Teoria grup. Jan Derezi«ski. Katedra Metod Matematycznych Fizyki Uniwersytet Warszawski Ho»a 74, , Warszawa

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Teoria grup. Jan Derezi«ski. Katedra Metod Matematycznych Fizyki Uniwersytet Warszawski Ho»a 74, 00-682, Warszawa e-mail jan.derezinski@fuw.edu."

Transkrypt

1 Teoria grup Jan Derezi«ski Katedra Metod Matematycznych Fizyki Uniwersytet Warszawski Ho»a 74, , Warszawa 9 czerwca 2015 rok 2010/11 Spis tre±ci 1 Podstawowe wªasno±ci grup Denicja Podgrupy Homomorzmy Dziaªanie Orbity Warstwy Klasy sprz»ono±ci Klasykacja dziaªa«grupy Iloczyn prosty Podgrupy normalne Iloczyn póªprosty Przykªady grup Permutacje Iloczyn póªprosty z grup Z Grupa permutacji 3 elementów Grupa permutacji 4 elementów Grupa obrotów SO(3) Grupa obrotów wªa±ciwych wielok ta foremnego C n Z n Grupa dihedralna D n Z n Z Grupa czworo±cianu T A Grupa sze±cianu/o±mio±cianu O S Grupa dwudziesto±cianu/dwunasto±cianu) I A Sko«czone podgrupy grupy obrotów

2 3 Grupy macierzowe Ciaªa Przestrzenie wektorowe Odwzorowania liniowe Ogólna grupa liniowa Grupa ortogonalna w sko«czonym wymiarze Grupa pseudo-ortogonalna Abstrakcyjne podej±cie do grup (pseudo-)ortogonalnych Grupa unitarna w sko«czonym wymiarze Grupa pseudo-unitarna Abstrakcyjne podej±cie do grup (pseudo-)unitarnych Grupa symplektyczna w sko«czonym wymiarze Abstrakcyjne podej±cie do grup symplektycznych Grupy aniczne Grupy Liego Koincydencje w±ród grup macierzowych SL(2, K) Sp(2, K) SU(2)/Z 2 SO(3) SL(2, R)/Z 2 SO 0 (1, 2), SL(2, C)/Z 2 SO(3, C), SL(2, C)/Z 2 SO 0 (1, 3) (SL(2, R) SL(2, R)) /Z 2 SO 0 (2, 2), (SL(2, C) SL(2, C)) /Z 2 SO(4, C), (SU(2) SU(2)) /Z 2 SO(4) Reprezentacje grup Denicja Suma prosta Równowa»no± Nieprzywiedlno± Reprezentacje jednowymiarowe Reprezentacje permutacyjne Podstawowe reprezentacje grupy permutacji Lematy Schura Iloczyn tensorowy I Iloczyn tensorowy II Reprezentacja grupy permutacji Charaktery Reprezentacje grup sko«czonych Unitaryzowalno± Relacje ortogonalno±ci Rozkªad reprezentacji Reprezentacja regularna Liczba reprezentacji nieprzywiedlnych

3 7 Algebry ª czne Denicja Podalgebry Identyczno± Idempotenty Sumy proste Homomorzmy Lewa regularna reprezentacja Ideaªy Przykªady podalgebr w L(K n ) algebry Reprezentacje sko«czenie wymiarowych -algebr homomorzmy sko«czenie wymiarowych -algebr Algebra grupowa Algebra grupowa Posta algebry splotowej Reprezentacja regularna Kwaterniony Denicje Zanurzanie liczb zespolonych w kwaternionach Macierzowa reprezentacja kwaternionów Rzeczywiste proste algebry Kwaternionowe przestrzenie wektorowe Reprezentacje zespolone, rzeczywiste i kwaternionowe Reprezentacja zespolenie sprz»ona Przestrze«zespolenie sprz»ona Reprezentacje zespolone Splatacze w iloczynach tensorowych Elementy krystalograi Grupy punktowe Sieci Grupa ruchów euklidesowych Grupy fryzowe Punktowe grupy krystalograczne Sieci Bravais'go Grupy krystalograczne Grupy tapetowe Grupy przestrzenne

4 12 Macierzowe algebry Liego Rozmaito±ci zanurzone Funkcje macierzowe Macierzowe algebry Liego Przemienne grupy i algebry Liego Algebra Liego macierzy bez±ladowych Formy niezmiennicze Ortogonalne i pseudoortogonalne algebra Liego Abstrakcyjne podej±cie Kanoniczna forma Forma o sygnaturze (q, p) Unitarne i pseudounitarne algebry Liego Abstrakcyjne podej±cie Kanoniczna forma Forma o sygnaturze (q, p) Symplektyczna algebra Liego Abstrakcyjne algebry Liego Denicja Algebry ª czne a algebry Liego Homomorzmy Reprezentacja doª czona Ró»niczkowania Ideaªy Ideaªy charakterystyczne Iloczyn póªprosty Aniczne algebry Liego Zwi zek zespolonych i rzeczywistych przestrzeni wektorowych Zwi zek zespolonych i rzeczywistych algebr Liego Formy niezmiennicze na algebrze Liego Algebry póªproste i reduktywne Zwarte grupy i ich reprezentacje Reprezentacje Reprezentacja kontragradientna Uto»samienie iloczynu tensorowego i operatorów liniowych Iloczyn reprezentacji i reprezentacji kontragradientnej Istnienie miary Haara i jego konsekwencje Reprezentacje nieprzywiedlne Rozkªad dowolnej reprezentacji Rozkªad iloczynu tensorowego reprezentacji Przykªad: Z n Przykªad: T := R/Z Przykªad: S

5 15 SL(2, C) i SU(2) i ich reprezentacje sl(2, C) i su(2) so(3, C) i SO(3, C) Sko«czenie wymiarowe reprezentacje sl(2, C) Reprezentacje unitarne su(2) Reprezentacje SL(2, C) i SU(2) Parametryzacje SU(2) D-macierze Wignera Typ reprezentacji grupy SL(2, C) Miara Haara na SU(2) Charaktery reprezentacji SU(2) Wspóªczynniki Clebscha-Gordana i 3j-symbole Iloczyn tensorowy z reprezentacj o spinie Zastosowanie grupy SU(3) w zyce cz stek Reprezentacje su(3) Pierwiastki i algebra Cartana Wagi reprezentacji Pierwiastki Reprezentacja fundamentalna i antyfundamentalna Trialno± Pierwiastki ujemne i dodatnie Diagramy wagowe przykªadowych reprezentacji Symetrie w mechanice kwantowej Konwencje Zachowane ªadunki Izospin Dziwno± Kwarki Zastosowanie teorii grup w modelu standardowym i modelach wielkiej unikacji Model standardowy Leptony Skalar Higgsa Kwarki Lagran»jan modelu standardowego SU(n) Rozszerzanie SU(3) SU(2) U(1) do SU(5) Pola w GUT opartej na SU(5) Rozszerzanie SU(3) SU(2) U(1) do SU(4) SU(2) SU(2)

6 18 Algebry Cliorda i grupy Spin Algebry Cliorda Parzyste algebry Cliorda Element obj to±ci Reprezentacja Foka algebry Cliorda Posta algebr Cliorda Grupa Pin i Spin Reprezentacje grupy Spin(n) Przegl d klasycznych algebr Liego sl(n, C) so(n, C) so(2m) so(2m + 1) sp(2m, C) Koincydencje Konstrukcja Schura-Weyla Reprezentacje SL(n, C) Struktura algebr Liego Nilpotentne i rozwi zalne algebry Liego Twierdzenie Liego Dolny ci g centralny Kryteria Cartana rozwi zalno±ci Algebry póªproste i reduktywne a algebry rozwi zalne Operator Casimira Reprezentacje algebr póªprostych Ró»niczkowania póªprostej algebry Liego Nilpotentne algebry Liego Struktura endomorzmu liniowego Twierdzenie Engela Przestrzenie pierwiastkowe algebry nilpotentnej Przestrzenie pierwiastkowe w algebrach Liego Algebry Cartanaprzypadek ogólny Elementy póªproste i nilpotentne w póªprostych algebrach Liego Struktura algebr póªprostych Podalgebra Cartana dla algebr póªprostych Zbiór pierwiastków póªprostej algebry Liego Ukªady pierwiastków Pierwiastki dodatnie Grupa Weyla Reprezentacje algebr Liego

7 23 Homotopia Homotopia krzywych Skªadanie krzywych i grupa homotopii Nakrycia Nakrycie uniwersalne Nakrycie wyznaczone przez podgrup grupy homotopii Globalna teoria grup Liego Lokalna izomorczno± grup Liego Grupa homotopii grupy Liego Rozmaito±ci Algebra Liego grupy Liego Przemienne grupy Liego Podgrupy grup Liego Podstawowe wªasno±ci grup 1.1 Denicja Grupa to niepusty zbiór G wyposa»ony w (1) dziaªanie G G (g, h) g h G maj ce wªasno± ª czno±ci (gh)k = g(hk), g, h, k G. (2) wyró»niony element e G, zwany elementem neutralnym, speªniaj cy eg = ge = g, g G. (3) odwzorowanie G g g 1 G, zwane odwrotno±ci speªniaj ce gg 1 = g 1 g = e, g G. Czyli grupa jest czwórk (G,, e, 1 ). Notacja powy»sza nosi nazw multiplikatywnej. Mówimy,»e grupa jest nietrywialna, gdy jest ró»na od grupy skªadaj cej si jedynie z elementu neutralnego. Element neutralny w notacji multiplikatywnej jest cz sto oznaczany przez 1 lub 1l. Mo»liwe jest te» sformuªowanie sªabszych aksjomatów, w ktorych grupa jest zbiorem wyposa»onym jedynie w ª czne dziaªanie i dwa warunki zapewniaj ce istnienie elementu neutralnego i odwrotno±ci. Mówimy,»e grupa jest przemienna lub abelowa, gdy gh = hg, g, h G. Dla grup abelowych stosujemy cz sto notacj addytywn, w której grupa to (G, +, 0, ). 7

8 1.2 Podgrupy Niech G b dzie grup. Niepusty podzbiór H G nazywamy podgrup gdy jest zamkni ty ze wzgl du na mno»enie i branie odwrotno±ci. Zawiera wtedy element neutralny i ze wzgl du na mno»enie i odwrotno± dziedziczone z G jest grup. Mówimy,»e podgrupa jest nietrywialna, gdy jest ró»na od grupy skªadaj cej si jedynie z elementu neutralnego, jak równie» od grupy G. Je±li rodzina H α G skªada si z podgrup, to α H α jest te» podgrup. Dlatego, dla dowolnego podzbioru X G istnieje najmniejsza podgrupa zawieraj ca X. Oznaczamy j przez Gr(X) i nazywamy podgrup generowan przez X. Grup generowan przez jeden element nazywamy grup cykliczn. S to grupy Z n, n N i Z. Liczb elementów zbioru X oznaczamy przez #X. Liczb elementów grupy nazywamy rz dem grupy. Mówimy,»e g G ma rz d n N { }, gdy n = #Gr(g). Je±li rz d g jest równy n N, to Gr(g) = {e, g,..., g n 1 } jest podgrup w G izomorczn z Z n. Je±li rz d g jest równy, to Gr(g) = {..., g 1, e, g, g 2,...} jest podgrup izomorczn z Z. Je±li H jest podgrup i g G, to ghg 1 := {ghg 1 : h H} jest te» podgrup zwan podgrup sprz»on do H. 1.3 Homomorzmy Niech G, H b d grupami. Odwzorowanie φ : G H jest homomorzmem, gdy φ(g 1 g 2 ) = φ(g 1 )φ(g 2 ), g 1, g 2 G. Stwierdzenie 1.1 Je±li φ jest homomorzmem, to Dowód. φ(e G ) = e H, φ(g 1 ) = φ(g) 1. φ(e G )e H = φ(e G )φ(e G )φ(e G ) 1 = φ(e 2 G)φ(e G ) 1 = φ(e G )φ(e G ) 1 = e H. φ(g 1 ) = φ(g 1 )φ(g)φ(g) 1 = φ(g 1 g)φ(g) 1 = φ(e G )φ(g) 1 = e H φ(g) 1 = φ(g) 1. Bijektywny homomorzm nazywamy izomorzmem. Je±li G = H, to homomorzm nazywamy endomorzmem a izomorzm automorzmem. Automorzmy grupy G tworz grup oznaczan Aut(G). 8

9 1.4 Dziaªanie Niech X b dzie zbiorem. Przez S(X) oznaczamy zbiór bijekcji na zbiorze X. Wtedy S(X) jest grup ze skªadaniem i elementem neutralnym równym id, gdzie id(x) = x, x X. Niech G b dzie grup. Homomorzm G S(X) nazywamy dziaªaniem grupy G na zbiorze X. Innymi sªowy, odwzorowanie jest dziaªaniem, gdy Stosujemy te» cz sto notacj uproszczon : G X (g, x) τ g (x) X (1.1) τ g (τ h (x)) = τ gh (x), g, h G. G X (g, x) gx X. W tej notacji wªasno±ci homomorczno±ci i ª czno±ci naturalnie si zapisuj : g(hx) = (gh)x, ((gh)k)x = (g(hk))x, g, h, k G, x X. Dlatego te», zbyteczne jest pisanie nawiasów. Je±li x X, to G x := {g G : τ g (x) = x} jest podgrup w G zwan grup izotropii elementu x. Niech τ : G X X, τ : G X X, b d dziaªaniami. Mówimy,»e bijekcja φ : X X jest izomorzmem dziaªa«τ i τ, gdy W notacji uproszczonej (1.2) ma posta 1.5 Orbity τ g (φ(x)) = φ (τ g (x)), g G, x X. (1.2) gφ(x) = φ(gx), g G, x X. Niech τ : G S(X) b dzie dziaªaniem. Deniujemy relacj x τ y g G τ g (x) = y. Stwierdzenie 1.2 τ jest relacj równowa»no±ci. Klasy abstrakcji tej relacji nazywamy orbitami dziaªania τ. Klas abstrakcji dla elementu x X nazywamy orbit elementu x i oznaczamy τ G (x). Zbiór orbit czasem oznaczamy przez G\X. Je±li x, y nale» do tej samej orbity, to grupy izotropii G x i G y s do siebie sprz»one, to znaczy istnieje g G takie,»e G x = gg y g 1. Mówimy,»e dziaªanie τ jest tranzytywne, gdy posiada dokªadnie jedn orbit. Mówimy te» wtedy,»e X jest przestrzeni jednorodn dla grupy G. 9

10 1.6 Warstwy Niech H b dzie podgrup grupy G. Wtedy H dziaªa na G przez lewe mno»enie Orbity tego dziaªania maj posta λ h (g) := hg, g G, h H. Hg := {hg : h H}, g G, i s nazywane lewymi warstwami podgrupy H. Zbiór lewych warstw jest oznaczany przez H\G. H dziaªa na G równie» przez prawe mno»enie Orbity tego dziaªania maj posta ρ h (g) := gh 1, g G, h H. gh := {gh : h H}, g G, i s nazywane prawymi warstwami podgrupy H. Zbiór prawych warstw jest oznaczany przez G/H. G g g 1 G jest izomorzmem dla tych dziaªa«. Lewe i prawe mno»enie jest bijekcj, tak samo odwrotno±. Dlatego te» wszystkie lewe (jak równie» prawe) warstwy maj t sam liczb elementów równ rz dowi H. Jako wniosek dostajemy Twierdzenie 1.3 (Lagrange) Je±li G jest grup sko«czon i H jej podgrup, to #G = (#H)(#G/H). Dowód. Wybieramy w ka»dej warstwie po jednym elemencie. Innymi sªowy, ustalamy odwzorowanie θ : G/H G o wªasno±ci θ(w ) W, W G/H. Sprawdzamy,»e G/H H (W, h) θ(w )h G jest bijekcj.. Liczb #G/H nazywamy indeksem podgrupy H. W szczególno±ci, G dziaªa na sobie samej. Jest to dziaªanie tranzytywne. Ka»demu elementowi g G odpowiada inna bijekcja na G. Dlatego te» dostajemy Twierdzenie 1.4 (Cayley) Ka»da grupa jest izomorczna z podgrup w S(G). 1.7 Klasy sprz»ono±ci Niech g G. Kªadziemy Ad(g)(h) := ghg 1, h G. Wtedy Ad(g) jest automorzmem grupy G nazywanym automorzmem wewn trznym lub automorzmem doª czonym zadanym przez g. G g Ad(g) Aut(G) 10

11 jest homomorzmem. Jego obraz oznaczamy przez Inn(G). Grupa G dziaªa na sobie samej przez automorzmy wewn trzne. Orbity wzgl dem tego dziaªania nazywaj si klasami sprz»ono±ci. Niech Sub(G) oznacza zbiór podgrup grupy G. Je±li H Sub(G), to ghg 1 te» jest podgrup. Sub(G) H ghg 1 Sub(G) jest dziaªaniem grupy G na Sub(G). Mówimy,»e dwie podgrupy s sprz»one, je±li nale» do tej samej orbity. 1.8 Klasykacja dziaªa«grupy Nast puj cy wzór deniuje dziaªanie grupy G na G/H: g(kh) := (gk)h, g, k G. Dziaªanie to jest tranzytywne. Grup izotropii elementu jednostkowego jest H. Poni»sze twierdzenie mówi,»e ka»de dziaªanie tranzytywne jest izomorczne z takim dziaªaniem. Twierdzenie 1.5 (Podstawowe twierdzenie o przestrzeniach jednorodnych) Niech τ : G X X b dzie dziaªaniem tranzytywnym i x X. Wtedy wzór φ(gg x ) := τ g (x) deniuje izomorzm dziaªania G na przestrzeni warstw G/G x i τ. Je±li X jest zbiorem sko«czonym, to #G = #X #G x. Dowód. Dobra okre±lono±. Niech g, k G. gg x = kg x k 1 gg x = G x k 1 g G x x = τ k 1 g(x) τ 1 k τ g(x) = x τ k (x) = τ g (x). Injektywno± Rozumowanie w stron przeciwn do poprzedniej: pokazuje,»e Surjektywno± wynika z tranzytywno±ci. Izomorczno± dziaªa«: τ k (x) = τ g (x) gg x = kg x. φ(gkg x ) = τ gk (x) = τ g (τ k x)) = τ g (φ(kg x ). Liczba elementów: X jest bijektywny zbiorowi G/G x, mo»emy wi c zastosowa Twierdzenie Lagrange'a. Twierdzenie 1.6 Niech H i K b d podgrupami. Wtedy dziaªania G na G/H i G/K s izomorczne wtedy i tylko wtedy gdy H jest sprz»ona do K. 11

12 Dowód. Niech K = mhm 1. Deniujemy φ(gh) = gm 1 K = ghm 1. Trywialnie sprawdzamy,»e φ jest dobrze okre±lone, bijektywne i splata dziaªania. Niech φ : G/H G/K b dzie izomorzmem. Wtedy istnieje m G takie,»e φ(h) = m 1 K. Dla h H hm 1 K = hφ(h) = φ(hh) = φ(h) = m 1 K. Czyli mhm 1 K = K. Zatem, mhm 1 K. Odwracaj c role dostajemy mhm 1 = K Zaªó»my teraz,»e grupa G dziaªa na zbiorze X (niekoniecznie tranzytywnie). Przez G\X b dziemy oznacza zbiór orbit tego dziaªania. Niech X g oznacza zbiór punktów staªych g G. Twierdzenie 1.7 Niech X = X 1 X k b dzie rozbiciem X na orbity. Z ka»dej orbity wybieramy reprezentanta x i X i, i = 1,..., k. Wtedy k ( #G 1 1 ) #G x = #X g. (1.3) i g e i=1 Dowód. Niech P := {(g, x) (G \ {e}) X : gx = x}. Obliczymy liczb elementów P dwoma sposobami. Mamy P = k (G x \ {e}) {x} = x X j=1 x X j (G x \ {e}) {x}. Dla x X j mamy #X j = #G #G x. Zatem #P jest równe lewej stronie (1.3). Z drugiej strony, P = g e{g} X g. Zatem #P jest równe prawej stronie (1.3). Poni»szy podobny wzór bywa przypisywany Burnside'owi. Twierdzenie 1.8 Niech G = G 1 G l b dzie rozkªadem grupy na klasy sprz»ono±ci. Z ka»dej klasy sprz»ono±ci wybieramy reprezentanta g i G i, i = 1,..., l. Wtedy (#G)(#G\X) = l (#G j )(#X g j ). (1.4) j=1 12

13 Dowód. Niech Z := {(g, x) G X : gx = x}. Obliczymy liczb elementów Z dwoma sposobami. Mamy Z = k G x {x} = x X j=1 x X j G x {x}. Dla x X j mamy (#G x )(#X j ) = #G. Zatem #Z jest równe lewej stronie (1.4). Z drugiej strony, Z = {g} X g. g G Zauwa»my,»e X hgh 1 = hx g, dlatego #X g jest staªe na klasach sprz»ono±ci. St d #Z jest równe prawej stronie (1.4). 1.9 Iloczyn prosty Niech K, H b d grupami. Wtedy K H jest grup z iloczynem (k 1, h 1 )(k 2, h 2 ) := (k 1 k 2, h 1 h 2 ). K H z takim iloczynem nazywamy iloczynem (zewn trznym) grupy K i H. Zauwa»my,»e K {e H }, {e K } H s podgrupami, które komutuj, ich przeci cie to {(e K, e H )} i generuj razem K H. Latwo sprawdzamy,»e dla n N przestrze«klas Z/nZ jest grup abelow. Jej elementy s postaci [0],..., [n 1]. Stwierdzenie 1.9 Je±li n, m s liczbami wzgl dnie pierwszymi, to jest izomorzmem. Z m Z n ([i], [j]) [in + jm] Z mn Dowód. Najpierw sprawdzamy,»e dla dowolnych m, n N powy»sze odwzorowanie jest dobrze okre±lone i jest homomorzmem. Aby dowie±,»e jest on surjektywny korzystamy z faktu,»e dla wzgl dnie pierwszych m, n istniej i, j Z takie,»e in + jm = 1. Mo»na pokaza,»e ka»da sko«czona grupa abelowa jest iloczynem grup postaci Z p k, gdzie p s liczbami pierwszymi Podgrupy normalne Niech N b dzie podgrup w G. Mówimy,»e N jest podgrup normaln, gdy g G, n N gng 1 N. 13

14 Równowa»ny warunek: gn = Ng, g G Czyli nie ma wtedy potrzeby rozró»nia lewych i prawych warstw. Grup która nie posiada nietrywialnych podgrup normalnych nazywamy grup prost. Przykªadami grup prostych s Z p dla pierwszych p i A n dla n 5. Wszystkie grupy proste sko«czone zostaªy sklasykowane. Dowód prostoty A 5 jako pierwszy podaª Galois w 1831 r. Peªna lista jest znana od 1981 r., kiedy skonstruowano Grup Monstrum. Dowód kompletno±ci tej klasykacji ogªoszono w 1983 r. Za dat, kiedy powszechnie zgodzono si z tym,»e dowód ten zostaª uko«czony uznaje si Je±li φ : G H jest homomorzmem, to φ(g) jest podgrup w H i jest podgrup normaln. Wzór Kerφ = {g G : φ(g) = e H } (g 1 N)(g 2 N) := g 1 g 2 N deniuje w G/N struktur grupy. Odwzorowanie G g gn G/N jest homomorzmem, którego j drem jest N. Je±li φ : G H jest surjektywnym homomorzmem, którego j drem jest te» N, to ψ(gn) := φ(g) deniuje izomorzm ψ : G/N H. Sytuacj, gdy φ : G H jest surjektywnym homomorzmem, dla którego N jest j drem, cz sto zapisujemy w skrócie 1 N G H 1. (1.5) Mówimy wtedy,»e G jest rozszerzeniem N przez H, albo»e mamy krótki ci g dokªadny (1.5) Iloczyn póªprosty Niech H, N b d grupami i homomorzm H h α h Aut(N). Deniujemy (zewn trzny) iloczyn póªprosty N α H jako N H wyposa»one w dziaªanie element neutralny (e N, e H ), i odwrotno± (n 1, h 1 )(n 2, h 2 ) := (n 1 α h1 (n 2 ), h 1 h 2 ), (n, h) 1 = (α h 1(n 1 ), h 1 ). Zauwa»my,»e N e H jest podgrup normaln, za± e N H jest podgrup, ich przeci cie jest równe {(e N, e H )} oraz Gr(N H) = N α H. Odwzorowanie N α H (n, h) h H 14

15 jest surjektywnym homomorzmem, którego j drem jest N. Zaªó»my,»e mamy krótki ci g dokªadny 1 N G H 1. (1.6) Zachodzi pytanie, kiedy G jest izomorczne iloczynowi póªprostemu N i H? Ma to miejsce wtedy, gdy istnieje homomorzm injektywny ψ : H G taki,»e φ ψ = id, ψ(h) i N generuj G i ψ(h) N = e G. Mówimy wtedy,»e ci g si rozszczepia. Nie zawsze to ma miejsce: We¹my 0 Z 2 Z 4 Z Przykªady grup 2.1 Permutacje Je±li X jest zbiorem sko«czonym, bijekcj na X cz sto nazywamy permutacj. Pami tamy,»e przez S(X) oznaczamy grup bijekcji na X. Piszemy S n := S({1, 2,..., n}). Oczywi±cie, je±li X ma n elementów, to S(X) jest izomorczne z S n. Permutacj π S n nazywamy cyklem k-elementowym, gdy istniej parami ró»ne x 1,..., x k {1,..., n} takie,»e πx i = x i+1, i = 1,..., k, (rozumiej c,»e k + 1 = 1). Cykl oznaczamy przez (x 1,..., x k ). Dwa cykle (x 1,..., x k ) i (y 1,..., y m ) nazywamy rozª cznymi je±li zbiory {x 1,..., x k }, {y 1,..., y m } s rozª czne. Ka»d permutacj mo»emy przedstawi jako iloczyn cykli rozª cznych. Rozkªad ten jest jednoznaczny (z dokªadno±ci do kolejno±ci). W szczególno±ci, wyznacza on ci g λ 1, λ 2,... liczb z {0, 1,...} takich,»e j jλ j = n i w rozkªadzie na cykle rozª czne wyst puje λ j cykli j- elementowych. Wielomian Vandermonda stopnia n deniujemy jako V (x 1,..., x n ) := i<j(x i x j ). Latwo sprawdzi,»e dla π S n, Deniujemy V (x 1,..., x n ) = ±V (x π(1),..., x π(n) ). sgnπ := V (x 1,..., x n ) V (x π(1),..., x π(n) ). sgn : S n {1, 1}. jest homomorzmem. J dro tego homomorzmu nazywamy grup alternuj c i oznaczamy przez A n. 15

16 2.2 Iloczyn póªprosty z grup Z 2 Niech K b dzie grup abelow z zapisem addytywnym. Odwzorowanie K k β(k) := k K jest automorzmem grupy K. Dla grup Z n 2 jest to automorzm identyczno±ciowy. Je±li nie wszystkie elementy grupy K s rz du 2 lub 1, to jest to automorzm nietrywialny. Mo»emy zdeniowa grup K β Z 2. W szczególno±ci, grupa D n := Z n β Z 2 nosi nazw grupy dwu±ciennej (dihedralnej). Jest ona nieabelowa dla n Grupa permutacji 3 elementów Mamy izomorzm A 3 Z 3 : A 3 = {id, (123), (132)}. Mamy te» izomorzm S 3 D 3 = Z 3 β Z 2 S 3 posiada nast puj ce nietrywialne podgrupy: jedn podgrup (normaln ) Z 3 i 3 sprz»one do siebie podgrupy Z 2. Mamy zatem 4 nieizomorczne tranzytywne dziaªania S 3 : na zbiorze 6-, 3-, 2- i 1-elementowym 2.4 Grupa permutacji 4 elementów Elementy grupy Z 2 Z 2 mo»na oznaczy jako {e, a, b, ab}. Automorzmy tej grupy polegaj na permutacjach {a, b, ab}. Czyli Aut(Z 2 Z 2 ) S 3. Grup Z 2 Z 2 mo»na wªo»y w A 4 S 4 {id, (12)(34), (13)(24), (14)(23)}. Jest ona normalna w A 4 i w S 4. Mamy izomorzmy (Z 2 Z 2 ) A 3 A 4, (Z 2 Z 2 ) S 3 S 4. W szczególno±ci, A 4 nie jest prosta. To,»e A 5 jest prosta pokazaª Galois. 2.5 Grupa obrotów SO(3) Przez SO(3) b dziemy oznacza grup obrotów (wªa±ciwych) przestrzeni R 3. Lemat 2.1 Dla ka»dego A SO(3)\{1l} istnieje dokªadnie jedna prosta przechodz ca przez 0 i θ [0, 2π[ takie,»e A jest obrotem wokóª A o k t θ. A jest sko«czonego rz du, gdy θ = 2πj n, j = 1,..., n 1. Prost opisan w powy»szym lemacie nazywamy osi obrotu A. Je±li wybierzemy zwrot tej prostej, b dziemy mówili o osi skierowanej. Nast pnie opiszemy wszystkie sko«czone podgrupy grupy obrotów. 16

17 Lemat 2.2 Niech G b dzie sko«czon podgrup SO(3). Niech α b dzie osi pewnego obrotu z G. Wtedy obroty wokóª osi α nale» ce do G stanowi grup izomorczn z Z n. O± tak jak w powy»szym lemacie nazywamy osi n-krotn. Przez O(3) b dziemy oznacza grup obrotów niewªa±ciwych przestrzeni R 3. Mamy O(3) = SO(3) Z 2, gdzie generatorem Z 2 jest symetria ±rodkowa. 2.6 Grupa obrotów wªa±ciwych wielok ta foremnego C n Z n cos 2πj n sin 2πj n, j = 0,..., n 1. (2.7) 0 sin 2πj n cos 2πj n 2.7 Grupa dihedralna D n Z n Z 2 Do (2.7) doª czamy cos πj n sin πj n 0 sin πj n cos πj n, j = 0,..., n 1. (2.8) 2.8 Grupa czworo±cianu T A 4 Grupa symetrii czworo±cianu. Permutuje (1) 4 wierzchoªki, (2) 4 ±ciany, (3) 6 kraw dzi. Ma (1) 4 osie 3-krotne, mi dzy wierzchoªkiem a przeciwlegª ±cian, (2) 3 osie 2-krotne, mi dzy ±rodkami przeciwlegªych kraw dzi. 2.9 Grupa sze±cianu/o±mio±cianu O S 4 Grupa symetrii sze±cianu. Permutuje (1) 8 wierzchoªków/±cian, (2) 6 ±cian/wierzchoªków, (3) 12 kraw dzi. Ma (1) 4 osie 3-krotne, mi dzy przeciwlegªymi wierzchoªkami/±cianami, (2) 3 osie 4-krotne, mi dzy ±rodkami przeciwlegªych ±cian/wierzchoªków, (3) 6 osi 2-krotnych, mi dzy ±rodkami przeciwlegªych kraw dzi. 17

18 2.10 Grupa dwudziesto±cianu/dwunasto±cianu) I A 5 Grupa symetrii dwudziesto±cianu. Permutuje (1) 10 wierzchoªków/±cian, (2) 20 ±cian/wierzchoªków, (3) 30 kraw dzi. Ma (1) 6 osi 5-krotnych, mi dzy przeciwlegªymi wierzchoªkami/±cianami, (2) 10 osi 3-krotnych, mi dzy ±rodkami przeciwlegªych ±cian/wierzchoªków, (3) 15 osie 2-krotne, mi dzy ±rodkami przeciwlegªych kraw dzi Sko«czone podgrupy grupy obrotów Twierdzenie 2.3 Lista powy»sza zawiera wszystkie sko«czone podgrupy obrotów. Dowód. Niech G b dzie sko«czon podgrup grupy obrotów. Niech X b dzie zbiorem osi skierowanych elementów z G, czyli X = {α S 2 : gα = α dla pewnego g G} G X (g, α) gα X jest dziaªaniem grupy G na X. Dziaªanie zachowuje krotno±. Niech X 1,..., X k b dzie rozbiciem X na orbity. Niech n i b dzie krotno±ci elementów orbity X i. Zakªadamy,»e n 1 n k. Zachodzi wzór k ) ( (1 1nj = ). (2.9) #G j=1 Jest to przykªad zastosowania Tw Dla wygody czytelnika przytaczamy niezale»ny dowód. Rozwa»my P := {(g, α) (G\{1l}) X : gα = α}. Dla ka»dego g G\{1l} mamy dwa przeci cia osi obrotu i sfery. Dlatego #P = 2(#G 1). (2.10) Dla ka»dego α X j jest n j 1 obrotów g G\{1l} takich,»e gα = α. Dlatego #P = Ale grupa izotropii α X i jest izomorczna z Z ni. Dlatego k #X i (n i 1). (2.11) i=1 #X i = #G n i. (2.12) 18

19 (2.10), (2.11) i (2.12) daj razem (2.9). Rozwi zujemy wi c równanie ( )(2.9). #G 2 implikuje #G [1, 2[. n i 2 implikuje 1 1 n i [ 1 2, 1[. Dla k = 1 lewa strona (2.9) < 1. Dla k 4 lewa strona (2.9) 1. Dlatego k = 2, 3. Rozwa»my k = 2. Mo»emy przepisa (2.9) jako = 2 n 1 n 2 #G. (2.13) Wiemy,»e n i #G. Wi c jedyne rozwi zania (2.13) to n 1 = n 2 = #G N Rozwa»my k = 3. Mo»emy przepisa (2.9) jako = n 1 n 2 n 3 #G. (2.14) Je±li n 1 3, to lewa strona (2.14) 1, co jest niemo»liwe. Wi c n 1 = 2. Je±li n 2 4, to znów lewa strona (2.14) 1, co jest niemo»liwe. Wi c n 2 = 2 lub n 2 = 3. Je±li n 2 = 2, to n 1 = n 2 = 2, n 3 = #G 2. Je±li n 2 = 3, to dla n 3 6 lewa strona (2.14) 1. Dlatego n 3 = 3, n 3 = 4 lub n 3 = 5. Nast pnie identykujemy powstaªe mo»liwo±ci z poszczególnymi grupami n 1 = n 2 = n = #G. Mamy #G n 1 = #G n 2 = 1. Zatem mamy tylko jedn o±. Jest ona n-krotna. Zatem G = C n. n 1 = n 2 = 2, n 3 = n, #G = 2n. Mamy #G n 1 = #G n 2 = n, #G n 3 = 2. Zatem mamy tylko jedn o± n-krotn. Zatem G zawiera C n. Osie 2-krotne musz by prostopadªe do niej. Jedyna mo»liwo± to D n. n 1 = 2, n 2 = 3, n 3 = 3, #G = 12. Mamy #G n 1 = 6, #G n 2 = 4, #G n 3 = 4. Wybierzmy o± 3-krotn. Musi ona przecina sfer w dwóch ró»nych orbitach. Pozostaªe punkty 3-krotne tworz dwa trójk ty równoboczne w pªaszczyznach prostopadªych do tej osi. n 1 = 2, n 2 = 3, n 3 = 4, #G = 24. Mamy #G #G #G n 1 = 12, n 2 = 8, n 3 = 6. Wybierzmy o± 4-krotn. Przecina ona sfer w dwóch elementach orbity X 3. Pozostaªe punkty 4-krotne tworz kwadrat w pªaszczyznie prostopadªej do tej osi. n 1 = 2, n 2 = 3, n 3 = 5, #G = 60. Mamy #G n 1 = 30, #G n 2 = 20, #G n 3 = 12. Wybierzmy o± 5-krotn. Przecina ona sfer w dwóch elementach orbity X 3. Pozostaªe punkty 5-krotne tworz dwa pi ciok ty foremne w dwóch pªaszczyznach prostopadªych do tej osi. 19

20 3 Grupy macierzowe 3.1 Ciaªa Mówimy,»e (K, +,, 1, 0} jest ciaªem, gdy (K, +, 0, } i (K,, 1, 1 ) s grupami abelowymi speªniaj cymi x(y + z) = xy + xz, gdzie K := K\{0}. Deniujemy homomorzmy, izomorzmy, etc. ciaª w oczywisty sposób. Najwa»niejszymi ciaªami dla nas s R i C. R ma jedynie automorzm trywialny. C ma jeden nietrywialny automorzm: sprz»enie zespolone C z z C. 3.2 Przestrzenie wektorowe Mówimy,»e (V, +, 0, ) jest przestrzeni wektorow nad ciaªem K, gdy jest to grupa abelowa wyposa»ona w dziaªanie K V (x, v) xv V takie,»e (x + y)v = xv + yv, (xy)v = x(yv), x, y K, v V, x(u + v) = xu + xv, x K, u, v V. Przykªadem przestrzeni nad K s K n. Przestrzenie wektorowe izomorczne z K n nazywamy przestrzeniami wymiaru n 3.3 Odwzorowania liniowe Homomorzmy przestrzeni wektorowych nazywamy odwzorowaniami liniowymi. Je±li V, W s przestrzeniami, to L(V, W) b dzie oznaczaªo zbiór odwzorowa«liniowych z V do W. B dziemy pisa L(V) := L(V, V). L(K n, K m ) b dziemy uto»sami z macierzami o n wierszach i m kolumnach. Dla A L(K n, K m ) przez A, A i A # b dziemy oznacza macierz hermitowsko sprz»on, zespolenie sprz»on i transponowan do A. 3.4 Ogólna grupa liniowa Niech A L(K n ). Wzór deniuje wyznacznik speªniaj cy GL(K n ) deniujemy jako det A := π S n sgnπa 1,π(1) A n,π(n) K det AB = det A det B. GL(K n ) := {A L(K n ) : det A 0}. 20

. 0 0... 1 0. 0 0 0 0 1 gdzie wektory α i tworz baz ortonormaln przestrzeni E n

. 0 0... 1 0. 0 0 0 0 1 gdzie wektory α i tworz baz ortonormaln przestrzeni E n GAL II 2013-2014 A. Strojnowski str.45 Wykªad 20 Denicja 20.1 Przeksztaªcenie aniczne f : H H anicznej przestrzeni euklidesowej nazywamy izometri gdy przeksztaªcenie pochodne f : T (H) T (H) jest izometri

Bardziej szczegółowo

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja

Bardziej szczegółowo

Metodydowodzenia twierdzeń

Metodydowodzenia twierdzeń 1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb

Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb 1. Podzielno± Przedmiotem bada«teorii liczb s wªasno±ci liczb caªkowitych. Zbiór liczb caªkowitych oznacza b dziemy symbolem Z. Zbiór liczb naturalnych

Bardziej szczegółowo

Matematyka wykªad 1. Macierze (1) Andrzej Torój. 17 wrze±nia 2011. Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej

Matematyka wykªad 1. Macierze (1) Andrzej Torój. 17 wrze±nia 2011. Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej Matematyka wykªad 1 Macierze (1) Andrzej Torój Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej 17 wrze±nia 2011 Plan wykªadu 1 2 3 4 5 Plan prezentacji 1 2 3 4 5 Kontakt moja strona internetowa:

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna

Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna 1. Podaj denicj liczby zespolonej. 2. Jak obliczy sum /iloczyn dwóch liczb zespolonych w postaci algebraicznej? 3. Co to jest liczba urojona?

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

ANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ANALIZA NUMERYCZNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Metoda Eulera 3 1.1 zagadnienia brzegowe....................... 3 1.2 Zastosowanie ró»niczki...................... 4 1.3 Output do pliku

Bardziej szczegółowo

Teoria ciała stałego Cz. I

Teoria ciała stałego Cz. I Teoria ciała stałego Cz. I 1. Elementy teorii grup Grupy symetrii def. Grupy Zbiór (skończony lub nieskończony) elementów {g} tworzy grupę gdy: - zdefiniowana operacja mnożenia (złożenia) g 1 g 2 = g 3

Bardziej szczegółowo

Podstawowe działania w rachunku macierzowym

Podstawowe działania w rachunku macierzowym Podstawowe działania w rachunku macierzowym Marcin Detka Katedra Informatyki Stosowanej Kielce, Wrzesień 2004 1 MACIERZE 1 1 Macierze Macierz prostokątną A o wymiarach m n (m wierszy w n kolumnach) definiujemy:

Bardziej szczegółowo

Strategia czy intuicja?

Strategia czy intuicja? Strategia czy intuicja czyli o grach niesko«czonych Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Grzegorzewice, 29 sierpnia 2009 Denicja gry Najprostszy przypadek: A - zbiór (na ogóª co najwy»ej przeliczalny),

Bardziej szczegółowo

PRAWA ZACHOWANIA. Podstawowe terminy. Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc

PRAWA ZACHOWANIA. Podstawowe terminy. Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc PRAWA ZACHOWANIA Podstawowe terminy Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc a) si wewn trznych - si dzia aj cych na dane cia o ze strony innych

Bardziej szczegółowo

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi.

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi. Grupy. Permutacje 1 1 Definicja grupy Niech G będzie zbiorem. Działaniem na zbiorze G nazywamy odwzorowanie (oznaczane, jak mnożenie, przez ) przyporządkowujące każdej parze uporządkowanej (a, b) G G element

Bardziej szczegółowo

Hotel Hilberta. Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci. Marcin Kysiak. Festiwal Nauki, 20.09.2011. Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego

Hotel Hilberta. Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci. Marcin Kysiak. Festiwal Nauki, 20.09.2011. Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Festiwal Nauki, 20.09.2011 Nasze do±wiadczenia hotelowe Fakt oczywisty Hotel nie przyjmie nowych go±ci, je»eli wszystkie

Bardziej szczegółowo

Metody matematyczne fizyki

Metody matematyczne fizyki Metody matematyczne fizyki Tadeusz Lesiak Wykład VI Elementy teorii grup Wstęp do teorii grup Teoria grup (TG) = matematyka symetrii liczne zastosowania w fizyce i chemii Odpowiada na ważne pytanie: jakie

Bardziej szczegółowo

Wykªad 10. Spis tre±ci. 1 Niesko«czona studnia potencjaªu. Fizyka 2 (Informatyka - EEIiA 2006/07) c Mariusz Krasi«ski 2007

Wykªad 10. Spis tre±ci. 1 Niesko«czona studnia potencjaªu. Fizyka 2 (Informatyka - EEIiA 2006/07) c Mariusz Krasi«ski 2007 Wykªad 10 Fizyka 2 (Informatyka - EEIiA 2006/07) 08 05 2007 c Mariusz Krasi«ski 2007 Spis tre±ci 1 Niesko«czona studnia potencjaªu 1 2 Laser 3 2.1 Emisja spontaniczna...........................................

Bardziej szczegółowo

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011 Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2011 1 / 16 Definicja Niech V,

Bardziej szczegółowo

Ksztaªt orbity planety: I prawo Keplera

Ksztaªt orbity planety: I prawo Keplera V 0 V 0 Ksztaªt orbity planety: I prawo Keplera oka»emy,»e orbit planety poruszaj cej si pod dziaªaniem siªy ci»ko±ci ze strony Sªo«ca jest krzywa sto»kowa, w szczególno±ci elipsa. Wektor pr dko±ci planety

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ OD RÓWNAŃ DO ODWZOROWAŃ LINIOWYCH

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ OD RÓWNAŃ DO ODWZOROWAŃ LINIOWYCH ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 OD RÓWNAŃ DO ODWZOROWAŃ LINIOWYCH Piotr M Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 8, 27112013 Typeset by Jakub Szczepanik Motywacja 2/10 Przechodzimy od rozwiązywania jednego równania

Bardziej szczegółowo

Strategie zabezpieczaj ce

Strategie zabezpieczaj ce 04062008 Plan prezentacji Model binarny Model Black Scholesa Bismut- Elworthy -Li formuła Model binarny i opcja call Niech cena akcji w chwili pocz tkowej wynosi S 0 = 21 Zaªó»my,»e ceny akcji po trzech

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga

Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga Anna Romanowska January 29, 2016 4 Kraty i algebry Boole a 41 Kraty zupe lne Definicja 411 Zbiór uporza dkowany (P, ) nazywamy krata zupe lna,

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 1. Przestrzenie wektorowe

Rozdzia l 1. Przestrzenie wektorowe Rozdzia l 1 Przestrzenie wektorowe Materiał tego rozdziału jest, z jednej strony, trudny, bo operuje pojęciami abstrakcyjnymi, a zdrugiej strony łatwy, nie zawiera w sobie istotnych problemów technicznych,

Bardziej szczegółowo

CAŠKOWANIE METODAMI MONTE CARLO Janusz Adamowski

CAŠKOWANIE METODAMI MONTE CARLO Janusz Adamowski III. CAŠKOWAIE METODAMI MOTE CARLO Janusz Adamowski 1 1 azwa metody Podstawowym zastosowaniem w zyce metody Monte Carlo (MC) jest opis zªo-»onych ukªadów zycznych o du»ej liczbie stopni swobody. Opis zªo»onych

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie spektralne

Twierdzenie spektralne Twierdzenie spektralne Algebrę ograniczonych funkcji borelowskich na K R będziemy oznaczać przez B (K). Spektralnym rozkładem jedności w przestrzeni Hilberta H nazywamy odwzorowanie, które każdemu zbiorowi

Bardziej szczegółowo

Kurs z matematyki - zadania

Kurs z matematyki - zadania Kurs z matematyki - zadania Miara łukowa kąta Zadanie Miary kątów wyrażone w stopniach zapisać w radianach: a) 0, b) 80, c) 90, d), e) 0, f) 0, g) 0, h), i) 0, j) 70, k), l) 80, m) 080, n), o) 0 Zadanie

Bardziej szczegółowo

Modele z czasem dyskretnym

Modele z czasem dyskretnym Rozdziaª 1 Modele z czasem dyskretnym 1.1. Wprowadzenie- rynki dyskretne Dynamika aktywu bazowego i warunki pozyskania pieni dza-opis probabilistyczny Niech cena akcji w chwili pocz tkowej wynosi S 0 =

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

... [a n,b n ] kn [M 1,M 2 ], gdzie a i M 1, b i M 2, dla i {1,..., n}. Wówczas: [a 1,b 1 ] k 1. ... [a n,b n ] kn =(a 1 b 1 a 1

... [a n,b n ] kn [M 1,M 2 ], gdzie a i M 1, b i M 2, dla i {1,..., n}. Wówczas: [a 1,b 1 ] k 1. ... [a n,b n ] kn =(a 1 b 1 a 1 4. Wykład 4: Grupy rozwiązalne i nilpotentne. Definicja 4.1. Niech (G, ) będzie grupą. Wówczas (1) ciąg podgrup grupy G zdefiniowany indukcyjnie wzorami G (0) = G, G (i) =[G (i 1),G (i 1) ], dla i N nazywamy

Bardziej szczegółowo

Teoria grup I. 1 Wprowadzenie do wykładu, cz. 1. Andriy Panasyuk

Teoria grup I. 1 Wprowadzenie do wykładu, cz. 1. Andriy Panasyuk Teoria grup I Andriy Panasyuk 1 Wprowadzenie do wykładu, cz. 1 Grupa: Zbiór G wyposażony w działanie μ : G G G (skrótowo oznaczamy μ(a, b) =: a b lub poprostu ab) spełniające następujące aksjomaty: 1.

Bardziej szczegółowo

Grupa klas odwzorowań powierzchni

Grupa klas odwzorowań powierzchni Grupa klas odwzorowań powierzchni Błażej Szepietowski Uniwersytet Gdański Horyzonty matematyki 2014 Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki 2014 1 / 36 Grupa klas odwzorowań

Bardziej szczegółowo

Wykªady z analizy matematycznej dla studentów informatyki Politechniki Lubelskiej. A. Bobrowski

Wykªady z analizy matematycznej dla studentów informatyki Politechniki Lubelskiej. A. Bobrowski Wykªady z analizy matematycznej dla studentów informatyki Politechniki Lubelskiej A. Bobrowski Spis tre±ci Teoria zbie»no±ci ci gów liczbowych strona 6. Gªówne zagadnienia 6.2 Granice sko«czone i niesko«czone

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 10, 11.12.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Geometryczne intuicje Dla pierścienia R = R mamy

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów Kierunek: Automatyka i Robotyka, II rok Wprowadzenie PWSZ Gªogów, 2009 Plan wykªadów Wprowadzenie, podanie zagadnie«, poj cie metody numerycznej i algorytmu numerycznego, obszar zainteresowa«i stosowalno±ci

Bardziej szczegółowo

Notatki do wykładu Geometria Różniczkowa I

Notatki do wykładu Geometria Różniczkowa I Notatki do wykładu Geometria Różniczkowa I Katarzyna Grabowska, KMMF 1 listopada 013 1 Odwzorowanie styczne i cofnięcie formy cd: 1.1 Transport pola wektorowego i cofnięcie formy W poprzednim paragrafie

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów Kierunek: Automatyka i Robotyka, II rok Interpolacja PWSZ Gªogów, 2009 Interpolacja Okre±lenie zale»no±ci pomi dzy interesuj cymi nas wielko±ciami, Umo»liwia uproszczenie skomplikowanych funkcji (np. wykorzystywana

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny treningowy nr 7. W zadaniach 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź.

Arkusz maturalny treningowy nr 7. W zadaniach 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź. Czas pracy: 170 minut Liczba punktów do uzyskania: 50 Arkusz maturalny treningowy nr 7 W zadaniach 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź. Zadanie 1. (0-1) Wyrażenie (-8x 3

Bardziej szczegółowo

Adam Kanigowski nr albumu: 233182

Adam Kanigowski nr albumu: 233182 Uniwersytet Mikoªaja Kopernika Wydziaª Matematyki i Informatyki Katedra Nieliniowej Analizy Matematycznej i Topologii Adam Kanigowski nr albumu: 233182 Praca Magisterska na kierunku matematyka Twierdzenia

Bardziej szczegółowo

1. Rozwiązać układ równań { x 2 = 2y 1

1. Rozwiązać układ równań { x 2 = 2y 1 Dzień Dziecka z Matematyką Tomasz Szymczyk Piotrków Trybunalski, 4 czerwca 013 r. Układy równań szkice rozwiązań 1. Rozwiązać układ równań { x = y 1 y = x 1. Wyznaczając z pierwszego równania zmienną y,

Bardziej szczegółowo

KLASYCZNE ZDANIA KATEGORYCZNE. ogólne - orzekaj co± o wszystkich desygnatach podmiotu szczegóªowe - orzekaj co± o niektórych desygnatach podmiotu

KLASYCZNE ZDANIA KATEGORYCZNE. ogólne - orzekaj co± o wszystkich desygnatach podmiotu szczegóªowe - orzekaj co± o niektórych desygnatach podmiotu ➏ Filozoa z elementami logiki Na podstawie wykªadów dra Mariusza Urba«skiego Sylogistyka Przypomnij sobie: stosunki mi dzy zakresami nazw KLASYCZNE ZDANIA KATEGORYCZNE Trzy znaczenia sªowa jest trzy rodzaje

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. Wst p do metod numerycznych. Dawid Rasaªa. January 9, 2012. Dawid Rasaªa Metody numeryczne 1 / 9

Metody numeryczne. Wst p do metod numerycznych. Dawid Rasaªa. January 9, 2012. Dawid Rasaªa Metody numeryczne 1 / 9 Metody numeryczne Wst p do metod numerycznych Dawid Rasaªa January 9, 2012 Dawid Rasaªa Metody numeryczne 1 / 9 Metody numeryczne Czym s metody numeryczne? Istota metod numerycznych Metody numeryczne s

Bardziej szczegółowo

Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji

Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji I LO im. F. Ceynowy w Świeciu Radosław Rudnicki joix@mat.uni.torun.pl 17.03.2009 r. Typeset by FoilTEX Streszczenie Celem wykładu jest wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze

Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Katedra Informatyki Stosowanej Spis treści Spis treści 1 Wektory

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY LISTOPAD 014 Czas pracy: 170 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 1

Bardziej szczegółowo

Czy umiemy mnożyć wektory?

Czy umiemy mnożyć wektory? Czy umiemy mnożyć wektory? wprowadzenie do algebry geometrycznej Jacek Grela 1 UJ 2010 Plan działania Motywacja Wprowadzenie do algebry geometrycznej Algebra 2D, 3D Przykład fizyczny Algebra czasoprzestrzeni

Bardziej szczegółowo

Zastosowania matematyki

Zastosowania matematyki Zastosowania matematyki Monika Bartkiewicz 1 / 126 ...czy«cie dobrze i po»yczajcie niczego si nie spodziewaj c(šk. 6,34-35) Zagadnienie pobierania procentu jest tak stare jak gospodarka pieni»na. Procent

Bardziej szczegółowo

Rozdział 6. Pakowanie plecaka. 6.1 Postawienie problemu

Rozdział 6. Pakowanie plecaka. 6.1 Postawienie problemu Rozdział 6 Pakowanie plecaka 6.1 Postawienie problemu Jak zauważyliśmy, szyfry oparte na rachunku macierzowym nie są przerażająco trudne do złamania. Zdecydowanie trudniejszy jest kryptosystem oparty na

Bardziej szczegółowo

Wszystkie warianty kursu. Lista zadań

Wszystkie warianty kursu. Lista zadań ALGEBRA Z GEOMETRI A ANALITYCZN A Wszystkie warianty kursu Zadania z listy oznaczone gwiazdka ( ) sa nieco trudniejsze albo maja charakter teoretyczny Jednak nie wychodza one poza program kursu Odpowiedzi

Bardziej szczegółowo

Teoria mnogo±ci. Twierdzenia podziaªowe. Piotr Zakrzewski. Toru«, 31 sierpnia 2009. Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski

Teoria mnogo±ci. Twierdzenia podziaªowe. Piotr Zakrzewski. Toru«, 31 sierpnia 2009. Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski Teoria mnogo±ci Twierdzenia podziaªowe Piotr Zakrzewski Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski Toru«, 31 sierpnia 2009 Istota twierdze«podziaªowych Jesli,du»y' zbiór podzielimy na,niewielk ' liczb

Bardziej szczegółowo

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. 1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy

Bardziej szczegółowo

Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP

Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP Część III Funkcja wymierna, potęgowa, logarytmiczna i wykładnicza Magdalena Alama-Bućko Ewa Fabińska Alfred Witkowski Grażyna Zachwieja Uniwersytet Technologiczno

Bardziej szczegółowo

Problemy optymalizacyjne - zastosowania

Problemy optymalizacyjne - zastosowania Problemy optymalizacyjne - zastosowania www.qed.pl/ai/nai2003 PLAN WYKŁADU Zło ono obliczeniowa - przypomnienie Problemy NP-zupełne klika jest NP-trudna inne problemy NP-trudne Inne zadania optymalizacyjne

Bardziej szczegółowo

Działanie grupy na zbiorze

Działanie grupy na zbiorze Działanie grupy na zbiorze Definicja 0.1 Niech (G, ) będzie dowolną grupą oraz X niepustym zbiorem, to odwzorowanie : G X X nazywamy działaniem grupy G na zbiorze X jeślinastępujące warunki są spełnione:

Bardziej szczegółowo

Sterowanie ze sprz»eniem od stanu (pjs)

Sterowanie ze sprz»eniem od stanu (pjs) Rozdziaª Sterowanie ze sprz»eniem od stanu (pjs) Synteza regulatorów dla obiektów SISO Przykªad 2 Obiekt dynamiczny o jednym wej±ciu opisany jest modelem ẋ(t) = Ax(t) + bu(t), x() () w którym a) A = 6

Bardziej szczegółowo

Jan Olek. Uniwersytet Stefana Kardynała Wyszyńskiego. Procesy z Opóźnieniem. J. Olek. Równanie logistyczne. Założenia

Jan Olek. Uniwersytet Stefana Kardynała Wyszyńskiego. Procesy z Opóźnieniem. J. Olek. Równanie logistyczne. Założenia Procesy z Procesy z Jan Olek Uniwersytet Stefana ardynała Wyszyńskiego 2013 Wzór równania logistycznego: Ṅ(t)=rN(t)(1- N ), gdzie Ṅ(t) - przyrost populacji w czasie t r - rozrodczość netto, (r > 0) N -

Bardziej szczegółowo

4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze. ϕ : K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η), taka że

4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze. ϕ : K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η), taka że 4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze taka że K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η) R n R, f(x 0, y 0 ) = 0, y f(x 0, y 0 ) 0. Wówczas dla odpowiednio

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony)

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK ZBIORÓW 2 A B = B A

RACHUNEK ZBIORÓW 2 A B = B A RCHUNEK ZIORÓW 2 DZIŁNI N ZIORCH Sum (uni ) zbiorów i nazywamy zbiór, którego elementami s wszystkie elementy nale ce do zbioru lub do zbioru. = {x : x x } ZDNIE = = = Wyznacz sumy:,, C, D, E, D E dla

Bardziej szczegółowo

Lekcja 9 - LICZBY LOSOWE, ZMIENNE

Lekcja 9 - LICZBY LOSOWE, ZMIENNE Lekcja 9 - LICZBY LOSOWE, ZMIENNE I STAŠE 1 Liczby losowe Czasami spotkamy si z tak sytuacj,»e b dziemy potrzebowa by program za nas wylosowaª jak ± liczb. U»yjemy do tego polecenia: - liczba losowa Sprawd¹my

Bardziej szczegółowo

O pewnej regule alokacji jako sposobie inwestowania na gieªdzie papierów warto±ciowych

O pewnej regule alokacji jako sposobie inwestowania na gieªdzie papierów warto±ciowych O pewnej regule alokacji jako sposobie inwestowania na gieªdzie papierów warto±ciowych Paweª Gªadki 1 Podstawowe poj cia teorii gier dwuosobowych Strategia gracza to reguªa okre±laj ca wybór przez gracza

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, 2012 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 8/14

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, 2012 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 8/14 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2012 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 8/14 Zbiory przeliczalne Przyjmujemy, że = {0, 1, 2, 3, n-1} dla n>0 oraz = przy n=0. Zbiór skończony to zbiór bijektywny z pewnym

Bardziej szczegółowo

im = (P )={b 2 R : 9a 2 P [b = (a)]} nazywamy obrazem homomorfizmu.

im = (P )={b 2 R : 9a 2 P [b = (a)]} nazywamy obrazem homomorfizmu. 61 7. Wyk ad 7: Homomorfizmy pierúcieni, idea y pierúcieni. Idea y generowane przez zbiory. PierúcieÒ ilorazowy, twierdzenie o homomorfizmie. Idea y pierwsze i maksymalne. 7.1. Homomorfizmy pierúcieni,

Bardziej szczegółowo

1 Kodowanie i dekodowanie

1 Kodowanie i dekodowanie 1 Kodowanie i dekodowanie Teoria informacji zajmuje si sposobami gromadzenia, przechowywania oraz przesyªania informacji. W tym celu, a tak»e dla ochrony danych informacje kodujemy. Rozmowa telefoniczna,

Bardziej szczegółowo

Wst p do matematyki nansów i ubezpiecze«

Wst p do matematyki nansów i ubezpiecze« Jarosªaw Mederski i Sªawomir Plaskacz Wst p do matematyki nansów i ubezpiecze«materiaªy dydaktyczne dla studentów II-go roku matematyki specjalno± : matematyka w ekonomii i nansach. Wydziaª Matematyki

Bardziej szczegółowo

Optyka geometryczna. Soczewki. Marcin S. Ma kowicz. rok szk. 2009/2010. Zespóª Szkóª Ponadgimnazjalnych Nr 2 w Brzesku

Optyka geometryczna. Soczewki. Marcin S. Ma kowicz. rok szk. 2009/2010. Zespóª Szkóª Ponadgimnazjalnych Nr 2 w Brzesku skupiaj ce rozpraszaj ce Optyka geometryczna Zespóª Szkóª Ponadgimnazjalnych Nr 2 w Brzesku rok szk. 2009/2010 skupiaj ce rozpraszaj ce Spis tre±ci 1 Wprowadzenie 2 Ciekawostki 3 skupiaj ce Konstrukcja

Bardziej szczegółowo

LXIII Olimpiada Matematyczna

LXIII Olimpiada Matematyczna 1 Zadanie 1. LXIII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 17 lutego 2012 r. (pierwszy dzień zawodów) Rozwiązać w liczbach rzeczywistych a, b, c, d układ równań a

Bardziej szczegółowo

Mathematica - podstawy

Mathematica - podstawy Mathematica - podstawy Artur Kalinowski Semestr letni 2011/2012 Artur Kalinowski Mathematica - podstawy 1 / 27 Spis tre±ci Program Mathematica 1 Program Mathematica 2 3 4 5 Artur Kalinowski Mathematica

Bardziej szczegółowo

1. Matematyka Fizyki Kwantowej: Cześć Druga

1. Matematyka Fizyki Kwantowej: Cześć Druga . Matematyka Fizyki Kwantowej: Cześć Druga Piotr Szańkowski I. PRZESTRZEŃ WEKTOROWA Kolejnym punktem naszej jest ogólna struktura matematyczna mechaniki kwantowej, która jest strukturą przestrzeni wektorowej

Bardziej szczegółowo

Mikro II: Krzywe kosztów, Poda» rmy i Poda» gaª zi.

Mikro II: Krzywe kosztów, Poda» rmy i Poda» gaª zi. Mikro II: Krzywe kosztów, Poda» rmy i Poda» gaª zi. Krzysztof Makarski 22 Krzywe kosztów Wst p Celem jest wyprowadzenie funkcji poda»y i jej wªasno±ci. Funkcj poda»y wyprowadzamy z decyzji maksymalizuj

Bardziej szczegółowo

Próbna Nowa Matura z WSiP Październik 2014 Egzamin maturalny z matematyki dla klasy 3 Poziom podstawowy

Próbna Nowa Matura z WSiP Październik 2014 Egzamin maturalny z matematyki dla klasy 3 Poziom podstawowy Wypełnia uczeń Numer PESEL Kod ucznia Próbna Nowa Matura z WSiP Październik 0 Egzamin maturalny z matematyki dla klasy Poziom podstawowy Informacje dla ucznia. Sprawdź, czy zestaw egzaminacyjny zawiera

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA 4 INSTYTUT MEDICUS FUNKCJA KWADRATOWA. Kurs przygotowawczy na studia medyczne. Rok szkolny 2010/2011. tel. 0501 38 39 55 www.medicus.edu.

MATEMATYKA 4 INSTYTUT MEDICUS FUNKCJA KWADRATOWA. Kurs przygotowawczy na studia medyczne. Rok szkolny 2010/2011. tel. 0501 38 39 55 www.medicus.edu. INSTYTUT MEDICUS Kurs przygotowawczy na studia medyczne Rok szkolny 00/0 tel. 050 38 39 55 www.medicus.edu.pl MATEMATYKA 4 FUNKCJA KWADRATOWA Funkcją kwadratową lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję

Bardziej szczegółowo

Paweª Gªadki. Uªamki ªa«cuchowe 1

Paweª Gªadki. Uªamki ªa«cuchowe 1 Paweª Gªadki Uªamki ªa«cuchowe Wst p W numerze /989 miesi cznika "Mªody Technik"w dziale "ROzmaito±ci MAtematyczne" Michaª Szurek zaprezentowaª nast puj ce zadanie z egzaminów wst pnych do szkóª ±rednich:

Bardziej szczegółowo

Podstawy matematyki a mechanika kwantowa

Podstawy matematyki a mechanika kwantowa Podstawy matematyki a mechanika kwantowa Paweł Klimasara Uniwersytet Śląski 9 maja 2015 Paweł Klimasara (Uniwersytet Śląski) Podstawy matematyki a mechanika kwantowa 9 maja 2015 1 / 12 PLAN PREZENTACJI

Bardziej szczegółowo

Grupy i cia la, liczby zespolone

Grupy i cia la, liczby zespolone Rozdzia l 1 Grupy i cia la, liczby zespolone Dla ustalenia uwagi, b edziemy używać nast epuj acych oznaczeń: N = { 1, 2, 3,... } - liczby naturalne, Z = { 0, ±1, ±2,... } - liczby ca lkowite, W = { m n

Bardziej szczegółowo

System zarządzania bazą danych (SZBD) Proces przechodzenia od świata rzeczywistego do jego informacyjnej reprezentacji w komputerze nazywać będziemy

System zarządzania bazą danych (SZBD) Proces przechodzenia od świata rzeczywistego do jego informacyjnej reprezentacji w komputerze nazywać będziemy System zarządzania bazą danych (SZBD) Proces przechodzenia od świata rzeczywistego do jego informacyjnej reprezentacji w komputerze nazywać będziemy modelowaniem, a pewien dobrze zdefiniowany sposób jego

Bardziej szczegółowo

Podstawy Ekonomii Matematycznej. Aktualizacja: 9 czerwca 2011

Podstawy Ekonomii Matematycznej. Aktualizacja: 9 czerwca 2011 Podstawy Ekonomii Matematycznej Aktualizacja: 9 czerwca 2011 Spis tre±ci I Elementy matematyki nansowej. 5 1 Procent, stopa procentowa, kapitalizacja. 6 2 Procent prosty. 8 2.1 Zasada oprocentowania prostego,

Bardziej szczegółowo

GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI

GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI Położenie punktu w przestrzeni określamy za pomocą trzech liczb (x, y, z). Liczby te odpowiadają rzutom na osie układu współrzędnych: każdy rzut wzdłuż płaszczyzny równoległej

Bardziej szczegółowo

Michał Praszałowicz, pok. 438. michal@if.uj.edu.pl strona www: th-www.if.uj.edu.pl/~michal wykład 3 godz. za wyjątkiem listopada Egzamin: esej max.

Michał Praszałowicz, pok. 438. michal@if.uj.edu.pl strona www: th-www.if.uj.edu.pl/~michal wykład 3 godz. za wyjątkiem listopada Egzamin: esej max. Michał Praszałowicz, pok. 438. michal@if.uj.edu.pl strona www: th-www.if.uj.edu.pl/~michal wykład 3 godz. za wyjątkiem listopada Egzamin: esej max. 10 stron na jeden z listy tematów + rozmowa USOS! 1 Model

Bardziej szczegółowo

PAKIET MathCad - Część III

PAKIET MathCad - Część III Opracowanie: Anna Kluźniak / Jadwiga Matla Ćw3.mcd 1/12 Katedra Informatyki Stosowanej - Studium Podstaw Informatyki PAKIET MathCad - Część III RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ 1. Równania z jedną niewiadomą MathCad

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm

Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm 1 Grupa ilorazowa Niech H b edzie dzielnikiem normalnym grupy G. Oznaczmy przez G/H zbiór wszystkich warstw lewostronnych grupy G wzgl edem podgrupy

Bardziej szczegółowo

2.Prawo zachowania masy

2.Prawo zachowania masy 2.Prawo zachowania masy Zdefiniujmy najpierw pewne podstawowe pojęcia: Układ - obszar przestrzeni o określonych granicach Ośrodek ciągły - obszar przestrzeni którego rozmiary charakterystyczne są wystarczająco

Bardziej szczegółowo

Temat: Funkcje. Własności ogólne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1

Temat: Funkcje. Własności ogólne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1 Temat: Funkcje. Własności ogólne A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1 Kody kolorów: pojęcie zwraca uwagę * materiał nieobowiązkowy A n n a R a

Bardziej szczegółowo

Rozwi zywanie Ukªadów Równa«Liniowych Ax=B metod dekompozycji LU, za pomoc JAVA RMI

Rozwi zywanie Ukªadów Równa«Liniowych Ax=B metod dekompozycji LU, za pomoc JAVA RMI Rozwi zywanie Ukªadów Równa«Liniowych Ax=B metod dekompozycji LU, za pomoc JAVA RMI Marcn Šabudzik AGH-WFiIS, al. Mickiewicza 30, 30-059, Kraków, Polska email: labudzik@ghnet.pl www: http://fatcat.ftj.agh.edu.pl/

Bardziej szczegółowo

Lekcja 8 - ANIMACJA. 1 Polecenia. 2 Typy animacji. 3 Pierwsza animacja - Mrugaj ca twarz

Lekcja 8 - ANIMACJA. 1 Polecenia. 2 Typy animacji. 3 Pierwsza animacja - Mrugaj ca twarz Lekcja 8 - ANIMACJA 1 Polecenia Za pomoc Baltiego mo»emy tworzy animacj, tzn. sprawia by obraz na ekranie wygl daª jakby si poruszaª. Do animowania przedmiotów i tworzenia animacji posªu» nam polecenia

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Przestrzeń Hilberta

Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Sygnały. Funkcje (w języku inżynierów - sygnały) które będziemy rozważali na tym wykładzie będą kilku typów Sygnały ciągłe (analogowe). ) L 2 (R) to funkcje na prostej spełniające

Bardziej szczegółowo

Czas pracy 170 minut

Czas pracy 170 minut ORGANIZATOR WSPÓŁORGANIZATOR PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MARZEC ROK 013 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla piszącego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron.. W zadaniach od

Bardziej szczegółowo

Programowanie funkcyjne. Wykªad 13

Programowanie funkcyjne. Wykªad 13 Programowanie funkcyjne. Wykªad 13 Siªa wyrazu rachunku lambda Zdzisªaw Spªawski Zdzisªaw Spªawski: Programowanie funkcyjne. Wykªad 13, Siªa wyrazu rachunku lambda 1 Wst p Warto±ci logiczne Liczby naturalne

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja R dlaczego warto przesi ± si na Linuxa?

Optymalizacja R dlaczego warto przesi ± si na Linuxa? Optymalizacja R dlaczego warto przesi ± si na Linuxa? 19 listopada 2014 Wi cej informacji, wraz z dodatkowymi materiaªami mo»na znale¹ w repozytorium na GitHubie pod adresem https://github.com/zzawadz/

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA DLA FIZYKÓW

ANALIZA MATEMATYCZNA DLA FIZYKÓW Lech Górniewicz Roman Stanisław Ingarden ANALIZA MATEMATYCZNA DLA FIZYKÓW Wydanie piąte Toruń 2012 SPIS TREŚCI WSPOMNIENIE O PROFESORZE ROMANIE STANISŁAWIE INGARDENIE (Miłosz Michalski)... ix PRZEDMOWA

Bardziej szczegółowo

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM PODSTAWOWY. 1. x y x y

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM PODSTAWOWY. 1. x y x y Nr zadania Nr czynnoci Przykadowy zestaw zada nr z matematyki ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM PODSTAWOWY Etapy rozwizania zadania. Podanie dziedziny funkcji f: 6, 8.. Podanie wszystkich

Bardziej szczegółowo

Pierścienie grupowe wyk lad 2. Przypomnijmy, że K-algebra A jest pó lprosta, gdy jej lewe A-modu ly przypominaja

Pierścienie grupowe wyk lad 2. Przypomnijmy, że K-algebra A jest pó lprosta, gdy jej lewe A-modu ly przypominaja Pierścienie grupowe wyk lad 2. Przypomnijmy, że K-algebra A jest pó lprosta, gdy jej lewe A-modu ly przypominaja przestrzenie liniowe nad A: każdy z nich ma rozk lad na sume modu lów prostych. W tych rozk

Bardziej szczegółowo

MATERIAŁY DIAGNOSTYCZNE Z MATEMATYKI

MATERIAŁY DIAGNOSTYCZNE Z MATEMATYKI MATERIAŁY DIAGNOSTYCZNE Z MATEMATYKI LUTY 01 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera strony (zadania 1 ).. Arkusz zawiera 4 zadania zamknięte i 9

Bardziej szczegółowo

1) Grafy eulerowskie własnoci algorytmy. 2) Problem chiskiego listonosza

1) Grafy eulerowskie własnoci algorytmy. 2) Problem chiskiego listonosza 165 1) Grafy eulerowskie własnoci algorytmy 2) Problem chiskiego listonosza 166 Grafy eulerowskie Def. Graf (multigraf, niekoniecznie spójny) jest grafem eulerowskim, jeli zawiera cykl zawierajcy wszystkie

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 9: Grupy skończone Gniewomir Sarbicki Grupy cykliczne Definicja: Jeżeli każdy element grupy G jest postaci a n dla pewnego a G, to mówimy, że grupa G jest grupą cykliczną o

Bardziej szczegółowo

'()(*+,-./01(23/*4*567/8/23/*98:)2(!."/+)012+3$%-4#"4"$5012#-4#"4-6017%*,4.!"#$!"#%&"!!!"#$%&"#'()%*+,-+

'()(*+,-./01(23/*4*567/8/23/*98:)2(!./+)012+3$%-4#4$5012#-4#4-6017%*,4.!#$!#%&!!!#$%&#'()%*+,-+ '()(*+,-./01(23/*4*567/8/23/*98:)2(!."/+)012+3$%-4#"4"$5012#-4#"4-6017%*,4.!"#$!"#%&"!!!"#$%&"#'()%*+,-+ Ucze interpretuje i tworzy teksty o charakterze matematycznym, u ywa j zyka matematycznego do opisu

Bardziej szczegółowo

x = (x 1, x 2,..., x n ), p = (p 1, p 2,..., p n )

x = (x 1, x 2,..., x n ), p = (p 1, p 2,..., p n ) *** Elementy teorii popytu *** II. Funkcja popytu konsumenta x = (x 1, x 2,..., x n ), p = (p 1, p 2,..., p n ) p, x = p 1 x 1 + p 2 x 2 + + p n x n cena koszyka x Zbiór wszystkich koszyków, na jakie sta

Bardziej szczegółowo

Wst p do informatyki. Systemy liczbowe. Piotr Fulma«ski. 21 pa¹dziernika 2010. Wydziaª Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Šódzki, Polska

Wst p do informatyki. Systemy liczbowe. Piotr Fulma«ski. 21 pa¹dziernika 2010. Wydziaª Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Šódzki, Polska Wst p do informatyki Systemy liczbowe Piotr Fulma«ski Wydziaª Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Šódzki, Polska 21 pa¹dziernika 2010 Spis tre±ci 1 Liczby i ich systemy 2 Rodzaje systemów liczbowych

Bardziej szczegółowo