązania zadań konkursowych 01 czerwca 2014 r. Zadanie 1. Uzasadnij nierówność

Bardziej szczegółowo

MATERIAŁ ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI

MATERIAŁ ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI Materiał ćwiczeniowy zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia diagnozy. Materiał ćwiczeniowy chroniony jest prawem autorskim. Materiału nie należy powielać ani udostępniać w żadnej innej

Bardziej szczegółowo

Zadania. SiOD Cwiczenie 1 ;

Zadania. SiOD Cwiczenie 1 ; 1. Niech A będzie zbiorem liczb naturalnych podzielnych przez 6 B zbiorem liczb naturalnych podzielnych przez 2 C będzie zbiorem liczb naturalnych podzielnych przez 5 Wyznaczyć zbiory A B, A C, C B, A

Bardziej szczegółowo

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI ARKUSZ 0 MATURA 00 PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI Instrukcja dla zdajàcego POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy: 70 minut. Sprawdê, czy arkusz zawiera stron.. W zadaniach od. do 5. sà podane 4 odpowiedzi:

Bardziej szczegółowo

Do gimnazjum by dobrze zakończyć! Do liceum by dobrze zacząć! MATEMATYKA. Na dobry start do liceum. Zadania. Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro

Do gimnazjum by dobrze zakończyć! Do liceum by dobrze zacząć! MATEMATYKA. Na dobry start do liceum. Zadania. Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro 6 Na dobry start do liceum 8Piotr Drozdowski 6 Do gimnazjum by dobrze zakończyć! Do liceum by dobrze zacząć! MATEMATYKA Zadania Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro Piotr Drozdowski MATEMATYKA. Na dobry

Bardziej szczegółowo

Działanie grupy na zbiorze

Działanie grupy na zbiorze Działanie grupy na zbiorze Definicja 0.1 Niech (G, ) będzie dowolną grupą oraz X niepustym zbiorem, to odwzorowanie : G X X nazywamy działaniem grupy G na zbiorze X jeślinastępujące warunki są spełnione:

Bardziej szczegółowo

Automatyzacja Ćwicz. 2 Teoria mnogości i algebra logiki Akademia Morska w Szczecinie - Wydział Inżynieryjno-Ekonomiczny Transportu

Automatyzacja Ćwicz. 2 Teoria mnogości i algebra logiki Akademia Morska w Szczecinie - Wydział Inżynieryjno-Ekonomiczny Transportu Automatyzacja Ćwicz. 2 Teoria mnogości i algebra logiki Historia teorii mnogości Teoria mnogości to inaczej nauka o zbiorach i ich własnościach; Zapoczątkowana przez greckich matematyków i filozofów w

Bardziej szczegółowo

SYSTEM DIAGNOSTYCZNY OPARTY NA LOGICE DOMNIEMAŃ. Ewa Madalińska. na podstawie prac:

SYSTEM DIAGNOSTYCZNY OPARTY NA LOGICE DOMNIEMAŃ. Ewa Madalińska. na podstawie prac: SYSTEM DIAGNOSTYCZNY OPARTY NA LOGICE DOMNIEMAŃ Ewa Madalińska na podstawie prac: [1] Lukaszewicz,W. (1988) Considerations on Default Logic: An Alternative Approach. Computational Intelligence, 44[1],

Bardziej szczegółowo

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych zad 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 odp A C C C A A B B C B D A 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 C C A B A D C B

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY V

MATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY V MATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY V Na ocenę wyższą uczeń powinien opanować wiedzę i umiejętności na ocenę (oceny) niższą. Dział programowy: LICZBY NATURALNE podać przykład liczby naturalnej czytać

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 STATYSTYKA Rafał Kucharski Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 Wybrane litery alfabetu greckiego α alfa β beta Γ γ gamma δ delta ɛ, ε epsilon η eta Θ θ theta

Bardziej szczegółowo

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne: Prosto do matury klasa d Rok szkolny 014/015 WYMAGANIA EDUKACYJNE Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo

Paweł Gładki. Algebra. http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/

Paweł Gładki. Algebra. http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Paweł Gładki Algebra http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Konsultacje: Środa, 14:00-15:00 Jeżeli chcesz spotkać się z prowadzącym podczas konsultacji, postaraj się powiadomić go o tym przed lub po zajęciach,

Bardziej szczegółowo