WIELOKRYTERIALNE WSPOMAGANIE DECYZJI - MIŁOSZ KADZIŃSKI LAB IV BEHAVIORAL ISSUES + INTEGER PROGRAMMING

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "WIELOKRYTERIALNE WSPOMAGANIE DECYZJI - MIŁOSZ KADZIŃSKI LAB IV BEHAVIORAL ISSUES + INTEGER PROGRAMMING"

Transkrypt

1 WIELOKRYTERIALNE WSPOMAGANIE DECYZJI - MIŁOSZ KADZIŃSKI LAB IV BEHAVIORAL ISSUES + INTEGER PROGRAMMING I. Wprowadzenie - BEHAVIORAL ISSUES Analiza rzeczywistego zachowania decydentów ułatwia: proces elicytacji preferencji (ważne z punkt widzenia praktyka analityka); projektowanie efektywnych procedur elicytacji preferencji (aspekt metodologiczny). Słowa kluczowe: behavioral decision research, judgment and decision making, psychology of preference and decision, decision and rationality, cognitive illusions, heuristics and biases. Dwa podejścia teoretyczne: normatywne: zakładają racjonalność (czyli de facto zgodność z pewnym zbiorem aksjomatów); deskryptywne (kognitywistyczne): chęć wyrażenia w modelu rzeczywistych mechanizmów podejmowania decyzji (przez prawdziwych decydentów). Obserwacja: zachowanie decydentów nie jest zgodne z aksjomatami teorii normatywnych, ale ich preferencje i wybory nie są ani racjonalne, ani nie są zmienne (ang. capricious); odstępstwa od teorii i założeń są systematyczne i powtarzalne. Wniosek: rzeczywiste decyzje nie mają wiele wspólnego z teorią normatywną, ale i tak jest ona kluczowa do zrozumienia przebiegu rzeczywistych procesów decyzyjnych (standaryzacja, idealizacja, itd.). II. Seria eksperymentów Cechy wspólne: Przejrzysta sytuacja decyzyjna; Mały zbiór wariantów zaproponowanych osobie, która bierze udział w eksperymencie; Osoba ta ma dokonać wyboru po krótkim okresie zastanowienia; Obserwuje się częste naruszanie kryteriów racjonalności, ale i tak zachowanie takich osób można wyjaśnić. Eksperyment I Dominacja stochastyczna: jeśli A jest preferowane nad B w każdym stanie natury, to A powinno zostać wybrane Zadanie: wskaż loterię, w której chciałbyś wziąć udział; loteria polega na wylosowaniu kulki z kwotą zysku (np. 45) lub straty (np. -15); liczba kulek każdego rodzaju jest znana. A: 90 czarnych (0), 6 czerwonych (45), 1 zielona (30), 1 niebieska (-15), 2 żółte (-15) B: 90 czarnych (0), 6 czerwonych (45), 1 zielona (45), 1 niebieska (-10), 2 żółte (-15) Wszyscy wybierają B: dominacja jest oczywista. ISWD: A: 1, B: 22 * w wynikach uwzględniono tylko osoby, które wypełniły dwa testy C: 90 czarnych (0), 6 czerwonych (45), 1 zielona (30), 3 żółte (-15) D: 90 czarnych (0), 7 czerwonych (45), 1 zielona (-10), 2 żółte (-15) Tylko 58% osób wybiera D, mimo że D dominuje C ISWD: C: 7, D: 16 Co więcej, A jest równoważne C, a B równoważne D. Mimo tego 42% twierdzi B P A, ale C P D. Dlaczego? C jest atrakcyjne, bo jest tylko jeden wariant przegranej, a dla D są dwa takie warianty; Kryterium przejrzystości: efekt dominacji ma większe znaczenie wtedy, gdy dominacja jest oczywista (nie potrzeba żadnych mentalnych transformacji ); Wariant natury dysjunkcyjnej rozważany jako całość ma mniejszą wagę decyzyjną niż suma wag skojarzonych z jego składnikami;

2 Eksperyment II Przechodniość relacji preferencji P (oraz nierozróżnialności I) jeśli a P b oraz b P c to a P c Zadanie: Wskaż preferowane przez Ciebie zdarzenie (porównuj tylko po dwa zdarzenia z kolumn, czyli a z b, b z c, c z d) a: zysk 500zł z prawd. 7/24 b: zysk 475zł z prawd. 8/24 c: zysk 450zł z prawd. 9/24 b: zysk 475zł z prawd. 8/24 c: zysk 450zł z prawd. 9/24 d: zysk 425zł z prawd. 10/24 Wiele osób preferuje a nad b Wiele osób preferuje b nad c Wiele osób preferuje c nad d, itd. ISWD: a: 10, b: 13 ISWD: b: 10, c: 13 ISWD: c: 11, d: 12 Ale porównując a: zysk 500zł z prawd. 7/24 z d: zysk 425zł z prawd. 10/24, zdecydowana większość preferuje d. ISWD: c: 4, d: 19 Co więcej, po pokazaniu tej niespójności osoby badane są niechętne bo przyznać, że ich preferencje nie są przechodnie. Eksperyment III Pacjent w wieku 40 lat ma nowotwór. Bez terapii umrze po 3 miesiącach. Do wyboru są dwie terapie: radykalna (istnieje prawdopodobieństwo śmierci przy operacji, ale jeśli operacja się uda, to pacjent będzie żył długo) oraz lokalna (ryzyko niepowodzenia jest mniejsze (lub nie ma go wcale), ale w przypadku sukcesu pacjent będzie żył krócej). Wskaż preferowaną terapię, którą zastosowałbyś jako lekarz. A: 20% natychmiastowa śmierć (konsekwencja zabiegu) oraz 80% normalne życie (przewidywana długość 30 lat) B: Pewność normalnego życia (przewidywana długość 18 lat) 65% badanych preferuje B (efekt pewności: pewny wynik w porównaniu z wynikiem tylko możliwym ma większą wartość subiektywną) ISWD: A: 8, B: 15 C: 80% natychmiastowa śmierć (konsekwencja zabiegu) oraz 20% normalne życie (przewidywana długość 30 lat) D: 75% natychmiastowa śmierć (konsekwencja zabiegu) oraz 25% normalne życie (przewidywana długość 18 lat) 68% badanych wybiera C prawdopodobieństwo normalnego życia podzielone przez 4 w stosunku do opcji A oraz B (naruszenie tzw. cancellation prinicple) ISWD: C: 16, D: 7 Dodatkowa informacja: załóżmy, że nowotwór ukazuje się być uleczalny tylko w 1 na 4 przypadkach (tylko 1 pacjent na 4 ma szansę zareagować pozytywnie na leczenie). Jeśli nowotwór okaże się nieuleczalny, przewidywana długość życia to 3 miesiące. Jeśli jest uleczalny, to do wyboru są dwie terapie. Wskaż preferowaną terapię. E: 20% natychmiastowa śmierć (konsekwencja zabiegu) oraz 80% normalne życie (przewidywana długość 30 lat) F: Pewność normalnego życia (przewidywana długość 18 lat) 68% badanych wybiera F (preferencje identyczna jak dla A oraz B, ale prawdopodobieństwa identyczne jak dla wyboru C oraz D, a nie A oraz B) ISWD: E: 8, F: 15 Mentalnie, badani zakładają że nowotwór jest uleczalny i decydują, mając to na myśli. Sprowadzają wybór między E oraz F do porównania A z B (końcowe prawdopodobieństwa się nie liczą). Wykasowanie wspólnych składników; mental rewriting Eksperyment IV Mental editing Pan Nowak wygrał rano 200zł w loterii radiowej oraz 800zł wieczorem w zakładach bukmacherskich. Pan Kowalski wygrał 1000zł za 5-tkę w Lotto. Kto wg Ciebie jest bardziej szczęśliwy? Większość uważa, że bardziej szczęśliwy jest Pan Nowak (dysocjacja (oddzielenie) zysków) Szczęście: ISWD: Nowak: 17, Kowalski: 6 Pan Nowak musi zapłacić w tym miesiącu 200zł podatku miastu oraz 800zł podatku państwu. Pan Kowalski musi zapłacić 1000zł podatku państwu. Kto wg Ciebie jest bardziej nieszczęśliwy? Większość uważa, że bardziej nieszczęśliwy jest Pan Kowalski (łączenie (amalgamacja) strat) Nieszczęście: ISWD: Nowak: 8, Kowalski: 15

3 Dziedzina nauki Podejście doświadczalne Kontrolowane warunki eksperymentalne Analiza zaobserwowanych zachowań zgodnie z kanonami racjonalnymi Wyjaśnienie możliwych różnic Przyczynia się do zrozumienie rzeczywistych procesów decyzyjnych Ważne dla projektowania użytecznych technik elicytacji preferencji II. Ograniczona racjonalność Hommo economicus (człowiek ekonomiczny, człowiek racjonalny) Człowiek jako istota działająca racjonalnie dąży do maksymalizacji osiąganych zysków i dokonywania wyborów ze względu na wartość ekonomiczną rezultatów tych wyborów Człowiek posiada: o Wiedzę na temat aspektów otaczającego go środowiska (pełna informacja o problemie decyzyjnym, znajomość wszystkich możliwych rozwiązań problemu decyzyjnego i ich konsekwencji); o Dobrze zorganizowany i stabilny system preferencji; o Umiejętność liczenia zysków (zdolność uszeregowania kierunków działania według ich prawdopodobieństwa maksymalizacji zysków); Jak decydent reaguje na zadanie podjęcia decyzji? Racjonalnie. Ograniczona racjonalność (ang. bounded rationality) oznacza, że człowiek nie dąży do rozwiązań optymalnych, ale do satysfakcjonujących, tzn. takich które zaspokoją jego aspiracje. Human rational behavior is shaped by a scissors whose two blades are the structure of the task environments and the computational capabilities of the actor, H. Simon Podejmowanie decyzji nie odpowiada nawet przybliżeniu tego, co zakładają modele normatywne; Ograniczone możliwości poznawcze (możliwości wypracowania zbioru możliwych kierunków działania w danej sytuacji oraz oceny konsekwencji tych kierunków); Oznacza to, że wybierając ze skończonego zbioru wariantów (zazwyczaj i tak ograniczonego w stosunku do wszystkich możliwych), wybieramy (często pierwszy) wariant wystarczająco dobry (wystarczająco zaspokajający potrzeby; spełniający minimalne standardy akceptacji), a nie ten który maksymalizuje jakąś funkcję użyteczności; Decydenci nie mają predefiniowanych wartości/preferencji dot. wariantów (są one konstruowane, a nie tylko ujawniane); decydent konstruuje preferencje na miejscu, gdy jest to konieczne; Decyzje zależą od konkretnego zadania, kontekstu, celów działania, kryteriów oceny, warunków, a więc nie wynikają z zastosowania niezmiennego algorytmu (np. obliczenie oczekiwanej użyteczności).

4 III. Strategie decyzyjne Heurystyka: praktyczna reguła postępowania, oparta na doświadczeniu, wykorzystywana przy podejmowaniu decyzji, regulująca proces oceniania albo rozwiązywania problemów, bez stosowania algorytmu albo gruntowanego porównania wszystkich dostępnych opcji; Heurystyki to reguły zawodne, nie dające gwarancji otrzymania poprawnych albo optymalnych wyników (odchylenie od rozwiązań poprawnych, racjonalnych); Intuicyjna ocena rzeczywistości, skróty w rozumowaniu; redukcja złożoności podejmowanych decyzji Heurystyka satysfakcjonująca (Simon, 1955) Warianty rozważane w losowej kolejności Wartość wariantu na każdym kryterium jest porównywana z predefiniowanym poziomem aspiracji Wariant jest odrzucany, jeśli jego ocena na którymkolwiek kryterium nie osiąga zadanego poziomu Pierwszy wariant, który przechodzi test jest wybierany Gdy nie udaje się wybrać żadnego wariantu, poziomy aspiracji muszą zostać zmienione. Cechy charakterystyczne: kolejność; brak porównań między a oraz b; w przypadku konfliktu (wiele wariantów przechodzi test), pierwszy wariant jest wybierany Heurystyka większościowa (Russo, Dosher 83) Porównanie pary wariantów na każdym kryterium i wybór tego, które jest lepszy na większości kryteriów (możliwe wykorzystanie wag) Lepszy wariant jest porównywany z kolejnym, itd. Ostateczny wybór zależy od kolejności (bo graf porównań parami niekoniecznie jest przechodni) Heurystyka eliminacji przez aspekt (Tversky, 72) Minimalny wymagany poziom jest zdefiniowany na najważniejszym kryterium Warianty, który go nie osiągają, są usuwane Proces jest kontynuowany na drugim najważniejszym kryterium, dopóki zostanie tylko jeden wariant. Narusza teorie normatywne, które mówią że istotna informacji musi być wzięta pod uwagę w czasie wyboru. tu, tylko część informacji.

5 IV. Decyzje uwarunkowane Niezmienność procedury Fundamentalna zasada racjonalnego podejmowania decyzji strategicznie równoważne sposoby elicytacji preferencji decydenta powinny prowadzić do ujawnienia takich samych preferencji Różne tryby odpowiedzi: Wybór: który wariant preferujesz: X=(x 1, x 2 ) czy Y=(y 1, y 2 )? Dopasowywanie: określ brakującą wartość tak, by X=(x 1,?) oraz Y=(y 1, y 2 ) były nierozróżnialne Chęć zapłaty: jaka jest maksymalna kwota, która zapłaciłbyś by otrzymać X=(x 1, x 2 ) Chęć sprzedaży: Jaka jest minimalna kwota, która przekona Cię do odpuszczenia X=(x 1, x 2 ) Ocena: Oceń atrakcyjność X=(x 1, x 2 ) na skali [0, 100] Eksperyment V Porównanie techniki wyboru i dopasowywania [Tversky, Sattath, Slovic 88] Zadanie: rozważane są dwa programy zapewnienia bezpieczeństwa na drogach (ofiary, koszt w milionach zł). Wybór: doradź, który wprowadzić w życie. A = (570 ofiar, 12 mln zł.) B = (500 ofiar, 55 mln zł.) Większość wybiera B (istotniejsze jest ocalenie 70 ludzi niż 43mln zł.) ISWD: A: 10, B: 13 Dopasowywanie: wskaż X dla programu B (w mln zł.), dla którego program A i B będą nierozróżnialne. A = (570 ofiar, 12 mln zł.) B = (500 ofiar, X mln zł.) Większość odpowiedzi to x < 55 mln zł. (różnica mniejsza niż 43 mln zł. odpowiada 70 życiom) ISWD: < 43mln 22 osoby (>43 1 osoba) Trade-off (wagi) różni się w zależności od trybu odpowiedzi. Wybór: natura porządkowa (leksykograficzna) Dopasowywanie: natura liczbowa (trade-off) Adaptacja strategii spójnej z proponowanym trybem odpowiedzi kryterium kosztu jest bardziej istotne w zadaniu dopasowywania Niezmienność opisowa Różne reprezentacje tego samego problemu wyboru powinny prowadzić do wyrażenia równoważnych preferencji Eksperymenty pokazują, że decydenci wyrażają różniące się między sobą preferencji w zależności od tego jak problem jest przedstawiony Efekt obramowania (ang. framing effect) Efekt prezentacji informacji (ang. information presentation effect) Przykłady: Wybór terapii silnie zależy od sposobu prezentacji (możliwość śmierci i przetrwania); Zyski i straty są postrzegane w inny sposób; Przykład z biletami do teatru (zgubione 10$ i zgubiony bilet za 10$) mental accounting effect ; decision makers tend to use information in the form it is displayed, without transforming it, as a way to conserve cognitive effort [Slovic 1972] Ceny mają większe znaczenia w sklepie, jeśli produkty są posortowane zgodnie z cenami [Russo 77]

6 Eksperyment VI: Asymetryczny efekt dominacji Kontekst decyzji (natura zbioru wariantów) Zadanie: wskaż preferowany przez Ciebie wariant (g 1 oraz g 2 są typu zysk) Obserwuje się odwrócenie preferencji wyboru najlepszego wariantu spośród {a,b,c} oraz {a,b}, gdy a dominuje c, ale b nie dominuje c Najczęściej najlepszy a ISWD: a: 16, b: 6, c: 2 (?) Bardzo często najlepszy b ISWD: a: 12, b: 12 Obecność c dostarcza argumentów za przewagą a w porównaniu z b; wpływa na jego relatywną wartość a w porównaniu z b Zmiana punktu referencyjnego V. Przekonania odnośnie niepewności Rozumowanie na temat prawdopodobieństw Rozumowanie na temat p(e) prawdopodobieństwa, że e stanie się prawdziwe; Istnieje wiele aksjomatów dotyczących prawdopodobieństw, ale ludzie często wybierają niezgodnie z nimi; Ludzie używają heurystyk w rozumowaniu o prawdopodobieństwach [Kahneman, Tversky 73] Dostępność: ocena prawdopodobieństwa zdarzenia bazuje na łatwości z jaką instancję tego zdarzenie można sobie wyobrazić; Reprezentatywność: prawdopodobieństwo zdarzenia jest oceniane zgodnie ze stopniem w jakim to zdarzenie odpowiada modelowi zdarzeń danej klasy (prawdopodobieństwa sukcesu produktu ~ podobieństwo do produktów, które odniosły sukces); Dostosowywanie: początkowe dane/odpowiedź pełni rolę wartość startowej; wykorzystanie dodatkowej informacji zmienia wartość początkowo (bardzo często w niewystarczającym stopniu) (np. predykcja sprzedaży w przyszłym roku często bazuje na sprzedaży w roku bieżącym); Eksperyment VII Masz w ręce rewolwer 6-strzałowy i grasz w rosyjską ruletkę (czyli musisz do siebie strzelić). Masz szansę zapłacić za usunięcie jednego naboju z cylindra. Ile zapłaciłbyś za redukcję liczby nabojów (wpisz kwotę ew. kolejność wysokości kwot): z 6 do 5 z 4 do 3 z 1 do 0 Zwykle badani najmniej zapłaciliby za zmniejszenie liczby nabojów z 4 do 3. ISWD: tylko 4/23 osoby Każda sytuacji odpowiada jednak zwiększeniu prawdopodobieństwa przeżycia o 1/6.

7 Portfolio loterii Teoria mówi, że jeśli loteria ma oczekiwaną wartość v, to n powtórzeń loterii ma oczekiwaną wartość nv Nie jest racjonalnie odmawiać udziału w loterii, ale akceptować jej n powtórzeń (lub odwrotnie), ale w praktyce dzieje się tak bardzo często Większość osób odmawia udziału w loterii: (+200, 0.5, -100 ), ale akceptuje portfolio kilku powtórzeń tej loterii, gdy rozkład możliwych zysków i porażek jest podany, np. dla n = 3, portfolio jest następujące (600, 0.125; 300, 0.375; 0, 0.375; -300, 0.125) i jest postrzegane jako atrakcyjne. Wraz ze wzrostem liczby powtórzeń (6-10), atrakcyjność rośnie. Sub-addytywność Eksperyment VIII Pan Dziamdziak kupił nowy samochód. Nie wiemy nic o Dziamdziaku, ale bazując na swojej wiedzy na temat proporcji samochodów różnych marek, oszacuj prawdopodobieństwo, że kupił on: marka Fiat Ford Renault Honda Inny prawd. Marka Fiat Ford Renault Honda Toyota prawd. Volkswagen Mercedes Suzuki Citroen Inny Prawdopodobieństwo przypisane innym w tabelce po lewej stronie jest znacznie mniejsze niż suma prawdopodobieństw przypisana innym oraz niewymienionym wcześniej samochodom w tabelce po prawej stronie ISWD: inny-lewa < inny+-prawa: 19/22 Czy testowani nie mają w myślach listy możliwych marek? Tak, ale jest coś jeszcze taki sam wynik uzyskuje się przy testach na osobach, które zawodowo zajmują się samochodami (dealerzy, dziennikarze) VI. Podsumowanie Decydenci nie zachowują się tak jak zakładają teorie normatywne W praktyce często biorą oni pod uwagę informacji nieistotne a ignorują informacje istotne Eksperymenty potwierdzają, że preferencje (przynajmniej częściowo) są konstruowane w momencie ich wyrażenia (a nie pobierane z master listy w umyśle decydenta) Wszystkie irracjonalne zachowanie to kamień w bucie analityka

8 I. Wprowadzenie INTEGER PROGRAMMING Program optymalizacji matematycznej, w którym niektóre lub wszystkie zmienne są ograniczone do liczb całkowitych (integer) Mixed Integer Programming niektóre, ale nie wszystkie zmienne są całkowite; NP-trudne Integer Programming, gdzie zmienne są binarne (0 lub 1) to jeden z Karp s 21 NP-complete problems Problemy ze stałą liczba zmiennych są jednak rozwiązywane w czasie wielomianowym (a nawet liniowym) II. Wykrywanie niespójności w informacji preferencyjnej Kontynuacja elicytacji informacji preferencyjnej dla problemu fun4all.com Wykrywanie niespójności w informacji preferencyjnej. Niespójność pojawia się, gdy nie ma żadnej instancji modelu preferencji, która odtwarzałaby wszystkie preferencji dostarczone przez decydenta. Z matematycznego punktu widzenia, układ ograniczeń modelujący preferencje decydenta jest wtedy sprzeczny. Aby informacja decydenta była ponownie spójna, można usunąć porównanie a 1 S a 3 lub ograniczenie na wagę w 3 Aby rozwiązać problem niespójności, należy zidentyfikować maksymalne podzbiory fragmentów informacji preferencyjnej, dla których zbiór instancji spójnych z preferencjami decydenta jest niepusty. Takich podzbiorów może być wiele i powinno przedstawić się je decydentowi, aby mógł on wskazać który zostanie usunięty.

9 III. Problem transportowy Dana jest macierz kosztów wykonania poszczególnych zadań przez poszczególnych wykonawców. Dopasuj zadania do wykonawców tak, by sumaryczny koszt ich wykonania był jak najmniejszy. i \ j W1 W2 W3 W4 Z Z Z Z Min : z m m cij xij i1 j1 m ogr. : xij 1 j1 i = 1..m*) m xij = 1 j = 1..m**) i1 1- zadanie i przydzielono do wykonawcy j xij 0 - w p.p. x ij - zmienne decyzyjne, oznaczające przydział (1) lub brak przydziału (0) zadania i do wykonawcy j. Ograniczenia gwarantują to, że każde zadanie zostanie wykonane przez jednego wykonawcy. Każdy wykonawca wykona jedno zadanie. Zadanie przydziału jest zadaniem zero-jedynkowego (0-1) programowania liniowego. Zmienne są binarne. *) ograniczenie po wszystkich wykonawcach **) ograniczenie po wszystkich zadaniach IV. Zadanie domowe Grupy: 3-4-osobowe. Czas realizacji: 14 kwietnia (wtorek do północy) Efekt pracy: rozwiązanie w przygotowanym arkuszu WWD4-Pfitzer.xls Firma Pfitzer jest jednym z wiodących producentów i dystrybutorów leków na świecie. Sytuacja firmy oraz zadanie, które stoi przed grupą ją wspomagającą (WY ) opisana jest w pliku WWD-lab4-PFITZER. Zarys sytuacji: Bezpośrednimi klientami firmy są lekarze, których regularnie odwiedzają przedstawiciele handlowi Pfitzera. Każdy przedstawiciel ma przypisany region, który składa się z kilku mniejszych jednostek geograficznych zwanych cegiełkami. Dla nich utrzymywany są dane sprzedaży, liczba lekarzy oraz ich profile, a na tej podstawie dla każdej cegiełki oblicza się jej indeks. Indeks odzwierciedla pracochłonność, która związana jest z daną cegiełką. Każdy przedstawiciel handlowy ma swoją siedzibę, którą uważana jest za centrum jego regionu. Suma cegiełek przypisanych danemu przedstawicielowi handlowemu odzwierciedla jego całkowitą pracochłonność i powinna w przybliżeniu równać się 1. Cel pierwszy: Aby utrzymać efektywność podróżowania przedstawicieli handlowych po mieście, konieczna jest minimalizacja całkowitego dystansu, który przedstawiciele handlowi muszą pokonać. Dystans taki jest mierzony przez sumę odległości pomiędzy centrum regionu danego przedstawiciela a centrami wszystkich cegiełek, które są mu przypisane. Cel drugi: W związku z dynamicznym rozwojem rynku, indeksy niektórych cegiełek zmieniają się w czasie. Dlatego też regiony przypisane poszczególnym dostawcom muszą być okresowo uaktualniane tak, by obciążenie przedstawicieli było w przybliżeniu zrównoważone. Zmiana przydziału poszczególnych cegiełek do przedstawicieli nie powinna być jednak zbyt drastyczna, bo spowodowałoby to oderwanie wielu przedstawicieli od lekarzy, z którymi zdołali już przecież nawiązać kontakty. Zadanie: Wykorzystanie Integer Progamming do znalezienia propozycji nowych przydziałów 4 przedstawicieli handlowych do 22 cegiełek, które reprezentują sytuację firmy w jednej z dzielnic Stambułu.

10 Dane są: Aktualny przydział przedstawicieli handlowych do cegiełek; Indeksy (pracochłonność) poszczególnych cegiełek; Odległości pomiędzy biurami przedstawicieli oraz centrami poszczególnych cegiełek. Wskazówki co do rozwiązania problemu. Wskazówki (częściowo) wynikające z opisu z pliku WWD-lab4-PFITZER (ułatwią Wam rozwiązanie problem, co jednak wcale nie oznacza, że można sobie odpuścić przeczytanie pliku z opisem): W problemie istnieją dwa cele: z 1 minimalizacja sumy odległości od centrów poszczególnych przedstawicieli do przypisanych im cegiełek z 2 minimalizacji tzw. oderwania, czyli liczby zmian polegających na odebraniu cegiełki jednemu przedstawicielowi i przypisaniu jej innemu (wartość funkcji celu powinna być tu zamodelowana jako średnia ważona, gdzie wagami są indeksy cegiełek (bardziej opłaca się zmienić przydział cegiełki o małej pracochłonność); otrzymamy procent, np. oderwanie=0.05, więc należy optymalizowaną wartość funkcji celu pomnożyć przez 100. Z opisu problemu wynikają też ograniczenia: Zrównoważenie sumarycznej pracochłonności poszczególnych przedstawicieli mierzonej jako suma indeksów przypisanych im cegiełek. Każda cegiełka musi być przypisana do jednego przedstawiciela. Cele z 1 oraz z 2 sa sprzeczne, tzn. nie da się znaleźć jednego rozwiązania, dla którego ich wartość byłaby jednocześnie optymalna (minimalna). Oznacza to, że gdy zoptymalizujemy z 1, to z 2 będzie dalekie od optimum i vice versa. Dlatego też interesuje nas nie jedno konkretne rozwiązania, ale szereg rozwiązać (około 10), aby decydent mógł spośród nich wybrać to, które najbardziej odpowiada jego preferencjom. W rozwiązaniach tych większą wagę będzie się przykładało albo do optymalizacji z 1 albo do optymalizacji z 2. Standardowo, aby częściowo uwzględnić obydwa cele w jednej optymalizacji, należy w funkcji celu uwzględnić jeden cel z wagą 1, a drugi z wagą ε= (mała wartość). Generację rozwiązań należy rozpocząć od znalezienie rozwiązań skrajnych, tzn. takich dla których funkcje celu są następujące: z 1 + ε z 2 (niech optymalne wartości optymalizowanych celów będą oznaczone przez z 1 1 oraz z 1 2 ); z 2 + ε z 1 (niech optymalne wartości optymalizowanych celów będą oznaczone przez z 2 1 oraz z 2 2 ). Aby wygenerować kolejne rozwiązanie, należy do ograniczeń problemu dodać nierówność: z 2 z 1 2 ε (niech ε =0.05) Zmusi to solver przy optymalizacji funkcji min z 1 - do znalezienia lepszego rozwiązania na z 2 kosztem pogorszenia rozwiązania na z 1. Aby uzyskać następne rozwiązania, w nierówności z 2 z ε, należy zmienić wartość z 2 na wartość uzyskaną przy rozwiązaniu ostatniego problemu. Proces ten należy zakończyć, gdy optymalna wartość z 2 osiągnie poziom z 2 2. W arkuszu: Pola pomarańczowe reprezentują zmienne w problemie, które mają modelować nowy przydział przedstawicieli handlowych do cegiełek - muszą być one binarne, co w Excelu ustawia się to w opcjach solvera, wprowadzając ograniczenie na wartości zmiennych. W polach czerwonych należy wprowadzić odpowiednie formuły, wynikające z analizy problemu. Jednym z głównych wyzwań jest zamodelowanie funkcji z 2 (trzeba odwołać się do starego przydziału oraz nowego przydziału, które modelowane są przez zmienne binarne i uzyskać z tego 1 - jeśli zmiana nastąpiła, lub 0 - jeśli nie nastąpiła (uwaga aby nie policzyć jednej zmiany podwójnie). W polach zielonych należy zapisywać rozwiązania ( Payoff matrix to dwa rozwiązania skrajne otrzymane z optymalizacji (z 1 + ε z 2 ) oraz (z 2 + ε z 1 ) ; natomiast Efficient solutions to rozwiązania pomiędzy tymi skrajnymi, dogenerowane przez sukcesywne ograniczenie maksymalnej wartości z 2 ; na podstawie Efficient solutions powinien powstać wykres z rozwiązania optymalnymi). W opcjach solvera ustaw Przyjmij model liniowy.

11 V. Omówienie ćwiczeń 1. Zapis problemu mieszanego programowania liniowego (MILP) dla wykrywania niespójności w informacji preferencyjnej Po lewej stronie zamodelowano preferencje decydenta w odniesieniu do funkcji użyteczności oraz wag (pomijamy monotoniczność i normalizację jako nieistotne dla tego zadania) Po prawej stronie każde ograniczenie odpowiadające pojedynczemu elementowi informacji preferencyjnej jest przepisane z wykorzystaniem zmiennej binarnej (mogącej przyjmować tylko wartości 0 lub 1; zwróć uwagę, że dla każdego ograniczenia jest inna zmienna binarna) tak, by jeśli jest ona równa 0, to mamy oryginalne ograniczenia, a jeśli 1, to ograniczenie jest relaksowane (zawsze spełnione) Minimalizacja sumy zmiennych binarnych pozwala na odkrycie minimalnego podzbioru ograniczeń, które trzeba usunąć (wskazanych przez zmienne binarne = 1) po to, aby pozostałe elementy informacji preferencyjnej (wskazane przez zmienny binarne = 0) były spójne z założonym modelem preferencji I. Identyfikacja wszystkich minimalnych podzbiorów informacji preferencyjnej powodujących niespójność Arkusz: WWD4-inconsistency.xls W zadaniu rozważany jest zbiór ośmiu ograniczeń w postaci liniowej dotyczących wartości wag w 1 i w 2 W pierwszej zakładce każde z ograniczeń przepisane jest z wykorzystaniem dedykowanej zmiennej binarnej tak, by jeśli zmienna ta była równa jeden, to ograniczenie jest relaksowane (zawsze spełnione) Funkcja celu zakłada minimalizację sumy zmiennych binarnych, aby wykryć minimalny podzbiór elementów informacji preferencyjnej powodujących niespójność. Rozwiązanie wskazuje na ograniczenie nr 2 i 3, bo zmienne binarne y2=y3=1. Minimalnych podzbiorów powodujących niespójność może istnieć więcej niż jeden. Warto zauważyć, że minimalność rozpatruje się tu z punktu widzenia definicji zbioru, a nie liczności (tzn. ograniczenia 1 i 2 oraz 2, 3 i 4 mogą być dwoma różnymi podzbiorami powodującymi niespójność o ile żaden z ich podzbiorów właściwych sam jej nie powoduje) Aby wykryć kolejne minimalne podzbiory powodujące niespójność należy zabronić znalezienia wszystkich do tej pory zidentyfikowanych. Dlatego w drugiej zakładce do zbioru ograniczeń dodajemy y2 + y3 =< 1, co wymusza, że w optymalnym rozwiązaniu y2 oraz y3 równocześnie nie mogą być 1. Solver znajduje y1=y2=1. W trzeciej zakładce oprócz y2 + y3 =< 1, dodajemy więc y1 + y2 =< 1. Solver znajduje y3=y4=y5=1. W czwartej zakładce dodajemy kolejne ograniczenie y3 + y4 + y5 =< 2. Zwróć uwagę, że po prawej stronie nierówności jest 2 (nie 1!). Rolą tego ograniczenie jest tylko i wyłącznie zapewnienie, że wszystkie te zmienne jednocześnie nie będą miały wartości 1 (tym samym y3 + y4 + y5 =< 1 byłoby zbyt restrykcyjne). W czwartej iteracji solver nie znajduje już nowego minimalnego podzbioru powodującego niespójność. 2. Wykorzystanie zmiennych binarnych do analizy odporności wyników Możliwe i konieczne relacje preferencji odnoszą się do perspektywy porównań parami w przekroju wszystkich funkcji użyteczności spójnych z preferencjami decydenta W problemach porządkowania najbardziej istotnym wynikiem jest jednak pozycja zajmowana przez wariant w rankingu Aby odkryć najwyższą możliwą pozycję w rankingu dla wariantu a 1 należy założyć, że znajduje się on na szcycie rankingu (tzn. jego użyteczność jest większa od użyteczności każdego innego wariantu z osobna), a następnie sprawdzić ile takich elementarnych porównań należy usunąć, aby uzyskać funkcję, która jest spójna z preferencjami decydenta i jednocześnie plasuje a 1 na najwyższej możliwej dla niego pozycji.

12 Identyfikacji minimalnego podzbioru wariantów, które są lepsze lub takie same od wariantu a 1 można dokonać z wykorzystaniem zmiennych binarnych (w każdym ograniczeniu unikalna zmienna, a w funkcji celu minimalizacja ich sumy) Zastanów się, jak w analogiczny sposób wyznaczyć najgorszą możliwą pozycję wariantu Zastanów się jak z wykorzystaniem zmiennych binarnych zamodelować fałsz relacji przewyższania zgodnie z założeniami metody Electre 1s (patrz lab1), które wymuszają, by albo test zgodności był niezdany albo wystąpiło veto na którymkolwiek z m kryteriów. 3. Wykorzystanie zmiennych binarnych do rozwiązania problemu transportowego W problemie transportowym analiza dotyczy przydziału wykonawców do zadań. Z każdym przydziałem skojarzony jest koszt. Optymalne rozwiązanie powinno wskazywać taki przydział, dla których sumaryczny koszt jest najniższy. Rozwiązanie problemu wymaga skojarzenie z każdym możliwym przydziałem wykonawcy do zadania unikalnej zmiennej binarnej. Zmienna taka ma być równa 1, jeśli przedział jest aktywny, lub 0 - jeśli jest nieaktywny. W funkcji celu zmienne te są przemnożone przez koszt oraz sumowane tak, by uzyskać informację, jaki jest sumaryczny koszt skojarzony z wybranymi przydziałami. Zgodnie z charakterystyką problemu, kierunek optymalizacji to minimalizacja. Ograniczenie wymuszają, by jedno zadanie było przypisane tylko jednemu wykonawcy (suma zmiennych binarnych w każdym wierszu = 1) oraz by jeden wykonawca był przypisany tylko do jednego zadania (suma zmiennych binarnych w każdej kolumnie = 1)

Autostopem przez galaiktykę: Intuicyjne omówienie zagadnień. Tom I: Optymalizacja. Nie panikuj!

Autostopem przez galaiktykę: Intuicyjne omówienie zagadnień. Tom I: Optymalizacja. Nie panikuj! Autostopem przez galaiktykę: Intuicyjne omówienie zagadnień Tom I: Optymalizacja Nie panikuj! Autorzy: Iwo Błądek Konrad Miazga Oświadczamy, że w trakcie produkcji tego tutoriala nie zginęły żadne zwierzęta,

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie programów matematycznych

Rozwiązywanie programów matematycznych Rozwiązywanie programów matematycznych Program matematyczny składa się z następujących elementów: 1. Zmiennych decyzyjnych:,,, 2. Funkcji celu, funkcji-kryterium, która informuje o jakości rozwiązania

Bardziej szczegółowo

Czym jest użyteczność?

Czym jest użyteczność? Czym jest użyteczność? W teorii gier: Ilość korzyści (czy też dobrobytu ), którą gracz osiąga dla danego wyniku gry. W ekonomii: Zdolność dobra do zaspokajania potrzeb. Określa subiektywną przyjemność,

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja wielokryterialna

Optymalizacja wielokryterialna Optymalizacja wielokryterialna Optymalizacja wielokryterialna Dział badań operacyjnych zajmujący się wyznaczaniem optymalnej decyzji w przypadku, gdy występuje więcej niż jedno kryterium Problem wielokryterialny

Bardziej szczegółowo

Podejmowanie decyzji i zarządzanie finansami. Martyna Zazga

Podejmowanie decyzji i zarządzanie finansami. Martyna Zazga Podejmowanie decyzji i zarządzanie finansami Martyna Zazga Rodzaje problemów przed jakimi stają menadżerowie Działania o charakterze badawczym i sprawczym Problem złożoności Rozpoznanie i ocena sytuacji

Bardziej szczegółowo

5. Wprowadzenie do prawdopodobieństwa Wprowadzenie Wyniki i zdarzenia Różne podejścia do prawdopodobieństwa Zdarzenia wzajemnie wykluczające się i

5. Wprowadzenie do prawdopodobieństwa Wprowadzenie Wyniki i zdarzenia Różne podejścia do prawdopodobieństwa Zdarzenia wzajemnie wykluczające się i Spis treści Przedmowa do wydania polskiego - Tadeusz Tyszka Słowo wstępne - Lawrence D. Phillips Przedmowa 1. : rola i zastosowanie analizy decyzyjnej Decyzje złożone Rola analizy decyzyjnej Zastosowanie

Bardziej szczegółowo

Gry o sumie niezerowej

Gry o sumie niezerowej Gry o sumie niezerowej Równowagi Nasha 2011-12-06 Zdzisław Dzedzej 1 Pytanie Czy profile równowagi Nasha są dobrym rozwiązaniem gry o dowolnej sumie? Zaleta: zawsze istnieją (w grach dwumacierzowych, a

Bardziej szczegółowo

9 Funkcje Użyteczności

9 Funkcje Użyteczności 9 Funkcje Użyteczności Niech u(x) oznacza użyteczność wynikającą z posiadania x jednostek pewnego dobra. Z założenia, 0 jest punktem referencyjnym, czyli u(0) = 0. Należy to zinterpretować jako użyteczność

Bardziej szczegółowo

Metoda graficzna może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład):

Metoda graficzna może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład): może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład): 1 Narysuj na płaszczyźnie zbiór dopuszczalnych rozwiazań. 2 Narysuj funkcję

Bardziej szczegółowo

Materiały dla finalistów

Materiały dla finalistów Materiały dla finalistów Malachoviacus Informaticus 2016 11 kwietnia 2016 Wprowadzenie Poniższy dokument zawiera opisy zagadnień, które będą niezbędne do rozwiązania zadań w drugim etapie konkursu. Polecamy

Bardziej szczegółowo

11. Gry Macierzowe - Strategie Czyste i Mieszane

11. Gry Macierzowe - Strategie Czyste i Mieszane 11. Gry Macierzowe - Strategie Czyste i Mieszane W grze z doskonałą informacją, gracz nie powinien wybrać akcję w sposób losowy (o ile wypłaty z różnych decyzji nie są sobie równe). Z drugiej strony, gdy

Bardziej szczegółowo

1. Eliminuje się ze zbioru potencjalnych zmiennych te zmienne dla których korelacja ze zmienną objaśnianą jest mniejsza od krytycznej:

1. Eliminuje się ze zbioru potencjalnych zmiennych te zmienne dla których korelacja ze zmienną objaśnianą jest mniejsza od krytycznej: Metoda analizy macierzy współczynników korelacji Idea metody sprowadza się do wyboru takich zmiennych objaśniających, które są silnie skorelowane ze zmienną objaśnianą i równocześnie słabo skorelowane

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl

Bardziej szczegółowo

WSPOMAGANIE DECYZJI - MIŁOSZ KADZIŃSKI LAB VIII ASSESS

WSPOMAGANIE DECYZJI - MIŁOSZ KADZIŃSKI LAB VIII ASSESS WSPOMAGANIE DECYZJI - MIŁOSZ KADZIŃSKI AB VIII ASSESS. oteria oteria = rozkład prawdopodobieństwa na zbiorze zdarzeń x (możliwych ocen wariantu) - odpowiada mu rozkład użyteczności. W praktyce, loteria

Bardziej szczegółowo

dr Anna Mazur Wyższa Szkoła Promocji Intuicja a systemy przekonań

dr Anna Mazur Wyższa Szkoła Promocji Intuicja a systemy przekonań dr Anna Mazur Wyższa Szkoła Promocji Intuicja a systemy przekonań Systemy przekonań Dlaczego mądrzy ludzie podejmują głupie decyzje? Odpowiedzialne są nasze przekonania. Przekonania, które składają się

Bardziej szczegółowo

LOGISTYKA DYSTRYBUCJI II ćwiczenia 3 WYBÓR DOSTAWCY USŁUG WIELOKRYTERIALNE MODELE DECYZYJNE. AUTOR: dr inż. ROMAN DOMAŃSKI WYBÓR DOSTAWCY USŁUG

LOGISTYKA DYSTRYBUCJI II ćwiczenia 3 WYBÓR DOSTAWCY USŁUG WIELOKRYTERIALNE MODELE DECYZYJNE. AUTOR: dr inż. ROMAN DOMAŃSKI WYBÓR DOSTAWCY USŁUG 1 LOGISTYKA DYSTRYBUCJI II ćwiczenia 3 WIELOKRYTERIALNE MODELE DECYZYJNE AUTOR: dr inż. ROMAN DOMAŃSKI METODY OCENY I WYBORU DOSTAWCÓW 2 Wybór odpowiedniego dostawcy jest gwarantem niezawodności realizowanych

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja systemów

Optymalizacja systemów Optymalizacja systemów Laboratorium Zadanie nr 3 Sudoku autor: A. Gonczarek Cel zadania Celem zadania jest napisanie programu rozwiązującego Sudoku, formułując problem optymalizacji jako zadanie programowania

Bardziej szczegółowo

Dane są następujące reguły gry losowej: losujemy jedną kartę z pełnej talii (bez jokerów) i sprawdzamy wynik:

Dane są następujące reguły gry losowej: losujemy jedną kartę z pełnej talii (bez jokerów) i sprawdzamy wynik: Elementy teorii gier Dane są następujące reguły gry losowej: losujemy jedną kartę z pełnej talii (bez jokerów) i sprawdzamy wynik: wylosowanie karty w kolorze czerwonym (kier lub karo) oznacza wygraną

Bardziej szczegółowo

Wielokryterialne wspomaganie

Wielokryterialne wspomaganie Wielokryterialne wspomaganie podejmowania decyzji Wykład ZARZĄDZANIE, I st. Maciej Wolny Wielokryterialne wspomaganie podejmowania decyzji Tytuł: Wprowadzenie do wielokryterialnego wspomagania decyzji

Bardziej szczegółowo

Plan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA?

Plan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA? /9/ Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład --9 Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów

Bardziej szczegółowo

doc. dr Beata Pułska-Turyna Zarządzanie B506 mail: mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505.

doc. dr Beata Pułska-Turyna Zarządzanie B506 mail: mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505. doc. dr Beata Pułska-Turyna Zakład Badań Operacyjnych Zarządzanie B506 mail: turynab@wz.uw.edu.pl mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505. Tel.: (22)55 34 144 Mail: student@pgadecki.pl

Bardziej szczegółowo

Programowanie dynamiczne i algorytmy zachłanne

Programowanie dynamiczne i algorytmy zachłanne Programowanie dynamiczne i algorytmy zachłanne Tomasz Głowacki tglowacki@cs.put.poznan.pl Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii

Bardziej szczegółowo

OSTASZEWSKI Paweł (55566) PAWLICKI Piotr (55567) Algorytmy i Struktury Danych PIŁA

OSTASZEWSKI Paweł (55566) PAWLICKI Piotr (55567) Algorytmy i Struktury Danych PIŁA OSTASZEWSKI Paweł (55566) PAWLICKI Piotr (55567) 16.01.2003 Algorytmy i Struktury Danych PIŁA ALGORYTMY ZACHŁANNE czas [ms] Porównanie Algorytmów Rozwiązyjących problem TSP 100 000 000 000,000 10 000 000

Bardziej szczegółowo

10. Wstęp do Teorii Gier

10. Wstęp do Teorii Gier 10. Wstęp do Teorii Gier Definicja Gry Matematycznej Gra matematyczna spełnia następujące warunki: a) Jest co najmniej dwóch racjonalnych graczy. b) Zbiór możliwych dezycji każdego gracza zawiera co najmniej

Bardziej szczegółowo

Skowrońska-Szmer. Instytut Organizacji i Zarządzania Politechniki Wrocławskiej Zakład Zarządzania Jakością. 04.01.2012r.

Skowrońska-Szmer. Instytut Organizacji i Zarządzania Politechniki Wrocławskiej Zakład Zarządzania Jakością. 04.01.2012r. mgr inż. Anna Skowrońska-Szmer Instytut Organizacji i Zarządzania Politechniki Wrocławskiej Zakład Zarządzania Jakością 04.01.2012r. 1. Cel prezentacji 2. Biznesplan podstawowe pojęcia 3. Teoria gier w

Bardziej szczegółowo

łączny czas pracy (1 wariant) łączny koszt pracy (2 wariant) - całkowite (opcjonalnie - dla wyrobów liczonych w szt.)

łączny czas pracy (1 wariant) łączny koszt pracy (2 wariant) - całkowite (opcjonalnie - dla wyrobów liczonych w szt.) 14. Zadanie przydziału z ustalonym poziomem produkcji i limitowanym czasem pracy planowanie wielkości produkcji (wersja uproszczona) Producent może wytwarzać n rodzajów wyrobów. Każdy z wyrobów można być

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE

Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.1 Opis programów Do rozwiązania zadań programowania

Bardziej szczegółowo

Zagadnienie transportowe (badania operacyjne) Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie

Zagadnienie transportowe (badania operacyjne) Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie Zagadnienie transportowe (badania operacyjne) Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie OPIS ZAGADNIENIA Zagadnienie transportowe służy głównie do obliczania najkorzystniejszego

Bardziej szczegółowo

BADANIA OPERACYJNE PROGRAMOWANIE WIELOKRYTERIALNE

BADANIA OPERACYJNE PROGRAMOWANIE WIELOKRYTERIALNE DR ADAM SOJDA Czasem istnieje wiele kryteriów oceny. Kupno samochodu: cena prędkość maksymalna spalanie kolor typ nadwozia bagażnik najniższa najwyższa najniższe {czarny*, czerwony, } {sedan, coupe, SUV,

Bardziej szczegółowo

Przykład wykorzystania dodatku SOLVER 1 w arkuszu Excel do rozwiązywania zadań programowania matematycznego

Przykład wykorzystania dodatku SOLVER 1 w arkuszu Excel do rozwiązywania zadań programowania matematycznego Przykład wykorzystania dodatku SOLVER 1 w arkuszu Ecel do rozwiązywania zadań programowania matematycznego Firma produkująca samochody zaciągnęła kredyt inwestycyjny w wysokości mln zł na zainstalowanie

Bardziej szczegółowo

Temat 1: Pojęcie gry, gry macierzowe: dominacje i punkty siodłowe

Temat 1: Pojęcie gry, gry macierzowe: dominacje i punkty siodłowe Temat 1: Pojęcie gry, gry macierzowe: dominacje i punkty siodłowe Teorię gier można określić jako teorię podejmowania decyzji w szczególnych warunkach. Zajmuje się ona logiczną analizą sytuacji konfliktu

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta

Bardziej szczegółowo

FORMUŁY AUTOSUMOWANIE SUMA

FORMUŁY AUTOSUMOWANIE SUMA Wskazówki do wykonania Ćwiczenia 1, ocena sprawdzianu (Excel 2007) Autor: dr Mariusz Giero 1. Pobierz plik do pracy. W pracy należy wykonać obliczenia we wszystkich żółtych polach oraz utworzyć wykresy

Bardziej szczegółowo

Teoria gier matematyki). optymalności decyzji 2 lub więcej Decyzja wpływa na wynik innych graczy strategiami

Teoria gier matematyki). optymalności decyzji 2 lub więcej Decyzja wpływa na wynik innych graczy strategiami Teoria gier Teoria gier jest częścią teorii decyzji (czyli gałęzią matematyki). Teoria decyzji - decyzje mogą być podejmowane w warunkach niepewności, ale nie zależą od strategicznych działań innych Teoria

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT jest specyficznym problemem z zakresu zastosowań programowania liniowego. ZT wykorzystuje się najczęściej do: optymalnego planowania transportu towarów, przy minimalizacji kosztów,

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 1 Planowanie trasy robota mobilnego w siatce kwadratów pól - Algorytm A

Ćwiczenie 1 Planowanie trasy robota mobilnego w siatce kwadratów pól - Algorytm A Ćwiczenie 1 Planowanie trasy robota mobilnego w siatce kwadratów pól - Algorytm A Zadanie do wykonania 1) Utwórz na pulpicie katalog w formacie Imię nazwisko, w którym umieść wszystkie pliki związane z

Bardziej szczegółowo

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Struktury i Algorytmy Wspomagania Decyzji Zadanie projektowe 2 Czas realizacji: 6 godzin Maksymalna liczba

Bardziej szczegółowo

WYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIENIA Problem przydziału

WYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIENIA Problem przydziału WYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIENIA Problem przydziału Problem przydziału Przykład Firma KARMA zamierza w okresie letnim przeprowadzić konserwację swoich urządzeń; mieszalników,

Bardziej szczegółowo

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych.

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących, 008/09. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. 15 listopada 008 r. Uwaga: Przyjmujemy,

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16 Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego

Bardziej szczegółowo

Excel - użycie dodatku Solver

Excel - użycie dodatku Solver PWSZ w Głogowie Excel - użycie dodatku Solver Dodatek Solver jest narzędziem używanym do numerycznej optymalizacji nieliniowej (szukanie minimum funkcji) oraz rozwiązywania równań nieliniowych. Przed pierwszym

Bardziej szczegółowo

Zagadnienie transportowe

Zagadnienie transportowe 9//9 Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów

Bardziej szczegółowo

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe.

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. 1 Zagadnienie transportowe zostało sformułowane w 1941 przez F.L.Hitchcocka. Metoda rozwiązania tego zagadnienia zwana algorytmem transportowymópracowana

Bardziej szczegółowo

SCHEMAT ROZWIĄZANIA ZADANIA OPTYMALIZACJI PRZY POMOCY ALGORYTMU GENETYCZNEGO

SCHEMAT ROZWIĄZANIA ZADANIA OPTYMALIZACJI PRZY POMOCY ALGORYTMU GENETYCZNEGO SCHEMAT ROZWIĄZANIA ZADANIA OPTYMALIZACJI PRZY POMOCY ALGORYTMU GENETYCZNEGO. Rzeczywistość (istniejąca lub projektowana).. Model fizyczny. 3. Model matematyczny (optymalizacyjny): a. Zmienne projektowania

Bardziej szczegółowo

Ekonomia. Wykład dla studentów WPiA. Wykład 3: (Nie)racjonalność wyborów

Ekonomia. Wykład dla studentów WPiA. Wykład 3: (Nie)racjonalność wyborów Ekonomia Wykład dla studentów WPiA Wykład 3: (Nie)racjonalność wyborów Gospodarka z lotu ptaka. Dobra i usługi finalne Wydatki na dobra i usługi (konsumpcja, C) Gospodarstwa domowe: dysponują czynnikami

Bardziej szczegółowo

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Politechnika Poznańska Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Joanna Józefowska POZNAŃ 2010/11 Spis treści Rozdział 1. Metoda programowania dynamicznego........... 5

Bardziej szczegółowo

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja

Bardziej szczegółowo

Dodatek Solver Teoria Dodatek Solver jest częścią zestawu poleceń czasami zwaną narzędziami analizy typu co-jśli (analiza typu co, jeśli?

Dodatek Solver Teoria Dodatek Solver jest częścią zestawu poleceń czasami zwaną narzędziami analizy typu co-jśli (analiza typu co, jeśli? Dodatek Solver Teoria Dodatek Solver jest częścią zestawu poleceń czasami zwaną narzędziami analizy typu co-jśli (analiza typu co, jeśli? : Proces zmieniania wartości w komórkach w celu sprawdzenia, jak

Bardziej szczegółowo

Microsoft EXCEL SOLVER

Microsoft EXCEL SOLVER Microsoft EXCEL SOLVER 1. Programowanie liniowe z wykorzystaniem dodatku Microsoft Excel Solver Cele Po ukończeniu tego laboratorium słuchacze potrafią korzystając z dodatku Solver: formułować funkcję

Bardziej szczegółowo

Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne

Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne Analiza zajmuje się problemami, w których pojawia się przejście graniczne. Przykładami takich problemów w matematyce bądź fizyce mogą być: 1. Pojęcie prędkości

Bardziej szczegółowo

Rozdział 7 ZARZĄDZANIE PROJEKTAMI

Rozdział 7 ZARZĄDZANIE PROJEKTAMI Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 7 ZARZĄDZANIE PROJEKTAMI 7.2. Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 7.1 Wykorzystując

Bardziej szczegółowo

Analiza wielokryterialna wstęp do zagadnienia

Analiza wielokryterialna wstęp do zagadnienia Organizacja, przebieg i zarządzanie inwestycją budowlaną Analiza wielokryterialna wstęp do zagadnienia dr hab. Mieczysław Połoński prof. SGGW 1 Wprowadzenie Jednym z podstawowych, a równocześnie najważniejszym

Bardziej szczegółowo

Systemy Wspomagania Decyzji

Systemy Wspomagania Decyzji Teoria decyzji Szkoła Główna Służby Pożarniczej Zakład Informatyki i Łączności February 5, 2016 1 Definicje 2 Normatywna teoria decyzji 3 Opisowa teoria decyzji 4 Naturalistyczny model podejmowania decyzji

Bardziej szczegółowo

-Teoria gier zajmuje się logiczną analizą sytuacji konfliktu i kooperacji

-Teoria gier zajmuje się logiczną analizą sytuacji konfliktu i kooperacji 1 -Teoria gier zajmuje się logiczną analizą sytuacji konfliktu i kooperacji 2 Teoria gier bada,w jaki sposób gracze powinnirozgrywać grę, a każdy dąży do takiego wyniku gry, który daje mu jak największą

Bardziej szczegółowo

Teoretyczne podstawy informatyki

Teoretyczne podstawy informatyki Teoretyczne podstawy informatyki Wykład 12a: Prawdopodobieństwo i algorytmy probabilistyczne http://hibiscus.if.uj.edu.pl/~erichter/dydaktyka2010/tpi-2010 Prof. dr hab. Elżbieta Richter-Wąs 1 Teoria prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO W ZAGADNIENIACH WSPOMAGANIA PROCESU PODEJMOWANIA DECYZJI

ZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO W ZAGADNIENIACH WSPOMAGANIA PROCESU PODEJMOWANIA DECYZJI Wstęp ZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO W ZAGADNIENIACH WSPOMAGANIA PROCESU PODEJMOWANIA DECYZJI Problem podejmowania decyzji jest jednym z zagadnień sterowania nadrzędnego. Proces podejmowania decyzji

Bardziej szczegółowo

Badania eksperymentalne

Badania eksperymentalne Badania eksperymentalne Analiza CONJOINT mgr Agnieszka Zięba Zakład Badań Marketingowych Instytut Statystyki i Demografii Szkoła Główna Handlowa Najpopularniejsze sposoby oceny wyników eksperymentu w schematach

Bardziej szczegółowo

Teoria gier. wstęp. 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 1

Teoria gier. wstęp. 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 1 Teoria gier wstęp 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 1 Teoria gier zajmuje się logiczną analizą sytuacji, gdzie występują konflikty interesów, a także istnieje możliwość kooperacji. Zakładamy zwykle,

Bardziej szczegółowo

Jacek Skorupski pok. 251 tel konsultacje: poniedziałek , sobota zjazdowa

Jacek Skorupski pok. 251 tel konsultacje: poniedziałek , sobota zjazdowa Jacek Skorupski pok. 251 tel. 234-7339 jsk@wt.pw.edu.pl http://skorupski.waw.pl/mmt prezentacje ogłoszenia konsultacje: poniedziałek 16 15-18, sobota zjazdowa 9 40-10 25 Udział w zajęciach Kontrola wyników

Bardziej szczegółowo

Klasyczne zagadnienie przydziału

Klasyczne zagadnienie przydziału Klasyczne zagadnienie przydziału Można wyodrębnić kilka grup problemów, w których zadaniem jest odpowiednie rozmieszczenie posiadanych zasobów. Najprostszy problem tej grupy nazywamy klasycznym zagadnieniem

Bardziej szczegółowo

Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych)

Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych) Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych) Funkcja uwikłana (równanie nieliniowe) jest to funkcja, która nie jest przedstawiona jawnym przepisem, wzorem wyrażającym zależność wartości

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

MATEMATYCZNE METODY WSPOMAGANIA PROCESÓW DECYZYJNYCH

MATEMATYCZNE METODY WSPOMAGANIA PROCESÓW DECYZYJNYCH MATEMATYCZNE METODY WSPOMAGANIA PROCESÓW DECYZYJNYCH 1. Przedmiot nie wymaga przedmiotów poprzedzających 2. Treść przedmiotu Proces i cykl decyzyjny. Rola modelowania matematycznego w procesach decyzyjnych.

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Programowanie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2015 1 / 16 Homo oeconomicus=

Bardziej szczegółowo

Wielokryterialne wspomaganie decyzji Redakcja naukowa Tadeusz Trzaskalik

Wielokryterialne wspomaganie decyzji Redakcja naukowa Tadeusz Trzaskalik Wielokryterialne wspomaganie decyzji Redakcja naukowa Tadeusz Trzaskalik W książce autorzy przedstawiają dyskretne problemy wielokryterialne, w których liczba rozpatrywanych przez decydenta wariantów decyzyjnych

Bardziej szczegółowo

O systemach D-Sight Charakterystyka

O systemach D-Sight Charakterystyka O systemach D-Sight Charakterystyka Systemy wspomagania podejmowania decyzji firmy D-Sight Nawet stosunkowo proste problemy decyzyjne wymagają wieloaspektowej (wielokryterialnej) analizy. Jest to racjonalne

Bardziej szczegółowo

Algorytm simplex i dualność

Algorytm simplex i dualność Algorytm simplex i dualność Łukasz Kowalik Instytut Informatyki, Uniwersytet Warszawski April 15, 2016 Łukasz Kowalik (UW) LP April 15, 2016 1 / 35 Przypomnienie 1 Wierzchołkiem wielościanu P nazywamy

Bardziej szczegółowo

WSPOMAGANIE DECYZJI - MIŁOSZ KADZIŃSKI LAB IV ZBIORY PRZYBLIŻONE I ODKRYWANIE REGUŁ DECYZYJNYCH

WSPOMAGANIE DECYZJI - MIŁOSZ KADZIŃSKI LAB IV ZBIORY PRZYBLIŻONE I ODKRYWANIE REGUŁ DECYZYJNYCH WSOMAGANIE DECYZJI - MIŁOSZ KADZIŃSKI LAB IV ZBIORY RZYBLIŻONE I ODKRYWANIE REGUŁ DECYZYJNYCH 1. Definicje Zbiory, które nie są zbiorami definiowalnymi, są nazywane zbiorami przybliżonymi. Zbiory definiowalne

Bardziej szczegółowo

166 Wstęp do statystyki matematycznej

166 Wstęp do statystyki matematycznej 166 Wstęp do statystyki matematycznej Etap trzeci realizacji procesu analizy danych statystycznych w zasadzie powinien rozwiązać nasz zasadniczy problem związany z identyfikacją cechy populacji generalnej

Bardziej szczegółowo

OPTYMALIZACJA HARMONOGRAMOWANIA MONTAŻU SAMOCHODÓW Z ZASTOSOWANIEM PROGRAMOWANIA W LOGICE Z OGRANICZENIAMI

OPTYMALIZACJA HARMONOGRAMOWANIA MONTAŻU SAMOCHODÓW Z ZASTOSOWANIEM PROGRAMOWANIA W LOGICE Z OGRANICZENIAMI Autoreferat do rozprawy doktorskiej OPTYMALIZACJA HARMONOGRAMOWANIA MONTAŻU SAMOCHODÓW Z ZASTOSOWANIEM PROGRAMOWANIA W LOGICE Z OGRANICZENIAMI Michał Mazur Gliwice 2016 1 2 Montaż samochodów na linii w

Bardziej szczegółowo

Skrypt 16. Ciągi: Opracowanie L6

Skrypt 16. Ciągi: Opracowanie L6 Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 16 Ciągi: 1. Ciągi liczbowe.

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja. Wybrane algorytmy

Optymalizacja. Wybrane algorytmy dr hab. inż. Instytut Informatyki Politechnika Poznańska www.cs.put.poznan.pl/mkomosinski, Andrzej Jaszkiewicz Problem optymalizacji kombinatorycznej Problem optymalizacji kombinatorycznej jest problemem

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL. sin x2 (1)

ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL. sin x2 (1) ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL 1. Problem Rozważmy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi (x 1, x 2 ): 1 x1 sin x2 x2 cos x1 (1) Nie jest

Bardziej szczegółowo

WYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIEŃ TRANSPORTOWYCH Z KRYTERIUM KOSZTÓW

WYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIEŃ TRANSPORTOWYCH Z KRYTERIUM KOSZTÓW WYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIEŃ TRANSPORTOWYCH Z KRYTERIUM KOSZTÓW Zadania transportowe Zadania transportowe są najczęściej rozwiązywanymi problemami w praktyce z zakresu optymalizacji

Bardziej szczegółowo

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0. 5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,

Bardziej szczegółowo

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas:

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas: ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. Można założyć, że przy losowaniu trzech kul jednocześnie kolejność ich wylosowania nie jest istotna. A więc: Ω = 20 3. a) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań

Bardziej szczegółowo

Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA

Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA Zad. 1 (12p.)Niech n 3k > 0. Zbadać jaka jest najmniejsza możliwa liczba krawędzi w grafie, który ma dokładnie n wierzchołków oraz dokładnie k składowych, z których

Bardziej szczegółowo

Badania operacyjne Instrukcja do c wiczen laboratoryjnych Rozwiązywanie problemów programowania liniowego z użyciem MS Excel + Solver

Badania operacyjne Instrukcja do c wiczen laboratoryjnych Rozwiązywanie problemów programowania liniowego z użyciem MS Excel + Solver Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie Wydział Techniki Morskiej i Transportu Katedra Konstrukcji, Mechaniki i Technologii Okręto w Badania operacyjne Instrukcja do c wiczen laboratoryjnych

Bardziej szczegółowo

Technologia Informacyjna Zajęcia 10. JEŻELI(warunek_logiczny; wartość_dla_prawdy; wartość_dla_fałszu)

Technologia Informacyjna Zajęcia 10. JEŻELI(warunek_logiczny; wartość_dla_prawdy; wartość_dla_fałszu) MS Excel 2007 1. JEŻELI - funkcja służąca do testowania warunków logicznych Składnia: JEŻELI(warunek_logiczny; wartość_dla_prawdy; wartość_dla_fałszu) W warunku logicznym wykorzystywane są logiczne operatory

Bardziej szczegółowo

Wstęp do sieci neuronowych, wykład 12 Łańcuchy Markowa

Wstęp do sieci neuronowych, wykład 12 Łańcuchy Markowa Wstęp do sieci neuronowych, wykład 12 Łańcuchy Markowa M. Czoków, J. Piersa 2012-01-10 1 Łańcucha Markowa 2 Istnienie Szukanie stanu stacjonarnego 3 1 Łańcucha Markowa 2 Istnienie Szukanie stanu stacjonarnego

Bardziej szczegółowo

P: Czy studiujący i niestudiujący preferują inne sklepy internetowe?

P: Czy studiujący i niestudiujący preferują inne sklepy internetowe? 2 Test niezależności chi-kwadrat stosuje się (między innymi) w celu sprawdzenia czy pomiędzy zmiennymi istnieje związek/zależność. Stosujemy go w sytuacji, kiedy zmienna zależna mierzona jest na skali

Bardziej szczegółowo

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne , centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne

Bardziej szczegółowo

OPTYMALIZACJA DYSKRETNA

OPTYMALIZACJA DYSKRETNA Temat nr a: odelowanie problemów decyzyjnych, c.d. OPTYALIZACJA DYSKRETA Zagadnienia decyzyjne, w których chociaż jedna zmienna decyzyjna przyjmuje wartości dyskretne (całkowitoliczbowe), nazywamy dyskretnymi

Bardziej szczegółowo

Obliczenia iteracyjne

Obliczenia iteracyjne Lekcja Strona z Obliczenia iteracyjne Zmienne iteracyjne (wyliczeniowe) Obliczenia iteracyjne wymagają zdefiniowania specjalnej zmiennej nazywanej iteracyjną lub wyliczeniową. Zmienną iteracyjną od zwykłej

Bardziej szczegółowo

Technologie cyfrowe. Artur Kalinowski. Zakład Cząstek i Oddziaływań Fundamentalnych Pasteura 5, pokój 4.15

Technologie cyfrowe. Artur Kalinowski. Zakład Cząstek i Oddziaływań Fundamentalnych Pasteura 5, pokój 4.15 Technologie cyfrowe Artur Kalinowski Zakład Cząstek i Oddziaływań Fundamentalnych Pasteura 5, pokój 4.15 Artur.Kalinowski@fuw.edu.pl Semestr letni 2014/2015 Zadanie algorytmiczne: wyszukiwanie dane wejściowe:

Bardziej szczegółowo

Szkice rozwiązań z R:

Szkice rozwiązań z R: Szkice rozwiązań z R: Zadanie 1. Założono doświadczenie farmakologiczne. Obserwowano przyrost wagi ciała (przyrost [gram]) przy zadanych dawkach trzech preparatów (dawka.a, dawka.b, dawka.c). Obiektami

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO czȩść II

PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO czȩść II PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO czȩść II Szkic wykładu 1 Wprowadzenie 2 3 4 5 Weryfikacja hipotez statystycznych Obok estymacji drugim działem wnioskowania statystycznego jest weryfikacja hipotez

Bardziej szczegółowo

O WYKŁADZIE TEORIA PODEJMOWANIA DECYZJI. Ignacy Kaliszewski i Dmitry Podkopaev

O WYKŁADZIE TEORIA PODEJMOWANIA DECYZJI. Ignacy Kaliszewski i Dmitry Podkopaev Zeszyty Naukowe Wydziału Informatycznych Technik Zarządzania Wyższej Szkoły Informatyki Stosowanej i Zarządzania Współczesne Problemy Zarządzania Nr 1/2009 O WYKŁADZIE TEORIA PODEJMOWANIA DECYZJI Ignacy

Bardziej szczegółowo

Eksploracja Danych. wykład 4. Sebastian Zając. 10 maja 2017 WMP.SNŚ UKSW. Sebastian Zając (WMP.SNŚ UKSW) Eksploracja Danych 10 maja / 18

Eksploracja Danych. wykład 4. Sebastian Zając. 10 maja 2017 WMP.SNŚ UKSW. Sebastian Zając (WMP.SNŚ UKSW) Eksploracja Danych 10 maja / 18 Eksploracja Danych wykład 4 Sebastian Zając WMP.SNŚ UKSW 10 maja 2017 Sebastian Zając (WMP.SNŚ UKSW) Eksploracja Danych 10 maja 2017 1 / 18 Klasyfikacja danych Klasyfikacja Najczęściej stosowana (najstarsza)

Bardziej szczegółowo

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH Transport, studia I stopnia rok akademicki 2011/2012 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Uwagi wstępne Układ liniowych równań algebraicznych można

Bardziej szczegółowo

Temat: SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH

Temat: SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH Temat: SZCOWNIE NIEPEWNOŚCI POMIROWYCH - Jak oszacować niepewność pomiarów bezpośrednich? - Jak oszacować niepewność pomiarów pośrednich? - Jak oszacować niepewność przeciętną i standardową? - Jak zapisywać

Bardziej szczegółowo

13. Teoriogrowe Modele Konkurencji Gospodarczej

13. Teoriogrowe Modele Konkurencji Gospodarczej 13. Teoriogrowe Modele Konkurencji Gospodarczej Najpierw, rozważamy model monopolu. Zakładamy że monopol wybiera ile ma produkować w danym okresie. Jednostkowy koszt produkcji wynosi k. Cena wynikająca

Bardziej szczegółowo

Zbiory, relacje i funkcje

Zbiory, relacje i funkcje Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony)

Bardziej szczegółowo

W.Stachowski Wielkości w analizie kosztowej Strona 1

W.Stachowski Wielkości w analizie kosztowej Strona 1 W.Stachowski Wielkości w analizie kosztowej Strona 1 BKPH Opis Pole BKPH (budżetowy koszt pracy według harmonogramu) zawiera skumulowane okresowe koszty według planu bazowego, poniesione do daty stanu

Bardziej szczegółowo

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014.

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. W nawiasie przy zadaniu jego występowanie w numerze zestawu Spis treści (Z1, Z22, Z43) Definicja granicy ciągu. Obliczyć granicę:... 3 Definicja granicy ciągu...

Bardziej szczegółowo

I. KARTA PRZEDMIOTU CEL PRZEDMIOTU

I. KARTA PRZEDMIOTU CEL PRZEDMIOTU I. KARTA PRZEDMIOTU 1. Nazwa przedmiotu: SYSTEMY WSPOMAGANIA DECYZJI. Kod przedmiotu: Ecs 3. Jednostka prowadząca: Wydział Mechaniczno-Elektryczny. Kierunek: Mechatronika 5. Specjalność: Techniki Komputerowe

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Informatyki zadania ze złożoności obliczeniowej z rozwiązaniami

Wstęp do Informatyki zadania ze złożoności obliczeniowej z rozwiązaniami Wstęp do Informatyki zadania ze złożoności obliczeniowej z rozwiązaniami Przykład 1. Napisz program, który dla podanej liczby n wypisze jej rozkład na czynniki pierwsze. Oblicz asymptotyczną złożoność

Bardziej szczegółowo