GRZEGORZ SZKIBIEL WSTE P DO TEORII ZBIORÓW I KOMBINATORYKI

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "GRZEGORZ SZKIBIEL WSTE P DO TEORII ZBIORÓW I KOMBINATORYKI"

Transkrypt

1 U N I W E R S Y T E T S Z C Z E C I Ń S K I GRZEGORZ SZKIBIEL WSTE P DO TEORII ZBIORÓW I KOMBINATORYKI SZCZECIN 2002

2

3 Spis treści Przedmowa Elementy teorii matematycznych Zasada indukcji matematycznej Rachunek zdań Niektóre zastosowania rachunku zdań Wzmianka o kwantyfikatorach Elementy algebry zbiorów Sumy i przekroje uogólnione Poje cie produkt kartezjański dwóch zbiorów Relacje Relacje równoważności Funkcje Obrazy i przeciwobrazy zbiorów Zbiory skończone Zbiory przeliczalne Zbiory nieprzeliczalne Zbiory cze ściowo uporza dkowane Zbiory uporza dkowane liniowo Rozwia zania Elementy teorii matematycznych Zasada indukcji matematycznej Rachunek zdań Niektóre zastosowania rachunku zdań Wzmianka o kwantyfikatorach Elementy algebry zbiorów Sumy i przekroje uogólnione Poje cie produktu kartezjańskiego dwóch zbiorów Relacje Relacje równoważności Funkcje Obrazy i przeciwobrazy zbiorów

4 13. Zbiory skończone Zbiory przeliczalne Zbiory nieprzeliczalne Zbiory cze ściowo uporza dkowane Zbiory uporza dkowane liniowo Skorowidz Literatura

5 Przedmowa Fakt, że matematyka leży u podstaw wszystkich nauk zosta l stwierdzony już w starożytności. Wielcy filozofowie greccy Pitagoras, Tales, Eratostenes i inni, to przede wszystkim matematycy. Potrzeba by lo jednak wielu wieków, by stwierdzić, co leży u podstaw matematyki. Nowoczesna matematyka opiera sie na poje ciu zbiór poje cie to zosta lo przyje te ponad sto lat temu*. Niniejszy skrypt jest w ca lości poświe cony zbiorom oraz tematom, które pozwalaja lepiej zrozumieć to poje cie. Przedstawiono w nim podstawowe poje cia matematyczne: produkt kartezjański, relacja, funkcja. Sa one przyk ladami zbiorów. Prawid lowe zrozumienie tych poje ć jest dość trudne, ale konieczne w studiowaniu matematyki. Zbiorom poświe cony jest jeden z d luższych rozdzia lów tego skryptu. Przedtem wprowadzone sa elementy, które po pierwsze pozwalaja lepiej zrozumieć to trudne poje cie, a po drugie maja na celu przybliżenie pewnych schematów rozumowania, które spotykane sa we wszystkich dzia lach matematyki. W dalszych rozdzia lach pokazano, w jaki sposób podstawowe elementy matematyki opieraja sie na poje ciu zbiór. Każdy rozdzia l sk lada sie z trzech cze ści, z których pierwsza to cze ść teoretyczna, odpowiadaja ca wyk ladowi. Druga cze ść, czyli,,problemy do dyskusji, powinna stanowić treść ćwiczeń. Rozwia - zania wszystkich zadań z tej cze ści zosta ly umieszczone w ostatnim rozdziale. Ostatnia, trzecia cze ść to zadania przeznaczone do samodzielnego rozwia zania, czyli praca domowa (cze ści tej pozbawiony jest ostatni rozdzia l). Niniejszy skrypt jest adresowany przede wszystkim do studentów pierwszego roku studiów licencjackich, ale także studenci studiów magisterskich znajda w nim cenne uzupe lnienie wyk ladu. Materia l tu zawarty cze sto be dzie wykorzystywany na starszych latach studiów, dlatego warto jest zachować egzemplarz skryptu przynajmniej do końca studiów. * Dok ladnie w 1883 roku w ksia żce Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre Georga Cantora.

6 6 Wste p do teorii zbiorów i kombinatoryki Skrypt powsta l na podstawie wyk ladów oraz ćwiczeń prowadzonych w latach prze lomu tysia cleci przez autora oraz jego asystentki: A. Szkibiel, E. Kasior oraz I. Staniewska. Autor pragnie podzie kować serdecznie tym osobom za owocna pomoc przy prowadzeniu wyk ladu, jak i za cenne wskazówki oraz ciekawe zadania, które zosta ly tu umieszczone. Podzie kowania należa sie też studentom, których wszystkich nie sposób wymienić, ale to dzie ki nim i dla nich powsta l ten skrypt.

7 1. Elementy teorii matematycznych Na wszystkich zaje ciach z przedmiotów matematycznych be - dziemy sie poruszać wewna trz pewnych teorii. Każdy dzia l matematyki sk lada sie z wielu teorii, które cze sto nak ladaja sie na siebie. W analizie matematycznej na przyk lad mamy do czynienia z teoriami liczb rzeczywistych, cia gów, szeregów, ca lki, pochodnych funkcji oraz wieloma innymi. W algebrze spotkamy sie z teoriami przestrzeni wektorowych, liczb zespolonych, macierzy, równań liniowych itp. Teoria równań liniowych cze sto korzysta z teorii macierzy i na odwrót. Zatem teorie te nak ladaja sie na siebie. Poznamy tutaj kilka podstawowych sk ladników, które wchodza w sk lad każdej teorii. Sa to naste ce elementy: poje cia pierwotne, definicje, aksjomaty, pewniki, twierdzenia, hipotezy. Omówimy wszystkie te wspomniane elementy, trzeba jedynie nadmienić, że w zależności od kontekstu lub upodobań autorów ksia żek nazwy tych poje ć moga sie różnić. Dla dok ladnego zilustrowania omawianych przez nas poje ć, be dziemy pos lugiwać sie dwoma przyk ladami. Pierwszy z nich to skończona geometria afiniczna, a drugi to liczby naturalne. Poje cia pierwotne. Sa to elementy, których sie nie definiuje. Odgrywaja one role atomów ba dź też bitów, z których zbudowana jest teoria. Musza to wie c być poje cia zrozumia le dla każdego oraz zgodne z intuicja. Na przyk lad, wiemy dobrze co to jest czas, ale nie silimy sie tego definiować. Podobnie każdy doskonale rozumie s lowo,,posi lek, jednakże wielu z nas sprawi loby wiele k lopotów dok ladne zdefiniowanie tego poje cia. W matematyce najcze ściej używanymi poje ciami pierwotnymi sa zbiór i element zbioru. W teoriach geometrycznych sa one zasta pione przez, odpowiednio, poje cia

8 8 Wste p do teorii zbiorów i kombinatoryki figura i punkt. W teorii prawdopodobieństwa poje ciami pierwotnymi sa zdarzenie oraz zdarzenie elementarne Przyk lad: skończona geometria afiniczna. Poje ciami pierwotnymi sa tu punkt oraz zbiór Przyk lad: liczby naturalne. Poje ciami pierwotnymi sa tu zbiór, liczba, liczba 1 lub jedynka oraz bycie naste pnikiem. O ile trzy pierwsze poje cia sa raczej zrozumia le, o tyle zrozumienie ostatniego może przysporzyć problemu. Intuicyjny sens sformu lowania,,liczba m jest naste pnikiem liczby n jest taki, że liczba m jest liczba naturalna, która naste puje (wyste puje, jest) bezpośrednio po n. Oznacza to wie c pewna relacje określona na pewnym zbiorze liczb. Definicja. Jest to element, który określa sie za pomoca poje ć pierwotnych lub też za pomoca systemu w lasności. Na przyk lad, jeśli definiujemy s lowo,,sztućce, możemy użyć poje cia pierwotnego,,posi lek. Nasza definicja może wówczas przyja ć forme sztućce sa to przyrza dy s luża ce do spożywania posi lku. Oczywiście moga sie tu pojawić pewne wa tpliwości. Na przyk lad, czy re ka też jest sztućcem? Osoba nie maja ca nic wspólnego z matematyka wyśmiewa zwykle tego rodzaju pytania. Dla matematyka stanowia one jednak źród lo problemu. W matematyce tworzymy definicje tak, aby tego rodzaju wa tpliwości nie by lo. Podamy teraz przyk lad definicji, która be dziemy później używać. Jest to definicja oparta na poje ciach pierwotnych zbiór i element Przyk lad. Zdefiniujemy sume zbiorów naste co: Suma zbiorów A oraz B jest to zbiór sk ladaja cy sie z tych i tylko tych elementów, które sa elementami zbioru A lub elementami zbioru B. Na pewno znajdzie sie wielu czytelników, których zdziwi nadmiar s lów w tej definicji. Po co jest tam fraza,,z tych i tylko tych? Odpowiedź: gdyby tej frazy nie by lo, natychmiast powsta loby pytanie, czy oprócz elementów zbioru A oraz zbioru B coś jeszcze może należeć do sumy. Czasami trudno jest zdefiniować pewne poje cie, używaja c do tego tylko jednego zdania. Trzymaja c sie naszych kulinarnych porównań, spróbujmy zdefiniować,,obiad. Mamy tu do dyspozycji

9 Elementy teorii matematycznych 9 poje cie pierwotne,,posi lek. Definicja Obiad jest to posi lek spożywany po po ludniu nie jest dobra, ponieważ w tym czasie możemy po prostu pić kawe i jeść pa czka, co trudno uznać za obiad. Podobnie definicja Obiad jest to posi lek sk ladaja cy sie z dwóch dań nie jest najlepsza, bo nie precyzujemy przedzia lu czasowego, kiedy te dania maja być spożyte. Dlatego, aby zdefiniować poje cie obiad, musimy użyć nie jednej w lasności, ale systemu w lasności Przyk lad: skończona geometria afiniczna. Zdefiniujemy poje cia krawe dź oraz linia. Krawe dzia nazywamy dowolny zbiór z lożony z dok ladnie dwóch punktów. Zatem krawe dź nie może zawierać wie cej niż dwa punkty. Oczywiście możemy narysować dwa punkty oraz la cza cy je odcinek i traktować te figure jako krawe dź. Jednakże żaden punkt odcinka, z wyja tkiem jego końców, nie należy do krawe dzi. Wyobraźmy sobie sytuacje, w której mamy cztery punkty, z których żadne trzy nie sa wspó lliniowe, czyli mamy sześć krawe dzi. Jeżeli oznaczymy te krawe dzie, jak opisaliśmy wyżej, to dwie z nich sie przetna. Miejsce przecie cia sie tych krawe dzi nie jest punktem. Także jeśli trzy punkty sa wspó lliniowe, to krawe dź zawieraja ca dwa skrajne punkty nie zawiera tego środkowego. Podamy teraz druga definicje. Linia o pocza tku w punkcie a oraz końcu w punkcie b nazywamy taki zbiór K krawe dzi, że A1 punkty a oraz b należa do pewnych krawe dzi k a, k b należa - cych do zbioru K; A2 jeżeli x jest punktem różnym od a i od b oraz należy on do pewnej krawe dzi k x1 należa cej do zbioru K, to istnieje krawe dź k x2 należa ca do zbioru K, która zawiera punkt x. Aby zdefiniować poje cie linia, użyliśmy nie jednej w lasności, tylko systemu w lasności. Tak zdefiniowana linie możemy interpretować jako figure z lożona z odcinków. Pamie tajmy jednak, że jeśli dwa z takich odcinków sie przetna, to miejsce przecie cia nie może być punktem Przyk lad: liczby naturalne. Zdefiniujemy liczbe 2. Liczba 2 lub dwójka nazywamy liczbe, która jest naste pnikiem jedynki. Możemy tu sie spytać, czy istnieje wie cej niż jedna dwójka. Odpowiedź na to pytanie znajdziemy w naste pnym podrozdziale.

10 10 Wste p do teorii zbiorów i kombinatoryki Aksjomat. Jest to w lasność poje cia pierwotnego lub też zdefiniowanego, przyje ta bez dowodzenia. Nikt nie ma wa tpliwości, co do tego, że czas p lynie, ale nikomu nie przyjdzie do g lowy tego udowadniać. Aksjomat cze sto nazywamy prawem. Jak wiadomo, każde prawo ma jaka ś motywacje i podobnie jest z aksjomatami. Aksjomaty określaja zarówno dobrze znane w lasności liczb (na przyk lad prawo la czności mnożenia lub prawo przemienności dodawania) czy figur geometrycznych, jak i bardziej skomplikowane w lasności obiektów spotykanych przy studiowaniu matematyki wyższej. Na przyk lad, przyjmujemy, że prosta nie ma szerokości, ale nie dowodzimy tego. Podobnie nie próbujemy udowadniać praw la czności dodawania i mnożenia liczb rzeczywistych lub praw przemienności tych dzia lań Przyk lad. Najprostszym, ale i najistotniejszym aksjomatem dla wielu teorii jest aksjomat istnienia. Zaczyna sie on od s lów istnieje przynajmniej jeden..., na przyk lad Istnieje przynajmniej jeden zbiór. lub Istnieje przynajmniej jeden punkt. By loby g lupio, gdyby elementy, na których opiera sie nasza teoria, nie istnia ly. Dlatego ich istnienie przyjmujemy,,na wiare. W teorii zbiorów za ten,,przynajmniej jeden zbiór uważamy zbiór pusty, czyli taki, który nie ma elementów. Oznaczamy go przez. Maja c już jeden zbiór, możemy zdefiniować drugi. Na przyk lad { }, co oznacza zbiór jednoelementowy, zawieraja cy zbiór pusty. Dalej definiujemy {,{ }}, {,{ },{,{ }}} i tak dalej. Jeżeli podamy definicje za pomoca systemu w lasności (jak na przyk lad definicja linii), to w lasności z tej definicji staja sie aksjomatami poje cia, które jest definiowane. I tak, A1 oraz A2, to dwa aksjomaty linii. Przyjmuja c zbiór, punkt oraz krawe dź jako poje cia pierwotne tworzymy pocza tki teorii linii, której aksjomatami sa w laśnie A1 i A2. Definicje i aksjomaty możemy wprowadzać w dowolnej chwili. Nie można jednak,,sie zape tlić, czyli w definicji powo lać sie na

11 Elementy teorii matematycznych 11 aksjomat, który jest w niej użyty. Na przyk lad, nie możemy zdefiniować powietrza jako atmosfery, która nas otacza, a naste pnie zadeklarować aksjomat,,atmosfera sk lada sie z powietrza. Aksjomaty danej teorii uk ladaja sie w system aksjomatów zwany też aksjomatyka. Aksjomatyka nie może być sprzeczna. Nie możemy zadeklarować w teorii linii aksjomatu, powiedzmy A3 Punkt a nie należy do żadnej krawe dzi należa cej do zbioru K, gdyż by loby to sprzeczne z aksjomatem A1. Matematycy unikaja też aksjomatyki zależnej, czyli takiej, gdzie pewien aksjomat wynika z pozosta lych. Na przyk lad, jeżeli dodamy do aksjomatów teorii linii aksjomat A4 Jeśli a = b, to punkt a należy do przynajmniej jednej z krawe dzi należa cych do zbioru K, to otrzymamy aksjomatyke zależna. Aksjomat A4 wynika bowiem z aksjomatu A1. Istotnie, aksjomat A1 gwarantuje istnienie przynajmniej jednej krawe dzi k a ze zbioru K, do której należy punkt a. Trzecia w lasnościa aksjomatyki jest zupe lność, której nie be - dziemy teraz omawiać, ze wzgle du na jej z lożoność i konieczność wprowadzania wielu nowych poje ć nieprzydatnych w tej chwili Przyk lad: liczby naturalne. Podamy teraz aksjomatyke liczb naturalnych. N1 Istnieje jedynka, która jest liczba. N2 Jedynka nie jest naste pnikiem żadnej liczby. N3 Dla każdej liczby n istnieje dok ladnie jedna liczba m, która jest naste pnikiem n. N4 Jeżeli m jest naste pnikiem liczby n oraz m jest naste pnikiem liczby k, to n = k. N5 Jeżeli A jest zbiorem sk ladaja cym sie z liczb, który spe lnia aksjomaty N1 N4, takim że 1 0 jedynka należy do A; 2 0 dla każdej liczby n, jeśli n należy do A, a m jest naste pnikiem n, to m również należy do A, to każda liczba należy do A. Ostatni z aksjomatów nazywamy zasada indukcji matematycznej. Każdy zbiór, spe lniaja cy wszystkie pie ć aksjomatów, nazywamy zbiorem liczb naturalnych. Oczywiście, dobrze nam znany

12 12 Wste p do teorii zbiorów i kombinatoryki zbiór {1, 2, 3,...} jest zbiorem spe lniaja cym N1 N5, czyli jest zbiorem liczb naturalnych. Ale także zbiory {0, 1, 2, 3,...} oraz {0, 2, 4, 6,...} sa zbiorami liczb naturalnych. Nawia zuja c do problemu postawionego w poprzednim podrozdziale, zauważmy, że aksjomat N3 mówi, iż istnieje dok ladnie jedna dwójka. Pewnik. Jest to w lasność, której nie dowodzimy, lecz jest ona (być może w danej chwili) zbyt skomplikowana, by być aksjomatem. Może to też być w lasność, która podejrzewamy, że jest zależna od pozosta lych aksjomatów, nie możemy jednak tego udowodnić. W historii matematyki da ly o sobie znać dwa s lynne pewniki Przyk lad. Pewnik Euklidesa: Jeżeli dana jest prosta l oraz punkt P poza prosta l, to przez P przechodzi dok ladnie jedna prosta równoleg la do l. Pewnik ten nie dawa l spać matematykom od czasów starożytnych, aż do XVIII wieku, kiedy udowodniono, że jest on niezależny od czterech pozosta lych aksjomatów Euklidesa Przyk lad. Pewnik wyboru. Zdefiniujmy najpierw rodzine zbiorów jako zbiór, którego elementami sa zbiory. Pewnik wyboru brzmi naste co: Istnieje zbiór X, który ma dok ladnie jeden element wspólny z każdym zbiorem danej rodziny. Inaczej, na zbiór X sk ladaja sie po jednym elemencie wszystkie zbiory rodziny. Treść pewnika wyboru wydaje sie tak naturalna, że nikt nie waha lby sie nazwać go aksjomatem. Okazuje sie jednak, że przyje cie go jako aksjomatu teorii zbiorów prowadzi do wielu paradoksów. Najbardziej znanym jest twierdzenie, że każda kule można podzielić na dwie kule o identycznej obje tości co pierwotna kula. Z tego powodu niektórzy matematycy unikaja pewnika wyboru i każde twierdzenie, którego dowód opiera sie na tym pewniku, oznaczaja w pewien szczególny sposób. Najcze ściej jest to gwiazdka lub litery AC. Twierdzenie. Jest to w lasność wynikaja ca z definicji lub aksjomatów. Ze wzgle du na treść lub znaczenie, twierdzenia nazywamy czasem zadaniami, stwierdzeniami, spostrzeżeniami, problemami, ćwiczeniami, wnioskami, regu lami, formu lami, wzorami

13 Elementy teorii matematycznych 13 lub lematami. Pierwsze trzy terminy określaja latwe lub ma lo istotne twierdzenie. Terminem ćwiczenie jest zwykle określane latwe zadanie, a terminem problem trudne. Wniosek jest to w lasność, która nie jest trudna do zauważenia i która wynika z ogólnego twierdzenia lub jego dowodu. Naste pne trzy terminy oznaczaja twierdzenia, których tezy sa zapisane w postaci równości lub nierówności. Dodatkowo jeszcze, za lożenia sa tak proste i oczywiste, że sie je pomija. Lemat jest to twierdzenie pomocnicze lub twierdzenie, które jest używane w różnych dzia lach matematyki w dowodach wielu donios lych twierdzeń. Hipoteza. Jest to w lasność zbyt skomplikowana, by być aksjomatem ba dź pewnikiem i nie zosta la jeszcze udowodniona. Jeżeli ktoś udowodni hipoteze, staje sie ona twierdzeniem. Można też pokazać, że danej hipotezy nie można udowodnić, maja c do dyspozycji dany system aksjomatów. Wówczas mówimy, że hipoteza jest niezależna od systemu aksjomatów i możemy ja do la czyć jako kolejny aksjomat. Problemy do dyskusji P 1.1. W czym tkwi istota b le du w przedstawionych definicjach? (a) Równoleg lobok jest wieloka tem, którego przeciwleg le boki sa parami równoleg le. (b) Równoleg lobok jest czworoka tem, którego wszystkie boki sa równe i równoleg le. (c) Proste sa równoleg le, jeśli nie maja punktu wspólnego. (d) Prostoka t jest czworoka tem o równych przeka tnych. (e) Ostros lup nazywamy prawid lowym, jeśli jego podstawa jest wieloka t foremny. P 1.2. Rozważmy naste ca sytuacje z przyk ladu 1.4. Przyjmijmy, że wszystkich punktów jest dok ladnie trzy (możemy to traktować jako aksjomat). Ile jest krawe dzi? P 1.3. Zróbmy serie zadań podobnych do P1.2, zmieniaja c nasze za lożenie, tj. zamiast trzech punktów deklarujemy 4, 5,..., n punktów. Ile jest wówczas krawe dzi? Ile linii zawieraja cych dok- ladnie trzy punkty można utworzyć?

14 14 Wste p do teorii zbiorów i kombinatoryki P 1.4. Rozważmy aksjomatyke liczb naturalnych z przyk ladu 1.7. Które z poniższych zbiorów spe lniaja aksjomaty N1 N5, czyli które z nich sa zbiorami liczb naturalnych? A = zbiór liczb parzystych wie kszych od zera, czyli liczb 2, 4, 6, B = zbiór liczb postaci n, gdzie n przybiera kolejne wartości 1, 2, 3,... C = zbiór liczb ujemnych 1, 2,... D = zbiór sk ladaja cy sie ze wszystkich liczb postaci 1 1 n, gdzie n przybiera kolejne wartości 1, 2, 3,..., oraz z liczby 1. Wskaż też jedynki we wszystkich tych zbiorach, które spe lniaja aksjomaty N1 N5. Przyjmujemy, że naste pnikiem danej liczby jest liczba, która znajduje sie w opisie zbioru tuż za nia, na przyk lad w zbiorze C naste pnikiem 1 3 jest 1 4, a naste pnikiem w zbiorze D jest Zadania do samodzielnego rozwia zania Z 1.1. W czym tkwi istota b le du w naste cych definicjach? (a) Równoleg lobok jest czworoka tem, którego dwa przeciwleg le boki sa równoleg le. (b) Kwadrat jest czworoka tem, którego wszystkie boki sa równe. (c) Prostoka t jest wieloka tem o równych ka tach. (d) Graniastos lup nazywamy prawid lowym, jeśli jego wysokość jest prostopad la do podstawy. (e) Wieloka ty nazywamy podobnymi, jeśli maja podobny kszta lt. (f) Trójka ty nazywamy jednok ladnymi, jeśli ich wierzcho lki leża na tych samych prostych. Z 1.2. Kiedy chcemy rozwia zać jakikolwiek problem, musimy zawsze wiedzieć dwie rzeczy: co jest dane, czyli co wiemy, oraz co jest szukane, czyli czego nie wiemy. W matematyce na wyższym poziomie problemy sa sformu lowane w postaci twierdzeń lub hipotez. To co jest dane nazywamy za lożeniem, a to co szukane, nazywamy teza. Zwykle twierdzenie sformu lowane jest w sposób: Jeżeli (tu naste puje za lożenie), to (tu naste puje teza). Cze sto jednak ta forma sformu lowania twierdzenia jest zaste powana inna,

15 Elementy teorii matematycznych 15 (a) (b) (c) (d) (e) (f) Plansza 1.

16 16 Wste p do teorii zbiorów i kombinatoryki prostsza w wypowiedzeniu, jednakże w sensie je zykowym mówia ca to samo, co forma,,klasyczna. W naste cych twierdzeniach wskaż za lożenie oraz teze : (a) Jeżeli proste sa równoleg le, to każda p laszczyzna przecinaja ca jedna z nich przecina też druga. (b) Każda liczba ca lkowita podzielna przez 15 dzieli sie przez 3 oraz przez 5. (c) Istnieje liczba ca lkowita podzielna przez 24. (d) Suma ka tów w trójka cie wynosi (e) Warunkiem koniecznym, aby ostros lup by l prawid lowy, jest foremność jego podstawy. (f) Podzielność przez 4 jest warunkiem wystarczaja cym do podzielności przez dwa. Z 1.3. Rozważmy naste ca sytuacje z przyk ladu 1.4. Przyjmijmy, że wszystkich punktów jest dok ladnie cztery (możemy to traktować jako aksjomat). Zdefiniujmy trójka t jako dowolny zbiór, do którego należa dok ladnie trzy punkty. Ile jest wszystkich trójka tów? Z 1.4. Przyjmijmy w poprzednim zadaniu, że wszystkich punktów jest dok ladnie n. Zdefiniujmy m-mnogość jako dowolny zbiór, do którego należy przynajmniej m punktów. Ile jest wszystkich mnogości? Z 1.5. Które zbiory krawe dzi przedstawione na Planszy 1 sa liniami (w sensie definicji z przyk ladu 1.4)? Wskaż pocza tek oraz koniec każdej z linii. Z 1.6. Czy zbiór, posiadaja cy tylko skończona liczbe elementów, może być zbiorem liczb naturalnych?

17 2. Zasada indukcji matematycznej Cze sto spotykamy sie z sytuacja, w której, aby rozwia zać problem, musimy wykonać wiele czynności nierzadko podobnych do siebie. Zazwyczaj mówimy wtedy, że najtrudniej jest zacza ć, a później to już idzie. Przypuśćmy, na przyk lad, że trzeba wype lnić kilkanaście deklaracji podatkowych i sa to deklaracje tego samego typu, ale za każdym razem trzeba wpisać inne dane. Na pewno pierwsza z nich sprawi nam najwie cej k lopotu, a siedemnasta czy osiemnasta nie be dzie już trudna do wype lnienia. Sytuacje tego rodzaju zdarzaja sie też i w matematyce. Zwróćmy uwage na definicje dwójki (przyk lad 1.5): 2 jest to liczba, która jest naste pnikiem 1. Zapewne definicja trójki i czwórki nie sprawi nikomu k lopotu: wiemy co to jest 2, wie c 3 definiujemy jako liczbe, która jest naste pnikiem 2. A skoro wiemy już co to jest 3, to 4 definiujemy jako liczbe, która jest naste pnikiem 3. I tak dalej. Zdefiniowanie liczby 174 by loby pewnie k lopotliwe, ze wzgle du na duża ilość pisania, ale możemy sprawe uprościć, używaja c zwrotu przypuśćmy, że wszystkie liczby od 1 do 173 zosta ly zdefiniowane. Po tym zdaniu możemy już bez przeszkód zdefiniować 174 jako liczbe, która jest naste pnikiem 173. Używaja c tego sposobu (zwanego indukcja matematyczna ), możemy zdefiniować każda liczbe naturalna. Indukcja matematyczna jest to metoda zarówno dowodzenia twierdzeń, jak i formu lowania definicji oparta na aksjomacie N5 z przyk ladu 1.7. Przypomnijmy treść tego aksjomatu. Jeżeli A jest zbiorem sk ladaja cym sie z liczb, który spe lnia aksjomaty N1 N4, takim że 1 0 jedynka należy do A, 2 0 dla każdej liczby n, jeśli n należy do A, oraz m jest naste pnikiem n, to m również należy do A, to każda liczba należy do A. Ta postać aksjomatu nie jest zbyt,,pore czna i dlatego zwykle podaje sie ja w innej formie. Przede wszystkim, przez zbiór liczb naturalnych rozumie sie zwykle zbiór N = {1, 2, 3,...} lub zbiór {0, 1, 2,...}, a aksjomaty N1 N4 spe lnia też wiele innych zbiorów. Dlatego musimy jasno określić klase zbiorów, dla których

18 18 Wste p do teorii zbiorów i kombinatoryki możemy zastosować zasade indukcji matematycznej i nie możemy tych zbiorów nazywać zbiorami liczb naturalnych, gdyż k lóci loby sie to z ogólnym poje ciem tego zbioru. Ustalmy wie c, że od tej pory przez N be dziemy oznaczać zbiór {1, 2, 3,...} i be dziemy go nazywać zbiorem liczb naturalnych. Zdefinujmy jeszcze zbiór liczb ca lkowitych Z jako zbiór {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2,...}. Zauważmy, że każda liczba naturalna jest też liczba ca lkowita. Przyjmijmy teraz, że terminem zdanie be dziemy określać takie zdanie w sensie gramatyki, któremu można przypisać prawde albo fa lsz. Możemy teraz sformu lować zasade indukcji matematycznej w takiej formie, jakiej be dziemy używać Zasada indukcji matematycznej (ZIM). Niech T (n) be dzie pewnym twierdzeniem dotycza cym liczby ca lkowitej n. Jeżeli 1 0 T (m 0 ) jest zdaniem prawdziwym, gdzie m 0 jest pewna ustalona liczba ca lkowita, 2 0 z prawdziwości zdań T (k), gdzie m 0 k m, wynika prawdziwość zdania T (m + 1), to zdanie T (n) jest prawdziwe dla każdej liczby ca lkowitej n m 0. Aby użyć zasade indukcji matematycznej, musimy wie c sprawdzić dwa warunki, a naste pnie wysnuć odpowiedni wniosek. Poniższe dwa przyk lady pokaża, że obydwa warunki sa istotne Przyk lad.,,pokażemy, że każda liczba naturalna postaci 3k + 2 (gdzie k jest liczba naturalna ) dzieli sie przez trzy. Pomijaja c warunek 1 0, zak ladamy, że dla wszyskich liczb k mniejszych lub równych m, liczby postaci 3k + 2 dziela sie przez 3. Rozważmy liczbe 3(m + 1) + 2 = (3m + 2) + 3. Ponieważ 3m+2 dzieli sie przez trzy, wie c istnieje liczba naturalna a, taka że 3a = 3m + 2. Ale wówczas 3(a + 1) = (3m + 2) + 3, wie c 3 dzieli liczbe 3(m + 1) + 2. Zatem warunek 2 0 jest spe lniony. To co,,pokazaliśmy jest oczywistym fa lszem, ponieważ 3 nie dzieli liczby 5, chociaż 5 = B la d wynik l z faktu, że nie sprawdziliśmy warunku 1 0.

19 Zasada indukcji matematycznej Przyk lad.,,pokażemy, że 5207 jest liczba pierwsza, czyli, że jedynymi liczbami naturalnymi, które dziela liczbe 5207, sa 1 oraz W tym celu dzielimy 5207 przez 2. Stwierdzamy, że dana liczba nie jest dzielnikiem liczby Mamy zatem sprawdzony warunek 1 0 zasady indukcji matematycznej. Warunku 2 0 nie uda nam sie sprawdzić, bo 41 jest dzielnikiem Zatem zdanie,,5207 jest liczba pierwsza jest fa lszywe. Przytoczymy teraz kilka przyk ladów prawid lowego użycia ZIM Przyk lad. Pokażemy, że n 3 = n2 (n + 1) 2. (2.1) 4 Ta w lasność bezpośrednio dotyczy liczb naturalnych. Sprawdzamy warunek 1 0, czyli za n podstawiamy 1. W zwia zku z tym lewa strona wzoru 2.1 ma tylko jeden sk ladnik, 1 3. Tak wie c lewa strona jest równa 1, a prawa = 1. Aby sprawdzić warunek 2 0, zak ladamy, że k 3 = k2 (k + 1) 2 dla wszystkich liczb 1 k m i pokazujemy, że 4 (2.2) m 3 + (m + 1) 3 = (m + 1)2 (m + 2) 2. (2.3) 4 Mamy z za lożenia, że m 3 + (m + 1) 3 = m2 (m + 1) (m + 1) 3. (2.4) Rozwijaja c prawa strone (2.4), a naste pnie zamieniaja c ja na iloczyn, otrzymujemy prawa strone (2.3). Zatem na podstawie ZIM stwierdzamy, że wzór (2.1) jest prawdziwy dla każdej liczby naturalnej n. Zdanie dotycza ce liczby ca lkowitej n nie znaczy wcale, że twierdzenie musi koniecznie mówić o liczbach ca lkowitych. Wystarczy, że liczby ca lkowite sa w jakiś sposób użyte. Można ich, na przyk lad, użyć do numerowania wyrazów cia gu.

20 20 Wste p do teorii zbiorów i kombinatoryki 2.5. Przyk lad. Udowodnimy, że cia g 2, 2 + 2, , ,... (2.5) jest ograniczony od góry liczba 2. Aby sprawdzić warunek 1 0, wystarczy jedynie zauważyć, że 2 < 2. Sprawdzenie warunku 2 0 jest nieco trudniejsze. Niech a n be dzie n-tym wyrazem cia gu (2.5). Zak ladamy, że a k < 2 i pokażemy, że a k+1 < 2. Zauważmy, że a k+1 = 2 + a k. Sta d a k+1 < = 2. Zatem ma mocy ZIM, a n < 2 dla każdego n. Problemy do dyskusji P 2.1. Wykaż, że dla n 2 siedem jest ostatnia cyfra liczby 2 2n +1. Liczby postaci 2 2n +1, gdzie n jest liczba naturalna wie ksza od 1, nazywamy liczbami Fermata. P 2.2. Oznaczmy przez i=1 i=1 n a i sume a 1 +a 2 + +a n. Używaja c indukcji matematycznej, pokaż, że n 1 (a) i(i + 1) = n n + 1, (b) (c) n j=1 1 (4 + j)(5 + j) = n 5(5 + n), n (2k 1) = n 2. k=1 P 2.3. Pokaż, że dla dowolnej liczby naturalnej n > 3 zachodzi nierówność n! > n 2. P 2.4. Dla jakich liczb naturalnych prawdziwe sa naste ce nierówności (a) 2n + 1 < 2 n, (b) n 3 < 2 n, (c) 3 n < n 2 + 2n 4?

21 Zasada indukcji matematycznej 21 P 2.5. Pokaż, że dla dowolnej liczby naturalnej n oraz dla każdej liczby rzeczywistej x > 1 zachodzi (1 + x) n 1 + nx. Nierówność te nazywamy nierównościa Bernoulli ego. 2, P 2.6. Pokaż, że każdy wyraz cia gu 2 + 2, , jest mniejszy od naste pnego wyrazu Zadania do samodzielnego rozwia zania Z 2.1. Udowodnij indukcyjnie nierówności (a) 2 n > n 2, dla dowolnego n > 4, (b) n! < ( ) n+1 n 2, dla dowolnego n > ,... Z 2.2. Pokaż, że 3 n 3 n, 5 n 5 n, 7 n 7 n. Czy prawdziwe jest twierdzenie: k n k n dla dowolnej nieparzystej liczby naturalnej k? Z 2.3. Udowodnij naste ce w lasności znaku (zobacz zadanie P2.2). n n n 1 (a) a i = a i + a 1 = a i + a n, (b) (c) (d) (e) i=1 i=2 n ka i = k i=1 n a i, i=1 n (a i + b i ) = i=1 n a = na, i=1 n log a i = log i=1 n a i + i=1 i=1 n b i, i=1 n a i, gdzie i=1 n a i = a 1 a 2... a n. i=1

22 22 Wste p do teorii zbiorów i kombinatoryki Z 2.4. Pokaż, że n (a) i 2 n(n + 1)(2n + 1) =, 6 i=1 n (b) i i! = (n + 1)! 1, i=1 n 1 (c) x n 1 = (x 1) x j. j=0 Z 2.5. Napisz kilka pierwszych wyrazów cia gu określonego przez a 1 = 3, a n+1 = 3 + a n, a naste pnie pokaż, że cia g ten jest rosna cy (czyli każdy naste pny wyraz jest wie kszy od poprzedniego) oraz ograniczony z góry liczba 3.

23 3. Rachunek zdań W tym rozdziale zajmiemy sie podstawami logiki matematycznej. Zgodnie z zasada, że,,oczywiste jest najtrudniejsze, logika jest tak skomplikowanym dzia lem matematyki, że nie be dziemy nawet próbowali nauczyć sie ca lej teorii, a zadowolimy sie tylko jej,,liźnie ciem, ograniczaja c sie ca lkowicie do rachunku zdań. Już samo sformu lowanie aksjomatów logiki stwarza wiele problemów. Nie be dziemy wie c próbowali formalizować tej teorii. Wszystkie poje cia, które sie pojawia, zostana jednakże dok ladnie zdefiniowane. Oczywiście, zrobimy tu wyja tek dla poje ć i twierdzeń znanych przez nas z kursów szko ly podstawowej i średniej. Zdania. Poje cie zdania w logice ma inny sens niż w gramatyce. Zdaniem w sensie logiki nazywamy takie zdanie w sensie gramatyki, któremu można przypisać jedna z dwóch wartości logicznych prawde lub fa lsz. Tak wie c zdaniami dla nas be da tylko zdania oznajmuja ce.,,podnieść re ce do góry! lub,,która teraz jest godzina? sa poprawnymi zdaniami w je zyku polskim, jednak nie można im przypisać żadnej wartości logicznej. Dlatego nie sa to zdania w sensie logicznym. Zdania,,Na dworze leje oraz,,warszawa jest stolica Francji sa zdaniami w sensie logicznym. W matematyce cze sto spotykamy zdania zapisane za pomoca symboli. Na przyk lad,,, 5 < 1 lub,, a,b (a + b)2 = a 2 + 2ab + b 2. W naszych rozważaniach be dziemy oznaczać zdania pojedynczymi literami p, q, r itd. lub też zespo lem liter i znaków. Wartości logiczne prawda i fa lsz oznaczymy odpowiednio przez 1 i 0. Fakt, że zdanie p ma wartość logiczna x zapisujemy w(p) = x. Na przyk lad w(5 < 1) = 0. Za lóżmy, że dany jest niepusty zbiór X. Dowolny sposób tworzenia zdania, w którym wyste puje jedna lub wie cej zmiennych przebiegaja cych zbiór X, nazywamy forma zdaniowa (jednej lub wielu zmiennych). Zbiór X nazywamy dziedzina tej formy zdaniowej. Na przyk lad, jeżeli X jest zbiorem wszystkich miast świata, to schemat,, x jest stolica Polski (x X) jest forma zdaniowa. Zauważmy, że forma zdaniowa staje sie zdaniem, jeśli zmienna zasta pimy przez konkretny element z jej dzie-

24 24 Wste p do teorii zbiorów i kombinatoryki dziny. Używaja c powyższej formy zdaniowej, możemy zatem utworzyć zdania:,,warszawa jest stolica Polski,,,Paryż jest stolica Polski,,,Borne Sulinowo jest stolica Polski i wiele innych. Podobnie, jeśli za X weźmiemy zbiór liczb rzeczywistych R, to 2x + 3 < 7 oraz 3x 2 y = z sa formami zdaniowymi, odpowiednio, jednej i trzech zmiennych. Funktory zdaniotwórcze. W każdym je zyku świata tworzymy nowe zdania wykorzystuja c zdania już u lożone. W je zyku polskim używamy cze sto partyku ly nie oraz spójników i, lub. Zasada tworzenia zdań z lożonych ze zdań prostych ma swe uogólnienie w matematyce. Regu ly tworzenia (przekszta lcania) zdań (zdania) w zdanie nazywamy funktorami zdaniotwórczymi. Zajmiemy sie najpierw funktorami jednej zmiennej, czyli takimi, które przekszta lcaja jedno zdanie. Niech p be dzie naszym zdaniem. Oznaczmy przez & i p przekszta lcone zdanie p. Z dok ladnościa do wartości logicznej otrzymujemy cztery możliwe klasy funktorów zdaniotwórczych: p & 1 p & 2 p & 3 p & 4 p Funktory & i możemy definiować na wiele różnych sposobów, jednak gdy porównamy możliwe wartości logiczne otrzymanego zdania w stosunku do wartości logicznych zdania pierwotnego okaże sie, że nasz funktor należy do którejś z powyższych klas. Spośród wymienionych klas funktorów jednej zmiennej najcze ściej używamy funktorów ostatniej klasy, a najcze ściej wykorzystywanym funktorem z tej klasy jest taki, który zdanie p przekszta lca w,,nieprawda, że p. Nazywa sie go funktorem negacji lub negacja i oznacza przez. Istnieje 16 klas funktorów dwóch zmiennych. Spośród tych szesnastu klas zajmiemy sie tylko czterema i wspomnimy dalsze

25 Rachunek zdań 25 trzy, które zrobi ly furore w zwia zku z rozwojem techniki komputerowej. Wartości logiczne wspomnianych siedmiu klas określa poniższa tabela. p q p q p q p q p q p albo q p NOR q p NAND q Cztery pierwsze funktory zdaniotwórcze wyróżnione w tabeli nazywaja sie, odpowiednio, alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważnościa. Pozosta le to alternatywa wy la czna, jednoczesne zaprzeczenie oraz dyzjunkcja, jednakże cze ściej nazywa sie je funktorami albo, NOR i NAND. Alternatywa oraz koniunkcja sa rozumiane dok ladnie tak, jak w życiu codziennym. Nie powinniśmy wie c mieć trudności z ich zrozumieniem. Zatrzymajmy sie na d lużej przy implikacji. Zdanie p q odczytujemy na kilka sposobów. Najpopularniejszymi sposobami sa,,jeśli p to q,,, p implikuje q,,,z p wynika q,,, p jest warunkiem dostatecznym aby q oraz,, q jest warunkiem koniecznym na to, aby p. Tak wie c mamy tu przynajmniej cztery funktory reprezentuja ce klase funktorów implikacji. Zauważmy, że jeżeli w(p) = 0, to w(p q) = 1 bez wzgle du na wartość logiczna zdania q! Zatem zdanie,,jeśli 2 = 1, to ja jestem Papieżem jest prawdziwe. Podobnie, jeżeli w(q) = 1, to w(p q) = 1 bez wzgle du na wartość logiczna zdania p. Wynika sta d, że zdanie,,śledź ma uszy, implikuje Szczecin leży nad Odra jest jak najbardziej prawdziwe. Innym sposobem rozumienia implikacji sa sposoby odczytu typu,,warunek konieczny i,,warunek dostateczny lub,,wystarczaja cy. Przy prawdziwej implikacji p q, prawdziwość p wystarcza, aby i q by lo prawdziwe, natomiast prawdziwość q jest konieczna, aby p by lo prawdziwe Przyk lad. Oznaczmy przez a b fakt, że b jest podzielne przez a. Rozważmy zdanie,, 4 x 2 x. Zauważmy, że do podzielności przez 2 wystarczy podzielność przez 4, ale podzielność przez 4 nie jest do tego konieczna, gdyż liczba x może sie dzielić

26 26 Wste p do teorii zbiorów i kombinatoryki przez dwa także wtedy, gdy nie dzieli sie przez 4. Na pewno jednak podzielność x przez 2 jest konieczna, aby x dzieli lo sie przez 4. Funktor równoważności odczytujemy jako,, p jest równoważne q,,, p wtedy i tylko wtedy, gdy q lub,, p jest warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, aby q. Równoważność rozumiemy jako,,to samo, tzn. zdanie po lewej stronie znaku oznacza to samo, co zdanie po prawej stronie tego znaku. Można ja też rozumieć jako koniunkcje (p q) (q p) dwóch implikacji. Podrozdzia l ten zakończymy uwaga, że każdy funktor zdaniotwórczy można utworzyć za pomoca funktorów negacji, alternatywy i koniunkcji. Przy projektowaniu uk ladów scalonych oraz sieci logicznych powszechnie wykorzystuje sie fakt, że każdy funktor można utworzyć za pomoca funktora NAND lub funktora NOR. Prawa rachunku zdań. Utworzone za pomoca funktorów zdaniotwórczych zdanie, które jest zawsze prawdziwe, nazywamy tautologia. Podamy tu kilkadziesia t tautologii, które be dziemy używać przy różnych okazjach. Każda z nich jest twierdzeniem w teorii rachunku zdań. Dowody tych twierdzeń polegaja na sprawdzeniu, że dla dowolnych wartości logicznych zdań sk ladowych, tautologia jest zawsze prawdziwa, tj. ma wartość logiczna 1. T1. p p, T2. p p, T3. ( p) p (prawo podwójnego przeczenia), T4. (p p) (prawo sprzeczności), T5. p p (prawo wy la czonego środka), T6. (p p) p, T7. (p p) p, T8. p (p q), T9. (p q) ( p q) (prawo transpozycji), T10. (p q) ( p q), T11. ((p q) r) (p (q r)), T12. (p q) ( p q), T13. (p q) ( p q), T14. (p q) ((q r) (p r)),

27 Rachunek zdań 27 T15. (p q) (p q), T16. (p q) ((p q) (p q)), T17. (p q) (q p), T18. (p q) p, T19. (p q) (q p), T20. p (p q), T21. (p (q r)) ((p q) r), T22. (p (q r)) ((p q) r), T23. (p (q r)) ((p q) (p r)), T24. (p (q r)) ((p q) (p r)), T25. (p q) ( q p), T26. ( q (s s)) q, T27. (p q) ((p q) q), T28. (p q) (((p q) r) r), T29. ((p q) (q r)) (p r), T30. ((p q) (q p)) (p q). Wprowadzaja c oznaczenie P dla zdania zawsze prawdziwego oraz F dla zdania zawsze fa lszywego, do wymienionych tautologii możemy jeszcze dodać naste ce dwie: T31. (p F ) p, T32. (p P ) p. Wiele z tych tautologii ma swoje nazwy. Na przyk lad, tautologie T17 oraz T19 nazywamy prawami przemienności, odpowiednio, koniunkcji i alternatywy. Natomiast tautologie T12 oraz T13 nazywaja sie prawami de Morgana dla rachunku zdań. Obok niektórych praw podaliśmy ich tradycyjne nazwy w nawiasach. Wykonuja c obliczenia numeryczne, zawsze kierujemy sie pewna kolejnościa wykonywania operacji. Wiadomo, że najpierw wykonujemy dzia lania w nawiasie, naste pnie mnożenie lub dzielenie, a potem dodawanie i odejmowanie. Pomieszanie kolejności tych dzia lań prowadzi zwykle do nieporozumień. Na przyk lad: = 3, a nie 11. Liczbe 11 otrzymamy w wyniku obliczenia

28 28 Wste p do teorii zbiorów i kombinatoryki (4 2) W logice wyste puje wiele analogii do dzia lań oraz relacji arytmetycznych. Cze sto stosujemy te analogie, jeśli nie jesteśmy pewni wartości logicznej zdania. I tak, alternatywe możemy skojarzyć z dodawaniem, a koniunkcje z mnożeniem. Implikacje kojarzymy z relacja mniejszości, a równoważność z relacja równości =. Również w sprawie pierwszeństwa dzia lań wykorzystywana jest ta analogia najpierw rozważamy negacje, potem koniunkcje, naste pnie alternatywe, a na końcu implikacje i równoważność. Tautologie T25, na przyk lad, możemy zapisać nie używaja c nawiasów: p q q p. Problemy do dyskusji P 3.1. Użyj różnych metod do sprawdzenia tautologii T1 T32. P 3.2. Która z podanych niżej informacji pozwala ustalić wartość logiczna zdania oznaczonego litera p? (a) p tworzy fa lszywa koniunkcje z dowolnym zdaniem, (b) p tworzy prawdziwa koniunkcje z pewnym zdaniem, (c) p tworzy prawdziwa alternatywe z pewnym zdaniem, (d) p tworzy fa lszywa alternatywe z dowolnym zdaniem, (e) implikacja, której p jest poprzednikiem jest zawsze fa lszywa, (f) implikacja, której p jest poprzednikiem jest prawdziwa dla pewnego naste pnika q, (g) implikacja, której p jest naste pnikiem jest prawdziwa dla pewnego poprzednika q. P 3.3. Za lóżmy, że implikacja dwóch zdań jest prawdziwa. Co możemy powiedzieć na temat alternatywy (koniunkcji) tych zdań? P 3.4. Pokaż, że jeżeli równoważność dwóch zdań jest prawdziwa, to także ich implikacja jest prawdziwa.

29 Rachunek zdań 29 P 3.5. Przedstaw (a) alternatywe dwóch zdań za pomoca koniunkcji i negacji, (b) implikacje za pomoca alternatywy i negacji, (c) koniunkcje za pomoca implikacji i negacji. Zadania do samodzielnego rozwia zania Z 3.1. Udowodnij kilka tautologii spośród T1 T32. Z 3.2. W podanych zdaniach z lożonych wyodre bnij przynajmniej trzy zdania proste, oznaczaja c je pojedynczymi literami, a naste pnie napisz je za pomoca wprowadzonych oznaczeń i odpowiednich funktorów zdaniotwórczych. (a) Jeżeli podstawa ostros lupa jest wieloka t foremny i wysokość przechodzi przez środek podstawy lub ka ty dwuścienne przy podstawie sa równe, to ostros lup jest prawid lowy. (b) Jeżeli podstawa ostros lupa jest trójka t prostoka tny, to ściana boczna przechodza ca przez przeciwprostoka tna jest prostopad la do p laszczyzny podstawy wtedy i tylko wtedy, gdy wysokość ostros lupa przechodzi przez środek przeciwprostoka tnej. (c) Jeżeli liczba jest ca lkowita lub wyraża sie za pomoca u lamka zwyk lego lub za pomoca skończonego rozwinie cia dziesie tnego, to liczba ta może być wyrażona za pomoca nieskończonego okresowego rozwinie cia dziesie tnego. (d) Jeżeli prosta a jest równoleg la do prostej b i prosta b należy do p laszczyzny π, to prosta a jest równoleg la do p laszczyzny π lub należy do p laszczyzny π. Z 3.3. Która z podanych niżej informacji pozwala ustalić wartość logiczna zdania oznaczonego litera p? (a) p tworzy fa lszywa koniunkcje z pewnym zdaniem, (b) p tworzy prawdziwa koniunkcje z dowolnym zdaniem, (c) p tworzy prawdziwa alternatywe z dowolnym zdaniem, (d) p tworzy fa lszywa alternatywe z pewnym zdaniem, (e) implikacja, której p jest poprzednikiem jest zawsze prawdziwa, (f) implikacja, której p jest naste pnikiem jest zawsze prawdziwa,

30 30 Wste p do teorii zbiorów i kombinatoryki (g) implikacja, której p jest naste pnikiem jest zawsze fa lszywa, (h) równoważność, w której wyste puje p jest zawsze prawdziwa, (i) równoważność, w której wyste puje p jest zawsze fa lszywa, (j) równoważność, w której wyste puje p jest prawdziwa dla pewnego zdania q, (k) równoważność, w której wyste puje p jest fa lszywa dla pewnego zdania q. Z 3.4. Zdanie 3 < 0 2 przedstaw jako koniunkcje zdań, z których jedno jest alternatywa. dwóch Z 3.5. Podaj przyk lad dwóch zdań p i q takich, że (a) zdanie p q jest fa lszywe, (b) zdania p q oraz p q sa prawdziwe. Z 3.6. Udowodnij, że jeżeli alternatywa dwóch zdań jest fa lszywa, to także ich koniunkcja jest fa lszywa. Z 3.7. Udowodnij, że jeżeli koniunkcja dwóch zdań jest prawdziwa, to ich równoważność też jest prawdziwa. Z 3.8. Przedstaw (a) implikacje za pomoca koniunkcji i negacji, (b) koniunkcje za pomoca alternatywy i negacji, (c) równoważność dwóch zdań za pomoca funktorów implikacji i koniunkcji. Z 3.9. Stosuja c metode,,nie wprost dowodzenia tautologii, sprawdź, czy podane zdania sa tautologiami. (a) ((p q) p) q, (b) (p q) (p (q r)), (c) ((p q) (p q)) (q p), (d) (p ( p q)), (e) ((p q) (r s)) ((p r) (q s)).

31 Rachunek zdań 31 Z Kontrtautologia nazywamy zdanie, które jest zawsze fa lszywe. Zbadaj, które z poniższych zdań sa kontrtautologiami. (a) (p q) (p q), (b) (p q) (p q), (c) ((p q) (q p)), (d) (p q) ( p q), (e) (p q) ( p q), (f) (p q) (p q).

32 4. Niektóre zastosowania rachunku zdań Logika matematyczna oraz rachunek zdań maja wiele zastosowań i to nie tylko w matematyce. Jeżeli chodzi o sama matematyke, to rachunek zdań spotykamy tu dos lownie na każdym kroku, cze sto nie zdaja c sobie nawet z tego sprawy. W tym rozdziale zajmiemy sie tylko tymi zastosowaniami, które pozwola nam lepiej zrozumieć niniejszy skrypt. Dedukcja. Prowadza c jakiekolwiek rozumowanie, cze sto używamy s lów wie c, zatem, sta d itd. Każde z tych s lów oznacza implikacje. Istotnie, w rozumowaniu opieramy sie na pewnych za- lożeniach. Wykorzystuja c te za lożenia oraz znane już fakty, wyprowadzamy wnioski, które możemy wykorzystać w po la czeniu z innymi faktami oraz innymi za lożeniami, a to pozwala na wyprowadzenie nowych wniosków. Po jakimś czasie wysnuwamy ostateczny wniosek, który jest nasza teza. Dla przyk ladu rozważmy naste ce twierdzenie Twierdzenie. Jeżeli zachodzi równanie tg(α + β) = 3tgα, to zachodzi także równanie sin β = 2 sin α cos(α + β). Dowód: Jeżeli tg(α + β) = 3tgα, to tg(α + β) tgα = 2tgα. Sta d wynika, że sin β cos(α + β) cos α = 2 sin α cos α. Z ostatniego mamy natychmiast teze. W twierdzeniu 4.1 mamy za lożenie p =,, tg(α + β) = 3tgα. Po przeniesieniu wyrażenia tgα na lewa strone otrzymujemy zdanie q =,,tg(α + β) tgα = 2tgα. Mamy zatem implikacje p q, a zdanie q jest pierwszym wnioskiem dedukcyjnym. W dalszej cze ści dowodu wykorzystujemy definicje funkcji tg, czyli forme zdaniowa φ(x) =,,tgx = sin x cos x. Potrzebny nam jeszcze be dzie pewien fakt z teorii funkcji trygonometrycznych, czyli zdanie s =,, sin(α + β) cos α sin α cos(α + β) = sin β

33 Niektóre zastosowania rachunku zdań 33 oraz wzór na sprowadzanie do wspólnego mianownika, czyli forma zdaniowa ψ(a,b,c,d) =,, a b c d = ad bc bd. Jeśli oznaczymy teraz sin β r =,, cos(α + β) cos α = 2 sin α cos α, to dostaniemy naste pna implikacje, mianowicie q φ(α + β) φ(α) ψ(sin(α + β),cos(α + β),sin α,cos β) s r. Zatem r jest kolejnym wnioskiem. Teza twierdzenia, czyli zdanie t =,, sin β = 2 sin α cos(α + β) wynika ze zdania r oraz z odpowiedniego wykorzystania dwóch naste cych form zdaniowych. Pierwsza z tych form, to χ(a,b,c) =,, A B = C A = BC. Pozwala ona pomnożyć obie strony równania przez te sama liczbe. Druga z wymienionych form zdaniowych, to zwyk le skracanie u lamków, czyli ϕ(x,y ) =,, XY Y = X. Możemy teraz napisać implikacje, z której wynika teza: r χ(sin β,cos(α + β) cos α,2 sin α cos α ) ϕ(cos(α + β) cos α sin α,cos α) t. Zauważmy, że w tym twierdzeniu mamy jeszcze dodatkowo pewne ukryte za lożenia. Mianowicie α i β musza być takie, aby tangensy istnia ly, tj. α + β π 2 + kπ, gdzie k jest liczba ca lkowita oraz α π 2 + sπ, gdzie s jest liczba ca lkowita. Dowody nie wprost. Jeśli zawodza metody dedukcyjne, cze - sto zadajemy pytanie,,co by sie sta lo, gdyby tak nie by lo? Metody rozumowania, w których zaprzeczamy tezie, nazywamy metodami nie wprost. Metody nie wprost dziela sie na dwie grupy: rozumowanie (dowodzenie) przez kontrapozycje oraz przez sprowadzenie do niedorzeczności.

34 34 Wste p do teorii zbiorów i kombinatoryki Tautologia T25 nazywa sie inaczej prawem kontrapozycji i stanowi podstawe dowodów przez kontrapozycje. Dzie ki tej tautologii możemy stwierdzić, że jeśli z negacji naste pnika implikacji (tezy twierdzenia) wynika negacja poprzednika (za lożenia), czyli prawdziwe jest zdanie q p, to prawdziwe jest też zdanie p q, a wie c twierdzenie. Oznaczyliśmy tu przez p za lożenie, a przez q teze twierdzenia. Podstawe dowodów przez sprowadzenie do niedorzeczności stanowi tautologia T26. Tutaj q jest nasza teza, a za lożenie twierdzenia p jest cze ścia zdania s. Zauważmy, że s jest tu zdaniem, którego prawdziwość i fa lszywość wynika z zaprzeczenia tezy twierdzenia, czyli z q. Rozważmy aksjomatyke liczb naturalnych z przyk ladu 1.7. Na jej podstawie przeprowadzimy dowód poniższego twierdzenia Twierdzenie. Jedynka jest dok ladnie jedna. Dowód (nie wprost). Z aksjomatu N1 wynika, że istnieje przynajmniej jedna jedynka. Przypuśćmy, że pewien zbiór liczb naturalnych N zawiera dwie lub wie cej jedynek. Oznaczmy dwie różne jedynki przez 1 i 1. Rozważmy zbiór A sk ladaja cy sie ze wszystkich elementów N z wyja tkiem 1. Wówczas aksjomaty N1 N4 sa w oczywisty sposób spe lnione dla zbioru A. Podobnie spe lnione sa warunki 1 0 oraz 2 0 aksjomatu N5. Ale A jest zbiorem różnym od N, wie c mamy sprzeczność z aksjomatem N5, co oznacza, że N nie jest zbiorem liczb naturalnych. W powyższym twierdzeniu za lożeniem jest aksjomatyka liczb naturalnych. Tego rodzaju za lożenia nie sa sformu lowane w treści twierdzenia. Teza jest tu ca la treść twierdzenia. W dowodzie zaprzeczyliśmy tezie, zak ladaja c, że jedynek jest wie cej niż jedna. Uzyskaliśmy sprzeczność z aksjomatyka liczb naturalnych, czyli droga dedukcyjna doszliśmy do zaprzeczenia za lożenia. W dowodzie naste pnego twierdzenia zademonstrujemy metode przez sprowadzenie do niedorzeczności. W celu uproszczenia zapisu, oznaczmy przez x A fakt, że x jest elementem (należy do) zbioru A. Jeśli x nie należy do zbioru A, to zapiszemy x / A Twierdzenie. Nie istnieje zbiór wszystkich zbiorów.

35 Niektóre zastosowania rachunku zdań 35 Dowód (nie wprost). Za lóżmy, że taki zbiór istnieje i oznaczmy go przez A. Skoro A jest zbiorem, wie c jest elementem zbioru wszystkich zbiorów. Zapiszmy wie c A A. Zdefiniujmy zbiór B jako zbiór wszystkich,,porza dnych zbiorów X, czyli takich, dla których X / X, Zbiór B na pewno nie jest pusty, bo /, jako że do zbioru pustego nic nie należy. Podobnie, poza zbiorem B sa jakieś elementy, ponieważ A A. Czy B B? NIE, ponieważ zbiory spe lniaja ce warunek B B nie sa,,porza dne, wie c zbiór B nie może być elementem zbioru zbiorów porza dnych. TAK, bo gdyby B / B, to zbiór B by lby,,porza dnym zbiorem, a to oznacza loby, że zbiór B jest elementem zbioru zbiorów,,porza dnych, czyli B B. Zatem mamy tu niedorzeczność, ponieważ zbiór B jest swoim elementem i jednocześnie nim nie jest! Naszym zdaniem s z tautologii T26 jest tu zdanie B B. Samo twierdzenie nie ma za lożeń, albo ma za lożenia puste. Zauważmy, że w pewnym momencie dowodu rozumowaliśmy przez kontrapozycje. Dowody nie wprost stanowia mniejszość wśród wszystkich dowodów. Ponieważ dodatkowo jeszcze przy ich przeprowadzeniu korzystamy z dodatkowego za lożenia, jakim jest zaprzeczenie tezy, do dobrego stylu należy wie c zaznaczenie przy s lowie dowód, że be dzie on nie wprost. Na zakończenie naszych rozważań na temat dowodów nie wprost zaznaczmy, że najcze stszym b le dem przy stosowaniu tego typu rozumowania jest zaprzeczanie nie tezie, a za lożeniu. Co gorsza, b la d ten wyste puje na samym pocza tku dowodu, dyskwalifikuja c ca ly dowód. Rozwia zywanie równań i nierówności. Przy rozwia zywaniu równań lub nierówności zawsze spotykamy sie z równoważnościa, a prawie zawsze z alternatywa lub koniunkcja Przyk lad. Zdefiniujmy [a] jako najwie ksza liczbe ca lkowita, która nie jest wie ksza od a. Rozwia żemy równanie [2x + 1] + 3x = 7. (4.1) Zauważmy najpierw, że równanie 4.1 jest równoważne poniższemu

Wzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych

Wzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych Wzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych Pawe l Józiak 007-- Poje cia wste pne Wielomianem zmiennej rzeczywistej t nazywamy funkcje postaci:

Bardziej szczegółowo

Np. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0

Np. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0 ĆWICZENIE 1 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): zdania w sensie logicznym, wartości logiczne, spójniki logiczne, zmienne zdaniowe, tabele prawdziwościowe dla spójników logicznych, formuły, wartościowanie zbioru

Bardziej szczegółowo

1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych.

1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Elementy logiki i teorii zbiorów. 1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Pojęcia pierwotne to najprostsze

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie

Wyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie 1 Dzielenie wielomianów Wyk lad 12 Ważne pierścienie Definicja 12.1. Niech P bedzie pierścieniem, który może nie być dziedzina ca lkowitości. Powiemy, że w pierścieniu P [x] jest wykonalne dzielenie z

Bardziej szczegółowo

13 Zastosowania Lematu Szemerédiego

13 Zastosowania Lematu Szemerédiego 13 Zastosowania Lematu Szemerédiego 13.1 Twierdzenie Erdősa-Stone a (Rozdzia ly 7.1 i 7.5 podre cznika) Jednym z g lównych zagadnień ekstremalnej teorii grafów jest wyznaczenie parametru ex(n, H) = max{

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem

Bardziej szczegółowo

Ziemia obraca się wokół Księżyca, bo posiadając odpowiednią wiedzę można stwierdzić, czy są prawdziwe, czy fałszywe. Zdaniami nie są wypowiedzi:

Ziemia obraca się wokół Księżyca, bo posiadając odpowiednią wiedzę można stwierdzić, czy są prawdziwe, czy fałszywe. Zdaniami nie są wypowiedzi: 1 Elementy logiki W logice zdaniem nazywamy wypowiedź oznajmującą, która (w ramach danej nauki) jest albo prawdziwa, albo fałszywa. Tak więc zdanie może mieć jedną z dwóch wartości logicznych. Prawdziwość

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

Lista 1 (elementy logiki)

Lista 1 (elementy logiki) Podstawy nauczania matematyki 1. Zdanie Lista 1 (elementy logiki) EE I rok W logice zdaniem logicznym nazywamy wyrażenie oznajmujące o którym można powiedzieć że jest prawdziwe lub fałszywe. Zdania z reguły

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Indukcja matematyczna 1 Zasada indukcji Rozpatrzmy najpierw następujący przykład. Przykład 1 Oblicz sumę 1 + + 5 +... + (n 1). Dyskusja. Widzimy że dla n = 1 ostatnim składnikiem powyższej sumy jest n

Bardziej szczegółowo

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Matematyka dla liceum ogólnokształcącego i technikum w zakresie podstawowym i rozszerzonym Z E S Z Y T M E T O D Y C Z N Y Miejski

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna

Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna Wyk lad 5 W lasności wyznaczników Macierz odwrotna 1 Operacje elementarne na macierzach Bardzo ważne znaczenie w algebrze liniowej odgrywaja tzw operacje elementarne na wierszach lub kolumnach macierzy

Bardziej szczegółowo

1 Podstawowe oznaczenia

1 Podstawowe oznaczenia Poniżej mogą Państwo znaleźć skondensowane wiadomości z wykładu. Należy je traktować jako przegląd pojęć, które pojawiły się na wykładzie. Materiały te nie są w pełni tożsame z tym co pojawia się na wykładzie.

Bardziej szczegółowo

Arytmetyka liczb binarnych

Arytmetyka liczb binarnych Wartość dwójkowej liczby stałoprzecinkowej Wartość dziesiętna stałoprzecinkowej liczby binarnej Arytmetyka liczb binarnych b n-1...b 1 b 0,b -1 b -2...b -m = b n-1 2 n-1 +... + b 1 2 1 + b 0 2 0 + b -1

Bardziej szczegółowo

Grupy i cia la, liczby zespolone

Grupy i cia la, liczby zespolone Rozdzia l 1 Grupy i cia la, liczby zespolone Dla ustalenia uwagi, b edziemy używać nast epuj acych oznaczeń: N = { 1, 2, 3,... } - liczby naturalne, Z = { 0, ±1, ±2,... } - liczby ca lkowite, W = { m n

Bardziej szczegółowo

Pojȩcie przestrzeni metrycznej

Pojȩcie przestrzeni metrycznej ROZDZIA l 1 Pojȩcie przestrzeni metrycznej Definicja 1.1. Dowolny niepusty zbiór X z funkcja ρ : X X [0, ), spe lniaja ca naste puja ce trzy warunki M1: ρ(x, y) = 0 x = y, M2: ρ(x, y) = ρ(y, x), M3: ρ(x,

Bardziej szczegółowo

Metodydowodzenia twierdzeń

Metodydowodzenia twierdzeń 1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ 1 Tezy KRZ Pewien system aksjomatyczny KRZ został przedstawiony

Bardziej szczegółowo

P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki. Uproszczony 1 j. ezyk PCF

P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki. Uproszczony 1 j. ezyk PCF 29 kwietnia 2013, godzina 23: 56 strona 1 P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki Uproszczony 1 j ezyk PCF Sk ladnia: Poniżej Γ oznacza otoczenie typowe, czyli zbiór deklaracji postaci (x : τ).

Bardziej szczegółowo

LOGIKA ALGORYTMICZNA

LOGIKA ALGORYTMICZNA LOGIKA ALGORYTMICZNA 0.0. Relacje. Iloczyn kartezjański: A B := (a, b) : a A i b B} (zak ladamy, że (x, y) i (u, v) s a równe wtedy i tylko wtedy gdy x = u i y = v); A n := (x 1,..., x n ) : x i A}; R

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

(g) (p q) [(p q) p]; (h) p [( p q) ( p q)]; (i) [p ( p q)]; (j) p [( q q) r]; (k) [(p q) (q p)] (p q); (l) [(p q) (r s)] [(p s) (q r)];

(g) (p q) [(p q) p]; (h) p [( p q) ( p q)]; (i) [p ( p q)]; (j) p [( q q) r]; (k) [(p q) (q p)] (p q); (l) [(p q) (r s)] [(p s) (q r)]; Logika 1. Czy następujące sformułowania są zdaniami: (a) Wszystkie koty w Polsce są czarne. (b) Jak to udowodnić? (c) x + y = 7. (d) Jeśli x 2 = y 2, to x = y. (e) Jeśli x = y, to x 2 = y 2. (f) 2 n +

Bardziej szczegółowo

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE Zarządzanie i Inżynieria Produkcji studia stacjonarne Konspekt do wykładu z Matematyki 1 1 Postać trygonometryczna liczby zespolonej zastosowania i przykłady 1 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

5. OKREŚLANIE WARTOŚCI LOGICZNEJ ZDAŃ ZŁOŻONYCH

5. OKREŚLANIE WARTOŚCI LOGICZNEJ ZDAŃ ZŁOŻONYCH 5. OKREŚLANIE WARTOŚCI LOGICZNEJ ZDAŃ ZŁOŻONYCH Temat, którym mamy się tu zająć, jest nudny i żmudny będziemy się uczyć techniki obliczania wartości logicznej zdań dowolnie złożonych. Po co? możecie zapytać.

Bardziej szczegółowo

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a); Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki (4 godz.)

Elementy logiki (4 godz.) Elementy logiki (4 godz.) Spójniki zdaniotwórcze, prawa de Morgana. Wyrażenie implikacji za pomocą alternatywy i negacji, zaprzeczenie implikacji. Prawo kontrapozycji. Podstawowe prawa rachunku zdań. Uczestnik

Bardziej szczegółowo

12. Wykazać, że liczba podzbiorów zbioru {1, 2,..., n}, które nie zawieraja, dwu kolejnych liczb naturalnych

12. Wykazać, że liczba podzbiorów zbioru {1, 2,..., n}, które nie zawieraja, dwu kolejnych liczb naturalnych !"$# % # &(' )**"+ 1 Numer telefoniczny może zaczynać sie, od dowolnej z dziesie, ciu cyfr Ile jest siedmiocyfrowych numerów telefonicznych, których wszystkie cyfry sa, : a różne; b nieparzyste 9 osób

Bardziej szczegółowo

Matematyka Dyskretna Zestaw 2

Matematyka Dyskretna Zestaw 2 Materiały dydaktyczne Matematyka Dyskretna (Zestaw ) Matematyka Dyskretna Zestaw 1. Wykazać, że nie istnieje liczba naturalna, która przy dzieleniu przez 18 daje resztę 13, a przy dzieleniu przez 1 daje

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu 5 marca 2011 Zasady 10 wyk ladów; egzamin pisemny; Literatura 1 A. Lomnicki Wprowadzenie do statystyki dla przyrodników PWN 1999. 2 W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski Rachunek

Bardziej szczegółowo

WYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE

WYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE WYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE Definicja 1 Algebra abstrakcyjna nazywamy teorie, której przedmiotem sa dzia lania na

Bardziej szczegółowo

Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga

Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga Anna Romanowska January 29, 2016 4 Kraty i algebry Boole a 41 Kraty zupe lne Definicja 411 Zbiór uporza dkowany (P, ) nazywamy krata zupe lna,

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie 51. ( pkt) Rozwi równanie 3 x 1. 1 x Zadanie 5. ( pkt) x 3y 5 Rozwi uk ad równa. x y 3 Zadanie 53. ( pkt) Rozwi nierówno x 6x 7 0. ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie 54. ( pkt) 3 Rozwi

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 14 Formy kwadratowe I

Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wielomian n-zmiennych x 1,, x n postaci n a ij x i x j, (1) gdzie a ij R oraz a ij = a ji dla wszystkich i, j = 1,, n nazywamy forma kwadratowa n-zmiennych Forme (1) można

Bardziej szczegółowo

Czas pracy 170 minut

Czas pracy 170 minut ORGANIZATOR WSPÓŁORGANIZATOR PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MARZEC ROK 013 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla piszącego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron.. W zadaniach od

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie IV. Dany jest prostokątny arkusz kartony o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe

Bardziej szczegółowo

Wykład I. Literatura. Oznaczenia. ot(x 0 ) zbiór wszystkich otoczeń punktu x 0

Wykład I. Literatura. Oznaczenia. ot(x 0 ) zbiór wszystkich otoczeń punktu x 0 Wykład I Literatura Podręczniki 1. G. M. Fitherholz Rachunek różniczkowy i całkowy 2. W. Żakowski Matematyka tom I Zbiory zadań 1. W. Krysicki, L. Włodarski Analiza matematyczna w zadaniach tom I i II

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ 1 Inferencyjna równoważność formuł Definicja 9.1. Formuła A jest

Bardziej szczegółowo

I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych.

I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. 1. Elementy logiki matematycznej. 1.1. Rachunek zdań. Definicja 1.1. Zdaniem logicznym nazywamy zdanie gramatyczne

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś. Wprowadzenie

MATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś. Wprowadzenie 1 MATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś Wprowadzenie Istniej a dwa różne kryteria mówi ace, które narzȩdzia matematyczne należy zaliczyć do matematyki dyskretnej. Pierwsze definiuje matematykȩ

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm

Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm 1 Grupa ilorazowa Niech H b edzie dzielnikiem normalnym grupy G. Oznaczmy przez G/H zbiór wszystkich warstw lewostronnych grupy G wzgl edem podgrupy

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Logika i teoria mnogości Ćwiczenia

Logika i teoria mnogości Ćwiczenia Logika i teoria mnogości Ćwiczenia Spis treści 1 Zdania logiczne i tautologie 1 2 Algebra zbiorów 3 3 Różnica symetryczna 4 4 Iloczyn kartezjański. Kwantyfikatory. 5 5 Kwantyfikatory. 6 6 Relacje 7 7 Relacje

Bardziej szczegółowo

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Wyrażeniem algebraicznym nazywamy wyrażenie zbudowane z liczb, liter, nawiasów oraz znaków działań, na przykład: Symbole literowe występujące w wyrażeniu algebraicznym nazywamy zmiennymi.

Bardziej szczegółowo

Luty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl

Luty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl System dziesiętny 7 * 10 4 + 3 * 10 3 + 0 * 10 2 + 5 *10 1 + 1 * 10 0 = 73051 Liczba 10 w tym zapisie nazywa się podstawą systemu liczenia. Jeśli liczba 73051 byłaby zapisana w systemie ósemkowym, co powinniśmy

Bardziej szczegółowo

Pierścienie grupowe wyk lad 2. Przypomnijmy, że K-algebra A jest pó lprosta, gdy jej lewe A-modu ly przypominaja

Pierścienie grupowe wyk lad 2. Przypomnijmy, że K-algebra A jest pó lprosta, gdy jej lewe A-modu ly przypominaja Pierścienie grupowe wyk lad 2. Przypomnijmy, że K-algebra A jest pó lprosta, gdy jej lewe A-modu ly przypominaja przestrzenie liniowe nad A: każdy z nich ma rozk lad na sume modu lów prostych. W tych rozk

Bardziej szczegółowo

Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 1

Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 1 Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 1 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego działu, aby uzyskać poszczególne stopnie. Na ocenę dopuszczającą uczeń powinien opanować

Bardziej szczegółowo

1. Liczby naturalne, podzielność, silnie, reszty z dzielenia

1. Liczby naturalne, podzielność, silnie, reszty z dzielenia 1. Liczby naturalne, podzielność, silnie, reszty z dzielenia kwadratów i sześcianów przez małe liczby, cechy podzielności przez 2, 4, 8, 5, 25, 125, 3, 9. 26 września 2009 r. Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie

Bardziej szczegółowo

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych.

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących, 008/09. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. 15 listopada 008 r. Uwaga: Przyjmujemy,

Bardziej szczegółowo

Czas pracy 170 minut

Czas pracy 170 minut ORGANIZATOR WSPÓŁORGANIZATOR PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW LICEUM MARZEC ROK 015 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla piszącego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron..

Bardziej szczegółowo

Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne)

Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne) Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne) Definicja 1: Tautologia jest to takie wyrażenie, którego wartość logiczna jest prawdą przy wszystkich możliwych wartościowaniach zmiennych

Bardziej szczegółowo

Kryteria oceniania z matematyki zakres podstawowy Klasa I

Kryteria oceniania z matematyki zakres podstawowy Klasa I Kryteria oceniania z matematyki zakres podstawowy Klasa I zakres Dopuszczający Dostateczny Dobry bardzo dobry Zdanie logiczne ( proste i złożone i forma zdaniowa oraz prawa logiczne dotyczące alternatywy,

Bardziej szczegółowo

Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e

Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej Zestaw 1 szkice rozwiązań zadań 1 W wierszu zapisano kolejno 2010 liczb Pierwsza zapisana liczba jest równa 7 oraz

Bardziej szczegółowo

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ L.p. 1. Liczby rzeczywiste 2. Wyrażenia algebraiczne bada, czy wynik obliczeń jest liczbą

Bardziej szczegółowo

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0. 5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone Definicja liczb zespolonych Liczbami zespolonymi nazywamy liczby postaci a + bi, gdzie i oznacza jednostke urojona, przyjmujemy,

Liczby zespolone Definicja liczb zespolonych Liczbami zespolonymi nazywamy liczby postaci a + bi, gdzie i oznacza jednostke urojona, przyjmujemy, Liczby zespolone Definicja liczb zespolonych Liczbami zespolonymi nazywamy liczby postaci a + bi, gdzie i oznacza jednostke urojona, przyjmujemy, że i = 1 zaś a i b sa liczbami rzeczywistymi. Suma liczb

Bardziej szczegółowo

2. LICZBY RZECZYWISTE Własności liczb całkowitych Liczby rzeczywiste Procenty... 24

2. LICZBY RZECZYWISTE Własności liczb całkowitych Liczby rzeczywiste Procenty... 24 SPIS TREŚCI WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI ALGEBRAICZNE 7 Wyrażenia algebraiczne 0 Równania i nierówności algebraiczne LICZBY RZECZYWISTE 4 Własności liczb całkowitych 8 Liczby rzeczywiste

Bardziej szczegółowo

Matematyka A, kolokwium, 15 maja 2013 rozwia. ciem rozwia

Matematyka A, kolokwium, 15 maja 2013 rozwia. ciem rozwia Maemayka A kolokwium maja rozwia zania Należy przeczyać CA LE zadanie PRZED rozpocze ciem rozwia zywania go!. Niech M. p. Dowieść że dla każdej pary liczb ca lkowiych a b isnieje aka para liczb wymiernych

Bardziej szczegółowo

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI Zestaw P POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla pisz cego 1. Sprawd, czy arkusz zawiera 17 stron.. W zadaniach od 1. do 0. s podane 4 odpowiedzi:

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI

MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI Program wykładów: dr inż. Barbara GŁUT Wstęp do logiki klasycznej: rachunek zdań, rachunek predykatów. Elementy semantyki. Podstawy teorii mnogości

Bardziej szczegółowo

pobrano z (A1) Czas GRUDZIE

pobrano z  (A1) Czas GRUDZIE EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 014/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY PRZYK ADOWY ZESTAW ZADA (A1) W czasie trwania egzaminu zdaj cy mo e korzysta z zestawu wzorów matematycznych, linijki i cyrkla

Bardziej szczegółowo

Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, , tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Rozwiązanie:

Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, , tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Rozwiązanie: Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, 6 11 6 11, tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Uprośćmy najpierw liczby dane w treści zadania: 8 2, 2 2 2 2 2 2 6 11 6 11 6 11 26 11 6 11

Bardziej szczegółowo

V Międzyszkolny Konkurs Matematyczny

V Międzyszkolny Konkurs Matematyczny V Międzyszkolny Konkurs Matematyczny im. Stefana Banacha dla uczniów szkół średnich Zespół Szkół Nr 1 im. Adama Mickiewicza w Lublińcu 42-700 Lubliniec, ul. Sobieskiego 22 18. kwiecień 2011 rok 1. W trapezie

Bardziej szczegółowo

Kongruencje pierwsze kroki

Kongruencje pierwsze kroki Kongruencje wykład 1 Definicja Niech n będzie dodatnią liczbą całkowitą, natomiast a i b dowolnymi liczbami całkowitymi. Liczby a i b nazywamy przystającymi (kongruentnymi) modulo n i piszemy a b (mod

Bardziej szczegółowo

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI Zestaw P POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla pisz cego 1. Sprawd, czy arkusz zawiera 17 stron.. W zadaniach od 1. do 0. s podane 4 odpowiedzi:

Bardziej szczegółowo

Definicja odwzorowania ciągłego i niektóre przykłady

Definicja odwzorowania ciągłego i niektóre przykłady Odwzorowania Pojęcie odwzorowania pomiędzy dwoma zbiorami było już definiowane, ale dawno, więc nie od rzeczy będzie przypomnieć, że odwzorowaniem nazywamy sposób przyporządkowania (niekoniecznie każdemu)

Bardziej szczegółowo

Komponent wspólny dla Kół Młodych Naukowców z przedmiotu matematyka dla klas licealnych 1 i 2 w roku szkolnym 2010 / 2011.

Komponent wspólny dla Kół Młodych Naukowców z przedmiotu matematyka dla klas licealnych 1 i 2 w roku szkolnym 2010 / 2011. Komponent wspólny dla Kół Młodych Naukowców z przedmiotu matematyka dla klas licealnych 1 i 2 w roku szkolnym 2010 / 2011. w miejscowościach Kluczbork, Ostrzeszów, Syców i Wieluń Opis Projekt zakłada zrealizowanie

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny treningowy nr 7. W zadaniach 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź.

Arkusz maturalny treningowy nr 7. W zadaniach 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź. Czas pracy: 170 minut Liczba punktów do uzyskania: 50 Arkusz maturalny treningowy nr 7 W zadaniach 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź. Zadanie 1. (0-1) Wyrażenie (-8x 3

Bardziej szczegółowo

1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia.

1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. 1. Elementy logiki i algebry zbiorów 1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. Funkcje zdaniowe. Zdania z kwantyfikatorami oraz ich zaprzeczenia.

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział

Bardziej szczegółowo

Matematyka Dyskretna 2/2008 rozwiązania. x 2 = 5x 6 (1) s 1 = Aα 1 + Bβ 1. A + B = c 2 A + 3 B = d

Matematyka Dyskretna 2/2008 rozwiązania. x 2 = 5x 6 (1) s 1 = Aα 1 + Bβ 1. A + B = c 2 A + 3 B = d C. Bagiński Materiały dydaktyczne 1 Matematyka Dyskretna /008 rozwiązania 1. W każdym z następujących przypadków podać jawny wzór na s n i udowodnić indukcyjnie jego poprawność: (a) s 0 3, s 1 6, oraz

Bardziej szczegółowo

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa, test próbny www.omg.edu.pl (wrzesień 2011 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba krawędzi pewnego ostrosłupa jest o

Bardziej szczegółowo

1. Powtórka ze szkoły. Wykład: 4.10.2004 (4 godziny), ćwiczenia: 7.10.2004, kolokwium nr 1: 11.10.2004

1. Powtórka ze szkoły. Wykład: 4.10.2004 (4 godziny), ćwiczenia: 7.10.2004, kolokwium nr 1: 11.10.2004 ANALIZA MATEMATYCZNA A dla I roku, 2004/2005 1. Powtórka ze szkoły. Wykład: 4.10.2004 (4 godziny), ćwiczenia: 7.10.2004, kolokwium nr 1: 11.10.2004 Obliczyć sumy (postępów arytmetycznych i goemetrycznych):

Bardziej szczegółowo

Program zajęć pozalekcyjnych z matematyki poziom rozszerzony- realizowanych w ramach projektu Przez naukę i praktykę na Politechnikę

Program zajęć pozalekcyjnych z matematyki poziom rozszerzony- realizowanych w ramach projektu Przez naukę i praktykę na Politechnikę Program zajęć pozalekcyjnych z matematyki poziom rozszerzony- realizowanych w ramach projektu Przez naukę i praktykę na Politechnikę 1. Omówienie programu. Zaznajomienie uczniów ze źródłami finansowania

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 80 minut Instrukcja dla zdaj¹cego. SprawdŸ, czy arkusz egzaminacyjny zawiera stron (zadania 0). Ewentualny brak zg³oœ przewodnicz¹cemu

Bardziej szczegółowo

KLASA 3 GIMNAZJUM. 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE (26 h) 1. Lekcja organizacyjna 1. 2. System dziesiątkowy 2-4. 3. System rzymski 5-6

KLASA 3 GIMNAZJUM. 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE (26 h) 1. Lekcja organizacyjna 1. 2. System dziesiątkowy 2-4. 3. System rzymski 5-6 KLASA 3 GIMNAZJUM TEMAT LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE (26 h) 1. Lekcja organizacyjna 1 2. System dziesiątkowy 2-4 WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ Z XII 2008 R.

Bardziej szczegółowo

Weronika Łabaj. Geometria Bolyaia-Łobaczewskiego

Weronika Łabaj. Geometria Bolyaia-Łobaczewskiego Weronika Łabaj Geometria Bolyaia-Łobaczewskiego Tematem mojej pracy jest geometria hiperboliczna, od nazwisk jej twórców nazywana też geometrią Bolyaia-Łobaczewskiego. Mimo, że odkryto ją dopiero w XIX

Bardziej szczegółowo

zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki

zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki poziom podstawowy rozumowanie i argumentacja karty pracy ZESTAW II Zadanie. Wiadomo, że,7 jest przybliżeniem liczby 0,5 z zaokrągleniem do miejsc po przecinku. Wyznacz przybliżenie

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 016 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY DATA: 9

Bardziej szczegółowo

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE Standardy wymagań egzaminacyjnych Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY POZIOM ROZSZERZONY 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny

Bardziej szczegółowo

5. Logarytmy: definicja oraz podstawowe własności algebraiczne.

5. Logarytmy: definicja oraz podstawowe własności algebraiczne. 5. Logarytmy: definicja oraz podstawowe własności algebraiczne. 78. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log 6 2+log 36 9 a) 4 2+log 27 = (2 2 ) log 27 4 = 28 2 = 784 29 listopada 2008

Bardziej szczegółowo

MATERIAŁY DIAGNOSTYCZNE Z MATEMATYKI

MATERIAŁY DIAGNOSTYCZNE Z MATEMATYKI MATERIAŁY DIAGNOSTYCZNE Z MATEMATYKI LUTY 01 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera strony (zadania 1 ).. Arkusz zawiera 4 zadania zamknięte i 9

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt

Bardziej szczegółowo

Logika. Michał Lipnicki. 15 stycznia Zakład Logiki Stosowanej UAM. Michał Lipnicki () Logika 15 stycznia / 37

Logika. Michał Lipnicki. 15 stycznia Zakład Logiki Stosowanej UAM. Michał Lipnicki () Logika 15 stycznia / 37 Logika Michał Lipnicki Zakład Logiki Stosowanej UAM 15 stycznia 2011 Michał Lipnicki () Logika 15 stycznia 2011 1 / 37 Wstęp Materiały na dzisiejsze zajęcia zostały opracowane na podstawie pomocy naukowych

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY LISTOPAD 014 Czas pracy: 170 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 1

Bardziej szczegółowo

nie zdałeś naszej próbnej matury z matematyki?

nie zdałeś naszej próbnej matury z matematyki? Szanowny Maturzysto, nie zdałeś naszej próbnej matury z matematyki? To prawie niemożliwe, ale jeżeli jednak tak, to Pewnie sądzisz, że przyczyna tkwi w bardzo trudnym arkuszu! Zobaczmy, jak to wygląda

Bardziej szczegółowo

Definicja: alfabetem. słowem długością słowa

Definicja: alfabetem. słowem długością słowa Definicja: Niech X będzie zbiorem niepustym. Zbiór ten będziemy nazywać alfabetem. Skończony ciąg elementów alfabetu X będziemy nazywać słowem a liczbę elementów tego ciągu nazywamy długością słowa. Na

Bardziej szczegółowo

14.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe.

14.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe. Matematyka 4/ 4.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe. I. Przypomnij sobie:. Wiadomości z poprzedniej lekcji... Że przy rozwiązywaniu zadań tekstowych wykorzystujących

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel

Bardziej szczegółowo

Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu.

Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu. pobrano z www.sqlmedia.pl Uk ad graficzny CKE 00 KOD Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu. WPISUJE ZDAJ CY PESEL Miejsce na naklejk

Bardziej szczegółowo

Wykłady z matematyki Liczby zespolone

Wykłady z matematyki Liczby zespolone Wykłady z matematyki Liczby zespolone Rok akademicki 015/16 UTP Bydgoszcz Liczby zespolone Wstęp Formalnie rzecz biorąc liczby zespolone to punkty na płaszczyźnie z działaniami zdefiniowanymi następująco:

Bardziej szczegółowo

Grupy, pierścienie i ciała

Grupy, pierścienie i ciała Grupy, pierścienie i ciała Definicja: Niech A będzie niepustym zbiorem. Działaniem wewnętrznym (lub, krótko, działaniem) w zbiorze A nazywamy funkcję : A A A. Niech ponadto B będzie niepustym zbiorem.

Bardziej szczegółowo

celu przyjmijmy: min x 0 = n t Zadanie transportowe nazywamy zbilansowanym gdy podaż = popyt, czyli n

celu przyjmijmy: min x 0 = n t Zadanie transportowe nazywamy zbilansowanym gdy podaż = popyt, czyli n 123456789 wyk lad 9 Zagadnienie transportowe Mamy n punktów wysy lajacych towar i t punktów odbierajacych. Istnieje droga od każdego dostawcy do każdego odbiorcy i znany jest koszt transportu jednostki

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu 15.1.010r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II Zadanie 1. Wyznacz dziedzinę naturalną funkcji f x) = arc cos x x + x 5 ) ) log x + 5. Rozwiązanie. Wymagane

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZĘCIA EGZAMINU! Miejsce na naklejkę MMA-R_P-08 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY MAJ ROK 008 Czas pracy 80 minut Instrukcja

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje Definicja 1. Mówimy że: liczba m Z jest dzielnikiem liczby n Z gdy istnieje l Z takie że n = l m. Zapisujemy to symbolem m n; liczba m Z jest wspólnym

Bardziej szczegółowo