PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE"

Transkrypt

1 Marek Cieciura, Janusz Zacharski PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE CZĘŚĆ III RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA Na prawach rękopisu Warszawa, wrzesień 0

2 RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA Statystyka jest bardziej sposobem myślenia lub wnioskowania niŝ pęczkiem recept na młócenie danych w celu odsłonięcia odpowiedzi - Calyampudi Radhakrishna Rao Podręcznik: PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE publikowany jest w częściach podanych poniŝej Nr I. Wprowadzenie II. III. IV. Statystyka opisowa Tytuł Rachunek prawdopodobieństwa Statystyka matematyczna V. Przykłady zastosowań w informatyce VI. VII. Wybrane twierdzenia z dowodami Tablice statystyczne Autorzy proszą o przesyłanie wszelkich uwagi i propozycji dotyczących zawartości podręcznika z wykorzystaniem formularza kontaktowego zamieszczonego w portalu Publikowane części będą na bieŝąco poprawiane, w kaŝdej będzie podawana data ostatniej aktualizacji. Podręcznik udostępnia się na warunku licencji Creative Commons (CC): Uznanie Autorstwa UŜycie Niekomercyjne Bez Utworów ZaleŜnych (CC-BY-NC-ND),co oznacza: Uznanie Autorstwa (ang. Attribution - BY): zezwala się na kopiowanie, dystrybucję, wyświetlanie i uŝytkowanie dzieła i wszelkich jego pochodnych pod warunkiem umieszczenia informacji o twórcy. UŜycie Niekomercyjne (ang. Noncommercial - NC): zezwala się na kopiowanie, dystrybucję, wyświetlanie i uŝytkowanie dzieła i wszelkich jego pochodnych tylko w celach niekomercyjnych.. Bez Utworów ZaleŜnych (ang. No Derivative Works - ND): zezwala się na kopiowanie, dystrybucję, wyświetlanie tylko dokładnych (dosłownych) kopii dzieła, niedozwolone jest jego zmienianie i tworzenie na jego bazie pochodnych. Podręcznik i skorelowany z nim portal, są w pełni i powszechnie dostępne, stanowią więc Otwarte Zasoby Edukacyjne - OZE (ang. Open Educational Resources OER).

3 PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE SPIS TREŚCI 5. ZDARZENIA LOSOWE I PRAWDOPODOBIEŃSTWO UWAGI WSTĘPNE ZDARZENIA LOSOWE RELACJE MIĘDZY ZDARZENIAMI DEFINICJE PRAWDOPODOBIEŃSTWA Klasyczna definicja prawdopodobieństwa Geometryczna definicja prawdopodobieństwa Statystyczna definicja prawdopodobieństwa Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa PRAWDOPODOBIEŃSTWO WARUNKOWE PRAWDOPODOBIEŃSTWO CAŁKOWITE I TWIERDZENIE BAYESA ZDARZENIA NIEZALEśNE ZMIENNE LOSOWE ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE Pojęcie zmiennej losowej Zbiory przeliczalne i nieprzeliczalne Zmienne losowe skokowe Dystrybuanta Zmienne losowe ciągłe ZMIENNE LOSOWE DWUWYMIAROWE Pojęcie zmiennej losowej dwuwymiarowej Dystrybuanta zmiennej losowej dwuwymiarowej Zmienne losowe dwuwymiarowe skokowe Zmienne losowe dwuwymiarowe ciągłe Rozkłady brzegowe Rozkłady warunkowe Zmienne losowe niezaleŝne PARAMETRY ROZKŁADU ZMIENNYCH LOSOWYCH MIARY POŁOśENIA ZMIENNEJ LOSOWEJ JEDNOWYMIAROWEJ Wartość oczekiwana Mediana Parametry pozycyjne Wartość oczekiwana funkcji zmiennej losowej MIARY ROZPROSZENIA ZMIENNEJ LOSOWEJ JEDNOWYMIAROWEJ Wariancja Odchylenie przeciętne Odchylenie ćwiartkowe Współczynnik zmienności ASYMETRIA I SPŁASZCZENIE ROZKŁADU JEDNOWYMIAROWEJ ZMIENNEJ LOSOWEJ WARTOŚĆ OCZEKIWANA I MOMENTY ZMIENNEJ LOSOWEJ DWUWYMIAROWEJ PARAMETRY ROZKŁADU ZMIENNEJ LOSOWEJ DWUWYMIAROWEJ Wartość oczekiwana funkcji dwuwymiarowej zmiennej losowej Momenty dwuwymiarowej zmiennej losowej Współczynnik korelacji Zmienne losowe nieskorelowane... 64

4 RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 8. REGRESJA ZMIENNYCH LOSOWYCH WPROWADZENIE ZALEśNOŚĆ FUNKCYJNA ZMIENNYCH LOSOWYCH REGRESJA I RODZAJU REGRESJA II RODZAJU LINIOWA REGRESJA II RODZAJU PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA ROZKŁADY SKOKOWE Rozkład jednopunktowy Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład geometryczny Rozkład Poissona Powiązanie rozkładów skokowych ROZKŁADY CIĄGŁE Rozkład jednostajny Rozkłady normalne Rozkład wykładniczy Rozkład chi kwadrat Rozkład Studenta Rozkład Snedecora Powiązania rozkładów ciągłych ZESTAWIENIE ROZKŁADÓW Zestawienie rozkładów skokowych Zestawienie rozkładów ciągłych TWIERDZENIA GRANICZNE RODZAJE TWIERDZEŃ GRANICZNYCH TWIERDZENIA INTEGRALNE ZbieŜność według dystrybuant Twierdzenie Lindeberga Levy ego Integralne twierdzenie Moivre a Laplace a Związek pomiędzy twierdzeniami granicznymi integralnymi Uwagi końcowe o twierdzeniach integralnych TWIERDZENIA LOKALNE Twierdzenie Poissona Lokalne twierdzenie Moivre a Laplace a PRAWA WIELKICH LICZB ZbieŜność według prawdopodobieństwa Prawo wielkich liczb Bernoulliego Prawo wielkich liczb Chinczyna

5 PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE 5. ZDARZENIA LOSOWE I PRAWDOPODOBIEŃSTWO 5.. Uwagi wstępne Przypadkowość lub inaczej losowość wiąŝe się z kaŝdym doświadczeniem, jest ono bowiem zawsze w większym czy mniejszym stopniu losowe. Rachunek prawdopodobieństwa jest działem matematyki zajmującym się badaniem prawidłowości w zakresie doświadczeń losowych, zwanych takŝe zjawiskami przypadkowymi. Przez doświadczenie losowe rozumiemy takie doświadczenie, które moŝe być powtarzane wiele razy w tych samych warunkach i którego wyników nie moŝna jednoznacznie przewidzieć. Przykłady doświadczeń losowych: Rzut monetą. Rzut kością. Losowanie Toto-Lotka. Rozdanie kart w czasie gry w brydŝa. Obserwacja liczby cząstek α emitowanych przez substancję promieniotwórczą w ciągu pewnego czasu, np. 0 sek. Pomiar określonej wielkości fizycznej. Strzelanie do celu. Bezawaryjny czas pracy komputera, itp. 5.. Zdarzenia losowe Pojęciem pierwotnym rachunku prawdopodobieństwa jest zdarzenie elementarne. Dla kaŝdego doświadczenia naleŝy oddzielnie ustalić, co rozumie się przez to pojęcie i jakie moŝliwe są zdarzenia elementarne. Zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych danego doświadczenia losowego oznaczamy literą Ω. Zdarzenia losowe (krótko: zdarzenia) są podzbiorami złoŝonymi z pewnej liczby zdarzeń elementarnych. Dane zdarzenie losowe zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi jedno ze zdarzeń elementarnych wchodzących w skład tego zdarzenia losowego. O zdarzeniach elementarnych, które naleŝą do danego zdarzenia losowego mówi się, Ŝe sprzyjają temu zdarzeniu. Zdarzeniami losowymi są takŝe szczególne zbiory: Sam zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych Ω, który nazywamy zdarzeniem pewnym; Zbiór nie zawierający Ŝadnego zdarzenia elementarnego (zbiór pusty), który nazywamy zdarzeniem niemoŝliwym; Zbiory jednoelementowe, składające się z jednego zdarzenia elementarnego. Zdarzenie pewne zachodzi w kaŝdym doświadczeniu losowym, natomiast zdarzenie niemoŝliwe nie zachodzi w Ŝadnym doświadczeniu. n Jeśli zbiór zdarzeń elementarnych Ω ma n elementów, to zdarzeń losowych jest (łącznie ze zdarzeniem pewnym i niemoŝliwym) czyli tyle, ile podzbiorów ma n-elementowy zbiór. Przykład 5. Partia towaru składa się ze sztuk dobrych i wadliwych. Z partii tej wybieramy losowo jedną sztukę towaru. Zdarzenia elementarne ustalamy następująco: d - wybranie sztuki dobrej, w - wybranie sztuki wadliwej. Wtedy zbiorem zdarzeń elementarnych jest zbiór Ω = d, w { } 5

6 RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA MoŜliwe są 4 zdarzenia losowe: { d } - wybranie sztuki dobrej; { w } - wybranie sztuki wadliwej; { d, w} = Ω - wybranie sztuki dobrej lub wadliwej (zdarzenie pewne); - zdarzenie niemoŝliwe (wybranie sztuki ani dobrej ani wadliwej). Przykład 5. Strzelec oddaje do celu dwa strzały. Zdarzenia elementarne ustalamy następująco: (, t) trafienie do celu; ( t,c) - trafienie w pierwszym strzale i chybienie w drugim strzale; (, t) chybienie w pierwszym i trafienie w drugim strzale; (,c) zdarzeń elementarnych jest zbiór Ω = {( t, t),( t,c),( c, t),( c,c) } MoŜliwych jest tu 4 = 6 zdarzeń losowych. Oto niektóre z nich: {( t, t),( t,c),( c,t) } - trafienie do celu co najmniej raz; {( t, t),( t,c) } - trafienie do celu w pierwszym strzale; {( t, t) } - dwukrotne trafienie do celu. Przykład 5. t - dwukrotne c - c - dwukrotne chybienie celu. Zbiorem Strzelec oddaje do celu dwa strzały. Interesuje nas liczba celnych strzałów. Zdarzenia elementarne w odróŝnieniu od poprzedniego przykładu ustalimy następująco: ω 0 - strzelec trafił do celu 0 razy, ω - trafił do celu dokładnie raz i ω - trafił dwa razy. Zbiorem zdarzeń elementarnych jest teraz zbiór Ω = ω, ω ω { } 0, Zdarzeń losowych mamy w tym przykładzie = 8. Oto niektóre z nich: { ω,ω } - trafienie do celu co najmniej raz; ω - trafienie do celu co najwyŝej raz; { } 0,ω { } { ω ω } = Ω ω - trafienie do celu dokładnie raz;, - trafienie do celu nie więcej niŝ dwa razy (zdarzenie pewne). ω0, Przy tak określonym zbiorze zdarzeń elementarnych nie moŝna mówić o zdarzeniu polegającym na trafieniu do celu w pierwszym strzale. Przykłady 5. i 5. wskazują, Ŝe dla tego samego doświadczenia losowego, w zaleŝności od interesującego nas zagadnienia, zbiór zdarzeń elementarnych moŝe być określony w róŝny sposób. 5.. Relacje między zdarzeniami Stosując działania rachunku zbiorów z danych zdarzeń losowych moŝemy tworzyć nowe, analogicznie jak robimy to ze zdaniami. Postępując tak określamy: Sumę zdarzeń A, B - zdarzenie składające się z tych wszystkich zdarzeń elementarnych, które naleŝą do co najmniej jednego ze zdarzeń A, B rys. 5.. Sumę zdarzeń A, B oznaczamy symbolem A B. Suma zdarzeń A, B zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi co najmniej jedno ze zdarzeń A, B. Iloczyn zdarzeń A, B - zdarzenie składające się z tych wszystkich zdarzeń elementarnych, które naleŝą do kaŝdego ze zdarzeń A, B rys. 5.. Iloczyn zdarzeń A, B oznaczamy symbolem A B. Iloczyn zdarzeń A, B zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi kaŝde ze zdarzeń A, B. KaŜde działanie w rachunku zbiorów ma odpowiednik w rachunku zdań i odwrotnie, np. sumie zbiorów odpowiada alternatywa zdań, a iloczynowi zbiorów koniunkcja zdań. 6

7 PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE RóŜnicę zdarzeń A, B - zdarzenie składające się z tych wszystkich zdarzeń elementarnych, które naleŝą do A i nie naleŝą do B rys. 5.. RóŜnicę zdarzeń A, B oznaczamy symbolem A B. RóŜnica zdarzeń A, B zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi A i nie zachodzi B. Zdarzenie przeciwne do zdarzenia A - zdarzenie składające się z tych wszystkich zdarzeń elementarnych, które nie naleŝą do A (lecz naleŝą do zbioru zdarzeń elementarnych Ω) rys Zdarzenie przeciwne do A oznaczamy symbolem A. Zdarzenie przeciwne do A zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy nie zachodzi zdarzenie A. Zdarzenie A pociągające za sobą zdarzenie B - jeśli kaŝde zdarzenie elementarne naleŝące do A naleŝy takŝe do B i zapisujemy to w postaci A B - rys Zdarzenie A pociąga zdarzenie B wtedy i tylko, wtedy, gdy z zajścia zdarzenia A wynika zajście zdarzenia B. Wykluczające się zdarzenia A, B - jeśli nie mają one wspólnych zdarzeń elementarnych, tzn. iloczyn zdarzeń A, B jest zdarzeniem niemoŝliwym A B = - rys Zdarzenia A, B wykluczają się wtedy i tylko wtedy, gdy nie mogą zajść łącznie. Rys. 5.. Suma zdarzeń Rys. 5.. Iloczyn zdarzeń Rys. 5.. RóŜnica zdarzeń Rys Zdarzenie przeciwne Rys Zdarzenie pociągające Rys Zdarzenia wykluczające się PowyŜsze rysunki nazywane są diagramami Venna. W poniŝszej tabeli podano wybrane relacje dotyczące rozpatrywanych zdarzeń. Tabela 5.. Relacje dotyczące zdarzeń Suma i iloczyn zdarzeń Zdarzenie przeciwne RóŜnica zdarzeń A A =A (A ) = A A B = A B A A = A A A = Ω A= A A B=B A A A = Ω A Ω= A B=B A A (B C) =(A B) C A (B C)=(A B) (A C) Ω = (A B) = A B (A B) = A B prawa de Morgana A= A A= A = A A (B C) =(A B) (A C) A Ω=Ω A = A Ω=A Dowód praw de Morgana odano w punkcie 0. części VII Wybrane twierdzenia z dowodami 7

8 RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA PoniŜej za pomocą diagramów Venna przedstawiono dwie z w/w zaleŝności: A (B C)=(A B) (A C) - rys. 5.7 A (B C) =(A B) (A C) - rys B C A B B C A B A (B C) A C A (B C) A C (A B) (A C) (A B) (A C) Rys A (B C)=(A B) (A C) Rys A (B C) =(A B) (A C) Przykład 5.4 Z partii układów scalonych wybrano losowo 5 sztuk. Interesuje nas liczba wybranych wadliwych układów. Dlatego zbiór zdarzeń elementarnych określamy następująco Ω = ω, ω, ω, ω, ω ω { 0 4, 5 } gdzie: k ( k = 0,, K,5) wadliwych układów scalonych. Zdarzenie A { ω, ω, ω4, ω5} dwóch wadliwych układów; B { ω 0, ω, ω, ω, ω 4 } układów; { } ω oznacza zdarzenie elementarne polegające na wybraniu dokładnie k = oznacza wybranie co najmniej = wybranie nie więcej niŝ czterech wadliwych C = ω wybranie dokładnie jednego wadliwego układu. Wtedy: suma A B = Ω jest zdarzeniem pewnym; A B = ω, ω ω oznacza wybranie lub lub 4 wadliwych układów; iloczyn {, } 4 róŝnica A B = { ω 5 } zdarzeniem przeciwnym do A jest A = { ω ω } oznacza wybranie dokładnie 5 wadliwych układów; 0, oznacza wybranie co najwyŝej jednego wadliwego układu; zdarzenie C pociąga zdarzenie B, C B oznacza to, Ŝe gdy zajdzie zdarzenie C to zajdzie takŝe zdarzenie B zdarzenia A i C wykluczają się, A B = oznacza to, Ŝe zdarzenia te nie mogą zajść łącznie. 8

9 PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE 5.4. Definicje prawdopodobieństwa Klasyczna definicja prawdopodobieństwa Jeśli: a) zbiór zdarzeń elementarnych ma skończoną liczbę elementów Ω = {ω, ω,, ω n } b) wszystkie zdarzenia losowe jednoelementowe {ω }, {ω },..., {ω n } są jednakowo prawdopodobne P({ω }) = P({ω }) =... = P({ω n }) to prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe P(A) = A Ω gdzie: A oznacza liczbę zdarzeń elementarnych naleŝących do zdarzenia A, natomiast Ω liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych. Zdarzenia elementarne, z których składa się zdarzenie A, nazywamy zdarzeniami sprzyjającymi zajściu tego zdarzenia, zaś zdarzenia elementarne, naleŝące do zbioru Ω zdarzeniami moŝliwymi. MoŜna więc powiedzieć, Ŝe gdy spełnione są załoŝenia a) i b), to prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe stosunkowi liczby zdarzeń sprzyjających zajściu A do liczby moŝliwych zdarzeń elementarnych. Przykład 5.5 Rzut kością Ω = {ω, ω, ω, ω 4, ω 5 ω 6 }, gdzie ω k (k =,..., 6) oznacza wyrzucenie k oczek. Jeśli kość jest symetryczna, to spełnione są załoŝenia a) i b). Mamy 6 moŝliwych zdarzeń elementarnych. Zdarzeniu A - wyrzucenie parzystej liczby oczek - sprzyjają zdarzenia elementarne ω, ω 4, ω 6, więc P(A) = = ; zdarzeniu B (wyrzucenie co najmniej oczek) 6 sprzyjają 4 zdarzenia elementarne {ω, ω 4, ω 5 ω 6 }, więc P(B) = 4 = ; zdarzeniu 6 C - wyrzuceniu dokładnie oczek sprzyja tylko jedno zdarzenie elementarne ω, więc P(C) = Geometryczna definicja prawdopodobieństwa Rozpatrzymy przypadek, gdy zbiór zdarzeń elementarnych Ω jest zbiorem punktów prostej, płaszczyzny lub przestrzeni. Zakładamy, Ŝe: a) zbiór Ω jest mierzalny o skończonej mierze, tzn. ma skończoną długość, pole lub objętość; b) wszystkie punkty zbioru Ω mają jednakowe szanse wylosowania. Wtedy prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia A, będącego podzbiorem mierzalnym zbioru Ω, wyraŝa się wzorem: miaraa P(A) = miaraω gdzie przez miarę rozumiemy długość, pole lub objętość, w zaleŝności czy zbiór Ω leŝy na prostej, płaszczyźnie lub w przestrzeni. 9

10 Przykład 5.6 RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA Obliczymy prawdopodobieństwo, Ŝe losowo wybrany punkt kwadratu OBCD o boku jest oddalony od punktu 0 więcej niŝ o 0,5 i mniej niŝ o. ( A) π polea 4 π = = = poleω 6 P Przykład 5.7 Dysponujemy radarem o jednostajnie obracającej się antenie, której rozwarcie charakterystyki kierunkowej wynosi 8. Obliczymy prawdopodobieństwo wykrycia pojedynczego sygnału radiowego przez ten radar. Zakładamy, Ŝe sygnał jest punktowy, tzn. Ŝe jest bardzo krótki w porównaniu z okresem obrotu anteny. Radar wykrywa sygnał w wycinku koła o promieniu R w kącie rozwarcia 8. Natomiast sygnał moŝe pojawić się w dowolnym punkcie tego koła (nie znamy połoŝenia nadajnika). Pola wycinka i koła są proporcjonalne do kątów 8 i 60, więc polea 8 P(A) = = = 0,05 poleω Statystyczna definicja prawdopodobieństwa W praktyce nie zawsze znana jest liczebność zbioru zdarzeń elementarnych, która jest potrzebna przy wykorzystaniu definicji klasycznej, bądź nie jest łatwo doliczyć się liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających poszczególnym zdarzeniom losowym. Podobnie nie zawsze są znane miary potrzebne dla skorzystania z definicji geometrycznej. Znajomości tych wielkości nie wymaga definicja statystyczna. W długiej serii doświadczeń obserwuje się wystąpienia zdarzenia A. JeŜeli częstość n/n zdarzenia A, gdzie N jest długością serii, a n liczbą doświadczeń, w których pojawiło się zdarzenie A, przy wzrastaniu długości serii zbliŝa się do pewnej liczby p oscylując wokół tej liczby i jeśli wahania częstości zdarzenia przejawiają tendencję malejącą przy wzrastającym N, to liczba p nazywana jest prawdopodobieństwem zdarzenia A. P(A) = lim N n N 0

11 PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE Rys Ilustracja statystycznej definicji prawdopodobieństwa Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa śadna z podanych powyŝej definicji nie jest pozbawiona wad. I tak: Definicja klasyczna jest tautologią, gdyŝ definiując prawdopodobieństwo posługuje się pojęciem zdarzeń jednakowo moŝliwych, czyli jednakowo prawdopodobnych. Definicja geometryczna wymaga znajomości miary zbiorów, którymi się posługuje. Definicja statystyczna nie jest ścisła, bo nie jest sprecyzowana granica w niej występująca. Wspólną wadą tych definicji jest to, Ŝe definiując prawdopodobieństwo zdarzenia, odnosimy się do określonego typu doświadczenia. Takich wad nie ma podana poniŝej definicja aksjomatyczna, gdyŝ dotyczy ona wszystkich rodzajów doświadczeń losowych. Jeśli kaŝdemu zdarzeniu losowemu A przyporządkowano liczbę rzeczywistą P(A), zwaną prawdopodobieństwem zdarzenia A, w taki sposób, aby spełnione były następujące warunki: I. 0 P(A) II. Prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego jest równe P(Ω) = III. JeŜeli zdarzenia A, A,...A n,... wykluczają się parami (tzn. kaŝde dwa z nich wykluczają się), wtedy prawdopodobieństwo sumy tych zdarzeń jest równe sumie ich prawdopodobieństw P(A A... A n...) = P(A ) + P(A ) P(A n ) +... to określoną w ten sposób funkcję P nazywamy prawdopodobieństwem. Jeśli zbiór zdarzeń elementarnych Ω ma skończoną liczbę elementów, to warunek III moŝe być zastąpiony prostszym warunkiem: III'. Prawdopodobieństwo sumy dwóch dowolnych zdarzeń wykluczających się jest równe sumie ich prawdopodobieństw P(A B) = P(A) + P(B) Podane wcześniej definicje prawdopodobieństwa: klasyczna, geometryczna i statystyczna są szczególnymi przypadkami definicji aksjomatycznej. Przykład 5.8 Rzut monetą. Ω = {O, R}, gdzie O oznacza wyrzucenie orła, zaś R - wyrzucenie reszki. Mamy cztery zdarzenia losowe, {O}, {R}, Ω.. Określimy na tych zdarzeniach funkcję P w następujący sposób P( ) = 0, P({O}) =, P({R}) =, P(Ω) = Łatwo sprawdzić, Ŝe tak określona funkcja P spełnia warunki I, II, III, a więc jest prawdopodobieństwem. Wartości tej funkcji są prawdopodobieństwami poszczególnych zdarzeń. Wypowiedź, w której treści wyraz określający nie wzbogaca treści wyrazu określanego, powtarzając ją tylko.

12 RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA Na tych samych zdarzeniach losowych określimy inną funkcję, którą dla odróŝnienia oznaczymy P P ( ) = 0; P ({O}) =, P ({R}) =, P (Ω) = Łatwo sprawdzić, Ŝe takŝe funkcja P jest prawdopodobieństwem. Widzimy, Ŝe aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa nie precyzuje jednoznacznie wartości liczbowych prawdopodobieństw poszczególnych zdarzeń losowych. Na tym samym zbiorze zdarzeń losowych prawdopodobieństwo moŝe być określone na róŝne sposoby, byleby zgodnie z warunkami I, II, III. Jeśli jednak chcemy wykorzystywać teorię prawdopodobieństwa w praktyce, to powinniśmy określić prawdopodobieństwo tak, by spełniony był postulat: w długim ciągu powtórzeń w tych samych warunkach doświadczenia losowego częstość 4 zajścia zdarzenia A powinna zbliŝać się do prawdopodobieństwa tego zdarzenia. Postulat ten nazywamy interpretacją prawdopodobieństwa przy pomocy częstości. Z aksjomatycznej definicji prawdopodobieństwa moŝna wyprowadzić następujące własności prawdopodobieństwa 5 : I. prawdopodobieństwo zdarzenia niemoŝliwego jest równe zeru P( ) = 0 II. jeśli zdarzenia A,..., A n wykluczają się parami, to prawdopodobieństwo sumy zdarzeń jest równe sumie ich prawdopodobieństw P(A A... A n ) = P(A ) + P(A ) P(A n ) III. jeśli zdarzenie A pociąga zdarzenie B, to P(A) P(B) P(B A) = P(B) P(A) IV. prawdopodobieństwo sumy dwóch dowolnych zdarzeń jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń zmniejszonej o prawdopodobieństwo ich iloczynu P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) V. prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe róŝnicy jedności i prawdopodobieństwa zdarzenia przeciwnego do A P(A) = P(A') Definicja prawdopodobieństwa warunkowego 5.7. Prawdopodobieństwo warunkowe Niech A i B będą dowolnymi zdarzeniami losowymi, przy czym P(B)>0. Prawdopodobieństwem warunkowym zdarzenia A pod warunkiem, Ŝe zaszło zdarzenie B, nazywamy iloraz prawdopodobieństwa iloczynu zdarzeń A i B oraz prawdopodobieństwa zdarzenia B, co zapisujemy P(A/B) = P(A B) P(B) Symbol P(A/B) czytamy: prawdopodobieństwo zdarzenia A pod warunkiem, Ŝe zaszło zdarzenie B. Tak więc informacja o jakimś zdarzeniu B, które zaszło, moŝe mieć wpływ na prawdopodobieństwo innego zdarzenia A. 4 Częstością zdarzenia A nazywamy stosunek liczby doświadczeń, w których zdarzenie A zaszło, do liczby wykonanych doświadczeń. 5 Dowody podano w punkcie 0.. części VII Wybrane twierdzenia z dowodami

13 Przykład 5.9 PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE Obliczymy prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na wyrzuceniu parzystej liczby oczek przy rzucie kością pod warunkiem, Ŝe zaszło zdarzenie B polegające na wyrzuceniu co najwyŝej 5 oczek. Oczywiście A = {ω, ω 4, ω 6 }, B ={ω, ω, ω, ω 4, ω 5, }, zaś A B = {ω, ω 4 }, więc P(A B) P(A/B) = = 6 = P(B) Prawdopodobieństwo iloczynu Ze wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe moŝna wyznaczyć prawdopodobieństwo iloczynu dwóch zdarzeń. Prawdopodobieństwo iloczynu dwóch zdarzeń jest równe iloczynowi prawdopodobieństwa jednego z tych zdarzeń i prawdopodobieństwa drugiego zdarzenia pod warunkiem zajścia pierwszego P(A B) = P(A) P(B/A) przy załoŝeniu, Ŝe P(A)>0 Przykład 5.0 Detale poddawane są dwóm próbom. Drugiej próbie poddawane są te detale, które pozytywnie przeszły pierwszą próbę. Prawdopodobieństwo, Ŝe detal przejdzie pozytywnie pierwszą próbę wynosi 0,8, a dla drugiej pod warunkiem, Ŝe przeszedł pierwszą próbę wynosi 0,6. Obliczymy prawdopodobieństwo, Ŝe detal przeszedł pozytywnie obie próby. Niech A oznacza zdarzenie: detal przeszedł pozytywnie pierwszą próbę, B: detal przeszedł pozytywnie drugą próbę. Obliczymy P(A B). Z treści zadania wynika, Ŝe P(A) = 0,8, P(B/A) = 0,6, więc P(A B) = P(A)P(B/A) = 0,8 0,6 = 0, Prawdopodobieństwo całkowite i twierdzenie Bayesa Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym JeŜeli zdarzenia losowe A, A,..., A n o dodatnich prawdopodobieństwach wykluczają się parami i suma ich jest zdarzeniem pewnym, to dla dowolnego zdarzenia losowego B zachodzi wzór P(B) = P(A )P(B/A ) + P(A )P(B/A ) + + P(A n )P(B/A n ) zwany wzorem na prawdopodobieństwo całkowite. 6 Przykład 5. Piłkarzy podzielono na trzy grupy. W pierwszej grupie było 0, w drugiej 5, w trzeciej 5 piłkarzy. KaŜdy piłkarz z pierwszej grupy zdobywa gola z karnego z prawdopodobieństwem 0,9, z drugiej z prawdopodobieństwem 0,8, a z trzeciej z prawdopodobieństwem 0,6. Obliczymy prawdopodobieństwo, Ŝe losowo wybrany piłkarz zdobędzie gola z karnego. Niech A k będzie zdarzeniem polegającym na wybraniu piłkarza z k-tej grupy (k =,,), zaś B zdarzeniem polegającym na tym, Ŝe wybrany piłkarz strzeli gola z karnego. Łatwo sprawdzić, Ŝe zdarzenia A, A, A, spełniają załoŝenia twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym, więc P(B) = P(A )P(B/A ) + P(A )P(B/A ) + P(A )P(B/A ) 6 Dowód podano w punkcie 0.. części VII Wybrane twierdzenia z dowodami

14 RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA Wszystkich piłkarzy było 50, więc P(A ) = = 0,, P(A ) = = 0,5, P(A ) = = 0,, dalej z treści zadania wynika, Ŝe P(B/A ) = 0,9, P(B/A ) = 0,8, P(B/A ) = 0,6, zatem P(B) = 0, 0,9 + 0,5 0,8 + 0, 0,6 = 0,76 Przykład 5. Zakład produkuje układy scalone na dwie zmiany. Pierwsza zmiana produkuje dwa razy więcej układów scalonych niŝ druga. Wśród układów scalonych wyprodukowanych przez pierwszą zmianę jest % wadliwych, a przez drugą zmianę jest 5% wadliwych. Z dziennej produkcji układów scalonych wybrano losowo jeden układ. Obliczymy prawdopodobieństwo, Ŝe jest on wadliwy. Wprowadzamy oznaczenia A - wybrany układ został wyprodukowany przez pierwszą zmianę, A - wybrany układ został wyprodukowany przez drugą zmianę, B - wybrany układ jest wadliwy. Obliczymy P(B). Z treści zadania wynika, Ŝe zdarzenia A i A spełniają załoŝenie twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym, zatem ale więc Twierdzenie Bayesa P(B) = P(A )P(B A ) + P(A )P(B A ) P(A ) = /, P(B A ) = 0,0 P(A ) = / P(B A ) = 0,05 P(B) = / 0,0 + / 0,05 = 00 JeŜeli zdarzenia losowe A,A,...,A n o dodatnich prawdopodobieństwach wykluczają się parami i suma ich jest zdarzeniem pewnym, zaś B jest dowolnym zdarzeniem o dodatnim prawdopodobieństwie, to zachodzi wzór P(A k )P(B A k ) P(A k B) = wzór Bayesa - postać zredukowana P(B) P(A k )P(B / A k ) P(A k /B) = P(A )P(B / A ) + P(A )P(B / A ) P(A )P(B / A ) n n wzór Bayesa - postać pełna dla k=,,..., n zwany wzorem Bayesa 7. Na podstawie wzoru Bayesa moŝna więc obliczyć prawdopodobieństwa P(A k /B), k=,,,n znając prawdopodobieństwa P(A k ). Oznacza to, Ŝe jeŝeli znamy prawdopodobieństwa P(A k ) oraz wiemy, Ŝe zdarzenie B zostało zrealizowane, względnie - na pewno zostanie zrealizowane - to moŝemy jakby na nowo obliczyć prawdopodobieństwo tych samych zdarzeń uwzględniając fakt realizacji zdarzenia B, stąd teŝ prawdopodobieństwa P(A k ) nazywane są prawdopodobieństwami a priori, natomiast prawdopodobieństwa P(A k /B) prawdopodobieństwami a posteriori. 7 Dowód podano w punkcie 0.4. części VII Wybrane twierdzenia z dowodami 4

15 Przykład 5. PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE Sklep sprzedaje Ŝarówki produkowane przez fabryki F i F. śarówki wyprodukowane przez F stanowią 60 %, zaś przez F 40% całego zapasu Ŝarówek. Wiadomo, Ŝe % Ŝarówek wyprodukowanych przez F i % Ŝarówek wyprodukowanych przez F to braki. Kupiono jedną Ŝarówkę, która okazała się brakiem. Obliczymy prawdopodobieństwo, Ŝe została ona wyprodukowana przez F. Niech A będzie zdarzeniem polegającym na kupieniu Ŝarówki wyprodukowanej przez F, A na kupieniu Ŝarówki wyprodukowanej przez F, zaś B na kupieniu Ŝarówki, która jest brakiem. NaleŜy obliczyć P(A /B). Łatwo sprawdzić, Ŝe zdarzenia A, A i B spełniają załoŝenia twierdzenia Bayesa, więc P(A P(A /B) = )P(B / A ) 0,4 0,0 4 = = = 0,57 P(A )P(B/ A ) + P(A )P(B / A ) 0,6 0,0 + 0,4 0,0 7 Przykład 5.4 Dalszy ciąg przykładu 5.. Wylosowano układ wadliwy. Obliczymy prawdopodobieństwo, Ŝe został on wyprodukowany przez pierwszą zmianę. NaleŜy obliczyć P(A /B). Ze wzoru Bayesa postać zredukowana - mamy P(A )P(B / A ) / 0,0 6 P(A / B) = = = P(B) / Zdarzenia niezaleŝne NiezaleŜność dwóch zdarzeń Zdarzenia A, B nazywamy zdarzeniami niezaleŝnymi, jeśli prawdopodobieństwo iloczynu tych zdarzeń jest równe iloczynowi ich prawdopodobieństw P(A B) = P(A) P(B) (5.) Zakładamy, Ŝe P(B)>0. Warunkiem koniecznym i wystarczającym niezaleŝności zdarzeń A i B jest równość P(A/B) = P(A) Oznacza to, Ŝe zdarzenie B nie ma wpływu na prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A. Dowód konieczności ZałóŜmy, Ŝe A i B są zdarzeniami niezaleŝnymi. Wtedy Dowód dostateczności P(A B) P(A) P(B) P (A / B) = = = P(A) P(B) P(B) ZałóŜmy, Ŝe zachodzi wzór P(A/B) = P(A). Wówczas P(A B) = P(A/B) P(B)=P(A) P(B) co świadczy o tym, Ŝe zdarzenia A i B są niezaleŝne. Przykład 5.5 Dwukrotny rzut monetą Ω = {(O,O),(O,R),(R,O),(R,R)}. Niech A oznacza zdarzenie w pierwszym rzucie otrzymano orła, B - w drugim rzucie otrzymano orła, wtedy 5

16 RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA P(A) = P({(O,O),(O,R)}) =, P(B)=P({(O,O),(R,O)}) =, P(A B) = P({(O,O)}) = 4, więc P(A B) = P(A) P(B), czyli zdarzenia A i B są niezaleŝne. Przykład 5.6 Rzut kostką. Ω = { ω, ω, ω, ω4, ω5, ω6} A { ω,ω 4,ω6} B { ω,ω,ω,ω 4,ω5} C { ω,ω,ω,ω } = - wyrzucenie parzystej liczby oczek, = - wyrzucenie co najwyŝej 5 oczek, = - wyrzucenie co najwyŝej 4 oczek. 4 Czy zdarzenia A i B oraz A i C stanowią pary zdarzeń niezaleŝnych? PoniewaŜ A B = { ω,ω4} = A C, więc P(A B) = P(A C) = =, zatem P(A)P(B) = = P(A B) 6 P(A)P(C) = = = P(A C) Odp. Zdarzenia A i B nie są niezaleŝne, natomiast zdarzenia A i C są niezaleŝne. NiezaleŜność zdarzeń przeciwnych JeŜeli zdarzenia A i A są niezaleŝne, to a) A i są parami zdarzeń niezaleŝnych 8. NiezaleŜność trzech zdarzeń ' A b) ' A i A c) Trzy zdarzenia A, B i C są niezaleŝne, jeśli zachodzą wzory Przykład 5.7 ' A i P(A B) = P(A) P(B), P(A C) = P(A) P(C), P(B C) = P(B) P(C) (5.) ' A P(A B C) = P(A) P(B) P(C) (5.) W hali pracują trzy maszyny. Zdarzenia polegające na zepsuciu się tych maszyn w czasie T są zdarzeniami niezaleŝnymi o prawdopodobieństwach 0, dla pierwszej maszyny, 0, dla drugiej maszyny i 0,5 dla trzeciej maszyny. Obliczymy prawdopodobieństwo, Ŝe w czasie T zepsują się a) wszystkie maszyny, b) dwie maszyny. Wprowadzamy zdarzenia A w czasie T zepsuje się pierwsza maszyna, B w czasie T zepsuje się druga maszyna, C w czasie T zepsuje się trzecia maszyna. Z treści zadania wynika, Ŝe zdarzenia A, B i C są niezaleŝne o prawdopodobieństwach P(A) = 0,, P(B) = 0,, P(C)=0,5. a) D w czasie T zepsują się wszystkie maszyny PoniewaŜ D = A B C oraz zdarzenia A, B i C są niezaleŝne, więc P(D) = P(A B C) = P(A)P(B)P(C) = 0, 0, 0,5 = 0, 0 8 Dowód podano w podpunkcie części VII Wybrane twierdzenia z dowodami 6

17 PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE b) E w czasie T zepsują się dwie maszyny. Mamy E = (A B C ) (A B C) (A B C) PoniewaŜ iloczyny występujące w nawiasach są zdarzeniami wykluczającymi się, więc Z niezaleŝności zdarzeń A, B i C mamy więc Odp. a) 0,0, b) 0,056 P(E) = P(A B C ) + P(A B C) + P(A B C) P(E) = P(A)P(B)P(C ) + P(A)P(B )P(C) + P(A )P(B)P(C) P(E) = 0, 0, ( 0,5) + 0, ( 0,) 0,5 + ( 0,) 0, 0,5 = 0,056 Uwaga: Z równości (5.) nie wynikają równości (5.) oraz z równości (5.) nie wynika równość (5.), zatem przyjęcie jako definicji niezaleŝności trzech zdarzeń jedynie równości (5.) nie gwarantuje niezaleŝności parami tych zdarzeń. NiezaleŜność n zdarzeń (n ) Zdarzenia A,...,A n (5.4) nazywamy zdarzeniami niezaleŝnymi, jeśli P(A... A n ) = P(A )...P(A n ) oraz prawdopodobieństwo iloczynu jest równe iloczynowi prawdopodobieństw dla dowolnego podciągu ciągu zdarzeń (5.4) złoŝonego z co najmniej dwóch zdarzeń. Z powyŝszej definicji wynika wcześniej przyjęta definicja niezaleŝności trzech zdarzeń. NiezaleŜność przeliczalnie wielu zdarzeń Zdarzenia A,A, nazywamy zdarzeniami niezaleŝnymi, jeŝeli dla dowolnej liczby naturalnej n zdarzenia A,...,A n są niezaleŝne. Uwaga. Z przyjętych definicji niezaleŝności zdarzeń wynika zasada: Jeśli (A n ) jest skończonym lub nieskończonym ciągiem zdarzeń niezaleŝnych, to dowolny jego podciąg (złoŝony z co najmniej dwóch zdarzeń) jest ciągiem zdarzeń niezaleŝnych. Przykład 5.8 Do samolotu oddano niezaleŝnie trzy strzały. Prawdopodobieństwo trafienia samolotu pierwszym strzałem wynosi 0,4, drugim 0,5 i trzecim 0,7. Jeśli w samolot trafił jeden pocisk, to nastąpi zestrzelenie samolotu z prawdopodobieństwem 0,, jeśli dwa pociski - to z prawdopodobieństwem 0,6, jeśli trzy pociski - to samolot zostanie na pewno zestrzelony. Obliczymy prawdopodobieństwo, Ŝe w rezultacie trzech strzałów samolot zostanie zestrzelony. Oznaczmy: B - samolot został trafiony pierwszym pociskiem, B - samolot został trafiony drugim pociskiem, B - samolot został trafiony trzecim pociskiem, A 0 - w samolot nie trafił Ŝaden pocisk, A - w samolot trafił jeden pocisk, A - w samolot trafiły dwa pociski, A - w samolot trafiły trzy pociski, B - samolot został strącony. 7

18 RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA P(A 0 ) = P(B B B ) = ( P(B ))( P(B )) ( P(B )) = 0,6 0,5 0, = 0,09 P(A ) = P((B B B ) (B B B ) (B B B )) = = 0,4 0,5 0, + 0,6 0,5 0, + 0,4 0,5 0,7 = 0,6 P(A ) = P((B B B ) (B B B ) (B B B )) = = 0,4 0,5 0, + 0,4 0,5 0,7 + 0,6 0,5 0,7 = 0,4 P(A ) = (B B B ) = 0,4 0,5 0,7 = 0,4 Przy obliczaniu powyŝszych prawdopodobieństw korzystaliśmy z faktu, Ŝe zdarzenia B, B i B są niezaleŝne oraz z twierdzenia o prawdopodobieństwie sumy zdarzeń wykluczających się. ZauwaŜmy, Ŝe zdarzenia A 0, A, A, A spełniają załoŝenia twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym, więc P(B) = P(A 0 )P(B/A 0 ) + P(A )P(B/A ) + P(A ) P(B/A ) + P(A )P(B/A ) Z treści zadania wynika, Ŝe P(B/A 0 ) = 0; P(B/A ) = 0,; P(B/A ) = 0,6; P(B/A ) =,0 zatem P(B) = 0, ,6 0, + 0,4 0,6 + 0,4,0 = 0,458 8

19 PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE 6. ZMIENNE LOSOWE 6.. Zmienne losowe jednowymiarowe 6... Pojęcie zmiennej losowej Pojęcie zmiennej losowej jest jednym z podstawowych pojęć rachunku prawdopodobieństwa. JeŜeli kaŝdemu zdarzeniu elementarnemu przyporządkujemy liczbę rzeczywistą, to mówimy, Ŝe została określona zmienna losowa jednowymiarowa, albo - w skrócie - zmienna losowa. Zmienna losowa jest więc funkcją, której dziedziną jest zbiór zdarzeń elementarnych Ω, a wartościami są liczby rzeczywiste 9. Zmienne losowe oznaczamy duŝymi literami z końca alfabetu łacińskiego X, Y, JeŜeli zmienną losową oznaczymy literą X, to wartości przyjmowane przez tę zmienną losową oznaczamy małą literą x. Niech A będzie podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych. Symbolem X A oznaczamy zbiór tych wszystkich zdarzeń elementarnych którym zmienna losowabłąd! Nie zdefiniowano zakładki. X przyporządkowuje liczby naleŝące do zbioru A. PowyŜszą definicję i jej niektóre szczególne przypadki przedstawiamy w poniŝszej tabeli. Przykład 6. Symbol Rzut kością. Ω = { ω, ω, ω, ω, ω ω } 4 5, Tabela 6.. Wybrane definicje Definicja symbolu X A { ω : X( ω) A} X = a { ω : X( ω) = a} X < a { ω : X( ω) < a} a X < b { ω : a X( ω) < b} ω 6. Przyporządkowanie,,,,, jest zmienną losową o zbiorze wartości {,,, 4, 5, 6}. Zmienną tą oznaczymy X. Przyporządkowanie ω ω ω ω ω 0 jest takŝe zmienną losową o zbiorze wartości {-, 0, }, oznaczymy ją Y. Zmienna losowa X moŝe słuŝyć do opisu sytuacji w której interesuje nas liczba wyrzuconych oczek na kości. Natomiast zmienna losowa Y moŝe opisywać następującą sytuację: rzucamy kością, jeśli wyrzucimy lub lub oczka, to płacimy zł, jeśli wyrzucimy 4 oczka to nic nie płacimy i nic nie otrzymujemy, jeśli wyrzucimy 5 lub 6 oczek, to otrzymujemy zł. Wtedy Y oznacza wygraną w tej grze. PoniŜsze zaleŝności ilustrują symbole podane w tabeli 6.. P( X {,4,6} ) = P( { ω : X( ω) {,4,6 }) = P( { ω, ω4, ω6 }) = = 6 ω 4 ω 4 ω 5 5 ω 6,,,,, 9 PowyŜsza definicja jest ścisła, gdy kaŝdy podzbiór zbioru zdarzeń elementarnych jest zdarzeniem losowym. Gdy tak nie jest, to definicję zmiennej losowej naleŝy uzupełnić pewnym warunkiem, spełnionym na ogół w zagadnieniach praktycznych, patrz np. R. Leitner, J. Zacharski Matematyka dla studentów, cz. III str.8-8, WNT 998, wydanie VIII. 4 ω 5 ω 6 6 9

20 ( X = ) = P( { ω: X( ω) = } ) = P( { ω }) P = RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA P( X < ) = P( { ω: X( ω) < } ) = P( { ω, ω} ) = = 6 P ( X 7) = P( { ω: X( ω) 7} ) = P( ) = 0 P( X < 5) = P( { ω: X( ω) < 5} ) = P( { ω, ω, ω4} ) = = 6 P ( X 6) = P( { ω: X( ω) 6} ) = P( Ω) = P( X < ) = P( { ω: X( ω) < } ) = P( { ω, ω} ) = = 6 P( Y = ) = P( { ω : Y( ω) = } ) = P( { ω,ω,ω}) = = 6 P( Y = 0) = P( { ω : Y( ω) = 0} ) = P( { ω4 }) = 6 P( Y = ) = P( { ω : Y( ω) = } ) = P( { ω5, ω6 }) = = 6 Przykład 6. 6 Partia towaru składa się ze sztuk dobrych i wadliwych. Z partii tej pobieramy losowo jedną sztukę towaru, wtedy Ω = {d, w}. Zdarzeniu elementarnemu d, polegającemu na wybraniu sztuki dobrej, przyporządkujmy liczbę 0, zaś zdarzeniu elementarnemu w - wybrana sztuka jest wadliwa - liczbę. Została określona w ten sposób zmienna losowa X, przyjmująca dwie wartości x = 0 i x =. Przykład 6. Zajmując się badaniem monet znajdujących się w obiegu i wyprodukowanych w latach w zaleŝności od ich wieku, najwygodniej jest uŝywać jako zmienną losową rok emisji. Zbiorem wartości tej zmiennej losowej jest zbiór {000, 00, 00, 00, 004, 005}. Przykład 6.4 Strzelec strzela tak długo aŝ trafi do celu. Zbiór zdarzeń elementarnych, określamy następująco Ω = {ω, ω,...) gdzie zdarzenie elementarne ω n (n =,,...) oznacza, Ŝe strzelec trafił do celu pierwszy raz w n - tym strzale. Zdarzeniu elementarnemu ω n przyporządkujemy liczbę n. Zbiorem wartości tak określonej zmiennej losowej jest zbiór wszystkich liczb naturalnych. Przykład 6.5 Pomiar wielkości fizycznej. Jeśli nie wiemy nawet w przybliŝeniu, jakie moŝna otrzymać wyniki pomiarów pewnej nieznanej wielkości fizycznej, to przyjmujemy, Ŝe mogą one wyrazić się dowolnymi liczbami rzeczywistymi. W tym przypadku zbiorem zdarzeń elementarnych Ω jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych Ω = (-, ) Na tym zbiorze określimy zmienną losową X następująco: kaŝdej liczbie rzeczywistej x przyporządkujemy tę samą liczbę x. Zbiorem wartości tej zmiennej losowej jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych. Zmienne losowe pozwalają przedstawiać wyniki doświadczeń losowych za pomocą liczb, co znacznie ułatwia badanie tych doświadczeń i pozwala traktować je jednolicie. Na tym samym zbiorze zdarzeń elementarnych Ω moŝna określać róŝne zmienne losowe w zaleŝności od zagadnienia, które nas interesuje (przykład 6.). 0

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;

Bardziej szczegółowo

Rozkłady zmiennych losowych

Rozkłady zmiennych losowych Rozkłady zmiennych losowych Wprowadzenie Badamy pewną zbiorowość czyli populację pod względem występowania jakiejś cechy. Pobieramy próbę i na podstawie tej próby wyznaczamy pewne charakterystyki. Jeśli

Bardziej szczegółowo

II WYKŁAD STATYSTYKA. 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15

II WYKŁAD STATYSTYKA. 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 II WYKŁAD STATYSTYKA 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 2 Rachunek prawdopodobieństwa zdarzenia elementarne zdarzenia losowe zmienna losowa skokowa i ciągła prawdopodobieństwo i gęstość prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

Probabilistyczne podstawy statystyki matematycznej. Dr inż. Małgorzata Michalcewicz-Kaniowska

Probabilistyczne podstawy statystyki matematycznej. Dr inż. Małgorzata Michalcewicz-Kaniowska Probabilistyczne podstawy statystyki matematycznej Dr inż. Małgorzata Michalcewicz-Kaniowska 1 Zdarzenia losowe, algebra zdarzeń Do podstawowych pojęć w rachunku prawdopodobieństwa zaliczamy: doświadczenie

Bardziej szczegółowo

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014.

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. W nawiasie przy zadaniu jego występowanie w numerze zestawu Spis treści (Z1, Z22, Z43) Definicja granicy ciągu. Obliczyć granicę:... 3 Definicja granicy ciągu...

Bardziej szczegółowo

Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka. Zmienne losowe. Aleksander Denisiuk. denisjuk@euh-e.edu.pl

Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka. Zmienne losowe. Aleksander Denisiuk. denisjuk@euh-e.edu.pl Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka Zmienne losowe Aleksander Denisiuk denisjuk@euh-e.edu.pl Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza 2 82-300 Elblag oraz Biostatystyka p.

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 STATYSTYKA Rafał Kucharski Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 Wybrane litery alfabetu greckiego α alfa β beta Γ γ gamma δ delta ɛ, ε epsilon η eta Θ θ theta

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy. Klasa III Technik pojazdów samochodowych/ Technik urządzeń i systemów energetyki odnawialnej. Kształcenie ogólne w zakresie podstawowym

Plan wynikowy. Klasa III Technik pojazdów samochodowych/ Technik urządzeń i systemów energetyki odnawialnej. Kształcenie ogólne w zakresie podstawowym Oznaczenia: wymagania konieczne, P wymagania podstawowe, R wymagania rozszerzające, D wymagania dopełniające, W wymagania wykraczające. Plan wynikowy lasa III Technik pojazdów samochodowych/ Technik urządzeń

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 3. Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony

MATeMAtyka 3. Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Agnieszka Kamińska, Dorota Ponczek MATeMAtyka 3 Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania

Bardziej szczegółowo

a)dane są wartości zmiennej losowej: 2, 4, 2, 1, 1, 3, 2, 1. Obliczyć wartość średnią i wariancję.

a)dane są wartości zmiennej losowej: 2, 4, 2, 1, 1, 3, 2, 1. Obliczyć wartość średnią i wariancję. Zad Rozkład zmiennej losowej dyskretnej : a)dane są wartości zmiennej losowej: 2, 4, 2,,, 3, 2,. Obliczyć wartość średnią i wariancję. b)oceny z pracy klasowej w tabeli: Ocena 2 3 4 5 6 Liczba uczniów

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 1 i 2

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 1 i 2 STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 1 i 2 Dariusz Gozdowski Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW Słowo statystyka pochodzi od łacińskiego słowa status, które oznacza

Bardziej szczegółowo

Rozkłady dwóch zmiennych losowych

Rozkłady dwóch zmiennych losowych Rozkłady dwóch zmiennych losowych Uogólnienie pojęć na rozkład dwóch zmiennych Dystrybuanta i gęstość prawdopodobieństwa Rozkład brzegowy Prawdopodobieństwo warunkowe Wartości średnie i odchylenia standardowe

Bardziej szczegółowo

Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej

Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej c Copyright by Ireneusz Krech ikrech@ap.krakow.pl Instytut Matematyki Uniwersytet Pedagogiczny im. KEN w Krakowie

Bardziej szczegółowo

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów. Rachunek prawdopodobieństwa MAP1181 Wydział PPT, MS, rok akad. 213/14, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.

Bardziej szczegółowo

1 Zmienne losowe wielowymiarowe.

1 Zmienne losowe wielowymiarowe. 1 Zmienne losowe wielowymiarowe. 1.1 Definicja i przykłady. Definicja1.1. Wektorem losowym n-wymiarowym(zmienna losowa n-wymiarowa )nazywamywektorn-wymiarowy,któregoskładowymisązmiennelosowex i dlai=1,,...,n,

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej.

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE Rozwiązania Zadanie 1 Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Stop Istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie między punktami

Bardziej szczegółowo

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe.

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Rachunek prawdopodobieństwa MAP3040 WPPT FT, rok akad. 2010/11, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Warunkowa wartość oczekiwana.

Bardziej szczegółowo

Diagramy Venna. Uwagi:

Diagramy Venna. Uwagi: Wykład 3: Prawdopodobieństwopodstawowe pojęcia i modele Często modelujemy zmienność używając rachunku prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo opadów deszczu wynosi 80%. (zinterpretuj) Prawdopodobieństwo

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Matematyka. Poznać, zrozumieć Kształcenie w zakresie rozszerzonym. Klasa 3 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego

Bardziej szczegółowo

Liczby rzeczywiste, wyrażenia algebraiczne, równania i nierówności, statystyka, prawdopodobieństwo.

Liczby rzeczywiste, wyrażenia algebraiczne, równania i nierówności, statystyka, prawdopodobieństwo. Liczby rzeczywiste, wyrażenia algebraiczne, równania i nierówności, statystyka, prawdopodobieństwo. Zagadnienia szczegółowe: obliczanie wartości wyrażeń arytmetycznych; działania na pierwiastkach i potęgach;

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM.

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM. ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM. I Geometria analityczna 1. Równanie prostej w postaci ogólnej i kierunkowej powtórzenie 2. Wzajemne położenie dwóch prostych powtórzenie

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka cz.1. Zakres podstawowy

MATeMAtyka cz.1. Zakres podstawowy MATeMAtyka cz.1 Zakres podstawowy Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające poza program nauczania (W). Wymienione

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. Wykład nr 12. Dr Piotr Fronczak

Metody numeryczne. Wykład nr 12. Dr Piotr Fronczak Metody numeryczne Wykład nr 1 Dr Piotr Fronczak Generowanie liczb losowych Metody Monte Carlo są oparte na probabilistyce działają dzięki generowaniu liczb losowych. W komputerach te liczby generowane

Bardziej szczegółowo

ELEMENTY STATYSTYKI 1. DANE

ELEMENTY STATYSTYKI 1. DANE ELEMENTY STATYSTYKI 1. DANE W badaniach statystycznych populacją nazywamy grupę osób, zwierząt, roślin lub przedmiotów badanych. Interesują nas przy tym pewne wybrane cechy tych populacji. Takie cechy

Bardziej szczegółowo

Kurs do wyboru Wstęp do analizy algorytmów Instytut Matematyki i Informatyki UO 2011/2012

Kurs do wyboru Wstęp do analizy algorytmów Instytut Matematyki i Informatyki UO 2011/2012 dr Przemysław Szczepaniak Kurs do wyboru Wstęp do analizy algorytmów Instytut Matematyki i Informatyki UO 2011/2012 ZLICZANIE 1.ZmiastaAdomiastaBprowadzipięćdróg.Ilomasposobamimożnaodbyćpodróż A B Apodwarunkiem,żeniemożnawracaćtąsamądrogą?

Bardziej szczegółowo

Proces Poissona. Proces {N(t), t 0} nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t.

Proces Poissona. Proces {N(t), t 0} nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t. Procesy stochastyczne WYKŁAD 5 Proces Poissona. Proces {N(t), t } nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t. Proces zliczający musi

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą 1. Statystyka odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu 2. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach 3. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach 4. Potęga o wykładniku

Bardziej szczegółowo

ZAGADANIENIA NA EGZAMIN USTNY Z MATEMATYKI

ZAGADANIENIA NA EGZAMIN USTNY Z MATEMATYKI ZAGADANIENIA NA EGZAMIN USTNY Z MATEMATYKI SEMESTR I ZESTAW. Podaj liczbę przeciwną i odwrotną do liczby 2 2. Jak zmieniła się cena wyrobu po podwyżce o 20%, a następnie po obniżeniu otrzymanej ceny o

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel

Bardziej szczegółowo

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii.

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii. Rozkład normalny Rozkład normalny jest niezwykle ważnym rozkładem prawdopodobieństwa w wielu dziedzinach. Nazywa się go także rozkładem Gaussa, w szczególności w fizyce i inżynierii. W zasadzie jest to

Bardziej szczegółowo

Podstawa programowa przedmiotu MATEMATYKA. III etap edukacyjny (klasy I - III gimnazjum)

Podstawa programowa przedmiotu MATEMATYKA. III etap edukacyjny (klasy I - III gimnazjum) Podstawa programowa przedmiotu MATEMATYKA III etap edukacyjny (klasy I - III gimnazjum) Cele kształcenia wymagania ogólne: I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń interpretuje i tworzy teksty o

Bardziej szczegółowo

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa, test próbny www.omg.edu.pl (wrzesień 2011 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba krawędzi pewnego ostrosłupa jest o

Bardziej szczegółowo

Lista zadań. Babilońska wiedza matematyczna

Lista zadań. Babilońska wiedza matematyczna Lista zadań Babilońska wiedza matematyczna Zad. 1 Babilończycy korzystali z tablicy dodawania - utwórz w arkuszu kalkulacyjnym EXCEL tablicę dodawania liczb w układzie sześćdziesiątkowym, dla liczb ze

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna. Leszek Adamczyk Wykłady dla kierunku Fizyka Medyczna w semestrze letnim 2014/2015

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna. Leszek Adamczyk Wykłady dla kierunku Fizyka Medyczna w semestrze letnim 2014/2015 Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna Leszek Adamczyk Wykłady dla kierunku Fizyka Medyczna w semestrze letnim 2014/2015 1 1 Wstęp Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka to: działy matematyki

Bardziej szczegółowo

SPRAWDZIAN NR 2 ROBERT KOPERCZAK, ID studenta : k4342

SPRAWDZIAN NR 2 ROBERT KOPERCZAK, ID studenta : k4342 TECHNIKI ANALITYCZNE W BIZNESIE SPRAWDZIAN NR 2 Autor pracy ROBERT KOPERCZAK, ID studenta : k4342 Kraków, 22 Grudnia 2009 2 Spis treści 1 Zadanie 1... 3 1.1 Uszkodzi się tylko pierwsza maszyna.... 3 1.2

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA wykład 5-6

STATYSTYKA wykład 5-6 TATYTYKA wykład 5-6 Twierdzenia graniczne Rozkłady statystyk z próby Wanda Olech Twierdzenia graniczne Jeżeli rozpatrujemy ciąg zmiennych losowych {X ; X ;...; X n }, to zdarza się, że ich rozkłady przy

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania

Bardziej szczegółowo

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 2 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Według klasycznej

Bardziej szczegółowo

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyczna teoria korelacji i regresji (1) Jest to dział statystyki zajmujący

Bardziej szczegółowo

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Matematyka dla liceum ogólnokształcącego i technikum w zakresie podstawowym i rozszerzonym Z E S Z Y T M E T O D Y C Z N Y Miejski

Bardziej szczegółowo

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com Analiza korelacji i regresji KORELACJA zależność liniowa Obserwujemy parę cech ilościowych (X,Y). Doświadczenie jest tak pomyślane, aby obserwowane pary cech X i Y (tzn i ta para x i i y i dla różnych

Bardziej szczegółowo

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe W rezultacie kształcenia matematycznego uczeń potrafi: Osiągnięcia ponadprzedmiotowe Umiejętności konieczne i podstawowe czytać teksty w stylu matematycznym wykorzystywać słownictwo wprowadzane przy okazji

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa - Teoria - Przypomnienie.. A i B są niezależne, gdy P(A B) = P(A)P(B). P(A B i )P(B i )

Rachunek prawdopodobieństwa - Teoria - Przypomnienie.. A i B są niezależne, gdy P(A B) = P(A)P(B). P(A B i )P(B i ) Rachunek prawdopodobieństwa - Teoria - Przypomnienie Podstawy Definicja 1. Schemat klasyczny - wszystkie zdarzenia elementarne są równo prawdopodobne, licząc prawdopodobieństwo liczymy stosunek liczby

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum - nie potrafi konstrukcyjnie podzielić odcinka - nie potrafi konstruować figur jednokładnych - nie zna pojęcia skali - nie rozpoznaje figur jednokładnych

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy klasa 3

Plan wynikowy klasa 3 Plan wynikowy klasa 3 Przedmiot: matematyka Klasa 3 liceum (technikum) Rok szkolny:........................ Nauczyciel:........................ zakres podstawowy: 28 tyg. 3 h = 84 h (78 h + 6 h do dyspozycji

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna

Statystyka matematyczna Statystyka matematyczna dla kierunku Zarządzanie na studiach drugiego stopnia Wojciech Kordecki Wyższa Szkoła Handlowa we Wrocławiu Wrocław 2012 Materiał wyłącznie do użytku edukacyjnego. Reprodukcja do

Bardziej szczegółowo

Lista 1 - Prawdopodobieństwo

Lista 1 - Prawdopodobieństwo Lista 1 - Prawdopodobieństwo Zadanie 1. Niech A, B, C będą zdarzeniami. Zapisać za pomocą działań na zbiorach następujące zdarzenia: a) zachodzi dokładnie jedno ze zdarzeń A, B, C; b) zachodzą dokładnie

Bardziej szczegółowo

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 4 Prawdopodobieństwo całkowite i twierdzenie Bayesa. Drzewko stochastyczne. Schemat Bernoulliego. ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych

Statystyczna analiza danych Statystyczna analiza danych Marek Ptak 21 października 2013 Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 1 / 70 Część I Wstęp Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 2 / 70 LITERATURA A. Łomnicki, Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi.

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi. Grupy. Permutacje 1 1 Definicja grupy Niech G będzie zbiorem. Działaniem na zbiorze G nazywamy odwzorowanie (oznaczane, jak mnożenie, przez ) przyporządkowujące każdej parze uporządkowanej (a, b) G G element

Bardziej szczegółowo

1. Opis tabelaryczny. 2. Graficzna prezentacja wyników. Do technik statystyki opisowej można zaliczyć:

1. Opis tabelaryczny. 2. Graficzna prezentacja wyników. Do technik statystyki opisowej można zaliczyć: Wprowadzenie Statystyka opisowa to dział statystyki zajmujący się metodami opisu danych statystycznych (np. środowiskowych) uzyskanych podczas badania statystycznego (np. badań terenowych, laboratoryjnych).

Bardziej szczegółowo

ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY ZADANIA ZAMKNIĘTE

ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY ZADANIA ZAMKNIĘTE ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY ZADANIA ZAMKNIĘTE Zad.1. (1p) Liczba 3 30 9 90 jest równa: A. 3 210 B. 3 300 C. 9 120 D. 27 2700 Zad.2. (1p) Liczba 3 8 3 3 9 2 jest równa: A. 3

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy

Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy Wariant nr (klasa I 4 godz., klasa II godz., klasa III godz.) Klasa I 7 tygodni 4 godziny = 48 godzin Lp. Tematyka zajęć

Bardziej szczegółowo

Sposoby prezentacji problemów w statystyce

Sposoby prezentacji problemów w statystyce S t r o n a 1 Dr Anna Rybak Instytut Informatyki Uniwersytet w Białymstoku Sposoby prezentacji problemów w statystyce Wprowadzenie W artykule zostaną zaprezentowane podstawowe zagadnienia z zakresu statystyki

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne klasa trzecia.

Wymagania edukacyjne klasa trzecia. TEMAT Wymagania edukacyjne klasa trzecia. WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Lekcja organizacyjna System dziesiątkowy System rzymski Liczby wymierne i niewymierne

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji Statystyka dla jakości produktów i usług Six sigma i inne strategie Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji StatSoft Polska Wybrane zagadnienia analizy korelacji Przy analizie zjawisk i procesów stanowiących

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 014/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ DLA OSÓB SŁABOSŁYSZĄCYCH (A3) W czasie trwania egzaminu zdający może korzystać z zestawu wzorów matematycznych,

Bardziej szczegółowo

Rozkład materiału nauczania

Rozkład materiału nauczania Dział/l.p. Ilość godz. Typ szkoły: TECHNIKUM Zawód: TECHNIK USŁUG FRYZJERSKICH Rok szkolny 2015/2016 Przedmiot: MATEMATYKA Klasa: III 2 godz/tyg 30 = 60 godzin Rozkład materiału nauczania Temat I. LOGARYTMY

Bardziej szczegółowo

PLAN PRACY ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI W KLASIE I LO

PLAN PRACY ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI W KLASIE I LO Poziomy wymagań edukacyjnych: K konieczny ocena dopuszczający (2) P podstawowy ocena dostateczna (3) Projekt nr WND-POKL.09.01.02-10-104/09 tytuł Z dysleksją bez barier PLAN PRACY ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa dla informatyków

Rachunek prawdopodobieństwa dla informatyków Rachunek prawdopodobieństwa dla informatyków Adam Roman Instytut Informatyki UJ Wykład 1 rys historyczny zdarzenia i ich prawdopodobieństwa aksjomaty i reguły prawdopodobieństwa prawdopodobieństwo warunkowe

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1 Wszelkie prawa zastrzeżone. Rozpowszechnianie, wypożyczanie i powielanie niniejszych testów w jakiejkolwiek formie surowo zabronione. W przypadku złamania zakazu mają zastosowanie przepisy dotyczące naruszenia

Bardziej szczegółowo

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej 7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej Definicja 1 n-elementowa losowa próba prosta nazywamy ciag n niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach

Bardziej szczegółowo

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych zad 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 odp A C C C A A B B C B D A 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 C C A B A D C B

Bardziej szczegółowo

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. 2 godz. = 76 godz.)

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. 2 godz. = 76 godz.) Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. godz. = 76 godz.) I. Funkcja i jej własności.4godz. II. Przekształcenia wykresów funkcji...9 godz. III. Funkcja

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZĘCIA EGZAMINU! Miejsce na naklejkę MMA-P_P-08 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MAJ ROK 008 Czas pracy 0 minut Instrukcja dla

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM Na ocenę dopuszczającą uczeń umie : WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM stosować cztery podstawowe działania na liczbach wymiernych, zna kolejność wykonywania działań

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Matematyka. Poznać, zrozumieć Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 3 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego

Bardziej szczegółowo

Lista zadań nr 15 TERMIN ODDANIA ROZWIĄZANYCH ZADAŃ 9 marca 2015

Lista zadań nr 15 TERMIN ODDANIA ROZWIĄZANYCH ZADAŃ 9 marca 2015 Lista zadań nr 5 TERMIN ODDANIA ROZWIĄZANYCH ZADAŃ 9 marca 05 Liczby rzeczywiste a) planuję i wykonuję obliczenia na liczbach rzeczywistych; w szczególności obliczam pierwiastki, w tym pierwiastki nieparzystego

Bardziej szczegółowo

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON.

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Zadanie 6. Dane są punkty A=(5; 2); B=(1; -3); C=(-2; -8). Oblicz odległość punktu A od prostej l przechodzącej

Bardziej szczegółowo

Statystyczne metody analizy danych

Statystyczne metody analizy danych Statystyczne metody analizy danych Statystyka opisowa Wykład I-III Agnieszka Nowak - Brzezińska Definicje Statystyka (ang.statistics) - to nauka zajmująca się zbieraniem, prezentowaniem i analizowaniem

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

A = {dostęp do konta} = {{właściwe hasło,h 2, h 3 }} = 0, 0003. (10 4 )! 2!(10 4 3)! 3!(104 3)!

A = {dostęp do konta} = {{właściwe hasło,h 2, h 3 }} = 0, 0003. (10 4 )! 2!(10 4 3)! 3!(104 3)! Rachunek prawdopodobieństwa MAP34, WPPT/FT, wykład dr hab. A. Jurlewicz Przykłady - Lista nr : Przestrzeń probabilistyczna. Prawdopodobieństwo klasyczne. Prawdopodobieństwo geometryczne.. Hasło potrzebne

Bardziej szczegółowo

LXIII Olimpiada Matematyczna

LXIII Olimpiada Matematyczna 1 Zadanie 1. LXIII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 17 lutego 2012 r. (pierwszy dzień zawodów) Rozwiązać w liczbach rzeczywistych a, b, c, d układ równań a

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie symulacyjne granicy minimalnej w portfelu Markowitza

Wyznaczanie symulacyjne granicy minimalnej w portfelu Markowitza Wyznaczanie symulacyjne granicy minimalnej w portfelu Markowitza Łukasz Kanar UNIWERSYTET WARSZAWSKI WYDZIAŁ NAUK EKONOMICZNYCH WARSZAWA 2008 1. Portfel Markowitza Dany jest pewien portfel n 1 spółek giełdowych.

Bardziej szczegółowo

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - 1. a) Jacek i Agatka stoją koło siebie; b) Jacek, Placek i Agatka stoją koło siebie.

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - 1. a) Jacek i Agatka stoją koło siebie; b) Jacek, Placek i Agatka stoją koło siebie. Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - 1 1. Grupę n dzieci ustawiono w sposón losowy w szereg. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że a) Jacek i Agatka stoją koło siebie; b) Jacek, Placek i Agatka stoją

Bardziej szczegółowo

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ L.p. 1. Liczby rzeczywiste 2. Wyrażenia algebraiczne bada, czy wynik obliczeń jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji

Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji I LO im. F. Ceynowy w Świeciu Radosław Rudnicki joix@mat.uni.torun.pl 17.03.2009 r. Typeset by FoilTEX Streszczenie Celem wykładu jest wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Analiza Współzależności

Analiza Współzależności Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka Analiza Współzależności Aleksander Denisiuk denisjuk@euh-e.edu.pl Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza 2 82-300 Elblag oraz Biostatystyka

Bardziej szczegółowo

Runda 5: zmiana planszy: < < i 6 rzutów.

Runda 5: zmiana planszy: < < i 6 rzutów. 1. Gry dotyczące systemu dziesiętnego Pomoce: kostka dziesięciościenna i/albo karty z cyframi. KaŜdy rywalizuje z kaŝdym. KaŜdy gracz rysuje planszę: Prowadzący rzuca dziesięciościenną kostką albo losuje

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA KONIECZNE - OCENA DOPUSZCZAJĄCA:

WYMAGANIA KONIECZNE - OCENA DOPUSZCZAJĄCA: WYMAGANIA KONIECZNE - OCENA DOPUSZCZAJĄCA: zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie zaznaczać liczbę wymierną na osi liczbowej umie

Bardziej szczegółowo

Obliczanie prawdopodobieństwa za pomocą metody drzew metoda drzew. Drzewem Reguła iloczynów. Reguła sum.

Obliczanie prawdopodobieństwa za pomocą metody drzew metoda drzew. Drzewem Reguła iloczynów. Reguła sum. Obliczanie prawdopodobieństwa za pomocą metody drzew Jeżeli doświadczenie losowe składa się z więcej niż jednego etapu, takich jak serie rzutów kostką lub monetą, zastosowanie klasycznej definicji prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt

Bardziej szczegółowo

Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e

Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej Zestaw 3 szkice rozwiązań zadań 1. Plansza do gry składa się z 15 ustawionych w rzędzie kwadratów. Pierwszy z graczy

Bardziej szczegółowo

Ułamki i działania 20 h

Ułamki i działania 20 h Propozycja rozkładu materiału Klasa I Razem h Ułamki i działania 0 h I. Ułamki zwykłe II. Ułamki dziesiętne III. Ułamki zwykłe i dziesiętne. Przypomnienie wiadomości o ułamkach zwykłych.. Dodawanie i odejmowanie

Bardziej szczegółowo

(x j x)(y j ȳ) r xy =

(x j x)(y j ȳ) r xy = KORELACJA. WSPÓŁCZYNNIKI KORELACJI Gdy w badaniu mamy kilka cech, często interesujemy się stopniem powiązania tych cech między sobą. Pod słowem korelacja rozumiemy współzależność. Mówimy np. o korelacji

Bardziej szczegółowo

a 1, a 2, a 3,..., a n,...

a 1, a 2, a 3,..., a n,... III. Ciągi liczbowe. 1. Definicja ciągu liczbowego. Definicja 1.1. Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R i oznaczamy przez {a

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI MARZEC 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50

ARKUSZ ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI MARZEC 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 Centralna Komisja Egzaminacyjna ARKUSZ ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI MARZEC 01 POZIOM PODSTAWOWY 1. Sprawdź, czy arkusz ćwiczeniowy zawiera strony (zadania 1 ).. Rozwiązania zadań i odpowiedzi wpisuj w miejscu

Bardziej szczegółowo

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 3: Analiza struktury zbiorowości statystycznej. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 3: Analiza struktury zbiorowości statystycznej. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin. Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 3: Analiza struktury zbiorowości statystycznej dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Zadania analityczne (1) Analiza przewiduje badanie podobieństw

Bardziej szczegółowo

Nierówności między średnimi liczbowymi i ich zastosowanie. Renata Jurasińska. Instytut Matematyki Uniwersytetu Rzeszowskiego III LO w Rzeszowie

Nierówności między średnimi liczbowymi i ich zastosowanie. Renata Jurasińska. Instytut Matematyki Uniwersytetu Rzeszowskiego III LO w Rzeszowie Nierówności między średnimi liczbowymi i ich zastosowanie Renata Jurasińska Instytut Matematyki Uniwersytetu Rzeszowskiego III LO w Rzeszowie I. Średnie liczbowe i zaleŝności między nimi Średnie liczbowe

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2013 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2013 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo