Teoria grup. Jan Derezi«ski. Katedra Metod Matematycznych Fizyki Uniwersytet Warszawski Ho»a 74, , Warszawa

Transkrypt

1 Teoria grup Jan Derezi«ski Katedra Metod Matematycznych Fizyki Uniwersytet Warszawski Ho»a 74, , Warszawa 9 czerwca 2015 rok 2010/11 Spis tre±ci 1 Podstawowe wªasno±ci grup Denicja Podgrupy Homomorzmy Dziaªanie Orbity Warstwy Klasy sprz»ono±ci Klasykacja dziaªa«grupy Iloczyn prosty Podgrupy normalne Iloczyn póªprosty Przykªady grup Permutacje Iloczyn póªprosty z grup Z Grupa permutacji 3 elementów Grupa permutacji 4 elementów Grupa obrotów SO(3) Grupa obrotów wªa±ciwych wielok ta foremnego C n Z n Grupa dihedralna D n Z n Z Grupa czworo±cianu T A Grupa sze±cianu/o±mio±cianu O S Grupa dwudziesto±cianu/dwunasto±cianu) I A Sko«czone podgrupy grupy obrotów

2 3 Grupy macierzowe Ciaªa Przestrzenie wektorowe Odwzorowania liniowe Ogólna grupa liniowa Grupa ortogonalna w sko«czonym wymiarze Grupa pseudo-ortogonalna Abstrakcyjne podej±cie do grup (pseudo-)ortogonalnych Grupa unitarna w sko«czonym wymiarze Grupa pseudo-unitarna Abstrakcyjne podej±cie do grup (pseudo-)unitarnych Grupa symplektyczna w sko«czonym wymiarze Abstrakcyjne podej±cie do grup symplektycznych Grupy aniczne Grupy Liego Koincydencje w±ród grup macierzowych SL(2, K) Sp(2, K) SU(2)/Z 2 SO(3) SL(2, R)/Z 2 SO 0 (1, 2), SL(2, C)/Z 2 SO(3, C), SL(2, C)/Z 2 SO 0 (1, 3) (SL(2, R) SL(2, R)) /Z 2 SO 0 (2, 2), (SL(2, C) SL(2, C)) /Z 2 SO(4, C), (SU(2) SU(2)) /Z 2 SO(4) Reprezentacje grup Denicja Suma prosta Równowa»no± Nieprzywiedlno± Reprezentacje jednowymiarowe Reprezentacje permutacyjne Podstawowe reprezentacje grupy permutacji Lematy Schura Iloczyn tensorowy I Iloczyn tensorowy II Reprezentacja grupy permutacji Charaktery Reprezentacje grup sko«czonych Unitaryzowalno± Relacje ortogonalno±ci Rozkªad reprezentacji Reprezentacja regularna Liczba reprezentacji nieprzywiedlnych

3 7 Algebry ª czne Denicja Podalgebry Identyczno± Idempotenty Sumy proste Homomorzmy Lewa regularna reprezentacja Ideaªy Przykªady podalgebr w L(K n ) algebry Reprezentacje sko«czenie wymiarowych -algebr homomorzmy sko«czenie wymiarowych -algebr Algebra grupowa Algebra grupowa Posta algebry splotowej Reprezentacja regularna Kwaterniony Denicje Zanurzanie liczb zespolonych w kwaternionach Macierzowa reprezentacja kwaternionów Rzeczywiste proste algebry Kwaternionowe przestrzenie wektorowe Reprezentacje zespolone, rzeczywiste i kwaternionowe Reprezentacja zespolenie sprz»ona Przestrze«zespolenie sprz»ona Reprezentacje zespolone Splatacze w iloczynach tensorowych Elementy krystalograi Grupy punktowe Sieci Grupa ruchów euklidesowych Grupy fryzowe Punktowe grupy krystalograczne Sieci Bravais'go Grupy krystalograczne Grupy tapetowe Grupy przestrzenne

4 12 Macierzowe algebry Liego Rozmaito±ci zanurzone Funkcje macierzowe Macierzowe algebry Liego Przemienne grupy i algebry Liego Algebra Liego macierzy bez±ladowych Formy niezmiennicze Ortogonalne i pseudoortogonalne algebra Liego Abstrakcyjne podej±cie Kanoniczna forma Forma o sygnaturze (q, p) Unitarne i pseudounitarne algebry Liego Abstrakcyjne podej±cie Kanoniczna forma Forma o sygnaturze (q, p) Symplektyczna algebra Liego Abstrakcyjne algebry Liego Denicja Algebry ª czne a algebry Liego Homomorzmy Reprezentacja doª czona Ró»niczkowania Ideaªy Ideaªy charakterystyczne Iloczyn póªprosty Aniczne algebry Liego Zwi zek zespolonych i rzeczywistych przestrzeni wektorowych Zwi zek zespolonych i rzeczywistych algebr Liego Formy niezmiennicze na algebrze Liego Algebry póªproste i reduktywne Zwarte grupy i ich reprezentacje Reprezentacje Reprezentacja kontragradientna Uto»samienie iloczynu tensorowego i operatorów liniowych Iloczyn reprezentacji i reprezentacji kontragradientnej Istnienie miary Haara i jego konsekwencje Reprezentacje nieprzywiedlne Rozkªad dowolnej reprezentacji Rozkªad iloczynu tensorowego reprezentacji Przykªad: Z n Przykªad: T := R/Z Przykªad: S

5 15 SL(2, C) i SU(2) i ich reprezentacje sl(2, C) i su(2) so(3, C) i SO(3, C) Sko«czenie wymiarowe reprezentacje sl(2, C) Reprezentacje unitarne su(2) Reprezentacje SL(2, C) i SU(2) Parametryzacje SU(2) D-macierze Wignera Typ reprezentacji grupy SL(2, C) Miara Haara na SU(2) Charaktery reprezentacji SU(2) Wspóªczynniki Clebscha-Gordana i 3j-symbole Iloczyn tensorowy z reprezentacj o spinie Zastosowanie grupy SU(3) w zyce cz stek Reprezentacje su(3) Pierwiastki i algebra Cartana Wagi reprezentacji Pierwiastki Reprezentacja fundamentalna i antyfundamentalna Trialno± Pierwiastki ujemne i dodatnie Diagramy wagowe przykªadowych reprezentacji Symetrie w mechanice kwantowej Konwencje Zachowane ªadunki Izospin Dziwno± Kwarki Zastosowanie teorii grup w modelu standardowym i modelach wielkiej unikacji Model standardowy Leptony Skalar Higgsa Kwarki Lagran»jan modelu standardowego SU(n) Rozszerzanie SU(3) SU(2) U(1) do SU(5) Pola w GUT opartej na SU(5) Rozszerzanie SU(3) SU(2) U(1) do SU(4) SU(2) SU(2)

6 18 Algebry Cliorda i grupy Spin Algebry Cliorda Parzyste algebry Cliorda Element obj to±ci Reprezentacja Foka algebry Cliorda Posta algebr Cliorda Grupa Pin i Spin Reprezentacje grupy Spin(n) Przegl d klasycznych algebr Liego sl(n, C) so(n, C) so(2m) so(2m + 1) sp(2m, C) Koincydencje Konstrukcja Schura-Weyla Reprezentacje SL(n, C) Struktura algebr Liego Nilpotentne i rozwi zalne algebry Liego Twierdzenie Liego Dolny ci g centralny Kryteria Cartana rozwi zalno±ci Algebry póªproste i reduktywne a algebry rozwi zalne Operator Casimira Reprezentacje algebr póªprostych Ró»niczkowania póªprostej algebry Liego Nilpotentne algebry Liego Struktura endomorzmu liniowego Twierdzenie Engela Przestrzenie pierwiastkowe algebry nilpotentnej Przestrzenie pierwiastkowe w algebrach Liego Algebry Cartanaprzypadek ogólny Elementy póªproste i nilpotentne w póªprostych algebrach Liego Struktura algebr póªprostych Podalgebra Cartana dla algebr póªprostych Zbiór pierwiastków póªprostej algebry Liego Ukªady pierwiastków Pierwiastki dodatnie Grupa Weyla Reprezentacje algebr Liego

7 23 Homotopia Homotopia krzywych Skªadanie krzywych i grupa homotopii Nakrycia Nakrycie uniwersalne Nakrycie wyznaczone przez podgrup grupy homotopii Globalna teoria grup Liego Lokalna izomorczno± grup Liego Grupa homotopii grupy Liego Rozmaito±ci Algebra Liego grupy Liego Przemienne grupy Liego Podgrupy grup Liego Podstawowe wªasno±ci grup 1.1 Denicja Grupa to niepusty zbiór G wyposa»ony w (1) dziaªanie G G (g, h) g h G maj ce wªasno± ª czno±ci (gh)k = g(hk), g, h, k G. (2) wyró»niony element e G, zwany elementem neutralnym, speªniaj cy eg = ge = g, g G. (3) odwzorowanie G g g 1 G, zwane odwrotno±ci speªniaj ce gg 1 = g 1 g = e, g G. Czyli grupa jest czwórk (G,, e, 1 ). Notacja powy»sza nosi nazw multiplikatywnej. Mówimy,»e grupa jest nietrywialna, gdy jest ró»na od grupy skªadaj cej si jedynie z elementu neutralnego. Element neutralny w notacji multiplikatywnej jest cz sto oznaczany przez 1 lub 1l. Mo»liwe jest te» sformuªowanie sªabszych aksjomatów, w ktorych grupa jest zbiorem wyposa»onym jedynie w ª czne dziaªanie i dwa warunki zapewniaj ce istnienie elementu neutralnego i odwrotno±ci. Mówimy,»e grupa jest przemienna lub abelowa, gdy gh = hg, g, h G. Dla grup abelowych stosujemy cz sto notacj addytywn, w której grupa to (G, +, 0, ). 7

8 1.2 Podgrupy Niech G b dzie grup. Niepusty podzbiór H G nazywamy podgrup gdy jest zamkni ty ze wzgl du na mno»enie i branie odwrotno±ci. Zawiera wtedy element neutralny i ze wzgl du na mno»enie i odwrotno± dziedziczone z G jest grup. Mówimy,»e podgrupa jest nietrywialna, gdy jest ró»na od grupy skªadaj cej si jedynie z elementu neutralnego, jak równie» od grupy G. Je±li rodzina H α G skªada si z podgrup, to α H α jest te» podgrup. Dlatego, dla dowolnego podzbioru X G istnieje najmniejsza podgrupa zawieraj ca X. Oznaczamy j przez Gr(X) i nazywamy podgrup generowan przez X. Grup generowan przez jeden element nazywamy grup cykliczn. S to grupy Z n, n N i Z. Liczb elementów zbioru X oznaczamy przez #X. Liczb elementów grupy nazywamy rz dem grupy. Mówimy,»e g G ma rz d n N { }, gdy n = #Gr(g). Je±li rz d g jest równy n N, to Gr(g) = {e, g,..., g n 1 } jest podgrup w G izomorczn z Z n. Je±li rz d g jest równy, to Gr(g) = {..., g 1, e, g, g 2,...} jest podgrup izomorczn z Z. Je±li H jest podgrup i g G, to ghg 1 := {ghg 1 : h H} jest te» podgrup zwan podgrup sprz»on do H. 1.3 Homomorzmy Niech G, H b d grupami. Odwzorowanie φ : G H jest homomorzmem, gdy φ(g 1 g 2 ) = φ(g 1 )φ(g 2 ), g 1, g 2 G. Stwierdzenie 1.1 Je±li φ jest homomorzmem, to Dowód. φ(e G ) = e H, φ(g 1 ) = φ(g) 1. φ(e G )e H = φ(e G )φ(e G )φ(e G ) 1 = φ(e 2 G)φ(e G ) 1 = φ(e G )φ(e G ) 1 = e H. φ(g 1 ) = φ(g 1 )φ(g)φ(g) 1 = φ(g 1 g)φ(g) 1 = φ(e G )φ(g) 1 = e H φ(g) 1 = φ(g) 1. Bijektywny homomorzm nazywamy izomorzmem. Je±li G = H, to homomorzm nazywamy endomorzmem a izomorzm automorzmem. Automorzmy grupy G tworz grup oznaczan Aut(G). 8

9 1.4 Dziaªanie Niech X b dzie zbiorem. Przez S(X) oznaczamy zbiór bijekcji na zbiorze X. Wtedy S(X) jest grup ze skªadaniem i elementem neutralnym równym id, gdzie id(x) = x, x X. Niech G b dzie grup. Homomorzm G S(X) nazywamy dziaªaniem grupy G na zbiorze X. Innymi sªowy, odwzorowanie jest dziaªaniem, gdy Stosujemy te» cz sto notacj uproszczon : G X (g, x) τ g (x) X (1.1) τ g (τ h (x)) = τ gh (x), g, h G. G X (g, x) gx X. W tej notacji wªasno±ci homomorczno±ci i ª czno±ci naturalnie si zapisuj : g(hx) = (gh)x, ((gh)k)x = (g(hk))x, g, h, k G, x X. Dlatego te», zbyteczne jest pisanie nawiasów. Je±li x X, to G x := {g G : τ g (x) = x} jest podgrup w G zwan grup izotropii elementu x. Niech τ : G X X, τ : G X X, b d dziaªaniami. Mówimy,»e bijekcja φ : X X jest izomorzmem dziaªa«τ i τ, gdy W notacji uproszczonej (1.2) ma posta 1.5 Orbity τ g (φ(x)) = φ (τ g (x)), g G, x X. (1.2) gφ(x) = φ(gx), g G, x X. Niech τ : G S(X) b dzie dziaªaniem. Deniujemy relacj x τ y g G τ g (x) = y. Stwierdzenie 1.2 τ jest relacj równowa»no±ci. Klasy abstrakcji tej relacji nazywamy orbitami dziaªania τ. Klas abstrakcji dla elementu x X nazywamy orbit elementu x i oznaczamy τ G (x). Zbiór orbit czasem oznaczamy przez G\X. Je±li x, y nale» do tej samej orbity, to grupy izotropii G x i G y s do siebie sprz»one, to znaczy istnieje g G takie,»e G x = gg y g 1. Mówimy,»e dziaªanie τ jest tranzytywne, gdy posiada dokªadnie jedn orbit. Mówimy te» wtedy,»e X jest przestrzeni jednorodn dla grupy G. 9

10 1.6 Warstwy Niech H b dzie podgrup grupy G. Wtedy H dziaªa na G przez lewe mno»enie Orbity tego dziaªania maj posta λ h (g) := hg, g G, h H. Hg := {hg : h H}, g G, i s nazywane lewymi warstwami podgrupy H. Zbiór lewych warstw jest oznaczany przez H\G. H dziaªa na G równie» przez prawe mno»enie Orbity tego dziaªania maj posta ρ h (g) := gh 1, g G, h H. gh := {gh : h H}, g G, i s nazywane prawymi warstwami podgrupy H. Zbiór prawych warstw jest oznaczany przez G/H. G g g 1 G jest izomorzmem dla tych dziaªa«. Lewe i prawe mno»enie jest bijekcj, tak samo odwrotno±. Dlatego te» wszystkie lewe (jak równie» prawe) warstwy maj t sam liczb elementów równ rz dowi H. Jako wniosek dostajemy Twierdzenie 1.3 (Lagrange) Je±li G jest grup sko«czon i H jej podgrup, to #G = (#H)(#G/H). Dowód. Wybieramy w ka»dej warstwie po jednym elemencie. Innymi sªowy, ustalamy odwzorowanie θ : G/H G o wªasno±ci θ(w ) W, W G/H. Sprawdzamy,»e G/H H (W, h) θ(w )h G jest bijekcj.. Liczb #G/H nazywamy indeksem podgrupy H. W szczególno±ci, G dziaªa na sobie samej. Jest to dziaªanie tranzytywne. Ka»demu elementowi g G odpowiada inna bijekcja na G. Dlatego te» dostajemy Twierdzenie 1.4 (Cayley) Ka»da grupa jest izomorczna z podgrup w S(G). 1.7 Klasy sprz»ono±ci Niech g G. Kªadziemy Ad(g)(h) := ghg 1, h G. Wtedy Ad(g) jest automorzmem grupy G nazywanym automorzmem wewn trznym lub automorzmem doª czonym zadanym przez g. G g Ad(g) Aut(G) 10

11 jest homomorzmem. Jego obraz oznaczamy przez Inn(G). Grupa G dziaªa na sobie samej przez automorzmy wewn trzne. Orbity wzgl dem tego dziaªania nazywaj si klasami sprz»ono±ci. Niech Sub(G) oznacza zbiór podgrup grupy G. Je±li H Sub(G), to ghg 1 te» jest podgrup. Sub(G) H ghg 1 Sub(G) jest dziaªaniem grupy G na Sub(G). Mówimy,»e dwie podgrupy s sprz»one, je±li nale» do tej samej orbity. 1.8 Klasykacja dziaªa«grupy Nast puj cy wzór deniuje dziaªanie grupy G na G/H: g(kh) := (gk)h, g, k G. Dziaªanie to jest tranzytywne. Grup izotropii elementu jednostkowego jest H. Poni»sze twierdzenie mówi,»e ka»de dziaªanie tranzytywne jest izomorczne z takim dziaªaniem. Twierdzenie 1.5 (Podstawowe twierdzenie o przestrzeniach jednorodnych) Niech τ : G X X b dzie dziaªaniem tranzytywnym i x X. Wtedy wzór φ(gg x ) := τ g (x) deniuje izomorzm dziaªania G na przestrzeni warstw G/G x i τ. Je±li X jest zbiorem sko«czonym, to #G = #X #G x. Dowód. Dobra okre±lono±. Niech g, k G. gg x = kg x k 1 gg x = G x k 1 g G x x = τ k 1 g(x) τ 1 k τ g(x) = x τ k (x) = τ g (x). Injektywno± Rozumowanie w stron przeciwn do poprzedniej: pokazuje,»e Surjektywno± wynika z tranzytywno±ci. Izomorczno± dziaªa«: τ k (x) = τ g (x) gg x = kg x. φ(gkg x ) = τ gk (x) = τ g (τ k x)) = τ g (φ(kg x ). Liczba elementów: X jest bijektywny zbiorowi G/G x, mo»emy wi c zastosowa Twierdzenie Lagrange'a. Twierdzenie 1.6 Niech H i K b d podgrupami. Wtedy dziaªania G na G/H i G/K s izomorczne wtedy i tylko wtedy gdy H jest sprz»ona do K. 11

12 Dowód. Niech K = mhm 1. Deniujemy φ(gh) = gm 1 K = ghm 1. Trywialnie sprawdzamy,»e φ jest dobrze okre±lone, bijektywne i splata dziaªania. Niech φ : G/H G/K b dzie izomorzmem. Wtedy istnieje m G takie,»e φ(h) = m 1 K. Dla h H hm 1 K = hφ(h) = φ(hh) = φ(h) = m 1 K. Czyli mhm 1 K = K. Zatem, mhm 1 K. Odwracaj c role dostajemy mhm 1 = K Zaªó»my teraz,»e grupa G dziaªa na zbiorze X (niekoniecznie tranzytywnie). Przez G\X b dziemy oznacza zbiór orbit tego dziaªania. Niech X g oznacza zbiór punktów staªych g G. Twierdzenie 1.7 Niech X = X 1 X k b dzie rozbiciem X na orbity. Z ka»dej orbity wybieramy reprezentanta x i X i, i = 1,..., k. Wtedy k ( #G 1 1 ) #G x = #X g. (1.3) i g e i=1 Dowód. Niech P := {(g, x) (G \ {e}) X : gx = x}. Obliczymy liczb elementów P dwoma sposobami. Mamy P = k (G x \ {e}) {x} = x X j=1 x X j (G x \ {e}) {x}. Dla x X j mamy #X j = #G #G x. Zatem #P jest równe lewej stronie (1.3). Z drugiej strony, P = g e{g} X g. Zatem #P jest równe prawej stronie (1.3). Poni»szy podobny wzór bywa przypisywany Burnside'owi. Twierdzenie 1.8 Niech G = G 1 G l b dzie rozkªadem grupy na klasy sprz»ono±ci. Z ka»dej klasy sprz»ono±ci wybieramy reprezentanta g i G i, i = 1,..., l. Wtedy (#G)(#G\X) = l (#G j )(#X g j ). (1.4) j=1 12

13 Dowód. Niech Z := {(g, x) G X : gx = x}. Obliczymy liczb elementów Z dwoma sposobami. Mamy Z = k G x {x} = x X j=1 x X j G x {x}. Dla x X j mamy (#G x )(#X j ) = #G. Zatem #Z jest równe lewej stronie (1.4). Z drugiej strony, Z = {g} X g. g G Zauwa»my,»e X hgh 1 = hx g, dlatego #X g jest staªe na klasach sprz»ono±ci. St d #Z jest równe prawej stronie (1.4). 1.9 Iloczyn prosty Niech K, H b d grupami. Wtedy K H jest grup z iloczynem (k 1, h 1 )(k 2, h 2 ) := (k 1 k 2, h 1 h 2 ). K H z takim iloczynem nazywamy iloczynem (zewn trznym) grupy K i H. Zauwa»my,»e K {e H }, {e K } H s podgrupami, które komutuj, ich przeci cie to {(e K, e H )} i generuj razem K H. Latwo sprawdzamy,»e dla n N przestrze«klas Z/nZ jest grup abelow. Jej elementy s postaci [0],..., [n 1]. Stwierdzenie 1.9 Je±li n, m s liczbami wzgl dnie pierwszymi, to jest izomorzmem. Z m Z n ([i], [j]) [in + jm] Z mn Dowód. Najpierw sprawdzamy,»e dla dowolnych m, n N powy»sze odwzorowanie jest dobrze okre±lone i jest homomorzmem. Aby dowie±,»e jest on surjektywny korzystamy z faktu,»e dla wzgl dnie pierwszych m, n istniej i, j Z takie,»e in + jm = 1. Mo»na pokaza,»e ka»da sko«czona grupa abelowa jest iloczynem grup postaci Z p k, gdzie p s liczbami pierwszymi Podgrupy normalne Niech N b dzie podgrup w G. Mówimy,»e N jest podgrup normaln, gdy g G, n N gng 1 N. 13

14 Równowa»ny warunek: gn = Ng, g G Czyli nie ma wtedy potrzeby rozró»nia lewych i prawych warstw. Grup która nie posiada nietrywialnych podgrup normalnych nazywamy grup prost. Przykªadami grup prostych s Z p dla pierwszych p i A n dla n 5. Wszystkie grupy proste sko«czone zostaªy sklasykowane. Dowód prostoty A 5 jako pierwszy podaª Galois w 1831 r. Peªna lista jest znana od 1981 r., kiedy skonstruowano Grup Monstrum. Dowód kompletno±ci tej klasykacji ogªoszono w 1983 r. Za dat, kiedy powszechnie zgodzono si z tym,»e dowód ten zostaª uko«czony uznaje si Je±li φ : G H jest homomorzmem, to φ(g) jest podgrup w H i jest podgrup normaln. Wzór Kerφ = {g G : φ(g) = e H } (g 1 N)(g 2 N) := g 1 g 2 N deniuje w G/N struktur grupy. Odwzorowanie G g gn G/N jest homomorzmem, którego j drem jest N. Je±li φ : G H jest surjektywnym homomorzmem, którego j drem jest te» N, to ψ(gn) := φ(g) deniuje izomorzm ψ : G/N H. Sytuacj, gdy φ : G H jest surjektywnym homomorzmem, dla którego N jest j drem, cz sto zapisujemy w skrócie 1 N G H 1. (1.5) Mówimy wtedy,»e G jest rozszerzeniem N przez H, albo»e mamy krótki ci g dokªadny (1.5) Iloczyn póªprosty Niech H, N b d grupami i homomorzm H h α h Aut(N). Deniujemy (zewn trzny) iloczyn póªprosty N α H jako N H wyposa»one w dziaªanie element neutralny (e N, e H ), i odwrotno± (n 1, h 1 )(n 2, h 2 ) := (n 1 α h1 (n 2 ), h 1 h 2 ), (n, h) 1 = (α h 1(n 1 ), h 1 ). Zauwa»my,»e N e H jest podgrup normaln, za± e N H jest podgrup, ich przeci cie jest równe {(e N, e H )} oraz Gr(N H) = N α H. Odwzorowanie N α H (n, h) h H 14

15 jest surjektywnym homomorzmem, którego j drem jest N. Zaªó»my,»e mamy krótki ci g dokªadny 1 N G H 1. (1.6) Zachodzi pytanie, kiedy G jest izomorczne iloczynowi póªprostemu N i H? Ma to miejsce wtedy, gdy istnieje homomorzm injektywny ψ : H G taki,»e φ ψ = id, ψ(h) i N generuj G i ψ(h) N = e G. Mówimy wtedy,»e ci g si rozszczepia. Nie zawsze to ma miejsce: We¹my 0 Z 2 Z 4 Z Przykªady grup 2.1 Permutacje Je±li X jest zbiorem sko«czonym, bijekcj na X cz sto nazywamy permutacj. Pami tamy,»e przez S(X) oznaczamy grup bijekcji na X. Piszemy S n := S({1, 2,..., n}). Oczywi±cie, je±li X ma n elementów, to S(X) jest izomorczne z S n. Permutacj π S n nazywamy cyklem k-elementowym, gdy istniej parami ró»ne x 1,..., x k {1,..., n} takie,»e πx i = x i+1, i = 1,..., k, (rozumiej c,»e k + 1 = 1). Cykl oznaczamy przez (x 1,..., x k ). Dwa cykle (x 1,..., x k ) i (y 1,..., y m ) nazywamy rozª cznymi je±li zbiory {x 1,..., x k }, {y 1,..., y m } s rozª czne. Ka»d permutacj mo»emy przedstawi jako iloczyn cykli rozª cznych. Rozkªad ten jest jednoznaczny (z dokªadno±ci do kolejno±ci). W szczególno±ci, wyznacza on ci g λ 1, λ 2,... liczb z {0, 1,...} takich,»e j jλ j = n i w rozkªadzie na cykle rozª czne wyst puje λ j cykli j- elementowych. Wielomian Vandermonda stopnia n deniujemy jako V (x 1,..., x n ) := i<j(x i x j ). Latwo sprawdzi,»e dla π S n, Deniujemy V (x 1,..., x n ) = ±V (x π(1),..., x π(n) ). sgnπ := V (x 1,..., x n ) V (x π(1),..., x π(n) ). sgn : S n {1, 1}. jest homomorzmem. J dro tego homomorzmu nazywamy grup alternuj c i oznaczamy przez A n. 15

16 2.2 Iloczyn póªprosty z grup Z 2 Niech K b dzie grup abelow z zapisem addytywnym. Odwzorowanie K k β(k) := k K jest automorzmem grupy K. Dla grup Z n 2 jest to automorzm identyczno±ciowy. Je±li nie wszystkie elementy grupy K s rz du 2 lub 1, to jest to automorzm nietrywialny. Mo»emy zdeniowa grup K β Z 2. W szczególno±ci, grupa D n := Z n β Z 2 nosi nazw grupy dwu±ciennej (dihedralnej). Jest ona nieabelowa dla n Grupa permutacji 3 elementów Mamy izomorzm A 3 Z 3 : A 3 = {id, (123), (132)}. Mamy te» izomorzm S 3 D 3 = Z 3 β Z 2 S 3 posiada nast puj ce nietrywialne podgrupy: jedn podgrup (normaln ) Z 3 i 3 sprz»one do siebie podgrupy Z 2. Mamy zatem 4 nieizomorczne tranzytywne dziaªania S 3 : na zbiorze 6-, 3-, 2- i 1-elementowym 2.4 Grupa permutacji 4 elementów Elementy grupy Z 2 Z 2 mo»na oznaczy jako {e, a, b, ab}. Automorzmy tej grupy polegaj na permutacjach {a, b, ab}. Czyli Aut(Z 2 Z 2 ) S 3. Grup Z 2 Z 2 mo»na wªo»y w A 4 S 4 {id, (12)(34), (13)(24), (14)(23)}. Jest ona normalna w A 4 i w S 4. Mamy izomorzmy (Z 2 Z 2 ) A 3 A 4, (Z 2 Z 2 ) S 3 S 4. W szczególno±ci, A 4 nie jest prosta. To,»e A 5 jest prosta pokazaª Galois. 2.5 Grupa obrotów SO(3) Przez SO(3) b dziemy oznacza grup obrotów (wªa±ciwych) przestrzeni R 3. Lemat 2.1 Dla ka»dego A SO(3)\{1l} istnieje dokªadnie jedna prosta przechodz ca przez 0 i θ [0, 2π[ takie,»e A jest obrotem wokóª A o k t θ. A jest sko«czonego rz du, gdy θ = 2πj n, j = 1,..., n 1. Prost opisan w powy»szym lemacie nazywamy osi obrotu A. Je±li wybierzemy zwrot tej prostej, b dziemy mówili o osi skierowanej. Nast pnie opiszemy wszystkie sko«czone podgrupy grupy obrotów. 16

17 Lemat 2.2 Niech G b dzie sko«czon podgrup SO(3). Niech α b dzie osi pewnego obrotu z G. Wtedy obroty wokóª osi α nale» ce do G stanowi grup izomorczn z Z n. O± tak jak w powy»szym lemacie nazywamy osi n-krotn. Przez O(3) b dziemy oznacza grup obrotów niewªa±ciwych przestrzeni R 3. Mamy O(3) = SO(3) Z 2, gdzie generatorem Z 2 jest symetria ±rodkowa. 2.6 Grupa obrotów wªa±ciwych wielok ta foremnego C n Z n cos 2πj n sin 2πj n, j = 0,..., n 1. (2.7) 0 sin 2πj n cos 2πj n 2.7 Grupa dihedralna D n Z n Z 2 Do (2.7) doª czamy cos πj n sin πj n 0 sin πj n cos πj n, j = 0,..., n 1. (2.8) 2.8 Grupa czworo±cianu T A 4 Grupa symetrii czworo±cianu. Permutuje (1) 4 wierzchoªki, (2) 4 ±ciany, (3) 6 kraw dzi. Ma (1) 4 osie 3-krotne, mi dzy wierzchoªkiem a przeciwlegª ±cian, (2) 3 osie 2-krotne, mi dzy ±rodkami przeciwlegªych kraw dzi. 2.9 Grupa sze±cianu/o±mio±cianu O S 4 Grupa symetrii sze±cianu. Permutuje (1) 8 wierzchoªków/±cian, (2) 6 ±cian/wierzchoªków, (3) 12 kraw dzi. Ma (1) 4 osie 3-krotne, mi dzy przeciwlegªymi wierzchoªkami/±cianami, (2) 3 osie 4-krotne, mi dzy ±rodkami przeciwlegªych ±cian/wierzchoªków, (3) 6 osi 2-krotnych, mi dzy ±rodkami przeciwlegªych kraw dzi. 17

18 2.10 Grupa dwudziesto±cianu/dwunasto±cianu) I A 5 Grupa symetrii dwudziesto±cianu. Permutuje (1) 10 wierzchoªków/±cian, (2) 20 ±cian/wierzchoªków, (3) 30 kraw dzi. Ma (1) 6 osi 5-krotnych, mi dzy przeciwlegªymi wierzchoªkami/±cianami, (2) 10 osi 3-krotnych, mi dzy ±rodkami przeciwlegªych ±cian/wierzchoªków, (3) 15 osie 2-krotne, mi dzy ±rodkami przeciwlegªych kraw dzi Sko«czone podgrupy grupy obrotów Twierdzenie 2.3 Lista powy»sza zawiera wszystkie sko«czone podgrupy obrotów. Dowód. Niech G b dzie sko«czon podgrup grupy obrotów. Niech X b dzie zbiorem osi skierowanych elementów z G, czyli X = {α S 2 : gα = α dla pewnego g G} G X (g, α) gα X jest dziaªaniem grupy G na X. Dziaªanie zachowuje krotno±. Niech X 1,..., X k b dzie rozbiciem X na orbity. Niech n i b dzie krotno±ci elementów orbity X i. Zakªadamy,»e n 1 n k. Zachodzi wzór k ) ( (1 1nj = ). (2.9) #G j=1 Jest to przykªad zastosowania Tw Dla wygody czytelnika przytaczamy niezale»ny dowód. Rozwa»my P := {(g, α) (G\{1l}) X : gα = α}. Dla ka»dego g G\{1l} mamy dwa przeci cia osi obrotu i sfery. Dlatego #P = 2(#G 1). (2.10) Dla ka»dego α X j jest n j 1 obrotów g G\{1l} takich,»e gα = α. Dlatego #P = Ale grupa izotropii α X i jest izomorczna z Z ni. Dlatego k #X i (n i 1). (2.11) i=1 #X i = #G n i. (2.12) 18

19 (2.10), (2.11) i (2.12) daj razem (2.9). Rozwi zujemy wi c równanie ( )(2.9). #G 2 implikuje #G [1, 2[. n i 2 implikuje 1 1 n i [ 1 2, 1[. Dla k = 1 lewa strona (2.9) < 1. Dla k 4 lewa strona (2.9) 1. Dlatego k = 2, 3. Rozwa»my k = 2. Mo»emy przepisa (2.9) jako = 2 n 1 n 2 #G. (2.13) Wiemy,»e n i #G. Wi c jedyne rozwi zania (2.13) to n 1 = n 2 = #G N Rozwa»my k = 3. Mo»emy przepisa (2.9) jako = n 1 n 2 n 3 #G. (2.14) Je±li n 1 3, to lewa strona (2.14) 1, co jest niemo»liwe. Wi c n 1 = 2. Je±li n 2 4, to znów lewa strona (2.14) 1, co jest niemo»liwe. Wi c n 2 = 2 lub n 2 = 3. Je±li n 2 = 2, to n 1 = n 2 = 2, n 3 = #G 2. Je±li n 2 = 3, to dla n 3 6 lewa strona (2.14) 1. Dlatego n 3 = 3, n 3 = 4 lub n 3 = 5. Nast pnie identykujemy powstaªe mo»liwo±ci z poszczególnymi grupami n 1 = n 2 = n = #G. Mamy #G n 1 = #G n 2 = 1. Zatem mamy tylko jedn o±. Jest ona n-krotna. Zatem G = C n. n 1 = n 2 = 2, n 3 = n, #G = 2n. Mamy #G n 1 = #G n 2 = n, #G n 3 = 2. Zatem mamy tylko jedn o± n-krotn. Zatem G zawiera C n. Osie 2-krotne musz by prostopadªe do niej. Jedyna mo»liwo± to D n. n 1 = 2, n 2 = 3, n 3 = 3, #G = 12. Mamy #G n 1 = 6, #G n 2 = 4, #G n 3 = 4. Wybierzmy o± 3-krotn. Musi ona przecina sfer w dwóch ró»nych orbitach. Pozostaªe punkty 3-krotne tworz dwa trójk ty równoboczne w pªaszczyznach prostopadªych do tej osi. n 1 = 2, n 2 = 3, n 3 = 4, #G = 24. Mamy #G #G #G n 1 = 12, n 2 = 8, n 3 = 6. Wybierzmy o± 4-krotn. Przecina ona sfer w dwóch elementach orbity X 3. Pozostaªe punkty 4-krotne tworz kwadrat w pªaszczyznie prostopadªej do tej osi. n 1 = 2, n 2 = 3, n 3 = 5, #G = 60. Mamy #G n 1 = 30, #G n 2 = 20, #G n 3 = 12. Wybierzmy o± 5-krotn. Przecina ona sfer w dwóch elementach orbity X 3. Pozostaªe punkty 5-krotne tworz dwa pi ciok ty foremne w dwóch pªaszczyznach prostopadªych do tej osi. 19

20 3 Grupy macierzowe 3.1 Ciaªa Mówimy,»e (K, +,, 1, 0} jest ciaªem, gdy (K, +, 0, } i (K,, 1, 1 ) s grupami abelowymi speªniaj cymi x(y + z) = xy + xz, gdzie K := K\{0}. Deniujemy homomorzmy, izomorzmy, etc. ciaª w oczywisty sposób. Najwa»niejszymi ciaªami dla nas s R i C. R ma jedynie automorzm trywialny. C ma jeden nietrywialny automorzm: sprz»enie zespolone C z z C. 3.2 Przestrzenie wektorowe Mówimy,»e (V, +, 0, ) jest przestrzeni wektorow nad ciaªem K, gdy jest to grupa abelowa wyposa»ona w dziaªanie K V (x, v) xv V takie,»e (x + y)v = xv + yv, (xy)v = x(yv), x, y K, v V, x(u + v) = xu + xv, x K, u, v V. Przykªadem przestrzeni nad K s K n. Przestrzenie wektorowe izomorczne z K n nazywamy przestrzeniami wymiaru n 3.3 Odwzorowania liniowe Homomorzmy przestrzeni wektorowych nazywamy odwzorowaniami liniowymi. Je±li V, W s przestrzeniami, to L(V, W) b dzie oznaczaªo zbiór odwzorowa«liniowych z V do W. B dziemy pisa L(V) := L(V, V). L(K n, K m ) b dziemy uto»sami z macierzami o n wierszach i m kolumnach. Dla A L(K n, K m ) przez A, A i A # b dziemy oznacza macierz hermitowsko sprz»on, zespolenie sprz»on i transponowan do A. 3.4 Ogólna grupa liniowa Niech A L(K n ). Wzór deniuje wyznacznik speªniaj cy GL(K n ) deniujemy jako det A := π S n sgnπa 1,π(1) A n,π(n) K det AB = det A det B. GL(K n ) := {A L(K n ) : det A 0}. 20