Logika matematyczna. 1. Pojęcie zdania prostego i złożonego w logice matematycznej... 1 oznaczanie zdań prostych... 3

Transkrypt

1 Logika matematyczna Przedmowa To opracowanie jest napisane głównie z myślą o uczniach szkół średnich pragnących zrozumieć logikę matematyczną, ale i studenci pierwszego roku informatyki znajdą tu informacje dla siebie (m.in. funktory XOR oraz NOR), o których w szkole średniej się nie wspomina. Opracowanie to tłumaczy wszystkie pojęcia od podstaw oraz zawiera ćwiczenia do samodzielnego wykonania wraz z odpowiedziami. Spis tematów 1. Pojęcie zdania prostego i złożonego w logice matematycznej oznaczanie zdań prostych Wartości logiczne zdań prostych Funktory zdaniotwórcze negacja... 6 koniunkcja... 9 alternatywa... 9 implikacja równoważność Rachunek zdań prawa logiczne (tautologia) metoda zerowo-jedynkowa (tabelkowa) nazwy praw logicznych metoda nie wprost (apagogiczna) tworzenie nowych praw logicznych funktory Xor i Nor sprawdzanie wartości logicznych bardziej rozbudowanych wyrażeń Formy zdaniowe dziedzina formy zdaniowej Wersja z dnia Logika matematyczna strona 1

2 Temat: Pojęcie zdania prostego i złożonego w logice matematycznej. Zdanie proste (w sensie matematycznym) wyrażenie o którym można jednoznacznie powiedzieć, że jest prawdziwe lub fałszywe np.: = 18 zdanie fałszywe Liczba 12 jest liczbą nieparzystą. zdanie fałszywe Liczba 4 jest mniejsza od 1. zdanie prawdziwe W logice matematycznej występują tylko zdania oznajmujące, czyli takie, które kończą się kropką. Żadne zdanie pytające czy wykrzyknikowe nie jest zdaniem w rozumieniu logiki matematycznej, choć jest zdaniem w rozumieniu gramatyki języka polskiego. Pójdziesz ze mną? Weź to! Chciałbym byś mi kupiła loda. to nie jest zdanie w rozumieniu logiki matematycznej, bo nie jest ono oznajmujące to nie jest zdanie w rozumieniu logiki matematycznej, bo nie jest ono oznajmujące to nie jest zdanie w rozumieniu logiki matematycznej, bo nie można go jednoznacznie ocenić czy jest ono prawdziwe czy fałszywe, choć jest zdaniem oznajmującym. Ćwiczenie: Które z poniższych zdań, są zdaniami w rozumieniu logiki matematycznej? Odpowiedź uzasadnij. a) Lubisz pływać? b) Nie rób tego! c) Kup mi to ciastko. d) Chcę pojeździć na rowerze. e) Pozwól mi wyjść do koleżanki. f) Zegar służy do odmierzania czasu. g) Kartkę papieru można zgiąć 12 razy na pół. Odp.: a) Nie, bo nie jest zakończone kropką. b) Nie, bo nie jest zakończone kropką. c) Nie, bo nie można o nim jednoznacznie powiedzieć czy jest prawdziwe czy fałszywe, pomimo tego, że kończy się kropką. d) Nie, bo nie można o nim jednoznacznie powiedzieć czy jest prawdziwe czy fałszywe, pomimo tego, że kończy się kropką. e) Nie, bo nie można o nim jednoznacznie powiedzieć czy jest prawdziwe czy fałszywe, pomimo tego, że kończy się kropką. f) Tak, bo kończy się kropką i dodatkowo można o nim jednoznacznie powiedzieć, że jest prawdziwe. g) Tak, bo kończy się kropką i dodatkowo można o nim jednoznacznie powiedzieć, że jest fałszywe. Zdanie złożone zdanie zbudowane z przynajmniej dwóch zdań prostych np.: Teraz świeci słońce, więc pójdę się poopalać. W powyższym przykładzie pierwsze zdanie proste jest do słowa więc, zaś drugie występuje po słowie więc. Oba zdania proste pogrubiono i wyróżniono kolorem czerwonym. Wersja z dnia Logika matematyczna strona 2

3 Oznaczenie zdań prostych Zdania proste w logice matematycznej oznacza się małymi literami alfabetu angielskiego zaczynając od litery. Zatem pierwsze zadanie proste występujące w zdaniu złożonym należy oznaczyć literką, następne literką, kolejne literką itd. W logice matematycznej, te literki będziemy nazywać zmiennymi zdaniowymi. W szczególnych przypadkach, np. w przypadku zadania złożonego: Teraz świeci słońce lub teraz nie świeci słońce. matematycznie mamy do czynienia z jednym zdaniem prostym, bo drugie jest zaprzeczeniem pierwszego. Z punktu widzenia zaś gramatyki języka polskiego, w powyższym zdaniu są 2 zdania proste (oba wyróżniono kolorem niebieskim). Ćwiczenie: Ile zdań prostych w rozumieniu logiki matematycznej występuje w poniższych zdaniach złożonych? a) To krzesło jest solidne i dodatkowo jest ono ładne. b) W wieku 13 lat po raz pierwszy uprawiałam seks i zaczęłam uczyć się języka japońskiego. c) Mam 17 lat lub 19 lat lub 21 lat. d) Jestem chłopakiem lub nie jestem chłopakiem lub jestem dziewczyną. e) Moja dziewczyna jak ma włosy ufarbowane na blond, to wygląda ładniej, niż gdy ma zrobiony balejaż lub splecione w warkocz. f) Na ogół pijam Coca-Colę, ale gdy nie ma jej na stole, to pijam tylko herbatę lub kawę. Odp.: a) 2 zdania proste. Są one rozdzielone słowem i. b) 2 zdania proste. Są one rozdzielone słowem i. c) 3 zdania proste. Każde jest rozdzielone słowem lub. d) 2 zdania proste w rozumieniu logiki matematycznej: jestem chłopakiem oraz jestem dziewczyną, ale 3 zdania proste w rozumieniu gramatyki języka polskiego. Sformułowanie drugie: nie jestem chłopakiem jest zaprzeczeniem sformułowania pierwszego: jestem chłopakiem. e) 4 zdania proste. Są one rozdzielone słowami: to, niż gdy, lub. f) 4 zdania proste. Są one rozdzielone słowami: ale gdy, to, lub. Zdanie logiczne zdanie oznajmujące w którym każde zdanie proste da się jednoznacznie ocenić jako prawdziwe lub fałszywe. Przykłady zdań logicznych: ł Liczba 5 jest większa od 0 lub jemu równa. Teraz czytam opracowanie o logice matematycznej. ł Zegar nie służy do odmierzania czasu. Wersja z dnia Logika matematyczna strona 3

4 Temat: Wartości logiczne zdań prostych. Omówmy teraz bardziej dokładnie logikę matematyczną na przykładzie zdania złożonego: Skoro 2 < 5 i 5 < 8, to 2 < 8. Ponieważ powyższe zdanie składa się z trzech zdań prostych, więc można go zapisać krócej: Skoro i to. W zdaniu tym: : 2 < 5 : 5 < 8 : 2 < 8. Dygresja: Po zmiennej zdaniowej (czyli po pierwszej literce) napisany został dwukropek. Każdemu zdaniu prostemu przypisujemy liczbę 0 jeśli jest ono fałszywe, lub liczbę 1 jeśli jest ono prawdziwe. Wracając się do przykładowych trzech zdań z tematu pierwszego napiszemy: = 18 zdanie fałszywe; = 0 Liczba 12 jest liczbą nieparzystą. zdanie fałszywe; = 0 Liczba 4 jest mniejsza od 1. zdanie prawdziwe; = 1 Przypisywanie zdaniu prostemu tylko jednej z dwóch liczb, tzn. 0 lub 1, jest prawdziwe tylko w logice dwuwartościowej, którą to będziemy się zajmować. W teorii matematycznej istnieje jeszcze logika trójwartościowa, która uszczegóławia logikę dwuwartościową poprzez dodanie wartości logicznej ½ (półprawda). Ćwiczenie: Określ wartości logiczne podanych zdań prostych. [Podpowiedź. Oceń, czy podane zdanie proste ma wartość logiczną 0 czy 1.] a) Mam skończone 16 lat. b) Liczba 8 jest mniejsza od 0. c) Biurko to rzeczownik. d) Lubię pływać. e) Od czasu do czasu jadam zupę. f) Pierwiastek stopnia drugiego z liczby 16 jest równy 4. Odp.: a) Zależnie od Ciebie; b) 0 (fałsz); c) 1 (prawda); d) Zależnie od Ciebie; e) Zależnie od Ciebie; f) 0 (fałsz). Wersja z dnia Logika matematyczna strona 4

5 Temat: Funktory zdaniotwórcze. Znając już z poprzednich tematów podstawy logiki matematycznej wiesz, że w zdania złożone składają się z przynajmniej dwóch zdań prostych rozdzielonych jakimś słowem lub grupą słów. Przykładowo w zdaniu: Teraz świeci słońce, więc pójdę się poopalać. zdania proste (wyróżnione na czerwono) są rozdzielone słowem więc, a na przykład w zdaniu: Skoro 2 < 5 i 5 < 8, to 2 < 8. zdania proste są rozdzielone słowami i oraz to (oba wyróżniono kolorem zielonym). Zdania złożone mogą być także rozdzielone słowem lub np.: Teraz czytam ten tekst lub myślę o tym co będzie dalej. Mam 16 lat lub 17 lat lub jestem pełnoletni lub mam fioła na punkcie hip-hopu. Z punktu widzenia gramatyki języka polskiego zbyt częste powtarzanie jednego słowa lub zwrotu jest błędem. Przykładowo w powyższym zdaniu nauczyciel języka polskiego nakazałby usunięcie jednego słowa lub lub zastąpienie go innym słowem. Tymczasem z punktu widzenia logiki matematycznej w omawianym zdaniu błędu nie ma. W ujęciu matematycznym zdanie złożone składające się np. z 40 zdań prostych może być za każdym razem rozdzielone słowem lub pomimo tego, że słowo to wystąpi aż 39 razy w tym zdaniu. W logice matematycznej do rozdzielania zdań prostych dość często używa się słowa więc. Ponieważ = 5 i = 5 więc dodawanie jest przemienne. Skoro liczba 2 jest większa od 0, więc jest dodatnia. lub kilku słów np. wynika z tego, że lub wtedy i tylko wtedy gdy. W zbiorze liczb rzeczywistych, pierwiastek stopnia parzystego z liczby ujemnej istnieje tylko wtedy, gdy jest on stopnia nieparzystego. To co występuje w zdaniach złożonych między zdaniami prostymi, nazywa się w matematyce funktorami zdaniotwórczymi. Trzeba tu jednak zaznaczyć, że przykładowo w zdaniu: Nieprawda, że lubię pić kawę. funktorem zdaniotwórczym jest wyrażenie nieprawda, że pomimo tego, że nie stoi ono między zdaniami prostymi. Funktor zdaniotwórczy jedno słowo lub kilka słów stojących bezpośrednio przed zdaniem prostym. W tym temacie funktory zdaniotwórcze wyróżniono kolorem zielonym. Wersja z dnia Logika matematyczna strona 5

6 Musisz jednak pamiętać, że funktory zdaniotwórcze występują tylko w tych zdaniach logicznych. Przykładowo słowo więc nie będzie funktorem zdaniotwórczym jeśli zostanie ono użyte np. w zdaniu: Umiesz to zrobić, więc zrób to! bo zdanie to nie jest oznajmujące (nie jest zakończone kropką). Ćwiczenie: Wyróżnij kolorem zielonym funktory zdaniotwórcze w poniższych złożonych zdaniach logicznych. Odp.: a) To krzesło jest solidne i dodatkowo jest ono ładne. b) W wieku 13 lat po raz pierwszy uprawiałam seks i zaczęłam uczyć się języka japońskiego. c) Mam 17 lat lub 19 lat lub 21 lat. d) Jestem chłopakiem lub nie jestem chłopakiem lub jestem dziewczyną. e) Moja dziewczyna jak ma włosy ufarbowane na blond, to wygląda ładniej, niż gdy ma zrobiony balejaż lub splecione w warkocz. f) Na ogół pijam Coca-Colę, ale gdy nie ma jej na stole, to pijam tylko herbatę lub kawę. a) To krzesło jest solidne i dodatkowo jest ono ładne. b) W wieku 13 lat po raz pierwszy uprawiałam seks i zaczęłam uczyć się języka japońskiego. c) Mam 17 lat lub 19 lat lub 21 lat. d) Jestem chłopakiem lub nie jestem chłopakiem lub jestem dziewczyną. e) Moja dziewczyna jak ma włosy ufarbowane na blond, to wygląda ładniej, niż gdy ma zrobiony balejaż lub splecione w warkocz. f) Na ogół pijam Coca-Colę, ale gdy nie ma jej na stole, to pijam tylko herbatę lub kawę. W logice matematycznej funktory mają swoją nazwę i symbol. Dla jednego zdania prostego istnieją 4 różne funktory zdaniotwórcze. Funktory te oznaczmy przykładowo symbolami:,,,. Działanie tych funktorów na jednym zdaniu prostym mogącym przybierać wartość logiczną 0 lub 1 przedstawia poniższa tabelka. p Powyższą tabelkę należy rozumieć w taki sposób, że nowa wartość zdania prostego dzięki działaniu funktora: ma zawsze wartość 0, niezależnie od tego, czy zdaniu została przypisana wartość logiczna 0 czy 1 ma zawsze wartość zgodną z wartością logiczną zdania tzn. gdy = 0, to = 0, gdy = 1, to = 1 ma zawsze wartość przeciwną do wartości logicznej zdania tzn. gdy = 0, to = 1, gdy = 1, to = 0 ma zawsze wartość 1, niezależnie od tego, czy zdaniu została przypisana wartość logiczna 0 czy 1. Największą rolę w logice matematycznej odgrywa funktor oznaczony symbolem, czyli zmieniający wartość logiczną zdania prostego na przeciwną. Funktor ten nazywa się negacją (zaprzeczeniem) i najczęściej oznacza się go symbolem ~ lub Not. Funktor negacji wymawia się nieprawda, że, ale zapis ~ bywa często czytany w skrócie: nie. Przypuśćmy więc, że literką oznaczymy zdanie proste: Wówczas zdanie proste oznaczone ~ będzie brzmieć: Jestem chłopakiem. Nieprawda, że jestem chłopakiem. Wersja z dnia Logika matematyczna strona 6

7 Pisanie, że ~ brzmi Jestem dziewczyną. jest błędne. Aby lepiej zrozumieć o co tu chodzi, przytoczę krótką anegdotkę: Nauczycielka pyta Jasia: Jasiu, czy kwadrat jest prostokątem? Jaś odpowiada: Jam mam fiutka, a pani nie. Wniosek: To co powiedział Jaś jest poprawne. Nie jest to jednak odpowiedź na pytanie nauczycielki. W naszym przypadku jest podobnie. Jeśli mamy zdanie Jestem chłopakiem. i chcemy jemu zaprzeczyć, to nie możemy pisać Jestem dziewczyną. Musimy napisać Nie jestem chłopakiem. lub Nie prawda, że jestem chłopakiem.. W przeciwnym razie nie mielibyśmy zdania zaprzeczającego lecz zadanie równoważne do zaprzeczającego. Jeśli literką oznaczymy zdanie proste Lubię seks., to zdanie ~ będzie brzmieć Nieprawda, że lubię seks. Jeśli literką oznaczymy zdanie proste Z egzaminu dostałem 90 punktów na 100 możliwych., to zdanie ~ będzie brzmieć Nieprawda, że z egzaminu dostałem 90 punktów na 100 możliwych. Zdanie równoważne zaprzeczeniu będzie brzmieć: Na pewno nie dostałem dokładnie 90 punktów. Jeśli literką oznaczymy zdanie proste Z egzaminu dostałem więcej niż 90 punktów na 100 możliwych., to zdanie ~ będzie brzmieć Nieprawda, że z egzaminu dostałem więcej niż 90 punktów na 100 możliwych. Zdanie równoważne do zaprzeczenia będzie brzmieć: Z egzaminu dostałem dokładnie 90 punktów lub mniej. Ćwiczenie: Napisz negację (zaprzeczenie) podanego zdania oraz zdanie równoważne do zaprzeczenia. a) Mam 5 zł. b) Mój wujek ma na imię Stanisław. c) Lubię czytać. d) Ważę więcej niż 100 kg. e) Lubię kolor czerwony i niebieski. f) Mam BMW lub Audi. [Zgadnij który z tych samochodów posiadam.] Odp.: Negacja: Zdanie równoważne negacji: a) Nieprawda, że mam 5 zł. Nie mam dokładnie 5 zł. b) Nieprawda, że mój wujek ma na imię Stanisław. Mój wujek ma inne imię niż Stanisław. c) Nieprawda, że lubię czytać. Nie lubię czytać. d) Nieprawda, że ważę więcej niż 100 kg. Ważę dokładnie 100 kg lub mniej. e) Nieprawda, że lubię kolor czerwony i niebieski. Nie lubię koloru czerwonego i niebieskiego. f) Nieprawda, że mam BMW lub Audi. Nie mam BMW i nie mam Audi. Przyjmijmy teraz, że mamy dane dwa zdania proste: i rozdzielone funktorem zdaniotwórczym. Jeśli funktor stoi między dwoma zdaniami prostymi to nazywa się on dwuargumentowym. Podobnie jak funktory jednoargumentowe może on przybierać wartości logiczne 0 lub 1 zależnie od wartości logicznych zdań prostych. W logice matematycznej funktorów dwuargumentowych jest dokładnie 16. Oznaczmy je symbolami:,,, i zobaczmy wyniki jakie one dają: Wersja z dnia Logika matematyczna strona 7

8 p Δ 1 q p Δ 2 q p Δ 3 q p Δ 4 q p Δ 5 q p Δ 6 q p Δ 7 q p Δ 8 q p Δ 9 q p Δ 10 q p Δ 11 q p Δ 12 q p Δ 13 q p Δ 14 q p Δ 15 q p Δ 16 q oznaczenie: p Nor q p Xor q p q p q p And q p q p q p q p Or q p q Ciekawostka: Patrząc wierszami na powyższe liczby wypisane na białym tle, widać, że w wierszu pierwszym mamy na przemian liczby 0 i 1. W wierszu drugim mamy na przemian po dwa 0 i po dwie 1. W wierszu trzecim mamy na przemian po 4 zera i po 4 jedynki, zaś w ostatnim wierszu mamy kolejno 8 zer i 8 jedynek. Taki sposób uporządkowania liczb nie jest przypadkowy. Bazuje on na tzw. dwójkowym systemie zapisywania liczb (system binarny) i pozwala na wypisanie wszystkich wartości funktorów bez obawy że przez przypadek nastąpi błąd w wypełnianiu tej tabelki. Mało tego. Dzięki takiemu sposobowi wypełniania tabelki, dostajemy wszystkie wartości funktorów zaczynając od kolumny z samymi zerami, a kończąc na kolumnie z samymi jedynkami. Jak widać funktory mają swoje oznaczenia, a niektóre z nich także nazwy. Oto one: Δ funktor Nor Δ funktor alternatywy wykluczającej: (funktor Xor) Δ funktor dysjunkcji: Δ funktor koniunkcji: (funktor And) Δ funktor równoważności: Δ funktor implikacji: Δ funktor alternatywy: (funktor Or) Jeśli chodzi o funktory dwuargumentowe (czyli te z powyższej tabelki), to największe znaczenie w logice matematycznej odgrywają tylko te które zostały oznaczone symbolami: Δ, Δ, Δ, Δ. Jak na razie po przeczytaniu tego tematu, wiesz, że są 4 funktory jednoargumentowe i jest 16 funktorów dwuargumentowych, czyli, że razem jest ich 20. Co ciekawe, aż 18 z tych 20-stu funktorów można zdefiniować używając wyłącznie dwóch pozostałych tj. funktora negacji i alternatywy. Wniosek: Cała logika matematyczna opiera się wyłącznie na jednoargumentowym funktorze negacji oraz dwuargumentowym funktorze alternatywy. Aby nie utrudniać sobie życia, dla wygody bardzo często używa się także funktora koniunkcji, implikacji oraz równoważności, choć każdy z nich można zastąpić używając tylko negacji i alternatywy. Jeśli chcesz umieć perfekcyjnie logikę matematyczną, nie musisz wszystkiego co napisałem wykuwać na pamięć. Wystarczy, że zapamiętasz tylko ten fragment poprzedniej tabelki: p Δ 9 q p Δ 10 q p Δ 12 q p Δ 15 q oznaczenie: p q p q p q p q nazwa: koniunkcja równoważność implikacja alternatywa oraz, że negacją wartości logicznej 0 jest wartość logiczna 1 i odwrotnie. To dosłownie wszystko co musisz umieć na pamięć. Wersja z dnia Logika matematyczna strona 8

9 Koniunkcja Koniunkcja zdanie złożone powstałe z dwóch zdań prostych połączonych funktorem koniunkcji:. Funktor koniunkcji wymawiamy: i, czyli powyższy zapis czytamy: pe i ku. Koniunkcja jest prawdziwa tylko wtedy, gdy wszystkie zdania proste są prawdziwe. Przykład:. Na ogół luty ma 28 dni i zazwyczaj w wakacje jest ciepło i co roku w Polsce pada śnieg Gdyby choćby jedno z powyższych zdań prostych nie było prawdziwe lub nie można byłoby jednoznacznie określić czy jest ono prawdziwe czy fałszywe, wówczas koniunkcja tych wszystkich zdań prostych byłaby fałszywa (miałaby wartość logiczną 0). Przykład: / ł. Na ogół luty ma 28 dni i zazwyczaj w wakacje jest ciepło i co roku pada śnieg, ę ż ć ś. ść ą łą ń. Ostatnie zdanie proste w powyższym przykładzie nie daje się jednoznacznie określić słowem prawda lub fałsz. Chodzi o to, że nie jest sprecyzowane, czy chodzi o opady śniegu na całej kuli ziemskiej, czy tylko o jakiś jej rejon. Jak wiadomo na równiku śnieg nigdy nie pada, a na przykład na Syberii pada co roku. Negacją funktora koniunkcji (nie negacją koniunkcji) jest funktor alternatywy patrz punkt 3) na stronie 13. Alternatywa Alternatywa zdanie złożone powstałe z dwóch zdań prostych połączonych funktorem alternatywy:. Funktor alternatywy wymawiamy: lub. Alternatywa jest fałszywa tylko wtedy, gdy wszystkie zdania proste są fałszywe we wszystkich pozostałych przypadkach jest prawdziwa. To samo można też wypowiedzieć w sposób równoważny: Przykład: Alternatywa jest prawdziwa, gdy przynajmniej jedno zdanie proste jest prawdziwe. ł Liczba 28 jest większa lub równa liczbie 28. Negacją funktora alternatywy (nie negacją alternatywy) jest funktor koniunkcji patrz punkt 3) na stronie 13. Wersja z dnia Logika matematyczna strona 9

10 Implikacja Implikacja zdanie złożone powstałe z dwóch zdań prostych połączonych funktorem implikacji:. Jeśli funktor implikacji stoi pomiędzy dwoma zdaniami prostymi p i q, to do przeczytania powstałego w ten sposób zdania złożonego, użyjemy jednego ze sformułowań: implikuje pociąga z wynika jeżeli to Spójrz teraz na ostatnią tabelkę, a dokładniej na kolumnę z implikacją. Zauważ, że wartości implikacji można łatwo zapamiętać. Implikacja jest fałszywa (ma wartość logiczną 0) tylko wtedy, gdy pierwsze zdanie logiczne (poprzednik) jest prawdziwe, a drugie (następnik) fałszywe w pozostałych przypadkach jest prawdziwa. Innymi słowy implikacja nie pozwala otrzymać z prawdy fałszu. lub inaczej: Z prawdy nie może wynikać fałsz. W przypadku implikacji, jeśli poprzednik jest prawdziwy, to następnik nie może być fałszywy. Na potwierdzenie tego podam teraz kilka przykładów: 2 = 3 ł 3 = 3 ł 2 = 2 / 4 = 9 ł / 9 = 9 / 4 = 4 z fałszu może wynikać fałsz z fałszu może wynikać prawda z prawdy może wynikać prawda (o ile przekształcenia są wykonane prawidłowo) No i został tylko przypadek gdy z prawdy wynika fałsz. Jest z nim tylko jeden problem. Nie istnieje żadne prawdziwe zdanie logiczne, które po poprawnych przekształceniach dałoby zdanie fałszywe. Zatem z prawdy nie może wynikać fałsz. W przypadku implikacji, ważna jest kolejność zdań prostych. Mianowicie zapis: to nie to samo co. Można natomiast symbol implikacji odwrócić, ale wówczas trzeba odwrócić także kolejność zdań prostych. Innymi słowy zamiast pisać można napisać, a zamiast pisać można pisać. Tę odwróconą implikację nazywamy implikacją w lewo lub implikacją odwrotną, a tę standardową implikacją w prawo lub implikacją prostą lub krócej implikacją. Jeśli mówimy tylko słowo implikacja to zawsze mamy na myśli implikację w prawo, a jeśli chcemy powiedzieć, że chodzi nam o implikację w lewo, to zawsze musimy dopowiedzieć w lewo. Zdania proste w implikacjach: oraz można zaprzeczyć. Otrzymamy wówczas implikacje o nowych nazwach: ~ ~ implikacja przeciwna (równoważna implikacji odwrotnej) ~ ~ implikacja przeciwstawna (równoważna implikacji prostej) Jeśli w zdaniu logicznym oprócz funktora implikacji występuje funktor alternatywy lub koniunkcji lub negacji, to implikacja jest najsilniejsza z nich. Oznacza to, że to właśnie implikacja, a nie koniunkcja czy alternatywa rozbija dane Wersja z dnia Logika matematyczna strona 10

11 wyrażenie na lewą i prawą stronę pomimo tego, że nie ma nawiasów. Innymi słowy oba poniższe zapisy są sobie równoważne: ~ ~ Równoważność Równoważność zdanie złożone powstałe z dwóch zdań prostych połączonych funktorem równoważności. ó ż ś ó ż ść Funktor równoważności wymawiamy: wtedy i tylko wtedy, gdy. Jego symbol nie bez powodu przypomina nałożone na siebie symbole implikacji w lewo i prawo. Funktor ten można bowiem zastąpić koniunkcją implikacji w lewo i prawo: Te 3 kreseczki w powyższym zapisie czytaj jest równoważne. Jest to symbol tzw. kongruencji. Zauważmy, że podstawie tabelki (2 strony wcześniej) mamy, że równoważność jest prawdziwa tylko wtedy, gdy wszystkie zdania proste mają tę samą wartość logiczną, tj. gdy wszystkie są fałszywe lub wszystkie są prawdziwe. Jeśli w zdaniu logicznym oprócz funktora równoważności występują inne funktory np. negacji, koniunkcji czy alternatywy, to funktor równoważności jest najsilniejszy z nich, i to właśnie on, a nie żaden z pozostałych funktorów rozbija dane wyrażenie na stronę lewą i prawą. Generalnie chodzi o to, że nie musimy stosować nawiasów w sytuacjach gdy występuje tylko jeden funktor równoważności. Przykładowo rzecz ujmując, oba poniższe zapisy są sobie równoważne: ~ ~ Silniejszy od funktora równoważności jest funktor kongruencji oznaczany symbolem:. Symbol kongruencji stosujemy wtedy, gdy chcemy zapisać, że dwie równoważności są sobie równoważne. Wersja z dnia Logika matematyczna strona 11

12 Temat: Rachunek zdań prawa logiczne (tautologia). Na początku tego opracowania napisałem, że w logice matematycznej zdania proste oznacza się małymi literkami z alfabetu angielskiego zaczynając od literki,,,. Od teraz prawie wszystkie zdania zarówno proste jak i złożone będziemy zapisywać tylko symbolicznie. Z poprzednich tematów wiemy już, że symbol ~ oznacza negację zaprzecza zdaniu przed którym stoi. Przykładowo zapis ~ zaprzecza zdaniu, zaś zapis ~ ~ zaprzecza zaprzeczeniu zdania. Przypuśćmy, że zdanie brzmi: więc zdanie ~ będzie brzmieć: zaś ~ ~ będzie brzmieć: Jestem chłopakiem. Nie jestem chłopakiem. [Równoważnie: Jestem dziewczyną. ] Nieprawda, że nie jestem chłopakiem. [Równoważnie: Nieprawda, że jestem dziewczyną. czyli Jestem chłopakiem. ] Wniosek: Skoro osoba mówiąca powyższe zdanie najpierw zaprzecza temu że jest chłopakiem, a potem znowu temu zaprzecza, więc w wyniku końcowym dostajemy zdanie początkowe, czyli, że jest chłopakiem. Z punktu widzenia logiki matematycznej, zaprzeczenie zaprzeczenia jest równoważne zdaniu wyjściowemu. Symbolicznie zapisuje się to w taki sposób: ~ ~ a poprawność tego zapisu sprawdza się rozpatrując wszystkie możliwe wartości zdania logicznego. Ponieważ opracowanie to dotyczy logiki dwuwartościowej, więc zdanie może przybierać tylko jedną z dwóch wartości tj. może być albo równe 0 albo 1. Wystarczy więc zrobić maluteńką tabelkę (metoda zerowo-jedynkowa) i zauważyć, że niezależnie od tego czy jest równe 0 czy 1, wynik końcowy zawsze wychodzi równy 1. Metoda zerowo-jedynkowa (tabelkowa) Aby zrobić tabelkę nawet do tak krótkiego wyrażenia: ~ ~ trzeba najpierw się zastanowić co w tej tabelce będzie. Na początek rzuca się nam w oczy to, że w zapisie tym występuje tylko jedno zdanie proste (po obu stronach równoważności). Tak więc pierwsza kolumna tabelki będzie zawierać wszystkie możliwe wartości zdania (będą tylko dwie). Dodatkowo widzimy, że mamy zaprzeczenie zdania (to będzie druga kolumna) oraz zaprzeczenie zaprzeczenia (kolumna 3-cia). Później widzimy równoważność (cały zapis), który to trzeba będzie umieścić w ostatniej tj. w czwartej kolumnie. Mamy więc taką tabelkę: ~ ~ ~ ~ ~ 0 1 Aby uzupełnić tę tabelkę, trzeba na pamięć znać co robi funktor negacji (ta falująca kreseczka) oraz funktor równoważności ( ). Wszystko to było omówione w poprzednim temacie. Mimo to, przypomnę, że negacja zmienia wartość logiczną 0 na 1, a wartość 1 na 0. Równoważność zaś daje wynik 1 jeśli to co jest po lewej stronie symbolu ma taką samą wartość logiczną jak to co jest po stronie prawej. Wiedzą to, możemy uzupełnić powyższą tabelkę: Wersja z dnia Logika matematyczna strona 12

13 ~ ~ ~ ~ ~ Analiza powyższej tabelki: Niezależnie od tego, czy zdanie proste przyjmuje wartość logiczną 0 czy 1, w ostatniej kolumnie wyszły same jedynki (każda jedynka to symboliczny zapis słowa prawda ). Oznacza to, że zawsze zaprzeczenie zaprzeczenia jest równoważne zdaniu początkowemu. Zdanie złożone np. takie jak w ostatniej kolumnie powyższej tabelki, które zawsze jest prawdziwe niezależnie od wartości logicznych zdań prostych w nim występujących, nazywamy prawem logicznym lub krócej tautologią. Prawo logiczne (tautologia) zdanie złożone, które przyjmuje zawsze wartość logiczną 1 niezależnie od wartości logicznych zdań prostych. Każde prawo logiczne trzeba udowodnić, tzn. pokazać jego prawdziwość w każdym przypadku. W tym celu najczęściej stosuje się tzw. metodę zerowo-jedynkową, czyli robi się odpowiednią tabelkę do której wpisuje się tylko liczby 0 lub 1. Przykład takiej tabelki wraz z opisem został zaprezentowany nieco wyżej. Prawa logiczne można dowodzić także metodą nie wprost, ale na ogół za pomocą tabelki można dowód skończyć dużo szybciej. Nazwy praw logicznych Prawa logiczne miewają także swoje nazwy: l.p. prawo logiczne (wyrażenie które jest zawsze prawdziwe) nazwa prawa logicznego 1. ~ ~ prawo podwójnego przeczenia 2. ~ ~ prawo wyłączonej sprzeczności 3. ~ prawo wyłączonego środka 4. prawo rozdzielności koniunkcji względem alternatywy 5. prawo rozdzielności alternatywy względem koniunkcji 6. ~ ~ prawo kontrapozycji 7. prawo przechodniości implikacji 8. ~ ~ ~ prawo de Morgana 9. ~ ~ ~ prawo de Morgana Niektóre prawa logiczne nie mają nazw. Oto przykłady takich praw: 1) 2) ~ to prawo jest bardzo ważne. Wyucz się go na pamięć. 3) ~ ~ Spostrzeżenie: Dostawienie negacji przed implikacją w punkcie 2) sprawia, że zdania proste zmieniają swoje wartości na przeciwne i dodatkowo funktor alternatywy zmienia się w funktor koniunkcji. Wersja z dnia Logika matematyczna strona 13

14 Wykażmy teraz za pomocą metody zerowo-jedynkowej (czyli za pomocą tabelki), że pierwsze z powyższych wyrażeń jest prawem logicznym. Analiza zapisu tego wyrażenia: 1. Mamy dwa zdania proste: i, czyli będziemy potrzebować dwie kolumny (po jednej do każdego zdania prostego), oraz 5 wierszy (wiersz pierwszy będzie zawierać nagłówki kolumn, zaś 4 pozostałe wszystkie możliwe przypadki dla tych dwóch zdań prostych: oba zdania są fałszywe, pierwsze zdanie jest fałszywe a drugie prawdziwe, pierwsze zdanie jest prawdziwe a drugie fałszywe, oba zdania są prawdziwe). 2. Widzimy, że po prawej stronie funktora implikacji jest alternatywa dwóch zdań, więc musimy zarezerwować sobie 3-cią kolumnę na tę właśnie alternatywę. 3. Została już tylko implikacja, więc ostatnią tj. 4-tą kolumnę tabelki rezerwujemy na wartości tejże implikacji. Robimy więc tabelkę: Opis uzupełniania tabelki: do kolumny drugiej wpisaliśmy na przemian 0 lub 1 do kolumny pierwszej wpisaliśmy na przemian po dwa zera i po dwie jedynki kolumnę 3-cią uzupełniamy w oparciu o dwie pierwsze kolumny, pamiętając o tym, że alternatywa dwóch zdań jest fałszywa (równa 0) tylko wtedy, gdy wszystkie zdania proste są fałszywe kolumnę ostatnią uzupełniamy w oparciu o kolumnę 1-wszą i 3-cią (kolejność jest ważna bo mamy implikację), pamiętając o tym, że w przypadku implikacji z prawdy nie może wynikać fałsz. Ponieważ w ostatniej kolumnie wyszły samej jedynki, więc wykazaliśmy, że wyrażenie jest tautologią. Za pomocą tej samej metody udowodnij, że wyrażenia: ~ ~ oraz ~ są także prawami logicznymi. Metoda nie wprost (apagogiczna) Jak wcześniej napisałem metoda zerowo-jedynkowa nie jest jedyną za pomocą której można sprawdzać, czy podane wyrażenie jest prawem logicznym. Inną metodą (nie tabelkową) jest metoda nie wprost. Polega ona na tym, że jako krok pierwszy stawiamy hipotezę o, że dane wyrażenie jest fałszywe. Zatem w naszym przypadku hipoteza brzmi: Wyrażenie jest fałszywe. Jeśli jest ona prawdziwa, to lewa strona tego wyrażenia (w tym przypadku jest nią tylko zdanie ) musi być prawdziwa, a prawa fałszywa. Tylko w takim przypadku implikacja jest fałszywa (zgodna z hipotezą). Ponieważ lewa strona jest prawdziwa, więc wiemy, że = 1. Zatem to samo ale z prawej strony funktora implikacji też ma wartość logiczną 1, a to oznacza, że alternatywa jest prawdziwa, co jest sprzeczne z wcześniej poczynionym założeniem, że jest ona fałszywa. Wniosek: Postawiona hipoteza jest błędna, więc wyrażenie jest zawsze prawdziwe (jest tautologią). Wersja z dnia Logika matematyczna strona 14

15 Aby można było lepiej zrozumieć co robiliśmy w powyższym dowodzie, wykonam teraz schemat: Wyrażenie ł ( ) jest fałszywe. Teraz wyraźnie widać, że czerwona jedynka i czerwone słowo fałsz są ze sobą w sprzeczności, bo alternatywa jest fałszywa tylko wtedy, gdy wszystkie zdania proste ją tworzące są fałszywe. Metodę nie wprost bardzo często wykorzystuje się wtedy, gdy trzeba wykazać prawdziwość czegoś dla nieskończenie wielu elementów jakiegoś zbioru. Ćwiczenie: Sprawdź (dowolną metodą), czy poniższe wyrażenia są prawami logicznymi. a) ~ ~ ~ b) ~ ~ ~ c) d) [( ) ] [( ) ( )] Tworzenie nowych praw logicznych Nowe prawa logiczne możemy tworzyć w oparciu o te, które już znamy. Wystarczy wykorzystać znaną z czasów gimnazjum metodę podstawiania tj. napisać dowolne wyrażenie zamiast dowolnej wybranej przez siebie literki (zmiennej zdaniowej). Jako przykład rozpatrzmy najpierw prawo które już dobrze znamy tj. prawo podwójnego przeczenia: ~ ~ i zamiast każdej literki (w tym przypadku nie możemy wybrać innej, bo jest tylko jedna) napiszmy jakiekolwiek wyrażenie które przyjdzie nam do głowy np.. Otrzymamy wóczas nowe wyrażenie: ~ ~ które po sprawdzeniu np. metodą zerowo-jedynkową także okaże się tautologią. Mało tego. Zamiast literki można napisać wyrażenie zawierające np. 20 literek i to co otrzymamy, również będzie tautologią. Taki sposób otrzymywania nowych tautologii dotyczy każdego prawa logicznego, a nie tylko przytoczonego wyżej prawa podwójnego przeczenia. Zobaczmy jeszcze tę metodę podstawiania na przykładzie jednego z dwóch praw de Morgana. Na początku mamy: ~ ~ ~ i zamiast literki napiszmy np., a zamiast literki napiszmy np.. Otrzymujemy zatem nowe, znacznie bardziej rozbudowane wyrażenie: ~ ~ ~ które po sprawdzeniu np. metodą zerowo-jedynkową (tabelkową) także okaże się tautologią. Wersja z dnia Logika matematyczna strona 15

16 Funktory Nor i Xor Na początku tego opracowania pisałem, że wszystkie funktory jendo- i dwuargumentowe można zdefiniować używając wyłącznie funktora negacji i alternatywy. Nie wykazywałem jednak tego, bo nie znaliśmy jeszcze ani metody tabelkowej, ani metody nie wprost. Teraz już je znamy, więc na początek wykażmy prawdziwość takiego wyrażenia: Nor ~ Jak wiadomo (patrz tabelka na stronie 8) funktor Nor jest prawdziwy tylko wtedy, wszystkie zdania proste są fałszywe, zaś alternatywa jest fałszywa tylko wtedy, gdy wszystkie zdania proste są fałszywe. Zaprzeczając alternatywie (patrz wyrażenie po prawej stronie funktora równoważności), dostajemy dokładnie to, co mamy po stronie lewej funktora równoważności i to bez wykonywania tabelki. Jeśli jednak chcesz na upartego pokazać prawdziwość tego wyrażenia za pomocą tabelki, to trzeba ją zrobić tak: Nor ~ Nor ~ Zobaczmy teraz, jak za pomocą alternatywy i negacji rozpisać funktor Xor. Jak wiadomo z tabelki zamieszczonej na stronie 8, wyrażenie jest prawdziwe tylko wtedy, gdy pierwsze zdanie proste jest fałszywe, a drugie jest prawdziwe. Robimy więc tabelkę: Xor ~ ~ ~ ~ Xor ~ ~ Ćwiczenie: Metodą prób i błędów ustal w jaki sposób wykorzystując tylko funktor alternatywy i negacji, można zastąpić funktory,,,, zamieszczone w tabelce na stronie 8. Zróbmy teraz coś innego. Spróbujmy funktory: alternatywy, koniunkcji, implikacji oraz równoważności zastąpić funktorem Nor oraz negacją. Na początek zauważmy, że bezpośrednio z tabelki ze strony 8, widać, że: A: ~ Nor Powyższą równoważność oznaczmy sobie czerwoną literą A, byśmy później mogli łatwo do niej wrócić, i alternatywą już nie zaprzątajmy sobie głowy uzyskaliśmy już to co chcieliśmy. Przejdźmy do rozpisania koniunkcji. Na początek zauważmy, że na podstawie prawa de Morgana (strona 13) mamy: ~ ~ ~ Negując obie strony tej równoważności dostajemy: ~ ~ ~ ~ ~ Wersja z dnia Logika matematyczna strona 16

17 Na podstawie prawa podwójnego przeczenia (strona 13), widzimy, że lewa strona jest samą koniunkcją. Mamy więc: ~ ~ ~ Pozostaje nam już tylko prawą stronę powyższej równoważności zapisać za pomocą funktora Nor. W myślach oznaczmy ~ za pomocą literki, zaś ~ za pomocą literki. Mamy wówczas: ~ i na podstawie zapisu oznaczonego wcześniej literą A, mamy: Nor Cofając podstawienie, zamiast literki piszemy ~ i zamiast literki piszemy ~. Otrzymujemy zatem: B: ~ Nor ~ Pozostaje już do rozpisania tylko implikacja i równoważność. Zajmijmy się implikacją. Z wcześniejszych tematów tego opracowania, wiemy, że: Cofając podstawienie, otrzymujemy: ( ~ : ~ C: ~ ~ Nor ) Została już tylko równoważność o której wiemy, że to jednoczesna implikacja w obie strony, czyli, że: Zamiast napiszmy literkę i zamiast napiszmy literkę. Mamy więc: (~ Nor ~ ) ~ Nor ~ ~ Nor ~ ~ ~ ~ Nor Nor ~ ~ ~ Nor D: ~ Nor Nor ~ Nor Ćwiczenie: Funktory i (patrz tabelka na stronie 8) zastąp funktorem Nor oraz negacją. [Odp. ~ ; ~(~ Nor ~ ). Podpowiedzi: Rozpisz Xor za pomocą alternatywy (tabelka na stronie 16), a potem tę alternatywę zastąp funktorem Nor (patrz A). Aby rozpisać funktor najpierw na podstawie tabelki ze strony 8, zauważ, że jest on negacją koniunkcji. Potem na podstawie B zastąp otrzymaną koniunkcję funktorem Nor.] Ćwiczenie: Sprawdź za pomocą tabelki, czy na pewno powyższe wyrażenia oznaczone czerwonymi literami A, B, C, D oraz te z ćwiczenia powyższego są tautologiami. Wersja z dnia Logika matematyczna strona 17

18 Odpowiedzi: Sprawdzanie wartości logicznych bardziej rozbudowanych wyrażeń No i dobiegamy już końca. Jedną z ostatnich rzeczy o jakiej należy wiedzieć jest to, że im więcej zdań prostych ma dane wyrażenie, tym więcej przypadków trzeba sprawdzić. Aby nie ominąć żadnego dobrze jest wypisywać wartości logiczne zdań prostych w porządku jaki panuje w systemie dwójkowym (binarnym). Nie wnikając w szczegóły zapisywania liczb w systemie dwójkowym, powiem tylko tyle, że chodzi tu o to by w ostatnim zdaniu prostym wypisywać na przemian 0 i 1, w przedostatnim wypisywać na przemian po 2 zera i po 2 jedynki, w kolejnej kolumnie po 4 zera i po 4 jedynki, potem po 8 zer i po 8 jedynek itd. zależnie od tego ile zdań prostych będzie w danym wyrażeniu. Zobaczmy tabelkę wszystkich wartości dla 4-ch zdań prostych: Zauważmy, że wypisując wartości tym systemem, doszliśmy od wiersza z samymi zerami do wiersza z samymi jedynkami. Innymi słowy mamy pewność, że nic nie ominęliśmy Spostrzeżenie: Ilość przypadków jaką trzeba rozważyć w metodzie zerowo-jedynkowej wyraża się wzorem 2, gdzie to liczba zdań prostych. Gdybyśmy więc mieli 10 zdań prostych, to trzeba byłoby sprawdzić 2 = 1024 przypadki. Aby nie przeciągać, sprawdźmy metodą zerowo-jedynkową, czy wyrażnie: jest tautologią. Na początek zauważamy, że mamy 3 zdania proste, więc będziemy musieli rozważyć 2 przypadków. Robimy więc tabelkę mającą 9 wierszy (bo jeden z będzie jest przeznaczony na nagłówki kolumn) i wypisujemy wszystkie możliwości tych 3-ch zdań prostych. Potem dopisujemy już tylko pozostałe wyrażenia składowe. Mamy więc tabelkę: Wersja z dnia Logika matematyczna strona 18 L P na podstawie której widzimy, że badane przez nas wyrażenie nie jest tautologią (w ostatniej kolumnie nie wyszły same jedynki). Uzupełniając ostatnią kolumnę trzeba było pamiętać głównie o tym, że prawdy która jest w kolumnie przedostatniej, nie może wynikać fałsz w kolumnie 5-tej. W przypadku implikacji kolejność wyrażeń jest ważna. Dla

19 nie pomylenia tego, wprowadziłem do tabelki nowe oznaczenia. Literką L oznaczyłem lewą stronę końcowej implikacji, zaś literką P stronę prawą. Takie wprowadzanie nowych oznaczeń jest dozwolone, a stosuje się go głównie gdy dane wyrażenie jest dość długie lub w celu nie pogubienia się przy wypełnianiu tabelki. Wersja z dnia Logika matematyczna strona 19

20 Temat: Formy zdaniowe. Forma zdaniowa to wyrażenie które będzie można ocenić w kategorii prawda / fałsz jeśli zamiast każdej literki w nim występującej napiszemy jakąś wartość (nie koniecznie liczbę). Dla przykładu rozpatrzmy taką formę zdaniową: Liczba 3 jest dodatnia. i zauważmy, że nie możemy ocenić jej wartości logicznej (0 lub 1), bo nie wiemy jaką liczbą jest. Jeśli zaś zamiast napiszemy jakąś liczbę, to nasza forma zdaniowa przestanie być formą zdaniową, a stanie się wyrażeniem logicznym o którym będziemy mogli jednoznacznie powiedzieć, że jest prawdziwe lub fałszywe. Przykłady innych form zdaniowych: Liczba 7 jest podzielna przez 3. pisała kryminały. [W tym przypadku zamiast należy podstawić nazwisko kobiety, a nie liczbę.] Star Trek to film. [W tym przypadku zamiast należy podstawić np. fajny, fantastyczny, przygodowy, itp.] Jaś Fasola jest. [W tym przypadku zamiast należy napisać np. cechę charakteru tej postaci.] Forma zdaniowa może zawierać więcej niż jedną literkę (zmienną zdaniową). Przykłady takich form to: Dziś wieczorem najpierw będę oglądać, a potem uprawiać. [Zamiast literki można napisać np. słowo mecz, zaś zamiast literki można przykładowo napisać jogging.] W klasie IV szkoły podstawowej uczyłam się i z zachowania miałam. Moja koleżanka jest, ale jej chłopak to h i. Podobnie jak równanie funkcji oznaczamy małą literką lub, tak formę zdaniową oznaczamy małą grecką literą φ (wymawiaj: fi) lub ψ (wymawiaj: psi). Tak samo jak przy funkcjach, tak i przy formie zdaniowej należy dorzucić nawias, a w nim zmienne które zawiera ona zawiera np.:, = Dziś wieczorem najpierw będę oglądać, a potem uprawiać., = W klasie IV szkoły podstawowej uczyłam się i z zachowania miałam., h, = Moja koleżanka jest, ale jej chłopak to h i. = Jaś Fasola jest. Jak więc widać, zamiast literek występujących w formie zdaniowej możemy podstawiać różne wyrażenia (także liczby). Wszystkie te wyrażenia którymi można zastąpić literki w formie zdaniowej nazywamy dziedziną formy zdaniowej. Rozpatrzmy jeszcze raz formę zdaniową: = Jaś Fasola jest. i zastanówmy się, czy podane niżej wyrażenie należy do jej dziedziny: a) kobietą tak, bo po napisaniu tego wyrażenia zamiast zmiennej otrzymamy zdanie fałszywe. b) mądry tak, bo po napisaniu tego wyrażenia dostaniemy zdanie dające się ocenić prawda / fałsz. c) przystojny tak, bo po napisaniu tego wyrażenia dostaniemy zdanie dające się ocenić prawda / fałsz. d) bystry tak, bo po napisaniu tego wyrażenia dostaniemy zdanie dające się ocenić prawda / fałsz. e) niski tak, bo po napisaniu tego wyrażenia dostaniemy zdanie dające się ocenić prawda / fałsz. f) krzesłem nie, bo otrzymane zdanie byłoby pozbawione sensu. Wersja z dnia Logika matematyczna strona 20

21 Jak widać spośród wyrażeń które należą do dziedziny można wyodrębnić te które sprawiają że forma zdaniowa zmienia się w zdanie fałszywe oraz takie, które sprawiają, że forma zdaniowa staje się prawdziwa. Jeśli wyrażenie wstawione do formy zdaniowej zamiast jej zmiennej sprawi, że stanie się ona zdaniem prawdziwym, to wówczas mówimy, że spełnia ono tę formę zdaniową. Możemy zatem powiedzieć, że wyrażenie z powyższego podpunktu a) nie spełnia tamtej formy zdaniowej, bo rzeczą oczywistą jest to, że Jaś Fasola nie jest kobietą. Wersja z dnia Logika matematyczna strona 21