INTELIGENTNE SYSTEMY STEROWANIA OPRACOWANIE

Transkrypt

1 Arkadiusz Kwiatkowski INTELIGENTNE SYSTEMY STEROWANIA OPRACOWANIE Nie biorę odpowiedzialności za skutki błędów zawartych w opracowaniu. 1. Schemat inteligentnego sensora inteligentny sensor zintegrowany sensor prosty sensor sygnał wejściowy wielkośd pośrednia pierwotna wielkośd elektryczna analogowy sygnał pomiarowy cyfrowy sygnał pomiarowy sygnał wyjściowy czujnik przetwornik układ dopasowujący przetwornik A/C procesor Inteligentne czujniki: układy z mikrokontrolerami systemy wbudowane z programową zdalną obsługą Zadania mikroprocesorowego układu pomiarowego: weryfikacja wiarygodności pomiaru filtracja sygnałów linearyzacja charakterystyki czujnika standaryzacja sygnału wyjściowego

2 2. Schemat inteligentnego urządzenia wykonawczego inteligentne urządzenie wykonawcze urządzenie wykonawcze mikro komputer sygnał nastawczy nastawnik energii energia przetwornik energii O B I E K T energia pomocnicza 3. Przykład inteligentnego sensora Przepływomierze elektromagnetyczne, przepływomierze ultradźwiękowe Przepływomierz ultradźwiękowy: wzmacniacze układ pomiaru czasu

3 4. Przykład inteligentnego urządzenia wykonawczego Przemiennik częstotliwości prostownik obwody pośrednie falownik układ sterowania 5. Schemat blokowy impulsowego układu regulacji impulsator idealny y(n) x(t) + - e(t) e * (n) u * (n) u(t) impulsator idealny R ekstrapolator G ob (s) y(t) y 1 (t) H(s) 6. Definicja transmitancji dyskretnej Transmitancją impulsową (dyskretną) G(z) układu (członu) nazywad będziemy stosunek transformaty Z odpowiedzi do transformaty Z wymuszenia przy założeniu, że warunki początkowe są zerowe: G(z) Y(z) X(z)

4 7. Równanie charakterystyczne układu impulsowego Załóżmy, że transmitancja impulsowa układu otwartego ma postad: G o z = L o(z) M o (z) Równaniem charakterystycznym impulsowego układu otwartego nazywamy równanie M o z = 0, a równaniem charakterystycznym impulsowego układu zamkniętego: M z = L o z + M o z = Badanie stabilności dyskretnych UAR Stabilnośd układów dyskretnych określa się analogicznie jak dla układów ciągłych. Układ dyskretny nazywamy stabilnym, jeśli dyskretne wartości składowych przejściowych są ograniczone w każdej chwili czasu. Jeżeli dążą do zera, to mówimy o stabilności asymptotycznej. Dyskretny układ liniowy stacjonarny jest stabilny asymptotycznie wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie wartości własne macierzy układu spełniają warunek: z i < 1, i = 1,2,, r Dyskretny układ z ujemnym sprzężeniem zwrotnym jest stabilny asymptotycznie wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie pierwiastki równania charakterystycznego układu zamkniętego spełniają warunek: z i < 1, i = 1,2,, r Warunek z i < 1 oznacza, że: Badanie stabilności związane jest z położeniem pierwiastków, Winny one leżed w kole o promieniu 1 (w przestrzeni Gaussa) Im 1 1 Re

5 9. Kryterium Hurwitza w badaniu stabilności dyskretnych UAR. Warunkiem koniecznym i dostatecznym stabilności asymptotycznej układu liniowego ciągłego jest położenie wszystkich pierwiastków równania charakterystycznego tego układu w lewej półpłaszczyźnie płaszczyzny zmiennej zespolonej s. Układ jest na granicy stabilności, jeśli ma pojedyncze pierwiastki położone na osi urojonej, a wszystkie pozostałe w lewej półpłaszczyźnie płaszczyzny zmiennej zespolonej s. Można wykazad, że funkcja z = w + 1 w 1 odwzorowuje obszar koła jednostkowego o środku w początku układu współrzędnych na lewą półpłaszczyznę płaszczyzny zmiennej zespolonej. Po dokonaniu podstawienia można korzystad z kryteriów znanych z układów ciągłych, np. kryterium Hurwitza. Twierdzenie Hurwitza: Liniowy ciągły UAR o równaniu charakterystycznym jest stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy: M s = a n s n + a n 1 s n a 1 s + a 0 = 0, a n > 0 1 = a n 1 > 0 a n 2 = a n 1 a n 3 a > 0 n 2 n = a n 1 a n a n 3 a n 2 a n 1 a n 0 0 > a 0 Gdy wszystkie wyznaczniki 1, 2,, n 1 są dodatnie, a wyznacznik n = 0, to układ jest na granicy stabilności. Łatwo zauważyd, że przypadek ten występuje tylko dla a 0 = 0. Po rozwinięciu wyznaczników otrzymamy warunek konieczny stabilności układu: a i > 0, i = 1,2,, n 1 Można wykazad, że dla układów opisywanych równaniami I i II rzędu warunek konieczny jest też warunkiem dostatecznym. Aby zastosowad kryterium Hurwitza dla układów impulsowych należy dokonad wspomnianego wyżej podstawienia: M z = a n z n + a n 1 z n a 1 z + a 0 = 0 M w = M(z) z = w + 1 w 1

6 10. Zbadad stabilnośd układu regulacji impulsowej, korzystając z kryterium Hurwitza, jeśli transmitancja układu otwartego wynosi: G o z = 2z + 1 z 2 3 Najpierw zapisujemy równanie charakterystyczne układu zamkniętego: Następnie dokonujemy podstawienia: M z = L o z + M o z = z 2 + 2z 2 = 0 M w = w + 1 w 1 z = w + 1 w 1 Przekształcamy równanie do postaci wielomianowej: w + 1 w w + 1 w 1 2 = w + 1 w 1 2 = 0 w 1 2 w w + 1 w 1 2 w 1 2 = 0 w 2 + 2w w 2 2 2w 2 + 4w 2 = 0 w 2 + 6w 3 = 0 Równanie charakterystyczne jest rzędu II, dlatego nie musimy zapisywad wyznaczników, wystarczy sprawdzenie, czy współczynniki równania są dodatnie. a 2 = 1 > 0 a 1 = 6 > 0 a 0 = 3 < 0 Warunek konieczny nie jest spełniony, zatem UAR jest niestabilny. 11. Kryterium Mardena Kryterium Mardena pozwala określid, czy pierwiastki równania charakterystycznego postaci: M z = a n z n + a n 1 z n a 1 z + a 0 = 0 ( ) leżą wewnątrz okręgu o promieniu 1 na podstawie tzw. tablic stabilności o (2n-3) wierszach. Pozwala również na określenie, ile pierwiastków równania leży poza kołem jednostkowym.

7 Równanie (*) ma wszystkie pierwiastki wewnątrz okręgu jednostkowego wtedy i tylko wtedy gdy: lim z 1 M z z k > 0 lim M(z) z 1 zk > 0 Warunki krytyczne stabilności a 0 < a n, a n > 0 b 0 > b n 1 c 0 > c n 2 d 0 > d n 3 r 0 > r 3 s 0 > s 2 Uwaga! Wszystkie porównania są wykonywane co do modułu, gdyż operujemy w przestrzeni liczb zespolonych! Współczynniki wielomianu charakterystycznego: a 0, a 1,, a n. Elementy tablicy stabilności: b 0,, b n 1 c 0,, c n 2 d 0,, d n 3 r 0,, r 3 s 0,, s 3 a n k b k = a 0 a n a c k = b 0 b n 1 k d k b n 1 b k = c 0 c n 2 k k c n 2 s 0 = r 0 r 3 r 3 r 0 s 1 = r 0 r 2 r 2 r 0 s 2 = r 0 r 1 r 1 r 0 c k

8 Tablica stabilności: 1 a 0 a 1 a 2 a n 1 a n 2 a n a n 1 a n 2 a 1 a 0 3 b 0 b 1 b 2 b n 2 b n 1 4 b n 1 b n 2 b n 3 b 1 b 0 5 c 0 c 1 c 2 c n 2 6 c n 2 c n 3 c n 4 c 0 2n-5 r 0 r 1 r 2 r 3 2n-4 r 3 r 2 r 1 r 0 2n-3 s 0 s 1 s Korzystając z kryterium Mardena, zbadad stabilnośd dyskretnego UAR o transmitancji układu otwartego: G o s = z + 6 2z 4 3z 3 + 2z 2 2z 5 Najpierw wyznaczamy równanie charakterystyczne układu: Sprawdzamy warunki krytyczne stabilności: Obliczamy współczynniki tablicy stabilności: M z = L o z + M o z = 2z 4 3z 3 + 2z 2 z + 1 = 0 M 1 = = 1 > M 1 = = 9 > 0 b 0 = = 1 4 = 3 b 1 = = = 5 b 2 = = 2 4 = 2 b 3 = = = 1 c 0 = = 9 1 = 8 c 1 = = 15 2 = 17 c 2 = = = 11

9 Po wypełnieniu tablica stabilności wygląda tak: Sprawdzamy pozostałe warunki kryterium: a 0 < a n 1 < 2 b 0 > b n 1 3 > 1 c 0 > c n Ostatni warunek nie jest spełniony, zatem układ jest niestabilny. 13. Wyznaczyd transmitancję dyskretną członu inercyjnego I rzędu. Jaka jest odpowiedź impulsowa członu inercyjnego I rzędu wszyscy wiemy, ale możemy ją sobie wyznaczyd stosując odwrotne przekształcenie Laplace a. Transmitancja ciągła obiektu inercyjnego I rzędu ma postad: Zatem odpowiedź impulsowa tego obiektu: G s = k 1 + st g t = L 1 k 1 + st = k T L 1 1 s + 1 T = k T e t T Przy założeniu, że czas impulsowania wynosi 1, funkcja dyskretna odpowiedzi impulsowej ma postad: g n = k T e n T W celu wyznaczenia transmitancji dyskretnej obliczamy transformatę Z odpowiedzi impulsowej. G z = Z g(n) = k T Z e n T 1(n) = k T z z e 1 T

10 14. Wyznaczyd transmitancję dyskretną idealnego członu całkującego. Jaka jest odpowiedź impulsowa idealnego członu całkującego wszyscy wiemy, ale możemy ją sobie wyznaczyd stosując odwrotne przekształcenie Laplace a. Transmitancja ciągła obiektu całkującego ma postad: G s = k s Zatem odpowiedź impulsowa tego obiektu: g t = L 1 k s = kl 1 1 s = k 1(t) Przy założeniu, że czas impulsowania wynosi 1, funkcja dyskretna odpowiedzi impulsowej ma postad: g n = k 1(n) W celu wyznaczenia transmitancji dyskretnej obliczamy transformatę Z odpowiedzi impulsowej. G z = Z g(n) = kz 1(n) = k z z Wyznaczyd transmitancję dyskretną członu całkującego z inercją. Transmitancja ciągła obiektu całkującego z inercją ma postad: Zatem odpowiedź impulsowa tego obiektu: G s = k s 1 + st g t = L 1 k s 1 + st = 1 kl 1 s st = k 1 = k 1 e t T 0 t τ T e T dτ = k T Te τ T t 0 = k e t T 1 Przy założeniu, że czas impulsowania wynosi 1, funkcja dyskretna odpowiedzi impulsowej ma postad: g n = k 1 e n T W celu wyznaczenia transmitancji dyskretnej obliczamy transformatę Z odpowiedzi impulsowej. G z = Z g(n) = kz 1 e n T = k z z 1 z z e n T

11 16. Dyskretny regulator PID Algorytm PID jest jednym z najpowszechniej stosowanych algorytmów regulacji automatycznej. Aby mógł byd zaimplementowany w komputerowym systemie sterowania, należy wykorzystad jego wersję dyskretną. Wersja pozycyjna Regulator ciągły Regulator dyskretny Działanie P u t = k p e(t) u n = k p e(n) Działanie I Działanie D Działanie P Działanie I u t = k p 1 T i 0 t e τ dτ u t = k p T d de(t) dt u n = k p T T i n j =0 e(j) = k p I n 1 + T e(n), T i I n 1 = T T i n 1 j =0 e(j) u n = k p T d e n e(n 1) T Często uśrednia się tę wartośd: T d u n = k p e n e n 3 + 3e n 1 6T 3e n 2 Wersja przyrostowa (prędkościowa) Regulator ciągły Regulator dyskretny u p = k p e(n) T u i = k p e(n) T i Działanie D u d = k p T d T e n 2e n 1 + e(n 2) 17. Dobór nastaw dla dyskretnego regulatora PID. Dobór nastaw dla dyskretnego regulatora PID może byd wykonany np. wg reguły Takahashi. Jest ona podobna do metody Zieglera-Nicholsa, lecz uwzględnia wpływ okresu impulsowania na wyznaczanie sterowao. Dla regulatora P: T z k p = 1 k T o + T Dla regulatora PI: Dla regulatora PID: k p = 0,9 k T z T o + 0,5T, T i = 3,33 T o + 0,5T k p = 1,2 k T z T o + T, T i = 2 T o + 0,5T 2 T o + T, T d = 0,5 T o + T

12 Gdzie: k wzmocnienie krytyczne (gdy układ traci stabilnośd), T okres impulsowania, Tz, To -??? Wybór wartości czasu impulsowania: Za długi zmniejsza efektywnośd regulacji, szczególnie dla szybkich zakłóceo. Należy uwzględnid dynamikę obiektu i zakłóceo. Za krótki zwiększa obciążenie komputera. Należy uwzględnid parametry systemu komputerowego. 18. Synteza regulatora cyfrowego wzór rekurencyjny Spójrzmy na schemat dyskretnego UAR. Dla uproszczenia pomijamy impulsatory oraz ekstrapolator. Pamiętamy, że transmitancja impulsowa obiektu jest obliczana z jego transmitancji ciągłej. regulator obiekt X(z) E(z) U(z) Y(z) + G r (z) G o (z) - Transmitancja regulatora ma postad: G r z = L r (z) M r (z) = l r m r g i z i h i z i Transmitancja regulatora jest stosunkiem transformat sygnału sterującego oraz sygnału uchybu: Po wymnożeniu powyższej proporcji otrzymujemy: G r z = L r (z) M r (z) = U(z) E(z) U z M r z = E z L r (z) m r l r U z h i z i = E z g i z i z m r m r U z h i z i m r l r = E z g i z i m r Z 1

13 Wykonujemy odwrotną transformację Z, pamiętając, że Z 1 A(n)z i = a(n + i). m r 1 m r h i u(n + i m r ) = g i e(n + i m r ) l r h i u(n + i m r ) + h m r u n = g i e(n + i m r ) l r u n = 1 g h i e(n + i m r ) h i u(n + i m r ) m r Wyznaczyliśmy powyżej wzór na wartośd sygnału sterującego w chwili n. Znane są nam wszystkie wartości sygnału sterującego oraz uchybu w chwilach poprzednich (były one zapamiętywane w pamięci systemu komputerowego regulatora) oraz bieżąca wartośd uchybu. Nieznane są współczynniki g i, h i. Wartości tych współczynników dobiera się w oparciu o wymagania dotyczące procesu regulacji podczas projektowania regulatora. 19. Wzór Kalmanna l r m r 1 Z twierdzenia Kalmanna układ o najkrótszym czasie regulacji posiada transmitancję zastępczą: Gdzie: G z = kl ob (z) z m ob k = 1 L ob (1) 20. Schemat postępowania przy projektowaniu regulatora dyskretnego. Schemat postępowania: I. Zdefiniowad transmitancję obiektu, uzupełniając ją szeregowo połączonym członem formującym. II. Znaleźd dyskretny odpowiednik transmitancji - G ob (z). III. Wyznaczyd transmitancję regulatora dyskretnego. IV. Wyznaczyd wzór rekurencyjny na u(n). V. Uwzględnid warunki sterowania: a. Stabilnośd, b. Zerowy uchyb statyczny, c. Skooczony czas regulacji. VI. Wyznaczyd współczynniki wzoru rekurencyjnego. i =0

14 21. Ogólna zasada regulacji predykcyjnej W każdej iteracji algorytmu, czyli w każdej kolejnej chwili k (kt p, gdzie Tp oznacza okres próbkowania, czyli czas powtarzania interwencji regulatora, k = 0,1,2, ), dysponując: dynamicznym modelem obiektu, zakładającym określony model zakłóceo, pomiarami zmiennych wyjściowych obiektu w chwilach bieżącej i poprzednich oraz poprzednimi wartościami sterowania, znaną bądź założoną trajektorią wartości zadanych wyjśd sterowanych obiektu w chwili bieżącej k i chwilach przyszłych, wyznaczamy wartości sterowao u(k) = u(k k), u(k + 1 k),, u(k + N u 1 k), przyjmując dalej u(k + p k) = u(k + N u 1 k) dla p N u, gdzie N u to horyzont sterowania. Notacja: k + p k oznacza wyznaczenie w chwili k wartości przewidywanej na chwilę k+p. Sterowania są tak wyznaczane aby zminimalizowad różnice między wartościami regulowanych wyjśd obiektu y(k + p k) przewidywanymi (predykowanymi) w chwili k a wartościami zadanymi dla tych wyjśd y zad (k + p k), na horyzoncie predykcji N (p=1,2,,n). Minimalizacja różnic: minimalizacja określonego kryterium jakości regulacji. Do sterowania obiektu wykorzystywany jest jedynie pierwszy element wyznaczonego optymalnego ciągu wartości sterowao, tzn. sterowanie u(k)=u(k k). W kolejnej chwili (k+1) następuje nowy pomiar wyjśd obiektu i cała procedura jest powtarzana, z horyzontem predykcji o nie zmienionej długości N. Stosuje się zatem zasadę przesuwanego horyzontu.

15 Wyznaczanie wartości sterowao w chwili bieżącej i następnych realizowane jest w algorytmach predykcyjnych w oparciu o model, przez minimalizację określonej funkcji kryterialnej określającej jakośd regulacji na horyzoncie predykcji, której zasadniczym składnikiem jest koszt odchyleo prognozowanej trajektorii wyjśd od trajektorii zadanej, tzw. koszt prognozowanej trajektorii uchybu regulacji. Często uwzględnia się również w funkcji kryterialnej kary za zmiennośd wyznaczanych wartości sterowao. 22. Postad funkcji kryterialnej (funkcji celu) dla regulacji predykcyjnej wraz z opisem oznaczeo. gdzie: y zad (k + p k) - zmienne lub bezpośrednio prognozowane wektory wartości zadanych zmiennych regulowanych, Δu(k + p k) - przyrosty sterowao stanowiące zmienne decyzyjne zadania optymalizacji, y(k + p k) - przewidywane wartości zmiennych regulowanych zależne od dotychczasowych (przeszłych) wyjśd i sterowao oraz wyznaczanych przyrostów sterowao Δu(k + p k), λ - określa wagę tłumienia zmienności sterowao w stosunku do redukcji uchybów regulacji. 23. W jakich sytuacjach najlepiej stosowad regulację predykcyjną? Algorytmy MPC są polecane w następujących sytuacjach: przy dużej liczbie wielkości regulowanych i sterowanych, jeśli ograniczenia nałożone są zarówno na wielkości regulowane, jak i sterowane: o ograniczenia wartości sygnałów sterujących, o ograniczenia przyrostów sygnałów sterujących, o ograniczenia wartości sygnałów regulowanych, o ograniczenia wartości sygnałów wyjściowych nieregulowanych, przy zmianach celu sterowania i/lub uszkodzeniu elementów pomiarowych lub wykonawczych, w obecności dużych opóźnieo czasowych (zastosowanie metod tradycyjnych wymaga regulatorów PI z kompensatorami lub regulatorów Smitha), dla transmitancji, które posiadają bieguny i/lub zera w prawej półpłaszczyźnie (obiekty niestabilne i nieminimalnofazowe). Takie obiekty sprawiają problemy przy projektowaniu regulatora i wymagają specjalnych rozwiązao przy projektowaniu regulatora metodami tradycyjnymi lub w przestrzeni zmiennych stanu.

16 24. Porównanie algorytmów regulacji predykcyjnej typu DMC i GPC. Algorytmy regulacji predykcyjnej zakładają znajomośd modelu obiektu przez regulator. Algorytm DMC (Dynamic Matrix Control) wykorzystuje dyskretną skokową odpowiedź obiektu 0, s 1, s 2,, s k. Na jej podstawie można wyznaczyd odpowiedź obiektu na dowolny sygnał wejściowy. W algorytmie DMC przyjmuje się, że na horyzoncie predykcji wartośd zakłócenia jest stałą i równa się wartości wyznaczonej w chwili k. W przypadku obiektów całkujących zakłada się stałe nachylenie we wszystkich n krokach, tj.: s n s n 1 = s n+1 s n = W strukturze regulatora DMC można uwzględnid ograniczenia stanu i sterowania. W algorytmach GPC (Generalized Predictive Control) wykorzystuje się modele obiektów w postaci dyskretnych równao różnicowych, opisujących zależności pomiędzy dyskretnym sygnałem wejściowym i wyjściowym.