O klasyfikacji skończonych grup prostych

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "O klasyfikacji skończonych grup prostych"

Transkrypt

1 ROCZNIKI POLSKIEGO TOWARZYSTWA MATEMATYCZNEGO Seria II: WIADOMOŚCI MATEMATYCZNE XXXVIII(2002) C. Bagiński(Białystok) M. Łuba(Białystok) O klasyfikacji skończonych grup prostych. Wprowadzenie. Jednym z najbardziej fascynujących osiągnięć matematyki XX wieku jest zakończenie klasyfikacji skończonych grup prostych (SGP). Całość klasyfikacji można ująć w jednym, pozornie nieskomplikowanym twierdzeniu: Twierdzenie. Grupa G jest skończoną grupą prostą wtedy i tylko wtedy, gdy jest izomorficzna z jedną z następujących grup: (a)cyklicznągrupą C p zespolonychpierwiastkówstopnia pzjedynki, gdzie p jest liczbą pierwszą; (b)grupąa n permutacjiparzystychzbiorun-elementowego,n 5; (c) grupą prostą typu Liego; (d) jedną z dwudziestu sześciu sporadycznych grup prostych. Dowód tego twierdzenia jest czymś wyjątkowym w całej historii matematyki. W obecnie znanym kształcie mieści się na 0 5 tysiącach stron rozrzuconych w około 500 artykułach ponad stu autorów. Jest on zatem nie tyle dowodem konkretnego twierdzenia, co całym obszernym działem współczesnej matematyki. Zaraz po tym, gdy w lutym 98 roku wąska grupa najwybitniejszych specjalistów zaangażowanych w klasyfikację uznała, że jest ona zakończona, ukazała się książka[6], której autor, Daniel Gorenstein, zapowiedział pełną rewizję całego dowodu, mającą rozwiać wątpliwości sceptyków. Dzięki wysiłkomgorensteina( )iinnych,napoczątkulat90-tychrozpoczętorealizację projektu, którego celem jest uporządkowanie całej teorii. W ramach projektu zapowiedziano ukazanie się dwunastu tomów zawierających pełny dowód klasyfikacji, o łącznej objętości szacowanej na 3 4 tysiące stron. W latach ukazały się cztery pierwsze książki zapowiadanej serii[7]. Ogrom wykonanej pracy, piękne twierdzenia i płodne idee, jakich pełno w publikacjach poświęconych klasyfikacji SGP, wcześniej czy później odciśnie swoje piętno na innych działach matematyki, głównie algebry, teorii ( )Gorensteinzmarłw992roku.

2 38 C. Bagiński, M. Łuba liczb i kombinatoryki. Na liście tych, którzy zostawili swój ślad w teorii skończonych grup prostych nie ma nazwisk matematyków polskich. Warto więc tę tematykę popularyzować, zwłaszcza wśród ludzi rozpoczynających swoją pracę naukową lub poszukujących nowych idei w obszarach dotykających teorii grup. 2. Trochę historii. Grupy proste spełniają analogiczną rolę do tej, jaką odgrywają liczby pierwsze w teorii liczb, albo cząstki elementarne w fizyce. Wyjaśnia to twierdzenie Jordana Höldera, jeden z najstarszych wyników uzyskanych w teorii grup skończonych: Twierdzenie 2. Jeżeli G jest grupą skończoną, to istnieje w niej skończony ciąg podgrup =G 0 <G < <G n =G taki,żedla0 i n : (a)g i jestnormalnąpodgrupąwg i+ oraz (b)g i+ /G i jestgrupąprostą. Ponadto, jeśli =H 0 <H < <H m =G spełniarównieżwarunki (a)i (b),to m=nipoewentualnejzmianie numeracjih i+ /H i jestizomorficznazg i+ /G i. Skończone grupy proste są więc materiałem, z którego zbudowane są wszystkie inne grupy skończone i właśnie z tego powodu ich klasyfikacja jest tak istotna. Jej początki sięgają czasów E. Galois(8 832), który stworzył pojęciowe podstawy teorii grup, jako pierwszy sformułował pojęcie grupyprostejizauważył,żetakągrupąjestgrupaa 5 wszystkichpermutacji parzystych zbioru pięcioelementowego. Za początek systematycznej klasyfikacji należy jednak uznać rezultat C. Jordana( ) z 870 roku. W swojej książce Traité des Substitutions, pierwszej jaką kiedykolwiek napisano z teorii grup, Jordan podaje pięć nieskończonych serii skończonych nieabelowychgrupprostych.pierwsząznichjestseriagrupalternującycha n, n 5,wszystkichpermutacjiparzystychzbiorun-elementowego.Druga, torodzinaspecjalnychprojektywnychgrupliniowychpsl n (p)nadciałem p-elementowym,gdziepjestliczbąpierwsząoraz(n,p) {(2,2),(2,3)}. Pozostałeserie,togrupyortogonalneO n (p),unitarnepsu n (p)isymplektycznepsp n (p)nadciałemp-elementowym. Pierwszymi znaczącymi wynikami, które do samego końca klasyfikacji były intensywnie wykorzystywane, są powszechnie znane twierdzenia Sylowa z 872 roku. Ich niebanalny dowód wykorzystuje pojęcie działania grupy na zbiorze, a więc traktowanie grupy jako podgrupy grupy permutacji pewnego

3 O klasyfikacji skończonych grup prostych 39 zbioru. W tamtym czasie grupy skończone były rozważane przede wszystkim w takim charakterze. Taką postać mają w szczególności niełatwe w konstrukcji grupy Mathieu, odkryte w latach sześćdziesiątych XIX wieku, które później okazały się być pierwszymi sporadycznymi grupami prostymi. Mimo tych wyników stan wiedzy z teorii grup skończonych był bardzo skromny, a problematyka jeszcze przez wiele późniejszych lat niedoceniana i daleka odmodnychnurtów.dośćwspomniećoartykulea.cayleya( 2 )(patrz[9], str ),wktórymwymieniatrzy( 3 )nieizomorficznegrupyrzędu6 oraz o artykule[5], w którym tylko marginalnie wspomniano o dokonaniach w teorii grup jednej z najznamienitszych postaci tej teorii, W. Burnside a (patrz także[2]). Tematyką grup skończonych Burnside zainteresował się na początku lat dziewięćdziesiątych XIX wieku. Jego pierwsza praca opublikowana w 893 roku zawierała dowód tego, że jedyną grupą prostą, której rząd jest iloczynem czterech(niekoniecznie różnych) liczb pierwszych, jesta 5.Nawetdzisiajjesttoniełatwezadanie,jeśliuświadomićsobie,że jedynym mocniejszym rezultatem, z którego Burnside korzystał, były twierdzenia Sylowa. W ciągu kilku dalszych lat pojawiła się cała seria ważnych dla klasyfikacji wyników Burnside a, odnoszących się głównie do wpływu struktury podgrup Sylowa oraz znaczenia rzędu grupy dla jej prostoty. Odnotujmy kilka z nich, obecnie uważanych za elementarne. Twierdzenie 3.(a) Jeśli 2-podgrupa Sylowa grupy G jest cykliczna, to Gniejestprosta. (b) Jeśli p-podgrupa Sylowa P grupy G jest zawarta w centrum swojego normalizatora,toistniejenormalnapodgrupahwgtaka,żeh P={} ihp=g. (c) Jeśli G jest grupą prostą, której rząd jest iloczynem pięciu liczb pierwszych,to G {23 3 7,22 3 5, }. Na dalsze badania Burnside a znaczący wpływ miało odkrycie teorii charakterów dokonane w 896 roku. Autor tego odkrycia, Ferdynand Georg Frobenius(847 97), zajął sie teorią grup skończonych już w 880 roku publikując zręczny dowód twierdzenia Sylowa. Zainteresowania Frobeniusa teorią grup były motywowane pewnymi pytaniami z teorii liczb postawionymi w pracach Dedekinda i Kroneckera. Taką motywację miały także badania, które w końcu doprowadziły do odkrycia teorii charakterów grup skończonych,awkonsekwencji teoriireprezentacji( 4 ).SwoistywyścigBurnside a ( 2 )ArtykułukazałsięwpierwszymnumerzeAmericanJournalofMathematicsw878 roku. ( 3 )Dowolnagruparzędu6jestcyklicznaalboizomorficznazgrupąizometriitrójkąta równobocznego. ( 4 )Zaskakującymożewydaćsięfakt,iżpodstawyteoriicharakterówstworzoneprzez Frobeniusa nie wykorzystywały pojęcia liniowej czy macierzowej reprezentacji grupy i o co najmniej rok wyprzedziły pojawienie się teorii reprezentacji, co więcej, dopiero w 900 roku Burnside a wyprowadza obecnie znane naturalne zależności tych teorii(patrz[4]).

4 40 C. Bagiński, M. Łuba i Frobeniusa z przełomu XIX i XX wieku szybko ujawnił ogromne znaczenie tychteoriidlabadaniagrupskończonych( 5 ),ajejtzw.wersjamodularna, rozwinięta przez Brauera kilkadziesiąt lat później, doprowadziła do zakończenia klasyfikacji SGP. Wśród wielu twierdzeń udowodnionych przed około stu laty istnieją takie, których do dziś nie udało się udowodnić z pominięciem teorii charakterów, a wiele z nich przez dziesiątki lat opierało się innym technikom, jak chociażby twierdzenie Burnside a o rozwiązalności grup, których rząd dzieli się przez co najwyżej dwie różne liczby pierwsze. Podsumowanie dokonań pierwszego okresu klasyfikacji zamyka drugie wydanie książki Burnside a([3]) z 9 roku. Składają się na nie wyniki m.in.o.höldera,f.n.cole a,e.h.moore a,l.e.dicksonaioczywiście Burnside a oraz Frobeniusa. Oprócz wyników o charakterze ogólniejszym, jak chociażby wyżej wymienione twierdzenia Burnside a, czy dowód prostoty klasycznych grup liniowych nad dowolnymi ciałami skończonymi, podany w latach przez Dicksona, sporo uwagi poświęcono klasyfikacji grup prostych małych rzędów. Jednakże do 9 roku sklasyfikowano zaledwie te grupy proste, których rząd nie przekraczał Poszerzenie tego przedziału szło dość opornie. Do 924 roku sklasyfikowano grupy o rzędzie nie przekraczającym 6 232(z pominięciem grup prostych rzędów i6048 patrzniżejtwierdzenie5).podalszych20latachprzedziałten poszerzono do , stwierdzając, że nie istnieje grupa prosta o rzędzie należącymdoprzedziałuod6232do20000.badaniaotakimcharakterze kończy wynik M. Halla z 975 roku zawierający klasyfikację grup o rzędach nie większych od , z pominięciem kilku przypadków uzupełnianych do roku 980. Badania prowadzone przez Burnside a, a dotyczące tego, jakie liczby mogą być rzędami grup prostych, już w 895 roku doprowadziły do sformułowania hipotezy głoszącej, że nie istnieją nieabelowe grupy proste nieparzystego rzędu. Sam Burnside dostarczył wielu argumentów potwierdzających tę hipotezę. Pokazał między innymi, że Twierdzenie 4.(a) Nie istnieje nieabelowa grupa prosta, której rząd jest liczbą nieparzystą mniejszą od (b)jeśli G jestliczbąnieparzystąpodzielnąprzez3alenieprzez9,to G zawiera podgrupę normalną o indeksie 3. (c) Jeśli G jest grupą prostą nieparzystego rzędu i p jest liczbą pierwszą dzielącą G,toalbop 4,albop 3 ip 2 +p+sądzielnikami G. Metody Burnside a, oparte głównie na pojęciu transferu, kombinatorycznych spostrzeżeniach i raczej elementarnych własnościach reprezentacji, szybko wyczerpały swoją siłę, ale jego idee wyznaczyły kierunki badań ( 5 )Wewstępiedopierwszegowydaniaswojejksiążki[3]z897rokuBurnsidewyraża poważne wątpliwości co do przydatności reprezentacji liniowych w badaniach grup skończonych.

5 O klasyfikacji skończonych grup prostych 4 nawielelat,nietylkowteoriigrupskończonych.jednąznichbyłosięgnięcie do metod grup i algebr Liego, stworzonych głównie przez S. Liego, W. Killinga i E. Cartana. Burnside czerpał z nich przede wszystkim inspiracje dla rozwijania teorii reprezentacji. Jego naśladowcy w istotnym stopniu wykorzystali je do klasyfikacji SGP. Jak wspomnieliśmy wyżej, już na początku wieku L. E. Dickson dowiódł prostoty klasycznych grup liniowych. Ponadto, wykorzystując klasyfikację grup prostych Liego, podał dwie dalsze serie skończonych grup prostych, będące analogonami dwóch tzw. wyjątkowych prostych grup Liego. Do tych idei powrócono w latach pięćdziesiątych. W 955 roku ukazała się ważna praca Chevalleya, w której przedstawił głęboką analizę półprostych algebr Liego nad ciałem C liczb zespolonych, dzięki czemu znalazł ogólne analogie między grupami prostymi Liego i SGP, i podał kilka nowych, nieznanych dotąd, nieskończonych serii grup prostych. Klasyfikacja prostych grup Liego jest znana od lat dziewięćdziesiątych XIX wieku. Istniejączterynieskończonerodzinytakichgrup:A n (C),B n (C),C n (C)iD n (C) odpowiadającekolejnospecjalnymgrupomliniowymsl n (C),grupomortogonalnymnieparzystegostopniaO 2n+ (C),symplektycznymSp 2n (C)iortogonalnymstopniaparzystegoO 2n (C).Ponadtoistniejepięćwyjątkowych grupprostychliegooznaczonychsymbolamig 2 (C),F 4 (C),E 6 (C),E 7 (C) ie 8 (C).Chevalleydowiódłistnieniacałkowito-liczbowejbazywprostejalgebrze Liego, co pozwoliło mu zastąpić ciało C dowolnym ciałem skończonym i w konsekwencji uzyskał SGP będące odpowiednikami wszystkich wymienionychwyżejgrupliego.czterypierwszeserieorazg 2 (q)ie 6 (q)były już znane od czasów Dicksona. Chevalley dał ich pełną jednolitą prezentację. Wszystkie dziewięć serii znanych jest pod nazwą grup Chevalleya lub nieskręconych skończonych grup prostych typu Liego. W 959 roku R. Steinberg przeprowadził dalszą analizę metody Chevalleya. Dla niektórych grup prostych Liego istnieją ich analogony nad ciałem R liczb rzeczywistych. Steinberg dostrzegł odpowiedniki tych analogii dla grup Chevalleya i skonstruował dalsze serie SGP analogony grup Chevalleya: 2 D n (q) drugarodzinagruportogonalnychparzystegostopnia, 2 E 6 (q) i 3 D 4 (q).wtenschematsteinbergawpisująsięodkryteprzezdicksona grupyunitarne,oznaczaneodtegoczasusymbolem 2 A n (q). W96rokuR.Reezauważyłdalszeanalogiekonstruującserie 2 G 2 (3 n ) i 2 F n (2 n ).Zwróciłrównieżuwagę,żeskonstruowanew957rokugrupy Suzuki(patrzponiżej)sątakżewariacjamigrupChevalleyaB n (q),stądich obecneoznaczenie 2 B 2 (2 n ).WszystkiesiedemseriiodkrytychprzezSuzuki, Steinberga i Ree noszą nazwę skręconych grup prostych typu Liego. W 968 roku Steinberg dał jednolitą charakteryzację wszystkich szesnastuseriigruptypuliego.zauważyłmianowicie,żekażdaznichmożebyć przedstawiona jako grupa punktów stałych odpowiedniego automorfizmu grupy algebraicznej nad algebraicznym domknięciem ciała skończonego.

6 42 C. Bagiński, M. Łuba Połowa lat pięćdziesiątych była przełomową dla klasyfikacji SGP jeszcze z jednego powodu, nie mniej istotnego, niż prace Chevalleya. Podłożem dla nowych idei stały się wyniki R. Brauera dotyczące modularnych reprezentacji grup skończonych, tzn. reprezentacji liniowych nad ciałami, których charakterystyka dzieli rząd grupy. Pierwsze prace Brauera poświęcone reprezentacjom modularnym powstały w latach Zapowiedzią skuteczności idei Brauera były wyniki opublikowane na początku lat czterdziestych, dotyczące m.in. charakteryzacji skończonych grup prostych, których rząddzielisięprzezpewnąliczbępierwsząpiniedzielisięprzezp 2 orazgrup prostych, których rząd dzieli się przez dokładnie trzy różne liczby pierwsze. Wymienimy niektóre z elementarnie brzmiących rezultatów Brauera z tamtego okresu: Twierdzenie 5. Niech G będzie grupą prostą. (a)jeżeli G =566,toG =PSL 3 (3). (b)jeżeli G =6048,toG =PSU 3 (3). Twierdzenie6.JeśliGjestgrupąprostąi G =pqr m,gdziep,qir sąliczbamipierwszymi,to G =60lub G =68. Twierdzenie7.Niech Gbędziegrupąprostąi G =pq m t,gdzie p i q są liczbami pierwszymi, natomiast m i t liczbami naturalnymi, przy tym t<p.wówczas G =PSL 2 (p),gdzie p=2 n ±,p>3lub G =PSL 2 (2 n ),ip=2 n +,p>3. Cała seria znaczących prac Brauera, zarówno o charakterze ogólnym, jak i odnoszących się bezpośrednio do klasyfikacji SGP, znalazła podsumowanie na Międzynarodowym Kongresie Matematyków w 954 roku w Amsterdamie, gdzie w wygłoszonym wtedy wykładzie Brauer wyznaczył kierunki poszukiwań, które mogłyby przybliżyć klasyfikację. Do najważniejszych faktów, na których oparł swoje sugestie, należą następujące twierdzenia, pierwsze z nich udowodnione przez niego wspólnie z jego uczniem K. A. Fowlerem. Twierdzenie 8. Istnieje tylko skończona liczba skończonych grup prostych, które zawierają inwolucję o centralizatorze izomorficznym z wcześniej ustaloną grupą. Twierdzenie 9. Niech G będzie skończoną grupą prostą zawierającą inwolucję,którejcentralizatorjestizomorficznyzgl 2 (q),gdzieqjestpotęgą nieparzystejliczbypierwszej.wówczasg =PSL 3 (q),lubq=3igjest izomorficzna z grupą prostą Mathieu rzedu Idea Brauera, która z czasem przekształciła się w tzw. lokalną analizę, znalazła wielu zwolenników i ostatecznie doprowadziła do zakończenia klasyfikacji. W 957 roku M. Suzuki, prowadząc analizę grup prostych, w których

7 O klasyfikacji skończonych grup prostych 43 centralizator dowolnej inwolucji jest 2-grupą, skonstruował nieskończoną serię SGP. Udowodnił także, że grupa prosta, w której centralizator dowolnego elementu jest abelowy, musi mieć parzysty rząd. Trzy lata później W.Feit,M.HallJr.iJ.Thompsonpokazali,żewtwierdzeniuSuzukimożna zastąpić słowo przemienny słowem nilpotentny, a dalsze wysiłki W. Feita i J. Thompsona doprowadziły do udowodnienia w 962 roku hipotezy Burnside a o rozwiązalności grupy nieparzystego rzędu. Dowód o długości 257 stron, opublikowany w 963 roku, zajął cały numer czasopisma Pacific Journal of Mathematics. Lata sześćdziesiąte i początek lat siedemdziesiątych przyniosły całą serię bardzo ważnych i bardzo długich prac poświęconych klasyfikacji. Dla przykładu J. Thompson w serii sześciu prac opublikowanych w latach , o łącznej objętości 46 stron, sklasyfikował m.in. SGP,którychkażdawłaściwapodgrupajestrozwiązalna( 6 ). Twierdzenie 0. Jeśli każda właściwa podgrupa skończonej grupy prostej G jest rozwiązalna, to G jest izomorficzna z jedną z następujących grup: (a)psl 2 (p),gdziepjestliczbąpierwszą,p>3ip 2 niedzielisię przez 5; (b)psl 2 (2 p ),gdziepjestliczbąpierwszą; (c)psl 2 (3 p ),gdziepjestnieparzystąliczbąpierwszą; (d)psl 3 (3); (e)sz(2 p ),gdziepjestnieparzystąliczbąpierwszą. Z tej klasyfikacji wynika w szczególności, że Twierdzenie. Jeśli rząd skończonej grupy prostej G dzieli się przez dokładnie3różneliczbypierwszep,q,r,p<q<r,top=2,q=3ir {5,7,3,7}. Prace Brauera, a następnie Suzuki, Thompsona i innych dały możliwość identyfikacji grup o określonej wewnętrznej budowie według następującego toku myślenia. Jeśli dowolna podgrupa pewnej ustalonej rodziny podgrup grupyprostejgmaokreślonąwłasność,tognależydojednejzeznanych rodzin grup prostych albo ma takie czy inne reprezentacje permutacyjne lub liniowe, co z kolei daje możliwość jej konstrukcji jako podgrupy pewnej grupy liniowej, podgrupy grupy permutacji o pewnych dodatkowych własnościach lub automorfizmów swoistych obiektów kombinatorycznych. Np. w dwóch obszernych pracach D. Gorenstein i J. H. Walter udowodnili, że Twierdzenie 2. Jeżeli 2-podgrupy Sylowa skończonej grupy prostej G sągrupamidihedralnymi,togjestizomorficznazpsl 2 (q)dlanieparzystegoqlubg =A 7. ( 6 )ZatęseriępracJ.ThompsonotrzymałMedalFieldsanaMiędzynarodowymKongresie Matematyków w 974 roku.

8 44 C. Bagiński, M. Łuba Taka analiza pozwoliła także na uzupełnienie listy skończonych grup prostych listą tzw. sporadycznych grup prostych, tzn. takich grup, które nie występują w żadnej z nieskończonych serii SGP. W 895 Cole, w czasie prac nad opisem tranzytywnych grup permutacji, odkrył nieznaną wcześniej grupę prostą. Okazało się jednak, że była to jedna z pięciu tranzytywnych grup permutacji odkrytych w 86 roku przez E. Mathieu. Pozostałe cztery grupy również okazały się grupami prostymi. Ustalił to na przełomie lat Miller. Najmniejsza z grup Mathieu M marząd7920,natomiastrządnajwiększejm 24 przekracza240milionów. Grupy Mathieu okazały się pierwszymi, których nie dało się zaliczyć do żadnej nieskończonej rodziny grup prostych. Następną grupę sporadyczną znalazł dopiero w 966 roku Zvonimir Janko analizując lokalną strukturę grup prostych, których każda 2-podgrupa Sylowa jest abelowa, a pewna inwolucjamacentralizatorizomorficznyzz 2 PSL 2 (q).wciągunastępnych dziesięciu lat listę tą uzupełniono o kolejnych dwadzieścia grup. Ostatnią z grup sporadycznych, jakie znaleziono, okazała się grupa o monstrualnym rzędzierównym Ztego powodu nazwano ją grupą Monstrum(Monster group). Jej konstrukcja oraz dowód jednoznaczności zakończył klasyfikację SGP. Kwestia jednoznaczności grup ustalonego rzędu stanowiła istotny fragment klasyfikacji. Już Dickson pokazał, że istnieje nieskończenie wiele par nieizomorficznych grup prostych o równych rzędach. Najmniejszą z takich parjest(psl 3 (4),A 8 )rzędu2060,awspólnyrządgrupnastępnejpary jest równy Poniższe twierdzenie podaje nieskończoną listę takich par. Twierdzenie3.Dladowolnejliczbynaturalnejnmamy PSp 2n (q) = PΩ 2m+ (q).ponadto,jeślim 3,toPSp 2n (q) =PΩ2m+ (q)( 7 ). Lista par nieizomorficznych grup prostych tego samego rzędu, podana przez Dicksona, okazała się kompletna, wraz z zakończeniem klasyfikacji. W trakcie prac nad klasyfikacją SGP postawiono wiele innych uzupełniających pytań, na które odpowiedź znaleziono wraz z jej zakończeniem. Oto odpowiedzi na niektóre z nich. Twierdzenie 4. Grupa automorfizmów zewnętrznych skończonej grupy prostej jest rozwiązalna. Twierdzenie 5. Jeśli skończona grupa G ma automorfizm bez punktów stałych,togjestrozwiązalna. Twierdzenie 6. Każda skończona grupa prosta ma 2-elementowy zbiór generatorów. ( 7 )Znaczeniesymbolijestpodanewnastępnymrozdziale.

9 O klasyfikacji skończonych grup prostych 45 Twierdzenie 7. Jeśli G jest 4-tranzytywną prostą grupą permutacji, togjestizomorficznaza n,n 5,lubzjednązgrupprostychMathieu różnychodm 22. Wiele nowych wyników uzyskiwanych w teorii grup skończonych odwołuje się do twierdzenia klasyfikacyjnego, jak choćby rozwiązanie Osłabionego Problemu Burnside a([2]), za które E. Zelmanov otrzymał Medal Fieldsa w 994 roku. Jednakże istnieje całkiem spora grupa specjalistów, którzy z rezerwą odnoszą się do klasyfikacji sugerując, że jeśli nawet Twierdzenie zawiera pełną listę SGP, to istnieją luki w dowodzie. Trudno tych wątpliwości nie podzielać, skoro od zapowiedzi przedstawienia zwartej prezentacji dowodu upłynęło już dwadzieścia lat, a z zapowiadanej serii monografii ukazała się zaledwie jedna trzecia. Więcej na temat historii klasyfikacji SGP, w nieco bardziej specjalistycznym języku, można znaleźć w artykule[], który ukazał się już po wysłaniu niniejszego opracowania do Redakcji Wiadomości Matematycznych. Na początku artykułu R. Solomon zapowiada ukazanie się pracy M. Aschbachera i S. D. Smitha wyjaśniającej ostatnie merytoryczne wątpliwości. Solomon uznaje ją za ostateczne zakończenie klasyfikacji SGP. 3. Skończone grupy proste. W miarę przejrzysta prezentacja skończonych grup prostych w krótkim artykule przeglądowym adresowanym do szerszego odbiorcy nie jest łatwa, jeżeli w ogóle możliwa. Nie udało się nam znaleźć zadowalającego sposobu na taką prezentację, dlatego ograniczymy się do pobieżnego przedstawienia tylko niektórych aspektów na podstawie [6]i[7]. 3.. Nieskończone serie grup prostych. Tabela zawiera pełną listę nieskończonych serii SGP wraz z rzędami poszczególnych grup. Dwie pierwsze serie nie wymagają przedstawiania, ponieważ w kursowych wykładach algebry na ogół podawany jest opis ich podstawowych własności. Następne szesnaście serii to grupy typu Liego. Parametrami decydującymi o rzędzie grupysąstopieńnorazmocqskończonegociała F q.dlagrupoznaczonych symbolami F i G parametr n przyjmuje tylko jedną wartość(odpowiednio 4i2),adlagrupoznaczonychsymbolemE trzywartości:6,7lub8. Wszystkie grupy typu Liego można skonstruować jako grupy ilorazowe odpowiedniejpodgrupygrupymacierzystopniannadciałem F q.grupywymienione w pierwszych dziewięciu seriach nazywają się grupami Chevalleya lub nieskręconymi grupami prostymi typu Liego. Jednolity opis tych grup jako analogonów prostych grup Liego nad ciałem C jest podany w[2]. GrupaSL n (q)jestzbioremwszystkichmacierzystopniannadciałem q-elementowym, których wyznacznik jest równy. Ma ona na ogół nietrywialne centrum, złożone z macierzy skalarnych o wyznaczniku. Grupa A n (q)=psl n (q)jestgrupąilorazowągrupysl n (q)przezjejcentrum.

10 46 C. Bagiński, M. Łuba Tabela. Nieskończone serie skończonych grup prostych Oznaczenie Inne używane Rząd grupy oznaczenia Z p A n,n 5 Alt n 2 n! A n (q),n 2 PSL n(q),l n(q), L + n(q) B n(q),n 2 PΩ 2n+ (q),ω 2n+ (q) C n(q),n 2 PSp 2n (q) D n(q),n 3 PΩ + 2n (q),d+ n(q) E 6 (q) E + 6 E 7 (q) (n,q )(q ) p n i=0 (qn q i ) (2,q ) qn2 n i= (q 2i ) (2,q ) qn2 n i= (q 2i ) (4,q n ) qn(n ) (q n ) n i= (q2i ) (3,q ) q36 (q 2 )(q 5 )(q 6 )(q 8 ) (q 9 )(q 2 ) (2,q ) q63 (q 2 )(q 6 ) (q 8 )(q 0 )(q 2 ) (q 4 )(q 8 ) E 8 (q) q 20 (q 2 )(q 8 )(q 2 ) (q 4 ) (q 8 ) (q 20 )(q 24 )(q 30 ) F 4 (q) q 24 (q 2 )(q 6 )(q 8 )(q 2 ) G 2 (q) q 6 (q 2 )(q 6 ) 2 A n(q),n 2 PSU n+ (q),u n+ (q), L n+ (q) qn(n+) 2 n+ (n+,q+) i=2 (qi ( ) i ) 2 B 2 (q),q=2 2n+ Sz(q), 2 B 2 ( q) q 2 (q )(q 2 +) 2 D n(q),n 2 PΩ 2n (q),d n(q) (4,q n +) qn(n ) (q n +) n i= (q2i ) 3 D 4 (q) q 2 (q 2 )(q 6 )(q 8 +q 4 +) 2 G 2 (q),q=3 2n+ R(q), 2 G 2 ( q) q 3 (q )(q 3 +) 2 F 4 (q),q=2 2n+ 2 F 4 ( q) q 2 (q )(q 3 +)(q 4 )(q 6 +) 2 E 6 (q) E6 (q) (3,q+) q36 (q 2 )(q 5 +)(q 6 )(q 8 ) (q 9 +)(q 2 ) Grupę ortogonalną można zdefiniować jako podgrupę ogólnej grupy liniowejgl n (q),złożonąztychmacierzy,któredziałającnan-wymiarowej przestrzeniliniowejnadf q niezmieniająwartościustalonejniezdegenerowanej formy kwadratowej. Wszystkie formy kwadratowe nad ciałem liczb

11 O klasyfikacji skończonych grup prostych 47 zespolonych są równoważne i dlatego dla dowolnej liczby naturalnej n grupa SO n (C)macierzyortogonalnychowyznacznikujestokreślonajednoznacznie.NadciałamiskończonymiF q istniejązawszedwienierównoważneformy kwadratowe, wyznaczające dwie grupy macierzy ortogonalnych o wyznacznikuoznaczanesymbolamiso + n(q)iso n(q).dlaparzystychwartościn te grupy są nieizomorficzne, dla nieparzystych wartości n pokrywają się isąoznaczanesymbolemso + n (q)(lubso n(q)).grupytenaogółniesą proste.ichkomutantyoznaczamysymbolamiω + (q)iω (q),przyczym SO ± n (q):ω± (q) =,2lub4.CentrumgrupyΩ ± (q)jesttrywialnelub dwuelementowe. Jej grupa ilorazowa przez centrum jest oznaczana symbolami,odpowiednio,pω + (q)ipω (q),ijestgrupąprostą.otrzymujemy zatem trzy różne serie: B n (q)=pω 2n+ (q), D n (q)=pω + 2n (q), 2 D n (q)=pω 2n (q). Pierwsze dwie serie należą do nieskręconych grup typu Liego, a ostatnia do skręconych grup typu Liego, do których nawiążemy nieco dalej. GrupyC n (q)=psp n (q)definiowanesąanalogicznie.wogólnejgrupie liniowejrozważamypodgrupęsp n (q)wszystkichmacierzysymplektycznych, tzn. takich, które działając na przestrzeni symplektycznej, tzn. przestrzeni liniowej wraz z określoną na niej niezdegenerowaną dwuliniową formą alternującą,niezmieniająwartościtejformy.grupailorazowagrupysp n (q) przezjejcentrumjestgrupąc n (q). Pozostałe pięć serii grup Chevalleya, to analogony wyjątkowych grup prostych Liego nad C. Dladowolnegociałaskończonego F q 2,mającegoq 2 elementów,odwzorowanieϕ:x x q jestautomorfizmemrzędu2.wgrupiegl n (q 2 )rozważmy podgrupęgu n (q)elementówstałychzewzględunadziałanieautomorfizmu α tej grupy zdefiniowanego wzorem () α(x)=((x) t ), gdzie X jest macierzą, której wyrazy są obrazami odpowiednich wyrazów macierzyxzewzględunadziałanieautomorfizmuϕ,natomiasty Y t jest operacją transponowania macierzy. Nazywamy ją grupą unitarną. Niech SU n (q)=gu n (q) GL n (q 2 )i 2 A n (q)=psu n (q)będziejejgrupąilorazową przez jej centrum. Jest to grupa prosta należąca do skręconych grup prostych typu Liego. Analogiczne postępowanie pozwala otrzymać wspomniany wcześniejskręconywariant 2 D n (q)grupyortogonalnejzgrupyd 2n (q)oraz grupę 2 E 6 (q)zgrupye 6 (q).tąsamądrogąotrzymujemyrównieżgrupę 3 D 4 (q)zgrupyd 4 (q)zastępującautomorfizmϕautomorfizmemrzędu3 ciałaf q 3danegowzoremx x 3. SkręconewariantygrupB n (q),f 4 (q)ig 2 (q)istniejątylkodlaszczególnych wartości n i q. Odpowiedni automorfizm zadany wzorem() można znaleźćtylkowprzypadkachn=2,q=2 2k+ dlagrupyb n (q),q=2 2k+

12 48 C. Bagiński, M. Łuba dlagrupyf 4 (q)iq=3 2k+ dlagrupyg 2 (q).wpierwszymprzypadku otrzymujemygrupysuzukisz(2 2k+ )= 2 B 2 ( 2 2k+ ),awdwóchpozostałych grupyree 2 F 4 (2 2n+ )ir(3 2k+ )= 2 G 2 ( 3 2k+ ).Odnotujmy,że grupęsuzukisz(2 2k+ )możnazdefiniowaćjakopodgrupęgrupyb 2 (2 2k+ ) generowaną przez wszystkie macierze postaci a 0 0 a +θ +b a θ 0 a 2+θ +ab+b θ b a orazmacierzedonichtransponowane,gdziea,b,c F 2 2k+,natomiastθjest automorfizmemciała F 2 2k+takim,żeθ 2 =2(tzn.x θ2 =x 2 dlax F 2 2k+) Sporadyczne grupy proste. Prezentacja dwudziestu sześciu sporadycznych grup prostych jest nie mniej trudna, niż grup typu Liego. Dlatego także ograniczymy się do ich pobieżnego scharakteryzowania. Chętnych do zapoznania się z jednolitym opisem wszystkich sporadycznych SGP odsyłamydo[]. Wszystkie sporadyczne grupy proste, oprócz grup Mathieu, były odkrywane w kilku etapach. Najpierw, na podstawie pewnej konkretnej własności już znanych grup prostych, próbowano rozstrzygnąć problem opisu wszystkich grup prostych mających tę własność. To prowadziło czasami do obserwacji sugerujących istnienie, oprócz znanych grup, jeszcze innych grup prostych. Konkretyzacja tych obserwacji doprowadzała do opisu kluczowych wewnętrznych własności ewentualnej nowej grupy prostej, w tym własności p-podgrup Sylowa, rzędu grupy, czasami jej tablicy charakterów itd. Te własności z kolei stanowiły podstawę do konstrukcji grupy, tzn. jej realizacji jako grupy automorfizmów pewnej struktury, podgrupy ogólnej grupy liniowej, czy też podgrupy grupy permutacji. Ostatnim aktem odkrycia był dowód tego, że własności opisane jeszcze przed konstrukcją jednoznacznie określają nową grupę prostą. W latach E. Mathieu odkrył pięć k-tranzytywnych grup permutacji,k >2,nieizomorficznychanizgrupamisymetrycznymiS n ani alternującymia n.przypomnijmy,żepodgrupaggrupys(x)wszystkich permutacji zbioru X jest k-tranzytywna, jeśli dla dowolnych różnowartościowychciągów(x,x 2,...,x k )i(y,y 2,...,y k )elementówzbioruxistnieje elementg G,któryprzeprowadzaelementx i naelementy i,i=,...,k. OczywiściegrupasymetrycznaS n jestk-tranzytywnadladowolnegok n. Możnatakżełatwodowieść,żedladowolnegok n 2,k-tranzytywnajest takżegrupaalternującaa n. NaprzełomieXIXiXXwiekuokazałosię,żegrupytesąprosteinie należą do żadnej ze znanych wtedy, nieskończonych serii skończonych grup

13 O klasyfikacji skończonych grup prostych 49 Tabela 2. Sporadyczne grupy proste Oznaczenie Nazwa Rząd Data odkrycia M Mathieu M 2 Mathieu M 22 Mathieu M 23 Mathieu M 24 Mathieu J Janko J 2 Janko J 3 Janko J 4 Janko HS Higman Sims Mc McLaughlin Suz Suzuki Ly Lyons He Held Ru Rudvalis ON O Nann Co 3 Conway Co 2 Conway Co Conway M(22) Fischer M(23) Fischer M(24) Fischer F 3 Thompson F 5 Harada F 2 BabyMonster F Monster prostych.oznaczonojesymbolamim,m 2,M 22,M 23 im 24,gdziewskaźnik oznacza najmniejszy ze stopni grupy symetrycznej, w której dana grupa jest zawarta.

14 50 C. Bagiński, M. Łuba GrupyM im 23 sągrupami4-tranzytywnymi,natomiastgrupym 2 im 24 sągrupami5-tranzytywnymi.grupymathieusąjedynymiznanymi grupami4-i5-tranzytywnymi.niewiadomo,czydlak>5istniejągrupy k-tranzytywne nieizomorficzne ani z grupami symetrycznymi ani z alternującymi. GrupyMathieumożnaopisaćnawielesposobów.W[6]i[0]podane są permutacje odpowiednich grup symetrycznych generujące poszczególne grupy Mathieu. Np. Twierdzenie8.M 23 = d,e im 24 = d,e,f,gdzied,e,foznaczają następujące permutacje: d=(,2,3,4,5,6,7,8,9,0,,2,3,4,5,6,7,8,9,20,2,22,23), e=(3,7,0,7,9)(5,4,3,4,9)(,2,23,8,8)(2,6,5,20,22), f =(, 24)(2, 23)(3, 2)(4, 6)(5, 8)(6, 0)(7, 20)(8, 4)(9, 2)(, 7) (3,22)(9,5). Inny opis tych grup wykorzystuje pojęcie systemu trójek Steinera. Systemem Steinera S(k, m, n) na zbiorze n-elementowym Ω nazywamy taką rodzinęm-elementowychpodzbiorówzbioruω,złożonąz ( n m ) k)/( k podzbiorów takich, że każdy k-elementowy podzbiór zbioru Ω zawiera się w dokładnie jednym z podzbiorów tej rodziny. Twierdzenie 9. Istnieją jednoznacznie określone systemy trójek Steinera takie, że S(5,6,2), S(5,8,24), S(4,5,), S(4,7,23), S(3,6,22) Aut(S(5,6,2))=M 2, Aut(S(5,8,24))=M 24, Aut(S(4,5,))=M, Aut(S(4,7,23))=M 23, Aut(S(3,6,22))=Aut(M 22 ). Odnotujmy,żeM 22 mawgrupieaut(m 22 )indeks2. W 965 roku Z. Janko, analizując rodzinę grup prostych odkrytych przez Ree, odkrył pierwszą po grupach Mathieu sporadyczną grupę prostą. Każda grupatypureemacentralizator pewnejinwolucjiizomorficznyzz 2 PSL 2 (3 n ),ajej2-podgrupasylowajestizomorficznazelementarnągrupą abelową rzędu 8. Janko zbadał wszystkie grupy proste, które zawierają centralizatorinwolucjiizomorficznyzz 2 PSL 2 (p n ),aich2-podgrupysylowa sąizomorficznezz 2 Z 2 Z 2.Wrezultacieustalił,żealbop=3igrupajest typuree,albop n =5,grupamarząd75560imajednoznacznieokreśloną tablicę charakterów. Wynikiem jego rozważań jest następujące twierdzenie:

15 O klasyfikacji skończonych grup prostych 5 Twierdzenie 20. Jeżeli G jest grupą prostą z abelowymi 2-podgrupami Sylowarzędu8icentralizatorpewnejiwolucjiwGjestizomorficznyzZ 2 L 2 (5),to (a) G jest jednoznacznie określoną grupą prostą rzędu (b)gjestizomorficznazpodgrupągrupygl 7 ()generowanąprzezmacierzey izrzędu7i5: Y= , Z= Dla dowodu istnienia opisanej grupy należało jeszcze pokazać, że grupa Y, Z ma własności opisane w punkcie(a) powyższego twierdzenia. Nie było tołatwezadanie.dowiódłichm.a.wardjeszczew966roku. Dzięki idei wykorzystanej przez Z. Janko, polegającej na opisie własności grup prostych, w których centralizator pewnej inwolucji ma z góry zadaną postać, odkryto jeszcze 0 dalszych sporadycznych grup prostych: pozostałegrupyjankoj 2,J 3 ij 4,grupyHeldaHe,LyonsaLy,O NannaON, ThompsonaF 3,HaradyF 5,FisheraF 2 (BabyMonster)iGriessa FisheraF (Monster). Opis własności nowej grupy prostej, utożsamiany w literaturze z jej odkryciem, wyprzedzał jej konstrukcję i dowód jednoznaczności nawet okilkalat.dlaprzykładuopisgrupyj 4 zostałpodanyw975roku,adowód jednoznaczności w 980. Podobnie było z grupą Monster, która wśród wszystkich sporadycznych grup prostych charakteryzuje się największym rzędem i zawiera izomorficzne kopie dziewiętnastu pozostałych grup sporadycznych w charakterze podgrup lub grup ilorazowych jej podgrup. Są to: pięć grup Mathieu,trzygrupyConway a,suz,j 2,HS,Mc,He,F 2,F 3,F 5 oraz trzy grupy Fischera. Pierwsze ślady istnienia grupy Monster zostały odkryte niezależnie przez Amerykanina R. L. Griessa i Niemca B. A. Fischera w 974 roku. Zaraz potem dowiedziono, że każda nietrywialna reprezentacja liniowa tejgrupymastopieńniemniejszyniż96883,przyczymjestbardzoprawdopodobne, że reprezentacja o takim stopniu istnieje. W 980 roku Griess skonstruował grupę Monster jako grupę automorfizmów pewnej przemiennej

16 52 C. Bagiński, M. Łuba algebry o tym wymiarze. Jak wspomnieliśmy w poprzednim rozdziale, dowód jednoznaczności grupy Monster zakończył klasyfikację SGP. GrupyJ 2 ihjskonstruowalim.hallid.walesjakoprymitywnegrupy permutacji rangi 3(tzn. grupy permutacji pewnego skończonego zbioru Ω, której stabilizator dowolnego punktu należącego do Ω jest podgrupą maksymalną działającą tranzytywnie na trzech rozłącznych podzbiorach, na które rozpada się Ω). Intensywne badania, wywołane przez te konstrukcje, doprowadziły do odkrycia grup Higmana Simsa HS, Suzuki Suz, McLaughlinaMciRudvalisaRu. GrupyFischeraM(22),M(23)iM(24) zostałyodkrytewramachcharakteryzacji grup skończonych generowanych przez klasę sprzężoności inwolucjitaką,żeiloczyndwóchdowolnychelementówtejklasymarząd,2 lub3.wartododać,żegrupafischeraf 2,zwanaBabyMonster,możebyć otrzymana w ramach podobnej charakteryzacji nieco szerszej klasy grup, a mianowicie grup generowanych przez klasę sprzężoności inwolucji, dla którejiloczyndwóchdowolnychelementówmarząd,2,3lub4. Odnotujmy na koniec, że J. Conway odkrył swoje trzy sporadyczne grupy proste analizując grupę automorfizmów tzw. kraty Leecha o wymiarze 24. Bibliografia []M. Aschbacher, SporadicGroups,CambridgeUniv.Press,Cambridge,994. [2]C. Bagiński, OproblemachBurnside a,wiadom.mat.33(997), [3]W. Burnside, TheoryofGroupsofFiniteOrder,CambridgeUniv.Press,Cambridge, 9. [4]C.W. Curtis, PioniersofRepresentationTheory:Frobenius,Burnside,Schur, and Brauer, Amer. Math. Soc., London Math. Soc., 999. [5]A.R. Forsyth, WilliamBurnside,J.LondonMath.Soc.3(928), [6]D. Gorenstein, FiniteSimpleGroups.AnIntroductiontoTheirClassification, Plenum Press, New York, London, 982. [7]D. Gorenstein, R. Lyons, R. Solomon, TheClassificationoftheFinite SimpleGroupsI,II,III,Amer.Math.Soc.SurveysandMonographs40,Providence, Rhode Island( ). [8]B. Huppert, EndlicheGruppenI,Springer,Berlin,Heidelberg,NewYork,967. [9]T.Y. Lam, Representationsoffinitegroups:ahundredyears,PartI,II,Notices Amer. Math. Soc. 45(998), no. 3-4, [0]J. Mozrzymas, Zastosowaniateoriigrupwfizyce,PWN,Wrocław,976. []R.Solomon, Abriefhistoryoftheclassificationofthefinitesimplegroups,Bull. Amer. Math. Soc. 38(200), no. 3, [2]R. Steinberg, LecturesonChevalleyGroups,YaleUniv.,967.

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi.

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi. Grupy. Permutacje 1 1 Definicja grupy Niech G będzie zbiorem. Działaniem na zbiorze G nazywamy odwzorowanie (oznaczane, jak mnożenie, przez ) przyporządkowujące każdej parze uporządkowanej (a, b) G G element

Bardziej szczegółowo

Teoria ciała stałego Cz. I

Teoria ciała stałego Cz. I Teoria ciała stałego Cz. I 1. Elementy teorii grup Grupy symetrii def. Grupy Zbiór (skończony lub nieskończony) elementów {g} tworzy grupę gdy: - zdefiniowana operacja mnożenia (złożenia) g 1 g 2 = g 3

Bardziej szczegółowo

... [a n,b n ] kn [M 1,M 2 ], gdzie a i M 1, b i M 2, dla i {1,..., n}. Wówczas: [a 1,b 1 ] k 1. ... [a n,b n ] kn =(a 1 b 1 a 1

... [a n,b n ] kn [M 1,M 2 ], gdzie a i M 1, b i M 2, dla i {1,..., n}. Wówczas: [a 1,b 1 ] k 1. ... [a n,b n ] kn =(a 1 b 1 a 1 4. Wykład 4: Grupy rozwiązalne i nilpotentne. Definicja 4.1. Niech (G, ) będzie grupą. Wówczas (1) ciąg podgrup grupy G zdefiniowany indukcyjnie wzorami G (0) = G, G (i) =[G (i 1),G (i 1) ], dla i N nazywamy

Bardziej szczegółowo

Notatki do wykładu Geometria Różniczkowa I

Notatki do wykładu Geometria Różniczkowa I Notatki do wykładu Geometria Różniczkowa I Katarzyna Grabowska, KMMF 1 listopada 013 1 Odwzorowanie styczne i cofnięcie formy cd: 1.1 Transport pola wektorowego i cofnięcie formy W poprzednim paragrafie

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

Zadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d)

Zadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d) Matemaryka dyskretna - zadania Zadanie 1. Opisać zbiór wszystkich elementów rangi k zbioru uporządkowanego X dla każdej liczby naturalnej k, gdy X jest rodziną podzbiorów zbioru skończonego Y. Elementem

Bardziej szczegółowo

Systemy baz danych. Notatki z wykładu. http://robert.brainusers.net 17.06.2009

Systemy baz danych. Notatki z wykładu. http://robert.brainusers.net 17.06.2009 Systemy baz danych Notatki z wykładu http://robert.brainusers.net 17.06.2009 Notatki własne z wykładu. Są niekompletne, bez bibliografii oraz mogą zawierać błędy i usterki. Z tego powodu niniejszy dokument

Bardziej szczegółowo

Paweł Gładki. Algebra. http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/

Paweł Gładki. Algebra. http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Paweł Gładki Algebra http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Konsultacje: Środa, 14:00-15:00 Jeżeli chcesz spotkać się z prowadzącym podczas konsultacji, postaraj się powiadomić go o tym przed lub po zajęciach,

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm

Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm 1 Grupa ilorazowa Niech H b edzie dzielnikiem normalnym grupy G. Oznaczmy przez G/H zbiór wszystkich warstw lewostronnych grupy G wzgl edem podgrupy

Bardziej szczegółowo

Grupa klas odwzorowań powierzchni

Grupa klas odwzorowań powierzchni Grupa klas odwzorowań powierzchni Błażej Szepietowski Uniwersytet Gdański Horyzonty matematyki 2014 Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki 2014 1 / 36 Grupa klas odwzorowań

Bardziej szczegółowo

Historia kwadratów magicznych

Historia kwadratów magicznych Kwadraty magiczne Magiczne kwadraty to liczby tak ułożone, że suma każdej kolumny i rzędu jest równa tej samej liczbie. Składają się one z czterech lub więcej pól. Najpopularniejsze maja 9 lub 16 pól.

Bardziej szczegółowo

Działanie grupy na zbiorze

Działanie grupy na zbiorze Działanie grupy na zbiorze Definicja 0.1 Niech (G, ) będzie dowolną grupą oraz X niepustym zbiorem, to odwzorowanie : G X X nazywamy działaniem grupy G na zbiorze X jeślinastępujące warunki są spełnione:

Bardziej szczegółowo

Algebra. Wykłady dla Studiów Doktoranckich. Kazimierz Szymiczek

Algebra. Wykłady dla Studiów Doktoranckich. Kazimierz Szymiczek Algebra Wykłady dla Studiów Doktoranckich Kazimierz Szymiczek 29.11.2010 Spis treści Przedmowa v 1 Grupy 1 1.1 Grupy, podgrupy, homomorfizmy.................... 1 1.1.1 Definicja i przykłady grup....................

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

Probabilistyczne podstawy statystyki matematycznej. Dr inż. Małgorzata Michalcewicz-Kaniowska

Probabilistyczne podstawy statystyki matematycznej. Dr inż. Małgorzata Michalcewicz-Kaniowska Probabilistyczne podstawy statystyki matematycznej Dr inż. Małgorzata Michalcewicz-Kaniowska 1 Zdarzenia losowe, algebra zdarzeń Do podstawowych pojęć w rachunku prawdopodobieństwa zaliczamy: doświadczenie

Bardziej szczegółowo

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011 Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2011 1 / 16 Definicja Niech V,

Bardziej szczegółowo

Grupy. Rozdział 1. 1.1 Grupy, podgrupy, homomorfizmy. 1.1.1 Definicja i przykłady grup

Grupy. Rozdział 1. 1.1 Grupy, podgrupy, homomorfizmy. 1.1.1 Definicja i przykłady grup Rozdział 1 Grupy Ostatnie zmiany 24.10.2005 r. 1.1 Grupy, podgrupy, homomorfizmy Rozpoczniemy od przypomnienia podstawowych pojęć i faktów z teorii grup, występujących w kursowym uniwersyteckim wykładzie

Bardziej szczegółowo

Logika I. Wykład 1. Wprowadzenie do rachunku zbiorów

Logika I. Wykład 1. Wprowadzenie do rachunku zbiorów Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 1. Wprowadzenie do rachunku zbiorów 1 Podstawowe pojęcia rachunku zbiorów Uwaga 1.1. W teorii mnogości mówimy o zbiorach

Bardziej szczegółowo

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014.

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. W nawiasie przy zadaniu jego występowanie w numerze zestawu Spis treści (Z1, Z22, Z43) Definicja granicy ciągu. Obliczyć granicę:... 3 Definicja granicy ciągu...

Bardziej szczegółowo

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy

Bardziej szczegółowo

Matematyka zajęcia fakultatywne (Wyspa inżynierów) Dodatkowe w ramach projektu UE

Matematyka zajęcia fakultatywne (Wyspa inżynierów) Dodatkowe w ramach projektu UE PROGRAM ZAJĘĆ FAKULTATYWNYCH Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU SYLABUS Nazwa uczelni: Wyższa Szkoła Przedsiębiorczości i Administracji w Lublinie ul. Bursaki 12, 20-150 Lublin Kierunek Rok studiów Informatyka

Bardziej szczegółowo

Matematyka Dyskretna Zestaw 2

Matematyka Dyskretna Zestaw 2 Materiały dydaktyczne Matematyka Dyskretna (Zestaw ) Matematyka Dyskretna Zestaw 1. Wykazać, że nie istnieje liczba naturalna, która przy dzieleniu przez 18 daje resztę 13, a przy dzieleniu przez 1 daje

Bardziej szczegółowo

a 1, a 2, a 3,..., a n,...

a 1, a 2, a 3,..., a n,... III. Ciągi liczbowe. 1. Definicja ciągu liczbowego. Definicja 1.1. Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R i oznaczamy przez {a

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA ZBIORY Z POWTÓRZENIAMI W zbiorze z powtórzeniami ten sam element może występować kilkakrotnie. Liczbę wystąpień nazywamy krotnością tego elementu w zbiorze X = { x,..., x n } - zbiór k,..., k n - krotności

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie spektralne

Twierdzenie spektralne Twierdzenie spektralne Algebrę ograniczonych funkcji borelowskich na K R będziemy oznaczać przez B (K). Spektralnym rozkładem jedności w przestrzeni Hilberta H nazywamy odwzorowanie, które każdemu zbiorowi

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1 Wszelkie prawa zastrzeżone. Rozpowszechnianie, wypożyczanie i powielanie niniejszych testów w jakiejkolwiek formie surowo zabronione. W przypadku złamania zakazu mają zastosowanie przepisy dotyczące naruszenia

Bardziej szczegółowo

LICZBY PIERWSZE. Jan Ciurej Radosław Żak

LICZBY PIERWSZE. Jan Ciurej Radosław Żak LICZBY PIERWSZE Jan Ciurej Radosław Żak klasa IV a Katolicka Szkoła Podstawowa im. Świętej Rodziny z Nazaretu w Krakowie ul. Pędzichów 13, 31-152 Kraków opiekun - mgr Urszula Zacharska konsultacja informatyczna

Bardziej szczegółowo

Podzielność liczb; iloczyn i suma dzielników

Podzielność liczb; iloczyn i suma dzielników Podzielność liczb; iloczyn i suma dzielników Liczba dzielników Postać (rozkład) kanoniczna każdej liczby N = p α1 1 pα2 2... pαr 1 pαr r. Każdy dzielnik d naszej liczby ma swojego partnera d 1 : N = d

Bardziej szczegółowo

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa, test próbny www.omg.edu.pl (wrzesień 2011 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba krawędzi pewnego ostrosłupa jest o

Bardziej szczegółowo

Newton vs. Lagrange - kto lepszy?

Newton vs. Lagrange - kto lepszy? Uniwersytet Mikołaja Kopernika Wydział Matematyki i Informatyki Katedra Analizy Matematycznej Agnieszka Rydzyńska nr albumu: 254231 Praca Zaliczeniowa z Seminarium Newton vs. Lagrange - kto lepszy? Opiekun

Bardziej szczegółowo

KARTA KURSU. Mathematics

KARTA KURSU. Mathematics KARTA KURSU Nazwa Nazwa w j. ang. Matematyka Mathematics Kod Punktacja ECTS* 4 Koordynator Dr Maria Robaszewska Zespół dydaktyczny dr Maria Robaszewska Opis kursu (cele kształcenia) Celem kursu jest zapoznanie

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do programu Mathcad 15 cz. 1

Wprowadzenie do programu Mathcad 15 cz. 1 Wpisywanie tekstu Wprowadzenie do programu Mathcad 15 cz. 1 Domyślnie, Mathcad traktuje wpisywany tekst jako wyrażenia matematyczne. Do trybu tekstowego można przejść na dwa sposoby: Zaczynając wpisywanie

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU

WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim: PROBABILISTYKA NIEPRZEMIENNA Nazwa w języku angielskim: NONCOMMUTATIVE PROBABILITY Kierunek studiów (jeśli dotyczy): MATEMATYKA

Bardziej szczegółowo

Test, dzień pierwszy, grupa młodsza

Test, dzień pierwszy, grupa młodsza Test, dzień pierwszy, grupa młodsza 1. Na połowinkach 60 procent wszystkich uczniów to dziewczyny. Impreza jest kiepska, bo tylko 40 procent wszystkich uczniów chce się tańczyć. Sytuacja poprawia sie odrobinę,

Bardziej szczegółowo

Analiza korespondencji

Analiza korespondencji Analiza korespondencji Kiedy stosujemy? 2 W wielu badaniach mamy do czynienia ze zmiennymi jakościowymi (nominalne i porządkowe) typu np.: płeć, wykształcenie, status palenia. Punktem wyjścia do analizy

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

Półgrupa prawie jak grupa?

Półgrupa prawie jak grupa? Półgrupa prawie jak grupa? Arkadiusz Męcel Seminarium magisterskie: Klasyczne struktury algebraiczne 15 października 2009r. Celem tego referatu jest zarysowanie podstaw teorii półgrup. Sama nazwa półgrupy

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy System Oceniania klasa I TH matematyka PP 2015/16

Przedmiotowy System Oceniania klasa I TH matematyka PP 2015/16 Przedmiotowy System Oceniania klasa I TH matematyka PP 2015/16 PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające

Bardziej szczegółowo

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe Metoda najmn. kwadr. - funkcje nieliniowe Metoda najmniejszych kwadratów Funkcje nieliniowe Procedura z redukcją kroku iteracji Przykłady zastosowań Dopasowanie funkcji wykładniczej Dopasowanie funkcji

Bardziej szczegółowo

14. Grupy, pierścienie i ciała.

14. Grupy, pierścienie i ciała. 4. Grup, pierścienie i ciała. Definicja : Zbiór A nazwam grupą jeśli jest wposaŝon w działanie wewnętrzne łączne, jeśli to działanie posiada element neutraln i kaŝd element zbioru A posiada element odwrotn.

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ OD RÓWNAŃ DO ODWZOROWAŃ LINIOWYCH

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ OD RÓWNAŃ DO ODWZOROWAŃ LINIOWYCH ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 OD RÓWNAŃ DO ODWZOROWAŃ LINIOWYCH Piotr M Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 8, 27112013 Typeset by Jakub Szczepanik Motywacja 2/10 Przechodzimy od rozwiązywania jednego równania

Bardziej szczegółowo

O CIEKAWYCH WŁAŚCIWOŚCIACH LICZB TRÓJKĄTNYCH

O CIEKAWYCH WŁAŚCIWOŚCIACH LICZB TRÓJKĄTNYCH Jeśli matematyka jest królową nauk, to królową matematyki jest teoria liczb Carl Friedrich Gauss O CIEKAWYCH WŁAŚCIWOŚCIACH LICZB TRÓJKĄTNYCH OPRACOWANIE: MATEUSZ OLSZAMOWSKI KL 6A, ALEKSANDER SUCHORAB

Bardziej szczegółowo

Dzień pierwszy- grupa młodsza

Dzień pierwszy- grupa młodsza Dzień pierwszy- grupa młodsza 1.TomekmaTlat.Tylesamolatliczysobiewsumietrójkajegodzieci.NlattemuwiekTomkarówny był dwukrotności sumy lat swoich dzieci. Wyznacz T/N. 2.Niechk=2012 2 +2 2012.Ilewynosicyfrajednościliczbyk

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 4. Wartości własne i wektory własne 4.1. Podstawowe definicje, własności i twierdzenia 4.2. Lokalizacja wartości własnych 4.3. Metoda potęgowa znajdowania

Bardziej szczegółowo

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej 7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej Definicja 1 n-elementowa losowa próba prosta nazywamy ciag n niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Przestrzeń Hilberta

Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Sygnały. Funkcje (w języku inżynierów - sygnały) które będziemy rozważali na tym wykładzie będą kilku typów Sygnały ciągłe (analogowe). ) L (R) to funkcje na prostej spełniające

Bardziej szczegółowo

X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów www.omg.edu.pl X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (10 listopada 01 r. 15 grudnia 01 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych 1. nia rozmieniła banknot

Bardziej szczegółowo

PROGRAM KLASY Z ROZSZERZONĄ MATEMATYKĄ

PROGRAM KLASY Z ROZSZERZONĄ MATEMATYKĄ PROGRAM KLASY Z ROZSZERZONĄ MATEMATYKĄ ALGEBRA Klasa I 3 godziny tygodniowo Klasa II 4 godziny tygodniowo Klasa III 3 godziny tygodniowo A. Liczby (24) 1. Liczby naturalne i całkowite. a. Własności, kolejność

Bardziej szczegółowo

W ŚWIECIE WIELOKĄTÓW GWIAŹDZISTYCH

W ŚWIECIE WIELOKĄTÓW GWIAŹDZISTYCH ul. Konarskiego 2, 30-049 Kraków tel. 12 633 13 83 lub 12 633 02 47 W ŚWIECIE WIELOKĄTÓW GWIAŹDZISTYCH Arkadiusz Biel Kraków 2011 Wielokąty gwiaździste są ciekawym przypadkiem wielokątów, gdyż posiadają

Bardziej szczegółowo

LXIII Olimpiada Matematyczna

LXIII Olimpiada Matematyczna 1 Zadanie 1. LXIII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 17 lutego 2012 r. (pierwszy dzień zawodów) Rozwiązać w liczbach rzeczywistych a, b, c, d układ równań a

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna - 14. Analiza zmiennych dyskretnych: ciągi i szeregi liczbowe

Analiza matematyczna - 14. Analiza zmiennych dyskretnych: ciągi i szeregi liczbowe Analiza matematyczna - 4. Analiza zmiennych dyskretnych: ciągi i szeregi liczbowe Wstęp: zmienne ciągłe i zmienne dyskretne Podczas dotychczasowych wykładów rozważaliśmy przede wszystkim zależności funkcyjne

Bardziej szczegółowo

Podstawa programowa przedmiotu MATEMATYKA. III etap edukacyjny (klasy I - III gimnazjum)

Podstawa programowa przedmiotu MATEMATYKA. III etap edukacyjny (klasy I - III gimnazjum) Podstawa programowa przedmiotu MATEMATYKA III etap edukacyjny (klasy I - III gimnazjum) Cele kształcenia wymagania ogólne: I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń interpretuje i tworzy teksty o

Bardziej szczegółowo

GIMNAZJUM WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI

GIMNAZJUM WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI GIMNAZJUM WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI Klasa I Liczby i działania wskazać liczby naturalne, całkowite, wymierne zaznaczyć liczbę wymierną na osi liczbowej podać liczbę przeciwną do danej

Bardziej szczegółowo

Wymagania na poszczególne oceny szkolne z matematyki. dla uczniów klasy Ia i Ib. Gimnazjum im. Jana Pawła II w Mętowie. w roku szkolnym 2015/2016

Wymagania na poszczególne oceny szkolne z matematyki. dla uczniów klasy Ia i Ib. Gimnazjum im. Jana Pawła II w Mętowie. w roku szkolnym 2015/2016 Wymagania na poszczególne oceny szkolne z matematyki dla uczniów klasy Ia i Ib Gimnazjum im. Jana Pawła II w Mętowie w roku szkolnym 2015/2016 DZIAŁ I: LICZBY zaznacza na osi liczbowej punkty odpowiadające

Bardziej szczegółowo

Lista 1. Procesy o przyrostach niezależnych.

Lista 1. Procesy o przyrostach niezależnych. Lista. Procesy o przyrostach niezależnych.. Niech N t bedzie procesem Poissona o intensywnoci λ = 2. Obliczyć a) P (N 2 < 3, b) P (N =, N 3 = 6), c) P (N 2 = N 5 = 2), d) P (N =, N 2 = 3, N 4 < 5), e)

Bardziej szczegółowo

Wykład Ćwiczenia Laboratoriu m 30 30 1,5 1,5 WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI CELE PRZEDMIOTU

Wykład Ćwiczenia Laboratoriu m 30 30 1,5 1,5 WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI CELE PRZEDMIOTU Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ELEMENTY TEORII GIER Nazwa w języku angielskim ELEMENTS OF GAME THEORY Kierunek studiów (jeśli dotyczy):

Bardziej szczegółowo

Kryteria oceniania z matematyki dla klasy III LO poziom podstawowy, na podstawie programu nauczania DKOS- 5002-05/08

Kryteria oceniania z matematyki dla klasy III LO poziom podstawowy, na podstawie programu nauczania DKOS- 5002-05/08 Kryteria oceniania z matematyki dla klasy III LO poziom podstawowy, na podstawie programu nauczania DKOS- 5002-05/08 1. Oprocentowanie lokat i kredytów - zna pojęcie procentu prostego i składanego; - oblicza

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Zadania. 1.1 Liczby pierwsze. 1. Wykorzystując sito Eratostenesa wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze mniejsze niż 200.

Rozdział 1. Zadania. 1.1 Liczby pierwsze. 1. Wykorzystując sito Eratostenesa wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze mniejsze niż 200. Rozdział 1 Zadania 1.1 Liczby pierwsze 1. Wykorzystując sito Eratostenesa wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze mniejsze niż 200. 2. Wyliczyć największy wspólny dzielnik d liczb n i m oraz znaleźć liczby

Bardziej szczegółowo

Wykład 9: Markov Chain Monte Carlo

Wykład 9: Markov Chain Monte Carlo RAP 412 17.12.2008 Wykład 9: Markov Chain Monte Carlo Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz: Ewelina Rychlińska i Wojciech Wawrzyniak Wstęp W tej części wykładu zajmiemy się zastosowaniami łańcuchów Markowa

Bardziej szczegółowo

Stabilność. Krzysztof Patan

Stabilność. Krzysztof Patan Stabilność Krzysztof Patan Pojęcie stabilności systemu Rozważmy obiekt znajdujący się w punkcie równowagi Po przyłożeniu do obiektu siły F zostanie on wypchnięty ze stanu równowagi Jeżeli po upłynięciu

Bardziej szczegółowo

IV Warsztaty Matematyczne I LO im. Stanisława Dubois w Koszalinie

IV Warsztaty Matematyczne I LO im. Stanisława Dubois w Koszalinie IV Warsztaty Matematyczne I LO im. Stanisława Dubois w Koszalinie Zadania i rozwiązania. Grupa starsza. Dzień pierwszy 27.09.2010r. Streszczenie Przygotowując zadania opierałem się o zasoby zadaniowe pochodzące

Bardziej szczegółowo

INDUKOWANE REGUŁY DECYZYJNE ALORYTM APRIORI JAROSŁAW FIBICH

INDUKOWANE REGUŁY DECYZYJNE ALORYTM APRIORI JAROSŁAW FIBICH INDUKOWANE REGUŁY DECYZYJNE ALORYTM APRIORI JAROSŁAW FIBICH 1. Czym jest eksploracja danych Eksploracja danych definiowana jest jako zbiór technik odkrywania nietrywialnych zależności i schematów w dużych

Bardziej szczegółowo

Zadania na dowodzenie Opracowała: Ewa Ślubowska

Zadania na dowodzenie Opracowała: Ewa Ślubowska Egzamin Gimnazjalny Zadania na dowodzenie Opracowała: Ewa Ślubowska W nauczaniu matematyki ważne jest rozwijanie różnych aktywności umysłu. Ma temu służyć min. rozwiązywanie jednego zadania czy dowodzenie

Bardziej szczegółowo

Jolanta Widzińska Zespół Szkół Ogólnokształcących w Żorach

Jolanta Widzińska Zespół Szkół Ogólnokształcących w Żorach www.awans.net Publikacje nauczycieli Jolanta Widzińska Zespół Szkół Ogólnokształcących w Żorach Program nauczania matematyki dla 3 letniego liceum ogólnokształcącego dla dorosłych (po zasadniczej szkole

Bardziej szczegółowo

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe W rezultacie kształcenia matematycznego uczeń potrafi: Osiągnięcia ponadprzedmiotowe Umiejętności konieczne i podstawowe czytać teksty w stylu matematycznym wykorzystywać słownictwo wprowadzane przy okazji

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy klasa 3

Plan wynikowy klasa 3 Plan wynikowy klasa 3 Przedmiot: matematyka Klasa 3 liceum (technikum) Rok szkolny:........................ Nauczyciel:........................ zakres podstawowy: 28 tyg. 3 h = 84 h (78 h + 6 h do dyspozycji

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VI ROK SZKOLNY 2015/2016 PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLAS 4 6 SZKOŁY PODSTAWOWEJ

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VI ROK SZKOLNY 2015/2016 PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLAS 4 6 SZKOŁY PODSTAWOWEJ WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VI ROK SZKOLNY 2015/2016 PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLAS 4 6 SZKOŁY PODSTAWOWEJ REALIZOWANY PRZY POMOCY PODRĘCZNIKA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY VI I.

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI / POZIOM PODSTAWOWY /

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI / POZIOM PODSTAWOWY / WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI / POZIOM PODSTAWOWY / Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, zatem powinny być opanowane przez każdego ucznia. Wymagania

Bardziej szczegółowo

GRAFIKA KOMPUTEROWA podstawy matematyczne. dr inż. Hojny Marcin pokój 406, pawilon B5 E-mail: mhojny@metal.agh.edu.pl Tel.

GRAFIKA KOMPUTEROWA podstawy matematyczne. dr inż. Hojny Marcin pokój 406, pawilon B5 E-mail: mhojny@metal.agh.edu.pl Tel. GRAFIKA KOMPUTEROWA podstawy matematyczne dr inż. Hojny Marcin pokój 406, pawilon B5 E-mail: mhojny@metal.agh.edu.pl Tel. (12) 617 46 37 Plan wykładu 1/4 ZACZNIEMY OD PRZYKŁADOWYCH PROCEDUR i PRZYKŁADÓW

Bardziej szczegółowo

Konkurs dla szkół ponadgimnazjalnych Etap szkolny 9 stycznia 2013 roku

Konkurs dla szkół ponadgimnazjalnych Etap szkolny 9 stycznia 2013 roku Konkurs dla szkół ponadgimnazjalnych Etap szkolny 9 stycznia roku Instrukcja dla ucznia W zadaniach o numerach od do są podane cztery warianty odpowiedzi: A, B, C, D Dokładnie jeden z nich jest poprawny

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą 1. Statystyka odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu 2. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach 3. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach 4. Potęga o wykładniku

Bardziej szczegółowo

Schemat rekursji. 1 Schemat rekursji dla funkcji jednej zmiennej

Schemat rekursji. 1 Schemat rekursji dla funkcji jednej zmiennej Schemat rekursji 1 Schemat rekursji dla funkcji jednej zmiennej Dla dowolnej liczby naturalnej a i dowolnej funkcji h: N 2 N istnieje dokładnie jedna funkcja f: N N spełniająca następujące warunki: f(0)

Bardziej szczegółowo

LICZBY PIERWSZE. 14 marzec 2007. Jeśli matematyka jest królową nauk, to królową matematyki jest teoria liczb. C.F.

LICZBY PIERWSZE. 14 marzec 2007. Jeśli matematyka jest królową nauk, to królową matematyki jest teoria liczb. C.F. Jeśli matematyka jest królową nauk, to królową matematyki jest teoria liczb. C.F. Gauss (1777-1855) 14 marzec 2007 Zasadnicze twierdzenie teorii liczb Zasadnicze twierdzenie teorii liczb Ile jest liczb

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI (PSO)

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI (PSO) PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI (PSO) Przedmiotowy System Oceniania ( PSO) jest zgodny z Rozporządzeniem Ministra Edukacji Narodowej z dnia 21.03.2001 r. w sprawie oceniania, klasyfikowania

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna. Leszek Adamczyk Wykłady dla kierunku Fizyka Medyczna w semestrze letnim 2014/2015

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna. Leszek Adamczyk Wykłady dla kierunku Fizyka Medyczna w semestrze letnim 2014/2015 Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna Leszek Adamczyk Wykłady dla kierunku Fizyka Medyczna w semestrze letnim 2014/2015 1 1 Wstęp Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka to: działy matematyki

Bardziej szczegółowo

Czy gminne przyłącze do sieci wodociągowej powinno być objęte obniżoną stawką VAT?

Czy gminne przyłącze do sieci wodociągowej powinno być objęte obniżoną stawką VAT? ETS orzekł, że dokonywanie takich przyłączy powinno być objęte jednolitą, obniżoną stawką VAT. Dokonywanie przez gminy przyłączy do sieci wodociągowej oraz dostarczanie przez nie wody powinny być objęte

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA

ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA DYNAMICZNYCH LOKAT KAPITAŁOWYCH Krzysztof Gąsior Uniwersytet Rzeszowski Streszczenie Celem referatu jest zaprezentowanie praktycznego zastosowania

Bardziej szczegółowo

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych

Bardziej szczegółowo

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... Rozwiązania zadań. Matematyka dla liceum ogólnokształcącego i technikum w zakresie podstawowym i rozszerzonym

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... Rozwiązania zadań. Matematyka dla liceum ogólnokształcącego i technikum w zakresie podstawowym i rozszerzonym Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE Rozwiązania zadań Matematyka dla liceum ogólnokształcącego i technikum w zakresie podstawowym i rozszerzonym Miejski Ośrodek Doskonalenia Nauczycieli w Opolu Publiczne Liceum

Bardziej szczegółowo

Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013

Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013 Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 013 3.4.1 Inwersja względem okręgu. Inwersja względem okręgu jest przekształceniem płaszczyzny

Bardziej szczegółowo

SCHEMAT ROZWIĄZANIA ZADANIA OPTYMALIZACJI PRZY POMOCY ALGORYTMU GENETYCZNEGO

SCHEMAT ROZWIĄZANIA ZADANIA OPTYMALIZACJI PRZY POMOCY ALGORYTMU GENETYCZNEGO SCHEMAT ROZWIĄZANIA ZADANIA OPTYMALIZACJI PRZY POMOCY ALGORYTMU GENETYCZNEGO. Rzeczywistość (istniejąca lub projektowana).. Model fizyczny. 3. Model matematyczny (optymalizacyjny): a. Zmienne projektowania

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO

ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP często spotykane w życiu codziennym wybór asortymentu produkcji jakie wyroby i w jakich ilościach powinno produkować przedsiębiorstwo

Bardziej szczegółowo

mgr Karol Marek Klimczak KONCEPCJA I PLAN ROZPRAWY DOKTORSKIEJ

mgr Karol Marek Klimczak KONCEPCJA I PLAN ROZPRAWY DOKTORSKIEJ mgr Karol Marek Klimczak KONCEPCJA I PLAN ROZPRAWY DOKTORSKIEJ Tytuł: Zarządzanie ryzykiem finansowym w polskich przedsiębiorstwach działających w otoczeniu międzynarodowym Ostatnie dziesięciolecia rozwoju

Bardziej szczegółowo

ciałem F i oznaczamy [L : F ].

ciałem F i oznaczamy [L : F ]. 11. Wykład 11: Baza i stopień rozszerzenia. Elementy algebraiczne i przestępne. Rozszerzenia algebraiczne i skończone. 11.1. Baza i stopień rozszerzenia. Uwaga 11.1. Niech F będzie ciałem, L rozszerzeniem

Bardziej szczegółowo

Algorytm. Słowo algorytm pochodzi od perskiego matematyka Mohammed ibn Musa al-kowarizimi (Algorismus - łacina) z IX w. ne.

Algorytm. Słowo algorytm pochodzi od perskiego matematyka Mohammed ibn Musa al-kowarizimi (Algorismus - łacina) z IX w. ne. Algorytm znaczenie cybernetyczne Jest to dokładny przepis wykonania w określonym porządku skończonej liczby operacji, pozwalający na rozwiązanie zbliżonych do siebie klas problemów. znaczenie matematyczne

Bardziej szczegółowo

Instytut Matematyczny Uniwersytet Wrocławski. Zakres egzaminu magisterskiego. Wybrane rozdziały anazlizy i topologii 1 i 2

Instytut Matematyczny Uniwersytet Wrocławski. Zakres egzaminu magisterskiego. Wybrane rozdziały anazlizy i topologii 1 i 2 Instytut Matematyczny Uniwersytet Wrocławski Zakres egzaminu magisterskiego Wybrane rozdziały anazlizy i topologii 1 i 2 Pojęcia, fakty: Definicje i pojęcia: metryka, iloczyn skalarny, norma supremum,

Bardziej szczegółowo

Topologia i geometria różniczkowa

Topologia i geometria różniczkowa Topologia i geometria różniczkowa Andrzej Nowicki Uniwersytet Mikołaja Kopernika, Wydział Matematyki i Informatyki, ul. Chopina 12 18, 87 100 Toruń (e-mail: anow@mat.uni.torun.pl) Marzec 1995 Spis treści

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa dla informatyków

Rachunek prawdopodobieństwa dla informatyków Rachunek prawdopodobieństwa dla informatyków Adam Roman Instytut Informatyki UJ Wykład 1 rys historyczny zdarzenia i ich prawdopodobieństwa aksjomaty i reguły prawdopodobieństwa prawdopodobieństwo warunkowe

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne klasa trzecia.

Wymagania edukacyjne klasa trzecia. TEMAT Wymagania edukacyjne klasa trzecia. WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Lekcja organizacyjna System dziesiątkowy System rzymski Liczby wymierne i niewymierne

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Przestrzeń Hilberta

Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Sygnały. Funkcje (w języku inżynierów - sygnały) które będziemy rozważali na tym wykładzie będą kilku typów Sygnały ciągłe (analogowe). ) L 2 (R) to funkcje na prostej spełniające

Bardziej szczegółowo

DZIAŁ I: LICZBY I DZIAŁANIA Ocena dostateczna. Ocena dobra. Ocena bardzo dobra (1+2) (1+2+3+4) Uczeń: (1+2+3) Uczeń: określone warunki

DZIAŁ I: LICZBY I DZIAŁANIA Ocena dostateczna. Ocena dobra. Ocena bardzo dobra (1+2) (1+2+3+4) Uczeń: (1+2+3) Uczeń: określone warunki MATEMATYKA KLASA I I PÓŁROCZE -wyróżnia liczby naturalne, całkowite, wymierne -zna kolejność wykonywania działań -rozumie poszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne -porównuje liczby wymierne -zaznacza

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Halla o małżeństwach

Twierdzenie Halla o małżeństwach Twierdzenie Halla o małżeństwach Tomasz Tkocz Streszczenie. Notatki te, przygotowane do referatu wygłoszonego na kółku w II LO w Rybniku, pokazują jak można rozwiązywać życiowe problemy oraz te bardziej

Bardziej szczegółowo

Zadania, które zaproponowałem na różne konkursy Olimpiada Matematyczna. bc(b 3 + c 3 ) + c4 + a 4. ca(c 3 + a 3 ) 1. c + ca + cab 1 ( 1

Zadania, które zaproponowałem na różne konkursy Olimpiada Matematyczna. bc(b 3 + c 3 ) + c4 + a 4. ca(c 3 + a 3 ) 1. c + ca + cab 1 ( 1 Zadania, które zaproponowałem na różne konkursy Olimpiada Matematyczna. (57-II-3) Liczby dodatnie a, b, c spełniają warunek ab + bc + ca = abc. Dowieść, że a 4 + b 4 ab(a 3 + b 3 ) + b4 + c 4 bc(b 3 +

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl. Przykłady zadań egzaminacyjnych (do liczenia lub dowodzenia)

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl. Przykłady zadań egzaminacyjnych (do liczenia lub dowodzenia) Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl Przykłady zadań egzaminacyjnych (do liczenia lub dowodzenia) 1. Ile układów kart w pokerze to Dwie pary? Dwie pary to układ 5 kart

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe zwyczajne liniowe pierwszego rzędu

1 Równania różniczkowe zwyczajne liniowe pierwszego rzędu Równania różniczkowe zwyczajne liniowe I-go rzędu 1 1 1 Równania różniczkowe zwyczajne liniowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym liniowym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (RL1)

Bardziej szczegółowo

Bibliografia załącznikowa do prac naukowych, dyplomowych inżynierskich i magisterskich

Bibliografia załącznikowa do prac naukowych, dyplomowych inżynierskich i magisterskich Bibliografia załącznikowa do prac naukowych, dyplomowych inżynierskich i magisterskich Każda praca naukowa i dyplomowa (inżynierska i magisterska) powinna mieć dołączony wykaz materiałów źródłowych wykorzystanych

Bardziej szczegółowo

istocie dziedzina zajmująca się poszukiwaniem zależności na podstawie prowadzenia doświadczeń jest o wiele starsza: tak na przykład matematycy

istocie dziedzina zajmująca się poszukiwaniem zależności na podstawie prowadzenia doświadczeń jest o wiele starsza: tak na przykład matematycy MODEL REGRESJI LINIOWEJ. METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW Analiza regresji zajmuje się badaniem zależności pomiędzy interesującymi nas wielkościami (zmiennymi), mające na celu konstrukcję modelu, który dobrze

Bardziej szczegółowo

Ciągi. Kurs matematyki w Oratorium (http://www.salezjanie.rumia.pl/math)

Ciągi. Kurs matematyki w Oratorium (http://www.salezjanie.rumia.pl/math) Ciągi Kurs matematyki w Oratorium (http://www.salezjanie.rumia.pl/math) Spis treści 1 Ciągi liczbowe 1 1.1 Podstawowe własności ciągów................... 2 1.2 Granica ciągu............................

Bardziej szczegółowo