Logika. Logika. Z czego się składa: model dziedzina, o której własnościach wnioskujemy,

Transkrypt

1 Z czego się składa: model dziedzina, o której własnościach wnioskujemy, język w którym zapisujemy te własności, interpretacja przypisująca napisom języka elementy z modelu Składowe części języka: termy opisyelementów;npsinπ; formuły opisy własności elementów; np sin π 05(własności niekoniecznie prawdziwe); teoria zbiórformuł,któreuważamyzaopisy prawdziwych własności; zwykle zadawany przez aksjomaty i reguły wnioskowania język interpretacja model Wykład8,14IV2010,str2 DEFINICJA: logika pierwszego rzędu język M zmiennevar:napisyk,m,n,ewzindeksamilubprimami; symbole funkcyjne Fun: skończony(lub przeliczalny rekursywny) zbiór napisów; dana funkcja arność ar: Fun N(nieformalnie: liczba argumentów); jeślic Funiar(c)0,tocnazywamystałą; termy Term: najmniejszy zbiór napisów tż: Var Term,czylizmiennesątermami, jeślif Funit 1,t 2,,t ar(f) Term,tof(t 1,t 2,,t ar(f) ) Term, czyli termy uzyskuje się przez zastosowanie symbolu funkcyjnego do odpowiedniej liczby termów; symbole relacyjne Rel: skończony(lub przeliczalny rekursywny) zbiór napisów; dana funkcja arność ar: Rel N(nieformalnie: liczba argumentów); formuły Form: najmniejszy zbiór napisów tż: jeślir Relit 1,t 2,,t ar(r) Term,tor(t 1,t 2,,t ar(f) ) Form, czyli formuły atomowe uzyskuje się przez zastosowanie symbolu relacyjnego do odpowiedniej liczby termów; jeślif 1,f 2 Form,tonapisy f 1,f 1 &f 2,f 1 f 2,f 1 f 2,f 1 f 2 też są formułami, jeslix Varif Form,to x fi x fsąformułami

2 Przykład: język arytmetyki M symbolefunkcyjne: ar(0)0 stałazero ar(1)0 stałajeden ar(s)1 funkcjanastępnik ar(+)2 funkcjadodawanie ar( )2 funkcjamnożenie symbolerelacyjne: ar()2 równość ar(<)2 mniejszość ar( )2 mniejszośćnieostra Przykłady formuł: n k n k n k n<k n0 n1 n2 k (n k 0n k 1+n k 2 k 2) Wykład8,14IV2010,str4 DEFINICJA: logikapierwszegorzędu modelm M,F,R M zbiórm nośnikmodelu; zbiórf + n0 F n operacji; jeślif F n,tof:m M }} zbiórr + n0 negz R n predykatów; M jeślir R n,tor:m M false, true} }} negz

3 DEFINICJA: logika pierwszego rzędu interpretacja M I:Fun F tż I[[f]] Far(f) I:Rel R tż I[[r]] R ar(r) W obecności wartościowania zmiennych do elementów modelu, v Val def Var M taka interpretacja rozszerza się jednoznacznie do interpretacji termów i formuł: I:Term Val M I:Form Val false,true} (patrz dalej) Wykład8,14IV2010,str6 Interpretacje: zmienna:i[[x]]v def v(x) termzłożony:i[[f(,t i,)]]v def I[[f]](,I[[t i ]]v,) formułaatomowa:i[[r(,t i,)]]v def I[[r]](,I[[t i ]]v,) formuła złożona: I[[ f]]v def falsejeślii[[f]]vtrue truejeślii[[f]]vfalse I[[f 1 &f 2 ]]v def truejeślii[[f1 ]]vtrueii[[f 2 ]]vtrue false w przeciwnym razie I[[f 1 f 2 ]]v def falsejeślii[[f1 ]]vfalseii[[f 2 ]]vfalse true w przeciwnym razie I[[f 1 f 2 ]]v def falsejeślii[[f1 ]]vtrueii[[f 2 ]]vfalse true w przeciwnym razie I[[f 1 f 2 ]]v def truejeślii[[f1 ]]vi[[f 2 ]]v false w przeciwnym razie

4 Interpretacje, cd: formuła złożona(z kwantyfikatorem): I[[ x f]]v def I[[ x f]]v def truejeślii[[f]]v truedladowolnegov Val różniącegosięodvnajwyżejnazmiennejx false w przeciwnym razie falsejeślii[[f]]v falsedladowolnegov Val różniącegosięodvnajwyżejnazmiennejx true w przeciwnym razie Wykład8,14IV2010,str8 Uwagi: interpretacja I tłumaczy napisy na rzeczywistość ; podobnie jak translator języka programowania tłumaczy programy(napisy) na prawdziwe obliczenia; w definicji interpretacji używaliśmy pojęć analogicznych do definiowanych, ale na innym poziomie, np: pojęcia metapojęcia spójniki,&,,, słowa i, jeśli, w przeciwnym razie kwantyfikatory, słowa dla dowolnego w logice drugiego rzędu zezwala się dodatkowo na kwantyfikowanie po funkcjach lub predykatach

5 Oznaczenia: formuła f jest w interpretacji I spełniona dla każdego wartościowania: I f def I[[f]]vtruedlakażdegov Val formuła f jest tautologią: f def I fdlakażdegomodelumikażdejinterpretacjiiwm Wykład8,14IV2010,str10 DEFINICJA: logika pierwszego rzędu teoria: Mwybieramy pewien zbiór twierdzeń: T Form; ozn: f def f T DEFINICJA: teoria T zgodna z modelem M, I : M(inaczej: M,I jestmodelemteoriit) dladowolnejformułyf Form:jeśli f to I f DEFINICJA: teoria T pełna dla modelu M, I : Mdladowolnejformułyf Form:jeśli I f to f

6 pierwszego rzędu teoria: Teorie są zwykle nieskończone Zadaje się je zwykle przez podanie skończonego(lub przeliczalnego rekursywnego) zbioru aksjomatów, oraz skończonego(lub przeliczalnego rekursywnego) zbioru reguł wywodu Aksjomaty to gotowe twierdzenia teorii Reguły wywodu to sposoby czysto językowego konstruowania nowych twierdzeń ze starych Wykład8,14IV2010,str12 pierwszego rzędu teoria: Przykład: reguła odrywania(modus ponens) M } f 1 f 2 f założenia 1 f 2 wniosek Przykład: reguła uszczegółowiania(wprowadzania ) M f[t/x] x f (f[t/x] formułafzezmiennąxzastąpionąprzeztermt) Przykład: reguła uogólniania(wprowadzania ) M f x f (o ile x nie występuje w założeniach)

7 Komplikacje: istnieje dużo modeli danej logiki pierwszego rzędu; np termy arytmetyki można interpretować jako prawdziwe liczby, albo jako ciągi bitów; ale takie modele są izomorficzne; zwykle istnieje wiele nieizomorficznych modeli danej logiki pierwszego rzędu TWIERDZENIE: (Skolema-Löwenheima) MJeśli teoria pierwszego rzędu posiada choćby jeden model nieskończony, to posiada model o każdej mocy pozaskończonej Wniosek: MArytmetyka liczb naturalnych posiada modelmocyℵ 0,modelmocy2 ℵ 0,modelmocy2 2ℵ 0,,itp Wykład8,14IV2010,str14 język interpretacja 1 interpretacja0 model 1 model 0 model 1 interpretacja 1

8 DEFINICJA: MDlaf,f 1,,f n Formzapis f 1,,f n f oznacza,żei[[f]]vtruedlakażdegotakiegomodelu M,I ikażdego wartościowaniavzmiennychwtymmodelu,żei[[f i ]]vtruedlawszystkich i 1,,n} DEFINICJA: MTemu odpowiada formalny napis w języku: f 1,,f n f oznaczający(zgrubsza),żezzałożeńf 1,,f n dajesięwywieśćtezaf