Zastosowanie rozkładów α-stabilnych i funkcji powiązań (copula) w obliczaniu wartości zagrożonej (VaR)

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Zastosowanie rozkładów α-stabilnych i funkcji powiązań (copula) w obliczaniu wartości zagrożonej (VaR)"

Transkrypt

1 Daniel Papla, Krzysztof Piontek Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu Katedra Inwestycji Finansowych i Ubezpieczeń Zastosowanie rozkładów α-stabilnych i funkcji powiązań (copula) w obliczaniu wartości zagrożonej (VaR) 1. Wstęp W artykule zaprezentowano przykład zastosowania rozkładów α-stabilnych i funkcji powiązań (copula) do modelowania rzeczywistych rozkładów stóp zwrotu wybranych spółek i analizy powiązań pomiędzy nimi. Uzyskane w wyniku estymacji rozkłady dwuwymiarowe stóp zwrotu wykorzystano do obliczania wartości zagrożonej (Value at Risk VaR) dla dwuelementowego portfela. Celem artykułu jest odpowiedź na pytanie, czy taki sposób pozwala na dokładniejsze wyznaczenie miary VaR niż przy zastosowaniu bardziej tradycyjnych metod. Pierwsza część artykułu prezentuje teoretyczne podstawy zastosowanej metodologii. Omówione zostały zarówno rozkłady α-stabilne, funkcje powiązań, jak i koncepcja wartości zagrożonej, ze szczególnym uwzględnieniem metody wariancji-kowariancji (wykorzystującej założenie o normalności wielowymiarowego rozkładu stóp zwrotu), metody symulacji historycznej oraz metody Monte Carlo opartej na rozkładach α-stabilnych i funkcji powiązań. Prezentowane dalej badania empiryczne mają charakter jedynie poglądowe. Dane wykorzystane w obliczeniach obejmują jedynie dwie wybrane w sposób subiektywny spółki notowane na GPW w Warszawie. Interpretacja otrzymanych wyników i wnioski końcowe zawarte są w ostatniej części pracy. 2. Rozkłady α-stabilne Rodzina rozkładów stabilnych wprowadzona została w latach trzydziestych XX wieku przez Paula Levy ego, jednak propozycję zastosowania tych rozkładów do modelowania rozkładów stóp zwrotu wysunął dopiero w 1963 r. Mandelbrot. Przyczyną zainteresowania rozkładami α-stabilnymi stał się fakt, że są one uogólnieniami rozkładu normalnego i umożliwiają opis grubych ogonów. Niestety, poza trzema przypadkami (rozkład normalny, rozkład Cauchy ego, rozkład Levy ego), nie są znane jawne postaci rozkładu funkcji gęstości rozkładów stabilnych, co jest podstawowym problemem w stosowaniu tej klasy rozkładów statystycznych. Dodatkowym utrudnieniem związanym z praktycznym wykorzystaniem omawianych rozkładów jest 1

2 niejednolita parametryzacja stosowana przez różnych autorów, która nie ułatwia porównania wyników. Podstawowe cechy rozkładów α-stabilnych oraz sposoby estymacji ich parametrów można znaleźć w takich pracach jak (Borak, Härdle, Weron (2004); Samorodnitsky, Taqqu (1994); Weron (1996)). Rozkłady α-stabilne definiowane są w ogólności poprzez funkcję charakterystyczną następującej postaci: log φ ( t) α α πα iµ t σ t 1 iβsign( t) tan, α 1, 2 = 2 iµ t σ t 1 iβ sign( t) ln t +, α = 1, π gdzie: α ( 0,2] współczynnik stabilności (zwany również współczynnikiem kształtu, wykładnikiem kształtu lub wykładnikiem charakterystycznym), β [ 1,1] parametr określający skośność rozkładu, σ > 0 parametr skali (rozproszenia), µ R parametr położenia. Współczynnik stabilności α określa szybkość, z jaką zanikają ogony rozkładu. Dla α = 2 uzyskuj się rozkład normalny. Dla α < 2 wariancja rozkładu jest nieskończona, a rozkłady posiadają grubsze ogony od rozkładu normalnego. Dla α > 1 określona jest średnia rozkładu, równa µ. Dodatnia wartość parametr β skutkuje skośnością prawostronną, ujemna lewostronną. Dla β = 0 rozkład jest symetryczny. Ważną właściwością jest fakt, iż dla α zdążającego do 2, wartość β przestaje wpływać na kształt funkcji gęstości i rozkład zbliża się do rozkładu normalnego, który jest symetryczny niezależnie od wartości parametru β. Rysunki 1. i 2. prezentują przykładowe rozkłady α-stabilne w zależności od współczynnika kształtu. (1) 0.3 α =1.1 α =1.4 α =1.7 α = α =1.1 α =1.4 α =1.7 α = Rys. 1. Przykładowe rozkłady α-stabilne (skala liniowa) Źródło: obliczenia własne. Rys. 2. Przykładowe rozkłady α-stabilne (skala logarytmiczna) Źródło: obliczenia własne. 2

3 Rozkłady stabilne charakteryzują się jednomodalnością, mogą być skośne i mogą posiadać grube ogony. Biorąc pod uwagę już tylko te cechy, można zaryzykować hipotezę, że rozkłady stabilne o współczynniku α < 2, i β 0 będą lepiej dopasowywać się do rozkładów empirycznych stóp zwrotu niż rozkład normalny (Mittnik, Rachev (2000)). 3. Funkcje copula Zastosowanie funkcji copula pozwala częściowo rozwiązać najpoważniejszy problem związany z wykorzystaniem rozkładów wielowymiarowych, a mianowicie nieznajomość postaci analitycznej empirycznego łącznego rozkładu stóp zwrotu. Funkcja copula (w przypadku dwuwymiarowym, który łatwo uogólnić na przypadek wielowymiarowy) definiowana jest w sposób następujący (Nelsen (1999)): Dwumiarową funkcję C: [0, 1] 2 [0, 1] nazywamy funkcją copula, jeśli spełnia następujące warunki: a) C(u, v) jest rosnąca i ze względu na u, i ze względu na v, b) C(u, 0) = C(0, v) = 0, C(u, 1) = u, C(1, v) = v, c) u 1, u 2, v 1, v 2 [0, 1] takich, że u 1 < u 2 i v 1 < v 2, mamy C(u 2, v 2 ) C(u 2, v 1 ) C(u 1, v 2 ) + C(u 1, v 1 ) 0. Znaczenie funkcji copula w analizie zależności wielowymiarowych wynika z twierdzenia Sklara: Niech H będzie dystrybuantą łączną rozkładu dwuwymiarowego, którego rozkłady brzegowe oznaczone są odpowiednio przez F i G. Wtedy istnieje funkcja copula C taka, że H(x, y) = C(F(x), G(y)). (2) Jeśli F i G są ciągłe, wtedy C jest jednoznacznie określona. Dowód twierdzenia można znaleźć w pracy Sklara z 1959 r. Nieco prostszą postać tego dowodu przedstawili Schweizer i Sklar w pracy z 1974 r. Z twierdzenia tego wynika, że nieznany dwuwymiarowy rozkład łączny można przybliżać funkcją copula oraz odpowiednimi rozkładami brzegowymi. Problemem jest znalezienie odpowiednio dobrze dopasowanej funkcji copula. W praktyce rozwiązaniem tego problemu jest dopasowanie do danych empirycznych kilku wybranych funkcji i wykorzystanie do dalszej analizy najlepiej dopasowywującej się. Jeden z pełniejszych przeglądów wybranych funkcji copula znaleźć można w pracy Nelsena (1999). W niniejszej pracy przedstawione zostaną jedynie funkcje wykorzystane dalej w badaniach empirycznych. Kryterium wyboru była prostota postaci funkcji copula a także wynikająca z tego ich popularność w analizie danych z rynków kapitałowych. 3

4 Szczególnym przypadkiem funkcji copula są funkcje archimedesowskie (Archimedean copulas), które można przedstawić za pomocą ogólnego wzoru: C( u, u ) = ψ ( ψ ( u ) + ψ ( u )), ψ :[0;1] [0; ), ψ (1) = 0. gdzie ψ to tzw. funkcja generująca (generator function). W badaniach, których wyniki zamieszczono w empirycznej części artykułu wykorzystano następujące funkcje z rodziny funkcji archimedesowskich: 1. Copula Gumbela: 2. Copula Franka ψ ( t) 3. Copula Ali-Mikhail-Haq: ψ ( t) ( ) (3) = ln, θ 1. (4) t θ exp( θt) 1 ln ; θ 0 exp( θ ) 1 θ ln( t); θ = 0 R. (5) 1 θ (1 t) ψ ( t) = ln, θ [ 1;1]. t (6) Tak zdefiniowane funkcje powiązań wykorzystane zostaną w dalszej części pracy w analizie VaR do wyznaczenia łącznego rozkładu prawdopodobieństwa. W omawianym dalej przykładzie analizie podlega bowiem portfel którego wartość zależy od dwóch czynników ryzyka portfel dwuskładnikowy. 4. Wartość zagrożona Wartość zagrożona (VaR) jest jedną z najsilniej promowanych ostatnio miar ryzyka rynkowego należącą do grupy miar zagrożenia. Rekomendowana jest między innymi przez Grupę Trzydziestu oraz Komitet Bazylejski. Jej popularność wynika z faktu, że umożliwia agregację wpływu różnych czynników ryzyka, na które narażona jest instytucja, pozostając ponadto miarą dość prostą w idei i łatwą w interpretacji. Jej definicja jest następująca: Value at Risk jest to taka strata wartości rynkowej (np. instrumentu, portfela, instytucji), że prawdopodobieństwo osiągnięcia jej lub przekroczenia w zadanym horyzoncie czasu równe jest pewnemu zadanemu poziomowi tolerancji. Najczęściej analizowana jest wartość zagrożona dla horyzontu 1 dnia lub 10 dni oraz dla poziomu tolerancji 5% lub 1% (por. np. Jajuga (2000)). Powyższą definicję można zapisać w postaci (Jajuga (2000), Jorion (2001)): P( W W VaR) = q (7) 0 4

5 gdzie: W 0 obecna wartość instrumentu, W wartość instrumentu na końcu okresu, traktowana jako zmienna losowa, q poziom tolerancji (istotności) miary VaR, lub wyrazić poprzez odpowiedni kwantyl rozkładu stóp zwrotu ( R q ): VaR = R W. (8) Podstawowe metody wyznaczania wartości VaR sprowadzają się właściwie do wyznaczenia wartości tego nieznanego kwantyla rozkładu stóp zwrotu. Do podstawowych metod estymacji VaR zalicza się (por. Jorion (2001)): podejście wariancji kowariancji, symulacja historyczna, symulacja Monte Carlo, podejście wyznaczania kwantyla dowolnego rozkładu, podejście oparte na teorii wartości ekstremalnych, podejście oparte na wykorzystaniu wartości pochodzących z ogona rozkładu. q 0 W niniejszej pracy porównane zostaną najprostsze podejścia: wariancji-kowariancji i symulacji historycznej ze znacznie bardziej skomplikowaną metodą wyznaczania kwantyla pewnego łącznego rozkładu z wykorzystaniem metody Monte Carlo. Metody te mają na celu oszacowanie wartości VaR dla prostego dwuelementowego portfela papierów wartościowych z równymi udziałami poszczególnych instrumentów (por. punkt 6. Badanie empiryczne). W symulacji historycznej (historical simulation) na podstawie przeszłych realizacji stóp zwrotu dla poszczególnych instrumentów wyznacza się szereg stóp zwrotu z portfela o odpowiednich udziałach, a następnie empiryczny (historyczny) rozkład stóp zwrotu dla takiego portfela. Wyznaczony odpowiedni kwantyl tego rozkładu pozwala na bezpośrednie określenie VaR (por. wzór (8)). Podejście wariancji kowariancji (variance covariance approach) zakłada, że rozkład stóp zwrotu instrumentu (lub instrumentów) jest rozkładem normalnym (lub wielowymiarowym rozkładem normalnym). Odpowiedni kwantyl rozkładu stóp zwrotu z portfela wyznacza się w tym przypadku z zależności: gdzie: R µ c( q) σ =, (9) q p p µ p wartość oczekiwana rozkładu stóp zwrotu z portfela, 5

6 σ p odchylenie standardowe rozkładu stóp zwrotu, c( q ) stała, zależna od poziomu istotności miary VaR. W przypadku najczęstszego założenia, że rozkład stóp zwrotu z portfela jest rozkładem normalnym c( q ) = 1, 65 dla q=0,05 oraz c( q ) = 2,33 dla q=0,01. Metody najprostsze porównane zostaną z wariantem metody Monte Carlo przedstawionym w pracy Ranka i Siegla (2002), mającym na celu wyznaczenie nieznanego kwantyla rozkładu stóp zwrotu za pomocą powiązanych poprzez funkcję copula brzegowych rozkładów α-stabilnych wyznaczonych dla rozkładów stóp zwrotu dla poszczególnych spółek. Symulacja Monte Carlo z wykorzystaniem funkcji copula pozwala na zbadanie przypadku, w którym rozkład łączny stóp zwrotu składników portfela nie ogranicza się do wielowymiarowego rozkładu normalnego. Przebieg procedury wyznaczania wartości VaR dla chwili t jest w tym przypadku następujący: 1. Na podstawie danych historycznych (w naszym przypadku wybrano ostatnich notowań, czyli notowania od t 500 do t) dokonuje się estymacji parametrów dwóch rozkładów α-stabilnych dla szeregów stóp zwrotu obydwu badanych papierów wartościowych, stanowiących składniki badanego portfela. 2. Następnie szacuje się metodą największej wiarygodności parametr θ wybranej funkcji copula; w estymacji wykorzystuje się dystrybuanty rozkładów brzegowych, których parametry są równe otrzymanym wcześniej estymatorom parametrów rozkładów α-stabilnych składników portfela. 3. W kolejnym kroku losuje się par liczb pseudolosowych, których rozkład łączny jest określony przez funkcję copula o parametrze θ równym oszacowanemu wcześniej, a rozkłady brzegowe są zaś określone przez rozkłady α-stabilne o parametrach równych wcześniej wyestymowanym. Po podstawieniu do wzoru na stopę zwrotu z portfela uzyskuje się symulacji stopy zwrotu z dwuskładnikowego portfela na okres [ t, t + 1]. 4. Szacowana wartość VaR otrzymywana jest na podstawie wyznaczanego (zależnego od poziomu istotności miary VaR) kwantyla wysymulowanego rozkładu tych stóp zwrotu (por. wzór (8)). Kroki 1-4 powtarzane są dla następnych obserwacji. Estymacja parametrów rozkładów α- stabilnych oraz funkcji copula dokonywana jest co 10 dni sesyjnych (raz na 2 tygodnie 1 Odpowiednie wartości liczbowe w procedurze zostały wybrane przez autorów subiektywnie. 6

7 kalendarzowe). Rozwiązanie to jest kompromisem pomiędzy dokładnością obliczeń, a szybkością procedury. Oszacowaną wartość VaR 2 w chwili t porównuje się z rzeczywistą wielkością straty wartości portfela w okresie [ t, t + 1]. Jeśli strata rzeczywista jest większa od VaR otrzymuje się tzw. przekroczenie. Suma liczby przekroczeń dla całego badanego okresu podzielona przez długość tego okresu daje względną liczbę przekroczeń. Liczba ta dla poprawnego modelu powinna być w przybliżeniu równa poziomowi tolerancji VaR. Weryfikacji jakości modelu VaR dokonuje się poprzez tzw. testowanie wsteczne (bactesting). W praktyce wykorzystuje się w tym celu testy liczby przekroczeń oraz niezależności przekroczeń (por. np. Jorion (2001)). Najczęściej wykorzystywanym testem jest test liczby przekroczeń (failure test), który wykorzystany zostanie również w tej pracy. Dla danej wielkości próby teoretyczna liczba przekroczeń N ma rozkład dwumianowy. Odpowiednią statystykę testową zaproponował w 1995 roku Kupiec. Ma ona postać: T N N T N N N N LRuc = 2ln ( 1 q) q 2ln 1 + T T, (10) gdzie: N liczba przekroczeń VaR, T długość próby testowej, q poziom tolerancji VaR przyjęty w modelu. Statystyka LR uc ma rozkład 2 χ z jednym stopniem swobody. Wartość krytyczna (CV) testu Kupca dla najczęściej rozpatrywanego poziomu istotności 0,05 wynosi 3,8415. Hipotezę zerową o poprawności modelu VaR odrzuca się, jeśli LR uc > CV. 6. Wyniki badań empirycznych Dane do badań empirycznych obejmują dzienne logarytmiczne stopy zwrotu z okresu od r. do r. (2438 obserwacji) dla akcji Krosna i Żywca. Wybór spółek podyktowany został jedynie długością dostępnych danych, a prezentowane badanie ma jedynie charakter poglądowy. Próba testowa do badania liczby przekroczeń VaR, a tym samym jakości modelu, obejmowała okres od r. do r obserwacji. Jako poziom istotności miary VaR przyjęto najczęściej rozpatrywaną wartość q = 0,05. Tabela 1 prezentuje wyniki otrzymane przy zastosowaniu wybranych metod szacowania wartości zagrożonej. 2 W analogiczny sposób zagadnienie można wyrazić poprzez zrealizowane stopy zwrotu i odpowiedni kwantyl rozkładu. 7

8 Tabela 1. Wyniki badań empirycznych Metoda Liczba przekroczeń Względna liczba przekroczeń Wartość testu Kupca Symulacja historyczna 126 0,0650 8,4382 Metoda wariancji kowariancji 131 0, ,4332 Monte Carlo: copula Ali-Mikhail-Haq 114 0,0588 3,0136 Monte Carlo: copula Gumbela 107 0,0552 1,0735 Monte Carlo: copula Franka 111 0,0573 2,0671 Źródło: obliczenia własne. W tabeli wytłuszczonym drukiem zaznaczono przypadki, w których test Kupca odrzuca rozpatrywany model VaR jako poprawny. Dodatkowo, na podstawie testu Kupca można stwierdzić, że dla T = 1938, poziomu tolerancji VaR 0,05 oraz poziomu istotności testu poprawności modelu 0,05, liczba przekroczeń wyznaczająca obszar niekrytyczny (przyjęcia hipotezy o poprawności modelu) wynosi 78 N 116 wobec wartości oczekiwanej liczby przekroczeń wynoszącej 97. Jak widać wszystkie badane metody symulacji Monte Carlo z wykorzystaniem funkcji powiązań dały zbliżone rezultaty, nieco zaniżając wartość VaR, przez co liczba przekroczeń była większa od oczekiwanej. Wyniki uzyskane za pomocą symulacji historycznej i metody wariancji-kowariancji znacznie odbiegają od spodziewanej liczby przekroczeń. Obydwie te metody zaniżyły wartość VaR, przez co liczba przekroczeń była większa od oczekiwanej. W przypadku metody wariancji-kowariancji uzasadnieniem może być fakt przyjęcia założenia o normalności rozkładów stóp zwrotu, w sytuacji, kiedy rozkłady rzeczywiste mają grubsze ogony. Zaobserwowane dla metody symulacji historycznej odstępstwa od wyniku spodziewanego, można próbować tłumaczyć zmianą parametrów rozkładu służącego do wyznaczania wartości odpowiedniego kwantyla (R q ) oraz rozkładu szeregu stóp zwrotu dla którego testowano model VaR. Potwierdzenie tej hipotezy wymagałoby jednak dalszych badań. Oczywiście prezentowane wnioski, ze względu na ograniczony zakres badań, nie mają charakteru ogólnego i stanowią jedynie przykład zastosowania przedstawionej metodologii. Zdaniem autorów zachęcają one jednak do dalszych badań, które powinny obejmować przede wszystkim szerszy zestaw danych. Wskazane byłoby również wykorzystanie innych funkcji powiązań oraz sprawdzenie wyników dla innych rozkładów brzegowych, np. uskośnionych rozkładów t-studenta, które 8

9 cechują się również grubymi ogonami, a są znacznie prostsze w zastosowaniu niż rozkłady α- stabilne. Wykorzystana metoda reprezentuje ponadto tzw. podejście statyczne wykorzystujące bezwarunkowe rozkłady stóp zwrotu. Poprawę jakości modelu można by uzyskać poprzez uwzględnienie pewnych dynamicznych własności szeregów stóp zwrotu (np. autokorelacji, skupiania zmienności), łącząc przedstawione podejście z modelami warunkowej wartości oczekiwanej oraz warunkowej wariancji (np. ARMA-GARCH) (por. np. Rockinger, Jondeau (2002)). Zaprezentowane powyżej kierunki poprawy modelu staną się obszarem dalszych badań autorów. Literatura Borak S., Härdle W., Weron R. (2004): Stable Distributions in Finance. W: P. Cìzek, W. Härdle, R. Weron (red.): Statistical Tools in Finance and Insurance. Springer. Jajuga K. (2000): Miary ryzyka rynkowego - część III. Miary zagrożenia. Rynek Terminowy 8. Jajuga K., Papla D. (2004): Extreme Value Analysis and Copulas. W: P. Cìzek, W. Härdle, R. Weron (red.): Statistical Tools in Finance and Insurance. Springer. Jorion P. (2001): Value at Risk. 2 nd edition. McGraw-Hill. Mandelbrot B. (1963): The Variation of Certain Speculative Prices. Journal of Business 36, s Mittnik S., Rachev S.T. (2000): Stable Paretian Models in Finance. John Wiley & Sons, New York. Nelsen R.B. (1999): An Introduction to Copulas. Springer Verlag, New York. Rank J., Siegl T. (2002): Applications of Copulas for the Calculation of Value-at-Risk. W: W. Härdle, T. Kleinow, G. Stahl: Applied Quantitave Finance. Springer. Rockinger M., Jondeau E. (2002): Conditional Dependency of Financial Series: The Copula- GARCH Model. University of Lausanne ( Samorodnitsky G., Taqqu M.S. (1994): Stable Non Gaussian Random Processes. Chapman & Hall. Schweizer B., Sklar A. (1974): Operations on Distributions Functions not Derivable from Operations on Random Variables. Studia Mathematica 52, s Sklar A. (1959): Fonctions de répartition á n dimensions et leurs marges. Publications de l Institut Statistique de l Université de Paris 8, s Weron R. (1996): On the Chambers-Mallows-Stuck Method for Simulating Skewed Stable Random Variables. Statistics and Probability Letters 28, s

Daniel Papla Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu

Daniel Papla Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE IX Ogólnopolskie Seminarium Naukowe, 6 8 września 2005 w Toruniu Katedra Ekonometrii i Statystyki, Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu

Bardziej szczegółowo

Wykorzystanie funkcji powiązań do pomiaru ryzyka rynkowego. Katarzyna Kuziak

Wykorzystanie funkcji powiązań do pomiaru ryzyka rynkowego. Katarzyna Kuziak Wykorzystanie funkcji powiązań do pomiaru ryzyka rynkowego Katarzyna Kuziak Cel: łączenie różnych rodzajów ryzyka rynkowego za pomocą wielowymiarowej funkcji powiązań 2 Ryzyko rynkowe W pomiarze ryzyka

Bardziej szczegółowo

Ekonometria Finansowa II EARF. Michał Rubaszek

Ekonometria Finansowa II EARF. Michał Rubaszek Ekonometria Finansowa II EARF Michał Rubaszek 1 Cele - Zapoznanie z charakterystykami szeregów finansowych - Omówienie jednowymiarowych metod liczenia VaR - Omówienie wielowymiarowych metod liczenia VaR

Bardziej szczegółowo

Value at Risk (VaR) Jerzy Mycielski WNE. Jerzy Mycielski (Institute) Value at Risk (VaR) / 16

Value at Risk (VaR) Jerzy Mycielski WNE. Jerzy Mycielski (Institute) Value at Risk (VaR) / 16 Value at Risk (VaR) Jerzy Mycielski WNE 2018 Jerzy Mycielski (Institute) Value at Risk (VaR) 2018 1 / 16 Warunkowa heteroskedastyczność O warunkowej autoregresyjnej heteroskedastyczności mówimy, gdy σ

Bardziej szczegółowo

Spis treści 3 SPIS TREŚCI

Spis treści 3 SPIS TREŚCI Spis treści 3 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 1. WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE JAKO DYSCYPLINA MATEMATYCZNA... Metody statystyczne w analizie i prognozowaniu zjawisk ekonomicznych... Badania statystyczne podstawowe

Bardziej szczegółowo

Idea. θ = θ 0, Hipoteza statystyczna Obszary krytyczne Błąd pierwszego i drugiego rodzaju p-wartość

Idea. θ = θ 0, Hipoteza statystyczna Obszary krytyczne Błąd pierwszego i drugiego rodzaju p-wartość Idea Niech θ oznacza parametr modelu statystycznego. Dotychczasowe rozważania dotyczyły metod estymacji tego parametru. Teraz zamiast szacować nieznaną wartość parametru będziemy weryfikowali hipotezę

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16 Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4.

Testowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4. Testowanie hipotez Niech X = (X 1... X n ) będzie próbą losową na przestrzeni X zaś P = {P θ θ Θ} rodziną rozkładów prawdopodobieństwa określonych na przestrzeni próby X. Definicja 1. Hipotezą zerową Θ

Bardziej szczegółowo

Szacowanie miary zagrożenia Expected Shortfall dla wybranych instrumentów polskiego rynku kapitałowego

Szacowanie miary zagrożenia Expected Shortfall dla wybranych instrumentów polskiego rynku kapitałowego Radosław Pietrzyk Katedra Inwestycji Finansowych i Ubezpieczeń Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu Szacowanie miary zagrożenia Expected Shortfall dla wybranych instrumentów polskiego rynku kapitałowego 1.

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2: Metoda największej wiarygodności i nieliniowa metoda najmniejszych kwadratów

Rozdział 2: Metoda największej wiarygodności i nieliniowa metoda najmniejszych kwadratów Rozdział : Metoda największej wiarygodności i nieliniowa metoda najmniejszych kwadratów W tym rozdziale omówione zostaną dwie najpopularniejsze metody estymacji parametrów w ekonometrycznych modelach nieliniowych,

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta

Bardziej szczegółowo

... i statystyka testowa przyjmuje wartość..., zatem ODRZUCAMY /NIE MA POD- STAW DO ODRZUCENIA HIPOTEZY H 0 (właściwe podkreślić).

... i statystyka testowa przyjmuje wartość..., zatem ODRZUCAMY /NIE MA POD- STAW DO ODRZUCENIA HIPOTEZY H 0 (właściwe podkreślić). Egzamin ze Statystyki Matematycznej, WNE UW, wrzesień 016, zestaw B Odpowiedzi i szkice rozwiązań 1. Zbadano koszt 7 noclegów dla 4-osobowej rodziny (kwatery) nad morzem w sezonie letnim 014 i 015. Wylosowano

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych.

Testowanie hipotez statystycznych. Statystyka Wykład 10 Wrocław, 22 grudnia 2011 Testowanie hipotez statystycznych Definicja. Hipotezą statystyczną nazywamy stwierdzenie dotyczące parametrów populacji. Definicja. Dwie komplementarne w problemie

Bardziej szczegółowo

TESTY NIEPARAMETRYCZNE. 1. Testy równości średnich bez założenia normalności rozkładu zmiennych: Manna-Whitney a i Kruskala-Wallisa.

TESTY NIEPARAMETRYCZNE. 1. Testy równości średnich bez założenia normalności rozkładu zmiennych: Manna-Whitney a i Kruskala-Wallisa. TESTY NIEPARAMETRYCZNE 1. Testy równości średnich bez założenia normalności rozkładu zmiennych: Manna-Whitney a i Kruskala-Wallisa. Standardowe testy równości średnich wymagają aby badane zmienne losowe

Bardziej szczegółowo

Wykład 1 Próba i populacja. Estymacja parametrów z wykorzystaniem metody bootstrap

Wykład 1 Próba i populacja. Estymacja parametrów z wykorzystaniem metody bootstrap Wykład 1 Próba i populacja. Estymacja parametrów z wykorzystaniem metody bootstrap Magdalena Frąszczak Wrocław, 21.02.2018r Tematyka Wykładów: Próba i populacja. Estymacja parametrów z wykorzystaniem metody

Bardziej szczegółowo

Excel i VBA w analizach i modelowaniu finansowym Pomiar ryzyka. Pomiar ryzyka

Excel i VBA w analizach i modelowaniu finansowym Pomiar ryzyka. Pomiar ryzyka Pomiar ryzyka Miary obiektywne stosowane w kwantyfikacji ryzyka rynkowego towarzyszącego zaangażowaniu środków w inwestycjach finansowych obejmują: Miary zmienności, Miary zagrożenia, Miary wrażliwości.

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna. Wykład III. Estymacja przedziałowa

Statystyka matematyczna. Wykład III. Estymacja przedziałowa Statystyka matematyczna. Wykład III. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Rozkłady zmiennych losowych 1 Rozkłady zmiennych losowych Rozkład χ 2 Rozkład t-studenta Rozkład Fischera 2 Przedziały ufności

Bardziej szczegółowo

Kolokwium ze statystyki matematycznej

Kolokwium ze statystyki matematycznej Kolokwium ze statystyki matematycznej 28.05.2011 Zadanie 1 Niech X będzie zmienną losową z rozkładu o gęstości dla, gdzie 0 jest nieznanym parametrem. Na podstawie pojedynczej obserwacji weryfikujemy hipotezę

Bardziej szczegółowo

166 Wstęp do statystyki matematycznej

166 Wstęp do statystyki matematycznej 166 Wstęp do statystyki matematycznej Etap trzeci realizacji procesu analizy danych statystycznych w zasadzie powinien rozwiązać nasz zasadniczy problem związany z identyfikacją cechy populacji generalnej

Bardziej szczegółowo

Współczynnik korelacji. Współczynnik korelacji jest miernikiem zależności między dwiema cechami Oznaczenie: ϱ

Współczynnik korelacji. Współczynnik korelacji jest miernikiem zależności między dwiema cechami Oznaczenie: ϱ Współczynnik korelacji Współczynnik korelacji jest miernikiem zależności między dwiema cechami Oznaczenie: ϱ Własności współczynnika korelacji 1. Współczynnik korelacji jest liczbą niemianowaną 2. ϱ 1,

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna. Wykład IV. Weryfikacja hipotez statystycznych

Statystyka matematyczna. Wykład IV. Weryfikacja hipotez statystycznych Statystyka matematyczna. Wykład IV. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 2 3 Definicja 1 Hipoteza statystyczna jest to przypuszczenie dotyczące rozkładu (wielkości parametru lub rodzaju) zmiennej

Bardziej szczegółowo

Właściwości testu Jarque-Bera gdy w danych występuje obserwacja nietypowa.

Właściwości testu Jarque-Bera gdy w danych występuje obserwacja nietypowa. Właściwości testu Jarque-Bera gdy w danych występuje obserwacja nietypowa. Paweł Strawiński Uniwersytet Warszawski Wydział Nauk Ekonomicznych 16 stycznia 2006 Streszczenie W artykule analizowane są właściwości

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych. Wprowadzenie

Testowanie hipotez statystycznych. Wprowadzenie Wrocław University of Technology Testowanie hipotez statystycznych. Wprowadzenie Jakub Tomczak Politechnika Wrocławska jakub.tomczak@pwr.edu.pl 10.04.2014 Pojęcia wstępne Populacja (statystyczna) zbiór,

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna dla leśników

Statystyka matematyczna dla leśników Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 03/04 Wykład 5 Testy statystyczne Ogólne zasady testowania hipotez statystycznych, rodzaje

Bardziej szczegółowo

Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa

Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa Spis treści Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa Romuald Kotowski Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis treści Spis treści 1 Wstęp Bardzo często interesujący

Bardziej szczegółowo

Wnioskowanie statystyczne i weryfikacja hipotez statystycznych

Wnioskowanie statystyczne i weryfikacja hipotez statystycznych Wnioskowanie statystyczne i weryfikacja hipotez statystycznych Wnioskowanie statystyczne Wnioskowanie statystyczne obejmuje następujące czynności: Sformułowanie hipotezy zerowej i hipotezy alternatywnej.

Bardziej szczegółowo

Własności statystyczne regresji liniowej. Wykład 4

Własności statystyczne regresji liniowej. Wykład 4 Własności statystyczne regresji liniowej Wykład 4 Plan Własności zmiennych losowych Normalna regresja liniowa Własności regresji liniowej Literatura B. Hansen (2017+) Econometrics, Rozdział 5 Własności

Bardziej szczegółowo

Dominik Krężołek Akademia Ekonomiczna w Katowicach

Dominik Krężołek Akademia Ekonomiczna w Katowicach DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE X Ogólnopolskie Seminarium Naukowe, 4 6 września 007 w Toruniu Katedra Ekonometrii i Statystyki, Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Akademia Ekonomiczna w Katowicach

Bardziej szczegółowo

WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 9 i 10 - Weryfikacja hipotez statystycznych

WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 9 i 10 - Weryfikacja hipotez statystycznych WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 9 i 10 - Weryfikacja hipotez statystycznych Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 9 i 10 1 / 30 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH

Bardziej szczegółowo

Estymacja punktowa i przedziałowa

Estymacja punktowa i przedziałowa Temat: Estymacja punktowa i przedziałowa Kody znaków: żółte wyróżnienie nowe pojęcie czerwony uwaga kursywa komentarz 1 Zagadnienia 1. Statystyczny opis próby. Idea estymacji punktowej pojęcie estymatora

Bardziej szczegółowo

WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 7 i 8 - Efektywność estymatorów, przedziały ufności

WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 7 i 8 - Efektywność estymatorów, przedziały ufności WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 7 i 8 - Efektywność estymatorów, przedziały ufności Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 7 i 8 1 / 9 EFEKTYWNOŚĆ ESTYMATORÓW, próba

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA STATYSTYKA MATEMATYCZNA 1. Wykład wstępny 2. Zmienne losowe i teoria prawdopodobieństwa 3. Populacje i próby danych 4. Testowanie hipotez i estymacja parametrów 5. Najczęściej wykorzystywane testy statystyczne

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne

Testowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne Testowanie hipotez statystycznych Wnioskowanie statystyczne Hipoteza statystyczna to dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej (jego postaci funkcyjnej lub wartości parametrów). Hipotezy

Bardziej szczegółowo

Estymacja parametrów w modelu normalnym

Estymacja parametrów w modelu normalnym Estymacja parametrów w modelu normalnym dr Mariusz Grządziel 6 kwietnia 2009 Model normalny Przez model normalny będziemy rozumieć rodzine rozkładów normalnych N(µ, σ), µ R, σ > 0. Z Centralnego Twierdzenia

Bardziej szczegółowo

Ekonometryczne modele nieliniowe

Ekonometryczne modele nieliniowe Ekonometryczne modele nieliniowe Wykład 10 Modele przełącznikowe Markowa Literatura P.H.Franses, D. van Dijk (2000) Non-linear time series models in empirical finance, Cambridge University Press. R. Breuning,

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE ZMIENNOŚCI I RYZYKA INWESTYCJI W ZŁOTO. Celina Otolińska

MODELOWANIE ZMIENNOŚCI I RYZYKA INWESTYCJI W ZŁOTO. Celina Otolińska MODELOWANIE ZMIENNOŚCI I RYZYKA INWESTYCJI W ZŁOTO Celina Otolińska PLAN: 1. Rynek złota-krótka informacja. 2. Wartość zagrożona i dlaczego ona. 3. Badany szereg czasowy oraz jego własności. 4. Modele

Bardziej szczegółowo

Błędy przy testowaniu hipotez statystycznych. Decyzja H 0 jest prawdziwa H 0 jest faszywa

Błędy przy testowaniu hipotez statystycznych. Decyzja H 0 jest prawdziwa H 0 jest faszywa Weryfikacja hipotez statystycznych Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o prawdziwości lub fałszywości którego wnioskuje się na podstawie

Bardziej szczegółowo

VI WYKŁAD STATYSTYKA. 9/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15

VI WYKŁAD STATYSTYKA. 9/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 VI WYKŁAD STATYSTYKA 9/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 6 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI Weryfikacja hipotez ( błędy I i II rodzaju, poziom istotności, zasady

Bardziej szczegółowo

O ŚREDNIEJ STATYSTYCZNEJ

O ŚREDNIEJ STATYSTYCZNEJ Od średniej w modelu gaussowskim do kwantyli w podstawowym modelu nieparametrycznym IMPAN 1.X.2009 Rozszerzona wersja wykładu: O ŚREDNIEJ STATYSTYCZNEJ Ryszard Zieliński XII Międzynarodowe Warsztaty dla

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. Zajęcia

Ekonometria. Zajęcia Ekonometria Zajęcia 16.05.2018 Wstęp hipoteza itp. Model gęstości zaludnienia ( model gradientu gęstości ) zakłada, że gęstość zaludnienia zależy od odległości od okręgu centralnego: y t = Ae βx t (1)

Bardziej szczegółowo

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej 7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej Definicja 1 n-elementowa losowa próba prosta nazywamy ciag n niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych.

Testowanie hipotez statystycznych. Bioinformatyka Wykład 9 Wrocław, 5 grudnia 2011 Temat. Test zgodności χ 2 Pearsona. Statystyka χ 2 Pearsona Rozpatrzmy ciąg niezależnych zmiennych losowych X 1,..., X n o jednakowym dyskretnym rozkładzie

Bardziej szczegółowo

Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT. Anna Rajfura 1

Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT. Anna Rajfura 1 Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT Anna Rajfura 1 Przykład wprowadzający Wiadomo, Ŝe 40% owoców ulega uszkodzeniu podczas pakowania automatycznego.

Bardziej szczegółowo

Porównanie metod szacowania Value at Risk

Porównanie metod szacowania Value at Risk Porównanie metod szacowania Value at Risk Metoda wariancji i kowariancji i metoda symulacji historycznej Dominika Zarychta Nr indeksu: 161385 Spis treści 1. Wstęp....3 2. Co to jest Value at Risk?...3

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych.

Testowanie hipotez statystycznych. Bioinformatyka Wykład 4 Wrocław, 17 października 2011 Temat. Weryfikacja hipotez statystycznych dotyczących wartości oczekiwanej w dwóch populacjach o rozkładach normalnych. Model 3. Porównanie średnich

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Kierunek: Informatyka Rodzaj przedmiotu: przedmiot obowiązkowy w ramach treści kierunkowych, moduł kierunkowy ogólny Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia I KARTA PRZEDMIOTU CEL PRZEDMIOTU

Bardziej szczegółowo

Uwaga. Decyzje brzmią różnie! Testy parametryczne dotyczące nieznanej wartości

Uwaga. Decyzje brzmią różnie! Testy parametryczne dotyczące nieznanej wartości TESTOWANIE HIPOTEZ Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu, z którego pochodzi próbka. Hipotezy dzielimy na parametryczne i nieparametryczne. Parametrycznymi

Bardziej szczegółowo

Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki

Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki Spis treści I. Wzory ogólne... 2 1. Średnia arytmetyczna:... 2 2. Rozstęp:... 2 3. Kwantyle:... 2 4. Wariancja:... 2 5. Odchylenie standardowe:...

Bardziej szczegółowo

Statystyka w przykładach

Statystyka w przykładach w przykładach Tomasz Mostowski Zajęcia 10.04.2008 Plan Estymatory 1 Estymatory 2 Plan Estymatory 1 Estymatory 2 Własności estymatorów Zazwyczaj w badaniach potrzebujemy oszacować pewne parametry na podstawie

Bardziej szczegółowo

Wykład Centralne twierdzenie graniczne. Statystyka matematyczna: Estymacja parametrów rozkładu

Wykład Centralne twierdzenie graniczne. Statystyka matematyczna: Estymacja parametrów rozkładu Wykład 11-12 Centralne twierdzenie graniczne Statystyka matematyczna: Estymacja parametrów rozkładu Centralne twierdzenie graniczne (CTG) (Central Limit Theorem - CLT) Centralne twierdzenie graniczne (Lindenberga-Levy'ego)

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów Wrocław, 18.03.2016r Plan wykładu: 1. Testowanie hipotez 2. Etapy testowania hipotez 3. Błędy 4. Testowanie wielokrotne 5. Estymacja parametrów

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA

STATYSTYKA Wykład 1 20.02.2008r. 1. ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1.1 Rozkład dwumianowy Rozkład dwumianowy, 0 1 Uwaga: 1, rozkład zero jedynkowy. 1 ; 1,2,, Fakt: Niech,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym

Bardziej szczegółowo

O wyborze metody estymacji wartości zagrożonej na przykładzie portfela narażonego na ryzyko zmian kursów USD/PLN i EUR/PLN *

O wyborze metody estymacji wartości zagrożonej na przykładzie portfela narażonego na ryzyko zmian kursów USD/PLN i EUR/PLN * 393 Zeszyty Naukowe Wyższej Szkoły Bankowej we Wrocławiu Nr 2(34)/2013 Szkoła Główna Handlowa w Warszawie O wyborze metody estymacji wartości zagrożonej na przykładzie portfela narażonego na ryzyko zmian

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych.

Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Hipotezy i Testy statystyczne Każde

Bardziej szczegółowo

SIMR 2017/18, Statystyka, Przykładowe zadania do kolokwium - Rozwiązania

SIMR 2017/18, Statystyka, Przykładowe zadania do kolokwium - Rozwiązania SIMR 7/8, Statystyka, Przykładowe zadania do kolokwium - Rozwiązania. Dana jest gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej ciągłej X : { a( x) dla x [, ] f(x) = dla pozostałych x Znaleźć: i) Wartość parametru

Bardziej szczegółowo

Estymacja parametrów rozkładu cechy

Estymacja parametrów rozkładu cechy Estymacja parametrów rozkładu cechy Estymujemy parametr θ rozkładu cechy X Próba: X 1, X 2,..., X n Estymator punktowy jest funkcją próby ˆθ = ˆθX 1, X 2,..., X n przybliżającą wartość parametru θ Przedział

Bardziej szczegółowo

Pobieranie prób i rozkład z próby

Pobieranie prób i rozkład z próby Pobieranie prób i rozkład z próby Marcin Zajenkowski Marcin Zajenkowski () Pobieranie prób i rozkład z próby 1 / 15 Populacja i próba Populacja dowolnie określony zespół przedmiotów, obserwacji, osób itp.

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna. Wykład VI. Zesty zgodności

Statystyka matematyczna. Wykład VI. Zesty zgodności Statystyka matematyczna. Wykład VI. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 Testy zgodności 2 Test Shapiro-Wilka Test Kołmogorowa - Smirnowa Test Lillieforsa Test Jarque-Bera Testy zgodności Niech x

Bardziej szczegółowo

Stanisław Jędrusik, Andrzej Paliński, Wojciech Chmiel, Piotr Kadłuczka Testowanie wsteczne modeli wartości narażonej na stratę

Stanisław Jędrusik, Andrzej Paliński, Wojciech Chmiel, Piotr Kadłuczka Testowanie wsteczne modeli wartości narażonej na stratę Stanisław Jędrusik, Andrzej Paliński, Wojciech Chmiel, Piotr Kadłuczka Testowanie wsteczne modeli wartości narażonej na stratę Managerial Economics 1, 175-182 2007 Ekonomia Menedżerska 2007, nr 1, s. 175

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015 Zmienne losowe, statystyki próbkowe Wrocław, 2 marca 2015 Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20 punktów) aktywność Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych.

Testowanie hipotez statystycznych. Bioinformatyka Wykład 6 Wrocław, 7 listopada 2011 Temat. Weryfikacja hipotez statystycznych dotyczących proporcji. Test dla proporcji. Niech X 1,..., X n będzie próbą statystyczną z 0-1. Oznaczmy odpowiednio

Bardziej szczegółowo

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI REGRESJA LINIOWA

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI REGRESJA LINIOWA WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI REGRESJA LINIOWA Powtórka Powtórki Kowiariancja cov xy lub c xy - kierunek zależności Współczynnik korelacji liniowej Pearsona r siła liniowej zależności Istotność

Bardziej szczegółowo

Modelowanie zależności. Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski

Modelowanie zależności. Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski Modelowanie zależności pomiędzy zmiennymi losowymi Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski P Zmienne losowe niezależne - przypomnienie Dwie rzeczywiste zmienne losowe X i Y

Bardziej szczegółowo

Krzysztof Piontek MODELOWANIE I PROGNOZOWANIE ZMIENNOŚCI INSTRUMENTÓW FINANSOWYCH

Krzysztof Piontek MODELOWANIE I PROGNOZOWANIE ZMIENNOŚCI INSTRUMENTÓW FINANSOWYCH Akademia Ekonomiczna im. Oskara Langego we Wrocławiu Wydział Zarządzania i Informatyki Krzysztof Piontek MODELOWANIE I PROGNOZOWANIE ZMIENNOŚCI INSTRUMENTÓW FINANSOWYCH rozprawa doktorska Promotor: prof.

Bardziej szczegółowo

Matematyka z el. statystyki, # 6 /Geodezja i kartografia II/

Matematyka z el. statystyki, # 6 /Geodezja i kartografia II/ Matematyka z el. statystyki, # 6 /Geodezja i kartografia II/ Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Głęboka 28, bud. CIW, p. 221 e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl

Bardziej szczegółowo

Modelowanie rynków finansowych

Modelowanie rynków finansowych Modelowanie rynków finansowych Jerzy Mycielski WNE UW 5 października 2017 Jerzy Mycielski (WNE UW) Modelowanie rynków finansowych 5 października 2017 1 / 12 Podstawowe elementy teorii 1 racjonalne oczekiwania

Bardziej szczegółowo

Wykład 2 Hipoteza statystyczna, test statystyczny, poziom istotn. istotności, p-wartość i moc testu

Wykład 2 Hipoteza statystyczna, test statystyczny, poziom istotn. istotności, p-wartość i moc testu Wykład 2 Hipoteza statystyczna, test statystyczny, poziom istotności, p-wartość i moc testu Wrocław, 01.03.2017r Przykład 2.1 Właściciel firmy produkującej telefony komórkowe twierdzi, że wśród jego produktów

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej

Bardziej szczegółowo

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich Wrocław, 5 grudnia 2014 Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja Przedziałem ufności dla paramertu

Bardziej szczegółowo

EXPECTED SHORTFALL W OCENIE RYZYKA AKCYJNYCH FUNDUSZY INWESTYCYJNYCH

EXPECTED SHORTFALL W OCENIE RYZYKA AKCYJNYCH FUNDUSZY INWESTYCYJNYCH Radosław Pietrzyk Uniwersytet Ekonomiczny We Wrocławiu EXPECTED SHORTFALL W OCENIE RYZYKA AKCYJNYCH FUNDUSZY INWESTYCYJNYCH 1. Wstęp Rok 2008 zapoczątkował kryzys na rynkach finansowych. Duża niestabilność

Bardziej szczegółowo

Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,

Bardziej szczegółowo

Metody matematyczne w analizie danych eksperymentalnych - sygnały, cz. 2

Metody matematyczne w analizie danych eksperymentalnych - sygnały, cz. 2 Metody matematyczne w analizie danych eksperymentalnych - sygnały, cz. 2 Dr hab. inż. Agnieszka Wyłomańska Faculty of Pure and Applied Mathematics Hugo Steinhaus Center Wrocław University of Science and

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA STATYSTYKA MATEMATYCZNA 1. Wykład wstępny. Teoria prawdopodobieństwa i elementy kombinatoryki 2. Zmienne losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby danych, estymacja parametrów 4. Testowanie hipotez 5.

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA STATYSTYKA MATEMATYCZNA 1. Wykład wstępny. Teoria prawdopodobieństwa i elementy kombinatoryki 2. Zmienne losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby danych, estymacja parametrów 4. Testowanie hipotez 5.

Bardziej szczegółowo

RÓWNOWAŻNOŚĆ METOD BADAWCZYCH

RÓWNOWAŻNOŚĆ METOD BADAWCZYCH RÓWNOWAŻNOŚĆ METOD BADAWCZYCH Piotr Konieczka Katedra Chemii Analitycznej Wydział Chemiczny Politechnika Gdańska Równoważność metod??? 2 Zgodność wyników analitycznych otrzymanych z wykorzystaniem porównywanych

Bardziej szczegółowo

ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO NR 690 FINANSE, RYNKI FINANSOWE, UBEZPIECZENIA NR

ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO NR 690 FINANSE, RYNKI FINANSOWE, UBEZPIECZENIA NR ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO NR 690 FINANSE, RYNKI FINANSOWE, UBEZPIECZENIA NR 51 01 JERZY TYMIŃSKI TEORETYCZNE I PRAKTYCZNE ASPEKTY KONCEPCJI WARTOŚCI ZAGROŻONEJ 1 Wprowadzenie W działalności

Bardziej szczegółowo

Wykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału

Wykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału Wykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału Magdalena Frąszczak Wrocław, 22.02.2017r Zasady oceniania Ćwiczenia 2 kolokwia (20 punktów każde) 05.04.2017 oraz 31.05.2017 2 kartkówki

Bardziej szczegółowo

Metody systemowe i decyzyjne w informatyce

Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Laboratorium JAVA Zadanie nr 2 Rozpoznawanie liter autorzy: A. Gonczarek, J.M. Tomczak Cel zadania Celem zadania jest zapoznanie się z problemem klasyfikacji

Bardziej szczegółowo

Liczba godzin Punkty ECTS Sposób zaliczenia. ćwiczenia 16 zaliczenie z oceną

Liczba godzin Punkty ECTS Sposób zaliczenia. ćwiczenia 16 zaliczenie z oceną Wydział: Zarządzanie i Finanse Nazwa kierunku kształcenia: Finanse i Rachunkowość Rodzaj przedmiotu: podstawowy Opiekun: prof. nadzw. dr hab. Tomasz Kuszewski Poziom studiów (I lub II stopnia): II stopnia

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 7

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 7 STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 7 Analiza korelacji - współczynnik korelacji Pearsona Cel: ocena współzależności między dwiema zmiennymi ilościowymi Ocenia jedynie zależność liniową. r = cov(x,y

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI

LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI WERYFIKACJA HIPOTEZ Hipoteza statystyczna jakiekolwiek przypuszczenie dotyczące populacji generalnej- jej poszczególnych

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI

LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI WERYFIKACJA HIPOTEZ Hipoteza statystyczna jakiekolwiek przypuszczenie dotyczące populacji generalnej- jej poszczególnych

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD października 2009

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD października 2009 STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4 26 października 2009 Rozkład N(µ, σ). Estymacja σ σ 2 = 1 σ 2π + = E µ,σ (X µ) 2 { (x µ) 2 exp 1 ( ) } x µ 2 dx 2 σ Rozkład N(µ, σ). Estymacja σ σ 2 = 1 σ 2π + = E µ,σ

Bardziej szczegółowo

METODY APROKSYMACJI INDEKSU OGONA ROZKŁADÓW ALFA-STABILNYCH NA PRZYKŁADZIE GPW W WARSZAWIE

METODY APROKSYMACJI INDEKSU OGONA ROZKŁADÓW ALFA-STABILNYCH NA PRZYKŁADZIE GPW W WARSZAWIE Dominik Krężołek Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach METODY APROKSYMACJI INDEKSU OGONA ROZKŁADÓW ALFA-STABILNYCH NA PRZYKŁADZIE GPW W WARSZAWIE Wprowadzenie Procesy i zjawiska ekonomiczne obserwowane

Bardziej szczegółowo

Zadania ze statystyki, cz.7 - hipotezy statystyczne, błąd standardowy, testowanie hipotez statystycznych

Zadania ze statystyki, cz.7 - hipotezy statystyczne, błąd standardowy, testowanie hipotez statystycznych Zadania ze statystyki, cz.7 - hipotezy statystyczne, błąd standardowy, testowanie hipotez statystycznych Zad. 1 Średnia ocen z semestru letniego w populacji studentów socjologii w roku akademickim 2011/2012

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. Matematyka ubezpieczeń majątkowych 5.0.00 r. Zadanie. Dla dowolnej zmiennej losowej X o wartości oczekiwanej µ wariancji oraz momencie centralnym µ k rzędu k zachodzą nierówności (typu Czebyszewa): ( X

Bardziej szczegółowo

Monte Carlo, bootstrap, jacknife

Monte Carlo, bootstrap, jacknife Monte Carlo, bootstrap, jacknife Literatura Bruce Hansen (2012 +) Econometrics, ze strony internetowej: http://www.ssc.wisc.edu/~bhansen/econometrics/ Monte Carlo: rozdział 8.8, 8.9 Bootstrap: rozdział

Bardziej szczegółowo

SPIS TEŚCI CZĘŚĆ I RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA

SPIS TEŚCI CZĘŚĆ I RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA SPIS TEŚCI PRZEDMOWA...13 CZĘŚĆ I RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. ZDARZENIA LOSOWE I PRAWDOPODOBIEŃSTWO...17 1.1. UWAGI WSTĘPNE... 17 1.2. ZDARZENIA LOSOWE... 17 1.3. RELACJE MIĘDZY ZDARZENIAMI... 18 1.4.

Bardziej szczegółowo

dr hab. Renata Karkowska 1

dr hab. Renata Karkowska 1 dr hab. Renata Karkowska 1 Czym jest ryzyko? Rodzaje ryzyka? Co oznacza zarządzanie? Dlaczego zarządzamy ryzykiem? 2 Przedmiot ryzyka Otoczenie bliższe/dalsze (czynniki ryzyka egzogeniczne vs endogeniczne)

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4. WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH X - cecha populacji, θ parametr rozkładu cechy X.

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4. WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH X - cecha populacji, θ parametr rozkładu cechy X. STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4 WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH X - cecha populacji, θ parametr rozkładu cechy X. Wysuwamy hipotezy: zerową (podstawową H ( θ = θ i alternatywną H, która ma jedną z

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. Matematyka ubezpieczeń majątkowych 3..007 r. Zadanie. Każde z ryzyk pochodzących z pewnej populacji charakteryzuje się tym że przy danej wartości λ parametru ryzyka Λ rozkład wartości szkód z tego ryzyka

Bardziej szczegółowo

Statystyka. Rozkład prawdopodobieństwa Testowanie hipotez. Wykład III ( )

Statystyka. Rozkład prawdopodobieństwa Testowanie hipotez. Wykład III ( ) Statystyka Rozkład prawdopodobieństwa Testowanie hipotez Wykład III (04.01.2016) Rozkład t-studenta Rozkład T jest rozkładem pomocniczym we wnioskowaniu statystycznym; stosuje się go wyznaczenia przedziału

Bardziej szczegółowo

Elementy statystyki opisowej, podstawowe pojęcia statystyki matematycznej

Elementy statystyki opisowej, podstawowe pojęcia statystyki matematycznej Elementy statystyki opisowej, podstawowe pojęcia statystyki matematycznej Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Przykład (wstępny). Producent twierdzi, że wadliwość produkcji wynosi 5%. My podejrzewamy, że rzeczywista wadliwość produkcji wynosi 15%. Pobieramy próbę stuelementową

Bardziej szczegółowo

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyczna teoria korelacji i regresji (1) Jest to dział statystyki zajmujący

Bardziej szczegółowo

Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT. Anna Rajfura 1

Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT. Anna Rajfura 1 Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT Anna Rajfura 1 Przykład wprowadzający Wiadomo, że 40% owoców ulega uszkodzeniu podczas pakowania automatycznego.

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do teorii ekonometrii. Wykład 1 Warunkowa wartość oczekiwana i odwzorowanie liniowe

Wprowadzenie do teorii ekonometrii. Wykład 1 Warunkowa wartość oczekiwana i odwzorowanie liniowe Wprowadzenie do teorii ekonometrii Wykład 1 Warunkowa wartość oczekiwana i odwzorowanie liniowe Zajęcia Wykład Laboratorium komputerowe 2 Zaliczenie EGZAMIN (50%) Na egzaminie obowiązują wszystkie informacje

Bardziej szczegółowo

Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn

Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średniej Wrocław, 21 grudnia 2016r Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja 10.1 Przedziałem

Bardziej szczegółowo