Teoria grup. Jan Derezi«ski. Katedra Metod Matematycznych Fizyki Uniwersytet Warszawski Ho»a 74, , Warszawa

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Teoria grup. Jan Derezi«ski. Katedra Metod Matematycznych Fizyki Uniwersytet Warszawski Ho»a 74, 00-682, Warszawa e-mail jan.derezinski@fuw.edu."

Transkrypt

1 Teoria grup Jan Derezi«ski Katedra Metod Matematycznych Fizyki Uniwersytet Warszawski Ho»a 74, , Warszawa 9 czerwca 2015 rok 2010/11 Spis tre±ci 1 Podstawowe wªasno±ci grup Denicja Podgrupy Homomorzmy Dziaªanie Orbity Warstwy Klasy sprz»ono±ci Klasykacja dziaªa«grupy Iloczyn prosty Podgrupy normalne Iloczyn póªprosty Przykªady grup Permutacje Iloczyn póªprosty z grup Z Grupa permutacji 3 elementów Grupa permutacji 4 elementów Grupa obrotów SO(3) Grupa obrotów wªa±ciwych wielok ta foremnego C n Z n Grupa dihedralna D n Z n Z Grupa czworo±cianu T A Grupa sze±cianu/o±mio±cianu O S Grupa dwudziesto±cianu/dwunasto±cianu) I A Sko«czone podgrupy grupy obrotów

2 3 Grupy macierzowe Ciaªa Przestrzenie wektorowe Odwzorowania liniowe Ogólna grupa liniowa Grupa ortogonalna w sko«czonym wymiarze Grupa pseudo-ortogonalna Abstrakcyjne podej±cie do grup (pseudo-)ortogonalnych Grupa unitarna w sko«czonym wymiarze Grupa pseudo-unitarna Abstrakcyjne podej±cie do grup (pseudo-)unitarnych Grupa symplektyczna w sko«czonym wymiarze Abstrakcyjne podej±cie do grup symplektycznych Grupy aniczne Grupy Liego Koincydencje w±ród grup macierzowych SL(2, K) Sp(2, K) SU(2)/Z 2 SO(3) SL(2, R)/Z 2 SO 0 (1, 2), SL(2, C)/Z 2 SO(3, C), SL(2, C)/Z 2 SO 0 (1, 3) (SL(2, R) SL(2, R)) /Z 2 SO 0 (2, 2), (SL(2, C) SL(2, C)) /Z 2 SO(4, C), (SU(2) SU(2)) /Z 2 SO(4) Reprezentacje grup Denicja Suma prosta Równowa»no± Nieprzywiedlno± Reprezentacje jednowymiarowe Reprezentacje permutacyjne Podstawowe reprezentacje grupy permutacji Lematy Schura Iloczyn tensorowy I Iloczyn tensorowy II Reprezentacja grupy permutacji Charaktery Reprezentacje grup sko«czonych Unitaryzowalno± Relacje ortogonalno±ci Rozkªad reprezentacji Reprezentacja regularna Liczba reprezentacji nieprzywiedlnych

3 7 Algebry ª czne Denicja Podalgebry Identyczno± Idempotenty Sumy proste Homomorzmy Lewa regularna reprezentacja Ideaªy Przykªady podalgebr w L(K n ) algebry Reprezentacje sko«czenie wymiarowych -algebr homomorzmy sko«czenie wymiarowych -algebr Algebra grupowa Algebra grupowa Posta algebry splotowej Reprezentacja regularna Kwaterniony Denicje Zanurzanie liczb zespolonych w kwaternionach Macierzowa reprezentacja kwaternionów Rzeczywiste proste algebry Kwaternionowe przestrzenie wektorowe Reprezentacje zespolone, rzeczywiste i kwaternionowe Reprezentacja zespolenie sprz»ona Przestrze«zespolenie sprz»ona Reprezentacje zespolone Splatacze w iloczynach tensorowych Elementy krystalograi Grupy punktowe Sieci Grupa ruchów euklidesowych Grupy fryzowe Punktowe grupy krystalograczne Sieci Bravais'go Grupy krystalograczne Grupy tapetowe Grupy przestrzenne

4 12 Macierzowe algebry Liego Rozmaito±ci zanurzone Funkcje macierzowe Macierzowe algebry Liego Przemienne grupy i algebry Liego Algebra Liego macierzy bez±ladowych Formy niezmiennicze Ortogonalne i pseudoortogonalne algebra Liego Abstrakcyjne podej±cie Kanoniczna forma Forma o sygnaturze (q, p) Unitarne i pseudounitarne algebry Liego Abstrakcyjne podej±cie Kanoniczna forma Forma o sygnaturze (q, p) Symplektyczna algebra Liego Abstrakcyjne algebry Liego Denicja Algebry ª czne a algebry Liego Homomorzmy Reprezentacja doª czona Ró»niczkowania Ideaªy Ideaªy charakterystyczne Iloczyn póªprosty Aniczne algebry Liego Zwi zek zespolonych i rzeczywistych przestrzeni wektorowych Zwi zek zespolonych i rzeczywistych algebr Liego Formy niezmiennicze na algebrze Liego Algebry póªproste i reduktywne Zwarte grupy i ich reprezentacje Reprezentacje Reprezentacja kontragradientna Uto»samienie iloczynu tensorowego i operatorów liniowych Iloczyn reprezentacji i reprezentacji kontragradientnej Istnienie miary Haara i jego konsekwencje Reprezentacje nieprzywiedlne Rozkªad dowolnej reprezentacji Rozkªad iloczynu tensorowego reprezentacji Przykªad: Z n Przykªad: T := R/Z Przykªad: S

5 15 SL(2, C) i SU(2) i ich reprezentacje sl(2, C) i su(2) so(3, C) i SO(3, C) Sko«czenie wymiarowe reprezentacje sl(2, C) Reprezentacje unitarne su(2) Reprezentacje SL(2, C) i SU(2) Parametryzacje SU(2) D-macierze Wignera Typ reprezentacji grupy SL(2, C) Miara Haara na SU(2) Charaktery reprezentacji SU(2) Wspóªczynniki Clebscha-Gordana i 3j-symbole Iloczyn tensorowy z reprezentacj o spinie Zastosowanie grupy SU(3) w zyce cz stek Reprezentacje su(3) Pierwiastki i algebra Cartana Wagi reprezentacji Pierwiastki Reprezentacja fundamentalna i antyfundamentalna Trialno± Pierwiastki ujemne i dodatnie Diagramy wagowe przykªadowych reprezentacji Symetrie w mechanice kwantowej Konwencje Zachowane ªadunki Izospin Dziwno± Kwarki Zastosowanie teorii grup w modelu standardowym i modelach wielkiej unikacji Model standardowy Leptony Skalar Higgsa Kwarki Lagran»jan modelu standardowego SU(n) Rozszerzanie SU(3) SU(2) U(1) do SU(5) Pola w GUT opartej na SU(5) Rozszerzanie SU(3) SU(2) U(1) do SU(4) SU(2) SU(2)

6 18 Algebry Cliorda i grupy Spin Algebry Cliorda Parzyste algebry Cliorda Element obj to±ci Reprezentacja Foka algebry Cliorda Posta algebr Cliorda Grupa Pin i Spin Reprezentacje grupy Spin(n) Przegl d klasycznych algebr Liego sl(n, C) so(n, C) so(2m) so(2m + 1) sp(2m, C) Koincydencje Konstrukcja Schura-Weyla Reprezentacje SL(n, C) Struktura algebr Liego Nilpotentne i rozwi zalne algebry Liego Twierdzenie Liego Dolny ci g centralny Kryteria Cartana rozwi zalno±ci Algebry póªproste i reduktywne a algebry rozwi zalne Operator Casimira Reprezentacje algebr póªprostych Ró»niczkowania póªprostej algebry Liego Nilpotentne algebry Liego Struktura endomorzmu liniowego Twierdzenie Engela Przestrzenie pierwiastkowe algebry nilpotentnej Przestrzenie pierwiastkowe w algebrach Liego Algebry Cartanaprzypadek ogólny Elementy póªproste i nilpotentne w póªprostych algebrach Liego Struktura algebr póªprostych Podalgebra Cartana dla algebr póªprostych Zbiór pierwiastków póªprostej algebry Liego Ukªady pierwiastków Pierwiastki dodatnie Grupa Weyla Reprezentacje algebr Liego

7 23 Homotopia Homotopia krzywych Skªadanie krzywych i grupa homotopii Nakrycia Nakrycie uniwersalne Nakrycie wyznaczone przez podgrup grupy homotopii Globalna teoria grup Liego Lokalna izomorczno± grup Liego Grupa homotopii grupy Liego Rozmaito±ci Algebra Liego grupy Liego Przemienne grupy Liego Podgrupy grup Liego Podstawowe wªasno±ci grup 1.1 Denicja Grupa to niepusty zbiór G wyposa»ony w (1) dziaªanie G G (g, h) g h G maj ce wªasno± ª czno±ci (gh)k = g(hk), g, h, k G. (2) wyró»niony element e G, zwany elementem neutralnym, speªniaj cy eg = ge = g, g G. (3) odwzorowanie G g g 1 G, zwane odwrotno±ci speªniaj ce gg 1 = g 1 g = e, g G. Czyli grupa jest czwórk (G,, e, 1 ). Notacja powy»sza nosi nazw multiplikatywnej. Mówimy,»e grupa jest nietrywialna, gdy jest ró»na od grupy skªadaj cej si jedynie z elementu neutralnego. Element neutralny w notacji multiplikatywnej jest cz sto oznaczany przez 1 lub 1l. Mo»liwe jest te» sformuªowanie sªabszych aksjomatów, w ktorych grupa jest zbiorem wyposa»onym jedynie w ª czne dziaªanie i dwa warunki zapewniaj ce istnienie elementu neutralnego i odwrotno±ci. Mówimy,»e grupa jest przemienna lub abelowa, gdy gh = hg, g, h G. Dla grup abelowych stosujemy cz sto notacj addytywn, w której grupa to (G, +, 0, ). 7

8 1.2 Podgrupy Niech G b dzie grup. Niepusty podzbiór H G nazywamy podgrup gdy jest zamkni ty ze wzgl du na mno»enie i branie odwrotno±ci. Zawiera wtedy element neutralny i ze wzgl du na mno»enie i odwrotno± dziedziczone z G jest grup. Mówimy,»e podgrupa jest nietrywialna, gdy jest ró»na od grupy skªadaj cej si jedynie z elementu neutralnego, jak równie» od grupy G. Je±li rodzina H α G skªada si z podgrup, to α H α jest te» podgrup. Dlatego, dla dowolnego podzbioru X G istnieje najmniejsza podgrupa zawieraj ca X. Oznaczamy j przez Gr(X) i nazywamy podgrup generowan przez X. Grup generowan przez jeden element nazywamy grup cykliczn. S to grupy Z n, n N i Z. Liczb elementów zbioru X oznaczamy przez #X. Liczb elementów grupy nazywamy rz dem grupy. Mówimy,»e g G ma rz d n N { }, gdy n = #Gr(g). Je±li rz d g jest równy n N, to Gr(g) = {e, g,..., g n 1 } jest podgrup w G izomorczn z Z n. Je±li rz d g jest równy, to Gr(g) = {..., g 1, e, g, g 2,...} jest podgrup izomorczn z Z. Je±li H jest podgrup i g G, to ghg 1 := {ghg 1 : h H} jest te» podgrup zwan podgrup sprz»on do H. 1.3 Homomorzmy Niech G, H b d grupami. Odwzorowanie φ : G H jest homomorzmem, gdy φ(g 1 g 2 ) = φ(g 1 )φ(g 2 ), g 1, g 2 G. Stwierdzenie 1.1 Je±li φ jest homomorzmem, to Dowód. φ(e G ) = e H, φ(g 1 ) = φ(g) 1. φ(e G )e H = φ(e G )φ(e G )φ(e G ) 1 = φ(e 2 G)φ(e G ) 1 = φ(e G )φ(e G ) 1 = e H. φ(g 1 ) = φ(g 1 )φ(g)φ(g) 1 = φ(g 1 g)φ(g) 1 = φ(e G )φ(g) 1 = e H φ(g) 1 = φ(g) 1. Bijektywny homomorzm nazywamy izomorzmem. Je±li G = H, to homomorzm nazywamy endomorzmem a izomorzm automorzmem. Automorzmy grupy G tworz grup oznaczan Aut(G). 8

9 1.4 Dziaªanie Niech X b dzie zbiorem. Przez S(X) oznaczamy zbiór bijekcji na zbiorze X. Wtedy S(X) jest grup ze skªadaniem i elementem neutralnym równym id, gdzie id(x) = x, x X. Niech G b dzie grup. Homomorzm G S(X) nazywamy dziaªaniem grupy G na zbiorze X. Innymi sªowy, odwzorowanie jest dziaªaniem, gdy Stosujemy te» cz sto notacj uproszczon : G X (g, x) τ g (x) X (1.1) τ g (τ h (x)) = τ gh (x), g, h G. G X (g, x) gx X. W tej notacji wªasno±ci homomorczno±ci i ª czno±ci naturalnie si zapisuj : g(hx) = (gh)x, ((gh)k)x = (g(hk))x, g, h, k G, x X. Dlatego te», zbyteczne jest pisanie nawiasów. Je±li x X, to G x := {g G : τ g (x) = x} jest podgrup w G zwan grup izotropii elementu x. Niech τ : G X X, τ : G X X, b d dziaªaniami. Mówimy,»e bijekcja φ : X X jest izomorzmem dziaªa«τ i τ, gdy W notacji uproszczonej (1.2) ma posta 1.5 Orbity τ g (φ(x)) = φ (τ g (x)), g G, x X. (1.2) gφ(x) = φ(gx), g G, x X. Niech τ : G S(X) b dzie dziaªaniem. Deniujemy relacj x τ y g G τ g (x) = y. Stwierdzenie 1.2 τ jest relacj równowa»no±ci. Klasy abstrakcji tej relacji nazywamy orbitami dziaªania τ. Klas abstrakcji dla elementu x X nazywamy orbit elementu x i oznaczamy τ G (x). Zbiór orbit czasem oznaczamy przez G\X. Je±li x, y nale» do tej samej orbity, to grupy izotropii G x i G y s do siebie sprz»one, to znaczy istnieje g G takie,»e G x = gg y g 1. Mówimy,»e dziaªanie τ jest tranzytywne, gdy posiada dokªadnie jedn orbit. Mówimy te» wtedy,»e X jest przestrzeni jednorodn dla grupy G. 9

10 1.6 Warstwy Niech H b dzie podgrup grupy G. Wtedy H dziaªa na G przez lewe mno»enie Orbity tego dziaªania maj posta λ h (g) := hg, g G, h H. Hg := {hg : h H}, g G, i s nazywane lewymi warstwami podgrupy H. Zbiór lewych warstw jest oznaczany przez H\G. H dziaªa na G równie» przez prawe mno»enie Orbity tego dziaªania maj posta ρ h (g) := gh 1, g G, h H. gh := {gh : h H}, g G, i s nazywane prawymi warstwami podgrupy H. Zbiór prawych warstw jest oznaczany przez G/H. G g g 1 G jest izomorzmem dla tych dziaªa«. Lewe i prawe mno»enie jest bijekcj, tak samo odwrotno±. Dlatego te» wszystkie lewe (jak równie» prawe) warstwy maj t sam liczb elementów równ rz dowi H. Jako wniosek dostajemy Twierdzenie 1.3 (Lagrange) Je±li G jest grup sko«czon i H jej podgrup, to #G = (#H)(#G/H). Dowód. Wybieramy w ka»dej warstwie po jednym elemencie. Innymi sªowy, ustalamy odwzorowanie θ : G/H G o wªasno±ci θ(w ) W, W G/H. Sprawdzamy,»e G/H H (W, h) θ(w )h G jest bijekcj.. Liczb #G/H nazywamy indeksem podgrupy H. W szczególno±ci, G dziaªa na sobie samej. Jest to dziaªanie tranzytywne. Ka»demu elementowi g G odpowiada inna bijekcja na G. Dlatego te» dostajemy Twierdzenie 1.4 (Cayley) Ka»da grupa jest izomorczna z podgrup w S(G). 1.7 Klasy sprz»ono±ci Niech g G. Kªadziemy Ad(g)(h) := ghg 1, h G. Wtedy Ad(g) jest automorzmem grupy G nazywanym automorzmem wewn trznym lub automorzmem doª czonym zadanym przez g. G g Ad(g) Aut(G) 10

11 jest homomorzmem. Jego obraz oznaczamy przez Inn(G). Grupa G dziaªa na sobie samej przez automorzmy wewn trzne. Orbity wzgl dem tego dziaªania nazywaj si klasami sprz»ono±ci. Niech Sub(G) oznacza zbiór podgrup grupy G. Je±li H Sub(G), to ghg 1 te» jest podgrup. Sub(G) H ghg 1 Sub(G) jest dziaªaniem grupy G na Sub(G). Mówimy,»e dwie podgrupy s sprz»one, je±li nale» do tej samej orbity. 1.8 Klasykacja dziaªa«grupy Nast puj cy wzór deniuje dziaªanie grupy G na G/H: g(kh) := (gk)h, g, k G. Dziaªanie to jest tranzytywne. Grup izotropii elementu jednostkowego jest H. Poni»sze twierdzenie mówi,»e ka»de dziaªanie tranzytywne jest izomorczne z takim dziaªaniem. Twierdzenie 1.5 (Podstawowe twierdzenie o przestrzeniach jednorodnych) Niech τ : G X X b dzie dziaªaniem tranzytywnym i x X. Wtedy wzór φ(gg x ) := τ g (x) deniuje izomorzm dziaªania G na przestrzeni warstw G/G x i τ. Je±li X jest zbiorem sko«czonym, to #G = #X #G x. Dowód. Dobra okre±lono±. Niech g, k G. gg x = kg x k 1 gg x = G x k 1 g G x x = τ k 1 g(x) τ 1 k τ g(x) = x τ k (x) = τ g (x). Injektywno± Rozumowanie w stron przeciwn do poprzedniej: pokazuje,»e Surjektywno± wynika z tranzytywno±ci. Izomorczno± dziaªa«: τ k (x) = τ g (x) gg x = kg x. φ(gkg x ) = τ gk (x) = τ g (τ k x)) = τ g (φ(kg x ). Liczba elementów: X jest bijektywny zbiorowi G/G x, mo»emy wi c zastosowa Twierdzenie Lagrange'a. Twierdzenie 1.6 Niech H i K b d podgrupami. Wtedy dziaªania G na G/H i G/K s izomorczne wtedy i tylko wtedy gdy H jest sprz»ona do K. 11

12 Dowód. Niech K = mhm 1. Deniujemy φ(gh) = gm 1 K = ghm 1. Trywialnie sprawdzamy,»e φ jest dobrze okre±lone, bijektywne i splata dziaªania. Niech φ : G/H G/K b dzie izomorzmem. Wtedy istnieje m G takie,»e φ(h) = m 1 K. Dla h H hm 1 K = hφ(h) = φ(hh) = φ(h) = m 1 K. Czyli mhm 1 K = K. Zatem, mhm 1 K. Odwracaj c role dostajemy mhm 1 = K Zaªó»my teraz,»e grupa G dziaªa na zbiorze X (niekoniecznie tranzytywnie). Przez G\X b dziemy oznacza zbiór orbit tego dziaªania. Niech X g oznacza zbiór punktów staªych g G. Twierdzenie 1.7 Niech X = X 1 X k b dzie rozbiciem X na orbity. Z ka»dej orbity wybieramy reprezentanta x i X i, i = 1,..., k. Wtedy k ( #G 1 1 ) #G x = #X g. (1.3) i g e i=1 Dowód. Niech P := {(g, x) (G \ {e}) X : gx = x}. Obliczymy liczb elementów P dwoma sposobami. Mamy P = k (G x \ {e}) {x} = x X j=1 x X j (G x \ {e}) {x}. Dla x X j mamy #X j = #G #G x. Zatem #P jest równe lewej stronie (1.3). Z drugiej strony, P = g e{g} X g. Zatem #P jest równe prawej stronie (1.3). Poni»szy podobny wzór bywa przypisywany Burnside'owi. Twierdzenie 1.8 Niech G = G 1 G l b dzie rozkªadem grupy na klasy sprz»ono±ci. Z ka»dej klasy sprz»ono±ci wybieramy reprezentanta g i G i, i = 1,..., l. Wtedy (#G)(#G\X) = l (#G j )(#X g j ). (1.4) j=1 12

13 Dowód. Niech Z := {(g, x) G X : gx = x}. Obliczymy liczb elementów Z dwoma sposobami. Mamy Z = k G x {x} = x X j=1 x X j G x {x}. Dla x X j mamy (#G x )(#X j ) = #G. Zatem #Z jest równe lewej stronie (1.4). Z drugiej strony, Z = {g} X g. g G Zauwa»my,»e X hgh 1 = hx g, dlatego #X g jest staªe na klasach sprz»ono±ci. St d #Z jest równe prawej stronie (1.4). 1.9 Iloczyn prosty Niech K, H b d grupami. Wtedy K H jest grup z iloczynem (k 1, h 1 )(k 2, h 2 ) := (k 1 k 2, h 1 h 2 ). K H z takim iloczynem nazywamy iloczynem (zewn trznym) grupy K i H. Zauwa»my,»e K {e H }, {e K } H s podgrupami, które komutuj, ich przeci cie to {(e K, e H )} i generuj razem K H. Latwo sprawdzamy,»e dla n N przestrze«klas Z/nZ jest grup abelow. Jej elementy s postaci [0],..., [n 1]. Stwierdzenie 1.9 Je±li n, m s liczbami wzgl dnie pierwszymi, to jest izomorzmem. Z m Z n ([i], [j]) [in + jm] Z mn Dowód. Najpierw sprawdzamy,»e dla dowolnych m, n N powy»sze odwzorowanie jest dobrze okre±lone i jest homomorzmem. Aby dowie±,»e jest on surjektywny korzystamy z faktu,»e dla wzgl dnie pierwszych m, n istniej i, j Z takie,»e in + jm = 1. Mo»na pokaza,»e ka»da sko«czona grupa abelowa jest iloczynem grup postaci Z p k, gdzie p s liczbami pierwszymi Podgrupy normalne Niech N b dzie podgrup w G. Mówimy,»e N jest podgrup normaln, gdy g G, n N gng 1 N. 13

14 Równowa»ny warunek: gn = Ng, g G Czyli nie ma wtedy potrzeby rozró»nia lewych i prawych warstw. Grup która nie posiada nietrywialnych podgrup normalnych nazywamy grup prost. Przykªadami grup prostych s Z p dla pierwszych p i A n dla n 5. Wszystkie grupy proste sko«czone zostaªy sklasykowane. Dowód prostoty A 5 jako pierwszy podaª Galois w 1831 r. Peªna lista jest znana od 1981 r., kiedy skonstruowano Grup Monstrum. Dowód kompletno±ci tej klasykacji ogªoszono w 1983 r. Za dat, kiedy powszechnie zgodzono si z tym,»e dowód ten zostaª uko«czony uznaje si Je±li φ : G H jest homomorzmem, to φ(g) jest podgrup w H i jest podgrup normaln. Wzór Kerφ = {g G : φ(g) = e H } (g 1 N)(g 2 N) := g 1 g 2 N deniuje w G/N struktur grupy. Odwzorowanie G g gn G/N jest homomorzmem, którego j drem jest N. Je±li φ : G H jest surjektywnym homomorzmem, którego j drem jest te» N, to ψ(gn) := φ(g) deniuje izomorzm ψ : G/N H. Sytuacj, gdy φ : G H jest surjektywnym homomorzmem, dla którego N jest j drem, cz sto zapisujemy w skrócie 1 N G H 1. (1.5) Mówimy wtedy,»e G jest rozszerzeniem N przez H, albo»e mamy krótki ci g dokªadny (1.5) Iloczyn póªprosty Niech H, N b d grupami i homomorzm H h α h Aut(N). Deniujemy (zewn trzny) iloczyn póªprosty N α H jako N H wyposa»one w dziaªanie element neutralny (e N, e H ), i odwrotno± (n 1, h 1 )(n 2, h 2 ) := (n 1 α h1 (n 2 ), h 1 h 2 ), (n, h) 1 = (α h 1(n 1 ), h 1 ). Zauwa»my,»e N e H jest podgrup normaln, za± e N H jest podgrup, ich przeci cie jest równe {(e N, e H )} oraz Gr(N H) = N α H. Odwzorowanie N α H (n, h) h H 14

15 jest surjektywnym homomorzmem, którego j drem jest N. Zaªó»my,»e mamy krótki ci g dokªadny 1 N G H 1. (1.6) Zachodzi pytanie, kiedy G jest izomorczne iloczynowi póªprostemu N i H? Ma to miejsce wtedy, gdy istnieje homomorzm injektywny ψ : H G taki,»e φ ψ = id, ψ(h) i N generuj G i ψ(h) N = e G. Mówimy wtedy,»e ci g si rozszczepia. Nie zawsze to ma miejsce: We¹my 0 Z 2 Z 4 Z Przykªady grup 2.1 Permutacje Je±li X jest zbiorem sko«czonym, bijekcj na X cz sto nazywamy permutacj. Pami tamy,»e przez S(X) oznaczamy grup bijekcji na X. Piszemy S n := S({1, 2,..., n}). Oczywi±cie, je±li X ma n elementów, to S(X) jest izomorczne z S n. Permutacj π S n nazywamy cyklem k-elementowym, gdy istniej parami ró»ne x 1,..., x k {1,..., n} takie,»e πx i = x i+1, i = 1,..., k, (rozumiej c,»e k + 1 = 1). Cykl oznaczamy przez (x 1,..., x k ). Dwa cykle (x 1,..., x k ) i (y 1,..., y m ) nazywamy rozª cznymi je±li zbiory {x 1,..., x k }, {y 1,..., y m } s rozª czne. Ka»d permutacj mo»emy przedstawi jako iloczyn cykli rozª cznych. Rozkªad ten jest jednoznaczny (z dokªadno±ci do kolejno±ci). W szczególno±ci, wyznacza on ci g λ 1, λ 2,... liczb z {0, 1,...} takich,»e j jλ j = n i w rozkªadzie na cykle rozª czne wyst puje λ j cykli j- elementowych. Wielomian Vandermonda stopnia n deniujemy jako V (x 1,..., x n ) := i<j(x i x j ). Latwo sprawdzi,»e dla π S n, Deniujemy V (x 1,..., x n ) = ±V (x π(1),..., x π(n) ). sgnπ := V (x 1,..., x n ) V (x π(1),..., x π(n) ). sgn : S n {1, 1}. jest homomorzmem. J dro tego homomorzmu nazywamy grup alternuj c i oznaczamy przez A n. 15

16 2.2 Iloczyn póªprosty z grup Z 2 Niech K b dzie grup abelow z zapisem addytywnym. Odwzorowanie K k β(k) := k K jest automorzmem grupy K. Dla grup Z n 2 jest to automorzm identyczno±ciowy. Je±li nie wszystkie elementy grupy K s rz du 2 lub 1, to jest to automorzm nietrywialny. Mo»emy zdeniowa grup K β Z 2. W szczególno±ci, grupa D n := Z n β Z 2 nosi nazw grupy dwu±ciennej (dihedralnej). Jest ona nieabelowa dla n Grupa permutacji 3 elementów Mamy izomorzm A 3 Z 3 : A 3 = {id, (123), (132)}. Mamy te» izomorzm S 3 D 3 = Z 3 β Z 2 S 3 posiada nast puj ce nietrywialne podgrupy: jedn podgrup (normaln ) Z 3 i 3 sprz»one do siebie podgrupy Z 2. Mamy zatem 4 nieizomorczne tranzytywne dziaªania S 3 : na zbiorze 6-, 3-, 2- i 1-elementowym 2.4 Grupa permutacji 4 elementów Elementy grupy Z 2 Z 2 mo»na oznaczy jako {e, a, b, ab}. Automorzmy tej grupy polegaj na permutacjach {a, b, ab}. Czyli Aut(Z 2 Z 2 ) S 3. Grup Z 2 Z 2 mo»na wªo»y w A 4 S 4 {id, (12)(34), (13)(24), (14)(23)}. Jest ona normalna w A 4 i w S 4. Mamy izomorzmy (Z 2 Z 2 ) A 3 A 4, (Z 2 Z 2 ) S 3 S 4. W szczególno±ci, A 4 nie jest prosta. To,»e A 5 jest prosta pokazaª Galois. 2.5 Grupa obrotów SO(3) Przez SO(3) b dziemy oznacza grup obrotów (wªa±ciwych) przestrzeni R 3. Lemat 2.1 Dla ka»dego A SO(3)\{1l} istnieje dokªadnie jedna prosta przechodz ca przez 0 i θ [0, 2π[ takie,»e A jest obrotem wokóª A o k t θ. A jest sko«czonego rz du, gdy θ = 2πj n, j = 1,..., n 1. Prost opisan w powy»szym lemacie nazywamy osi obrotu A. Je±li wybierzemy zwrot tej prostej, b dziemy mówili o osi skierowanej. Nast pnie opiszemy wszystkie sko«czone podgrupy grupy obrotów. 16

17 Lemat 2.2 Niech G b dzie sko«czon podgrup SO(3). Niech α b dzie osi pewnego obrotu z G. Wtedy obroty wokóª osi α nale» ce do G stanowi grup izomorczn z Z n. O± tak jak w powy»szym lemacie nazywamy osi n-krotn. Przez O(3) b dziemy oznacza grup obrotów niewªa±ciwych przestrzeni R 3. Mamy O(3) = SO(3) Z 2, gdzie generatorem Z 2 jest symetria ±rodkowa. 2.6 Grupa obrotów wªa±ciwych wielok ta foremnego C n Z n cos 2πj n sin 2πj n, j = 0,..., n 1. (2.7) 0 sin 2πj n cos 2πj n 2.7 Grupa dihedralna D n Z n Z 2 Do (2.7) doª czamy cos πj n sin πj n 0 sin πj n cos πj n, j = 0,..., n 1. (2.8) 2.8 Grupa czworo±cianu T A 4 Grupa symetrii czworo±cianu. Permutuje (1) 4 wierzchoªki, (2) 4 ±ciany, (3) 6 kraw dzi. Ma (1) 4 osie 3-krotne, mi dzy wierzchoªkiem a przeciwlegª ±cian, (2) 3 osie 2-krotne, mi dzy ±rodkami przeciwlegªych kraw dzi. 2.9 Grupa sze±cianu/o±mio±cianu O S 4 Grupa symetrii sze±cianu. Permutuje (1) 8 wierzchoªków/±cian, (2) 6 ±cian/wierzchoªków, (3) 12 kraw dzi. Ma (1) 4 osie 3-krotne, mi dzy przeciwlegªymi wierzchoªkami/±cianami, (2) 3 osie 4-krotne, mi dzy ±rodkami przeciwlegªych ±cian/wierzchoªków, (3) 6 osi 2-krotnych, mi dzy ±rodkami przeciwlegªych kraw dzi. 17

18 2.10 Grupa dwudziesto±cianu/dwunasto±cianu) I A 5 Grupa symetrii dwudziesto±cianu. Permutuje (1) 10 wierzchoªków/±cian, (2) 20 ±cian/wierzchoªków, (3) 30 kraw dzi. Ma (1) 6 osi 5-krotnych, mi dzy przeciwlegªymi wierzchoªkami/±cianami, (2) 10 osi 3-krotnych, mi dzy ±rodkami przeciwlegªych ±cian/wierzchoªków, (3) 15 osie 2-krotne, mi dzy ±rodkami przeciwlegªych kraw dzi Sko«czone podgrupy grupy obrotów Twierdzenie 2.3 Lista powy»sza zawiera wszystkie sko«czone podgrupy obrotów. Dowód. Niech G b dzie sko«czon podgrup grupy obrotów. Niech X b dzie zbiorem osi skierowanych elementów z G, czyli X = {α S 2 : gα = α dla pewnego g G} G X (g, α) gα X jest dziaªaniem grupy G na X. Dziaªanie zachowuje krotno±. Niech X 1,..., X k b dzie rozbiciem X na orbity. Niech n i b dzie krotno±ci elementów orbity X i. Zakªadamy,»e n 1 n k. Zachodzi wzór k ) ( (1 1nj = ). (2.9) #G j=1 Jest to przykªad zastosowania Tw Dla wygody czytelnika przytaczamy niezale»ny dowód. Rozwa»my P := {(g, α) (G\{1l}) X : gα = α}. Dla ka»dego g G\{1l} mamy dwa przeci cia osi obrotu i sfery. Dlatego #P = 2(#G 1). (2.10) Dla ka»dego α X j jest n j 1 obrotów g G\{1l} takich,»e gα = α. Dlatego #P = Ale grupa izotropii α X i jest izomorczna z Z ni. Dlatego k #X i (n i 1). (2.11) i=1 #X i = #G n i. (2.12) 18

19 (2.10), (2.11) i (2.12) daj razem (2.9). Rozwi zujemy wi c równanie ( )(2.9). #G 2 implikuje #G [1, 2[. n i 2 implikuje 1 1 n i [ 1 2, 1[. Dla k = 1 lewa strona (2.9) < 1. Dla k 4 lewa strona (2.9) 1. Dlatego k = 2, 3. Rozwa»my k = 2. Mo»emy przepisa (2.9) jako = 2 n 1 n 2 #G. (2.13) Wiemy,»e n i #G. Wi c jedyne rozwi zania (2.13) to n 1 = n 2 = #G N Rozwa»my k = 3. Mo»emy przepisa (2.9) jako = n 1 n 2 n 3 #G. (2.14) Je±li n 1 3, to lewa strona (2.14) 1, co jest niemo»liwe. Wi c n 1 = 2. Je±li n 2 4, to znów lewa strona (2.14) 1, co jest niemo»liwe. Wi c n 2 = 2 lub n 2 = 3. Je±li n 2 = 2, to n 1 = n 2 = 2, n 3 = #G 2. Je±li n 2 = 3, to dla n 3 6 lewa strona (2.14) 1. Dlatego n 3 = 3, n 3 = 4 lub n 3 = 5. Nast pnie identykujemy powstaªe mo»liwo±ci z poszczególnymi grupami n 1 = n 2 = n = #G. Mamy #G n 1 = #G n 2 = 1. Zatem mamy tylko jedn o±. Jest ona n-krotna. Zatem G = C n. n 1 = n 2 = 2, n 3 = n, #G = 2n. Mamy #G n 1 = #G n 2 = n, #G n 3 = 2. Zatem mamy tylko jedn o± n-krotn. Zatem G zawiera C n. Osie 2-krotne musz by prostopadªe do niej. Jedyna mo»liwo± to D n. n 1 = 2, n 2 = 3, n 3 = 3, #G = 12. Mamy #G n 1 = 6, #G n 2 = 4, #G n 3 = 4. Wybierzmy o± 3-krotn. Musi ona przecina sfer w dwóch ró»nych orbitach. Pozostaªe punkty 3-krotne tworz dwa trójk ty równoboczne w pªaszczyznach prostopadªych do tej osi. n 1 = 2, n 2 = 3, n 3 = 4, #G = 24. Mamy #G #G #G n 1 = 12, n 2 = 8, n 3 = 6. Wybierzmy o± 4-krotn. Przecina ona sfer w dwóch elementach orbity X 3. Pozostaªe punkty 4-krotne tworz kwadrat w pªaszczyznie prostopadªej do tej osi. n 1 = 2, n 2 = 3, n 3 = 5, #G = 60. Mamy #G n 1 = 30, #G n 2 = 20, #G n 3 = 12. Wybierzmy o± 5-krotn. Przecina ona sfer w dwóch elementach orbity X 3. Pozostaªe punkty 5-krotne tworz dwa pi ciok ty foremne w dwóch pªaszczyznach prostopadªych do tej osi. 19

20 3 Grupy macierzowe 3.1 Ciaªa Mówimy,»e (K, +,, 1, 0} jest ciaªem, gdy (K, +, 0, } i (K,, 1, 1 ) s grupami abelowymi speªniaj cymi x(y + z) = xy + xz, gdzie K := K\{0}. Deniujemy homomorzmy, izomorzmy, etc. ciaª w oczywisty sposób. Najwa»niejszymi ciaªami dla nas s R i C. R ma jedynie automorzm trywialny. C ma jeden nietrywialny automorzm: sprz»enie zespolone C z z C. 3.2 Przestrzenie wektorowe Mówimy,»e (V, +, 0, ) jest przestrzeni wektorow nad ciaªem K, gdy jest to grupa abelowa wyposa»ona w dziaªanie K V (x, v) xv V takie,»e (x + y)v = xv + yv, (xy)v = x(yv), x, y K, v V, x(u + v) = xu + xv, x K, u, v V. Przykªadem przestrzeni nad K s K n. Przestrzenie wektorowe izomorczne z K n nazywamy przestrzeniami wymiaru n 3.3 Odwzorowania liniowe Homomorzmy przestrzeni wektorowych nazywamy odwzorowaniami liniowymi. Je±li V, W s przestrzeniami, to L(V, W) b dzie oznaczaªo zbiór odwzorowa«liniowych z V do W. B dziemy pisa L(V) := L(V, V). L(K n, K m ) b dziemy uto»sami z macierzami o n wierszach i m kolumnach. Dla A L(K n, K m ) przez A, A i A # b dziemy oznacza macierz hermitowsko sprz»on, zespolenie sprz»on i transponowan do A. 3.4 Ogólna grupa liniowa Niech A L(K n ). Wzór deniuje wyznacznik speªniaj cy GL(K n ) deniujemy jako det A := π S n sgnπa 1,π(1) A n,π(n) K det AB = det A det B. GL(K n ) := {A L(K n ) : det A 0}. 20

. 0 0... 1 0. 0 0 0 0 1 gdzie wektory α i tworz baz ortonormaln przestrzeni E n

. 0 0... 1 0. 0 0 0 0 1 gdzie wektory α i tworz baz ortonormaln przestrzeni E n GAL II 2013-2014 A. Strojnowski str.45 Wykªad 20 Denicja 20.1 Przeksztaªcenie aniczne f : H H anicznej przestrzeni euklidesowej nazywamy izometri gdy przeksztaªcenie pochodne f : T (H) T (H) jest izometri

Bardziej szczegółowo

A = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy.

A = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy. Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 12 Teoria mocy, cz ± II Def. 12.1 Ka»demu zbiorowi X przyporz dkowujemy oznaczany symbolem X obiekt zwany liczb kardynaln (lub moc zbioru X) w taki sposób,»e ta

Bardziej szczegółowo

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja

Bardziej szczegółowo

Metodydowodzenia twierdzeń

Metodydowodzenia twierdzeń 1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych

Bardziej szczegółowo

Metody dowodzenia twierdze«

Metody dowodzenia twierdze« Metody dowodzenia twierdze«1 Metoda indukcji matematycznej Je±li T (n) jest form zdaniow okre±lon w zbiorze liczb naturalnych, to prawdziwe jest zdanie (T (0) n N (T (n) T (n + 1))) n N T (n). 2 W przypadku

Bardziej szczegółowo

Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X.

Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X. Relacje 1 Relacj n-argumentow nazywamy podzbiór ϱ X 1 X 2... X n. Je±li ϱ X Y jest relacj dwuargumentow (binarn ), to zamiast (x, y) ϱ piszemy xϱy. Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór

Bardziej szczegółowo

Zbiory i odwzorowania

Zbiory i odwzorowania Zbiory i odwzorowania 1 Sposoby okre±lania zbiorów 1) Zbiór wszystkich elementów postaci f(t), gdzie t przebiega zbiór T : {f(t); t T }. 2) Zbiór wszystkich elementów x zbioru X speªniaj cych warunek ϕ(x):

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

Zadania. 4 grudnia k=1

Zadania. 4 grudnia k=1 Zadania 4 grudnia 205 Zadanie. Poka»,»e dla dowolnych liczb zespolonych z,..., z n istnieje zbiór B {,..., n}, taki,»e n z k π z k. k B Zadanie 2. Jakie warunki musz speªnia ci gi a n i b n, aby istniaªy

Bardziej szczegółowo

Macierze. 1 Podstawowe denicje. 2 Rodzaje macierzy. Denicja

Macierze. 1 Podstawowe denicje. 2 Rodzaje macierzy. Denicja Macierze 1 Podstawowe denicje Macierz wymiaru m n, gdzie m, n N nazywamy tablic liczb rzeczywistych (lub zespolonych) postaci a 11 a 1j a 1n A = A m n = [a ij ] m n = a i1 a ij a in a m1 a mj a mn W macierzy

Bardziej szczegółowo

Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych.

Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Zbiory na pªaszczy¹nie i w przestrzeni.

Bardziej szczegółowo

Przeksztaªcenia liniowe

Przeksztaªcenia liniowe Przeksztaªcenia liniowe Przykªady Pokaza,»e przeksztaªcenie T : R 2 R 2, postaci T (x, y) = (x + y, x 6y) jest przeksztaªceniem liniowym Sprawdzimy najpierw addytywno± przeksztaªcenia T Niech v = (x, y

Bardziej szczegółowo

Macierz A: macierz problemów liniowych (IIII); Macierz rozszerzona problemów liniowych (IIII): a 11 a 1m b 1 B = a n1 a nm b n

Macierz A: macierz problemów liniowych (IIII); Macierz rozszerzona problemów liniowych (IIII): a 11 a 1m b 1 B = a n1 a nm b n Plan Spis tre±ci 1 Problemy liniowe 1 2 Zadania I 3 3 Formy biliniowe 3 3.1 Odwzorowania wieloliniowe..................... 3 3.2 Formy biliniowe............................ 4 4 Formy kwadratowe 4 1 Problemy

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ALGEBR

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ALGEBR ANALIZA MATEMATYCZNA Z ALGEBR WYKŠAD II Maªgorzata Murat MACIERZ A rzeczywist (zespolon ) o m wierszach i n kolumnach nazywamy przyporz dkowanie ka»dej uporz dkowanej parze liczb naturalnych (i, j), gdzie

Bardziej szczegółowo

spis treści 1 Zbiory i zdania... 5

spis treści 1 Zbiory i zdania... 5 wstęp 1 i wiadomości wstępne 5 1 Zbiory i zdania............................ 5 Pojęcia pierwotne i podstawowe zasady 5. Zbiory i zdania 6. Operacje logiczne 7. Definicje i twierdzenia 9. Algebra zbiorów

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Wedderburna Witold Tomaszewski

Twierdzenie Wedderburna Witold Tomaszewski Twierdzenie Wedderburna Witold Tomaszewski Pier±cie«przemienny P nazywamy dziedzin caªkowito±ci (lub po prostu dziedzin ) je±li nie posiada nietrywialnych dzielników zera. Pier±cie«z jedynk nazywamy pier±cieniem

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb

Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb 1. Podzielno± Przedmiotem bada«teorii liczb s wªasno±ci liczb caªkowitych. Zbiór liczb caªkowitych oznacza b dziemy symbolem Z. Zbiór liczb naturalnych

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Wainera. Marek Czarnecki. Warszawa, 3 lipca Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski

Twierdzenie Wainera. Marek Czarnecki. Warszawa, 3 lipca Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski Twierdzenie Wainera Marek Czarnecki Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski Wydziaª Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa, 3 lipca 2009 Motywacje Dla dowolnej

Bardziej szczegółowo

Matematyka wykªad 1. Macierze (1) Andrzej Torój. 17 wrze±nia 2011. Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej

Matematyka wykªad 1. Macierze (1) Andrzej Torój. 17 wrze±nia 2011. Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej Matematyka wykªad 1 Macierze (1) Andrzej Torój Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej 17 wrze±nia 2011 Plan wykªadu 1 2 3 4 5 Plan prezentacji 1 2 3 4 5 Kontakt moja strona internetowa:

Bardziej szczegółowo

Baza w jądrze i baza obrazu ( )

Baza w jądrze i baza obrazu ( ) Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna

Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna 1. Podaj denicj liczby zespolonej. 2. Jak obliczy sum /iloczyn dwóch liczb zespolonych w postaci algebraicznej? 3. Co to jest liczba urojona?

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt:

Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt: Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt: zdzedzej@mif.pg.gda.pl www.mif.pg.gda.pl/homepages/zdzedzej () 5 pa¹dziernika 2016 1 / 1 Literatura podstawowa R. Rudnicki, Wykªady z analizy

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem

Bardziej szczegółowo

Przekroje Dedekinda 1

Przekroje Dedekinda 1 Przekroje Dedekinda 1 O liczbach wymiernych (tj. zbiorze Q) wiemy,»e: 1. zbiór Q jest uporz dkowany relacj mniejszo±ci < ; 2. zbiór liczb wymiernych jest g sty, tzn.: p, q Q : p < q w : p < w < q 3. 2

Bardziej szczegółowo

ANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ANALIZA NUMERYCZNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Metoda Eulera 3 1.1 zagadnienia brzegowe....................... 3 1.2 Zastosowanie ró»niczki...................... 4 1.3 Output do pliku

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1. JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1

JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1. JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1 J zyki formalne i operacje na j zykach J zyki formalne s abstrakcyjnie zbiorami sªów nad alfabetem sko«czonym Σ. J zyk formalny L to opis pewnego problemu decyzyjnego: sªowa to kody instancji (wej±cia)

Bardziej szczegółowo

Ekstremalnie maªe zbiory

Ekstremalnie maªe zbiory Maªe jest pi kne Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Nadarzyn, 27.08.2011 Zbiory silnie miary zero Przypomnienie Zbiór X [0, 1] jest miary Lebesgue'a zero, gdy dla ka»dego ε > 0 istnieje ci

Bardziej szczegółowo

1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f(x)=0

1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f(x)=0 1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f()=0 1.1 Metoda bisekcji Zaªó»my,»e funkcja f jest ci gªa w [a 0, b 0 ]. Pierwiastek jest w przedziale [a 0, b 0 ] gdy f(a 0 )f(b 0 ) < 0. (1) Ustalmy f(a 0

Bardziej szczegółowo

2 Podstawowe obiekty kombinatoryczne

2 Podstawowe obiekty kombinatoryczne 2 Podstawowe obiety ombinatoryczne Oznaczenia: N {0, 1, 2,... } zbiór liczb naturalnych. Dla n N przyjmujemy [n] {1, 2,..., n}. W szczególno±ci [0] jest zbiorem pustym. Je±li A jest zbiorem so«czonym,

Bardziej szczegółowo

R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} },

R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, nazywa- Definicja 1. Przestrzenią liniową R n my zbiór wektorów R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, z określonymi działaniami dodawania wektorów i mnożenia wektorów przez liczby rzeczywiste.

Bardziej szczegółowo

Teoria ciała stałego Cz. I

Teoria ciała stałego Cz. I Teoria ciała stałego Cz. I 1. Elementy teorii grup Grupy symetrii def. Grupy Zbiór (skończony lub nieskończony) elementów {g} tworzy grupę gdy: - zdefiniowana operacja mnożenia (złożenia) g 1 g 2 = g 3

Bardziej szczegółowo

Indeksowane rodziny zbiorów

Indeksowane rodziny zbiorów Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 7 Indeksowane rodziny zbiorów Niech X b dzie przestrzeni zbiorem, którego podzbiorami b d wszystkie rozpatrywane zbiory, R rodzin wszystkich podzbiorów X za± T

Bardziej szczegółowo

1 Granice funkcji wielu zmiennych.

1 Granice funkcji wielu zmiennych. AM WNE 008/009. Odpowiedzi do zada«przygotowawczych do czwartego kolokwium. Granice funkcji wielu zmiennych. Zadanie. Zadanie. Pochodne. (a) 0, Granica nie istnieje, (c) Granica nie istnieje, (d) Granica

Bardziej szczegółowo

Podstawowe działania w rachunku macierzowym

Podstawowe działania w rachunku macierzowym Podstawowe działania w rachunku macierzowym Marcin Detka Katedra Informatyki Stosowanej Kielce, Wrzesień 2004 1 MACIERZE 1 1 Macierze Macierz prostokątną A o wymiarach m n (m wierszy w n kolumnach) definiujemy:

Bardziej szczegółowo

PRAWA ZACHOWANIA. Podstawowe terminy. Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc

PRAWA ZACHOWANIA. Podstawowe terminy. Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc PRAWA ZACHOWANIA Podstawowe terminy Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc a) si wewn trznych - si dzia aj cych na dane cia o ze strony innych

Bardziej szczegółowo

1 Elementy logiki i teorii mnogości

1 Elementy logiki i teorii mnogości 1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz

Bardziej szczegółowo

Wstęp do komputerów kwantowych

Wstęp do komputerów kwantowych Wprowadzenie do mechaniki kwantowej Uniwersytet Łódzki, Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej 2008/2009 Wprowadzenie do mechaniki kwantowej Podstawy matematyczne 1 Algebra liniowa Bazy i liniowa niezależność

Bardziej szczegółowo

Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009

Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009 Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009 1. Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem K i niech 0 K oraz θ V będą elementem zerowym ciała K i wektorem zerowym przestrzeni V. Posługując

Bardziej szczegółowo

Zestaw 2. Definicje i oznaczenia. inne grupy V 4 grupa czwórkowa Kleina D n grupa dihedralna S n grupa symetryczna A n grupa alternująca.

Zestaw 2. Definicje i oznaczenia. inne grupy V 4 grupa czwórkowa Kleina D n grupa dihedralna S n grupa symetryczna A n grupa alternująca. Zestaw 2 Definicja grupy Definicje i oznaczenia grupa zbiór z działaniem łącznym, posiadającym element neutralny, w którym każdy element posiada element odwrotny grupa abelowa (przemienna) grupa, w której

Bardziej szczegółowo

Strategia czy intuicja?

Strategia czy intuicja? Strategia czy intuicja czyli o grach niesko«czonych Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Grzegorzewice, 29 sierpnia 2009 Denicja gry Najprostszy przypadek: A - zbiór (na ogóª co najwy»ej przeliczalny),

Bardziej szczegółowo

Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych

Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych I. Malinowska, Z. Šagodowski Politechnika Lubelska 8 czerwca 2015 Caªka iterowana podwójna Denicja Je»eli funkcja f jest ci gªa na prostok cie P = {(x, y) : a x

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna - ZSTA LMO

Statystyka matematyczna - ZSTA LMO Statystyka matematyczna - ZSTA LMO Šukasz Smaga Wydziaª Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu Wykªad 4 Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 4 1 / 18 Wykªad 4 - zagadnienia

Bardziej szczegółowo

Ksztaªt orbity planety: I prawo Keplera

Ksztaªt orbity planety: I prawo Keplera V 0 V 0 Ksztaªt orbity planety: I prawo Keplera oka»emy,»e orbit planety poruszaj cej si pod dziaªaniem siªy ci»ko±ci ze strony Sªo«ca jest krzywa sto»kowa, w szczególno±ci elipsa. Wektor pr dko±ci planety

Bardziej szczegółowo

1 Poj cia pomocnicze. Przykªad 1. A A d

1 Poj cia pomocnicze. Przykªad 1. A A d Poj cia pomocnicze Otoczeniem punktu x nazywamy dowolny zbiór otwarty zawieraj cy punkt x. Najcz ±ciej rozwa»amy otoczenia kuliste, tj. kule o danym promieniu ε i ±rodku x. S siedztwem punktu x nazywamy

Bardziej szczegółowo

CAŠKA NIEOZNACZONA. Politechnika Lubelska. Z.Šagodowski. 18 lutego 2016

CAŠKA NIEOZNACZONA. Politechnika Lubelska. Z.Šagodowski. 18 lutego 2016 WYKŠAD CAŠKA NIEOZNACZONA Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 8 lutego 06 Denicja CAŠKA NIEOZNACZONA Funkcja F jest funkcja pierwotn funkcji f na przedziale A, je»eli Zauwa»my,ze F (x) = f (x), dla ka»dego

Bardziej szczegółowo

1 Macierze i wyznaczniki

1 Macierze i wyznaczniki 1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)

Bardziej szczegółowo

Czy funkcja zadana wzorem f(x) = ex e x. 1 + e. = lim. e x + e x lim. lim. 2 dla x = 1 f(x) dla x (0, 1) e e 1 dla x = 1

Czy funkcja zadana wzorem f(x) = ex e x. 1 + e. = lim. e x + e x lim. lim. 2 dla x = 1 f(x) dla x (0, 1) e e 1 dla x = 1 II KOLOKWIUM Z AM M1 - GRUPA A - 170101r Ka»de zadanie jest po 5 punktów Ostatnie zadanie jest nieobowi zkowe, ale mo»e dostarczy dodatkowe 5 punktów pod warunkiem rozwi zania pozostaªych zada«zadanie

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony)

Bardziej szczegółowo

Mierzalne liczby kardynalne

Mierzalne liczby kardynalne czyli o miarach mierz cych wszystko Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Grzegorzewice, 26 stycznia 2007 Ogólny problem miary Pytanie Czy na pewnym zbiorze X istnieje σ-addytywna miara probabilistyczna,

Bardziej szczegółowo

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi.

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi. Grupy. Permutacje 1 1 Definicja grupy Niech G będzie zbiorem. Działaniem na zbiorze G nazywamy odwzorowanie (oznaczane, jak mnożenie, przez ) przyporządkowujące każdej parze uporządkowanej (a, b) G G element

Bardziej szczegółowo

1 Określenie pierścienia

1 Określenie pierścienia 1 Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące

Bardziej szczegółowo

Jak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ).

Jak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ). Odwzorowania n-liniowe; formy n-liniowe Definicja 1 Niech V 1,..., V n, U będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Odwzorowanie G: V 1 V n U nazywamy n-liniowym, jeśli dla każdego k [n] i wszelkich

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa, wielomiany oraz funkcje wymierne

Funkcja kwadratowa, wielomiany oraz funkcje wymierne Funkcja kwadratowa, wielomiany oraz funkcje wymierne Šukasz Dawidowski Nocne powtórki maturalne 28 kwietnia 2014 r. Troch teorii Funkcj f : R R dan wzorem: f (x) = ax 2 + bx + c gdzie a 0 nazywamy funkcj

Bardziej szczegółowo

Wykªad 10. Spis tre±ci. 1 Niesko«czona studnia potencjaªu. Fizyka 2 (Informatyka - EEIiA 2006/07) c Mariusz Krasi«ski 2007

Wykªad 10. Spis tre±ci. 1 Niesko«czona studnia potencjaªu. Fizyka 2 (Informatyka - EEIiA 2006/07) c Mariusz Krasi«ski 2007 Wykªad 10 Fizyka 2 (Informatyka - EEIiA 2006/07) 08 05 2007 c Mariusz Krasi«ski 2007 Spis tre±ci 1 Niesko«czona studnia potencjaªu 1 2 Laser 3 2.1 Emisja spontaniczna...........................................

Bardziej szczegółowo

Iloczyn skalarny. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 10. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2013

Iloczyn skalarny. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 10. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2013 Iloczyn skalarny Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 10. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2013 1 / 14 Standardowy

Bardziej szczegółowo

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ. 8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą

Bardziej szczegółowo

Freyd, Abelian Categories

Freyd, Abelian Categories Algebra 2, zadania na wiczenia, seria II Króti wst p do ategorii i funtorów. W tej serii jest du»o zada«ale s (z reguªy) ªatwe lub bardzo ªatwe. Najpierw denicje, tóre zapewne Pa«stwo znaj lub pozna ªatwo

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ PIERŚCIENIE, CIAŁA I HOMOMORFIZMY

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ PIERŚCIENIE, CIAŁA I HOMOMORFIZMY ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 PIERŚCIENIE, CIAŁA I HOMOMORFIZMY Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 3, 16.10.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Definicja pierścienia 2/10 Zbiór R wyposażony w dwa działania

Bardziej szczegółowo

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011 Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2011 1 / 16 Definicja Niech V,

Bardziej szczegółowo

Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Zastosowanie eliptycznych równa«ró»niczkowych

Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Zastosowanie eliptycznych równa«ró»niczkowych Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdziaª 9 RÓWNANIA ELIPTYCZNE 9.1 Zastosowanie eliptycznych równa«ró»niczkowych cz stkowych 9.1.1 Problemy z warunkami brzegowymi W przestrzeni dwuwymiarowej

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie liniowe

Przestrzenie liniowe Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.

Bardziej szczegółowo

WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY. = λ c (*) problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej

WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY. = λ c (*) problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY Ac λ c (*) ( A λi) c nietrywialne rozwiązanie gdy det A λi problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej A - macierzowa

Bardziej szczegółowo

Hotel Hilberta. Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci. Marcin Kysiak. Festiwal Nauki, 20.09.2011. Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego

Hotel Hilberta. Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci. Marcin Kysiak. Festiwal Nauki, 20.09.2011. Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Festiwal Nauki, 20.09.2011 Nasze do±wiadczenia hotelowe Fakt oczywisty Hotel nie przyjmie nowych go±ci, je»eli wszystkie

Bardziej szczegółowo

Metody matematyczne fizyki

Metody matematyczne fizyki Metody matematyczne fizyki Tadeusz Lesiak Wykład VI Elementy teorii grup Wstęp do teorii grup Teoria grup (TG) = matematyka symetrii liczne zastosowania w fizyce i chemii Odpowiada na ważne pytanie: jakie

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA 2. Lista zadań 2003/2004. Opracowanie : dr Teresa Jurlewicz, dr Zbigniew Skoczylas

ALGEBRA LINIOWA 2. Lista zadań 2003/2004. Opracowanie : dr Teresa Jurlewicz, dr Zbigniew Skoczylas ALGEBRA LINIOWA 2 Lista zadań 23/24 Opracowanie : dr Teresa Jurlewicz dr Zbigniew Skoczylas Lista pierwsza Zadanie Uzasadnić z definicji że zbiór wszystkich rzeczywistych macierzy trójkątnych górnych stopnia

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne

Zaawansowane metody numeryczne Wykład 10 Rozkład LU i rozwiązywanie układów równań liniowych Niech będzie dany układ równań liniowych postaci Ax = b Załóżmy, że istnieją macierze L (trójkątna dolna) i U (trójkątna górna), takie że macierz

Bardziej szczegółowo

Macierz o wymiarach m n. a 21. a 22. A =

Macierz o wymiarach m n. a 21. a 22. A = Macierze 1 Macierz o wymiarach m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Mat m n (R) zbiór macierzy m n o współczynnikach rzeczywistych Analogicznie określamy Mat m n (Z), Mat m n (Q) itp 2

Bardziej szczegółowo

13. Cia la. Rozszerzenia cia l.

13. Cia la. Rozszerzenia cia l. 59 13. Cia la. Rozszerzenia cia l. Z rozważań poprzedniego paragrafu wynika, że jeżeli wielomian f o wspó lczynnikach w ciele K jest nierozk ladalny, to pierścień ilorazowy K[X]/(f) jest cia lem zawieraja

Bardziej szczegółowo

Algebra Boole'a i logika cyfrowa

Algebra Boole'a i logika cyfrowa Algebra Boole'a i logika cyfrowa 7.X. 2009 1 Aksjomatyczna denicja algebry Boole'a Do opisywanie ukªadów cyfrowych b dziemy u»ywali formalizmu nazywanego algebr Boole'a. Formalnie algebra Boole'a to struktura

Bardziej szczegółowo

Automorzmy modeli i twierdzenie EhrenfeuchtaMostowskiego

Automorzmy modeli i twierdzenie EhrenfeuchtaMostowskiego Automorzmy modeli i twierdzenie EhrenfeuchtaMostowskiego Krzysztof Kapulkin IX Warsztaty Logiczne 5 12 lipca 2008 1 Wst p W referacie tym przedstawiamy wyniki uzyskane przez Andrzeja Ehrenfeuchta i Andrzeja

Bardziej szczegółowo

Aproksymacja funkcji metod najmniejszych kwadratów

Aproksymacja funkcji metod najmniejszych kwadratów Aproksymacja funkcji metod najmniejszych kwadratów Teoria Interpolacja polega na znajdowaniu krzywej przechodz cej przez wszystkie w zªy. Zdarzaj si jednak sytuacje, w których dane te mog by obarczone

Bardziej szczegółowo

Grupy, pierścienie i ciała

Grupy, pierścienie i ciała Grupy, pierścienie i ciała Definicja: Niech A będzie niepustym zbiorem. Działaniem wewnętrznym (lub, krótko, działaniem) w zbiorze A nazywamy funkcję : A A A. Niech ponadto B będzie niepustym zbiorem.

Bardziej szczegółowo

1 Przestrzeń liniowa. α 1 x α k x k = 0

1 Przestrzeń liniowa. α 1 x α k x k = 0 Z43: Algebra liniowa Zagadnienie: przekształcenie liniowe, macierze, wyznaczniki Zadanie: przekształcenie liniowe, jądro i obraz, interpretacja geometryczna. Przestrzeń liniowa Już w starożytności człowiek

Bardziej szczegółowo

4 Przekształcenia liniowe

4 Przekształcenia liniowe MIMUW 4. Przekształcenia liniowe 16 4 Przekształcenia liniowe Obok przestrzeni liniowych, podstawowym obiektem algebry liniowej są przekształcenia liniowe. Rozpatrując przekształcenia liniowe między przestrzeniami

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F

Bardziej szczegółowo

9 Przekształcenia liniowe

9 Przekształcenia liniowe 9 Przekształcenia liniowe Definicja 9.1. Niech V oraz W będą przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem F. Przekształceniem liniowym nazywamy funkcję ϕ : V W spełniającą warunek (LM) v1,v 2 V a1,a 2

Bardziej szczegółowo

Niezbyt formalny i niezbyt intuicyjny wst p do algebry abstrakcyjnej

Niezbyt formalny i niezbyt intuicyjny wst p do algebry abstrakcyjnej Niezbyt formalny i niezbyt intuicyjny wst p do algebry abstracyjnej 1. Nawiasami [[]] oznacza b d omentarze. 2. Denicja 0.1 Grup z [[jaim± abstracyjnym]] dziaªaniem nazywamy zbiór G speªniaj cy waruni

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów Kierunek: Automatyka i Robotyka, II rok Ukªady równa«liniowych PWSZ Gªogów, 2009 Motywacje Zagadnienie kluczowe dla przetwarzania numerycznego Wiele innych zada«redukuje si do problemu rozwi zania ukªadu

Bardziej szczegółowo

Przekształcenia liniowe

Przekształcenia liniowe Przekształcenia liniowe Zadania Które z następujących przekształceń są liniowe? (a) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (2x, x x 2 ), (b) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (x + 3x 2, x 2 ), (c) T : R 2 R, T (x, x 2 )

Bardziej szczegółowo

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1 Matematyka liczby zespolone Wykład 1 Siedlce 5.10.015 Liczby rzeczywiste Zbiór N ={0,1,,3,4,5, } nazywamy zbiorem Liczb naturalnych, a zbiór N + ={1,,3,4, } nazywamy zbiorem liczb naturalnych dodatnich.

Bardziej szczegółowo

Endomorfizmy liniowe

Endomorfizmy liniowe Endomorfizmy liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 8. wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2011 1 / 16 Endomorfizmy

Bardziej szczegółowo

1. Elementy (abstrakcyjnej) teorii grup

1. Elementy (abstrakcyjnej) teorii grup 1. Elementy (abstrakcyjnej) teorii grup Grupy symetrii def. Grupy Zbiór (skończony lub nieskończony) elementów {g} tworzy grupę gdy: - zdefiniowana operacja mnożenia (złożenia) g 1 g 2 = g 3 є G - (g 1

Bardziej szczegółowo

Wykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0}

Wykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0} Wykład 5 Niech f : V W będzie przekształceniem liniowym przestrzeni wektorowych Wtedy jądrem przekształcenia nazywamy zbiór tych elementów z V, których obrazem jest wektor zerowy w przestrzeni W Jądro

Bardziej szczegółowo

Strategie zabezpieczaj ce

Strategie zabezpieczaj ce 04062008 Plan prezentacji Model binarny Model Black Scholesa Bismut- Elworthy -Li formuła Model binarny i opcja call Niech cena akcji w chwili pocz tkowej wynosi S 0 = 21 Zaªó»my,»e ceny akcji po trzech

Bardziej szczegółowo

Kurs z matematyki - zadania

Kurs z matematyki - zadania Kurs z matematyki - zadania Miara łukowa kąta Zadanie Miary kątów wyrażone w stopniach zapisać w radianach: a) 0, b) 80, c) 90, d), e) 0, f) 0, g) 0, h), i) 0, j) 70, k), l) 80, m) 080, n), o) 0 Zadanie

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ OD RÓWNAŃ DO ODWZOROWAŃ LINIOWYCH

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ OD RÓWNAŃ DO ODWZOROWAŃ LINIOWYCH ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 OD RÓWNAŃ DO ODWZOROWAŃ LINIOWYCH Piotr M Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 8, 27112013 Typeset by Jakub Szczepanik Motywacja 2/10 Przechodzimy od rozwiązywania jednego równania

Bardziej szczegółowo

Zastosowania wyznaczników

Zastosowania wyznaczników Zastosowania wyznaczników Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 7.wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2012 1 / 17

Bardziej szczegółowo

CAŠKOWANIE METODAMI MONTE CARLO Janusz Adamowski

CAŠKOWANIE METODAMI MONTE CARLO Janusz Adamowski III. CAŠKOWAIE METODAMI MOTE CARLO Janusz Adamowski 1 1 azwa metody Podstawowym zastosowaniem w zyce metody Monte Carlo (MC) jest opis zªo-»onych ukªadów zycznych o du»ej liczbie stopni swobody. Opis zªo»onych

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 1. Przestrzenie wektorowe

Rozdzia l 1. Przestrzenie wektorowe Rozdzia l 1 Przestrzenie wektorowe Materiał tego rozdziału jest, z jednej strony, trudny, bo operuje pojęciami abstrakcyjnymi, a zdrugiej strony łatwy, nie zawiera w sobie istotnych problemów technicznych,

Bardziej szczegółowo

1 Grupy. 1.1 Grupy. (2) dla działania istnieje element neutralny, tzn. istnieje e G taki, że ae = a = ea dla dowolnego a G;

1 Grupy. 1.1 Grupy. (2) dla działania istnieje element neutralny, tzn. istnieje e G taki, że ae = a = ea dla dowolnego a G; 1 Grupy 1.1 Grupy Definicja. Grupą nazywamy niepusty zbiór G z działaniem : G G G, (a, b) ab, spełniającym warunki: (1) działanie jest łączne, tzn. a(bc) = (ab)c dla dowolnych a, b, c G; (2) dla działania

Bardziej szczegółowo

1. PODSTAWY TEORETYCZNE

1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały opisane bardziej szczegółowo w innych

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią. wykład I

Algebra liniowa z geometrią. wykład I Algebra liniowa z geometrią wykład I 1 Oznaczenia N zbiór liczb naturalnych, tutaj zaczynających się od 1 Z zbiór liczb całkowitych Q zbiór liczb wymiernych R zbiór liczb rzeczywistych C zbiór liczb zespolonych

Bardziej szczegółowo

Przestrzeń liniowa i przekształcenie liniowe

Przestrzeń liniowa i przekształcenie liniowe opracował Maciej Grzesiak Przestrzeń liniowa i przekształcenie liniowe W algebrze rozpatruje się zbiory abstrakcyjne Natura elementów zbioru się nie liczy Na elementach rozpatruje się działania spełniające

Bardziej szczegółowo

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017 Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2017 1 / 10 Definicja Funkcja

Bardziej szczegółowo