PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE"

Transkrypt

1 Marek Cieciura, Janusz Zacharski PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE CZĘŚĆ III RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA Na prawach rękopisu Warszawa, wrzesień 0

2 RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA Statystyka jest bardziej sposobem myślenia lub wnioskowania niŝ pęczkiem recept na młócenie danych w celu odsłonięcia odpowiedzi - Calyampudi Radhakrishna Rao Podręcznik: PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE publikowany jest w częściach podanych poniŝej Nr I. Wprowadzenie II. III. IV. Statystyka opisowa Tytuł Rachunek prawdopodobieństwa Statystyka matematyczna V. Przykłady zastosowań w informatyce VI. VII. Wybrane twierdzenia z dowodami Tablice statystyczne Autorzy proszą o przesyłanie wszelkich uwagi i propozycji dotyczących zawartości podręcznika z wykorzystaniem formularza kontaktowego zamieszczonego w portalu Publikowane części będą na bieŝąco poprawiane, w kaŝdej będzie podawana data ostatniej aktualizacji. Podręcznik udostępnia się na warunku licencji Creative Commons (CC): Uznanie Autorstwa UŜycie Niekomercyjne Bez Utworów ZaleŜnych (CC-BY-NC-ND),co oznacza: Uznanie Autorstwa (ang. Attribution - BY): zezwala się na kopiowanie, dystrybucję, wyświetlanie i uŝytkowanie dzieła i wszelkich jego pochodnych pod warunkiem umieszczenia informacji o twórcy. UŜycie Niekomercyjne (ang. Noncommercial - NC): zezwala się na kopiowanie, dystrybucję, wyświetlanie i uŝytkowanie dzieła i wszelkich jego pochodnych tylko w celach niekomercyjnych.. Bez Utworów ZaleŜnych (ang. No Derivative Works - ND): zezwala się na kopiowanie, dystrybucję, wyświetlanie tylko dokładnych (dosłownych) kopii dzieła, niedozwolone jest jego zmienianie i tworzenie na jego bazie pochodnych. Podręcznik i skorelowany z nim portal, są w pełni i powszechnie dostępne, stanowią więc Otwarte Zasoby Edukacyjne - OZE (ang. Open Educational Resources OER).

3 PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE SPIS TREŚCI 5. ZDARZENIA LOSOWE I PRAWDOPODOBIEŃSTWO UWAGI WSTĘPNE ZDARZENIA LOSOWE RELACJE MIĘDZY ZDARZENIAMI DEFINICJE PRAWDOPODOBIEŃSTWA Klasyczna definicja prawdopodobieństwa Geometryczna definicja prawdopodobieństwa Statystyczna definicja prawdopodobieństwa Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa PRAWDOPODOBIEŃSTWO WARUNKOWE PRAWDOPODOBIEŃSTWO CAŁKOWITE I TWIERDZENIE BAYESA ZDARZENIA NIEZALEśNE ZMIENNE LOSOWE ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE Pojęcie zmiennej losowej Zbiory przeliczalne i nieprzeliczalne Zmienne losowe skokowe Dystrybuanta Zmienne losowe ciągłe ZMIENNE LOSOWE DWUWYMIAROWE Pojęcie zmiennej losowej dwuwymiarowej Dystrybuanta zmiennej losowej dwuwymiarowej Zmienne losowe dwuwymiarowe skokowe Zmienne losowe dwuwymiarowe ciągłe Rozkłady brzegowe Rozkłady warunkowe Zmienne losowe niezaleŝne PARAMETRY ROZKŁADU ZMIENNYCH LOSOWYCH MIARY POŁOśENIA ZMIENNEJ LOSOWEJ JEDNOWYMIAROWEJ Wartość oczekiwana Mediana Parametry pozycyjne Wartość oczekiwana funkcji zmiennej losowej MIARY ROZPROSZENIA ZMIENNEJ LOSOWEJ JEDNOWYMIAROWEJ Wariancja Odchylenie przeciętne Odchylenie ćwiartkowe Współczynnik zmienności ASYMETRIA I SPŁASZCZENIE ROZKŁADU JEDNOWYMIAROWEJ ZMIENNEJ LOSOWEJ WARTOŚĆ OCZEKIWANA I MOMENTY ZMIENNEJ LOSOWEJ DWUWYMIAROWEJ PARAMETRY ROZKŁADU ZMIENNEJ LOSOWEJ DWUWYMIAROWEJ Wartość oczekiwana funkcji dwuwymiarowej zmiennej losowej Momenty dwuwymiarowej zmiennej losowej Współczynnik korelacji Zmienne losowe nieskorelowane... 64

4 RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 8. REGRESJA ZMIENNYCH LOSOWYCH WPROWADZENIE ZALEśNOŚĆ FUNKCYJNA ZMIENNYCH LOSOWYCH REGRESJA I RODZAJU REGRESJA II RODZAJU LINIOWA REGRESJA II RODZAJU PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA ROZKŁADY SKOKOWE Rozkład jednopunktowy Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład geometryczny Rozkład Poissona Powiązanie rozkładów skokowych ROZKŁADY CIĄGŁE Rozkład jednostajny Rozkłady normalne Rozkład wykładniczy Rozkład chi kwadrat Rozkład Studenta Rozkład Snedecora Powiązania rozkładów ciągłych ZESTAWIENIE ROZKŁADÓW Zestawienie rozkładów skokowych Zestawienie rozkładów ciągłych TWIERDZENIA GRANICZNE RODZAJE TWIERDZEŃ GRANICZNYCH TWIERDZENIA INTEGRALNE ZbieŜność według dystrybuant Twierdzenie Lindeberga Levy ego Integralne twierdzenie Moivre a Laplace a Związek pomiędzy twierdzeniami granicznymi integralnymi Uwagi końcowe o twierdzeniach integralnych TWIERDZENIA LOKALNE Twierdzenie Poissona Lokalne twierdzenie Moivre a Laplace a PRAWA WIELKICH LICZB ZbieŜność według prawdopodobieństwa Prawo wielkich liczb Bernoulliego Prawo wielkich liczb Chinczyna

5 PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE 5. ZDARZENIA LOSOWE I PRAWDOPODOBIEŃSTWO 5.. Uwagi wstępne Przypadkowość lub inaczej losowość wiąŝe się z kaŝdym doświadczeniem, jest ono bowiem zawsze w większym czy mniejszym stopniu losowe. Rachunek prawdopodobieństwa jest działem matematyki zajmującym się badaniem prawidłowości w zakresie doświadczeń losowych, zwanych takŝe zjawiskami przypadkowymi. Przez doświadczenie losowe rozumiemy takie doświadczenie, które moŝe być powtarzane wiele razy w tych samych warunkach i którego wyników nie moŝna jednoznacznie przewidzieć. Przykłady doświadczeń losowych: Rzut monetą. Rzut kością. Losowanie Toto-Lotka. Rozdanie kart w czasie gry w brydŝa. Obserwacja liczby cząstek α emitowanych przez substancję promieniotwórczą w ciągu pewnego czasu, np. 0 sek. Pomiar określonej wielkości fizycznej. Strzelanie do celu. Bezawaryjny czas pracy komputera, itp. 5.. Zdarzenia losowe Pojęciem pierwotnym rachunku prawdopodobieństwa jest zdarzenie elementarne. Dla kaŝdego doświadczenia naleŝy oddzielnie ustalić, co rozumie się przez to pojęcie i jakie moŝliwe są zdarzenia elementarne. Zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych danego doświadczenia losowego oznaczamy literą Ω. Zdarzenia losowe (krótko: zdarzenia) są podzbiorami złoŝonymi z pewnej liczby zdarzeń elementarnych. Dane zdarzenie losowe zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi jedno ze zdarzeń elementarnych wchodzących w skład tego zdarzenia losowego. O zdarzeniach elementarnych, które naleŝą do danego zdarzenia losowego mówi się, Ŝe sprzyjają temu zdarzeniu. Zdarzeniami losowymi są takŝe szczególne zbiory: Sam zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych Ω, który nazywamy zdarzeniem pewnym; Zbiór nie zawierający Ŝadnego zdarzenia elementarnego (zbiór pusty), który nazywamy zdarzeniem niemoŝliwym; Zbiory jednoelementowe, składające się z jednego zdarzenia elementarnego. Zdarzenie pewne zachodzi w kaŝdym doświadczeniu losowym, natomiast zdarzenie niemoŝliwe nie zachodzi w Ŝadnym doświadczeniu. n Jeśli zbiór zdarzeń elementarnych Ω ma n elementów, to zdarzeń losowych jest (łącznie ze zdarzeniem pewnym i niemoŝliwym) czyli tyle, ile podzbiorów ma n-elementowy zbiór. Przykład 5. Partia towaru składa się ze sztuk dobrych i wadliwych. Z partii tej wybieramy losowo jedną sztukę towaru. Zdarzenia elementarne ustalamy następująco: d - wybranie sztuki dobrej, w - wybranie sztuki wadliwej. Wtedy zbiorem zdarzeń elementarnych jest zbiór Ω = d, w { } 5

6 RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA MoŜliwe są 4 zdarzenia losowe: { d } - wybranie sztuki dobrej; { w } - wybranie sztuki wadliwej; { d, w} = Ω - wybranie sztuki dobrej lub wadliwej (zdarzenie pewne); - zdarzenie niemoŝliwe (wybranie sztuki ani dobrej ani wadliwej). Przykład 5. Strzelec oddaje do celu dwa strzały. Zdarzenia elementarne ustalamy następująco: (, t) trafienie do celu; ( t,c) - trafienie w pierwszym strzale i chybienie w drugim strzale; (, t) chybienie w pierwszym i trafienie w drugim strzale; (,c) zdarzeń elementarnych jest zbiór Ω = {( t, t),( t,c),( c, t),( c,c) } MoŜliwych jest tu 4 = 6 zdarzeń losowych. Oto niektóre z nich: {( t, t),( t,c),( c,t) } - trafienie do celu co najmniej raz; {( t, t),( t,c) } - trafienie do celu w pierwszym strzale; {( t, t) } - dwukrotne trafienie do celu. Przykład 5. t - dwukrotne c - c - dwukrotne chybienie celu. Zbiorem Strzelec oddaje do celu dwa strzały. Interesuje nas liczba celnych strzałów. Zdarzenia elementarne w odróŝnieniu od poprzedniego przykładu ustalimy następująco: ω 0 - strzelec trafił do celu 0 razy, ω - trafił do celu dokładnie raz i ω - trafił dwa razy. Zbiorem zdarzeń elementarnych jest teraz zbiór Ω = ω, ω ω { } 0, Zdarzeń losowych mamy w tym przykładzie = 8. Oto niektóre z nich: { ω,ω } - trafienie do celu co najmniej raz; ω - trafienie do celu co najwyŝej raz; { } 0,ω { } { ω ω } = Ω ω - trafienie do celu dokładnie raz;, - trafienie do celu nie więcej niŝ dwa razy (zdarzenie pewne). ω0, Przy tak określonym zbiorze zdarzeń elementarnych nie moŝna mówić o zdarzeniu polegającym na trafieniu do celu w pierwszym strzale. Przykłady 5. i 5. wskazują, Ŝe dla tego samego doświadczenia losowego, w zaleŝności od interesującego nas zagadnienia, zbiór zdarzeń elementarnych moŝe być określony w róŝny sposób. 5.. Relacje między zdarzeniami Stosując działania rachunku zbiorów z danych zdarzeń losowych moŝemy tworzyć nowe, analogicznie jak robimy to ze zdaniami. Postępując tak określamy: Sumę zdarzeń A, B - zdarzenie składające się z tych wszystkich zdarzeń elementarnych, które naleŝą do co najmniej jednego ze zdarzeń A, B rys. 5.. Sumę zdarzeń A, B oznaczamy symbolem A B. Suma zdarzeń A, B zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi co najmniej jedno ze zdarzeń A, B. Iloczyn zdarzeń A, B - zdarzenie składające się z tych wszystkich zdarzeń elementarnych, które naleŝą do kaŝdego ze zdarzeń A, B rys. 5.. Iloczyn zdarzeń A, B oznaczamy symbolem A B. Iloczyn zdarzeń A, B zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi kaŝde ze zdarzeń A, B. KaŜde działanie w rachunku zbiorów ma odpowiednik w rachunku zdań i odwrotnie, np. sumie zbiorów odpowiada alternatywa zdań, a iloczynowi zbiorów koniunkcja zdań. 6

7 PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE RóŜnicę zdarzeń A, B - zdarzenie składające się z tych wszystkich zdarzeń elementarnych, które naleŝą do A i nie naleŝą do B rys. 5.. RóŜnicę zdarzeń A, B oznaczamy symbolem A B. RóŜnica zdarzeń A, B zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi A i nie zachodzi B. Zdarzenie przeciwne do zdarzenia A - zdarzenie składające się z tych wszystkich zdarzeń elementarnych, które nie naleŝą do A (lecz naleŝą do zbioru zdarzeń elementarnych Ω) rys Zdarzenie przeciwne do A oznaczamy symbolem A. Zdarzenie przeciwne do A zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy nie zachodzi zdarzenie A. Zdarzenie A pociągające za sobą zdarzenie B - jeśli kaŝde zdarzenie elementarne naleŝące do A naleŝy takŝe do B i zapisujemy to w postaci A B - rys Zdarzenie A pociąga zdarzenie B wtedy i tylko, wtedy, gdy z zajścia zdarzenia A wynika zajście zdarzenia B. Wykluczające się zdarzenia A, B - jeśli nie mają one wspólnych zdarzeń elementarnych, tzn. iloczyn zdarzeń A, B jest zdarzeniem niemoŝliwym A B = - rys Zdarzenia A, B wykluczają się wtedy i tylko wtedy, gdy nie mogą zajść łącznie. Rys. 5.. Suma zdarzeń Rys. 5.. Iloczyn zdarzeń Rys. 5.. RóŜnica zdarzeń Rys Zdarzenie przeciwne Rys Zdarzenie pociągające Rys Zdarzenia wykluczające się PowyŜsze rysunki nazywane są diagramami Venna. W poniŝszej tabeli podano wybrane relacje dotyczące rozpatrywanych zdarzeń. Tabela 5.. Relacje dotyczące zdarzeń Suma i iloczyn zdarzeń Zdarzenie przeciwne RóŜnica zdarzeń A A =A (A ) = A A B = A B A A = A A A = Ω A= A A B=B A A A = Ω A Ω= A B=B A A (B C) =(A B) C A (B C)=(A B) (A C) Ω = (A B) = A B (A B) = A B prawa de Morgana A= A A= A = A A (B C) =(A B) (A C) A Ω=Ω A = A Ω=A Dowód praw de Morgana odano w punkcie 0. części VII Wybrane twierdzenia z dowodami 7

8 RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA PoniŜej za pomocą diagramów Venna przedstawiono dwie z w/w zaleŝności: A (B C)=(A B) (A C) - rys. 5.7 A (B C) =(A B) (A C) - rys B C A B B C A B A (B C) A C A (B C) A C (A B) (A C) (A B) (A C) Rys A (B C)=(A B) (A C) Rys A (B C) =(A B) (A C) Przykład 5.4 Z partii układów scalonych wybrano losowo 5 sztuk. Interesuje nas liczba wybranych wadliwych układów. Dlatego zbiór zdarzeń elementarnych określamy następująco Ω = ω, ω, ω, ω, ω ω { 0 4, 5 } gdzie: k ( k = 0,, K,5) wadliwych układów scalonych. Zdarzenie A { ω, ω, ω4, ω5} dwóch wadliwych układów; B { ω 0, ω, ω, ω, ω 4 } układów; { } ω oznacza zdarzenie elementarne polegające na wybraniu dokładnie k = oznacza wybranie co najmniej = wybranie nie więcej niŝ czterech wadliwych C = ω wybranie dokładnie jednego wadliwego układu. Wtedy: suma A B = Ω jest zdarzeniem pewnym; A B = ω, ω ω oznacza wybranie lub lub 4 wadliwych układów; iloczyn {, } 4 róŝnica A B = { ω 5 } zdarzeniem przeciwnym do A jest A = { ω ω } oznacza wybranie dokładnie 5 wadliwych układów; 0, oznacza wybranie co najwyŝej jednego wadliwego układu; zdarzenie C pociąga zdarzenie B, C B oznacza to, Ŝe gdy zajdzie zdarzenie C to zajdzie takŝe zdarzenie B zdarzenia A i C wykluczają się, A B = oznacza to, Ŝe zdarzenia te nie mogą zajść łącznie. 8

9 PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE 5.4. Definicje prawdopodobieństwa Klasyczna definicja prawdopodobieństwa Jeśli: a) zbiór zdarzeń elementarnych ma skończoną liczbę elementów Ω = {ω, ω,, ω n } b) wszystkie zdarzenia losowe jednoelementowe {ω }, {ω },..., {ω n } są jednakowo prawdopodobne P({ω }) = P({ω }) =... = P({ω n }) to prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe P(A) = A Ω gdzie: A oznacza liczbę zdarzeń elementarnych naleŝących do zdarzenia A, natomiast Ω liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych. Zdarzenia elementarne, z których składa się zdarzenie A, nazywamy zdarzeniami sprzyjającymi zajściu tego zdarzenia, zaś zdarzenia elementarne, naleŝące do zbioru Ω zdarzeniami moŝliwymi. MoŜna więc powiedzieć, Ŝe gdy spełnione są załoŝenia a) i b), to prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe stosunkowi liczby zdarzeń sprzyjających zajściu A do liczby moŝliwych zdarzeń elementarnych. Przykład 5.5 Rzut kością Ω = {ω, ω, ω, ω 4, ω 5 ω 6 }, gdzie ω k (k =,..., 6) oznacza wyrzucenie k oczek. Jeśli kość jest symetryczna, to spełnione są załoŝenia a) i b). Mamy 6 moŝliwych zdarzeń elementarnych. Zdarzeniu A - wyrzucenie parzystej liczby oczek - sprzyjają zdarzenia elementarne ω, ω 4, ω 6, więc P(A) = = ; zdarzeniu B (wyrzucenie co najmniej oczek) 6 sprzyjają 4 zdarzenia elementarne {ω, ω 4, ω 5 ω 6 }, więc P(B) = 4 = ; zdarzeniu 6 C - wyrzuceniu dokładnie oczek sprzyja tylko jedno zdarzenie elementarne ω, więc P(C) = Geometryczna definicja prawdopodobieństwa Rozpatrzymy przypadek, gdy zbiór zdarzeń elementarnych Ω jest zbiorem punktów prostej, płaszczyzny lub przestrzeni. Zakładamy, Ŝe: a) zbiór Ω jest mierzalny o skończonej mierze, tzn. ma skończoną długość, pole lub objętość; b) wszystkie punkty zbioru Ω mają jednakowe szanse wylosowania. Wtedy prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia A, będącego podzbiorem mierzalnym zbioru Ω, wyraŝa się wzorem: miaraa P(A) = miaraω gdzie przez miarę rozumiemy długość, pole lub objętość, w zaleŝności czy zbiór Ω leŝy na prostej, płaszczyźnie lub w przestrzeni. 9

10 Przykład 5.6 RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA Obliczymy prawdopodobieństwo, Ŝe losowo wybrany punkt kwadratu OBCD o boku jest oddalony od punktu 0 więcej niŝ o 0,5 i mniej niŝ o. ( A) π polea 4 π = = = poleω 6 P Przykład 5.7 Dysponujemy radarem o jednostajnie obracającej się antenie, której rozwarcie charakterystyki kierunkowej wynosi 8. Obliczymy prawdopodobieństwo wykrycia pojedynczego sygnału radiowego przez ten radar. Zakładamy, Ŝe sygnał jest punktowy, tzn. Ŝe jest bardzo krótki w porównaniu z okresem obrotu anteny. Radar wykrywa sygnał w wycinku koła o promieniu R w kącie rozwarcia 8. Natomiast sygnał moŝe pojawić się w dowolnym punkcie tego koła (nie znamy połoŝenia nadajnika). Pola wycinka i koła są proporcjonalne do kątów 8 i 60, więc polea 8 P(A) = = = 0,05 poleω Statystyczna definicja prawdopodobieństwa W praktyce nie zawsze znana jest liczebność zbioru zdarzeń elementarnych, która jest potrzebna przy wykorzystaniu definicji klasycznej, bądź nie jest łatwo doliczyć się liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających poszczególnym zdarzeniom losowym. Podobnie nie zawsze są znane miary potrzebne dla skorzystania z definicji geometrycznej. Znajomości tych wielkości nie wymaga definicja statystyczna. W długiej serii doświadczeń obserwuje się wystąpienia zdarzenia A. JeŜeli częstość n/n zdarzenia A, gdzie N jest długością serii, a n liczbą doświadczeń, w których pojawiło się zdarzenie A, przy wzrastaniu długości serii zbliŝa się do pewnej liczby p oscylując wokół tej liczby i jeśli wahania częstości zdarzenia przejawiają tendencję malejącą przy wzrastającym N, to liczba p nazywana jest prawdopodobieństwem zdarzenia A. P(A) = lim N n N 0

11 PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE Rys Ilustracja statystycznej definicji prawdopodobieństwa Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa śadna z podanych powyŝej definicji nie jest pozbawiona wad. I tak: Definicja klasyczna jest tautologią, gdyŝ definiując prawdopodobieństwo posługuje się pojęciem zdarzeń jednakowo moŝliwych, czyli jednakowo prawdopodobnych. Definicja geometryczna wymaga znajomości miary zbiorów, którymi się posługuje. Definicja statystyczna nie jest ścisła, bo nie jest sprecyzowana granica w niej występująca. Wspólną wadą tych definicji jest to, Ŝe definiując prawdopodobieństwo zdarzenia, odnosimy się do określonego typu doświadczenia. Takich wad nie ma podana poniŝej definicja aksjomatyczna, gdyŝ dotyczy ona wszystkich rodzajów doświadczeń losowych. Jeśli kaŝdemu zdarzeniu losowemu A przyporządkowano liczbę rzeczywistą P(A), zwaną prawdopodobieństwem zdarzenia A, w taki sposób, aby spełnione były następujące warunki: I. 0 P(A) II. Prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego jest równe P(Ω) = III. JeŜeli zdarzenia A, A,...A n,... wykluczają się parami (tzn. kaŝde dwa z nich wykluczają się), wtedy prawdopodobieństwo sumy tych zdarzeń jest równe sumie ich prawdopodobieństw P(A A... A n...) = P(A ) + P(A ) P(A n ) +... to określoną w ten sposób funkcję P nazywamy prawdopodobieństwem. Jeśli zbiór zdarzeń elementarnych Ω ma skończoną liczbę elementów, to warunek III moŝe być zastąpiony prostszym warunkiem: III'. Prawdopodobieństwo sumy dwóch dowolnych zdarzeń wykluczających się jest równe sumie ich prawdopodobieństw P(A B) = P(A) + P(B) Podane wcześniej definicje prawdopodobieństwa: klasyczna, geometryczna i statystyczna są szczególnymi przypadkami definicji aksjomatycznej. Przykład 5.8 Rzut monetą. Ω = {O, R}, gdzie O oznacza wyrzucenie orła, zaś R - wyrzucenie reszki. Mamy cztery zdarzenia losowe, {O}, {R}, Ω.. Określimy na tych zdarzeniach funkcję P w następujący sposób P( ) = 0, P({O}) =, P({R}) =, P(Ω) = Łatwo sprawdzić, Ŝe tak określona funkcja P spełnia warunki I, II, III, a więc jest prawdopodobieństwem. Wartości tej funkcji są prawdopodobieństwami poszczególnych zdarzeń. Wypowiedź, w której treści wyraz określający nie wzbogaca treści wyrazu określanego, powtarzając ją tylko.

12 RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA Na tych samych zdarzeniach losowych określimy inną funkcję, którą dla odróŝnienia oznaczymy P P ( ) = 0; P ({O}) =, P ({R}) =, P (Ω) = Łatwo sprawdzić, Ŝe takŝe funkcja P jest prawdopodobieństwem. Widzimy, Ŝe aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa nie precyzuje jednoznacznie wartości liczbowych prawdopodobieństw poszczególnych zdarzeń losowych. Na tym samym zbiorze zdarzeń losowych prawdopodobieństwo moŝe być określone na róŝne sposoby, byleby zgodnie z warunkami I, II, III. Jeśli jednak chcemy wykorzystywać teorię prawdopodobieństwa w praktyce, to powinniśmy określić prawdopodobieństwo tak, by spełniony był postulat: w długim ciągu powtórzeń w tych samych warunkach doświadczenia losowego częstość 4 zajścia zdarzenia A powinna zbliŝać się do prawdopodobieństwa tego zdarzenia. Postulat ten nazywamy interpretacją prawdopodobieństwa przy pomocy częstości. Z aksjomatycznej definicji prawdopodobieństwa moŝna wyprowadzić następujące własności prawdopodobieństwa 5 : I. prawdopodobieństwo zdarzenia niemoŝliwego jest równe zeru P( ) = 0 II. jeśli zdarzenia A,..., A n wykluczają się parami, to prawdopodobieństwo sumy zdarzeń jest równe sumie ich prawdopodobieństw P(A A... A n ) = P(A ) + P(A ) P(A n ) III. jeśli zdarzenie A pociąga zdarzenie B, to P(A) P(B) P(B A) = P(B) P(A) IV. prawdopodobieństwo sumy dwóch dowolnych zdarzeń jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń zmniejszonej o prawdopodobieństwo ich iloczynu P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) V. prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe róŝnicy jedności i prawdopodobieństwa zdarzenia przeciwnego do A P(A) = P(A') Definicja prawdopodobieństwa warunkowego 5.7. Prawdopodobieństwo warunkowe Niech A i B będą dowolnymi zdarzeniami losowymi, przy czym P(B)>0. Prawdopodobieństwem warunkowym zdarzenia A pod warunkiem, Ŝe zaszło zdarzenie B, nazywamy iloraz prawdopodobieństwa iloczynu zdarzeń A i B oraz prawdopodobieństwa zdarzenia B, co zapisujemy P(A/B) = P(A B) P(B) Symbol P(A/B) czytamy: prawdopodobieństwo zdarzenia A pod warunkiem, Ŝe zaszło zdarzenie B. Tak więc informacja o jakimś zdarzeniu B, które zaszło, moŝe mieć wpływ na prawdopodobieństwo innego zdarzenia A. 4 Częstością zdarzenia A nazywamy stosunek liczby doświadczeń, w których zdarzenie A zaszło, do liczby wykonanych doświadczeń. 5 Dowody podano w punkcie 0.. części VII Wybrane twierdzenia z dowodami

13 Przykład 5.9 PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE Obliczymy prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na wyrzuceniu parzystej liczby oczek przy rzucie kością pod warunkiem, Ŝe zaszło zdarzenie B polegające na wyrzuceniu co najwyŝej 5 oczek. Oczywiście A = {ω, ω 4, ω 6 }, B ={ω, ω, ω, ω 4, ω 5, }, zaś A B = {ω, ω 4 }, więc P(A B) P(A/B) = = 6 = P(B) Prawdopodobieństwo iloczynu Ze wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe moŝna wyznaczyć prawdopodobieństwo iloczynu dwóch zdarzeń. Prawdopodobieństwo iloczynu dwóch zdarzeń jest równe iloczynowi prawdopodobieństwa jednego z tych zdarzeń i prawdopodobieństwa drugiego zdarzenia pod warunkiem zajścia pierwszego P(A B) = P(A) P(B/A) przy załoŝeniu, Ŝe P(A)>0 Przykład 5.0 Detale poddawane są dwóm próbom. Drugiej próbie poddawane są te detale, które pozytywnie przeszły pierwszą próbę. Prawdopodobieństwo, Ŝe detal przejdzie pozytywnie pierwszą próbę wynosi 0,8, a dla drugiej pod warunkiem, Ŝe przeszedł pierwszą próbę wynosi 0,6. Obliczymy prawdopodobieństwo, Ŝe detal przeszedł pozytywnie obie próby. Niech A oznacza zdarzenie: detal przeszedł pozytywnie pierwszą próbę, B: detal przeszedł pozytywnie drugą próbę. Obliczymy P(A B). Z treści zadania wynika, Ŝe P(A) = 0,8, P(B/A) = 0,6, więc P(A B) = P(A)P(B/A) = 0,8 0,6 = 0, Prawdopodobieństwo całkowite i twierdzenie Bayesa Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym JeŜeli zdarzenia losowe A, A,..., A n o dodatnich prawdopodobieństwach wykluczają się parami i suma ich jest zdarzeniem pewnym, to dla dowolnego zdarzenia losowego B zachodzi wzór P(B) = P(A )P(B/A ) + P(A )P(B/A ) + + P(A n )P(B/A n ) zwany wzorem na prawdopodobieństwo całkowite. 6 Przykład 5. Piłkarzy podzielono na trzy grupy. W pierwszej grupie było 0, w drugiej 5, w trzeciej 5 piłkarzy. KaŜdy piłkarz z pierwszej grupy zdobywa gola z karnego z prawdopodobieństwem 0,9, z drugiej z prawdopodobieństwem 0,8, a z trzeciej z prawdopodobieństwem 0,6. Obliczymy prawdopodobieństwo, Ŝe losowo wybrany piłkarz zdobędzie gola z karnego. Niech A k będzie zdarzeniem polegającym na wybraniu piłkarza z k-tej grupy (k =,,), zaś B zdarzeniem polegającym na tym, Ŝe wybrany piłkarz strzeli gola z karnego. Łatwo sprawdzić, Ŝe zdarzenia A, A, A, spełniają załoŝenia twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym, więc P(B) = P(A )P(B/A ) + P(A )P(B/A ) + P(A )P(B/A ) 6 Dowód podano w punkcie 0.. części VII Wybrane twierdzenia z dowodami

14 RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA Wszystkich piłkarzy było 50, więc P(A ) = = 0,, P(A ) = = 0,5, P(A ) = = 0,, dalej z treści zadania wynika, Ŝe P(B/A ) = 0,9, P(B/A ) = 0,8, P(B/A ) = 0,6, zatem P(B) = 0, 0,9 + 0,5 0,8 + 0, 0,6 = 0,76 Przykład 5. Zakład produkuje układy scalone na dwie zmiany. Pierwsza zmiana produkuje dwa razy więcej układów scalonych niŝ druga. Wśród układów scalonych wyprodukowanych przez pierwszą zmianę jest % wadliwych, a przez drugą zmianę jest 5% wadliwych. Z dziennej produkcji układów scalonych wybrano losowo jeden układ. Obliczymy prawdopodobieństwo, Ŝe jest on wadliwy. Wprowadzamy oznaczenia A - wybrany układ został wyprodukowany przez pierwszą zmianę, A - wybrany układ został wyprodukowany przez drugą zmianę, B - wybrany układ jest wadliwy. Obliczymy P(B). Z treści zadania wynika, Ŝe zdarzenia A i A spełniają załoŝenie twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym, zatem ale więc Twierdzenie Bayesa P(B) = P(A )P(B A ) + P(A )P(B A ) P(A ) = /, P(B A ) = 0,0 P(A ) = / P(B A ) = 0,05 P(B) = / 0,0 + / 0,05 = 00 JeŜeli zdarzenia losowe A,A,...,A n o dodatnich prawdopodobieństwach wykluczają się parami i suma ich jest zdarzeniem pewnym, zaś B jest dowolnym zdarzeniem o dodatnim prawdopodobieństwie, to zachodzi wzór P(A k )P(B A k ) P(A k B) = wzór Bayesa - postać zredukowana P(B) P(A k )P(B / A k ) P(A k /B) = P(A )P(B / A ) + P(A )P(B / A ) P(A )P(B / A ) n n wzór Bayesa - postać pełna dla k=,,..., n zwany wzorem Bayesa 7. Na podstawie wzoru Bayesa moŝna więc obliczyć prawdopodobieństwa P(A k /B), k=,,,n znając prawdopodobieństwa P(A k ). Oznacza to, Ŝe jeŝeli znamy prawdopodobieństwa P(A k ) oraz wiemy, Ŝe zdarzenie B zostało zrealizowane, względnie - na pewno zostanie zrealizowane - to moŝemy jakby na nowo obliczyć prawdopodobieństwo tych samych zdarzeń uwzględniając fakt realizacji zdarzenia B, stąd teŝ prawdopodobieństwa P(A k ) nazywane są prawdopodobieństwami a priori, natomiast prawdopodobieństwa P(A k /B) prawdopodobieństwami a posteriori. 7 Dowód podano w punkcie 0.4. części VII Wybrane twierdzenia z dowodami 4

15 Przykład 5. PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE Sklep sprzedaje Ŝarówki produkowane przez fabryki F i F. śarówki wyprodukowane przez F stanowią 60 %, zaś przez F 40% całego zapasu Ŝarówek. Wiadomo, Ŝe % Ŝarówek wyprodukowanych przez F i % Ŝarówek wyprodukowanych przez F to braki. Kupiono jedną Ŝarówkę, która okazała się brakiem. Obliczymy prawdopodobieństwo, Ŝe została ona wyprodukowana przez F. Niech A będzie zdarzeniem polegającym na kupieniu Ŝarówki wyprodukowanej przez F, A na kupieniu Ŝarówki wyprodukowanej przez F, zaś B na kupieniu Ŝarówki, która jest brakiem. NaleŜy obliczyć P(A /B). Łatwo sprawdzić, Ŝe zdarzenia A, A i B spełniają załoŝenia twierdzenia Bayesa, więc P(A P(A /B) = )P(B / A ) 0,4 0,0 4 = = = 0,57 P(A )P(B/ A ) + P(A )P(B / A ) 0,6 0,0 + 0,4 0,0 7 Przykład 5.4 Dalszy ciąg przykładu 5.. Wylosowano układ wadliwy. Obliczymy prawdopodobieństwo, Ŝe został on wyprodukowany przez pierwszą zmianę. NaleŜy obliczyć P(A /B). Ze wzoru Bayesa postać zredukowana - mamy P(A )P(B / A ) / 0,0 6 P(A / B) = = = P(B) / Zdarzenia niezaleŝne NiezaleŜność dwóch zdarzeń Zdarzenia A, B nazywamy zdarzeniami niezaleŝnymi, jeśli prawdopodobieństwo iloczynu tych zdarzeń jest równe iloczynowi ich prawdopodobieństw P(A B) = P(A) P(B) (5.) Zakładamy, Ŝe P(B)>0. Warunkiem koniecznym i wystarczającym niezaleŝności zdarzeń A i B jest równość P(A/B) = P(A) Oznacza to, Ŝe zdarzenie B nie ma wpływu na prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A. Dowód konieczności ZałóŜmy, Ŝe A i B są zdarzeniami niezaleŝnymi. Wtedy Dowód dostateczności P(A B) P(A) P(B) P (A / B) = = = P(A) P(B) P(B) ZałóŜmy, Ŝe zachodzi wzór P(A/B) = P(A). Wówczas P(A B) = P(A/B) P(B)=P(A) P(B) co świadczy o tym, Ŝe zdarzenia A i B są niezaleŝne. Przykład 5.5 Dwukrotny rzut monetą Ω = {(O,O),(O,R),(R,O),(R,R)}. Niech A oznacza zdarzenie w pierwszym rzucie otrzymano orła, B - w drugim rzucie otrzymano orła, wtedy 5

16 RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA P(A) = P({(O,O),(O,R)}) =, P(B)=P({(O,O),(R,O)}) =, P(A B) = P({(O,O)}) = 4, więc P(A B) = P(A) P(B), czyli zdarzenia A i B są niezaleŝne. Przykład 5.6 Rzut kostką. Ω = { ω, ω, ω, ω4, ω5, ω6} A { ω,ω 4,ω6} B { ω,ω,ω,ω 4,ω5} C { ω,ω,ω,ω } = - wyrzucenie parzystej liczby oczek, = - wyrzucenie co najwyŝej 5 oczek, = - wyrzucenie co najwyŝej 4 oczek. 4 Czy zdarzenia A i B oraz A i C stanowią pary zdarzeń niezaleŝnych? PoniewaŜ A B = { ω,ω4} = A C, więc P(A B) = P(A C) = =, zatem P(A)P(B) = = P(A B) 6 P(A)P(C) = = = P(A C) Odp. Zdarzenia A i B nie są niezaleŝne, natomiast zdarzenia A i C są niezaleŝne. NiezaleŜność zdarzeń przeciwnych JeŜeli zdarzenia A i A są niezaleŝne, to a) A i są parami zdarzeń niezaleŝnych 8. NiezaleŜność trzech zdarzeń ' A b) ' A i A c) Trzy zdarzenia A, B i C są niezaleŝne, jeśli zachodzą wzory Przykład 5.7 ' A i P(A B) = P(A) P(B), P(A C) = P(A) P(C), P(B C) = P(B) P(C) (5.) ' A P(A B C) = P(A) P(B) P(C) (5.) W hali pracują trzy maszyny. Zdarzenia polegające na zepsuciu się tych maszyn w czasie T są zdarzeniami niezaleŝnymi o prawdopodobieństwach 0, dla pierwszej maszyny, 0, dla drugiej maszyny i 0,5 dla trzeciej maszyny. Obliczymy prawdopodobieństwo, Ŝe w czasie T zepsują się a) wszystkie maszyny, b) dwie maszyny. Wprowadzamy zdarzenia A w czasie T zepsuje się pierwsza maszyna, B w czasie T zepsuje się druga maszyna, C w czasie T zepsuje się trzecia maszyna. Z treści zadania wynika, Ŝe zdarzenia A, B i C są niezaleŝne o prawdopodobieństwach P(A) = 0,, P(B) = 0,, P(C)=0,5. a) D w czasie T zepsują się wszystkie maszyny PoniewaŜ D = A B C oraz zdarzenia A, B i C są niezaleŝne, więc P(D) = P(A B C) = P(A)P(B)P(C) = 0, 0, 0,5 = 0, 0 8 Dowód podano w podpunkcie części VII Wybrane twierdzenia z dowodami 6

17 PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE b) E w czasie T zepsują się dwie maszyny. Mamy E = (A B C ) (A B C) (A B C) PoniewaŜ iloczyny występujące w nawiasach są zdarzeniami wykluczającymi się, więc Z niezaleŝności zdarzeń A, B i C mamy więc Odp. a) 0,0, b) 0,056 P(E) = P(A B C ) + P(A B C) + P(A B C) P(E) = P(A)P(B)P(C ) + P(A)P(B )P(C) + P(A )P(B)P(C) P(E) = 0, 0, ( 0,5) + 0, ( 0,) 0,5 + ( 0,) 0, 0,5 = 0,056 Uwaga: Z równości (5.) nie wynikają równości (5.) oraz z równości (5.) nie wynika równość (5.), zatem przyjęcie jako definicji niezaleŝności trzech zdarzeń jedynie równości (5.) nie gwarantuje niezaleŝności parami tych zdarzeń. NiezaleŜność n zdarzeń (n ) Zdarzenia A,...,A n (5.4) nazywamy zdarzeniami niezaleŝnymi, jeśli P(A... A n ) = P(A )...P(A n ) oraz prawdopodobieństwo iloczynu jest równe iloczynowi prawdopodobieństw dla dowolnego podciągu ciągu zdarzeń (5.4) złoŝonego z co najmniej dwóch zdarzeń. Z powyŝszej definicji wynika wcześniej przyjęta definicja niezaleŝności trzech zdarzeń. NiezaleŜność przeliczalnie wielu zdarzeń Zdarzenia A,A, nazywamy zdarzeniami niezaleŝnymi, jeŝeli dla dowolnej liczby naturalnej n zdarzenia A,...,A n są niezaleŝne. Uwaga. Z przyjętych definicji niezaleŝności zdarzeń wynika zasada: Jeśli (A n ) jest skończonym lub nieskończonym ciągiem zdarzeń niezaleŝnych, to dowolny jego podciąg (złoŝony z co najmniej dwóch zdarzeń) jest ciągiem zdarzeń niezaleŝnych. Przykład 5.8 Do samolotu oddano niezaleŝnie trzy strzały. Prawdopodobieństwo trafienia samolotu pierwszym strzałem wynosi 0,4, drugim 0,5 i trzecim 0,7. Jeśli w samolot trafił jeden pocisk, to nastąpi zestrzelenie samolotu z prawdopodobieństwem 0,, jeśli dwa pociski - to z prawdopodobieństwem 0,6, jeśli trzy pociski - to samolot zostanie na pewno zestrzelony. Obliczymy prawdopodobieństwo, Ŝe w rezultacie trzech strzałów samolot zostanie zestrzelony. Oznaczmy: B - samolot został trafiony pierwszym pociskiem, B - samolot został trafiony drugim pociskiem, B - samolot został trafiony trzecim pociskiem, A 0 - w samolot nie trafił Ŝaden pocisk, A - w samolot trafił jeden pocisk, A - w samolot trafiły dwa pociski, A - w samolot trafiły trzy pociski, B - samolot został strącony. 7

18 RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA P(A 0 ) = P(B B B ) = ( P(B ))( P(B )) ( P(B )) = 0,6 0,5 0, = 0,09 P(A ) = P((B B B ) (B B B ) (B B B )) = = 0,4 0,5 0, + 0,6 0,5 0, + 0,4 0,5 0,7 = 0,6 P(A ) = P((B B B ) (B B B ) (B B B )) = = 0,4 0,5 0, + 0,4 0,5 0,7 + 0,6 0,5 0,7 = 0,4 P(A ) = (B B B ) = 0,4 0,5 0,7 = 0,4 Przy obliczaniu powyŝszych prawdopodobieństw korzystaliśmy z faktu, Ŝe zdarzenia B, B i B są niezaleŝne oraz z twierdzenia o prawdopodobieństwie sumy zdarzeń wykluczających się. ZauwaŜmy, Ŝe zdarzenia A 0, A, A, A spełniają załoŝenia twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym, więc P(B) = P(A 0 )P(B/A 0 ) + P(A )P(B/A ) + P(A ) P(B/A ) + P(A )P(B/A ) Z treści zadania wynika, Ŝe P(B/A 0 ) = 0; P(B/A ) = 0,; P(B/A ) = 0,6; P(B/A ) =,0 zatem P(B) = 0, ,6 0, + 0,4 0,6 + 0,4,0 = 0,458 8

19 PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE 6. ZMIENNE LOSOWE 6.. Zmienne losowe jednowymiarowe 6... Pojęcie zmiennej losowej Pojęcie zmiennej losowej jest jednym z podstawowych pojęć rachunku prawdopodobieństwa. JeŜeli kaŝdemu zdarzeniu elementarnemu przyporządkujemy liczbę rzeczywistą, to mówimy, Ŝe została określona zmienna losowa jednowymiarowa, albo - w skrócie - zmienna losowa. Zmienna losowa jest więc funkcją, której dziedziną jest zbiór zdarzeń elementarnych Ω, a wartościami są liczby rzeczywiste 9. Zmienne losowe oznaczamy duŝymi literami z końca alfabetu łacińskiego X, Y, JeŜeli zmienną losową oznaczymy literą X, to wartości przyjmowane przez tę zmienną losową oznaczamy małą literą x. Niech A będzie podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych. Symbolem X A oznaczamy zbiór tych wszystkich zdarzeń elementarnych którym zmienna losowabłąd! Nie zdefiniowano zakładki. X przyporządkowuje liczby naleŝące do zbioru A. PowyŜszą definicję i jej niektóre szczególne przypadki przedstawiamy w poniŝszej tabeli. Przykład 6. Symbol Rzut kością. Ω = { ω, ω, ω, ω, ω ω } 4 5, Tabela 6.. Wybrane definicje Definicja symbolu X A { ω : X( ω) A} X = a { ω : X( ω) = a} X < a { ω : X( ω) < a} a X < b { ω : a X( ω) < b} ω 6. Przyporządkowanie,,,,, jest zmienną losową o zbiorze wartości {,,, 4, 5, 6}. Zmienną tą oznaczymy X. Przyporządkowanie ω ω ω ω ω 0 jest takŝe zmienną losową o zbiorze wartości {-, 0, }, oznaczymy ją Y. Zmienna losowa X moŝe słuŝyć do opisu sytuacji w której interesuje nas liczba wyrzuconych oczek na kości. Natomiast zmienna losowa Y moŝe opisywać następującą sytuację: rzucamy kością, jeśli wyrzucimy lub lub oczka, to płacimy zł, jeśli wyrzucimy 4 oczka to nic nie płacimy i nic nie otrzymujemy, jeśli wyrzucimy 5 lub 6 oczek, to otrzymujemy zł. Wtedy Y oznacza wygraną w tej grze. PoniŜsze zaleŝności ilustrują symbole podane w tabeli 6.. P( X {,4,6} ) = P( { ω : X( ω) {,4,6 }) = P( { ω, ω4, ω6 }) = = 6 ω 4 ω 4 ω 5 5 ω 6,,,,, 9 PowyŜsza definicja jest ścisła, gdy kaŝdy podzbiór zbioru zdarzeń elementarnych jest zdarzeniem losowym. Gdy tak nie jest, to definicję zmiennej losowej naleŝy uzupełnić pewnym warunkiem, spełnionym na ogół w zagadnieniach praktycznych, patrz np. R. Leitner, J. Zacharski Matematyka dla studentów, cz. III str.8-8, WNT 998, wydanie VIII. 4 ω 5 ω 6 6 9

20 ( X = ) = P( { ω: X( ω) = } ) = P( { ω }) P = RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA P( X < ) = P( { ω: X( ω) < } ) = P( { ω, ω} ) = = 6 P ( X 7) = P( { ω: X( ω) 7} ) = P( ) = 0 P( X < 5) = P( { ω: X( ω) < 5} ) = P( { ω, ω, ω4} ) = = 6 P ( X 6) = P( { ω: X( ω) 6} ) = P( Ω) = P( X < ) = P( { ω: X( ω) < } ) = P( { ω, ω} ) = = 6 P( Y = ) = P( { ω : Y( ω) = } ) = P( { ω,ω,ω}) = = 6 P( Y = 0) = P( { ω : Y( ω) = 0} ) = P( { ω4 }) = 6 P( Y = ) = P( { ω : Y( ω) = } ) = P( { ω5, ω6 }) = = 6 Przykład 6. 6 Partia towaru składa się ze sztuk dobrych i wadliwych. Z partii tej pobieramy losowo jedną sztukę towaru, wtedy Ω = {d, w}. Zdarzeniu elementarnemu d, polegającemu na wybraniu sztuki dobrej, przyporządkujmy liczbę 0, zaś zdarzeniu elementarnemu w - wybrana sztuka jest wadliwa - liczbę. Została określona w ten sposób zmienna losowa X, przyjmująca dwie wartości x = 0 i x =. Przykład 6. Zajmując się badaniem monet znajdujących się w obiegu i wyprodukowanych w latach w zaleŝności od ich wieku, najwygodniej jest uŝywać jako zmienną losową rok emisji. Zbiorem wartości tej zmiennej losowej jest zbiór {000, 00, 00, 00, 004, 005}. Przykład 6.4 Strzelec strzela tak długo aŝ trafi do celu. Zbiór zdarzeń elementarnych, określamy następująco Ω = {ω, ω,...) gdzie zdarzenie elementarne ω n (n =,,...) oznacza, Ŝe strzelec trafił do celu pierwszy raz w n - tym strzale. Zdarzeniu elementarnemu ω n przyporządkujemy liczbę n. Zbiorem wartości tak określonej zmiennej losowej jest zbiór wszystkich liczb naturalnych. Przykład 6.5 Pomiar wielkości fizycznej. Jeśli nie wiemy nawet w przybliŝeniu, jakie moŝna otrzymać wyniki pomiarów pewnej nieznanej wielkości fizycznej, to przyjmujemy, Ŝe mogą one wyrazić się dowolnymi liczbami rzeczywistymi. W tym przypadku zbiorem zdarzeń elementarnych Ω jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych Ω = (-, ) Na tym zbiorze określimy zmienną losową X następująco: kaŝdej liczbie rzeczywistej x przyporządkujemy tę samą liczbę x. Zbiorem wartości tej zmiennej losowej jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych. Zmienne losowe pozwalają przedstawiać wyniki doświadczeń losowych za pomocą liczb, co znacznie ułatwia badanie tych doświadczeń i pozwala traktować je jednolicie. Na tym samym zbiorze zdarzeń elementarnych Ω moŝna określać róŝne zmienne losowe w zaleŝności od zagadnienia, które nas interesuje (przykład 6.). 0

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady

WYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady WYKŁAD 2 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady Metody statystyczne metody opisu metody wnioskowania statystycznego syntetyczny liczbowy opis właściwości zbioru danych ocena

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA. rachunek prawdopodobieństwa

STATYSTYKA MATEMATYCZNA. rachunek prawdopodobieństwa STATYSTYKA MATEMATYCZNA rachunek prawdopodobieństwa treść Zdarzenia losowe pojęcie prawdopodobieństwa prawo wielkich liczb zmienne losowe rozkłady teoretyczne zmiennych losowych Zanim zajmiemy się wnioskowaniem

Bardziej szczegółowo

Literatura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III.

Literatura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III. Literatura Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K, Wasilewski M., Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna w Zadaniach, cz. I. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej

Bardziej szczegółowo

Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły. Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga. Anna Rajfura, Matematyka

Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły. Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga. Anna Rajfura, Matematyka Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga 1 Zagadnienia 1. Przypomnienie wybranych pojęć rachunku prawdopodobieństwa. Zmienna losowa. Rozkład

Bardziej szczegółowo

Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych

Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej

Rozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Zbiór możliwych wyników eksperymentu będziemy nazywać przestrzenią zdarzeń elementarnych i oznaczać Ω, natomiast

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem

Bardziej szczegółowo

SPIS TEŚCI CZĘŚĆ I RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA

SPIS TEŚCI CZĘŚĆ I RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA SPIS TEŚCI PRZEDMOWA...13 CZĘŚĆ I RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. ZDARZENIA LOSOWE I PRAWDOPODOBIEŃSTWO...17 1.1. UWAGI WSTĘPNE... 17 1.2. ZDARZENIA LOSOWE... 17 1.3. RELACJE MIĘDZY ZDARZENIAMI... 18 1.4.

Bardziej szczegółowo

Statystyka Astronomiczna

Statystyka Astronomiczna Statystyka Astronomiczna czyli zastosowania statystyki w astronomii historycznie astronomowie mieli wkład w rozwój dyscypliny Rachunek prawdopodobieństwa - gałąź matematyki Statystyka - metoda oceny właściwości

Bardziej szczegółowo

Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka

Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka W 2. Probabilistyczne modele danych Zmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej Dr Anna ADRIAN Zmienne

Bardziej szczegółowo

Wykład 13. Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa

Wykład 13. Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa Wykład 13. Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu semestr zimowy, rok akademicki 2015 2016 Doświadczenie losowe Doświadczenie

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. L. Kowalski, Statystyka, 2005

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. L. Kowalski, Statystyka, 2005 RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. Literatura: Marek Cieciura, Janusz Zacharski, Metody probabilistyczne w ujęciu praktycznym, L. Kowalski, Statystyka, 2005 R.Leitner, J.Zacharski, "Zarys matematyki

Bardziej szczegółowo

4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03)

4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) 4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) Definicja 1 Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która przyjmuje wszystkie

Bardziej szczegółowo

P r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt.

P r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt. P r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt. Lekcja 2 Temat: Podstawowe pojęcia związane z prawdopodobieństwem. Str. 10-21 1. Doświadczenie losowe jest to doświadczenie,

Bardziej szczegółowo

Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo

Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Rozdział 1 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo 1.1 Klasyfikacja zdarzeń Zdarzenie elementarne pojęcie aprioryczne, które nie może być zdefiniowane. Odpowiednik pojęcia punkt w geometrii. Zdarzenie elementarne

Bardziej szczegółowo

Przestrzeń probabilistyczna

Przestrzeń probabilistyczna Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem. Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty

Bardziej szczegółowo

W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych:

W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: Zmienne losowe skokowe (dyskretne) przyjmujące co najwyżej przeliczalnie wiele wartości Zmienne losowe ciągłe

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;

Bardziej szczegółowo

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne , centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne

Bardziej szczegółowo

Rozkłady statystyk z próby

Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny

Bardziej szczegółowo

Rozkłady zmiennych losowych

Rozkłady zmiennych losowych Rozkłady zmiennych losowych Wprowadzenie Badamy pewną zbiorowość czyli populację pod względem występowania jakiejś cechy. Pobieramy próbę i na podstawie tej próby wyznaczamy pewne charakterystyki. Jeśli

Bardziej szczegółowo

Zestaw 2: Zmienne losowe. 0, x < 1, 2, 2 x, 1 1 x, 1 x, F 9 (x) =

Zestaw 2: Zmienne losowe. 0, x < 1, 2, 2 x, 1 1 x, 1 x, F 9 (x) = Zestaw : Zmienne losowe. Które z poniższych funkcji są dystrybuantami? Odpowiedź uzasadnij. Wskazówka: naszkicuj wykres. 0, x 0,, x 0, F (x) = x, F (x) = x, 0 x

Bardziej szczegółowo

Metody probabilistyczne

Metody probabilistyczne Metody probabilistyczne 2. Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 10.10.2017 1 / 33 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna dla leśników

Statystyka matematyczna dla leśników Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 2013/2014 Wykład 3 Zmienna losowa i jej rozkłady Zdarzenia losowe Pojęcie prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

II WYKŁAD STATYSTYKA. 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15

II WYKŁAD STATYSTYKA. 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 II WYKŁAD STATYSTYKA 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 2 Rachunek prawdopodobieństwa zdarzenia elementarne zdarzenia losowe zmienna losowa skokowa i ciągła prawdopodobieństwo i gęstość prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

(C. Gauss, P. Laplace, Bernoulli, R. Fisher, J. Spława-Neyman) Wikipedia 2008

(C. Gauss, P. Laplace, Bernoulli, R. Fisher, J. Spława-Neyman) Wikipedia 2008 STATYSTYKA MATEMATYCZNA - dział matematyki stosowanej oparty na rachunku prawdopodobieństwa; zajmuje się badaniem zbiorów na podstawie analizy ich części. Nauka, której przedmiotem zainteresowania są metody

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Statystyka i opracowanie danych W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Rozkład Poissona. Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i funkcja gęstości

Bardziej szczegółowo

zdarzenie losowe - zdarzenie którego przebiegu czy wyniku nie da się przewidzieć na pewno.

zdarzenie losowe - zdarzenie którego przebiegu czy wyniku nie da się przewidzieć na pewno. Rachunek prawdopodobieństwa Podstawowym celem rachunku prawdopodobieństwa jest określanie szans zajścia pewnych zdarzeń. Pojęcie podstawowe rachunku prawdopodobieństwa to: zdarzenie losowe - zdarzenie

Bardziej szczegółowo

Pojęcie przestrzeni probabilistycznej

Pojęcie przestrzeni probabilistycznej Pojęcie przestrzeni probabilistycznej Definicja (przestrzeni probabilistycznej) Uporządkowany układ < Ω, S, P> nazywamy przestrzenią probabilistyczną jeśli (Ω) Ω jest niepustym zbiorem zwanym przestrzenia

Bardziej szczegółowo

Ważne rozkłady i twierdzenia

Ważne rozkłady i twierdzenia Ważne rozkłady i twierdzenia Rozkład dwumianowy i wielomianowy Częstość. Prawo wielkich liczb Rozkład hipergeometryczny Rozkład Poissona Rozkład normalny i rozkład Gaussa Centralne twierdzenie graniczne

Bardziej szczegółowo

Wybrane rozkłady zmiennych losowych. Statystyka

Wybrane rozkłady zmiennych losowych. Statystyka Wybrane rozkłady zmiennych losowych Statystyka Rozkład dwupunktowy Zmienna losowa przyjmuje tylko dwie wartości: wartość 1 z prawdopodobieństwem p i wartość 0 z prawdopodobieństwem 1- p x i p i 0 1-p 1

Bardziej szczegółowo

Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe

Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe Statystyka i opracowanie danych W4 Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Rozkład normalny wykres funkcji gęstości

Bardziej szczegółowo

Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.

Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna. Wykład 4 Rozkłady i ich dystrybuanty Dwa typy zmiennych losowych Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.

Bardziej szczegółowo

METODY BADAŃ NA ZWIERZĘTACH ze STATYSTYKĄ wykład 3-4. Parametry i wybrane rozkłady zmiennych losowych

METODY BADAŃ NA ZWIERZĘTACH ze STATYSTYKĄ wykład 3-4. Parametry i wybrane rozkłady zmiennych losowych METODY BADAŃ NA ZWIERZĘTACH ze STATYSTYKĄ wykład - Parametry i wybrane rozkłady zmiennych losowych Parametry zmiennej losowej EX wartość oczekiwana D X wariancja DX odchylenie standardowe inne, np. kwantyle,

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo

Prawdopodobieństwo Prawdopodobieństwo http://www.matemaks.pl/ Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa http://www.matemaks.pl/wstep-do-rachunku-prawdopodobienstwa.html Rachunek prawdopodobieństwa pomaga obliczyć szansę zaistnienia

Bardziej szczegółowo

Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa

Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa Spis treści Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa Romuald Kotowski Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis treści Spis treści 1 Wstęp Bardzo często interesujący

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka - W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i unkcja gęstości rozkładu

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 1 ZADANIA - ZESTAW 1. (odp. a) B A C, b) A, c) A B, d) Ω)

L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 1 ZADANIA - ZESTAW 1. (odp. a) B A C, b) A, c) A B, d) Ω) ZADANIA - ZESTAW 1 Zadanie 1.1 Rzucamy trzy razy monetą. A i - zdarzenie polegające na tym, że otrzymamy orła w i - tym rzucie. Określić zbiór zdarzeń elementarnych. Wypisać zdarzenia elementarne sprzyjające

Bardziej szczegółowo

Probabilistyczne podstawy statystyki matematycznej. Dr inż. Małgorzata Michalcewicz-Kaniowska

Probabilistyczne podstawy statystyki matematycznej. Dr inż. Małgorzata Michalcewicz-Kaniowska Probabilistyczne podstawy statystyki matematycznej Dr inż. Małgorzata Michalcewicz-Kaniowska 1 Zdarzenia losowe, algebra zdarzeń Do podstawowych pojęć w rachunku prawdopodobieństwa zaliczamy: doświadczenie

Bardziej szczegółowo

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Marek Kubiak Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Plan wykładu Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa Rozkład

Bardziej szczegółowo

Elementy Rachunek prawdopodobieństwa

Elementy Rachunek prawdopodobieństwa Elementy rachunku prawdopodobieństwa Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się analizą praw rządzących zdarzeniami losowymi Pojęciami pierwotnymi są: zdarzenie elementarne ω oraz zbiór zdarzeń elementarnych

Bardziej szczegółowo

3. Podstawowe pojęcia statystyki matematycznej i rachunku prawdopodobieństwa wykład z Populacja i próba

3. Podstawowe pojęcia statystyki matematycznej i rachunku prawdopodobieństwa wykład z Populacja i próba 3. Podstawowe pojęcia statystyki matematycznej i rachunku prawdopodobieństwa wykład z 12.03.2007 Populacja i próba Populacja- zbiorowość skończona lub nieskończona, w stosunku do której mają być formułowane

Bardziej szczegółowo

Metody probabilistyczne opracowane notatki 1. Zdefiniuj zmienną losową, rozkład prawdopodobieństwa. Przy jakich założeniach funkcje: F(x) = sin(x),

Metody probabilistyczne opracowane notatki 1. Zdefiniuj zmienną losową, rozkład prawdopodobieństwa. Przy jakich założeniach funkcje: F(x) = sin(x), Metody probabilistyczne opracowane notatki 1. Zdefiniuj zmienną losową, rozkład prawdopodobieństwa. Przy jakich założeniach funkcje: Fx sinx, Fx a e x mogą być dystrybuantami?. Podaj twierdzenie Lindeberga

Bardziej szczegółowo

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014.

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. W nawiasie przy zadaniu jego występowanie w numerze zestawu Spis treści (Z1, Z22, Z43) Definicja granicy ciągu. Obliczyć granicę:... 3 Definicja granicy ciągu...

Bardziej szczegółowo

PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek

PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Piotr Wiącek ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA Jest to miara probabilistyczna określona na σ-ciele podzbiorów borelowskich pewnej przestrzeni metrycznej. σ-ciało podzbiorów

Bardziej szczegółowo

Elementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska)

Elementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska) Elementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska) Twierdzenie (o mnożeniu) Podstawowe pojęcia i wzory kombinatoryczne. Niech,, będą zbiorami mającymi odpowiednio,,

Bardziej szczegółowo

Wstęp do probabilistyki i statystyki Wykład 3. Prawdopodobieństwo i algebra zdarzeń

Wstęp do probabilistyki i statystyki Wykład 3. Prawdopodobieństwo i algebra zdarzeń Wstęp do probabilistyki i statystyki Wykład 3. Prawdopodobieństwo i algebra zdarzeń dr inż. Krystyna Schneider, Katedra Elektroniki, AGH e-mail: kryschna@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~kryschna 1 Plan:

Bardziej szczegółowo

Wykład 11: Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa

Wykład 11: Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa Wykład : Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa dr Mariusz Grządziel 3 maja 203 Doświadczenie losowe Doświadczenie nazywamy losowym, jeśli: może być powtarzane (w zasadzie) w tych samych warunkach;

Bardziej szczegółowo

Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka. Zmienne losowe. Aleksander Denisiuk. denisjuk@euh-e.edu.pl

Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka. Zmienne losowe. Aleksander Denisiuk. denisjuk@euh-e.edu.pl Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka Zmienne losowe Aleksander Denisiuk denisjuk@euh-e.edu.pl Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza 2 82-300 Elblag oraz Biostatystyka p.

Bardziej szczegółowo

Moneta 1 Moneta 2 Kostka O, R O,R 1,2,3,4,5, Moneta 1 Moneta 2 Kostka O O ( )

Moneta 1 Moneta 2 Kostka O, R O,R 1,2,3,4,5, Moneta 1 Moneta 2 Kostka O O ( ) Nowa matura kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Zadania zamknięte (0 1 pkt) 1. Doświadczenie losowe polega na rzucie dwiema symetrycznymi monetami i sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo

Bardziej szczegółowo

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d.

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 STATYSTYKA Rafał Kucharski Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 Wybrane litery alfabetu greckiego α alfa β beta Γ γ gamma δ delta ɛ, ε epsilon η eta Θ θ theta

Bardziej szczegółowo

Wymagania kl. 3. Zakres podstawowy i rozszerzony

Wymagania kl. 3. Zakres podstawowy i rozszerzony Wymagania kl. 3 Zakres podstawowy i rozszerzony Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia 1. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Reguła mnożenia reguła mnożenia ilustracja zbioru wyników doświadczenia za

Bardziej szczegółowo

1.UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

1.UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH UKŁADY RÓWNAŃ 1.UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Układ: a1x + b1y = c1 a x + by = c nazywamy układem równań liniowych. Rozwiązaniem układu jest kaŝda para liczb spełniająca kaŝde z równań. Przy rozwiązywaniu układów

Bardziej szczegółowo

Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,

Bardziej szczegółowo

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja

Bardziej szczegółowo

Załóżmy, że obserwujemy nie jedną lecz dwie cechy, które oznaczymy symbolami X i Y. Wyniki obserwacji obu cech w i-tym obiekcie oznaczymy parą liczb

Załóżmy, że obserwujemy nie jedną lecz dwie cechy, które oznaczymy symbolami X i Y. Wyniki obserwacji obu cech w i-tym obiekcie oznaczymy parą liczb Współzależność Załóżmy, że obserwujemy nie jedną lecz dwie cechy, które oznaczymy symbolami X i Y. Wyniki obserwacji obu cech w i-tym obiekcie oznaczymy parą liczb (x i, y i ). Geometrycznie taką parę

Bardziej szczegółowo

= A. A - liczba elementów zbioru A. Lucjan Kowalski

= A. A - liczba elementów zbioru A. Lucjan Kowalski Lucjan Kowalski ZADANIA, PROBLEMY I PARADOKSY W PROBABILISTYCE Przypomnienie. Ω - zbiór zdarzeń elementarnych. A zdarzenie (podzbiór Ω). A - liczba elementów zbioru A Jeśli zdarzeń elementarnych jest skończenie

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA - POJĘCIA WSTĘPNE MATERIAŁY POMOCNICZE - TEORIA

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA - POJĘCIA WSTĘPNE MATERIAŁY POMOCNICZE - TEORIA Wydział: WiLiŚ, Transport, sem.2 dr Jolanta Dymkowska RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA - POJĘCIA WSTĘPNE MATERIAŁY POMOCNICZE - TEORIA Przestrzeń probabilistyczna Modelem matematycznym (tj. teoretycznym, wyidealizowanym,

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy. Klasa III Technikum ekonomiczne. Kształcenie ogólne w zakresie rozszerzonym

Plan wynikowy. Klasa III Technikum ekonomiczne. Kształcenie ogólne w zakresie rozszerzonym Plan wynikowy lasa III Technikum ekonomiczne. ształcenie ogólne w zakresie rozszerzonym Oznaczenia: wymagania konieczne, P wymagania podstawowe, R wymagania rozszerzające, D wymagania dopełniające, W wymagania

Bardziej szczegółowo

Statystyka. Magdalena Jakubek. kwiecień 2017

Statystyka. Magdalena Jakubek. kwiecień 2017 Statystyka Magdalena Jakubek kwiecień 2017 1 Nauka nie stara się wyjaśniać, a nawet niemal nie stara się interpretować, zajmuje się ona głównie budową modeli. Model rozumiany jest jako matematyczny twór,

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy. Klasa III Technik pojazdów samochodowych/ Technik urządzeń i systemów energetyki odnawialnej. Kształcenie ogólne w zakresie podstawowym

Plan wynikowy. Klasa III Technik pojazdów samochodowych/ Technik urządzeń i systemów energetyki odnawialnej. Kształcenie ogólne w zakresie podstawowym Oznaczenia: wymagania konieczne, P wymagania podstawowe, R wymagania rozszerzające, D wymagania dopełniające, W wymagania wykraczające. Plan wynikowy lasa III Technik pojazdów samochodowych/ Technik urządzeń

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia 3 ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ JEDNOWYMIAROWEJ

Ćwiczenia 3 ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ JEDNOWYMIAROWEJ Ćwiczenia 3 ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ JEDNOWYMIAROWEJ Zadanie 1. Zmienna losowa przyjmuje wartości -1, 0, 1 z prawdopodobieństwami równymi odpowiednio: ¼, ½, ¼. Należy: a. Wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

Modelowanie zależności. Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski

Modelowanie zależności. Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski Modelowanie zależności pomiędzy zmiennymi losowymi Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski P Zmienne losowe niezależne - przypomnienie Dwie rzeczywiste zmienne losowe X i Y

Bardziej szczegółowo

Wykład 2. Prawdopodobieństwo i elementy kombinatoryki

Wykład 2. Prawdopodobieństwo i elementy kombinatoryki Wstęp do probabilistyki i statystyki Wykład 2. Prawdopodobieństwo i elementy kombinatoryki dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh Katedra Elektroniki, AGH e-mail: zak@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~zak

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum

Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum Poziom rozszerzony Obowiązują wymagania z zakresu podstawowego oraz dodatkowo: FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE zaznacza kąt w układzie współrzędnych, wskazuje

Bardziej szczegółowo

Korzystanie z podstawowych rozkładów prawdopodobieństwa (tablice i arkusze kalkulacyjne)

Korzystanie z podstawowych rozkładów prawdopodobieństwa (tablice i arkusze kalkulacyjne) Korzystanie z podstawowych rozkładów prawdopodobieństwa (tablice i arkusze kalkulacyjne) Przygotował: Dr inż. Wojciech Artichowicz Katedra Hydrotechniki PG Zima 2014/15 1 TABLICE ROZKŁADÓW... 3 ROZKŁAD

Bardziej szczegółowo

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Nierówność Czebyszewa Niech X będzie zmienną losową o skończonej wariancji V ar(x). Wtedy wartość oczekiwana E(X) też jest skończona i

Bardziej szczegółowo

Zadania zestaw 1: Zadania zestaw 2

Zadania zestaw 1: Zadania zestaw 2 Zadania zestaw 1: Zadania zestaw 2 Zadania zestaw 3. 1 Rozkład zmiennej losowej skokowej X przedstawia tabela. x i m 0 n p i 0,4 0,3 0,3 a) Wyznacz m i n jeśli: są całkowite, m

Bardziej szczegółowo

6.4 Podstawowe metody statystyczne

6.4 Podstawowe metody statystyczne 156 Wstęp do statystyki matematycznej 6.4 Podstawowe metody statystyczne Spóbujemy teraz w dopuszczalnym uproszczeniu przedstawić istotę analizy statystycznej. W szczególności udzielimy odpowiedzi na postawione

Bardziej szczegółowo

Uczeń: -podaje przykłady ciągów liczbowych skończonych i nieskończonych oraz rysuje wykresy ciągów

Uczeń: -podaje przykłady ciągów liczbowych skończonych i nieskończonych oraz rysuje wykresy ciągów Wymagania edukacyjne PRZEDMIOT: Matematyka KLASA: III Th ZAKRES: zakres podstawowy Poziom wymagań Lp. Dział programu Konieczny-K Podstawowy-P Rozszerzający-R Dopełniający-D Uczeń: 1. Ciągi liczbowe. -zna

Bardziej szczegółowo

Wykład Centralne twierdzenie graniczne. Statystyka matematyczna: Estymacja parametrów rozkładu

Wykład Centralne twierdzenie graniczne. Statystyka matematyczna: Estymacja parametrów rozkładu Wykład 11-12 Centralne twierdzenie graniczne Statystyka matematyczna: Estymacja parametrów rozkładu Centralne twierdzenie graniczne (CTG) (Central Limit Theorem - CLT) Centralne twierdzenie graniczne (Lindenberga-Levy'ego)

Bardziej szczegółowo

Matematyka 2. dr inż. Rajmund Stasiewicz

Matematyka 2. dr inż. Rajmund Stasiewicz Matematyka 2 dr inż. Rajmund Stasiewicz Skala ocen Punkty Ocena 0 50 2,0 51 60 3,0 61 70 3,5 71 80 4,0 81 90 4,5 91-5,0 Zwolnienie z egzaminu Ocena z egzaminu liczba punktów z ćwiczeń - 5 Warunki zaliczenia

Bardziej szczegółowo

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI. Zmienna losowa i jej rozkład

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI. Zmienna losowa i jej rozkład WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI Zmienna losowa i jej rozkład ZMIENNA LOSOWA Funkcja X przyporządkowująca każdemu zdarzeniu elementarnemu jedną i tylko jedną liczbę x. zmienna losowa skokowa skończona

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej

Bardziej szczegółowo

Biostatystyka, # 2 /Weterynaria I/

Biostatystyka, # 2 /Weterynaria I/ Biostatystyka, # 2 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a bud. Agro II, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl

Bardziej szczegółowo

{( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( RRR)

{( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( RRR) .. KLASYCZNA DEFINICJA PRAWDOPODOBIEŃSTWA Klasyczna definicja prawdopodobieństwa JeŜeli jest skończonym zbiorem zdarzeń elementarnych jednakowo prawdopodobnych i A, to liczbę A nazywamy prawdopodobieństwem

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 2

Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 2 Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 2 Przygotowując wykład korzystam głównie z książki Jakubowski, Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo geometryczne

Bardziej szczegółowo

Metody probabilistyczne

Metody probabilistyczne Metody probabilistyczne 1. Prawdopodobieństwo klasyczne Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 03.10.2017 1 / 19 Rys historyczny Francja, XVII w.: gry hazardowe

Bardziej szczegółowo

Definicja 7.4 (Dystrybuanta zmiennej losowej). Dystrybuantą F zmiennej losowej X nazywamy funkcję: Własności dystrybuanty zmiennej losowej:

Definicja 7.4 (Dystrybuanta zmiennej losowej). Dystrybuantą F zmiennej losowej X nazywamy funkcję: Własności dystrybuanty zmiennej losowej: Definicja 7.4 (Dystrybuanta zmiennej losowej). Dystrybuantą F zmiennej losowej X nazywamy funkcję: F (t) P (X t) < t < Własności dystrybuanty zmiennej losowej: jest niemalejąca: 0 F (t) jest prawostronnie

Bardziej szczegółowo

Opis przedmiotu: Probabilistyka I

Opis przedmiotu: Probabilistyka I Opis : Probabilistyka I Kod Nazwa Wersja TR.SIK303 Probabilistyka I 2012/13 A. Usytuowanie w systemie studiów Poziom Kształcenia Stopień Rodzaj Kierunek studiów Profil studiów Specjalność Jednostka prowadząca

Bardziej szczegółowo

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas:

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas: ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. Można założyć, że przy losowaniu trzech kul jednocześnie kolejność ich wylosowania nie jest istotna. A więc: Ω = 20 3. a) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 3. Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony

MATeMAtyka 3. Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Agnieszka Kamińska, Dorota Ponczek MATeMAtyka 3 Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania

Bardziej szczegółowo

Statystyka hydrologiczna i prawdopodobieństwo zjawisk hydrologicznych.

Statystyka hydrologiczna i prawdopodobieństwo zjawisk hydrologicznych. Statystyka hydrologiczna i prawdopodobieństwo zjawisk hydrologicznych. Statystyka zajmuje się prawidłowościami zaistniałych zdarzeń. Teoria prawdopodobieństwa dotyczy przewidywania, jak często mogą zajść

Bardziej szczegółowo

zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych

zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych 1. [E.A 5.10.1996/zad.4] Funkcja gęstości dana jest wzorem { 3 x + 2xy + 1 y dla (x y) (0 1) (0 1) 4 4 P (X > 1 2 Y > 1 2 ) wynosi:

Bardziej szczegółowo

Definicja pochodnej cząstkowej

Definicja pochodnej cząstkowej 1 z 8 gdzie punkt wewnętrzny Definicja pochodnej cząstkowej JeŜeli iloraz ma granicę dla to granicę tę nazywamy pochodną cząstkową funkcji względem w punkcie. Oznaczenia: Pochodną cząstkową funkcji względem

Bardziej szczegółowo

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z obowiązkowych

Bardziej szczegółowo

Doświadczenie i zdarzenie losowe

Doświadczenie i zdarzenie losowe Doświadczenie i zdarzenie losowe Doświadczenie losowe jest to takie doświadczenie, które jest powtarzalne w takich samych warunkach lub zbliżonych, a którego wyniku nie można przewidzieć jednoznacznie.

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń.

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń. Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń. 3.2. Niezależność zdarzeń Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Niezależność dwóch zdarzeń Intuicja Zdarzenia losowe

Bardziej szczegółowo

Zbiory, relacje i funkcje

Zbiory, relacje i funkcje Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1 STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany.

Bardziej szczegółowo

ZMIENNE LOSOWE. Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R 1 tzn. X: R 1.

ZMIENNE LOSOWE. Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R 1 tzn. X: R 1. Opracowała: Joanna Kisielińska ZMIENNE LOSOWE Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R tzn. X: R. Realizacją zmiennej losowej

Bardziej szczegółowo

σ-ciało zdarzeń Niech Ω będzie niepustym zbiorem zdarzeń elementarnych, a zbiór F rodziną podzbiorów zbioru Ω spełniającą warunki: jeśli A F, to A F;

σ-ciało zdarzeń Niech Ω będzie niepustym zbiorem zdarzeń elementarnych, a zbiór F rodziną podzbiorów zbioru Ω spełniającą warunki: jeśli A F, to A F; Zdarzenie losowe i zdarzenie elementarne Zdarzenie (zdarzenie losowe) - wyni pewnej obserwacji lub doświadczenia; może być ilościowy lub jaościowy. Zdarzenie elementarne - najprostszy wyni doświadczenia

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja

Bardziej szczegółowo

Pochodną funkcji w punkcie (ozn. ) nazywamy granicę ilorazu różnicowego:

Pochodną funkcji w punkcie (ozn. ) nazywamy granicę ilorazu różnicowego: Podstawowe definicje Iloraz różnicowy funkcji Def. Niech funkcja będzie określona w pewnym przedziale otwartym zawierającym punkt. Ilorazem różnicowym funkcji w punkcie dla przyrostu nazywamy funkcję Pochodna

Bardziej szczegółowo